Embed Size (px)
Citation preview
KONSEP DASAR
MATEMATIKA II Hardi, M.Pd.
Seri Modul
Mata
Kuliah
PGMI – FITK – IAIN SURAKARTA
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah wa Syukurillah, penyusunan Modul Mata Kuliah Dosen di Program
Studi Pendidikan Guru Madrasah Ibtidaiyah (PGMI) Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
(FITK) Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Surakarta ini bisa diselesaikan dengan baik.
Kami selaku pengelola Prodi, sangat mengapresiasi dan mengucapkan banyak terima kasih
kepada para dosen di Prodi PGMI IAIN Surakarta, baik dosen tetap dalam Prodi dan di luar
Prodi, yang sudah berkenan dan merelakan waktu serta pikiran guna terselesaikannya
penyusunan Modul ini. Kepada mereka semua, kami hanya mampu mendo’akan semoga
perjuangan dan pengorbanan mereka mendapatkan balasan yang lebih dari Allah Swt. Amin.
Penyusunan Modul Mata Kuliah ini berfungsi untuk menjadi panduan bagi dosen
terkait khususnya dan bagi mahasiswa PGMI IAIN Surakarta pada umumnya. Hal ini
dimaksudkan supaya proses perkuliahan berjalan dengan baik, mudah, terarah, terukur dan
sesuai dengan visi-misi Prodi dan juga Visi-Misi Fakultas serta Institut.
Sekali lagi, kami ucapkan banyak terima kasih kepada para dosen penyusun, dan
semoga modul ini bermanfaat dan mendapatkan ridla Allah Swt. Amin.
Surakarta, 10 Juni 2018
Kaprodi PGMI FITK IAIN Surakarta
Dr. Saiful Islam, M.Ag.
NIP. 19621024 199203 1 002
iii
������������������������������������
My partner in adventure, Budi Sigit Purwono
My future, Haysen Pramudya Yuwono
My parents, Bapak Sardi Hadisiswoyo & Ibu Jiyah
“Hanya dengan cinta, hidup ini terasa indah”
= Terima kasih =
iv
DAFTAR ISI
Daftar Isi Halaman
Halaman Cover ............................................................................................. i
Kata Pengantar ............................................................................................. ii
Persembahan ................................................................................................ iii
Daftar Isi ........................................................................................................ iv
BAB I. HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan ........................................................................... 1
B. Hubungan Dua/Lebih Himpunan ........................................................... 3
C. Sifat-sifat pada Operasi Himpunan ....................................................... 8
BAB II. RELASI DAN FUNGSI
A. Relasi ................................................................................................... 9
B. Fungsi .................................................................................................. 11
BAB III. SISTEM BILANGAN
A. Bilangan Asli ........................................................................................ 16
B. Bilangan Bulat ..................................................................................... 17
C. Bilangan Rasional ................................................................................ 17
D. Bilangan Real ...................................................................................... 18
E. Bilangan Kompleks .............................................................................. 18
F. Operasi pada Bilangan ........................................................................ 18
BAB IV. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Persamaan Linear ............................................................................... 20
B. Pertidaksamaan Linear ........................................................................ 24
BAB V. DERET
A. Barisan dan Deret Aritmatika ............................................................... 29
B. Barisan dan Deret Geometri ................................................................ 31
C. Deret Tak Hingga ................................................................................ 32
BAB VI. LOGARITMA ................................................................................. 33
BAB VII. GEOMETRI TRANSFORMASI
A. Translasi ............................................................................................... 36
B. Refleksi................................................................................................. 39
C. Rotasi ................................................................................................... 42
D. Dilatasi ................................................................................................. 44
��������������� ������ 33
BAB VI LOGARITMA
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Apakah
Anda pernah mempelajari materi “Bilangan Berpangkat”? Kalau belum, maka tak
ada salahnya mengulang materi tersebut. Permasalahan tentang logaritma
banyak ditemukan pada permasalahan Fisika, Kalkulus, Persamaan Diferensial,
ataupun bidang ilmu lainnya. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan
persamaan yang per-pangkat-annya tidak diketahui. Differensial-nya mudah
dicari, oleh karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral.
Dalam persamaan bO = x,b dapat dicari dengan peng-akar-an, n dicari dengan
logaritma, sementara x dapat dicari dengan fungsi eksponensial.
Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah!
Problem Perpangkatan Logaritma Hasil
����
��� = �G� ��� �
��� = ����G��� −�
���
��� = �G� ��� ��� = ����G��� −�
… ��� = ⋯ ��� ��� = ����G��� …
… … = �G� … −�
��
��� = ⋯ ����� = ����G��� …
� … = �� … �
� … = … … 1
9 … = �� ���� = ������� …
dst… … … …
�� �� ������ n
Jika angka 3 Anda ganti dengan a, maka Anda akan dapatkan suatu bentuk
umum, yaitu:
� = ��⟺ ���� = ���� �� = ��
��������������� ������ 34
Dimana:
a : bilangan pokok (basis), � > 0���� ≠ �
x : bilangan yang ditarik logaritmanya (numerus), � > 0
n : hasil penarikan logaritma (pangkat)
Perhatikan:
� = �� ⟺ ���� = ��
� = �� ⟺ ��� � = ��
��� ���������� ��
�
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Jika p, x, dan y bilangan real positif serta p≠1, maka
1. ��� �� = ��� � + ��� ����
2. ��� ��� = ��� � − ��� ���
3. ������ = � ��� ��
4. ��� � = ��� �����
�
5. ��� �. ��� � = ��� ����
6. ��� � = ��� � ⟺ � = ���
7. ������� = �������, dimana m, n ∈ � dan � ≠ �
������&�
� Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok
logaritmanya adalah 10.
� Dalam logaritma naturalis, ��� � = �� �� , dimana � ≈ �, ��
� ����� adalah cara penulisan untuk (��� �)�, bedakan dengan ��� �� = � ����. Sifat 1: Jika p, x, dan y bilangan real positif serta p≠1, maka
��� �� = ���� + ��� ����
Bukti:
Misalkan ��� � = � dan ��� � = ¡�
, maka
� = � dan � = �¡
��������������� ������ 35
�. � = � . �¡ �. � = � ¢¡ ��� �� = + ¡�
��� �� = ��� � + ��� ����, terbukti
Jadi: ��� �� = ��� � + �������
'�����������������$��(��$���������������� ���������%!�������������� ����
��������������� ������ 36
BAB VII GEOMETRI TRANSFORMASI
Transformasi atau perpindahan yang akan dipelajari pada kesempatan ini
meliputi, translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan
dilatasi (perkalian). Transformasi yang dimaksud dalam materi ini adalah
transformasi bidang, yaitu memetakan tiap titik pada bidang ke suatu titik pada
bidang tersebut. Hal yang sangat bermanfaat untuk mempelajari transformasi ini
dalam rangka pengembangannya adalah apabila transformasi tersebut dilakukan
pada bidang koordinat Cartesius. Oleh karena itu, untuk mempelajari materi ini
Anda harus sudah memahami dengan baik tentang bidang koordinat Cartesius
serta beberapa persamaan garis lurus yang ‘istimewa’, misalnya persamaan garis
y=x, y=-x, dan sebagainya.
Banyak persoalan-persoalan dalam matematika, fisika, teknik, ataupun ilmu
lainnya, yang dengan menggunakan matematika menjadi lebih mudah dan
sederhana apabila diselesaikan dengan menggunakan transformasi. Berikut akan
dijelaskan jenis transformasi satu persatu:
A. TRANSLASI
Perhatikan gambar sebuah benda di bawah ini!
Sebuah pigura foto yang mengalami perpindahan, dalam hal ini adalah pergeseran
dari suatu tempat, yaitu posisi awal yang setelah bergeser menempati suatu posisi
akhir, sebagimana dapat dilihat pada gambar di atas. Perhatikan sekali lagi, di sini
yang benda hanya mengalami pergeseran saja, dengan tidak mengalami
posisi awal posisi akhir
bergeser
A B
��������������� ������ 37
perubahan bentuk ataupun ukurannya. Inilah yang dimaksud dengan translasi. ����
����������������
� Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan
titik (benda) pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Misalkan pada contoh
gambar di atas, posisi awal itu kita namakan A dan posisi akhir kita namakan B,
dapat dituliskan “A⟶B”, maka jarak/panjang translasi dinyatakan oleh panjang
ruas garis AB dan arah translasi dinyatakan dengan anak panah. Untuk
selanjutnya, panjang dan arah pergeseran pada translasi A⟶B dinyatakan
dengan simbol AB¤¤¤¤¤¥. AB menyatakan besar (panjang) translasi dan anak panahnya
menyatakan arah dari A menuju B. selanjutnya AB¤¤¤¤¤¥ disebut vektor translasi.
Perhatikan contoh berikut!
Pada gambar di atas, ∆ABC ditranslasikan dengan vektor BE¤¤¤¤¤¥ menjadi
∆DEF. Pada translasi ini, A⟶D, B⟶E, dan C⟶F, sehingga vektor-vektor
AD¤¤¤¤¤¥, BE¤¤¤¤¤¥, dan CF¤¤¤¤¥ mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama. Dengan kata
lain, AD¤¤¤¤¤¥ = BE¤¤¤¤¤¥ = CF¤¤¤¤¥. ∆DEF disebut bayangan (peta translasi) dari ∆ABC oleh translasi dengan
vektor BE¤¤¤¤¤¥. Perhatikan bahwa hasil translasi, yaitu ∆DEF dan segi tiga yang
ditranslasikan, yaitu ∆ABC merupakan dua segi tiga yang kongruen.
A B
D E
F
C
��������������� ������ 38
Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan suatu
translasi pada bidang koordinat Cartesius yaitu dengan menggunakan suatu
pasangan bilangan.
Pada gambar di atas, tampak vektor-vektor translasi yang diwakili oleh
ruas garis-ruas garis dengan anak panah yang besar dan arahnya sama.
Translasi dengan vektor ini menyatakan bahwa setiap titik pada bidang
ditranslasikan dua satuan ke kanan dan tiga satuan ke atas, yang dapat ditulis
«23¬. Misalnya, pada translasi «23¬ ini, titik A(1,3) dipetakan ke titik A’(3,6). Titik
B(-5,2) dipetakan ke titik B’(-3,5). Titik C(-4,-5) dipetakan ke titik C’(-2,-2). Titik
D(4,0) dipetakan ke titik D’(6,3). Apakah Anda dapat menyimpulkan bahwa pada
translasi «23¬ ini, titik P(x,y) dipetakan ke titik P’(x+2,y+3)? Sehingga secara umum
Anda dapat menyimpulkan bahwa translasi «ab¬ memetakan titik Q(x,y) ke titik
Q’(x+a,y+b)? !������������������
Secara umum, dapat dituliskan:
T=«ab¬: P(x,y) ⟶ P’(x+ a, y + b)
Dimana, titik P’ disebut bayangan titik P oleh translasi T= «23¬
x
y
A
A’
B
B’
C’
C
D
D’
��������������� ������ 39
Contoh:
Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi «42¬ Penyelesaian:
Misalkan titik P (3,-7), maka
T= «42¬ : P(3,-7) ⟶ P’(3+4,-7+2) = P’(7,-5).
