Korelasyon (Bağıntı)Korelasyon (Bağıntı)Parametre Tayini, Karelerin Parametre Tayini, Karelerin

En Küçüğü YöntemiEn Küçüğü Yöntemi

Korelasyon KatsayısıKorelasyon Katsayısı Değişkenler arasındaki ilişkinin kuvvetini Değişkenler arasındaki ilişkinin kuvvetini

nicelendirmek üzere kullanılan istatistik: nicelendirmek üzere kullanılan istatistik: KORELASYON KATSAYISIKORELASYON KATSAYISI

Dikkat: Neden sonuç ilişkisiyle Dikkat: Neden sonuç ilişkisiyle karıştırmayın. X artarken Y artıyorsa bu karıştırmayın. X artarken Y artıyorsa bu x’deki artış y’de artışa neden oluyor x’deki artış y’de artışa neden oluyor demek değildir. demek değildir.

KovaryansKovaryans

İki değişken arasındaki doğrusal (lineer) İki değişken arasındaki doğrusal (lineer) bağımlılığın ölçüsü x ile y arasındaki kovaryansdır. bağımlılığın ölçüsü x ile y arasındaki kovaryansdır.

Eğer x ve y bağımsızsa cov(x,y) = 0Eğer x ve y bağımsızsa cov(x,y) = 0 Eğer cov(x,y) = 0 ise bu x ve y’nin bağımsız Eğer cov(x,y) = 0 ise bu x ve y’nin bağımsız

olduğuna veyaolduğuna veya x ve y arasında lineer olmayan x ve y arasında lineer olmayan bir bağıntı olduğuna işarettir. bir bağıntı olduğuna işarettir.

Excel’de cov(x,y) = kovaryans(dizi1;dizi2) fonksiyonu ile hesaplanabilir. Excel’de cov(x,y) = kovaryans(dizi1;dizi2) fonksiyonu ile hesaplanabilir.

N

yxyx yixi

))((

),cov(

Yığındaki birim sayısı

X ve Y için yığın ortalamaları

Korelasyon (Bağıntı) KatsayısıKorelasyon (Bağıntı) Katsayısı Kovaryans değişkenlerin birimine bağlı Kovaryans değişkenlerin birimine bağlı

olduğundan büyük ya da küçük olması ilişkinin olduğundan büyük ya da küçük olması ilişkinin kuvvetli veya zayıf olması hakkında bir fikir kuvvetli veya zayıf olması hakkında bir fikir vermez. vermez.

Birimsiz kovaryans = Korelasyon katsayısıBirimsiz kovaryans = Korelasyon katsayısı Birimsiz hale getirmek için kovaryans x ve y’nin Birimsiz hale getirmek için kovaryans x ve y’nin

standard sapmasına bölünür. standard sapmasına bölünür.

yx

yixi

N

yxyxp

))((),( p = [-1,1]

Bağıntı KatsayısıBağıntı Katsayısı

00<<p =p = Pozitif Pozitif bağıntıbağıntı

00>>pp = = Negatif Negatif bağıntıbağıntı

p = [-1,1]

y

x

y

x

Örneklemlere Ait Örneklemlere Ait Bağıntı Bağıntı KatsayısıKatsayısı

yx

ii

ssn

yyxxyxr

)1(

))((),(

X örnekleminin standard sapması

Y örnekleminin standard sapması

Excel’de korelasyon katsayısı = korelasyon(dizi1;dizi2) Excel’de korelasyon katsayısı = korelasyon(dizi1;dizi2) fonksiyonu kullanılarak hesaplanır.fonksiyonu kullanılarak hesaplanır.

ÖrnekÖrnek

İki farklı kişi tarafından İki farklı kişi tarafından yapılan BOİ ölçümleri yapılan BOİ ölçümleri verilmiştir. Ölçümler verilmiştir. Ölçümler arasındaki arasındaki bağıntıyıbağıntıyı değerlendirin. değerlendirin.

75

125

175

225

75 125 175 225

BOİ_A

BO

İ_B

Bağıntı KatsayısıBağıntı Katsayısı

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

BOİ_A

BO

İ_B

r = 0.93

r değerleri değişkenler arasında lineer bir ilişki varsa r değerleri değişkenler arasında lineer bir ilişki varsa anlamlıdır. Eğer iki değişken arasında y =a + bx + cxanlamlıdır. Eğer iki değişken arasında y =a + bx + cx22 ggiibi bir ilişki varsa r bi bir ilişki varsa r ±±1 ‘ e yaklaşmaz. 1 ‘ e yaklaşmaz.

