Kvalifikacioni ispit iz matematike · 9. Na i ortogonalnu projekciju taqke M(11;0) na pravu 2x 3y+4 = 0. 10. Odredititangentekru nice x 2+y 2y= 0 kojeprolazekroztaqku C(2;2). Svaki

1

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Kvalifikacioni ispit iz matematike

29.06.2010.

1. Tek oboreno stablo je imalo masu 2,25 tona i sadr�avalo je 64% vode.Poslije nedjeu dana stablo je sadr�avalo 46% vode. Za koliko se sman-jila masa stabla za tu nedjeu?

2. Dokazati da je (3 +√5)(√10−

√2)√3−√5 = 8 .

3. Uprostiti izraz

(a+ b

a− b− a− ba+ b

):

(a2 + b2

a2 − b2− a2 − b2

a2 + b2

).

4. Odrediti za koju vrijednost realnog parametra m je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+ 2m− 3 = 0 najma�i.

5. Rijexiti jednaqinu√6− x− x2 = x+ 1.

6. Rijexiti jednaqinu 9x2−1 − 36 · 3x2−3 + 3 = 0.

7. Rijexiti nejednaqinu log 5x ≥ log 25(3x− 2).

8. Rijexiti jednaqinu 1 + cos(π + x) + cos(π2+x

2

)= 0.

9. Na�i taqku B simetriqnu taqki A(3, 1) u odnosu na pravu x− 2y + 2 = 0.

10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 − 6x + 4y + 3 = 0 koje prolaze kroztaqku A(2, 1).

Svaki zadatak vrijedi 5 bodova.Vrijeme za izradu zadataka je 90 minuta.

2



6.09.2010.

1. Uzastopna pojevti�e�a od 10% i 20% ekvivalentna su nekom jednokratnompojevti�e�u. Od koliko procenata je to pojevti�e�e?

2. Dokazati da je (4 +√15)(√10−

√6)√4−√15 = 2 .

3. Uprostiti izrazx2 + y2

xy− x2

xy + y2− y2

x2 + xy.

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametram su oba korijena jednaqinex2 − (m+ 1)x+m+ 4 = 0 negativna.

5. Rijexiti nejednaqinu√x2 − 3x− 10 < 8− x.

6. Rijexiti jednaqinu 3x − 3x−1 = 2 · 9x−2.

7. Rijexiti nejednaqinu log 2

(x2 − x− 3

4

)< log 25− 2.

8. Rijexiti jednaqinu 1− cos(π − x) + sin

(π + x

2

)= 0.

9. Na�i jednaqinu kru�nice opisane oko trougla ABC qija su tjemena A(7, 7),B(0, 8) i C(−2, 4).

10. Data su dva tjemena A(1,−4) i B(7,−2) na osnovici AB jednakokrakogtrougla ABC, a tre�e tjeme C pripada pravoj x − y + 1 = 0. Odreditikoordinate tjemena C.


3



4.07.2011.

1. Cijena koxue je 52 marke. Ona je prvo poskupila 20% pa je zatim pojev-tinila 20%. Odrediti novu cijenu koxue.

2. Za n ≥ 1 uprostiti izraz√n−√2n− 1−

√n+√2n− 1 .

3. Uprostiti izraz

(3− (a+ b)2

ab

)·(a

b− b

a

):a3 + b3

ab.

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m za sve x iz intervala(−1, 1) va�i nejednakost 2x2 +mx− 5 < 0.

5. Rijexiti nejednaqinu√x2 − x− 12 < x− 2.

6. Rijexiti jednaqinu 2 log24(x+ 1)− log4(x2 − 1)− log 1

4(x− 1) = 1.

7. U trouglu ABC je γ = 120◦. Dokazati da je c ≥√3

2(a+ b) .

8. Rijexiti jednaqinu cos2 x+ cos2 2x+ cos2 3x =3

2.

9. Date su taqke A(0, 2), B(3,−1) i H(2, 1). Odrediti taqku C tako da H budeortocentar trougla ABC.

10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz taqku (−2,−2) , a centarjoj je presjeqna taqka pravih x+ 2y − 2 = 0 i 3x+ y + 4 = 0.


4



5.09.2011.

1. Jelena i �ena majka imaju zajedno 60 godina. Koliko godina ima Jelena akoje majka imala 22 godine kad se rodila Jelena?

2. Uprostiti izraza3 + b3

(a+ b)(a2 − b2)+

2b

a+ b− ab

a2 − b2.

3. Odrediti kompleksan broj

(1 + i√

2

)2011

.

4. Dokazati da jednaqina (m2+5)x2+2(m+3)x+3 = 0 nema realnih rjexe�ani za jednu vrijednost realnog parametra m.

5. Rijexiti jednaqinu√x+ 1 +

√x− 1 =

√3x+ 1.

6. Rijexiti jednaqinu 2x+1 − 2x − 2x−1 = 4.

7. U trouglu ABC je ∠BAC = 30◦, AC = 2 i BC =√2. Odrediti ∠ABC.

8. Rijexiti jednaqinu 4 sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.

9. Odrediti koordinate tjemena B i D kvadrata ABCD ako je A(2, 1) i C(4, 5).

10. Kru�nica sa centrom u taqki S(3,−1) odsijeca na pravoj 2x− 5y+18 = 0tetivu du�ine 6. Na�i jednaqinu ove kru�nice.


5



2.07.2012.

1. Cijena nekog proizvoda pove�ana je za 25%. Za koliko procenata trebasma�iti novu cijenu da bi se dobila stara cijena?

2. Uprostiti izraz

((a+ b)2

ab− 1

)·((a+ b)2

ab− 4

)· ab

a3 − b3.

3. Odrediti realni parametar m tako da jednaqine 2x2 + (m − 1)x + 1 = 0 i8x2 + (3m− 1)x+ 3 = 0 imaju zajedniqki korijen.

4. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy = 4, xy − y2 = 3.

5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 >√x2 − 7x− 8 .

6. Rijexiti jednaqinu log7 2 + log49 x = log1/7√3 .

7. Rijexiti jednaqinu 2 cos2 x+ cos 4x = 0.

8. Odrediti ostale stranice i uglove trougla ABC ako je a =√3 , b =

√2 i

α = 60◦.

9. Na�i ortogonalnu projekciju taqke M(11, 0) na pravu 2x− 3y + 4 = 0.

10. Odrediti tangente kru�nice x2+y2−2y = 0 koje prolaze kroz taqku C(2, 2).


6



3.09.2012.

1. Udaenost dva grada je 588 kilometara. Brzi voz pre�e tu udaenost za2 qasa i 20 minuta prije nego putniqki. Kolika je brzina svakog od ovihvozova ako se �ihove brzine razlikuju za 21 km/h?

2. Uprostiti izraza

a− x+

3a

a+ x− 2ax

a2 − x2.

3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja3 + i

(1 + i)(1− 2i).

4. U jednaqini x2 − x + m = 0 odrediti parametar m tako da zbir kubova�enih rjexe�a bude jednak 7.

5. Rijexiti jednaqinu√x− 7 +

√x+ 5 =

√2x+ 14 .

6. Rijexiti nejednaqinu 2x + 21−x < 3 .

7. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x = cosx+ cos 2x.

8. Izraqunati uglove paralelograma qije stranice imaju du�ine 7 i 8, a jednadijagonala ima du�inu 13.

9. Na pravoj 3x+ 4y− 14 = 0 na�i taqku jednako udaenu od taqaka A(−1, 6) iB(2,−3).

10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz koordinatni poqetak, aprave 3x− 4y + 8 = 0 i 3x+ 4y + 8 = 0 su joj tangente.


7



24.09.2012.

1. Svje�e gro��e sadr�i 80% vode, a suvo sadr�i 12% vode. Koliko kilogramasvje�eg gro��a treba za 20 kilograma suvog gro��a?

2. Uprostiti izrazxy

x+ y·(1

x+

1

y

)− xy

x− y·(1

x− 1

y

).

3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja2 + i

1 + i+

2− i1− i

.

4. Odrediti za koju vrijednost realnog parametra m je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+ 2m− 1 = 0 jednak 2.

5. Rijexiti nejednaqinu√6 + x− x2 < x.

6. Rijexiti jednaqinu 3x+1 − 3x = 2 · 9x−1.

7. Rijexiti jednaqinu cosx+ cos 3x = 1 + cos 4x.

8. Odrediti uglove paralelograma qije stranice imaju du�ine 7 i 8, a jednadijagonala ima du�inu 13.

9. Date su taqke A(−1, 1), B(2,−2) i H(1, 0). Odrediti taqku C tako da Hbude ortocentar trougla ABC.

10. Odrediti parametar m da prava 2x+ 2y −m = 0 bude tangenta kru�nicex2 − 2x+ y2 − 2y − 2 = 0.


8



1.07.2013.

1. Cijena nekog proizvoda je sma�ena za 20%. Za koliko procenata trebapove�ati novu cijenu da bi se dobila prvobitna cijena?

2. Dokazati da je (2−√3)(√6 +√2)√√

3 + 2 = 2 .