Jadi bayangan titik (3,-7) oleh translasi «42¬ adalah (7,-5).
Suatu vektor translasi, selain dapat dinyatakan dengan dua huruf besar
dengan anak panah di atasnya, dapat pula dinyatakan dengan sebuah huruf kecil
yang dibubuhi garis di bawahnya, seperti berikut.
Sehingga dapat dikatakan QR¤¤¤¤¤¥ = v .
B. REFLEKSI
Ketika kita sedang bercermin, di belakang cermin tampak bayangan kita.
Bayangan itu sama dengan kita, baik bentuk mapun besarnya, perbedaannya
terletak pada arahnya, yaitu berlawanan, karena kita dan bayangan kita saling
berhadapan.
Perhatikan gambar di atas! Garis m dipandang sebagai cermin. Oleh
cermin m ini, bayangan dari ∆ABC adalah ∆EFG. Dalam matematika, dapat
dikatakan juga bahwa oleh cermin m bayangan dari ∆EFG adalah ∆ABC. Apabila
refleksi diberi simbol M, maka pencerminan oleh garis m ditulis M°. Dengan
Q
R
v
A E
G
B=F
C
m
��������������� ������ 40
pencerminan oleh garis m, bayangan ∆ABC adalah ∆EFG, yang dinotasikan M°:
∆ABC ⟶ ∆EFG. "����������������������������$������
Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-
titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan
dilambangkan dengan M°, dimana m adalah sumbu cermin.
Bangun (bentuk) dan besar benda dan bayangan selalu sama, sehingga
benda dan bayangannya dikatakan kongruen, yang diberi notasi “≅”.
Pada pencerminan M°, ∆ABC sama dan sebangun dengan ∆EFG,
sehingga dapat ditulis ∆ABC ≅ ∆EFG. Bayangan titik B adalah titik F, sehingga
B=F. Suatu titik yang bayangannya adalah titik itu sendiri disebut titik tetap
(invarian). Jadi, titik B tersebut adalah suatu titik invarian, sehingga dapat
dikatakan bahwa semua titik-titik pada cermin merupakan titik-titik invarian.
Jika titik A dan E dihubungkan, maka garis AE tegak lurus terhadap garis m
(cermin). Bayangan AD adalah ED, dan bayangan ED adalah AD, sehingga
bayangan AE adalah EA. Padahal AE sama dengan EA, maka bayangan AE
adalah garis itu sendiri. Selanjutnya, dikatakan bahwa garis AE terhadap
pencerminan dengan garis m merupakan garis tetap (garis invarian), tetapi tidak
titik per titik.
Contoh:
Tentukan bayangan sebuah jajar genjang ABCD oleh pencerminan terhadap
sumbu y
x
y
D(-7,7) C(-4,8)
B(-3,-2) A(-6,-3)
��������������� ������ 41
Penyelesaian:
M²: ABCD⟶ A’B’C’D’
Maka, bayangan titik sudut-titik sudutnya adalah sebagai berikut.
M²: A(-6,-3) ⟶ A’(6,-3)
B(-3,-2) ⟶B’(3,-2)
C(-4,8) ⟶ C’(4,8)
D(-7,7) ⟶D’(7,7)
Memperhatikan koordinat suatu titik dan koordinat bayangannya, dapat ditarik
kesimpulan bahwa:
M²: P(a,b)⟶ P’(-a,b)
!�������������������������������������%������������������(���������������������
����������������� ����
Contoh:
Diketahui, A(3,-2), B(1,5), dan C(-5,2). Titik-titik ini dicerminkan terhadap
garis x=-1, dan hasil pencerminan tersebut dicerminkan lagi terhadap garis
x=5. Tentukan bayangan terakhir dari titik A, B, dan C tersebut!
Penyelesaian:
Mv³k∘Mv³GH= translasi «120 ¬ karena jarak cermin x=5 dan x=-1 adalah 6.
Sehingga,
Mv³k∘Mv³GH: A(3,-2) ⟶A”(3+12,-2) = A”(15,-2)
B(1,5) ⟶B”(1+12,5) = B”(13,5)
C(-5,2) ⟶C”(-5+12,2) = C”(7,2)
Jadi, bayangan terakhir dari titik A, B, dan C adalah A”(15,-2), B”(13,5), dan
C”(7,2).
��������������������!� �������%������%����������������������
��������������� ������ 42
C. ROTASI
Apa yang Anda ketahui tentang rotasi? Coba, perhatikan ilustrasi berikut.
Pada gambar di atas, tampak bahwa ∆ABC diputar dengan pusat 0 sejauh
αQ menjadi ∆A’B’C’. Atau dapat dikatakan, pada rotasi dengan pusat 0 dan sudut
putar αQ, membawa ∆ABC ke ∆A’B’C’. Rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar αQ, ditulis dengan R(0,αQ). R(0,αQ): ∆ABC ⟶ ∆A’B’C’, dibaca “rotasi dengan pusat 0
dan sudut putar αQ, memetakan (membawa) ∆ABC ke ∆A’B’C’ “. Dalam hal ini
∆A’B’C’ disebut peta (bayangan) dari ∆ABC oleh R(0,αQ).
Tanda anak panah, menyatakan arah perputaran. Arah perputaran
ditunjukkan oleh besarnya sudut putar αQ. Jika besarnya sudut putar positif, maka
arah perputarannya positif yaitu berlawanan arah dengan arah jarum jam. Jika
besarnya sudut putar negatif, maka arah perputarannya juga negatif, yaitu searah
dengan arah jarum jam.
Contoh:
1. R(0,30Q) adalah suatu rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar 30Q dengan arah
positif.
2. R(0,−45Q) adalah suatu rotasi dengan pusat 0 dan sudut putar 45Q, tetapi
dengan arah negatif.
Perhatikan kembali gambar di atas!
R(0,αQ): ∆ABC ⟶ ∆A’B’C’, maka:
1. ∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = αQ 2. ∆A’B’C’ ≅ ∆ABC
3. Mempunyai tepat satu titik invarian, yaitu pusat perputaran O
¹
A
A’
B
B’
C
C’
O
��������������� ������ 43
Contoh:
Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas adalah suatu persegi panjang ABCD. 0 adalah titik pusat persegi
panjang tersebut (titik potong kedua diagonalnya). Maka,
R(0,180Q): A ⟶ C
B ⟶D
C ⟶A
D ⟶B
Jadi, R(0,180Q): ABCD ⟶ CDAB
Sehingga bayangan dari persegi panjang ABCD oleh R(0,180Q) tetap merupakan
bangun persegi panjang ABCD tersebut.
Sedangkan, jika R(0,360Q): ABCD ⟶ ABCD
Sekiranya jelas, bahwa bayangan dari persegi panjang ABCD oleh rotasi
satu putaran (360Q) dengan pusat 0 adalah persegi panjang itu sendiri. Dalam satu
putaran, persegi panjang menempati bingkai (tempat semula) sebanyak 2 kali,
yaitu ketika rotasi setengah putaranj (180Q) dan ketika rotasi satu putaran (360Q). Yang selanjutnya, dikatakan bahwa persegi panjang mempunyai simetri putar
tingkat 2. Masih ingat tentang simetri putar?
Contoh:
Pada pencermian terhadap sumbu y yang diteruskan dengan pencerminan
terhadap garis y=x, membawa titik-titik P(1,-3) dan Q(2,4) berturut-turut ke
PU dan QU. Nyatakan komposisi dua pencerminan tersebut sebagai suatu
rotasi searah jarum jam! Nayatakan pula transformasi itu sebagai suatu
rotasi berlawanan arah jarum jam!
Penyelesaian:
M²: P(1,-3) ⟶ PH(1,3)
Q(2,4) ⟶QH(2,-4)
D
A B
C
0
��������������� ������ 44
M²³v: PH(1,3) ⟶ PU(3,1)
QH(2,-4) ⟶ QU(-4,2)
Atau,
M²³v ∘ M² : P(1,-3)⟶ PU(3,1)
Q(2,4) ⟶ QU(-4,2)
M²³v ∘ M² = R(0,90Q) = R(0,−270Q)
R(0,90Q) adalah rotasi berlawanan arah jarum jam (arah positif)
R(0,−270Q) adalah rotasi searah jarum jam (arah negatif)
D. DILATASI
Apa yang Anda ketahui tentang dilatasi? Coba, perhatikan ilustrasi berikut.
Pada gambar di atas, tampak dua persegi panjang ABCD dab PQRS. Mari kita
lihat perbandingan panjang sisi-sisi persegi pajang ABCD dengan sisi-sisi psesgi
panjang PQRS.
AD : PS = 3 : 6 = 1 : 2
AB : PQ = 2 : 4 = 1 : 2
Dapat ditulis, PS : AD = PQ : AB = 1 : 2
º»¼½ =º¾¼¿ = UH = 2
Jika ditarik garis yang menghubungkan titik P dan A, Q dan B, S dan D, serta R
dan C, maka masing-masing garis hubung itu akan melalui titik O. Sehingga akan
diperoleh perbandingan OP : OA, OQ : OB, OR : OC, dan OS : OD yang selalu
sama dengan 2 : 1.
Atau,
ÀºÀ¼ =À¾À¿ =ÀÁÀ = À»À½ = UH = 2
A B
C D
S R
Q P
O
��������������� ������ 45
Ternyata nilai perbandingan ini sama dengan nilai perbandingan panjang sisi
persegi panjang PQRS dan sisi persegi panjang ABCD, yaitu sama dengan 2.
Jika diketahui letak titik O dan persegi panjang ABCD serta nilai
perbandingan itu, maka kita dapat menentukan persegi panjang PQRS. Proses
menentukan persegi panjang PQRS jika diketahui sebuah titik invarian O, persegi
panjang ABCD dan nilai perbandingannya, itulah yang disebut melakukan
dilatasi. Dengan demikian, apa yang dimaksud dilatasi? Dilatasi adalah suatu
transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu.
Selanjutnya, titik invarian O disebut pusat dilatasi, dan nilai perbandingan itu
disebut faktor skala.
Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, ditulis [O,2], sehingga untuk
contoh gambar dilatasi di atas, ditulis:
[O,2]: □ ABCD ⟶ □ PQRS
Dibaca: dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, membawa persegi panjang
ABCD ke persegi panjang PQRS.