Grafiksel gösterim ilişkinin nasıl olduğunu göstermesi Grafiksel gösterim ilişkinin nasıl olduğunu göstermesi açısından önemlidir.açısından önemlidir.

Ne kadar kuvvetli olursa olsun Ne kadar kuvvetli olursa olsun bağıntıbağıntı nedensellik demek nedensellik demek değildir. değildir.

Korelasyon veKorelasyon ve Regresyon Regresyon Korelasyonda iki bağımsız değişken Korelasyonda iki bağımsız değişken

sözkonusudur. Rsözkonusudur. Regreseyondaysa iki değişken egreseyondaysa iki değişken belirli roller üstlenir. belirli roller üstlenir.

xx: bağımsız : bağımsız yy: bağımlı değişken olarak ele alınır. : bağımlı değişken olarak ele alınır. Regresyon çözümlemesi sadece y’nin ölçüm Regresyon çözümlemesi sadece y’nin ölçüm

hatalarından etkilendiğini varsayar. Eğer x’deki hatalarından etkilendiğini varsayar. Eğer x’deki hatalar küçükse (shatalar küçükse (sxx << s syy/3)/3) sonuçlar yararlıdır. sonuçlar yararlıdır.

Bağıntı Katsayısının Bağıntı Katsayısının DeğerlendirilmesiDeğerlendirilmesi

Bağıntının anlamlı olup olmadığı gözlem Bağıntının anlamlı olup olmadığı gözlem sayısına bağlı olarak değişebilir ve kritik r sayısına bağlı olarak değişebilir ve kritik r değerleri tablosundan değerlendirilebilir. değerleri tablosundan değerlendirilebilir.

Bağıntı Katsayısının DeğerlendirilmesiBağıntı Katsayısının Değerlendirilmesidf = v = Gözlem sayısı -2

Bağıntı Katsayısının Bağıntı Katsayısının DeğerlendirilmesiDeğerlendirilmesi

Genelde bağıntının kuvveti için:Genelde bağıntının kuvveti için:

.01 - .20 çok az ya da hiç

.20 - .40 zayıf

.40 - .60 orta .60 - .80 orta kuvvette .80 - .99 çok kuvvetli

Serisel İlgileşimSerisel İlgileşim

Eğer eldeki veri sıralı olarak toplanmışsa, yere Eğer eldeki veri sıralı olarak toplanmışsa, yere veya zamana bağlı olarak birbirine yakın olanlar veya zamana bağlı olarak birbirine yakın olanlar birbirine daha yakın değerler taşır. Diyelim ki birbirine daha yakın değerler taşır. Diyelim ki bugün havadaki SObugün havadaki SO22 konsantrasyonu 150 konsantrasyonu 150 g/mg/m33 ise durgun hava şartlarında ertesi gün için buna ise durgun hava şartlarında ertesi gün için buna yakın bir değer bekleriz. Dünden kalan SOyakın bir değer bekleriz. Dünden kalan SO22 hala hala etkisini sürdürecektir. etkisini sürdürecektir.

Bu şekilde birbirine yakın zamanda veya Bu şekilde birbirine yakın zamanda veya konumda alınan verilerin benzer olması konumda alınan verilerin benzer olması durumuna serisel bağlılık veya otokorelasyon durumuna serisel bağlılık veya otokorelasyon denir. Serisel bağlılığın nicel ölçütü denir. Serisel bağlılığın nicel ölçütü otokorelasyon katsayısıdır. otokorelasyon katsayısıdır.

Oto Korelasyon KatsayısıOto Korelasyon Katsayısı

Oto korelasyon bir değişkenin kendi içindeki Oto korelasyon bir değişkenin kendi içindeki ilgileşimdir. ilgileşimdir.

