KOREKCIJA DINAMICKI GENERISANIH KOORDINATAˇ SUNCA …

KOREKCIJA DINAMICKI GENERISANIH KOORDINATASUNCA PRIMENOM HARMONIJSKE ANALIZE

KOREKCIJA DINAMICKI GENERISANIH KOORDINATASUNCA PRIMENOM HARMONIJSKE ANALIZE

Matematicki fakultet, Univerzitet u BeograduStudentski trg 16, 11000 Beograd, Srbija

APSTRAKT:

Cilj rada predstavlja popravka vremenski zavisne greske programski generisanih koordinataSunca u odnosu na referentne koordinate (JPL - Jet Propulsion Laboratory). Razvoj programaza dinamicko generisanje koordinata Sunca (u realnom vremenu) bez potrebe za komunikaci-jom sa bazom podataka, u cilju postizanja visokog stepena integracije redukcijom hardware-a isoftware-a i sto efikasnijeg upravljanja sistemom pozicioniranja instrumenta (teleskopa, solarnihpanela, itd.) i pracenja kretanja Sunca.

Osnovu analize cini projektovanje vremenski zavisne funkcije greske u bazis ortogonal-nih funkcija (Furijeova transformacija), odnosno domen ucestanosti (spektar). U cilju preciznogodre -divanja i interpretacije spektralnih komponenti koriscene su tehnike filtriranja i korelacije(digitalna obrada signala), wavelet analiza, kao i metode numericke i statisticke obrade podataka.

Kao rezultat, razvijen je program (SOLAR APS) za brzo i precizno generisanje koordinataSunca bez potrebe komunikacije sa bazom podataka. Uspostavljena je potpuna kontrola greskekoordinata, tj. promenom broja izabranih harmonijskih ucestanosti iz Furijeovog spektra funkcijegreske, koje program koristi pri prepravci generisanih koordinata, moze se ispuniti zahtev za un-apred zadatom preciznoscu. Konacni rezultat celokupne analize predstavlja sistem za pozicioni-ranje instrumenta (Radio-teleskopa) i pracenje nebeskog tela (Sunca) na bazi mikrokontroleraserije PIC18Fxxx kao prikaz moguce implementacije programa, cime je postignuta autonomnostsistema i u okvirima samo jednog cipa integrisan niz hardware-skih i software-skih komponentineophodnih za funkcionisanje sistema, eliminisan zahtev za mreznom komunikacijom i objedin-jen sirok opseg kompleksnih operacija ostavljajuci time prostora za unapre -denje i nadogradnjusistema. Dizajniran je i graficki interfejs koji korisnicima omogucava laksu upotrebu programa.

Kljucne reci. Metodi: harmonijska analiza, numericki, statisticki - Tehnike: visoka ugaona re-zolucija - Referentni sistemi - Vreme - Sunce: aktivnost - Sunce: koordinate

Key words. Methods: harmonic analysis, numerical, statistical - Techniques: high angular reso-lution - Reference systems - Time - Sun: activity - Sun: coordinates

1. UVOD

Kontinuirano pracenje Sunceve aktivnostiznacajno je sa vise razlicitih aspekata. Odre -divanjeenergetskog bilansa Sunca u toku dana i godine pruzaobilje informacija potrebnih kako za Astronomiju,tako i za sirok spektar drugih naucnih oblasti i dis-ciplina. Sa aspekta meteorologije znacajno je odred-iti uticaj Sunca na vremenske prilike. Pracenjemi lokalizacijom aktivnih regiona na povrsini Suncamoguce je razviti sistem ranog upozoravanja napotencijalnu opasnost od erupcija i na taj nacinpreduzeti preventivne mere zastite zivotne sredineod povecanog zracenja i spreciti moguca ostecenja

elektronskih sistema i elektro-energetske mreze. Odposebnog je znacaja odre -divanje periodicnosti po-java na Suncu i merenja intenziteta njegovog fluksakako bi se na najracionalniji nacin mogao iskoristitiovaj alternativni izvor energije (Solarne elektrane).Merenjem spektralne raspodele intenziteta Suncevogfluksa i analizom njene vremenske zavisnosti, formi-raju se teorijski numericko-informacioni modeli ko-jima se objasnjava fizicka priroda pojava kako u un-utrasnjosti, tako i na povrsini Sunca (Sunceve pege,Flare-ovi (iznenadne erupcije), Magneto-akustickitalasi, itd.). Zato je od prevashodnog znacaja razvojpouzdanih instrumenata (teleskopa, solarnih panela,itd.) sa visokom uglovnom preciznoscu i autonomi-

1

KOREKCIJA DINAMICKI GENERISANIH KOORDINATA SUNCA PRIMENOM HARMONIJSKE ANALIZE, V. Zekovic

jom u radu. Dati zahtev je postignut realizaci-jom sistema pozicioniranja na bazi mikrokontrol-era/mikroprocesora koji moze samostalno, bez ko-munikacije sa bazama podataka, generisati preciznekoordinate potrebne za pracenje prividnog kretanjaSunca.

Razvojem Newcomb-ove teorije kretanjanebeskih tela 1905. godine postignuti su znacajnirezultati sa aspekta nebeske mehanike. Polozaji telaSuncevog sistema su datom teorijom bili opisani saveoma zadovoljavajucom tacnoscu, me -dutim naglimrazvojem instrumenata postavljeni su i veci zahtevi,sto je doprinelo unapre -denju same teorije uvo -denjemdodatnih razmatranja. Dakle, empirijski su uvedeninovi parametri (amplitude, ucestanosti i faze) si-nusnih funkcija kojima se opisuje kretanje nebeskihtela, dodatih sa ciljem korekcije postojecih jednacinakretanja, uz osvrt na prvobitnu teoriju u smislu pok-lapanja rezultata na taj nacin dopunjene teorije saprethodno utvr -denim neprikosnovenim osnovamanebeske mehanike.Program za generisanje efemerida (koordinata)Sunca, cija je popravka opisana dalje u radu, bazi-ran je na osnovama Newcomb-ove teorije, a popravkaje upravo i ostvarena u vidu dopune postojecihjednacina kretanja novim, sinusnim funkcijama cijesu amplitude, ucestanosti i faze empirijski odre -denemultidisciplinarnim pristupom u analizi i obradi as-tronomskih posmatranja.Izvrsena popravka programa za generisanje koor-dinata Sunca ne samo da povecava tacnost datihkoordinata, vec kao nusproizvod daje i parametredopunskih jednacina, kojima se opisuju nedovoljnoproucene periodicnosti u kretanju nebeskih tela, os-tavljajuci time prostora za njihovu kasniju teorijskuinterpretaciju.Harmonijskom analizom postignuta je dakle, opti-mizacija programa u smislu njegove popravke do-davanjem minimalnog broja parametara, sto je do-prinelo redukciji samog ”koda” i omogucilo njegovuprimenu u vidu realizacije visoko autonomnog sis-tema pozicioniranja na bazi mikrokontrolera.

U toku razvoja sistema pozicioniranja as-tronomskih instrumenata (zemaljskih i satelitskih) ipracenja nebeskih tela tezi se postizanju sto brzegodziva mehanickih sistema, odnosno povecanjubrzine izvrsavanja programa za kontrolu pomenu-tih sistema. Svaka dodatna instrukcija doprinosipovecanju vremena proteklog od trenutka inici-jalizacije (zahtev za generisanje koordinata), dotrenutka pozicioniranja instrumenta u zadati polozaj(koordinata), tako da se moraju uracunavati i vre-menska kasnjenja.Uglovna preciznost i brzina odziva mehanickogsistema teleskopa, uslovljavaju tacnost i brzinuizvsavanja programa za generisanje koordinata i vre-mensku sinhronizaciju. Komunikacija i ocitavanjepodataka iz baze (prethodno izracunatih koordi-nata) usporava sistem unoseci vremenska kasnjenja inarusavajuci autonomnost sistema koja je neizbeznaza rad u realnom vremenu. Radi postizanja au-tonomnosti u radu, potrebno je sto vise pojednos-taviti strukturu samog sistema, odnosno redukovati

software (firmware) tako da racunar (procesor) imasto manje komunikacije sa perifernim ure -dajima.

Sistem pozicioniranja (pracenja) Solarnogspektrografa, Ceskog Astronomskog instituta u On-drejovu (HSFA-2), realizovan je analognom elek-tronikom i senzorima (fotodiodama). Iako otklanjapotrebu za koriscenjem digitalne elektronike, komu-nikacijskog interfejsa i bazom podataka, dati sistem,pored brojnih tehnickih problema i nedostataka,unosi i nedopustivo veliku uglovnu gresku prilikomcentriranja (usmeravanja) spektrografa ka centruSuncevog diska, koja nepredvidivo varira oscilujucivelikim amplitudama tokom vremena.Daleko bolje resenje predstavlja model sistema pozi-cioniranja dvometarskog optickog teleskopa CeskogAstronomskog instituta (opservatorije), baziranogna industrijskom racunaru koji vrsi sve korekcijeusled predvi -denih mehanickih oscilacija i deforma-cija teleskopa izazvanih njegovom ogromnom masom,temperaturnim varijacijama i nesavrsenoscu meha-nizama i optike. Pozicioniranje teleskopa i pracenjenebeskih tela se odvija na osnovu koordinata dobi-jenih komunikacijom racunara sa bazom podataka, avremenska sinhronizacija preko NTP servera sa GPSvremenskim standardom.Autonomnost ovakvog sistema je zadovoljavajuca sastanovista klasicnih astronomskih posmatranja, gdezahtev za uglovnom preciznoscu ostaje u okvirimadesetak lucnih sekundi (10”), a velicina i kvantitetsoftware-a i hardware-skih komponenti nije od prev-elikog znacaja. Me -dutim, sa specificnim zahtevimaza velikom uglovnom preciznoscu, visokim stepenomintegracije i znatno redukovanom komunikacijom ibrojnosti glavnih i perifernih ure -daja jednog sistemapozicioniranja, kao i unapred zadatom selekcijomnebeskih tela koja ce se posmatrati, potrebno jepristupiti resavanju problema sa drugacijeg aspekta.

