Kut i Brojevna Kruznica

Kut i brojevna kruznica

1.

1

1. Kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Radijanska mjera kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Brojevna kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Rjesenja zadataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1.1. KutDe nicija kuta U dosadasnjem smo skolovanju kut definirali kao dio ravnine odreden dvjema zrakama polupravcima sa zajednickim pocetkom. Oznacavali smo ga simbolom pVq slika 1.1. Pritom moramo posebno oznaciti lukom ili na koji drugi nacin na koji dio ravnine odreden tim parom zraka mislimo.q

p V V

Sl. 1.1. Kut je dio ravnine odreden zrakama sa zajednickim pocetkom.

p q

Takoder smo naucili odredivati mjeru kuta. Mjera kuta bio je pozitivan broj, izmedu 0 i 360 . U ovisnosti o tome kolika im je mjera, za neke smo kutove govorili da su siljasti, pravi, tupi, ispruzeni, izboceni i puni. U slozenijim primjenama trigonometrije, morat cemo rjesavati probleme u kojima kut moze imati mjeru vecu od 90 . Stovise, pokazuje se da za mnoge probleme moramo dopustiti da kut ima mjeru vecu od 360 , ili pak da ona bude negativna. Zato cemo prosiriti pojam kuta i njegove mjere.

2

1. KUT I BROJEVNA KRUZ NICA

Zamislimo da se neka zraka vrti oko svoje pocetne tocke V . Neka je njezin pocetni polozaj zraka p , a zavrsni zraka q . Pri toj vrtnji zraka je prebrisala dio ravnine koji smo zvali kut i oznacavali s pVq . Kako bismo opisali nacin vrtnje, uz pocetnu i zavrsnu zraku nacrtat cemo i kruzni luk sa strjelicom koja oznacava smjer vrtnje. q

p V V p q

Sl. 1.2. U kutu pVq zraka p je pocetna zraka (prvi krak), zraka q zavrsna zraka (drugi krak), a luk i strjelica naznacavaju vrtnju.

Kut

Kut je ureden par p q dviju zraka koje imaju isti pocetak V . Oznacavamo ga s pVq . Tocku V nazivamo vrh, zraku p nazivamo prvi krak ili pocetni krak, a zraku q drugi krak ili zavrsni krak kuta pVq . Ovako definiran kut naziva se jos i orijentirani kut.

Sad cemo pojam mjere prosiriti i na orijentirani kut. Ako iz pocetne zrake p kuta pVq dolazimo do zavrsne zrake q vrtnjom u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, tad kazemo da se zraka vrti u pozitivnom smjeru. Mjera kuta dobivenog vrtnjom u pozitivnom smjeru je pozitivna.135 90 60 -270

-330

180 p

-180 p

330 -135 270 -90 -60

Sl. 1.3. Za kut koji je dobiven vrtnjom u pozitivnom smjeru kazemo da ima pozitivnu mjeru (lijevo). Zraka p prvi je krak kuta. Na slici su istaknuti neki polozaji drugog kraka kuta i oznacene mjere kuta. Ako se vrtnja odvijala u negativnom smjeru (desno), tad je mjera kuta negativna.

Ako se pak vrtnja odvijala u negativnom smjeru u smjeru kretanja kazaljke na satu, tad uzimamo da je mjera kuta negativna. Na slici 1.3. navedene su pozitivne mjere lijevo i negativne mjere desno nekih kutova s pocetnim krakom p .

1.1. KUT

3

Zadatak 1. Na slici 1.4. lijevo nacrtana je kruznica i istaknute tocke A , B , C , D , E . Ako je mjera kuta AOC jednaka 100 , mjera kuta BOD jednaka 160 i mjera kuta BOE jednaka 140 , kolike su mjere kutova DOC , DOE , AOC i COB ?C B

C

B

D O A O F D E A

1

E

Sl. 1.4.

Na slici 1.4. desno kruznica je podijeljena na dvanaest jednakih dijelova. Kolike se mjere kutova AOC , AOE , BOE , DOA , BOF , FOD , COB oznacenih na slici?