Jika, [O,2]: □ ABCD ⟶ □ PQRS disebut juga perbesaran, sedangkan
«O, HU¬: □ ABCD ⟶ □ PQRS disebut pengecilan.
Apabila Anda perhatikan, koordinat titik bayangan dengan titik semula
terdapat hubungan, yaitu koordinat titik bayangannya sama dengan 2 kali
koordinat titik semula. Sehingga apabila suatu dilatasi dengan pusat O dan faktor
skala k, maka akan memetakan titik P(a,b) ke titik P’(ka,kb).
[O,k]: P(a,b) ⟶P’(ka,kb)
Jika pada rumus tersebut, k=1 maka akan diperoleh bahwa,
[O,1]: P(a,b) ⟶P’(a,b)
Oleh karena koordinat titik P sama dengan koordinat P’, ini artinya P dan P’
berimpit. Jadi, dilatasi [O,1] tidak mengubah suatu bangun (bangun tersebut
tetap). Dilatasi seperti ini dinamakan sebagai transformasi identitas. ����� [O,-
1] �������������������$!�������������������� �������������������
�
��������������� ������ 46
Contoh:
Tentukan bayangan titik-titik A(3,-2) dan B(-5,1) pada dilatasi dengan pusat
P(4,2) dan faktor skala 6!
Penyelesaian:
Jika [P,6]: A(3,-2)⟶ A’(x,y), maka
x = 6(3-4)+4 = -2
y = 6(-2-2)+2 = -22
Jadi, A’(-2,-22)
Jika [P,6]: B(-5,1)⟶ B’(x,y), maka
x = 6(-5-4)+4 = -50
y = 6(1-2)+2 = -4
Jadi, B’(-50,-4)
Akibatnya, [P,6]: A(3,-2) & B(-5,1)⟶ A’(-2,-22) & B’(-50,-4). ��������� �
��������������� ������ 47
BAB VIII LOGIKA MATEMATIKA
Logika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip
penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat
deduktif maupun induktif. Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis.
Praktis disini berarti logika dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.
Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat di Yunani. Dalam
usaha untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-
filsuf Yunani Kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan
menunjukkan kesesatan penalarannya. Logika digunakan untuk melakukan
pembuktian logika, menyatakannya ke dalam bentuk inferensi yang berlaku dan
yang tidak berlaku. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi,
tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang dari matematika.
Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran.
Logika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk
menilai apakah hasil suatu pemikiran benar/absah atau tidak. Hukum-hukum itu
akan digunakan pada proses pemikiran itu sendiri. Hal ini dapat memperbaiki
cara berpikir kita, yaitu dengan jalan mempelajari logika dalam rangka
menertibkan cara berpikir.
A. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
Perhatikan contoh-contoh kalimat berikut ini.
1. Sebuah segi empat mempunyai 4 sisi
2. Ibu kota provinsi Jawa Tengah adalah Semarang
3. 9 adalah bilangan prima
4. 12 kurang dari 7
Kita dapat menentukan nilai kebenaran (benar atau salah) dari kalimat-
kalimat tersebut. Kalimat 1 dan 2 bernilai benar, sedangkan kalimat 3 dan
4 bernilai salah. Kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau nilai salah
saja adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (kalimat deklaratif).
Kalimat inilah yang disebut sebagai pernyataan. Dengan kata lain,
��������������� ������ 48
pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau bernilai salah, tetapi
tidak sekaligus bernilai kedua-duanya.
Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya bukan
merupakan pernyataan, misalkan
1. Apakah Haysen berada di rumah? (kalimat tanya)
2. Alangkah indahnya lukisan itu (kalimat yang mengungkapkan suatu perasaan)
3. Tutuplah jendelanya! (kalimat perintah)
4. Semoga Anda lekas sembuh (kalimat harapan)
Kalimat-kalimat tersebut tidak bernilai benar dan juga tidak bernilai salah.
Kalimat-kalimat seperti itu, tidak dibicarakan dalam materi ini. Kalimat yang akan
dibicarakan dalam materi ini adalah kalimat yang merupakan kalimat.
Selanjutnya, untuk menyingkat penulisan, suatu pernyataan diberi
lambang dengan huruf alfabet kecil, misal a, b, s, dan sebagainya. Sementara,
untuk nilai benar dan salah berturut-turut disingkat dengan B dan S.
Contoh:
1. ‘Sebuah segi tiga mempunyai tiga sisi’, diberi lambang “a”
2. ‘9 adalah bilangan prima’, diberi lambang “b”
3. ’15 terbagi habis oleh 3’, diberi lambang “p”
Pada contoh tersebut, pernyataan a bernilai B, pernyataan b bernilai S,
sedangkan pernyataan p bernilai B.
Perhatikan pada contoh no.2, “b” menyatakan ‘9 adalah bilangan prima’,
dan pernyataan “b” ini bernilai S, sedangkan pernyataan ‘9 bukan bilangan prima’
bernilai B. Dikatakan bahwa, pernyataan ‘9 bukan bilangan prima’ merupakan
negasi (sangkalan/ingkaran) dari pernyataan ‘9 adalah bilangan prima’.
Selanjutnya, ‘negasi dari b’ dilambangkan dengan “~b”.
Pada contoh no.3, maka “~p” menyatakan, ’15 tidak terbagi habis oleh 3’.
Disini, “p” bernilai B sementara “~p” bernilai S. Dengan demikian, apa itu negasi?
Negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai salah
apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan
semula bernilai salah.
��������������� ������ 49
Contoh:
1. “a” menyatakan ‘Tembok itu berwarna putih’, maka “~a” adalah ‘Tembok itu
tidak berwarna putih’.
2. “d” menyatakan ‘Ida suka mangga’, maka “~d” adalah ‘Ida tidak suka mangga’
3. “p” menyatakan ’Siti lebih tinggi daripada Ani’, maka “~p” adalah ‘Siti tidak
lebih tinggi daripada Ani’
Pada contoh no.1, pernyataan ‘Tembok itu berwarna hitam’ bukan
merupakan negasi dari ‘Tembok itu berwarna putih’. Sebab apabila
kenyataannya ‘Tembok itu berwarna hijau’ maka dua pernyataan tersebut
semuanya bernilai salah.
Demikian pula untuk contoh no.3, negasi dari ‘Siti lebih tinggi daripada
Ani’ bukan ‘Siti lebih rendah daripada Ani’, sebab apabila kenyataannya, ‘Siti
sama tinggi dengan Ani’, maka dua pernyataan terakhir tersebut, semuanya
bernilai salah.
Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu
berbeda, artinya jika pernyataannya bernilai B, maka negasinya bernilai S, atau
sebaliknya jika pernyataannya bernilai S, maka negasinya bernilai B.
Sebagaimana dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 8.1 Nilai Kebenaran dari Negasi
a ~a ~(~a)
B S B
S B S
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau
lebih dengan kata penghubung. Pernyataan-pernyataan yang dirangkai masing-
masing disebut pernyataan tunggal. Sedangkan kata penghubung yang
dimaksud, yaitu “dan”, “atau”, “jika …maka”, dan “jika dan hanya jika”. Untuk
lambang-lambang dari kata penghubung tersebut, perhatikan tabel berikut:
��������������� ������ 50
Tabel 8.2 Lambang (simbol) Kata Penghubung
1. Konjungsi
Perhatikan pernyataan berikut,
‘7 adalah bilangan prima dan genap’
Pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk, karena pernyataan
tersebut merupakan rangkaian dari dua pernyataan, yaitu ‘7 adalah bilangan
prima’ dan ‘7 adalah bilangan genap’. Jika pernyataan ‘7 adalah bilangan prima’
dilambangkan “a” dan ‘7 adalah bilangan genap’ dilambangkan “b”, maka
pernyataan majemuk tadi dapat dilambangkan “a∧b” (dibaca ‘a dan b’).
Pernyataan seperti inilah yang disebut konjungsi. Jadi, apa itu konjungsi?
Yaitu pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “dan”
(∧). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tergantung dari nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran dari konjungsi
dua pernyataan, ditentukan dengan aturan sebagai berikut.
Konjungsi dua pernyataan a dan b (a∧b) bernilai B, jika dan hanya jika
dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B, sedangkan untuk nilai-nilai
kebenaran a dan b lainnya, “a∧b” bernilai S.
Dengan memperhatikan bahwa, satu pernyataan mempunyai dua
kemungkinan nilai, yaitu B atau S, maka aturan tersebut dapat dinyatakan dalam
tabel kebenaran sebagai berikut.
Tabel 8.3 Nilai Kebenaran Konjungsi
a b a∧b
B B B
B S S
S B S
S S S
Kata Penghubung Lambang
dan
atau
jika …maka
jika dan hanya jika
∧
∨
⟹
⟺
��������������� ������ 51
Contoh:
1. a: Jakarta adalah Ibu Kota negara RI (B)
b: Bandung terletak di Pulau Jawa (B)
a∧b: Jakarta adalah Ibu Kota negara RI dan Bandung terletak di Pulau
Jawa (B)
2. p: 7 adalah bilangan prima (B)
q: 7 adalah bilangan genap (S)
p∧q: 7 adalah bilangan prima dan 7 adalah bilangan genap (S)
3. m: 8 lebih besar dari 13 (S)
n: matahari terbit dari arah timur (B)
m∧n: 8 lebih besar dari 13 dan matahari terbit dari arah timur (S)
4. s: seekor lembu berkaki seribu (S)
t: 4 membagi habis 13 (S)
s∧t: seekor lembu berkaki seribu dan 4 membagi habis 13 (S)
Perhatikan kembali contoh di atas! Bahwa ternyata, nilai kebenaran
konjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan
tunggalnya, dan tidak perlu memperhatikan ada atau tidaknya hubungan
antara pernyataan-pernyataan tunggalnya tersebut.
2. Disjungsi
Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “atau”
(∨) disebut disjungsi. Jika a dan b masing-masing pernyataan, maka disjungsi a
dan b, ditulis “a∨b” dan dibaca ‘a atau b’.
Misalnya, a= Amin pergi ke pasar
b= Amin bermain bola
a∨b= Amin pergi ke pasar atau Amin bermain bola
Nilai kebenaran dari disjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan tunggalnya, dengan aturan sebagai berikut:
Disjungsi dua pernyataan a dan b (a∨b), dibaca ‘a atau b’) bernilai S jika dan
hanya jika, dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk
nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, a∨b bernilai B.
Sesuai dengan adanya dua kemungkinan bagi suatu pernyataan, maka
aturan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran sebagai berikut.
