Embed Size (px)
Citation preview
L-kopas
un
L-vērtīgas struktūras
Aleksandrs Šostaks
Rīga 2001
Anotācija
L-kopas koncepcija ir parastas kopas jēdziena kvalitatīvs vispārinājums.
20.gadsimta 30-60 gados vairāki zinātnieki savos darbos nonāca pie L-kopas jēdziena.
Tradicionāli, tiek uzskatīts, ka galvenie lauri šeit azerbaidžānu izcelsmes āmerikāņu
inženierim Lotfi Zadē, kaut analoģiskas īdējas tika apspriestās arī dažu citu zinātnieku
darbos. Izstrādājot L-kopas koncepciju, viens no pamatmērķiem bija "tuvināt" stingru,
uz abstraktas kopas balstītu teorētiskās matemātikas aparātu dažādu lietišķu
pielietojumu vajadzībām.
Pašlaik L-kopu teorija ir diezgan plaši attīstīta modernās matemātikas daļa,
kurai ir gan savs specifisks pētījumu priekšmets, gan savas specifiskas bet ļoti
aktuālas saiknes ar tradicionāliem matemātikas virzieniem - tādiem, kā topoloģija,
algebra, analīze, u.c., gan arī pielietojumi dažādās, pat šķietasmi tālu stavošās no
teorētiskās matemātikas, zinātnēs - piem. inženieru zinātnēs, socioloģijā, psiholoģijā,
tirgus ekonomikā, bioloģijā, medicinā u.c.
Mūsu kursa mērķis ir iepazīstināt lasītāju ar L-kopu un uz L-kopu balstītiem
struktūru teorijas matemātiskiem pamatiem, aplūkot dažas L-kopu un L-struktūru
saiknes ar citiem matemātikas virzieniem, kā arī īsumā ieskicēt vairākas šīs teorijas
pielietojumu iespējas.
Annotation
The concept of an L-set is a qualitative generalization of an ordinary set. The
notion of an L-set appeared in a natural way in the middle of the 20th
century
independently in the works of several scientists. Traditionally the main benefit is
given to Lotfi Zadeh, an American engineer of Azerbaijan descent, although similar
ideas appear also in the works of some other scientists. When "inventing" the concept
of an L-set, one of the principal merits was to "bridge" in a sense, the tools of "strict",
based on the concept of a set, theoretical mathematics, to its applications, manly of
"human" nature, in other fields of science.
At present the theory of L-sets is a well-developed part of modern mathematics,
with its own, quite specific subject of investigation, and on the other hand, with very
broad and diverse scope of relations to other fields of mathematics, (topology,
algebra, analysis, etc.) Besides, it has numerous nontrivial applications in other areas
of modern science - such as psychology, market economics, biology, medicine, etc.
The aim of the present course is to introduce a reader into the mathematical
background of the theory of L-sets and L-valued structures, to discuss some relations
between this theory with other branches of mathematics as well as to sketch certain
possibilities of applications of this theory in other fields of science.