Odnos ulozenog znanja i obima naucne iinzenjerske analize postavljenog problema, naspramkvantiteta i kvaliteta dizajna i izrade komponentisistema pozicioniranja se mora invertovati, u smisluulaganja daleko veceg umnog rada u cilju postizanjavisoko integrisanog sistema fizicki mnogo manjevelicine, ali daleko vece efikasnosti. Kvalitet izradekomponenti ce zavisiti od ”uslova” pod kojima cedati sistem funkcionisati. Ukoliko je u pitanju sis-tem pozicioniranja instrumenta izlozenog uslovimavakuuma i visokog nivoa radijacije (satelit u orbitioko Zemlje), on se mora sastojati iz komponentiu velikoj meri otpornih na date uslove (svemirsketehnologije), dok u slucaju zemaljskih instrumenataza tu svrhu mogu biti iskoriscene i ”standardne” elek-tronske komponente uz eventualnu temperaturnustabilizaciju.

U ovom radu je predstavljen nacin postizanjaautonomnosti funkcionisanja sistema pozicioniranja,integracijom veceg broja software-skih i hardware-skih komponenti i otklanjanjem potrebe za komu-nikacijom sa bazom podataka, primenom multi-disciplinarnog pristupa u analizi podataka u ciljupovecanja preciznosti (popravke) i redukovanja pro-grama za dinamicko generisanje koordinata Sunca

2


(SOLAR APS), kako bi na najoptimalniji nacin datiprogram bio prilago -den za upravljanje mikrokon-trolerom (ili bilo kojim drugim tipom procesora).Jasno je da, opisani pristup u popravci i redukcijiprograma rezultuje cinjenicom, da sistem pozicioni-ranja moze biti baziran na bilo kom tipu procesorauz manje izmene pratecih (diskretnih i integrisanih)elektronskih komponenti.Posmatrano sa programskog aspekta, najboljeresenje predstavljaju procesori namenjeni slozenimmatematickim operacijama, poznati kao Digital Sig-nal Processor-i (DSP), koji poseduju hardware-ski re-alizovane osnovne matematicke operacije, sto znatnopovecava brzinu izvrsavanja, a redukuje velicinuprogramskog ”koda” ostavljajuci time mogucnostdodeljivanja velikog broja operacija samom proce-soru, odnosno prosirivanja njegove funkcionalnosti.Najcesce se koriste u slucaju satelita i uopste ure -dajaizlozenim uslovima svemira.Sa aspekta integrisanosti sistema, zahteva za vi-sokom uglovnom i vremenskom rezolucijom, i za-hteva za posmatranjem samo jednog (Sunce) ili neko-

liko tela Suncevog sistema (Mesec, planete, itd.),zadovoljavajuce resenje predstavlja sistem na bazimikrokontrolera. U ovom slucaju, sistem je realizo-van primenom mikrokontrolera, upravo zbog njegovebrzine, jednostavnosti i integrisanosti svih potrebnihperifernih komponenti (EEPROM, RS-232 komu-nikacioni port, I2C port, A/D konvertori itd.) uokvirima jednog cipa.

Prvobitno je osmisljen program kojiizracunava efemeride (koordinate) Sunca na baziNewcomb-ove teorije kretanja nebeskih tela, zatimsu koordinate generisane za odre -deni vremenski pe-riod i upore -dene sa referentnim koordinatama. Kaoizvor referentnih koordinata Sunca iskoriscena jeotvorena baza JPL-a (Jet propulsion Laboratory -NASA). Na taj nacin je dobijena greska u funkcijivremena (Slika 1, u daljem tekstu funkcija greske),koja je analizirana primenom Furijeove i Wavelettransformacije, metodama Digitalne obrade signala,i Numerickom i Statistickom obradom astronomskihposmatranja.

Sl. 1. Funkcija greske (vremenska serija), greska u funkciji vremena za interval od 50 godina (J1972-J2022).

Kao rezultat analize dobijeni su Furijeovi ko-eficijenti (harmonijske ucestanosti u spektru funkcijegreske). Dati koeficijenti predstavljaju empirijskidobijene parametre kojima se zapravo vrsi dopunaNewcomb-ove teorije kretanja nebeskih tela. Na os-novu ovih koeficijenata se u inverznom postupku, pri-likom izvrsavanja ”koda” (generisanja koordinata),dinamicki popravlja greska koordinate generisane zaodre -deni trenutak vremena. Promenom broja ko-eficijenata menja se velicina programa, kao i brz-ina izvrsavanja istog. Veci broj iskoriscenih koefi-cijenata uzrokuje duze vreme izvrsavanja programa,ali tako -de i povecanje preciznosti. S druge strane

manji broj odabranih koeficijenata (harmonijskihucestanosti) karakterise veca brzina rada i smanjenapreciznost.Glavna prednost programa (algoritma) SOLAR APSlezi upravo u njegovoj fleksibilnosti. Moze seveoma lako uspostaviti balans izme -du zahteva zasto brzim izvrsavanjem programskog koda, zahtevanevremenske rezolucije i unapred zadate uglovne pre-ciznosti koordinata.Na kraju, vrsi se optimizacija programskog ”koda”i ucitavanje u FLASH programsku memorijumikrokontrolera, koji predstavlja ujedno i up-ravljacku jedinicu realizovanog sistema pozicioni-ranja.

3


2. HARMONIJSKA ANALIZAFUNKCIJE GRESKE

Potreba za visokom preciznoscu koordinata(efemerida) nebeskih tela podrazumeva periodicnaradarska posmatranja, kojima se precizno mere ras-tojanja i polozaji tela Suncevog sistema u nekomodre -denom trenutku vremena, da bi se utvrdile vred-nosti konstanti (pocetnih uslova) u resenjima difer-encijalnih jednacina kretanja datih tela. Nakontoga se smatra da se vrednosti ovih konstantinece znatnije promeniti u nekom predstojecem vre-menskom periodu, nakon cega se merenja ponavl-jaju. Popravka (dopuna) jednacina kretanja se vrsikoriscenjem ortogonalnih Cebisevljevih polinoma,dodavanjem novih sinusnih komponenti sa empirijskiutvr -denim amplitudama, fazama i ucestanostima, aliuz odre -deno poklapanje sa prethodnim (pocetnim)jednacinama kretanja. Cebisevljevi polinomi su”fleksibilni”, jer se smanjenje residuuma ovakvogoblika aproksimacije, postize jednostavnim doda-vanjem novih parametara (sinusnih jednacina).Tako izracunate koordinate nebeskih tela posedujuogromnu preciznost, dostupne su svima (baza JPL-a) i uzete su kao referentne vrednosti na osnovu kojihje, oduzimanjem programski (SOLAR APS) gener-isanih koordinata za date vremenske trenutke, formi-rana funkcija greske. Poslednja merenja udaljenostii polozaja nebeskih tela (planeta i meseca) izvrsenasu 2003. godine i na osnovu njih je formirana bazakoordinata DE405 (na kojoj su bazirana i izdanjaAstronomskih almanaha od 2003. godine (The As-tronomical Almanac)). Dakle, sa visokom tacnoscusu date i koordinate za buduci vremenski period (do-bijene ekstrapolacijom), pod predpostavkom da necedoci do vecih oscilacija u promeni kretanja nebeskihtela.Glavna ideja rada je da se na neki nacin smanji brojinformacija potrebnih programu za generisanje koor-dinata visoke preciznosti. Jedna od mogucnosti jeprojekcija date funkcije greske u bazis ortogonalnihfunkcija razlicitih ucestanosti, odnosno transforma-cija funkcije u domen ucestanosti (spektar). Ovimpostupkom se kolicina informacija (tacaka funkcije)ne menja. Dalje, eliminacijom spektralnih kompo-nenti cije su amplitude manje od neke statistickiutvr -dene granice (interval poverenja) kolicina in-formacija se moze znatno redukovati, a da se pritome inverznom transformacijom funkcije u vremen-ski opseg, koriscenjem samo preostalih spektralnihkomponenti (redukovanog spektra), formira vremen-ski zavisna funkcija koja skoro u potpunosti opisuje

funkciju greske. Na taj nacin se ostvaruje kontrolagreske koordinata. Zahtev za odre -denom tacnoscu(velicinom greske) u vremenskom domenu definisegranicu eliminacije (nivo znacajnosti) spektralnihkomponenti u domenu ucestanosti, a samim tim ibroj preostalih harmonijskih ucestanosti koje cine re-dukovani spektar.Kao glavni metod koriscena je Furijeova trans-formacija koja podrazumeva projekciju funkcijegreske u bazis sinusnih i kosinusnih funkcija ra-zlicitih ucestanosti. Funkcija greske je defin-isana u odre -denom intervalu vremena (01.01.1972.-01.01.2022.) od 50 godina, nema svoj analiticki obliki data je u vidu diskretnih vrednosti sa razmacima(period uzorkovanja) od dva sata. Dati interval je iz-abran, jer su u okviru njega libracije i uticaj Mesecana kretanje Zemlje najmanji, a ima i simbolickiznacaja jer njegove granice predstavljaju pocetni(1972.) i krajnji trenutak (2022.) vazenja UTC for-mata vremena. Potrebno je izabrati sto ”mirniji”vremenski interval, dakle interval bez naglih prom-ena i oscilacija u kretanju Zemlje, koji se odnosi ina sadasnjost kao i na buduci vremenski period zakoji je potrebno izracunati koordinate Sunca. Ovajzahtev je logican, jer svake nagle promene impul-sne prirode, nastale usled pomeranja kontinenata,vazdusnih i vodenih masa (promene ugaonog mo-menta Zemlje), kao i uticaja Meseca, doprinose po-javi visokih harmonijskih ucestanosti u Furijeovomspektru. Dolazi i do sirenja spektralnih linija, stopredstavlja posledicu nesavrsenosti Furijeove trans-formacije (FFT-a).

2.1 Furijeova transformacija

Furijeovom transformacijom se svaka peri-odicna ili aperiodicna funkcija moze predstaviti kaosuma (integral) sinusnih i kosinusnih funkcija ra-zlicitih ucestanosti (perioda). Ukoliko je funkcijaaperiodicna, odnosno moze se uzeti da je intervalponavljanja od −∞ do +∞, tada se transformacijau domen ucestanosti vrsi prema dobro poznatoj for-muli:

F (ω) =∫ +∞

−∞f(t)e−iωtdt.

