1

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS IV

FUNKTSIOONID JA NENDE GRAAFIKUD TULETISE RAKENDUSED

1 Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna ( X ) moodustavad argumendi (x) vaumlaumlrtused mille korral

funktsiooni vaumlaumlrtus (y) on eeskirjaga f(x) leitav

2 Funktsiooni muutumispiirkonna (Y) moodustab funktsiooni vaumlaumlrtuste ( f(x) ) hulk

3 Argumendi vaumlaumlrtuseid mille korral funktsiooni vaumlaumlrtus on null nimetatakse funktsiooni

nullkohtadeks ja taumlhistatakse tavaliselt X0

= x1 xn Funktsiooni y = f(x) nullkohtade

leidmiseks tuleb lahendada votilderrand f(x) = 0

4 Argumendi kotildeigi selliste vaumlaumlrtuste hulka mille korral funktsiooni vaumlaumlrtused on positiivsed

(negatiivsed) nimetatakse vastavalt funktsiooni positiivsuspiirkonnaks

(negatiivsuspiirkonnaks) ning taumlhistatakse X + (X

-) Funktsiooni y = f(x)

positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada votilderratus f(x) gt 0 ning negatiivsuspiirkonna

leidmiseks lahendada votilderratus f(x) lt 0

5 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus ba kasvavaks kui x2gtx1 f(x2)gtf(x1) ja

vastavat vahemikku taumlhistatakse X ning kahanevaks kui x2gtx1 f(x2)ltf(x1) ja

taumlhistatakse suumlmboliga X

6 Argumendi vaumlaumlrtust mille korral funktsioon saavutab oma suurima ( vaumlhima) vaumlaumlrtuse

nimetatakse funktsiooni ekstreemumkohtadeks ( maksimum- ja miinimumkohad) ja

taumlhistatakse X e

7 y = f(x) on paarisfunktsioon kui f(-x) = f(x) Paarisfunktsiooni graafik on alati

suumlmmeetriline y -telje suhtes y = f(x) on paaritu funktsioon kui f(-x) = - f(x) Paaritu

funktsiooni graafik on alati suumlmmeetriline sirge y = x suhtes

8 Funktsioon y = f(x) on perioodiline funktsioon kui F( x + T ) = f(x) kus T on funktsiooni

periood

1) Votilderdeline seos avaldub valemina y = ax kus votilderdetegur a 0

Votilderdelise seose omadus uumlks positiivne suurus sotildeltub teisest votilderdeliselt kui uumlhe suuruse

kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus

kasvab(kahaneb ) sama arv korda Votilderdelise seose graafikuks on sirge mis laumlbib koordinaatide

alguspunkti Kui votilderdetegur a 0 siis graafik laumlbib koordinaattasandi I ja III veerandit kui a lt

0 siis paikneb graafik II ja IV veerandis

Naumlide

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y = 4x a = 4 gt 0 y = -3x a = -3 lt 0

2

2) Poumloumlrdvotilderdeline seos 0 ajaRakusx

ay

Poumloumlrdvotilderdelise seose omadus uumlks positiivne suurus sotildeltub teisest poumloumlrdvotilderdeliselt kui uumlhe

suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kahaneb (kasvab) sama arv

korda Poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvuse graafikuks on huumlperbool mille harud asuvad I ja III veerandis

kui a gt 0 ning II ja IV veerandis kui a lt 0

Naumlide

RX 0

RY 0

0X

0

0

X

X

X

XX

eX

3) Lineaarfunktsioon avaldub kujul y = ax + b kus a ja b on mistahes arvud ja a 0 Kui

vabaliige b = 0 siis saame votilderdelise seose y = ax Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge

Vabaliige b on sirge algordinaat st sirge lotildeikab y-telge punktis (0 b) Lineaarliikme kordaja

a on sirge totildeus Kui a gt 0 siis on tegemist totildeusva sirgega ja kui a lt 0 siis langeva sirgega

Naumlide

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

-18

-15

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

xy

5 a =5 gt 0

xy

3 a = -3 lt 0

RX 0

RY 0

0X

0

0

X

X

XX

X

eX

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x-telg

y-telg

250 xy Funktsioon 250 xy

RX

RY

0X 4

4

4

X

X

X R

X

eX

13 xy

3

4) Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c kus a b ja c on mistahes arvud ja a 0

Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool Kui a gt 0 siis parabooli harud

avanevad uumlles kui a lt 0 siis alla Parabooli suumlmmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja

punkti kus parabool lotildeikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks

Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( votilderrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja

haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 2

21 xx votildei

valemist a

bxh

2 ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi vaumlaumlrtuse funktsiooni avaldisse

ning leiame y vaumlaumlrtuse votildei kasutame valemit a

bacy

4

4 2 ) Parabooli haripunkt on ka tema

ekstreemumpunktiks

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 c) Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde

Naumlide Joonestage ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafik ning uurige funktsiooni Graafik

avaneb uumllespoole kuna ruutliikme kordaja on positiivne

Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad st ruutvotilderrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid

Vieteacutei teorremi potildehjal saame x1= 2 ja x2 = 3 Graafiku haripunkti leiame nullkohtade

aritmeetilise keskmisena 522

32

hx ja 250652552 2 hy ehk H(25 -025)

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 6) -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 0 1 2 3 4 5

RX

250Y

0X 2 3

32

32

X

X

52X

52X

25052min P (haripunkt on antud juhul ka miinimumpunktiks)

y = x2 - 5x + 6

4

5) Astmefunktsioon avaldub kujul 0 nZnxy n

Naumlide

a) Nnxy n 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3

x-telg

y-telg

b) Nnxy n 12

y=x3

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -09 -06 -03 0 03 06 09 12 15 18 21 24 27 3

x-telg

y-telg

4xy

RX

0Y

0X 0

0X

X

0X

0X

00minP

RX

RY

0X 0

0X

X 0

RX

X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

5

c) Nnxy n 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

d) Nnxy n )12(

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3x-telg

y-telg

2 xy

3 xy

RX 0

0Y

0X

0X

X

0X

0X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

RX 0

RY 0

0X

0X

X 0

X

XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

2

2) Poumloumlrdvotilderdeline seos 0 ajaRakusx

ay

Poumloumlrdvotilderdelise seose omadus uumlks positiivne suurus sotildeltub teisest poumloumlrdvotilderdeliselt kui uumlhe

suuruse kasvamisel (kahanemisel) mingi arv korda teine suurus kahaneb (kasvab) sama arv

korda Poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvuse graafikuks on huumlperbool mille harud asuvad I ja III veerandis

kui a gt 0 ning II ja IV veerandis kui a lt 0

Naumlide

RX 0

RY 0

0X

0

0

X

X

X

XX

eX

3) Lineaarfunktsioon avaldub kujul y = ax + b kus a ja b on mistahes arvud ja a 0 Kui

vabaliige b = 0 siis saame votilderdelise seose y = ax Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge

Vabaliige b on sirge algordinaat st sirge lotildeikab y-telge punktis (0 b) Lineaarliikme kordaja

a on sirge totildeus Kui a gt 0 siis on tegemist totildeusva sirgega ja kui a lt 0 siis langeva sirgega

Naumlide

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

-18

-15

-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

xy

5 a =5 gt 0

xy

3 a = -3 lt 0

RX 0

RY 0

0X

0

0

X

X

XX

X

eX

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x-telg

y-telg

250 xy Funktsioon 250 xy

RX

RY

0X 4

4

4

X

X

X R

X

eX

13 xy

3

4) Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c kus a b ja c on mistahes arvud ja a 0

Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool Kui a gt 0 siis parabooli harud

avanevad uumlles kui a lt 0 siis alla Parabooli suumlmmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja

punkti kus parabool lotildeikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks

Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( votilderrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja

haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 2

21 xx votildei

valemist a

bxh

2 ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi vaumlaumlrtuse funktsiooni avaldisse

ning leiame y vaumlaumlrtuse votildei kasutame valemit a

bacy

4

4 2 ) Parabooli haripunkt on ka tema

ekstreemumpunktiks

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 c) Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde

Naumlide Joonestage ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafik ning uurige funktsiooni Graafik

avaneb uumllespoole kuna ruutliikme kordaja on positiivne

Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad st ruutvotilderrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid

Vieteacutei teorremi potildehjal saame x1= 2 ja x2 = 3 Graafiku haripunkti leiame nullkohtade

aritmeetilise keskmisena 522

32

hx ja 250652552 2 hy ehk H(25 -025)

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 6) -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 0 1 2 3 4 5

RX

250Y

0X 2 3

32

32

X

X

52X

52X

25052min P (haripunkt on antud juhul ka miinimumpunktiks)

y = x2 - 5x + 6

4

5) Astmefunktsioon avaldub kujul 0 nZnxy n

Naumlide

a) Nnxy n 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3

x-telg

y-telg

b) Nnxy n 12

y=x3

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -09 -06 -03 0 03 06 09 12 15 18 21 24 27 3

x-telg

y-telg

4xy

RX

0Y

0X 0

0X

X

0X

0X

00minP

RX

RY

0X 0

0X

X 0

RX

X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

5

c) Nnxy n 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

d) Nnxy n )12(

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3x-telg

y-telg

2 xy

3 xy

RX 0

0Y

0X

0X

X

0X

0X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

RX 0

RY 0

0X

0X

X 0

X

XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

3

4) Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c kus a b ja c on mistahes arvud ja a 0

Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool Kui a gt 0 siis parabooli harud

avanevad uumlles kui a lt 0 siis alla Parabooli suumlmmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja

punkti kus parabool lotildeikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks

Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( votilderrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja

haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 2

21 xx votildei

valemist a

bxh

2 ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi vaumlaumlrtuse funktsiooni avaldisse

ning leiame y vaumlaumlrtuse votildei kasutame valemit a

bacy

4

4 2 ) Parabooli haripunkt on ka tema

ekstreemumpunktiks

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 c) Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde

Naumlide Joonestage ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafik ning uurige funktsiooni Graafik

avaneb uumllespoole kuna ruutliikme kordaja on positiivne

Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad st ruutvotilderrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid

Vieteacutei teorremi potildehjal saame x1= 2 ja x2 = 3 Graafiku haripunkti leiame nullkohtade

aritmeetilise keskmisena 522

32

hx ja 250652552 2 hy ehk H(25 -025)

Parabool laumlbib y-telge punktis (0 6) -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 0 1 2 3 4 5

RX

250Y

0X 2 3

32

32

X

X

52X

52X

25052min P (haripunkt on antud juhul ka miinimumpunktiks)

y = x2 - 5x + 6

4

5) Astmefunktsioon avaldub kujul 0 nZnxy n

Naumlide

a) Nnxy n 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3

x-telg

y-telg

b) Nnxy n 12

y=x3

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -09 -06 -03 0 03 06 09 12 15 18 21 24 27 3

x-telg

y-telg

4xy

RX

0Y

0X 0

0X

X

0X

0X

00minP

RX

RY

0X 0

0X

X 0

RX

X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

5

c) Nnxy n 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

d) Nnxy n )12(

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3x-telg

y-telg

2 xy

3 xy

RX 0

0Y

0X

0X

X

0X

0X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

RX 0

RY 0

0X

0X

X 0

X

XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

4

5) Astmefunktsioon avaldub kujul 0 nZnxy n

Naumlide

a) Nnxy n 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3

x-telg

y-telg

b) Nnxy n 12

y=x3

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -09 -06 -03 0 03 06 09 12 15 18 21 24 27 3

x-telg

y-telg

4xy

RX

0Y

0X 0

0X

X

0X

0X

00minP

RX

RY

0X 0

0X

X 0

RX

X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

5

c) Nnxy n 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

d) Nnxy n )12(

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3x-telg

y-telg

2 xy

3 xy

RX 0

0Y

0X

0X

X

0X

0X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

RX 0

RY 0

0X

0X

X 0

X

XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

5

c) Nnxy n 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

d) Nnxy n )12(

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

-3 -26 -22 -18 -14 -1 -06 -02 02 06 1 14 18 22 26 3x-telg

y-telg

2 xy

3 xy

RX 0

0Y

0X

0X

X

0X

0X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

RX 0

RY 0

0X

0X

X 0

X

XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

6

6) Juurfunktsioonid

Naumlide

a) 0 xxy

0

05

1

15

2

25

3

35

4

45

-2 3 8 13 18

b) 3 xy

-15

-1

-05

0

05

1

15

-1 -09 -08 -07 -06 -05 -04 -03 -02 -01 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

0X

0Y

0X 0

0X X

X X X

Ekstreemumpuntid puuduvad

RX

RY

0X 0

0X X 0

RX X

Ekstreemumpunktid puuduvad

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

7

7) Eksponentfunktsioon avaldub kujul y = ax kus a gt 0 ja a 1

8) Logaritmfunktsioon avaldub kujul y = logax kus a gt 0 ja a 1 x gt 0

Naumlide

a) a gt 1

-1

-05

0

05

1

15

2

25

3

35

4

-1 -05 0 05 1 15 2 25 3

b) 0 lt a lt 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

Funktsioonid y = a

x ja y = logax on teineteise

poumloumlrdfunktsioonid Kui xaxf )( siis xxf alog)(1 ja kui xxf alog)( siis

xaxf )(1

Funktsiooni y = f(x) poumloumlrdfunktsiooni leidmiseks vahetame x ja y st x = g(y)

Saadud tulemusest avaldame y ndash i Poumloumlrdfunktsiooni maumlaumlramispiirkonnaks on antud funktsiooni

muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks antud funktsiooni maumlaumlramispiirkond Funktsioonide

y = f(x) ja x = g(y) graafikud on suumlmmeetrilised funktsiooni y = x graafiku suhtes

xy 10

xy

xy log

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

RX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

1X 10X

XX X

Ekstreemumpunktid

puuduvad

xy2

1log

x

y

2

1

Funktsioon y = ax

RX

0Y

0X

RX X

X RX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

Funktsioon y = logax

0X

RY

0X 1

10X 1X

X XX

Ekstreemumpunktid

puuduvad

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

8

Funktsiooni tuletis ja selle rakendused

1) Olulisemate tuletiste tabel

cprime= 0

(ax)prime = aa x ln

(ex)prime = e

x

xprime = 1 (ln x)prime =

x

1 (loga x)prime =

ax ln

1

x

12

1

x

(sin x)prime = cos x

(cos x)prime = -sin x

(xn)prime = 1 nxn

(tan x)prime = x2cos

1

(cot x)prime = x2sin

1

Liitfunktsiooni tuletis Fprime(x) = fprime )(xg gprime(x) kui F = f(u) ja u = g(x)

Funktsioonide summa vahe korrutise ja jagatise tuletis

a) (u + v)prime = uacute + vprime

b) (u - v)prime = uacute - vprime

c) (cu)prime = cuprime

d) (uv)prime = uacutemiddot v + vprimemiddot u

e) 2

acute

v

uvvu

v

u

2) Puutuja votilderrand y ndash yo = fprime(xo) (x ndash xo) kus puutuja totildeus k = facute(x) ja puutepunkt on P(x0

y0)

3) Normaali votilderrand y ndash yo = -)acute(

1

xf (x ndash xo) kus puutuja normaali totildeus on

)acute(

1

xf ja

normaal laumlbib punkti P(x0 y0)

x

y

x0

y0

P

α

y=f(x)

puutuja normaal

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

9

4) Diferentseeruva funktsiooni uurimine

1) maumlaumlramispiirkond ( X )

2) muutumispiirkond (Y)

3) nullkohad 0)( xfx

4) positiivsuspiirkond 0)( xfx

5) negatiivsuspiirkond 0)( xfx

6) kasvamisvahenikud 0)acute( xfx

7) kahanemisvahemikud 0)acute( xfx

8) funktsiooni ekstreemumumid

a) maksimumkoht

0acuteacute

0)acute(

max

max

xf

xfehk

b) miinimumkoht

0acuteacute

0)acute(

min

min

xf

xfehk

c) funktsiooni maksimum maxmax xfy

d) funktsiooni miinimum minmin xfy

9) funktsiooni perioodilisus )()( xfTxf kus T on funktsiooni periood

10) paarisfunktsioon ( xfxf ) votildei paaritufunktsioon ( xfxf )

5) Ekstreemumuumllesanneteks nimetatakse uumllesandeid mis taanduvad mingi

suuruse suurima votildei vaumlhima vaumlaumlrtuse leidmisele Tuletame meelde et

funktsiooni suurimat (vaumlhimat) vaumlaumlrtust leidsime funktsiooni tuletise abil

6) Pea meeles Leides funktsiooni suurimat ja vaumlhimat vaumlaumlrtust lotildeigul tuleb

kontrollida ka funktsiooni vaumlaumlrtusi lotildeigu otspunktides

NAumlITEUumlLESANDED

1) Jaota arv 284 kaheks arvuks nii et nende korrutis oleks suurim

Lahendus

Taumlhistame arvu 284 osad x ja 284 ndash x Nende arvude korrutis on 2284284)( xxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise xxf 2284)(

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 284 ndash 2x = 0 x = 142

Kontrollime kas on tegemist maksimumiga Selleks votildeib kasutada abijoonist votildei leiame teise

tuletise 02)2284()acute ( xxf

Seega on arvu 284 osad 142 ja 284 ndash 142 = 142

Vastus Arv 284 tuleks jagada votilderdseteks osadeks142 ja 142 siis on nende korrutis suurim

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) + 0 -

x x lt xmax xmax x gt xmax

facute(x) - 0 +

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

10

2) Jaota arv 30 kaheks arvuks nii et nende ruutude summa oleks vaumlhim

Lahendus

Taumlhistame arvu 30 osad x ja 30 ndash x Nende ruutude summa on

9006026090030)( 22222 xxxxxxxxf

Leiame saadud funktsiooni tuletise 604)( xxf

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi

4x - 60= 0 15 x

Kontrollime kas on tegemist miinimumiga Selleks leiame teise tuletise 04)604()acute ( xxf

Seega tuleks arv 30 jagada votilderdseteks osadeks 15 ja 15

Vastus Arv 30 tuleb jaotada osadeks 15 ja 15 siis on nende ruutude summa vaumlhim

3) Riigieksam 1999 (15p) Muumluumlri aumlaumlres tuleb kolmest kuumlljest piirata taraga maksimaalse

pindalaga ristkuumllikukujuline maatuumlkk Leia maatuumlki motildeotildetmed kui tara pikkus peab

olema 200 m

Lahendus

Olgu maatuumlki kaks kuumllge x (m) ja kolmas kuumllg 200 ndash 2x (m) ( nagu joonisel taumlhistatud)