Satura radītājs
Anotācija 2
0. Ievads 5
0.1.Kāpēc ir vajadzīgas nestriktās kopas? 5
0.2.Nestriktas kopas (L-kopas) “rašanās vēsture. 8
0.3.Ar nestriktām kopām saistīta terminoloģija. 10
0.4.Nestriktās kopas un varbūtība. 10
0.5.Kursa saturs. 11
0.6.Piezīmes. 13
0.7.Pateicības. 13
I daļa: L-kopas 14
1. Nestriktās kopas: Teorijas sākumi. 15
1.1. Nestriktās kopas: pamatdefinīcijas un piemēri. 15
1.2. Nestriktu kopu attēli un pirmtēli. 21
1.3Nestriktās kopas līmeņdekompozīcija. 24
1.4.Nestriktie punkti. 28
2. L-kopas: Teorijas sākumi. 32
2.1.L-kopas: problēmas nostādne un konteksts – režģis L. 32
2.2.L-kopas: definīcija un operācijas ar L-kopām. 35
2.3.L-kopas pirmtēls un attēls. 38
3. L-attiecības (Nestriktās attiecības). 42
3.1.Attiecības “klasiskajā” matemātikā. 42
3.2.L-attiecības (nestriktas attiecības): Definīcija un piemēri. 45
3.3.Operācijas ar L-attiecībām. 50
3.4.L-attiecību svarīgākās speciālās īpašības. 55
3.5.Daži L-attiecību speciālie veidi. 63
4. Reprezentācijas teorēmas. 67
4.1.Kopas G(X,L) definīcija. 67
4.2.Režģa struktūra kopā G(X,L). 67
4.3.Režģa G(X,L) pilnība. 70
4.4.Reprezentācijas teorēma. 71
4.5.Režģa ar involūciju gadījums. 72
5. Turpinājuma princips. 74
6. L-vērtīgie lielumi (Nestriktie lielumi). 79
6.1.Izliektas L-kopas un no augšas pusnepārtrauktas L-kopas. 79
6.2.Aritmētiskās operācijas ar reālas taisnes L-apakškopām. 80
6.3.L-vērtīgie jeb nestriktie lielumi. Aritmētiskās operācijas ar
nestriktiem lielumiem un to -līmeņiem. 84
6.4.Operāciju ar nestriktiem lielumiem algebriskās īpašības. 87
7.L-skaitļi un L-intervāli (Nestriktie skaitļi un nestriktie intervāli). 90
7.1.L-skaitļi (nestriktie skaitļi). 90
7.2.Trīsstūrveida nestriktie skaitļi. 91
7.3.Nestriktie inervāli. 94
II daļa: L-vērtīgas struktūras 96
8.Piemērs: Papildstruktūru izpausme režģī L. 97
9.Režģi ar t-normām un no t-normām atvasinātas struktūras. 103
9.1.t-normas. 103
9.2.Nepārtrauktas t-normas. 107
9.3.Arhimēda t-normas. 110
9.4.Nilpotentas t-normas. 111
9.5.Rezidijs. 114
9.6.Involūcija un t-konormas. 118
10.L-vērtīgas loģikas elementi. 122
10.1.L-vērtīgas loģikas: loģiskās saiknes un patiesuma vērtības
funkcijas. 123
10.2.Dažas konkrētas L-vērtīgas loģikas. 125
10.3.Alternatīvas loģiskas saiknes. 131
10.4.Kvantori. 136
11.L-kopu režģu struktūra no L-vērtīgas loģikas viedokķa. 138
11.1.L-kopu L-vērtīga iekļaušana. 138
11.2.L-vērtīgas vienādības L-attiecība starp L-kopām. 140
11.3.L-kopu L-vērtīga iekļaušana un L-vērtīga vienādība alternatīvu
implikāciju gadījumā. 143
11.4.L-vērtīgas šķēluma un apvienojuma operācijas. 146
11.5.L-vērtīgas operācijas un L-kopu līmeņdekompozīcija. 148
11.6.L-vērtīgas attiecības, L-vērtīgas operācijas un attēlojumi. 148
12.L-vērtīga vienādība un L-vērtīgas kopas. 151
12.1.Pamatdefinīcijas. 151
12.2.Daži “praktiska rakstura” ilustrējoši piemēri. 152
12.3.Ekstensionālas L-kopas. 158
12.4.Ekstensionālie attēlojumi. 160
12.5.Operācijas ar L-vērtīgām kopām. 164
12.6.Ar pseidometriku inducēta L-vērtīga vienādība. 165
Bibliogrāfija 167
1.Pielikums: Režģu teorijas elementi. 171
2.Pielikums: Uzdevumi. 181
5
0. Ievads
0.1. Kāpēc ir vajadzīgas, šīs nestriktas kopas?
Katrs, kurš ir nedaudz studējis matemātiku zina, ka kopas jēdziens parādās visdažādākās
matemātikas jomās. Uz kopas jēdziena balstās gan matemātiskās un funkcionālas analīzes
kursi, gan algebras kurss; kopas koncepcija ir nepieciešama izklāstot ģeometriju, kopas
spēle izšķirošu lomu matemātiskajā loģikā. Kopas jēdzienu izmanto pat elementārajā,
"vidusskolas" matemātikā (piemēram, izklāstot tēmu par nevienādību risināšanu). Bet vai
tik bieži mēs sastopamies ar "īstām" kopām "reālajā dzīvē"? Aplūkosim dažus piemērus.