Eğer günlük ölçümler yapıldıysa yEğer günlük ölçümler yapıldıysa y tt’ye karşılık y’ye karşılık yt-7t-7

serisel haftalı bir bağlantıya işaret eder. İlgileşim serisel haftalı bir bağlantıya işaret eder. İlgileşim için incelenen gözlemler arasındaki uzaklık lag için incelenen gözlemler arasındaki uzaklık lag ile ifade edilir. Bu uzaklık örnek alma aralıkları ile ifade edilir. Bu uzaklık örnek alma aralıkları ile ölçülür. ile ölçülür.

yt+1

yt

Oto-Korelasyon Katsayısı,rOto-Korelasyon Katsayısı,rkk

rk [-1, 1]

k = 1,2 veya uygun bir sayı

rk = 1 (mükemmel pozitif korelasyon

BOİ VerisiBOİ Verisi

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120 140

numune

BO

DHer iki saatte bir 10 gün süreyle alınan BOİ verisi.

Oto korelasyon hakkında ne söylenebilir?

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

yt

yt-

1

rk = 0.45 k = 1

k = 3 (3 lag, 6. saat) - rk = 0.03

k = 6 (6 lag, 12 saat) rk = -0.39

k = 12 (12 lag, 24 saat) rk = 0. 25

İlk 24 saatlik örüntü ikinci 24 saatlik İlk 24 saatlik örüntü ikinci 24 saatlik kısımda tekrar ediyor ama korelasyonun kısımda tekrar ediyor ama korelasyonun kuvveti azalıyor.kuvveti azalıyor.

Örneklem arasındaki zaman farkı Örneklem arasındaki zaman farkı yüzünden diğer faktörlerin değişimiyle yüzünden diğer faktörlerin değişimiyle sistemin hafızası kısalıyor. sistemin hafızası kısalıyor.

Karelerin En Küçüğü Yöntemiyle Karelerin En Küçüğü Yöntemiyle Parametre Parametre TaTahmini (Regresyon)hmini (Regresyon)

İstatistikte en çok karşılaşılan sorulardan İstatistikte en çok karşılaşılan sorulardan biri eldeki veriye bir eşitliğin biri eldeki veriye bir eşitliğin uydurulmasıdır. uydurulmasıdır.

Neden veriye bir eğilim çizgisi ekleme Neden veriye bir eğilim çizgisi ekleme ihtiyacı duyuluyor?ihtiyacı duyuluyor? yy’yi bağlı olduğu değişkenlere göre ilerde ’yi bağlı olduğu değişkenlere göre ilerde

tahmin etmek istiyoruztahmin etmek istiyoruz xx’deki değişkenliğin y’yi nasıl etkileyeceğini ve ’deki değişkenliğin y’yi nasıl etkileyeceğini ve

böylece sistemi ve onu daha iyi sonuçlar böylece sistemi ve onu daha iyi sonuçlar verecek şekilde değiştirmek istiyoruz. verecek şekilde değiştirmek istiyoruz.

Veriye uydurulan eşitlikVeriye uydurulan eşitlik 1. Görgül deneysel (Emprikal) –tanımlayıcı1. Görgül deneysel (Emprikal) –tanımlayıcı 2. Mekanistik: sistemin nasıl i2. Mekanistik: sistemin nasıl işşlediğinelediğine dair temel dair temel

süreçlere dayanaraksüreçlere dayanarak

Bağımlı değişken (y) bağımsız değişken (x’in) birkaç Bağımlı değişken (y) bağımsız değişken (x’in) birkaç değerinde ölçülür. X aynı zamanda girdi değerinde ölçülür. X aynı zamanda girdi değişkeni,regresör, tahmin edici değiken olarak da değişkeni,regresör, tahmin edici değiken olarak da tanımlanır. tanımlanır.

Regresyon: Bir denklemi veriye uydurma işlemidir. Regresyon: Bir denklemi veriye uydurma işlemidir. Bazen de eğilim çizgisi uydurma veya parametre Bazen de eğilim çizgisi uydurma veya parametre tayini de denir. tayini de denir.

Lineer Regresyon: Etkiler nedenlerle Lineer Regresyon: Etkiler nedenlerle orantılı. Örnek: F = ma Forantılı. Örnek: F = ma F aa

Lineer olmayan Regresyon: etkiler Lineer olmayan Regresyon: etkiler nedenlerle doğrudan orantılı değil. Örnek: nedenlerle doğrudan orantılı değil. Örnek: Hareket eden bir objenin üzerindeki hava Hareket eden bir objenin üzerindeki hava akımının kuvveti hızın karesiyle orantılıdır:akımının kuvveti hızın karesiyle orantılıdır:

F F vv22

Sistemde daha fazla fiziksel özelliği hesaba Sistemde daha fazla fiziksel özelliği hesaba kattıkça sistem lineer olmaktan uzaklaşırkattıkça sistem lineer olmaktan uzaklaşır

Regresyon ModeliRegresyon Modeli

(yi,xi)(yi,xi) Y=f(x)Y=f(x)

2

22110

2

1

22110

)exp(1

2

x

xx

x

xx

Lineer regresyonda x ve y’ler ölçülerek ve parametrelerinin değerlerini bulmak.