��������������� ������ 52
Tabel 8.4 Nilai Kebenaran Disjungsi
a b a∨b
B B B
B S B
S B B
S S S
Aturan atau tabel nilai kebenaran tersebut dapat pula dikatakan bahwa
disjungsi dua pernyataan bernilai B, apabila sekurang-kurangnya satu dari
pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai B.
Contoh:
1. a: Surabaya terletak di Provinsi Jawa Timur (B)
b: satu minggu terdiri dari 7 hari (B)
a∨b: Surabaya terletak di Provinsi Jawa Timur atau satu minggu terdiri
dari 7 hari (B)
2. p: 5 adalah bilangan prima (B)
q: 18 terbagi habis oleh 8 (S)
p∨q: 5 adalah bilangan prima atau 18 terbagi habis oleh 8 (S)
3. m: sebuah segi tiga mempunyai 4 sisi (S)
n: sebuah segi empat mempunyai 5 diagonal (S)
m∨n: sebuah segi tiga mempunyai 4 sisi atau sebuah segi empat
mempunyai 5 diagonal (S)
Negasi dari Disjungsi dan Konjungsi
Konjungsi dan disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan.
Akibatnya, negasi dari konjungsi dan disjungsi mempunyai makna yang sama
dengan negasi suatu pernyataan. Oleh karena itu, nilai kebenaran dari negasi
konjungsi dan disjungsi, harus mengacu pada aturan tentang nilai kebenaran
konjungsi dan disjungsi. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah tabel nilai kebenaran
berikut ini.
��������������� ������ 53
Tabel 8.5 Nilai Kebenaran Negasi dari Konjungsi
a b ~a ~b a∧b ~(a∧b) ~a∨~b
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S S B B S B B
Pada tabel di atas, tampak bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom ke-
6 sama dengan urutan nilai kebenaran pada kolom ke-7, maka dapat disimpulkan
bahwa,
Negasi dari konjungsi dua pernyataan, sama dengan disjungsi dari negasi
masing-masing pernyataan tunggalnya.
Contoh:
Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut ini.
1. Amin pergi ke toko dan Amin membeli buku
2. 4+5=9 dan 9 adalah suatu bilangan prima
3. Adi rajin belajar dan Tina tidak lulus ujian
4. 7 lebih besar dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit
Penyelesaian:
1. Amin tidak pergi ke toko atau Amin tidak membeli buku
2. 4+5≠9 atau 9 bukan suatu bilangan prima
3. Adi tidak rajin belajar atau Tina lulus ujian
4. 7 tidak lebih besar dari 5 atau 6 bukan bilangan komposit
Selanjutnya, kita akan membicarakan negasi dari disjungsi dua pernyataan.
Perhatikan contoh berikut.
Misalkan, a= 8 adalah suatu bilangan prima (S)
~a= 8 bukan suatu bilangan prima (B)
b= 20 terbagi habis oleh 4 (B)
~b= 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S)
~(a∧b) = ~a∨~b
��������������� ������ 54
Maka,
a∨b bernilai B, maka ~(ab) bernilai S
~a∨~b bernilai B, maka ~(a∨b) ~a∨~b
~a∧~b bernilai S, dan nilai kebenaran dari ~(a∨b) sama dengan nilai
kebenaran dari ~a∧~b
Kesimpulan ini secara umum dapat kita susun dalam tabel nilai kebenaran
sebagai berikut.
Tabel 8.6 Nilai Kebenaran Negasi dari Disjungsi
a b ~a ~b a∨b ~(a∨b) ~a∧~b
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
Tampak pada tabel di atas, bahwa urutan nilai-nilai kebenaran dari ~(a∨b)
sama dengan ~a∧~b, sehingga dapat disimpulkan,
Negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan konjungsi dari negasi
pernyataan-pernyataan tunggalnya.
Contoh:
Tentukan negasi dari disjungsi pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan
pula nilai kebenaran dari negasi tersebut!
1. Yogyakarta terletak di Pulau Bali atau 4+7=11
2. 8 membagi habis 36 atau 8 lebih besar dari 13
3. 47 adalah suatu bilangan prima atau 7-3=4
4. Bendera RI berwarna merah putih atau Bandung adalah ibu kota RI
Penyelesaian:
1. Yogyakarta tidak terletak di Pulau Bali dan 4+7≠11 (S)
2. 8 tidak membagi habis 36 dan 8 tidak lebih dari 13 (B)
3. 47 bukan suatu bilangan prima dan 7-3≠4 (S)
4. Bendera RI tidak berwarna merah putih dan Bandung bukan ibu kota RI (S)
~(a∨b) = ~a∧~b
��������������� ������ 55
3. Implikasi
Perhatikan contoh berikut ini. ‘Jika Ani lulus ujian, maka Ani diajak piknik’.
Kalimat ini merupakan pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan tunggalnya
adalah ‘Ani lulus ujian’ dan ‘Ani diajak piknik’. Kata penghubungnya adalah “jika
…maka …”. Pernyataan majemuk seperti ini disebut implikasi.
Apabila pernyataan ‘Ani lulus ujian’ dilambangkan “a”, dan ‘Ani diajak
piknik, dilambangkan “b”, serta lambang untuk kata penghubung “jika …maka …”
adalah “⟹”, maka pernyataan ‘Jika Ani lulus ujian maka Ani diajak piknik’,
dilambangkan dengan “a⟹b” (dibaca: “jika a maka b”).
Pada implikasi “a⟹b”, pernyataan tunggal “a” disebut pendahulu
(antecedent) dan pernyataan “b” disebut pengikut (consequent). Nilai kebenaran
suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pendahulu dan pengikutnya,
yaitu dengan aturan sebagai berikut.
Suatu implikasi bernilai S jika dan hanya jika pendahulunya bernilai B dan
pengikutnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran pendahulu dan
pengikutnya yang lain, implikasi tersebut bernilai B.
Jika pendahulunya dilambangkan “a” dan pengikutnya dilambangkan “b”,
maka nilai kebenaran implikasi “a⟹b” dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran
sebagaimana berikut ini.
Tabel 8.7 Nilai Kebenaran Implikasi
a b a⟹b
B B B
B S S
S B B
S S B
Dari tabel di atas, dapat diambil kesimpulan, apabila pengikut suatu
implikasi bernilai B, maka implikasi tersebut bernilai B, tanpa memperhatikan nilai
kebenaran dari pendahulunya. Apabila pendahulu suatu implikasi bernilai S,
maka implikasi tersebut bernilai, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari
pengikutnya.
��������������� ������ 56
Contoh:
1. a: 9 adalah suatu bilangan bulat (B)
b: 6 mempunyai dua faktor prima (B)
a⟹b: Jika 9 adalah suatu bilangan bulat, maka 6 mempunyai dua faktor
prima (B)
2. p: Semarang ibu kota Provinsi Jawa tengah (B)
q: Tuti adalah presiden RI (S)
p⟹q: Jika Semarang ibu kota Provinsi Jawa tengah, maka Tuti adalah
presiden RI (S)
3. m: matahari terbit dari barat (S)
n: Indonesia merdeka tahun 1945 (B)
m⟹n: Jika matahari terbit dari barat, maka Indonesia merdeka tahun
1945 (B)
4. s: 5 lebih besar dari 9 (S)
t: 4 membagi habis 13 (S)
s⟹t: Jika 5 lebih besar dari 9, maka 4 membagi habis 13 (B)
Negasi suatu Implikasi
Perhatikan implikasi berikut ini!
‘Jika 7 suatu bilangan prima, maka 8 lebih besar dari 5’.
Misal, a= 7 suatu bilangan prima (B)
b= 8 lebih besar dari 5 (B)
maka, “a⟹b” bernilai B
~a= 7 bukan suatu bilangan prima (S)
~b= 8 tidak lebih besar dari 5 (S)
maka, “~a⟹~b” bernilai B
Karena “a⟹b” dan “~a⟹~b” masing-masing bernilai B, maka “~a⟹~b”
bukan negasi dari “a⟹b”. Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi,
perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini.
��������������� ������ 57
Tabel 8.8 Nilai Kebenaran Negasi Implikasi
a b ~b a⟹b ~( a⟹b) a∧~b
B B S B S S
B S B S B B
S B S B S S
S S B B S S
Tampak bahwa, urutan nilai kebenaran dari “~( a⟹b)” sama dengan urutan
nilai kebenaran dari “a∧~b”. hal ini dapat dikatakan, bahwa negasi dari suatu implikasi
adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu.
Contoh:
Tuliskan negasi dari implikasi berikut ini!
1. Jika Siti tidak pergi ke Jakarta, maka siti ikut kena musibah
2. Jika Amin belajar giat, maka Amin akan lulus ujian
3. Jika guru rajin mengajar, maka muridnya akan pandai
Penyelesaian:
1. Siti tidak pergi ke Jakarta dan Siti tidak ikut kena musibah
2. Amin belajar giat dan Amin akan lulus ujian
3. Guru rajin mengajar dan muridnya tidak akan pandai
Konvers, Invers, dan Kontrapositif dari suatu Implikasi
Perhatikan contoh implikasi berikut ini!
‘Jika matahari terbit dari Barat, maka Tuti lulus ujian’
Pendahulu dari implikasi ini adalah ‘matahari terbit dari Barat’ dan pengikutnya
adalah ‘Tuti lulus ujian’. Kita dapat membentuk implikasi tersebut dengan
menukarkan pendahulu dengan pengikutnya dan atau sebaliknya.
‘Jika Tuti lulus ujian, maka matahari terbit dari Barat’, implikasi baru yang
dibentuk dengan cara ini, disebut konvers dari implikasi semula. Jika diketahui
“a⟹b”, maka konversnya adalah “b⟹a”.
~(a⟹b) = a∧~b
Konvers dari “a⟹b” adalah “b⟹a” ∧
��������������� ������ 58
Suatu implikasi, selain dapat dibentuk konversnya, dapat pula dibentuk
implikasi baru lainnya. Perhatikan contoh berikut ini!
‘Jika Ani dapat mengendarai sepeda, maka Ani mendapat hadiah’
Misal, a= Ani dapat mengendarai sepeda
b= Ani mendapat hadiah
Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah:
~a= Ani tidak dapat mengendarai sepeda
~b= Ani tidak mendapat hadiah
Implikasi yang akan dibentuk “~a⟹~b”, yaitu ‘Jika Ani tidak dapat
mengendarai sepeda, maka Ani tidak mendapat hadiah’. Implikasi baru ini
disebut invers dari implikasi semula.
Selain konvers dan invers, dapat pula dibentuk implikasi baru yang lain,
yaitu pendahulu dan pengikutnya, dari implikasi yang diketahui, masing-masing
dinegasikan, selanjutnya ditukarkan tempatnya. Implikasi baru seperti ini, disebut
kontrapositif dari implikasi semula. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh
berikut!