Leiame maatuumlki pindala

222002200)( xxxxxS Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

xxS 4200)( ja lahendame votilderrandi

5004200 xx

Maksimumi kontrollimiseks leiame teise tuletise 04)4200()acute ( xxS

Leiame nuumluumld maatuumlki pikema kuumllje y = 200 ndash 2middot50 = 100 (m)

Vastus Maatuumlki motildeotildetmed on 50 m ja 100m

4) Riigieksam 2003( 20p) On antud funktsioonid f(x) = -xsup2 + bx (b gt 0) ja g(x) =

2833 3 xx

a)Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle vastastipp

joonel y = f(x) Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

b)Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

c)Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega Arvutage

saadud b vaumlaumlrtusel punktis a) leitud kolmnurga pindala

Lahendus

x x

y =200-2 x

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

11

a) Funktsiooni f(x) = -xsup2 + bx nullkohad on x1= 0 ja x2 = b ning haripunkti abtsiss x = 2

b

ja ordinaat y = -424

222 bbb Skitseerime graafiku ja kolmnurga

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Avaldame kolmnurga pindala Taumlhistame x-teljel asuva kaadeti x-ga ning siis on teine kaatet -xsup2

+ bx kuna punkt A asub paraboolil

222

)()(

232 bxxbxxxxS

Ekstreemumi leidmiseks leiame tuletise

bxxbxx

xS 22

512

2

2

3)(

ja lahendame votilderrandi

051051 2 bxxbxx

bxbx

sobieix

3

2051

0

2

1

Kontrollime kas bx3

22 annab maksimaalse pindala

Leiame teise tuletise

02

3

2acuteacute3)acuteacute(

bbb

bSbxxS

st on maksimumkoht kuna b gt 0

Leiame teise kaateti

9

2

3

2

9

4 222 bbb

Pindala

27

2

9

2

3

2

2

1 32 bbbS

(uumlhsup2)

Vastus Selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala on 27

2 3buumlhsup2

b) Leiame funktsiooni 2833)( 3 xxxg nullkohad

b 0

)( 2 bxxxA

2

b

4

2b

x

y

)(xfy

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

12

02833 3 xx 0283

273

x

x

Teeme muutuja vahetuse a = 3x

02728002827 2 aaaa

a

Vieteacutei teoreemi potildehjal saame lahenditeks

0131

327327

22

11

xa

xa

x

x

Vastus Funktsiooni g(x) nullkohad on 3 ja 0

c) Funktsioonide nullkohad

nullkohad nullkohad

f(x) 0 b

g(x) 0 3

Jaumlrelikult b = 3 ja pindala 227

32

27

2 33

b

S uumlhsup2

5) Leia jaumlrgmiste funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

1ln)

21

32)

4)

2

13)

2

2

xyd

x

xyc

xyb

x

xya

Lahendus

a) Funktsiooni 2

13

x

xy vaumlaumlrtuse leidmisel peab olema votildeimalik

Leidajagatis 2

13

x

x See on votildeimalik kui x - 2 0 x 2 kotildeik uumllejaumlaumlnud reaalarvud

kuuluvad maumlaumlramispiirkonda

Vastus X = 22 ehk X = R 2

b) Funktsiooni y = 42 x maumlaumlramispiirkonna moodustavad argumendi vaumlaumlrtused mille

korral 2 4 0x Leiame nullkohad

2

2

41404

2

1

222

x

x

xxx

Kanname nullkohad arvteljele

x

-2 2

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

13

Vastus

c) Funktsiooni y = 2

32

x

x maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

2 3

0 2 3 2 0 2 02

xx x x

x

Nullkohad 2x-3 = 0 x1 = 15 x + 2 = 0 x2 = -2 Kanname nullkohad arvteljele

Vastus 512X

d) Funktsiooni 1ln 2 xy maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse

012 x sest logaritmitav peab olema positiivne Leiame avaldise nullkohad ja

kanname need arvteljele

1

1

101

2

1

22

x

x

xx

Vastus 11X

6) On antud funktsioon y = x3-9x

a) Leidke f(-4) |f(-4)| f(a) f(x + a) ndash f(a)

b) Naumlidake et f(x) = x3-9x on paaritu funktsioon

c) Leidke funktsiooni nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad

Lahendus

a) Leiame f (-4) = (-4)3-9(-4) = -64 + 36 = -28

(1) |f(-4) = |-28| = 28

(2) f(a) = a3-9a

(3) f(x +a) - f(a) = (x +a)3-9(x +a) ndash (asup3 - 9a) =

= xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 + asup3 - 9x - 9a- asup3 +9a = xsup3 + 3xsup2a + 3xasup2 - 9x ndash 9a =

= xsup3 + 3axsup2 + 3(asup2 - 3) x ndash 9a

b) f(- x) = (- x)3- 9(- x) = - x

3+ 9x = - (x

3-9x) = - f (x)

c) Funktsiooni f(x) = x3-9x nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi

x3-9x = 0

Tegurdame votilderrandi vasaku poole

x(xsup2 - 9) = 0

22X

15 -2 x

-1 1

x

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

14

x1 = 0

2 9 9 3x x

x2 = 3 x3 = 3

Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) = x3 9x gt 0 Kasutame eelmises

punktis leitud nullkohti millised kanname arvteljele

Seega funktsiooni positiivsuspiirkond on 303 Negatiivsuspiirkonna leidmiseks

lahendame votilderratuse f(x) = x3- 9x lt 0 Vastuse loeme samalt jooniselt Funktsiooni

negatiivsuspiirkond on 303

7) Riigieksam 2001 (5p) Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonestage samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlrake taumliendatud joonise potildehjal

(1) kummagi funktsiooni nullkohad

(2) piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

(3) ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

(4) piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

Lahendus

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Leiame vastused

Funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 nullkohad on -3 1 ning funktsiooni y = 2x +3 nullkohad -

15 Ruutfunktsioon kasvab vahemikus 1 ning tema suurim vaumlaumlrtus on ymax = 4

Motildelemad funktsioonid on samaaegselt positiivsed piirkonnas 151

f(x)gt0 f(x)gt0

f(x)lt0 f(x)lt0 3 0 -3

x

y = -xsup2 - 2x + 3

y = 2x + 3 Lineaarfunktsiooni graafiku

joonestamiseks maumlaumlrame kaks

punkti

x 0 -15

y 3 0

Votildei kasutane totildeusu (a = 2) ja

algordinaati (b =3)

