KUANTUM AYAR ALAN TEORİLERİNİN KUANTİZASYONU VE STANDART MODEL

7/23/2019 KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VE STANDART MODEL

1/83

KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNNKUANTZASYONU VE STANDART MODEL

QUANTIZATION OF QUANTUM GAUGE FIELD

THEORIES AND THE STANDARD MODEL

MEHMET KEMAL GM

PROF. DR. MGE BOZ EVNAY

Tez Danman

Hacettepe niversitesi

Lisansst Eitim-retim ve Snav Ynetmeliinin

Fizik Mhendislii Anabilim Dal iin ngrd

YKSEK LSANS TEZ olarak hazrlanmtr.

2015


2/83


3/83


4/83

ZET

KUANTUM AYAR ALAN TEORLERNN KUANTZASYONU VESTANDART MODEL

Mehmet Kemal GM

Yksek Lisans, Fizik Mhendislii Blm

Tez Danman: Prof. Dr. Mge BOZ EVNAY

Haziran 2015, 73 sayfa

Bu almann temel amac, ada fiziin hemen her alannda temel omurga haline gelmi

olan ayar teorilerinin kuantizasyon probleminin incelenmesidir. Bu dorultuda, bal sistem-

ler olan ayar teorilerinin kuantizasyonu, Dirac kanonik kuantizasyon yntemi ve Feynman

yol integrali kuantization formalizmi zerine ina edilmi olan Faddeev - Popov yntemi kap-

samnda karlatrmal olarak ele alnmtr. Ayar teorilerinin kuantizasyonunda en nemli

ve incelikli konu olan ayar tespit sreleri zerine zel dikkat sarfedilmitir. Bu srelerin

kanonik formalizmde son derece karmak olmasna karn, Faddeev - Popov yol integrali

formlasyonunda ok daha kolay ve dorudan halledilebilirler. Bu matematiksel ve estetik

stnlkler, fonksiyonel yol integrali formalizmini ve Faddeev - Popov metodunu, alan ku-

antizasyonu balamnda, merkezi bir noktaya tamtr. almann son evresinde ayar tespit

srecinin bir sonucu olarak ortaya kan, BRST simetrisi olarak adlandrlan, bir kalt simetri

zerinde allm ve ayar teorilerinin renormalizasyonu balamndaki nemli rolne iaret

edilmitir.

Anahtar Kelimeler:Yang - Mills teorisi, bal sistemlerin kuantizasyonu, Dirac kanonik

kuantizasyon metodu, ayar tespiti, yol integrali kuantizasyonu, Faddeev - Popov yntemi,

BRST simetrisi.

i


5/83

ABSTRACT

QUANTIZATION OF QUANTUM GAUGE FIELD THEORIES ANDTHE STANDARD MODEL

Mehmet Kemal GM

Master of Science, Department of Physics Engineering

Supervisor: Prof. Dr. Mge BOZ EVNAY

June 2015, 73 pages

The main purpose of this study is to review the quantization problem of gauge theories which

have become the fundamental backbone in the modern physics. The quantization of gauge

theories, which are constrained systems, were considered in the frameworks of the canonical

quantization method of Dirac, and the Feynmans path integral formalism, using Faddeev -

Popov method, comparatively. The gauge fixing processes, which are the most important and

subtle issues in the quantization of gauge theories, were paid particular attention to. Although,

these processes are extremely complex in the canonical formalism, they can be handled easily

and straightforwardly in the context of the Faddeev Popov method. These mathematical and

aesthetical advantages have elevated the functional Path Integral Formalism and the Faddeev

- Popov method to a central position in the area of field quantization. In the last stage of the

study, a residual symmetry, known as BRST symmetry, which occures as a result of the gauge

fixing processes, was reviewed, and its important role in the context of the renormalization

of gauge theories was discussed.

Keywords:Yang - Mills theory, quantization of constrained systems, Diracs canonical qu-

antization method, gauge fixing, path integral quantization, Faddeev - Popov ansatz, BRST

symmetry.

ii


6/83

TEEKKR

Yksek lisans tez almam sresince, bu almann titizlikle yaplmasn salayan ve des-

tekleyen danmanm Sayn Prof. Dr. Mge Boz Evinaya; engin birikimi ve sabryla bana

rehberlik eden ve beni destekleyen Sayn Prof. Dr. Namk Kemal Paka; bu tez sresince

yardmlarn, moral desteklerini ve dostluklarn esirgemeyen tm arkadalarma ve destek-

lerini yanmda hissettiim anneme ve babama, tm itenliim ve minnettarlmla teekkr

ederim.

Bu tezin son evrelerinde, 014 A602 006 nolu CERN-LHC-CMS Projesi erevesinde Ha-

cettepe - CERN Bilimsel birliine lk Adm isimli alt yap projesi destei ile CERN-CMS

yelii gerekletirilmitir. Yaplan teorik almalarn uygulamalarna ynelik ileri eitim

evresinin anlan BAB Projesi erevesinde 2015 yaznda CERNe yaplacak ziyaret aracl

ile gerekletirilmesi planlanmaktadr. Projenin salad motivasyon ve potansiyel olanaklar

iin niversitemiz yetkililerine itenlikle teekkr ederiz.

iii


7/83

GSTERMLER VE KISALTMALAR

Gsterimler

g=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Minkowski metrii

c= 1 = Doal Birim sistemi

ciki=

iciki Einstein Toplam Kural

Ksaltmalar

1PI Tek Nokta Etkileimi (1 Point Interaction)

QCD Kuantum Renk Dinamii (Quantum Chromodynamics)

QED Kuantum Elektrodinamii(Quantum Electrodynamics)

QG Kuantum Ktle ekim (Quantum Gravity)

SM Standart Model (Standard Model)

WI Zayf Etkileimler (Weak Interactions)

iv


8/83

NDEKLER

Sayfa

ZET............................................................................................................................... i

ABSTRACT .................................................................................................................... ii

TEEKKR..................................................................................................................... iii

GSTERMLER VE KISALTMALAR ........................................................................... iv

NDEKLER ................................................................................................................ vEKLLER ......................................................................................................................vii

1. GR........................................................................................................................... 1

2. YEREL AYAR DNMLER VE AYAR KURAMLARI...................................... 3

2.1. Global Faz Dnm ve Yerel U(1) Ayar Dnm............................................... 3

2.2. SU(N) Ayar Dnm ve Yang-Mills Teorisi .......................................................... 6

3. DIRACIN KANONK KUANTZASYON YNTEM VE AYAR ALANLARI-

NIN KANONK KUANTZASYONU .........................................................................11

3.1. Mekanik Sistemler iin Diracn Kanonik Kuantizasyon Yntemi ..............................11

3.2. Birinci Snf Balar ve Ayar Dnmleri..................................................................18

3.3. Abelyen Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu....................................................20

3.4. Abelyen Olmayan Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu.....................................25

3.5. Dirac ddias ve Ayar Teorileri...................................................................................31

4. YOL NTEGRAL YNTEM VE AYAR ALANLARININ YOL NTEGRAL

YNTEM LE KUANTZASYONU ..........................................................................33

4.1. Yol ntegrali Yntemi................................................................................................33

4.1.1. Kuantum Alanlar in Yol ntegrali Formalizmi ......................................................33

4.1.2. Balantl Diyagramlarn reteci.............................................................................354.2. Faddeev - Popov Yaklam .......................................................................................38

4.3. Ayar Alanlarnn Feynman Kurallar ..........................................................................43

5. BRST SMETRS .......................................................................................................48

5.1. BRST Simetrisi..........................................................................................................48

5.2. Ward (Slavnov - Taylor) zdelikleri ........................................................................54

6. SONU........................................................................................................................57

A.NOETHER TEOREM.................................................................................................59

B.GRASSMANN NTEGRALLER................................................................................62C.YOL NTEGRALNN NASI VE GE GENLKLER..........................................66

v
http://-/?-http://-/?-


9/83

D.POISSON PARANTEZLERNN DAILMA ZELL...........................................70

KAYNAKLAR ................................................................................................................71

ZGEM.....................................................................................................................73

vi


10/83

EKLLER

Sayfa

ekil 4.1. nc mertebedeW[J]ve []arasndaki ilikinin grafik temsili...........38

ekil 4.2. Faddeev - Popov Determinantnn diagramatik gsterimi............................41

ekil A.1. Eylemin deiimi .......................................................................................59

ekil C.1. Yol integralini hesaplanabilmesi iin, yol ncelikle ok saydaki ara

noktalar zerinden kesikli hale getirilir................................................................66

ekil C.2. Yol integrali, konfigrasyon uzaynda iki noktay birletiren tm olas

yollar zerinden toplam ierir. ............................................................................67

vii


11/83

1.GR

4 Temmuz 2012de CERNde Higgs bozonunun deneysel olarak gzlemlendiinin ilan edil-

mesiyle tamamlanan Standart Modelin iskeletini oluturan ayar alan kuramlar, doadaki

etkileimleri aklamada kullanlan en gl aralardr.

Ayar simetrisine sahip bilinen en eski teori, Maxwellin formle ettii elektromanyetik te-

oridir. Daha sonra Einstein denklemlerinin de benzer bir simetriyi ierdii Hilbert tarafndan

gsterilmitir.Ayarkavram ilk kez bu iki teoriyi birletirmeye alan Hermann Weyl ta-

rafndan demiryollarndaki ray ls teriminden (track gauge/scale) esinlenerek kullanl-

mtr. Weylin bu iki kuram birletirme abas boa kmasna ramen, ayar kelimesinin

kullanmna devam edilmitir ve kuantum mekaniinin gelitirilmesiyle lek kavram U(1)

simetrisine denk gelen bir faz deimezliine karlk kullanlmaya balanmtr. Bu ere-

vede, ykl nesneler arasndaki etkilemeyi salayan kuvvet tayc alanlarn sistematik bir

ekilde sisteme dahil edilmesi mmkn olmutur [1][2][3].

Kronolojik olarak daha nce Kuantum Elektrodinamiini (QED) modellemede kullanlan

Abelyen U(1) ayar alan kuramnn 1954te Chen Ning Yang ve Robert Mills tarafndan

SU(N) gruplar iin geniletilmesiyle, Elektrozayf ve kuvvetli etkileimlerin (Kuantum

Renk Dinamii - QCD) de ayar alan kuramlar ile modellenmesinin n almtr [4]. Elekt-

rozayf etkileim SU(2)grubu ile modellenirken, kuvvetli etkileimlerSU(3)grubu ile mo-

dellenir.

Ayar alanlarnn kuantizasyonu yukarda bahsedilen temel etkileimin kuantum kuram

erevesinde aklanabilmesi iin gereklidir. Ancak ayar kuramlarnn en belirgin ve bilinen

zellii olan artk serbestlik derecelerine sahip olmalar, sistemin bilinen standart kuan-

tizasyon yntemleri ile kuantize edilmesini engeller. Bu tip fiziksel sistemler; yani sistemi

matematiksel olarak betimleyen alanlarn serbestlik derecelerinin, doada gzlemsel olarak

saptanan serbestlik derecelerinden daha yksek olduu sistemler, bal fiziksel sistemler ola-

rak adlandrlr.

Bal sistemlerin kuantizasyonundaki bu incelik ilk olarak Dirac tarafndan kanonik kuanti-

zasyon yntemi erevesinde ele alnmtr [5]. Bu yntem daha sonra Anderson, Bergman

ve dierleri tarafndan gelitirilmitir [6].

Bal sistemlerin kanonik erevede kuantizasyonu iin 1980lerin sonunda Faddeev ve Jac-

kiw, Diracn kanonik Hamilton ynteminden daha kestirme ve ekonomik bir yntem ortaya

atmtr [7]. Bu yntem Diracn ynteminin aksine sistemin balarn batan tretip bunlar

snflandrmak yerine teoride ba denklemlerinin adm adm zlmesini ve yol boyu siste-

min artk serbestlik derecelerinin elenmesini ierir.1960larn sonunda ayar alan kuramlarnn Feynmann yol integrali formalizmi erevesinde

1


12/83

kuantize edilebilmesi iin Faddeev ve Popov bir yaklam ortaya atmlardr [8]. Ayar kuram-

larnn renormalize edilebilirlii ise tHooft, Slavnov ve Taylorun ncl ve daha birok

bilim insannn katklaryla gsterilmitir [9][10][11].