0.1.1. Piemērs [Latvijas pilsoņu kopa un tas apakškopas] Apskatīsim Latvijas republikas pilsoņu kopu, kuru apzīmēsim ar X. Šaubu nav -
tā ir "īsta" kopa: katrs mūsu Zemē dzīvojošais cilvēks vai nu ir Latvijas pilsonis,
vai nav. Skaidrs, ka šai kopai ir daudz "īsto" apakškopu. Piemēram, apakškopa A,
kas sastāv no pilsoņiem, kuru personas kodā ir skaitlis 5 (diez vai apskatīt šo
apakškopu var būtu kaut kāda "reāla" vajadzība). Cits piemērs - apakškopa B,
kuru sastāda pilsoni, kuriem personas kodā pirmie seši skaitļi ir 13.09.79
(iespējam, ka apskatīt šo kopu varētu rasties arī "reāla" vajadzība.). Bet daudz
"reālāk" izskatīsies nepieciešamība apskatīt kopām līdzīgus veidojumus, kuru
sastāda maznodrošinātie pilsoņi, vai vecie pilsoņi, vai, teiksim, jaunie pilsoņi.
Apskatīsim šīs situācijas sīkāk.
Maznodrošinātie pilsoņi. Mūsu valdība nosaka robežu, aiz kuras cilvēks
skaitās maznodrošināts. Piemēram, pašlaik skaitās, ka maznodrošinātie ir tādi,
kuriem mēneša ienākums uz vienu cilvēku ģimenē nepārsniedz 60 Ls. Bet ja
pārsniedz? Teiksim, ja ienākums uz vienu cilvēku ir 60Ls + 1 santīms? Tad
viņš jau ir labi nodrošināts? Skaidrs, ka pētot reālu situāciju (bet nevis tikai
dalot pabalstus!) jēdzienu "maznodrošināts" vajag traktēt elastīgi - cilvēki var
būt lielāka vai mazākā mērā "maznodrošināti". No situācijas, kad ienākums
mēnesi ir 0 Ls (tādi gadījumi, diemžēl, arī ir iespējami) - absolūti
maznodrošināts; līdz situācijai, kad ienākums mēnesi sasniedz, teiksim 700Ls
uz cilvēka (arī tāds cilvēks var izskatīties "nabags" no kāda līdzpilsoņa
viedokļa!). Tātad maznodrošinātu pilsoņu apakškopa, ja to mēs apskatīsim pēc
būtības, nevis no birokrāta skatījumā, ir nevis īsta "matemātiskā" kopa, bet
kopa ar "izplūdušām", nestriktām robežām.
Vecie un jauni pilsoņi. Kur ir tā robeža, kad cilvēks pārstāj būt jauns? Kur ir
tā robeža, kad cilvēks kļūst vecs? No 16 gadnieka viedokļa meitene 20 gados
jau ir "veca"; bet klausoties vecākas paaudzes cilvēku sarunās var dažreiz
dzirdēt, piemēram: "Viņš (vai viņa) ir vēl pavisam jauns - viņam (viņai) vēl
nav 60 gadi!" Bet varbūt pieņemt "oficiālu pieeju" un pateikt, ka cilvēks ir
vecs, kad viņš sasniedz pensiju vecumu (vīriešiem pašlaik 62 gadi)? Atkal, tā
būs atbilde, kas pilnīgi apmierinās birokrātus, bet absolūti neatbilst reālai
situācijai. Teiksim, Jānis rīt atzīmes savu 62 gadu jubileju. Tad šodien viņš vēl
jauns, bet rīt būs jau vecs? Vai varbūt atļausim viņam vēl vienu dienu pabūt
starp jauniem un uzskatīt viņu par vecu tikai parīt?! Mūsu secinājums arī šajā
gadījumā - vecu cilvēku kopa nav īsta kopa, bet kopa ar izplūdušam robežām -
6
pat vakar dzimušais zīdainis ir "mazliet vecs" salīdinot ar šodien dzimušu un
neviens cilvēks nav absolūti vecs jo pat 160 gadi nav robeža, kuru nevarētu
pārsniegt!
