Kézi Csaba Gábor, Szíki Gusztáv Áron, Vámosi Attila ... · függvények, képletek széles köre alkalmassá teszi matematikai, mérnöki, statisztikai számítások elvégzésére

Kézi Csaba Gábor, Szíki Gusztáv Áron, Vámosi Attila, Vinczéné Varga Adrienn

Matematikai szoftverek alkalmazása műszaki számításokban

2014. Budapest


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 1

Dublin Core Head

Tananyag cím:


Szerzők:

Kézi Csaba Gábor

Szíki Gusztáv Áron

Vámosi Attila

Vinczéné Varga Adrienn

Szerkesztő:

Kocsis Imre

Lektor:

Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár

Kulcsszavak:

matematikai szoftver, műszaki számítás, dinamika, szilárdságtan, statisztika, módszertan

Összefoglaló:

A matematikai szoftverek megjelenése átalakította a mérnöki munkát azáltal, hogy a matematikai modellekben kidolgozott formulák, számítási eljárások a gyakorlati mérnöki munkában is végrehajthatóvá váltak. Megfelelő teljesítményű számítógépek és megfelelő algoritmusok hiányában a döntéseket megalapozó mérnöki számítások szabványokra, becslésekre, tapasztalatokra épültek, mivel az elméletekből adódó pontos értékeket szolgáltató számítások vagy nem voltak kivitelezhetők, vagy a számolás irreálisan sok időt vett igénybe. Ma már széles körben elérhetők a nagy teljesítményű számítógépek és a bonyolult számításokat elvégezni képes szoftverek, ezért a műszaki képzésben használni kell ezeket, hogy a végzett mérnökök a mindennapi munkájukban tényleges segédeszközként tekintsenek rájuk. Ez a tananyag három műszaki témakörből kiragadott példákon keresztül mutatja be a matematikai szoftverek alkalmazásának lehetőségét. Elsődleges célunk a szoftverekben rejlő lehetőségek áttekintése, de minden részben röviden összefoglaljuk a feldolgozott feladatokhoz kapcsolódó elméleti hátteret is. Annak érdekében, hogy a bemutatott eszközök a lehető legszélesebb körben használhatók legyenek, arra törekedtünk, hogy mindenki számára elérhető (jellemzően ingyenes) szoftverekkel dolgozzunk. A tananyagot módszertani segédanyagnak szánjuk. Reményeink szerint a műszaki tárgyakat a középiskolákban vagy a felsőoktatásban oktatók, illetve az oktatói munkára készülő mérnöktanár szakos hallgatók hasznos ismeretekkel gazdagodnak, és ötleteket meríthetnek a saját témájuk feldolgozásához.

Dátum: 2014. december 12.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 2

Tartalomjegyzék

A szerkesztő előszava............................................................................................................................................. 4

1. Matematikai szoftverek ..................................................................................................................................... 6

1.1. Áttekintés ........................................................................................................................................... 6

1.2. Az alkalmazott szoftverek bemutatása ................................................................................................ 7

1.2.1. GeoGebra ............................................................................................................................ 7

1.2.2. wxMaxima ........................................................................................................................... 8

1.2.3. R.......................................................................................................................................... 9

1.2.4. Microsoft Office Excel ........................................................................................................ 10

1.2.5. WolframAlpha ................................................................................................................... 11

1.3. Az alkalmazott szoftverek összehasonlítása ...................................................................................... 13

1.3.1. Mátrixműveletek ............................................................................................................... 13

1.3.2. Függvények ....................................................................................................................... 14

1.3.3. Statisztika .......................................................................................................................... 14

2. Szilárdságtani számítások ................................................................................................................................. 17

2.1. Tenzorok, sajátértékek, sajátvektorok megjelenése az alapkísérletekben .......................................... 17

2.1.1. Alkalmazott matematikai ismeretek .................................................................................. 17

2.1.2. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek....................................................................................... 19

2.1.3. Kidolgozott feladatok ........................................................................................................ 23

2.1.4. Gyakorlófeladatok ............................................................................................................. 42

2.2. Súlypont, másodrendű nyomatékok .................................................................................................. 45


2.2.2. Alkalmazott matematikai ismeretek .................................................................................. 46



2.3. Projektfeladatok ............................................................................................................................... 57


2.3.2. Kidolgozott projektfeladat ................................................................................................. 58

2.4. Irodalmi hivatkozások ....................................................................................................................... 64

3. Mozgástan ....................................................................................................................................................... 65

3.1. Anyagi pont mozgását leíró pálya menti mennyiségek és kapcsolatuk ............................................... 65

3.1.1. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek [1], [2] ........................................................................... 65

3.1.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [3], [4], [5] ................................................................. 65



TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 3


3.2. Anyagi pont mozgásegyenlete és annak megoldása .......................................................................... 88

3.2.1. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek [1], [2] ........................................................................... 88

3.2.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [4], [5], [6] ................................................................. 88


3.2.4. Gyakorlófeladatok ........................................................................................................... 104

3.3. Munka és teljesítmény. A munkatétel és alkalmazása ..................................................................... 107

3.3.1. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek [1], [2] ......................................................................... 107

3.3.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [4], [5] ..................................................................... 107

3.3.3. Kidolgozott feladatok ...................................................................................................... 107


3.4. Projektfeladatok ............................................................................................................................. 117

3.4.1. Kidolgozott projektfeladatok ........................................................................................... 117

3.5. Irodalmi hivatkozások ..................................................................................................................... 129

4. Gyártási folyamatok statisztikai elemzése ...................................................................................................... 130

4.1. Leíró statisztika ............................................................................................................................... 130

4.1.1. Alkalmazott matematikai ismeretek ................................................................................ 130



4.2. Statisztikai hipotézisek vizsgálata .................................................................................................... 137




4.3. Illeszkedés és függetlenségvizsgálat ................................................................................................ 147




4.4. Legkisebb négyzetek módszere ....................................................................................................... 155




4.4. Projektfeladatok ............................................................................................................................. 158

4.4.1. Kidolgozott projektfeladatok ........................................................................................... 158

4.4.2. Gyakorló projektfeladatok ............................................................................................... 165

4.5. Irodalmi hivatkozások ..................................................................................................................... 165


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 4

A szerkesztő előszava Az informatikai eszközöknek az utóbbi évtizedekben tapasztalt fejlődése jelentősen átalakította egyrészt a fiatalok szemléletmódját, készségeit, másrészt a mindennapi mérnöki munkát. Itt az ideje, hogy ezekre a változásra a műszaki oktatás átgondoltan és hatékonyan reagáljon.

Ebben a könyvben a műszaki tananyag oktatásának módszertana szempontból közelítjük meg a kérdést, arra helyezve a hangsúlyt, hogy miként lehet a mérnök hallgatókban, vagy akár már a műszaki szakközépiskolásokban is, kialakítani a problémamegoldást támogató matematikai szoftverek tudatos használatának igényét és képességét.

Az, hogy a felsőoktatásba érkező fiatalok viszonyulása az informatikai eszközökhöz milyen változáson ment keresztül jól ismert tény, ma már a legtöbb hallgatónál bármikor „bevethetően” ott van egy hordozható számítógép (telefon, táblagép vagy laptop). A számítógépekkel együtt felnőtt generációk számára a számítógép használata bármilyen szituációban, így a matematikai számítások végrehajtásában is természetes. Ezt a helyzetet inkább ki kell használni, mint különféle megfontolások alapján gátolni. Az oktatásmódszertannak kell megtalálni az eszközök alkalmazásának megfelelő módját, ahogyan a műszaki és a hétköznapi életben is azonnal elterjednek a hatékonynak bizonyuló megoldások.

Az IT fejlődésének kifejezetten a mérnöki munkára gyakorolt hatásai közül kettőt emelünk ki, mindkettőnek jelentősége van az oktatás, és ezen belül a matematikai ismeretek alkalmazása szempontjából.

A legnagyobb hatású változást minden bizonnyal a műszaki (gépészeti, statikai, villamos, stb.) tervezőrendszerek elterjedése eredményezte azzal, hogy a korábban kivitelezhetetlen számításokat automatikusan elvégezik. Ezek a szoftverek jelen vannak oktatásában, megismerésük ma már természetes része a műszaki képzésnek. Mivel ezekben a rendszerekben háttérben, a felhasználó számára rejtve futnak a matematikai algoritmusok, a szoftverek szakszerű alkalmazásának nem feltétele a matematikai háttér alapos ismerete, így a tervező szoftverek oktatása csak áttételesen kötődik matematikai tanulmányokhoz.

A tervezőrendszerek a szerteágazó mérnöki tevékenységnek azonban csak egy részét fedik le, vannak olyan feladatok, melyek bonyolult matematikai számítások közvetlen alkalmazását igénylik. Annak, hogy a matematikai szoftverek elérhetővé váltak a minden felhasználó számára, ezen a téren is nagy változást kell eredményeznie. A napi mérnöki munka döntően olyan műszaki rendszerek és folyamatok kezelését jelenti, melyek mögött kidolgozott matematikai modellek és elméletek állnak, megteremtve a műszaki döntéseket megalapozó számítások elvi lehetőségét. A szükséges számítási eljárások azonban a nagyteljesítményű személyi számítógépek és a megfelelő szoftverek széleskörű elterjedése előtt megvalósíthatatlanok voltak, a döntéseket a tapasztalatokra és a mérnöki becslésekre, szabványokra alapozták, a mindennapi munka során fel sem vetődött a pontos számítások végrehajtása. Mivel az informatika fejlődése nyomán a matematika a „hozzáértők privilégiumából” az alkalmazók eszközévé vált, a számítási lehetőségek kibővülése nyomán lehetővé vált az elméleti eredmények „apró pénzre” váltása, a gyakorlati életben fellépő problémák megoldása azáltal, hogy a munka „nehezét” a számítógép elvégzi.

Ebben a könyvben az utóbbi kérdéskörrel foglalkozunk, mert a matematikai szoftvereknek a mérnöki munkába mindennapi eszközként való bevonása terén bőven vannak előrelépési lehetőségek.

A matematikai szoftverek hatékony használatának kialakítása összetett feladat, mivel együtt kell kezelni a matematikai, fizikai és műszaki ismereteket, valamint a kiválasztott szoftverek használatával kapcsolatos technikai kérdéseket. Az, hogy a műszaki matematika oktatásába a lehető legnagyobb mértékben be kell vonni azokat a jellegzetes műszaki témaköröket, melyekben a tárgyalt matematikai ismereteket alkalmazzák többé-kevésbé elfogadott a műszaki felsőoktatásban. A tipikus műszaki problémát szakszerű felvezetésével elérhető, hogy a hallgatók szükséges eszközként tekintsenek a matematikára, és hogy a műszaki tárgyak tanulásakor felkészülten érjék őket a megjelenő matematikai


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 5

formulák, levezetések, módszerek. De ettől még nem alakul ki bennük az az érzés, hogy szükség esetén végre is tudják hajtani a számításokat.

Látszólag nem nagy különbség aközött, hogy a számításokat a döntés-előkészítés során a mérnök ténylegesen végrehajtja-e vagy csak rutinszerűen, becsléssel oldja meg a feladatot. Valójában azonban igen nagy gazdasági jelentőséggel bír a műszaki életben az alternatívák elemzésének, a „mi van akkor, ha…?” típusú kérdések megválaszolásának. Ma már célszoftverek segítségével hatékonyan és elfogadható költséggel lehet elemezni alternatív műszaki megoldásokat, és kiválasztani a legmegfelelőbbet.

Ahhoz, hogy a matematikai szoftverek a mérnöki munka napi eszközévé válhassanak, a képzés során a mérnököknek meg kell ismernie az elérhető szoftverek körét, az ezek által kínált lehetőségeket, és kellő gyakorlatot kell szerezniük ezek használatában. A megfelelő tapasztalattal a hátuk mögött, a munkájuk során nem „félnek” a számítógép által elvégzett számításokra hagyatkozni.

A matematikával szemben általánosan tapasztalható tartózkodó magatartás („félelem”) a matematikai számítások nehézségére, az absztrakt fogalomrendszer bonyolultságára vezethető vissza, kevés mérnökhallgató szereti igazán a matematikát. De ha ki tudjuk alakítani azt az érzést bennük, hogy matematikai szoftverek segítségével képesek jól definiált lépéssorozatokat korrektül végrehajtani, akkor a jelenségeket leíró formulák nem kezelhetetlen, pusztán elméleti dolgokként, hanem a problémamegoldás természetes módjaként jelennek meg számukra.

A tananyag összeállításakor azt tűztük ki célként, hogy felhívjuk a figyelmet az elérhető matematikai szoftverekre, és néhány összetett probléma számítógépes megoldásának részletezésével mutassuk be a szoftverhasználat lehetőségét és módját.

A bemutatott tananyag-feldolgozási módszer előzményét képezi egyrészt a Debreceni Egyetem Műszaki Karán, a Törésmechanika tárgy keretében alkalmazott módszer, melynek lényege, hogy a tárgy gyakorlatain a hallgatók megismerik, hogy egy kiválasztott matematikai szoftverben hogyan lehet a szükséges számításokat végrehajtani, és ez után kapnak szakmai feladatot. A szükséges számításokat elvégzik a szoftverben, majd a kidolgozott feladatot prezentáció formájában mutatják be, ahol ismertetik a műszaki problémát, az alkalmazott matematikai módszert és ennek megvalósítását a szoftverben, valamint a kapott eredmény műszaki értelmezését. Másrészt – a Törésmechanika oktatásában szerzett tapasztalatok alapján – a Matematika tárgy oktatásába is bevezetésre került a műszaki tartalmú (szakhoz kötődő), a matematikai számítások tekintetében összetett projektfeladatok kiadása. A projektfeladatok célja annak a fent említett célnak az elérése, hogy a mérnökhallgatókban alakuljon ki az érzés, hogy képesek a matematikát alkalmazni akkor is, ha a technikailag nehéz matematikai számítások terén nem a legkiválóbbak közé tartoznak.

A bemutatott példákban ismertetjük a műszaki problémakört, a kapcsolódó matematikai módszert, és a módszerek kivitelezését az egyes szoftverekben. A tananyagot elsősorban módszertani segédanyagnak szánjuk, nem matematikát, fizikát, mechanikát, stb. kívánunk tanítani, de nem is szoftvereket akarunk részletesen bemutatni. A projektfeladatok megfogalmazásával, megoldásával azt kívánjuk érzékeltetni, hogy miként lehet akár a matematika, akár valamelyik műszaki tárgy keretein belül hatékonyan kezelni a technikai nehézségeket a szoftverek segítségével, és ezzel eszközt adni a leendő mérnökök kezébe.

Bemutatjuk azt is, hogy az alkalmazott számítási eljárások mely szoftverekben valósíthatók meg, amiből kiderül, hogy az egyes szoftvereket milyen esetekben célszerű alkalmazni. Ebben a tekintetben egyfajta kézikönyvként is szolgál a tananyag.

A könyv fejezetei a szilárdságtan, a dinamika és a statisztika témakörökhöz kötődnek, de az alkalmazások tanulmányozásával meg lehet alapozni más területen fellépő feladatok kezelését is.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 6

1. Matematikai szoftverek

1.1. Áttekintés

Matematikai szoftverek ma már nagy számban elérhetők, vannak köztük kereskedelmi célúak (megvásárolhatók, vagy meghatározott időtartamra kifizethetők) és ingyenesen használhatók is. A szoftverek többsége telepíthető, de néhány szoftvernek létezik online változata is, illetve van olyan szoftver is, melynek csak online változata létezik.

A szoftverek tudása nagyon különböző, és általánosságban elmondható, hogy az ingyenesen elérhető változatok esetén előbb-utóbb korlátokba ütközünk, ha bonyolult problémák megoldására vállalkozunk, főleg akkor, ha a számítások szimbolikus végrehajtását is szeretnénk.

Legismertebb kereskedelmi célú matematikai szoftverek:

Matlab Mathematica Maple Statistica SPSS GAUSS WolframAlpha Pro Microsoft Office Excel

Szabad hozzáférésű szoftverek:

FreeMat GeoGebra Maxima Octave R Scilab Weka WolframAlpha (ingyenes változat) LibreOffice Calc

Könyvünkben főként szabad hozzáférésű szoftverek használatát mutatjuk be példák megoldásán keresztül. Kivételt képez ez alól a Microsoft Office Excel táblázatkezelő szoftver, mely kereskedelmi célú, de használata széles körben elterjedt, középiskolai és felsőoktatásban is oktatott, valamint a napi munkavégzés során is gyakran használt szoftver. Bár eredeti funkciója táblázatkezelés, de a beépített függvények, képletek széles köre alkalmassá teszi matematikai, mérnöki, statisztikai számítások elvégzésére.

A könyvben a GeoGebra, a Maxima, az R és az Excel szoftverekkel, valamint a WolframAlpha szabad elérésű online verziójával oldunk meg különböző nehézségű és különböző matematikai számításokat igénylő feladatokat a szilárdságtan, a dinamika és a statisztika egyes témaköreiből.

Megjegyzés:

A szoftverek számítási pontosságát nem vizsgáltuk (bár egyes esetekben az eredményeket érdemes összehasonlítani), de azt általánosságban meg kell jegyezni, hogy a lebegőpontos számábrázolás „pontatlansága” elvi problémákat is felvet, mivel a feltételvizsgálatokat tartalmazó algoritmusok hibás eredményt adhatnak emiatt. Például az 1.2/0.2-6 értékét 0 helyett az említett szoftverek többsége -8.881781 ∙ 10-16 értékként határozza meg.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 7

1.2. Az alkalmazott szoftverek bemutatása

1.2.1. GeoGebra

A GeoGebra egy olyan szabad felhasználású matematikai szoftver, mely széles körű feladatmegoldásra képes, és a megoldásokat, eredményeket – amennyiben az értelmezhető – koordinátarendszerben is ábrázolja. Többféle kezelőfelülete, adatbeviteli és megjelenítő ablaka van, mint például az egyszerű Algebra ablak, a grafikus Rajzlap, a konzolos jellegű CAS-komputeralgebra ablak vagy a Táblázatkezelő. A GeoGebrával interaktív bemutatókat, alkalmazásokat is lehet készíteni és közzétenni, melyek az oktatásban és a feladatok megértésében is nagyon jól használhatók.

Egyik előnye, hogy magyar nyelvű kezelőfelülettel és magyar parancsszavakkal működik. Súgója szintén magyar nyelvű, de annak fordítása még folyamatban van, az angol nyelvű súgó bővebb.

További előnye a vektorgrafikus jellege, azaz a rajzlapon kézzel megrajzolt geometriai alakzatokat felismeri és az algebra ablakban megjeleníti azok matematikai leírását, így azok közvetlenül használhatóak további számításokhoz.

Hiányosságát a mátrixműveletek területén a sajátérték és sajátvektor meghatározása során tapasztaltunk, valamint azt, hogy statisztikai próbák közül F-próbát nem tartalmaz, továbbá a differenciálegyenletek megoldása is csak numerikusan lehetséges.

Magyar nyelvű oldala, ahonnan a telepítő készlet letölthető: http://www.geogebra.org/


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 8

Magyar nyelvű leírása is elérhető itt: http://wiki.geogebra.org/hu/Főoldal

Online változat: http://web.geogebra.org/chromeapp/

Az általunk használt verzió: 4.4.45 magyar nyelvű változat

1.2.2. wxMaxima

A Maxima egy nagy múltra visszatekintő komputeralgebrai rendszer. Eredeti nevén (Macsyma) 1968-ban kezdték fejleszteni és 2000-től vált szabadon elérhető és hozzáférhető szoftverré. A Maximát több platformra is kifejlesztették: Windows, Linux és MacOS mellett van Androidos változata is. A klasszikus konzolos jellegű szoftverek közé tartozik, de az általunk is használt wxMaxima grafikus felülettel is rendelkezik, így az eredmények ábrázolása is megoldott.

A wxMaxima magyar nyelven elérhető, de a parancsok angol nyelvűek, illetve angol rövidítésekből képzettek. A magyarsága abban rejlik, hogy az egyes műveletekhez magyar nyelvű menüpontokon keresztül, magyar nyelvű űrlapok kitöltésével is eljuthatunk (ezek az űrlapok a beírt adatokból elkészítik az angol nyelvű parancssort, és azt adják át a programnak). Jegyzetünkben az angol parancssorokat fogjuk megadni a wxMaxima használatakor, de azokból az űrlapon beadandó értékek is könnyen kiolvashatók.

Jól használható algebrai feladatok megoldására, egyenletek, egyenletrendszerek megoldására, differenciálegyenletek, kezdeti érték problémák megoldására, melyeket numerikusan és analitikusan is meg tud oldani. Leíró statisztikai számítások és hipotézisvizsgálatok elvégzésére is alkalmas. Az


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 9

eredményeket képletszerűen vagy numerikusan is megadja, illetve grafikus felületen is tudja azokat ábrázolni.

Magyar nyelvű telepítő készlete több oldalról is letölthető, az általunk használt verziót innen érhetik el: http://andrejv.github.io/wxmaxima/

Magyar nyelvű leírás mintapéldákkal elérhető például innen: http://mek.oszk.hu/09800/09846/09846.pdf

Online változatot nem találtunk.

Az általunk használt verzió: 13.04.2 magyar nyelvű változat

1.2.3. R

Az R egy főleg statisztikai számítások elvégzésére és ábrázolására létrehozott nyílt forráskódú, szabad felhasználású szoftver. Az R nagy számú statisztikai eljárást tartalmaz, de általunk is fejleszthető csomagok (packages) betöltésével a legtöbb matematikai, mérnöki számítás elvégzésére alkalmas. Jól dokumentált rendszer, az eljárások, utasítások, műveletek, csomagok részletesen dokumentáltak, működésük mintapéldákon keresztül bemutatott.

Eredetileg konzolos jellegű szoftver, melyhez készült grafikus kezelői felület is (RGui), mi is ezt a változatot használjuk a feladatok megoldása során.

Jól használható statisztikai, valamint lineáris algebrai feladatokhoz. Hiányossága például, hogy integrálni, deriválni és differenciálegyenleteket megoldani csak numerikusan tud. Deriválás esetén ugyan képes megadni parametrikusan az analitikus alakot is, de annak értelmezése egy összetett függvény esetén rendkívül bonyolult. Grafikus ábrázolásban szabad kezet ad, de ennek hátránya, hogy az ábrázoláshoz kapcsolódó mindent paramétert a felhasználónak kell beállítani, nincs benne egyszerű (sablonos) megjelenítő utasítás.

A szoftver angol nyelvű, de magyar nyelvű leírása is elérhető itt:

http://cran.r-project.org/doc/contrib/Solymosi-Rjegyzet.pdf


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 10

Az R telepítője különböző platformokra pedig innen érhető el: http://cran.r-project.org/

Online verziója a SageMathCloud-on keresztül elérhető: https://cloud.sagemath.com/

Az általunk használt verzió: RGui 3.0.2 (x64)

1.2.4. Microsoft Office Excel

A Microsoft cég Office programcsomagja egy széles körben elterjedt és használt kereskedelmi célú irodai szoftvercsomag, mely tartalmazza az Excel táblázatkezelő szoftvert. Nevéből adódóan elsősorban adatok táblázatokba rendezésére, az adatokból diagramok, grafikonok elkészítésére szolgál. Számos beépített képletének segítségével az adatok módosítására és feldolgozására is alkalmas. Az alapvető matematikai műveletek mellett széleskörű statisztikai utasításkészlettel is rendelkezik, valamint korlátozott módon alkalmas alapvető mátrixműveletek elvégzésére is.

Jól használható nagy elemszámú adathalmazon elvégzendő egyszerűbb műveletekhez. A leíró statisztika alapfeladatait ismeri, egyszerűbb hipotézisvizsgálatokat is végre tud hajtani, későbbi verziója (pl. a 2010-es) már összetettebb feladatok elvégzésére is képes. Az adatok ábrázolására (diagram, grafikon) rendkívül jól használható, sok előre elkészített sablont tartalmaz és azok tovább szerkeszthetőek.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 11

Hiányossága például, hogy nem tud differenciálegyenleteket megoldani, integrálni, illetve deriválni. (Ezen feladatok makró programozással ugyan megoldhatók, de ez már mélyebb számítástechnikai, programozói ismereteket igényelnek.) Mátrixműveletek elvégzésére is csak korlátozott mértékben alkalmas, az alapműveleteket (mátrixszorzás, transzponálás, invertálás) ismeri, de például sajátértéket és sajátvektort nem tud meghatározni. A mátrixműveletek végrehajtásának menete is bonyolultabb, mint a többi szoftver esetében.

Az általunk használt verzió: 2007, magyar nyelvű változat

1.2.5. WolframAlpha

A Wolfram a kereskedelmi célú Mathematica szoftver fejlesztője. A WolframAlpha ennek a fejlesztésnek a tudását használó tudományos kereső szoftver. Sok adatbázissal van kapcsolata például a matematika, statisztika, fizika, kémia, számítástechnika, csillagászat, történelem, zene, irodalom és további területeken. A keresett kifejezést ezekben az adatbázisokban keresi és listázza a találatokat. A kifejezés lehet egy matematikai feladat vagy képlet, melyet a szoftver kiszámít, és a számítás menetét, eredményét, ábráját, stb. adja meg.

Szabad felhasználású szoftverként korlátja, hogy legfeljebb olyan kifejezésnek adja meg az eredményét, melynek a kiszámítása egy adott időtartamnál rövidebb időt vesz igénybe. Az ezt meghaladó számolási


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 12

idejű feladatokat csak a WolframAlpha Pro fizetős változatával tudjuk megoldani, de ez is megfizethető (havi előfizetési díja néhány dollár) azok számára is, akik nem akarnak áldozni drága szoftverekre.

Nagy háttértudással rendelkezik, elméleti és számítási kérdéseket is megválaszol, igaz csak angol nyelven. Használata egyszerű, rugalmas (nem kell pontosan ismernünk a keresett parancsokat, elgépeléseket és szinonimákat is felismer).

Legnagyobb hátránya, hogy az ún. egy kérdés egy válasz elven működik, vagyis az eredményeket nem tárolja, azokra hivatkozni nem lehet. Legfeljebb az utolsó eredményt a vágólapra másolással és a következő kérdésbe való beillesztéssel lehet felhasználni. További hátránya az online jellege miatt, hogy használatához folyamatos Internet kapcsolat szükséges.

A WolframAlpha elérhetősége: http://www.wolframalpha.com/


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 13

1.3. Az alkalmazott szoftverek összehasonlítása

1.3.1. Mátrixműveletek

Mátrix deklarálása:

Szoftver Parancssor Megjelenítés GeoGebra

A={{1,2},{3,4},{5,6}}

wxMaxima

A:matrix([1,2],[3,4],[5,6])

R

A=matrix(data=c(1,2,3,4,5,6),nr=3,nc=2,byrow=TRUE)

Excel

tetszőleges tartományba beírással

pl.: A mátrix az A1:B3 tartományban

WolframAlpha

{{1,2},{3,4},{5,6}}

Mátrixműveletek:

Művelet GeoGebra wxMaxima R Microsoft Excel

WolframAlpha

Transzponálás Transzponált(A) transpose(A) t(A) TRANSZPONÁLÁS (tartomány)

{mátrix}^T

Determináns Determináns(A) dereminant(A) det(A) MDETERM(tartomány)

det {mátrix}

Mátrix inverze Inverz(A) invert(A) solve(A) INVERZ.MÁTRIX (tartomány)

{mátrix}^-1

Mátrixszorzás A1*A2 A1.A2 A1%*%A2 MSZORZAT(tartomány1; tartomány2)

{mátrix1}*{mátrix2}

Mátrix rangja

Mátrixrangja(A) rank(A) qr(A)$rank - nincs - rank {mátrix}

Mátrix sajátértékei - nincs - eigenvalues(A) eigen(A)$

values - nincs - eigenvalues {mátrix}

Mátrix sajátvektorai - nincs - eigenvectors(A) eigen(A)$

vectors - nincs - eigenvectors {mátrix}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 14

Megjegyzés:

Rangot, sajátértéket és sajátvektort az Excellel nem lehet számítani. A sajátértéket és a sajátvektort a GeoGebra sem tudja meghatározni.

1.3.2. Függvények

Függvényműveletek:

Művelet

GeoGebra wxMaxima R WolframAlpha

Differenciálegyenlet megoldása analitikusan

- nincs - ode2() parancs*

- nincs - solve (egyenlet)

Differenciálegyenlet megoldása numerikusan

SolveODE[] parancs

ode2() parancs*

ode() parancs*

solve (egyenlet), from a to b

Deriválás analitikusan

Derivált[] parancs*

diff() parancs* deriv() parancs* derivate d/dx (függvény)

Deriválás numerikusan

Derivált[] parancs

diff() parancs* deriv() parancs derivate d/dx (függvény)

Integrálás analitikusan

Integrál[] parancs*

integrate() parancs*

- nincs - integrate (függvény) dx

Integrálás numerikusan

Integrál[] parancs

integrate() parancs*

integrate() parancs integrate (függvény) dx

Határérték számítás

Határérték[] parancs

limit() parancs - nincs -* lim x->oo (függvény)

Megjegyzés:

A fenti függvényműveleteket Excellel nem lehet számítani. Differenciálegyenletet, deriválást és integrálást numerikusan el lehet végezni, de ahhoz makrót kell írni. GeoGebrában a Derivált[] és az Integrál[] parancsok a numerikus számításra szolgálnak, de az eredményt analitikus alakban is megadják. R-ben az ode() parancs a deSolve csomag telepítése után érhető el. A deriv() parancs .grad alatt parametrikusan megadja az analitikus alakot is, a határérték számítására parancsot nem találtunk. A wxMaxima ode2(), diff(), integrate() parancsok analitikusan számolnak

1.3.3. Statisztika

Minta megadása:

Szoftver Parancssor Megjelenítés GeoGebra minta = {1,2,3,4,5}

wxMaxima

minta: [1,2,3,4,5]

R minta = c(1,2,3,4,5)

Excel

tetszőleges tartományba beírással

pl.: minta az A1:A3 tartományban

WolframAlpha {1,2,3,4,5}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 15

Leíró statisztika:

Művelet GeoGebra wxMaxima R Excel WolframAlpha Darabszám

- nincs - length(minta) length(minta)

DARAB(tartomány) length {minta}

Összeg

Összeg[minta] sum(minta[i],i,1,length(minta)

sum(minta) SZUM(tartomány) total {minta}

Átlag

Átlag[minta] mean(A) mean(minta) ÁTLAG (tartomány) mean {minta}

Minimum

Minimum[minta] smin(minta) min(minta) MIN(tartomány) min {minta}

Maximum

Maximum[minta] smax(minta) max(minta) MAX(tartomány) max {minta}

Terjedelem

Max[]-Min[]* range(minta) range(minta) MAX()-MIN()* range {minta}

Medián

Medián[minta] median(minta) median(mint)

MEDIÁN(tartomány) median {minta}

Módusz

Módusz[minta] - nincs -* - nincs - MÓDUSZ(tartomány)*

mode {minta}

Variancia

SzórásNégyzet[] var(minta) var(minta) VAR(tartomány) var {minta}

Szórás

Szórás[minta] std(minta) sd(minta) SZÓRÁS(tartomány) sd {minta}

Ferdeség

- nincs - skewness(mint) skewness (minta)*

FERDESÉG(tartomány)*

skewness{minta}

Csúcsosság

- nincs - kurtosis(minta) kurtosis (minta)*

CSÚCSOSSÁG(tartom)*

kurtosis{minta}

Megjegyzés:

Excelben terjedelmet csak a MAX() és a MIN() függvények eredményének különbségeként lehet számolni. A MÓDUSZ() csak egy értéket ad vissza akkor is, ha több van. A FERDESÉG() és a CSÚCSOSSÁG() korrigált képlettel számol. Excel bővítményként telepíthető egy Adatelemző eszköz, melyben van leíró statisztika, ami egy mintára vonatkozóan a fenti értékeket egy táblázatba foglalva adja meg.

R-ben a ferdeség és a csúcsosság parancsai csak az fBasics csomag telepítése után érhetők el. Ebben a csomagban van egy BasicStats(minta) parancs, mely a minta leíró statisztikakai értékeit egy táblázatban adja vissza. Módusz értékét is csak ebben tudja megadni.

GeoGebrában konkrétan darabszámolás nincs. Terjedelmet is csak a Maximum[] és a Minimum[] különbségeként lehet számolni. Ferdeség és csúcsosság számítására sincs utasítás.

wxMaximában módusz számításra parancsot nem találtunk.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 16

Statisztikai próbák:

Művelet GeoGebra wxMaxima R Excel WolframAlpha Egymintás T-próba

TPróba[minta,vártérték,"≠"]

test_mean(minta,mean=vártérték)

t.test(minta,mu=vártérték)

T.PRÓBA(minta;vártérték;szél;1)

t test

Kétmintás párosított T-próba

PárosTPróba[minta1,minta2,"≠"]

test_means_difference(minta1, minta2)

t.test(minta1,minta2,paired=TRUE)

T.PRÓBA(minta1;minta2;szél;1)

t test*

Kétmintás egyenlő szórású T-próba

KétmintásTPróba[minta1,minta2,"≠",igaz]

test_means_difference(minta1, minta2,opciók*)

t.test(minta1,minta2,var.equal=TRUE)


t test*

Kétmintás nemegyenlő szórású T-próba

KétmintásTPróba[minta1,minta2,"≠",hamis]

test_means_difference(minta1, minta2,opciók*)

t.test(minta1,minta2)


t test*

Kétmintás F-próba

- nincs - test_variance_ratio

(minta1,minta2)

var.test(minta1,minta2)

F.PRÓBA(minta1;minta2)

f-probability {minta1} {minta2}

χ2-próba

KhiNégyzetPróba[minta1,minta2]

test_normality (minta)

chisq.test(minta1,p=minta2,rescale.p=TRUE)

KHI.PRÓBA(minta1;minta2)

chi squared probability {minta1}

Megjegyzés:

Excelben a T.PRÓBA(), az F.PRÓBA() és a KHI.PRÓBA() valószínűséget ad vissza. Az adatelemző eszközök között lévő T-próba és F-próba a t illetve f értéket is megadja. Khí próba nincs a csomagban.

A GeoGebra nem tartalmaz F-próbát.

A WolframAlpha t test felületén mindegyik típusra vonatkozóan megadja az értéket.

A wxMaxima test_means_difference() parancsa opciók megadása esetén mindegyik típust meg tudja határozni.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 17

2. Szilárdságtani számítások A természettudományok a jelenségeket olyan egyenletekkel kísérlik meg leírni, amelyekben a szereplő mennyiségek nem függnek a koordinátarendszer megválasztásától (angol nyelvű szakirodalmakban „material frame indifference”). A mechanika tapasztalat és megfigyelések alapján idealizált testeket vezet be és vizsgál (anyagi pont, merev test, tökéletesen hajlékony kötél… stb.). Ezek a vizsgált mechanikai mozgás leglényegesebb sajátosságait modellezik.

A szilárdságtan, mint a műszaki mechanika egy részterülete, a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő, alakváltozásra képes testek kinematikájával, dinamikájával és anyagszerkezetének viselkedésével foglalkozik. A kinematika leírja a terhelés hatására bekövetkező elmozdulásokat és alakváltozásokat, a dinamika pedig a terhelés hatására a testben fellépő erőrendszert.

A szilárdságtani modellekben való számolások jelentős részben a lineáris algebra eszközrendszerére támaszkodnak, így a kezelésük olyan szoftvereket igényel, melyek fel vannak készítve ezekre. Problémát jelenthet azonban, hogy a számábrázolás pontatlansága hibás következtetésre vezethet, például a sajátirányok meghatározásakor.

2.1. Tenzorok, sajátértékek, sajátvektorok megjelenése az alapkísérletekben

A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) úgynevezett feszültségi és alakváltozási állapot ℝퟐ → ℝퟐ, illetve ℝퟑ → ℝퟑ típusú lineáris leképezésekkel, más szóval tenzorokkal írható le, vagy legalábbis közelíthető.

2.1.1. Alkalmazott matematikai ismeretek

1. Definíció: Egy ℓ:ℝ → ℝ leképezést lineáris leképezésnek mondunk, ha ∀푥, 푦 ∈ ℝ és ∀훼, 훽 ∈ ℝ esetén ℓ(훼 ∙ 푥 + 훽 ∙ 푦) = 훼 ∙ ℓ(푥) + 훽 ∙ ℓ(푦) teljesül. Lineáris leképezések összegét és számszorosát a pontonkénti elv alapján értelmezzük: ha ℓ, 푔:ℝ → ℝ lineáris leképezések és 훾 ∈ ℝ, akkor

(ℓ + 푔)(푥) = ℓ(푥) + 푔(푥) és (훾 ∙ ℓ)(푥) = 훾 ∙ ℓ(푥).

1. Megjegyzés: Lineáris leképezések összege és számszorosa is lineáris leképezés.

1. Tétel: Legyen {푒 , … , 푒 } bázis, {푤 ,… , 푤 }pedig egy tetszőleges vektorrendszer ℝ -ben. Egyértelműen létezik olyan ℓ:ℝ → ℝ lineáris leképezés, hogy ℓ(푒 ) = 푤 ,(푖 = 1, … , 푛).

Ez azt jelenti, hogy a lineáris leképezést a bázis vektorain felvett értékei egyértelműen meghatározzák.

2. Definíció: Legyen ℓ: ℝ → ℝ lineáris leképezés, továbbá legyen {푒 , … , 푒 } bázis ℝ -ben. Az ℓ lineáris leképezésnek a rögzített bázisra vonatkozó mátrixa az az 푛 × 푛 típusú mátrix, melynek elemeit a következő összefüggés értelmezi:

ℓ(푒 ) = 푐 푒

azaz az i-edik oszlop megegyezik 푒 képének a {푒 , … , 푒 } bázisra vonatkozó koordinátáival.

2. Megjegyzés: Ha a 푣 ∈ ℝ vektor koordinátái a rögzített {푒 , … , 푒 } bázisra vonatkozóan

(푣 ,… , 푣 ), a lineáris leképezés mátrixa az푴 mátrix, akkor ℓ(푣) koordinátái az {푒 , … , 푒 } bázisra

vonatkozóan 푴 ∙푣⋮푣

.

2. Tétel: Legyen 훾 ∈ ℝ, legyenek ℓ, 푔:ℝ → ℝ lineáris leképezések, és legyen {푒 , … , 푒 } bázis ℝ -ben. Ha ℓ mátrixa erre a bázisra vonatkozóan 푴, 푔 mátrixa pedig 푩, akkor ℓ + 푔 mátrixa 푴+ 푩, 훾 ∙ ℓ mátrixa 훾 ∙ 푴.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 18

3. Definíció: Legyen 푵 = (푎 ) egy 푛 × 푛 típusú mátrix. Ennek 푵 = (푏 ) -vel jelölt transzponáltján azt az 푛 × 푛 típusú mátrixot értjük, melyre 푏 = (푎 ). Egy mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha megegyezik a transzponáltjával, míg ferdén szimmetrikusnak, ha 푵 = −푵.

3. Megjegyzés: Minden 푛 × 푛 típusú M mátrix felbontható egy 푴 szimmetrikus és egy 푴 ferdeszimmetrikus mátrix összegére a következő módon:

푴 =12 ∙

(푴+푴 )

푴

+12 ∙(푴 −푴 )

푴

4. Definíció: A 푣 ∈ ℝ nem zérus vektort az ℓ:ℝ → ℝ lineáris leképezés sajátvektorának nevezzük, ha van olyan 휆 ∈ ℝ, hogy ℓ(푣) = 휆 ∙ 푣. Ilyenkor 휆-t a 푣 sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek nevezzük.

5. Megjegyzés: Ha az ℓ: ℝ → ℝ lineáris leképezés egy rögzített bázisra vonatkozó mátrixa 푴, akkor a sajátvektornak eleget kell tennie az 푴 ∙ 푣 = 휆 ∙ 푣, azaz átrendezve és az egységmátrixot E-vel jelölve (푴 − 휆 ∙ 푬) ∙ 푣 = 0 lineáris homogén egyenletrendszernek. Nemzérus 푣 megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha 푑푒푡(푴 − 휆 ∙ 푬) = 0.

5. Definíció: Az 5. Megjegyzés jelöléseit használva a 푃(휆) = 푑푒푡(푴 − 휆 ∙ 푬) 푛-ed fokú polinomot az ℓ karakterisztikus polinomjának nevezzük.

3. Tétel: Az ℓ: ℝ → ℝ lineáris leképezés karakterisztikus polinomja nem függ a mátrixreprezentánstól (azaz a bázis megválasztásától).

4. Tétel: Legyen {푒 , … , 푒 }ortonormált bázis ℝ -ben. Ha az ℓ: ℝ → ℝ lineáris leképezés 푴 mátrixa szimmetrikus, akkor ℓ sajátértékei valós számok és a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak.

5. Tétel: Ha az ℓ:ℝ → ℝ lineáris leképezésnek n különböző valós sajátértéke van, akkor létezik ℝ -ben ℓsajátvektoraiból álló bázis, s ebben ℓ mátrixa diagonális, a főátlóban pedig ℓ sajátértékei állnak.

6. Definíció: Legyen 퐷 ⊆ ℝ nyílt halmaz. Az 푢:퐷 ⊆ ℝ → ℝ függvény differenciálható az 푟 ∈ 퐷 helyen, ha létezik olyan ℓ:ℝ → ℝ lineáris leképezés melyre

lim→

‖푢(푟) − 푢(푟 ) − ℓ(푟 − 푟 )‖‖푟 − 푟 ‖ = 0.

Ekkor az ℓ lineáris leképezést az 푢 függvény differenciálhányadosának nevezzük 푟 -ban, és rá az 푢′(푟 ) jelölést használjuk.

6. Megjegyzés: A 6. definíció értelmében a „bemenet” ∆푟 = 푟 − 푟 és a „kimenet”

∆푢 = 푢(푟) − 푢(푟 )

megváltozása közötti kapcsolat „jól” közelíthető a ∆푟 egy lineáris függvényével: ∆푢 ≈ ℓ(∆푟), legalábbis az 푟 pont egy elegendően kis környezetében.

A továbbiakban 푢′(푟 ) az 푟 helyvektorú pontban vett deriváltnak, mint lineáris leképezésnek a mátrixát jelöli. Ezzel a jelöléssel tehát ∆푢 ≈ 푢′(푟 ) ∙ ∆푟 az 푟 pont egy elegendően kis környezetében.

7. Megjegyzés: jelölje ℝ kanonikus bázisát 횤, 횥, 푘 , továbbá legyen az

푢:퐷 ⊆ ℝ → ℝ ,푢(푟) = 푢 (푟) ∙ 횤 + 푢 (푟) ∙ 횥 + 푢 (푟) ∙ 푘

függvény differenciálható ∀(푥, 푦, 푧) ∈ 퐷-ben. Ekkor 푢 (푟) =

⎣⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎤

.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 19

2.1.2. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek

2.1.2.1. Az elmozdulási állapot

Terhelés hatására a szilárd test pontjai elmozdulnak. Az elmozdulásokat egy koordinátarendszer rögzítése után (vonatkoztatási pont, ortonormált bázis, mely jobbsodrású rendszert alkot, itt 푂, 횤, 횥, 푘 )

ℝ → ℝ , 푟 → 푢(푟)

típusú függvénnyel, ún. vektormezővel adhatjuk meg. Ez a szilárd test egy 푃 pontjának 푟 helyvektorához az elmozdulásvektort rendeli (2.1/1 ábra). Ezt a vektormezőt elmozdulásmezőnek szokás nevezni.

2.1/1 ábra

Az elmozdulásmezőre a továbbiakban az 푢(푟) = 푢 (푟) ∙ 횤 + 푢 (푟) ∙ 횥 + 푢 (푟) ∙ 푘 jelölést használjuk.

A 6. Definíciót és a 6. Megjegyzést figyelembe véve, továbbá bevezetve az푢 : = 푢(푟 ) és az 푢 (푟 ):=푼 jelölést a 푃 elemi (azaz elegendően kis) környezetében lévő 푃 pont elmozdulásvektorának közelítő értéke:

푢 ≈ 푢 + 푼 ∙ ∆푟.

2.1.2.2. Elemi környezet deformációja

A derivált 푼 mátrixát (használatos a derivált tenzor kifejezés is) a 3. Megjegyzés segítségével két „részre bontva” a szilárd test 푃 pontjának elemi környezetében lévő tetszőleges 푃 pont elmozdulása:

푢 ≈ 푢ó á

+ 푼 ∙ ∆푟 í á

= 푢ó á

+ 흍 ∙ ∆푟 ö á

ű á

+ 푨 ∙ ∆푟á á

(2.1/1)

ahol 푨 = ∙ 푼 + 푼 szimmetrikus mátrix az úgynevezett alakváltozási tenzor és

흍 = ∙ 푼 − 푼 ferdeszimmetrikus mátrix.

2.1.2.3. Merevtestszerű mozgás

Ha a mozgás során a test pontjai úgy mozdulnak el, hogy egymástól mért távolságuk nem változik merevtestszerű mozgásról beszélünk.

Mivel a 푃 pontot tetszőlegesen rögzíthetjük (attól függően, hogy a test mely elemi részét vizsgáljuk) a továbbiakban a 푃 pont feltüntetését mellőzzük.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 20

Bevezetve a 휑 := − , 휑 : = − , 휑 := − jelöléseket egy

merevtestszerű mozgásnál a forgató tenzor ferdeszimmetrikus mátrixa:

흍 =0 −휑 휑휑 0 −휑−휑 휑 0

.

Megjegyezzük, hogy ferdeszimmetrikus mátrix mindig egy rögzített vektorral való vektoriális szorzásként hat, azaz itt 휑 × ∆푟 = 흍 ∙ ∆푟 ahol 휑 = 휑 ,휑 ,휑 az úgynevezett forgató vektor.

2.1.2.4. Az alakváltozási állapot

A 푃 pont relatív elmozdulását az (2.1/1) képletből le tudjuk olvasni. Az ebben szereplő tiszta alakváltozást tartalmazó 훼 = 푨 ∙ ∆푟 részt alakváltozási vektornak nevezzük. A 푃 pont elemi környezetének alakváltozási állapotán az elemi környezetet alkotó 푃 pontok alakváltozási vektorainak összességét értjük, azaz egy vektormezőt.

Szokásos még az 훼 jelölés használata az alakváltozási tenzor hatására tetszőleges 푛 irányegységvektoron: 푨 ∙ 푛 =: 훼 . Ekkor a következő egyszerű összefüggés adódik a homogenitás következményeként:

|∆ |= 훼 , ahol 푛 a ∆푟irányú egységvektor.

Lineáris rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a lineáris közelítés formulája pontos, azaz a (2.1/1) képletben egyenlőség áll.

Az elemi környezet alakváltozási jellemzői:

휀 , 휀 , 휀 : fajlagos nyúlások (휀 például az x irányú egységnyi hossz megváltozása)

훾 ,훾 ,훾 :fajlagos szögtorzulások (például 훾 az xy síkbeli szögtorzulás)

Bevezetve az

훼 ≔ 푨 ∙ 횤 = 휀 ∙ 횤 + 훾 ∙ 횥 + 훾 ∙ 푘,

훼 ≔ 푨 ∙ 횥 = 훾 ∙ 횤 + 휀 ∙ 횥 + 훾 ∙ 푘,

훼 ≔ 푨 ∙ 푘 =12 훾 ∙ 횤 +

12 훾 ∙ 횥 + 휀 ∙ 푘

jelöléseket az 횤, 횥, 푘 bázisvektorokon vett hatásra, az alakváltozási tenzor mátrixa a 푃 pontban a rögzített 횤, 횥, 푘 bázisra vonatkozóan:

푨 =

⎣⎢⎢⎢⎡ 휀 훾 훾

훾 휀 훾

훾 훾 휀 ⎦⎥⎥⎥⎤, ahol 훾 = 훾 , 훾 = 훾 , 훾 = 훾 .

Megjegyezzük, hogy 휀 = , 휀 = , 휀 = valamint

훾 = 훾 = + , 훾 = 훾 = + , 훾 = 훾 = + .

Az alakváltozási tenzorral kapcsolatos sajátérték-feladatot az alakváltozási tenzor főtengelyproblémájának szokás emlegetni. A sajátértékeket főnyúlásoknak nevezzük, a sajátvektorok pedig az alakváltozási főirányokat jelölik ki. A főirányokban csak nyúlás lép fel, irányváltozás nem. Az alkalmazott matematikai ismeretek részben leírtakat figyelembe véve a karakterisztikus polinom mindhárom gyöke valós. A főnyúlásokat nagyságuk szerint szokás indexezni: 휀 > 휀 > 휀 .


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 21

2.1.2.5. Feszültségi állapot, belső erőrendszer

Ha egy nyugalomba lévő testet gondolatban kettévágunk (2.1/2 ábra), akkor az egyik „fél” belső erőrendszerének 퐹 eredője egyenlő a „másik félre” ható külső erők eredőjének mínusz egyszeresével.

2.1/2 ábra

A feszültségvektor a test egy metszetfelületén megoszló belső erőrendszer sűrűségvektora (intenzitásvektora). Legyen ∆퐹 a ∆퐴 felületen eloszló belső erőrendszer eredője. Ekkor a

휌 : = ρ(푛) = lim∆ →

∆퐹∆퐴

módon definiált vektort a test 푃 pontjához és az 푛 normál egységvektorhoz tartozó feszültségvektornak mondjuk. SI mértékegység: [N/m2 =Pa], azonban a szilárdságtanban szinte mindenhol a [N/mm2 =MPa] egység használatos.

A 휌 vektort szokásos módon a 푃 pontból reprezentáljuk, vagy ami ugyanaz, toljuk el koordinátarendszerünk kezdőpontját 푃 -be ( 푂, 횤, 횥, 푘 ↔ 푃, 횤, 횥, 푘 ).

A 푃 ponthoz és a bázisvektorokhoz tartozó feszültségvektorok (2.1/3 ábra):

휌 = 휎 횤 + 휏 횥 + 휏 푘, 휌 = 휏 횤 + 휎 횥 + 휏 푘, 휌 = 휏 횤 + 휏 횥 + 휎 푘


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 22

2.1/3 ábra

Cauchy tétele, feszültségi tenzor:

Az 푛 normál egységvektorhoz tartozó 휌 feszültségvektor felírható 휌 = 푻 ∙ 푛 alakban, ahol az 푛

választásától független 푻 =휎 휏 휏휏 휎 휏휏 휏 휎

szimmetrikus mátrix az úgynevezett feszültségi tenzor

mátrixa az 횤, 횥, 푘 bázisra vonatkozóan.

A feszültségvektor összetevői:

A csúsztató feszültségvektor a 휏 = 휌 − 휎 ∙ 푛, képlettel számítható, ahol 휎 (= 휌 ∙ 푛) az úgynevezett normál feszültség.

A feszültségi állapot egy ábrán való szemléltetése (2.1/4 ábra):

2.1/4 ábra

A 푻 feszültségi tenzorral kapcsolatos sajátértékfeladatot a feszültségi tenzor főtengelyproblémájának, a 휎 sajátértékeket főfeszültségeknek, a kapott 푛 sajátvektorok által kijelölt irányokat feszültségi főirányoknak szokás nevezni.

휌 = 휎 ∙ 푛 + 휏 és így 푇 ∙ 푛 = 휎 ∙ 푛 + 휏 ; a feszültségi főirányok azok az irányok, ahol a csúsztató feszültség nagysága 0.

A főfeszültségeket nagyságuk szerint szokás indexezni: 휎 > 휎 > 휎 .


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 23

2.1.3. Kidolgozott feladatok

2.1.3.1.

Adott az 푥푦푧 koordinátarendszerben egy szilárd test

푢(푥, 푦, 푧) = 10 푧 푥횤 + 10 푦푥 횥 + 10 푧 푦 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = −10횤 + 25횥 + 30푘helyvektora.

Határozzuk meg a derivált tenzor mátrixát az 횤, 횥, 푘 bázisra vonatkozóan a 푃 pontban!

Megoldás számítógép használata nélkül:

푢 (푥, 푦, 푧) = 10 푧 푥 ⟹ grad푢 (푥, 푦, 푧) = 10 ∙ (푧 횤 + 3푧 푥푘)

푢 (푥, 푦, 푧) = 10 푦푥 ⟹ grad푢 (푥, 푦, 푧) = 10 ∙ (2푥푦횤 + 푥 횥)

푢 (푥, 푦, 푧) = 10 푧 푦 ⟹ grad푢 (푥, 푦, 푧) = 10 ∙ (2푧 푦횥 + 2푦 푧푘)

푢 (푥, 푦, 푧) =grad푢 (푥, 푦, 푧)grad푢 (푥, 푦, 푧)grad푢 (푥, 푦, 푧)

푼 = 10 ∙푧 0 3푧 푥2푥푦 푥 00 2푧 푦 2푦 푧

푼 = 푢 (푟 ) = 10 ∙30 0 3 ∙ 30 ∙ (−10)

2 ∙ (−10) ∙ 25 (−10) 00 2 ∙ 30 ∙ 25 2 ∙ 25 ∙ 30

=

= 10 ∙27000 0 −27000−500 100 00 45000 37500

=10 ∙27 0 −27−0,5 0,1 00 45 37,5

.

A derivált tenzor az 푢(푥, 푦, 푧) függvény 푥, 푦és푧 szerinti deriváltjaiból képezett mátrix transzponáltja. Ehhez az alábbi utasítást kell kiadni:

transpose {d/dx 10^-5*{z^3*x,y*x^2,z^2*y^2}, d/dy 10^-5*

{z^3*x,y*x^2,z^2*y^2}, d/dz 10^-5*{z^3*x,y*x^2,z^2*y^2}}

Input interpretation:

휕휕푥

{푧 푥, 푦푥 , 푧 푦 }10 ,

휕휕푦

{푧 푥, 푦푥 , 푧 푦 }10 ,

휕휕푧{푧 푥, 푦푥 , 푧 푦 }

10

Result:

1100000

푧 0 3푥푧 2푥푦 푥 00 2푦푧 2푦 푧

A derivált tenzort a 푃 pontban az 푥 = −10, 푦 = 25és푧 = 30 helyettesítéssel kapjuk.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 24

Megjegyzés:

A WolframAlpha alapesetben az eredményt képként jeleníti meg. Ha a kép alsó keretéhez húzzuk az egeret, a megjelenő keretben lévő A betűre kattintva (Copyable plaintext) az eredményt szöveges formátumúra cseréli, melyet így már a vágólapra tudunk másolni és újból felhasználhatjuk.

{{z^3/100000, 0, (3 x z^2)/100000}, {(x y)/50000, x^2/100000, 0},

{0, (y z^2)/50000, (y^2 z)/50000}} where x=-10, y=25, z=30


⎝

⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎞

where 푥 = −10,푦 = 25, 푧 = 30

Result:

⎝

⎜⎜⎛

27100 0 −

27100

−1200

11000 0

0920

38 ⎠

⎟⎟⎞

A derivált mátrix előállítása a három tag 푥, 푦és푧 szerinti deriválásából képezett mátrix:

Console > D=c(deriv(~ 10^(-5)*z^3*x,c("x","y","z")),deriv(~ 10^(-5)*y*x^2,c("x","y","z")),

deriv(~ 10^(-5)*z^2*y^2,c("x","y","z")))

푥, 푦és푧 megadása után

Console > x=-10 > y=25 > z=30


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 25

az Up mátrix az alábbi utasítással kapható meg:

Console > Up=matrix(data=c(attr(eval(D[1]),"gradient"),attr(eval(D[2]),"gradient"), attr(eval(D[3]),"gradient")),nr=3,nc=3,byrow=TRUE)

és az eredmény:

Console > Up [,1] [,2] [,3] [1,] 0.270 0.000 -0.270 [2,] -0.005 0.001 0.000 [3,] 0.000 0.450 0.375

2.1.3.2.

Adott az 푥푦푧 koordinátarendszerben egy szilárd test elmozdulásmezeje derivált tenzorának mátrixa:

푼 = 10 ∙푥푦 2푥푦 00 푧 3푥푦5푥 0 푦푥

.

Határozzuk meg a forgató tenzor és az alakváltozási tenzor mátrixait a 푃 pontban, melynek helyvektora 푟 = 10횤 + 50횥 + 35푘 !


흍 =12(푼 − 푼 ) =

12 ∙ 10 ∙

푥푦 2푥푦 00 푧 3푥푦5푥 0 푦푥

−푥푦 0 5푥2푥푦 푧 00 3푥푦 푦푥

=

= ∙ 10 ∙0 2푥푦 −5푥

−2푥푦 0 3푥푦5푥 −3푥푦 0

= 10 ∙0 푥푦 −2,5푥

−푥푦 0 1,5푥푦2,5푥 −1,5푥푦 0

, így

흍 = 10 ∙0 500 −25

−500 0 75025 −750 0

=0 0.5 −0,025

−0,5 0 0,750,025 −0,75 0

.

푨 =12(푼 + 푼 ) =

12 ∙ 10 ∙


+푥푦 0 5푥2푥푦 푧 00 3푥푦 푦푥

=

= ∙ 10 ∙2푥푦 2푥푦 5푥2푥푦 2푧 3푥푦5푥 3푥푦 2푦푥

=10 ∙푥푦 푥푦 2,5푥푥푦 푧 1,5푥푦2,5푥 1,5푥푦 푦푥

, így

푨 = 10 ∙25000 500 25500 42875 75025 750 5000

=25 0,5 0,0250,5 42,875 0,750,025 0,75 5

.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 26

A forgató tenzor mátrixa a 흍 = (푼 −푼 ) képlettel számítható. Ehhez az alábbi utasítást kell kiadni:

(10^-3*{{x*y^2,2*x*y,0},{0,z^3,3*x*y},{5*x,0,y*x^2}}-

transpose(10^-3*{{x*y^2,2*x*y,0},{0,z^3,3*x*y},{5*x,0,y*x^2}}))/2

Input:

12

⎝

⎜⎜⎜⎛


10 −

⎝

⎜⎜⎜⎛


10

⎠

⎟⎟⎟⎞

⎠

⎟⎟⎟⎞

Result:

⎝

⎜⎛

0

−

–

0

−

0⎠

⎟⎞

A forgató tenzor mátrixát a 푃 pontban az 푥 = 10és푦 = 50 helyettesítéssel kapjuk.

{{0, (x y)/1000, -x/400}, {-(x y)/1000, 0, (3 x y)/2000},

{x/400, (-3 x y)/2000, 0}} where x=10, y=50


⎝

⎜⎛

0

−

–

0

−

0⎠

⎟⎞

where 푥 = 10, 푦 = 50

Result:

⎝

⎜⎛0 −

– 0

− 0 ⎠

⎟⎞

Megjegyzés:

Mivel a másodjára megadott képletben z változó már nem szerepel (kiesett), a WolframAlpha akkor működik helyesen, ha z értékét nem adjunk meg, egyébként nem érti meg az utasítást!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 27

Az alakváltozási tenzor mátrixa az 푨 = (푼 +푼 ) képlettel számítható. Ehhez az alábbi utasítást kell kiadni:

(10^-3*{{x*y^2,2*x*y,0},{0,z^3,3*x*y},{5*x,0,y*x^2}}+

transpose(10^-3*{{x*y^2,2*x*y,0},{0,z^3,3*x*y},{5*x,0,y*x^2}}))/2

Input:

12

⎝

⎜⎜⎜⎛


10 +

⎝

⎜⎜⎜⎛


10

⎠

⎟⎟⎟⎞

⎠

⎟⎟⎟⎞

Result:

⎝

⎜⎛

⎠

⎟⎞

Az alakváltozási tenzor mátrixát a 푃 pontban most az 푥 = 10, 푦 = 50és푧 = 35 helyettesítéssel kapjuk.

{{(x y^2)/1000, (x y)/1000, x/400}, {(x y)/1000, z^3/1000,

(3 x y)/2000}, {x/400, (3 x y)/2000, (x^2 y)/1000}}

where x=10, y=50, z=35


⎝

⎜⎛

⎠

⎟⎞

where 푥 = 10, 푦 = 50, 푧 = 35

Result:

⎝

⎜⎛25

5 ⎠

⎟⎞


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 28

A derivált mátrixba helyettesítsük be 푥, 푦és푧 értékeit, és így adjuk meg az 푼 mátrixot:

Console > U=10^3*matrix(data=c(10*50^2,2*10*50,0,0,35^3,3*10*50,5*10,0,50*35^2),

nr=3,nc=3,byrow=TRUE)

A forgatási mátrix az alábbi utasítással kapható meg:

Console > FI=(U-t(U))/2 > FI [,1] [,2] [,3] [1,] 0.000 0.50 -0.025 [2,] -0.500 0.00 0.750 [3,] 0.025 -0.75 0.000

az alakváltozási mátrix pedig:

Console > A=(U+t(U))/2 > A [,1] [,2] [,3] [1,] 25.000 0.500 0.025 [2,] 0.500 42.875 0.750 [3,] 0.025 0.750 61.250

2.1.3.3.


푢(푥, 푦, 푧) = 10 푧 푥 횤 + 10 푧푦푥 횥 + 10 푧 푥 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = 20횤 − 15횥 + 40푘helyvektora.

Határozzuk meg a merevtestszerű forgás vektorát a 푃 pontban!


휑 =12

휕푢휕푦 −

휕푢휕푧 ∙ 횤 +

12휕푢휕푧 −

휕푢휕푥 ∙ 횥 +

12

휕푢휕푥 −

휕푢휕푦 ∙ 푘

휑 = ∙ 10 ∙ −푦푥 횤 + (2푧푥 − 2푧 푥) ∙ 횥 + 3푧푦푥 푘 , így

휑 = ∙ 10 ∙ 120000횤 − 1920000횥 − 720000푘 =.

= 10 ∙ 60000횤 − 960000횥 − 360000푘 = 0,06횤 − 0,96횥 − 0,36푘

A megoldáshoz az alábbi kifejezést kell meghatározni:

휑 =12

휕푢휕푦 −

휕푢휕푧 ∙ 횤 +

12휕푢휕푧 −

휕푢휕푥 ∙ 횥 +

12

휕푢휕푥 −

휕푢휕푦 ∙ 푘

és ebbe 푥, 푦és푧 értékeit behelyettesíteni.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 29

Ezt a WolframAlpha-nak az alábbi utasítással adhatjuk meg:

(1/2)*10^-6*{(d/dy z^3*x^2) - (d/dz z*y*x^3),

(d/dz z^2*x^3) - (d/dx z^3*x^2),(d/dx z*y*x^3) - (d/dy z^2*x^3)}


12휕(푧 푥 )

휕푦 − 휕(푧푦푥 )휕푧 , 휕(푧 푥 )

휕푧 − 휕(푧 푥 )휕푥 , 휕(푧푦푥 )

휕푥 − 휕(푧 푥 )휕푦 ,

10

Result:

−푥 푦

2000000 ,2푥 푧 − 2푥푧2000000 ,

3푥 푦푧2000000

Végül a behelyettesítés:

{-(x^3 y)/2000000, (2 x^3 z - 2 x z^3)/2000000, (3 x^2 y z)/2000000}

where x=20, y=-15, z=40


−

,

,

where 푥 = 20, 푦 = −15, 푧 = 40

Result: 350 , −

2425 , −

925

A megoldáshoz először meg kell határozni a deriváltakat:

Console > D=c(deriv(~ z^3*x^2,"y"),deriv(~ z*y*x^3,"z"),deriv(~ z^2*x^3,"z"),

deriv(~ z^3*x^2,"x"),deriv(~ z*y*x^3,"x"),deriv(~ z^2*x^3,"y"))

푥, 푦és푧 megadása után

Console > x=20 > y=-15 > z=40

hogy ne kelljen annyit gépelni vezessünk be egy g változót:

Console > g=”gradient”

a megoldást az alábbi képlet adja:

Console > fi= c(attr(eval(D[1]),g)-attr(eval(D[2]),g),attr(eval(D[3]),g)-attr(eval(D[4]),g),attr(eval(D[5]),g)-attr(eval(D[6]),g))/(2*10^6)

> fi [1,] 0.06 -0.96 -0.36


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 30

2.1.3.4.

Ismert egy szilárd test 푃 pontjának alakváltozási állapota, valamint az 푚 irányegység vektor:

휀 = 2,58 ∙ 10 , 휀 = −2,62 ∙ 10 , 휀 = 0,954 ∙ 10 , 훾 = 3,9 ∙ 10 , 훾 = 훾 = 0

푚 =√32 횥 −

12 푘.

a) Adjuk meg az 푚 irányhoz tartozó alakváltozási vektort!

b) Adjuk meg a főnyúlások nagyságát!

c) Adjuk meg az alakváltozási főirányokat!


a)

훼 = 퐀 ∙ 푚 = 10 ∙2,58 1,95 01,95 −2,62 00 0 0,954

∙0

√3 2⁄−0,5

= 10 ∙1,6887−2,269−0,477

b)

Afőnyúlásokazalakváltozásimátrixsajátértékei,melyeketaP(ε) = det 퐀 − ε ∙ 퐄

karakterisztikuspolinomzérushelyeinekmeghatározásávalkapunk:

P(ε) = det 퐀 − ε ∙ 퐄 = 푑푒푡 10 ∙2,58 1,95 01,95 −2,62 00 0 0,954

−ε 0 00 ε 00 0 ε

=

=2,58 ∙ 10 − ε 1,95 ∙ 10 01,95 ∙ 10 −2,62 ∙ 10 − ε 0

0 0 0,954 ∙ 10 − ε=

= (0,954 ∙ 10 − ε) ∙ [(2,58 ∙ 10 − ε) ∙ (−2,62 ∙ 10 − ε) − (1,95 ∙ 10 ) ] =

=(0,954 ∙ 10 − ε) ∙(휀 + 0,04 ∙ 10 ∙ 휀 − 10,5621 ∙ 10 )

Apolinomzérushelyei:0,954 ∙ 10 ; 3,23 ∙ 10 ;−3,27 ∙ 10 ígyafőnyúlások:

휀 = 3,23 ∙ 10 , 휀 = 0,954 ∙ 10 , 휀 = −3,27 ∙ 10

c)Azalakváltozásifőirányokatazalábbiegyenletekmegoldásaibólkapjuk:

퐀 − 휀 ∙ 푬 ∙ 푛 = 0 퐀 − 휀 ∙ 푬 ∙ 푛 = 0 퐀 − 휀 ∙ 푬 ∙ 푛 = 0

Előszöraz휀 főnyúláshoztartozófőiránythatározzukmeg:

2,58 ∙ 10 − 휀 1,95 ∙ 10 01,95 ∙ 10 −2,62 ∙ 10 − 휀 0

0 0 0,954 ∙ 10 − 휀∙nnn

=000,

−0,65n + 1,95n = 01,95n − 5,85n = 0

−2,276n = 0� ⇒ n ∈ ℝ, n =

13n ,n = 0

Tehátaz휀 sajátértékheztartozósajátvektorok:

푉 = 푡 ∙ 횤 +13 푡 ∙ 횥|푡 ∈ ℝ


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 31

Tehátpéldáula푣 =횤 + ∙ 횥sajátvektor.

Mivelaz휀 főnyúláshoztartozófőiránydefiníciószerintegységnyihosszúságúvektor,ígya푣 -gyelmegegyezőirányú,egységnyihosszúságúvektorleszaz푛 főirány:

푛 =| |

∙ 푣 = 횤 + ∙ 횥 =√

횤 +√

∙ 횥 ≈ 0,9487횤 + 0,3162 ∙ 횥.

Hasonlóankapjukaz휀 főnyúláshoztartozófőiránytis:

2,58 ∙ 10 − 휀 1,95 ∙ 10 01,95 ∙ 10 −2,62 ∙ 10 − 휀 0

0 0 0,954 ∙ 10 − 휀∙nnn

=000,

1,626n + 1,95n = 01,95n − 3,574n = 0

0 = 0� ⇒ n = n = 0,n ∈ ℝ

Tehátaz휀 sajátértékheztartozósajátvektorok:

푉 = 푡 ∙ 푘|푡 ∈ ℝ

Példáula푣 =푘sajátvektor,melymivelegységnyihosszúságú,egybenaz휀 főnyúláshoztartozófőirány:푛 = 푘.Végülaz휀 főnyúláshoztartozófőiránymeghatározása:

2,58 ∙ 10 − 휀 1,95 ∙ 10 01,95 ∙ 10 −2,62 ∙ 10 − 휀 0

0 0 0,954 ∙ 10 − 휀∙nnn

=000,

5,85n + 1,95n = 01,95n + 0,65n = 0

4,224n = 0� ⇒ n ∈ ℝ, n = −3n ,n = 0

Tehátaz휀 sajátértékheztartozósajátvektorok:푉 = {푡 ∙ 횤 − 3푡 ∙ 횥|푡 ∈ ℝ}

Tehátpéldáula푣 =횤 − 3 ∙ 횥sajátvektor.Mivelaz휀 főnyúláshoztartozófőiránydefiníciószerintegységnyihosszúságúvektor,ígya푣 -malmegegyezőirányú,egységnyihosszúságúvektorleszaz푛 főirány:

푛 =| |

∙ 푣 =( )

(횤 − 3 ∙ 횥) =√

횤 −√

∙ 횥 ≈ 0,3162횤 − 0,9487 ∙ 횥.

Megjegyzés:

Az {푛 , 푛 , 푛 } bázisra vonatkozóan:

푨 =3,23 ∙ 10 0 0

0 0,954 ∙ 10 00 0 −3,27 ∙ 10

.

a) Az AP0 mátrix és az m vektor megadása után az am vektort az AP0 és m szorzataként az alábbi utasítás megadásával kapjuk:

10^-4*{{2.58,1.95,0},{1.95,-2.62,0},{0,0,0.954}}*{0,sqrt(3)/2,-0.5}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 32

Input: 2.58 1.95 01.95 −2.62 00 0 0.954

∙ 0 √32 −0.5

10

Result:

{0.000168875,−0.000226899,−0.0000477}

b) A főnyúlások az AP0 mátrix sajátértékei, melyeket az alábbi utasítás megadásával kapunk:

eigenvalues 10^-4*{{2.58,1.95,0},{1.95,-2.62,0},{0,0,0.954}}

Input:

Eigenvalues[

2.58 1.95 01.95 −2.62 00 0 0.954

10 ]

Result:

휆 ≈ −0.000327

휆 ≈ 0.000323

휆 ≈ 0.0000954

c) Az alakváltozási főirányok az AP0 mátrixhoz tartozó sajátvektorok, melyeket az alábbi utasítás megadásával kapunk:

eigenvalues 10^-4*{{2.58,1.95,0},{1.95,-2.62,0},{0,0,0.954}}

Input:

Eigenvectors[

2.58 1.95 01.95 −2.62 00 0 0.954

10 ]

Result:

푣 ≈ (0.316228,−0.948683,0. ) 푣 ≈ (0.948683,0.316228, 0. )

푣 ≈ (0. , 0. , 1. )

Megjegyzés:

A WolframAlpha akkor is megadja a sajátvektorokat, ha csak a sajátértékeket kérdeztük és ez fordítva is igaz. Ha csak egy mátrixot adunk meg neki minden egyéb nélkül, akkor a mátrix fő jellemzői, pl.: dimenziója, determinánsa, inverze, karakterisztikus polinomja, stb. mellett megadja a sajátértékeket és a sajátvektorokat is.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 33

a) Adjuk meg az AP0 mátrixot és az m vektort:

Console > Ap0=10^-4*matrix(data=c(2.58,1.95,0,1.95,-2.62,0,0,0,0.954),nr=3,nc=3, byrow=TRUE) > Ap0 [,1] [,2] [,3] [1,] 0.000258 0.000195 0.00e+00 [2,] 0.000195 -0.000262 0.00e+00 [3,] 0.000000 0.000000 9.54e-05

> m=c(0,sqrt(3)/2,-0.5) > m

[1,] 0.0000000 0.8660254 -0.5000000

Az am vektort az AP0 mátrix és az m vektor szorzataként kapjuk:

Console > am=Ap0%*%m > am [,1] [1,] 0.0001688750 [2,] -0.0002268987 [3,] -0.0000477000

b) AP0 sajátértékeit az alábbi paranccsal kapjuk meg:

Console > eigen(Ap0)$values

[1,] 3.23e-04 9.54e-05 -3.27e-04

c) AP0 sajátvektorait pedig az alábbi paranccsal kapjuk meg:

Console > eigen(Ap0)$vectors

[,1] [,2] [,3] [1,] 0.9486833 0 0.3162278 [2,] 0.3162278 0 -0.9486833 [3,] 0.0000000 1 0.0000000

Megjegyzés:

Az eredményben a sajátvektorok oszloponként vannak feltüntetve.

Ha csak az eigen(Ap0) parancsot adjuk ki, akkor az R egyszerre adja meg a sajátértékeket és a sajátvektorokat is.

2.1.3.5.

Határozzuk meg a főfeszültségeket, valamint a feszültségi főirányokat, ha a feszültségi tenzormátrixaa푃pontban:

푻 =−40 20 020 30 −300 −30 50

.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 34

A főfeszültségek a tenzor mátrixának sajátértékei, a főirányok pedig a mátrix sajátvektorai. Ezeket kell meghatározni az előző példa mintájára:

{{-40,20,0},{20,30,-30},{0,-30,50}}

Input:

−40 20 020 30 −300 −30 50

Eigenvalues:

휆 ≈ 72.8797

휆 ≈ −46.0034

휆 ≈ 13.1237

Eigenvectors:

푣 ≈ (−0.135127,−0.762658,1. )

푣 ≈ (−10.661,3.2011,1. )

푣 ≈ (0.462773,1.22921,1. )

Adjuk meg a TP0 mátrixot és kérdezzük le a sajátértékeket és a sajátvektorokat:

Console > Tp0=matrix(data=c(-40,20,0,20,30,-30,0,-30,50),nr=3,nc=3, byrow=TRUE) > eigen(Tp0)

$values [1,] 72.87973 13.12369 -46.00341 $vectors [,1] [,2] [,3] [1,] -0.1068308 0.2803338 0.95393928 [2,] -0.6029515 0.7446182 -0.28634465 [3,] 0.7905926 0.6057695 -0.08947952

Megjegyzés:

Az eredményben a sajátvektorok most is oszloponként vannak feltüntetve.

A WolframAlpha és az R sajátvektorokra adott megoldásai azért térnek el, mert az R normalizált (egységnyi hosszúságú) vektort ad vissza. Ha a WolframAlpha által adott vektorokat normalizáljuk, akkor láthatjuk, hogy a két eredmény megegyezik.

A feszültségi főirányokra (sajátvektorokra) közelítő értéket adnak a szoftverek. Folytonossági érveléssel az mondható, hogy a kapott irányokban a csúsztató feszültség nagysága „0-hoz közeli.”


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 35

2.1.3.6.

Ismertegyszilárdtest푃pontjánakfeszültségiállapotaazelemikockán.

a)Azábrasegítségével írja felaz 횤, 횥, 푘 bázisbana feszültségi tenzormátrixáta푃pontban,majd

határozzamegaz푛 = √ ∙ 횤 + √ ∙ 횥normálisúelemifelületenfellépő휎 normálfeszültséget.

b)Határozzukmegaz푚 = − √ ∙ 횤 + √ ∙ 횥normálisúelemifelületenébredő푛irányú휏 csúsztatófeszültséget.


a)

푻 =−40 20 020 0 −300 −30 60

,így휎 = 푛 ∙ 휌 = 푛 ∙ 푻 ∙ 푛miatt

휎 = √ √ 0 ∙−40 20 020 0 −300 −30 60

∙

⎣⎢⎢⎡√

√

0 ⎦⎥⎥⎤=[−10√2 10√2 −15√2] ∙

⎣⎢⎢⎡√

√

0 ⎦⎥⎥⎤=0.

b)

휏 = 푛 ∙ 휌 = 푛 ∙ 푻 ∙ 푚miatt

휏 = √ √ 0 ∙−40 20 020 0 −300 −30 60

∙

⎣⎢⎢⎡−

√

√

0 ⎦⎥⎥⎤=[−10√2 10√2 −15√2] ∙

⎣⎢⎢⎡−

√

√

0 ⎦⎥⎥⎤=20.

a) A 휎 normálfeszültséget az 푛 ∙ 푻 ∙ 푛 szorzat eredményeként kapjuk:

{sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0}*{{-40,20,0},{20,0,-30},{0,-30,60}}*

{sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 36

Input:

√22 ,

√22 , 0 ∙

−40 20 020 0 −300 −30 60

∙√22 ,

√22 , 0

Result:

0

b) A 휏 csúsztatófeszültséget az 푛 ∙ 푻 ∙ 푚 szorzat eredményeként kapjuk:

{sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0}*{{-40,20,0},{20,0,-30},{0,-30,60}}*

{-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0}

Input:

√22 ,

√22 , 0 ∙

−40 20 020 0 −300 −30 60

∙ −√22 ,

√22 , 0

Result:

20

a) A mátrix és a vektor deklarálása után a keresett eredményhez most is a szorzatot kell kiszámítani:

Console > Tp=matrix(data=c(-40,20,0,20,0,-30,0,-30,60),nr=3,nc=3, byrow=TRUE) > n=c(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0) > szigman=n%*%Tp%*%n > szigman

[,1] [1,] 0

b) Adjuk meg m vektort is, majd számítsuk a szorzatot:

Console > m=c(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0) > taun=n%*%Tp%*%m > taun

[,1] [1,] 20

2.1.3.7. [2]


푢(푥, 푦, 푧) = 10 푥푦 횤 + 10 푦푧 횥 + 10 푧푥 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = −20횤 + 30횥 + 40푘helyvektora.

a) Számítsuk ki a derivált tenzor, a forgató tenzor és az alakváltozási tenzor mátrixait illetve a merevtestszerű forgás vektorát a 푃 pontban!

b) Mekkora az elmozdulásvektor pontos és közelítő értéke közötti eltérés 푟 = 푟 + 횤 helyvektorú pontban?


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 37


a) A derivált tenzor egy tetszőleges pontban

푼 = 10 ∙푦 2푥푦 00 푧 2푦푧2푧푥 0 푥

, így 푼 = 10 ∙9 −12 00 16 24

−16 0 4.

A forgató tenzor egy tetszőleges pontban

흍 =12(푈 − 푈 ) =

12 ∙ 10 ∙

푦 2푥푦 00 푧 2푦푧2푧푥 0 푥

−푦 0 2푧푥2푥푦 푧 00 2푦푧 푥

=

= ∙ 10 ∙0 2푥푦 −2푧푥

−2푥푦 0 2푦푧2푧푥 −2푦푧 0

= 10 ∙0 푥푦 −푧푥

−푥푦 0 푦푧푧푥 −푦푧 0

, így 흍 = 10 ∙0 −6 86 0 12−8 −12 0

.

Az alakváltozási tenzor mátrixa egy tetszőleges pontban

푨 =12(푈 + 푈 ) =

12 ∙ 10 ∙

푦 2푥푦 00 푧 2푦푧2푧푥 0 푥

+푦 0 2푧푥2푥푦 푧 00 2푦푧 푥

=

= ∙ 10 ∙2푦 2푥푦 2푧푥2푥푦 2푧 2푦푧2푧푥 2푦푧 2푥

= 10 ∙푦 푥푦 푧푥푥푦 푧 푦푧푧푥 푦푧 푥

, így 푨 = 10 ∙9 −6 −8−6 16 12−8 12 4

.

A merevtestszerű forgás vektorával a forgató tenzor a

흍 =0 −휑 휑휑 0 −휑−휑 휑 0

alakban írható fel, így 휓 két, fenti alakját összevetve kapjuk, hogy a forgás vektora egy tetszőleges pontban 휑 = −10 푦푧횤 − 10 푧푥횥 − 10 푥푦푘 , így 휑 = −10 (−12횤 + 8횥 + 6푘).

b)

A 푃 , illetve 푃 pontbeli elmozdulásvektor, azaz 푢 = 푢(−20;30; 40), 푢 = 푢(−19; 30;40)

koordinátás alakban 푢 =−0,180,480,16

é푠 푢 =−0,1710,480,1444

.

Az elmozdulásvektor közelítése pedig az alábbi módon számítható:

푢 ≈ 푢 + 푼 ∆푟 =−0,180,480,16

+ 10 ∙9 −12 00 16 24

−16 0 4

100=

=−0,180,480,16

+0,0090

0,016=

−0,1710,480,144

.

Végül, a pontos és a közelítő érték közötti eltérés a 푃 pontban:

푢 − 푢 ö í ő =00

0,0004.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 38

a) A derivált tenzor mátrixa a P0 pontban (a 2.1.3.1 kidolgozott feladat mintájára):

transpose {d/dx 10^-5*{x*y^2,y*z^2,z*x^2},

d/dy 10^-5*{ x*y^2,y*z^2,z*x^2}, d/dz 10^-5*{ x*y^2,y*z^2,z*x^2}}


휕휕푥

{푥푦 , 푦푧 , 푧푥 }10 ,

휕휕푦

{푥푦 , 푦푧 , 푧푥 }10 ,

휕휕푧{푥푦 , 푦푧 , 푧푥 }

10

Result:

1100000

푦 2푥푦 00 푧 2푦푧

2푥푧 0 푥

A derivált tenzort a 푃 pontban az 푥 = −20, 푦 = 30és푧 = 40 helyettesítéssel kapjuk:

{{y^2/100000, (x y)/50000, 0}, {0, z^2/100000, (y z)/50000},

{(x z)/50000, 0, x^2/100000}}, where x=-20, y=30, z=40


⎝

⎜⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎟⎞

where 푥 = −20,푦 = 30, 푧 = 40

Result:

⎝

⎜⎜⎛

91000 −

3250 0

02125

3125

−2125 0

1250⎠

⎟⎟⎞

A forgató tenzor mátrixa a P0 pontban (a 2.1.3.2 kidolgozott feladat mintájára):

({{y^2/100000, (x y)/50000, 0}, {0, z^2/100000, (y z)/50000},

{(x z)/50000, 0, x^2/100000}} - transpose({{y^2/100000, (x y)/50000, 0}, {0, z^2/100000, (y z)/50000}, {(x z)/50000, 0, x^2/100000}}))/2

Input:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 39

⎝

⎜⎜⎜⎛

⎝

⎜⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎟⎞−

⎝

⎜⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎟⎞

⎠

⎟⎟⎟⎞

Result:

⎝

⎜⎛

0

−

–

0

−

0⎠

⎟⎞

푥 = −20, 푦 = 30és푧 = 40 behelyettesítés után:

{{0, (x y)/100000, -(x z)/100000}, {-(x y)/100000, 0, (y z)/100000},

{(x z)/100000, -(y z)/100000, 0}}, where x=-20, y=30, z=40


⎝

⎜⎛

0

−

–

0

−

0⎠

⎟⎞

where 푥 = −20, 푦 = 30, 푧 = 40

Result:

⎝

⎜⎛

0 −

0

− − 0 ⎠

⎟⎞

Az alakváltozási tenzor mátrixa a P0 pontban (a 2.1.3.2 kidolgozott feladat mintájára):

({{y^2/100000, (x y)/50000, 0}, {0, z^2/100000, (y z)/50000},

{(x z)/50000, 0, x^2/100000}} + transpose({{y^2/100000, (x y)/50000, 0}, {0, z^2/100000, (y z)/50000}, {(x z)/50000, 0, x^2/100000}}))/2

Input:

⎝

⎜⎜⎜⎛

⎝

⎜⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎟⎞+

⎝

⎜⎜⎛

0

0

0

⎠

⎟⎟⎞

⎠

⎟⎟⎟⎞

Result:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 40

⎝

⎜⎜⎛

⎠

⎟⎟⎞

푥 = −20, 푦 = 30és푧 = 40 behelyettesítés után:

{{y^2/100000, (x y)/100000, (x z)/100000}, {(x y)/100000, z^2/100000,

(y z)/100000}, {(x z)/100000, (y z)/100000, x^2/100000}}, where x=-20, y=30, z=40


⎝

⎜⎜⎛

⎠

⎟⎟⎞

where 푥 = −20,푦 = 30, 푧 = 40

Result:

⎝

⎜⎛

− −

−

− ⎠

⎟⎞

A forgató tenzor merevtestszerű forgás vektorával felírt alakjából:

흍 =0 −휑 휑휑 0 −휑−휑 휑 0

és a kiszámított mátrixból kiolvashatók 휑 , , értékei:

휑 = −3250 , 휑 =

1125 , 휑 =

3500

b)

푢 a 푃 (−20; 30; 40) pontban:

{10^-5*x*y^2,10^-5*y*z^2,10^-5*z*x^2}, where x=-20, y=30, z=40

Input interpretation: , , where 푥 = −20, 푦 = 30, 푧 = 40

Result:

−950 ,

1225 ,

425

A számítógép használata nélkül kapott eredménnyel összevetve:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 41

푢 a 푃(−19,30,40) pontban:

{10^-5*x*y^2,10^-5*y*z^2,10^-5*z*x^2}, where x=-19, y=30, z=40

Input interpretation: , , where 푥 = −19, 푦 = 30, 푧 = 40

Result:

−1711000 ,

1225 ,

3612500


Az elmozdulásvektor közelítése pedig az alábbi módon számítható:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 42

{-9/50,12/25,4/25}+

{{9/1000, -3/250, 0}, {0, 2/125, 3/125}, {-2/125, 0, 1/250}}*{1,0,0}


−950 ,

1225 ,

425 +

⎝

⎜⎜⎛

91000 −

3250 0

02125

3125

−2125 0

1250⎠

⎟⎟⎞∙ {1,0,0}

Result:

−1711000 ,

1225 ,

18125


Végül, a pontos és a közelítő érték közötti eltérés a 푃 pontban:

{-171/1000, 12/25, 361/2500}-{-171/1000, 12/25, 18/125}


−1711000 ,

1225 ,

3612500 − −

1711000 ,

1225 ,

18125

Result:

0, 0,1

2500

2.1.4. Gyakorlófeladatok


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 43

2.1.4.1.


푢(푥, 푦, 푧) = 10푒 푧푦 횤 + 10

푦푥푒 횥 + 10 푧 푦 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = 40횤 + 15횥 + 20푘helyvektora.

Határozzuk meg a derivált tenzor mátrixát a 푃 pontban a WolframAlpha segítségével!

(Megjegyzés: A megoldás menetét lásd a 2.1.3.1. kidolgozott feladat szerint.)

2.1.4.2.


푢(푥, 푦, 푧) = 10푥푦푧 횤 + 10

푦푥푧 횥 + 10

(푥 + 푦) ∙ ln푥푥푦 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = 14횤 + 27횥 + 33푘helyvektora.

Határozzuk meg a derivált tenzor mátrixát a 푃 pontban az R szoftver segítségével!


2.1.4.3.

Adott az 푥푦푧 koordinátarendszerben egy szilárd test elmozdulásmezeje derivált tenzorának mátrixa:

푼 = 10 ∙

⎣⎢⎢⎡푒 0

0 3푧 (푥푦)0 푦푒 ⎦

⎥⎥⎤.

Határozzuk meg a forgató tenzor és az alakváltozási tenzor mátrixait a 푃 pontban, melynek helyvektora 푟 = 20횤 + 15횥 + 55푘!


2.1.4.4.


푢(푥, 푦, 푧) = 2 ∙ 10 푥 푦횤 + 10 (푦 + 3푧)횥 + 10 (푥 푦 + 푧 )푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = 27횤 − 5횥 + 30푘helyvektora.

Határozzuk meg a merevtestszerű forgás vektorát a 푃 pontban!


2.1.4.5.

Ismert egy szilárd test 푃 pontjának alakváltozási állapota, valamint az 푚 irányegység vektor:

휀 = 0,5 ∙ 10 ;휀 = 0,1 ∙ 10 ;휀 = −0,1 ∙ 10 ;훾 = 0; 훾 = −0,2 ∙ 10 ;훾 = 0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 44

푚 =√22 횥 −

√22 푘.

a) Adjuk meg az 푚 irányhoz tartozó alakváltozási vektort!

b) Adjuk meg a főnyúlások nagyságát!

c) Adjuk meg az alakváltozási főirányokat!


2.1.4.6.

Ismert egy szilárd test 푃 pontjának feszültségi állapota:

푻 =50 0 −200 10 0

−20 0 −10.

a) Határozzuk meg az 푛 =√

∙ 횤 + 2횥 + 3 ∙ 푘 normálisú elemi felületen fellépő 휎 normálfeszültséget.

b) Határozzuk meg az 푚 =√

∙ −5 ∙ 횤 + 3 ∙ 횥 − 2 ∙ 푘 normálisú elemi felületen ébredő 푛 irányú 휏 csúsztató feszültséget.


2.1.4.7.


푢(푥, 푦, 푧) = 10 푥 푦 횤 + 10 푥푧 횥 + 2 ∙ 10 푧푦 푘

elmozdulásmezeje, valamint 푃 pontjának 푟 = −30횤 + 10횥 − 20푘helyvektora.

a) Számítsuk ki a derivált tenzor, a forgató tenzor és az alakváltozási tenzor mátrixait, illetve a merevtestszerű forgás vektorát a 푃 pontban!

b) Mekkora az elmozdulásvektor pontos és közelítő értéke közötti eltérés 푟 = 푟 + 횥 helyvektorú pontban?

2.1.4.8.

Egy acélszerkezet valamely 푃 pontjához tartozó feszültségi tenzorának mátrixa:

푻 =44 60 060 −20 00 0 −12

.

a) Határozzuk meg a főfeszültségeket és a feszültségi főirányokat!

b) Határozzuk meg az 푛 =√

∙ (5횤 + 3횥) normálisú elemi felületen fellépő 휎 normálfeszültséget.

c) Határozzuk meg az 푚 =√

∙ −횤 + 3 ∙ 횥 − 푘 normálisú elemi felületen ébredő 푛 irányú 휏 csúsztató feszültséget.

d) Határozzuk meg az alakváltozási tenzor mátrixát a 푃 pontban, ha az anyagi minőségre jellemző Poisson állandó 휈 = 0,3 és Young modulus Ε = 2 ∙ 10 [푃푎]!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 45

AHooke törvényszerint푨 = 푻 − ∙ (휎 + 휎 + 휎 ) ∙ 퐄 .

2.2. Súlypont, másodrendű nyomatékok


Ha egy rudat, melyre külső terhelések hatnak, képzeletben két részre vágunk, akkor az egyes részeknek is egyensúlyban kell lenniük. A képzeletbeli elvágás helyén olyan erőknek és nyomatékoknak kell ébredniük, melyek az egyensúlyt biztosítják. Ezek a belső erők és nyomatékok a rúd igénybevételei. A belső erők ismerete a tartó szilárdsága szempontjából fontos. A belső nyomaték két komponensre bontható, a tengelyirányú vektorral jellemzett összetevő a csavarónyomaték, a tengelyre merőleges irányú nyomatékvektor a hajlítónyomaték. A belső nyomatéknak a rúd tengelyére merőleges komponense a hajlítónyomaték. A hajlítónyomaték a rudat „meghajlítani igyekszik”, a keresztmetszetben változó nagyságú normális feszültséget okoz.

Prizmatikus rúdról beszélünk abban az esetben, ha a rúd keresztmetszeteinek alakja és térbeli elhelyezkedése a rúd hossza mentén nem változik.

A másodrendű nyomatékokat többek között rudak hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használják, ahol a rúd keresztmetszete (egy síkidom) kitüntetett figyelmet kap. A másodrendű nyomatékok (prizmatikus rúd esetén) csak a tekintett rúdkeresztmetszet geometriájának függvényei; függetlenek a rúd anyagától és terhelésétől.

A tengelyekre számított másodrendű nyomatékok (más szóval ekvatoriális másodrendű nyomatékok):

Az x tengelyre számított másodrendű nyomaték: 퐼 = ∫ 푦 푑퐴 (>0), ahol 푦 a dA síkidomelem geometriai középpontjának előjeles távolsága az x tengelytől;

az y tengelyre számított másodrendű nyomaték: 퐼 = ∫ 푥 푑퐴 (>0) ahol x a dA síkidomelem geometriai középpontjának előjeles távolsága az y tengelytől.

Mértékegység: [m4].

2.1/5 ábra

A vegyes másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítunk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a vegyes másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet:

vegyes másodrendű nyomaték: 퐼 = ∫ 푥푦푑퐴.

A Steiner-tétel az S (súly)ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok közötti összefüggést adja meg:

퐼 = 퐼 + 푦 ∙ 퐴


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 46

퐼 = 퐼 + 푥 ∙ 퐴

퐼 = 퐼 + 푥 ∙ 푦 ∙ 퐴

2.1/6 ábra


Ha 푓, 푔: [푎, 푏] → ℝ folytonos függvények az [푎, 푏] intervallumon úgy, hogy 푓(푥) ≥ 푔(푥) ha 푥 ∈ [푎, 푏], akkor az

퐴 = {(푥, 푦)|푥 ∈ [푎, 푏], 푔(푥) ≤ 푦 ≤ 푓(푥)}

ponthalmazt normáltartománynak mondjuk.

Ha az A síkidom 푓 és 푔 egyváltozós valós értékű függvények képei által határolt normáltartomány, akkor a másodrendű nyomatékok:

퐼 = 푦 푑푦

( )

( )

푑푥 =13 푓 (푥) − 푔 (푥) 푑푥

퐼 = 푥 푑푦

( )

( )

푑푥 = 푥 ∙ (푓(푥) − 푔(푥)) 푑푥

퐼 = 푥푦 푑푦

( )

( )

푑푥 =12 푥 ∙ (푓 (푥) − 푔 (푥))푑푥

Tekintsünk egy síkidomot, mint egy egyenletes 휂 = 1 felületi tömegsűrűségű vékony lemezt. (Ekkor a síklemez tömege egyenlő a területével.)

A síkidom 푆 súlypontjának koordinátáit ekkor az 푥 = ∫, 푦 = ∫

képletekkel számíthatjuk, ahol A a síkidom területe.

Ha 푓, 푔: [푎, 푏] → ℝ folytonos függvények az [푎, 푏] intervallumon úgy, hogy 푓(푥) ≥ 푔(푥) ha 푥 ∈ [푎, 푏], akkor az 퐴 = {(푥, 푦)|푥 ∈ [푎, 푏], 푔(푥) ≤ 푦 ≤ 푓(푥)} síkidom 푆 súlypontjának (푥 , 푦 )koordinátái az 푥푦 koordinátarendszerben az

푥 =∫ 푥 ∙ (푓(푥) − 푔(푥)) 푑푥

∫ 푓(푥) − 푔(푥) 푑푥; 푦 =

12∫ 푓 (푥) − 푔 (푥) 푑푥

∫ 푓(푥) − 푔(푥) 푑푥


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 47

képletekkel számolhatók, ugyanis

∫ 푥 푑퐴 = ∫ ∫ 푥 푑푦( )( ) 푑푥 =∫ [푥 ∙ 푦] ( )

( ) 푑푥 = ∫ 푥 ∙ (푓(푥) − 푔(푥)) 푑푥, valamint

∫ 푦 푑퐴 = ∫ ∫ 푦 푑푦( )( ) 푑푥 =∫

( )

( )푑푥 = ∫ 푓 (푥) − 푔 (푥)푑푥.


2.2.3.1.

Határozzuk meg az ábrán látható keresztmetszet súlypontjának koordinátáit!


A jelen példában az ábrából kitalálható, hogy [푎, 푏] = [−3,2], 푔(푥) = 0,

푓(푥) =− 1 − (푥 − 1) + 2, ℎ푎푥 ∈ [0,2]

23 ∙ 푥 + 2, ℎ푎푥 ∈ [−3,0]

�

A keresztmetszet A területe felhasználva az integrál additivitását:

A = 푓(푥)푑푥 =23 ∙ 푥 + 2 푑푥 + − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥 = (∗)

Az 푓 (푥) = ∙ 푥 + 2 függvény egy primitív függvényét 푃 (푥)-el, az 푓 (푥) = − 1 − (푥 − 1) + 2 függvény egy primitív függvényét 푃 (푥)-el jelölve a

Newton-Leibniz formulát használva kapjuk majd, hogy

(∗) = 푃 (0) − 푃 (−3): á ö ü

+ 푃 (2) − 푃 (0) : é ő é ö ü

(∗) =13 ∙ 푥 + 2푥 − 1 − (푥 − 1) 푑푥 + [2푥] =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] − 1 − 푡 푑푡 =


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 48

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] − 1 − sin 푠 ∙ cos 푠 푑푠 =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] − cos 푠 푑푠 = =

13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] −

12 푠 +

12 ∙

sin 2푠2 =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] −

12 푠 +

12 ∙ sin 푠 ∙ cos 푠 =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] −

12 푠 +

12 ∙ sin 푠 ∙ 1 − sin 푠 =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] −

12 arcsin 푡 +

12 ∙ 푡 ∙ 1 − 푡 =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + [2푥] −

12 arcsin

(x − 1)+12 ∙ (푥 − 1) ∙ 1 − (푥 − 1) =

=13 ∙ 푥 + 2푥 + −

12 arcsin

(x − 1)−12 ∙(푥 − 1) ∙ −푥 + 2푥 + 2푥 =

= −13 ∙ 9 − 6 −

12 arcsin 1−

12 ∙ 1 ∙ 0 + 4 − −

12 arcsin(−1)−

12 ∙(−1) ∙ 0 + 0 =

= 3 −휋4 + 4 −

휋4 ≈ 3 + 4 −

3,14162 = 3 + 4 − 1,5708 = 3 + 2,4292 = 5,4292.

A későbbiekben (∗) kiszámításának módját a különböző szoftverekben megmutatjuk.

(∗) kiszámítását először a GeoGebra segítségével végezzük el; a parancssorba az alábbiakat gépelve a következő képet láthatjuk:

f_1(x)=(2/3)*x+2

f_2(x)=-sqrt(1-(x-1)^2)+2

P_1=Integrál[f_1]

P_2=Integrál[f_2]

A_1=P_1(0)-P_1(-3)

A_2=P_2(2)-P_2(0)


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 49

Tehát a keresztmetszet területe: A=5,4292

Hasonlóan végezzük el a többi integrálást is. Csak annyi a dolgunk, hogy a párbeszédablakba kattintva újradefiniáljuk az f1 és f2 függvényeket.

푥 =1

5,4292 푥 ∙ 푓(푥)푑푥 =

=1

5,4292 푥 ∙23 ∙ 푥 + 2 푑푥 + 푥 ∙ − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥 = (∗∗)

Most 푓 (푥) = 푥 ∙ ∙ 푥 + 2 és 푓 (푥) = 푥 ∙ − 1 − (푥 − 1) + 2 . Módosítás után ezekre a függvényekre újraszámol. A következő ablakot láthatjuk:

(∗∗) =1

5,4292(퐴 + 퐴 ) =

15,4292

(−3 + 2,4292) = −0,1051

A súlypont második koordinátája pedig


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 50

푦 =1

2 ∙ 5,4292 푓 (푥)푑푥 =

=1

2 ∙ 5,429223 ∙ 푥 + 2 푑푥 + − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥 = (∗∗∗)

(∗∗∗) =1

2 ∙ 5,4292(4 + 3,0501) = 0,6493

Tehát 푆 = (−0,1051;0,6493).

Megjegyzés:

A feladat megoldásához a gyakorlatban úgy számolnak, hogy felbontják a síkidomot nevezetes síkidomdarabokra (melyeknek a súlypontjait ismerik).

Összetett síkidomok esetén:

푥 =∑푥 ∙ 퐴∑퐴 ;푦 =

∑푦 ∙ 퐴∑퐴

푆 é ö = 0,4푅3휋 ;푆 á ö =

푎3 ,푏3 ;푆 é = (0,0)


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 51

Ezeket a megfelelő vektorral eltolva, illetve előjelezve az iménti feladat adatait a következő táblázat foglalja össze:

푥 =푅 ∙ 1 − 휋

2푅 ∙ 7 − 휋

2=

1 − 휋2

7 − 휋2

= −0,1051

푦 =푅 ∙ 20

3 − 휋

푅 ∙ 7 − 휋2

=203 − 휋

7 − 휋2

= 0,6493

A függvény:

푓(푥) =23 ∙ 푥 + 2, ℎ푎푥 ∈ [−3,0]

− 1 − (푥 − 1) + 2, ℎ푎푥 ∈ [0,2]�

Ezt kell integrálni -3 és 2 között, melyhez az alábbi parancsot kell kiadni:

(integrate 2/3*x+2 from -3 to 0) +

(integrate -sqrt(1-(x-1)^2)+2 from 0 to 2)

Input:

23 푥 + 2 푑푥 + − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥

Result:

7 −휋2 ≈ 5.4292

Tehát a függvény alatti terület 퐴 = 5,4292.

A súlypont két koordinátájához az

푥 =1퐴 푥 ∙ 푓(푥)푑푥 és푦 =

12 ∙ 퐴 푓 (푥)푑푥

integrálokat kell kiszámítani az alábbi módon:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 52

((integrate x*(2/3*x+2) from -3 to 0) +

(integrate x*(-sqrt(1-(x-1)^2)+2) from 0 to 2))/5.4292

Input:

∫ 푥 23 푥 + 2 푑푥 +∫ 푥 − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥

5.4292

Computation result:

−0.105135

Decimal aproximation:

−0.10513451830746641

és

((integrate (2/3*x+2)^2 from -3 to 0) +

(integrate (-sqrt(1-(x-1)^2)+2)^2 from 0 to 2))/(2*5.4292)

Input:

∫ 23 푥 + 2 푑푥 +∫ − 1 − (푥 − 1) + 2 푑푥

2 × 5.4292

Result:

0.649281

Tehát a súlypont koordinátái közelítőleg: 푆 = (−0,1051;0,6493)

Megjegyzés:

A WolframAlpha nem tárolja el az eredményeket, ezért ennek a feladatnak a megoldása során célszerű a függvényt kapcsos alakban megadni.

Adjuk meg a két függvényt az alábbi módon:

Console > f1=function(x) {2/3*x+2}

> f2=function(x) {-sqrt(1-(x-1)^2)+2}

és számítsuk ki a határozott integrálok összegét:

Console > A=integrate(f1,-3,0)$value+integrate(f2,0,2)$value > A

[1] 5.429203

A koordináták számításához módosítsuk a függvényeket:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 53

Console > f1=function(x) {x*(2/3*x+2)} > f2=function(x) {x*(-sqrt(1-(x-1)^2)+2)}

és számítsuk ki a határozott integrálok összegét:

Console > sx=(integrate(f1,-3,0)$value+integrate(f2,0,2)$value)/A > sx

[1] -0.1051345

a másik koordinátát ugyanígy kapjuk:

Console > f1=function(x) {(2/3*x+2)^2} > f2=function(x) {(-sqrt(1-(x-1)^2)+2)^2} > sy=(integrate(f1,-3,0)$value+integrate(f2,0,2)$value)/(2*A) > sy

[1] 0.6492801

2.2.3.2.

Számítsuk ki A másodrendű nyomatékait!


Mivel itt 푎 = 0, 푏 = 2, 푓(푥) = 푒 é푠푔(푥) = −푥 + 1, így az x tengelyre számított másodrendű nyomaték

퐼 =13 푒 − (1 − 푥 ) 푑푥 =

13 푒 − (1 − 3푥 + 3푥 − 푥 ) 푑푥 =

=13 푒 − 1 + 3푥 − 3푥 + 푥 푑푥 =

13 ∙

푒3 − 푥 + 푥 −

35푥 +

푥7 =


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 54

=13 ∙

푒3 − 2 + 8 −

35 ∙ 32 +

1287 −

13 = 46,4.

Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték a fentieket felhasználva

퐼 = 푥 ∙ (푒 − (−푥 + 1)) 푑푥 = 푥 ∙ 푒 + 푥 − 푥 푑푥 = (∗).

Ezen a ponton alkalmaznunk kell a parciális integrálás tételét:

푥 ∙ 푒 푑푥 =푥 ∙ 푒 − 2푥 ∙ 푒 푑푥 = 푥 ∙ 푒 − 2푥 ∙ 푒 − 2 ∙ 푒 푑푥 =

= 푥 ∙ 푒 − 2푥 ∙ 푒 + 2 ∙ 푒 + 푐 = 푒 ∙ (푥 − 2푥 + 2) + 푐, így

(∗) = 푒 ∙ (푥 − 2푥 + 2) +푥5 −

푥3 = 푒 ∙ 2 +

325 −

83 − 2 = 16,51.

A vegyes másodrendű nyomaték

퐼 =12 푥 ∙ (푒 − (1 − 푥 ) ) 푑푥 =

12 푥 ∙ (푒 − (1 − 2푥 + 푥 )) 푑푥 =

=12 푥 ∙ 푒 − 푥 + 2푥 − 푥 푑푥 = (∗∗).

Ismét a parciális integrálás tételét használva

∫ 푥 ∙ 푒 푑푥 =푥 ∙ − ∫ 푑푥 =푥 ∙ − + 푐, mellyel

(∗∗) =12 ∙ 푥 ∙

푒2 −

푒4 −

푥2 +

24 ∙ 푥 −

푥6 =

12 ∙ 푒 −

푒4 − 2 + 8 −

646 +

14 = 18,27.

Az x tengelyre számított másodrendű nyomaték az alábbi integrál értékével egyenlő:

1/3*(integrate exp(3*x)-(-x^2+1)^3 from 0 to 2)

Definite integral:

13

(풆 − (1 − 푥 ) ) 푑푥 =13

499105 +

풆3 ≈ 46.410

Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték az alábbi integrál értékével egyenlő:

integrate x^2*(exp(x)-(-x^2+1)) from 0 to 2

Definite integral:

푥 exp(푥) − (1 − 푥 ) 푑푥 =2615 + 2풆 ≈ 16.511


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 55

A vegyes másodrendű nyomaték pedig:

1/2*(integrate x*(exp(2*x)-(-x^2+1) ^2) from 0 to 2)

Definite integral:

12 푥(풆 − (1 − 푥 ) ) 푑푥 =

124 (9풆 − 53) ≈ 18.266

Az x tengelyre számított másodrendű nyomaték:

Console > f=function(x) {exp(3*x)-(-x^2+1)^3} > Ix=1/3*integrate(f,0,2)$value > Ix

[1] 46.40955

Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték:

Console > f=function(x) {x^2*(exp(x)-(-x^2+1))} > Iy=integrate(f,0,2)$value > Iy

[1] 16.51145

A vegyes másodrendű nyomaték:

Console > f=function(x) {x*(exp(2*x)-(-x^2+1)^2)} > Ixy=1/2*integrate(f,0,2)$value > Ixy

[1] 18.26597


2.2.4.1.

Számítsuk ki A súlypontjának koordinátáit a kidolgozott példában szereplő szoftverek segítségével!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 56

1. Megjegyzés: 푎 = −3, 푏 = 3, 푓(푥) = √9 − 푥 é푠

푔(푥) = 4 − 푥 , ha푥 ∈ [−2,2]0, ha푥 ∈ [−3,−2]vagy[2,3]

�

2. Megjegyzés: 푆 é ö = 0;

푥 =

∑푥 ∙ 퐴∑퐴 = 0;푦 =

∑푦 ∙ 퐴∑퐴 =

4휋 ≈ 1,2732

2.2.4.2.

Számítsuk ki az ábrán látható síkidom súlypontjának koordinátáit a kidolgozott példában szereplő szoftverek segítségével!

Megjegyzés: 푎 = 0, 푏 = 2, 푓(푥) = 푐ℎ(푥)é푠푔(푥) = 0

2.2.4.3.

Számítsuk ki az ábrán látható síkidom súlypontjának koordinátáit a kidolgozott példában szereplő szoftverek segítségével!

Megjegyzés: 푎 = 0, 푏 = 1, 푓(푥) = 푥é푠푔(푥) = 푥


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 57

2.2.4.4.

Határozzuk meg a 2.2.4.2. példában szereplő síkidom másodrendű nyomatékait a kidolgozott példában szereplő szoftverek segítségével!

2.2.4.5.

Határozzuk meg a 2.2.4.3. példában szereplő síkidom másodrendű nyomatékait a kidolgozott példában szereplő szoftverek segítségével!

2.3. Projektfeladatok


A 2.1 illetve 2.2 részekben leírt szaktárgyi és matematikai ismereteken kívül az alábbiakra lesz még szükségünk:

A másodrendű nyomatéki tenzor mátrixa az S súlypontra vonatkozólag: 푰 =퐼 −퐼−퐼 퐼 , ahol

퐼 = 퐼 .

A másodrendű nyomatéki tenzorral kapcsolatos sajátértékfeladatot a másodrendű nyomatéki főtengelyproblémájának szokás emlegetni. A sajátértékeket másodrendű főnyomatékoknak nevezzük, a sajátvektorok pedig a főirányokat jelölik ki. A főirányokban a vegyes másodrendű nyomaték nulla. Az alkalmazott matematikai ismeretek részben leírtakat figyelembe véve a karakterisztikus polinom mindkettő gyöke valós. A másodrendű főnyomatékokat nagyságuk szerint szokás indexezni: 퐼 ≥ 퐼 .

Az alábbi téglalap másodrendű nyomatékai:

퐼 = 푦 푑퐴 = 푦 ∙ 푎푑푦 = 푎 ∙푦3 ⁄

⁄⁄

⁄

=푎 ∙ 푏12

퐼 = 푥 푑퐴 = 푥 ∙ 푏푑푥 = 푏 ∙푦3 ⁄

⁄⁄

⁄

=푏 ∙ 푎12


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 58

2.3.2. Kidolgozott projektfeladat

2.3.2.1.

Tekintsük az alábbi keresztmetszetet (Forrás: [1]):

Adatok: 푎 = 40, 푏 = 20, 푐 = 80, 푑 = 10[푚푚]

a) Határozzuk meg a keresztmetszet súlypontját!

b) Határozzuk meg a súlyponton átmenő 푥 és 푦 tengelyekre, valamint az 푥푦 tengelypárra a keresztmetszet másodrendű nyomatékait!

c) Számítsuk ki a másodrendű főnyomatékokat és határozzuk meg a főtengelyek irányát!


a)

Az 푆 súlypont helyének meghatározásához vegyünk fel egy 푥푦 koordinátarendszert. Az alábbi ábrán jelölt A1 és A2 területű téglalapok súlypontjainak koordinátái ebben a koordinátarendszerben rendre 푆 = (10;20) illetve 푆 = (50;5), így a keresztmetszet 푆 = (푥 ;푦 ) súlypontjának koordinátái az 푥푦 koordinátarendszerben (Forrás: [1]):

푥 = ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙

= = 27,14 [mm]

푦 = ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙

= = 13,57 [mm].

b)

Az 푥tengelyre számított másodrendű nyomaték (퐼 ) kiszámítását három lépésben végezzük el. Először kiszámítjuk az A1 és A2 területű téglalapok másodrendű nyomatékait az 푆 , illetve 푆 súlypontokon átmenő, 푥 tengellyel párhuzamos X1 és X2 tengelyekre. A Steiner-tétel egy koordinátarendszer eltolásának hatásáról szól a keresett mennyiségekre. A tétel értelmében egy adott (például X1) súlyponti tengelyre számított másodrendű nyomaték ismeretében úgy számítható egy vele párhuzamos (például az 푥) tengelyre számított másodrendű nyomaték, hogy hozzáadjuk az adott súlyponti tengelyre


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 59

vonatkozó másodrendű nyomatékhoz (퐼 -hez) a síkidom területének és a két tengely közötti távolság négyzetének szorzatát, 푡 ∙ 퐴 -et (lásd az alábbi ábrán (forrás: [1]). Az utolsó lépésben 퐼 -et úgy kapjuk, hogy az 퐴 és 퐴 területű téglalapok 푥 tengelyre számított másodrendű nyomatékát összeadjuk.

Hasonló gondolatmenettel számíthatjuk ki az ytengelyre számított másodrendű nyomatékot. Formalizálva a fentebb írtakat

퐼 = 퐼 + 푡 ∙ 퐴 + 퐼 + 푡 ∙ 퐴 és 퐼 = 퐼 + 푡 ∙ 퐴 + 퐼 + 푡 ∙ 퐴 .

Mivel az 푥푦 koordinátarendszerben 푆 és 푆 koordinátáit ismerjük, az ábráról könnyen leolvasható, hogy 푡 -et megkapjuk, ha 푆 második koordinátájából kivonjuk 푆 második koordinátáját, és vesszük a kapott szám abszolút értékét: 푡 = |20 − 13,57| = 6,43 [mm]. Hasonlóan kapjuk, hogy

푡 = 17,14;푡 = 8.57;푡 = 22,86 [mm].

Mivel

퐼 = ∙ = ∙ = 106666,67 [mm4], 퐼 = ( )∙ = ∙ = 5000 [mm4],

퐼 = ∙ = ∙ = 26666,67 [mm4], 퐼 = ∙( ) = ∙ = 180000 [mm4],

így rövid számolás után kapjuk, hogy

퐼 = 188809,52és 퐼 = 755238,10 [mm4].

Részben hasonló gondolatmenettel számítható a vegyes másodrendű nyomaték is. Ha 푆 =푥 ; 푦 illetve 푆 = (푥 ; 푦 ) az 푥푦 koordinátarendszerben, akkor

퐼 = 퐼 + 푥 푦 ∙ 퐴 + 퐼 + 푥 푦 ∙ 퐴 .

Az 퐼 és 퐼 másodrendű nyomatékok értéke 0, mivel az 푋 푌 és푋 푌 tengelypárok a vizsgált keresztmetszetrészek főirányaival esnek egybe. Mivel az ábra jelöléseivel élve

푥 = −푡 , 푦 = 푡 , 푥 = 푡 , 푦 = −푡 ; így

퐼 = (0 + 6.43 ∙ (−17.14) ∙ 800) + (0 + (−8.57) ∙ 22.86 ∙ 600) = −205714,29[mm4].

c)

Az 퐼 súlyponti tehetetlenségi tenzor mátrixa az 푥푦 koordinátarendszerben:

푰 =퐼 −퐼−퐼 퐼 = 188809,52 205714,29

205714,29 755238,10 .

A keresett másodrendű főnyomatékok az 퐼 mátrix sajátértékei, míg a főirányok az 퐼 mátrix sajátvektorai által kijelölt irányok. A sajátértékeket a 푃(휆) = det(푰 − 휆 ∙ 푬) karakterisztikus polinom gyökei szolgáltatják, azaz meg kell oldani a det(푰 − 휆 ∙ 푬) = 0 egyenletet:

푑푒푡 188809,52 205714,29205714,29 755238,10 − 휆 ∙ 1 0

0 1 = 0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 60

푑푒푡 188809,52 − 휆 205714,29205714,29 755238,10 − 휆 = 0

(188809,52− 휆) ∙ (755238,10 − 휆) − 205714,29 ∙ 205714,29 = 0

휆 − 944047,62휆 + 100277774036,5079 = 0, melyből 휆 ≈ 822065 és 휆 ≈ 121985.

Ennélfogva a keresett másodrendű főnyomatékok (mindig a nagyobb az 1 indexű):

퐼 ≈ 822065, 퐼 ≈ 121985 [mm4].

Most meghatározzuk a főirányokat. Az egyik (1-es) főirányt az 퐼 -hez tartozó sajátvektorok jelölik ki, melyet az (푰 − 퐼 ∙ 퐸) ∙ 푥 = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapunk meg.

18880,52 205714,29205714,29 755238,10 − 822065 ∙ 1 0

0 1 ∙푥푦 = 0

0

188809,52 − 822065 205714,29205714,29 755238,10 − 822065 ∙

푥푦 = 0

0

−633255,48푥 + 205714,29푦 = 0205714,29푥 − 66826,9푦 = 0

�

Az első egyenletből 푦 = ,,푥 = 3,0783x, tehát a sajátvektorok (körülbelül) a

푡3,0783푡 , 푡 ∈ ℝ

alakú vektorok. Tehát az 1-es főirányt kijelöli az 푒 = 13,0783 vektor. Mivel szimmetrikus mátrix

esetén a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak egymásra, mondhatjuk, hogy a

2-es főirányt kijelöli az 푒 = −3,07831 vektor.

Megjegyzés:

A mérnöki gyakorlatban szokás a sajátvektorok helyzetét a Descartes-féle koordináták helyett a polárszöggel megadni. Ez annál is indokoltabb, mivel egy sajátvektor nemzérus számszorosa ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátvektor. A módszer kiküszöböli a szabad paraméter használatát a lineáris egyenletrendszer megoldása során. A sajátvektort tehát 푣 = (푐표푠휑, 푠푖푛 휑) alakban keressük, azaz megoldandó a

188809,52 205714,29205714,29 755238,10 − 822065 ∙ 1 0

0 1 ∙푐표푠휑푠푖푛휑 = 0

0

trigonometrikus egyenletrendszer. A 휑 = ±90° szögállástól eltekintve az egyenletrendszert egy egyenletre redukálhatjuk a 푡푔휑 változó bevezetésével. Lásd például [1]. Természetesen ez csak síkban lehetséges egy egyszerű polárszöggel.

A keresztmetszet 푆 súlypontjának koordinátáit az 푥푦 koordináta rendszerben, illetve a keresztmetszet másodrendű nyomatékait az 푆 súlyponton átmenő 푥푦 tengelypárra vonatkozóan a GeoGebra program segítségével fogjuk meghatározni.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 61

A parancssorba rendre az alábbiakat kell beírni:

a=0, b=80

f=Ha[a<=x<=20,40,Ha[20<x<=b,10]]

g(x)=0

A=Integrál[f,a,b]

x_h=1/A*(Integrál[x*(f(x)-g(x)),a,b])

y_h=1/A*1/2*(Integrál[x*(f(x)^2-g(x)^2),a,b])

S=(x_h,y_h)

I_x=1/3*(Integrál[f(x)^3-g(x)^3,a,b])-(y_h)^2*A

I_y=Integrál[x^2*(f(x)-g(x)),a,b]-(x_h)^2*A

I_v=1/2*(Integrál[x*(f(x)^2-g(x)^2),a,b])-x_h*y_h*A

I_S={{I_x,-I_v},{-I_v,I_y}}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 62

A másodrendű főnyomatékok és főtengelyek irányának meghatározásához a WolframAlpha programot

használjuk. A 188809,52 205714,29205714,29 755238,10 mátrix sajátértékeit és sajátvektorait kell meghatároznunk:

eigenvalues{{188809.52,205714.29},{205714.29,755238.1}}

Összehasonlításképpen a WolframAlpha program által szolgáltatott 푣 sajátvektorra:

tg휑 = ,,

= 3,0783.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 63

Megjegyzések:

1. A GeoGebra grafikus felületén ábrázolni is tudjuk a vizsgált keresztmetszetet.

2. a,b,f és g újradefiniálása után a program újraszámol, így más keresztmetszet hasonló adatait szinte azonnal megkapjuk.

Példa:

Tekintsük az alábbi keresztmetszetet!

a) Határozzuk meg a keresztmetszet súlypontját!

b) Határozzuk meg a súlyponton átmenő 푥 és 푦 tengelyekre, valamint az 푥푦 tengelypárra a keresztmetszet másodrendű nyomatékait!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 64

2.4. Irodalmi hivatkozások

[1] Kossa Attila, Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

http://www.mm.bme.hu/~kossa/sziltan/inertia.pdf

[2] Kozák Imre – Szeidl György, Fejezetek a szilárdságtanból,

http://www.mech.uni-miskolc.hu/~szeidl/

[3] Wettl Ferenc, Lineáris algebra,

http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/pdf/14.pdf

[4] Nagyné Kondor Rita, Szíki Gusztáv Áron, Matematikai eszközök mérnöki alkalmazásokban, Debreceni Egyetem Műszaki Kar, 2009

[5] Király Béla szerkesztésében, Szilárdságtan I., Miskolci Egyetem Mechanikai Tanszék Munkaközössége, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 65

3. Mozgástan A dinamikai modellekben való hatékony számolás a feladatok analitikus megoldását igényli. Mivel a mozgásegyenlet differenciálegyenlet, a dinamikai számításokban központi szerepe van a differenciálegyenletek megoldhatóságának, és a megoldás megtalálásának. Az ebben a könyvben felvetett problémák közül a differenciálegyenletek megoldása jelenti a legnehezebb feladatot a szoftverek számára, így nem véletlen, hogy ebben a részben a legkisebb az alkalmazható szoftverek köre. Továbbá a szabad felhasználású szoftverek korlátai is itt mutatkoznak meg leginkább. Az analitikus számításokra való képesség a matematikai szoftverek legnagyobb értéke, amit érthető módon védenek a szoftverek tulajdonosai, így egy bizonyos bonyolultságot elérve szükségessé válik valamelyik nagy tudású szoftver (pl. Maple, Matlab, Mathematica) beszerzése.

3.1. Anyagi pont mozgását leíró pálya menti mennyiségek és kapcsolatuk

3.1.1. Alkalmazott szaktárgyi ismeretek [1], [2]

Egy test, amelynek mérete elhanyagolható a mechanikai problémában szereplő egyéb méretekhez képest, anyagi ponttal modellezhető. Az anyagi pont egy geometriai pont, amelyhez hozzárendelhetjük a test tömegét. Az anyagi pont (푃) által bejárt térgörbe a mozgás pályája (3.1/1 ábra).

3.1/1 ábra

A pályán az anyagi pont helye az 푂 vonatkoztatási ponttól mért előjeles ívhosszal (푠) – amelyet pálya- vagy helykoordinátának (periodikus mozgások esetén kitérésnek) nevezünk – egyértelműen meghatározható. A pályakoordináta SI egysége a méter (푠 = [m]). A pályakoordinátát megadva az idő függvényében megkapjuk a pont pályakoordináta-idő függvényét (푠(푡)). A pályakoordináta-idő függvény egy adott időpillanatban vett idő szerinti első és második deriváltját pálya menti sebességnek és gyorsulásnak nevezzük. Például a 푡 időpillanatban:

푣(푡 ) = (푡 ) (3.1/1), 푎(푡 ) = (푡 ) = (푡 ) (3.1/2), 푣 = , 푎 =

Ebből adódóan a pálya menti sebesség- és pálya menti gyorsulás-idő függvény a pályakoordináta-idő függvény idő szerinti első és második derivált függvénye:

푣(푡) = (푡) = 푠(푡) (3.1/3), 푎(푡) = (푡) = 푣(푡) = 푠(푡) (3.1/4)

Tehát az 푠(푡) függvényből a 푣(푡), a 푣(푡) függvényből pedig az 푎(푡) idő szerinti deriválással meghatározható. A fordított esetre a (3.1/5) és (3.1/6) összefüggések érvényesek, amelyek a (3.1/3) és (3.1/4) összefüggésekből származtathatók.

푣(푡 ) = 푣(푡 ) + ∫ 푎 (푡)푑푡 (3.1/5), 푠(푡 ) = 푠(푡 ) + ∫ 푣 (푡)푑푡 (3.1/6)

3.1.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [3], [4], [5]

Határértékszámítás, differenciálszámítás, integrálszámítás.

s

P

O

Pálya irányítása

Pálya

s

P

O

Pálya irányítása

Pálya


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 66


3.1.3.1.

Egy műgyantából készített 푅 sugarú golyót egy ℎ mélységű, vízzel teli medence felszínén nyugvó helyzetből elengedünk. A golyó ezt követően lesüllyed a medence aljára. A golyó pálya menti sebesség-idő függvénye a sülyedés ideje alatt az alábbi:

푣(푡) = −퐵퐴 (푒 − 1)

Adatok: ℎ = 2[푚], A=0,03156 [1/s], B=0,09713 [m/s2].

a) Határozzuk meg a golyó pálya menti gyorsulás- és út-idő függvényét!

b) Ábrázoljuk a v(t) és az s(t) függvényeket a t=[0;300] intervallumon!

c) Számítsuk ki azon időtartam nagyságát, amely alatt a golyó lesüllyed a medence aljára! Határozzuk meg a golyó sebességét a medence alján, majd azon maximális sebességet, amelyre egy „végtelen mély” medencében gyorsulna fel! (Az utóbbi maximális sebességet a 푣 = lim 푣(푡) összefüggés értelmezi.)


a)

A pálya menti gyorsulás-idő függvény a pálya menti sebesség-idő függvény idő szerinti deriváltja:

푎(푡) = 푣(푡) =푑푑푡 −

퐵퐴 (푒 − 1) = −

퐵퐴 푒

(−퐴) = 퐵푒

A pályakoordináta értékét az indulást követő t időpillanatban az alábbiak szerint számíthatjuk:

푠(푡 ) = 푠(0) + 푣(푡) 푑푡 = −퐵퐴 (푒 − 1)푑푡 =

퐵퐴 푒 +

퐵퐴 푡

=퐵퐴 푒 +

퐵퐴 푡 −

퐵퐴 푒 +

퐵퐴 0 =

퐵퐴 푒 +

퐵퐴 푡 −

퐵퐴

=퐵퐴 (푒 − 1) +

퐵퐴 푡

A 푡 változót t-re cserélve megkapjuk az 푠(푡) függvényt:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 67

푠(푡) =퐵퐴 (푒 − 1) +

퐵퐴 푡

b) Az ábrázolást csak számítógép segítségével végezzük el.

c) Jelölje 푡∗ azt az időtartamot, amely alatt a golyó lesüllyed a medence aljára. A medence alján teljesül az alábbi egyenlet:

ℎ =퐵퐴 푒 ∗ − 1 +

퐵퐴 푡

∗

A fenti egyenletből 푡∗-ot nem tudjuk kifejezni, így az egyenlethez csak közelítő megoldást adunk meg. Ehhez írjuk fel az 푒 ∗ függvény Taylor-sorának első három tagját:

푒 ∗ ≈ 1− 퐴 ∙ 푡∗ +퐴2 ∙ 푡∗

Innen:

ℎ ≈퐵퐴 −퐴 ∙ 푡∗ +

퐴2 ∙ 푡∗ +

퐵퐴 푡

∗ =퐵2 푡

∗

푡∗ ≈2ℎ퐵 = 6,417[s]

A feladat hátralévő részében nem célszerű a fenti közelítő értékkel számolni, így megadjuk a Wolfram Alpha szoftverrel számított, lényegesen pontosabb értéket:

푡∗ = 6,641[s]

A golyó sebessége a medence alján:

푣(푡∗) = −퐵퐴 푒

∙ ∗ − 1 = 0,5819ms

A golyó által egy „végtelen mély” medencében elérhető maximális sebesség:

푣 = lim

푣(푡) = lim

−퐵퐴 (푒 − 1) =

퐵퐴 = 3,078

ms

a)

A pálya menti gyorsulás-idő függvényt a pálya menti sebesség-idő függvény deriváltja:

diff(-B/A*(%e^(-A*t)-1),t,1);


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 68

Az eredmény:

A golyó út-idő függvénye a pálya menti sebesség-idő függvény azon primitív függvénye lesz, amelyre teljesül, hogy 푠(0) = 0.

integrate(-B/A*(%e^(-A*t)-1),t);

A kapott eredménybe 푡 = 0 behelyettesítéssel megkapjuk a 푐 konstans értékét:

subst(0,t,%c=-%);

Végül az eredményt összerendeljük:

subst(%,%c,expand(%o1)+%c);

Tehát a keresett 푠(푡) függvény:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 69

b)

A 푣(푡) függvény ábrázolásához adjuk meg 퐴 és 퐵 konstansok értékeit, majd válasszuk ki a kétdimenziós ábrázolást:

A:0.03156; B:0.09713;

wxplot2d([-B/A*(%e^(-A*t)-1)], [t,0,300])$

A 푣(푡) függvény grafikonja:

A 푠(푡) függvény ábrázolása hasonló:

wxplot2d([B/A^2*(%e^(-A*t)+A*t-1)], [t,0,300])$

Az 푣(푡) függvény grafikonja:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 70

c)

Azon időtartam nagysága, amely alatt a golyó lesüllyed a medence aljára:

find_root(B/A^2*(A*t+%e^(-A*t)-1)=2, t, 0, 10);


-B/A*(exp(-A*%)-1);

A maximális sebesség (푣(푡) függvény végtelenbe vet határértéke):

limit(-B/A*(exp(-A*t)-1), t, inf);

a)

Első lépésben adjuk meg a függvényt, majd az 퐴 és 퐵 értékekhez rendeljünk csúszkát:

v(t)=-B/A*(exp(-A*t)-1)

Az 푎(푡) függvény a 푣(푡) függvény 푡 szerinti deriváltja:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 71

a(t)=Derivált[v,t]

A GeoGebra numerikusan számolja a derivált értékét, de a Beállítások menüben, az Alakzatok algebrai leírása almenü Definíció menüpontját kiválasztva megjeleníti a paraméteres alakot is:

Az 푠(푡) függvény meghatározásához a 푣(푡) függvényt integrálnunk kell:

s(t)=Integrál[v,t]

A 푐 konstans meghatározásához adjuk meg 퐴 és 퐵 paraméterek értékét:

A=0.03156

B=0.09713

Ezt követően váltsunk át a CAS-komputeralgebra ablak nézetre, és oldjuk meg az 푠(0) = 0 egyenletet (pontos vagy kerekített értéket is megjeleníthetjük):

s(0)=0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 72

b)

Ahhoz, hogy a függvény grafikonját megjelenítsük, adjuk meg 퐴 és 퐵 értékét (ha még eddig nem adtuk meg):

A=0.03156

B=0.09713

A 푣(푡) függvényt a megadott intervallumon az alábbi paranccsal jeleníthetünk meg:

Függvény[v,t,0,300]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 73

Az 푠(푡) függvény esetében hasonlóan kell eljárni, de előtte a kiszámított 푐 konstanst másoljuk ki a CAS-komputeralgebra ablakból és illesszük be az Algebra ablakba, így az 푠(푡) függvénybe bekerül az érték. Ezután adhatjuk ki az ábrázolás parancsot:

Függvény[s,t,0,300]

c)


s(t)=B/A^2*(A*t+exp(-A*t)-1)

A medence aljáig a golyónak 2[푚]-t kell megtennie, ezért a CAS-komputeralgebra ablakban 푠(푡) = 2 értéket beírva és a Numerikusan megold [푥 ≈] gombra kattintva megkapjuk 푡 értékeit: {t=–6.208, t=6.642}, melyek közül a pozitív érték adja a keresett időtartamot.

A golyó sebessége a medence alján (푡 = 6,641[푠] helyettesítéssel):

v=-B/A*(exp(-A*6.64144)-1)

Melyből az eredmény: v=0.5820 [m/s]

A maximális sebesség (a 푣(푡) függvény határértéke a végtelenben):

v(t)=-B/A*(exp(-A*t)-1)

vmax=Határérték[v,∞]

Melyből az eredmény: vmax=3.078 [m/s]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 74

Megjegyzés:

A GeoGebrában a végtelen jel az Alt+U billentyűkombinációval érhető el, de az „infinity” szöveg is beírható.

a)

A pálya menti sebesség-idő függvényt deriváljuk 푡 szerint:

derivate d/dt -B/A*(e^(-A*t)-1)

Majd a 푣(푡) függvényt integráljuk 푡 szerint:

integrate -B/A*(e^(-A*t)-1) dt

A fenti függvénybe 푡 = 0 értéket helyettesítve és egyenlővé téve azt 0-val meghatározzuk a konstans értéket:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 75

(B (e^(-(A 0)) + A 0))/A^2+c=0

A konstanst behelyettesítve az út-idő függvény az alábbi:

푠(푡) =퐵(퐴 ∙ 푡+푒 ∙ )

퐴 −퐵퐴 =

퐵퐴 (푒 − 1) +

퐵퐴 푡

b)

A függvény ábrázolásához a „plot” utasítást kell kiadnunk (itt már behelyettesítjük az 퐴 és 퐵 konstansok értékét a függvény képletébe):

plot -0.09713/0.03156*(e^(-0.03156*t)-1), t from 0 to 200


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 76

Az s(t) függvény esetében hasonlóan:

plot 0.09713/0.03156^2*(e^(-0.03156*t)+0.03156*t-1), t from 0 to 300

c)


2=0.09713/0.03156^2*(0.03156*t+e^(-0.03156*t)-1)

Eredmény:

푡 ≈ −6.208

푡 ≈ 6.642

Ahol a pozitív megoldás a keresett időtartam.


-0.09713/0.03156*(e^(-0.03156*6.64144)-1)

Innen az eredmény: v=0.5820 [m/s]

A maximális sebesség pedig:

lim t->oo (-0.09713/0.03156*(e^(-0.03156*t)-1))

Az eredmény: vmax=3.078 [m/s]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 77

b)

Függvényábrázolás az Excel programmal is lehetséges. Ehhez értéktáblázatot kell készíteni, amelyben megadjuk 푡 értékét 0 és 300[s] között valamilyen (pl. 10-es) lépésközzel, majd ezekhez a 푡 értékekhez ki kell számíttatni 푣(푡) illetve 푠(푡) értékeit.

C oszlop celláiba: = -$A$4/$A$2*(KITEVŐ(-$A$2*Bx)-1)

D oszlop celláiba: = $A$4/$A$2^2*(KITEVŐ(-$A$2*Bx)+$A$2*Bx-1),

ahol x helyére a megfelelő sor számát kell behelyettesíteni (2..32)

Ha ezeket kiszámítottuk, akkor már ábrázolhatjuk a függvényeket:

3.1.3.2.

Egy Mercedes típusú személygépkocsi a vízszintes országúton állandó 푣 nagyságú sebességgel halad, amikor az út melletti erdősávból hirtelen elé lép egy szarvas. A sofőr, észlelve a szarvast, azonnal fékez. Az autó blokkolásgátlója működésbe lép és a fékezés ideje alatt biztosítja a maximális fékező erőt, amely esetén a gépkocsi még tisztán gördül (azaz nem csúszik meg). A gépkocsi fékrendszere mind a négy kereket fékezi. A gépkocsi pálya menti sebesség-idő függvény a fékezés ideje alatt az alábbi:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 78

푣(푡) =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵푡 + 푡푎푛

퐵퐴 푣

Adatok: 푣 = 13,8[m/s], A = 3,090[m/s ], 퐵 = 2,194 ∙ 10 [1/m].

a) Határozzuk meg a gépkocsi pálya menti gyorsulás- és út-idő függvényét a fékezés ideje alatt!

b) Számítsuk ki, hogy a fékezés megkezdésétől a megállásig mennyi idő telik el! Ha a sofőr reakcióideje 0,2[s], akkor legalább milyen távol kell a szarvasnak a gépkocsi előtt feltűnnie, hogy elkerülhető legyen a baleset? (Itt ki kell számolnunk az észleléstől a fékezés megkezdéséig, valamint a fékezés megkezdésétől a megállásig megtett utakat, majd ezeket összeadni.)


a)

A pálya menti gyorsulás-idő függvény a pálya menti sebesség-idő függvény idő szerinti deriváltja:

푎(푡) = 푣(푡) =푑푑푡

퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵푡 + 푡푎푛

퐵퐴 푣

Bevezetve az alábbi 퐶 konstanst:

퐶 = −1

√퐴퐵 tan

퐵퐴 푣

푎(푡) =푑푑푡

퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵(푡 + 퐶) =

퐴퐵

1

푐표푠 −√퐴퐵(푡 + 퐶) −√퐴퐵

푎(푡) = −퐴

푐표푠 −√퐴퐵(푡 + 퐶)

퐶-t visszahelyettesítve a gépkocsi gyorsulás-idő függvénye:

푎(푡) = −퐴

푐표푠 −√퐴퐵푡 + tan 퐵퐴 푣

A 푡 idejű fékezés alatt megtett út:

푣 푎

푠

퐹푛


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 79

푠(푡 ) = 푠(0) + 푣(푡) 푑푡 =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵(푡 + 퐶) 푑푡 =

퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵(푡 + 퐶) 푑푡 =

=퐴퐵 −푙푛 푐표푠 −√퐴퐵(푡 + 퐶)

1−√퐴퐵

=1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵(푡 + 퐶) −

1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵퐶

A 푡 változót 푡-re cserélve és 퐶-t visszahelyettesítve megkapjuk az út-idő függvényt:

푠(푡) =1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵푡 + tan

퐵퐴 푣 −

1퐵 푙푛

⎝

⎜⎛푐표푠 tan

퐵퐴 푣

⎠

⎟⎞

b)

Jelölje 푡∗ azt fékezés megkezdésétől a megállásig eltelt időtartamot. A megállás pillanatában teljesül az alábbi egyenlet:

0 = 푣(푡∗) =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵(푡∗ + 퐶 )

Innen 푡∗-ot kifejezve:

0 = 푡푎푛 −√퐴퐵(푡∗ + 퐶 )

푘 ∙ 휋 = −√퐴퐵(푡∗ + 퐶 ),푘 ∈ 푍

푡∗ = −푘 ∙ 휋√퐴퐵

− 퐶 ,푘 ∈ 푍

푡∗ = −120,6 ∙ 푘 + 4,446,푘 ∈ 푍

A tényleges megoldást a 푘 = 0 eset adja, tehát:

푡∗ = 4,446[s]

A szarvas észleléstől a fékezés megkezdéséig megtett út:

푠(푡 ) = 푣 푡 = 2,76[m]

A fékezés megkezdésétől a megállásig megtett út:

푠(푡∗) =1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵(푡∗ + 퐶 ) −

1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵퐶 = −

1퐵 푙푛 푐표푠 −√퐴퐵퐶

= 30,61[m]

푠 = 푠(푡 ) + 푠(푡∗) = 33,37[m]

Azaz a szarvasnak legalább 33,37[m] távolságban kell a gépkocsi előtt feltűnnie, hogy elkerülhető legyen a baleset.

a)

A pálya menti gyorsulás-idő függvény a pálya menti sebesség-idő függvény deriváltja.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 80

diff(sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0)),t,1);

A gyorsulás-idő függvényt trigonometriailag átalakítva:

trigsimp(%);

Ezt követően az eredmény:

A 푡 idejű fékezés alatt megtett út a 푣(푡) függvény 0 és 푡 között vett határozott integrálja:

integrate(sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0)),t,0,t1);

A fenti integrálból 푡 = 푡 helyettesítéssel megkapjuk az 푠(푡) függvényt.

Megjegyzés:

A különböző szoftverek rendszerint különböző alakban adják meg az eredményeket. Az egyes alakok összehasonlítása egymással, valamint a „kézi” számítások eredményével általában munkaigényes. A WolframAlpha segítségével azonban az összehasonlítás könnyen és gyorsan elvégezhető. Csak be kell


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 81

írni a két különböző alakot egyenlőség jellel összekapcsolva és a Wolfram True (igaz) vagy False (hamis) eredmény megadásával jelzi az azonosságot vagy eltérést:

a)

A sebesség idő függvényt deriválva megkapjuk a gyorsulás-idő függvényt:

Derivált[sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0))]

Az út-idő függvény a sebesség-idő függvény azon primitív függvénye, amelyre teljesül, hogy 푠(0) = 0:

Integrál[sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0))]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 82

A 푐 konstans meghatározásához adjuk meg 퐴, 퐵 és 푣 értékeit, majd az előző feladat mintájára a CAS-komputeralgebra ablakban oldjuk meg az 푓(0) = 0 egyenletet. Ezt követően az eredmény: 푐 = 30,61.

b)

퐴, 퐵 és 푣 értékeinek megadása után adjuk meg a 푣(푡) függvényt is.

v(t)=sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0))

A CAS-komputeralgebra ablakban oldjuk meg a 푣(푡) = 0 egyenletet. A kapott eredmények közül a 푡 = 4,446[s] a keresett érték (azaz a fékezés megkezdésétől a megállásig eltelt idő).

A reakcióidő alatt megtett út:

s(tr)=v0*0.2

azaz: 푠(푡 ) = 2,76[s]

A fékezés ideje alatt megtett út:

s(t)=Integrál[v]

A CAS-komputeralgebra ablakban megoldva az 푠(0) = 0 egyenletet megkapjuk a konstans értékét: 푐 = 30,61.

A fékezés ideje alatt megtett út az 푠(푡) függvény 푡∗ = 4,446[푠]-nál vet értéke, melyet szintén a CAS-komputeralgebra ablakban kapunk meg:

푠(4.446) = 30.61[m]

Az észleléstől a megállásig megtett távolság a reakcióidő alatt és a fékezés ideje alatt megtett útak összege: 푠(푡 ) + 푠(푡∗) = 2,76 + 30,61 = 33,37[m]

a)

Deriváljuk a 푣(푡) függvényt:

derivate d/dt sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0))


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 83

Határozzuk meg a 푣(푡) függvény integrálját:

integrate sqrt(A/B)*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0)) dt

A fenti függvénybe 푡 = 0 értéket helyettesítve és egyenlővé téve azt 0-val meghatározzuk a konstans értéket:

((sqrt(A/B) log(cos(0 sqrt(A B)-tan^(-1)(v0 sqrt(B/A)))))/sqrt(A B))+c=0

Ezt követően a kapott c értéket behelyettesítjük a fenti függvénybe.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 84

((sqrt(A/B) log(cos(t sqrt(A B)-tan^(-1)(v0 sqrt(B/A)))))/sqrt(A B))+(sqrt(A/B)

log((B v0^2)/A+1))/(2 sqrt(A B))

Tehát a keresett 푠(푡) függvény:

3.1.3.3.

Egy sofőr az autójában ül. Testsúlya alatt a gépkocsi lengéscsillapítóval ellátott spirálrugói összenyomódnak a terheletlen esethez képest. A sofőr hirtelen észreveszi, hogy egy régi ismerőse halad el mellette, így lendületesen kiszáll az autóból. A magára hagyott gépkocsi karosszériája ezt követően függőleges irányú, csillapított, szabad lengéseket végez. A karosszéria kitérés-idő függvénye a lengés ideje alatt az alábbi:

푦(푡) = 0,06267푒 . 푠푖푛(8,74푡 + 4,4196)

a) Határozzuk meg a karosszéria pálya menti sebesség-idő függvényét!

b) Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben a kitérés-idő és pálya menti sebesség-idő függvényeket!


a)

A pálya menti sebesség-idő függvény a kitérés-idő függvény idő szerinti derivált függvénye:

푣(푡) = 푦(푡) = 0,06267푒 . −2.635푠푖푛(8,74푡 + 4,4196) + 8,74푐표푠(8,74푡 + 4,4196)

b) Az ábrázolást csak a GeoGebra szoftverrel végezzük el.

a)

diff(0.06267*%e^(-2.635*t)*sin(8.74*t+4.4196),t,1);


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 85

a)

f(t)=0.06267*exp(-2.635*t)*sin(8.74*t+4.4196)

v(t)=Derivált[f]

b)

A függvények ábrázolása a 푡 ∈ [0; 3] intervallumon:

Függvény[f,0,3]

Függvény[v,0,3]

Kék színnel az푦(푡), pirossal a 푣(푡) függvényt ábrázolva:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 86

a)

derivate d/dt 0.06267*e^(-2.635*t)*sin(8.74*t+4.4196)


3.1.4.1.

Egy pisztollyal vízszintes terepen tüzelünk a talajszinttel párhuzamosan. A lövedék vizszintes irányú sebessége a lövés pillanatától mért idő függvényében az alábbi:

푣(푡) =퐴

퐵푡 + 1

Adatok: 퐴 = 290 , 퐵 = 0,0545 .

a) Határozzuk meg a lövedék gyorsulás-idő és út-idő függvényét vízszintes irányban!

b) Ábrázoljuk a fenti függvényeket!

c) Számítsuk ki, hogy milyen távolságon veszít 5[cm]-t a repülési magasságából a lövedék!

3.1.4.2.

Egy vízszintes országúton állandó 푣 nagyságú sebességgel haladó személygépkocsi féktávolságát vizsgáljuk. Két tesztet végzünk el, mind a két teszt esetében mind a négy kereket fékezzük. Az egyik tesztnél a gépkocsit blokkolásgátlóval felszereljük, a másiknál nem. Az első esetben a blokkolásgátló a fékezés ideje alatt biztosítja a maximális fékező erőt, amely esetén a gépkocsi még tisztán gördül (azaz nem csúszik meg). A másik esetben a fék blokkolja a kerekeket, így azok a fékezés ideje alatt csúsznak az útburkolaton. A gépkocsi sebesség-idő függvénye a fékezés ideje alatt mindkét esetben az alábbi alakú:

v(푡) =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵푡 + tan

퐵퐴 푣


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 87

Az 퐴 és 퐵 konstansok értéke azonban eltérő:

Van blokkolásgátló: 퐴 = 3,630 , 퐵 = 0,0003684 .

Nincs blokkolásgátló: 퐴 = 1,962 , 퐵 = 0,0003684 .

Továbbá mindkét esetben: 푣 = 28 .

a) Határozzuk meg a fenti két esetben a gépkocsi út-idő függvényét a fékezés ideje alatt!

b) Számítsuk ki mindkét esetben a fékezés megkezdésétől a megállásig eltelt időt! Figyelembe véve a sofőr 0,2[푠]-os reakcióidejét számítsuk ki mindkét esetben a fékutat! Mennyivel rövidebb a fékút a blokkolásgátló használatával?

3.1.4.3.

Az ábrán látható hintát függőleges helyzetéből 5°-al kitérítjük, majd elengedjük. A hinta ezt követően lengőmozgást végez. A hinta kötele nyújthatatlan és elhanyagolható tömegű, tengelye pedig „jól csapágyazott”, így az 퐴 pontban fellépő súrlódás elhanyagolható. Figyelembe véve a légellenállást a hinta szögkitérés-idő függvénye az alábbi:

휑(푡) = 푒 , ∙ ∙ (0,00036 ∙ 푠푖푛(2,557 ∙ 푡) + 0,0873 ∙ 푐표푠(2,557 ∙ 푡))

(Az időt a hinta indulásától mérjük.)

a) Mekkora a hinta lengésideje? Mennyi idő elteltével kerül a szögkitérés végleg a ≤ 1 tartományba?

b) Határozzuk meg a hinta szögsebesség-idő függvényét!

퐴

푣

푎


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 88

3.2. Anyagi pont mozgásegyenlete és annak megoldása


Newton törvényei a mozgástan alaptételei (axiómái). Ha az anyagi pont tömege időben állandó Newton II törvénye – más néven a mozgásegyenlet – az alábbi alakban írható:

퐹 = 푚푎 (3.2/1), 퐹 = [푁]

A fenti összefüggésben 퐹 az eredő erő, amely Newton IV. törvényének (3.2/2 egyenlet) értelmében az anyagi pontra ható egyes erők vektoriális összege.

퐹 = ∑ 퐹 (3.2/2)

Newton II törvényét skalárisan beszorozva a pálya érintőjének irányába eső egységvektorral megkapjuk a mozgásegyenlet pálya menti alakját:

퐹푒 = 푚푎푒 퐹 = 푚푎 (3.2/3)

A fenti összefüggésben F az eredő erő pálya menti (érintő irányú) komponense, a pedig a pálya menti gyorsulás. Felhasználva, hogy 푎(푡) = 푣(푡) = 푠(푡), továbbá megadva a pálya menti sebesség és pályakoordináta értékét a 푡 = 0 időpillanatban, a mozgásegyenlet az alábbi kezdeti érték problémák valamelyikére vezet:

퐹(푡) = 푚푎(푡) (3.2/4)

퐹(푣(푡), 푡) = 푚푣(푡) 푣(0) = 푣 (3.2/5),

퐹(푠(푡), 푠(푡), 푡) = 푚푠(푡), 푠(0) = 푠 , 푠(0) = 푣 (3.2/6)

A fenti kezdeti érték problémák megoldásaként megkapjuk az anyagi pont 푎(푡), 푣(푡) vagy 푠(푡) függvényét.

3.2.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [4], [5], [6]

Differenciálegyenletek.


3.2.3.1.

Tekintsük a 3.1.3.1 feladatot, és az ott megadott adatokat egészítsük ki az alábbiakkal:

Adatok: 푅 = 0,012[m], í = 1000 , = 1010 , = 0,00102

, 푔 = 9,81[m/s ].

(Ahol í és a víz és a gyanta sűrűségét, a víz dinamikus viszkozitását, pedig a gravitációs gyorsulást jelöli.)

Írjuk fel a golyó mozgásegyenletét (Newton II. törvénye)! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a golyó pálya menti sebesség-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát! Hasonlítsuk össze az így kapott megoldást a 3.1.3.1 feladatban megadott sebesség-idő függvénnyel!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 89


A golyóra mozgása során az alábbi erők hatnak:

Gravitációs erő:

퐹 = 푚푔

Felhajtó erő:

퐹 = −푉 í 푔 = −4푅 3 í 푔

Közegellenállási erő:

퐹 = −6푅푣

(A fenti összefüggésben v a golyó közeghez viszonyított sebessége.)

A golyó mozgásegyenlete:

퐹 =퐹 + 퐹 (푣) + 퐹 = 푚푎

퐹 =푚푔 − 6푅푣 −4푅 3 í 푔 = 푚푣

푔 −6푅푚 푣 −

4푅 3푚 í 푔 = 푣

푔 −6푅

4푅 3

푣 −4푅

3 4푅 3

í 푔 = 푣

푔 −9

2푅 푣 −

í

푔 = 푣

Bevezetve az alábbi konstansokat:

퐴 =

, 퐵 = 푔 − í

푔

−퐴푣 + 퐵 = 푣 =푑푣푑푡

0

ℎ

푣

퐹푘

퐹푓

퐹푔

푠


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 90

A fenti differenciálegyenlet szeparálható: 1

−퐴푣 + 퐵 푑푣 = 푑푡

1−퐴푣 + 퐵 푑푣 = 푡 + 퐶

A golyó gyorsulása a mozgása során mindvégig pozitív, tehát:

0 <푑푣푑푡 = −퐴푣 + 퐵

Folytatva a kezdeti érték probléma megoldását:

−1퐴 푙푛

(−퐴푣 + 퐵) = 푡 + 퐶

푙푛(−퐴푣 + 퐵) = −퐴(푡 + 퐶 )

−퐴푣 + 퐵 = 푒 ( )

푣(푡) = −1퐴 푒

( ) − 퐵

A 퐶 konstanst a 푣(0) = 0 feltételből határozzuk meg:

0 = 푣(0) = −1퐴 푒 ( ) − 퐵 0 = 푒 − 퐵퐶 = −

1퐴 푙푛

(퐵)

Tehát a golyó sebesség-idő függvénye:

푣(푡) = −퐵퐴 (푒 − 1)

A differenciálegyenlet alábbi alakjából indulunk ki:

푣(푡) + 퐴푣(푡) − 퐵 = 0

A differenciálegyenlet megoldása:

ode2(’diff(v,t)+A*v-B=0, v, t);

A megoldásban szereplő c konstanst kiküszöbölhetjük a 푣(0) = 0 kezdeti érték megadásával:

ic1(%, t=0, v=0);

Végül a zárójel felbontása után (expand(%)) megkapjuk a keresett 푣(푡) függvényt:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 91

A differenciálegyenlet megoldása:

solve v’(t)+A*v(t)-B=0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 92

Ha a problémát kezdeti érték problémaként kezeljük (azaz megadjuk a 푣(0) = 0 kezdeti értéket) akkor a 푐 konstanst nem kell külön meghatározni:

solve v’(t)+A*v(t)-B=0 and v(0)=0

A 퐵 konstanst kiemelve látható, hogy a most kapott eredmény megegyezik a „kézi” számítás eredményével:

푣(푡) =퐵 − 퐵푒

퐴 = −퐵퐴 (푒

− 1)

3.2.3.2.


Adatok: 푘 = 0,305[kg/m], 푚 = 1390[kg], = 0,3, = 0,015, 푔 = 9,81[m/s ].

(Ahol k a gépkocsi légellenállási tényezője, m a gépkocsi tömege, és pedig a tapadási súrlódási és gördülési ellenállási tényező.)

a) Írjuk fel a gépkocsi fékezésének ideje alatt érvényes pályairányú mozgásegyenletét (Newton II. törvénye)! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a gépkocsi pálya menti sebesség-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát! Hasonlítsuk össze az így kapott megoldást a 3.1.3.2 feladatban megadott sebesség-idő függvénnyel!

b) Egy alkalmas programcsomagot kiválasztva vizsgáljuk meg, hogy a bemenő adatok (푣 , 푘, 푚, , ) változtatása hogyan befolyásolja a 푣(푡) függvények grafikonját!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 93


a)

A fékezés ideje alatt a gépkocsira ható menetirányú erők az alábbiak:

A gépkocsit fékező erő (a fékezett kerekek kerületén ébredő maximális tapadási súrlódási erő):

퐹 é = − 퐹 = − 푚푔

Légellenállási erő:

퐹 é (푣) = −푘푣

Gördülési ellenállási erő:

퐹 ö = − 퐹 = − 푚푔

(A fenti egyenletekben szereplő 푣 paraméter a gépkocsi pálya menti sebessége.)

A gépkocsi mozgásegyenlete:

퐹 =퐹 é + 퐹 ö + 퐹 é (푣) = 푚푎

− 푚푔− 푚푔 − 푘푣 = 푚푣

− + 푔 −푘푚 푣 = 푣


퐴 = + 푔, 퐵 = , konstansokat bevezetve:

−퐴 − 퐵푣 = 푣 =푑푣푑푡

A fenti differenciálegyenlet szeparálható: 1

−퐴 − 퐵푣 푑푣 = 푑푡

A hosszadalmas számítás részleteit mellőzve, innen az alábbi sebesség-idő függvény adódik:

푣(푡) =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵(푡 + 퐶 )

A 퐶 konstanst a 푣(0) = 푣 feltételből határozzuk meg az alábbiak szerint:

푚푔

푣

퐹푔ö푟푑 퐹푓é푘

퐹푙é푔

푎

푠

퐹푛 퐹푛


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 94

v = v(0) = 푡푎푛 −√AB(0 + C ) v = 푡푎푛 −√ABC

퐶 = −√

tan 푣 = −4,4458

Tehát a gépkocsi sebesség-idő függvénye:

푣(푡) =퐴퐵 푡푎푛 −√퐴퐵푡 + tan

퐵퐴 푣

b)

A vizsgálatot csak számítgép segítségével végezzük el.

a)

A sebesség-idő függvényt az alábbi kezdetiérték probléma megoldásával kapjuk:

−퐴 − 퐵푣 (푡) = 푣(푡),푣(0) = 푣

ode2(-A-B*v^2-'diff(v,t)=0, v, t);

A megoldás függ az 퐴 és 퐵 paraméterek értékétől, ezért a program rákérdez, hogy 퐴 ∙ 퐵 pozitív, negatív vagy nulla. Esetünkben a válasz: positive.

A kapott implicit megoldást tegyük explicitté:

solve(%,v);

Majd használjuk fel a 푣(0) = 푣 kezdeti értéket:

ic1(%,t=0,v=v0);

A kapott eredmény megegyezik a „kézi” számítás eredményével.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 95

a)

A differenciálegyenlet alábbi alakjából indulunk ki:

푣(푡) = −퐴 − 퐵 ∙ 푣

A WolframAlpha programmal a megoldás:

solve v’(t)+A+B*v^2=0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 96

Ha a problémát kezdeti érték problémaként kezeljük (azaz megadjuk a 푣(0) = 0 kezdeti értéket is), akkor a 푐 konstanst nem kell külön meghatározni:

solve v’(t)+A+B*v(t)^2=0 and v(0)=v0

b)

Adjunk meg a paraméterek értékét:

v0=40

k=0.305

m=1390

mu0=0.01

muG=0.005

Majd a sebesség-idő függvényt a fenti paraméterekkel kifejezve:

푣(푡) =9.81 ∙ 푚 ∙ (휇 + 휇 )

푘 푡푎푛 −9.81 ∙ 푘 ∙ (휇 + 휇 )

푚 푡 + tan푘

9.81 ∙ 푚 ∙ (휇 + 휇 ) 푣

v(t)=sqrt(9.81*m*(mu0+muG)/k)*

tan(-sqrt(9.81*k*(mu0+muG)/m)*t+atan(sqrt(k/(9.81*m*(mu0+muG)))*v0))


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 97

Rajzoltassuk ki a függvényt a 푡 ∈ [0;150] intervallumon:

Függvény[v,0,150]

A paraméterekhez csúszkákat rendelünk. A csúszkákat mozgatva egyszerűen vizsgálható, hogy a paraméterek változása hogyan módosítja a függvény grafikonjára.

b)

A bemenő paraméterek változásának hatását a 푣(푡) függvény grafikonkjára az alábbi Excel programmal vizsgálhatjuk:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 98

A paraméterek értékét az A2:F2 cellákban átírva a függvényértékeket a program újraszámolja, így a függvény grafikonja módosul.

Megjegyzés:

A feladatban szereplő értékek esetén a 푣(푡) függvény képe közelítőleg egyenes, ezért az ábrázolásnál más értékeket használtunk, hogy a tangens függvény jellege jobban megjelenjen (pl.: jeges úton történő finom fékezést feltételezve).

3.2.3.3.

Tekintsük a 3.1.3.3 feladatot, és adjuk meg az alábbi adatokat:

Adatok: 푚 = 300[푘푔], 푐 = 25000 , k = 1581 , 푦(0) = −0,06[푚], 푣(0) = 0 .

(Ahol 푚 az üres gépkocsi rugózott felépítményének egy kerékre eső tömege, 푘 a lengéscsillapító csillapítási tényezője, 푐 a spirálrugó rugómerevsége, 푦(0) és 푣(0) a karosszéria függőleges irányú kitérése és sebessége a kiszállás pillanatában. Az autógumikat tekintsük tökéletesen rugalmatlannak!)

a) Írjuk fel a magára hagyott karosszéria mozgásegyenletét! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a karosszéria 푦(푡) kitérés-idő függvénye. Oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát! Hasonlítsuk össze az így kapott megoldást a 3.1.3.3 feladatban megadott kitérés-idő függvénnyel!

b) Egy alkalmas szoftvert kiválasztva vizsgáljuk meg, hogy a bemenő adatok (푚, c, 푘) változtatása hogyan befolyásolja az a) pontban meghatározott 푦(푡) függvény grafikonját!

c) Ha a lengéscsillapító dugattyújának rúdja (pl. gyártási pontatlanság miatt) szorul, akkor a mozgásegyenlet felírásánál a száraz súrlódást is figyelembe kell venni. Ezt megtehetjük az alábbi összefüggéssel:

퐹 = −푘 푠푔푛(푣)

Ahol v a dugattyú pálya menti sebessége, k a száraz csillapítási tényező. Írjuk fel a karosszéria mozgásegyenletét figyelembe véve a száraz súrlódást! Oldjuk meg a mozgásegyenletből adódó kezdeti érték problémát, ha 푘 = 50 !


A mozgásegyenlet felírása előtt tekintsük az alábbi ábrát, amely a gépkocsi lengéscsillapítóval ellátott spirálrugóját szemlélteti ki- és beszerelt állapotban:

Forrás: http://rugalmasero.blogspot.hu/2012/04/hetkoznapokban.htm

http://www.alfaradial.hu/lengescsillapito_csere


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 99

A karosszéria a lengéscsillapítóval ellátott spirálrugón keresztül kapcsolódik a futóműhöz. A lengéscsillapító egy ásványi olajjal töltött hengerből és egy a henger belsejében mozgó dugattyúból áll; egyik fő feladata a karosszéria lengéseinek csökkentése. A dugattyú a karosszériával merev kapcsolatban van, így azzal együtt mozog. Az olajban mozgó dugattyúra közegellenállási erő hat, amely minden pillanatban ellentétes értelmű a dugattyú sebességével, így akadályozza annak mozgását, ezáltal közvetve csillapítva a karosszéria lengéseit. A lengéscsillapítóval ellátott spirálrugó mechanikai modelljét az alábbi ábra szemlélteti:

A mozgásban lévő rugózott felépítményre hat a gravitációs erő, a rugóerő és a lengéscsillapító által kifejtett közegellenállási erő. (A jelen feladatban a futómű, így a rugó alsó végpontja nyugalomban van.) A közegellenállási erő hatására a magára hagyott felépítmény lengései fokozatosan csökkennek, így az végül egyensúlyba kerül. A rugózott felépítmény egyensúlyi helyzetében a gravitációs és rugóerő összege zérus. Célszerű a rugóerő értékét a fenti egyensúlyi helyzetben zérusnak választani, így a gravitációs erő nem szerepel a mozgásegyenletben. Tehát csak az alábbi erőket kell figyelembe venni a mozgásegyenlet felírásakor:

Rugóerő:

A rugóerő nagysága a rugó megnyúlásával vagy összenyomódásával egyenesen arányos. Ebben az esetben a rugó megnyúlása vagy összenyomódása egyenlő a karosszéria kitérésének nagyságával. Tehát a rugóerő az alábbi alakban írható:

퐹 (푦) = −푐푦 = −푐푦

Az összefüggésben a negatív előjel a rugóerő és a kitérés ellentétes értelmére utal.

Közegellenállási erő:

A közegellenállási erőre az alábbi összefüggés érvényes:

퐹 (푣) = −푘푣,

Az fenti összefüggésben v a rugózott felépítmény pálya menti sebessége, k pedig a csillapítási tényező. A negatív előjel abból adódik, hogy a közegellenállási erő ellentétes értelmű a rugózott felépítmény sebességével.

a)

A fentiek ismeretében a rugózott tömeg mozgásegyenlete az alábbi alakban írható:

퐹 =퐹 (푦) + 퐹 (푣) = 푚푎

Behelyettesítve az egyes erőtörvényeket:

y0y

퐹푔

퐹푘

퐹푟

푣

lengéscsillapító

rugózott felépítmény

spirálrugó


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 100

−푐푦 − 푘푣 = 푚푎

−푐푦 − 푘푦 = 푚푦

푦 +푘푚 푦 +

푐푚 푦 = 0

Bevezetve az =

, = konstansokat, valamint felhasználva a feladatban megadott kezdeti mozgásjellemzőket, az alábbi kezdeti érték problémára jutunk:

y + 2y + y = 0, 푦(0) = −0,06[푚], 푣(0) = 푦(0) = 0 .

A fenti differenciálegyenlet megoldása az irodalomból ismert, így a megoldás menetét itt nem közöljük. Abban az esetben, ha a csillapítás „elegendően kicsi” ( > ) a mozgás periodikus. Ebben az esetben a differenciálegyenlet általános megoldása az alábbi alakú:

푦(푡) = 퐴푒 푠푖푛 − 푡 + = 퐴푒 푠푖푛( 푡 + )

Az összefüggésben és a csillapítatlan és csillapított lengő rendszer saját körfrekvenciája, a kezdőfázis, 퐴 pedig a lengés amplitúdója (maximális kitérése).

Az 푣(푡) függvényt ( lásd: 3.1.3.3/a) feladt) felírva a 푡 = 0 időpillanatban:

0 = 푣(0) = 푦(0) = 퐴푒 −푠푖푛( 0 + ) + 푐표푠( 0 + ) = 퐴(−푠푖푛 + 푐표푠)

Innen:

0 = −푠푖푛 + 푐표푠

푡푔 = = 73,22 vagy = 253,22

Az 푦(푡) függvényt felírva a 푡 = 0 időpillanatban:

−0,06 = 푦(0) = 퐴푒 푠푖푛( 0 + ) = 퐴푠푖푛

−0,06 = 퐴푠푖푛

A fenti egyenletbe behelyettesítve értékeit látjuk, hogy cask a 253,22 megoldás a helyes. Az amplitúdót kifejezve az egyenletből:

퐴 =−0,06

푠푖푛(253,22) = 0,06267[푚]

Tehát a kitérés-idő függvény:

푦(푡) = 0,06267푒 . 푠푖푛(8,74푡 + 4,4196)

b)

A vizsgálatot csak a GeoGebra szoftver segítségével végezzük el.

c)

A mozgásegyenlet a száraz súrlódás figyelembevételével:

퐹 =퐹 (푦) + 퐹 (푣) + 퐹 = 푚푎

Ebből az alábbi kezdeti érték probléma adódik:

푦 + 푦 + 푦 + 푠푔푛(푦) = 0, 푦(0) = −0,06[푚], 푦(0) = 0 .


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 101

A fenti kezdeti érték problémát csak a Maple 13.0 szoftverrel oldjuk meg. A „kézi” megoldása csak szakaszokban lehetséges, amely rendkívül munkaigényes, az online ingyenesen elérhető szoftverek (wxMaxima, WolframAlpha, GeoGebra) pedig nem tudják kezelni a problémát.

a)

A kitérés-idő függvényt az alábbi kezdetiérték probléma megoldásával kapjuk:

푦 +푘푚 푦 +

푐푚 푦 = 0,푦(0) = −0,06,푦(0) = 0

Először adjuk meg a differenciálegyenletben szereplő paramétereket, majd oldjuk meg a kezdetiérték problémát:

m:300;

c:25000;

k:1581;

ode2(‘diff(y,t,2)+k/m*’diff(y,t)+c/m*y=0, y, t);

ic2(%,t=0,y=-0.06,‘diff(y,t)=0);


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 102

a)

A kezdeti érték probléma megoldása az alábbi:

solve y’’(t)+1581/300*y’(t)+25000/300*y(t)=0, y(0)=-0.06, y’(0)=0

b)

Adjuk meg a paraméterek értékeit:

m=300

c=25000

k=1581

Továbbá a kitérés-idő függvényt a paraméterek függvényében:

푦(푡) = 푒

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

−

3푘 sin

⎝

⎛4푐푚 − 푘

푚 푡2

⎠

⎞

50 4푐푚 − 푘

푚 푚−

3 cos

⎝

⎛4푐푚 − 푘

푚 푡2

⎠

⎞

50

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 103

f(t)=exp(-k*t/2/m)*(-(3*k*sin(sqrt(4*c/m-k^2/m^2)*t/2))/(50*sqrt(4*c/m-k^2/m^2)*m)-(3* cos(sqrt(4*c/m-k^2/m^2)*t/2))/50)


Függvény[f,0,3]

Az paraméterhez csúszkákat rendelünk. A csúszkákat mozgatva egyszerűen vizsgálható, hogy a paraméterek változása hogyan módosítja a függvény grafikonját.

c)

A száraz súrlódás figyelembevételével a kezdeti érték probléma megoldása:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 104



3.2.4.1.

Tekintsük a 3.1.4.1 feladatot és adjuk meg az alábbi adatokat:

Adatok: 푣 = 290[m/s], 푑 = 0,0091[m], 퐶 = 0,049, 푚 = 0,0102[kg], = 1,204 ,푔 =9,81[m/s ].

(Ahol 푣 a fegyver torkolati sebessége, 푑, 퐶 és 푚 a lövedék átmérője, alaki tényezője és tömege, pedig a levegő sűrűsége a lövés idején.)

a) Írjuk fel a lövedék vízszintes irányú mozgásegyenletét (Newton II. törvénye)! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a lövedék vízszintes irányú sebesség-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát! (A lövedék magasságvesztését elhanyagoljuk!)

b) Egy alkalmas szoftvert kiválasztva vizsgáljuk meg, hogy a bemenő adatok (푣 , 푑, 퐶, 푚, 휌 ) változtatása hogyan befolyásolja az a, pontban meghatározott 푣(푡) függvény grafikonját!

A lövedékre röpte közben menetirányban fellépő erők az alábbiak:

Menetirányban:


퐹 é (푣) = − 퐶퐴 푣 = −푘푣


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 105

3.2.4.2.


Adatok:, 푘 = 0,35[kg/m], 푚 = 950[kg], = 0,35, = 0,02, = 0,2, 푔 = 9,81[m/s ].

(Ahol 푘 a gépkocsi légellenállási tényezője, m a gépkocsi tömege, , és pedig a tapadási súrlódási, gördülési ellenállási és csúszási súrlódási tényező.)

a)

Írjuk fel mindkét esetben a gépkocsi pályairányú mozgásegyenletét (Newton II. törvénye) a fékezés ideje alatt! A mozgásegyenlet mindkét esetben egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a gépkocsi pálya menti sebesség-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémákat!

b)

Egy alkalmas szoftvert kiválasztva vizsgáljuk meg, hogy a bemenő adatok (푣 , 푘, , , 푚, 푔 vagy 푣 , 푘, ,푚, 푔) változtatása hogyan befolyásolja az a, pontban meghatározott 푣(푡) függvény grafikonját!

A gépkocsira ható menetirányú erők az egyes esetekben:

Van blokkolásgátló:

A gépkocsit fékező erő (a fékezett kerekek kerületén ébredő maximális tapadási súrlódási erő):

퐹 é = − 퐹 = − 푚푔


퐹 é (푣) = −푘푣


퐹 ö = − 퐹 = − 푚푔

Nincs blokkolásgátló:

A gépkocsit fékező erő (a fékezett kerekek kerületén ébredő csúszási súrlódási erő):퐹 é = −퐹 = −푚푔


퐹 é (푣) = −푘푣

(A fenti egyenletekben szereplő v paraméter a gépkocsi pálya menti sebessége.)


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 106

3.2.4.3.

Tekintsük a 3.1.4.3 feladatot és adjuk meg az alábbi adatokat:

Adatok: = 5, 푙 = 1,5[m], 푚 = 1,5[kg], 푘 = 3,16 ∙ 10 , 푔 = 9,81[m/s ].

(Ahol 푚 és 푘 a hinta tömege és közegellenállási tényezője.)

a) Írjuk fel a hinta pályairányú mozgásegyenletét, feltételezve, hogy a légellenállási erő elhanyagolható. (A mozgásegyenletben szereplő pálya menti mennyiségekről célszerű áttérni szögmennyiségekre!) A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a hinta szögkitérés-idő függvénye. Adjuk meg és oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát a kis szögkitérések esetén szokásos a 푠푖푛() közelítés alkalmazásával, majd határozzuk meg a hinta lengésidejét!

b) Oldjuk meg az a, pontban kapott mozgásegyenletet a푠푖푛() közelítés használata nélkül! Mekkora százalékos hibát eredményez a számolt lengésidőben a fenti közelítés alkalmazása?

c) Oldjuk meg a hinta mozgásegyenletét figyelembe véve a légellenállást és alkalmazva a 푠푖푛() közelítést! Mekkora lesz ekkor a lengésidő?

d) Gondoljuk végig, hogyan vehető figyelembe az A pontban ébredő csapsúrlódás! Próbáljuk meg felírni és megoldani a mozgásegyenletet a fenti súrlódás figyelembevételével! (A hiányzó adatokat adjuk meg önállóan!)

A hintára pályairányban ható erők az alábbiak:

Gravitációs erő pályairányú komponense:

퐹 = −푚푔푠푖푛()


퐹 é (푣) = −푘 ∙ 푣

푚푔푠푖푛()

푚푔푐표푠()

푒

퐹푙é푔

푛

퐹푘

퐴 l

푣


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 107

3.3. Munka és teljesítmény. A munkatétel és alkalmazása


A munka fogalmát a 3.3/1 összefüggés értelmezi (3.3/1 ábra):

푊 , = ∫ 퐹

, (푟) ∙ 푑푟 (3.3/1), 푊 = [퐽]

3.3/1 ábra

Azaz a munka az 퐹(푟) függvény 푃 és 푃 pontok között vett g pályagörbe menti integrálja.

Felhasználva, hogy a dt időtartam alatti dr elmozdulás felírható 푑푟 = 푒 ∙ 푑푠 alakban, a munka pálya menti mennyiségekkel is kifejezhető:

푊 , = ∫ 퐹

, (푟)푑푟 = ∫ 퐹 , (푟)푒푑푠 = ∫ 퐹 (푠)푑푠 (3.3/2)

A fenti összefüggésben F(s) az erő pálya menti (érintő irányú) komponense, ds pedig a pályakoordináta dt időtartam alatti megváltozása. Áttérve idő szerinti integrálra:

푊 , = ∫ 퐹 (푠)푑푠 = ∫ 퐹 (푡) (푡)푑푡 = ∫ 퐹 (푡)푣(푡)푑푡 = ∫ 푃 (푡)푑푡 (3.3/3)

A (3.3/3) összefüggésben 푃(푡) az 퐹(푡) erő t időpillanatban vett teljesítménye. Azaz a teljesítmény a munkavégzés idő szerinti változási gyorsasága (deriváltja).

A munkatétel kapcsolatot teremt az eredő erő munkája és az anyagi pont mozgási energia változása között. Figyelembe véve, hogy az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkáinak összegével, a munkatétel az alábbi alakban írható:

푊 , = ∑ 푊 ,

= ∙ 푚 ∙ 푣 − ∙ 푚 ∙ 푣 = 퐸 − 퐸 = ∆퐸 (3.3/4)

3.3.2. Alkalmazott matematikai ismeretek [4], [5]

Differenciál- és integrálszámítás.


3.3.3.1.

Számítsuk ki a 3.2.3.1 feladatban szereplő golyón a gravitációs, a felhajtó és a közegellenállási erő által végzett munkákat, mialatt az lesüllyed a medence aljára! A munkatétel felhasználásával számítsuk ki, hogy mekkora lenne a golyó mozgási energiája és sebessége a medence alján, ha nem lenne közegellenállás! A fenti mozgási energia hány százalékát disszipálja a közegellenállási erő?

P1

0

r1r

F(r)

P

dr

g

e P0

r0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 108


A gravitációs, a felhajtó és a közegellenállási erő által végzett munkák, mialatt a golyó lesüllyed a medence aljára:

푊 → = 푚푔푑푠 = 푚푔 푑푠 = 푚푔ℎ =4푅 3 푔ℎ = 0,1434[퐽]

푊 → = −4푅 3 í 푔푑푠 = −

4푅 3 í 푔 푑푠 = −

4푅 3 í 푔ℎ = − 0,1420[J]

푊 → = 퐹 (푠)푑푠 = 퐹 (푡)푑푠푑푡 푑푡 = 퐹 (푡)푣(푡)푑푡 =

∗∗

= −6푅푣(푡)푣(푡)푑푡 =∗

− 6푅 푣 (푡) 푑푡 =∗

= −6푅퐵퐴 (푒 − 1) 푑푡 =

∗

−6푅퐵

퐴 (푒 − 1) 푑푡 =∗

−6푅퐵2 ∙ 퐴

∙ 푒 ∗ − 4 ∙ 푒 ∗ − 2 ∙ 퐴 ∙ 푡∗ + 3 = −0,0001821[J]

A munkatétel a közegellenállás-mentes esetben:

푊 → = 푊 → +푊 → =12 푚푣 −

12 푚푣 = 퐸 = 0,001421[J]

A golyó sebessége a medence alján a közegellenállást elhanyagolva:

푣 =2퐸푚 =

2퐸4푅 3

= 0.6235ms

A közegellenállási erő által disszipált energiahányad:

푟 =푊 →

퐸 100% = 12,82%

A gravitációs erő által végzett munka:

integrate (m*g) ds, s from 0 to h


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 109

A behelyettesítést és a szorzást elvégezve:

g h m, where m=4*0.012^3*pi/3*1010, g=9.81, h=2

A felhajtóerő által végzett munka:

integrate (-m*g) ds, s from 0 to h

Behelyettesítve és a szorzást elvégezve:

-g h m, where m=4*0.012^3*pi/3*1000, g=9.81, h=2


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 110

A közegellenállási erő által végzett munka:

-0.00007344*pi* (integrate 0.09713^2/0.03156^2*(e^(-0.03156*t)-1)^2 dt, t

from 0 to 6.641)

Közegellenállás-mentes esetben az eredő erő munkája egyenlő a gravitációs erő és a felhajtó erő munkájának összegével:

0,143434− 0,142014 = 0,00142[J]

A fenti munkát beírva a munkatételbe a golyó sebessége és abból mozgási energiája (a közegellenállást elhanyagolva) a medence alján kiszámítható:

sqrt(0.00142*2/(4*0.012^3*pi/3*1010))


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 111

A közegellenállási erő által disszipált energiahányad:

0,0001820,00142 ∙ 100 = 12,82%

3.3.3.2.

Számítsuk ki a 3.2.3.2 feladatban szereplő Mercedesen a fékező erő, a gördülési ellenállási erő és a közegellenállási erő által végzett munkát, mialatt az megáll! A Mercedes kezdeti mozgási energiájának hány százalékát disszipálják az egyes erők?


Az egyes erők által végzett munkák a fékezés megkezdésétől a megállásig:

푊é→ ( ∗) = − 푚푔푑푠 = − 푚푔 푑푠 = − 푚푔푠(푡∗) =

( ∗)( ∗)

− 125218[J]

푊ö→ ( ∗) = − 푚푔푑푠 = − 푚푔 푑푠 = − 푚푔푠(푡∗)

( ∗)( ∗)

= −6260,4[J]

푊é→ ( ∗) = −퐹 é (푠)푑푠 = −퐹 é (푡)

푑푠푑푡 푑푡 = −퐹 é (푡)푣(푡)푑푡 =

∗∗( ∗)

= −푘푣 (푡) 푣(푡)푑푡 =∗

− 푘 푣 (푡) 푑푡 = ⋯ = −886,9[J]∗

(A fenti integrál kiszámítása „kézi” úton nagyon hosszadalmas, ezért itt nem részletezzük.)

Az egyes erők által disszipált mozgási energia százalékos aránya:

푟 é =푊 é

→ ∗

12 푚푣

100% = 94,6%


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 112

푟 ö =푊 ö

→ ∗

12 푚푣

100% = 4,73%

푟 é =푊 é

→ ∗

12 푚푣

100% = 0,67%

Adjuk meg az adatokat:

m=1390

g=9.81

mu0=0.3

muG=0.015

st=30.61

t0=4.446

k=0.305

A=(mu0+muG)*g

B=k/m

v0=13.8

Az integrálásokat a CAS-komputeralgebra ablakban végezzük el:

A fékező erő által végzett munka:

Wfek=Integrál[-mu0*m*g, s, 0, st]

A gördülési ellenállási erő által végzett munka:

Wgor=Integrál[-muG*m*g, s, 0, st]

és a közegellenállási erő által végzett munka:

Wkoz=-k*Integrál[sqrt(A/B)^3*tan(-sqrt(A*B)*t+atan(sqrt(B/A)*v0))^3,t,0,t0]

Az egyes erők által disszipált mozgási energia százalékos aránya:

rfek=125218.4697/(1/2*m*v0^2)*100

rgor= 6260.92349/(1/2*m*v0^2)*100

rleg= 886.91764/(1/2*m*v0^2)*100


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 113

3.3.3.3.

Számítsuk ki a 3.2.3.3 feladatban szereplő lengéscsillapít által a rugózott m tömegen végzett munkát a lengés első, második és harmadik peridusában! Hány százalékát disszipálja a lengéscsillapító a rugózott m tömeg kezdeti mechanikai energiájának a fenti peridusokban?


Jelölje T a lengés periódusidejét. A periódusidő az alábbi összefüggéssel számítható:

푇 =2휋

=2휋

− =

2휋

푐푚 − 푘

2푚

= 0,7189[s]

Munkavégzés az első periódusban:

푊 → = 퐹 (푡)푣(푡)푑푡 = −푘푣(푡)푣(푡)푑푡 = −푘 푣 (푡)푑푡 =

= −푘 0,06267푒 . −2.635푠푖푛(8,74푡 + 4,4196) + 8,74푐표푠(8,74푡 + 4,4196) 푑푡,

Munkavégzés az második periódusban:

푊 → = −푘 푣 (푡) 푑푡

Munkavégzés a harmadik periódusban:

푊 → − 푘 푣 (푡) 푑푡


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 114

A fenti határozott integrálok kiszámítása nagyon munkaigényes, így azokat csak számítógép segítségével végezzük el.

A rugózott m tömeg kezdeti mechanikai energiája:

퐸 =12 푚푣

(0) +12 푐푦

(0) =12 푐푦

(0) = 45[J]

A lengéscsillapító által az egyes periódusokban disszipált energia a kezdeti mechanikai energia százalékában:

Első periódus:

푟 =푊 →

퐸 100%

Második periódus:

푟 =푊 →

퐸 100%

Harmadik periódus:

푟 =푊 →

퐸 100%

Adjuk meg az adatokat:

m:300;

c:25000;

k:1581;

y0:-0.06;

A lengés periósuaideje az alábbi összefüggéssel számítható:

T:2*%pi/sqrt(c/m-(k/(2*m))^2)

Munkavégzés az első periódusban:

W1: -k*integrate((0.06267*%e^(-2.635*t)*(-2.635*sin(8.74*t+4.4196)+8.74*cos(8.74*t+4.4196)))^2, t, 0, T);

Munkavégzés a második periódusban:

W2: -k*integrate((0.06267*%e^(-2.635*t)*(-2.635*sin(8.74*t+4.4196)+8.74*cos(8.74*t+4.4196)))^2, t, T, 2*T);

és a harmadik periódusban:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 115

W3: -k*integrate((0.06267*%e^(-2.635*t)*(-2.635*sin(8.74*t+4.4196)+8.74*cos(8.74*t+4.4196)))^2, t, 2*T, 3*T);

A rugózott m tömeg kezdeti mechanikai energiája:

Em:1/2*c*y0^2;

A lengéscsillapító által az egyes periódusokban disszipált energia a kezdeti mechanikai energia százalékában:

r1:abs(W1)/Em*100

r2:abs(W2)/Em*100

r3:abs(W3)/Em*100


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 116


3.3.4.1.

a) Számítsuk ki a 3.2.4.1 feladatban szereplő lövedéken a légellenállási erő által végzett munkát mialatt az megáll!

b) Ábrázoljuk a légellenállási erő teljesítményét a fékezés megkezdésétől mért idő függvényében!

3.3.4.2.

a) Számítsuk ki a 3.2.4.2 feladatban szereplő gépkocsin a fékező és a légellenállási erő által végzett munkát, mialatt az megáll! (Tekintsük azt az esetet, amikor a fék blokkol!) A gépkocsi kezdeti mozgási energiájának hány százalékát disszipálják az egyes erők?

b) Ábrázoljuk a légellenállási erő teljesítményét a fékezés megkezdésétől mért idő függvényében!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 117


3.4.1. Kidolgozott projektfeladatok

3.4.1.1. [7], [8]

Egy vízszintes úttesten álló helyzetből gyorsító elektromos meghajtású gépkocsi mozgását vizsgáljuk.

Ismerjük a gépkocsit és úttestet jellemző műszaki paramétereket, továbbá ismerjük a meghajtott kerekek kerületén fellépő erőt, amely a gépkocsit gyorsítja. (A gépkocsi első kerék meghajtású, a gépkocsi tömege a négy keréken egyenlő arányban oszlik meg.) A gyorsító erő a gépkocsi sebességének növelésével lineárisan csökken:

퐹(푣) = 퐹(0) + 푣

A fenti összefüggésben 퐹(0) a kerekek kerületén fellépő gyorsító erő az indulás pillanatában, 푣 a gépkocsi pálya menti sebessége, pedig az 퐹(푣) függvény meredeksége.

Műszaki paraméterek:

A gépkocsi légellenállási tényezője: c

A gépkocsi tömege: m

A kerekek gördülési ellenállási és tapadási súrlódási tényezője: ,

Adatok: 퐹(0) = 180[N], = −6,436,푐 = 0,188[kg/m], = 0,05, = 0,5, 푚 = 100[kg],푔 =9,81[m/s ].

a) Vizsgáljuk meg, hogy az indulás pillanatában megcsúszik-e a gépkocsi kereke!

b) Írjuk fel a gépkocsi pályairányú mozgásegyenletét (Newton II. törvénye)! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a gépkocsi pálya menti sebesség-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát!

c) A pálya menti sebesség-idő függvény ismeretében, határozzuk meg a gépkocsi pálya menti gyorsulás- és út-idő függvényét!

d) Készítsünk programot, amely a bemenő paraméterek (퐹(0), , 푐, , 푚, 푔) tetszőleges értékei esetén ábrázolja a gépkocsi sebességét, az általa megtett utat, továbbá kiszámítja a jármű végsebességét! (A végsebességet a 푣 = 푙푖푚 푣(푡) összefüggés értelmezi.)

e) Ábrázoljuk a gépkocsit gyorsít erő teljesítményét az indulástól eltelt idő függvényében! Mennyi munkát végez a fenti erő a mozgás első 5 másodpercében?


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 118


a)

A gépkocsi csúszás nélkül, azaz tisztán gördülve indul, ha:

퐹(0) ≤ 퐹 = ∙ 퐹 = ∙푚2 ∙ 푔

Jelen esetben:

180[N] ≤ 0,5 ∙1002 ∙ 9,81 = 245,25[N]

Tehát a gépkocsi csúszás nélkül indul, így a mozgása során végig tisztán gördülve halad.

b)

A menetirányban fellépő erők az alábbiak:

A gépkocsit gyorsít erő (a kerekek kerületén ébredő tapadási súrlódási erő):

퐹(푣) = 퐹(0) + 푣


퐹 é (푣) = −푐푣


퐹 ö = − 퐹 = − 푚푔

A gépkocsi pályairányú mozgásegyenlete:

퐹 =퐹(푣) + 퐹 é (푣) + 퐹 ö = 푚푎

퐹(0) + 푣 − 푐푣 − 푚푔 = 푚푣

퐹(0)푚 +

푚 푣 −

푐푚 푣 − 푔 = 푣


퐴 = − , 퐵 = ( ) − 푔, 퐶 = , 퐷 = √퐴 + 4퐵퐶

−퐶푣 − 퐴푣 + 퐵 = 푣 =푑푣푑푡

A differenciálegyenlet szeparálható: 1

−퐶푣 − 퐴푣 + 퐵푑푣 = 푑푡

퐹푙é푔

퐹푔ö푟푑 퐹 퐹푛 퐹푛 푚푔

푣

푠

푎


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 119

A hosszadalmas számítás részleteit mellőzve, innen az alábbi sebesség-idő függvény adódik:

푣(푡) =퐷2퐶 ∙ 푡ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶

A 퐶 konstanst a 푣(0) = 0 feltételből határozzuk meg:

0 = 푣(0) =퐷2퐶 ∙ 푡ℎ

퐷2 ∙

(0 + 퐶 ) −퐴2퐶

0 = 퐷 ∙ 푡ℎ퐷퐶2 − 퐴퐶 =

2푎푟푡ℎ 퐴퐷

퐷

c) A gyorsulás-idő függvény a sebesség-idő függvény idő szerinti derivált függvénye:

푎(푡) = 푣(푡) =푑푑푡

퐷2퐶 ∙ 푡ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 =

퐷

4퐶 ∙ 푐ℎ 퐷2 ∙ (푡 + 퐶 )

∙

A megtett utat az indulást követő 푡 időpillanatig az alábbi összefüggéssel számíthatjuk:

푠(푡 ) = 푠(푡 ) + 푣(푡) 푑푡

푠(푡 ) =1퐶 ∙

퐷2 ∙ 푡ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2 푑푡

푠(푡 ) =1퐶 ∙

⎝

⎜⎛퐷2 ∙

푠ℎ 퐷2 ∙ (푡 + 퐶 )

푐ℎ 퐷2 ∙ (푡 + 퐶 )

−퐴2

⎠

⎟⎞푑푡

푠(푡 ) =1퐶 푙푛 푐ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 ∙ 푡

푠(푡 ) =1퐶 푙푛 푐ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 ∙ 푡 −

1퐶 푙푛 푐ℎ

퐷 ∙ 퐶2

A 푡 változót t-re cserélve:

푠(푡) =1퐶 푙푛 푐ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 ∙ 푡 −

1퐶 푙푛 푐ℎ

퐷 ∙ 퐶2

d) A programot Excel alkalmazásával készítjük el.

e)

A gépkocsit gyorsító erő teljesítménye az idő függvényében:

푃(푡) = 퐹(푡) ∙ 푣(푡) = 퐹(0) + 푣(푡) ∙ 푣(푡)

= 퐹(0) + 퐷2퐶 ∙ 푡푎푛ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 ∙

퐷2퐶 ∙ 푡푎푛ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶

A gyorsító erő által az első 5 [s]-ban végzett munka:

푊 → = 푃(푡)푑푡

A fenti integrált csak GeoGebra segítségével számítjuk ki.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 120

a)

Adjuk meg az adatokat és számítsuk ki 퐹 értékét:

mu0:0.5;

m:100;

g:9.81;

Ftmax:mu0*m/2*g;

b)

A kezdeti érték probléma megoldása az alábbi:

ode2(‘diff(v,t)+A*v-B+C*v^2=0,v,t);

positive;

solve(%,v);

ic1(%,t=0,v=0);


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 121

Az 푡ℎ푥 = azonosság alkalmazásával könnyen belátható, hogy a fenti eredmény egyezik a „kézi” számolás eredményével.

c)

A gyorsulás-idő függvény meghatározása:

diff(%o7,t,1);


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 122

Az út-idő függvény meghatározása:

integrate(%,t,0,t1);

d) Az Excel 2007 alatt írt programot az alábbi ábra szemlélteti:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 123

A bemenő adatokat tartalmazó cellák színe lila, míg a számolt értékeket tartalmazóké narancssárga.

Az egyes cellákban szereplő képletek az alábbiak:

G2=-(B2/C2)

H2=(A2/C2)-(E2*F2)

I2=(D2/C2)

J2=((G2^2)+(4*H2*I2))^(0,5)

K2=(2*ATANH(G2/J2))/J2

L2=-(1/I2)*LN(COSH((J2*K2)/2))

M2=(J2-G2)/(2*I2)

K4=(J$2/(2*I$2))*TANH((J$2/2)*(J4+K$2))-(G$2/(2*I$2))

L4=K4*3,6

M4=(1/I$2)*LN(COSH((J$2/2)*(J4+K$2)))-((G$2/(2*I$2))*J4)+L$2

A maximális sebességet szolgáltató képlethez (M2 cella) az alábbi megfontolással jutunk:

푣 = 푙푖푚

푣(푡) = 푙푖푚

퐷2퐶 ∙ 푡ℎ

퐷2 ∙

(푡 + 퐶 ) −퐴2퐶 =

퐷 − 퐴2퐶

e)

Adjuk meg az adatokat, valamint a v(t) függvényt, majd integráljuk a 푃(푡) = 퐹(0) + 푣(푡) ∙ 푣(푡) függvényt t szerint 0 és 5 között:

Integrál[(F0+beta*v(t))*v(t),0,5]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 124

3.4.1.2. [9]

Az ábrán látható próbapadon egy gépkocsi lengéscsillapítóját vizsgálják.

Forrás: [9] Wilfried S.

A keréktámokat villanymotoros meghajtás (1) segítségével, egy nyomórugón (2) (támrugó) keresztül, hozzák függőleges irányú lengésbe. A lengőmozgást átveszi a kerék (5), a jármű rugói (6) és a lengéscsillapítók (7). A vizsgálat során a villanymotor fordulatszámát olyan nagyra választják, hogy a nagy tömegű járműfelépítmény (9) (rugózott m tömeg) ne tudja követni a lengéseket. Amikor a motort kikapcsolják, a hajtás tehetetlenül viselkedik, így a fordulatszám, ezáltal a gerjesztő frekvencia időben lineárisan csökken és áthalad a lengő rendszer sajátfrekvenciáján. A sajátfrekvencia értékénél a keréktám (4) (vele együtt a kerék és tengely (8)) kitérése éles maximumot mutat, amelynek mértéke a lengéscsillapító csillapítását jellemzi. A keréktám kitérését egy állandó szögsebességgel forgó regisztrációs tárcsán rögzítik egy írószerkezet (3) segítségével. Az alábbi ábra egy ilyen kitérés-idő függvényt szemléltet.

1, Meghajtás 5, Kerék2, Támrugó 6, Rugó3, Regisztrációs tárcsa 7, Lengéscsillapító4, Keréktám 8, Tengely

9, Felépítmény

44 3 2 1

5 6 7 8 9


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 125

Forrás: [9] Wilfried S.

Adatok: 푚 = 20[kg], 푚 = 30[kg], 푐 = 25000 , 푐 = 40000 , 푘 = 480 , 푘 = 40

푓 = 13,21[Hz], 퐴 = 0,05[m], 푟 = 2,23 .

(Ahol 푚 és 푚 a futómű és a keréktám tömegének azon hányada, amely a vizsgált kerékre esik, 푐 és 푐 a gépkocsi rugójának valamint a támrugónak a rugómerevsége, 푘 és 푘 a lengéscsillapító nedves, valamint a keréktám csapjaiban fellépő száraz súrlódás csillapítási tényezője, 푓 és 퐴 a motor másodpercenkénti fordulatszáma és a keréktám amplitúdója folytonos üzem esetén, 푟 pedig a motor kikapcsolását követően az 푓 (푡) függvény meredeksége.

a) Állítsunk fel mozgástani modellt a probléma vizsgálatához!

b) A modell alapján írjuk fel a keréktám mozgásegyenletét a villanymotor kikapcsolása és megállása közötti időtartamra! A mozgásegyenlet egy olyan kezdeti érték problémára vezet, amelynek megoldása a kerék (és vele együtt a keréktám) kitérés-idő függvénye. Adjuk meg, majd oldjuk meg a fenti kezdeti érték problémát! A kezdeti értékek legyenek 푦(0) = 0,05[푚] és 푣(0) = 푦(0) = 0 !

c) Ábrázoljuk a b) pontban kapott kitérés idő függvényt, majd olvassuk le a rezonanciafrekvenciához tartozó maximális amplitúdót!

d) A lengéscsillapító diagnosztikában a lengéscsillapító jóságát a nagyítási tényezővel jellemzik, amely a 푓 sajátfrekvenciához tartozó 퐴 amplitúdó, és az 퐴 gerjesztő amplitúdó hányadosa.

=퐴퐴

A előírások értelmében a nagyítási tényezőre teljesülnie kell az alábbi feltételnek:

1,730 ≤ ≤ 2,236

Ha a nagyítási tényező az előírtnál kisebb, akkor túlcsillapításról, ha nagyobb, akkor elégtelencsillapításról beszélünk. Döntsük el, hogy az általunk vizsgált lengéscsillapító megfelel-e az előírásnak!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 126


a)

Megadunk egy általános (a) és egy egyszerűsített (b) modellt, de a számításokat csak az egyszerűsített modell esetében végezzük el:

A villanymotoros gerjesztés kitérés idő-függvénye a motor folytonos működése közben az alábbi alakban írható:

푦 (푡) = 퐴 푠푖푛 2푓 푡

A motor kikapcsolása után a gerjesztés frekvenciája időben lineárisan csökken, azaz:

푓 (푡) = 푓 − 푟푡

Tehát a gerjesztés kitérés-idő függvénye a villanymotor kikapcsolása után az alábbi alakban írható:

푦 (푡) = 퐴 푠푖푛 2 푓 − 푟푡 푡 = 퐴 푠푖푛 −2푟푡 + 2푓 푡

b)

A lengő rendszer egyszerűsített modellje alapján az 푚 = 푚 +푚 tömegre az alábbi erők hatnak:

Egyszerűsített lengési modell

푦(푡)

푦푔(푡)

푚1 + 푚푇

푐푇

푐2 푘2

푘푇

푦(푡)

푦푔(푡)

Általános lengési modell

푚1

푚푇

푚2

푐푇

푐2

푐1 푘1

푘2

푘푇

푚2 ≫ 푚1

푐1 ≫ 푐푇

푘1: figyelmen kívül hagyható

rugózott (felépítmény) tömeg : 푚2 rugó : 푐2 lengéscsillapító: 푘2

rugózatlan tömeg: 푚1

gumiabroncs rugó: 푐1

gumiabroncs lengéscsillapítás: 푘1 próbapad tömege: 푚푇

támrugó: 푐푇

száraz súrlódási csillapítás: 푘푇

a, b,

푙0

푙0 − 푙

푦푔

푦 푦

0

v퐹푟2

퐹푟푇

퐹푘

퐹푠

푦푔

0


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 127

Közegellenállási erő (nedves csillapítás):

퐹 (푣) = −푘 푣

Súrlódási erő (száraz csillapítás):

퐹 = −푘 푠푔푛(푣)

Gravitációs erő:

Nem szerepel a mozgásegyenletben.

Rugóerők:

퐹 (푦) = −푐 푦 = −푐 푦

퐹 (푙) = 푐 푙 = 푐 푦 − 푦

A rugóerők alakja az ábra alapján értelmezhető az alábbiak szerint:

푦 + 푙 = 푦 + (푙 − 푙)

Innen a rugó megnyúlása:

푙 = 푦 − 푦 = 푦 − 푦

Az 푚 = 푚 +푚 tömeg mozgásegyenlete:

퐹 =퐹 (푦) + 퐹 (푙) + 퐹 (푣) + 퐹 = 푚푎

Behelyettesítve az egyes erőtörvényeket:

−푐 푦 + 푐 푦 − 푦 − 푘 푣 − 푘 푠푔푛(푣) = 푚푎

−푐 푦 + 푐 푦 − 푦 − 푘 푦 − 푘 푠푔푛(푦) = 푚푦

푚푦(푡) + 푘 푦(푡) + (푐 + 푐 )푦(푡) + 푘 푠푔푛 푦(푡) = 푐 푦 (푡)

푚푦(푡) + 푘 푦(푡) + (푐 + 푐 )푦(푡) + 푘 푠푔푛 푦(푡) = 푐 퐴 푠푖푛 −2푟푡 + 2푓 푡

푦(푡) +푘푚 푦(푡) +

(푐 + 푐 )푚 푦(푡) +

푘푚 푠푔푛 푦(푡) =

푐푚 퐴 푠푖푛 −2푟푡 + 2푓 푡

Behelyettesítve az adatokat:

푦(푡) + 9,6푦(푡) + 1300푦(푡) + 0,8푠푔푛 푦(푡) = 40푠푖푛(−14,0115푡 + 83,0011푡)

Továbbá 푦(0) = 0,05[m], 푦(0) = .

A differenciálegyenlet „kézi” megoldására a sgn függvény miatt nem vállalkozunk.

c) és d)

Itt csak a számítógépes megoldást adjuk meg.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 128

b)

A differenciálegyenlet megoldás az online ingyenesen elérhető szoftverekkel (WolframAlpha, wxMaxima, GeoGebra) nem kivitelezhető. Ebből adóan a Maple 13.0 szoftvert hívtuk segítségül. A szoftver programablakába a differenciálegyenletet az alábbi alakban írtuk:

Erre a szoftver válasza az „enter” billentyű lenyomása után:

A kezdetiérték probléma megoldására kiadott utasítás:

„Enter” billentyű lenyomása után a program kiírja a megoldásfüggvényt, amely rendkívül összetett, így itt nem közöljük.

c)

A megoldásfüggvényt a „plot” utasítás mögé bemásolva a program ábrázolja azt a kívánt intervallumon:

Látható, hogy a rezgéskép jó egyezést mutat a valós diagnosztikai vizsgálatnál rögzítettel. A maximális kitérés a program „point probe” funkciójával pontosan leolvasható. Esetünkben ez az érték:

퐴 = 0,098[푚] d) A nagyítási tényező értéke:

=퐴퐴

=0,0980,05

= 1,96

Tehát a lengéscsillapító megfelel az előírásnak.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 129


[1] M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő (szerk.): Mozgástan (Mechanika mérnököknek sorozat), Nemzeti Tankönyvkiadó (2006), NT-44579

[2] Kassai L, Somorjai T: Mechanika I, Nemzeti Tankönyvkiadó (1989)

[3] Urbán János: Határérték-számítás (Bolyai-könyvek sorozat), Műszaki Könyvkiadó (2009) ISBN: 978-963-16307-2-5

[4] Bárczi Barnabás: Differenciálszámítás (Bolyai-könyvek sorozat), Műszaki Könyvkiadó (2007), ISBN: 978-963-16303-8-1

[5] Bárczi Barnabás: Integrálszámítás (Bólyai-könyvek sorozat), Műszaki Könyvkiadó (2006), ISBN: 978-963-16306-1-9

[6] Dr. Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Bólyai-könyvek sorozat), Műszaki Könyvkiadó (2008), ISBN: 978-963-16301-0-7

[7] G. Á. Szíki: Computer program for the calculation of the performance parameters of electromobiles, International Review of Applied Sciences and Engineering, Akadémiai Kiadó (2011), pp.123-128.

[8] Szíki G. Á., Juhász G., Nagyné Kondor R., Juhász B.: Computer program for the calculation of the performance parameters of pneumobiles, ISCAME 2014 1 (2014) pp.159-166.

[9] Wilfried Staudt: Gépjárműtechnika, „OMÁR” Könyvkiadó (2006), ISBN: 963-85-1080-3


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 130

4. Gyártási folyamatok statisztikai elemzése

4.1. Leíró statisztika

A korszerű gyártórendszerekkel szemben támasztott követelmények a minőségi és megbízhatósági követelmények nem teljesíthetőek megfelelően tervezett és végrehajtott mintavételezés, illetve adatelemzés nélkül. A statisztikai folyamatszabályozás (SPC) és újabban a 6 stratégia eszközei között alapvető szerepet játszanak a klasszikus statisztikai számítások (például a leíró statisztika és statisztikai próbák), de sok speciális célú, közvetlenül a gyártási folyamat szabályozásához kapcsolódó módszer is ismert (például folyamatképesség vizsgálata, szabályozókártyák). A gyártási folyamat szabályozását számos (megvásárolható) célszoftver támogatja (pl. MINITAB), de szükség lehet ezektől független elemzésekre is.


1.Definíció. Hajtsunk végre egy kísérletet n-szer, és legyen a kísérlet kimenetele rendre: x1,x2,…,xn. Ekkor az adatok átlaga az

푥 =푥 + 푥 +. . . +푥

푛 ,

az adatok tapasztalati szórásnégyzete (empirikus szórásnégyzete), vagy egyszerűen csak szórásnégyzete

휎 =(푥 − 푥) + (푥 − 푥) +. . . +(푥 − 푥)

푛 ,

a(tapasztalati) szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök. A szórás tehát az egyes mintaelemeknek az átlagtól vett eltéréseinek négyzetes átlagából vont négyzetgyök, és mint ilyen, azt fejezi ki, hogy a megfigyelési adataink milyen mértékben térnek el az átlagtól. Korrigált szórásnégyzetnek nevezzük a

휎∗ =(푥 − 푥) + (푥 − 푥) +. . . +(푥 − 푥)

푛 − 1

mennyiséget. Ennek négyzetgyöke a korrigált szórás. (Általában, ha a minta elemszáma kisebb, mint 20, akkor a szórásnégyzet, illetve szórás helyett alkalmazzuk.)

Átlagos abszolút eltérésen az

|푥 − 푥| + |푥 − 푥|+. . . +|푥 − 푥|푛

mennyiséget értjük.

2.Definíció. Rendezett mintának nevezzünk az olyan mintát, ahol a mintaelemek nagyság szerint vannak sorba rendezve, azaz, ha푥 ≤ 푥 ≤. . . ≤ 푥 . Rendezett minta mediánja a középső elem, ha az elemszám páratlan, és a két középső számtani közepe, ha az elemszám páros. Módusznak nevezzük a legtöbbször előforduló mintaelemet (vagy mintaelemeket). Értelemszerűen egy mintának több módusza is lehet. A minta terjedelme alatt a legnagyobb és legkisebb mintaelem különbségét értjük.

3.Definíció. Az x1,x2,…,xn rendezett minta tapasztalati (empirikus) eloszlásfüggvényét az alábbi módon definiáljuk:

퐹 (푥) =

0, ℎ푎푥 ≤ 푥푘푛 , ℎ푎푥 < 푥 ≤

1, ℎ푎푥 > 푥

� 푥 (푘 = 1… (푛 − 1)),


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 131

ahol n a minta elemszáma, k pedig az x-nél kisebb mintaelemek száma, magát a hányadost relatív gyakoriságnak nevezzük.

1. Tétel. Az előbb definiált tapasztalati eloszlásfüggvény értékkészlete: [0,1], továbbá a függvény monoton növekvő, balról folytonos, lépcsős függvény.

4.Definíció. Gyakorisági hisztogramnak nevezzük az alábbi algoritmus szerint elkészített diagramot:

1) az adatokat növekvő sorrendbe rendezzük;

2) gyakorisági intervallumok határozunk meg, azaz, ha 푥 ≤ 푥 ≤. . . ≤ 푥 rendezettminta, akkor meghatározunk bizonyos számú (r) osztópontot, azaz az [푥 , 푥 ] intervallumot r részre osztjuk fel;

3) meghatározzuk az egyes intervallumokba eső mintaelemek számát;

4) kiszámoljuk a értékeket, ahol 푘 az i-edik ]푥 , 푥 ] intervallumba eső mintaelemek száma, Δ az

i-edik intervallum szélessége, majd az ]푥 , 푥 ] intervallumra (i=1…r) magasságú téglalapokat

szerkesztünk.

1. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a kapott téglalapok területének összege megegyezik a minta elemszámával, azaz n-el.

5.Definíció. Sűrűséghisztogramnak nevezzük az alábbi algoritmus szerint elkészített diagramot:

1) az adatokat növekvő sorrendbe rendezzük;

2) gyakorisági intervallumok határozunk meg, azaz, ha 푥 ≤ 푥 ≤. . . ≤ 푥 rendezett minta, akkor meghatározunk bizonyos számú (r) osztópontot, azaz az[푥 , 푥 ] intervallumot r részre osztjuk fel;

3) meghatározzuk az egyes intervallumokba eső mintaelemek számát;

4) kiszámoljuk a∙

értékeket, ahol 푛 a minta elemszáma,푘 az i-edik ]푥 , 푥 ] intervallumba eső

mintaelemek száma, Δ az i-edik intervallum szélessége, majd az ]푥 , 푥 ] intervallumra ∙

(i=1…r) magasságú téglalapokat szerkesztünk푘 az i-edik ]푥 , 푥 ] intervallumba eső mintaelemek száma, Δ az i-edik intervallum szélessége.

2. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a kapott téglalapok területének összege: 1.

3. Megjegyzés. A gyakorisági hisztogram és a sűrűséghisztogram csak a kapott téglalapok magasságában tér el. (Ez természetesen az egység választásától is függ.)


4.1.2.1.

Egy automata gépsor 0,5 literes üdítőitalokat palackoz. Véletlenszerűen kiválasztunk 20 palackot (azaz reprezentatív megfigyelést végzünk), és lemérjük a bennük lévő üdítőital mennyiségét. Az alábbi mintát kaptuk (ml-ben kifejezve):

484; 498; 503; 499; 501; 510; 499; 500; 513; 478;

520; 497; 500; 489; 520; 476; 521; 502; 504; 490

Számoljuk ki a minta átlagát, szórásnégyzetét, szórását, korrigált szórásnégyzetét, korrigált szórását, mediánját és móduszát!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 132

Ábrázoljuk az adatoknak megfelelő gyakorisági hisztogramot és sűrűséghisztogramot, valamint az 500 ml várható értékű, a mintából becsült szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét!


Az átlag a mintaelemek összegének és a minta elemszámának a hányadosa: 484 + 498 + 503 + 499 + 501 + 510 + 499 + 500 + 513 + 478

20

+520 + 497 + 500 + 489 + 520 + 476 + 521 + 502 + 504 + 490

20 = 500,2.

A szórásnégyzet az átlagtól való eltérések négyzetének az átlaga: (484 − 500,2) + (498 − 500,2) + (503 − 500,2) + (499 − 500,2) + (501 − 500,2)

20

+(510 − 500,2) + (499 − 500,2) + (500 − 500,2) + (513 − 500,2) + (478 − 500,2)

20

+(520 − 500,2) + (497 − 500,2) + (500 − 500,2) + (489 − 500,2) + (520 − 500,2)

20

+(476 − 500,2) + (521 − 500,2) + (502 − 500,2) + (504 − 500,2) + (490 − 500,2)

20≈ 154,56.

A szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök, azaz

휎 ≈ 154,560094 ≈12,43.

A korrigált szórásnégyzet:

휎∗ =(484 − 500,2) + (498 − 500,2) + (503 − 500,2) + (499 − 500,2) + (501− 500,2)

19

+(510 − 500,2) + (499 − 500,2) + (500 − 500,2) + (513 − 500,2) + (478 − 500,2)

19

+(520 − 500,2) + (497 − 500,2) + (500 − 500,2) + (489 − 500,2) + (520 − 500,2)

19

+(476 − 500,2) + (521 − 500,2) + (502 − 500,2) + (504 − 500,2) + (490 − 500,2)

19≈ 162,694736.

A korrigált szórás a korrigált szórásnégyzetből vont négyzetgyök, azaz

휎∗ ≈ √162,694736 ≈12,755185.

Megjegyzés: A számolást valamelyest (bár nem számottevően) egyszerűsíti, ha az adatainkról első lépésben gyakorisági táblázatot készítünk, és ezt követően az átlagot, mint súlyozott számtani közepet számoljuk ki, illetve a szórásnégyzet képletében is a megfelelő súlyok (amik a gyakoriságok) felhasználásával számolunk.

Mivel a minta elemszáma, páros, ezért a medián a növekvő sorba rendezett minta két középső elemének átlaga:

476<478<484<489<490<497<498<499=499<500=500

<501<502<503<504<510<513<520=520<521

Jelen esetben a két középső mintaelem mindegyike 500, így az átlaguk 500.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 133

Feladatunkban három olyan érték is van (499,500,520), amely kétszer szerepel, az összes többi csak egyszer, így a módusz: 499, 500, 520.

A minta terjedelme a legnagyobb és legkisebb mintaelem különbsége, azaz 521-476=45.

A gyakorisági hisztogram elkészítéséhez először adatainkat 10 ml-es osztályokba soroljuk:

A hisztogram felrajzolását a későbbiekben fogjuk elvégezni, a GeoGebra szoftver segítségével.

Adjuk meg a mintát listaként az alábbi módon:

minta={484,498,503,499,501,510,499,500,513,478,520,497,500,489,520,476,521,502,504,490} > Algebra ablak

minta = {484,498,503,499,501,510,499,500,513,478,520,497,500,489,520,476,521,502,504,490}

A minta átlaga:

átlag=Átlag[minta] > Algebra ablak átlag = 500.2

A szórásnégyzet:

szórásnégyzet=SzórásNégyzet[minta] > Algebra ablak szórásnégyzet = 154.56

A minta szórása:

szórás=Szórás[minta] > Algebra ablak szórás = 12.43222

Megjegyzés:

Az Excel-ben a SZÓRÁSP szórást, a SZÓRÁS korrigált szórást számol, a GeoGebra szórást számol, ezeken kívül valamennyi program korrigált szórást számol (azaz nem a mintaelem számmal (n), hanem (n-1)-gyel oszt).

A minta mediánja:

medián=Medián[minta] > Algebra ablak medián = 500

intervallumok ]470,480] ]470,480] ]470,480] ]470,480] ]470,480] gyakoriság 2 3 6 5 4


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 134

A minta módusza:

módusz=Módusz[minta] > Algebra ablak módusz = {499, 500, 520}

A hisztogram kirajzolásához előbb adjuk meg a határok listáját:

határok={470,480,490,500,510,520,530} > Algebra ablak

határok={470,480,490,500,510,520,530}

majd adjuk ki az alábbi parancsot:

HisztogramJobbról[határok,minta,false] > Rajzlap

Megjegyzés:

Ha a logika értéket (false) elhagyjuk, akkor az y tengelyen a gyakoriságok helyett a gyakoriság és az osztályszélesség hányadosa jelenik meg.

Mivel a GeoGebrában nincs olyan parancs, mely segítségével normális eloszlás sűrűségfüggvényét lehetne megjeleníteni, ezért az 500 ml várható értékű, 12.43 szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényének ábrázolásához adjuk ki az alábbi parancsot:

FüggvényRajzolás[200/(sqrt(2*pi)*szórás)*exp(-(x-átlag)^2/(2*szórás^2))]


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 135

> Rajzlap

Megjegyzés:

A hisztogrammal való összehasonlítás miatt az említett paraméterű normális eloszlás sűrűségfüggvénye helyett annak egy skalárszorosát ábrázoljuk, ahol a skalárszorzó a minta elemszám és az osztályszélesség szorzata.

4.1.2.2.

Egy automata darabológép adott hosszúságú csöveket készít. Az elkészített cső hossza legyen az X valószínűségi változó. A csövek hossza az adott hosszúságnál nagyobb is, kisebb is lehet. Összesen 30 mérést végeztünk el és a méreteltérések számát mm-es intervallumonként rögzítettük:

a ±4 és ±3 mm közé 1-1,

a ±3 és ±2 mm közé 3-3,

a ±2 és ±1 mm közé 5-5,

a ±1 és 0 mm közé pedig 6-6 esett.

Számoljuk ki az eltérések átlagát, az átlagos abszolút eltérést, a tapasztalati szórásnégyzetet és szórást!

A mintaelemek a megadott gyakoriságok középértékei:

minta={-3.5,-2.5,-1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5,3.5} > Algebra ablak

minta = {−3.5, −2.5, −1.5, −0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5}

Az ehhez tartozó súlyok a mérések darabszámai:

súlyok={1,3,5,6,6,5,3,1}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 136

> Algebra ablak

súlyok = {1, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 1}

A minta átlaga:

átlag=Átlag[minta,súlyok] > Algebra ablak átlag = 0

Az átlagos abszolút eltéréshez számítsuk ki a mintaelemek abszolút értékeit:

absminta=abs[minta] > Algebra ablak

absminta = {3.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5}

Az átlagos abszolút eltérés:

átlagosabseltérés=Átlag[absminta,súlyok] > Algebra ablak átlagosabseltérés = 1.43333

A szórásnégyzet:

szórásnégyzet=SzórásNégyzet[súlyok,minta] > Algebra ablak szórásnégyzet = 2.91667

A minta szórása:

szórás=Szórás[súlyok,minta] > Algebra ablak szórás = 1.70783


4.1.3.1.

Sajtgyárban 40 dkg-os sajtokat készítenek. Véletlenszerűen kiválasztunk egy 20 elemű mintát, és lemérjük a csomagolásban lévő sajt mennyiségét (grammban):

387, 392, 397, 399, 401, 403, 398, 378, 386, 402,

401, 414, 420, 426, 389, 400, 378, 404, 440, 376.

Készítsünk gyakorisági táblázatot az adatokról! Számoljuk ki a minta átlagát, mediánját, móduszát, szórásnégyzetet és szórását! Határozzuk meg a korrigált szórásnégyzetet és korrigált szórást! Készítsünk gyakorisági hisztogramot és sűrűséghisztogramot!


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 137

4.1.3.2.

Egy csokoládé üzemben automata gépsor gyártja a csokoládékat. Véletlenszerűen kiválasztunk egy 20 elemű mintát, és lemérjük a csokoládészeletek súlyát. Az adatokat grammban adjuk meg:

101, 96, 100, 98, 102, 102, 103, 90, 89, 97, 99, 100, 102, 105, 108, 98, 99, 97, 100, 101

Számoljuk ki a minta átlagát, szórásnégyzetét, szórását! Adjuk meg a korrigált szórásnégyzetet és korrigált szórást! Határozzuk meg a mediánt és a móduszt! Megfelelő osztópontok kiválasztásával készítsük el a gyakorisági hisztogramot és a sűrűséghisztogramot!

4.1.3.3.

A Tisza árhullámaira vonatkozólag Tokajnál az 1903-1971 időszakban a tetőzési értékek az alábbi gyakorisággal estek a feltüntetett intervallumokba (mindegyik év első felében bekövetkezett árvizeket vizsgálva):

600-650 mm 37 árhullám 650-700 mm 24 árhullám 700-750 mm 15 árhullám 750-800 mm 14 árhullám 800-850 mm 4 árhullám 850-900 mm 3 árhullám

Készítsük el a tetőzési értékek gyakorisági hisztogramját! Számoljuk ki a mintaátlagot és a szórásnégyzetet!

4.2. Statisztikai hipotézisek vizsgálata

A gyakorlatban gyakran szükségünk lehet arra, hogy mintákból származó információk alapján hozzunk sokaságra vonatkozó döntéseket. Ezekben az esetekben azt vizsgáltuk, hogy az adott minta származhat-e egy adott paraméterű sokaságból, illetve, hogy a minta egyik paramétere azonos-e egy elméleti értékkel. A sokaság adott tulajdonságát nem mérhetjük le közvetlenül, hanem csak a sokaságból vett minta alapján becsülhetjük. Ezen esetekben egymintás hipotézisvizsgálatról szólunk. Más esetekben két sokaság valamely paraméterét hasonlítjuk össze. Ilyenkor kétmintás hipotézisvizsgálatról szólunk.


1. Definíció. Statisztikai próbának nevezzük azt az eljárást, amelynek segítségével eldöntjük, hogy az adott hipotézis elfogadható-e vagy sem. Magát a vizsgálandó feltételezést nullhipotézisnek nevezzük, jele H0, az ezzel ellentétes állítás az alternatív hipotézis, vagy más szóval ellenhipotézis, jele H1. Egy hipotézis vizsgálata egy statisztikai döntés: a minta alapján a nullhipotézist vagy elfogadjuk, vagy elutasítjuk (ez esetben az ellenhipotézist fogadjuk el).

2. Definíció. A

H0: h=h0nullhipotézis és

H1: h≠h0 ellenhipotézis

esetén kétoldali próbáról, illetve kétoldali ellenhipotézisről, míg a

H0: h=h0nullhipotézis és

H1: h>h0 (vagy H1: h<h0) ellenhipotézis


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 138

esetén kétoldali próbáról, illetve kétoldali ellenhipotézisről beszélünk.

3. Definíció. A megbízhatósági szint a nullhipotézis elfogadására vonatkozó döntés helyességének valószínűségét fejezi ki, amikor amennyiben a nullhipotézis igaz. A szignifikancia szint a hibás döntés valószínűsége szintén igaz nullhipotézis esetén.

4. Definíció. Elfogadási tartománynak nevezzük azt az intervallumot ahová, ha a próbastatisztika értéke kerül, a nullhipotézist elfogadjuk. Az elfogadási tartományt konfidencia-intervallumnak is szokás nevezni. Kritikus tartománynak nevezzük azt az intervallumot ahová, ha a próbastatisztika értéke kerül, a nullhipotézist elvetjük. Kritikus érték az a szám, amivel a próbastatisztika értékét összehasonlítjuk, és döntünk arról, hogy az elfogadási vagy kritikus tartományba esik-e.

t-próba: Egymintás esetben azt vizsgáljuk, hogy származhatott-e a minta egy adott várható értékű (középértékű) sokaságból, kétmintás esetben a hipotézis a várható értékek azonosságára vonatkozik. Akkor alkalmazzuk, ha a minta normális eloszlásból származik, az alapsokaság szórása ismeretlen. Egymintás t-próba esetén a próbastatisztika

푡 =푥 − 푚휎√푛

,

ahol 푥 a mintaátlag, 휎 a mintából becsült szórás, n a minta elemszáma.

Kétmintás t-próba esetén az alábbi eseteket különböztetjük meg:

1. eset: Ha a két minta elemszáma egyenlő, akkor visszavezetjük egymintás t-próbára a

H0: m1-m2=0 nullhipotézis vizsgálatával.

2.eset: Ha a két minta elemszáma nem egyezik meg, akkor megvizsgáljuk, hogy az ismeretlen szórások azonosnak tekinthetőek. A szórások azonosságáról F-próbával dönthetünk. F-próba esetén a

H0: σ12 = σ22

H1: σ12 ≠ σ22

hipotézist vizsgáljuk az

퐹 =σ∗σ∗

próbastatisztikával (n1-1,n2-1) paraméterrel (ahol n1 az első minta, n2 a második minta elemszáma).

Ha a szórások azonosnak tekinthetőek (Welch-próba), akkor ha a nullhipotézis fennáll a

푥 − 푦(푛 − 1)σ∗ + (푛 − 1)σ∗

∙푛 푛 (푛 + 푛 − 2)

푛 + 푛

próbastatisztika (n1+n2-2)-paraméterű t-eloszlású.

3.eset: Ha a két minta elemszáma nem egyezik meg és a fentiekben ismertetett F próbával azt kapjuk, hogy a szórások különbözőek, akkor az általánosság sérelme nélkül feltehető, hogy 푛 < 푛 . Ekkor definiáljuk a

푧 = 푥 −푛푛 푦 +

1√푛 푛

푦 −1푛 푦 (푖 = 1…푛 )

az értékeket, amikre hajtsuk végre az egymintás t-próbát.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 139


4.2.2.1.

Vizsgáljuk meg, hogy a 4.1.2.1 feladatban szereplő gép jól működik-e, pontosabban a feladatban szereplő véletlenszerű minta esetén 95%-os biztonsággal elfogadható-e az a feltevés, hogy az üdítőital automata valóban fél literes palackokat tölt?


Mivel ismeretlen szórás esetén a várható értékre szeretnénk hipotézisvizsgálatot végezni, ezért az egymintás egyoldali t-próbát alkalmazzuk. A nullhipotézis, illetve ellenhipotézis

H0:m = 500 H1:m ≠ 500

A próbastatisztika:


ahol

푥:a mintaátlag

휎:a mintából becsült szórás

n: a minta elemszáma.

Jelen esetben (a 2.3.1.1 feladat eredményeit használva):


=(500,2 − 500)12,43

√20

= 0,0701.

A szabadsági fok, azaz a t-eloszlás paramétere (n-1) jelen esetben 19, így a kapott t(0,0701) érték abszolút értékét a megfelelő táblázatbeli értékkel (2,093) összehasonlítva azt kapjuk, hogy a számolt érték kisebb a táblázatbelinél, így a nullhipotézist fogadjuk el, azaz 95%-os valószínűséggel elfogadható az a feltevés, hogy a várható érték 500 ml.

Alternatív megoldásként

푃(|푡| ≥ 0,0701) = 2푃(푡 ≤ −0,0701) = 2휙(−0,0701) = 2 1 − 휙(0,0701) = 2(1 − 0,5276)= 2 ∙ 0,4724 = 0,9448 > 0,05,

így a nullhipotézist elfogadjuk.


Console > minta=c(484,498,503,499,501,510,499,500,513,478,520,497,500,489,520,476,

521,502,504,490)

Az 500ml várható értékhez tartozó kétszélű egymintás t-próba az alábbi paranccsal végezhető el:

Console >t.test(minta,alternative=”two.sided”,mu=500)


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 140

OneSample t-test

data: minta

t = 0.0701, df = 19, p-value = 0.9448

alternative hypothesis: true mean is not equal to 500

95 percent confidenceinterval:

494.2304 506.1696

sample estimates:

mean of x

500.2

Az R kiszámítja t értékét és a valószínűséget is. Emellett megadja az átlagot és a 95%-hoz tartozó konfidencia intervallumot is, azaz azt az intervallumot, amelyben a mintaelemek 95%-os valószínűséggel megtalálhatóak.

Megjegyzés:

Kétszélű t-próba esetén "two-sided"paramétert, egyszélű esetén pedig a "greater" (nagyobb) és "less" (kisebb) paraméterek közül kell a megfelelőt választani.

Az Excelben szereplő T.PRÓBA() képlet csak valószínűséget ad vissza, de az Adatok / Adatelemzés menüből választható t-próba megadja t értékét is. Viszont itt csak kétmintás t-próba hajtható végre, az egymintásat ezzel úgy tudjuk megoldani, ha második mintának megadunk egy azonos elemszámú olyan mintát, melynek minden eleme megegyezik a várhatóértékkel és ezen két mintán párosított t-próbát hajtunk végre.

4.2.2.2.

Egy cukorkacsomagoló gép 10 dekagramm várható súlyú csomagokat készít. Véletlenszerűen kiválasztunk 10 csomag cukorkát, melyek súlyát lemérve az alábbi adatok adódnak (grammban kifejezve):

105, 95, 100, 102, 103, 94, 99, 101, 110, 97

Döntsünk 95 %-os valószínűséggel arról, hogy a cukorkák átlagos súlya 10 dkg, vagy annál kevesebb!


A vizsgálandó nullhipotézis, illetve ellenhipotézis:

H0:m = 100 H1:m < 100.

Első lépésben kiszámoljuk a mintaátlagot:

푥 =94 + 95 + 97 + 99 + 100 + 101 + 102 + 103 + 105 + 110

10 ≈ 100,6.

A mintából becsült korrigált szórásnégyzet:

휎∗ =(94 − 100,6) + (95 − 100,6) + (97 − 100,6) + (99 − 100,6) + (100 − 100,6)

9

+(101 − 100,6) + (102 − 100,6) + (103− 100,6) + (105 − 100,6)

9


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 141

+(110 − 100,6)

9 ≈ 22,93.

Ebből a korrigált szórás: 휎∗ = 4,789.

A kapott eredményeket felhasználva a t statisztika értéke


=(100,6 − 100)4,788876

√10

= 0,3962 < 1,833.

Mivel a számolt érték kisebb, mint a táblázatbeli érték, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 95%-os valószínűséggel elfogadható az, hogy az egy csomagban lévő cukorkák súlya valóban 10 dkg.


minta={105,95,100,102,103,94,99,101,110,97} > Algebra ablak minta={105, 95, 100, 102, 103, 94, 99, 101, 110, 97}

Egymintás, egyszélű t-próbát kell végrehajtanunk 100g várható értékre az alábbi paranccsal:

TPróba[minta,100,">"] > Algebra ablak lista1={0.35059, 0.3962}

A kapott eredménylistában az első érték a P valószínűség, a második pedig t értéke.

Megjegyzés:

Kétszélű t-próba esetén "≠" jelet kell alkalmazni, egyszélű esetén pedig a "<" és ">" jelek közül kell a megfelelőt választani.

4.2.2.3.

Egy bizonyos műszaki berendezés élettartamának növekedésére egy új módszert találtak ki. Annál az n=10 elemű mintánál, amelynél ezt nem alkalmazták, hónapban mérve az élettartamok az alábbiak voltak:

61, 52, 47, 51, 58, 64, 60, 55, 49, 53

Azon készülékek esetében, ahol az új technikát bevetették az alábbi élettartamok adódtak:

53, 59, 63, 67, 60, 57, 65, 58, 68, 62, 65, 54

Igaz-e az a nullhipotézis, hogy az új módszerrel gyártott műszaki cikkek élettartama növekedett?


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 142


A vizsgálandó nullhipotézis, illetve ellenhipotézis:

H0:푚1 = 푚2 H1:푚2 > 푚1.

A két minta elemszáma különböző, ezért első lépésben egy F-próbát végzünk annak eldöntésére, hogy a két minta szórása azonosnak tekinthető-e. Ehhez ki kell számolnunk a két minta átlagát, illetve a korrigált szórásnégyzeteket.

Tekintsük először az első mintát. Az áttekinthetőség kedvéért érdemes a mintaelemeket növekvő sorba rendezni (így kapjuk a rendezett mintát):

47<49<51<52<53<55<58<60<61<64.

A minta átlaga

푥 =47 + 49 + 51 + 52 + 53 + 55 + 58 + 60 + 61 + 64

10 = 55,

korrigált szórásnégyzete

휎∗ =(47 − 55) + (49 − 55) + (51 − 55) + (52 − 55) + (53 − 55)

9

+(55 − 55) + (58 − 55) + (60 − 55) + (61 − 55)

9

+(64 − 55)

9 ≈ 31,11.

Tekintsük most a második mintát. Növekvő sorrendbe rendezve:

53<54<57<58<59<60<62<63<65=65<67<68.

A minta átlaga

푦 =53 + 54 + 57 + 58 + 59 + 60 + 62 + 63 + 65 + 65 + 67 + 68

12 ≈ 60,92,

korrigált szórásnégyzete

휎∗ =(53 − 60,916667) + (54 − 60,916667) + (57 − 60,916667)

11

+(58 − 60,916667) + (59 − 60,916667) + (60 − 60,916667) + (62 − 60,916667)

11

+(63 − 60,916667) + (65 − 60,916667) + (65 − 60,916667)

11

+(67 − 60,916667) + (68 − 60,916667)

11 ≈ 24,08.

Az F-próbára vonatkozó nullhipotézis, illetve ellenhipotézis:

H0: σ12 = σ22

H1: σ12 ≠ σ22.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 143

A próbastatisztika értéke

퐹 =σ∗σ∗

≈31,11111124,083333 ≈ 1,291

(10-1,12-1)=(9,11) paraméterrel. A megfelelő táblázatbeli érték 3,02. A számolt érték (1,291811) kisebb, mint a táblázatbeli érték, így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 95%-os valószínűséggel a két minta szórása azonosnak tekinthető. Ennek megfelelően a t-statisztika értéke

푡 =푥 − 푦

(푛 − 1)σ∗ + (푛 − 1)σ∗∙푛 푛 (푛 + 푛 − 2)

푛 + 푛

≈55 − 60,916667

(10 − 1) ∙ 31,111111 + (12 − 1) ∙ 24,083333∙10 ∙ 12(10 + 12 − 2)

10 + 12≈ −2,6473.

A táblázatbeli érték 1,725. Mivel a számolt érték abszolút értéke ennél nagyobb, ezért a nullhipotézist elvetjük, azaz az ellenhipotézist fogadjuk el, így 95%-os valószínűséggel igaz az, hogy az új módszerrel gyártott műszaki berendezések élettartama növekedett.

Mivel a mintaszámok különbözőek, ezért először egy F-próbát kell végezni a szórásokra, ha a két minta szórása megegyezik, akkor egy „normál” kétmintás t-próbát, ha a szórások különbözőek, akkor egy Welch-próbát kell második lépésben végrehajtani.

Adjuk meg a két mintát a szokásos módon:

Console > minta1=c(61,52,47,51,58,64,60,55,49,53)

> minta2=c(53,59,63,67,60,57,65,58,68,62,65,54)

majd végezzük el az F-próbát:

Console >var.test(minta1,minta2)

F test to compare two variances

data: minta1 and minta2

F = 1.2918, numdf = 9, denomdf = 11, p-value = 0.6778

alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1

95 percent confidence interval:

0.3600466 5.0536602

sample estimates:

ratio of variances

1.291811

A kapott F érték alapján kétmintás, egyszélű, párosított, azonos szórású t-próbát kell végrehajtani:

Console >t.test(minta1,minta2,alternative=”less”,var.equal=TRUE)

Two Sample t-test

data: minta1 and minta2

t = -2.6473, df = 20, p-value = 0.007728


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 144

alternative hypothesis: true difference in means is less than 0


-Inf -2.061981

sample estimates:

mean of x mean of y

55.00000 60.91667

Megjegyzés:

Az Excelben lévő F.PRÓBA() képlet csak a valószínűséget adja vissza, F értékét csak az Adatok / Adatelemzés menüből választható F-próba adja meg.

GeoGebrában nincs F-próba, így ez a feladat azzal a programmal nem oldható meg.

4.2.2.4.

Fél literes zacskós tejet automata csomagolja, becsülni kívánjuk az automatán beállított átlagos töltési mennyiséget. Mintánk (FAE) mérési eredményei ml-ben:

495, 501, 503, 480, 485, 499, 510, 502, 492, 503,

490, 504, 495, 499, 497, 487, 507, 496, 498, 500

Tudjuk, hogy a töltőmennyiség normális eloszlású, de nem ismerjük a szórását. Készítsünk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a beállított átlagos töltési mennyiségre!

Korábbi feladatban már láttuk, hogy a t-próba a t és P értékek mellett megadja a 95%-os valószínűséghez tartozó konfidencia intervallumot is, így a minta szokásos megadása után csak egy egyszerű egymintás t-próbát kell végrehajtanunk:

Console >minta=c(495,501,503,480,485,499,510,502,492,503,490,504,495,499,497,487, 507,496,498,500)

>t.test(minta)

OneSample t-test

data: minta

t = 297.0272, df = 19, p-value< 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0


493.6468 500.6532

sample estimates:

mean of x

497.15

Megjegyzés:

A többi programban nincs konfidencia intervallum számítására utasítás, ezért azokkal a programokkal csak a

푘표푛푓푖푑푒푛푐푖푎푖푛푡푒푟푣푎푙푙푢푚 = á푡푙푎푔 ±푡 ∙ 푠푧ó푟á푠√푒푙푒푚푠푧á푚


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 145

képlet kiszámításával lehet a konfidencia intervallumot meghatározni.


4.2.3.1.

Egy mérési sorozat az alábbi táblázatba foglalt elemeket tartalmazza:

Számítsuk ki a terjedelmet, az átlagos abszolút eltérést, a szórást, a mérési eredmények alapján 95%-os biztonsági szint mellett határozzuk meg a konfidencia intervallumot!

4.2.3.2.

Egy automata darabolónak 1000 mm hosszúságú acélszalagokat kell levágnia. A gép által készített darabok hossza normális eloszlásúnak tekinthető. Véletlenszerűen kiválasztunk 12 szalagot és lemérjük a hosszukat. Az alábbi mérési eredményeket kaptuk:

998, 989, 1000, 1003, 1006, 1010, 990, 999, 1008, 1015, 980, 1025.

Vizsgáljuk meg, hogy a gép jól működik-e, azaz elfogadható-e 95 %-os valószínűséggel az a feltevés, hogy daraboló gép valóban egy méter hosszúságú szalagokat vág le?

4.2.3.3.

Egy konzervgyárban adagolóautomata tölti a dobozokat. Az egy dobozba töltendő anyag tömegének várható értékére az előírás 250 gramm. Mintavétel során az alábbi értékeket kaptuk:

230, 255, 240, 260, 250, 254, 266, 259, 251, 257, 267, 270, 244, 249, 258.

Vizsgáljuk meg, hogy az adagolóautomata jól működik-e, azaz 95 %-os valószínűséggel elfogadható-e az a feltevés, hogy az adagolóautomata valóban 250 gramm tömegű konzerveket készít?

4.2.3.4.

Egy üzem gyártósorán az egyik szerelési feladatra megadott szintidő 10 perc. Az itt dolgozó alkalmazottak már több kérvényben kérték a szintidő felemelését arra hivatkozva, hogy véleményük szerint nem elegendő a rendelkezésre álló idő a munkafolyamat elvégzésre. Az üzem vezetősége egy ellenőrt küldött, aki 10 véletlenszerűen kiválasztott alkalommal megmérte a feladat elvégzéséhez szükséges időt. Az eredmények az alábbiak lett:

9,3; 10,5; 11,4; 12,5; 10,6; 13,1; 12,3; 11,1; 10,6; 10

Döntsünk 95 %-os valószínűséggel arról, hogy a gyárban dolgozó munkások jogosan kérik-e a szintidő felemelését, vagy sem!

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 100,05 99,33 101,01 99,78 98,99 99,45 100,01 100,02 99,98 100,17


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 146

4.2.3.5.

Egy szerves vegyület oxigéntartalmának vizsgálatához 16 mérést végeztünk,melyek alapján 2,15%-os átlagot kaptunk. Tegyük fel, hogy a szórás ismert, 휎= 0,28 %. Adjuk meg a várható értékre vonatkozó 95 %-os szintnek megfelelő konfidencia-intervallumot!

4.2.3.6.

Meg akarjuk vizsgálni, hogy egy új készítési eljárás javítja-e a beton minőségét, nevezetesen, növeli-e a törőszilárdságát. Ezen célból ugyanazon alapanyagból 24 egyenlő mennyiségű mintát veszünk. Ezeket véletlenszerűen kettéosztva mind a régi, mind az új technológiával 12-12 próba kockát készítenek. A törésszilárdság a régi technológiával készült minta esetén (kg/cm2):

280, 284, 285, 287, 290, 291, 295, 297, 300, 302, 303, 305,

az új technológiával készült minta esetén

295, 297, 298, 300, 302, 305, 306, 310, 312, 315, 322, 323.

A mintákat normális eloszlásúnak tekintve, döntsünk 95 %-os valószínűséggel arról, hogy az új eljárás valóban javítja-e a törésszilárdságot vagy sem!

4.2.3.7.

Egy motorkerékpárokat gyártó cég a gumiabroncsok tartósságát új adalékanyaggal kívánja növelni. Az új gumiabroncs tesztelésére tíz motorkerékpárra előlre a régi, hátulra az új abroncsot szerelték fel és 1000 kilométer megtétele után mérték a kopást (mm-ben).

A régi abroncsok esetén a kopás:

0,32; 0,36; 0,41; 0,34; 0,27; 0,45; 0,51; 0,23; 0,46; 0,39,

az új adalékanyag felhasználásával gyártott abroncsok esetén a minta:

0,22; 0,26; 0,15; 0,32; 0,14; 0,36; 0,42; 0,33; 0,21; 0,18.

Döntsünk 95 %-os valószínűséggel arról, hogy az új abroncs valóban tartósabb-e, mint a régi!

4.2.3.8.

A füstgáz por tartalmát vizsgálták két szilárd fűtőanyaggal működő kazán típus esetén. E célból 15 darab ,,A’’-típusú és 12 darab ,,B’’-típusú vizsgáltak meg megegyező tüzelési feltételek mellett. A vizsgálati periódus után a kéményekre helyezett porcsapdákra az alábbi mennyiségű por rakódott le:

,,A’’ kazán esetén: 54, 56, 57, 61, 64, 65, 67, 70, 71, 72, 75, 80, 81, 82, 84

,,B’’ kazán esetén: 34, 36, 37, 39, 41, 45, 47, 50, 52, 53, 55, 60.

Feltéve, hogy a por lerakódása normális eloszlást követ vizsgáljuk meg, hogy 95 %-os valószínűség mellett, van-e lényeges különbség a két kazán esetén a porlerakódás mértékében?


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 147

4.3. Illeszkedés és függetlenségvizsgálat


4.3.1.1. Illeszkedésvizsgálat khí-négyzet próbával:

Illeszkedésvizsgálatot akkor alkalmazunk, ha azt akarjuk eldönteni, hogy egy minta eloszlása megegyezik-e valamilyen nevezetes eloszlással. Adott egy n elemű minta. A mintaelemeket osszuk fel r páronként diszjunkt csoportba, azaz tekintsük az A1, A2,…,Ar teljes eseményrendszert (azaz az események páronként diszjunktak és uniójuk a biztos esemény). Jelölje az Ai esemény valószínűségét푝 , továbbá ki azt, hogy az Ai eseménynek megfelelő ,,csoportba’’ hány mintaelem tartozik (gyakoriság) (i=1,2,…,r esetén).

Az eloszlásra vonatkozóan a

H0: P(퐴푖) = 푝푖

nullhipotézist akarjuk ellenőrizni.

A próbastatisztika

휒 =(푘 − 푛 ∙ 푝 )

푛 ∙ 푝 =(푔푦푎푘표푟푖푠á푔 − 푣á푟푡푔푦푎푘표푟푖푠á푔)

푣á푟푡푔푦푎푘표푟푖푠á푔 .

Eloszlása r-1 szabadságfokú, 휒 -eloszlás, ha H0 fennáll.

Ha 휉 diszkrét valószínűségi változó x1, x2, … értékkészlettel, akkor

H0:휉푒푙표푠푧푙á푠푓ü푔푔푣é푛푦푒퐹.

Ha x1<x2<… és a 푃 (휉 = 푥푖) valószínűségek közül az első r-1 relatíve nagy, míg a többi valószínűség együttesen is kicsi, akkor legyen

퐴 = {휉 = 푥1}, 퐴 = {휉 = 푥1}, … , 퐴 = {휉 = 푥푟−1}, 퐴 = {휉 ≥ 푥푟}.

Amennyiben az eloszlás nem diszkrét, úgy a számegyenes egy alkalmas

−∞ < 푎 < 푎 <. . . < 푎 < ∞

felosztásából indulunk ki. Ekkor tekintsük az

퐴 = {휉 < 푎1}, 퐴 = {푎1 ≤ 휉 < 푎2},…, 퐴 = {푎푟−2 ≤ 휉 < 푎푟−1}, 퐴 = {휉 > 푥푟−1}.

Amennyiben a nullhipotézis

H0:휉푒푙표푠푧푙á푠푓ü푔푔푣é푛푦푒퐹,

úgy az Ai események H0 melletti valószínűségei:

p1=F(a1), p2=F(a2)-F(a1), …, pr-1=F(ar-1)-F(ar-2), …., pr=1-F(ar-1).

Vegyünk egy n-elemű mintát és legyen továbbra is ki az Ai esemény gyakorisága. Ezekkel a pi és ki

értékekkel alkossuk meg a fenti 휒 -statisztikát. Amennyiben az egyes Ai események gyakorisága kicsi, úgy a szomszédos intervallumokat összevonhatjuk. A gyakorlatban általában egyenlő hosszúságú intervallumokra osztjuk fel a számegyenest (azaz ekvidisztáns osztópontokat választunk), természetesen úgy, hogy a két ,,szélső’’ intervallum egy-egy félegyenes. Ilyenkor az előbb említett összevonások helyett az intervallumok hosszát szokás változtatni.

4.3.1.2. Függetlenségvizsgálat khí-négyzet próbával:

Azt akarjuk eldönteni, hogy két valószínűségi változó, 휉 és 휂 függetlenek-e. A (휉, 휂) valószínűségi változó megfigyelésére n elemű mintát veszünk. A 휉 valószínűségi változó értékeit r, az 휂 valószínűségi változó


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 148

értékeit s csoportba soroljuk, azaz létrehozzuk 휉-re vonatkozóan az A1, A2,…,Ar teljes eseményrendszert 휂-ra vonatkozóan a B1, B2,…, Bs teljes eseményrendszert. Jelölje kij az (Ai, Bj) együttes bekövetkezésének gyakoriságát. Jelölje 푘 ∗illetve 푘∗ az Ai, illetve a Bj események bekövetkezésének gyakoriságát.

Feltevésünk az, hogy az említett két valószínűségi változó független, azaz az (A1, A2,…,Ar)és (B1, B2,…, Bs) teljes eseményrendszerek függetlenek.

A próbastatisztika

휒 =푘 −

푘 ∗푘∗푛

푘 ∗푘∗푛

=푔푦푎푘표푟푖푠á푔 − 푠표푟ö푠푠푧푒푔 ∙ 표푠푧푙표푝ö푠푠푧푒푔

푒푙푒푚푠푧á푚푠표푟ö푠푠푧푒푔 ∙ 표푠푧푙표푝ö푠푠푧푒푔

푒푙푒푚푠푧á푚.

Eloszlása (r-1)∙(s-1) szabadsági fokú, 휒 -eloszlású, amennyiben a nullhipotézis fennáll.


4.3.2.1.

Egy gyár munkavédelmi osztályán azt a kérdést vizsgálják, hogy 1 év alatt az 1 munkásra jutó balesetek száma Poisson-eloszlást követ-e. A vizsgálathoz 400 munkást választottak ki véletlenszerűen. Közülük 141 munkásnak nem volt balesete, 150 munkásnak 1 balesete volt, 83 munkásnak 2, 26 munkásnak 3 balesete volt. A Poisson-eloszlás ismeretlen paraméterét a mintából becsüljük!


Legyen 휉 Poisson-eloszlású valószínűségi változó és tekintsük az alábbi eseményeket:

퐴 = {휉 = 0}, 퐴 = {휉 = 1}, 퐴 = {휉 = 2}, 퐴 = {휉 = 3}, 퐴 = {휉 ≥ 4}

eseményekből álló teljes eseményrendszert.

Mivel 휉 Poisson-eloszlású, ezért

푃(휉 = 푘) =휆푘! 푒 .

A Poisson-eloszlás ismeretlen 휆 paraméterét a mintából becsüljük a mintaátlaggal:

Ezt felhasználva a megfelelő elméleti valószínűségek:

푃(휉 = 0) =0,9850! 푒 , ≈ 0,373439푃(휉 = 1) =

0,9851! 푒 , ≈ 0,367838

푃(휉 = 2) =0,9852! 푒 , ≈ 0,18116푃(휉 = 3) =

0,9853! 푒 , ≈ 0,05948

푃(휉 ≥ 4) = 1 −0,985푘! 푒 , ≈ 0,018127.

A megfigyelt és várt értékeket táblázatba foglaljuk:

értékek 0 1 2 3 4..∞gyakoriság (ki) 141 150 83 26 0

valószínűség (p ) 0,373439 0,367838 0,18116 0,05948 0,018127várt gyakoriság (npi) 149,3756 147,1352 72,464 23,792 7,2329

(k − np ) 70,1507 8,2071 111,0073 4,8753 52,5741


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 149

A táblázat felhasználásával azt kapjuk, hogy a próbastatisztika

휒 =(푘 − 푛 ∙ 푝 )

푛 ∙ 푝 =70,1507149,3756 +

8,2071147,1352 +

111,007372,464 +

4,875323,792 +

52,57417,2329 ≈ 9,495.

A megfelelő táblázatbeli érték 7,81. A számolt érték (9,495) nagyobb, mint a táblázatbeli érték, így a nullhipotézist elvetjük, azaz nem tekinthető a minta Poisson-eloszlásúnak.

Adott a balesetek száma (4 a 3-nál több balesetek számát jelöli):

Console > x=c(0:4)

> x [1] 0 1 2 3 4

és azok gyakorisága (a 3-nál több balesetek száma 0):

Console > A=c(141,150,83,26,0)

>A [1] 141 150 83 26 0

Számítsuk ki a súlyozott középértéket:

Console > sk=weighted.mean(x,A)

> sk [1] 0.985

Ezekre vonatkozóan határozzuk meg a Poisson eloszlás szerinti valószínűség értékeket:

Console > Bv=c(dpois(0:3,sk),ppois(3,sk,lower.tail=FALSE))

> Bv [1] 0.37343923 0.36783764 0.18116004 0.05948088 0.01808222

A Poisson eloszlásnak megfelelő elméleti gyakoriságok:

Console > B=400*Bv

> B [1] 149.375691 147.135055 72.464015 23.792352 7.232887

χ2-próbávalteszteljük, hogy a minta Poisson eloszlást követ-e (illeszkedés vizsgálat):

Console >chisq.test(A,p=B,rescale.p=TRUE)

Chi-squared test forgivenprobabilities

data: A

X-squared = 9.495, df = 4, p-value = 0.04985

Mivel a kapott χ2 érték (9,495) > 7,81 ezért nem feltételezhető, hogy a minta Poisson eloszlású.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 150

4.3.2.2.

Egy cementgyárban 50 kg-os zsákokat készítenek. Véletlenszerűen kiválasztva 25 zsákot, majd azokat lemérve az alábbi eredmény adódott:

44, 45, 45, 47, 47, 47, 48, 49, 49, 49, 49, 50, 50,

50, 50, 50, 50, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 53, 55.

Vizsgáljuk meg, hogy 95 %-os valószínűséggel normális eloszlásúnak tekinthető-e a minta?


Első lépésben a számegyenest osszuk fel a 45, 48, 51, 54 osztópontok segítségével.

A normális eloszlás paramétereit (átlag(m), szórás(휎)) a mintából becsüljük.

A minta átlaga

푚 =44 + 45 ∙ 2 + 47 ∙ 3 + 48 + 49 ∙ 4 + 50 ∙ 6 + 51 ∙ 4 + 52 ∙ 2 + 53 + 55

25 = 49,4,

szórásnégyzete

휎 =(44 − 49,4) + (45 − 49,4) ∙ 2 + (47 − 49,4) ∙ 3 + (48 − 49,4)

25

+(49 − 49,4) ∙ 4 + (50 − 49,4) ∙ 6 + (51 − 49,4) ∙ 4 + (52 − 49,4) ∙ 2 + (53 − 49,4)

25

+(55 − 49,4)

25 = 6,32,

a minta szórása 휎 ≈ 2,514.

푝 = 푃(휉 < 45) = 퐹(45) = 휙푥 − 푚휎 = 휙

45 − 49,42,514 = 휙(−1,72) = 1 − 휙(1,72) ≈ 0,040042

푝 = 푃(45 ≤ 휉 < 48) = 퐹(48) − 퐹(45) = 휙48 − 49,42,514 − 0,040042 = 휙(−0,55) − 0,040042

= 1 − 휙(0,55) − 0,040042 ≈ 0,248762

푝 = 푃(48 ≤ 휉 < 51) = 퐹(51) − 퐹(48) = 휙51 − 49,42,514 − 0,248762 = 휙(0,62) − 0,248762

≈ 0,448949

푝 = 푃(51 ≤ 휉 < 54) = 퐹(54) − 퐹(51) = 휙54 − 49,42,514 − 휙

51 − 49,42,514 = 휙(1,79) − 휙(0,62)

≈ 0,228603

푝 = 푃(휉 ≥ 54) = 1 − 퐹(54) ≈ 0,033643

testsúly (kg) utasok száma (fő) ]−∞, 45[ 1 [45, 48[ 5 [48, 51[ 11 [51, 54[ 7 [54,∞[ 1

összesen 25


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 151

A próbastatisztika

휒 =(푘 − 푛 ∙ 푝 )

푛 ∙ 푝 =(1 − 25 ∙ 0,040042)

25 ∙ 0,040042 +(5 − 25 ∙ 0,248762)

25 ∙ 0,248762 +(11 − 25 ∙ 0,448949)

25 ∙ 0,448949

+(7 − 25 ∙ 0,228603)

25 ∙ 0,228603 +(1 − 25 ∙ 0,033643)

25 ∙ 0,033643≈ 0,0000011 + 0,238956 + 0,0044596+ 0,2888907 + 0,0327204 ≈ 0,5650278.

A megfelelő táblázati érték (5-1=4 szabadsági fokkal) 9,49. A számolt érték lényegesen kisebb, mint a táblázatbeli érték, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 95%-os valószínűséggel a minta normális eloszlásúnak tekinthető.

Vegyük fel a mintát például a B1:N2 tartományban.

Számítsuk ki a minta átlagát a B3 cellában, ehhez a cellába az =ÁTLAG(B1:N2) képletet írjuk be.

Számítsuk ki a minta szórását a B4 cellában, ehhez a cellába az =SZÓRÁSP(B1:N2) képletet írjuk be.

Számoljuk meg, hogy a 45, 48, 51, 54 osztópontok által felosztva az egyes csoportokba hány darab minta kerül, ezt adjuk meg a B5:B9 tartományban. Ellenőrzésképpen a B10 cellában számoljuk össze a minták darabszámát, írjuk be ide az =SZUM(B5:B9) képletet.

A C5:C9 tartományban számítsuk ki a normális eloszlásfüggvényt megszorozva a minta elemszámával, az alábbi képletek segítségével:

C5 cellába: =B10*NORM.ELOSZL(45;B2;B3;IGAZ)

C6 cellába: =B10*(NORM.ELOSZL(48;B2;B3;IGAZ)-NORM.ELOSZL(45;B2;B3;IGAZ))



C9 cellába: =B10*(1-NORM.ELOSZL(54;B2;B3;IGAZ))

A D5:D9 tartományban számítsuk ki a próbastatisztika értékeit az alábbi képletekkel:

D5 cellába: =(B5-C5)^2/C5





A keresett érték a D5:D9 cellák összege, azaz =SZUM(D5:D9)


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 152

Megjegyzés:

A 2010-es Excelben már van olyan képlet is, mely megadja az összehasonlításhoz szükséges táblázati értéket is, ehhez az alábbi képlet szükséges: KHINÉGYZET.INVERZ.JOBB(1-p;szabadságfok) azaz jelen feladatnál =KHINÉGYZET.INVERZ.JOBB(0,05;4), melynek az eredménye: 9,48773.

A megoldáshoz használható a 2007-es Excelben lévő KHI.ELOSZLÁS(x;szabadságfok) képlet is, de ez valószínűséget ad vissza.

4.3.2.3.

Tekintsük az ,,A’’ és ,,B’’ gyárakat, melyek csavarokat gyártanak. A csavarok minősége lehet első-, másod- és harmadosztályú. Az alábbi, 200 megfigyelést tartalmazó minta alapján döntsük el, hogy a csavarok minősége függ-e attól, hogy melyik gyárban készült?


A próbastatisztika

휒 =푔푦푎푘표푟푖푠á푔 − 푠표푟ö푠푠푧푒푔 ∙ 표푠푧푙표푝ö푠푠푧푒푔

푒푙푒푚푠푧á푚푠표푟ö푠푠푧푒푔 ∙ 표푠푧푙표푝ö푠푠푧푒푔

푒푙푒푚푠푧á푚

=42 − 73 ∙ 59

20073 ∙ 59200

+28 − 73 ∙ 117

20073 ∙ 117200

+3 − 73 ∙ 24

20073 ∙ 24200

+17 − 127 ∙ 59

200127 ∙ 59200

+89 − 127 ∙ 117

200127 ∙ 117200

+21 − 127 ∙ 24

200127 ∙ 24200

≈ 19,43 + 5,06 + 3,79 + 11,18 + 2,91 + 2,18 = 44,55.

I. osztályú II. osztályú III. osztályú összesen ,,A’’ gyár 42 28 3 73 ,,B’’ gyár 17 89 21 127 összesen 59 117 24 200


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 153

A szabadsági fok (2-1)(3-1)=2. Az ehhez tartozó táblázatbeli érték 13,82. A számolt érték ennél lényegesen nagyobb, ezért a nullhipotézist elvetjük, azaz a csavarok minősége és az, hogy melyik gyárban készült nem független egymástól.

Vegyük fel a megadott táblázatot az A1:E4 tartományban.

A B6:D7 tartományban számítsuk ki az egyes elemekhez tartozó sorösszegek és oszlopösszegek szorzatának az elemszámhoz vett arányát például B6 cellába az alábbi képlet kerül: =E2*B4/E4

A B9:D10 tartományban számítsuk ki a próbastatisztika értékeit, B9 cellába az alábbi képletkell:

=(B2-B6)^2/B6

A keresett érték a B9:D10 cellák összege, azaz =SZUM(B9:D10)

Megjegyzés:

A megoldáshoz használható az Excelben lévő KHI.PRÓBA(tényleges_tartomány;várható_tartomány) képlet is, de ez valószínűséget ad vissza.


4.3.3.1.

A légi közlekedésben fontos figyelemmel kísérni az utasok átlagos testsúlyának alakulását. Egyrészt azért, hogy ne terheljük túl a gépet, másrészt azért, hogy ne utazzon a gép felesleges kapacitással, ezért időről időre ellenőrzik, hogy a felnőtt utasok testsúlya nem tér-e el a feltételezettől. A légitársaság a terhelést 78 kg-os átlagos testsúlyra és 11 kg-os szórásra tervezi. A feltételezés ellenőrzése céljából megmérték 200 véletlenszerűen kiválasztott utas testsúlyát. A mérések eredményét az alábbi táblázat mutatja:

testsúly (kg) utasok száma (fő) -60 8

61-70 36 71-80 62 81-90 56

91-100 24 101- 10

összesen 200


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 154

Vizsgáljuk meg, hogy 95 %-os valószínűséggel a minta normális eloszlásúnak tekinthető-e?

4.3.3.2.

Azonos típusú 500 darab villanyégő élettartamát az alábbi táblázat mutatja:

Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon! Számoljuk ki a mintaátlagot!

A tapasztalatok azt mutatják, hogy különböző műszaki cikkek első meghibásodásáig eltelt ideje jó közelítéssel exponenciális eloszlást követ, ahol az eloszlás paramétere a mintából becsülhető (átlag). Készítsük el a megfelelő exponenciális eloszlás sűrűségfüggvényét, és illesszük a függvényt az a)-beli oszlopdiagramra! Mit tapasztalunk? Vizsgáljuk meg, hogy 95 %-os valószínűséggel valóban exponenciális eloszlásból származónak tekinthető-e a minta?

4.3.3.3.

Közlekedésbiztonsági szervek ezer személyi sérüléses közúti balesetet vizsgáltak meg aszerint, hogy milyen súlyos volt a baleset, és a baleset alkalmával a sérült viselt-e biztonsági övet. A kapott eredmények az alábbiak voltak:

Vizsgáljuk 95 %-os valószínűség mellett, hogy a baleset kimenetele független-e attól, hogy az illető viselt-e biztonsági övet?

4.3.3.4.

A PB gázpalack elosztóhoz négy töltőállomás (Alfa, Béta, Gamma, Delta) szállítja a 11 kg névleges töltő súlyú palackokat. Az elosztó súlyvizsgálatot tartott véletlenszerűen kiválasztott 182 palack lemérésével. Az osztályozást töltőállomásonként és adott súlyhatárok szerint végezve az eredményt, a következő táblázat tartalmazza:

Állapítsuk meg 95 %-os valószínűséggel, hogy a töltőállomásoktól függetlenek-e a súlyeltérések!

t (óra) darabszám t (óra) darabszám 1000<t<1100 105 1500<t<1600 44 1100<t<1200 103 1600<t<1700 34 1200<t<1300 70 1700<t<1800 20 1300<t<1400 67 1800<t<1900 10 1400<t<1500 45 1900<t<2000 2

viselt övet nem viselt övet

összesen

könnyűbaleset 510 120 630 súlyos baleset 120 150 270 halálos baleset 70 30 100

összesen 700 300 1000

Alfa Béta Gamma Delta összesen 10,8-11,2 25 30 22 23 100 10,3-10,7 20 10 16 18 64

<10,3 5 3 6 4 18 összesen 50 43 44 45 183


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 155

4.3.3.5.

Egy dobókockát 60-szor feldobtunk. Eredményül 12 darab 1-est, 7 darab 2-est, 10 darab 3-ast, 11 darab 4-est, 14 darab 5-öst és 6 darab 6-ost kaptunk. Döntsünk 95 %-os valószínűséggel arról, hogy szabályosnak tekinthető-e a dobókocka?

4.3.3.6.

Egy debreceni bevásárlóközpontba érkező vásárlók száma reggel 8 óra és 16 óra között az alábbiak szerint alakult:

8 és 9 óra között 20 fő








Ellenőrizzük95 %-os valószínűséggel annak a feltevésnek a helyességét, hogy a vásárlók időbeni érkezése egyenletes eloszlást követ!

4.4. Legkisebb négyzetek módszere


A legkisebb négyzetek módszere a mérések matematikai feldolgozásában használt eljárás. Tegyük fel, hogy adottak az (푥 , 푦 );(푥 , 푦 ); … ; (푥 , 푦 )pontok. Keressük azt az

푓(푥) = 푎 푓 (푥)

alakú függvényt, amely ,,négyzetesen a lehető legközelebb van a megadott pontokhoz’’, azaz a függvényértékeknek az 푓(푥 ) értékektől való eltérésének négyzetösszege a lehető legkisebb legyen. Megmutatható, hogy ha tekintjük azt az ,,A’’ mátrixot, melynek k-adik (k=1…l) oszlopában rendre az 푓 (푥 ) (i=1…n) függvényértékek szerepelnek, továbbá az f vektor az 푦 , 푦 ,…, 푦 koordinátákat tartalmazza, az x vektor pedig az 푎 , 푎 , … , 푎 koordinátákat, akkor fennáll az

푨푻푨풙 = 푨푻풇

lineáris egyenletrendszer, melyet Gauss-féle normál-egyenletrendszernek nevezünk.

A műszaki, fizikai, biológiai, szociális, vagy gazdasági folyamatok modellezésében széleskörűen alkalmazott módszer a legkisebb négyzetek módszere.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 156


4.4.2.1.

Adottak az alábbi mérési eredmények:

Gauss-féle normálegyenletrendszer megoldása segítségével adjuk meg az adott pontokat négyzetesen legjobban közelítő f(x)=ax3+bx2+cx+d harmadfokú polinomfüggvényt!

Az időpillanatok értékeit felhasználva készítsünk egy A mátrixot, melyben a sorok rendre az időpillanatok 3., 2., 1. és 0. hatványait tartalmazzák:

A:matrix([1^3, 1^2, 1^1, 1^0],[2^3, 2^2, 2^1, 2^0],[2.5^3, 2.5^2, 2.5^1, 2.5^0],[3^3, 3^2, 3^1, 3^0],

[4^3, 4^2, 4^1, 4^0])

Adjuk meg egy b oszlopvektorban a mérési eredményeket:

b:matrix([1],[14],[26],[47],[98])

A polinom együtthatóit az 퐱 = (퐀 퐀) ∙ 퐀 퐛 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, melyhez az alábbi parancssort kell beírnunk:

x:invert(transpose(A).A).(transpose(A).b)

időpillanat 1 2 2,5 3 4 mérési eredmény 1 14 26 47 98


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 157

Tehát a keresett függvény:

푓(푥) = −0,333333푥 + 12,404762푥 − 22,690476푥 + 11,7

Megjegyzés:

A megfelelő mátrix és vektor deklarálás után x értéke

R-ben: x=solve(t(A)%*%A)%*%(t(A)%*%b)

GeoGebrában: x=Inverz(Transzponált(A)*A)*(Transzponált(A)*b)

Excelben (A=A1:D5 és b=F1:F5 esetén x H1:H4 tartományban):

=MSZORZAT(INVERZ.MÁTRIX(MSZORZAT(TRANSZPONÁLÁS(A1:D5);A1:D5));MSZORZAT(TRANSZPONÁLÁS(A1:D5);F1:F5))

parancsokkal kapható meg.

Megjegyzés:

Excelben TREND() képlet segítségével meghatározhatók a keresett függvény értékei az adott x helyeken, illetve diagramon ábrázolva a Trendvonal felvétele menüpontot kiválasztva ábrázolható a keresett függvény, és az Egyenlet látszik sort megjelölve a függvényt képletszerűen is vissza tudja adni, de csak speciális függvényekkel (lineáris, exponenciális, polinomiális, logaritmikus és hatvány) tudja a közelítést elvégezni.


4.4.3.1.

Adottak az alábbi mérési eredmények:

Gauss-féle normálegyenletrendszer megoldása segítségével adjuk meg az adott pontokat négyzetesen legjobban közelítő f(x)= 푎 ∙ 2 + 푏푥 + 푐 alakú függvényt! Ábrázoljuk a pontokat és a függvényt koordinátarendszerben. A kapott függvény segítségével adjunk becslést arra vonatkozólag, hogy mennyi lenne a mérési eredményünk a t=6 időpillanatban!

4.4.3.2.

A személygépkocsi állomány alakulását az alábbi táblázat tartalmazza:

Becsüljük meg az idő és a gépkocsik száma közötti lineáris kapcsolatot!

időpillanat 1 2 3 4 5 mérési eredmény 1 5 12 17 40

év gépkocsik száma (1000 db) 1980 992 1981 1079 1982 1172 1983 1257 1984 1350 1985 1437


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 158

4.4.3.3.

Egy egyszerűbb periodikus folyamat alkalmas modelljének tartjuk az

푓(푥) = 푎 + 푏 cos(휋푥) + 푐 sin(휋푥) + 푑푥

függvényt. Rendelkezésünkre állnak a mérések az 푥 = 0, , , 1, időpontokban, és ezek felhasználásával határozzuk meg az f függvény ismeretlen paramétereit.


4.4.1. Kidolgozott projektfeladatok

4.4.1.1.

Húsz azonos típusú személygépkocsi 100 kilométerenkénti fogyasztását tized pontossággal mérve, a következő adatokat kapták:

8,3; 8,6; 8,0; 7,6; 8,8; 8,2; 7,9; 8,1; 8,2; 9,1; 7,7; 6,9; 7,4; 7,3; 7,2; 8,1; 7,9; 8,1; 8,2; 8,3

a) Számoljuk ki a minta átlagot!

b) Határozzuk meg a szórásnégyzetet és a szórást!

c) Adjuk meg a minta mediánját,móduszát és terjedelmét!

d) Ábrázoljuk az adatoknak megfelelő gyakorisági hisztogramot és sűrűséghisztogramot!

e) Vizsgáljuk meg, hogy 95%-os valószínűséggel normális eloszlást követnek-e az adatok!

f) Amennyiben az adatok normális eloszlást követnek, úgy 95 %-os valószínűséggel döntsünk arról, hogy a 100 kilométerenkénti átlagfogyasztás 8 liternek tekinthető-e?

g) Az előbbi gépkocsikba egy új alkatrészt szereltek be, melynek célja az üzemanyagfogyasztás csökkentése. Ezen alkatrész beszerelése után szintén megmérték a 100 kilométerenkénti fogyasztást a 20 személygépkocsi esetén:

7,5; 7,9; 8,1; 7,6; 8,2; 6,4; 7,5; 7,6; 6,4; 7,8; 8,1; 7,4; 6,3; 7,5; 7,9, 8,0; 6,7; 6,6; 7,1; 8,1

95%-os biztonsági szint mellett döntsünk arról, hogy az új alkatrész valóban az átlagfogyasztás csökkenését eredményezte-e?

a)

A minta átlaga:

mean {8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

mean {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 159

Result:

7.995

b)

Szórás:

sd {8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

Result:

0.538492

Szórásnégyzet:

var

{8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

Result:

0.289974

c)

Medián:

median

{8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

Result:

8.1

Módusz:

mode

{8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

standarddeviation {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}

variance {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}

median {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 160

Input:

Result:

{8.2, 8.1}

Terjedelem:

range

{8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

Result:

2.2

d)

Gyakorisági hisztogram:

histogram

{8.3,8.6,8.0,7.6,8.8,8.2,7.9,8.1,8.2,9.1,7.7,6.9,7.4,7.3,7.2,8.1,7.9,8.1,8.2,8.3}

Input:

Histogram:

sűrűséghisztogram:

normal distribution {mean=7.995, sd=0.538492}


commonestelement {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}

range {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}

histogram {8.3, 8.6, 8. , 7.6, 8.8, 8.2, 7.9, 8.1, 8.2, 9.1, 7.7, 6.9, 7.4, 7.3, 7.2, 8.1, 7.9, 8.1, 8.2, 8.3}

normaldistributionmean 휇 =7.995

standarddeviation 휎 =0.538492


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 161

Probability density function (PDF):

0.740851풆 . ( . )

Plot of PDF:

e)

A mintaelemeket osztályokba soroljuk (az osztályhatárokat úgy választjuk meg, mint a sűrűséghisztogram esetén) és kiszámítjuk az egyes osztályokba esés valószínűségét a 7.995 várható értékű és 0.538492 szórású normális eloszlás eloszlásfüggvényének felhasználásával, majd ezt megszorozzuk a mintaelemek számával. Az adott osztályba eső mintaszámból kivonjuk ezt az értéket, négyzetre emeljük és elosztjuk ezzel az értékkel:

1-20*(probability that x<7.0, normal(mean=7.995,sd=0.538492)))^2/

(20*(probability that x<7.0, normal(mean=7.995,sd=0.538492)))

Válasz:


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 162

Ezt minden osztályra elvégezve az alábbi eredmények adódnak:

푥 < 7.0 → 0.193456

7.0 < 푥 < 7.5 → 0.001514

7.5 < 푥 < 8.0 → 0.95803

8.0 < 푥 < 8.5 → 1.015292

8.5 < 푥 < 9.0 → 0.260386

푥 > 9.0 → 0.232964

A keresett eredmény ezen számok összege, azaz: 2.661643

Az ehhez tartozó táblázatbeli érték 11.07, így az alapfeltevést elfogadjuk.

f)

Kétszélű t-próbát kell végrehajtani. Ehhez írjuk be a t test parancsot, majd a megjelenő ablakban adjuk meg az alábbi értékeket:

t test

hypothesized mean (feltételezett középérték): 8

sample mean (minta átlag): 7.995

sample standard deviation (minta szórása): 0.538492

sample size (minta elemszáma): 20

Az eredmény ablakban állítsuk be a Two-tailed test-et (kétszélű próba).


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 163

Válasz:

A táblázatbeli érték: 1.729, így az eredmény alapján az átlagfogyasztás 8 liternek tekinthető.

g) Első lépésként ki kell számítanunk a második minta középértékét és szórását ( a) és b) kérdés mintájára). A minta középértéke: 7.435, szórása: 0.634346.

Ezután hajtsunk végre egy kétmintás t-próbát, ehhez írjuk be:

2 sample t test

majd adjuk meg az adatokat az alábbiak szerint:

hypothesized mean: 0

confidence level: 0.95

a többi érték pedig az előző kérdés alapján azzal,

hogy first jelenti az eredeti mintát, second pedig az új mintát.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 164

Válasz:

A táblázatbeli érték: 2.093, így a második minta alapján valóban az átlagfogyasztás csökkenése várható.


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 165

4.4.2. Gyakorló projektfeladatok

4.4.2.1.

Egy előre beállított gyártósoron 50 milliméter átmérőjű alkatrészt gyártanak. Minőség-ellenőrzés során 40 elemű mintát vesznek és lemérik a véletlenszerűen kiválasztott alkatrészek átmérőjét. Az alábbi eredmény adódik:

52, 51, 49, 45, 47, 52, 53, 55, 56, 49, 50, 50, 52, 54, 48, 46, 45, 50, 50, 55,

45, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 52, 51, 50, 50, 50, 51, 51, 52, 56, 44, 51, 52, 50.

a) Határozzuk meg a mintaelemek átlagát, mediánját, móduszát és terjedelmét!

b) Számoljuk ki a mintaelemek szórásnégyzetét, szórását, korrigált szórásnégyzetét és korrigált szórását!

c) Ábrázoljuk a mintaelemeket alkalmas osztályhatárokkal megadott (például a [44,56] intervallumot a 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56 osztópontokkal felosztva) gyakorisági és sűrűséghisztogramon!

d) Feltételezve, hogy a mintaelemek normális eloszlást követnek, vizsgáljuk meg, hogy 95 %-os valószínűséggel elfogadható-e az a feltételezés, hogy a gyártósoron valóban 50 milliméter átmérőjű alkatrészeket gyártanak?

e) A megadott minta alapján adjunk meg 95 %-os valószínűséggel konfidencia intervallumot a várható értékre, azaz adjuk azt az intervallumot, amelybe a mintaelemek beleesnek (95 %-os valószínűséggel)!

f) Egy másik gyártósoron szintén ugyanilyen alkatrészek gyártanak, ahonnan szintén egy 40 elemű mintát veszünk:

51, 50, 50, 45, 48, 51, 52, 55, 54, 50, 51, 51, 51, 55, 49, 47, 46, 50, 50, 55,

45, 45, 46, 49, 50, 52, 51, 51, 50, 50, 50, 49, 50, 51, 52, 55, 45, 50, 53, 50.

Vizsgáljuk meg, hogy van-e különbség a két gyártósorról vett minta várható értéke között?

g) Tekintsük első osztályúnak azokat a termékeket, amelynek átmérője a [48,52] intervallumba esik, illetve másodosztályúnak azokat a termékeket, amelyeknek átmérője ezen intervallumon kívül esik. Vizsgáljuk meg, hogy független-e a minőség attól, hogy melyik gyárban készült az alkatrész!


[1] Balogh Péter: Statisztikai hipotézisvizsgálatok, elektronikus oktatási segédanyag,

http://www.agr.unideb.hu/~baloghp/PhD%20anyagok/parameteres_elmelet.pdf

[2] Baran Sándor: Feladatok a hipotézisvizsgálat témaköréből, mobiDIÁK könyvtár, 2005, elektronikus oktatási segédanyag, http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/barans/oktatas/bsstat.pdf

[3] Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába, Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000.

[4] Fazekas I.: Valószínűségszámítás, Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000

[5] Hajba Tamás, Harmati István, Környei László, Szalay Krisztina: Valószínűség-számítás és

matematikai statisztika, Széchenyi István Egyetem, Műszaki Tudományi Kar, elektronikusjegyzet, 2013. http://rs1.sze.hu/~szalayk/BSc_jegyzet/Valszam_mat_stat.pdf


TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0002 166

[6] Hunyadi L., Mundruczó Gy., Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1996.

[7] Keresztély-Sugár-Szarvas: Statisztika közgazdászoknak példatár és feladatgyűjtemény, II, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005.

[8] Kiss Béla, Krebsz Anna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, 2006, elektronikusjegyzet,

http://www.phys.ubbcluj.ro/~zneda/edu/files/valoszinuseg.pdf

[9] Lukács O.: Matematikai statisztika példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1987.

[10] Nagy Ádám: Matematikai statisztika (Arató Miklós előadásai alapján), 2009, elektronikusjegyzet,

http://people.inf.elte.hu/spigy88/mat_stat_jegyzet.pdf

[11] Nándori Péter (BME), Szabados Tamás (BME), Ratkó István, Kupcsikné Fitus Ilona: Virtuálislaboratóriumok a valószínűségszámítás és statisztika oktatásában,

http://www.math.bme.hu/~nandori/Virtual_lab/stat/

Documents

Kézi Csaba Gábor, Szíki Gusztáv Áron, Vámosi Attila ... · függvények, képletek széles köre alkalmassá teszi matematikai, mérnöki, statisztikai számítások elvégzésére