Ayar alanlar Faddeev - Popov yaklam erevesinde kuantize edilirken teoriye fiziksel ol-

mayan baz hayalet paracklarn dahil edilmesi gerektii saptanmtr. Bu hayalet parack-

lar Faddeev - Popov hayaletleri olarak adlandrlrlar. Bu yeni paracklarn varl, kuramda

yeni bir simetriye yol aarlar. Bylece Faddeev - Popov yaklam ile ayar sabitlemesi ya-

plarak kuantize edilen teori, artk ayar simetrisini kaybederken, orijinal simetrinin kalnts

yeni bir fermiyonik simetriye sahip olur. Bu simetri ilk olarak Becci, Rouet Stora ve onlar-

dan bamsz olarak Tyutin tarafndan gsterilmitir ve bu bilim insanlarna ithafen BRST

simetrisi olarak adlandrlmtr [12][13][14].

Bu almada, esas olarak yukarda bahsedilen kuantizasyon yntemlerinden Diracn ka-

nonik ve Faddeev ile Popovun yol integrali yaklamlar ksaca zetlenerek, Abelyen ve

Abelyen olmayan ayar alan kuramlarnn bu yntemlerle nasl kuantize edildii allmtr.

almann ikinci blmnde klasik alan kuram balamnda ayar alan kuramlar ve ayar

simetrileri ksaca tantlmtr.

nc blmde, Dirac kanonik kuantizasyon yntemi detayl bir biimde incelenerek Ma-

xwell ve Yang - Mills teorilerinin bu yntemle kuantizasyonu allmtr. Burada zellikle

ayar saptama konusu ayrntyla tartlm ve bu srecin kanonik Hamiltonyen erevesinde

ne denli karmak ve zahmetli olduu gzlemlenmitir. Abelyen durumda ok fazla zorlan-madan stesinden gelinebilen bu husus, Abelyen olmayan durumda neredeyse baedilemez

boyutlara ular.

Buna karlk bu konu Faddeev - Popov formalizmi erevesinde son derece basit ve k bir

ekilde zlebilmektedir. Dier hesaplama stnlkleri yannda bu balamdaki rahatl da,

neden bu yntemin giderek, zellikle ayar teorileri iin, standart kuantizasyon yntemi haline

geldiini gstermektedir.

Drdnc blmde Yol integrali yntemi ksaca zetlenerek, Yang - Mills teorisinin Faddeev

- Popov yaklam ile nasl kuantize edilecei detaylca gsterilmi ve bu erevede teorininFeynman kurallar tretilmitir.

Son blmde ise Faddeev - Popov yaklamnn bir sonucu olarak teoride ortaya kan BRST

simetrisi incelenmi, bu balamda Faddeev - Popov hayaletlerinin fiziksel durumlar tarafn-

dan ierilemeyecei ksaca gsterilmitir. Daha sonra kuramn renormalize edilebilirlii iin

kilit neme sahip olan Ward (Slavnov - Taylor) zdelikleri tretilmitir.

Bu almalar yaplrken Feynman yol integrali formalizminin yannda kullanlan klasik alan

kuramnda r ac bir teorem olan Noether teoremi ve Faddeev - Popov hayaletlerinin

yol integrallerinin hesaplanmas iin gerekli olan Grassmann integralleri almann sonundaekler ksmnda zetlenmitir [15].

2


13/83

2.YEREL AYAR DNMLER VE AYAR KURAMLARI

Yerel ayar simetrisi alanlarn fazlarnn her uzay-zaman noktasnda birbirlerinden bamsz

seilebilme ilkesine dayanr. Yerel ayar simetrisine sahip olan kuramlar ayar kuramlar olarak

adlandrlrlar. Bu srekli gruplar bir Lie grubu olutururlar ve teorinin simetri grubuveya

ayar grubuolarak adlandrlrlar.

Klasik bir alan teorisinde mevcut global faz simetrileri yerelletirmek istendiinde Lagranji-

yene ayar alan ad verilen vektr alanlarnn eklenmesi gerekir. Bylece teorideki alanlarn

temsil ettii paracklar arasndaki etkileme, sisteme k bir biimde dahil edilmi olur.

Ayar grubuU(1)olan Kuantum Elektrodinamii (QED), bir tane ayar alanna sahiptir ki, bu

da foton olarak bildiimiz parac temsil eder.

2.1.Global Faz Dnm ve Yerel U(1) Ayar Dnm

Greli kuantum mekaniinde serbest maddesel paracklar, rnein elektron, Dirac denkle-

minin zmleri olan spinr alanlar ile betimlenirler. Bu serbest spinr alanlarn Lagranjiyen

younluu1 (Dirac Lagranjiyeni),

L =i m (2.1)

dnm parametresi,, reel skaler bir sabit veg, etkileim sabiti olmak zere

U eig (2.2)

eklinde tanmlanm global faz dnm altnda deimez kalr.

Eitlik (2.2)deki global dnmn parametresi, (x) gibi uzay-zamann bir fonksiyonu

olarak deitirilerek dnm yerel hale getirilebilir. Bu dnm altnda Eitlik (2.1)deki

Lagranjiyen artk deimez kalmaz. nk nn uzay-zaman trevlerini ieren terimleri de

artk dnm Lagranjiyene eklenecektir:

L L = L g (2.3)

Yerel ayar dnmleri altnda Lagranjiyeni deimez brakmak iin, Eitlik (2.1)deki tre-

vin kovaryant trevle deitirilerek, Lagranjiyene ile etkileen bir vektr alan eklenmesi

gerekir:

D +igA . (2.4)

1Bundan sonra ksaca Lagranjiyen olarak anlacaktr.

3


14/83

Bu durumda yeni Lagranjiyen,

L =iD m (2.5)

olur.Eitlik (2.5)teki Lagranjiyenin deimezliinin salanabilmesi iin, Dningibi dn-

mesi gerekir:

(D) D

=U(D) . (2.6)

Bu durumda,Aayar alannn dnm kural

D =

(+igA

) (eig(x)

)=eig(x) () +igAe

ig(x) (2.7)

ifadesinden (ig) +igA

= [igA]

A = A . (2.8)

eklinde bulunur.

Bylece yerel ayar dnmleri altnda deimez kalan bir Lagranjiyen ina edilmi olur.

Ancak yeni Lagranjiyen Ann dinamik terimlerini de iermelidir. Vektr alan iin anti-

simetrik alan iddeti tensr

F i

g[D, D] =A A (2.9)

tanm ile, ayar alan iin dinamik Lagranjiyen terimi

LA= 1

4FF (2.10)

eklinde ifade edilir. Burada alan iddeti tensrnn bileenleri

F0i = Ei

1

2ijk F

jk = Bi (2.11)

olmak zere,Fnn kontravaryant matris gsterimi

F

0 E1 E2 E3

E1 0 B3 B2

E2 B3 0 B1

E3 B2 B1 0

(2.12)

4


15/83

formundadr.

Yerel ayar simetrisini ihlal edecei iin, ayar alan Lagranjiyeninde A2 gibi bir terim ol-

mamas gerekir. Kolayca gsterilebilecei gibi, anlan A2 terimi vektr alannn ktlesinin

karesine kar gelmektedir. Dolaysyla ayar simetrisine sahip olan bir vektr alann ktlesiz

olmas gerekir. Sonu olarak yerel ayar dnmleri altnda deimez kalan Lagranjiyen

L =

iD m

1

4FF (2.13)

eklinde yazlabilir.

Ayar alanlar iin hareket denklemi, Euler - Lagrange denkleminden

F g= 0 (2.14)

olarak elde edilir.

YerelU(1)ayar dnmleri iin Noether Akm, Eitlik (A.2)den yola klarak

j = L

(A)A+

L

() +

L

(

) (2.15)

eklinde tanmlanr. Eitlik (2.2) ve (2.8)den alanlarn ayar dnmleri altnda sonsuzkk

deiimleri

A =

= ig

= ig (2.16)

gz nne alndnda, Noether akm

j =F g. (2.17)

formunda bulunur. Dolaysyla, Eitlik (2.11) kullanlarak ve Eitlik (A.3)den hareketle, No-

ether yk

Q =

d3xj0 =

d3x

(Eii g

0)

=

d3x

(iE

i g)

=

d3xG (x) (2.18)

eklinde elde edilir. Burada G (x), klasik elektromanyetik kuramdan hatrlanaca zere, Ma-

5


16/83

xwell hareket denklemlerinden birini oluturan

G (x) = E = 0 (2.19)

Gauss yasasnn kuantum operatr karldr. Gauss yasasnn kuantize edilmi alanlarnayar dnmlerinin jenaratr olduu ileride ayrntl bir ekilde gsterilecektir.

2.2.SU(N) Ayar Dnm ve Yang-Mills Teorisi

Aralarnda etkileme olmayan N tane Dirac alan ele alndnda, sistemin Lagranjiyeni

L =iaa maaa, a= 1, 2, . . . , N (2.20)

eklinde ifade edilebilir. Ktlelerin eit olduu durumda

1

...

N

ve 1 N (2.21)

tanmlar yaplarak, Lagranjiyen daha kompakt bir biimde

L =i m (2.22)

formunda yazlabilir. Grld zere bu Lagranjiyen global birSU(N) simetrisine sahiptir.

Bu ifadenin, a, a= 1, 2, 3 , uzay-zamann reel skaler fonksiyonlar ve Ta, SU(N) grubunun

anti-Hermityen jenaratrleri2 olmak zere,

=U

U e, = gTaa (2.23)

eklinde tanmlanan global dnm altnda deimez kalmas gerekir. Bu simetriyi yerel-

letirmek iin,

A gTaAa (2.24)

2SU(N)iinTalar grubun anti-Hermityen jeneratrleri olmak zere SU(N)grubunun Lie cebiri ve nor-malizasyonu yledir:

Ta, Tb

= fabcTc

Tr

(TaTb

) =

1

2ab

6


17/83

matris deerli bir vektr potansiyel olmak zere,

D I+A (2.25)

kovaryant trevi tanmlanabilir. Bu, kovaryant trevin temel gsterimdeki halidir. Lagranji-yenin deimez kalmas iin alann kovaryant trev de

D D

=U(D) (2.26)

eklinde dnmelidir:

(I+A

)U =U[(I+A) ] . (2.27)

Bu ifadeden hareketle, ayar alanlarnn dnm kuralnn

U() + (U) +AU = U() +U A (2.28)

ara basama gz nne alnarak

A=U AU1 (U) U

1 (2.29)

olmas gerektii bulunur. Eersonsuzkk bir parametre ise, dnm,

A=A D (2.30)

eklinde ifade edilebilir. Burada Dkovaryant trevin adjoint temsildeki ifadesidir ve ak

hali

D I+ [A, (2.31)

olarak gsterilir. Dolaysyla yerel SU(N)ayar dnmleri altnda deimez kalan Lagran-

jiyen

L=iD

m (2.32)

formunda yazlabilir.

Yapy tamamlamak iin bu Lagranjiyene ayar alanlarnn kinetik teriminin de eklenmesi ge-

rekir. Kinetik terimin mevcut Abelyen olmayan durumda belirlenebilmesi iin, Abelyen du-

rumdan ipular karlabilir. Eitlik (2.25)te tanmlanan temel temsildeki kovaryant trev-

ler iin, Eitlik (2.9)dakine benzer yaklamla, Abelyen olmayan alan iddet tensr, matris

temsilinde

[D, D] = A A+ [A, A] F (2.33)

7


18/83

eklinde bulunur. Eitlik (2.24)teki matris gsterimi tanmndan hareketle

F= gFa

Ta (2.34)

yazlabilir ve bu ifadeden

Fa=Aa A

a gf

abcAbAb (2.35)

elde edilir. Buradafabc kompaktSU(N)grubunun yap sabitidir.

Lagranjiyene (2.33)te gsterilen alan iddeti ile yazlan kinetik terim eklenirse, nihai Lag-

ranjiyen

L =iD m 1

4FaF

a (2.36)

formunda olacaktr. Burada SU(N) gruplarnn normalizasyon zellii kullanlarak, ayaralanlarnn kinetik terimi

LA = 1

4FaF

a = 1

2g2T r (FF

) (2.37)

eklinde de yazlabilir.

Ayar alanlar iin Euler-Lagrange denklemleri, vektr potansiyelin deiimine karn eyle-

min deimez kalmas ilkesi gerei dorudan elde edilirler3. ncelikle Adeki sonsuzkk

deiimlerin,Fde yaratt deiiklie baklrsa;

F = A A+ [A, A] [A, A]

F = DA DA (2.38)

bulunur. Eylemdeki deiim ise;

S =

d4x

1

2g2T r [(FF

)] +i(

D)

=

d4x1g2

T r (FF) +i (A) =

d4x

1

g2T r [F(D

A DA)] +i (A)

=

d4x

2

g2T r [F(D

A)] +i (A)

(2.39)

olur. Birinci terimde ksmi integrasyon kullanlrsa,

S= d4x 2g2 T r [(DF) A] +iA +yzey terimleri (2.40)3Kukusuz bu ana basamak atlanp, Euler - Lagrange denklemleri kullanlarak da bulunabilirler.