Kada govorimo o periodicnoj funkciji koja se nakonizvesnog intervala ponavlja i definisana je za svako t,tada se data funkcija moze projektovati u bazis or-togonalnih sinusnih, odnosno kosinusnih funkcija, akao rezultat transformacije dobijaju se Furijeovi ko-eficijenti u razvoju. [1]

Razvoj analiticke funkcije f(t) u Furijeov red.

a0 = 2T

∫ + T2

−T2f(t)dt an = 2

T

∫ + T2

−T2f(t)cosnωtdt

bn = 2T

∫ + T2

−T2f(t)sinnωtdt f(t) = a0

2 +∑+∞

n=1[ancosnωt+ bnsinnωt]

4


Funkcija greske je, kao sto je vec receno,definisana u nekom odre -denom intervalu vremena.Pre i nakon tog intervala ne postoji informacijao koordinatama, dakle funkcija nije definisana.Da bismo predstavili funkciju greske u domenuucestanosti potrebno je izvrsiti Furijeovu transfor-maciju date funkcije. Funkcija je predstavljena

u vidu diskretnih vrednosti, tako da se mora ko-ristiti diskretna Furijeova transformacija funkcije,koja se dobija korelacijom (projekcijom, diskretnimskalarnim proizvodom) funkcije sa bazisnim funkci-jama (sinusnim i kosinusnim), analogno projekcijivektora u odre -deni bazis.

Razvoj diskretne funkcije f(t) u Furijeov red.

a0 = 2N

∑N−1t=0 f(t) an = 2

N

∑N−1t=0 f(t)cos( 2πnt

N )

bn = 2N

∑N−1t=0 f(t)sin(2πnt

N ) f(n) = a02 +

∑N/2n=1

∑N−1t=0 [ancos( 2πnt

N ) + bnsin( 2πntN )]

Moze se definisati i kompleksna Furijeovatransformacija, koja amplitude (Furijeove koefici-jente) koji stoje uz bazisne funkcije (vektore) pred-stavlja kao realni i imaginarni deo kompleksnog

broja, dakle umesto informacija o amplitudi sinus-nih i kosinusnih funkcija prelazi se na jednostavnijioblik transformisane funkcije koji daje informacije omodulu i fazi kompleksnog broja i definisana je kao:

cn =2T

∫ +T2

−T2

f(t)e−inωtdt = an − ibn = |cn|e−iφ = |cn|e−iarctan( bnan

), |cn| =√a2

n + b2n

f(t) =+∞∑

n=−∞|cn|einωt =

+∞∑n=−∞

|cn|cosnωt+ i

+∞∑n=−∞

|cn|sinnωt.

Nakon sto su 1965. J.W. Cooly i J.W. Tookyrazvili kompijuterski algoritam za brzo izracunavanjeDiskretne Furijeove transformacije poznat kao FFTalgoritam (Fast Fourier Transform), to je znatnosmanjilo vreme potrebno za obradu podataka i

povecalo jednostavnost omogucujuci primenu Furi-jeove analize u svim oblastima nauke. FFT pred-stavlja kompleksnu diskretnu Furijeovu transforma-ciju, direktna i inverzna transformacija su opisanesledecim formulama:

F (n) = 1N

∑N−1t=0 f(t)e−i 2πnt

N , f(t) =∑N−1

t=0 F (n)ei 2πntN .

Glavna mana FFT algoritma i uopste Fu-rijeove transformacije je u tome sto se peri-odicnost funkcije sa datim intervalom ponavljanjapodrazumeva.Primenom FFT-a na funkciju greske, dobijena je

njena prezentacija u domenu ucestanosi, ali sma-trajuci pri tome da je ona predstavljena kao funkcijakoja se periodicno ponavlja sa periodom u trajanjuod 50 godina (Slika 2).

Sl. 2. Funkcija greske predstavljena kao periodicno ponavljajuca, beskonacno duga funkcija.

Oblast definisanosti funkcije greske je sa jednestrane ogranicena cinjenicom da vremenski inter-val za koji se generisu koordinate ne bi trebalo dasadrzi velike oscilacije u iznenadnoj promeni kretanjaZemlje, kao i da povecanjem intervala povecavamoi broj Furijeovih koeficijenata, odnosno kolicinu in-

formacija, a time i vreme izvrsavanja same analizepodataka. Sa druge strane, pozeljno je da taj inter-val bude sto duzi kako bi i rezolucija, a samim tim itacnost Furijeove transformacije bila veca. U ideal-nom slucaju bi to bio beskonacno dugacak vremenskiinterval, ali bi tada i vreme potrebno za izvrsavanje

5


FFT algoritma bilo beskonacno. Nagle promene ukretanju Zemlje uzrokuju pojavu visih harmonicnihucestanosti, a ogranicenost, odnosno konacna duzinatrajanja ponavljajuceg intervala unosi pojavu novih(niskih) ucestanosti i njihovih harmonika (Slika 3).

Najverovatnije je da je rastuci trend funkcije greske(Slika 1) zapravo deo sinusoide ili nekog slozenijegoblika funkcije sa mnogo vecom periodom ponavl-janja.

Sl. 3. FFT spektar funkcije greske. Rastuci trend funkcije greske je najverovatnije deo sinusoide ili nekogslozenijeg oblika funkcije sa mnogo vecom periodom ponavljanja. Usled naglog odsecanja ovog dugoperiodicnogtrenda funkcije, javljaju se visi harmonici u oblasti niskih ucestanosti (oznacena oblast), a poticu od clanasa periodom ponavljanja od 50 godina, kao posledice nacina na koji FFT vidi funkciju.

Cinjenica da se stvarne ucestanosti kompo-nenti (sinusnih, tj. kosinusnih funkcija) koje su za-ista prisutne u funkciji greske, ne sadrze ceo brojputa u okviru datog intervala vremena vec su na-glo odsecene na krajevima, doprinosi sirenju linijakoje opisuju te komponente u Furijeovom spektru(domen ucestanosti), sto jeste posledica niske re-zolucije FFT-a. Ovde dolazi do gubitka znacajnihinformacija, jer se ne zna da li je sirenje spektral-nih linija nastalo usled opisanog efekta ili je u pi-tanju amplitudna modulacija sa nosiocem na glavnojucestanosti, a sirenje oko ove ucestanosti uslovljenosirinom frekventnog opsega modulisuceg signala i du-

binom modulacije (Slika 4). Tako -de, ukoliko su spek-tralne komponente (ucestanosti) oko kojih dolazi dosirenja opsega dovoljno blizu jedna drugoj tako dadolazi do preklapanja opsega, nastaju dodatne kom-plikacije u formiranju stvarne slike spektra.Sirenje spektralne linije (Slika 4) je u prvoj simulacijinastalo usled toga sto se perioda signala (funkcije)ne sadrzi ceo broj puta u okviru datog intervala vre-mena, odnosno usled slabe rezolucije FFT-a (gornjispektar), dok je u drugoj simulaciji u pitanju ampli-tudno modulisani signal. Formule koje opisuju sig-nale (funkcije) datih spektara su respektivno:

f(t) = 30 · sin(2π · 60, 16 · tT )

f(t) = 25 · [1 + sin(2π · 0, 9 · tT ) · sin(2π · 0, 8 · t

T ) · sin(2π · 0, 7 · tT )] · sin(2π · 60 · t

T )

Sl. 4. FFT spektri signala cija se perioda ne sadrzi ceo broj puta u okviru datog intervala vremena (gore),pa usled toga dolazi do sirenja spektralne linije, i amplitudno modulisanog signala (dole).

6


Sve ovo kvari sliku celokupnog spektra,povecavajuci nivo suma u spektru. Povecanje nivoasuma u spektru dovodi do povecanja standardne de-vijacije, a samim tim se povecava i broj Furijeovihkoeficijenata (amplituda harmonijskih ucestanosti)sa verovatnocama dovoljno velikim da ih ne mozemoodbaciti kao slucajne doga -daje. Na osnovu njih sepostupkom inverzne transformacije opisuje funkcijagreske sa odre -denom tacnoscu, koja opada ukoliko sene iskoristi dovoljno veliki broj koeficijenata.Na slici 6 su prikazana odstupanja funkcije nastalena osnovu redukovanog spektra (inverznom transfor-macijom), od funkcije greske (Slika 5), u zavisnostiod velicine redukovanog spektra (izdvojenih har-monijskih ucestanosti), odnosno razlika tih funkcija.Ukoliko FFT spektar nije redukovan, nece doci ni doodstupanja pomenutih funkcija, odnosno inverznomtransformacijom ne redukovanog (originalnog) spek-tra se dobija funkcija greske. Vec prilikom izdva-janja 100 komponenti FFT spektra (harmonijskihucestanosti), formiranjem funkcije na osnovu tog re-

dukovanog spektra (inverznom transformacijom) ioduzimanjem vrednosti te funkcije od generisanihkoordinata Sunca, maksimalna greska koordinata sesmanjuje i do 20 puta. Formiranjem spektra velicine1000 komponenti greska je 50 puta manja.Bez korekcije generisanih koordinata, greska od≈0,1” (” ≡ lucna sekunda) ce nakon konverz-ija geocentricnih ekvatorskih koordinata Sunca utopocentricne horizontske koordinate postati ≈10”.Kako je uglovna rezolucija teleskopa u najbol-jem slucaju ≈1” (lucna sekunda), ovakva greska(≈10”) unosi velika odstupanja pri posmatranjunebeskog tela (Sunca), a zbog svoje periodicneprirode prouzrokovace nepotrebna oscilatorna kre-tanja instrumenta (teleskopa) oko stvarnih polozaja.Korekcijom generisanih koordinata koriscenjem re-dukovanog FFT spektra koji se sastoji od 100 kom-ponenti, greska se smanjuje 20-ak puta i iznosi ≈1”,sto se poklapa sa preciznoscu instrumenta, dok uslucaju redukovanog spektra od 1000 komponenti tagreska postaje zanemarljiva (≈0,02”).

Sl. 5. Funkcija greske, vremenska zavisnost odstupanja dinamicki generisanih koordinata Sunca (rektas-cenzije) od referentnih vrednosti (JPL).

7


Sl. 6. Redukovani FFT spektri koji sadrze 3, 100, 1000 komponenti najvece amplitude (respektivno) iodstupanja funkcija generisanih na osnovu tih spektara od funkcije greske.

8


2.2 Izdvajanje i analiza pojedinacnih oblastispektra

Primenom takozvanih FIR (Finite ImpulseResponse) filtera izdvojene su pojedinacne oblasti

spektra funkcije greske. Filtri su realizovani kaokombinacija Sinc funkcije (Slika 7) i Blackman-ove window funkcije (Slika 8). Proizvodom datihfunkcija (Slika 9) eliminise se uticaj odsecanja kra-jeva, odnosno konacnog intervala u okviru kojeg jedefinisana Sinc funkcija.

Sl. 7. Sinc funkcija. Funkcija je odsecena na kraje-vima, sto doprinosi pojavi visih harmonika u spektru.

Sl. 8. Blackman-ova Window funkcija ima ulogupostepenog prigusenja vrednosti Sinc funkcije takoda njena vrednost (amplituda) kontinualno opada kakrajnjim tackama do nulte vrednosti. Predstavljanisko-propusni filter koji ne dozvoljava prolaz visimharmonicima u spektru.

Sl. 9. Proizvod Sinc i Blackman-ova Window funkcije predstavlja FIR (Finite Impulse Response) filter.

Niskopropusni filter je realizovan kao sledeca funkcija:

FIRLF (t) = A ·sin(2πfcutoff

t−0,5TT )

(2πfcutofft−0,5T

T )· [0, 42− 0, 5cos(2π

t

T) + 0, 08cos(4π

t

T)].

Konstanta A predstavlja konstantu normal-izacije date funkcije filtra, T ukupan vremenski

period (oblast definisanosti funkcije), a fcutoff

granicnu ucestanost filtra.

Sl. 10. Furijeov spektar Sinc funkcije sa konacnom duzinom trajanja. Talasanje oko prelazne oblasti jenastalo upravo usled odsecanja krajeva funkcije.

9


Sl. 11. Furijeov spektar FIR filtra, odnosno proizvoda Sinc i Blackman-ove funkcije. Efekat talasanja uspektru oko prelazne oblasti filtra je eliminisan pomocu Blackman-ove Window funkcije.

Filter propusnik opsega visokih ucestanosti zaistu granicnu ucestanost i oblast definisanosti filtraopisan je:

FIRHF (t) = −1 · FIRLF (t) + 1 · δ(t− T

2).

Propustanje opsega ucestanosti se ostvarujekombinacijom prethodna dva filtra, dejstvom najpre

jednim pa zatim drugim na funkciju greske.Proces filtriranja se sastoji iz konvolucije

funkcije greske sa funkcijom filtra, sto za veliki brojtacaka (diskretnih vrednosti funkcije) traje veomadugo (interval 50 godina = 219144 diskretnih vred-nosti). Prema teoremi, konvolucija dve funkcije uvremenskom domenu jednaka je inverznoj Furijeovojtransformaciji proizvoda te dve funkcije u domenuucestanosti.

(f ∗ g)(τ) =∫ +∞

−∞f(t)g(τ − t)dt =

12π

∫ +∞

−∞G(ω)F (ω) · eiωτdω

F (ω) =∫ +∞

−∞f(t) · e−iωtdt, G(ω) =

∫ +∞

−∞g(t) · e−iωtdt

Prema tome, filtriranje je izvrseno znatno brzemnozenjem spektara umesto konvolucijom vremen-skih serija. Opisani metod se naziva FFT konvolu-cija. Da ne bi doslo do tzv. cirkularne konvolucije [6],obema funkcijama (greske i filtra) je vestacki dodatodre -den broj nultih tacaka, funkciji greske je dodatoonoliko tacaka koliko ih sadrzi funkcija filtra i obr-nuto. Veci broj tacaka funkcije filtra znaci i vecinagib prelazne oblasti karakteristike filtra.

Niskopropusnim filtrom su lokalizovane komponenteniskih ucestanosti: nulta ucestanost i ucestanostponavljanja celokupnog intervala (period od 50 god-ina) sa svojim visim harmonicima (nastalim usledodsecanja krajeva funkcije), koje su posledica ne-savrsenosti Furijeove analize. Na slici 12 su prikazaniFFT spektri, kao i izgled vremenskih serija funkcijegreske pre i nakon eliminisanja niskih ucestanosti.

Sl. 12. FFT spektri i vremenske serije funkcije greske pre i nakon eliminisanja niskih ucestanosti.

10


U spektru Sunca se najvise istice komponentasa godisnjom periodom (T ≈ 365 dana) cija je am-plituda i do 10 puta veca od amplituda ostalih kom-ponenti spektra. Pomocu filtra propusnika opsega

ucestanosti (kombinacija nisko i visoko propusnih fil-tara) izdvojena je komponenta sa godisnjom peri-odom (Slika 13), kao i druge komponente vecih am-plituda.

Sl. 13. Izdvojene su pojedine spektralne oblasti oko komponenti (harmonijskih ucestanosti) sa najvecimamplitudama.

Iz izdvojenih spektralnih oblasti su pri-menom MNK (Metode Najmanjih Kvadrata) pre-cizno odre -dene stvarne ucestanosti koje odgovarajuprosirenim spektralnim linijama. Kao sto je receno,moguci uzrok sirenja linija u spektru je nedovoljnovisoka rezolucija FFT-a uslovljena brojem uzoraka(duzinom) funkcije greske.Oduzimanjem kosinusnih funkcija, cije ucestanostii faze predstavljaju male (ali dovoljno velike) var-ijacije oko spektralne komponente maksimalne am-

plitude u opsegu jedne prosirene linije, od funkcijegreske, odnosno odre -divanjem srednje-kvadratnogodstupanja tacaka funkcije greske od tako dobi-jenih kosinusnih funkcija, formirana je zavisnostsrednje-kvadratnog odstupanja od varijacije spek-tralne ucestanosti. Amplitude variranih funkcija susmatrane konstantnim i jednakim amplitudi kompo-nente u opsegu posmatrane prosirene linije cija jeamplituda maksimalna i oko koje se vrsi varijacijaucestanosti.

σ(∆ν) =

√√√√T−1∑t=0

[f(t)−Aνmaxcos(2π(νmax + ∆ν) · t+ ϕ[νmax+∆ν])]2

∆ν predstavlja varijaciju (odstupanje) oducestanosti komponente maksimalne amplitude uprosirenom opsegu jedne spektralne linije. Uzeto jeda se ∆ν menja u granicama od νmax−1−νmax

2 doνmax+1−νmax

2 gde su νmax+1 i νmax−1 definisane kaokomponente susedno od νmax, vise i nize ucestanostirespektivno. Ceo interval promene ∆ν sastoji se iz10 tacaka, odnosno ∆ν se od minimalne do maksi-malne vrednosti menja sa korakom νmax+1−νmax−1

(2·10)(Slika 14).

Za opseg ucestanosti definisan sirenjemjedne spektralne linije, zavisnost srednje-kvadratnogodstupanja (σ(∆ν)) od varijacije spektralneucestanosti (∆ν), koja predstavlja diskretnu funkciju10 tacaka, je primenom MNK aproksimirana lukomparabole:

p(x) = C0 + C1x+ C2x2,

g0(x) = 1, g1(x) = x, g2(x) = x2,

Sl. 14. Diskretna funkcija (zavisnost) srednje-kvadratnog odstupanja (σ(∆ν)) od varijacije spek-tralne ucestanosti (∆ν). Na apscisi su rednibrojevi komponenti (ucestanosti) u spektru, broju47 odgovara komponenta maksimalne amplitude uprosirenom opsegu spektralne linije sa periodomT=365 dana. Susedne komponente maksimuma ovogprosirenog opsega su predstavljene rednim brojevima46 i 48. Ordinata predstavlja srednje-kvadratnoodstupanje σ(∆ν). Diskretne vrednosti funkcijeσ(∆ν) su oznacene tackama na grafiku.

11


[gi, gj ] · [Ci] =

n∑n−1

i=0 xi

∑n−1i=0 x

2i∑n−1

i=0 xi

∑n−1i=0 x

2i

∑n−1i=0 x

3i∑n−1

i=0 x2i

∑n−1i=0 x

3i

∑n−1i=0 x

4i

·

C0

C1

C2

=

∑n−1i=0 yi∑n−1

i=0 xiyi∑n−1i=0 x

2i yi

= [f, gj ] ,

gde je n=10 broj tacaka funkcije σ(∆ν). Resavanjemgornjeg sistema jednacina dobijaju se koeficijentiparabole C0, C1 i C2, a vrednost x = − C1

2C2pred-

stavlja ekstremnu vrednost (minimum) parabole,odnosno stvarnu ucestanost prisutnu u funkcijigreske koja usled nedovoljne rezolucije FFT-a nijemogla da bude detektovana, sto i predstavlja moguciuzrok sirenja spektralnih linija.Koriscenjem samo izdvojenih harmonijskih kompo-nenti maksimalnih amplituda (redukovani spektar),

bez primene prethodno opisanog metoda na baziMNK, inverznom Furijeovom transformacijom formi-rana je funkcija koja odstupa od funkcije greske.Primenom opisane metode bazirane na MNK,odnosno preciznim odre -divanjem ”stvarnih” kompo-nenti redukovanog spektra pod predpostavkom da jedo sirenja linija u spektru zaista doslo zbog niskerezolucije FFT-a, dobija se funkcija neznatno pri-bliznija funkciji greske nego sto je to slucaj priuzimanju ”neobra -denih” komponenti redukovanogspektra (Slika 15).

Sl. 15. Redukovan spektar sa oznacenim komponentama cije su ucestanosti precizno odre -dene metodom nabazi MNK i odstupanje funkcije dobijene na osnovu tih ucestanosti od funkcije greske (levo). Izgledi funkcijegreske i funkcije dobijene na osnovu ”obra -denih” komponenti redukovanog spektra (desno).

Konacni zakljucak je da funkcija formiranana osnovu redukovanog spektra u oba slucaja imaskoro isto odstupanje od funkcije greske, sto ukazujena to da je sirenje spektralnih linija manjim delomnastalo usled slabe rezolucije FFT-a, a vecim delomzbog prisutnosti amplitudne ili frekventne mod-ulacije.

Ovaj zakljucak je i potvr -den Wavelet analizomfunkcije greske. Wavelet transformacijom je dobijentrodimenzioni spektar koji govori o tome kako sefrekventni spektar menja u toku vremena.

12


2.3 Wavelet analiza

Za razliku od Furijeove analize, Waveletanaliza pruza mogucnost lokalizacije vremena iucestanosti [5], odnosno prikaz stanja spektra u tokuvremena. Predstavlja dekompoziciju signala u baziskoji se sastoji od wavelet-a formiranih skaliranjem i

translacijom tzv. majke wavelet-a (mother wavelet).Kao mother wavelet koriscena je Morleova (Morlet)wavelet funkcija sa talasnim brojem (parametrom)p=6.

Wavelet transformacija i parametri mother wavelet funkcije.

W (s, b) =∫ +∞−∞ f(t) 1√

|s|ψ∗( t−b

s )dt ψ( t−bs ) =

√∆ts ψ0( t−b

s )

ψ0( t−bs ) = 1√

2πe−

(ω0(t−b))2

2 eipω0(t−b) ω0 = 2πs

U jednacinama su: s parametar skali-ranja (dilatacije), b parametar translacije, t jevreme, f(t) funkcija nad kojom se vrsi transforma-cija, ψ∗( t−b

s ) normalizovana i konjugovana waveletfunkcija ψ0( t−b

s ). Wavelet transformacija u diskret-nom obliku predstavljena je kao:

Wn(s) =N−1∑n=0

f(n)ψ∗((n− n′)∆t

s).