‘Jika Dita rajin belajar, maka Dita naik kelas’
Misal, a= Dita rajin belajar
b= Dita naik kelas
Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah:
~a= Dita tidak rajin belajar
~b= Dita tidak naik kelas
Implikasi yang akan dibentuk adalah ‘Jika Dita tidak rajin belajar, maka
Dita tidak naik kelas’, yang dilambangkan dengan ““~b⟹~a”.
Perlu diketahui, bahwa nilai kebenaran dari suatu implikasi selalu sama dengan
nilai kebenaran kontrapositifnya. Tidak percaya? Coba perhatikan!
Invers dari “a⟹b” adalah “~a⟹~b” ∧
Kontrapositif dari “a⟹b” adalah “~b⟹~a” ∧
��������������� ������ 59
Tabel 8.9 Nilai Kebenaran Kontrapositif dari Implikasi
a b ~a ~b a⟹b ~b⟹~a
B B S S B B
B S S B S S
S B B S B B
S S B B B B
Sehingga dapat diambil kesimpulan, bahwa nilai kebenaran suatu implikasi sama
dengan kebenaran dari kontrapositifnya.
4. Biimplikasi
Perhatikan implikasi “a⟹b” dan konversnya, yaitu “b⟹a”! Jika dibentuk
konjungsi antara implikasi dan konversnya, maka menghasilkan “(a⟹b)∧
(b⟹a)”. Kita akan menentukan nilai kebenaran konjungsi ini jika diketahui nilai-
nilai kebenaran dari a dan b, dengan hasil tabel sebagai berikut.
Tabel 8.10 Nilai Kebenaran dari Konjungsi
a b a⟹b b⟹a (a⟹b)∧ (b⟹a)
B B B B B
B S S B S
S B B S S
S S B B B
Dari tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai kebenaran dari “(a⟹b)∧
(b⟹a)”, hanya B apabila nilai kebenaran dari a sama dengan nilai kebenaran b,
dan bernilai S apabila nilai-nilai kebenaran dari a dan berbeda.
Selanjutnya, konjungsi “(a⟹b)∧ (b⟹a)” ditulis secara singkat menjadi
“a⟺b” (dibaca: ‘a jika dan hanya jika b’) dan disebut biimplikasi dari a dan b.
Guna memudahkan, untuk selanjutnya, ‘jika dan hanya jika’, cukup ditulis “jhj”.
(a⟹b) = (~b⟹~a)
(a⟹b)∧ (b⟹a) = a⟺b
��������������� ������ 60
Oleh karena itu, nilai kebenaran dari “(a⟹b)∧ (b⟹a)” sama dengan nilai
kebenaran dari “a⟺b”. Sehingga, dapat dibuat tabel yang lebih sederhana.
Tabel 8.11 Nilai Kebenaran Biimplikasi
a b a⟺b
B B B
B S S
S B S
S S B
Negasi dari suatu Biimplikasi
Perhatikan contoh biimplikasi berikut!
‘7 suatu bilangan prima jhj 7 membagi habis 42’
Biimplikasi bernilai B, karena kedua pernyataan tunggalnya masing-masing
bernilai B. apabila masing-masing pernyataan tunggal tersebut dinegasikan dan
dibentuk biimplikasi baru, yaitu ‘7 bukan suatu bilangan prima jhj7 tidak membagi
habis 42’, maka biimplikasi baru tersebut juga bernilai B. Ternyata, biimplikasi
baru ini bukan negasi dari biimplikasi semula, ����������������
Jadi, apa negasi dari “a⟺b” ?
Biimplikasi “a⟺b” adalah singkatan dari “(a⟹b)∧ (b⟹a)”, sehingga
~( a⟺b) = ~((a⟹b)∧ (b⟹a))
= ~(a⟹b)∨ ~(b⟹a) , negasi konjungsi
= (a∧~b) ∨ (b∧~a) , negasi implikasi
Didapat,
���� ���������%������������������������������������������� ����
~(a⟺b) = (a∧~b) ∨ (b∧~a)
��������������� ������ 61
B. TAUTOLOGI
Perhatikan contoh berikut ini!
‘Adi mempunyai sepeda atau Adi tidak mempunyai sepeda’
Pernyataan majemuk ini bernilai B, untuk setiap nilai kebenaran dari pernyataan
tunggalnya.
Misal, a= Adi mempunyai sepeda, bernilai B
~a= Adi tidak mempunyai sepeda, bernilai S
Maka, “a∨~a” bernilai B
Begitu pula apabila a bernilai S, maka ~a bernilai B, sehingga “a∨~a”
bernilai B. pernyataan majemuk yang selalu bernilai B untuk setiap nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya seperti itu disebut tautologi.
Contoh:
‘Jika Siti naik kelas dan Siti tidak naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda’
Misal, p= Siti naik kelas
~p= Siti tidak naik kelas
q= Siti dibelikan sepeda
Pernyataan majemuk tersebut, dapat dinyatakan dengan lambang,
(p∧~p)⟹ q
Akan ditunjukkan bahwa pernyataan majemuk di atas adalah suatu tautologi,
dalam tabel kebenaran.
Tabel 8.12 Tabel Kebenaran “(p∧~p)⟹ q”
p q ~p p∧~p (p∧~p) ⟹q
B B S S B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dari tabel, tampak bahwa pada kolom terakhir nilai kebenaran selalu B, oleh
karena itu pernyataan ini termasuk tautologi.
��������������� ������ 62
Contoh:
Periksa, apakah pernyataan majemuk “(p∧q) ⟹(p∨q)” adalah suatu tautologi?
Penyelesaian:
Cara 1. Dengan menyusun tabel nilai kebenarannya
Tabel 8.13 Nilai Kebenaran “(p∧q) ⟹(p∨q)”
p q p∧q p∨q (p∧q) ⟹(p∨q)
B B B B B
B S S B B
S B S B B
S S S S B
Tampak pada kolom terakhir, bahwa pernyataan majemuk “(p∧q) ⟹(p∨q)” selalu
bernilai B, sehingga pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi.
Cara 2.
Pernyataan majemuk “(p∧q) ⟹(p∨q)” merupakan suatu implikasi. Jika p bernilai
B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran q, maka (p∨q) pasti bernilai B. Sehingga
implikasi itu bernilai B, karena pengikutnya bernilai B. Dan jika p bernilai S, tanpa
memperhatikan nilai kebenaran q, maka (p∧q) bernilai S. sehingga implikasi itu
bernilai B, karena pendahulunya bernilai S. Jadi, untuk setiap nilai kebenaran
dari p dan q, pernyataan majemuk “(p∧q) ⟹(p∨q)” selalu bernilai B, sehingga
pernyataan majemuk itu suatu tautologi.
Berikut ini akan dipelajari tautologi-tautologi yang digunakan sebagai
dasar dalam penyusunan argumen yang absah.
��������������� ������ 63
Modus ponens
Akan kita periksa, apakah pernyataan majemuk “((p⟹q)∧p)⟹q”
termasuk tautologi. Perhatikan tabel kebenaran berikut!
Tabel 8.14 Nilai Kebenaran “((p⟹q)∧p) ⟹q”
p q p⟹q (p⟹q)∧p ((p⟹q)∧p) ⟹q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dari tabel, tampak bahwa nilai kebenaran “((p⟹q)∧p)⟹q” selalu bernilai
B. Dengan kata lain, bentuk “((p⟹q)∧p)⟹q” adalah suatu tautologi. Tautologi
seperti ini disebut aturan detasemen atau modus ponens.
Modus Tollens
Selain pernyataan majemuk di atas, ada juga pernyataan majemuk
“((p⟹q)∧~q)⟹~p”. pernyataan majemuk ini juga merupakan suatu tautologi.
Tautologi bentuk ini dinamakan modus tollens.
'������������������)������������*������ ������������������������� ����
Modus Tollendo Ponens
Akan ditunjukkan/dibuktikan bahwa “(p∨q)∧~p) ⟹q” merupakan suatu
tautologi. Perhatikan tabel kebenaran berikut!
Tabel 8.15 Nilai Kebenaran “(p∨q)∧~p) ⟹q”
p q ~p p∨q p∨q∧~p (p∨q)∧~p) ⟹q
B B S B S B
B S S B S B
S B B B B B
S S B S S B
((p⟹q)∧p)⟹q disebut modus ponens
((p⟹q)∧~q)⟹~p disebut modus tollens
��������������� ������ 64
Dari tabel, tampak bahwa “((p∨q)∧~p) ⟹q” selalu bernilai B. Tautologi
seperti ini disebut modus tollendo ponens.
Modus tollendo ponens tersebut dapat dituliskan dalam bentuk yang kelihatannya
berbeda, tetapi pada prinsipnya sama, yaitu:
1. (~p∧(p∨q)) ⟹q, atau
2. ((p∨q)∧~q) ⟹p, atau
3. (~q∧(p∨q)) ⟹p, atau
4. (~p∨q)∧p) ⟹q, atau
5. (p∨~q)∧~p) ⟹~q.
Pernyataan-pernyataan majemuk tersebut masing-masing disebut pula modus
tollendo ponens.
Silogisme
Adapula jenis tautologi yang berbentuk “((p⟹q)∧(q⟹r))⟹(p⟹r)”, yang
dinamakan aturan silogisme.
������������������ ����
Empat tautologi yang telah kita pelajari, yaitu modus ponens, modus
tollens, modus tollendo ponens, dan silogisme, masing-masing digunakan untuk
menyusun argumen yang absah. Empat tautologi tersebut masing-masing
merupakan implikasi, sehingga masing-masing tautologi tersebut dinamakan pula
tautologi implikatif.
Perhatikan, bahwa pendahulu dari tiap-tiap tautologi implikatif itu
merupakan konjungsi. Tiap pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal dalam
pendahulu ini disebut premis argumen, sedangkan pengikut dari tiap-tiap
tautologi implikatif itu disebut kesimpulan. Selanjutnya, argumen yang absah
yang dibentuk dari tautologi implikatif itu disusun sebagai berikut.