8


19/83

bulunur. Bu mertebedeki deiimler altndaS = 0olmas gerektiinden, Eitlik (2.24)de

yer alan tanm da kullanlarak hareket denklemi

(DF)a +igb

(Ta)bc c= 0 (2.41)

eklinde elde edilir.

Eitlik (2.25)te tanmlanan kovaryant trev operatrleri iin de Jacobi zdelii:

[D, [D, D]] + [D, [D, D]] + [D, [D, D]] = 0 (2.42)

formunda yazlabilir. Bu ifadeden hareketle Eitlik (2.33)te kullanlarak, Bianchi zdelii

elde edilir:

[D, F] = 0 . (2.43)

Dual alan tensr

F =1

2F (2.44)

eklinde tanmlandnda,

[D, F] = DF (2.45)

ifadesi de kullanlarak, Eitlik (2.43)

DF = 0 (2.46)

formunda yazlabilir. Bu ifadenin, hareket denklemlerinin bir sonucu olmadnn vurgulan-

mas gerekir.

SU(N)Ayar dnmleri iin, Noether akm; Eitlik (2.23) ve (2.29)dan yararlanlarak,

alanlarn ayar dnmleri altnda sonsuzkk deiimleri,

Aa = Dab

b

a = g (Tc)ab

cb

a = gb(Tc)ab

c (2.47)

ve Eitlik (A.2)nin de kullanlmasyla,

j = F,aDac c iga

(Tc)ab cb (2.48)

9


20/83

eklinde bulunur. Bu durumda, Noether yk

Q =

d3xj0 =

d3x

(F0,aDac

c iga(Tc)ab

cb)

=

d3

x (Daci Ei,a iga(Tc)ab b) c=

d3xGc (x) c (2.49)

formunda elde edilir. BuradaGc ile gsterilen terim Abelyen olmayan alanlar iin Gauss ya-

sasdr. Maxwell durumunda belirtildii gibi, bu korunumlu ykn, kuantize edilmi alanlarn

ayar dnmlerinin jeneratr olduu ileride ayrntl bir ekilde gsterilecektir.

10


21/83

3.DIRACIN KANONK KUANTZASYON YNTEM VE AYARALANLARININ KANONK KUANTZASYONU

3.1.Mekanik Sistemler iin Diracn Kanonik Kuantizasyon Yntemi

Bilindii gibi konfigrasyon uzaynda L (qi,qi) , i = 1, 2,...,Ngibi bir Lagranjiyen ile temsil

edilen sistemin faz uzaynda tanml Hamiltonyene dnm,piler kanonik momentumlar

olmak zere,

pi= L

qi (3.1)

Legendre dnm ile yaplr:

H(p, q) =piqi

L (q, q) . (3.2)

Bu dnmn tersinir olabilmesi iin konfigrasyon uzaynda birbirinden bamsz herqihzna kar, dierlerinden bamsz birpimomentumu karlk gelmelidir.Adnm mat-

risi olmak zere bu iki uzay arasndaki dnmq

p

=A

q

q

=

I 0

b b

q

q

(3.3)

eklinde tanmlanabilir. Burada b ve b, N Nboyutlu matrislerdir. qn kuadratik terimleriniieren Lagranjiyenler iin

b= b(q) ve b=b(q) (3.4)

olmaldr. Dolaysyla ters dnme karlk gelecek olan A1 matrisi

A1 =

I 0

b1b b1

(3.5)

eklindedir. YaniA1, bmatrisinin singler olmad durumda tanmldr. Eitlik (3.3)ten

grlecei zerepi momentumu,bvebmatrisleri cinsinden

pi =bijqj+ bij qj (3.6)

formunda ifade edilebildiine gre,bmatrisinin elemanlar

bij = pi

qj=

2L

qiqj(3.7)

11


22/83

olmaldr. Yani, A matrisinin tersinin var olmas iin, bnin tersinin var olmas, bunun iin

de

detb = 0 (3.8)

olmas gerekir. Aksi durumda, dnm tersinir olmayacaktr. Yani N adet birbirinden ba-

mszpi momentumu tanmlanamayacak ve sistemin Hamiltonyeni bir tek(unique) ol-

mayacaktr. Bu tip sistemler bal sistemler olarak adlandrlrlar.

bmatrisinin rankRolmak zere,R < NolduundaNtane bamsz hzn sadeceRtanesi

koordinatlar ve elenik momentumlar cinsinden yazlabilir. Ancak, burada faz uzay dei-

kenlerini birbiriyle ilikilendirenN R= Mtane daha bant vardr. Bunlara birincil ba

koullar ad verilir ve

m (q, p) =pm gm (q, p) = 0 m= 1, 2,...,M (3.9)

eklinde gsterilebilirler. Birincil ba koullar sistemin faz uzayn 2N (N R) =N+

R < 2Nboyutlu birPhiperyzeye snrlar. Bu hiperyzeye birincil ba yzeyi denir ve

2Nboyutlu hiperyzeyi tarafndan kapsanr. Yani sistemi betimleyen Hamiltonyen, bu

ba yzeyi zerinde tanmlanr. Bu noktada Diracn yapt bir tanmn devreye sokulmas

gerekir.

Herhangi ikiF, G dinamik deikeniChiperyzeyi zerinde birbirlerine eitse

F G|C = 0 (3.10)

bu iki dinamik deiken birbirlerine zayf eittir denir ve bu iliki

FG (3.11)

eklinde gsterilir. Bu durumda, Eitlik (3.9)da tanmlanan ba koulu ifadesi

m (q, p) =pm gm (q, p) 0 (3.12)

olarak yazlabilir. Bu ba koullarnn varlnda, Hamilton hareket denklemlerinin yeni for-

munun nasl olaca Hamiltonyenin deiimi ile belirlenir:

H = qipi +piq

i L

qiqi

L

qiqi

= qipi

L

qiqi . (3.13)

Bu ifadeden Hamiltonyenin sadeceqvepnin fonksiyonu olduu kolaylkla grlebilir. An-

cak bu Hamiltonyen, bir tek ekilde belirlenemez. nk qve p arasnda ba koullar

tarafndan belirlenen ekstra bir iliki var olduundan, bu ilikinin fiziksel sistemi betimle-

12


23/83

yen, Hamiltonyen iine de tanmas gerekir. Dolaysyla, sfra eit olan ba koullarnn

bir lineer kombinasyonu Hamiltonyene eklenir ve Hamiltonyen ba yzeyi zerinde

H H+ umm . (3.14)

eklinde ifade edilir. Eitlik (3.14)teumler bilinmeyen Lagrange arpanlardr. Bu eitlik

birincil ba koullarn da ierdiinden, Hamilton hareket denklemlerinin yeni formu

qi H

pi +um

m

pi , (3.15)

pi H

qi +um

m

qi (3.16)

eklindedir. Grlecei gibi hareket denklemleri bilinmeyen umparametrelerini iermektedirve buumparametreleri, tutarllk gerei,qveplerin fonksiyonlar olmaldr. Ayrca burada

Hn, birincil Hamiltonyen,Hpolarak,

Hp H+ umm (3.17)

tanmlamak mmkndr. Bu birincil Hamiltonyende yer alan ba koullar tutarllk iin za-

man iinde evrilmemelidirler. Yani

m 0 (3.18)

olmaldr. Eitlik (3.18)deki bantlar tutuarllk artlar olarak adlandrlrlar.

Klasik dinamikten hatrlanabilecei zere iki FveG dinamik deikeninin Poisson paran-

tezleri

{F, G} F

qi

G

pi

F

pi

G

qi, (3.19)

eklinde tanmlanr ve herhangi bir dinamik deikenin zamanla deiimi

F = {F, H} {F, Hp} (3.20)

eklinde ifade edilebilir. Dolaysyla Eitlik (3.20) kullanlarak, tutarllk artlar

m {m, Hp}

{m, H} +un {m, n}

hm+Cmnun0 (3.21)

bulunur. BuradaCmn, ba koullarnn Poisson parantezlerinin ina ettii matrisin elemanla-

rdr.

Eitlik (3.21)de elde edilen tutarllk artlar, yeni tutarszlklarn ortaya kmasna sebep

13


24/83

olabilirler: rnein; L= qq, Lagranjiyeni = p1ba koulu ile H=qHamiltonyenini

verir. Bu ba koulunun zamana gre trevi 1dir. Bu da yeni bir tutarszla sebep

olur. Bu tr tutarszlklarn bertaraf edilebilmesi iin, Eitlik (3.21) ile gsterilen artlar iki

farkl durum iin yeniden gzden geirilmelidir:

1. detC0durumunda Lagrange arpanlar

un Cnmhm (3.22)

eklinde tek ve sabit bir biimde belirlenir. Bu ifadede

Cnm =(

C1)

nm (3.23)

olarak tanmlanmtr. Bu tespit ile, herhangi bir dinamik deikenin zaman iindekideiimi

F {F, Hp} {F, H} + {F, m} um

{F, H} {F, m} Cmnhn

{F, H} {F, m} Cmn {n, H} (3.24)

eklinde belirlenir ve Eitlik (3.24) herhangi bir balang noktasnn ba yzeyinde

bulunmasn garantiler.

2. detC0durumunda Lagrange arpanlar belirlenemez. Eer Cnin rankR < Nise

A= N Rtanewabo zvektr vardr:

wma Cmn 0 a= 1, 2, . . . ,A. (3.25)

Eitlik (3.21) soldanwmalar ile arplrsa

hmwma 0 (3.26)

elde edilir. Bu durumda Eitlik (3.22)deki denklemler tamamen salanaca gibi,K1tane yeni ba koulu da ortaya kar:

k 0, k= M+ 1,...,M+K1 . (3.27)

Bu ba koullar ikincil ba koullar olarak adlandrlr.

kincil ba koullarnn elde edilmesinden sonra, birincil ba yzeyinden daha dk boyutlu

bu yeni ba yzeyi zerinde birincil ve ikincil ba koullar iin tutarllk artlar snanma-

sna devam edilir. Algoritma burada durabilecei gibi yeni ba koullar da ortaya kabilir.

14


25/83

Dolaysyla bu algoritma, ortaya kan her yeni ba yzeyi zerinde, tutarllk artlar belir-

lenip yeni bir ba koulu ortaya kmayncaya kadar srdrlr 1. Sonu olarak btn ba

koullar (birincil, ikincil, ncl...)

j 0, j = 1,...,M+ K J (3.28)

eklinde belirlenir. Burada birincil ba koullarnn sistemin momentumun tanmndan belir-

lendiini, ancak ikincil, ncl... ba koullarnn, birincil ba koullarnn hareket denk-

lemlerinden tretildiini hatrlatmak gerekir.

Eer ba yzeyi ba eitlikleri ile tanmlanyorsa, bu yzeyde sfr olan herhangi bir faz uzay

fonksiyonu ba koullarnn lineer kombinasyonu biiminde de yazlabilir. Hamiltonyen de

vj gelii gzel sabitler olmak zere

HE=H+ vjj (3.29)

eklinde ifade edilebilir.

Ba koullar Dirac tarafndan bir baka snflandrmaya daha tabi tutulmutur. Eer bir

F(q, p)fonksiyonu tmjba koullaryla Poisson parantezleri sfra zayf eitse,

{F, j} 0, j= 1, 2, ...,J , (3.30)

birinci snf, dier durumlarda ise ikinci snffonksiyon olarak adlandrlr. Ba koullarnn

bu ekilde, birinci, ikinci snf olarak snflandrlmas; birincil, ikincil, ncl... eklinde

snflandrlmalarndan tamamen bamszdr.

Bu noktada, birinci snf fonksiyonlar iin nemli bir teoremin vurgulanmas gerekir:

Teorem 1. Birinci snf fonksiyonlar kmesi Poisson parantezleri altnda kapaldr.

spat:EerFveG birinci snf ise Eitlik (3.30) ba koullarnn lineer komibinasyonuna

kuvvetli eit biimde yazlabilir:

{F, j} =fjj j (3.31)

ve benzer ekilde

{G, j} =gjj j (3.32)

1Algoritma u ekilde sonlanr:

1. 0 0elde edildiinde,

2. Lagrange arpanlardan birisi belirlendiinde,

3. Yeni bir ba koulu bulunmadnda.

15


26/83

olarak ifade edilebilir. Jacobi zdeliinden faydalanlarak

{{F, G} , j} = {F, {G, j} } {G, {F, j}}

= {F, gjj j} {G, fjj j}

= gjj {F, j} + {F, gjj } j fjj {G, j} {G, fjj } j

0 . (3.33)

olduu kolaylkla gsterilebilir. Bu durumda Fve Gnin Poisson parantezleri birinci snftr.