0.1.2. Piemērs [Putni] Kas ir putns? Latviešu konversācijas vārdnīca dod tādu skaidrojumu:
"Putni ļoti labi norobežota mugurkaulnieku klase jeb šķira….Viena no galvenām
putnu īpašībām ir, ka priekšējās ekstrēmitātes pārveidotas spārnos, lai gan ne visi
putni prot lidot. Visai raksturīgs putniem spalvu izveidojums".[Latviešu
konversācijas vārdnīca, 17. Sējums, 34594-34595].
Tātad putnu kopa satur gan tādus būtnes kā lakstīgala un bezdelīga, gan tādas
būtnes, kā pingvīns, strauss, pīle un vista. Bet uzdod sev pašam vai savam
draugam jautājumu: "Kas ir "vairāk putns" - pingvīns vai bezdelīga?" Droši vien
atbildēsiet: "Bezdelīga ir daudz lielākā pakāpē putns, nekā pingvīns, jo pingvīns
pat neprot lidot". Tātad atkal mēs satiekamies ar situāciju kad kopa satur
elementus (putnus), daži no kuriem ir lielākā pakāpē šīs kopas elementi (putni},
nekā citi!
0.1.3. Piemērs [Āboli]. Istabā ir vairāki āboli. Apzīmēsim šo ābolu kopu ar Ā. Es paņēmu vienu ābolu,
teiksim ā1 un iekodu tajā. Vai ā1 pieder kopai Ā? Droši vien, jā. Atkal paņemu ā1,
nokodu lielāku gabalu. Pēc tam vēl un vēl - gabalu pa gabalu kodu ābolā, kamēr
rokās palieka tikai kātiņš un sēkliņas. Ābols ā1 pārstāj eksistēt un kopa Ā vairs
nesatur ābolu ā1! Bet kurš ir tas brīdis, kad ābols pārvērtās par ne-ābolu? Kad es
apēdu pirmo gabaliņu? Vai kad manas rokās bija puse no ābola? Vai kad es
atstāju pēdējo sēkliņu? Diez vai šis moments varētu būt sapratīgi nodefinēts.
Ābols par ne-ābolu pārvērtās pakāpeniski; kopas "ābolu" robeža ir izskalota,
neskaidra.
0.1.4. Nestriktas kopas ideja Pārdomājot iepriekšējos piemērus, lasītājs var pats piedāvāt daudz līdzīgas
situācijas, kad kaut kas kopai līdzīgs, nav īstenībā kopa stingrā matemātiskā
nozīmē, bet "kopa", kurai elementi var piederēt lielākā vai mazākā pakāpē. Tādas
"kopas" mēs sauksim par nestriktām kopām, jeb L-kopām 1 Tieši par nestriktām
kopām būs runa šajā kursā.
0.1.5. L-kopas.
Ar ko mērīsim "elementa" piederību nestriktai kopai? Pieņemsim, ka gribam runāt
par nestriktu kopu K . Ar ko mēs mērīsim pakāpi ar kuru elements x pieder šai
"kopai" K? Varbūt ar reāliem skaitļiem starp 0 un 1 - traktējot izteikumu
"elements x pieder kopai K ar pakāpi 0" kā "elements x nemaz nepieder šai
kopai", traktējot izteikumu "elements x pieder kopai K ar pakāpi 1", kā "elements
x pilnība pieder šai kopai", un attiecīgi traktējot izteikumu "elements x pieder
kopai K ar pakāpi ", kur ]1,0[ , kā "elements x pieder šai kopai ar zināmu
pakāpi "? Tāda pieeja šķiet pietiekoši pamatota situācijā, kad mēs runājam par
7
"kopām" no piemēra 0.1.1. - gan maznodrošinātības pakāpi, gan vecuma pakāpi
var novērtēt ar skaitļiem. (Kā to reāli izdarīt ir cita problēma, risinot kuru vajag
piesaistīt sociologus, ekonomistus, demogrāfus, varbūt arī citus speciālistus.) Bet
vai [0,1] kā pakāpes mērs apmierinās visas situācijas?