Parabooli skitseerimist

vaatlesime lk 70

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

15

8) Joonestage uumlhes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) = |x ndash 2| ja g(x) = 3x-6 graafikud

ning leidke piirkond kus samaaegselt f(x) gt 0 ja g(x) lt 0

Lahendus

Absoluutvaumlaumlrtuse definitsioonist saame

22

222)(

xkuix

xkuixxxfy

Joonestame sirged kahe punkti abil Kui f(x) = x - 2 ja x 2 siis

Kui f(x) = -x + 2 ja x lt 2 siis

Kui g(x) = 3x ndash 6 siis graafikuks vajalikud punktid saame

Joonestame antud funktsioonide graafikud

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Vastus Jooniselt leiame et samaaegselt on f(x) gt0 ja g(x) lt 0 kui x lt 2

9) Leida joone y = x3

+1 puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1 Tee joonis

Lahendus

Leiame esmalt puutpunkti koordinaadid Teame et x = 1y = 1sup3 + 1 = 2 Saime puutepunktiks

P(1 2)

x 0 2

)(xfy -2 0

x 0 2

)(xgy -6 0

)(xg = 3x - 6

)(xf = | x ndash 2 |

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

16

Jaumlrgmisena leiame puutujasirge totildeusu k Kuna )acute( xfk siis leiame esmalt tuletise 23)acute(acute xxfy ja 313)1acute( 2 fk

Koostame puutuja votilderrandi 13)1(32 xyxy

Skitseerime joone ja selle puutuja graafikud

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

10) Millises punktis on paraboolil y = x2

+ 4x x-teljega paralleelne puutuja

Lahendus

Selleks et puutuja oleks paralleelene x- teljega peab tema totildeus olema o st k = 0

Kuna k = yacute= 2x + 4 siis saame votilderrandi 2x + 4 = 0 x = -2

Leiame nuumluumld puutepunkti ordinaadi y = (-2)sup2 + 4 middot (-2) = -4

Saime puutepunktiks P(-2 -4)

Vastus Paraboolil y = x2 + 4x on x-teljega paralleelne puutuja punktis P(-2 -4)

11) Riigieksam 1997 (10p) Leidke funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) maksimum- ja miinimumkohad

b) kasvamis- ja kahanemisvahemikud Lahendus

Leiame funktsiooni tuletise facute(x) = yacute = 12x2

- 6x

Leiame tuletise nullkohad 12x2

- 6x = 0 6x ( 2x ndash1) = 0

6x = 0 x1 = 0

2x ndash1 = 0 x2 = 05

Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse 12x2 - 6x lt 0

Maumlrgime nullkohad ja skitseerimetuletisjoone

05 0

x

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

facute(x)

y = xsup3 + 1

y = 3x - 1

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

17

Leiame jooniselt kasvamis- ja kahanemisvahemikud

500500 21 XningXjaX

Jooniselt naumleme et kohal x1 = 0 laumlheb kasvamine uumlle kahanemiseks seega on tegemist

maksimumkohaga ning kohal x2 = 05 asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega seega

on tegemist miinimumkohaga

Vastus Funktsiooni y = 4x3

- 3x2 ekstreemumkohad on xmax= 0 ja xmin= 05 Kasvamis- ja

kahanemisvahemikud on vastavalt 500500 21 XningXjaX

12) Riigieksam 2000 (15p) On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leidke funktsiooni

(1) maumlaumlramispiirkond

(2) graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

(3) miinimumpunkti abtsiss

b) Koostage joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

Lahendus

Kuna logaritmitav peab olema positiivne siis saame maumlaumlramispiirkonnaks 0X

Leiame graafiku ja x- telje lotildeikepunkti st punkti kus y = 0 Saame votilderrandi

xlnx ndash xln5 = 0 x( lnx ndash ln5) = 0 x1= 0 on votildeotilderlahend kuna ei kuulu maumlaumlramispiirkonda ja

teisest tegurist saame lnx = ln5 x2 = 5

Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Leiame miinimumpunkti abtsissi Selleks leiame funktsiooni tuletise

facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x

Ekstreemumkoha leidmiseks lahendame votilderrandi 05ln1

ln xx

x

lnx + 1 - ln5 = 0 lnx + lne - ln5 = 0 lnx = ln5 - lne e

x5

Kontrollime kas tegemist on miinimumkohaga Selleks leiame teise tuletise

facuteacute(x) = 05

51

e

ef

x

Saime miinimumpunkti abtsissiks e

x5

Joone puutuja leidmiseks leiame esmalt puutuja totildeusu

k = facute(x) = (xlnx ndash xln5)acute= 5ln1

ln xx

x Kuna joon lotildeikab x- telge punktis

P(5 0) siis k = facute(5) = 15ln15ln

Koostame puutuja votilderrandi 5)5(10 xyxy

Vastus Maumlaumlramispiirkonnaks on 0X Graafiku ja x- telje lotildeikepunktiks on P(5 0)

Miinimumpunkti abtsissiks on e

x5

Joone puutuja votilderrandi on 5 xy

13) Riigieksam2001 (15p) Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

18

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsustage funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvutage funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

Lahendus

a) Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna leidmiseks lahendame votilderratuse 0xe

x

Kuna ex gt 0 siis saame votilderratuse lahendiks x gt 0 0X

b) Lihtsustame avaldist kasutades logaritmi omadust

loga c

b = logab - logac b gt 0 c gt0 ning teades et ln e = 1

2222 lnlnlnlnlnln xxxxexxxexxe

x x

x

c) Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) gt 0

Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame votilderratuse yacute = facute(x) lt 0

Leiame tuletise eelmises punktis saadud lihtsustatud avaldisest

facute(x) = yacute = xx

211

Leiame tuletise nullkohad ning skitseerime tuletisjoone votilderratuste

lahendamiseks

xx

211

= 0

0

0120

2122

x

xx

x

xx

Lahendame murru lugejas oleva votilderrandi 2xsup2 + x ndash 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

irkondamaumlaumlramispikuulueikunavotildeotilderlahendonx

x

x

1

50

4

31

2

1

Arvestades et funktsiooni maumlaumlramispiirkond 0X siis saame kasvamis ja

kahanemisvahemikeks vastavalt 50500 XningX

d) Kuna kohal x = 05 laumlheb funktsiooni kasvamine uumlle kahanemiseks siis on see

maksimumkohaks ning

4412ln75050502ln5050

ln)50( 212

50

efy

Funktsiooni maksimumpunkt on Pmax(05 -ln2-075)