Artk sistemdeki tm ba koullar, birbirlerinden bamsz olan Itane birinci snf

i(q, p) 0, i= 1, ..., I , (3.34)

ve geriye kalanS=J Itane ikinci snf

(q, p) 0, = 1,...,S (3.35)

ba koullar olmak zere iki kategoriye ayrlabilirler.

Zamandan bamsz ba koullarnn belirlendii bu yntemde tm Lagrange arpanlar be-

lirlenebilecei gibi, bir ksm belirsiz de kalabilir. Eer sistemdeki birincil ba koullarndan

birinci snf olanlar varsa, tm ba koullarnn belirlenmesi sonucunda hala birincil Hamil-

tonyende belirlenememi Lagrange arpanlar kalr.2 Bu belirlenemeyen Lagrange arpanla-rnn says birincil ba koullarndan birinci snf olanlarnn says kadardr.

Birinci snf ba koullar, daha sonra ayrntl ekilde incelenecek olan yerel ayar deimez-

lii ile ilikilerinden tr, zel nem tarlar.

Dirac tarafndan yeni bir cebir tanmlamak amacyla, ikinci snf ba koullarnn, elemanlar

= {, } , (3.36)

eklinde tanmlanan birmatrisi ina ettii gsterilmitir. Bir sonraki aamada kullanlmakzere bu matrisin baz zelliklerini gzden geirmek gerekir: kinci snf ba koullarnn,

1. matrisi singler deildir. Yani matrisinin determinant ba koullar tarafndan

tanmlanan en kk ba yzeyi,C, zerinde sfrdan farkldr:

det 0 . (3.37)

2Maxwell alan kuram iin de tutarl bir Hamilton formalizmi tanmlamak iin ayar sabitleme koullarnaihtiya vardr ve bu ayar sabitleme koullarn birinci snf ba koulu olacak ekilde semek gerekir (Bkz.

Blm 3.2).

16


27/83

Aksi durum varsaylarak bu ifade ispatlanabilir. Eersinglerse ve

ra =r {, } 0 (3.38)

koulunu salayanr2

= 0karakterine sahip birrvektr (null vector) var ise ikincisnf ba koullarnn zayf eitlii kullanlarak Eitlik (3.38),

{r, } 0 (3.39)

eklinde yazlabilir verayrca birinci snf ba koullaryla da sra deitirebilir.

Bu da daha nce birinci snf ba koullar iin Eitlik (3.30)da yaplan tanmla eliir.

Yani,matrisinin determinant sfrdan farkl olmaldr.

2. matrisi antisimetriktir. Bundan dolay matrisin boyutu ift olmaldr. Bir dier de-yile, ikinci snf balarn says olan Sift say olmaldr.

3. kinci snf ba koullar iin tutarllk koulu yazlrsa

= {, H} +v {, } 0

= {, H} +v 0 (3.40)

eitliine ulalr. Dolaysyla det 0zellii gz nnde bulundurulduunda, Eit-

lik (3.40)daki denklemlerv

lar iin zlebilir.

Bu noktada artk sistemin kuantizasyon ilemine geilebilir. Bir sistem kuantize edilmek

istendiinde, faz uzaynn temel deikenleri olan konum ve elenik momentuma Hilbert

Uzaynda tanml kuantum ilemciler kar getirilir. Bu tr iki ilemcinin komtasyon ba-

ntlar da kuantum Hilbert uzaynn elemandr. Herhangi iki kuantum operatr olanFve

Giin kuantum komtatr F , G

i {F, G} (3.41)

eklinde gsterilir ve bu durumda ba koulu bantlar | gibi bir kuantum durumu zerinesnrlama getiren kuantum ilemciler olarak ele alnr. Dolaysyla

{1, 2} 0

1,2

| =i {1, 2} | = 0 (3.42)

eklinde bir edeerlik salanr. Eitlik (3.42)den grlecei zere, kapallk zelliklerinden

tr, yalnz birinci snf ba koullarna sahip sistemler iin klasik kuramdan kuantum ku-

ramna gei yaplabilir. Ancak sistemin Lagrange arpanlar da sistemde ikinci snf balar

olmadan hesaplanamaz.

Bu problemi amak maksadyla, Dirac; ikinci snf ba koullar iin, ba yzeyi zerinde

birinci snf gibi davranabilmelerini salayacak yeni bir cebir tanmlamtr. kinci snf ba

17


28/83

koullarnn Poisson parantezleri, Dirac parantezleri ile deitirilip; karlk gelen komta-

trleri sfra kuvvetli eit hale getirilerek kuantizasyon yaplabilir.

Herhangi iki faz uzay deikeni iin Dirac parantezi

{F, G}D {F, G} {F, } {, G} (3.43)

eklinde tanmlanr. Burada ()1 olup, = dr. Eitlik (3.36)dan

kolaylkla grlecei zere herhangi bir faz uzay fonksiyonunun ikinci snf ba koullaryla

Dirac parantezleri sfrdr:

{F, }D = {F, } {F, } {, }

= {F, } {F, }

= {F, } {F, } = 0 . (3.44)

Poisson parantezlerinin tm zellikleri Dirac parantezleri tarafndan da salanr. Tm birinci

snf ve ikinci snf ba koullarnn Dirac parantezleri sfra zayf eit olur.

Son olarak bir faz uzay fonksiyonunun Hamiltonyeni ile Dirac parantezine baklrsa

{F, H}D = {F, H} {F, } {, H} (3.45)

bulunur. Hamiltonyenin tm ba koullaryla Poisson parantezi sfra zayf eit olaca iin

ikinci terim sfra zayf eit olur ve

{F, H}D {F, H} =F (3.46)

elde edilir. Bu ifadeden anlalaca zere, Dirac parantezleri, Poisson parantezleri ile ayn

hareket denklemlerini verir.

Bylece ikinci snf ba koullarna sahip bir sistemin kuantizasyonu, Poisson parantezleri

Dirac parantezleri ile yer deitirilerek ve tm ikinci snf ba koullar batan sfra kuvvetli

eit olacak ekilde ayarlanarak gerekletirilmi olur.

3.2.Birinci Snf Balar ve Ayar Dnmleri

Bir nceki blmde belirtildii zere birinci snf ba koullarnn ayar dnmlerinin je-

neratr olduu gsterilebilir: Bu maksatla, geniletilmi toplam Hamiltonyendeki Lagrange

arpanlarna bakmakta fayda vardr. Birincil ba yzeyi zerinde birincil Hamiltonyen Eitlik

(3.17)deki gibidir ve bu ba yzeyi zerinde birinci snf ba koullarnn tutarllk artlar

j {j, H} +um {j , m} 0 j = 1, , J m= 1, , M (3.47)

18


29/83

eklinde olur. Bu ifade umler iin Jtane homojen olmayan lineer denklem sistemidir ve

umler iin genel zm

um =v aVma +Um (3.48)

formunda yazlabilir. Bu ifadede Vma

lar homojen zmler, va gelii gzel katsaylar ve

Umler homojen olmayan zmlerdir. Bu durumda geniletilmi toplam Hamiltonyen

HT = H+ Umm+v

aVma m

= H +vaa (3.49)

dzenlemesiyle ifade edilebilir. Diracn snflandrmasna gre H ve a srasyla birinci

snf Hamiltonyen ve birinci snf ba koullardr. Hamiltonyendeva gibi gelii gzel katsa-

ylarn olmas tm durumlarn gzlenebilir olmadn ve bir fiziksel durumun sonsuz farkl

gsterimi olabileceini syler. Yani balangta, (0) = (q(0) , p (0)), olan bir (q, p)durumu iin hareket denklemleri ayn fiziksel durumu temsil eden farkl zmler verirler

( (t) = (t)). Bu durum sistemde ayar simetrisinin olduuna iaret eder.

Bu zellikten faydalanlarak, birinci snf ba koullarnn ayar dnmlerinin jeneratr

olduu gsterilebilir: Bir F dinamik deikeninintgibi sonsuzkk bir zaman aral iin-

deki telenmesi incelendiinde,

F(t) = F(0) + {F, HT} t

= F(0) + [{F, H} +va {F, a}] t . (3.50)

bulunur. Eitlik (3.50)devalar keyfi parametreler olduklarndan, vann va1 ve va2 gibi iki

zel seimi iinFintdeki deerlerinin fark

F(t) =F2(t) F1(t) = t (va2 v

a1) {F, a}

a {F, a} (3.51)

eklindedir. Bu ifadede,sonsuzkk keyfi bir sayy temsil eder.

Eitlik (3.51) deki dnm, sonsuzkk ayar dnmdr ve eerFdeikeni, bu

dnm ile yeni birF deikenine dntrlrse, bu yeni F deikeni de ayn hareket

denklemlerini salayacaktr. Eitlik (3.51)den grlecei zere, bu dnmn jeneratr

birincil birinci snf ba koullardr.

kincil birinci snf ba koullarnn da ayar dnmlerinin jeneratr olabilecei benzer bir

yntemle gsterilebilir. Bunun iin Fdinamik deikenine arka arkaya iki sonsuzkk ayar

dnm uygulanr.a parametreli ilk dnmFdeikenini

F1 = F(0) +a {F, a} (3.52)

19


30/83

formunda dntrrken,a

parametreli ikinci dnm de uygulandnda, F deikeni

F12 = F1+a {F1, a}

= F(0) +a {F, a} +a {[F(0) +a {F, a}] , a} (3.53)

ve bu dnmler ters srayla uygulandnda

F21=F(0) +a {F, a} +

a

F(0) +a

{F, a}

, a

(3.54)

bulunur. Bu iki dnm deFfonksiyonunu ayn fiziksel duruma denk gelecek ekilde d-

ntrr. Bu durumdaF21 F12fark, Poisson parantezleri iin Jacobi zdelii de kullan-

lrsa,

F =F21 F12 = aa

[{{F, a} , a} { {F, a} , a}]

= aa

{F, {a, a}} (3.55)

elde edilir. Grld gibi ayar dnmnn jenaratr {a, a}dr. Bu Poisson paran-

tezi birincil ba yzeyi zerinde sfra zayf eittir. Ancak Teorem 1de de gsterildii zere

birinci snf balar Poisson parantezleri iin kapallk zelliine sahiplerdir; yani{a, a}

birinci snf ba koullarnn bir lineer kombinasyona kuvvetli eittir:

{a, a

} =

a

a

a

a

. (3.56)

Dolaysyla alar ikincil ba koullar da olabilir. Ksaca, birincil birinci snf ba koullar

ayar dnmlerinin jeneratr iken, ikincil birinci snf ba koullar da ayar dnmlerinin

jeneratr olabilir ve bu dnmler sistemin fiziksel durumunda bir deiiklie sebebiyet

vermezler.

3.3.Abelyen Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu

Ayar alanlarn kuantizasyonu iin, ncelikle A(x)vektr alanna karlk gelen kanonikalan momentumun hesaplanmas gerekir:

(x) L

(0A)= F0 , (3.57)

0 = 0

i = Ei . (3.58)

20


31/83

Vektr alan ve kanonik momentumu iin, e zamanl Poisson parantezleri

{A(x) , A(y)}|x0=y0 = 0 = {(x) , (y)}|x0=y0 (3.59)

{A(x) , (y)}|x0=y0 =3

(x y ) (3.60)eklinde ifade edilir. Eitlik (3.58)ten grld zere, = 0durumunda0 = 0olduun-

dan,0n tm dier dinamik deikenlerle Poisson parantezlerinin sfr vermesi beklenir;

ancak bu Eitlik (3.60) ile eliir. Dolaysyla 0 = 0, ba koulu olarak sisteme dahil edil-

melidir. Bu ba koulunun varl, teoriyi kuantize etmeye alrken bal sistemler iin

gelitirilmi bir kuantizasyon ynteminin kullanlmasn gerekli klar.

lk olarak Diracn kanonic yntemi kullanlarak, bu kuantizasyon ileminin nasl gerekle-

tirileceine baklabilir.

ncelikle

L = 1

4FF

= 1

2

(ii BiBi,

) (3.61)

Lagranjiyeni ile betimlenen sistemin, kanonik Hamiltonyen younluu

Hcan = 0A L =

i 0Ai L

= i(

i +iA0)

L

= 1

2

(ii +BiBi

)+ i

iA0 (3.62)

olarak elde edilir. Kanonik Hamiltonyen, (3.62)deki ikinci terim iin bir ksmi integrasyon

uygulanarak

Hcan =

d3x Hcan

= H0

d3xA0ii (3.63)

olarak bulunur. BuradaH0, Eitlik (3.63)daki ilk terime karlk gelen Hamiltonyendir.