3. Uprostiti izraz(a3 − b3

):

(a+ b− ab

a+ b

)−(a3 + b3

):

(a− b+ ab

a− b

).

4. Za koje vrijednosti realnog parametram jednaqina (3m+1)x2−2x+2m−1 =0 ima ko�ugovano kompleksne korijene?

5. Rijexiti nejednaqinu |x+ 1| ≥ 2|x+ 2| .

6. Rijexiti jednaqinu logx 4 + logx 2− log4√x = 1 .

7. Dokazati identitet 3(sin4 α + cos4 α)− 2(sin6 α + cos6 α) = 1.

8. Rijexiti jednaqinu sin4 x+ cos4 x =7

2sinx cosx.

9. Date su taqke A(−3, 0) i B(2, 0). Na pravoj 3x − 2y + 2 = 0 odrediti taqkuC tako da povrxina trougla ABC bude jednaka 10.

10. Iz taqke A(4, 2) konstruisane su tangente na kru�nicu x2+y2 = 10. Izraqu-nati ugao izme�u �ih.


9



2.09.2013.

1. Razlika kubova dva uzastopna cijela broja jednaka je 1801. Odrediti tebrojeve.

2. Za −1 < x < 0 uprostiti izraz

√x− 1

x+ 1+

1

(x+ 1)2.

3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja

(3

2 + 2i+

1 + i

4i

)6

.

4. Odrediti parametar m tako da zbir reciproqnih vrijednosti korijena jed-

naqine x2 − 2mx+ 3m− 1 = 0 bude jednak3

4.

5. Rijexiti jednaqinu√x− 3 +

√x+ 3 =

√2x+ 8 .

6. Rijexiti nejednaqinu1

5− logx+

2

1 + log x< 1 .

7. Rijexiti jednaqinu sin 2x+ tgx = 2.

8. Ako u trouglu ABC va�i jednakost a = 2b cos γ, dokazati da je on jed-nakokraki.

9. Dokazati da su taqkeA(6, 1), B(5, 4) i C(−1, 2) tri tjemena nekog pravougaonikai odrediti koordinate �egovog qetvrtog tjemena D.

10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 = 5 koje prolaze kroz taqku (1, 3).


10



23.09.2013.

1. Cijena pantalona je 104 marke. One su prvo poskupile 20% pa su zatimpojeftinile 20%. Odrediti novu cijenu pantalona.

2. Izraqunati

√3− 2

√2√

17− 12√2−

√3 + 2

√2√

17 + 12√2.

3. Uprostiti izraz

(a− ba+ b

− a+ b

a− b

):

(a2 − b2

a2 + b2− a2 + b2

a2 − b2

).

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m �e oba korijena jedna-qine x2 − 7x+ 2m− 4 = 0 biti pozitivna.

5. Rijexiti sistem jednaqinax

y+y

x=

37

6, x+ y =

21

8.

6. Rijexiti nejednaqinu√6 + x− x2 > 1− x.

7. Rijexiti nejednaqinu log 5x ≥ log 25(3x− 2).

8. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x = cosx+ cos 2x.

9. Na�i taqku B simetriqnu taqki A(3, 1) u odnosu na pravu x− 2y + 2 = 0.

10. Iz taqke A(2, 4) konstruisane su tangente na kru�nicu x2+y2 = 10. Izraqu-nati ugao izme�u �ih.


11



30.06.2014.

1. Jedan radnik uradi posao za 40 dana a drugi za 24 dana. Za koliko dana �euraditi posao zajedno?

2. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja(1 + i)10

(1 + i)8 + i(1− i)6.

3. Uprostiti izraz

(a3 − b3

a3 + b3− a− ba+ b

)·(a2 + b2

a2 − b2+a− ba+ b

).

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m korijeni x1 i x2 jedna-qine mx2 + 2(m− 1)x− 4 = 0 zadovoavaju uslov x1 < 3 < x2.

5. Rijexiti nejednaqinu√5− 2x < 6x− 1 .

6. Rijexiti jednaqinu log2 x+ 4 log4 2x− 2 log8 x =20

3.

7. Rijexiti jednaqinu tgx+ ctgx = 3 + 2 sin 2x.

8. Zbir uglova pod kojim se sa 100, 200 i 300 metara udaenosti od podno�javidi tora� koji stoji na horizontalnoj ravni je 90◦. Odrediti visinutor�a.

9. Odrediti koordinate ortocentra trougla ABC ako su �egova tjemenaA(−5, 5), B(1, 2) i C(4,−2).

10. Odrediti jednaqinu prave koja prolazi kroz taqku A(3,−1) i na kru�nicix2 + y2 = 2 odsijeca tetivu du�ine 2.


12



1.09.2014.