N je ukupan broj diskretnih vrednosti funkcijegreske, n’ redni broj tacke u odnosu na koju jewavelet funkcija translirana i ∆t korak funkcijegreske, odnosno najkraci vremenski interval funkcije(rastojanje izme -du dve susdne tacke na vremenskojosi).

Wavelet transformacija predstavlja konvolu-ciju vremenske serije sa funkcijama bazisa, cime sedobija zavisnost amplitude komponente spektra naodre -denoj ucestanosti, od vremena. Umesto kon-volucije u vremenskom domenu, izvrsena je FFTkonvolucija, odnosno proizvod spektara funkcijegreske i wavelet funkcije. Time se postize dalekobrza transformacija usled koriscenja FFT algoritma.

Wavelet spektar snage funkcije greske,odre -den kao kvadrat amplitude |Wn(s)|2, prikazan jena slici 16. U spektru su belim linijama obuhvacenekomponente sa verovatnocama manjim od 0,1% (re-gioni sa intervalom poverenja vecim od 99,9%), tj.komponente koje nisu sastavni deo suma.

Na osnovu wavelet spektra snage (Slika 16)je zakljuceno da su ucestanosti oko komponente sagodisnjom periodom, prisutne u frekventnom spek-tru duz celog intervala vremena, ali u pojedinim

oblastima osciluju u amplitudi, sto predstavlja di-rektan dokaz postojanja amplitudne modulacije kom-ponente sa godisnjom periodom. Amplitudna mod-ulacija ove komponente je lako uocljiva u spektrui prisutna je duz celog intervala vremena, sa dubi-nom modulacije najvecom u drugoj polovini inter-vala. Trodimenzionalni prikaz spektra snage funkcijegreske je predstavljen slikama 17 i 18.

Sl. 16. Wavelet spektar snage funkcijegreske. Belim linijama obuhvacene su komponente saverovatnocama manjim od 0,1%, koje ne predstavl-jaju sum.

13


Sl. 17. 3D prikaz Wavelet spektra snage funkcijegreske. Amplitudna modulacija godisnje komponenteje lako uocljiva u spektru.

Sl. 18. 3D prikaz Wavelet spektra snage funkcijegreske. Amplitudna modulacija godisnje komponenteje lako uocljiva u spektru.

Rezultati analize pojedinih spektralnihoblasti govore o tome da zadrzavanjem harmoni-jskih ucestanosti najvecih amplituda (redukcija spek-tra), funkcija formirana samo na osnovu tog reduko-vanog spektra (primenom inverzne transformacije),u odre -denoj meri odstupa od funkcije greske bilo daje koriscen ”neobra -deni” redukovani spektar ili sumetodom na bazi MNK odre -dene stvarne ucestanostispektralnih linija.

Wavelet analizom je potvr -deno postojanjeamplitudne modulacije izdvojenih harmonijskihucestanosti, kao evidentni razlog sirenja linija Fu-rijeovog spektra.

Iako je slika spektra naizgled jasna, u smisluda se vidno izdvajaju pojedini harmonici znatno vecih

amplituda od ostalih komponenti spektra, ipak jeanalizom pojedinih spektralnih oblasti oko tih har-monijskih ucestanosti, pokazano da one samo de-limicno ucestvuju u formiranju funkcije greske.

Prilikom programske korekcije generisanih ko-ordinata Sunca, oduzimanjem funkcije formirane naosnovu samo tih izdvojenih komponenti, greska os-taje delimicno eliminisana.

Iz tog razloga sprovedena je Statisticka anal-iza funkcije greske, koja kao jedinstven matematickiaparat omogucava sagledavanje celokupne slike iizvo -denje zakljucaka nezavisno od bilo kog drugogoblika analize signala, a u isto vreme otklanjajucinedostatke Furijeove i Wavelet analize.

14


3. STATISTICKA ANALIZAFUNKCIJE GRESKE

Svaka komponenta Furijeovog spektra nekeperiodicne funkcije se moze predstaviti kao komplek-san broj,

ciji realni deo predstavlja amplitudu kosinusne kom-ponente sa nultom pocetnom fazom, a imaginarniamplitudu sinusne komponente funkcije.

z = x+ iy, |z| =√x2 + y2

σ2x = E{x2} − E2{x} =

∫ +∞

−∞x2p(x)dx− µ2

x =1ν

∫ +∞

−∞x2(ν)dν − µ2

x, µx =∫ +∞

−∞xp(x)dx

σ2y = E{y2} − E2{y} =

∫ +∞

−∞y2p(y)dy − µ2

y =1ν

∫ +∞

−∞y2(ν)dν − µ2

y, µy =∫ +∞

−∞yp(y)dy

Date jednacine opisuju matematickoocekivanje (E{}) i standardnu devijaciju (σ2

f ) re-alnog i imaginarnog spektra (x i y respektivno) ina kraju kombinuju rezultate tih spektara dajuciiste statisticke parametre ali za moduo kompleksnogbroja z.U slucaju stohaticnih procesa kod kojih trajektorijetacaka u konfiguracionom prostoru (u ovom slucajuprostor je dvodimenzionalan i cine ga samo am-

plituda i ucestanost) mogu prolaziti (sa nekomodre -denom verovatnocom) kroz bilo koju tackutog prostora, vaze jednakosti integrala u gornjimjednacinama. [7]

FFT spektar je diskretan, sastoji se od odre -denogbroja komponenti koje su predstavljene komplek-snim brojevima. Realan i imaginaran spektar suprikazani na slici 19.

Sl. 19. Realni (gore) i imaginarni (dole) FFT spektri funkcije greske. Na slici su prikazani samo delovispektara sa najdominantnijim komponentama.

Kompleksan broj se moze zapisati i u ekspo-nencijalnom obliku:

z = |z| · eiϕ, |z| =√x2 + y2, ϕ = arctan y

x .Komponenta spektra predstavljena ovakvim

oblikom kompleksnog broja sadrzi dve bitne infor-macije, amplitudu (|z|) i pocetnu fazu (ϕ) kosinusnefunkcije odre -dene ucestanosti. Inverznom diskret-nom Furijeovom transformacijom se formira funkcija

u vremenskom domenu.

f(t) =∑N

2n=0Ancos(ωnt+ ϕn)

Pogodnije je raditi sa jednim umesto sa dva(realni i imaginarni) spektra, pa su parametri ovogspektra odre -deni kombinacijom parametara realnogi imaginarnog spektra.

|z|2 = x2 + y2, E{|z|2} = E{x2}+E{y2} = σ2x −µ2

x + σ2y −µ2

y, E{|z|} = 1ν

∫ +∞−∞

√x2(ν) + y2(ν)dν

σ2z = E{|z|2} − E2{|z|} = σ2

x − µ2x + σ2

y − µ2y − [ 1

ν

∫ +∞−∞

√x2(ν) + y2(ν)dν]2

15


Cilj statisticke analize je empirijskoodre -divanje ocene disperzije (standardne devijacije),ocene matematickog ocekivanja (srednje vred-nosti) i raspodele verovatnoca, odnosno verovatnocusvake pojedinacne komponente spektra. Realan iimaginaran spektar su diskretni, pa su statistickiparametri opisani jednacinama u diskretnom obliku.

E{|z|} = 1N

∑Ni=1

√x2

i + y2i = µz

E{|z|2} = 1N

∑Ni=1(x

2i + y2

i )− (µx)2 − (µy)2

µx = 1N

∑Ni=1 xi, µy = 1

N

∑Ni=1 yi

σ2z = E{|z|2} − µ2

z, P (η) = 1− 2 ·∫ η

0p(|z|)dz

N predstavlja ukupan broj tacaka u spek-tru, P(η) predstavlja verovatnocu da se ampli-tuda (negativna ili pozitivna) signala (kompo-nenti spektra) na -de u opsegu od −η do +η podpredpostavkom da je funkcija raspodele (gustinaverovatnoce p(|z|)) Gauss-ovska [2], tj. simetricnau odnosu na matematicko ocekivanje (srednju vred-nost). Matematicka ocekivanja i realnog i imagi-narnog spektra (µx i µy) su veoma mala (reda 10−8)pa je smatrano da imaju nulte vrednosti.

Sl. 20. FFT spektar (amplitudski, z =√x2 + y2) funkcije greske. Amplitude oznacenih komponenti su

vece od statisticke utvr -dene granice verovatnoce od 1%, i cine redukovani spektar. Statisticka granica jeveoma niska, pa se redukovani spektar sastoji od 100 komponenti.

Nakon statisticke analize i odre -divanjaverovatnoca pojedinih komponenti spektra, iz jednesada nove perspektive (Slika 20) je zakljuceno damnogo veci broj komponenti Furijeovog spektraima verovatnocu manju od stroge granicne vred-nosti (nivoa znacajnosti) od 1%.Verovatnoce ovih komponenti spektra su dovoljnomale da ih mozemo okarakterisati kao potpunoslucajne doga -daje. Drugim recima, verovatnoca date komponente cine sum signala je veoma mala,odnosno one su nastale dejstvom nekih ”spoljasnjih”faktora.

Statisticka analiza dovodi do zakljucka da se priformiranju funkcije cije su vrednosti zaista pri-blizne vrednostima funkcije greske, mora uzeti u obzirmnogo veci broj komponenti Furijeovog spektra negosto je to bilo naizgled odre -deno. Kriterijum za izd-vajanje pojedinih harmonijskih ucestanosti, dobijenstatistickom analizom spektra funkcije greske, pred-stavlja strogu granicnu verovatnocu od 1%. Furijeova

analiza je pokazala da je potrebno izdvojiti oko 100komponenti spektra, odnosno formirati redukovanispektar na osnovu koga bi se inverznom transforma-cijom dobila funkcija, cije je odstupanje od funkcijegreske, uslovljeno mehanickom uglovnom rezolucijominstrumenta (radio/opticki teleskop, solarni paneli,itd.), na sasvim zadovoljavajucem nivou. Ovaj iskazje i potvr -den statistickom analizom spektra funkcijegreske.

Izdvajanjem komponenti spektra cije ampli-tude prelaze nivo znacajnosti od 1% (0.00055[s] za funkciju greske rektascenzije Sunca)formiran je redukovani spektar koji se sas-toji od istih 100 komponenti kao i redukovanispektar formiran Furijeovom analizom, stonedvosmisleno ukazuje da redukovani spek-tar velicine 100 komponenti predstavlja opti-malno resenje pri izdvajanju korisnog signalaod suma, odnosno korekciji greske generisanihkoordinata.