Birincil ba koulu

1= 0 = 0 (3.64)

olmak zere, birincil Hamiltonyen

Hp=Hcan+ d3x11 (3.65)

eklindedir. Bu ifadede 1, Lagrange arpann temsil eder.1ba koulu iin tutarllk art

21


32/83

ise

1 {

0, Hp}0 (3.66)

eklinde yazlr. Eitlik (3.66)deki Poisson parantezi hesaplanmak istenirse, Eitlik (3.59) ve

(3.60) kullanlarak, bu hesaba tek katknn sadece Eitlik (3.63)daki ikinci terimden gelecei

kolaylkla grlr3. Bylece

d3y

{0 (x) , A0 (y)

(i

i (y))}

x0=y0=

d3y

{0 (x) , A0 (y)

}x0=y0

(i

i (y))

=

d3y 3 (x y )

(i

i (y))

= ii (x)

0 (3.67)

elde edilir. Grld gibi birincil ba koulu iin yazlan tutarllk art ikincil bir ba koulu

ortaya karmtr:

2=ii0 . (3.68)

yleyse, ikincil Hamiltonyen;

HS = Hcan+

d3x11+

d3x22

= H0+

d3x [11+ (2 A0) 2] (3.69)

olmak zere, Eitlik (3.60)daki e zamanl Poisson parantezleri vastasyla, yeni tutarllk

artnn

2={(

ii)

, HS}

0

0 0 (3.70)

zdeliini salad kolayca gsterilebilir. Tutarllk artnn aikar bir biimde salanma-

syla, bu noktada algoritma sonlanr.Grld zere, teorinin iki birinci snf ba koulu vardr. Bir nceki blmde tartld

zere, sistemde birinci snf ba koullarnn varl yerel ayar simetrisinin varlna iaret

eder. Bu durumda sisteme, bu birinci snf koullarn ikinci snfa dntrecek ekilde ayar

3E zamanl fonksiyonel Poisson parantezlerinin

{F,GH} = {F, G}H+ G {F,H}

standart dalm zelliklerini salad EK.Dde gsterilmitir.

22


33/83

sabitleme koullar eklenir. rnein;

1(x) A0(x) 0 (3.71)

2(x) iAi(x) 0 (3.72)

Coulomb Ayar sabitleme koullar seilebilir.

Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta da ayar sabitleme koullarnn birincil ba koul-

laryla benzer yapda, yani:

0(x) 0 A0(x) 0

ii(x) 0 iA

i(x) 0 (3.73)

olmasdr. Bu ayar sabitleme konusunun tad incelik, bir sonraki blmde Abelyen olma-yan durum iin ayrntl bir biimde tartlacaktr.

Bylece teorinin tm ba koullarnn kmesi

1 1, 2

1, 3 2, 4

2 (3.74)

elde edilir. Bu bakoullarnn oluturduu matrisinin elemanlar daha nce Eitlik (3.36)da

ij(x, y) = {i(x) , j(y)}|x0=y0 (3.75)

eklinde tanmlanmt. Bu matrisin 13 = 31 ve 24 = 42 bileenleri dndaki

bileenleri sfrdr. Sfrdan farkl bileenler ise

12= 21 = {1, 2} ={

0 (x) , A0 (y)}

x0=y0= 3 (x y ) (3.76)

34 = 43 = {3, 4} =

{i

i (x) , iAi(y)

}x0=y0= (x)i (y)j {i(x) , Aj(y)}x0=y0= (x)i(y)

jij

3 (x y ) = 2x3 (x y ) . (3.77)

olarak bulunur Sonu olarak, (x,y )matrisi

(x,y ) =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 2x0 0 2x 0

3 (x y ) . (3.78)

23


34/83

ve bu matrisin tersi olanmatrisi

(x,y ) =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 2

x

0 0 2x 0

3 (x y ) . (3.79)

formunda elde edilir.

Artk Eitlik (3.43)te gsterildii gibi, iki dinamik alan deikeninin e zamanl Dirac pa-

rantezleri hesaplanabilir:

{A(x) , A(y)}D

x0=y0= 0 = {(x) , (y)}D

x0=y0(3.80)

{A(x) , (y)}D

x0=y0= {A(x) , (y)}|x0=y0

d3z d3w

{A(x) , 0(z)}

3 (z w) {A0(w) , (y)}

+{

A(x) ,(

ii(z))}

2z 3 (z w)

{(jAj(w)

), (y)

}x0=y0

= 3 (x z ) 00

3 (x z )

d3z d3w ij

(z)i

3 (x z ) 2z 3 (z w) (w)

j3 ( w y )

{A(x) , (y)}Dx0=y0 = 00 ij(x)i 12x (x)j 3 (x y ) . (3.81)Ayar sabitleme denklemlerinin, Eitlik (3.71) ve (3.72), altnda Dirac parantezleri

{A(x) , A(y)}D

x0=y0= 0 = {(x) , (y)}D

x0=y0

(3.82)

{Ai(x) , j(y)}D

x0=y0

=

ij (x)i

1

2x(x)j

3 (x y )

= ij (tr)(x y) (3.83)


Kuantizasyon srecindeki son adm, tm Dirac parantezlerinin kuantum komtatrler ile de-

itirilmesidir. Bu durumda, Eitlik (3.82) ve (3.83)

[A(x) , A(y)]|x0=y0 = 0 = [(x) , (y)]|x0=y0 (3.84)

24


35/83

[Ai(x) , j(y)]|x0=y0 = i

ij (x)i

1

2x(x)j

3 (x y )

= iij (tr)(x y) (3.85)

halini alr ve bylece sre tamamlanm olur.

Burada bir ayrntya daha deinmek gerekir: Eitlik (3.71) ve (3.72)de verilen ayar sabitleme

koullar sayesinde teorinin kanonik Hamiltonyeni de

Hcan= H0=

d3x

1

2

2 + B2

(3.86)


Abelyen ayar kuram iin, kuantum Noether teoremi uygulanarak, bulunan korunumlu ykn

ayar dnmlerinin jeneratr olduu rahatlkla gsterilebilir. Bu tartma Abelyen olma-yan durum iin EK.A sonunda yapldndan, Abelyen durum iin hesaplamalar ayrnt ile

gsterilmemitir. Abelyen olmayan kuram iin yaplan hesaplardaS U(N)gruplarnn yap

sabitifabc = 0alnarak, tm sonular kolayca Abelyen durum iin uyarlanabilir.

3.4.Abelyen Olmayan Ayar Alanlarnn Kanonik Kuantizasyonu

Abelyen olmayan ayar alanlarn kuantizasyon iin de, Abelyen duruma benzer ekilde, n-

celikleAa(x)vektr alanna karlk gelen kanonik alan momentumlar

,a (x) L

(

0Aa) = F0,a (3.87)

0,a = 0

i,a = Ei,a (3.88)

oluturularak, e zamanl Poisson parantezleri

{Aa(x) , A

b(y)

}x0=y0

= 0 ={

a(x) , b(y)

}x0=y0

(3.89)

{Aa(x) ,

b(y)

}x0=y0

=i ab 3 (x y ) (3.90)

eklinde ifade edilir. Ancak, Eitlik (3.88)ten grld zere0,a = 0olduundan,0,an

tm dier dinamik deikenlerle Poisson parantezlerinin sfr vermesi beklenir. Ancak bu du-

rum Eitlik (3.90) ile elieceinden,0,a = 0, bir ba koulu olmaldr. Abelyen durumda-

25


36/83

kine benzer ekilde teorinin kanonik Hamiltonyen younluu hesaplanr ve

Hcan = a

0A,a L = a00A0,a + ai

0Ai,a L

= ai (i,a + (D

iA0)a

) L= 1

2

(i,ai,a +Bi,aBi,a

)+ ai

(DiA0

)a (3.91)formunda bulunur. Bu ifadeden de kanonik Hamiltonyen

Hcan =

d3xHcan

= H0

d3xA0,a

(Dii

)a(3.92)

eklinde elde edilir. Buradaki ikinci terim, integral altnda bir ksmi integrasyon yapldktan

sonra yzey terimleri atlarak bulunmutur.

Birincil ba koulu

a1 = 0,a = 0 (3.93)

olmak zere, birincil Hamiltonyen

Hp = Hcan+

d3xa1

a1

= H0

d

3

x A0,a (Dii)a a1a1 (3.94)eklindedir.

a1 ba koulu iin tutarllk art hesaplanrken, fonksiyonel Poisson parantezlerinin da-

lm zellikleri kullanlanlarak tek katknn sadece Eitlik (3.94)deki ikinci terimden geldii

kolayca grlebilir:

{0,a (x0,x ) , Hp

} =

d3y

{0,a (x0,x ) , A

0,b (x0,y )

} (Dii(x0,y )

)b

=

d3y ab3 (x y ) (Dii(x0,y ))b=

(Dii(x0,x )

)a 0 . (3.95)

Eitlik (3.95)den grld zere, birincil ba koulu iin yazlan tutarllk art ikincil bir

ba koulu ortaya karmtr:

a2 =(

Dii)a

0 . (3.96)

26


37/83

yleyse ikincil Hamiltonyen

HS = Hcan+

d3xa1

a1+

d3xa2

a2

= H0+

d3

x [a

1

a

1+ (a

2 Aa

0) a

2] (3.97)

eklinde yazlabilir. imdia2nn tutarllk artna baklrsa

a2 {a2, HS} (3.98)

olmaldr. Eitlik (3.98)te eitliin sa tarafndaki tek katknn Eitlik (3.97)teki nc

terimden gelecei kolaylkla grlebilir:

a2 =

a2(x ) ,

d3y(

b2 Ab0)

b2(y )

. (3.99)

Bu durumdaq2, ba koullarSU(N)grubunun cebiri gerei

{a2(x0,x ) ,

b2(x0,y )

}=fabcc2(x0,x ) (x y ) (3.100)

ifadesini salar.

Bylece,

a2(x) =fabcc2(x) (b2(x) Ab0(x)) (3.101)eitliine ulalm olur.a2nin tutarllk art

a2 =Aa0 (3.102)

seimi yaplarak, yani yeni Lagrange arpan tespit edilerek salanm olur ve algoritma son-

lanr. Bu durumda ikincil Hamiltonyen de

HS=H0+

d3x a1a1 (3.103)

ifadesine indirgenmi olur.

zetlersek, teorinin iki adet birinci snf ba koulu vardr.

Dirac algoritmas erevesinde ilerleyebilmek iin, bu balara eit sayda ayar sabitleme

koullar eklenerek, tm ba koullar kmesini ikinci snf ba koullarna dntrmek

gerekir [22].

Ayar alanlarnn (rnein; elektromagnetik alan) fiziksel zelliklerinden biri olan transvers-

27


38/83

lik zelliini saladndan, Coulomb ayar, en ok kullanlan ayardr:

a2 =iAai 0 . (3.104)

a

2nna

2ile eleerek, istenen zellii (ikinci snfa dntrme) yaps gerei salayacaaktr. Burada zel dikkat gerektiren a1ile elemeyi salayacak ikinci ayar koulunun ne

ekilde seileceidir. Bu incelikli husus Abelyen durumda, basitliinden dolay pek sknt

yaratmamt.

Abelyen olmayan duruma gemeden nce, bu seimi (1 = A0 0) kritik bir perspek-

tiften tartmak faydal olacaktr. Hi gzard edilmemesi gereken nokta (Abelyen durumda

genel olarak dillendirilmese de),2 =iAikoulunun da tutarllk koulunu (yani zamanda

evrilmeme) salamas ve bunu2ile uyumlu olarak yapmasdr:

2=0(iAi) =i(0Ai) . (3.105)

Bu koulun, Gauss yasas ile birlikte deerlendirilmesi ve uyumunun salanmas gerekir.

Tanm gerei

i = F0i= 0Ai+ (iA0) (3.106)

olduundan,

0Ai= i+iA0 (3.107)

yazlabilir. Eitlik (3.107), Eitlik (3.105)de yerine konulursa,

2 = i(i+iA0)

= ii+ 2A0 (3.108)

elde edilir. Gauss yasas ile uyumluluk gerei,2nin tutarll

2= 2A0 0 (3.109)

kouluna ulalmasn salar. Bu koulu her yerde salayan statik (2nin tutarllnn gereibulunan 2 A0 0denklemince garanti edilen)A0n

A0 0 (3.110)

koulunu salamas gerekir ki, zaten Abelyen durumda da bu seim yaplmtr.