((p∨q)∧~p) ⟹q disebut modus tollendo ponens
((p⟹q)∧(q⟹r))⟹(p⟹r) disebut aturan silogisme
��������������� ������ 65
1. Susunan argumen menurut modus ponens
p⟹q (premis)
p (premis)
∴ q (kesimpulan)
Contoh:
Jika Siti naik kelas, maka Siti dibelikan sepeda
Siti naik kelas
∴ Siti dibelikan sepeda
2. Susunan argumen menurut modus tollens
p⟹q (premis)
~q (premis)
∴ ~p (kesimpulan)
Contoh:
Jika Andi lulus ujian, maka Andi dapat hadiah
Andi tidak dapat hadiah
∴ Andi tidak lulus ujian
3. Susunan argumen menurut modus tollendo ponens
p∨ q (premis)
~p (premis)
∴ q (kesimpulan)
Contoh:
Pagi ini Joni pergi ke sekolah atau Joni pergi ke toko
Pagi ini Joni tidak pergi ke toko
∴ Pagi ini Joni pergi ke sekolah
4. Susunan argumen menurut aturan silogisme
p⟹q (premis)
q⟹r (premis)
∴ p⟹r (kesimpulan)
��������������� ������ 66
Contoh:
Jika Ani rajin belajar, maka Ani naik kelas
Jika Ani naik kelas, maka Ani dapat hadiah
∴ Jika Ani rajin belajar, maka Ani dapat hadiah
Perhatikan, bahwa suatu argumen terdiri atas premis-premis dan
kesimpulan. Premis-premis terdiri atas pernyataan majemuk atau pernyataan
tunggal yang bernilai benar. Dalam matematika, premis-premis itu biasa dikenal
dengan ‘ketentuan’ atau ‘yang diketahui’. Dari premis-premis itu diturunkan suatu
kesimpulan (konklusi). Suatu pernyataan baik pernyataan majemuk atau
pernyataan tunggal mempunyai nilai B atau S (tidak keduanya), tetapi dari suatu
argumen adalah absah atau tidak absah (tidak keduanya).
Untuk memeriksa apakah suatu argumen absah atau tidak, argumen
tersebut dapat dibentuk menjadi berupa implikasi. Selanjutnya, dari implikasi
tersebut kita buktikan apakah ia suatu tautologi atau bukan. Jika implikasi
tersebut merupakan tautologi, maka argumen tadi absah. Tetapi jika bukan,
maka argumen tadi dinyatakan tidak absah.
Contoh:
Apakah argumen ini absah?
Jika Amin lulus ujian, maka Amin dapat hadiah
Ternyata, Amin dapat hadiah
∴ Amin lulus ujian
Penyelesaian:
Misal, p= Amin lulus ujian
q= Amin dapat hadiah
maka, susunan argumen tersebut menjadi,
p⟹q (premis)
q (premis)
∴ p (kesimpulan)
Bentuk implikasinya adalah “((p⟹q)∧q)⟹p”.
��������������� ������ 67
Untuk memeriksa apakah implikasi ini merupakan tautologi, akan dibuat
tabel kebenaran sebagai berikut.
Tabel 8.16 Nilai Kebenaran “((p⟹q)∧q)⟹p”
p q p⟹q (p⟹q)∧q ((p⟹q)∧q)⟹p
B B B B B
B S S S B
S B B B S
S S B S B
Dari tabel, tampak bahwa “((p⟹q)∧q)⟹p” bukan merupakan tautologi.
Akibatnya, argumen tersebut tidak absah.
C. KUANTOR
Kuantor adalah kata-kata yang jika ditambahkan pada suatu kalimat
terbuka dapat mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah kalimat
tertutup atau pernyataan.
Kuantor ada 2 macam, yaitu:
1. Kuantor umum (universal)
2. Kuantor khusus (eksistensial)
Untuk memahami pengertian kuantor universal dan kuantor eksistensial,
perhatikan pernyataan berikut.
1. ‘Semua siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 pandai’
Pernyataan ini mengandung arti bahwa setiap siswa SMAN 1 Serang
kelas X-1 adalah siswa yang pandai. Pernyataan yang menggunakan kata
semua atau setiap seperti pada pernyataan di atas disebut pernyataan
berkuantor universal (umum). Kata semua atau setiap disebut kuantor
universal.
Secara umum, pernyataan berkuantor universal ‘Semua A adalah B’
ekuivalen dengan pernyataan implikasi ‘jika x∈A, maka x∈B’.
2. ‘Beberapa siswa SMAN 1 Serang kelas X-1 pandai’
Pernyataan ini mengandung arti bahwa dari himpunan siswa SMAN 1
Serang kelas X-1 secara keseluruhan ada yang pandai, tetapi ada pula yang
tidak pandai. Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada seperti
��������������� ������ 68
pada pernyataan di atas disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus).
Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial.
Secara umum, pernyataan berkuantor eksistensial ‘Beberapa A adalah B’
ekuivalen dengan ‘Sekurang-kurangnya ada sebuah x∈A yang merupakan
x∈B’.
��������������� ������ 69
BAB IX PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
A. MASALAH MATEMATIKA
Sebelum menjelaskan pengertian tentang pemecahan masalah
matematika, terlebih dahulu akan dijelaskan pengertian masalah itu sendiri.
Suatu situasi dikatakan masalah bagi seseorang jika ia menyadari keberadaan
situasi tersebut, mengakui bahwa situasi tersebut memerlukan tindakan dan tidak
dengan segera dapat menemukan pemecahannya. Suatu masalah merupakan
kesenjangan antara keadaan sekarang dengan tujuan yang ingin dicapai,
sementara kita tidak mengetahui apa yang harus dikerjakan untuk mencapai
tujuan tersebut. Dengan demikian, masalah dapat diartikan sebagai pertanyaan
yang harus dijawab pada saat itu, sedangkan kita tidak mempunyai rencana
solusi yang jelas.
Berdasarkan beberapa pengertian tentang masalah (problem) yang telah
dikemukakan di atas, maka dapat dikatakan bahwa suatu situasi tertentu dapat
merupakan masalah bagi orang tertentu, tetapi belum tentu merupakan masalah
bagi orang lain. Dengan kata lain, suatu situasi mungkin merupakan masalah
bagi seseorang pada waktu tertentu, akan tetapi belum tentu merupakan
masalah baginya pada saat yang berbeda. Suatu masalah biasanya memuat
suatu situasi yang mendorong seseorang untuk menyelesaikannya, akan tetapi
tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya.
Jika suatu masalah diberikan kepada seorang anak dan anak tersebut langsung
mengetahui cara menyelesaikannya dengan benar, maka soal tersebut tidak
dapat dikatakan sebagai masalah.
Ada perbedaan mendasar antara mengerjakan soal latihan dengan
menyelesaikan masalah dalam belajar matematika. Dalam mengerjakan soal-
soal latihan, siswa hanya dituntut untuk langsung memperoleh jawabannya,
misalkan menghitung seperti operasi penjumlahan dan perkalian, menghitung
nilai fungsi trigonometri, dan lain-lain. Sedangkan yang dikatakan masalah dalam
matematika adalah ketika seseorang siswa tidak dapat langsung mencari
solusinya, tetapi siswa perlu bernalar, menduga atau memprediksikan, mencari
rumusan yang sederhana lalu membuktikannya. Ciri bahwa sesuatu dikatakan
��������������� ������ 70
masalah ialah membutuhkan daya pikir/nalar, menantang siswa untuk dapat
menduga/memprediksi solusinya, serta cara untuk mendapatkan solusi tersebut
tidaklah tunggal, dan harus dapat dibuktikan bahwa solusi yang didapat adalah
benar/tepat.
B. PEMECAHAN MASALAH MATEMATIK
Pemecahan masalah matematika dapat dipandang dari dua hal, 1)
pemecahan masalah matematika sebagai alat pembelajaran; 2) pemecahan
masalah matematika sebagai tujuan dari proses pembelajaran.
Pemecahan masalah sebagai alat pembelajaran di sini, mengandung arti
bahwa pemecahan masalah matematika berkedudukan sebagai pendekatan
yang digunakan dalam pembelajaran. Pemecahan masalah matematika yang
digunakan di sini dapat sebagai strategi pembelajaran ataupun sebagai model
pembelajaran yang digunakan dalam suasana kegiatan belajar mengajar (KBM).
Sementara, pemecahan masalah sebagai tujuan dari proses
pembelajaran, adalah bahwa pemecahan masalah (problem solving) matematik
sebagai suatu kemampuan, artinya sebagai suatu cara untuk menyelesaikan
masalah matematika dengan menggunakan penalaran matematika (konsep
matematika) yang telah dikuasai sebelumnya. Ketika siswa menggunakan kerja
intelektual dalam pelajaran, maka sangat beralasan bahwa pemecahan masalah
yang diarahkan sendiri untuk diselesaikan merupakan suatu karakteristik penting.
Dalam sebuah proses pembelajaran tertentu, harapannya adalah supaya siswa
dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematik yang ia miliki.
Untuk selanjutnya, pemecahan masalah matematika yang dibahas dalam
materi ini adalah pemecahan masalah matematika yang digunakan sebagai
tujuan dari proses pembelajaran (problem solving mathematics).
Problem solving melibatkan konteks yang bervariasi yang berasal dari
penghubungan masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari untuk situasi
matematika yang ditimbulkan. Siswa dapat memecahkan beberapa masalah
yang dimunculkan bagi mereka oleh orang lain. Akan tetapi lebih mudah bagi
mereka untuk memformulasikan masalah mereka sendiri berdasarkan
pengalaman pribadi dan ketertarikan.
Problem solving adalah komponen penting untuk belajar matematika di
masa sekarang. Dengan problem solving, siswa akan mempunyai kemampuan
��������������� ������ 71
dasar yang bermakna lebih, dari sekadar kemampuan berpikir, dan dapat
membuat strategi-strategi penyelesaian untuk masalah-masalah selanjutnya.
Para siswa didorong supaya berpikir bahwa sesuatu itu multidimensi
sehingga mereka dapat melihat banyak kemungkinan penyelesaian untuk suatu
masalah. Problem solving dapat mempertajam kekuatan analisis dan kekuatan
kritis siswa. Cara untuk mempersiapkan siswa menjadi problem solver yang
efektif adalah dengan memberi mereka banyak contoh yang mencakup berbagai
teknik problem solving.
Dalam pemecahan masalah biasanya ada 5 langkah yang harus
dilakukan, yaitu:
1. Menyajikan masalah dalam bentuk yang lebih jelas
2. Menyatakan masalah dalam bentuk yang operasional (dapat dipecahkan)
3. Menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yang diperkirakan
baik untuk dipergunakan dalam memecahkan masalah itu
4. Mengetes hipotesis dan melakukan kerja untuk memperoleh hasilnya
(pengumpulan data, pengolahan data, dan lain-lain), hasilnya mungkin lebih
dari satu
5. Memeriksa kembali (mengecek) apakah hasil yang diperoleh itu benar, atau
mungkin memilih alternatif pemecahan yang terbaik
Secara singkat, solusi soal pemecahan masalah memuat 4 langkah fase
penyelesaian, yaitu:
1. Memahami masalah
2. Merencanakan penyelesaian
3. Menyelesaikan masalah sesuai rencana
4. Melakukan pengecekan kembali
Problem solving harus menjadi bagian integral dari proses pengajaran
yang dijalankan. Hal ini disebabkan karena matematika adalah salah satu ilmu
yang lebih mementingkan proses daripada hasil atau jawaban itu sendiri. Dari
jawaban yang diberikan seorang siswa dalam memecahkan masalah matematik,
sangat diperhatikan dari mana jawaban itu diperoleh termasuk ketepatan
penggunaan langkah-langkah, aturan, dan konsep.