16


4. FORMIRANJE PARAMETARA IKOREKCIJA GRESKE GENERISANIHKOORDINATA SUNCA

Problemu je bilo potrebno pristupiti sa vise ra-zlicitih aspekata analize da bi se u potpunosti uvidelirazlozi nastajanja i formiranja oblika komponentiFurijeovog spektra (amplituda i faza harmonicnihucestanosti) i odredilo optimalno resenje za korek-ciju greske.Furijeovom analizom (FFT metodom) je dobijenajedna ”globalna” slika spektra. Primenom razlicitihmetoda digitalne obrade signala, numerickih metoda,kao i originalne metode na bazi MNK, analizirane supojedine spektralne oblasti, a konacni zakjlucci (in-terpretacija spektra) su doneti tek nakon Waveletanalize, cime je zakljuceno da je uzrok sirenja spek-tralne linije sa godisnjom periodom amplitudna mod-ulacija.Statistickom analizom je pokazano, da je potrebno

uzeti u obzir mnogo veci broj komponenti spektrapri ”rekonstrukciji” funkcije greske. Postavljanjemstrogog statistickog kriterijuma (nivoa znacajnostiod 1%), za formiranje priblizne funkcije greske,potrebno je izdvojiti 100 komponenti Furijeovogspektra, sto se u potpunosti slaze sa rezultatima Fu-rijeove analize funkcije greske.Zadavanjem unapred standardne devijacije (snagesignala) funkcije greske koordinata Sunca, koja jeuslovljena uglovnom rezolucijom mehanickog sistemapozicioniranja instrumenta (radio/opticki teleskop,solarni paneli, itd.), kao i nesavrsenostima ostalih sis-tema (vremenske sinhronizacije, elektronike), moguse odrediti komponente Furijeovog spektra koje ceucestvovati pri korekciji greske generisanih koordi-nata. Dakle, oduzimanje funkcije formirane na os-novu ovih izdvojenih komponenti spektra (reduko-vanog spektra), od funkcije generisanih koordinataSunca, kao rezultat daje koordinate sa greskomcija se standardna devijacija poklapa sa prvobitnozadatom standardnom devijacijom (Slika 21).

Sl. 21. Dijagram toka procesa analize i formiranja parametara za korekciju dinamicki generisanih koordi-nata Sunca na osnovu unapred zadate standardne devijacije greske.

Korekcija greske se vrsi dinamicki za svaki vre-menski trenutak, oduzimanjem kosinusnih funkcijasa amplitudama i pocetnim fazama koje odgo-varaju komponentama redukovanog Furijeovog spek-tra (ucestanosti sa amplitudom vecom od statistickiutvr -denog kriterijuma), od generisanih koordinataSunca.

Ra Deccorr(t) = Ra Dec(t)−N2∑

n=0

Ancos(ωnt+ ϕn)

Ra Deccorr(t) su korigovane koordinate, a An, ωn iϕn su amplituda, frekvenca i pocetna faza (respek-tivno) n-te komponente redukovanog spektra.

Fleksibilnost opisanog metoda dinamicke ko-rekcije greske se ogleda upravo u mogucnosti formi-ranja parametara za korekciju (redukovanog spektra),na osnovu unapred zadate preciznosti koordinata.

Povratna sprega uvek postoji i tezi da us-postavi balans izme -du zahtevane preciznosti i brzineizvrsavanja korekcije koja eksplicitno zavisi odvelicine (broja spektralnih komponenti) redukovanogFurijeovog spektra.

17


5. PROGRAM ZA DINAMICKOGENERISANJEKOORDINATA SUNCA

5.1 SOLAR APS - Algoritam

Na slici 22 prikazan je algoritam programa(SOLAR APS) za generisanje koordinata Sunca vi-soke preciznosti. Uvodni deo predstavlja unosparametara pozicije posmatraca na Zemlji (geograf-ska sirina, duzina, i nadmorska visina), kao i trenutnovreme (UTC, UT1) preko GPS ure -daja ili po-drazumeva rucni unos podataka (korisnicki interfejs)ukoliko je u pitanju aplikativni softver namenjen kra-jnjim korisnicima. Program ucitava tabelu koeficije-nata, odnosno redukovani spektar (ucestanosti, am-plitude i faze) na osnovu kojih se koriguju greskegenerisanih koordinata za dati vremenski trenutak,odnosno greske prividne rektascenzije i deklinacije,kao i geocentricne udaljenosti Sunca.U drugom delu program vrsi konverziju Gregori-janskog (UTC, UT1) u Julijansko vreme, nakoncega se uracunavaju kasnjenja uzrokovana brzinomodziva mehanickog sistema i elektronike. Ukolikoje vreme definisano kao Univerzalno (Gra -dansko)vreme UT1 odgovarajuce vremenske zone, programizvrsava prepravku vremena ∆T , nastalu usled togasto je vremenski format UT1 vezan za promenljivui nepredvidivu rotaciju Zemlje. Samo na os-novu merenih (dosadasnjih) podataka, moze se do-biti tacna vrednost ∆T za vremenske trenutke uproslosti, dok se za trenutno i buduce vreme ∆T do-bija ekstrapolacijom , u ovom slucaju Cebisevljevimpolinomom, ali samo za kratkorocna predvi -danja(zbog same prirode Cebisevljevih polinoma).Sledeci korak predstavlja racunanje Nebeskih ek-vatorskih koordinata, odnosno Prividne Rektascen-zije i Deklinacije na osnovu Newcomb-ove teorijenebeske mehanike, Geocentricne daljine Sunca iSiderickog (Zvezdanog) vremena. Program koordi-nate izracunava dinamicki za dati vremenski trenu-tak.Koficijenti (Redukovani spektar) dobijeni Harmoni-jskom i Statistickom analizom Furijeovog spektrafunkcije greske sadrze informaciju o ucestanosti, am-plitudi i fazi svakog izdvojenog harmonika u spektru.Na osnovu informacije o vremenu za koje su gener-isane koordinate, formira se vrednost (tacka) funkcijegreske, kao zbir vrednosti kosinusnih funkcija sadatom amplitudom, fazom i ucestanoscu u posma-tranom vremenskom trenutku, koja se oduzima odvrednosti generisanih koordinata: Sl. 22. Algoritam programa SOLAR APS.

Ra Deccorr(t) = Ra Dec(t)−∑N

2n=0Ancos(ωnt+ ϕn).

U prethodnim poglavljima je opisan postupakformiranja priblizne funkcije greske (na osnovu re-dukovanog spektra) za jednu koordinatu Sunca (rek-tascenziju). Isti proces je ponovljen i za preostale

dve koordinate (deklinaciju i geocentricnu daljinuSunca), tako da program vrsi korekciju na osnovu3 · n · 3 parametara (za sve tri koordinate i infor-macijama o amplitudi, fazi i ucestanosti za svakupojedinacnu koordinatu).

18


Nakon korekcije greska geocentricnih koordinataiznosi 0,001” (uglovna greska za rektascenziju i dek-linaciju) i 150m za rastojanje centra Sunca od centraZemlje (u odnosu na referentne JPL koordinate).Na samom kraju, program vrsi konverziju geocen-tricnih u topocentricne (odre -dene pozicijom posma-traca na Zemlji) koordinate, i mesne ekvatorske koor-dinate (deklinacija i casovni ugao), da bi kao krajnjirezultat program izracunao horizontske koordinate,tj. azimut i visinu (uglovnu) koje odre -duju polozajinstrumenta kojim se vrsi posmatranje (pracenje)Sunca. Naravno, ukoliko je montaza instrumenta(teleskopa) azimutalna bice iskoriscene horizontskekoordinate (azimut, visina). Prednost ove montaze jejednostavnost izrade same konstrukcije i predstavljanezamenljivo resenje pri izradi vecih teleskopa.Drugi tip montaze je ekvatorijalna i u tom slucaju supotrebne mesne ekvatorske koordinate Sunca. Ovajtip montaze se najvise koristi kod konstrukcija man-jih teleskopa, jer omogucava precizno i jednostavnopracenje nebeskog tela u toku dana (noci), a pomer-anje se vrsi samo oko jedne (polarne) ose promenomcasovnog ugla (pomocu casovnog mehanizma), dokdeklinacija ostaje fiksirana.Izlazni parametri programa su horizontske koordi-nate potrebne za pozicioniranje instrumenta, cijaje konacna greska odre -dena velicinom redukovanogspektra. Kako direktnih merenja polozaja (azimuta ivisine (elevacije)) Sunca sa nekog polozaja na Zemlji(opservatorije) ima veoma malo (≈10), ra -dena suu ranijem periodu, tesko su dostupna i nisu zado-voljavajuce tacnosti (≈0.001”) zbog same fizike (di-namike) Sunca, doprinosi cinjenici da referentnihpodataka, kojima bi se vrsila provera tacnosti pro-grama (SOLAR APS), nema i iz tog razloga jenapomenuto da je apsolutna uglovna greska hori-zontskih koordinata (azimut i visina) za izabranih100 harmonijskih ucestanosti (redukovani spek-tar), iako realno daleko manja (≈0.01”), ipak pro-cenjena na velicinu 1” i 15km za rastojanje pos-matraca od centra Sunca. Zbog neodre -denostiuslovljene atmosferskom refrakcijom (zavisnoj odpritiska, temperature i gustine) i turbulentnimlikom (Seeing - u odre -denoj meri otklonjivim adap-tivnom optikom), u prakticnoj primeni, iako se katome tezi, u ovom trenutku i ne vredi spominjatiuglovnu rezoluciju vecu od 0.01”. Uglovna rezolu-cija dvometarskog teleskopa Astronomskog institutau Ondrejovu (Ceska) je reda 10”, a boljih i vecihteleskopa oko 1”, dok u najboljem slucaju mozedostici vrednost reda 0.1”. U odnosu na opticketeleskope, veca uglovna rezolucija se moze posticisamo kod Radio-astronomskih posmatranja, odnosnoRadio-interferometarskih nizova antena. Za jedanod najsavremenijih, i u tehnoloskom i naucnompogledu, Radio-interferometarskih nizova koji pred-stavlja projekat ALMA (Atacama Large Milime-ter/Submilimeter Array), sastoji se od 64 parabolickeradio-antene raspore -denih sa promenljivim konfigu-racijama i maksimalnom bazom od 18.5 km, vazi daima maksimalnu uglovnu rezoluciju (uslovljenu inter-ferencionim likom, a ne preciznoscu mehanickog sis-

tema) reda velicine 0.01”. Dakle, cak se i u fizickompogledu tesko dostize tako visoka ugaona rezolucija(kod optickih teleskopa uslovljena je difrakcionimlikom). Iz tog razloga, moze se reci da dati algori-tam u potpunosti zadovoljava sve zahteve u pogledupreciznosti (uglovne i vremenske rezolucije).