14) Riigieksam 2002 (15p) Antud on funktsioon y = 3

1xsup3 - 4x

a) Leidke funktsiooni tuletis

x

05 0

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

19

b) Leidke funktsioni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leidke funktsiooni graafiku puutuja totildeus miinimumpunktis

e) Joonestage funktsiooni graafik ja sellele puutuja miinimumpunktis Lahendus

Leiame tuletise 443

13acute 22 xxxy

Kasvamis ja kahanemisvahemike jaoks tuleb lahendada votilderratused 04acute 2 xy ja

04acute 2 xy Votilderratuste lahendamiseks leiame tuletisavaldise nullkohad

22404 21

22 xjaxxx

Maumlrgime punktid x-teljele ja skitseerime tuletisjoone

Jooniselt naumleme et funktsiooni kasvamisvahemikud on 22 21 XjaX

Funktsioon on kahanev vahemikus 22

Kohal 21 x on funktsiooni maksimum kuna kasvamine asendub kahanemisega ja

kohal 22 x minimum kuna kahanemine laumlheb uumlle kasvamiseks Leiame nuumluumld funktsiooni

graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

Kui 2max x 3

15242

3

1 3

max y

3

152maxP

Kui 2min x 3

15242

3

1 3

min y

3

152minP

Leiame funktsiooni graafiku puutuja totildeusu punktis

3

152minP Puutuja totildeus on

0422acute4acuteacuteacute 22 fkxyjaxfyk Seega k = 0 st puutuja on paralleelne x-

teljega ja puutujavotilderrandiks on y =3

15

Joonestame nuumluumld funktsiooni y = 3

1xsup3 - 4x graafikuLeiame nullkohad votilderrandist

3

1xsup3 - 4x = 0

5332

12

3043

1

0

043

1

2

2

1

2

x

x

x

x

xx

x

facute(x)

2 -2

facute(x)gt0

facute(x)lt0

facute(x)gt0

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

20

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Vastus Funktsiooni tuletiseks on 4acute 2 xy Funktsiooni kasvamisvahemikud on

22 ja ning funktsioon on kahanev vahemikus 22 Maksimum- ja

miinimumpunkti koordinaadid on

3

152maxP ning

3

152minP Funktsiooni graafiku puutuja

totildeus miinimumpunktis on 0

UumlLESANDED

Leidke funktsioonide maumlaumlramispiirkonnad

a) 42

25

xxy

b) y =6

12

xx

x

c) x

xx 22

d) ))(2( 2 xxxy

e) 2

6log 4

x

x

f) 64

1

)159log(

2)(

22

xxxxf

V 52 726220123322 88

y = 3

1xsup3 - 4x

y =3

15

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

21

2) Riigieksam 1997( 10p) Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex

graafikud Leidke

3) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y

= 2x +1

2

x

a) maumlaumlramispiirkond

b) max ja min punktid

c) kasvamis- ja

kahanemispiirkonnad

V RX ∕1 Emin(26) Emax(0-2)

2020 XX ∕1

3) Riigieksam 1997Leia funktsiooni y = 4x3

- 3x2

a) max ja min kohad

b) kasvamis- ja kahanemispiirkonnad V xmax= 0 xmin= 05

500500 21 XXX

4) Riigieksam 1997 Leia funktsiooni y = x3 ndash 4x

2 ndash3x ndash 2 kasvamis ndash ja kahanemisvahemikud

maksimum ja miinimumkohad

V 33

13

3

13

3

1 minmax21

xxXXX

5) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = x2

- 2lnx + 3

a) leia

2

1

ef

b) antud funktsiooni kasvamispiirkond

c) antud funktsiooni ekstreemumid

d) lahenda votilderrand f(x) = g(x) kus g(x) = x2 + ln

2x

V e + 2 1X E(14) exe

x 231 1

6) Riigieksam 1998 On antud funktsioon f(x) = sinx - cosx

a) lihtsusta f(x) middot f(-x)

b) lahenda votilderrand f(x) = 1

c) leia f(x) gt 0 lotildeigus 0

d) leia antud funktsiooni miinimumkoht vahemikus 20 ja arvuta funktsiooni vaumlaumlrtus

sellel kohal

V cos2x Znnxnx )12()14(2

21

4

2

4

7min

E

7) Millise muutuja x vaumlaumlrtuse korral saavutab f(x) = 19972124982 xxx oma suurima

vaumlaumlrtuse lotildeigul 11 Leida need funktsiooni vaumlaumlrtused

V f(0)= 2002

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x)

y=ex

A

(1) ruutfunktsiooni y = f(x) valem

(2) punkti A koordinaadid

(3) ruutfunktsiooni nullkohad ja

haripunkt

(4) y = ex vaumlaumlrtus kohal mis

vastab funktsiooni y = f(x)

absoluutvaumlaumlrtuselt vaumlhimale

nullkohale

(5) uumlhised positiivsuspiirkonnad

V y = -xsup2 + 6x ndash5 A(01) X0=1 5

H(34) e 51X

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

22

8) Olgu x1 ja x2 vastavalt funktsiooni f(x) = x3

- 6ax2 + 9a

2x + 1997 min ja max kohad Milliste

parameetri a vaumlaumlrtuste korral kehtib votilderdus x12

= x2 + 10

V 9

112 ja

9) Leia funktsiooni f(x) = px2

- 9x + q ekstreemumpunktid kui f(-3) = 28 ja f(1) = -32 V

Emin(15 -3275)

10) Leia funktsiooni f(x) = 2x3

+ 1-3x(x + 4) minimaalne ja maksimaalne vaumlaumlrtus lotildeigus 33

V ymax= 8 xmax= -1 ymin= -44 xmin= -3

11) Riigieksam 1999On antud funktsioon y = x3

- 5x2

+ 3x - 11

a) Leia selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Leia selle funktsiooni suurim vaumlaumlrtus lotildeigul 50 V

