38

Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Konjug�al�as �es hatv�anyoz�as v�eges csoportokban

Heged�us P�al

V� matematikus

T�emavezet�oP�alfy P�eter P�al egyetemi docens

ELTE� ����� Budapest

Page 2: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Tartalomjegyz�ek

� Bevezet�o �

� De�n��ci�ok �es alaptulajdons�agok �

� Reprezent�aci�o�elm�eleti seg�edeszkozok

� A f�o eredm�enyek ��

Egy�eb eredm�enyek ��

Weyl�csoportok �

� Megjegyz�esek �

Irodalomjegyz�ek �

Page 3: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

� Bevezet�o

Ez a szakdolgozat azzal a k�erd�eskorrel foglalkozik� hogy mit jelent egy csoport strukt�ur�aj�ara n�ezve egy olyan kikot�es� hogy minden elem konjug�alt egyrogz��tett kitev�oj�u hatv�any�aval�

Az eg�esz egy �altalam megoldatlan z�arthelyi feladat nyom�an vet�odott fel�amely azt �all��totta� hogy v�eges esetben csak a trivi�alis csoportban konjug�altminden elem a n�egyzet�evel� K�es�obb ezt a feladatot m�egis megoldva otlott fela k�erd�es� Milyen v�eges csoportokban konjug�alt minden elem a kob�evel Av�alasz nem ad struktur�alis feleletet� de m�egis el�eg j�ol �korl�atozza� a csoportot� Kett�o� illetve h�arom helyett tetsz�oleges nnel nem sikerult a feloldhat�oesetben sem hasonl�o v�alaszt adni� csup�an m�eg n � � eset�en�

Az �altal�anos k�erd�esre is sikerult azonban j�o v�alaszt adni azzal az er�osebbkikot�essel� hogy a csoport legyen feloldhat�o �es val�os� azaz minden elem konjug�alt legyen az inverz�evel�

A szakdolgozat fejezetei�

Alaptulajdons�agok Itt n�eh�any alapvet�o de�n��ci�o �es t�eny szerepel�

Reprezent�aci�o�elm�elet Mivel a k�erd�eskor f�o megkozel��t�esi ir�anya a reprezent�aci�oelm�elet���gy sz�amos seg�ed�all��t�asra �es bizony��t�asra van szuks�eg�Ezeket tartalmazza ez a fejezet�

F�o eredm�enyek Ez mag�a�ert besz�el�

Egy�eb eredm�enyek Itt a t�emakorrel szorosan osszefugg�o� de bizony��t�asn�elkuli t�etelek szerepelnek�

Weyl�csoportok Itt a Weylcsoportok karaktert�abl�aj�anak eg�esz volt�ar�ol��es ennek okair�ol esik sz�o�

Megjegyz�esek Ez a k�erd�eskor �tort�enelm�et�� illetve a felmerult k�erd�esekettartalmazza�

Ez�uton szeretn�ek koszonetet mondani a Lehrstuhl D fur Mathematik RWTHAachen munkat�arsainak� �es a TEMPUS Computer Algebra Projektj�enek�ami�ert lehet�ov�e tett�ek� hogy Aachenban toltsek � h�onapot� �es e szakdolgozategy r�esz�et ott elk�esz��thessem�

Page 4: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Ezenk��vul koszonetet mondok P�alfy P�eter P�al t�emavezet�omnek ezen szakdolgozat elk�esz��t�es�ehez ny�ujtott sok seg��ts�eg�e�ert� �es a kit�un�o egyetemi el�oad�asai�ert� valamint Pelik�an J�ozsefnek� aki a csoportelm�eletet megszerettettevelem az els�o k�et egyetemi �evem sor�an tartott� szint�en kit�un�o el�oad�asokkal�

� De�n��ci�ok �es alaptulajdons�agok

De�n��ci�o � Legyen G v�eges csoport� A csoport konjug�aci�os hatv�anysz�am�a�nak nevezz�uk� �es cp�G��vel jel�olj�uk a minf� � nj�g � G�re g � gng kitev�ot�Itt� �es a tov�abbiakban is � a konjug�alts�agot jelenti�

A de�n��ci�o �ertelmes v�egtelen csoportra is� de mivel ezen szakdolgozatbanminden csoport v�eges lesz� ��gy felesleges lenne az �altal�anos��t�as� V�eges csoportra a minimum v�eges� cp�G� � jGj� ��

De�n��ci�o � Legyen G v�eges csoport� H � ZZ tetsz�oleges halmaz� Ekkor Gegy H� cp�csoport� ha �g � G�re� �es �n � H�ra g � gn� Ha H � fng� akkorfng � cp�csoport helyett n � cp�csoportot ��rok�

Vil�agos� hogy speci�alisan G egy cp�G� � cpcsoport� Egy G v�eges csoportra� � cp�G� � jGj � �� A k�et extr�emumot karakteriz�alja az al�abbi k�et t�etel�

T�etel � cp�G� � �� jGj � ��

Bizony��t�as �� A jobbr�ol balra ir�any trivi�alis� a m�asikat l�atom be� Hacp�G� � �� akkor jGj p�aratlan� M�asr�eszt �gx � g� � x��gx� azaz g ��g� x� � G

�� ��gy G � G

�� �es a FeitThompson t�etel szerint jGj p�aros� vagy

G � �� �es ezzel k�esz�pp

Miut�an nagy�agy�uval lel�ottem a verebet� jojjon egy kellemesebb bizony��t�as is�

Bizony��t�as �� Legyen p a G rendj�enek legkisebb pr��moszt�oja� Ha jGj ��� akkor p � �� Legyen tov�abb�a g � G pedrend�u elem� Erre trivi�alisan� � jfh � hgijh � ggj � p� hiszen g � g� benne vannak a halmazban�M�asr�eszt jfh � hgijh � ggj � jNG�hgi� � CG�hgi�j� ami osztja G rendj�et� �esez ellentmond�as�

pp

A bizony��t�asb�ol �altal�anosan kijott az is� hogy ha pj jGj minim�alis� akkorcp�G� � � �mod p��

Page 5: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

T�etel � cp�G� � jGj� � � G ciklikus�

Bizony��t�as A jobbr�ol balra ir�any mag�at�ol �ertet�od�o� a m�asikat mutatommeg� Mivel jGj � � � cp�G� �exp�G� � �� ��gy G exponense egyenl�o arendj�evel� vagyis G minden Sylowja ciklikus� Ekkor Zassenhaus j�ol ismertt�etele szerint G �� Za�Zb� a ciklikus gener�atorok� x� y� o�x� � a� o�y� �b� �a� b� � �� xy � xr olyan rrel� melyre ajrb��� de �a� r��� � �� �Az a � �a ciklikus csoport esete�� Legyen n a legkisebb pozit��v eg�esz� melyre n �� �mod b�� n � r �mod a�� Bel�atom� hogy minden csoportelem konjug�alt aznedik hatv�any�aval� Ezzel a bizony��t�as be is fog fejez�odni� hiszen n � jGj��csak a ciklikus esetben lehet� Legyen g � y�x� egy tetsz�oleges csoportelem�Bontsuk fel xet a ciklikus piSylowokb�ol ad�od�o szorz�ot�enyez�okre�

g � y�x��� x�kk �

valamint

gn � yn�x���r��r�������r�n������ � y�x

�������r�n�������� x�������r�n���� ��k

k �

Azt �all��tom� hogy van olyan � eg�esz� melyre gyx�

� gn� Ehhez az kellene�hogy

gn � �y�xr��x�

� y�xr�����r��� � y�xr������r����� xr�k����r���k

k �

ahol x� � x��� x�kk de�ni�alja �iket� Vagyis az kellene� hogy minden ire

x�������r�n���� ��ii � x

r�i����r���ii �

azazpaii j�� � � r�n������i � r�i � �� � r���i�

Ha itt pi nem osztja � � r�t� akkor trivi�alisan tal�alhatok j�o �it� Ha pedig

osztja� akkor y� centraliz�alja xpai��ii et� ��gy ennek mind a pai��

i darab pai��i

edik gyok�et is �x�alnia kell �pi� o�y�� � � miatt� vagyis azt kapom� hogypaii j� � r�� Ekkor viszont minden mre rm� � � �mod paii �� s v�egul

�� � � r�n������i � r�i � ��� r���i � n�i � r�i � � �mod paii ��

ahogyan kellett�pp

Page 6: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

L�athat�o �a bizony��t�asb�ol kiderul�� hogy az �all��t�as tobb�ekev�esb�e csal�as� hiszencp�G� �exp�G� � � is mindig j�o korl�at� azokat a csoportokat kellene klasszi�k�alni� amelyekre itt teljesul egyenl�os�eg� Ez a k�erd�es azonban osszehasonl��thatatlanul nehezebbnek t�unik� T�etel � �ugy lenne �eles��thet�o� hogy mik azoka csoportok� amelyekben cp�G� � minfp�jexp�G� pr��mg� �Nyilv�an enn�el nemlehet kisebb�� Ez is sokkal nehezebb k�erd�es� hiszen mag�aban foglalja az�ugynevezett �racion�alis� csoportok klasszi�k�aci�oj�at is� amelyr�ol k�es�obb leszm�eg sz�o�

A bizony��t�as kis m�odos��t�asa mutatja� hogy Zcsoportokra� vagyis ahola Sylowok ciklikusak cp�G� � minfn � �jn � � �mod b�� n � ri �moda� valamely ireg� E formula seg��ts�eg�evel v�alasz adhat�o olyan k�erd�esekreis� hogy milyen csoportokban lesz cp�G� � jGj � k valamilyen rogz��tettkra� Ugyanis� ha az exponens kisebb a rendn�el� akkor legfeljebb a fele���gy v�eges sok kiv�etelt�ol eltekintve csak Zcsoportokat kell vizsg�alnunk� amelyekre van formula� A v�alasz se teljes� se sz�ep nem lesz� ez�ert ki sem t�erek r�a��A k � � esetben a Kleincsoport tartozik a kiv�etelek koz�e� a p�aratlanfok�udi�edercsoportok pedig a Zcsoportok koz�e��

Most jojjon m�eg n�eh�any egyszer�u tulajdons�ag�

�All��t�as Ha NG� akkor cp�G�N� � cp�G�� s�ot� ha G egy H�cp�csoport�akkor G�N is az�

�All��t�as Ha N G� akkor cp�G�jG�N j � cp�N�� H � G�re cp�G�jG�H j� �cp�H��

Bizony��t�as Ha h � H� �es g � G olyan� hogy hg � hn� akkor hgk

� hnk

� Az�all��t�as most kovetkezik abb�ol� hogy ha NG� akkor minden elem jG � N jedikhatv�anya N ben van� illetve ha H � G� akkor minden elem jG � Hj�adikhatv�anya Hban van�

p

Enn�el tobb nem �all��that�o norm�aloszt�ora� Ugyanis tekintsuk p�eld�aul a G �hx� yjx�k���k�� � yk � �� xk�� � y��xyi �� Z�k���k���Zk csoportot� Ittcp�G� � k � � trivi�alis� hiszen kisebb nem lehet y miatt� de ez j�o is� �Direktkalkul�aci�o helyett eml�ekezhetunk T�etel � bizony��t�as�ara is�� M�asr�eszr�ol viszont N � hxi G ciklikus� cp�N� � �k � ��k� ezt osszehasonl��tva jG � N j �kval l�athat�o� hogy az �all��t�as t�enyleg pontos� �Megjegyzem� hogy k � �eset�en jGj � �� egy olyan csoport� amelynek konjug�aci�os hatv�anysz�ama ���es megvan az a kulonleges tulajdons�aga� hogy a maxim�alis r�eszcsoportjai

Page 7: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

p�aronk�ent nem izomorfak� Ilyen tulajdons�ag�u pcsoportot ezen k��vul csak aciklikusakat ismerem�� R�eszcsoportra nem tudom� hogy mennyire �eles a fentikorl�at�

B�ov��t�esr�ol az al�abbi sz�ol�

�All��t�as � K�et csoport direkt szorzata akkor �es csak akkor H� cp�csoport�ha mindk�et t�enyez�o az�

Itt sem �all��that�o tobb� a direkt szorzat m�eg szubdirektre sem cser�elhet�o�G � hx� yjx� � y� � �� y��xy � x��iben N� � hx�i� �es N� � hx�y�ik�et diszjunkt norm�aloszt�o� a szerintuk vett faktorcsoportok Q� illetve D��Mindkett�o konjug�aci�os hatv�anysz�ama �� m��g G�e ��

� Reprezent�aci�oelm�eleti seg�edeszkozok

Ebben a fejezetben n�eh�any kev�esb�e ismert t�eny mellett sok ismert szerepel�ha az olvas�o j�artas ezekben� �atugorhatja a bizony��t�asaikat�

�All��t�as � Ha karaktere G�nek� K � C a G�nek egy felbont�asi teste� �es� �Gal�K � Q�� akkor � is karakter� S�ot � permut�alja az irreducibiliskaraktereket�

Speci�alisan K � Q��� is vehet�o� ahol � � e��ijGj �Brauer t�etele�� Itt min

den relat��v automor�zmus egy jGjhez relat��v pr��m kitev�oj�u hatv�anyoz�as���gy minden automor�zmus hathat a konjug�altoszt�alyokon is� Ha �� � �k�akkor legyen �g�� � �gk�� �Itt �g� jeloli g konjug�altoszt�aly�at�� E k�et hat�askapcsolat�arol sz�ol Brauer Permut�aci�os Lemm�aja�

�All��t�as � Ha van k�et permut�aci�o� amely hat egy csoport irreducibilis karak�terein� illetve konjug�altoszt�alyain� �es a k�et hat�as a karaktert�abl�an ugyanaz�akkor a xpontok sz�ama is ugyanaz�

Bizony��t�as Legyen X a karaktert�abla� mint m�atrix� A a sorpermut�aci�okm�atrixa� B az oszloppermut�aci�ok m�atrixa� Ekkor a felt�etelunk szerint AX �XB� s X invert�alhat�o volta miatt A � XBX��� speci�alisan A �es B nyoma egyenl�o� De egy permut�aci�om�atrix nyoma egyenl�o a permut�aci�o �xpontsz�am�aval� ��gy �eppen a bel�atand�o �all��t�ast kaptuk�

p

Page 8: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

P�eld�aul az invert�al�as a konjug�altoszt�alyokon� �es a konjug�al�as a karakterekenugyanazt implik�alja a karaktert�abl�an �a komplex konjug�al�ast�� ��gy a val�osirreducibilis karakterek sz�ama �es a val�os konjug�altoszt�alyok sz�ama ugyanaz��Egy konjug�altoszt�aly val�os� ha x � x�� minden elem�ere�� �Altal�aban legyen�k� jGj� � �� Most a �� � �k automor�zmussal ��g� � �gk� jelentiazt� hogy � hat�asa az irreducibilis karaktereken� �es a �kadikra emel�es� akonjug�altoszt�alyokon ugyanazt induk�alj�ak a karaktert�abl�an� �Igy a kadikhatv�anyoz�asra z�art konjug�altoszt�alyok sz�ama �es a �invari�ans irreducibiliskarakterek sz�ama megegyezik� Ezt a gondolatmenetet sokszor fogom alkalmazni� f�oleg olyan kornyezetben� hogy az egyik permut�aci�o az identit�as� sekkor a m�asik is az�

A modul�aris karakterekkel egy kicsit m�as t��pus�u le��r�ast lehet adni�

�All��t�as �� Legyen p pr��m� q egy p�hatv�any� Ekkor a k�ovetkez�o �all��t�asokekvivalensek�

i IFq felbont�asi teste G�nek modulo p�

ii G�ben minden p�regul�aris elem konjug�alt a q�adik hatv�any�aval�

Bizony��t�as Gnek l�etezik v�eges felbont�asi teste modulo p� ami b�ovebb IFqn�al� mondjuk IFqn� Legyenek �� � � � � l az irreducibilis pmodul�aris karakterek �IFqn beli �ert�ekekkel�� valamint a pregul�aris oszt�alyok egy teljes reprezent�ansrendszere x�� � � � � xl� �Ezek sz�ama� mint ismeretes� szint�en l�� Miut�andet� i�xj�� � �� ��gy Brauer Permut�aci�os Lemm�aj�anak ��All��t�as �� bizony��t�asa erre az esetre is alkalmazhat�o a � � � �� �q testautomor�zmusra �es a konjug�altoszt�alyok qadik hatv�anyoz�as�ara� Vagyis azt kapom� hogy ha mindenirreducibilis pmodul�aris karakter �invari�ans� akkor minden pregul�aris elemkonjug�alt a qadik hatv�any�aval� �es viszont� Egy karakter pontosan akkor �invari�ans� ha �ert�ekei IFqba esnek� �es kozismert t�eny� hogy ebben az esetbena reprezent�aci�o is megval�os��that�o IFq folott� Ez adja a bizony��t�as v�eg�et�

p

De�n��ci�o �� Legyen G olyan csoport� melynek minden karakter�ert�eke val�os�illetve racion�alis� Ekkor G�t val�os� illetve racion�alis csoportnak h��vjuk�

L�atszik a fenti jellemz�esekb�ol� hogy egy csoport pontosan akkor val�os� ha minden eleme konjug�alt az inverz�evel� Illetve racion�alis� ha minden eleme konjug�alt minden� a rendj�ehez relat��v pr��m hatv�any�ahoz� Ami pontosan akkorteljesul� ha minden p pr��mre IFp felbont�asi teste Gnek�

Page 9: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

A felbont�asi test k�erd�ese j�oval nehezebb �karakterisztik�aban� �es nem istartozik a t�argyhoz� csak megjegyzem� hogy a BrauerSpeiser t�etel szerintegy val�os karakter k�etszerese m�ar el�o�all val�os reprezent�aci�o karakterek�ent�Q nemline�aris karaktere mutatja� hogy ez nem jav��that�o racion�alis karaktereset�en sem�

De�n��ci�o �� Legyen K egy test� � egy K f�ol�otti G�reprezent�aci�o� Ekkor a���g� � ��g���T reprezent�aci�ot � kontragrediens reprezent�aci�oj�anak h��vjuk�

�All��t�as �� Legyen K egy test� � egy K�beli irreducibilis G�reprezent�aci�o�amely ekvivalens a kontragrediens�evel� Ekkor � meg�oriz egy nemelfajul�oszimmetrikus vagy antiszimmetrikus biline�aris form�at�

Bizony��t�as Legyen W � fA � Mn�K�jA��g� � ���g�A� �g � Gg �Mn�K� alt�er� A Schur lemma szerintW minden nemnulla eleme invert�alhat�o�ez a nemelfajul�ashoz kell majd�� Ha A � W � akkor nyilv�an AT � W is� ��gyA � AT j�o lenne szimmetrikus biline�aris form�anak� amelyet meg�oriz �� delehet� hogy �� Ha viszont minden A � W re A� AT � �� akkor � antiszimmetrikusat tart meg�

p

Ez az �all��t�as tov�abb er�os��thet�o egy fontos speci�alis esetben�

�All��t�as �� ����� Tegy�uk fel� hogy G minden komplex irreducibilis repre�zent�aci�oja megval�os��that�o a val�os test felett is� Ekkor G minden p�aratlankarakterisztik�aj�u test feletti abszol�ut irreducibilis � reprezent�aci�oja megtartegy nemelfajul�o szimmetrikus biline�aris form�at�

Bizony��t�as A felt�etelb�ol azonnal kovetkezik� hogy minden karakter val�os�vagyis minden Brauerkarakter is val�os �a karakterek eg�esz kombin�aci�oi ap�oszt�alyokon�� s ez�ert minden modulo p reprezent�aci�o ekvivalens a kontragrediens�evel� �Ugyanis ugyanaz a Brauerkarakteruk�� Teh�at az el�oz�o�all��t�as ��All��t�as ��� miatt � megtart egy szimmetrikusat� vagy egy antiszimmetrikusat� Bel�atom� hogy szimmetrikusat tart meg� �Val�oj�aban mindigcsak egyik f�el�et tarthat meg��

Legyen � a Brauerkaraktere �nek� �es legyenek d��� a hozz�a tartoz�ofelbont�asi sz�amok� Ekkor l�eteznek olyan a�� � � � � ak eg�esz sz�amok� melyekkel� �

Paii a p�oszt�alyokon� speci�alisan � �

Paid�i��� ��gy van olyan �

melyre d��� p�aratlan� Rogz��tsuk ezt�

Page 10: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Legyen K � Q���� ahol � primit��v jGjedik egys�eggyok� valamint S aKbeli eg�eszek gy�ur�uje� P egy itteni� pt tartalmaz�o maxim�alis ide�al� Knak a P adikus �ert�ekel�esre n�ezve eg�esz elemeit Aval� ennek a gy�ur�unek amaxim�alis ide�alj�at �Aval jelolve� k � A��A egy p karakteriszik�aj�u test�Ismert� hogy ez Gnek felbont�asi teste modulo p� �A bizony��t�asa ennek at�enynek megtal�alhat�o p�eld�aul ���ben��

Legyen teh�at V egy karakter�u irreducibilisKGmodulus� Ekkor� mivela val�os test felett megval�os��that�o� ��gy megtart egy nemelfajul�o szimmetrikusbiline�aris form�at� �P�eld�aul vehetjuk a kovetkez�ot� Ha a ! val�os reprezent�aci�okaraktere � akkor A �

Pg�G!�g�!�g�T szimmetrikus� azaz diagonaliz�alhat�o

ortogon�alis transzform�aci�oval� B � T TAT �P

g�G T��!�g�T��T!�g�TT �ami nemelfajul�o� szimmetrikus� �es T��!�G�T invari�ans�� Most tal�alhatunkegy Ginvari�ans r�acsot Vben �maxim�alis rang�u szabad Amodulus�� melynek�A szerinti faktora� L egy kGmodulus a kovetkez�o tulajdons�agokkal�

�i� Lben d���szer fordul el�o �nek megfelel�o egyszer�u modulus kompoz��ci�ofaktork�ent�

�ii� van egy U kGr�eszmodulusa� hogy U n �es L�U n is van egyegy nemelfajul�o� szimmetrikus� Ginvari�ans biline�aris forma�

Az els�o automatikusan teljesul� a m�asodikhoz tekintsunk el�oszor egy tetsz�oleges Ginvari�ans r�acsot� M et� Ha B�u� v� jeloli a biline�aris form�at� akkorlegyen M� � fv � V jB�M�v� � Ag� Vil�agos� hogy van egy el�eg nagy neg�esz� hogy �nM� �M �M�� j � dn��e jelol�essel�

�M � �jM��� �M� � ��jM �M � �jM�

�j�M � �jM��� � �jM� �M �M � �jM�

mutatj�ak� hogy M helyettM��jM is ��rhat�o� n helyett jvel� �Es ezt eg�eszenn � j � �ig folytathatom�

Ez pedig azt mutatja� hogy

v� v� �� B�v� v�� �mod �� nemelfajul�o M��M�on�

v� v� �� ���B�v� v�� �mod �� nemelfajul�oM��M �� �M���M en�

Vagyis L � M modulo �� U � �M� modulo � j�o v�alaszt�as��Ez a r�esze a bizony��t�asnak Quillent�ol sz�armazik������

Page 11: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

A bizony��t�as befejez�es�ehez most m�ar elegend�o a kovetkez�ot igazolni� HaW olyan irreducibilis kGmodulus� amely nem tart meg nemelfajul�o szimmetrikus biline�aris form�at� de izomorf a kontragrediens�evel� akkor egy nemelfajul�o szimmetrikusat megtart�o v�egesen gener�alt modulus kompoz��ci�ol�anc�abanp�aros sokszor szerepel� Ez ugyanis alkalmazhat�o L�U ra �es U ra is� ellentmondva d��� p�aratlan volt�anak�

Legyen teh�at U egy v�egesen gener�alt kGmodulus� amelyen van egy Ginvari�ans szimmetrikus biline�aris forma� X � U egy irreducibilis kGr�eszmodulus� Xre megszor��tva a forma csak nemelfajul�o� vagy teljesen izotr�oplehet az irreducibilit�as miatt� Ha Xen a forma nemelfajul�o� akkor perszeX �� W � �es U �� X � X� miatt �att�erve X�re folytathat�o a felbontogat�as�Vagyis feltehet�o� hogy Xre megszor��tva a forma teljesen izotr�op�

Ekkor X� � X� �es a forma induk�al egy nemelfajul�o form�at X��Xenis� M�asr�eszr�ol pedig U�X� kontragrediense Xnek� vagyis W vagy ugyanannyiszor van meg X��Xben� mint U ban� vagy �vel tobbszor� de mindk�etesetben lehet indukci�ot alkalmazni� Ezzel az �all��t�ast bel�attam�

p

Szuks�eg lesz a k�es�obbiekben a kovetkez�o �all��t�as m�odos��tott v�altozat�ara�

�All��t�as � Legyen G Frobenius�csoport N Frobenius�maggal� Ekkor min�den nemtrivi�alis irreducibilis komplex N�karakternek az induk�altja is irre�ducibilis� �es ��gy el�o�all minden N�et nem tartalmaz�o mag�u irreducibilis komp�lex G�karakter�

Bizony��t�as Legyen � Irr�N� nemtrivi�alis� G irreducibilis volt�ahoz elegend�o� hogy inerciar�eszcsoportja N � Legyen g � G n N tetsz�oleges� havalamely x � N re xg � x N ben� akkor xg � xn� s ��gy gn�� � CG�x� nN � vagyis x � �� Teh�at g hat�asa �xpontmentes a nemtrivi�alis konjug�altoszt�alyokon� ��gy Brauer Permut�aci�os Lemm�aja ��All��t�as �� miatt a nemtrivi�alis karaktereken is� hiszen �g�n� � ��ng

����

Ha � Irr�G� magja nem tartalmazza N et� akkor legyen nemtrivi�alisirreducibilis osszetev�oje Nnek� Erre �� G� � �N� � � �� �es G irreducibilis� azaz � G�

p

� A f�o eredm�enyek

El�oszor jojjon egy t�etel� amelynek a bizony��t�asa j�o illusztr�aci�oja a tov�abbiaknak is�

��

Page 12: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

T�etel � ����� Ha G minden komplex reprezent�aci�oja a val�osak felett ismegval�os��that�o� �es G racion�alis csoport� akkor ciklikus kompoz��ci�o�faktoracsak Z�� Z lehet�

Bizony��t�as Legyen LG� M�LG�L minim�alis �ugy� hogy M�L elemi Abelpcsoport� G helyett most tekinthetem G�Let� erre is teljesulnek ugyanis afelt�etelek� vagyis feltehet�o� hogy L � �� M elemi Abel pnorm�aloszt�o�

Legyen K � CG�M� G� H � G�K� A kor�abbi �All��t�as �� szerint IFp

felbont�asi teste Hnak� ��gy M en H hat�asa abszol�ut irreducibilis� Jelolje ezta reprezent�aci�ot �� Minden x �M re� minden �r� p� � �et kiel�eg��t�o rre vanolyan g � H� hogy xr � xg� M et IFpvektort�ernek tekintve ezt �ugy fejezhet�oki� hogy minden x �M re� �es � � IF�

pra van olyan g � H� hogy �x � x��g��

A szint�en kor�abbi �All��t�as �� szerintM en van egy ��H�invari�ans szimmetrikus forma ������ Legyen IF�

p � h�i� Ekkor minden x � M re vang � H� hogy x��g� � �x� ahonnan �x� x� � �x��g�� x��g�� � ���x� x��Miut�an �x� x� nem lehet minden xre �� vagyis �� � � � p � �j�� ��gy p � �ad�odik� amivel a bizony��t�asnak v�ege�

pp

Sn p�eld�aja mutatja� hogy az altern�al�o csoportok mindig el�ofordulhatnakracion�alis csoportban kompoz��ci�ofaktork�ent� Az E� E�� E� gyokrendszerekWeylcsoportjai h�arom �ujabb egyszer�u csoportot hoznak be a k�epbe� ��gyl�atszik� hogy az �all��t�as tetsz�oleges racion�alis csoportra val�o tov�abber�os��t�es�ehez m�ar komolyabb eszkozok szuks�egesek�

Most kovetkezik n�eh�any� a k�es�obbiekben tobbszor haszn�alt �all��t�as� amelyek egym�asut�anja el�orevet��ti alkalmaz�asukat is� A felt�etelek kozott az antiszimmetrikuss�ag fog szerepelni� mivel a szimmetrikus eset az �all��t�asok jelent�osr�esz�eben el�o sem fordulhat� M�asr�eszt a szimmetrikus esetben a fent l�athat�om�odon oq�h�j� kovetkezik� �Jelol�est l�asd lent��

A gondolatmenet Gowt�ol���� a Brauerkarakteres �all��t�asokra vonatkoz�or�eszek j�or�eszt Soarest�ol��� sz�armaznak� Tudtommal kor�abban nem voltakismertek T�etel � � T�etel �� �es T�etel ���

El�oszor egy de�n��ci�o�

De�n��ci�o �� Legyen H � K tetsz�oleges halmaz� Egy G csoport egy KVvektort�eren vett hat�asa kiel�eg��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� ha minden v � V �hez�� � H�hoz l�etezik olyan g � G� melyre vg � �g� A prec��zs�eg kis mell�oz�es�evelaz eg�esz sz�amokat is fogom az IFp testek elemeinek tekinteni�

��

Page 13: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�All��t�as �� Legyen IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�olegeshalmaz� G egy p��csoport� amely hat egy IFqV vektort�eren� teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� valamint vagy

i meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� vagy

ii a hat�as Brauer�karaktere� ��invari�ans� ahol � �Gal�Q�e��ijGj � � Q� egy

testautomor zmus�

Ekkor van ugyanezeket a felt�eteleket kiel�eg��t�o G csoport egy IFqV �on vetthat�assal� amely r�aad�asul m�eg xpontmentes is�

Bizony��t�as Legyen adott v � V eset�en CG�v� a v stabiliz�atora� �es legyenK egy maxim�alis ilyen� N � NG�K�� V � CV �K� � fv � V jvk � v �k �Krag jelol�esselG � N�K hat�asa �xpontmentes V on a maximalit�as miatt�Ha v � V � � � H tetsz�oleges� akkor van g � G� hogy vg � �v� Ezzel a gvelg��CG�v�g � CG�v�� de K maximalit�asa folyt�an K � CG�v�� ��gy g � N �teh�at G is teljes��ti a Hsaj�at�ert�ek felt�etelt�

Most sz�etv�alik a bizony��t�as a k�et lehet�os�eg szerint�

�i� Legyen W � fv � V j�v� u� � � �u � V g� W � W nek V beli annull�atora� �Igy W � V � �es N invari�ans� vagyis a Maschket�etel miattvan N invari�ans direkt kieg�esz��t�oje� V � W �U � Itt dimU � dimW ��es U izomorf W du�alis ter�evel� s N skal�arszorzattart�asa miatt ezek�mint N modulusok egym�as kontragrediensei� De K �x�alja W t� ��gy�x�alja U t is� amib�ol U � V � � miatt U � W � � kovetkezik� teh�at aforma nemelfajul�o�

�ii� Maschke t�etele miatt most is l�etezik egy V � V � U N invari�ans felbont�as� Ennek megfelel�oen ad�odik a N � � � � Brauerkarakterfelboml�asa is� Ha � tetsz�oleges irreducibilis Brauerkarakter� akkortrivi�alis� hogy Ker� � Ker��� �Es � �� �� � � � Ker� � K� � �� �� �� � Ker� � K� azaz � permut�alja � irreducibilis komponenseit�vagyis maga � is �invari�ans�

Mindk�et esetet� s ezzel a bizony��t�ast is lez�artam�p

�All��t�as �� Legyen IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�olegeshalmaz� G egy p��csoport� amely xpontmentesen hat egy IFqV vektort�eren�teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� � � rjoq�h� pr��m valamilyen h � H�ra� Ekkora k�ovetkez�oket �all��tom�

��

Page 14: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

i Ha G meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� ak�kor Or�G� � ��

ii Ha a hat�as Brauer�karaktere� ��invari�ans� ahol � � e��ijGj � � �� �k

egy testautomor zmus� akkor vagy rjk � �� vagy Or�G� � ��

Bizony��t�as Mivel r p�aratlan� G rSylowja ciklikus� �hiszen G most Frobeniuskomplementum�� s ha Or�G� � �� akkor pontosan egy redrend�uR r�eszcsoportja van Gnek� Legyen mondjuk R � hxi� Ha most v � Vtetsz�oleges� akkor van olyan g � G� hogy vg � hv� Legyen oq�h� � rt� � � ht

egy IF�qbeli redrend�u elem� Nyilv�an vgt � �v� ��gy o�gt� � r� hiszen

gt m�eg nem �x�alja vt� de az redik hatv�anya m�ar igen� �es �x�alni csakaz egys�egelem tud� Vagyis gt � R� amib�ol kovetkezik� hogy v xnek issaj�atvektora� Bel�attuk� hogy xnek minden vektor saj�atvektora� vagyis x �� idV � ahol � is redrend�u IF�

qban�Most v�alik sz�et a bizony��t�as�

�i� Ekkor minden u� v vektorra �u� v� � �ux� vx� � �� �u� v�� vagyis �� � ��

de ez lehetetlen� Azaz az Or�G� � � feltev�esunk jogtalan volt�

�ii� Ekkor � ��� � �x� � �xk� � �k ���� vagyis �k�� � �� ahonnan

rjk � � ad�odik�

A bizony��t�asnak mindk�et esetben v�ege�p

A kovetkez�o �all��t�as bizony��t�as�aban fontos szerepe van a feloldhat�os�agnak�

�All��t�as �� Legyen IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�olegeshalmaz� G egy feloldhat�o p��csoport� amely xpontmentesen hat egy IFqV vek�tort�eren� teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� � � rjoq�h� pr��m valamilyen h � H�ra� Ha Or�G� � �� akkor csak r � � lehet� de ebben az esetben is igaz� hogyjGj � � �mod ���

Bizony��t�as Legyen F a Fittingr�eszcsoportja Gnek� Ekkor CG�F � � F � Hamost g � G redrend�u elem� akkor g nemtrivi�alis automor�zmust induk�al F en� hiszen g �� F � �Igy g nemtrivi�alisan hat F egy S sSylowj�an is valamilyensre� hiszen F nilpotens� Ha s � �� akkor S ciklikus� Legyen u � S sedrend�u�Most ug � u eset�en g � CG�S�� amit kiz�artunk� de ug � u eset�en hu� gi egy

��

Page 15: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

nemciklikus srrend�u r�eszcsoportja egy Frobeniuskomplementumnak� amilehetetlen�

Maradt az az eset� amikor s � �� Ilyenkor S �altal�anos��tott kvaterni�o�vagy ciklikus� amelyeknek az automor�zmuscsoportja �csoport� kiv�eve azS � Q� esetet� melyre Aut�S� �� S�� �Igy csak r � � lehet� De �edrend�uautomor�zmus egy�altal�an nem fordulhat el�o� mint ezt m�ar eddig bel�attam�Ezzel az �all��t�ast igazoltam�

p

A kovetkez�o r�eszek az �r � �� r � �� kvaterni�o Sylow� r � �� ciklikus Sylow�esetsz�etv�alaszt�ast ��rj�ak le�

�All��t�as �� Legyen IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�olegeshalmaz� G egy feloldhat�o p��csoport� O�G� � �� xpontmentesen hat egy IFqVvektort�eren� teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� oq�h� � �b� valamilyen h � H�ra� Ekkor oq�h� � �� vagy oq�h� � ��

Bizony��t�as Az el�oz�o �all��t�as ��All��t�as ��� bizony��t�asa mutatta� hogy ebbenaz esetben O��G� a � adrend�u� kvaterni�ocsoport� �es ��gy G �Sylowja is�altal�anos��tott kvaterni�o� De egy �altal�anos��tott kvaterni�ocsoportnak mindennemciklikus val�odi norm�aloszt�oja � index�u� vagyis a Sylow rendje legfeljebb��� Mivel Gben van �bedrend�u elem� ��gy b � �� A b � � eseten k��vul azal�abbiak lehetnek�

b � � Ekkor Gben van ��edrend�u elem g� �es Gnek a f�� �gHallr�eszcsoportja � adrend�u� �Igy G �Sylowja� hg�i norm�alis a Hallr�eszcsoportban� M�asr�eszt O��G� is norm�alis ott� ami ellentmond annak� hogy g�

nemtrivi�alisan hat rajta�

b � � Ekkor Gben van ��edrend�u elem g� �es Gnek a f�� �gHallr�eszcsoportja ��ed� vagy � adrend�u� �Igy G �Sylowja� hg�i vagy norm�alisa Hallr�eszcsoportban� �es az el�oz�o ellentmond�ast kapom� vagy a Hallr�eszcsoport � adrend�u� �es hg�i normaliz�atora a Hallr�eszcsoportbanhgi� Ekkor viszont alkalmazhat�o Burnside Transzfer T�etele� ami mutatja� hogy hg�inek van norm�alkomplementuma a Hallr�eszcsoportban� Ez azonban ��odrend�u �altal�anos��tott kvaterni�ocsoport� amelyennincs harmadrend�u hat�as� Vagyis ez az eset sem fordulhat el�o�

M�as eset nincs� a bizony��t�asnak v�ege�p

��

Page 16: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�All��t�as �� Legyen IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�olegeshalmaz� G egy feloldhat�o p��csoport� amely xpontmentesen hat egy IFqV vek�tort�eren� teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� oq�h� � �t valamilyen h � H�ra� �esG ��Sylowja �altal�anos��tott kvaterni�ocsoport�

i Ha G meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� ak�kor oq�h� � ��

ii Ha a hat�as Brauer�karaktere� ��invari�ans� ahol � � e��ijGj � � �� �k

egy testautomor zmus� akkor vagy oq�h�jk � �� vagy oq�h� � ��

Bizony��t�as A bizony��t�as az �i� esetben indirekt lesz� ugyanis felteszem� hogyt � ��

Legyen L � G�O��G�� F �L� L Fittingr�eszcsoportja� Mivel ez p�aratlanrend�u� ��gy ciklikus� Egy�ebir�ant L�F �L� � L�CL�F �L�� �Aut�L�� ami Abel�vagyis L �Sylowja is Abel� de faktora egy �altal�anos��tott kvaterni�ocsoportnak���gy legfeljebb �edrend�u� Legyen D� � ha� bja�s � �� a�

s��� b�� b��ab � a��i

az egyik �Sylow Gben �s � t�� D � hc� bi �itt c � a�s�t

�� L �Sylowja Abel�teh�at ha�i � D

� � O��G��Most � � IF�

q egy �tedrend�u elem� �es � � ��t��

� Ha v � V tetsz�oleges�

akkor van olyan g � G� melyre vg � �v� �Igy o�g� � �t� De minden �tedrend�uelemDbe konjug�alhat�o�gx � hci valamilyen xre� mivel csak ez a �tedrend�uciklikus r�eszcsoport van D�ben� Ekkor �g

�t���x � O��G�� de ez norm�alis� ��gy

g� � O��G��Vonjuk le ebb�ol a tanuls�agot� Minden vektort meg tudunk � szorozni egy

O��G�beli elemmel� Ha f � G tetsz�oleges negyedrend�u elem� akkor a hat�asadiagonaliz�alhat�o� hiszen IF�

qban van negyedrend�u elem� Minden saj�at�ert�eke� � vagy ���� Azaz vagy f � vagy f�� � szoroz egy v � V vektort� De ezt avektort � szorozza egy O��G�beli e is� vagyis a �xpontmentes hat�as miattf � e� vagy f � e��� de mindk�et esetben O��G�beli� Mivel egy �altal�anos��tottkvaterni�ocsoportot gener�alnak a negyedrend�u elemei� ��gy O��G� � D��

Ez azt jelenti� hogy minden vektort egy hcibelivel tudok �szorozni�vagyis c � � idV � Ha most

�i� G meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� akkorminden u� v vektorp�arra �u� v� � �uc� vc� � �� �u� v�� ami �� � � miatt�u� v� � �t jelenten�e� Ez ellentmond�as�

��

Page 17: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�ii� G hat�as�anak Brauerkaraktere� �invari�ans� akkor � ��� � �c� � �ck� � �k ��� miatt �tjk � ��

Mindk�et esetnek v�ege�p

Az utols�o a legnehezebb eset� el�oszor egy egyszer�ubb eredm�eny kovetkezik�

�All��t�as �� IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�oleges hal�maz� G egy feloldhat�o p��csoport� amely xpontmentesen hat egy IFqV vek�tort�eren� teljes��ti a H�saj�at�ert�ek felt�etelt� oq�h� � �t valamilyen h � H�ra� �esG ��Sylowja ciklikus� Ezenk��v�ul vagy

i G meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� vagy

ii a hat�as Brauer�karaktere� ��invari�ans� ahol � � e��ijGj � � �� �k egy

testautomor zmus�

Ekkor feltehet�o� hogy G �� H�Z�t� ahol jHj p�aratlan rend�u ciklikus csoport�Itt az� hogy �feltehet�o� azt jelenti� hogy van egy esetleg kisebb G � Gcsoport� amely ilyen szerkezet�u� �es a hat�asa teljes��ti a h�saj�at�ert�ek felt�etelterre a x h�ra�

Bizony��t�as Mivel G minden Sylowja ciklikus� ��gy G metaciklikus� �es ha Mjeloli az egyik �Sylow �trend�u r�eszcsoportj�at� akkor az M �altal gener�altnorm�aloszt�o Gben H�Z�t alak�u lesz� ahol jHj p�aratlan rend�u� ciklikus� �Ametaciklikuss�ag mutatja� hogy Hba azok a Sylowok kerulnek be� amelyekenZ�t nemtrivi�alisan hat� De ezek egym�ason m�ar trivi�alisan hatnak�� �Igy Hkiel�eg��ti a megk��v�antakat�

p

Most tekintsuk az antiszimmetrikus esetet konkl�uzi�oj�at�

�All��t�as �� IFq egy p�karakterisztik�aj�u v�eges test� H � IFq tetsz�oleges hal�maz� G egy feloldhat�o p��csoport� amely xpontmentesen� egy nemelfajul�o an�tiszimmetrikus biline�aris form�at meg�orizve hat egy IFqV vektort�eren� Teljes��tia H�saj�at�ert�ek felt�etelt� oq�h� � �t valamilyen h � H�ra� �es G �� H�Z�t�ahol jHj p�aratlan rend�u ciklikus csoport� Ekkor t � ��

Bizony��t�as Legyen d � dimIFq V� � egy negyedrend�u elem IF�qban� Ha

x � G tetsz�oleges negyedrend�u elem� akkor legyen V �x� � Ker�x� � idV � a� hoz tartoz�o saj�atalt�er� Bel�atom� hogy ez d�� dimenzi�os�

��

Page 18: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Mivel x megtart egy nemelfajul�o biline�aris form�at� ��gy b�armely k�et V �x�beli vektor mer�oleges egym�asra� �es b�armely k�et V �x���beli vektor mer�olegesegym�asra� Ez�ert azt�an a nemelfajul�as miatt csak dimV �x� � d�� fordulhatel�o�

Ha x � y negyedrend�uek� akkor V �x�� V �y� � �� hiszen a hat�as �xpontmentes� M�asr�eszt V � �o�x���V �x�� Teh�at Gben pontosan qd� � � darabnegyedrend�u elem van� Ebb�ol az is l�atszik� hogy negyedrend�u elem nincsO��G�ben� ami ��gy csak k�etelem�u�

Gben a negyedrend�u elemeknek k�et konjug�altoszt�alya van� a reprezent�ansok mondjuk m�m��� Ez�ert jG � CG�m�j � �

��qd� � ��� ami p�aratlan�

hiszen osztja jHjt� Most ���� II������ t�etele miatt H irreducibilis� ciklikus��jHj nem oszthatja �qd�k���et egy k � �re sem�� De mivelH szimplektikus�r�esz�csoport� ���� II������ t�etele miatt jHj jqd���� vagyis jHj � �

��qd�����

H � CG�m� � �� Ez azt is jelenti� hogy G�Z�G� Frobeniuscsoport Hvalizomorf maggal� �es Z�t�� gyel izomorf komplementummal�

Itt alkalmazhat�o a Frobeniuscsoportok reprezent�aci�oir�ol sz�ol�o� kor�abbanl�atott �All��t�as � � Eszerint G�Z�G� minden h�u irreducibilis reprezent�aci�ojaHZ�G��Z�G�nek egy nemtrivi�alis irreducibilis reprezent�aci�oj�ar�ol van induk�alva� Ha most Gnek keressuk egy h�u irreducibilis reprezent�aci�oj�at� akkorazt tal�aljuk� hogy ennek pedig HZ�G� egy Z�G�t nem tartalmaz�o mag�u irreducibilis�ar�ol kell induk�al�odnia� MivelHZ�G� egy qd���edrend�u ciklikuscsoport� az irreducibilisak line�arisak� G egy p�csoport� vagyis a modulo pabszol�ut irreducibilis reprezent�aci�oi ugyan��gy viselkednek�

Bontsuk most fel IFq� �IFq V t abszol�ut irreducibilisak osszeg�ere� �IttIFq� felbont�asi teste Gnek modulo p�� Mivel a hat�as �xpontmentes volt� azosszes tag h�u lesz� Mindnek a foka �t��� ��gy e � ���td darab van bel�oluk�Ha x egy �tedrend�u elem az S �Sylowban� akkor tetsz�oleges "G�x�nek ah pontosan egyszeres saj�at�ert�eke� hiszen "G

Snek tartalmaznia kell az osszesh�u irreducibilis Sreprezent�aci�ot� Osszesz�aml�al�assal kapom� hogy xnek a heszeres saj�at�ert�eke� Ebb�ol a kor�abbi stabiliz�atoros sz�amol�assal az kapom�hogy Gben qd��

qe�� darab �tedrend�u elem van�

M�ask�eppen sz�amolva� Mivel CG�x� � hxi� ez�ert Gben ��t����qd� � ��

darab �tedrend�u elem van� A k�et eredm�enyt osszevetve�

qd� � � � �t���qe � ���

Ha e � d��� akkor e � d��� s qd� � � � �t�� � q��� � ami lehetetlen� �Ne

feledje az olvas�o� hogy IF�qnak van �tedrend�u eleme�� �Igy csak e � d�� lehet�

��

Page 19: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

ami t � �t jelenti� Ez volt a bizony��tand�o�p

Az invari�ans Brauerkarakter eset�et hasonl�oan lehet kezelni� De mivel igaz�anj�o �altal�anos kovetkeztet�es nem jon ki bel�ole� csak a speci�alis esetekben fogomle��rni az elj�ar�ast�

A most kovetkez�o t�etel a szakdolgozatom legf�obb eredm�enye�

T�etel � n � � eg�esz� H � f��� ng� G feloldhat�o H � cp�csoport� EkkorjGj minden p p�aratlan pr��moszt�oj�ara pj�n � ��� vagy pj�n� � ��� Itt az els�oeset nem lehets�eges� ha �jn�

Speci�alisan n � ��ra pj � � �� �� vagyis p � ��

Bizony��t�as Legyen G minim�alis pvel oszthat�o rend�u ilyen tulajdons�ag�ucsoport� Ekkor G nak minim�alis norm�aloszt�oja N �� Zk

p � G � G �N hatN en� A hat�as �� � H miatt ekvivalens a kontragrediens�evel� vagyis meg�orizegy nemelfajul�o szimmetrikus� vagy antiszimmetrikus biline�aris form�at� Haa hat�as szimmetrikusat tart meg� akkor a fejezet els�o t�etel�enek �T�etel ��bizony��t�as�ahoz hasonl�oan kijon� hogy pjn� � ��

Teh�at antiszimmetrikusat tart meg� A fenti �all��t�asok sor�at alkalmazval�athat�o� hogy csak op�n� � �� �� �� �� � k�epzelhet�o el� Az op�n� � �� � lehet�os�egek csak az r � � esetben fordulhattak el�o� amit �jn kiz�ar� Ezzel a t�eteltbel�attam�

pp

Kevesebb feltev�essel is igaz a speci�alis eset�

T�etel � Ha G feloldhat�o � � cp�csoport� akkor G f�� �g�csoport�

Bizony��t�as Legyen p � � egy p�aratlan pr��msz�am� amelyre indirekt m�odonfelteszem� hogy van � � cpcsoport� melynek p osztja a rendj�et� Legyen G

minim�alis pvel oszthat�o rend�u ilyen tulajdons�ag�u csoport� Ekkor G nakminim�alis norm�aloszt�oja N �� Zk

p � G � G �N hat N en� A hat�as Brauerkaraktere� kobinvari�ans� vagyis a fenti �all��t�asokban haszn�alt jelol�essel k ��� M�asr�eszt Gre igazak a t�etel felt�etelei� vagyis indukci�oval feltehet�o� hogyG egy f�� �gcsoport� Most az �All��t�as ��ben rj� ad�odik� ami lehetetlen�hiszen ott r egy p�aratlan pr��met jelolt�

A tov�abbiakban kiderul� hogy op��� �hatv�any� ugyanis � nem osztja Grendj�et� A kvaterni�o t��pus�u Sylow esete pj�� � �et ad�

Page 20: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

A ciklikus esetben teh�at G �� Z�s�Z�t feltehet�o� De most� ha Z�t egy mnegyedrend�u eleme centr�alis lenne� akkor m � �idN ad�odna� ahonn�et � � ��vagyis �� � �� ami lehetetlen� De��gy m centraliz�atora Z�t� hiszen ha �elemetis �x�alna� akkor minden �elemet �x�alna�

Ekkor G h�u irreducibilis reprezent�aci�oit a fenti m�odon le tudom��rni� Ahhoz� hogy a konkl�uzi�ot is ugyan�ugy le tudjam vonni� az ottani stabiliz�atorossz�amol�ast kell ellen�oriznem�

Legyen � abszol�ut irreducibilis reprezent�aci�o� legyen � egy �uadrend�uelem IF�

pb�ol� �es g egy egy �uadrend�u elem Z�tb�ol� Miut�an �Z�tben minden

h�u irreducibilis reprezent�aci�o pontosan egyszer el�ofordul� ��gy ��g�nek � pontosan �t�uszoros saj�at�ert�eke� Azaz fuggetlen gt�ol� �es �t�ol� A lesz�aml�al�asmost azt adja� hogy Gben a �uadrend�u elemek sz�ama�

pd � �

p���ud � ��

Vagyis a fenti becsl�es eredm�enye ugyanaz� op���j�� Innen pj�� � � � �� �ad�odik� Ezzel a t�etelt bel�attam�

pp

A feloldhat�os�ag is kikuszobolhet�o haszn�alva Thompson T�etel�et� Ha egy nemkommutat��v egyszer�u csoport rendje nem oszthat�o h�arommal� akkor Suzukicsoport�

T�etel �� Ha G �� cp�csoport� akkor G f�� �g�csoport�

Bizony��t�as Legyen G minim�alis nemfeloldhat�o � � cpcsoport� Ekkor G nak minim�alis norm�aloszt�oja� N izomorf nemkommutat��v egyszer�uek direktszorzata� Thompson T�etele miatt van olyan m eg�esz sz�am� hogy N ��Sz���m���� �Sz���m��� � T�� �Tk� Ha h � T� tetsz�oleges� akkor vanegy g � G � hogy hg � h� Mivel T� egyszer�u� h � T g

� �T� T�� ��gy T g� � T��

vagyis a gvel val�o konjug�al�as egy automor�zmusa a T� Suzukicsoportnak�De ismert� hogy a Sz���m��� Suzukicsoportban van olyan h elem� hogyo�h� � ��m�� � �� �es csak a ��������� � � � ����medik hatv�anyaiba vihet�oautomor�zmussal� �����XI� ����� Ez a t�eny mutatja� hogy ilyen eset val�oj�abannem forduhat el�o� G mindenk�eppen feloldhat�o�

pp

A minim�alis p�elda � � cpcsoportra� amely nem �csoport� ���adrend�u� Az�Sylowja elemi Abel norm�aloszt�o� a komplementum kvaterni�ocsoport� Akomplementum hat�asa SL��� �� �Sylowj�anak hat�as�aval egyezik meg�

��

Page 21: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Kicsit tobb vesz�ods�eggel kezelhet�o az n � � eset is� Itt a feloldhat�os�ag�altal�aban is kovetkezne a FeitThompson T�etelb�ol� Szuks�eg lesz az al�abbisz�amelm�eleti lemm�ara�

Lemma �� A p�a�pa�� � �l� diofantoszi egyenletnek p � ��� �es �� eset�ennincsen pozit��v megold�asa�

Bizony��t�as p � �� eset�en a bal oldal �gyel� a jobb oldal pedig �l�malkongruens modulo ��� De � � ��� � � �mod ���� �es � � � �mod ����� � � � �mod ���� ��� � �� �mod ���� ami mutatja� hogy p � �� t�enyleglehetetlen�

p � �� eset�en l � � nem j�o� de �� primit��v gyok modulo ��� vagyis���a � ��a � � � � �mod ��� � ��a � �� ��a � � �mod ��� miatt a ���� � �mod ��� ad�odik� Azaz ��ja� ��ja� M�asr�eszt �� primit��v gyok modulo�� is� ��gy ilyenkor ��j���a � ��a � �� viszont ���j�l� trivi�alisan�

p

T�etel �� Ha G feloldhat�o � � cp�csoport� akkor G f�� �g�csoport�

Bizony��t�as Legyen p egy olyan �t�ol �es �t�ol kulonboz�o pr��msz�am� amelyreindirekt m�odon felteszem� hogy van olyan � � cpcsoport� melynek p osztjaa rendj�et� Legyen G minim�alis pvel oszthat�o rend�u ilyen tulajdons�ag�ucsoport� Ekkor G nak minim�alis norm�aloszt�oja N �� Zk

p � G � G �N hatN en� A hat�as Brauerkaraktere� invari�ans a primit��v jGjedik egys�eggyoknegyedik hatv�anyra emel�es�ere� vagyis a fenti �all��t�asokban haszn�alt jelol�esselk � �� M�asr�eszt Gre igazak a t�etel felt�etelei� vagyis indukci�oval feltehet�o�hogy G egy f�� �gcsoport� Most az �All��t�as ��ben rj� ad�odik� vagyis �gyelembe v�eve �All��t�as ��at is� op��� egy �hatv�any� mivel jGj p�aratlan�

Most �All��t�as �� bizony��t�as�aval megegyez�o m�odon feltehet�o� hogy G ��Z�l�Zk � ahol op��� � �k� Ha Z�G� � � lenne� akkor G maga is Frobeniuscsoport lenne� ��gy az abszol�ut irreducibilis� h�u karakterei �G alak�uak lenn�enek� ahol � �Irr�Z�l�� De ilyen esetben �GZ

�ka regul�aris reprezent�aci�o karak

tere� ami nem szerepelhet �xpontmentes hat�asban� �Igy jZ�G�j � ��Ha g � Z�G�� akkor g � �idV valamilyen �re� de a Brauerkarakter

invarianci�aja miatt � � ��� vagyis o�g�j�� Teh�at csak jZ�G�j � � lehets�eges�

Legyen most � � e��i� az egyik primit��v harmadik egys�eggyok� t � IFp

pedig egy ottani primit��v harmadik egys�eggyok� Mivel minden v � V hezl�etezik g � G� hogy vg � �g� ��gy l�etezik h � G� hogy vh � tv� Itt a

��

Page 22: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�xpontmentess�eg miatt csak o�h� � � lehet� Ekkor Gben a k�et harmadrend�uelem� h� h�� �h� � � ���� �h�� � �� ���� Ha � �IBr�G� egy irreducibiliskomponense nek� akkor �Z

�ka h�u irreducibilis Zk karakterek azon fel�et

tartalmazza� amelyekre ��h� � �� �Itt megint haszn�altam� hogy ez a � is �G

alak�u��

Gben a �kadrend�u elemek sz�ama �pd � �

pe � �� ahol d � dimIFp�V �� �es e �

���kd� hiszen minden � � v � V re pontosan egy g � G o�g� � �k van�amellyel vg � �v� �es ezzel a tulajdons�aggal a �kadrend�uek fele rendelkezik��Att�ol fugg�oen� hogy hnak� vagy h�nek az egyik �k��edik gyoke az illet�o��

M�asr�eszt� ugyan��gy a �edrend�u elemek sz�ama �pd � �

pd � �� vagyis a �ed

rend�u r�eszcsoportok sz�ama�

pd � �

pd � �� Ezek szerint a �kadrend�u elemek

sz�ama �k���pd � �

pd � �� Ezt az el�oz�ovel osszevetve�

�k���pe � �� � pd � ��

Itt �k � p � �� vagyis ejd� s ebb�ol csak a �e � d eset lehet� Ekkor viszont

op��� � �� pj�� � � � �� � �� ��� M�asr�eszt a kilencedrend�u elemek sz�ama�l�� hiszen egy kilencedrend�u elem nem konjug�alt egyetlen hatv�any�aval semGben ��j� � ��� miatt� �Igy azt�an p

�d� � p

d� � � � �l� ad�odik� ami a Lemma

miatt megoldhatatlan a p � ��� �� esetekben� Ezzel a T�etelt bel�attam�pp

Itt a minim�alis nem �csoport rendje ��� a hetedrend�u norm�aloszt�on a komplementum gener�atora n�egyzetreemel�esk�ent hat�

Most azt szeretn�em bel�atni� hogy minden feloldhat�o �es racion�alis csoportegy f�� �� �� �gcsoport� Els�onek egy kor�abbi �all��t�as specializ�al�asa jon�

�All��t�as �� ����� Legyen G egy p��csoport� amely hat egy p�karakterisztik�aj�uv�eges IFq test feletti V vektort�eren� h�i � IF�

q� G teljes��ti a ��saj�at�ert�ekfelt�e�telt� �es meg�oriz egy nemelfajul�o antiszimmetrikus biline�aris form�at� Ekkorq � �� �� �� �� �� lehet csak� S�ot� ha q � ��� akkor SL��� �� benne van G�ben�

Bizony��t�as A kor�abbiaknak megfelel�oen feltehet�o� hogy G hat�asa �xpontmentes� Egyel�ore azt is felteszem� hogy G feloldhat�o�

��

Page 23: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Ezut�an l�athat�o� hogy ha � � rjq � �� akkor r � �� �es q � �� vagyq � �� A � eset nem fordulhat el�o� hiszen jGj p�aros� mivel p�eld�aul O��G�kvaterni�ocsoport�

Ha q�� �hatv�any� akkor az �altal�anos��tott kvaterni�o esetben� �es a ciklikusesetben is q � �j� jon ki� vagyis osszefoglalva� Ha G feloldhat�o� akkor q ��� �� �� � lehet�

Ha G nem feloldhat�o� akkor a Frobeniuskomplementumok strukt�urat�etel�eb�ol jon� hogy Gben van egy G� legfeljebb �index�u r�eszcsoport� amelyre G�

�� SL��� �� �K� ahol K egy f�� �� �g� csoport� Innen l�athat�o� hogyG �Sylowj�anak az exponense legfeljebb � A kor�abbi gondolatmeneteketKra alkalmazva l�athat�o az is� hogy q � � � �a�b�c alak�u� ahol a � �� DejSL��� ��j � ��� miatt b� c � � ad�odik� q r�aad�asul �� �� �tel nem oszthat�o�vagyis q�� � � �� � �� � �� �� � � �� � � �� � � lehet� De SL��� ��bennincs ��odrend�u elem� ami az utols�o h�arom lehet�os�eget kiz�arja� SL��� ��ben��adrend�u elem sincs� ��gy q � � � � sem lehet� Maradnak a q � �� ��� ��lehet�os�egek� Ki kell m�eg z�arni q � ��at�

SL��� �� karaktert�abl�aja �a reprezent�ansok rendjeivel indexelve a konjug�altoszt�alyokat��

� � � � � �� �� ��� ����G � � � � � � � � �

�� � � � � � ���p��

���p�

���

p�

���p�

� � � � � � ���p�

����p�

���p�

���

p�

�� � � � � � ��p�

���p�

���

p�

���p�

�� � � � � � ��p��

��p�

���p�

���

p�

� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �

IF� algebrai lez�artja felett pontosan ugyanezek az irreducibilis Brauerkarakterek� hiszen ���� ���� � �� IF� felett ekkor k�et f�uzi�o tort�enik� ��� ��e� �es ��� ���e� �Ugyanis a Frobeniusautomor�zmus C feletti megfelel�oj�et�val jelolve ��� � �� �

� � ��� �

�� � ��� �

�� � ���� A kapott h�et irre

ducibilis reprezent�aci�o kozott csak egyetlen �xpontmentes van� a � dimenzi�os�� � �� Osszesz�amolva egy ilyen �dimenzi�os irreducibilis alteren vett hat�asszerint SL��� �� harmadrend�u elemeit a stabiliz�atoros elj�ar�assal� kapjuk� hogy

��

Page 24: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

��������

� ��� van bel�oluk� Ez tobb� mint ah�any eleme van SL��� ��nek� amimutatja� hogy q � �� val�oban nem fordulhat el�o�

p

A fenti esetekben t�enyleg lehet megfelel�o csoportokat� �es hat�asokat tal�alni�A q � � eset trivi�alis� q � �� � eset�en SL��� q� �Sylowja megfelel�oen hatIF�

qen� q � � eset�en SL��� �� �agyazhat�o be SL��� ��be� q � �� eset�en pedigSL��� �� SL��� ���be�

T�etel �� ����� G feloldhat�o racion�alis csoport� Ekkor G f�� �� �� �g�csoport�

Bizony��t�as Indukci�ot kombin�alva az el�oz�o �all��t�assal azonnal kapjuk ezt azeredm�enyt�

pp

Ehhez hasonl�o� de l�enyegesen kevesebb eszkozzel bizony��totta Markel���� azta t�enyt� hogy szuperfeloldhat�o racion�alis csoport f�� �gcsoport� �Ugyanis aminim�alis norm�aloszt�o pr��mrend�u��

A fejezetet egy �erdekes eredm�ennyel z�arom� amihez kell egy lemma�

Lemma �� ����� Legyen N G� Ha G�ben o�g�� � o�g�� � g� � g�� akkorG�N�ben is o�g�� � o�g��� g� � g��

Bizony��t�as Legyen G � G�N � �es x� y � G k�et azonosrend�u elem� Mindk�etmell�ekoszt�alyb�ol v�alasztok egy minim�alis rend�u elemet� x� y� Ha azonosrend�uek� akkor konjug�altak� s ��gy x �es y is� Ha nem� akkor van egy p pr��m�hogy o�x� � pam� o�y� � pbn� p�jmn� �es a � b� mondjuk a � b� Jeloljex� � xmnt� �es y� � ymnt� Nyilv�an x� �es y� azonos rend�uek Gben� De x��

�es ypb�a

� azonos rend�u� ��gy konjug�alt� ami mutatja� hogy x� �es y�pb�a

is� Deez nem lehets�eges� hiszen kulonboz�o rend�uek�

p

T�etel �� ����� Ha G feloldhat�o� G�ben o�g�� � o�g�� � g� � g�� akkorG �� Sn� n � �� �� ��

Bizony��t�as Indukci�ot alkalmazok jGjre� Legyen N G minim�alis� EkkorG�N egy� vagy k�etelem�u� esetleg S� Mivel N elemi Abel pcsoport� ��gyjG�N j � � eset�en jGj � �� vagy jGj � �� Ha jG�N j � �� akkor jN j � ��hiszen N nf�gen tranzit��van hat G�N � De jN j � � nem lehet� hiszen G nemlehet negyedrend�u� jN j � � pedig G �� Sat adja�

��

Page 25: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Ha G�K �� S� akkor jN j � �j�� jN j � �� nem lehet� hiszen G�N nemciklikus� Ha jN j � �� akkor G �Sylowja h�uen hat rajta� vagyis G �� S� � a�Sylow mell�ekoszt�alyain vett tranzit��v permut�aci�oreprezent�aci�o� De S�benk�et invol�uci�ooszt�aly van�

Ha jN j � �� akkor G �Sylowja �edrend�u norm�aloszt�o� de Abel� �es afaktor csak kettes�evel tudja egyes��teni az elemeket konjug�altoszt�alyokk�a�

Ha jN j � �� akkor G �Sylowja trivi�alisan hat N en� vagyis norm�aloszt�o�De a szerinte vett faktor negyedrend�u� ami ellentmond a Lemm�anak� Tobbeset nincs�

pp

� Egy�eb eredm�enyek

Els�ok�ent azt kell megeml��teni� hogy Gow ��� tobbet bizony��tott� mint ami aT�etel ��ben szerepel�

T�etel �� Ha G feloldhat�o racion�alis csoport� akkor G egy f�� �� �g�csoport�A �nek� mint lehets�eges pr��moszt�onak a kikuszobol�ese m�eg n�emi f�aradts�agotig�enyelne� A haszn�alt eszkozok hasonl�oak� de kicsit m�elyebbek�

Szint�en hasonl�o eszkozokkel bizony��that�o Soares��� al�abbi eredm�enye�

T�etel � Minden � � ��hoz van egy olyan A � A��� konstans� hogy haG p�feloldhat�o� pj jGj� G �osszes karakter�ert�eke egy K testben van� melyrejK � Qj � n� akkor p � An�� � ��

Itt � � � eset�en A � �� ��� � � ��rhat�o att�ol f�ugg�oen� hogy G szuperfelold�hat�o� feloldhat�o� vagy p�feloldhat�o�

P�eld�aval megmutathat�o� hogy � � � nem lehet m�eg a szuperfeloldhat�o esetben sem�

A nemfeloldhat�o �nem pfeloldhat�o� esetben Feit �es Seitz��� mutatta megaz al�abbit� �A bizony��t�as er�osen t�amaszkodik a v�eges egyszer�u csoportokklasszi�k�aci�oj�ara��

T�etel � Van olyan Fn egyszer�u csoportok v�eges halmaza� hogy ha G �osszeskarakter�ert�eke egy K testben van� melyre jK � Qj � n� akkor G nemciklikuskompoz��ci�ofaktorai vagy altern�al�o csoportok� vagy Fn�beliek�

Speci�alisan F� � fPSp����� Sp���� O�� ���

�� PSL���� PSU����g�

��

Page 26: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

F�ben a m�asodik �es a harmadik csoport m�ar onmag�aban is racion�alis� Velukegyutt az els�o is kompoz��ci�ofaktora egy Weylcsoportnak� A negyedik �esotodik esetben is egyegy automor�zmuscsoportbeli r�eszcsoport racion�alis�Az Snbeli konjug�altosz�alyok Anbeli sz�etes�ese is ismert� �es azonnal l�atszikbel�ole� hogy A� kiv�etel�evel nincs racion�alis altern�al�o csoport�

A fenti t�etel seg��ts�eg�evel tov�abb er�os��thet�oT�etel ��� amely Fitzpatrick� �eredm�enye�

T�etel �� Ha G�ben o�g�� � o�g��� g� � g�� akkor G �� Sn� n � �� �� ��

Bizony��t�as��� Legyen NGminim�alis norm�aloszt�o� Ha N feloldhat�o� akkorm�ar T�etel �� elint�ezte a dolgot� Ha nem� akkor N �� T� � � Tk izomorfnemkommutat��v egyszer�uek direkt szorzata� De egy a � T�� �es �a� � � � � a� � Nnemkonjug�altak� b�ar azonos rend�uek� Vagyis N � T� egyszer�u�

Ha G � N � akkor G egyszer�u racion�alis csoport� vagyis Sp���� vagyO�

� ����� De mindkett�oben tobb konjug�altoszt�alynyi m�asodrend�u elem van�

Vagyis feltehet�o� hogy G � N � Ha CG�N� � �� akkor NCG�N� � N�Z� Z G� s G�Z nem feloldhat�o� ami indukci�ot alkalmazva ellentmond annak� hogya tulajdons�ag faktoriz�al�asn�al orokl�odik� Vagyis CG�N� � �� G �Aut�N��

Ha N �� An� akkor Aut�N� � Sn� vagy n � �� de minden szimmetrikusesetben Gnek tobb� mint egy invol�uci�ooszt�alya van� Az n � � esetben iscsak �ugy lehet egy invol�uci�ooszt�aly� hogy cser�ebe adrend�u elemek alkotnakk�et oszt�alyt�

Sp��� automor�zmuscsoportja onmaga� a tobbi esetben egy automor�zmusr�eszcsoportnak mindig van nembels�o m�asodrend�u eleme�

pp

Ez az eredm�eny nem igaz v�egtelen csoportokra� P�elda erre egy P� Hall�����altal konstru�alt v�egtelen torzi�ocsoport�

Visszat�erve a racion�alis csoportokoz� azt sejtik� hogy a nemfeloldhat�oesetben sem lehet tobbf�ele ciklikus kompoz��ci�ofaktor� mint a feloldhat�o esetben� Gow szerint Thompson megmutatta� hogy racion�alis csoport ciklikuskompoz��ci�ofaktora csak Z�� Z� Z�� Z�� Z�� lehet� de val�osz��n�unek l�atszik�hogy az utols�o kett�o val�oj�aban nem fordul el�o�

Weylcsoportok

A szakdolgozat sor�an tobbszor megeml��tettem azt a kozismert t�enyt� hogymindenWeylcsoport racion�alis� �L�asd p�eld�aul ���ban a reprezent�aci�ok racio

��

Page 27: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

nalit�as�at is�� Ennek a bizony��t�asa nem neh�ez� ugyanis az irreducibilis gyokrendszerek Weylcsoportjaira ellen�orizhet�o� a tobbi pedig direkt szorzata azel�obbieknek� Egy kicsit b�ovebben�

T�etel �� Ha W egy An� Bn vagy Dn t��pus�u gy�okrendszer Weyl�csoportja�akkor W racion�alis�

Bizony��t�as Azt mutatom meg� hogy ezekben az esetekben minden elemminden� a rendj�ehez relat��v pr��m kitev�oj�u hatv�any�aval konjug�alt�

An Weylcsoportja Sn��� Legyen � egy eleme� �k� o���� � �� Ha tobborbitja is van� akkor indukci�oval a ciklusokat kulonkulon tudom kadikrakonjug�alni� ��gy �t is� Ha csak egy orbitja van� akkor alkalmas �atsz�amoz�assalfeltehet�o� hogy � � �� � n�� De ekkor � � i �� ik � t minden t eset�en j�opermut�aci�o arra� hogy �k � �� legyen� �Persze ik� t csak modulo n sz�am��t��

Bn ��es Cn� Weylcsoportja G � Z� o Sn� Legyen g � ��� �a�� a�� � � � � an��egy eleme� �k� o�g�� � �� Ha �nak tobb orbitja is van� akkor indukci�ovalgnek a megfelel�o r�eszeit kulonkulon tudom kadikra hatv�anyozni� ��gy gt is�Ha csak egy orbitja van� akkor �atsz�amoz�assal feltehet�o� hogy � � �� � n��

Ha h � ��� �b�� b�� � � � � bn��� akkor gh � ��� �a� � b� � b���� � � � � � an � bn �

bn��� �� � ��� �a��b��bn� � � � � an�bn�bn����� �Igy alkalmas hval konjug�alvafeltehet�o� hogy a� � a � � an � �� a� pedig �� vagy �� Ha �� akkor g �esez�ert gk is benne van a komplementumban� vagyis Snben� amit m�ar n�eztem�

Ha a� � �� akkor gn � ��� ��� �� � � � � ���� g�n � ��� ��� �� � � � � ���� s g rendje�n� Ha k � n� akkor gk � ��k� ��� �� � � � � �� �� �� � � � � ���� ahol k darab egyesvan a vektorban� ha pedig k � n� akkor gk � ��k� ��� �� � � � � �� �� �� � � � � ����ahol k � n darab null�as van a vektorban� Ha � olyan� hogy �k � �� � akkorlegyen h � ��� �b�� � � � � bn�� � ��� ��� � � � � ��� ��� �b�� � � � � bn��� Ekkor gh ���k� ��� � � � � �� �� �� � � � � �������b������bn��� ahol az egyes az �� adik poz��ci�oban van�

Most a kor�abbi m�odszerrel meg tudjuk v�alasztani j�ol a biket� hisz �k istranzit��v� �es k p�aratlan� �S�ot pontosan k�et j�o vektor lesz� melyek osszege��� � � � � ����

Dn Weylcsoportja egy H �index�u r�eszcsoportja a fenti Gnek� Azokb�olaz elemekb�ol �all� amelyek p�aros sok egyest tartalmaznak a vektorr�eszukben�Legyen g � ��� �a�� a�� � � � � an�� egy eleme� �k� o�g�� � �� Tudjuk� hogy ezGben konjug�alt gkhoz� Hban is konjug�altak� ha p�eld�aul nem esik sz�et akonjug�altoszt�alya� De nem esik sz�et� ha centraliz�alja G nHbeli� Ha �nakvan p�aratlan hossz�us�ag�u orbitja� akkor azokon a poz��ci�okon eggyel� a tobbinnull�aval egyenl�o vektor centraliz�alja� �es nincs Hban� �Igy el�eg megmutatni az

��

Page 28: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�all��t�ast olyan gkre� melyek permut�aci�or�esze nem tartalmaz p�aratlan ciklust�Egy ilyenr�ol m�ar azt sem kell feltenni� hogy nincs Hban�

Ha �nak tobb orbitja is van� akkor indukci�oval gnek a megfelel�o r�eszeitkulonkulon tudom kadikra hatv�anyozni� hiszen ezek p�arosak� ��gy gt is� Hacsak egy orbitja van� akkor �atsz�amoz�assal feltehet�o� hogy � � �� � n�� Ah � ��� �b�� b�� � � � � bn��� vektort j�ol megv�alasztva� majd vele konjug�alva mostis feltehet�o� hogy a� � a � � an�� � �� �es a�� an kozul is legal�abb azegyik �� Ha mindkett�o �� akkor g benne van a komplementumban� amit m�arn�eztem�

G eset�en minden j�o � hoz volt �k�et� j�o �b�� � � � � bn� vektor is� Ez mostcsak akkor lesz j�o� ha benne p�aros sok az egyes� Mivel n p�aros� ��gy a k�et j�ovektorban ugyanakkor lesz p�aros sok egyes� Azt �all��tom� hogy � t �vagyis tulajdonk�eppen az egyes poz��ci�oj�at� alkalmasan v�alasztva a j�o vektorban p�arossok lesz az egyes�

Ha most rogz��tettnek veszem � t� �es felteszem� hogy b� � �� akkor atobbi bit egy�ertelm�uen kapom� ugyanis b��k t �ugy kell v�alasztanom� hogya��k � b��k � b� a megfelel�o �ert�eket vegye fel� Hasonl�oan meg van m�ar kotvea kezem b���k n�al� �es ��gy tov�abb� Ez a �meg van kotve a kezem� azt jelenti�hogy egy�ertelm�uen jonnek az egyessorozatok� �es a nullasorozatok� �Itt asorozat persze nem az �� �� � � � � n ment�en� hanem az �� k��� � � � � �n� ��k��ment�en fut�ot jelent�� Ha az �� egy egyessorozattal �erintkezik� akkor benneeggyel elmozgatva� �es azt az egyest kiv�eve a sorozatb�ol a kapott vektor nemv�altozik� de a konjug�al�o vektorban az egyesek sz�am�anak a parit�asa igen�Hasonl�oan� ha nullasorozatban van� akkor eggyel elmozgatva� �es oda egyegyest berakva a kapott vektor nem v�altozik� de a konjug�al�oban az egyeseksz�am�anak parit�asa igen� Ez mutatja� hogy feltehet�o a konjug�al�o vektor Hbeli volta�

pp

A marad�ek csoportok� E� E�� E�� F� Weylcsoportjai megtal�alhat�oak az irodalomban� m�eg komplett karaktert�abl�akkal is� �Az els�o h�arom megtal�alhat�oaz ATLAS���ban is� az utols�o pedig Carter konyv�eben����� G� esete pedigtrivi�alis� ugyanis ekkor W �� D�

Ez a bizony��t�as azonban geometriailag egy�altal�an nemmutatja meg� hogymi�ert igaz ez az �all��t�as� A fejezet tov�abbi r�esze arra fog szolg�alni� hogy valamiebb�ol is kideruljon� Sajnos m�eg ez a bizony��t�as is tartalmaz olyan pontokat�amelyekben szuks�eg van a gyokrendszerek klasszi�k�aci�oj�ara� Tudtommal jelenleg nem ismert olyan bizony��t�as� amely ne t�amaszkodna r�a�

��

Page 29: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Az al�abbi gondolatmenet Springert�ol���� sz�armazik� A �k�es�obbiekben�ismert�k�ent eml��tett� felhaszn�alt el�oismeretek megtal�alhat�oak Bourbaki����illetve Humphreys���� konyveiben� Tov�abbi �illetve kor�abbi� eredm�enyek szerepelnek m�eg Cartern�al���������

A tov�abbiakban G mindig egy n dimenzi�os �komplex� V vektort�eren hat�ov�eges tukroz�escsoportot �re#ectiongroup� jelol� S a koordin�atalek�epez�esekpolinomjainak Calgebr�aja� G hat ezeken a szok�asos m�odon� �g p��v� � p�vg�minden v � V re� R jeloli az Sbeli Ginvari�ans elemeket� ez is egy Calgebra�Az al�abbi lemma�altal�anosabban� mindenG � GL�n�C� v�eges csoportra igaz�

Lemma �� v�w � V �re ekvivalensek�

i l�etezik g � G� hogy vg � w�

ii minden f � R�re f�v� � f�w��

Bizony��t�as Az �i� � �ii� ir�any trivi�alis� a m�asikat bizony��tom� LegyenP � ff � Sjf�v� � �g� Q � ff � Sjf�w� � �g� Ezek maxim�alis ide�aljai Snek� �es P �R � Q�R a felt�etel szerint� Bel�atom� hogy l�etezik g � G� amellyelg P � Q� a ezzel v�ege is lesz a bizony��t�asnak� mivel g P � ff � Sjf�vg� � �gis maxim�alis ide�al� vagyis g P � Q� de ��gy w � vg�

Mivel minden f � P re

Y

g�G�g f� � P �R � Q�

�es Q pr��mide�al� teh�at van egy g � G� amelyre g f � Q� Legyen P ��f�� f�� � � � � fr� egy v�eges gener�atorrendszere a P ide�alnak� �Ilyen l�etezikHilbert b�azist�etele miatt�� Ekkor minden c � Chez l�etezik gc � G� hogygc �f� � cf� � � cr��fr� � Q� Mivel G v�eges� C v�egtelen� ��gy valamilyeng � G legal�abb rszer el�ofordul ilyen gck�ent� Ezzel a gvel �es a megfelel�oc�� c�� � � � � crrel

g �f� � cif� � � cr��i fr� �

rX

j��

cj��i �g fj� � Q �i � �� � � � � r��

Vagyis minden jre g fj el�o�all Qbeliek line�aris kombin�aci�ojak�ent���gy g fj �Q� Ha f � p�f� � � prfr � P tetsz�oleges� akkor g f � �g p���g f�� � � �g pr��g fr� � Q mutatja� hogy g P � Q�

p

Page 30: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

V re sokszor� mint a$n algebrai halmazra lesz �erdemes n�ezni� Ekkor a lemmaazt fejezi ki� hogy V Gorbitjai a$n algebrai variet�ask�ent viselkednek� ahozz�ajuk tartoz�o algebra R� Szint�en G v�egess�eg�eb�ol kovetkezik a most sorrakerul�o� alapvet�o lemma�

Lemma �� R�et� mint C�algebr�at n darab algebrailag f�uggetlen homog�enpolinom gener�alja� E polinomok fokainak halmaza f�uggetlen a polinomokv�alaszt�as�at�ol� a fokok szorzata jGj�Mostant�ol fogva rogz��tek egy ff�� � � � � fng homog�en invari�ansokb�ol �all�o rendszert� amelyek algebrailag fuggetlenek� s gener�alj�ak a Ginvari�ans koordin�atafuggv�enyek Calgebr�aj�at� di � deg fi� J�v� jeloli az fik Jacobidetermin�ans�ata v � V pontban� �Ez konstans szorz�o erej�eig fuggetlen az fikt�ol� �es pontosan akkor nulla� ha v benne van egy tukorhipers��kban�� Hi jeloli az fi �altalde�ni�alt algebrai hiperfeluletet V ben� Hi � fv � V jfi�v� � �g� Ha � egyegys�eggyok� akkor V �g� �� jeloli a g csoportelem �hez tartoz�o saj�atalter�et�Ez maxim�alis� ha nincs n�ala b�ovebb V �h� ��� ugyanazzal a �vel�

�All��t�as �� Ha � egy primit��v d�edik egys�eggy�ok C�ben� akkor �g�GV �g� �� ��djdiHi� S�ot� ezen algebrai halmaz irreducibilis komponensei a maxim�alisV �g� ���k�

Bizony��t�as Alkalmazzuk Lemma ��et� Adott v � V hez pontosan akkorl�etezik g� mellyel vg � �v� ha f�v� � � minden dvel nem oszthat�o fok�uf � Rre� De ehhez elegendo fi�v� � �t megkovetelni olyan ikre� ahol dnem osztja dit� Ez mutatja az els�o r�eszt�

Ebb�ol az is l�atszik� hogy �djdiHi a maxim�alis V �g� ��k uni�oja� S am�asodik r�esz kovetkezik abb�ol� hogy V �g� �� irreducibilis variet�as�

p

Egy kovetkezm�eny� ami Weylcsoportra j�ol ismert�

�All��t�as �� Ha m�eg azt is feltessz�uk� hogy G irreducibilisan hat� �es e jel�oli afokok legnagyobb k�oz�os oszt�oj�at� akkor G centruma e�edrend�u ciklikus csoport�

Bizony��t�as A Schurlemma miatt a centrum skal�arral val�o szorz�asokb�ol �all�Ha a �vel val�o szorz�as ilyen� akkor az el�oz�o �all��t�asban �djdiHi � V � vagyis �rendje oszt minden fokot� Ford��tva� ha � rendje oszt minden fokot� akkor am�asodik r�esz szerint valamely g � Gre V �g� �� � V �

p

��

Page 31: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

De�n��ci�o �� Ha d � � tetsz�oleges eg�esz� akkor a d�vel oszthat�o fokok sz�am�ata�d� jel�oli�

A most kovetkez�o �all��t�as dont�o a tov�abbiak szempontj�ab�ol�

�All��t�as �� Egy G v�eges t�ukr�oz�es�csoportra az al�abbiak teljes�ulek�

i maxg�G dimV �g� �� � a�d�� ha � egy d�edik primit��v egys�eggy�ok� Speci��alisan pontosan akkor van olyan g � G� melynek � saj�at�ert�eke� ha dosztja legal�abb az egyik fokot�

ii Minden g�hez �es ��hez l�etezik h� hogy dimV �h� �� � a�d�� �es V �g� �� �V �h� ���

iii Ha dimV �g�� �� � dimV �g�� �� � a�d�� akkor van olyan h� mellyelV �g�� ��h � V �g�� ��� vagyis G tranzit��van hat �djdiHi irreducibilis kom�ponensein�

Bizony��t�as Azt tudjuk� hogy �ni��Hi � f�g� Ez�ert tetsz�oleges irreducibilis

komponenseiket �Ci� kiv�alasztva �ni��Ci � f�g� Ez azt jelenti� hogy a Cik

val�odi m�odon metszik egym�ast� s tetsz�oleges X � f�� �� � � � � ng r�eszhalmazra�i�XCi dimenzi�oja � n� jXj� Vagyis a metszet minden irreducibilis komponens�enek is ennyi a dimenzi�oja� aminek �All��t�as �� miatt speci�alis esete �i���ii� most m�ar szint�en azonnal kovetkezik �All��t�as ��b�ol�

Legyen teh�at a � a�d� � dimV �g�� ��� �Atsz�amozom az fiket �ugy� hogyaz els�o a darab foka legyen dvel oszthat�o� Mindegyiket megszor��thatomV �g�� ��re� Azt �all��tom� hogy ezek a megszor��t�asok algebrailag fuggetlenek�

jeloli a kovetkez�o mor�zmust a V �g�� �� �es a Ca variet�asok kozott�

�v� � �f��v�� � � � � fa�v���

Mivel Hj � V �g�� ��� ha j � a� �es �ni��Hi � f�g� ��gy a ������ � � � � ��� �brum

csak a f�gb�ol �all� De az egy kozismert algebrai geometriai t�eny� hogy ezen�brum dimenzi�oja legal�abb a� dim �V �g�� ���� vagyis a � dim �V �g�� ����De ez csak �ugy lehet� ha az fik megszor��t�asai val�oban algebrailag fuggetlenek�

U� � V �g�� �� jeloli azokat a vektorokat� amelyek egyetlenegy m�asikmaxim�alis V �h� ��ben sincsenek benne� Vil�agos� hogy U� ny��lt halmaz aZariskitopol�ogi�aban� � �es U� ugyanezeket jelentik V �g�� �� eset�en�

��

Page 32: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

�U�� �es ��U�� is ny��lt� nemures r�eszhalmazai Canak� ��gy nemures� ny��lta metszetuk� �v�� � ��v�� azt jelenti� hogy fi�v�� � fi�v�� minden ire� �i � a eset�en ugyanis mindkett�o ��� De Lemma �� miatt ekkor vanh � G� mellyel v�h � v�� Most v� � V �g�� ��h � V �hg�h

��� ��� s ez�ertV �g�� ��h � V �g�� ���

p

De�n��ci�o � Egy v vektort regul�arisnak h��vunk� ha nincs benne egyik t�uk�or�hipers��kban sem� azaz nem mer�oleges egyik gy�okre sem� Egy g elem�et at�ukr�oz�es�csoportnak regul�arisnak mondjuk� ha van regul�aris saj�atvektora�

Az al�abbi �all��t�as ismert�

�All��t�as � Ha v egy vektor� Gv a G�beli stabiliz�atora� akkor

i v pontosan akkor regul�aris� ha Gv � ��

ii Gv�t gener�alj�ak a benne l�ev�o t�ukr�oz�esek�

�All��t�as �� Ha � egy primit��v d�edik egys�eggy�ok� g egy olyan eleme a Weyl�csopornak� hogy V �g� �� tartalmaz regul�aris vektort� v�t� akkor

i o�g� � d�

ii dimV �g� �� � a�d��

iii G �ii� tulajdons�ag�u elemei egy konjug�altoszt�alyt alkotnak�

iv g saj�at�ert�ekei ���di�k�

Bizony��t�as Most gd �x�alja vt� ��gy gd � �� m�asr�eszt kisebb kitev�ovel ez m�egnem lehet igaz� Ez mutatja �i�t�

A kor�abbi �All��t�as �� szerint van olyan h � G� hogy dimV �h� �� � a�d���es V �g� �� � V �h� ��� vagyis vh��g � v� ami mutatja� hogy h � g� �es �ii� ismegvan� Hasonl�o gondolatmenettel jon �All��t�as ��b�ol �iii��

Az utols�o r�esz bizony��t�asa hasonl�o a Coxeterelemek eset�en ismerthez� V nek legyen egy gsaj�atvektorokb�ol �all�o b�azisa fv � v�� v�� � � � � vng� a saj�at�ert�ekek f�� �m� � � � � � �mng� Mivel v� nincs benne egyetlen tukorhipers��kban sem���gy J�v�� � �� Vagyis a Jacobidetermin�ans kifejt�ese sor�an legal�abb egy