1. Pri dijee�u prirodnog broja x sa prirodnim brojem y dobija se koliqnik4 i ostatak 10. Odrediti te brojeve ako je �ihov zbir 100.

2. Dokazati da je

√3 + 2

√2

17 + 12√2−

√3− 2

√2

17− 12√2cio broj i odrediti taj broj.

3. Uprostiti izraz

(a2 − b2

c+b2 − c2

a+c2 − a2

b

):

(a− bc

+b− ca

+c− ab

).

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m oba korijena jednaqine4x2 − 2x+m = 0 pripadaju intervalu (−1, 1).

5. Rijexiti jednaqinu√2x+ 1 +

√3x+ 1 =

√5x+ 2 .

6. Rijexiti nejednaqinu log3 x+ log3(x− 2) ≥ 1.

7. Rijexiti jednaqinu sin4 x− cos4 x = cosx.

8. Odrediti uglove trougla ABC ako su �egove stranice a =√6, b = 2

√3 i

c = 3−√3.

9. Odrediti koordinate tjemena A i C kvadrata ABCD ako je B(0, 1) i D(4, 3).

10. Odrediti jednaqinu kru�nice qiji je centar u taqki C(0,−5) i kojadodiruje pravu 4x+ 3y − 10 = 0.


13



22.09.2014.

1. Cijena nekog proizvoda je pove�ana najprije za 20%, a zatim jox za 10%i sada taj proizvod koxta 33 KM. Kolika je bila poqetna cijena togproizvoda?

2. Izraqunati

(15√6 + 1

+4√6− 2

+12√6− 3

)· (√6 + 11) .

3. Rijexiti jednaqinu2x+ 1

x2 + x− 6− x− 1

x2 − 5x+ 6=

6

x2 − 9.

4. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametram jednaqine x2−3x+m+1 =0 i x2 − 4x+ 2m+ 1 = 0 imaju zajedniqki korijen.

5. Rijexiti sistem jednaqina x2 + y = 7, x+ y2 = 7.

6. Rijexiti jednaqinu 7 · 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3.

7. Rijexiti nejednaqinu cos 2x > cosx− sinx.

8. U krug polupreqnika R upisan je trougao qija su dva ugla 15◦ i 60◦. Odred-iti povrxinu trougla.

9. Date su taqke A(9, 2) i B(2, 6). Na x−osi odrediti taqku M tako da va�iAM ⊥ BM .

10. Odrediti jednaqinu kru�nice sa centrom u presjeku pravih x− 2y + 4 = 0i 3x+ y − 9 = 0, koja dodiruje pravu 3x+ 4y + 2 = 0 .


14



29.06.2015.

1. Od radnika nekog preduze�a 35% su �ene. Broj muxkaraca je za 210 ve�i odbroja �ena. Koliko radnika ima u preduze�u?

2. Uprostiti izraza4 − (a− 1)2

(a2 + 1)2 − a2+a2 − (a2 − 1)2

a2(a+ 1)2 − 1+a2(a− 1)2 − 1

a4 − (a+ 1)2.

3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m je razlika kvadrata ko-rijena jednaqine 8x2 −mx+ 3 = 0 jednaka 5/16.

4. Rijexiti sistem jednaqina x2 + xy = 28, xy + y2 = −12.

5. Rijexiti nejednaqinu√4x+ 13 >

√x+√x+ 7.

6. Rijexiti jednaqinu1

5− log 2 x+

2

1 + log 2 x= 1.

7. Rijexiti jednaqinusin 3x

sinx+

cos 3x

cosx=

5

2+ cos 4x.

8. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja3 + 4i

(1 + i)(1 + 2i).

9. Taqke A(2, 1) i B(4, 9) su dva tjemena trougla, a H(3, 4) je �egov ortocentar.Odrediti jednaqine pravih kojim pripadaju stranice tog trougla.

10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja dodiruje koordinatne ose i koja izvanadodiruje kru�nicu x2 + y2 − 10x− 12y + 52 = 0.


15



31.08.2015.

1. Ako je prije 5 godina otac bio 5 puta stariji od sina, i ako �e poslije 3godine biti 3 puta stariji od sina, koliko je godina ocu a koliko sinu?

2. Dokazati da je√

34− 24√2−

√34 + 24

√2 cio broj. Koji je to broj?

3. Uprostiti izraza3

a− 1− a2

a+ 1− 1

a− 1+

1

a+ 1.