��������������� ������ 72
Sebagai tujuan, kemampuan pemecahan masalah dapat dirinci dengan
indikator sebagai berikut.
1. Mengidentifikasi kecukupan data untuk pemecahan masalah
2. Membuat model matematik dari suatu situasi atau masalah sehari-hari dan
menyelesaikannya
3. Memilih dan menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah matematika
dan atau di luar matematika
4. Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal, serta
memeriksa kebenaran hasil atau jawaban
5. Menerapkan matematika secara bermakna
Beberapa contoh soal pemecahan masalah matematik, diantaranya
sebagai berikut:
1. Dari 3 huruf A, B, C dan 3 angka 1, 2, 3 akan dibuat pelat nomor motor yang
dimulai dengan 1 huruf diikuti 2 angka, dan diakhiri dengan 1 huruf. Oleh
karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat pelat nomor tidak
diperbolehkan membuat pelat nomor yang memuat angka 13. Berapa banyak
pelat nomor yang dapat dibuat?
2. Reuni 27 Tahun kelas III IPA 4 SMA Negeri 1 Gombong baru saja
berlangsung. Reswit yang sangat ingin mengikuti reuni ini terpaksa
membatalkan pada saat terakhir karena harus rapat dengan rekan bisnisnya
dari Jerman. Dalam sms-nya kepada sahabat karibnya Ikhwan, Reswit
menanyakan berapa orang yang hadir dalam reuni tersebut. Dalam sms
balasannya, Ikhwan menceritakan bahwa teman-teman yang sudah lama
tidak bertemu saling bernostalgia mengingat kisah-kisah lucu, indah, dan
menyenangkan saat mereka di SMA. Rasanya kenangan ini baru terjadi
kemarin. Saat reuni akan berakhir, setiap yang hadir saling berjabat tangan,
dan Ikhwan menghitung ada 300 jabat tangan yang terjadi (tidak ada satu
orang pun yang berjabat tangan lebih dari 1 kali dan berjabat tangan dengan
dirinya sendiri). Berapa orangkah yang hadir dalam reuni tersebut?
3. Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan, tentukan peluang angka pada salah
satu dadu yang merupakan pembagi mata dadu yang lain!
4. Seorang guru baru saja menjelaskan tentang cara menentukan peluang
dengan menggunakan bantuan diagram pohon. Ia melihat murid-muridnya
tampak lelah dan lesu karena telah berkonsentrasi penuh selama 1 jam
��������������� ������ 73
pelajaran untuk dapat memahami teori peluang yang merupakan topik yang
cukup sukar. Untuk menciptakan suasana yang menarik, guru meminta
seorang siswanya untuk maju ke depan kelas dan memainkan permainan
berikut: 4 uang koin (uang logam) akan ditos secara bersamaan. Jika muncul
tepat 2 gambar, siswa memenangkan permainan tersebut dan mendapat
hadiah sebuah buku kumpulan soal-soal teori peluang. Jika kejadian lain
yang terjadi, siswa kalah. Berapakah peluang siswa untuk memenangkan
permainan ini?
5. Tersedia 15 kunci berbeda dan ada 1 kunci yang dapat digunakan untuk
membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembalian.
Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu
pada pengambilan ke sepuluh?
6. Tiga buah dadu dilempar bersama. Berapa peluang mendapatkan mata dadu
berjumlah kurang dari 18?
7. Jika 2 dadu dilempar bersamaan, tentukan peluang jumlah atau hasil kali
angka pada kedua sisi dadu yang muncul merupakan bilangan ganjil!
������������!�������������������� ���������%!�������������� ����
Tugas:
Coba Anda buat soal (minimal 5 nomor) dalam versi soal pemecahan masalah
matematik beserta cara penyelesaiannya, dari kedelapan bab sebelumnya!
��������������� ������ 74
DAFTAR PUSTAKA
Abdurahman, M dan Mulyati, Y. S. (2000). Intisari Matematika untuk SMA.
Bandung: Pustaka Setia. Anonim (2010). Number System. Wikipedia [Online]: Free Encyclopedia. Hamzah (2003). Meningkatkan Kemampuan Memecahkan Masalah Matematika
Siswa Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri di Bandung melalui Pendekatan Pengajuan Masalah. Bandung: Disertasi SPs UPI. Tidak diterbitkan.
Isrok’atun (2006). Pembelajaran Matematika dengan Strategi Kooperatif Tipe
STAD untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematik Siswa. Bandung: Tesis SPs UPI. Tidak diterbitkan.
Kantowski, M.G. (1981). “Problem Solving”. Mathematics Education Research:
Implications for the 80’s. Virginia: NCTM. Kurnianingsih, S., Kuntarti, dan Sulistyono. (2004). Matematika SMA untuk Kelas
X. Jakarta: Erlangga. NCTM (2000). Defining Problem Solving. [Online]. Tersedia:
http://www.learner.org/channel/courses/teachingmath/gradesk_2/session_03/sectio_03_a.html. [10 September 2004].
Ruseffendi, E.T. (1991). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan
Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito.
Setyawan, A dan Setiawan, W. (2008). Statistika dan Peluang. UPI Kampus
Serang: Tidak diterbitkan. Silver, E.A. (1997). Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical
Problem Solving and Problem Posing. [Online]. Tersedia: http://66.102.7.104/search?q=cache:Fw8Lg-xQoFwJ:www.fiz-karlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm973a3.pdf+fostering+creativity,+Edward+A.+Silver&hl=id. [12 Februari 2005].
Suherman, E., Turmudi, Suryadi, D., Herman, T., Suhendra, Prabawanto, S.,
Nurjanah, dan Rohayati, A. (2003). Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: UPI.
Sujono (1988). Pengajaran Matematika untuk Sekolah Menengah. Jakarta:
Depdikbud, Dikti P2LPTK. Sukirman (2008a). Matematika, Modul ‘Himpunan, Relasi, dan Fungsi’. Jakarta:
Universitas Terbuka.
��������������� ������ 75
Sukirman (2008b). Matematika, Modul ‘Logika’. Jakarta: Universitas Terbuka. Sukirman (2008c). Matematika, Modul ‘Pemecahan Masalah’. Jakarta:
Universitas Terbuka.
Sukirman (2008d). Matematika, Modul ‘Transformasi’. Jakarta: Universitas
Terbuka. Thomas, D. A. (2002). Modern Geometry. USA: Bob Pirtle. Utari-Sumarmo (2005). “Pembelajaran Matematika untuk Mendukung
Pelaksanaan Kurikulum Tahun 2002 Sekolah Menengah”. Makalah pada Seminar Pendidikan Matematika di FMIPA Universitas Negeri Gorontalo, Gorontalo.
Widagdo, D. (2007). Pembelajaran Matematika SD, Modul ‘Bilangan Berpangkat
dan Logaritma’. Jakarta: Universitas Terbuka.
Widagdo, D dan Tarhadi. (2008). Matematika, Modul ‘Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear’. Jakarta: Universitas Terbuka. Wirodikromo, S. (2006). Matematika SMA 3 IPA. Jakarta: Erlangga.
��������������� ������ 76
SOAL-SOAL
BAB I HIMPUNAN
1. Himpunan-himpunan berikut ini, manakah yang objek-objeknya didefinisikan
dengan jelas?
a. Himpunan sepuluh penyanyi tercantik
b. Himpunan nama bulan yang dimulai dengan huruf D
c. Himpunan semua orang yang tinggi badannya lebih dari 2 meter
d. Himpunan 8 rumah besar
e. Himpunan 5 aktor yang paling cerdas
f. Himpunan semua huruf yang ada di dalam buku ini
g. Himpunan semua mahasiswa Indonesia
h. Himpunan semua mahasiswa yang pandai
2. Tuliskan himpunan-himpunan berikut ini dengan cara mendaftarkan
anggotanya
a. Himpunan semua huruf pembentuk kata ‘matematika’
b. Himpunan bilangan genap positif
c. Himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan xU − 5x + 4 = 0
d. Himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan xU + x + 1 = 0
e. Himpunan semua bilangan bulat positif yang terdiri tepat dua angka
f. Himpunan semua bilangan prima di antara 0 dan 40
g. Himpunan bilangan bulat yang terbagi habis oleh 5
h. Himpunan semua konsonan pembentuk kata ‘yogyakarta’
3. Apabila A=�x|xbilanganasli�, B=�x|xbilanganbulat�, dan
Q=�x|xbilanganrasional�, tuliskanlah himpunan-himpunan berikut ini dengan
cara mendaftarkan anggotanya
a. H =�x|x ∈ B ∧−2 < w < 8� b. T =�x ∈ B|xterbagioleh13� c. F =�x ∈ B|xgenap ∧ x < 100� d. E =�y|y = 2n − 1, n ∈ A� e. I =�x ∈ B|x + 1 = x�
��������������� ������ 77
4. Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut ini! Jika salah,
betulkanlah!
a. Jika A⊂B dan B⊂C, maka A⊂C
b. Jika a∈A, A⊂B dan B⊂C, maka a∈C
c. Jika a∈A dan A∈B, maka a⊂B
d. Jika a∈A dan a∈B, maka A⊂B
e. Jika a∈A dan A⊂B, maka a∈B
f. Jika a∈B, C⊂B dan C⊂A, maka a∈A
5. Misalkan, A=�x|xbilanganasli� sebagai himpunan semesta
G=�2x|xbilanganasli� T=�3x|xbilanganasli� dan
E=�4x|xbilanganasli� Tentukanlah!
a. G9 b. G∩T
c. T∩E
d. G∩E
e. G∪E
f. G-E
g. E-G
h. A-T9 i. A-E9
6. Jika diketahui D=�3,5,7,9,11,12,13�, maka banyaknya himpunan bagian dari D
yang masing-masing mempunyai dua anggota adalah ….
7. Diketahui, H=�2,5,8,11,… �. Tuliskan himpunan H tersebut dengan notasi
pembentuk himpunan!
8. Buktikan Hukum de Morgan, berikut:
a. (A ∩ B)9 = A9 ∪ B9 b. (A ∪ B)9 = A9 ∩ B9
9. Suatu himpunan bilangan asli terdiri dari 10 bilangan yang habis dibagi 6, 15
bilangan yang habis dibagi 2, 10 bilangan yang habis dibagi 3, dan satu
bilangan yang tidak habis dibagi 2 ataupun 3. Berapa banyak unsur bilangan
tersebut?