0.1.6. Piemērs [Atkal putni] Atgriezīsimies pie "putnu kopas". Piemēram, droši vien visi piekritīs, ka
begemots pieder šai kopai ar pakāpi 0, bet lakstīgala ar pakāpi 1 (Varbūt
ornitologs apstrīdēs arī šo apgalvojumu un pateiks, ka ir putni kuri vairāk putni
nekā lakstīgala un ka begemotam arī ir kaut kas no putna!?). Bet kā ar strausiem,
vistām, pingvīniem, kivi 2 ? Kas no viņiem vairāk putns? Un vispār, kā izmērīt
viņu piederības pakāpi "putnu kopai". Diez vai šeit noderēs reālie skaitļi, lai
izmērītu "attālumu", piemēram, no vistas līdz strausam. Drīzāk šeit dabiski
izmantot speciālas, tieši šai situācijai piemērotas skalas - režģus, par kuriem vēlāk
mēs daudz runāsim un kurus apzīmēsim ar burtu L 3 . Vienīgais, ko mēs vēlamies
norunāt jau pašlaik - ka šīm skalām ir jāsatur vienu minimālu elementu (kuru
parasti apzīmē ar 0) un vienu maksimālu elementu (kuru parasti apzīmē ar 1).
0.1.7. Piemērs [Labu vīnu cienītājiem]. Pieņemsim, ka degustatoram vajag novērtēt vīna kvalitāti un salīdzināt vīnus,
izdalot "LABU VINU KOPU" (LVK) Ļoti iespējams, ka kaut kādu vīnu "a" viņš
raksturos, kā "absolūtais draņķis" un novērtēs ar skalas L elementu 0. Iespējams,
ka baudot kādu, teiksim XVII gadsimtā ražotu un speciāli franču karaļu ģimenei
domātu vīnu, degustators pateiks "izcili !" un novērtēs ar maksimālo skalas
elementu, t.i. 1. Bet kā var salīdzināt, teiksim spāņu " Marques de Riscal
Limousin" , "Baron de Chirel Reserva 95" un "Ochoa Moscatel"? Visi ir
brīnišķīgi vīni, bet ja Marquess ir domāts lietot kopā ar zivju ēdieniem, Barons
patīkami papildinās maltīti, kurā būs cepta teļa gaļa, tad Moscatelu vislabāk
baudīt pēc pusdienām, patīkamā draugu kopmpānijā. Tātad, visiem šiem vīniem ir
jāpiešķir ļoti augstas (t.i. tuvu vieniekam!) atzīmes a, b un c no skalas L attiecīgi,
bet tā, lai neviena no šīm atzīmēm nebūtu augstāka vai zemāka par pārējām.
Secinām: skalā L ir jābūt arī nesalīdzināmiem elementiem!
0.1.8. Piemērs [Gardēžiem] Tiem, kam neinteresē vīni, bet garšo saldumi, padomājiet, ko Jūs darītu, ja jums
vajadzētu (oficiāli!) novērtēt, teiksim fabrikas "Laima" ražojumus. Kādai
konfektei Jūs liktu augstāku atzīmi - "Serenādei" , " Dienvidu naktij" vai
"Lācītim"?. Visas šīs konfektes ir garšīgas (vismaz no šī kursa autoru viedokļa),
bet katrai varētu būt savs brīdis, kad gribas to nogaršot. Tātad, atkal redzam
situāciju, kad vērtējot GARŠĪGU KONFEŠU KOPU" (GKK) mums nācās
izmantot skalas ar nesalīdzinajāmiem elementiem.
0.1.9. Uzdevums.
8
Pārdomājiet paši vairākas situācijās, kad runājot par kaut kādu "kopu" mums
nāksies uztvert to kā "nestriktu", jeb L-kopu. Piemēram, kad kāda definīcija, vai
pazīme izdala nevis parasto kopu, bet "nestriktu" kopu, kopu ar "izskalotām"
robežām.
0.2. Nestriktas kopas (L-kopas) "rašanās" vēsture.
Šajā paragrāfā mēs īsumā apskatīsim nestriktu kopu un ar to saistīto ideju un jēdzienu
rašanas vēsturi. Kaut principā ar nestriktām kopām saistītu ideju parādīšanās var izsekot
jau no senās Grieķijas laikiem (piemēram, uzmanīgi lasot Aristoteļa darbus), šeit mēs
apskatīsim šo vēsturi tikai no XX gadsimta sakumā - tad, kad šīm idejām sāka veidoties
stingrs matemātisks pamats 4 . Un šajā vietā kā pirmo mēs minēsim poļu matemātiķi un
filozofu Jānu Lukasieviču un viņa atklājumu - daudzvērtīgu Loģiku.
0.2.1. J. Lukasievičs [Jan Lukasiewicz] un Daudzvērtīga loģika. Klasiskā matemātika balstās uz bivalences principa: katrs izteikums ir vai pareizs,
vai aplams, trešās iespējas nav. Neviens no apgalvojumiem nevar būt arī
vienlaicīgi pareizs un aplams. Starp citu, tieši uz šā bivalences principa balstās
pieradījums no pretēja, kuru tik bieži un tik labprāt izmanto matemātiķi: pieņemsim, ka apgalvojums A neizpildās un iegūstam pretrunu. Ko tas nozīme -
tikai to, ka apgalvojumam A ir jāizpildās, jo trešās iespējas nav!
Poļu zinātnieks Jāns Lukasievičs bija viens no pirmajiem, kas saprata, ka
matemātiķiem nevajag iemūrēt sevi bivalences rāmjos - vai nu A, vai ne A un
nekāda gadījumā nevar būt gan A (zināma mērā) gan ne A (zināmā mērā).
Sadzīviskā līmenī domājošiem cilvēkiem tas, protams, bija skaidrs arī agrāk - ka
"kaut kas" varētu būt gan labs (zināmā mērā vai no zināmā viedokļa) gan slikts
(zināmā mērā, vai no zināmā viedokļa). Jāna Lukasieviča nopelns bija tas, ka viņš
izstrādāja precīzu matemātisku teoriju, kurā ir atļauts patiesuma funkcijai pieņemt
ne tikai divas vērtības 1 (=jā) un 0 (= nē) bet arī citas, situācijai adekvātas
vērtības. Šo teoriju tagad sauc par Lukasieviča loģiku, vai daudzvērtīgo loģiku 5 .
Par šo loģiku un par tās lomu pētot nestriktās kopas un strādājot ar tām mēs daudz
sīkāk runāsim kursa otrajā daļā.
0.2.2. Maks Bleks [Max Black] un "neskaidrie lielumi". 1937.gadā tika publicēts amerikāņu filozofa Maksa Bleka raksts "Neskaidrība:
loģiskas analīzes uzdevums" [Black], kurā viņš apskatīja lielumus ar neskaidrām
robežām un apsprieda to nepieciešamību diskutējot par dažām ar filozofiju
saistītiem jautājumiem. Šie lielumi, kurus viņš sauca par neskaidriem simboliem
(vague symbols), ir priekšteči speciāla tipa nestriktām kopām - t.s. nestriktiem
lielumiem, kurus mēs studēsim šā kursa 6. nodaļā.
0.2.3. Karls Mengers [Karl Menger] un "miglainie punkti". Vācu matemātiķis, Karls Mengers 1951. gadā nopublicēja darbu [Menger51],
kurā bija skarti t.s. varbūtiskās ģeometrijas jautājumi. Šajā darbā Mengers
izmantoja "izskalotus punktus" jeb ''miglainus punktus", kurus viņš sauca
9
"ensembles flou" (darbs rakstīts franču valodā) un kuri no idejas viedokļa
sasaucas ar "mūsu" nestriktām kopām.
