Upload
restu-aprilianto
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
1/156
1
CALCULUS 2
BY:
GUNARTO,M.EngDepartment of Mechanical Engineering
Muhammadiyah University of Pontianak
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
2/156
2
CALCULUS 2
Referensi :
1.Paul A.Foerster, Calculus Concepts and Applications , Key Curriculum Press, 2005
2.Jerrold Marsden &Alan Weinstein, CalculusI,II,III , Springer Verlag New York Inc.,1985
3.Paul Dawkin, Calculus II , 2007
4.John Bird ,Higher Engineering Mathematics ,Fifth Edition, Published by Elsevier Ltd.,2006
5.Benjamin Crowell,Calculus, Light and Matter,2010
6.K.A.Stroud, Engineering Mathematics ,
Industrial Press,Inc. New york, 2001
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
3/156
3
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
4/156
4
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
5/156
5
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
6/156
6
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
7/156
7
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
8/156
8
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
9/156
9
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
10/156
10
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
11/156
11
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
12/156
12
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
13/156
13
Find;
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
14/156
14
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
15/156
15
Find;
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
16/156
16
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
17/156
17
Find;
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
18/156
18
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
19/156
19
Find;
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
20/156
20
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
21/156
21
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
22/156
22
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
23/156
23
Contoh soal:
1.Tentukanlah integral berikut :
2.a.Tentukanlah I = diketahui bahwa I =25
apabila x =3b.Tentukanlah I = diketahui bahwa I =16
apabila x = 2
dxxcos2h. sin5.
dxxg. 6
.
4 j. dx8f. 3.
xi. sece. .
1/2
x
-326
xdxd
dx x
c
dxdxeb
dx xdxdx xa
x
dx x24
dx5
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
24/156
24
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
25/156
25
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
26/156
26
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
27/156
27
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
28/156
28
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
29/156
29
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
30/156
30
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
31/156
31
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
32/156
HOMEWORK!
FIND:
32
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
33/156
33
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
34/156
34
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
35/156
35
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
36/156
36
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
37/156
37
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
38/156
38
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
39/156
39
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
40/156
40
C
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
41/156
41
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
42/156
42
k
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
43/156
43
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
44/156
44
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
45/156
45
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
46/156
46
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
47/156
47
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
48/156
48
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
49/156
49
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
50/156
50
+C
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
51/156
51
+C
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
52/156
52
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
53/156
53
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
54/156
54
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
55/156
55
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
56/156
56
a x
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
57/156
57
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
58/156
58
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
59/156
59
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
60/156
60
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
61/156
61
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
62/156
62
Homework!
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
63/156
63
Homework!
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
64/156
64
Homework!
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
65/156
65
Homework!
INTEGRASI DENGAN PECAHAN PARSIAL
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
66/156
INTEGRASI DENGAN PECAHAN PARSIAL
Pernyataanseperti tidak
muncul dalam daftar integral standarkita,tetapi sebenarnya muncul pada banyakpenerapan matematis.
Sebenarnya,
C x
dx
x
dx
x
dx
x x
xdx
x x
x
sehingga x x x x
x x x
x
)12ln(2
1 5)(xln3
12
1
5
3
)12)(5(
87
5112
87
121
53
)12)(5(87
511287
2
2
dx x x
x
5112
872
18/03/2013 Gunarto
Aturan-aturan dari pecahan parsial adalah sbb:
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
67/156
Aturan-aturan dari pecahan parsial adalah sbb:
a.Pembilang dari fungsi yang diberikan harusmemiliki derajat yang lebih rendah daripadapenyebutnya.Jika tidak demikian, makapertama-tama bagilah dengan menggunakanpembagian panjang.
b.Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor prima.Ini penting karena faktor-faktoryang diperoleh akan menentukan bentuk daripecahan parsial.
18/03/2013 Gunarto
c Faktor linear (ax + b) menjadi pecahan
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
68/156
c.Faktor linear (ax + b) menjadi pecahanparsial
d.Faktor linear (ax + b)2 menjadi pecahanparsial
e.Faktor linear (ax + b)3 menjadi pecahanparsial
2)( bax
B
bax
A
18/03/2013 Gunarto
bax
A
32 )()( baxC
bax B
bax A
f Faktor kuadratik (ax2 + bx + c) menjadi
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
69/156
f. Faktor kuadratik (ax + bx + c) menjadipecahan parsial
cbxax B Ax
2
18/03/2013 Gunarto
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
70/156
70
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
71/156
71
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
72/156
72
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
73/156
73
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
74/156
74
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
75/156
75
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
76/156
76
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
77/156
77
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
78/156
78
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
79/156
79
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
80/156
80
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
81/156
81
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
82/156
82
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
83/156
83
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
84/156
84
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
85/156
85
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
86/156
86
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
87/156
87
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
88/156
88
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
89/156
89
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
90/156
90
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
91/156
91
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
92/156
92
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
93/156
93
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
94/156
94
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
95/156
95
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
96/156
96
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
97/156
97
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
98/156
98
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
99/156
99
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
100/156
100
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
101/156
101
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
102/156
102
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
103/156
103
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
104/156
104
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
105/156
105
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
106/156
106
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
107/156
107
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
108/156
108
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
109/156
109
Determine:
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
110/156
110
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
111/156
111
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
112/156
112
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
113/156
113
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
114/156
114
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
115/156
115
Above
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
116/156
116
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
117/156
117
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
118/156
118
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
119/156
119
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
120/156
120
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
121/156
121
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
122/156
122
below
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
123/156
123
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
124/156
124
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
125/156
125
figure
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
126/156
126
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
127/156
127
Figure
Figure
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
128/156
128
the figure
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
129/156
129
the figure
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
130/156
130
figure
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
131/156
131
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
132/156
132
Homework!