��������������� ������ 78
BAB II RELASI DAN FUNGSI
1. Diketahui, Relasi “Faktor dari” himpunan A=�1,2,3,4� ke himpunan B=�2,4,6,8�. Nyatakan relasi tersebut dengan:
a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan terurut
c. Diagram Cartesius
2. Diketahui, Relasi R=�(1,5), (2,10), (3,15), (4,20)�. Tentukan:
a. Daerah asal (domain) -nya
b. Daerah hasil (range) -nya
c. Diagram panah dan diagram Cartesius-nya, serta
d. Aturan relasinya
3. Diketahui himpunan A=�x|0 < w ≤ 10, w ∈ bilangangenap� dan B=�x|0 < w <6, x ∈ bilanganprima�. R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B
dengan aturan “kelipatan dari”. Tentukan:
a. Himpunan pasangan terurut dari R
b. Diagram panah dan diagram Cartesius (grafik) dari R
4. Diketahui R=�(x, y)|xU + yU = 4, x, y ∈ bilanganreal�, carilah….
a. Daerah asal (domain)-nya
b. Daerah hasil (range)-nya
5. Diketahui himpunan G=�1,2,4,6�. Himpunan G tersebut akan direlasikan
dengan dirinya sendiri dengan aturan “membagi habis”:
a. Sajikanlah R dalam himpunan pasangan terurut
b. Sajikanlah R ke dalam diagram panah
c. Tentukan pula RGH sebagai himpunan pasangan terurut
6. Diketahuif: R ⟶ R dengan f(x) = xU + 1, untuk setiap x∈R.
a. Hitunglah f(2) dan f(-3)
b. Jika f(a)=50, carilah a
7. Jika A=�x| − 2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R� dan f: A ⟶ R ditentukan oleh f(x) = xU + 2,
untuk setiap x∈A.
a. Lukis grafik dari f
b. Tentukan daerah hasilnya
��������������� ������ 79
8. Diketahui f: A ⟶ B, seperti ditunjukkan dengan diagram panah di bawah ini.
Tentukan:
a. fGH(a) b. fGH(b) dan fGH(c)
9. Lukislah grafik berikut untuk x real
a. f(x) = v|v|
b. g(x)=
10. Dalam himpunan bilangan real, diketahui f(x) = xU + 1dan g(x) = x − 3.
a. Carilah g(f(2)), f(g(2)), g(f(-1)), dan f(g(-1))
b. Apakah g(f(x))=f(g(x))?
a b
c �
B
w
x y
z
A
0, jika 0≤ w ≤ 1
1, jika 1≤ w ≤ 2
2, jika 2≤ w ≤ 3
��������������� ������ 80
BAB III SISTEM BILANGAN
1. Buatlah definisi yang tepat untuk himpunan bilangan prima? Bila diperlukan,
gunakan contoh!
2. Tuliskan daftar anggota bilangan cacah genap!
3. Buktikan bahwa √2 bukan bilangan rasional!
4. Jika pecahan merupakan bilangan rasional, apakah demikian halnya dengan
desimal? Beri penjelasan secukupnya!
5. Jika diketahui \}, dimana a ∈ ℤ bukanlah bilangan rasional, bagaimana dengan
}} ? Jelaskan!
6. Apakah bilangan √2, `, dan a merupakan bilangan real? Jelaskan!
7. Samakah desimal dengan pecahan? Jelaskan dengan membuat suatu
kontradiksi (deduktif)!
8. Bagaimanakah ℚ dan ℚ: menurut konsep himpunan?
9. Bagaimana keterkaitan antara P,Z, c, ℤ, ℚ,ℝ, danℂ dalam persepsi himpunan
bagian? Jelaskan!
Keterangan: P (bilangan prima), c (bilangan cacah), dan ℂ (bilangan
kompleks)
10. Tuliskan beberapa kegunaan bilangan kompleks dalam bidang matematika
ataupun bidang sains lainnya!
��������������� ������ 81
BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1. Selesaikanlah 2z-(9z+8)=(5-2z)-3(2z-3)+29!
2. Selesaikanlah P¢HV − PGH
U = 1!
3. Tentukan himpunan penyelesaian soal-soal berikut.
a. |3x|= 12
b. 3|x-3|= 9
4. Hasil ketiga kali tes seorang siswa SD di Serang 87%, 64%, dan 78%.
Berapakah skor tes yang ia dapatkan pada tes ke empat supaya reratanya
80%?
5. Salah satu sudut sebuah segi tiga ukurannya lima kali sudut pertama.
Sedangkan sudut ketiga besarnya 2Q kurang dari sudut pertama. Berapakah
besar masing-masing sudut segi tiga tersebut?
6. Jumlah dua bilangan bulat berurutan 35. Tentukan bilangan bulat itu!
Tentukan himpunan penyelesaian dari soal-soal berikut.
7. 9(2-5m)-4>13m+8(3-7m)
8. 6z<2-4(2-3(z-5))
9. |x|< HU
10. xx + HUx < H
U
11. |-x-2|< Vs
12. |3x+5|>2
��������������� ������ 82
BAB V DERET
1. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 1000!
2. Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 36 dan suku ke-5 nya adalah 81.
Tentukan suku pertama dan rasionya!
3. Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Tentukan suku
tengahnya!
4. Tentukan k, jika diketahui deret aritmatika 2+5+8+…+k = 345!
5. Suatu deret aritmatika mempunyai suku pertama 4 dan beda 3. Jika jumlah n
suku pertama adalah 180. Tentukan nilai n!
6. Jika k+1, k-5, membentuk deret geometri, maka tentukanlah harga k!
7. Suatu deret geometri U1=3 dan U5=48. Maka carilah suku ke-7 dari deret
tersebut!
8. Suatu tali dibagi menjadi 6 bagian dengan yang paling pendek 3 cm dan yang
paling panjang 96 cm, maka berapakah panjang tali semula?
9. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi 2 kali lipat. Menurut
perhitungan pada tahun 2050 nanti akan menjadi 3,2 juta orang. Ini berarti
pada tahun 2000 jumlah penduduk kota itu mencapai berapa orang?
10. Suatu bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter.
Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian yang sama
dengan tiga perlima dari tinggi yang dicapai sebelum pemantulan terakhir.
Berapakah panjang lintasan bola sampai pada akhirnya bola tersebut
berhenti memantul?
11. Limit jumlah suku-suku bernomor ganjil dari suatu deret geometri tak hingga
sama dengan 18. Deret geometri tak hingga itu sendiri mempunyai limit
jumlah 24. Tentukan rasio r dan suku pertama (a) dari deret geometri
tersebut!
��������������� ������ 83
BAB VI LOGARITMA
1. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan yang sesuai:
a. log4 = xV
b. Hk = log 2fÌU
c. log a = 5U
d. log n = b\
2. Tentukan x dari:
a. x = log 2U
b. x = log a\
3. Sederhanakanlah:
a. log32 − log H~sUU
b. log 5 + log 2
c. log 3 + log 4 + log kV− log2
4. Selesaikanlah:
a. log 45 + log 72 − log 81UUU
b. log 1 + log 1 + log 1vvv
c. Carilah x, jika diketahui log 8 + log 4 − log 2 = 2vvv
Hitunglah!
5. log81x log HUu = ⋯iHf�
6. log243 − log 343 = ⋯f�
f��
7. Tentukan x, jika log 729 = 1cfÍd�
8. Jika log Î\] = xÏ, maka log c\]d
U = ⋯
9. Nilai dari U ÐQÑf�¢ ÐQÑUÏ�ÐQÑ U. ÐQÑV�� = ⋯
10. Diketahui, log 5 = nz , maka log 125V dapat dinyatakan dengan ….
11. Diketahui, log 16 = psz , maka log 32VsV dapat dinyatakan dengan ….
12. Diketahui, log 3 = as dan log 7 = bV .
Maka log 6u dapat dinyatakan dengan ….
��������������� ������ 84
BAB VII GEOMETRI TRANSFORMASI
1. Benar atau salahkah pernyataan berikut? Jika salah, berikan alasan
pembenarannya!
Bila pada suatu bangun dilakukan translasi, maka:
a. Semua titik bergerak sepanjang jarak yang sama
b. Semua titik bergerak dengan arah yang sama
c. Semua ukuran panjang dalam bangun itu tetap
d. Luas bangun bayangannya sama dengan luas bangun sebelum dilakukan
translasi
e. Paling sedikit ada satu titik invarian
f. Translasi tersebut dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah (vektor)
g. Bangun bayangannya kongruen dengan bangun semula
2. Suatu translasi u membawa titik A(5,-7) ke titik B(-1,3), dan translasi v membawa titik B ke titik C(-7,-1)
a. Tentukan udan v b. Tentukan translasi w yang langsung membawa titik A ke titik C
3. Translasi «32¬ dilanjutkan dengan translasi «ab¬, menghasilkan suatu translasi
« 6−3¬. Tentukanlah a dan b!
4. Diketahui A(2,1), B(5,1), C(3,5), dan D(6,5)
a. Bangun apakah segi empat ABCD tersebut?
b. Tentukan bayangan titik-titik tersebut pada pencerminan terhadap garis
x=7!
5. Diketahui titik A(-7,-4), B(1,-5), dan C(-2,1). Titik-titik ini dicerminkan terhadap
garis y=2 dan peta-petanya dicerminkan lagi terhadap garis y=7. Tentukanlah
bayangan terakhir dari titik-titik A, B, dan C tersebut!
6. Diketahui titik-titik A(1,2), B(-1,6), dan garis x=2. Tentukan koordinat titik T
pada garis x=2 sedemikian sehingga AT+BT terpendek!
7. Diketahui ∆ABC yang koordinat titik-titik sudutnya A(15,11), B(-3,12), dan C(-
5,6). Tentukanlah bayangan ∆ABC pada rotasi berikut ini:
a. R(O,90Q) b. R(O,180Q)
��������������� ������ 85
c. R(O,−90Q)
8. Carilah bayangan titik-titik A(4,2), B(-2,3), C(-1,10), dan D(-2,-1) pada dilatasi
berikut ini.
a. [O,5]
b. [O,1]
c. [O,-3]
d. [O,-1]
9. Diketahui titik-titik A(11,6), B(9,6), P(17,9), dan Q(21,9). Tentukanlah titik
pusat dilatasi dan faktor skalanya, apabila bayangan A dan B berturut-turut
adalah P dan Q!
10. Diketahui sembarang ∆ABC. Garis-garis berat (membagi dua sama panjang
sisi di hadapan sebuah sudut) BE dan CF berpotongan di titik G. Tariklah
garis yang menghubungkan titik-titik F dan E.
a. Buktikan bahwa FE//BC
b. Buktikan bahwa BG : GE = CG : GF = 2 : 1