Bu tartmann bu detayda yaplmasnn nedeni, eldeki Abelyen olmayan erevede duru-

mun olduka farkl olmas ve bu inceliklerin gzard edilerek Coulomb ayar seiminin tpk

28


39/83

Abelyen durumda olduu gibi yaplmasnn doru ve mmkn olmaddr. Bu seimin

a2 =iAi,a

0 (3.111)

ksm fiziksel olarak transverslik zelliini salamas nedeniyle, tartmaszdr. nceliklebua2koulunun tutarllnn snanmas gerekir:

ai = Fa0i= 0A

ai + DiA

ai (3.112)

tanmnn altnda

a2 = 0(iAai ) =i(

ai + DiA

a0)

= iai +iDiA

a0 (3.113)

bulunur. a2, Gauss yasas ile uyumluluk zorunluluu gerei, Eitlik (3.96) kullanlarak, Eit-

lik (3.113)da

iai =

a = [Ai, i]a = fabcAbi

ci (3.114)

yazlrsa

a2 =a +iD

abi A

b0 (3.115)

elde edilir.

Eitlik (3.115)den hemen grlebilir ki;a2nn tutarllk zorunluluuA0,a(x) 0gibi birayar seimini dlamaktadr. Zira, bu seim, a = 0olmasn gerektirir, bu da Abelyen olma-

yan teoriyi Abelyen duruma indirgeyecektir.

Bu seenek ortadan kaldrldna gre a1ile uyumlu bir eleme yapabilecek bir ayar seimi

Mab iDabi (3.116)

tanm yaplarak, Eitlik (3.115)den

a2 =MabAb0+

a 0 (3.117)

eklinde bulunur.

zetle, Yang - Mills teorisi iin birinci snf Dirac ba koullarna elik edecek Coulomb

ayar tespiti koullar

a1 = MabAb0+

a 0

a2 = iAi,a

0 (3.118)

olarak seilir.

29


40/83

Dirac algoritmasndaki bir sonraki adm Dirac parantezlerinin hesaplanmasdr. Bunun iin

daha nce Eitlik (3.36)da tanmland gibi ba koullarnn oluturduumatrisinin ina

edilmesi gerekir.ai veai koullar

ai genel ifadesi ile gsterilirse

a1

a1,

a2

a1,

a3

a2,

a4

a2 (3.119)

olmak zere,matrisinin elemanlar,

abij (x, y) {

ai (x) , bj(y)

}x0=y0

(3.120)

eklinde tanmlanr.

Bu matrisin elemanlar son derece karmak ifadelerdir. Bu durum, zellikle Dirac paran-

tezlerinin inasnda kullanlacak olan 1

in hesaplanmasnda, bu yntemin kullanllbalamnda ciddi kukular yaratan, teknik zorluklar ortaya koyar.

matrisinin sfrdan farkl elemanlar

ab12 = ab21 =

{a1,

b2

}={

0a (x) , A0,b (y)}

x0=y0=Mab (x) 3 (x y ) ,(3.121)

ab22={

a2, b2

}={

a1(x) , b1(y)

}x0=y0

=fabcc (x) 3 (x y ) , (3.122)

ab

23 = ab

32= {a2, b3} = {a1(x) , b2(y )}x0=y0 = fabc c2(x ) 3 (x y )+fabc i

Ac0 i

3 (x y )

+ab (Ac0c2)

a2A

b0 , (3.123)

ab33 ={

a3, b3

}={

a2(x) , b2(y)

}x0=y0

=fabcGc (x) 3 (x y ) , (3.124)

ab34 = ab43 = {

a3,

b4} = {

a2(x) ,

b2(y)}x0=y0 = M

ab (x) 3 (x y )(3.125)

olarak bulunur.

Dirac parantezlerinin elde edilmesi iin1in dolaysyla da, ncelikle M1in hesaplan-

mas gerekir. Bu hesaplamada,

Mab =Aab +Bab (3.126)

olmak zere

Aab = ab 2

Bab = fabcAci i (3.127)

30


41/83

tanmlar yaplarak1

A +B =

1

A

1

AB

1

A+

1

AB

1

AB

1

A+ (3.128)

alm kullanlacaktr. Hemen grld zere, A1, 2 operatrnn Green fonksiyonudur.

M1

in kesin ifadesi, ancakGab (x, y) =c

ab

|x y | (3.129)

fonksiyonunu ieren sonsuz bir seri alm ile ifade edilebilecektir. Bundan sonraki admlar

gereksiz karmaklklar ierdii iin artk bu dorultuda devam edilmeyecektir.

Btn bu tartmadan karlan ders: kanonik Hamiltonyen formalizminin, Abelyen du-

rumda ok fazla sknt karmadan ayar teorisinin (ve dier basit bal sistemlerin) kuanti-

zasyonunda kullanlabilmesine karn, Abelyen olmayan durumda, zellikle Faddeev - Po-

pov yol integrali formalizmi gibi ok k ve basit bir alternatifi varken, hi de kullanl ve

ekonomik bir yntem olmaddr.

Bu perspektiften bakldnda, bir sonraki blmde detayl olarak incelenecek olan Faddeev

- Popov yol integrali ynteminin neden bu denli ne kt ve artk ayar alanlarnn (ve dier

pek ok bal sistemin) standart kuantizasyon yntemi olarak benimsendii ok ak ekilde

grlecektir.

3.5.Dirac ddias ve Ayar Teorileri

Diracn birinci snf ba koullarnn ayar dnmleri olduu iddiasn snamak iin tezinkapsam balamnda, daha gereki bir platform olarak ayar alan kuramlar ele alnabilir:

lk olarak Abelyen kuram ele alnrsa, hatrlanaca zere, ayar alanlarnn parametreli

sonsuzkk dnmlerinin

A= (3.130)

eklinde olduu Blm.2de gsterilimitir. Bu dnmlerin, kuramn birinci snf balar

tarafndan retilip retilmediklerini gstermek amacyla kuramn birinci snf balarn, ayar

alanlar ile kanonik komtatrlerine baklrsa;

[1(x) , A(y)]x0=y0 = [0(x) , A(y)] x0=y0 = i0 3 (x y) ,

[2(x) , A(y)]x0=y0 = [ii(x) , A(y)] x0=y0 = ii (x)i 3 (x y)(3.131)

olduu grlr. Eitlik (3.131)den karlabilecek ilk ders, birincil birinci snf ba kou-

lunun, tek bana ayar dnmlerini retemediidir. Yine burada ikincil birinci snf ba

koulu olan Gauss yasas ise sadece ayar alanlarnn uzay bileenlerinin dnmn rettii

de sylenebilir.

Kuantum Noether kuram balamnda, dnmlerin Noether yknn kuantize edilmi alan-

larn dnmlerinin jeneratr olduu bilinmektedir (Bkz. EK.A). Buradan hareketle Abel-

31


42/83

yen durumda Noether yk, kuramn birinci snf ba koullar cinsinden

Q =

d3xJ0 =

d3x ()

=

d3

x [1(0) 2] (3.132)

eklinde yazlabildii grlr. Eitlik (3.132)dan, ayar dnmlerinin jeneratrnn ancak

birinci snf ba koullarnn zel bir kombinasyonunun olaca grlebilir.

Benzer tartma Abelyen olmayan teori erevesinde de yaplabilir. Bu durumda birinci snf

ba koullarnn ayar alanlar ile kanonik komtatrleri

a1(x) , Ab(y)x0=y0 = a0(x) , Ab(y) x0=y0 = i0 3 (x y) ,a2(x) , A

b(y)

x0=y0

=

(Dii)a (x) , Ab(y)

x0=y0 = ii

ab (Dx)aci

3 (x y)

(3.133)

eklinde yazlr. Abelyen durumda olduu gibi birincil birinci snf ba koulu, tek bana,

ayar dnm retmezken; Gauss yasas da sadece uzay bileenlerinin dnmn retir.

Kuantum Noether kuram balamnda ayar dnmleri ele alndnda, Noether yk birinci

snf ba koullar cinsinden

Q =

d3xJ0 =

d3x,a (D)

a

=

d3x [a0(D0)

a (Dii)a

a]

=

d3x [a1(D0)

a a2a]

=

d3x [a1(0)

a + (a a2) a] (3.134)

eklinde yazlabilir. Buradaa

a =fabc0,bAc0 (3.135)

eklinde tanmlanmtr ve bir renk yk olarak yorumlanabilir.

Eitlik (3.134), birinci snf ba koullarnn tek balarna ayar dnmlerinin jeneratrleri

olamayacan, ancak zel bir kombinasyonlarnnn bu dnmleri retebileceini daha

ak bir biimde gstermitir. Yani, ancak bu kombinasyon iinde birinci snf balar ayar

dnmlerinin jeneratr ilevini stlenirler. Bu nedenle, Diracn ortaya att birinci s-

nf ba koullarnn ayar dnmlerinin jeneratrleri olduu iddiasnn ayar kuramlarnda ,

zellikle de birincil ba koulu iin, salkl bir ekilde almad grlebilir.

32


43/83

4.YOL NTEGRAL YNTEM VE AYAR ALANLARININ YOLNTEGRAL YNTEM LE KUANTZASYONU

4.1.Yol ntegrali Yntemi

Bir nceki blmde ayar alanlarnn kuantizasyonu Diracn bal sistemler iin gelitirdii

yntem ile yapld. Kanonik yntem Hamiltonyen sistemler iin gelitirilmi olduundan do-

as gerei ak Lorentz deimezliine sahip deildir. Kukusuz bu deimezliin mevcu-

diyeti zel tekniklerle (Schwinger cebiri) snanabiliyorsa da, daha sonra Feynmann geli-

tirdii bir yntem olan,yol integrali kuantizasyon yntemibu bakmdan ve dorudan fiziksel

sonularn retilmesine odakli bir yapya sahip olmas,c-saylar ve alanlarla hesap yapma-

nn kolayl, farkl ayar sabitleme koullar arasnda daha rahat bir gei salamas... gibi

baka balamlarda da pek ok avantaj salamaktadr.

Bu gl estetik yanlarna ramen yol integrali ynteminin teknik bakmdan dikkat gerekti-

ren birka zel durumu sz konusudur: rnein; yol integrali yntemi Minkowski uzaynda

iyi tanml deildir. Bu yzden fonksiyonel integraller daha iyi yaknsama zelliine sahip

olan klidyen metrikte hesaplanr ve hesaplamann sonunda tekrar Minkowski metriine geri

dn yaplr. Gauss integralleri tesinde kesin integral yntemlerinin bilinmiyor olmas, bu

yntemin esas olarak bir pertrbasyon yntemi olmas anlamna gelir.

4.1.1.Kuantum Alanlar in Yol ntegrali Formalizmi

Kuantum alan kuramna gei, kuantum mekaniksel erevedeki sonlu serbestlik derecesin-

den, (x)gibi sonsuz sayda serbestlik derecesine sahip deikenlere geilerek yaplr. Buna

gre, birx noktasndaki alann biry noktasna gei olasl,T, zaman sralama operatr

olmak zere,

0 |T[ (x) (y)]| 0 =

[d] (x) (y) exp

i

d4x L ()

(4.1)

eklinde yazlr. Bu integrali hesaplamak iin Eitlik (C.10)dakine benzer bir rete fonksi-

yoneli tanmlanr:

Z[J] =N

[d] exp

i

d4x [L () +J(x) (x)]

. (4.2)

Bu ifadede, integral eleman ve normalizasyon

[d] x d (x)N1 Z[J= 0] =

[d] ei

d4xL(x) (4.3)

33


44/83

formundadr.

Bu integral skaleralanlar iin hesaplarken, sonlu serbestlikderecesi durumunda izlenen adm-

lar benzer srayla uygulanr.

rnek olarak skaler alan teorisi ele alnrsa; klasik alanlarn, Klein - Gordon denklemini birkaynan varlnda salayan, homojen olmayan zmler olduu dnlerek,

(+m2

)cl(x) =J(x) (4.4)

ifadesinden balanabilir.

Klein - Gordon denkleminin Green fonksiyonu

(+m2)xF(x y) = 4 (x y) (4.5)ifadesi ile tanmlanr. Bu durumda Eitlik (4.4)n zm olan klasik alanlar

cl(x) =

d4yF(x y) J(y) (4.6)

formunda ifade edilebilir.