3

3

13

3

1 21 XXX y = 4

12) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = ex ja g(x) = 3

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused vaumliksemad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x = ln cos6

V (ln3 3) x lt ln3

2

3

13) Riigieksam 1999Antud on funktsioonid f(x) = lnx ja g(x) = -2

a) Skitseeri uumlhes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud

b) Leia

1 millistes punktides on nende funktsioonide vaumlaumlrtused votilderdsed

2 milliste argumendi x vaumlaumlrtuste korral on funktsiooni f(x) vaumlaumlrtused suuremad g(x)

vaumlaumlrtustest

3 funktsiooni f(x) vaumlaumlrtus kui x= 3sin

e V (e-2

-2) x gt e-2

2

3

14) Leia funktsiooni f(x) = log12(x2

- 7x + 10) maumlaumlramispiirkond positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad Arvuta f(10) - f(7) Lahenda votilderrand 91+f(x)

+ 8 )(3 xf -1 = 0

V 6 xja 1 x-2253535225353

253532535352

21

X

XX

15) Leia vahemikus

2

3

2

nurgad mille korral funktsiooni y=

x

xx

sin

cossin tuletis on -2

V 135ordm 225ordm

16) Riigieksam 2000 On antud funktsioon f(x) = xlnx ndash xln5

a) Leia funktsiooni

1 maumlaumlramispiirkond

2 graafiku ja x- telje lotildeikepunkt

3 miinimumpunkti abtsiss

b) Koosta joone y = f(x) puutuja votilderrand punktis kus joon lotildeikab x- telge

V 55

)05(0 min xye

xPX

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

23

17) Riigieksam 2001 Joonisel on funktsiooni y = -xsup2 - 2x + 3 graafik

a) Joonesta samale joonisele funktsiooni y = 2x +3 graafik

b) Maumlaumlra taumliendatud joonise potildehjal

1 kummagi funktsiooni nullkohad ja piirkond milles ruutfunktsioon kasvab

2 ruutfunktsiooni suurim vaumlaumlrtus

3 piirkond kus motildelemad funktsioonid on positiivsed

V 151411351 max21 yXxxx

18) Riigieksam 2001 Antud on funktsioon ln 2xe

xy

x

a) Leia funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Lihtsusta funktsiooni avaldist kasutades logaritmi omadusi

c) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Arvuta funktsiooni maksimumpunkti koordinaadid

V 2ln4

3

2

150050ln0 max

2

PXxxxxX

19) Riigieksam 2002 Antud on funktsioon y = x3 ndash 3x

2

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Leia funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni graafikule joonestatud puutuja totildeus punktis mille abtsiss on 3

e) Skitseeri funktsiooni graafik Joonesta funktsiooni graafiku puutuja punktis mille abtsiss

on 3 V yacute= 3x2 ndash 6x )42()00(2020 minmax21 PPXXX k=9

20) Riigieksam 2002 Vaatleme funktsiooni f(x) = 2sinx ndash 1 lotildeigul 20

a) Lahenda votilderrand f(x) = 0

b) Moodusta avaldis f( - x) + f( + x) ja lihtsusta seda

c) joonesta uumlhes ja samas teljestikus funktsiooni y = f(x) graafik ja sirge y = -2

d) Leia x vaumlaumlrtused mille korral funktsiooni y = f(x) graafik astseb sirgest y = -2 allpool V

6

5

6

-2

6

11

6

7 x

21) Riigieksam 2003(15p)Antud on funktsioon xxy 33

a) Leidke funktsiooni nullkohad

b) Leidke funktsiooni tuletis

c) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

d) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

e) Joonestage funktsiooni xxy 33 graafik

f) Kirjutage vaumllja antud funktsiooni positiivsuspiirkond

V

303)21()21(

111133330

minmax

21

2

XPP

XXXxyX o

22) Riigieksam 2003(20p)On antud funktsioonid bxxxf 2)( (b gt 0) ja

9228)( xxxg

1 Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse taumlisnurkne

kolmnurk mille uumlks tipp on koordinaatide alguses uumlks kaatet x-teljel ja selle

vastastipp joonel y = f(x)

2 Leidke selle kolmnurga maksimaalne votildeimalik pindala

3 Leidke funktsiooni g(x) nullkohad

4 Maumlaumlrake arv b nii et funktsiooni f(x) nullkohad uumlhtiksid g(x) nullkohtadega

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

24

5 Arvutage saadud b vaumlaumlrtusel punktis 1) leitud kolmnurga pindala

V 233027

2 2

21

3

uumlhbxxb

S

23) Riigieksam 2004(15p)On antud funktsioon 232 23 xxy

a) Leidke funktsiooni tuletis

b) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

c) Arvutage funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid

d) Joonestage funktsiooni 232 23 xxy graafik

e) Koostage votilderrand joone 232 23 xxy puutujale punktis (2 6)

V 1812)11()20(101066 minmax21

2 xyPPXXXxxy

24) Riigieksam 2004(20p)Antud on funktsioonid f (x) = ln x ja g(x) = minus ln x

a) Lahendage votilderrand f (x) = g(9x)

b) Leidke puutuja votilderrand joonele y = f (x) punktis mille x-koordinaat on e ja joonele y =

g(x) punktis mille x-koordinaat on e

1

c) Totildeestage et leitud puutujad on teineteisega risti

d) Joonestage kolmnurk mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1 Arvutage selle

kolmnurga pikima kuumllje pikkus ja pindala

V

895012

1

12

1

3

1 2

2

222

uumlhee

eS

e

epikkuskuumlljeexyx

eyx

25) Riigieksam 2005(10p) Antud on funktsioonid xxy 43 ja 12 xy

a) Arvutage funktsiooni xxy 43 nullkohad ja maksimum- ning miinimumpunkti

koordinaadid

b) Joonestage funktsioonide xxy 43 ja 12 xy graafikud samas teljestikus

c) Kirjutage vaumllja vahemik kus funktsioonid xxy 43 ja 12 xy kasvavad

uumlheaegselt V 3

32

9

316

3

32

9

316

3

32202 minmax

PPX o

26) Riigieksam 2005(15p) Antud on funktsioon x

xf1

ln)(

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond lihtsustage funktsiooni avaldist

b) Koostage funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja votilderrand punktis mille abstsiss on 1

c) Maumlaumlrake ruutfunktsiooni caxxg 2)( avaldises kordajate a ja c vaumlaumlrtused tingimusel

et alajaotuses b) leitud puutuja oleks uumlhtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks

punktis mille abstsiss on 1

d) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning nende

graafikute uumlhine puutuja

50501ln0 caxyxyX

27) Riigieksam 2006(10p) Antud on funktsioonid xxy 3

3

1 ja g(x) = minusx +1

a) Leidke funktsiooni y = f (x) nullkohad ning maksimum ja miinimum

b) Skitseerige uumlhes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)

graafikud lotildeigul [ndash3 3]

c) Kirjutage joonise potildehjal vaumllja antud funktsioonide uumlhine kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

25

V 113

2

3

2303 minmax XyyX o

28) Riigieksam 2006(15p) On antud funktsioonid y = f (x) ja y = g(x) kus f (x) = ln(4x) ja g(x) =

minus ln x

1 Arvutage antud funktsioonide graafikute lotildeikepunkti koordinaadid

2 Avaldage f (x) summana

3 Koostage votilderrand kummagi funktsiooni graafiku puutujale graafikute lotildeikepunktis

4 Joonestage uumlhes ja samas teljestikus motildelema funktsiooni graafikud ning punktis 3)

leitud puutujad

V 2ln22

ln2ln4ln)(2ln2

1exy

exyxxfL

29) Riigieksam 2007(10p) Antud on funktsioon 735 23 xxxy

a) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud

b) Arvutage funktsiooni vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul 42

V 2733

13

3

1 21

yXXX

30) Riigieksam 2007(15p) On antud joon xxxy 2ln

a) Leidke sellel joonel punkt P(x y) mille koordinaatide summa on vaumlhim

b) Leidke arv a mille korral sirge y = ax - 2 on antud joone puutujaks

c) Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid

V )22(ln2232ln2

1

44

Pa

eeP

31) Riigieksam 2007(20p) Kuupfunktsiooni 123 cxbxaxy kohta on teada et tema

graafiku puutujate seas on ainult uumlks selline puutuja mille totildeus on 4 ja selle puutepunkti

abstsiss on 3

1x Veel on teada et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x =-1

Maumlaumlrake kordajad a b ja c

V 333 cba

32) Riigieksam 2008(10p) On antud funktsioon 23

23 xxy

a) Leidke funktsiooni nullkohad ja negatiivsuspiirkond

b) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt

c) Skitseerige funktsiooni graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 6

11005100510 minmax

PPXX o

33) Riigieksam 2008(20p) Antud on funktsioon axxxf ln8)( 2

a) Leidke funktsiooni maumlaumlramispiirkond

b) Koostage antud funktsiooni y = f (x) graafikule puutuja votilderrand punktis kus see lotildeikub

joonega axy 2

c) Milliste a vaumlaumlrtuste korral on funktsioon axxxf ln8)( 2 kogu oma

maumlaumlramispiirkonnas positiivne

V aaxyX 760 gt 42ln8

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

26

34) Riigieksam 2009(10p) On antud funktsioon 124)( 2 xxxf Leidke selle funktsiooni

a) nullkohad

b) negatiivsuspiirkond

c) tuletis

d) maksimumpunkti koordinaadid

V )91(826)(25022502 max

2 PxxxfXXo

35) Riigieksam 2010(10p) On antud funktsioon 73)( 23 xxxf

a) Naumlidake et )3()2( ff

b) Leidke funktsiooni )(xf tuletis

c) Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid

d) Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lotildeigul [minus 2 3]

V 13)2( f gt )32()70(2063)(7)3( maxmin

2 PPXxxxff

36) Riigieksam 2010(20p)

1 On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c kus a b ja c on reaalarvud Leidke

kordajate a b ja c vaumlaumlrtused nii et funktsiooni f (x) graafik laumlbib punkti P(1 3) ning

graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a Kontrollige saadud tulemusi

2 Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x minus x2 suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus lotildeigul [1 e]

V 103ln31461 2

minmax eyycba

37) Riigieksam 2011(10p) On antud funktsioon f(x) = x4 ndash 4x

3 + 4x

2 ndash 5

1) Arvuta funktsiooni f(x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

2) Leia funktsiooni f(x) kasvamisvahemikud

3) Joonesta funktsiooni graafik lotildeigul [ -1 3]

V 210)41()52()50( 21maxminmin XXCBA

38) Riigieksam 2011(20p)

On antud funktsioonid f(x) = 3log 2

3

1 xx ja g(x) =a lnx ndash b kus RR ba ja

h(x) = 113

2log

3

1

x

1Arvuta a) 33 f

2 Lahenda votilderrand f(x) = h(x)

3 Kas leidub parameetri p (p R ) vaumlaumlrtus nii et votilderrandil f(x) = f(p) on ainult uumlks lahend

Potildehjenda vastust

4 Maumlaumlra a ja b vaumlaumlrtused nii et funktsiooni g(x) graafik laumlbib punkti A(1 e) ning selle

puutuja kohal x = 2 on risti sirgega y = -(2 + x) Koosta puutuja votilderrand

V 4ln225039

1exyebapleidubx

39) Riigieksam 2012(10p) On antud funktsioon f (x) = x4 ndash9x

2

a) Leia funktsiooni f(x) nullkohad

b) Kas funktsioonf(x) on paaris- votildei paaritu funktsioon Potildehjenda

c) Leia funktsiooni f(x) maksimumpunkti koordinaadid

d) Leia funktsiooni f(x) graafiku puutuja totildeus kohal xo=3

V 54)00(303 max kPtsioonpaarisfunkXo

40) Riigieksam 2012(20p) On antud funktsioon f (x) = 2x

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik

27

a) Leia funktsiooni f(x) poumloumlrdfunktsioon

b) Joonesta uumlhes koordinaatteljestikus funktsiooni f(x) ja tema poumloumlrdfunktsiooni graafikud

c) Naumlita et

2550)1(

10 x

xf

xf

d) Lahenda votilderrand 534850

xxf

V 1log2 xxy

41) Riigieksam 2013(10p) On antud funktsioon

2

3

1)( 2 xxxf Leia selle funktsiooni

a) positiivsuspiirkond

b) graafiku ekstreemumpunktide koordinaadid ja maumlaumlra nende liik

c) kahanemisvahemik