Le c t u r e 4 | 1

ลิมิตเกียวกับอนันต์และลบอนันต์

พิจารณาฟังก์ชนั

เมือ มีค่าเข้าใกล้

จากตารางจะเห็นได้วา่เมือ เข้าใกล้ จากทางซ้าย

ค่า ลดลงอย่างไม่มีขีดจาํกัด ลกัษณะเช่นนีเรา

จะกลา่ววา่

ష

อา่นวา่ ``ลิมิต เมือ เท่ากับลบอนันต์”

เป็นสญัลกัษณ์ (ไมใ่ช่จํานวน) ทีแทนพฤติกรรม

ลิมิตไมม่คีา่ชนิดลดลงอย่างไม่มีขีดจาํกัด

Le c t u r e 4 | 2

เมือ เข้าใกล้ จากทางขวา ค่า เพมิขนึ

อย่างไม่มีขีดจาํกัด ลกัษณะเช่นนีเราจะกล่าวว่า

శ

อา่นวา่ ``ลิมิต เมือ เท่ากับอนันต์”

เป็นสญัลกัษณ์ (ไม่ใช่จํานวน) ทีแทนพฤติกรรม

ลิมิตไมม่คีา่ชนิดเพมิขนึอย่างไม่มีขีดจาํกัด

Le c t u r e 4 | 3

พิจารณาฟังก์ชนั

จากกราฟ

จะเหน็ได้วา่เมอื เข้าใกล้ (ทงัทางซ้ายและทางขวา)

ค่า มีค่ามากขึนอย่างไม่มขีีดจํากดั ดงันนัเราจะ

กล่าววา่

Le c t u r e 4 | 4

ตัวอย่าง จากกราฟของฟังก์ชนั

จงพิจารณาลิมิตซ้ายลิมติขวาและลิมิตเมือ เข้าใกล้

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 5

ตัวอย่าง จากกราฟของฟังก์ชนั

จงพิจารณาลิมิตซ้ายลิมติขวาและลิมิตเมือ เข้าใกล้

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 6

กฏลิมิตอนันต์ ( ) พิจารณาลิมิต

ให้

ถ้าข้อใดข้อหนึงต่อไปนีเป็นจริง

1. และ เมือ มีค่าเข้าใกล้

2. และ เมือ มีค่าเข้าใกล้

จะได้ว่า

Le c t u r e 4 | 7

ตัวอย่าง จงแสดงว่า

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 8

กฏลิมิตลบอนันต์ ( ) พิจารณาลิมิต

ให้

ถ้าข้อใดข้อหนึงต่อไปนีเป็นจริง

3. และ เมือ มีค่าเข้าใกล้

4. และ เมือ มีค่าเข้าใกล้

จะได้ว่า

Le c t u r e 4 | 9

ตัวอย่าง จงหาลิมติ(ถ้ามี)

ในกรณีทีลิมิตไมม่คีา่ให้บอกว่าลิมิตเป็นอนนัต์หรือลบ

อนนัต์หรือไม ่

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 10

หมายเหต กฏลิมิตอนนัต์ใช้ในการหาลิมิตซ้ายลิมิตขวา

ได้ด้วย เช่น

ถ้า

ష ష

โดย และ เมอื จะได้ว่า

ష

ถ้า

శ శ

โดย และ เมอื จะได้ว่า

ష

Le c t u r e 4 | 11

ตัวอย่าง จงหาลิมติ(ถ้ามี)

ష శ

ในกรณีทีลิมิตไมม่คีา่ให้บอกว่าลิมิตเป็นอนนัต์หรือลบ

อนนัต์หรือไม ่

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 12

ตัวอย่าง จงหาลิมติ(ถ้ามี)

ష శ

ในกรณีทีลิมิตไมม่คีา่ให้บอกว่าลิมิตเป็นอนนัต์หรือลบ

อนนัต์หรือไม ่

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 13

ตัวอย่าง จงหาลิมติ(ถ้ามี)

ในกรณีทีลิมิตไมม่คีา่ให้บอกว่าลิมิตเป็นอนนัต์หรือลบ

อนนัต์หรือไม ่

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 14

ตัวอย่าง จงหาลิมติ(ถ้ามี)

శ

ในกรณีทีลิมิตไมม่คีา่ให้บอกว่าลิมิตเป็นอนนัต์หรือลบ

อนนัต์หรือไม ่

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 15

บทนิยาม ถ้าฟังก์ชนั มีลิมิตซ้าย หรือ ลิมิตขวา

หรือลิมิต เมือ เข้าใกล้ เป็น หรือ

จะเรียกเส้นตรงในแนวดิงที ว่าเส้นกาํกับ

แนวดิงของกราฟของ

Le c t u r e 4 | 16

ตัวอย่าง จงหาเส้นกํากบัแนวดิงทงัหมดของกราฟของ

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 17

ตัวอย่าง จงหาเส้นกํากบัแนวดิงทงัหมดของกราฟของ

วิธีทํา

Le c t u r e 4 | 18

ตัวอย่าง จงหาเส้นกํากบัแนวดิงทงัหมดของกราฟของ

วิธีทํา