Bu noktada skaler alanlar

+cl (4.7)

eklinde bir telemeye tabi tutularak, Eitlik (4.2)deki Gauss integrali alndnda,

Z(J) =exp

i/2

d4x d4y J(x) F(x y) J(y)

(4.8)

bulunur. Bu durumda, normalizasyon katsays, Eitlik (4.3)ten

N1 = det (+m2)1/2

(4.9)

olarak elde edilir. Dolaysyla Eitlik (4.5)te tanmlanan propagatr, Eitlik (4.8)den fonk-

siyonel trevler alnarak,

iF(x y) =

J(x)

J(y)Z(J)

J=0

(4.10)

eklinde elde edilir. Eitlik (4.10)a gre, Eitlik (4.1)de tanmlanan alanlarn gei genlikleri

(x1, x2, , xn) = in 0 |T[ (x1) (x2) (xn)]| 0

= Z(J)

J(x1) J(x2) J(xn)

J=0

. (4.11)

34


45/83

olarak bulunur. rnein 4-nokta iin bu trev aka,

4i=1

J(xi)

Z(J)

J=0

= F(x1 x2) F(x3 x4) + F(x1 x3) F(x2 x4)

+F(x1 x4) F(x2 x3) . (4.12)

formunda ifade edilir.

rete fonksiyoneli,Z(J),J= 0etrafnda kuvvet serisi olarak da yazlabilir:

Z(J) =

n=0

1

n!

d4x1 d

4xnJ(x1) J(xn) Z(n) (x1 x2) . (4.13)

Bu ifadede,

Z(n) (x1 x2) =

J(x1) J(xn)Z(J)

J=0

= in 0 |T[ (x1) (x2) (xn)]| 0 (4.14)

eklindedir.

4.1.2.Balantl Diyagramlarn reteci

Karmak Feynman diagramlarn analiz ederken bu diagramlar, balantl ve balantsz

olarak ayrmak gerekir: Balantsz diyagramlar, herhangi bir izgiyi kesmeden iki paraya

ayrlabilir. Balantl diagramlar iinse bu mmkn deildir.

Eitlik (4.2)de tanmlanan Z(J) rete fonksiyoneli, hem balantl hem de balantsz

Feynman diagramlarn retir. Bu durumda yol integrali ynteminin renormalizasyon kura-

mn da ieren fiziksel problemlere uygulanmasnda, balantsz diagramlardan arndrlm

yeni birW(J)fonksiyoneli tanmlamak gerekir:

Z(J) =eiW(J) . (4.15)

Zve Warasndaki ilikiyi daha ak bir ekilde gstermek iin W(J), J = 0civarnda

kuvvet serisine alabilir:

W(J) =

n=0

1

n!

dx1 dxnJ(x1) J(xn) W

(n) (x1, , xn) . (4.16)

Bu seride ilk drt terim iin trevlere baklmas, Zve Warasndaki ilikiyi zmleyebilmek

iin yeterlidir. Serideki tek sayda trev ieren terimler daha nce gsterildii zere sfrdr.

35


46/83

kinci ve drdnc trevler ise srasyla,

2W

J(x1) J(x2)=

i

Z2Z

J(x1)

Z

J(x2)

i

Z

2Z

J(x1) J(x2) (4.17)

ve

4W

J(x1) J(x2) J(x3) J(x4) =

i

Z22Z

J(x1) J(x2)

2Z

J(x3) J(x4)+perm.

i

Z

4Z

J(x1) J(x2) J(x3) J(x4). (4.18)

eklindedir.J= 0olduunda, Eitlik (4.17)den rahatlkla grlecei zere ikinci mertebe-

den trevler ieren terimler iin

iW(2) (x1, x2) =Z(2) (x1, x2) (4.19)

bants salanr. Ancak drdnc mertebeden trevleri ieren terimlerde iliki bu kadar

aikar deildir:

W(4) (x1, x2, x3, x4) =i

Z(2) (x1, x2) Z(2) (x3, x4) +perm.

iZ(4) (x1, x2, x3, x4)

(4.20)

W(J)nin yalnzca balantl diyagramlar rettiinin gsterilmesi iin, rnek olarak4

teorisi ele alnabilir: Anlan teori kapsamnda, Eitlik (4.8) kullanlarak

Z(2) (x1, x2) = iF(x1 x2) +

2

d4zF(x1 z) F(z x2) F(z, z) (4.21)

Z(4) (x1, x2, x3, x4) = [F(x1 x2) F(x1 x2) +2 perm. terim]

i

2

d4zF(x1 z) F(z, z)

F(z x2) F(x3 x4) +5 perm. terim]

i4!

d4zF(x1 z) F(x2 z)

F(x3 z) F(x4 z) +23 perm. terim] (4.22)

sonular elde edilir. Bu faktrler Eitlik (4.20) ile verilen W(4) (x1, x2, x3, x4)ifadesine yer-

letirildiinde, balantsz diyagramlara karlk gelen terimlerin birbirini yok ettii ve sadece

balantl diyagramlara denk gelen terimlerin kald grlebilir.

Bu formalizmde nemli olan, meru vertekslerin (proper vertices) rete fonksiyonelidir

36


47/83

ve Legendre dnm ile

() =W(J)

d4x J(x) (x) . (4.23)

eklinde tanmlanr. Ancak bu ifadede ve Jbirbirinden bamsz deildir ve aralarndakiiliki aikar deildir. Bu iliki, Eitlik (4.23)n Jveye gre ksmi trevleri alnarak g-

rlebilir:W(J)

J(x) = (x) ;

()

(x)= J(x) . (4.24)

Trev ilemi tekrarlandnda:

G (x, y) 2W(J)

J(x) J(y)=

(x)

J(y)

(x, y)

2

() (x) (y)= J(x) (y) (4.25)

bulunur. (x, y)ve G (x, y), srekli uzay zaman indislerine sahip sonsuz boyutlu matrisler

olarak dnlerek birbirlerinin ters matrisleri olduu gsterilebilir:

d4z (x, z) G (z, y) =

d4z

2 ()

(x) (z)

2W(J)

J(z) J(y)

=

d4z

(z)

J(y)

J(x)

(z)

= 4 (x y) . (4.26)

Eitlik (4.26)nn bir kez dahaJye gre ksmi trevi alndnda

d4z

3W(J)

J(x) J(u) J(z)

2 ()

(y) (z)

=

d4z

2W(J)

J(x) J(z)

d4zG (u, z)

3 ()

(y) (z) (z) (4.27)

elde edilir. Eitlik (4.27)de

J(u)=

d4z

(z)

J(u)

(z)=

d4zG (u, z)

(z) (4.28)

zincir kural kullanlmtr. Zincir kuralnn iki kez daha uygulanmasyla, ifadenin sadeleti-

rilmesi mmkndr:

3W(J)

J(x) J(y) J(z) =

d4xd4yd4zG (x, x) G (y, y) G (z, z)

3 ()

(x) (y) (z). (4.29)

37


48/83

Bu ifadenin grafik temsili ekil 4.1de gsterilmitir.

ekil 4.1: nc mertebedeW[J]ve []arasndaki ilikinin grafik temsili.

rete fonksiyonelleri arasndaki ilikiye dikkat edilirse diyagramlardaki bacaklarn saysile tekrarlanan trevlerin saysnn ilikili olduu grlebilir. Fonksiyonel yol integrali yak-

lamnn avantaj, bu sonularn pertrbasyon teorisinden bamsz olmasdr. Bu sayede

karmak grafiksel tekniklere bavurmadan deiik tiplerdeki propagatrler ve verteksler ara-

sndaki ilikiler rahatlkla elde edilebilir.

4.2.Faddeev - Popov Yaklam

Yol integrali formalizminin asl gl yn istenilen ayar sabitleme koullarnda alabilme

serbestlii vermesindedir (kanonik yntemde, bu hi kolay deildir). Yol integrali ynte-

minde ayar sabitleme, fonksiyonel integrale bir veya bir ka delta fonksiyoneli yerletirile-

rek yaplabildii iin, istenilen ayarda allabilir. Bu yaklam Faddeev ve Popov tarafndan

1967 ylnda gelitirilmitir.

Ayar teorilerinde eylem, ayar dnmleri altnda deimez kald iin yol integralinde

[dA]integral eleman zerinden yaplan toplamda, birbirlerine ayar dnm ile bal son-

suzAU konfigrasyonu integrasyona katk yapar ve yol integrali raksar. Yani

AU =U AU1 (U) U1 (4.30)

dnm altnda eylem deimez kald iin

dAU

zerinden alnan integral, Udan gelen

sonsuzluu ierir ve [dA] e

iS[A] (4.31)

bulunur.

yle ki, birA ile balayp tm mmkn AU lar dikkate alnrsa fonksiyonel uzayda bir

yrnge taranm olur. Buradaki problem udur: yrnge boyunca Udeitiinden sonsuzfarklUiin toplam tekrarlanr ve integral sonsuza gider. Bu problemin zm yrngenin

38


49/83

dilimlenmesiyle mmkn olur. Bunun iin de integrale [A,a]veya [iAi,a]gibi ayar sa-

bitleme faktrlerinin eklenip, integralin konfigrasyon uzaynda A,a = 0veya iAi,a = 0

gibi bir yzey zerinde kalmas salanr. Genel olarak ayar sabitleme ilemi, alanlarn her-

hangi bir fonksiyonu, rnein,

[F(A)] (4.32)

ile yaplabilir ki bu delta fonksiyoneli de

F(A) = 0 (4.33)

yzeyinde ayar sabitler.

Ancak fonksiyonel integrale delta fonksiyoneli dorudan yerletirildiinde, integral eleman

deiir. Faddeev ve Popov, yol integraline delta fonksiyoneli yerine,

1 = F P

[dU]

F(

AU)

(4.34)

zdelii ile tanmlanan bir tamlk koulu eklenmesi ile bu belirsizliin ortadan kaldrlabile-

ceini gstermilerdir. Bu ifadede, F P,Faddeev - Popov determinantdr. Burada ilk olarak

gz nne alnmas gereken husus, grup elemannn ayar dnmleri altnda deimezlii-

dir. Bu da gruptan cebire geilerek, sonsuzkk hesaplarla dorulanabilir. yle ki, Uve

U SU(N)grubun elemanlar ise, grubun integral eleman, sonsuzkk dzeyde,

[dU] = [d (UU)] d [U] . (4.35)

eklinde yazlabilir. Bu durumdaU=eparametrizasyonu gz nne alnrsa, sonsuzkk

lar iin grup eleman

U I+ +O(

2)

(4.36)

formunda alacandan, ardarda iki SU(N) dnm, sonsuzkklar cinsinden

UU = U

(I+ ) (I+ ) I+

I+ ( +) I+ (4.37)

eklinde ifade edilebilir. Eitlik (4.37)in sol tarafndaparametresi iin diferansiyel alnd-

nda, grup integral eleman

[dU] =a,x

(d)a

(x) a,x

(d)a (x) (4.38)

olarak yazlabilir ki, bu da kapallk zellii gerei grubun integral elemannn deimediini

gsterir.

39


50/83

Eitlik (4.34)teki tamlk koulu Eitlik (4.31)deki yol integraline yerletirilirse

[dA]

F P

[dU]

F(

AU)

ei

d4xL[A] (4.39)

elde edilir.

Bu noktada Faddeev - Popov determinantnn ok nemli bir zelliine deinmek gerekir:

Faddeev - Popov determinant ayar dnmleri altnda deimez kalr: EerF P(A)daki

AalanAU ile deitirilirse Eitlik (4.35)teki tanm gerei

1F P(

AU)

=

[dU]

F

AUU

= [d (U

U)] FAUU

=

[dU]

F

AU

= 1F P(A) (4.40)

bulunur.

Btn yol integralindeA AU1

dnm yapldnda[dA]integral eleman ve eylem

deimez kalr. AncakF(

AU)

faktr F(A) olarak deiir. Bu durumda Eitlik (4.39)daki

integrali

[dU]

[dA] F P[F(A)] e

i

d4xL[A] (4.41)

formunda yazlr. Bylece [dU] = (4.42)

sonsuz faktrnn integralden izole edilmesi mmkn olur. yle ki, ayarF(A) = 0yze-

yinde sabitlendii iin, bu ekilde ayar serbestisi nedeniyle oluan sonsuzluun fonksiyonel

integralden izolasyonu gerekleir.

Bu durumda, yol integralinde ayar sabitleme problemi, F Piin ak bir ifade bulma ilemine

indirgenmi olur. Eitlik (4.33)ten de yararlanarak Faddeev - Popov determinant

F(

AU)

=(U U0)

det

F(

AU (x))

U (x)

1

. (4.43)

eklinde yazlabilir. Bylece, Faddeev - Popov determinant

F P =det F (AU

(x

))U (x) (4.44)40


51/83

olur.

Teorinin Feynman kurallarn yazarken, bu determinantn ak ifadesinin kullanlmas gere-

kir. Bu ak ifadeyi bulmak iin, kkgrup parametreleri iinF

(AU

)seriye alrsa,

F(

AU (x))

=F(A(x)) +

d4yM(x, y) (y) + , (4.45)

Eitlik (4.44)teki determinantnM(x, y)matrisinin determinantna indirgenecei grlebi-

lir.

Faddeev - Popov determinantMmatrisinin determinantna indirgendikten sonra, bu deter-

minantcvecgibi iki alan zerinden Gauss integrali formuna dntrlebilir:

F P =det M= [dc] dc expi d4xd4yc (x) M(x, y) c (y) . (4.46)Burada nemli olan nokta udur: Bu determinantn paydada deil de payda kalabilmesi iin

cvecn Grassmanyen alanlar olmas gerekir (Bkz Ek.C). Yani cvec, Fermi - Dirac istatis-

tiine uyan (anti-komtasyon bantlarn salayan) skalerhayalet ve anti-hayalet(Faddeev

- Popov hayaletleri) alanlardr.

Alternatif olarak bu determinant, lineer cebirdeki bilinen bir zdelikten faydalnarak

F P =det M=eT r(logM) (4.47)

eklinde yazlabilir. Burada determinantn kesikli hale sokulmu x ve y uzaylar ile izospin

indisleri zerinden alnd hatrlanmaldr. Bu ifadeM=I+ Lolacak ekilde yazldnda

det (I+ L) = exp {T r [log (I+ L)]}

= exp

n=1

(1)n1

n T r (Ln)

(4.48)

elde edilir. Lnin kuvvetleri zerindenizilemi Feynman kuramnn pertrbasyon almnda

kapal halkalar olarak yorumlanr (Bkz ekil 4.2) ve bu, hayalet alanlarn sadece i diagram-

larda grlp, fiziksel olarak gzlemlenemeyeceinin gstergesidir1.

ekil 4.2: Faddeev - Popov Determinantnn diagramatik gsterimi1Bu tartma, Blm.5te sistemin fiziksel durum uzaynn inas yaplrken, tekrardan ele alnacaktr.

41


52/83

Bir dier nemli nokta ise [F(A)] fonksiyonelinin eksponansiyel bir forma dntrlerek

Eitlik (4.40)deki yol integralindeki eyleme eklenmesidir. Bunun iin ayar sabitleme terimi,

F(A),

F(A) = 0 (4.49)

yzeyinden

F(A) =Ba (x) (4.50)

gibi bir yzeye genelletirilir. Burada Ba (x), ayar alanlarndan bamsz, uzay zamann keyfi

bir fonksiyonudur. Bu durumda Eitlik (4.34)te grlen Faddeev - Popov determinantF Pdeimez kalr ve bu ifadedeki zdelik

1 = F P

[dU]

F

(AU

) Ba (x)

. (4.51)

formunda genelletirilebilir. Eitlik (4.31)de tanmlanan yol integraline Eitlik (4.51) yer-

letirilir ve sonsuz hacim faktrleri integralden izole edilirse, rete fonksiyoneli,

Z[J] =

[dA] [dB] F P

F(

AU)

Ba (x)

exp

i

d4x

L (x) +J,aAa

1

2(Ba (x))2

(4.52)

formunda elde edilir. Eitlik (4.52)de integrale eklenen

[dB] exp

i

2

d4x (Ba (x))2

(4.53)

faktr bir sabitle arpma denk gelir ve dolaysyla sadece bir normalizasyon faktrdr.

Burada, keyfi sabiti ayar parametresini temsil eder. B a zerinden Gauss arlkl bir fonk-

siyonel integral alndnda rete fonksiyoneli

Z[J] =

[dA] F Pexpi d4x L (x) +J,aAa 12(F(A))2 (4.54)ekline dnr.

Bu aamada,

F(A) =A,a = 0 (4.55)

Landau ayar iinF Pdeterminant hesaplanabilir: nfinitesimalparametreli Abelyen ol-

mayan ayar dnmleri altnda ayar alanlarnn dnm kural

AU =A D (4.56)

42


53/83

gz nne alnarak, Eitlik (4.55)den, ayar sabitleme terimi

F(

AU)

=A,a D

= 0 (4.57)

olarak bulunur. Bu ifade, Eitlik (4.45) ile karlatrlrsa, M(x, y)matrisi iin:

Mab(x, y) =

U(a) (x)

(AU

)b(y) =

a (x)

(D

)bc c (y)

= [D]ab 4 (x y) (4.58)

ifadesi elde edilir. Bu matrisin determinant Gauss formunda Grassmann integrasyon yn-

temleri de kullanlarak (Bkz. EK.B):

F P =detM=

[dc] [dc] expi d4x ca (x) [D]ab cb (x) (4.59)eklinde elde edilir.

Bylece, Landau ayar iin, yol integrali rete fonksiyonelinin

Z[J = 0] =

[dA] [dc] [dc] exp

i

d4x

1

4FaF

,a 1

2(A

,a)2

ca (x) (D)ab cb (x)

(4.60)

ifadesine ulalr.

4.3.Ayar Alanlarnn Feynman Kurallar

Eitlik (4.60)ta, Landau ayarnda, elde edilen

Sef f = SY M+Sgf+SF P G

=

d4x

1

4FaF

,a 1

2(A

,a)2 ca (x) [D]ab cb (x)

(4.61)

etkin eylemi, ayar alanlar ve hayalet alanlar asndan etkileimsiz kuadratik ksmlar ve

etkileimli ksmlar olmak zere iki ksma ayrlabilir:

fa=Aa A

a . (4.62)

olmak zere, ayar alanlar iin etkileimsiz ksm

S(0)Y M+gf=

d4x

1

4faf

,a 1

2(A

,a)2

(4.63)

43


54/83

eklindedir. Bu ifadeye ksmi integrasyonlar uygulanarak,

S(0)Y M+gf =

d4x

1

2Aa(g

) abA

b+

1

2Aa

abAb

=

d4

x

1

2 Aa

g1 1 abAb (4.64)bulunur. Eitlik (4.64)te

Kab (x y) =Aa

g

1

1

4 (x y) ab (4.65)

tanm yaplarak, Eitlik (4.65) cinsinden

S(0)Y M+gf= d4x d4y

1

2

Aa(x)Kab

4 (x y) Ab(y) (4.66)

formunda yazlabilir. Bu durumda (etkileimsiz) rete fonksiyoneli

Z(0)Y M+gf[J] =

[dA] e

iS(0)YM+gf+

d4xJ,aAa

=

[dA] exp

i

d4x d4y

1

2Aa(x) K

ab (x, y) A

b(y)

+i

d4xJ,a (x) Aa(x)

= exp

d4x d4y12

J,a (x) ab(x, y) J,b (y)

(4.67)

eklinde ifade edilir. Burada ab(x, y), Feynman propagatr olmak zere, Eitlik(4.5)te

verilen tanm gerei

d4z Kac (x, z)

bc(z, y) =

4 (x y) ba (4.68)

zdeliini salamas gerekir.

Eitlik (4.65)te ak hali grlen kernel iin propagatr, Eitlik (4.68) ifadesi ve Fourier

dnmnden de faydalanlarak

44


55/83

d4k

(2)4eik(xy)ab =

d4z 4 (x z)

g(z)

1

1

(z)

(z)

ac

d4

k bc

(k) eik(zy)

=

d4z d4k ab

4 (x z)(k)

gk2 +

1

1

kk

eik(zy)

=

d4k ab(k)

gk2 +

1

1

kk

eik(xy)

(4.69)

eklinde hesaplanr. Artk hesaplama cebirsel bir denklem zmne indirgenmi olur. Feyn-man propagatr kapal formda

(k) =A (k) g+ B (k) kk (4.70)

olarak yazlrsa, Eitlik (4.68) ve (4.69)dan A ve B katsaylarnn salayaca bir cebirsel

denkleme ulalr:

Ak2+kkA1

1

1

Bk2 = 1

(2)4

(4.71)

Buradan hareketle, Eitlik (4.70)de tanmlanan A ve B katsaylar

A = 1

(2)4

B = A ( 1) 1

k2 (4.72)

formunda bulunur. Bylece,

ab(x, y) =

d4k

(2)4eik(xy) 1

k2 +i

g+ ( 1)

kk

k2

ab (4.73)

ile tanmlanan Feynman propagatr elde edilmi olur. Bu ifadenin diagramatik gsterimi

(Feynman Diagram)

,a

,b=

1

k2 +i

g+ ( 1)

kk

k2

ab . (4.74)

eklindedir2.

2Buradakii paramtresi sonsuzkk bir paramtre olup, reel eksendeki kutuplarn integralde yol aacaraksamalardan kanmak iin gelitirilmi bir reglarizasyon yntemidir.

45


56/83

Eitlik (4.74)te= 1seimi (Feynman Ayar) ile propagatr

ab(x, y) =

d4k

(2)4eik(xy)

g

k2 +i (4.75)

formunda daha basit bir hale dnr. Skaler alan propagatrne benzediinden, bu seimlehesap yapmak ok daha kolaydr.

Benzer biimde hayalet alanlarn kuadratik eylem teriminden balanarak,

S(0)F P G=

d4x d4yca (x)abc

b (y) (4.76)

propagatr hesaplandnda

ab (x, y) = d4k

(2)4eik

(xy) 1(k)2 +iab (4.77)

elde edilir ve diyagramatik olarak

,a

,b=

ab

(k)2 +i(4.78)

ile gsterilir.

Etkileimli terimler iin verteks faktrlerini hesaplamak amacyla, eylemdeki etkileim te-

rimlerinin pertrbatif alm yaplabilir.J,ve srasylaA,cvecalanlarna kar gelen

kaynak terimler olmak zere, elde edilen

Z[J] =exp

i

d4x L

Ja,

a,

a

Z

(0)Y M+gf[J] Z

(0)F P G[,] (4.79)

rete fonksiyonelinden temel verteks fonksiyonlar () hesaplanabilir:

1. ayar bozonu ieren12

abcfaA,bA,c terimi iin, 3i=1 ki= 0durumunda;

,c ,b

k

k

k

,a

iabc =iabc

(k1 k2)g+ (k2 k3) g + (k3 k1)g

.

(4.80)

46


57/83

2. Drt ayar bozonu ieren 14

abcadeAbAcA

,dA,e terimi iin,4

i=1 ki= 0durumunda;

,a ,b

,d ,c

iabcd =

i

abecde (gg g g)

+acebde (gg gg)

+adecbe (gg gg) (4.81)

3. ki hayalet ve bir ayar bozonu ierenca (x) abcA,ccb (x)terimi iin,

c

,a

b

iabc =gabck (4.82)

sonularna ulalr.

47


58/83

5.BRST SMETRS

5.1.BRST Simetrisi

nceki blmde gsterildii zere, ayar sabitlemesi yapldktan sonra bulunan

Lef f = LY M+ Lgf+ LF P G

= 1

4FaF

,a 1

2(A

,a)2 +ca (Dc)a (5.1)

etkin Lagranjiyeni artk ayar simetrisine sahip deildir. Fakat bu Lagranjiyen hala kalnt bir

fermiyonik simetriye sahiptir. Yeni Lef f

Aa = w (Dc)a

ca = w

2fabccbcc

ca = w

(A

,a) . (5.2)

dnmleri altnda deimez kalr. Burada wdnmn parametresi ve sabit bir Grassman

saysdr.

Eitlik (5.2)deki dnmlere gre etkin Lagranjiyendeki baz terimlerin nasl dnt

incelendiinde, genel olarakA, c ve c alanlarn temsil etmek zere 2 = 0 olduu

grlr. Gerekten de,Aalan iin balanarak

(Dc)a = Dab c

b +fabcAbcc

= w

2Dab

(fbcdcccd

)+wfbcd (Dc)

ccd = 0 (5.3)

elde edilir. Benzer ekilde, calanna bakldnda

1

2fabccbcc

=fabccbcc = w

2fabcfbdecdcecc (5.4)

bulunur. Eitlik (5.4), SU(N) grubunun cebirinden ve hayalet alanlarn anti-komtasyon

ilikilerinden faydalanlarak1,

1

SU(N)grubunun anti-Hermityen jeneratrlerinin cebri:Ta, Tb

=fabcTc

ve Jacobi zdelii:Tc, T

d, Te + Td, [Te, Tc] + T

e, Tc, Td = 0facbfbde +fadbfbec +faebfbcd = 0

48


59/83

fabcfbdecdcecc = 1

3

(fabcfbdecdcecc +fabdfbeccecccd +fabefbcdcccdce

)=

1

3 (fabcfbde +fabdfbec +fabefbcd) cdcecc (5.5)formunda yazlabilir. Eitlik (5.5)te eitliin sa tarafnda, parantez iindeki ifade S U(N)

grubunun Jacobi zdelii olduundan, sfra eittir. Dolaysyla Eitlik 5.4de sfra eit olur.

Bylece, hayalet alanlar da iki kez dnme tabi tutulursa sonucun sfr olaca (2 = 0

karakteristii) gsterilmi olur.

Ayar sabitleme teriminin dnm ise,

(A,a) =w(D

c)a (5.6)

eklindedir. Anti-hayalet alanlar iin Eul

Documents

KUANTUM AYAR ALAN TEORİLERİNİN KUANTİZASYONU VE STANDART MODEL