4. Odrediti sve vrijednosti realnog parametra m tako da rjexe�a jednaqine(m− 2)x2 + 2(2m− 3)x+ 5m− 6 = 0 budu realna.

5. Rijexiti nejednaqinu√5x− x2 < |2− x| .

6. Rijexiti jednaqinu log2(2x − 3) = 2− x.

7. U trouglu ABC je γ = 60◦. Dokazati da je c ≥ a+ b

2.

8. Rijexiti jednaqinu sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.

9. Date su taqke A(7, 2) i B(0, 6). Na x−osi odrediti taqku C tako da budeAC ⊥ BC.

10. Dokazati da se oko qetvorougla ABCD qija su tjemena A(5, 4), B(2, 5),C(−3, 0) i D(−2,−3), mo�e opisati kru�nica i odrediti jednaqinu tekru�nice.


16



28.09.2015.

1. U dva bureta ima ukupno 140 litara vina. Ako iz prvog bureta prelijemo 1/5�egovog sadr�aja u drugo bure, onda �e u oba bureta biti jednake koliqinevina. Koliko je litara vina bilo na poqetku u drugom buretu?

2. Uprostiti izrazx3 + 2x2 − x− 2

x3 − 2x2 − x+ 2· a+ a2

a+ 1· x− 2

x+ 2.

3. Odrediti za koje vrijednosti parametra m �e sistem jednaqinax2 − y2 = m, x+ 2y = 1 imati jedinstveno rjexe�e.

4. Rijexiti nejednaqinu x ≤ 3− 1

x− 1.

5. Odrediti realne brojeve a i b tako da 1 + i bude korijen polinomaP (x) = x4 − x2 + ax+ b.

6. Rijexiti jednaqinu log2(x− 1) + log2x = 1.

7. Stranice trougla imaju du�ine 3, 5 i 7. Odrediti najve�i ugao tog trougla.

8. Rijexiti jednaqinu cos6 x− sin6 x =13

8cos2 2x .

9. Na pravoj 3x + 2y − 5 = 0 odrediti taqku koja je podjednako udaena odtaqaka A(−1,−3) i B(3, 1).

10. Na�i jednaqine zajedniqkih tangenti kru�nica x2+y2 = 2 i (x−2)2+y2 =8.


17



27.06.2016.

1. Put od mjesta A do mjesta B brzi voz prelazi za vrijeme t. Zbog zastojana trasi voz je krenuo iz mjesta A sa jednim satom zakax�e�a. Zbog togaje pove�ao predvi�enu brzinu za 20% i u mjesto B stigao po redu vo��e.Odrediti t.

2. Odrediti realne brojeve a i b tako da polinom P (x) = x4 + x3 + x2 + ax+ bbude djeiv sa x2 − 1.

3. Uprostiti izraz

(1− a− b

a+ b

)· a

2 − abab− b2

:

(1 +

a− ba+ b

).

4. Data je jednaqina1

x−m+

1

x− 2m= 2 , gdje je m realan parametar, m 6= 0.

Dokazati da su rjexe�a x1 i x2 date jednaqine realni brojevi za svako m,

m 6= 0. Odrediti sve vrijednosti parametra m tako da bude1

x1+

1

x2= 2.

5. Rijexiti jednaqinu√5x+ 2−

√3x− 2 =

√x+ 2.

6. Rijexiti nejednaqinu1

log x+

1

1− log x> 4.

7. Dokazati da je cos 40◦ + cos 80◦ = cos 20◦.

8. Rijexiti jednaqinu tg 3x− tgx = 4 sin x.

9. Date su jednaqine pravih x + y − 2 = 0 i 9x − 3y − 4 = 0 kojima pripadajudvije visine trougla ABC i tjeme A(2, 2) ovog trougla. Odrediti jednaqinuprave kojoj pripada tre�a visina trougla ABC.

10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja prolazi kroz koordinatni poqetak idodiruje prave 2x+ y − 9 = 0 i x− 2y − 2 = 0.


18



29.08.2016.

1. Iz mjesta A u mjesto B autobus sti�e po redu vo��e kre�u�i se konstantnombrzinom v. Vozaq autobusa je izraqunao da bi brzinom 60 km/h u mjesto Bstigao pola sata kasnije, a brzinom 90 km/h bi stigao pola sata ranije.Odrediti v.

2. Neka je a =3√

2 +√5 +

3√

2−√5 . Pokazati da va�i a3 = 4 − 3a, pa na

osnovu toga dokazati da je3√

2 +√5 +

3√

2−√5 = 1.

3. Uprostiti izraz

(1

x2− 1

y2

)(x− yx+ y

− 1

):

((x− yx+ y

+ 1

)(x

y− y

x

)).

4. Rijexiti nejednaqinu

√x2

4− x

3+

1

9<x

3− 1

6.