Neka se vrtnja u kutu odvija u pozitivnom smjeru. Puni kut ima mjeru 360 , u njega se zraka q nakon jednog punog okreta podudara sa zrakom p . Nastavi li se zraka q vrtiti u istom smjeru, dobit cemo kut s mjerom vecom od 360 slika 1.5.. 60

390

V

360 p

Sl. 1.5. Mjera kuta moze biti i veca od 360

Odredivanje mjere kuta. Glavna mjera Nacrtajmo sad po volji odabrani kut pVq . Kolika je njegova mjera? Ovdje znamo pocetnu i zavrsnu zraku kuta, ali ne znamo kako se je tocno odvijala vrtnja koja je zraku p prevela u zraku q . Naime, pri vrtnji zraka p moze i po vise puta prebrisati cijelu ravninu dok ne dode u polozaj q . Zato isti kut moze imati vise razlicitih mjera.

4


q

p

Sl. 1.6. Kut pVq ima beskonacno mnogo mjera. Svake dvije medu njima razlikuju se za visekratnik od 360 .

V

Neka je D neka mjera kuta pVq . Tad istom kutu odgovara i mjera od D + 360 ili pak D + 720 i opcenito D + k 360 za neki prirodni broj k , ali isto tako i mjera D 360 , D 720 , opcenito D k 360 za neki prirodni broj k . To naglasavamo pisuci da je mjera kuta pVq neki broj iz skupa f

D

+k

360f: : :

k 2 Zg: 690: : :g

Tako na primjer, za Df

=

30 , sve mjere kuta cine skup

30 30=f

360 30 120

720

: : :g

=

330 30 390 750

: : :g

a ako je D

120 jedna mjera kuta 360 120=

pVq ,

onda su sve njegove mjere 480 120 240 600: : :g:

120

720

f: : :

840

Bilo kakvu pocetnu mjeru D odabrali, u ovom ce se skupu naci mjera D 0 za koju vrijedi 0 ? D 0 360 . Tu mjeru nazivamo glavna mjera kuta pVq .D0

mjera kuta pVq , onda je njegova glavna mjera 370 360 = 10 . Ako je D = 1230 mjera kuta pVq , onda je D 0 = 1230 3 360 = 150 njegova glavna mjera. Ako je D = 70 mjera kuta pVq , onda je D 0 = 70 + 360 = 290 njegova glavna mjera.=

Primjer 2. Ako je D = 370

Formulu za racunanje glavne mjere mapisat cemo rabeci funkciju najveci cjelobrojni dio. Za svaki realni broj x , sa bx c oznacavamo najveci cijeli broj manji ili jednak od broja x . Funkciju f x = bx c nazivamo najveci cjelobrojni dio. Za pozitivne argumente vrijedi npr. b2:3403c = 2 , bS c = b3:1415 c = 3 , b4c = 4 . Dakle, najveci cjelobrojni dio pozitivnog broja dobijemo tako da zanemari mo decimalni dio broja. Ako je argument ove funkcije negativan, onda je, na primjer, b 3:232c = 4 , p b 5c = b 2:236 c = 3 , ali b 5c = 5 .

1.1. KUT

5

Glavna mjera kuta

Glavna mjera D 0 kuta s mjerom D odreduje se formulom D D0 = D 360 : 360

Primjer 3. Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je D.

D Imamo 360

=

1276 360

= 3 54 pa je:

= 1276

.

1

k= iD0

D 360

= b3 54 c = 3:

= 1276

3 360

= 196

:

Primjer 4. Odredimo glavnu mjeru D 0 kuta za koji je D.

Sad je k=

D 360

=

5320 360

=

5320 . 15

=b

14:77 c =

pa dobivamo

D0

=

5320

15 360

= 800

:

Zadatak 5. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:

1) D 4) D Zadatci 1.1.1.

= 788 ; = 3450 40 ;0

2) D 5) D

= 2310 ; = 1390 15 35

00

3) D ; 6) D

= 3000 20 ; = 2820 35 200 0

00

.

2.

1) D = 38 ; 2) D = 47 150 ; 3) D = 82 490 3300 ; 5) D = 75 430 4500 ; 6) D = 10 590 0100 . 4) D = 11 110 1100 ; D, E 180 suplementarna su, ako je D + E = 180 . Odredi Dva kuta D i E , 0 suplement kuta D ako je: 1) D = 33 ; 4) D = 111 110 1100 ; Odredi kut E za kojega je D 2) D = 48 250 ; 5) D = 79 590 5900 ; + E = 360 , ako je: 3) D 6) D

Dva kuta D i E , 0 D, E komplement kuta D ako je:

90

komplementarna su, ako je D

+ E = 90

. Odredi

= 121 = 100

440 3300 ; 010 0100 .

3.

4. 5. 6.

1) D = 220 350 ; 2) D = 115 470 ; 3) D = 299 400 5500 ; 0 00 0 00 5) D = 89 59 59 . 4) D = 11 22 33 ; Mjere unutarnjih kutova trokuta u omjeru su 4 : 5 : 6 . Koliki su ti kutovi? Odredi mjere vanjskih kutova tog trokuta. Mjere unutarnjih kutova konveksnog cetverokuta u omjeru su 5 : 7 : 8 : 12 . Koliki su ti kutovi? Odredi glavnu mjeru kuta D ako je: 1) D = 555 ; 2) D = 1210 ; 3) D = 2 000 ; 5) D = 990 450 1500 ; 6) D = 2121 210 2100 . 4) D = 7 770 ;

6


1.2. Radijanska mjera kuta

Sto je radijan? Mjere kutova dosad smo izrazavali u stupnjevima. Medutim, osim stupnjeva mozemo odabrati i drugu jedinicu za mjerenje. Uobicajena je druga jedinica radijan 1 . Nacrtajmo kruznicu polumjera r sa sredistem u vrhu kuta. Opseg kruznice je 2S r . Izdvojimo luk l te kruznice cija je duljina r . Taj luk odreduje kut za koji kazemo da ima mjeru 1 radijan. Pisemo D = 1 rad, ili kratko, D = 1 .

Sl. 1.7. Radijanska mjera kuta. Ako je duljina l luka kruznice jednaka polumjeru r , tad sredisnji kut ima mjeru 1 radijan. Njegova mjera u stupnjevima je (priblizno) 57 .

Opcenito, radijanska mjera kuta odreduje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka slika 1.8.:D rad

l =r

:

1

l

r

P Dr

Sl. 1.8. Radijanska mjera kuta. Sredisnji kut D nad lukom duljine l ima mjeru l=r radijana. Ta se fomula najcesce koristi za racunanje duljine luka: l = D r

1 2r S Tako, na primjer, pravom kutu odgovara mjera od 4 = S = 1:5707 radijar 2 2rS = 2S = 6:2831 radijana. na, dok punom kutu odgovara mjera od r1

U uporabi je sve rjede i treca jedinica grad; puni kut ima 400 grada.

1.2. RADIJANSKA MJERA KUTA

7

Duljina luka i povrsina kruznog odsjecka

Ako poznajemo mjeru kuta D u radijanima, onda je duljina pripadnog luka jednaka l = D r: 2 Povrsina kruznog isjecka je P= 1 rl 2

= 1 D r2 2

:

3

1

Pretvorba stupnjeva u radijane Ispruzenom kutu polovici punog kuta mjere 180 odgovara radijanska mjera S . Ako je zadana mjera kuta u stupnjevima, tad se odgovarajuca mjera u radijanima odreduje iz omjera: D : 180 = D rad : S : Odavde jeD rad D = 180

S

4

Primjer 1. Nacrtajmo kruznicu u Kartezijevom pravokutnom sustavu. Neka je prva zraka kuta pozitivni dio osi apscisa i neka se drugi krak vrti u pozitivnom smjeru. Nacrtajmo neke istaknute kutove i zapamtimo njihove radijanske mjere:S _ 2

5S 6

3S 4

2S 3

S _ 3

S _ 4

S _ 6

S

O

2S

p

7S 6

5S 4

Sl. 1.9. Radijanske mjere nekih istaknutih kutova.

4S 3

3S 2

5S 3

7S 4

11S 6

Napisimo te vrijednosti u tablici koju je nuzno zapamtiti u cemu nam pomaze crtez na slici 1.9..

8


Stupnjevi Radijani Stupnjevi Radijani

30S 6

45S 4

60S 3

90S 2

120 2S 3 300 5S 3

135 3S 4 315 7S 4

150 5S 6 330 11S 6

180S

210 7S 6

225 5S 4

240 4S 3

270 3S 2

360 2S

Primjer 2. Kutu mjere D

odgovara radijanska mjera 20 S D= S = = 0:34906 rad: 180 9 Kutu mjere 45 odgovara radijanska mjera 45 S D= S = = 0:78539 rad: 180 4 Kutu mjere D = 201 odgovara radijanska mjera 201 D= S = 3:50811 rad: 180 Na nekim je dzepnim racunalima postupak pretvorbe stupnjeva u radijane programiran. Dovoljno je unijeti vrijednost kuta u stupnjevima i uporabiti tipku ! RAD : 20 ! RAD = 0:34906 rad Prije pretvorbe u radijansku mjeu, moramo minute i sekunde pretvoriti u dijelove stupnja. To se radi tako da se broj minuta podijeli sa 60, a broj sekunda podijeli s 3600 i oba tako dobivena broja dodaju broju stupnjeva.Primjer 3. Pretvorimo u stupnjeve sljedece kutove:

= 20

5 80 2600 29 00 1200 47 140 200

8 26 = 5 + 60 + 3600 = 5 14056:

12 = 29 + 3600 = 29 00333:

2 = 47 + 14 + 3600 = 47 23389 60:

:

Na nekim racunalima i ovaj je postupak programiran. Podatke treba unijeti na ovaj nacin:stupnjevi:

minute

sekunde

:

Treba paziti da se minute i sekunde unose uvijek s dvije decimale. U gornjem zadatku unos izgleda ovako: 5 : 0 8 2 6 2 9 4 7: :

0 0 1 2 1 4 0 2

1.2. RADIJANSKA MJERA KUTA

9

Nakon toga se pritiskom na tipku za pretvaranje dobiva rezultat. Tipka na razlicitim racunalima moze imati razlicita imena. Obicno je oznacena s HR ili DEG . Provjerite usporedbom vrijednostima iz ovog primjera!Zadatak 4. Odredi radijanske mjere stupnjeva u tablici

!

!

10 33 124

38 120 3400 78 40 2100 245 130 200

423 120 3300 1220 1

15

Pretvorba radijana u stupnjeve Ako je zadana mjera kuta u radijanima, tad se mjera u stupnjevima racuna na nacinD

rad = D S 180

:

Primjer 5. Odredimo mjeru u stupnjevima ako je D

=S 8

te E

= 73S .

. Racunajuci po 5, imamo S 180 D = 8 180 = = 22:5 = 22 300 S 8 7S 7 180 E = 3 180 = = 420 : S 3

Primjer 6. Odredimo mjeru u stupnjevima kuta mjere 1 rad.

. Sad je1 rad =

1 180 S

= 57:295779

:

Decimalni dio stupnja pretvaramo u minute i sekunde. To radimo na uobicajeni nacin: mnozeci decimalni dio sa 60 dobit cemo broj minuta, a decimalni dio minuta cemo na isti nacin pretvoriti u sekunde: 0:295779 = 0:295779 60 0 = 17:74670 0:74670 = 0:7467 6000 = 44:8000

Dakle, 1 rad = 57 17 45 .0 00

10


Na vecini dzepnih racunala i ovaj je postupak programiran. Da bismo decimalni dio stupnja pretvorili u minute i sekunde, dovoljno je pritisnuti tipku oznacenu s D.MS , 0 00 ili pak s HMS .

!

!

57:295779

!

D.MS

=

57:174480:

Prve dvije znamenke poslije decimalne tocke odreduju broj minuta, a ostatak broj sekunda u kutu koji zaokruzujemo na dvije znamenke. Dakle, 1 rad = 57 170 4500 .

Na nekim dzepnim racunalima citav je postupak pretvorbe radijana u stupnjeve programiran. Dovoljno je unijeti vrijednost kuta u radijanima i uporabiti tipku DEG . Time cemo dobiti vrijednost kuta u stupnjevima. Tako na primjer za kut D = 2 rad dobivamo 2 DEG = 114:59155 : : : Dobili smo vrijednost kuta u stupnjevima. Sad treba decimalni dio stupnja pretvoriti u minute i sekunde: 0 00 D.MS = 114 35 30 :

!

!

!

Zadatak 7. Popuni sljedecu tablicu:

radijani stupnjevi

1.5

2

3.14

S

S 7

7S 10

Primjer 8. Polumjer kruga iznosi 2 m. Koliki je sredisnji kut kruznog isjecka kojemu je povrsina jednaka 3 m2 ?

. Iskoristit cemo formulu za povrsinu kruznog isjecka, da bismo odredili mjeru sredisnjeg kuta: 1 6 P = D r2 = D = 2Pr2 = = 1:5: 2 4 Ova je mjera dana u radijanima. Mjera kuta u stupnjevima je D = 85:94366 = 85 560 3700 .

Zadatci 1.2.1. Odredi glavnu mjeru kuta D ako je njegova mjera u radijanima jednaka: 1234S 113S 55S ; 2) ; 3) ; 1) 8 12 3 531S 4) 33 ; 5) ; 6) 1000 . 4 Odredi u radijanima mjeru komplementa kuta M ako je: S 5S 3S 4S 2) M = ; 3) M = ; 4) . 1) M = ; 3 12 8 9

2.

1.3. BROJEVNA KRUZ NICA3. Odredi u radijanima mjeru kuta od 1) 30 , 45 , 75 , 120 , 135 ; 3) 7 300 , 15 , 20 , 22 300 , 25 ; Popuni sljedecu tablicu: stupnjevi radijani 5. Odredi u stupnjevima mjeru kuta zadanu u radijanima S S 3S 5S 2S 4S 7S 11S 14S 22S , , , , ; 2) , , , , ; 1) 4 5 7 8 9 3 3 3 3 3 3) S , 5 , 3S , 0:35 , 4:28 . Popuni sljedecu tablicu: radijani stupnjevi 7. 8. 9. 3 2.22 5.62 11 0.7 22 300 187 300 108 450 192 316 150 270

11

2) 210 , 225 , 300 , 330 , 360 ; 4) 220 , 400 , 480 , 570 , 720 .

4.

1

6.

Duljina tetive dane kruznice jednaka je duljini polumjera kruznice. Izrazi u radijanima mjeru sredisnjeg kuta koji pripada toj tetivi. Na danoj kruznici istaknut je luk cija je duljina jednaka duljini promjera kruznice. Izrazi u stupnjevima sredisnji kut koji pripada tom luku. Tockama A , B , C i D kruznica je podijeljena na lukove cije su duljine u omjeru 6 : 3 : 4 : 5 . Izrazi u radijanima glavne mjere sredisnjih kutova koji pripadaju lukovima sto su odredeni tockama A , B , C i D . Izrazi u radijanima glavne mjere unutarnjih kutova cetverokuta ABCD .

10. Duljina polumjera kruznice jednaka je 5 cm. Izrazi u radijanima i stupnjevima glavne mjere sredisnjih kutova koji pripadaju lukovima te kruznice ako su duljine lukova jednake 12 cm, 18 cm i 31 cm. 11. Polumjer kruznice iznosi 25 cm. Odredi duljinu kruznoga luka te kruznice ako mu pripada sredisnji kut od 1:25 radijana.

1.3. Brojevna kruznicaU pravokutnom Kartezijevu sustavu O; x y nacrtajmo kruznicu k cije je srediste u ishodistu sustava, a polumjer 1 . Neka je A = 1 0 tocka na presjeku kruznice i osi apscisa. Prislonimo brojevni pravac okomito uz kruznicu k , tako da svojim ishodistem dira kruznicu u tocki A . Zamislimo da se taj pravac bez rastezanja namata oko kruznice. Tad ce se njegov interval 0 2S i preslikati na citavu kruznicu, jer je opseg kruznice 2S . Isto ce se dogoditi i s intervalom 2S 4S i , kao i s intervalom 2S 0i i svakim drugim intervalom duljine 2S . Tako se svaki realni broj t s brojevnog pravca preslikava u jednu tocku Et na kruznici k . Tu kruznicu zato zovemo brojevna kruznica.

12


4 S 3

y

2

_ S2 1

A

x

Sl. 1.10. Namatanjem brojevnog pravca na kruznicu definirano je pridruzivanje tocaka kruznice realnim brojevima: t Et = T , koje nazivamo eksponencijalno preslikavanje. Broju 0 odgovara tocka 1 0 , broju S =2 tocka 0 1 , broju S tocka 1 0 . Primijetimo da ista tocka odgovara i broju S , dok se S =2 preslikava u 0 1 .

-1 S _ 2 -2

7!

-3 -S -4

Eksponencijalno preslikavanje

Svakom broju t brojevnog pravca pridruzena je tocka T na brojevnoj kruznici. Time je definirano preslikavanje E izmedu realnih brojeva i tocaka brojevne kruznice koje nazivamo eksponencijalno preslikavanje. Pisemo Et = T .