Eğer kullanılan eşitlik lineer değilse lineer olmayan regresyon kullanılır veya lineer formata dönüşüm sağlanıyorsa dönüştürme yapılır.

xb = y

bLogx = logy

bx’=y’

Doğrusal ve doğrusal Doğrusal ve doğrusal olmayan arasında olmayan arasında farkı belirtmek üzerefarkı belirtmek üzere

Doğrusal: Doğrusal:

Doğrusal OlmayanDoğrusal Olmayan

),( xfX: bağımsız değişkenlerden oluşan vektör

B: modelin parametreleri =[1,2,3]Parametrelerin tahmin edilen değerleri ise b1,

b2, b3 ile gösterilir.

),( xf = k = [k1,k2,k3] ile gösterilir.

İyi planlanmış bir deney için xİyi planlanmış bir deney için xi i değerlerinin değerlerinin

hatasız, yhatasız, yi i değerlerinin de rastsal değerlerinin de rastsal

hatalardan etkilendiği varsayılır. hatalardan etkilendiği varsayılır. yyii = m = mi i + e+ ei i i = 1,2,3,….n i = 1,2,3,….n

Eğer model doğruysa eEğer model doğruysa e ii rastsal hatalardan rastsal hatalardan

daha büyük olmayacaktır. Eğer değilse, daha büyük olmayacaktır. Eğer değilse,

e = rastsal hatalar + model hataları (modelin e = rastsal hatalar + model hataları (modelin oluşturulmasında dikkate alınmamış kayıp oluşturulmasında dikkate alınmamış kayıp terimler)terimler)

Modeli veriye uydurduktan sonra ölçülen değerler ile modellenen değerler arasındaki fark (ei) rassal ve bağımsızsa modelin veriye uyduğunu söyleyebiliriz. Eğer kalanlar bir örüntü gösteriyorsa, bu bize modeli hangi yönde geliştireceğimizi gösterir.

Basit Doğrusal ModelBasit Doğrusal Model

yyii = = 00 + + 11xxii+ e+ eii

Kalanlar = eKalanlar = eii = y = yii-(-(00 + + 11xxii))

Regresyon gözlemlenen Regresyon gözlemlenen veriye “en iyi” uyan eğrinin veriye “en iyi” uyan eğrinin parametrelerini seçmemizi parametrelerini seçmemizi sağlar. sağlar.

NASIL ? NASIL ? Karelerin En Küçüğü Karelerin En Küçüğü YöntemiYöntemi

75

125

175

225

75 125 175 225

xy

ei

Ölçüm değerleri

Model değerleri

= 0 +1x

1. Karelerin En Küçüğü Yöntemi ile 1. Karelerin En Küçüğü Yöntemi ile Parametre TayiniParametre Tayini

Model ile gözlemler Model ile gözlemler arasındaki farkları en arasındaki farkları en aza indirmekaza indirmek

2

11

2 )()( i

n

ii

n

ii yeS

Modelden hesaplanan değerler

Gözlemlenen değerler

ÖrnekÖrnekDoğrusal ModelDoğrusal Model

y = y = xx

2

2

2

22

1

22

1

)(20)(

)2()(

i

i

i

i

x

yxb

yxbx

yxbxd

dS

xyxyxyS

ii

ii

ii

iii

n

ii

n

ii

Eğer uydurulacak eşitlikte iki parametre varsa, iki tane normal denklem olur. Parametre sayısı arttıkça lineer regresyon hesaplamalarında cebirsel matrisler kullanılarak çözüme ulaşılır.

Doğrusal Olmayan ModellerDoğrusal Olmayan Modeller = exp(-= exp(-x)x)

d

dS

xxyyxyS iii

n

ii

n

ii i

)(

}))(exp()exp(2{))exp(()( 2

1

22

1

Cebirsel yolla çözülemez. Bu durumda iteratif (yinelemeli) yöntemler kullanılır. Öyle bir değeri bulunacak ki S() en az değere düşecek.