5. Rijexiti sistem jednaqina x+ xy + y = 11, x2y + xy2 = 30.

6. Rijexiti nejednaqinu 5x−1 + 3 · 5x < 10 · 2x+1.

7. Vrt ima oblik pravougaonika sa tjemenima A, B, C i D. U vrtu rastetrex�a. Ona je od tjemena A udaena 7 metara, od tjemena B 11 metara i odtjemena C 9 metara. Koliko je trex�a udaena od tjemena D?

8. Dokazati da je sin 20◦ + sin 40◦ = sin 80◦.

9. Rijexiti jednaqinu1 + tg x

1− tgx= 1 + sin 2x.

10. Odrediti jednaqinu kru�nice upisane u trougao ABC qija su tjemenaA(4, 0), B(0, 3) i C(0, 0).


19



26.06.2017.

1. Dat je razlomak3x3

554, gdje je x neka dekadna cifra. Ako se od �egovog

brojioca oduzme prirodan broj n, a imeniocu doda isti taj broj n, dobijeni

razlomak �e biti jednak2

7. Na�i x i n.

2. Uprostiti izraz(m+ n)2 + (m− n)2

(m+ n)2 − (m− n)2·(m2 + n2

m2 − n2− m2 − n2

m2 + n2

)·(mn− n

m

).

3. Neka je a =3√

9 + 4√5 +

3√

9− 4√5 . Pokazati da va�i a3 = 18 + 3a, pa na

osnovu toga dokazati da je3√

9 + 4√5 +

3√

9− 4√5 = 3.

4. Iz mjesta A je u 6 qasova krenuo automobil ka mjestu B udaenom 120 kmbrzinom 60 km/h. Sat kasnije iz mjesta B krenuo mu je u susret kamion kojiide brzinom 40 km/h. U koje vrijeme �e se automobil i kamion sresti?

5. Neka su p i q realni parametri razliqiti od nule. Dokazati da jednaqina1

x+

1

x+ p=

1

qima dva realna i razliqita rjexe�a.

6. Rijexiti jednaqinu√4− 6x− x2 = x+ 4.

7. Rijexiti nejednaqinu log3 x+ log9 x+ log27 x ≤11

4.

8. Rijexiti jednaqinu 2 cos 2x+ 8 cosx+ 5 = 0.

9. Odrediti ostale stranice i uglove trougla ABC ako je a = 2 , b = 1 +√3

i γ = 30◦.

10. Na�i jednaqinu kru�nice koja sadr�i taqku A(3, 1) i koja dodiruje pravux− y = 0 u koordinatnom poqetku.


20



4.09.2017.

1. Ako izme�u cifara dvocifrenog broja upixemo nulu dobija se trocifrenibroj koji je 9 puta ve�i od datog dvocifrenog broja. Na�i taj dvocifrenibroj.

2. Uprostiti izraz

(1 + a

1− a− 1− a

1 + a

):

(a

1− a2+

a

1 + a2

).

3. Neki qovjek je kre�u�i se qamcem nizvodno po rijeci prexao put od 20 kmizme�u mjesta A i B za 10 qasova. Na�i brzinu toka rijeke ako se zna da tajqovjek za isto vrijeme prelazi 2 km uzvodno i 3 km nizvodno.

4. Odrediti skup svih vrijednosti realnog parametra m tako da oba rjexe�akvadratne jednaqine x2 + 6x+m = 0 budu negativna.

5. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy + y2 = 7, x2 + xy + y2 = 19.

6. Rijexiti jednaqinu 5 · 2x + 3 · 2x+1 − 2x+2 = 21.

7. Izraqunati povrxinu jednakokrakog trapeza qije su dijagonale uzajamnonormalne, a du�ina visine je 2.

8. Dokazati identitet sin 3x = 4 sin x sin(60◦ + x) sin(60◦ − x).

9. Odrediti jednaqinu kru�nice koja sadr�i taqke A(1, 1) i B(−2, 2) a centarjoj se nalazi na x−osi.

10. Na koliko naqina mogu da stanu u vrstu tri djeqaka i qetiri djevojqice ada dvije osobe istog pola ne stoje jedna pored druge?


21



25.09.2017.

1. Odrediti dvocifreni broj koji je tri puta ve�i od zbira svojih cifara.

2. Uprostiti izrazx+ 1

2x− 2− x− 1

2x+ 2− 4x

x2 − 1+x2 + 1

x2 − 1.

3. Rijexiti nejednaqinu |2x− 3| − |x+ 1| ≥ 5x− 10.

4. Na�i vrijednost realnog parametra m za koju je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx+m− 3 = 0 najma�i.