��

Page 33: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

nemnulla tag l�ep fel� Alkalmas �atindexel�es ut�an feltehet�o� hogy fi xi

nemnullav�en� �i � �� �� � � � � n�� Ez azt jelenti� hogy �ai � �val�

�fi�xi

� aixdi��� � tobbi koordin�atafuggv�enyt tartalmaz�o tagok�

Vagyis deriv�al�as el�ott

fi � aixdi��� xi � marad�ek�

Ha most mindk�et oldalt gvel szorozzuk� �es fi invarianci�aj�at haszn�aljuk� akkor

fi � ai���di�mixdi��

� xi � � � �

mutatja� hogy �� di �mi � � �mod d�� ami �iv�t adja�p

Regul�aris elemekre most m�ar bebizony��that�o a k��v�ant �all��t�as�

�All��t�as �� Legyen g regul�aris� d�edrend�u eleme egy G Weyl�csoportnak�Ekkor minden d�hez relat��v pr��m i eg�esz sz�amra g � gi�

Bizony��t�as Mivel G Weylcsoport� ��gy eg�esz m�atrixokkal reprezent�alhat�oakaz elemei� vagyis ha egy dedik primit��v egys�eggyok� � gnek saj�at�ert�eke�akkor minden m�as dedik primit��v egys�eggyok is� �es a multiplicit�asok megegyeznek� Azaz ginek is saj�at�ert�eke �� ugyanazzal a multiplicit�assal�

Mivel g regul�aris� van egy regul�aris saj�atvektora v� a saj�at�ert�eke �� �es az�all��t�as kovetkezik a kor�abbiakb�ol�

p

Az al�abbiakban Q jeloli a gyokrendszer �altal kifesz��tett r�acsot� P pedig as�ulyok �altal kifesz��tettet� �Vagyis ennek eleme egy v vektor� ha minden �

gyokre� ��v��������

� ZZ�� Ekkor P�Q egy �v�eges� Abelcsoport� rendj�et jelolheti e�

�All��t�as �� Ha g eleme a GWeyl�csoportnak� akkor P �g��� � Q� Tov�abb�a�ha p egy pr��m� v � P �es v�g� �� � pQ� akkor g el�o�all olyan t � G t�ukr�oz�esekszorzatak�ent� melyekre v�t� �� � pQ�

Bizony��t�as Az �all��t�as els�o r�esze igaz tukroz�esekre� Tetsz�oleges gt el�o�all��thatunk tukroz�esek szorzatak�ent� amib�ol e tukroz�esek sz�am�ara vonatkoz�o indukci�oval �g � g�t��

v�g � �� � v�g� � ��t� v�t� �� � Q�

��

Page 34: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

A m�asodik r�esz bel�at�as�ahoz haszn�alom a du�alis gyokrendszer a$n Weylcsoportj�at� amely izomorf Gnek �es a Qeltol�asoknak a szemidirekt szorzat�aval�

Ha v � P �es v�g� �� � pQ� akkor legyen w � �pv� Ekkor wt �x�alja egy h

eleme az a$n Weylcsoportnak� �Hiszen wg �es w kulonbs�ege Qbeli� vagyish r�aad�asul g eltol�as�� De ekkor h el�o�all wt �x�al�o tukroz�esek szorzatak�ent��Ez anal�og az �All��t�as �hoz�� Egy �altal�anos ilyen tukroz�es �� egy gyok� kegy eg�esz��

t��k � x �� x� ����� x�� k�

�������

Ezzel wt��k � w azt jelenti� hogy v�t� � �� � pQ� Abb�ol� hogy h ilyenekszorzata m�ar kovetkezik az �all��t�as� ugyanis hnak a szemidirekt szorzatbeli�komplementum�r�esze g�

p

�All��t�as � Ha g eleme a G Weyl�csoportnak� akkor det�g � �� egy e�veloszthat�o eg�esz sz�am� Tov�abb�a� ha det�g � �� � �e� akkor G�nek egy val�odiWeyl�r�eszcsoportja is tartalmazza g�t� A Weyl�r�eszcsoport olyan r�eszcso�port� amely egy r�esz�gy�okrendszer Weyl�csoportja�

Bizony��t�as Az �all��t�as els�o r�esze persze azonnal kovetkezik az el�oz�ob�ol� Hadet�g � �� � �e� akkor lehet det�g � �� � �� vagyis g �x�al egy nemnullavektort� amikoris tudjuk� hogy benne van egy Weylr�eszcsoportban� Hiszena vt �x�al�o csoportelemek ilyet alkotnak �All��t�as � szerint�

Ha det�g � �� nem �� akkor pedig van egy p pr��m� hogy pejdet�g � ����Igy van egy v � P n pP vektor� hogy v�g � �� � pQ�

Jelolje R� azoknak az � gyokoknek a halmaz�at� melyekre

��v� ��

������ � �mod p��

Egyszer�u sz�amol�as mutatja� hogy R� is gyokrendszer� r�aad�asul val�odi r�eszrendszer� hiszen v � pP � �Igy a Weylcsoportja �ami az el�oz�o �all��t�as szerintGnek reszcsoportja� is kisebb�

p

Az al�abbi redukci�os t�etel nagyon hasznos indukci�os bizony��t�asok eset�en� Azitt bebizony��tott kovetkezm�enyen k��vul p�eld�aul azt is be lehet l�atni a seg��ts�eg�evel� hogy egy Weylcsoport minden eleme el�o�all legfeljebb k�et invol�uci�oszorzatak�ent� �Ami egy�ebk�ent minden v�eges tukroz�escsoportra is igaz��

��

Page 35: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

T�etel � Legyen G egy irreducibilis gy�okrendszer Weyl�csoportja� g � Gtetsz�oleges� Ekkor az al�abbiak k�oz�ul legal�abb egy igaz�

i g G�nek egy Weyl�r�eszcsoportj�aban is benne van�

ii g regul�aris�

iii �� � G� �es �g�re teljes�ul �i��

iv a gy�okrendszer t��pusa Dn� �es g�nek k�et orbitja van� mindkett�o negat��v�

A bizony��t�as sajnos esetsz�etv�alaszt�asos� amelynek szuks�egess�eg�et az utols�oeset l�ete is indokolja� A bizony��t�as helyett ez�ert csak le��rom� hogy mit jelentaz utols�o eset�

Bn gyokrendszere� �ei � ej� �i � j�� illetve �ei� �Itt eik a standardb�azisvektorokat jelentik IRnben�� Ha h eleme a Weylcsoportnak� akkoregi � �iei� valamilyen �i � �� el�ojelekkel��es valamilyen � permut�aci�oval� �egy orbitj�at h orbitj�anak is h��vjuk� Egy ilyen fi� i�� � � � � i�l��g horbitra aztmondjuk� hogy pozit��v� ha

l��Y

j�

�i�j � ���

Ellenkez�o esetben az orbit negat��v�Mivel Dn Weylcsoportja r�eszcsoportja Bn Weylcsoportj�anak� ��gy a de�

n��ci�o r�a is �erv�enyes�Tulajdonk�eppen a fentihez hasonl�o volt a gondolatmenet T�etel �� bi

zony��t�asakor�

T�etel � Egy G Weyl�csoport minden karakter�ert�eke racion�alis�

Bizony��t�as Indukci�oval bizony��tom� hogy minden eleme konjug�alt a hatv�anyaival� jGj � � eset�en trivi�alis� Az indukci�o miatt feltehet�o� hogy Girreducibilis�

Legyen g � G tetsz�oleges� Ha r�a az el�oz�o t�etelben az els�o k�et lehet�os�egegyike teljesul� akkor m�ar tudjuk� Ha a harmadik �all fenn� akkor o�g� p�aros�de indukci�oval minden o�g�hez relat��v pr��m kra gk � ���g�k � ���g� � g�hiszen �� centr�alis�

Az utols�o esetet m�ar n�eztem kor�abban�pp

��

Page 36: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

� Megjegyz�esek

Az id�orend

����� F� M� Markel����� Minden szuperfeloldhat�o racion�alis G csoportf�� �gcsoport� �Ot f�oleg azok a csoportok �erdekelt�ek� amelyekben mindenkonjug�altoszt�alym�eret csak egyszer fodul el�o� Az ilyenek persze mind racion�alis csoportok�

����� Roderick Gow���� Minden feloldhat�o racion�alis csoport f�� �� �gcsoport� Ha a felbont�asi test Q� akkor f�� �gcsoport�

�� �� P� Fitzpatrick� �� Ha Gben minden ugyanannyiadrend�u elem konjug�alt� akkor G �� S�� S�� S lehet csak�

�� �� Elenia Farias e Soares���� Minden � � �ra van A � A��� � ��hogy minden G pfeloldhat�o csoportra� ha karakter�ert�ekei Kban vannak�ahol jK � Qj � n� akkor p � A���n�� � ��

�� � Walter Feit� Gary Seitz���� Tetsz�oleges v�eges csoportra a nemciklikus� nemaltern�al�o kompoz��ci�ofaktorokra csak v�eges sok lehet�os�eg van� haG minden karakter�ert�eke egy nedfok�u b�ov��t�es�eben van Qnak� Racion�aliscsoportra �n � �� ezek konkr�et meghat�aroz�asa�

John G� Thompson� Racion�alis csoportnak ciklikus kompoz��ci�ofaktora iscsak Z�� Z� Z�� Z�� Z�� lehet�

K�erd�esek az al�abbiak� Egy r�eszukon m�ar gondolkoztam� de att�ol m�eglehet� hogy trivi�alis r�ajuk a v�alasz�

Mit lehet mondani a be�agyaz�asr�ol Igaze valami ilyen �all��t�as��MindenH� � cpcsoport be�agyazhat�o H� � cpcsoportba�� �Gow megmutatta�hogy minden f�� �gcsoport be�agyazhat�o olyan f�� �gcsoportba� amelynek Q a felbont�asi teste��

Lehete jav��tani az �All��t�as ot r�eszcsoportra� illetve �nom��that�oenorm�aloszt�ora

Mit lehet mondani a nevezetes r�eszcsoportokr�ol Az �altalam vizsg�altesetekben p�eld�aul minden racion�alis csoport �Sylowja is racion�alis��De �altal�aban az nem igaz� hogy ha minden elem konjug�alt az otodikhatv�any�aval� akkor ez a �Sylowban is teljesul�� A tobbi Sylowr�ol perszecsak gyeng�ebb kovetkeztet�es k�erhet�o sz�amon�

��

Page 37: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

Persze a f�o k�erd�es� Igaze� hogy n � cpcsoport rendj�enek pr��moszt�oikorl�atosak R�eszk�erd�esek� Igaze feloldhat�oakra Igaze val�osakra

Mi mondhat�o egy ��cpcsoport szerkezet�er�ol Az osszes �altalam ismertesetben az �Sylow elemi Abel norm�aloszt�o�

�Altal�aban mondhat�oe valami az n�cpcsoportok szerkezet�er�ol� karaktereir�ol

Egy�altal�an� vane �ertelme a k�erd�esnek Lehete� p�eld�aul m�as t��pus�uk�erd�esek megv�alaszol�as�ara haszn�alni

Mit lehet mondani v�egtelen csoportokr�ol

Irodalom

��� N� Bourbaki� Groupes et alg�ebres de Lie� IV��VI� Hermann� Paris� ��� �

��� R� W� Carter� Conjugacy classes in the Weyl group� Compositio Math������%��� �����

��� R� W� Carter� Finite groups of Lie type� Conjugacy classes and complexcharacters� Wiley Interscience� London� �� ��

��� J� H� Conway� R� T� Curtis� S� P� Norton� R� A� Parker� and R� A�Wilson� Atlas of nite groups� Clarendon Press� Oxford� �� ��

��� C� W� Curtis and I� Reiner� Representation Theory of Finite Groupsand Associative Algebras� Interscience� New York� �����

��� Elenia Farias e Soares� Big primes and character values for solvablegroups� J� Algebra� �������%���� �� ��

��� Walter Feit and Gary M� Seitz� On �nite rational groups and relatedtopics� Illinois J� Math�� ������%���� �� �

� � P� Fitzpatrick� Order conjugacy in �nite groups� Proc� Roy� Irish Acad�� �A���%� � �� ��

��� Roderick Gow� Groups whose characters are rational valued� J� Algebra����� �%���� �����

��

Page 38: Konjugálás és hatványozás véges csoportokban

���� Philip Hall� Some constructions for locally �nite groups� J� LondonMath� Soc�� ������%���� �����

���� James E� Humphreys� Re�ection Groups and Coxeter Groups� Cambridge University Press� Cambridge� �����

���� B� Huppert� Endliche Gruppen I� SpringerVerlag� New York� ��� �

���� B� Huppert and N� Blackburn� Finite Groups III� SpringerVerlag�Berlin&Heidelberg&NewYork� �� ��

���� F� M� Markel� Groups with many conjugate elements� J� Algebra� �����%��� �����

���� D� Quillen� The Adams Conjecture� Topology� �����% �� �����

���� T� A� Springer� Regular elements of �nite re#ection groups� Invent�Math�� ������%�� � �����

��