D t i
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
133/156
133
Determine:
The velocity v of a body t seconds after a certaininstant is: (2t2 + 5) m/s. Find by integration how
far it moves in the interval from t=0 to t=4 s
Sketch the graph y = x3 +2x2 - 5x - 6 between x=-3
and x=2 and determine the area enclosed by the
curve and the x-axis
Determine the area enclosed between the
curves y = x2 +1 and y=7-x
(a) Determine the coordinates of the points of
intersection of the curves y = x2 and y2 = 8x.
(b) Sketch the curves y = x2 and y2 = 8x on the same
axes.
(c) Calculate the area enclosed by the two curves
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
134/156
134
The curve y=x2+4 is rotated one revolutionabout the x-axis between the limits x=1 and
x=4. Determine the volume of the solid of
revolution produced
Two parabolas y=x2 and y2=8x is rotated
360° about the x-axis and y-axis. Determinethe volume of the solid produced
Centroids of simple shapes
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
135/156
135
A lamina is a thin flat sheet having uniform thickness.
The centre of gravity of a lamina is the point where it balances perfectly, i.e. the lamina’s centre of mass.
When dealing with an area (i.e. a lamina of negligible
thickness and mass) the term centre of area or centroid
is used for the point where the centre of gravity of a
lamina of that shape would lie.
Centroids
The first moment of area
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
136/156
136
The first moment of area is defined as the product of the area
and the perpendicular distance of its centroid from a given axis inthe plane of the area. In Fig. above the first moment of area Aabout axis XX is given by (Ay) cubic units.
Centroid of area between a curveand the x -axis
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
137/156
137
The Figure shows an area PQRS bounded by thecurve y=f(x), the x-axis and ordinates x=a andx=b. Let this area be divided into a large numberof strips, each of width δx.A typical strip is shown shaded drawn at point
(x,y) on f(x).The area of the strip is approximately rectangularand is given by yδx. The centroid, C, hascoordinates (x, y/2).
First moment of area of shaded strip about axis
Oy= yδxx=xyδx.
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
138/156
138
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
139/156
139
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
140/156
140
Centroid of area between a curve and the y -axis
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
141/156
141
If x and y are the distances of the centroid of area EFGH in the Figurefrom Oy and Ox respectively, then, by similar reasoning as above:
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
142/156
142
Show, by integration, that the centroid of a rectangle
lies at the intersectionof the diagonals
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
143/156
143
lies at the intersectionof the diagonals
Determine by integration the position of the centroid of the area
enclosed by the line y=4x, the x-axis and ordinates x=0 and x=3
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
144/156
144
enclosed by the line y 4x, the x axis and ordinates x 0 and x 3
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
145/156
145
Determine the co-ordinates of the centroid of thearea lying between the curve y=5x-x2 and the x-axis
Locate the centroid of the area enclosed by the curvey=2x2, the y-axis and ordinates y=1 and y=4,correct to 3 decimal places
Locate the position of the centroid enclosed by thecurves y=x2 and y2=8x
Second moments of area and radius of gyration
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
146/156
146
Second moment of area of regular sections
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
147/156
147
The procedure to determine the second moment of area of regular sections about a given axis is (i) to find the secondmoment of area of a typical element and (ii) to sum all suchsecond moments of area by integrating between appropriatelimits.
b
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
148/156
148
In Figure, axis GG passes through thecentroid C of area A. Axes DD and GG are inthe same plane, are parallel to each other
d di t d t Th ll l iD
Parallel axis theorem
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
149/156
149
and distance d apart. The parallel axistheorem states:
Using the parallel axis theorem the secondmoment of area of a rectangle about an axisthrough the centroid may be determined. Inthe rectangle shown in Figure,
D
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
150/156
150
12
83
2
3
3
3
32
2
3
2
2
32
2
2
2
2
22
bh I
hb yb I
y
bdy yb I
bdy ydA y I
h
h
h
h
h
h
h
h
dA y I x2
b
h
b
yh
w
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
151/156
151
12
43
43
3
44
0
43
0
32
0
2
bh I
hh
h
b I
yhy
h
b I
dy yhyh
b I
dy yhh
b y I
yhh
bw
x
x
h
x
h
x
h
x
Determine the second moment of area and the radius of gyration about axes AA, BB and CC for the rectangle
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
152/156
152
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
153/156
153
Determine the second moment of areaand radius of gyration for the semicircleshown in Figure about axis XX
Determine the second moment of areaand radius of gyration about axis QQ of
the triangle BCD shown in Figure
Find the second moment of area andthe radius of gyration about axis for therectangle shown in Figure.
Second moments of areas of composite areas
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
154/156
154
Determine the second moment of area and the radius of gyration about axis XX for the I-section shown in Figure.
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
155/156
155
Homework!
8/18/2019 KULIAH Kalkulus 2 Tahun 2013
156/156
For the sections shown in Figure, find the second momentof area and the radius of gyration about axis XX.