5. Rijexiti jednaqinu 3√8 + x+ 3

√8− x = 1.

6. Rijexiti jednaqinu log6(5 + 6−x) = x+ 1.

7. U trouglu ABC u kome je AB = 4 i BC = 3 te�ixne du�i AM i CN sesijeku pod pravim uglom. Izraqunati du�inu stranice AC.

8. Rijexiti jednaqinu 8 cos4 x = 11 cos 2x− 1.

9. Odrediti modul i argument kompleksnog broja z = i+1 + i

2 + i+

1− i3− i

.

10. Odrediti jednaqinu kru�nice koja dodiruje kru�nicu x2+y2+4x−2y+1 =0 a centar joj je u taqki S(2, 4).


22



2.07.2018.

1. Poslije pove�a�a cijene ulaznice broj gledalaca fudbalske utakmice sesma�io za 20% i prihod se sma�io za 12%. Za koliko procenata je pove�anacijena ulaznice?

2. Zbir realnih brojeva a, b, c razliqitih od nule jednak je nuli. Odrediti

vrijednost izraza1

a2 + b2 − c2+

1

b2 + c2 − a2+

1

c2 + a2 − b2.

3. Odrediti parametar m tako da zbir reciproqnih vrijednosti korijena jed-naqine x2 − 2(m− 1)x− 5m+ 1 = 0 bude jednak jedinici.

4. Rijexiti sistem jednaqina x2 + y2 = 3(x− y), xy = (x− y)2.

5. Rijexiti nejednaqinux+ 5

x− 1< x+ 1.

6. Rijexiti jednaqinu log |x|+ log(x+ 2) = 0.

7. U pravouglom trouglu ABC je CD visina na hipotenuzu AB, taqka M jesredixte du�i CD i taqka N sredixte du�i BD. Dokazati da je AM ⊥CN .

8. Rijexiti jednaqinu cos8 x− sin8 x =1

2

(cos 2x− cos2 2x

).

9. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja

(−1 + i√3)15

(1− i)20− (1 + i

√3)15

(1 + i)20.

10. Na�i jednaqinu kru�nice koja dodiruje pravu x−y−2 = 0 u taqki A(1,−1)i prolazi kroz taqku B(3, 0).


23



7.09.2018.

1. Na�i sve dvocifrene brojeve koji su za 10 ve�i od trostrukog zbira svojihcifara.

2. Uprostiti izraza+ b

(c− a)(c− b)+

b+ c

(a− b)(a− c)+

c+ a

(b− c)(b− a).

3. Odrediti sve vrijednosti parametra m tako da zbir kvadrata korijena jed-

naqine (m+ 1)x2 − 2mx+m− 1 = 0 bude jednak10

9.

4. Rijexiti sistem jednaqina x2 − xy + y2 = 7, x2 + xy + y2 = 13.

5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 <√x+ 6.

6. Rijexiti jednaqinu 3√log3 x− log3 3x− 1 = 0.

7. Dat je pravougaonik sa stranicama a i b (a > b) i oxtrim uglom ϕ izme�u

�egovih dijagonala. Dokazati da je tgϕ =2ab

a2 − b2.

8. Rijexiti jednaqinu ctgx+√2 sinx = 0.

9. Izraqunati

(1 + i

1 + i√3

)30

.

10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 − 10y = 0 koje prolaze kroz taqku(−1,−2).


24



24.09.2018.

1. Ako izme�u cifara dvocifrenog broja upixemo nulu dobija se trocifrenibroj koji je 7 puta ve�i od datog dvocifrenog broja. Na�i taj dvocifrenibroj.

2. Uprostiti izraza3 + b3

a− b+ ab

a− b

− a3 − b3

a+ b− ab

a+ b

.

3. Na�i vrijednost realnog parametra m za koju je zbir kvadrata korijenajednaqine x2 −mx−m− 3 = 0 najma�i.

4. Rijexiti sistem jednaqina x+ y − xy = 1, x2 + y2 − xy = 3.

5. Rijexiti nejednaqinu√2x2 − 3x− 5 < x− 1.

6. Rijexiti jednaqinu 2x + 21−x = 3.

7. Odrediti vrijednost izraza tgx+ ctgx ako je

sinx+ cosx

sinx cosx= m (0 < x <

π

2, m ∈ R).

8. Rijexiti jednaqinu 1− cosx = sin 2x− sinx.

9. Izraqunati

(1 + i

√3

1 + i

)30

.

10. Odrediti tangente kru�nice x2 + y2 + 10y = 0 koje prolaze kroz taqku(−1, 2).


25



1.07.2019.