2. Yinelemeli Yöntemle Parametre 2. Yinelemeli Yöntemle Parametre TayiniTayini

x y

2 0.1504 0.4616 0.559

10 1.04514 1.36419 1.919

Yandaki veri seti için yinelemeli yöntemle doğrusal model parametrelerini belirleyin.

y = bx

Yinelemeli yöntemde b parametresi için bir ilk değer verilir. Model ile y değerleri hesaplanır. Modellenen y ile gözlenen y’ler arasındaki farkların karesi hesaplanır. Bir sonraki b ile işlem tekrarlanır. Karelerin farkının en küçük değerine karşılık gelen b bulunduğunda parametre tayini işlemi sonlanmış olur.

Lineer Model Lineer Olmayan model

ix ihesaplaany , igözleneny , ie 2ie ix ihesaplaany , igözleneny , ie 2

ie

Denenen değer:β=0,115 Denenen değer:θ=0,32 2 0,23 0,15 -0,080 0,00640 2 4 0,46 0,461 0,001 0,0000 4 6 0,69 0,559 -0,131 0,01716 6 10 1,15 1,045 -0,105 0,01102 10 14 1,61 1,364 -0,246 0,06052 14 19 2,185 1,919 -0,266 0,07076 19

Doğrusal Model, y = Doğrusal Model, y = x x

Karelerin toplamı 0,16586 Karelerin toplamı

1. Yineleme: = 0.115

b = 0.115

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20

x

y

gözlenen

model

Doğrusal Model, y = Doğrusal Model, y = x x

x y_gözleneny_hesaplanan ei

2 0.150 0.280 -0.130

4 0.461 0.560 -0.099

6 0.559 0.840 -0.281

10 1.045 1.400 -0.355

14 1.364 1.960 -0.596

19 1.919 2.660 -0.741Kare toplam 1.136

1. Yineleme: = 0.14

b = 0.14

0.0000.5001.0001.5002.0002.5003.000

0 5 10 15 20

x

y

gözlenen

model

Doğrusal Model, y = Doğrusal Model, y = x x 1. Yineleme: = 0.10

Karelerin toplamı 0,16586

Denenen değer:β=b=0,1 (optimum)

2 0,2 0,15 -0,05 0,00250

4 0,4 0,461 0,061 0,00372

6 0,6 0,559 -0,041 0,00168

10 1 1,045 0,045 0,00202

14 1,4 1,364 -0,036 0,00130

19 1,9 1,919 0,019 0,00036

En küçük karelerin toplamı 0,01158

b = 0.10

y = 0.10x - 0.0101

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20

x

y

gözlenen

Doğrusal(gözlenen)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.05 0.1 0.15

bfa

rk k

are

to

pla

mı

En Küçük Kareler Tahmini

Kareler Toplamının Kalanı

Tek değişkenli doğrusal bir model için kalanların kareleri her zaman için bir parabol verir.

Parabol olduğuna göre bir doğrusal model için karelerin en küçüğüne denk gelen parametre değerini nasıl bulabiliriz?

Doğrusal Olmayan Modelde Doğrusal Olmayan Modelde Parametre TayiniParametre Tayini

Yandaki veri seti için yinelemeli yöntemle doğrusal olmayan model parametrelerini belirleyin.

y = exp(-x)

Yinelemeli yöntemde b parametresi için bir ilk değer verilir. Model ile y değerleri hesaplanır. Modellenen y ile gözlenen y’ler arasındaki farkların karesi hesaplanır. Bir sonraki b ile işlem tekrarlanır. Karelerin farkının en küçük değerine karşılık gelen b bulunduğunda parametre tayini işlemi sonlanmış olur.

x y2 0.624 0.516 0.26

10 0.1814 0.02519 0.041

Doğrusal Olmayan Model, Doğrusal Olmayan Model, y = expy = expx) x)

Min S() = Σ[yi-exp(-xi)]2

1. Yineleme: = 0.32

x y y_hesaplanan e2 0.62 0.527 0.0934 0.51 0.278 0.2326 0.26 0.147 0.113

10 0.18 0.041 0.13914 0.025 0.011 0.01419 0.041 0.002 0.039

Kare toplam 0.096332

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20

x

y

gözlemlenen

model

Doğrusal Olmayan Model, Doğrusal Olmayan Model, y = expy = expx) x)