Nakon generisanja i popravke koordinata zadati vremenski trenutak, program se vraca na pocetakpetlje i ceka signal za vremensku sinhronizaciju kakobi nastavio racunanje koordinata za sledeci vremen-ski trenutak. Vremenska rezolucija koordinata cezavisiti od zahteva sistema pozicioniranja. Ukolikoje uglovna rezolucija instrumenta 1”, program cegenerisati koordinate Sunca svakih 67ms.

Fleksibilnost opisanog algoritma imetode odre -divanja koeficijenata potreb-nih za korekciju koordinata primenom har-monijske i statisticke analize, lezi upravou mogucnosti definisanja standardne devi-jacije i/ili apsolutne greske koordinata un-apred, cime se postize vremenska koherent-nost programske greske koordinata i uglovnemehanicke rezolucije sistema za pozicioni-ranje instrumenta.

5.2 SOLAR APS - Graficki interfejs

Za potrebe ”statickog” generisanja koordinataSunca, radi planiranja posmatranja ili upotrebe ko-ordinata za modelovanje doga -daja u nekom proslomvremenskom intervalu/trenutku, razvijen je ko-risnicki interfejs koji pruza mogucnost, kako rada urealnom vremenu, tako i izracunavanja koordinata zaizabrani vremenski interval sa zahtevanom rezoluci-jom (Slika 23). Pored standardnih izracunavanja,tj. generisanja geocentricnih i topocentricnih koor-dinata Sunca, program poseduje i mogucnost gener-isanja fizickih efemerida (heliografskih koordinata),koje opisuju polozaj tacke na koordinatnoj mrezivezanoj za ”povrsinu” Sunca. Usmeravanje instru-menta ka centru Suncevog diska postize se na osnovudinamicki generisanih standardnih koordinata (vi-soke preciznosti), dok malim uglovnim varijacijamaose usmerenosti instrumenta, oko centra Suncevogdiska, program automatski pridruzuje vrednosti he-liografskih koordinata (latitude i longitude) tacke naSuncevom disku kroz koju prolazi osa instrumenta(tacka ka kojoj je usmeren instrument), cime seomogucava precizno pozicioniranje instrumenta kanekom regionu Sunca, pracenje i mapiranje razlicitihoblika aktivnosti na povrsini Sunca, sto je znacajnokako sa aspekta zastite elektronskih sistema i elektro-energetskih mreza (otkrivanja erupcija i ranog upo-zorenja na potencijalnu opasnost), tako i sa aspektaproucavanja i teorijskog modelovanja ovih fizickihpojava.Oblast oznacena crvenim pravougaonikom pred-stavlja segment za rad u realnom vremenu. Ulazniparametri su geografske koordinate posmatraca(opservatorije) i nadmorska visina, a izlazni su hor-izontske koordinate (azimut i elevacija (visina)),

19


udaljenost lokacije posmatraca od Sunca, topocen-tricne ekvatorske koordinate (rektascenzija i dek-linacija) i pravougle (X,Y) koordinate pridruzene

odgovarajucem uglovnom pomeraju (oznacenom saALPHA i DELTA), odnosno uglovnoj varijaciji oseinstrumenta u odnosu na centar Suncevog diska.

Sl. 23. Korisnicki interfejs programa SOLAR APS.

Program automatizovano uzima podatke oUTC vremenu, komunicirajuci sa mikrokontroleromsinhronizovanim GPS ure -dajem, preko RS-232 seri-jskog interfejsa, cime se moze postici vremenska re-zolucija ≈1ms. Koordinate se dinamicki generisusvake sekunde (ili sa nekom drugom zahtevanomperiodom), i prosle -duju se mikrokontroleru kojimoze biti programiran da upravlja sistemom pozi-cioniranja, rasterecujuci na taj nacin memoriju iprocesorsko vreme mikrokontrolera. Izdvojene su,tako -de i kontrole kojima se mogu zadavati ”fini”uglovni pomeraji ose instrumenta u odnosu na cen-tar Suncevog diska.Druga oblast, uokvirena plavim pravougaonikompredstavlja segment za generisanje efemerida (koor-

dinata) Sunca za neki proizvoljni interval u proslostiili buducnosti (pod predpostavkom da nece dolazitido iznenadnih promena u kretanju Zemlje i Sunca).Ulazni parametri su Julijanski datum, duzina inter-vala (u danima) i broj podintervala u toku jednogdana (rezolucija), uz mogucnost odabira UT/TT vre-menske skale. Generisane koordinate su predstavl-jene tablicno u okviru kontrola na samom grafickominterfejsu, i upisuju se u posebnu datoteku (fajl) kakobi bile dostupne za dalju programsku obradu i mod-elovanje, sa ciljem teorijske interpretacije i mogucedopune Newcomb-ove teorije kretanja tela Suncevogsistema u ciju svrhu se mogu iskoristiti i komponenteredukovanog Furijeovog spektra dobijene prethodnoopisanim metodama analize signala.

20


6. MOGUCE RESENJE SISTEMAZA POZICIONIRANJE NA BAZIPIC MIKROKONTROLERA

Glavni cilj rada jeste popravka koordinatagenerisanih programom manje velicine i ”srednje”preciznosti (≈0.1”) u cilju dobijanja programa zagenerisanje koordinata visoke preciznosti (≈0.001”).Prethodno je pomenuto resenje sistema pozicioni-ranja u vidu racunara koji informacije o gener-isanim koordinatama Sunca prosle -duje sistemu nabazi mikrokontrolera, cija je uloga da upravljamehanikom usmeravajuci osu instrumenta ka cen-tru Suncevog diska. Me -dutim, sa unapred poz-natom selekcijom nebeskih tela koja ce se posma-trati (pratiti), sto u ovom slucaju predstavlja samoSunce, sistem pozicioniranja je moguce realizovati ibez upotrebe racunara i komunikacije sa bazom po-dataka u cilju pojednostavljivanja i redukcije kom-ponenti, i povecanja autonomnosti sistema.

Problem je resen ”hardverski” u vidu modula,odnosno sistema na bazi mikrokontrolera koji pred-stavlja upravljacki deo sistema za pozicioniranjeSlika 24, kojim je objedinjeno vise razlicitih funkcija.U mikrokontroler je moguce ucitati program(firmware) na bazi SOLAR APS algoritma pisan najeziku hardverskog nivoa Assembler-u. PIC18F452mikrokontroler sadrzi jedno kolo za mnozenje (re-alizovano hardverski), bez kola za izracunavanje si-nusnih, odnosno kosinusnih funkcija. Iz tog razloga,kao i radi povecanja brzine izracunavanja koordinata,sve sinusne funkcije su razvijene u Tejlorov red isacuvano je samo prvih nekoliko clanova u skladusa zahtevanom tacnoscu.Koeficijenti na osnovu kojih se inverznom Furi-jeovom transformacijom vrsi prepravka dinamickigenerisanih koordinata Sunca (redukovani spektar)se mogu upisati u vidu tabele u FLASH memoriju(16k reci od 14 bita) mikrokontrolera zajedno sa”izvornim kodom”.

Sl. 24. Uprosceni dijagram sistema za pozicioniranje na bazi PIC mikrokontrolera sa GPS vremenskomsinhronizacijom (Stratum 1 nivo) i akvizicijom temperature kao parametra za odre -divanje koeficijenta atmos-ferske refrakcije.

Sistem predstavlja Stratum 1 nivo ure -daja(Stratum 0 nivo predstavlja sam GPS ure -daj) za vre-mensku sinhronizaciju sa GPS vremenskim standar-dom. Stroga vremenska sinhronizacija je potrebnazbog visoke uglovne preciznosti generisanih koordi-nata, koje su vezane za posmatrani trenutak vre-mena. U skladu sa maksimalnom uglovnom rezolu-cijom programa (0.001”), zahtevana vremenska re-zolucija iznosi 100µs.GPS ure -daj generise PPS (Pulse Per Second) sig-nal u veoma preciznim vremenskim intervalima (1s)sa greskom ≈10ns, koji mikrokontroler koristi za

sinhronizaciju RTC-a (Real Time Clock). U samomPPS signalu je najcesce sadrzana poruka definisanaNMEA (National Marine Electronics Association)standardom koja predstavlja ASCII niz karaktera.Data poruka sadrzi sve telemetrijske podatke (PRN(Pseudo Random Number) i poziciju satelita, koor-dinate posmatraca, itd.) i UTC vreme za fiksiranupoziciju posmatraca, koji su potrebni programu zboggenerisanja i konverzija koordinata.

Prenos poruke se vrsi serijski prema RS-232protokolu (4800 b/s, 8 b data, None Parity, 1 Stop

21


bit, None Handshake), pa je iz istog razloga i vezamikrokontrolera sa GPS ure -dajem ostvarena prekoUSART (Universal Synchronous Asynchronous Re-ceiver Transmitter) porta koji je hardverski imple-mentiran u okviru mikrokontrolera.RTC generise kontrolni signal svake sekunde, brojacimikrokontrolera se aktiviraju ovim signalom (IRQ- Interrapt Request), i upore -duju sa PPS signalomGPS-a. S obzirom da je ucestanost kristalnog (ek-sternog) oscilatora procesora 36,864 MHz (iz razlogaeliminisanja vremenske greske pri serijskoj komu-nikaciji brzinama definisanim RS-232 standardom),i da je vremenski interval jedne instrukcije, duzinecetiri takta oscilatora ( 4

36864000 = 108.507 ns) [3],tada vreme potrebno da se nakon detekcije kon-trolnog signala RTC-a (koji uzrokuje IRQ) aktivirabrojac, i u najkracem slucaju odmah nakon RTC sig-nala, proveri stanje pina mikrokontrolera na kome se

ocekuje GPS-PPS kontrolni signal, iznosi 325,52083ns (nano sekundi), odnosno vremenski interval cik-lusa od tri instrukcije. Dakle, najbolja vremenskarezolucija koja se moze postici datim sistemom iznosi325,52083 ns. Ukoliko je akumulirana greska vecaod zahtevane vremenske preciznosti (100µs = 922inkrementa brojaca), mikrokontroler generise signalza resetovanje RTC-a i u njega upisuje podatke kojesadrzi NMEA poruka, cime se ostvaruje vremenskasinhronizacija.