Tako se npr. broj S =6 s pravca preslikava u tocku T = ES =6 za koju kut AOT ima mjeru S =6 = 30 . U tu istu tocku preslikat ce se i brojevi S =6 + 2kS , k = 1 2 : : : . Nacrtaj sliku! S Broju 0 brojevnog pravca odgovara tocka A = 1 0 . Broju odgovara tocka 2 3S 0 1 . Dalje je E S = 1 0 , E = 0 1 , E2S = 1 0 , itd. 2 Svakom realnom broju odgovara samo jedna tocka na brojevnoj kruznici. Medutim, jednoj tocki T na brojevnoj kruznici odgovara beskonacno mnogo brojeva na pravcu. Tako se, na primjer, svi brojevi

f S + 2kS 3

k=0

1 2 : : :g

preslikavaju u istu tocku na brojevnoj kruznici. Koristeci eksponencijalno preslikavanje, mozemo jos jednom iskazati precizniju definiciju mjere i glavne mjere kuta:

1.3. BROJEVNA KRUZ NICA

13

Mjera kuta

Svakoj tocki T brojevne kruznice odgovara tocno jedan broj D iz intervala 0 2S i na brojevnom pravcu. Taj se broj D naziva glavna mjera kuta AOT . Skup svih mjera tog kuta je fD + 2kS k 2 Zg:S , k 2 N. 6

Primjer 1. Nacrtajmo na brojevnoj kruznici tocke pridruzene brojevima k S _ E(2 ) S _ E( 3 )

1

E( 5S ) 6

2S ) 3

E(

S 13 S E( _ ) =E ( ) = ... 6 6

E(S )

O

E (2S ) x 11 S ) 6

E(

7S ) 6 E( 4S ) 3 E( E( 3S ) 2 5S ) 3

E(

Sl. 1.11. Tocke brojevne kruznice S pridruzene brojevima k . 6

Zadatak 2. Nacrtaj na brojevnoj kruznici tocke pridruzene brojevima 1 2 3 Koje se medu njima nalaze u drugom kvadrantu? Primjer 3. U kojem se kvadrantu nalazi tocka pridruzena broju t=

:::

10 .

. Neka je T = Et . Mjera kuta AOT je t = 100 radijana. Da bismo odredili u kojem se kvadrantu nalazi ova tocka, trebamo odrediti glavnu mjeru t 0 ovog kuta: t t0 = t 2S = 100 b15:915c 2S = 100 30S = 5:7522 2S 3S Ovaj je broj veci od = 4:712 , a manji od 2S = 6:283 . Zato se tocka T nalazi 2 u cetvrtom kvadrantu.Zadatci 1.3.1. Odredi na brojevnoj kruznici tocke Et pridruzene realnim brojevima t : S 7S 5S 3S 13S 12S : 2 2 2 Odredi na brojevnoj kruznici tocke Et pridruzene realnim brojevima t : 7S 5S 3S 9S 11S 17S 17S 119S 99S 119S : 3 6 4 2 3 4 6 3 4 3

100 ?

2.

14

1. KUT I BROJEVNA KRUZ NICAS S t k + 1 , za sljedece tocke Et : E10 , E8 , 2 2 E2 , E3:3 , E 33 . Smjesti sve te tocke na brojevnu kruznicu. S Nacrtaj pravilni sesterokut upisan brojevnoj kruznici i s vrhovima u tockama A = Ek , k 3 k = 0 1 2 3 4 5 . Na kojem luku sto je odreden s dva susjedna vrha tog sesterokuta leze tocke: 23S p E3 3 , E 15 , E , E 313 , E17:2 ? 4 S Nacrtaj pravilni osmerokut upisan brojevnoj kruznici i s vrhovima u tockama A = Ek , k 4 . k = 0 1 2 : : : 7 Na kojem luku sto je odreden s dva susjedna vrha tog osmerokuta leze tocke: p 33S E1 , E 2 , E , E 22 , E111 , E 10:22? 4

3.

Odredi cijeli broj k tako da je k p

4.

5.

6.

7.

Oznaci na brojevnoj kruznici sljedece intervale realnih brojeva: S 3S 5S 5S S S 1) h i; 2) h i; 3) h i; 3 4 6 3 2 6 2S S 13S 19S 4) h i; 5) h i. 3 6 3 6 Koristeci se samo ravnalom i sestarom, uz zadanu jedinicnu duzinu, nije moguce konstruirati duzinu cija je duljina jednaka S danih jedinica. Provedi sljedecu konstrukciju: Nacrtaj kruznicu sa sredistem S i polumjerom r = 1 . U krajnjoj tocki D njezina promjera CD konstruiraj tangentu. Zatim konstruiraj kut ASD od 30 ciji ce jedan krak tangentu sjeci u tocki A . Odredi tocku B tako da je jABj = 3 . I konacno, spoji duzinom tocke B i C . Pokazi da je jBCj S .C

S30

A

D

B

Documents

Kut i Brojevna Kruznica