2. Yineleme: = 0.15

= 0.15

00.10.20.30.40.50.60.70.8

0 5 10 15 20

x

y

gözlemlenen

model

x y y_hesaplanan e2 0.62 0.741 -0.1214 0.51 0.549 -0.0396 0.26 0.407 -0.147

10 0.18 0.223 -0.04314 0.025 0.122 -0.09719 0.041 0.058 -0.017

Kare toplam 0.049228

Doğrusal Olmayan Model, Doğrusal Olmayan Model, y = expy = expx) x)

3. Yineleme: = 0.20 (optimum)

x y y_hesaplanan e2 0.62 0.670 -0.0504 0.51 0.449 0.0616 0.26 0.301 -0.041

10 0.18 0.135 0.04514 0.025 0.061 -0.03619 0.041 0.022 0.019

Kare toplam 0.011534

= 0.20

00.10.20.30.40.50.60.70.8

0 5 10 15 20

xy

gözlemlenen

model

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4

qK

arel

er T

op

lam

ı

En Küçük Kareler Tahmini

Kareler Toplamının Kalanı

Lineer olmayan modeller için kalanların kareleri parabol değildir ve genelde simetrik olmazlar.

ParametrelerinParametrelerin Hassasiyeti Hassasiyeti

Parametrelerin en iyi değerlerini hesaplamak için Parametrelerin en iyi değerlerini hesaplamak için parametrelerin hassasiyetinin bilinmesi gerekir. parametrelerin hassasiyetinin bilinmesi gerekir.

Tek parametreli doğrusal model içinTek parametreli doğrusal model içinvar(b) = var(b) = 22//xxii

22 22 deneysel hata varyansıdır. deneysel hata varyansıdır. İdealde İdealde 22 , , x’in belli x’in belli

bir değerbir değeri i için tekrar deneyleri yaparak için tekrar deneyleri yaparak hesaplanhesaplanaabilir. Ancak bu örnekte ve gerçekte bilir. Ancak bu örnekte ve gerçekte yapılan bir çok deneyde tekrar gözlem mevcut yapılan bir çok deneyde tekrar gözlem mevcut değildir. Bu durumdan değildir. Bu durumdan 22 kalanların karelerinin kalanların karelerinin toplamındantoplamından (S (SRR)) tahmin edilir. Eğer model tahmin edilir. Eğer model doğruysa kalanlar rastsal hadoğruysa kalanlar rastsal hatatalardan oluşur ve lardan oluşur ve kalanlarını karelerinin ortalaması kalanlarını karelerinin ortalaması 22’yi verir.’yi verir.

Doğrusal Modelde b’nin Doğrusal Modelde b’nin HassasiyetiHassasiyeti

ss22 = = SSRR/v v: serbestlik derecesi =n-p/v v: serbestlik derecesi =n-p

n: gözlem sayısın: gözlem sayısıp: parametre sayısıp: parametre sayısı

Doğrusal Doğrusal modelmodel için için

SSRR = 0. = 0.9191584 s584 s22 =0.91584/(6-1) =0.0023 =0.91584/(6-1) =0.0023

var(b) = var(b) = ss22//xxii22 = = 0.0023/713 =3.250.0023/713 =3.25x10x10-4-4

SE(b) : b’nin standard hatasıSE(b) : b’nin standard hatası == karekök(3.25karekök(3.25x10x10-4-4) =0.0018) =0.00181. b1. b ±± SE(b) = 0.10 SE(b) = 0.10 ±± 0.0018 0.0018

bb’nin hassasiyeti’nin hassasiyeti

b’nin hassasiyeti bb’nin hassasiyeti b ±± SE(b) = 0.10 SE(b) = 0.10 ±± 0.0018 0.0018 şeklinde ifade edilebileceği gibi şeklinde ifade edilebileceği gibi diğer bir yol da güvenilirlik aralığını diğer bir yol da güvenilirlik aralığını belirtmek olabilir. belirtmek olabilir.

Güvenilirlik aralığı: b Güvenilirlik aralığı: b ±± t tvv=5=5,, SE(b) SE(b)

%95 güven aralığı için: t = 2.57%95 güven aralığı için: t = 2.57 0.1 0.1 ±± (2.57)(0.0018) = 0.1 (2.57)(0.0018) = 0.1 ±± 0.0046 0.0046 = =

b = [0.095,0.105]b = [0.095,0.105]