Teorema Binomial (x+y)n = C(n,0)xn + C(n,1)xn-1y + C(n,2)xn-2y2 +

… + C(n,n-1)xyn-1 + C(n,n)yn.

BuktiMenghitung banyaknya xn-jyj , untuk suatu j=0,1,2,…,n, sama dengan memilih (n-j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien xn-j yj adalah C(n,n-j).

Koefisien Binomial

Koefisien Binomial (2)Akibat 1

1. C(n,j) = C(n,n-j).

2. C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2n.

nn

k

k

n

k

k

knC

knC

3),(2.4

0),()1(.3

0

0

Bukti1. Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama

dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen.2. Pilih x = y = 1.3. Pilih x = -1 dan y = 1.4. Pilih x = 1 dan y = 2.

Identitas dan Segitiga PascalIdentitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k).

Bukti• Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, aT. • Misal S = T-{a}. • Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang

mempunyai k elemen. • Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat

memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a.

• Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).

Identitas Vandermonde

Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka,

Bukti• Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan

n elemen. • Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB

adalah C(m+n,r).• Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan

memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0≤k≤r.

• Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k).

• Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah

r

k

knCkrmCrnmC0

),(),(),(

r

k

knCkrmC0

),(),(

Soal 1

BuktikanC(2n,n) = C(n,0)2 + C(n,1)2 + … + C(n,n)2

dengan 3 cara:

1. Menggunakan Identitas Vandermonde.

2. Memandang pemilihan n orang dari 2n orang yg terdiri dari n pria dan n wanita

Perluasan permutasi dan kombinasi

Permutasi dengan pengulanganKombinasi dengan pengulanganPermutasi dengan obyek yang tidak

dapat dibedakanDistribusi obyek ke dalam kotak

Permutasi dengan pengulangan

Contoh 1 Berapa banyak string panjang n yang dapat dibentuk dari alfabet ? Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan karena setiap huruf dapat digunakan berulang maka ada 26n string panjang n.

Teorema 3Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan adalah nr.

Kombinasi dengan pengulangan

Contoh 2 Ada berapa cara untuk memilih 3 buah dari wadah yang berisi rambutan, duku, pisang, dan manggis, jika urutan pengambilan tidak penting, dan setidaknya ada 4 buah dalam setiap jenis buah.

Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10, $20, $50 dan $100?

Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk masing-masing pecahan.

Solusi• Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang

kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5 dengan pengulangan dari himpunan dengan 7 elemen.

• Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.

Contoh 3

• Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat (5* + 6|).

| | | ** | | | *** : 3 $1 + 2 $10

*| * | ** | | * | | : $5 + 2 $20 + $50 + $100

Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas = banyaknya cara menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat = C(11,6) = 462.

Contoh 3 (2)

Kombinasi dengan pengulangan (2)

Teorema 4Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan anggota.

Contoh 4Ada berapa banyak solusi dari

x1 + x2 + x3=11, jika x1, x2, x3 bil bulat nonnegatif ?

SolusiMenghitung solusi = menghitung cara memilih 11 bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2 pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.

a. Ada berapa banyak solusi dari x1 + x2 + x3 ≤ 11,

bila x1, x2, x3 bilangan bulat nonnegatif?

b. Ada berapa banyak solusi dari x1 + x2 + x3= 11,

bila x1, x2, x3 bilangan bulat dan x1 1, x2 2 dan x3 3 ?

Soal 2

Permutasi dan kombinasi dengan pengulanganTipe Pengulangan? Rumus

r-permutasi Tidak

r-kombinasi Tidak

r-permutasi Ya

r-kombinasi Ya

)!(

!

rn

n

)!1(!

)!1(

nr

rn

)!(!

!

rnr

n

rn

Contoh 5Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS ?

SolusiKarena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf.

Tapi, banyaknya adalah:C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat;C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya; C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya;C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya;

Jadi banyak string ada: C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.

Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan

Teorema 5

Jumlah permutasi dari n obyek,

di mana terdapat

n1 obyek tipe 1,

n2 obyek tipe 2, … , dan

nk obyek k,

adalah:!!!

!

21 knnn

n

Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan (2)

Distribusi obyek ke dalam kotak

Contoh 6Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu

pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5 kartu?

Solusi• Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara• Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara• Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara• Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara• Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah

C(52,5) . C(47,5) . C(42,5) . C(37,5)

!32!5!5!5!5

!52

!5!32

!37

!5!37

!42

!5!42

!47

!5!47

!52

Distribusi obyek ke dalam kotak

Teorema 6

Banyaknya cara untuk mendistribusikan n obyek yang dapat dibedakan ke dalam k kotak yang dapat dibedakan sehingga ni buah obyek ditempatkan dalam kotak i, i=1,2,…,k adalah

!!!

!

21 knnn

n

Soal-soal1. Latihan 4.5.11

Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan 80 uang logam Rp. 1000 yang identik. (Solusi: 9)

2. Latihan 4.5.17 Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Solusi: 2520)

3. Latihan 4.5.25 Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 1000000 dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan 19?

4. Latihan 4.5.13Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Solusi: 4504501)

5. Latihan 4.5.39Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif, 1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif.