1

Technická univerzita v Liberci

Fakulta strojní

Katedra částí a mechanismů strojů

Kuželová kola se šikmými a zakřivenými zuby

Zpracoval: doc. Ing. Ludvík Prášil, CSc.

Liberec 2010

2

1.1. Úvod do geometrie bočních ploch

Kuželových kol se šikmými a zakřivenými zuby se používá pro pohybu a momentu při různoběžných osách hřídelů a při větších nárocích na vlastnosti ozubení. Zakřivené zuby mají oproti přímým zubům řadu výhod (tichost chodu, větší únosnost, produktivnější způsob výroby, jednoduché omezení záběru ve střední části zubu, pak menší citlivost na vzájemnou polohu kol), pro které se jim dává přednost. Konstruktér však při návrhu musí respektovat závislost geometrie kuželových kol na zvolené výrobní metodě , na použitém výrobním stroji a nástrojích. Musí vycházet z výrobních možností výrobce a výpočet provádět ve spolupráci se specialistou.

Většinou bývá úhel os kuželových soukolí 90° a proto bude v dalším textu pojednáváno o tomto případu.

Tak jako ozubení čelních kol je vytvářeno odvalováním nástroje (hřebene, frézy) po roztečných (valivých) válcích, tak analogicky je možné ozubení kuželových kol vytvářet odvalováním základního rovinného kola po roztečných kuželích spoluzabírajících kol.

Výchozím útvarem pro geometrický rozbor ozubení a posléze i pro výrobu těchto kol je příslušné rovinné kolo s nepřímými zuby. K tomu lze teoreticky dospět následující úpravou rozměrově stejného rovinného kola se zuby přímými. Zuby kola se rozčlení systémem soumezných válcových řezů na elementární mezikruhové segmenty, které se pak vzájemně natočí a uspořádají tak, aby jejich středy (při sledování ve valivé rovině kola) ležely na jisté předem zvolené "řídící křivce". Řídící křivka je průsečnicí roztečné roviny základního rovinného kola s boky zubů a je kritériem, podle kterého se rozdělují jednotlivé výrobní způsoby. Na obr.1 je schematicky znázorněno vytváření zubu šikmého a zubu kruhově zakřiveného. Jako "řídící" se volí křivky především technologicky výhodné. Jejich průběh lze charakterizovat pomocí úhlu sklonu zubu β , jenž se podél křivky mění. Úhel sklonu je ostrý úhel, který svírá tečna v daném bodě křivky s jeho průvodičem (dostředivým paprskem). Prakticky významné jsou úhly sklonu v bodech na středním a vnějším poloměru - úhly mβ a

eβ (obr.1). Úhel mβ je základní geometrický parametr ozubení.

U geometrických prvků jako jsou: modul, rozteč, tloušťka zubu a šířka zubové mezery je nutno rozlišovat: a) hodnoty obvodové, měřené po obvodu valivých kružnic (průsečnic příčných válcových řezů s rovinou valivou) a označené indexem „t“ a b) hodnoty normálové, měřené v řezech kolmých na průběh zubu či zubové mezery a označené indexem „n“. Z nich jsou pak prakticky důležité především veličiny na středním a vnějším poloměru kola: modul obvodový střední a vnější a tm tem m ,

modul normálový střední a vnější a nm nem m .

Tyto čtyři prvky jsou vázány vztahy:

cos , cos ,nm nem e

tm te

m m

m mβ β= = (1)

0,5

1 0,5tm m eL

te e e

m L L b

m L Lψ

−= = = − . (2)

Pro obvodové prvky platí přímá úměrnost mezi jejich velikostí a odlehlostí od vrcholu roztečného kužele kola. Obdobné relace možno napsat i pro rozteče, tloušťky zubu a šířky zubových mezer. Úhly záběru (profilu) rovinného kola jsou vázány vztahem

3

;cos cos

nm net

m e

tg tgtg

α αα

β β= = (3)

obvodový úhel profilu tα je ve všech příčných válcových řezech stejný.

Obr. 1.

Věnec kuželových kol se zakřivenými zuby se navrhuje podle tvaru I, II nebo III, (obr. 2). Tvar I má nominální hodnoty ozubení v čelním vnějším řezu; modul tem se běžně normalizuje

a úhel 20 nebo 15 , ale také 14, 5 a 17,5 .tα = ° ° ° ° U tvaru II a III vystupují nominální hodnoty

zpravidla v řezu středním; normalizovány jsou: modul nmm a úhel profilu nmα , tj. veličiny,

které odpovídají parametrům výrobního nástroje. Moduly nmm a tem jsou vázány vztahem

( )

.1 0,5 cos

nmte

L m

mm

ψ β=

− (8)

Modul tem je potřeba pro výpočet výrobních a kontrolních rozměrů na vnější čelní ploše.

Základní rozměry kuželového ozubení uvádí následující stať 1.5.

4

Obr. 2.

5

1. 2. Rozdělení kol podle zakřivení zubů

Hlavní druhy ozubení jsou shrnuty na obr. 3, kde zakřivené zuby v roztečném řezu rovinného kola jsou schematizovány jejich řídícími křivkami. Ke každému druhu ozubení se tradičně váže jméno firmy - výrobce obráběcích strojů, který jeho výrobu zavedl.

Kola s šikmými zuby (obr.3b). Řídící křivkou je přímka, která na rozdíl od kol s přímými zuby (obr.3a) neprochází středem, ale dotýká se pomocné kružnice o poloměru e

(excentricita). Zuby doslova šikmé jsou pouze u rovinného kola; na kole s úhlem 90δ < ° se jeví jako šroubovitě vinuté. Věnec kol se provádí podle tvaru I s nominálními hodnotami ozubení ve vnější čelní ploše. Kuželovými koly se šikmými zuby se dosahuje poněkud lepších vlastností než u kol se zuby přímými. Úhel sklonu eβ (někdy mβ ) se volí v rozmezí 20º až 40º (zpravidla po 5º); zpravidla úhel

profilu zubu 20tα = ° , někdy 15o. Ozubení lze vyrobit na hoblovacích strojích, používaných

pro výrobu kol se zuby přímými (stroje fy: Reincker-Bilgram, Heidenreich & Harbeck aj.).

Kola s kruhovými zuby (metoda Gleason) (obr. 3c). Řídícími křivkami zubů jsou kružnice se středy na jisté kružnici pomocné. Úhel sklonu mβ se volí v rozmezí 30 45° ÷ ° , nejčastěji

35mβ = ° . Úhel profilu nmα = 14,5 ;17,5° ° nebo 20º. Technologicky výhodný je tvar věnce II;

používá se však i tvar I při 2 21 2 30cz z z= + < a tvar III při 100cz > . Zvláštním případem je

ozubení s kruhovými zuby "Zerol" (obr.3d), které je charakteristické úhlem sklonu 0mβ = .

Tento typ spojuje některé výhody zubů přímých (např. malé osové síly) s přednostmi zubů zakřivených. Kola s kruhovými zuby se vyrábějí na speciálních strojích firmy Gleason. Řídící křivkou je kružnice a boky zubů rovinného (plochého) kola jsou kuželové plochy. Nástroje jsou frézovací hlavy, nejčastěji se vsazenými noži. Frézování zubů je racionálnější než jejich obrážení u kol s přímými a šikmými zuby.

Kola s paloidními zuby (metoda Klingelnberg) (obr. 3e). Řídicí křivkou zubu je prodloužená evolventa (paloida). Typický je tvar věnce III se zuby o stálé výšce. Úhel profilu nmα = 20º

nebo 17,5º; úhel sklonu se volí v rozsahu 30 45mβ = ° ÷ ° . Ozubení se vyrábí na strojích firmy

Klingelnberg pomocí kuželové odvalovací frézy. Tento způsob výroby je již zastaralý.

Kola se zuby eloidními (metoda Oerlikon) (obr. 3f). Řídicí křivkou zubu je část prodloužené epicykloidy a boky zubů rovinného kola jsou vytvořeny složitou zborcenou přímkovou plochou, vznikající vzájemným pohybem nástroje a obrobku. Běžně se používá tvar věnce III, úhel sklonu 30 45mβ = ° ÷ ° a úhel profilu °= 5,17nmα . Ozubení se vyrábí na speciálních

strojích firmy Oerlikon – Spiromatic pomocí kotoučové frézovací hlavy se vsazenými noži v několika skupinách. Každá skupina obsahuje nůž s vnějším a vnitřním ostřím, případně i nůž hrubovací.

Kola se zuby spirálními (obr. 3g). Řídicí křivkou zubu je spirála, a to buď Archimedova nebo logaritmická.

Kola se zuby paloidními, eloidními a spirálními jsou v poslední době stále častěji nahrazována koly se zuby kruhovými.

Podle smyslu vinutí zubů se rozlišují kola „pravá“ a „levá“. Při pohledu od vrcholu a při sledování průběhu zubu od vnitřní čelní plochy k vnější se zuby „kola pravého“ stáčejí ve směru otáčení ručiček – zuby „kola levého“ proti směru otáčení ručiček hodinových (obr. 14). Zuby spoluzabírajících kol musí mít opačný smysl vinutí. Soukolí jako celek je charakterizováno smyslem vinutí u pastorku.

6

Obr. 3.

1. 3. Záběrové poměry

U soukolí se zakřivenými zuby je žádoucí otáčivý pohyb převážně v jednom smyslu. Smysl vinutí zubů se pak volí tak, aby zuby vstupovaly do záběru svými silnějšími konci, tj. na vnější čelní ploše kol (obr. 4) a aby u zubu pastorku byl pracovním jeho vydutý bok; axiální síly v ozubení mají pak tendenci oba členy v záběru vytlačovat. Při změně smyslu otáčení je pastorek nepříznivě „vtahován“ do kola (tato nevýhoda odpadá u ozubení Zerol). Na rozdíl od kol se zuby přímými je vstup zakřiveného zubu do záběru i jeho výstup pozvolný. Teoretický průběh záběru na zubu hnacího pastorku je naznačen na obr. 4: dotyk se postupně šíří do bodu E , pokračuje podle skloněných dotykových čar a opět se úží do bodu F . V praxi se však

řadou technologických úprav usiluje o to, aby se záběr realizoval pouze na jisté plošce boku označované jako „zrcátko“. Toto

opatření podstatně snižuje citlivost ozubení na nepřesnosti výroby a uložení kola a prakticky vylučuje hranový záběr zubů. S rostoucím zatížením se plocha zrcátka zvětšuje a mírně posouvá k silnějšímu konci zubu. Určitému pastorku přísluší po správném zaběhnutí zcela určité kolo.

Obr. 4.

7

1. 4. Soukolí porovnávací (bivirtuální) a jeho použití

Podobně jako u kuželových kol se zuby přímými lze i každému kuželovému kolu se zuby zakřivenými přiřadit pomyslné evolventní kolo válcové se zuby přímými, jejichž profil je prakticky stejný jako normálový profil zubů kuželového kola v jeho středním příčném řezu. Myšlenkový postup při odvozování tohoto porovnávacího kola možno sledovat na obr. 5. Sestává se ze dvou základních kroků: První krok spočívá v rozvinutí středního doplňkového kužele, v doplnění vzniklé výseče a v rozšíření kola na šířku b . Vede k virtuálnímu kolu, jehož průměr a počet zubů je dán vztahy:

´

´ ´ a cos cos

m vv v

tm

d d zd z

mδ δ= = = , (9)

čárky u veličin ´vd a ´

vz signalizují, že tu nejde o hodnoty konečné (jak je tomu u kuželových

kol s přímými zuby); patří totiž válcovému kolu se zuby šikmými o úhlu sklonu mβ .

Druhý krok řešení spočívá v přechodu od zmíněného kola se šikmými zuby k příslušnému porovnávacímu kolu s přímými zuby, které je pak konečným výsledkem řešení. Za použití známých vztahů odvozených pro porovnávací kola čelních ozubených kol se šikmými zuby platí pro toto „bivirtuální“ kolo

´

2 2cos cos cosv m

v

m m

d dd

β δ β= =

⋅ , (10)

´

3 3cos cos cosv

v

m m

z zz

β δ β= =

⋅ . (11)

Porovnávací kolo je obecně definováno počtem zubů vz , parametry profilu mnm, αnm, * * *, , a fh c r , součiniteli posunutí x , τx a šířkou věnce / cosn mb b β= .

Obr. 5.

8

Jeho využití je prakticky stejné jako u kuželových kol se zuby přímými. Kolo typu N bez podříznuté evolventy musí např. splňovat podmínku

*

3 2

2

cos cos sina

v Mt

m nm

hzz z

δ β α= ≥ =

⋅ ; (12)

minimální součinitel posunutí mx při V Mtz z< je dán vztahem

* Mt v

Mt a

Mt

z zx h

z

−=

a soukolí typu V-N lze realizovat při splnění 1 2 2v v Mtz z z+ ≥ .

Teoretický součinitel trvání záběru γε je u soukolí se zakřivenými zuby dán vztahem

βαγ εεε += ; (13)

Součinitel αε odpovídá záběru profilem a určí se známým způsobem ze záběrových poměrů

virtuálních kol při počtech zubů ´1vz a ´

2vz , při úhlu záběru tα . Součinitel βε , příslušející

záběru krokem, je dán vztahem

te

e

te

e

m

k

p

k

πε β == , (14)

kde krok ek se nejsnáze určí odměřením z rozměrového náčrtku – např. z obr. 1.

Při větších úhlech mβ je hodnota βε natolik výrazná, že je možno přejít na ozubení se

sníženou výškou hlavy 1* <ah , aniž se tím citelně sníží celková hodnota γε . Zvětšení mβ a

snížení *ah působí ve vztahu (12) souhlasnou tendencí, tj. umožňuje použití pastorku o velmi

malém počtu zubů bez podříznutých pat, např. až pro počet zubů 5=z . Soukolí s takovým pastorkem je pak rozměrově nenáročné a dovoluje realizaci vysokých převodových čísel až

10=u . Pro volbu součinitele *ah , přiměřeného úhlu mβ , se někdy doporučuje vztah

mah βcos* = . (15)

1. 5. Základní rozměry ozubení

Vztahy pro výpočet geometrických prvků jsou uspořádány do tří statí a to podle tvaru ozubeného věnce. Jsou uvedeny v obecném tvaru, platném pro kuželové soukolí typu V-N s nepřímými zuby a pro úhel os °=+=Σ 9021 δδ ; u soukolí typu N ( 0== τxx ). Kuželové

soukolí typu V-N s nepřímými zuby je obecně určeno: a) parametry kol: 1 2 1 2, , , , , , , mz z b x xτδ δ β ,

b) parametry základního profilu: * * *, , , , a fm h c rα .

Kuželové soukolí se nevyrábí normalizovaným nástrojem hřebenového typu jako u kol válcových, ale samostatnými noži. Je snaha uplatňovat normalizované parametry základního profilu. Co se týče posunutí, pak kromě výškového posunutí, určeného jednotkovým součinitelem x, lze realizovat obvodové posunutí nožů, dané součinitelem xτ. Toto posunutí vede ke zvětšení nebo zmenšení tloušťky zubu na roztečné kružnici. Posunutí obvodové se zpravidla kombinuje s posunutím výškovým.

9

Obr. 6.

Poloha nožů ve vnější čelní ploše výrobního kola je zakreslena na obr. 6, a to pro: a) soukolí typu N (posunutí jsou nulová) b) soukolí typu V-N s výškovým posunutím 1 2 ( ; 0)texm x x x xτ= = − =

c) soukolí s obvodovým posunutím 1 2 ( ; 0)tex m x x x xτ τ τ τ= = − = .

Obdobou výrobního hřebene je rovinné (ploché) výrobní kuželové kolo (obr. 7.). Jde o pomyslné rovinné kolo, jehož zuby doplněné hlavovou nástavbou, by při záběru s vyráběným kolem odvalily příslušné boční a patní plochy.

Obr. 7.

10

Každému kuželovému soukolí (dvojici sdružených kol) přísluší jedno společné rovinné výrobní kolo (veličiny se označují indexem c), obr. 8. Jeho valivá rovina se dotýká obou roztečných (resp. valivých) kuželů v jejich společné površce a při otáčení kuželových kol se sama otáčí okolo osy oc úhlovou rychlostí ωc, podle vztahu

1 2

1 2sin sinc

ω ωω

δ δ= = .

Do přímého styku s roztečnými kužely přichází z valivé roviny pouze jeho část, valivé mezikruží. Vnější roztečný průměr výrobního kola dec a jeho počet zubů zc jsou dány vztahy

1 2 1 2

1 2 1 2

2 ; sin sin sin sin

e e ec

ec e c

te

d d d z zd L z

mδ δ δ δ= = = = = = .

Pro nejčastější případ, kdy 90Σ = ° , platí

2 2 2 21 2 1 2; zec e e cd d d z z= + = + .

Obr. 8.

1. 5. 1. Tvar věnce I; zuby přímé, šikmé a kruhové (obr. 9)

Nominální hodnoty ozubení vystupují ve vnější čelní ploše; určující je modul tem ,

který se upravuje podle normalizované řady a úhel profilu tα , který u kol s přímými zuby

bývá 20 nebo 15tα = ° ° , u kol se zuby kruhově zakřivenými jsou hodnoty těchto parametrů

v podkapitole 1. 5. 2. Pro kolo se zuby přímými dále platí: ,0== ββm

,enete mmm ==

,mnmtm mmm ==

11

Kuželová vzdálenost vnější 22

215,05,0 zzmzmL tectee +== , (16)

Kuželová vzdálenost střední )5,01(5,0 Leem LbLL ψ−=−= , (17)

Šířka věnce eL Lb ⋅=ψ , (18)

Prvky na vnější čelní ploše:

Průměry roztečné 11 zmd tee = ; 22 zmd tee = (19)

Výška hlavy zubu teaae mxhh )( *1 +=

teaae mxhh )( *2 −= (20)

Výška paty zubu teafe mxchh )( **1 −+=

teafe mxchh )( **2 ++= (21)

Výška zubu: teaee mchhh )2( **21 +== (22)

Obr. 9.

12

Běžně se volí: - pro přímé zuby ;2,0;1 ** == cha

- pro šikmé a kruhové ozubení se sníženou výškou hlavy možno použít vztah .cos*

mah β=

Průměry hlavových kružnic: 1 1 12( )cosae te ad m z h x δ∗ = + +

2 2 22( )cosae te ad m z h x δ∗ = + + (23)

Průměry patních kružnic: 1 1 12( ) cosfe te ad m z h c x δ∗ ∗ = − + −

2 2 22( )cosfe te ad m z h c x δ∗ ∗ = − + − (24)

Tloušťka zubu a šířka mezery: ( ) 21 25,0 etete emxtgxs =+⋅+= ταπ

( )2 10,5 2e t te es x tg x m eτπ α= − ⋅ − = (25)

Výška hlavového kužele: 111 sincos δδ aee hLA −=

222 sincos δδ aee hLA −= (26)

Prvky úhlové:

Úhel hlavy zubu: e

aea

L

htg 1

1 =θ ; e

aea

L

htg 2

2 =θ ; (27)

Úhel paty zubu: e

fe

fL

htg

11 =θ ;

e

fe

fL

htg

22 =θ ; (28)

Úhel hlavového kužele: 111 aa θδδ += ; 222 aa θδδ += ; (29)

Úhel patního kužele: 111 ff θδδ −= ; 222 ff θδδ −= ; (30)

Vztahy pro 1aθ a 2aθ odpovídají klasickému provedení, kdy i radiální vůle v ozubení lineárně

klesá směrem k vrcholu V - při af VVV ≡≡ . Někdy se uplatňuje požadavek konstantní

radiální vůle tec m∗ ⋅ podél celého zubu; místo (27) třeba pak použít vztahy:

11 fa θθ = ; 22 fa θθ = ; (31)

úhel sklonu mβ a eβ u kol se šikmými zuby jsou vázány vztahem

eLL eemm =⋅=⋅ ββ sinsin , (32)

kde e je excentricita (obr. 1). úhel sklonu mβ a eβ u kruhově zakřivených zubů jsou vázány vztahem:

βββ ∆+= me ,

kde

−=∆

m

BA

L

CCbβ ,

mN

Ad

Cβcos

3,57

⋅= , mB tgC β65,28= , ( ) mN Ld 3,25,1 ÷= . (33)

1. 5. 2. Tvar věnce II; zuby kruhově zakřivené (obr. 10.)

Nominální hodnoty ozubení vystupují ve středním příčném řezu, odkud se převádějí do vnější čelní plochy; určující je modul nmm a úhel profilu nmα .

Kuželová vzdálenost střední: 22

215,05,0 zzmzmL nmcnmm +== ; (34)

Kuželová vzdálenost vnější: L

mme

LbLL

ψ5,015,0

−=+= ; (35)

Šířka věnce: eL Lb ψ= ; (36)

kde 35,0≤Lψ ;

13

Prvky uprostřed šířky zubu:

Průměr roztečné kružnice: 111 cosz

mzmd

m

nmtmm β

== ; 222 cosz

mzmd

m

nmtmm β

== ; (37)

Výška hlavy zubu: ( )*1a a nmh h x m= + ; ( ) nmaa mxhh −= ∗

2 ; (38)

Výška paty zubu: ( ) nmaf mxchh −+= ∗∗1 ; ( ) nmaf mxchh ++= ∗∗

2 , (39)

kde 1=∗ah ; 25,0=∗c .

Obr. 10.

Normálová tloušťka zubu: ( ) nmnmnm mxxtgs ταπ ++= 25,01 ;

( ) nmnmnm mxxtgs ταπ −−= 25,02 . (40)

Prvky úhlové:

Celkový úhel pat zubů: 1 2 sinf f f

m

aθ θ θ

βΣ = + = , (41)

kde 1 2 m

c

C C La

z

+= ; 1

10800 m

nm

tgC

tg

βα

= ; 12

2 sin m

N

CC

d

β= ; ( ) mN Ld 3,25,1 ÷= (42)

(pomocná veličina a se zaokrouhluje na násobek 10-ti )

Úhel paty zubu: nm

nmff

m

s

πθθ 2

1 Σ= ; 12 fff θθθ −= Σ (43)

(zaokrouhluje se na 1΄) Úhel hlavy zubu: 21 fa θθ = ; 12 fa θθ = ; (44)

14

(požadavek konstantní radiální vůle);

Úhly aδ a fδ - viz vztahy pro tvar věnce I.

Prvky na vnější čelní ploše:

Modul: ( ) mL

nmte

mm

βψ cos5,01−= . (45)

Výška hlavy zubu: 111 aaae hhh ∆+= ; 222 aaae hhh ∆+= ; (46)

přírůstek výšky se určí ze vztahů: 11 5,0 aa btgh θ=∆ ; 22 5,0 aa btgh θ=∆ ; (47)

Výška paty zubu: 111 fffe hhh ∆+= ; 222 fffe hhh ∆+= ; (48)

21 af hh ∆=∆ ; 12 af hh ∆=∆ ; (49)

Průměry ed , aed , fed , tloušťka zubu es , šířka mezery ee a výška hlavových kuželů A se určí

ze vztahů pro tvar věnce I. 1. 5. 3: Tvar věnce III; zuby kruhově i jinak zakřivené (obr. 11.)

Nominální hodnoty ozubení vystupují ve středním příčném řezu, odkud se přepočítávají do vnější čelní plochy; určující je modul nmm a úhel profilu nmα .

Kuželová vzdálenost mL a eL a šířka věnce b viz vztahy pro tvar věnce II.

Prvky ve středním řezu:

Roztečné průměry: 11 cosz

md

m

nmm β

= ; (50)

22 cosz

md

m

nmm β

= ; (51)

Výška hlavy zubu: 1 ( )a a nmh h x m∗= + ,

2 ( )a a nmh h x m∗= − ,

kde 1;ah∗ = 0, 25c∗ = . (52)

Výška zubu: 1 2 (2 ) nmah h h c m∗ ∗= = + . (53)

Normálová tloušťka zubu: 1 (0,5 2 )nm nm nms x tg x mτπ α= + ⋅ + ,

2 (0,5 2 )nm nm nms x tg x mτπ α= − ⋅ − . (54)

Úhel hlavového a patního kužele: 111 δδδ == fa , 222 δδδ == fa , (55)

Prvky na vnější čelní ploše:

Modul: (1 0,5 )cos

nmte

L m

mm

ψ β=

−. (56)

Ostatní prvky se určí ze vztahu pro tvar věnce I.

Poznámka: U kol paloidních, nebo eloidních aj. je vždy nutno respektovat pokyny, které uvádí výrobce příslušného výrobního zařízení.

15

Obr. 11.

1. 6. Volba součinitelů posunutí Správnou volbu součinitelů posunutí 1 2x x x= = − - u soukolí typu V-N lze dosáhnout

výrazného zlepšení jednotlivých vlastností soukolí, a tím i lepšího využití materiálů kol. Optimální součinitel x není, jak známo univerzální, ale záleží na tom, které vlastnosti soukolí se preferují. V tab. 1. jsou např. uvedené příslušné hodnoty x podle toho, zda se vyžaduje zvýšená pevnost zubů v ohybu, či zvýšená odolnost boků zubů proti opotřebení a zadírání.

Jisté "komplexní" zlepšení vlastností umožňuje kombinace výškového posunutí x a obvodového posunutím (ve směru tečny) xτ .

Podle výrobních podkladů lze příslušné součinitele určit ze vztahu:

3

21

cos12(1 ) mx

zu

β= − , (57)

)5,2( −+= ubaxτ . (58)

U kol s přímými zuby je 0=mβ ; posunutí τx se realizuje jen v případech, kdy u = z2 / z1 >

2,5; pomocné veličiny ba, se určí z tab. 2.

Poznámka: Součinitelé posunutí 1 2x x x= − ≡ by měly být vždy větší (minimálně rovny) než

je příslušné posunutí mx , odpovídající mezi podřezání paty zubu dané vztahem

Mt v

m

Mt

z zx

z

−= ,

kde vz a Mtz plynou ze vztahu (12).

16

Tab. 1.: Součinitelé posunutí 21 xx −= pro kuželová kola

zv1 zv2

12 15 18 22 26 30

0.25 0.22 0.19 0.17 - - A 22 0.328 0.201 0.101 0.000 - - B 0.28 0.26 0.23 0.20 0.17 - A

26 0.378 0.259 0.164 0.071 0.000 - B 0.30 0.29 0.26 0.22 0.20 0.19 A

30 0.400 0.298 0.207 0.121 0.056 0.000 B 0.34 0.32 0.30 0.28 0.25 0.22 A

34 0.432 0.329 0.238 0.158 0.100 0.047 B 0.38 0.36 0.34 0.32 0.30 0.28 A

42 0.466 0.372 0.288 0.216 0.155 0.101 B 0.42 0.41 0.39 0.37 0.36 0.35 A

50 0.487 0.398 0.326 0.251 0.190 0.138 B 0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 0.43 A

65 0.518 0.433 0.364 0.297 0.240 0.198 B 0.54 0.52 0.52 0.51 0.50 0.49 A

80 0.534 0.454 0.390 0.326 0.264 0.222 B 0.57 0.57 0.56 0.56 0.56 0.55 A

100 - 0.468 0.408 0.342 0.270 0.200 B

Poznámka: A…při požadavku zvýšené pevnosti v ohybu v patě zubu B…při požadavku zvýšené odolnosti boků zubů

Tab. 2. Pomocné veličiny pro stanovení obvodového posunutí

mβ 0°-15° 15°-29° 29°-40° 40°-

a 0,03 0.07 0.11 0.15 b 0.008 0.010 0.010 0.012

1. 7. Silové poměry

Rozbor silových poměrů vychází ze statické rovnováhy jednoho členu soukolí, např. pastorku, na který působí:

a) silová dvojice M, přiváděná hřídelem a zpravidla známá i co do velikosti b) osamělá síla FN - výslednice silového působení ze strany protikola; její působiště se klade do středního příčného řezu (kolmého) na površku roztečného kužele.

Hlavní část řešení spočívá v rozkladu obecně orientovaného vektoru normálové síly FN do tří vzájemně kolmých složek, které mají vůči ose kola výsadní postavení. Jde o složku tečnou – Ft, radiální Fr a axiální Fa. Řešení vychází z kolmého řezu na površku roztečného kužele uprostřed šířky ozubení. Rozklad vektoru síly FN lze názorně sledovat pro zuby přímé na obr. 12 a pro zuby zakřivené na obr.13.

Poněvadž složka Ft je jediná v rovnováze se známou vnější momentovou dvojicí M, pak vyšetření její velikosti je nasnadě. Je účelné vyjadřovat velikosti i ostatních složek výsledné síly (tj. radiální a axiální) v závislosti na složce Ft.

17

Pro kola s přímými zuby platí vztahy (α = αt): 2

t

m

MF

d= , (59)

tan cosr tF F α δ= ⋅ ⋅ , (60)

tan sina tF F α δ= ⋅ ⋅ , (61)

cost

N

FF

α= . (62)

Obr. 12

Pro kola se zakřivenými (nepřímými) zuby obvodovou složku Ft vypočítáme z rovnice (59). Všeobecně pro všechna kuželová kola s libovolným úhlem os a úhlem sklonu zubů βm s přihlédnutím ke smyslu otáčení a vinutí šroubovice platí rovnice :

pro axiální složku - hnací kolo (pastorek)

( )ta1 1 nm 1 m

m

sin tan cos sincos

FF δ α δ β

β= ⋅ ± ⋅ , (63)

- hnané kolo

( )ta2 2 nm 2 m

m

sin tan cos sincos

FF δ α δ β

β= ⋅ ⋅∓ . (64)

pro radiální složku - hnací kolo (pastorek)

( )tr1 1 nm 1 m

m

cos tan sin sincos

FF δ α δ β

β= ⋅ ⋅∓ , (65)

- hnané kolo

( )tr2 2 nm 2 m

m

cos tan sin sincos

FF δ α δ β

β= ⋅ ± ⋅ . (66)

18

Poznámka: V předcházejících rovnicích platí pro výraz v závorce horní znaménka + nebo -,

když smysl otáčení kola a vinutí šroubovice zubů jsou stejné a dolní znaménka, když smysl

otáčení kola a smysl vinutí šroubovice zubů nejsou stejné.

Výsledná normálová síla

.cos cos

tN

nm m

FF

α β=

⋅ (67)

Zatímco u soukolí ze zuby přímými jsou oba členy působením sil Fr a Fa vždy ze záběru vytlačovány, u soukolí se zuby nepřímými může nastat i jejich vtahování. Správné znaménko ve vztazích (64), (65), (66) a (67) závisí na smyslu vinutí zubů a smyslu M, které ovlivňují smysl sil Fr a Fa.

Tyto síly, stejně jako u čelních kol se šikmými zuby, jsou přiměřeně směrodatné pro stanovení zatížení ložisek a ohybového momentu zatěžující hřídel s kuželovým kolem. Je ovšem nutno si uvědomit, že síly byly určeny podle jmenovitého točivého momentu tak, že při případných extrémních provozních podmínkách musí být vynásobeny součinitelem vnějších dynamických sil KA.

Obr. 13.

Poněvadž uvažované veličiny M a FN (resp. Ft , Fr a Fa ) jsou nesourodé, rovnovážný stav celku "kola a hřídele" je možný pouze za přítomnosti dalších sil, které se indukují v oporách hřídele – v ložiskách. Jejich řešení je schématicky znázorněno na obr. 14. pro letmo uložený pastorek.

Obvodovou složku Ft je třeba doplnit na dvojici, s čím souvisí vznik síly o velikosti Ft

v ose hřídele (vektor s plnou šipkou). Zatímco složku Fr stačí po její nositelce posunout, a složku Fa lze přeložit do osy a připojit dvojici ma dF 5,0⋅ . Hřídel pastorku pak odpovídá

nosníku na dvou podporách, jehož převislý konec je zatížen v jedné rovině silou Ft a v druhé rovině ohybovou dvojicí ma dF 5,0⋅ a silou Fr ; nosník je dále nakrucován momentem M a

vystaven působení osové síly aF . Vyšetření reakcí v ložiskách a namáhání hřídele je pak již

19

zřejmé. Ze vzájemné kolmosti os pastorku a kola a z principu akce a reakce pro výše uvažované síly platí: 1 2t t tF F F= = ; NNN FFF == 21 ; 21 ra FF = ; 21 ar FF = . Řešení silových

složek stačí tudíž provést pouze u jednoho členu, zpravidla u pastorku.

Obr. 14. Příklady:

Př. 1.: Pro kuželové soukolí se šikmými zuby zadané parametry

z1 = 12; z2 = 35; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βe = 20o; ψL = b/Le = 0,3; x = 0; mte = 6, αt = 20o;

vypočítejte pro tvar věnce I: a) úhel sklonu zubu na středním poloměru βm, b) průměry roztečných kružnic kol dv1, dv2 a počty zubů zv1, zv2 bivirtuálních kol, c) stanovte vhodné jednotkové posunutí x pro korekci V-N soukolí (Tab. 1.).

Př. 2.: Pro kuželové soukolí s kruhově zakřivenými zuby zadané parametry

z1 = 12; z2 = 35; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βm = 20o; ψL = b/Le = 0,3; x = 0; mnm = 6, αnm = 20o;

vypočítejte pro tvar věnce I: a) úhel sklonu zubu βe na vnějším poloměru, b) průměry roztečných kružnic kol dv1, dv2 a počty zubů zv1, zv2 bivirtuálních kol, c) stanovte vhodné jednotkové posunutí x pro korekci V-N soukolí (Tab. 1.).

Př. 3.: Pro kuželové soukolí se šikmými zuby zadané parametry

z1 = 10; z2 = 38; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βe = 20o; ψL = b/Le = 0,3; mte = 5, αt = 20o; P1 = 12 kW; n1 = 24 s-1; l = 110 mm,

vypočítejte síly zatěžující ložiska letmo uloženého kuželového pastorku (viz obr. 14). Zvolte: - vzdálenost působiště sil v ozubení od ložiska A, - smysl vinutí šroubovice a točivého momentu tak, aby radiální i axiální složka působila v kladném smyslu, viz obr. 13. a obr.14.).