1. Poslije sni�e�a cijene ulaznica za 25% broj gledalaca fudbalske utakmiceje porastao za 40%. Za koliko procenata je porastao prihod od ulaznica?

2. Rastaviti na qinioce polinom x(y2 − z2) + y(z2 − x2) + z(x2 − y2).

3. Uprostiti izraz

√x+

√x2 − y2 −

√x−

√x2 − y2

√x− y

, za x > y > 0.

4. Za koje vrijednosti parametra m je razlika korijena jednaqine 2x2 −mx+m+ 2 = 0 jednaka jedinici?

5. Rijexiti nejednaqinu x− 6 <√x+ 6.

6. Rijexiti jednaqinu log3(x+ 4) + log3(x− 1) = 1 + log3 2.

7. Dokazati da taqke simetriqne ortocentru trougla u odnosu na �egove stran-ice le�e na opisanoj kru�nici trougla.

8. Rijexiti jednaqinu 4 sin4 x+ 7 cos 2x = 1.

9. Kompleksan broj (−√3 + i)5 predstaviti u trigonometrijskom obliku.

10. Odrediti jednaqine zajedniqkih tangenti kru�nica x2+ y2 = 4 i x2+ y2−4y + 3 = 0.


26



9.09.2019.

1. Za 3 sata jedan qovjek je prexao 3, 5 km vixe od drugog, tako xto je 1 kilo-metar prelazio za minutu br�e. Za koliko minuta je svaki od �ih prelazio1 km?

2. Uprostiti izrazx3 − 8

x2 + 2x+ 4− x4 − 1

x3 + x2 + x+ 1.

3. Odrediti realne brojeve x i y tako da (1,√x,√y) i (1, x − 1, y − x) budu

troqlane aritmetiqke progresije.

4. Odrediti parametar k tako da jedan korijen jednaqine x2−(2k+1)x+k2+2 =0 bude dva puta ve�i od drugog �enog korijena.

5. Rijexiti jednaqinu√20− 2x = |x+ 2|.

6. Rijexiti nejednaqinu log 2

x− 2

x− 3+ log 2 x < 3.

7. Produ�eci krakova AD i BC trapeza ABCD sijeku se u taqki E. Dokazatida se kru�nice opisane oko trouglova ABE i CDE dodiruju u taqki E.

8. Izraqunati (sinα− cosα)(sin β− cos β) ako je sin(α+β) = 1/2 i cos(α−β) =1/3.

9. Rijexiti jednaqinu 1 + 2 sin 2x− 2 cos 2x = tgx.

10. Odrediti sve vrijednosti parametra a > 0 tako da se kru�nice (x− 3a)2 +(y − a)2 = 9a2 i (x− 3)2 + (y − 2)2 = 9 dodiruju.


27



27.09.2019.

1. Dva tijela se kre�u ravnomjerno po kru�noj stazi u istom smjeru. Prvotijelo prelazi jedan krug za 3 sekunde br�e od drugog tijela i dosti�e gaza 90 sekundi. Za koje vrijeme svako tijelo prelazi jedan krug?

2. Odrediti (bez upotrebe kalkulatora) koji je od brojeva a = 2( 3√3 + 3√4) i

b = 3√23 + 3

√33 ve�i.

3. Na�i sve vrijednosti parametra m za koje jednaqinamx− 5

x− 1= x− 4 ima

jedinstveno rjexe�e.

4. Rijexiti sistem jednaqina x3y + xy3 = 30, x2 + y2 = 10.

5. Rijexiti nejednaqinu√5x− x2 ≥ x− 2.

6. Rijexiti jednaqinu log 3 (1 + x) = log 27 (1 + 7x).

7. Na kru�nici polupreqnika 4 date su taqke A, B i C takve da je AB = ACi ∠BAC = 60◦. Na�i rastoja�e centra O te kru�nice od prave BC.

8. Rijexiti jednaqinu 11 sinx+ 3 cos 2x = 7.

9. Neka je ϕ realan broj i z =5 + 4 cosϕ

2 + cosϕ+ i sinϕ. Dokazati da va�i zz =

2z + 2z − 3.

10. U presjeqnim taqkama prave 3x+y−5 = 0 i kru�nice x2+y2−2x+6y+5 = 0konstruisane su tangente na datu kru�nicu. Odrediti ugao izme�u tihtangenata.


Documents

Kvalifikacioni ispit iz matematike · 9. Na i ortogonalnu projekciju taqke M(11;0) na pravu 2x 3y+4 = 0. 10. Odredititangentekru nice x 2+y 2y= 0 kojeprolazekroztaqku C(2;2). Svaki