Uticaj atmosferske refrakcije je izrazeniji sapovecanjem zenitne daljine (smanjenjem uglovne vi-sine) posmatranog nebeskog tela, a zavisi i od meteo-roloskih uslova lokacije sa koje se izvode posmatranjaSunca, odnosno vazdusnog pritiska, vlaznosti i tem-perature. Za zenitne daljine (z) vece od 15◦ moze seu prvoj aproksimaciji upotrebiti formula:

R = P (0, 1594 + 0, 0196a+ 0, 00002a2)/[(273 + T )(1 + 0, 505a+ 0, 0845a2)],

gde je sa R oznaceno uglovno odstupanje za koje jepotrebno uvecati izracunatu visinu (elevaciju), kakobi se dobio prividan polozaj Sunca na nebu. Param-etar a predstavlja programski generisanu uglovnuvisinu Sunca (a = 90◦ − z), P atmosferski pritisak(u milibarima), a T temperaturu vazduha (izrazenuu ◦C).Merenje trenutnog pritiska i temperature, sa ciljemuvo -denja njihovih vrednosti u jednacinu za popravkugreske nastale usled efekta atmosferske refrakcije,postize se koriscenjem digitalnih senzora.Digitalni senzor temperature (DS18B20) vezan jeserijski za mikrokontroler koji sa njega periodicnoocitava temperaturu svake sekunde sa rezolucijom0, 0625◦C, i koristi je kao parametar u jednacinamaza korekciju horizontskih koordinata Sunca.

Dakle, sistem predstavlja resenje u krajnje au-tonomnom obliku. U slucaju implementacije sistemakod Radio-interferometarskog niza antena, koji moraimati GPS-NTP servere za vremensku sinhronizacijucelokupne mreze ure -daja, sistem pozicioniranja cebiti predstavljen u vidu cipa (mikrokontrolera) inte-grisanog u samu elektroniku radio-teleskopa.

Multidisciplinarnom analizom iobradom vremenski zavisne funkcije odstu-panja (funkcije greske) koordinata Suncagenerisanih programom jednostavnijeg ob-lika, od referentnih koordinata JPL (NASA)baze podataka, izvedeni su zakljucci i argu-menti kojima su otklonjeni nedostaci pojed-inacnih oblika analize vremenskih serija i nataj nacin je odre -deno optimalno resenje uizboru metoda (FFT sa redukovanim spek-trom) za korekciju dinamicki generisanihkoordinata Sunca. Samim tim je resen iproblem zahteva za konekcijom sa bazompodataka, i otklonjena potreba za dodat-nim ure -dajima (racunarima i periferijama),cime je postignuta potrebna autonomnost uradu i visok stepen integracije realizacijomcelokupnog sistema u okvirima jednog cipa.

22


ZAKLJUCAK

Kao nebesko telo koje predstavlja glavni fak-tor opstanka zivota na Zemlji, Sunce zahteva dalekovise proucavanja, stalnim posmatranjem, analizom ipracenjem njegove aktivnosti, kako u mirnim takoi u aktivnim fazama sada vec poznatog dvadesetdvogodisnjeg ciklusa. Raznovrsnost pojava, kao stosu Sunceve pege, protuberance, erupcije (flare-ovi),CME (Coronal Mass Ejections) i drugi oblici ak-tivnosti, u nesagledivoj meri utice na stanje zivogsveta na planeti Zemlji, neposredno stetnim uticajemzracenja, a posredno prouzrokujuci ostecenja elektro-energetske mreze i elektronskih ure -daja, ometajuciili u potpunosti obustavljajuci radio komunikacije,dakle kroz uticaj na tehnologiju od koje veci deoljudske populacije u potpunosti zavisi.

Oblast astronomije, koja cini spoj modernei klasicne fizike sa jedne strane, i vekovima priku-pljanog teorijskog i prakticnog znanja o prirodikoja nas okruzuje u sirem smislu (fundamentalneastronomije), astrofizika predstavlja naucnu (as-tronomsku) disciplinu cije teorijske osnove najvecidokaz nalaze upravo u interpretaciji prethodnopomenutih pojava na idealnoj i najblizoj kosmickojlaboratoriji, Suncu. Razumevanjem fizike koja stojiiza ovih kompleksnih oblika aktivnosti, odnosno di-namike Sunceve plazme, kao i oscilacija i talasa(seizmickih, magnetoakusticnih) na Suncu, i anali-zom njihovih periodicnosti, omogucava se saznanjekoje se kako u samoj astronomiji i fizici, tako iu predvi -danju datih pojava moze u ogromnoj meriiskoristiti.

Suncev vetar u potpunosti oblikuje struk-turu magnetnog polja Zemlje (kao i drugih plan-eta), zahvaljujuci kome visokoenergetski joni ostajuzarobljeni u Van Allen-ovim radijacionim pojase-vima u orbiti oko Zemlje, ili se vo -deni magnetnim lin-ijama sile, sudaraju sa atomima i molekulima atmos-fere u okolini polova formirajuci svetlosno zracenjeoslobo -deno usled jonizacije i poznato kao Aurora(Polarna svetlost), koja moze biti vidljiva i na nizimgeografskim sirinama za vreme povecane aktivnosti.Tada se usled povecanja koncentracije slobodnih(jonizovanih) cestica, povecava i granicna ucestanostelektromagnetnih talasa u radio domenu, odnosnoucestanost pri kojoj dolazi do totalne refleksije ta-lasa od slojeve jonosfere, uticuci time direktno nafunkcionalnost i kvalitet radio-komunikacija.

Sa strane pozitivnog uticaja, pored cinjeniceda se zivot na Zemlji bez njega ne bi mogaozamisliti (osim pojedinih vrsta mikroorganizama),Sunce predstavlja nezamenljiv alternativni izvor en-ergije, ciji ce potencijal tek sa razvojem tehnologijei promenom naucnog pristupa biti u pravoj meriiskoriscen.

Spektar dejstva Sunca na Zemlju je siroki evidentan, a kontinuirano posmatranje pred-stavlja glavni kljuc za razumevanje njegove prirodei predikciju pojava koje oblikuju zivot na Zemlji.Iz tog razloga je i nastala potreba za sto pre-ciznijim pracenjem Suncevog prividnog kretanja, imapiranjem regiona na njegovoj povrsini u cilju

proucavanja prirode samih pojava. Da bi ispuniodate zahteve, astronomski instrument mora pose-dovati visoku preciznost i mogucnost brzog odziva,a u slucaju svemirskih teleskopa i jednostavnostsa visokim stepenom integracije. Cinjenica dasu za proucavanje Sunca, astronomski instrumentispecijalno prilago -deni (Solarni spektrograf, Radio-teleskop/interferometar, Koronograf, itd.), doprinosiselektivnosti, odnosno ogranicenosti posmatranih ob-jekata samo na Sunce.

Svi opisani zahtevi su ispunjeni realizaci-jom sistema pozicioniranja zasnovanog na detaljnojmatematickoj analizi vremenski zavisne greskeprograma baziranog na klasicnoj teoriji nebeskemehanike (Newcomb-ovoj teoriji), u cilju maksi-malne redukcije ”koda” programa za dinamicko (urealnom vremenu) generisanje koordinata Sunca.Ovim je eliminisana potreba za koriscenjem bazepodataka (koordinata) i nizom pratecih komponenti iure -daja.

Paralelno sa analizom vremenski zavisnegreske koordinata Sunca, razvijan je i program zaanalizu vremenskih serija (signala), specifican zbogmogucnosti istovremenog sprovo -denja svih, u raduopisanih, oblika analize vremenskih serija, grafickogprikaza i upore -divanja rezultata pojedinih oblikaanalize. Program poseduje i mogucnost odre -divanjazastupljenosti specificnih oblika signala u okviru datevremenske serije, odnosno projektovanje vremenskeserije u proizvoljno odre -den bazis funkcija.Upravo zbog nacina na koji kombinuje razlicite oblikeanalize (FFT, Wavelet, Statisticka analiza) i pruzamogucnost traganja sa periodicnostima specificnog(proizvoljnog) oblika, razvijeni program veliku pri-menu moze naci kako u oblasti analize signala, takoi u medicini, analizom EEG i EKG signala, gde jepomenuti zahtev i najveci.

Prednost sistema pozicioniranjaopisanog u radu, ogleda se upravo u nje-govoj autonomnosti, koja se manifestujekroz nezavisnost od perifernih ure -daja, i od-likuje velikom uglovnom i vremenskom pre-ciznoscu generisanih koordinata Sunca, kaoi visokim stepenom integracije, postignutimmogucnoscu objedinavanja svih funkcional-nih elemenata (hardware-skih i software-skih)kroz realizaciju sistema u vidu (ili na bazi)samo jednog mikrocipa, cime je sa tehnickestrane dat glavni preduslov za unapre -denjeastronomskih posmatranja i omoguceno kon-tinuirano i precizno pracenje kretanja Sunca,sto predstavlja direktan rezultat rada.

Indirektan rezultat je povecanje pouz-danosti posmatrackih podataka, sto ek-splicitno utice na teorijsku interpretacijuastronomskih posmatranja Sunca i pruzadaleko realniju sliku o prirodi i periodicnostifizickih pojava na Suncu, implicitno ot-varajuci mogucnost potpunijeg sagledavanja”funkcije stanja Sunca” i njene vremenskeevolucije.

23


LITERATURA

[1] Bachman, G., Narici, L., Beckenstein, E. (2000): Fourier and Wavelet Analysis, (Springer-Verlag, NewYork)

[2] -Durovic, D. (1979): Matematicka obrada astronomskih posmatranja, (Privredno-finansijski vodic, Beograd)

[3] Huang, H. (2005): PIC Microcontroller: An Introduction to Software and Hardware Interfacing, (Thomson-Delmar Learning)

[4] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P. (2007): NUMERICAL RECIPES TheArt of Scientific Computing, Third Edition, (Cambridge University Press, Cambridge)

[5] Segan, S. : Wavelet analiza, skripta

[6] Smith, S. W. (1997): The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, (California Tech-nical Publishing, San Diego)

[7] Wilson, T. L., Rohlfs, K., Huttemeister, S. (2009): Tools of Radio Astronomy, Fifth Edition, (Springer-Verlag Berlin Heidelberg)

24

Documents

KOREKCIJA DINAMICKI GENERISANIH KOORDINATAˇ SUNCA …