0.2.3. Lotfi Zadē 6 [Lotfi Zadeh] un nestriktas kopas. Īsta nestriktu kopu vēsture sākās ar 1965.gadu, kad tika publicēts amerikāņu
matemātiķa un inženiera Lotfi Zadē raksts [Za65]. Šajā raksta Zadē ieveda
nestriktas kopas koncepciju, izstrādāja nestriktu kopu teorijas pamatus un
apsprieda perspektīvas izmantot tādas "kopas" risinot matemātiskās vadības
uzdevumus. Atšķirībā no agrāk publicētiem darbiem, kur figurēja līdzīgi jēdzieni,
šajā un nākamajos Zadē darbos "nestriktas kopas" ideja ne tikai bija matemātiski
precīzi noformulēta, bet arī tika izstrādātas darbību ar tādām kopām pamatprincipi
(piem. t.s. "Turpinājuma princips". kuru mēs apskatīsim 5. nodaļā).
0.2.4. J. A. Gogēns [J.A. Goguen] un L-kopas. 1967.gada publicētājā rakstā [Go67] autors sāka pētīt "kopas", kuras pieņem savas
vērtībās vispārīgās skalās - režģos L. Līdzīgas "kopas" apskatīja arī krievu
matemātiķis Salijs [Sa]. Atzīmēsim arī, ka Gogēns bija pirmais, kas saprata, ka
pētot L-kopas (tai skaitā nestriktas kopas), attīstot uz to pamata matemātiskās
teorijas un pielietojot tās, bieži ir nepieciešams "bagātināt" skalu L ar monoīda
tipa papildstruktūru. Šo teorijas aspektu mēs iztirzāsim 9.nodaļā.
0.2.5. Nestriktas kopas modernā matemātika un ārpus tās [Ļoti īss pārskats]. Pēc L.Zadē raksta [Za65] publicēšanas 1965.gadā sākās "Nestrikto kopu bums":
pēdējos 35-36 gados tika publicēti desmitiem tūkstošu monogrāfiju un rakstu, kuros
nestriktas kopas tiek pētītas, izmantotas citās matemātiskās nozarēs kā arī citās
zinātnēs (piem. ekonomikā, socioloģijā u.c.). Dažās valstīs (piem. Japānā, ASV,
Vācijā. Austrijā) ir izveidoti speciāli zinātniskie institūti vai laboratorijas, kur
nestriktās kopas tiek pētītas un uz kuru bāzes tiek izstrādātas visdažādākās teorijas
un tehnoloģijas. Piemēram, Japāņu kompānijas ražo gaisa kondicionētājus, veļas
mašīnas, trauku mazgāšanas mašīnas un daudz citas "lietderīgas" ierīces izmantojot
tehnoloģijas, kuras balstās uz nestriktu kopu aparātu. Šajā īsajā ievadā nav
iespējams dot pat ļoti aptuvenu priekšstatu par nestriktu kopu lomu mūsdienu
zinātnē un tehnoloģijā. Interesents var vairāk uzzināt par šiem jautājumiem no
tādām grāmatām, kā, [Ko93], u.c., un protams, arī izstudējot šo kursu līdz beigām!
0.3. Ar nestriktām kopām saistīta terminoloģija
Rakstu par nestriktām kopām lielais vairums, un tai skaitā visas pirmās šai tēmai veltītas
publikācijas uzrakstītas angļu valodā. Angļu valodā nestriktām kopām ir lietots termins
"Fuzzy Set" (resp. L-fuzzy set, kad “kopas” pieņem vērtības skalā L). Angļu vārds
"fuzzy" ir ļoti "īpatnējs", jo tam ir vairākas saistītas, bet tomēr atšķirīgas nozīmes.
Piemērām, Angļu- Latviešu vārdnīca ir atrodami sekojoši šī vārda tulkojumi:
Fuzzy = nestrikts, miglains, pūkains.
Visas vārda "fuzzy" nozīmes atspoguļo dažādus "nestriktas kopas" aspektus. Vārda
"fuzzy" daudznozīmība sagādāja grūtības tulkojot šo terminu citās valodās. Tāpēc daži
autori, rakstot "savā valodā" tomēr atstāj netulkotu vārdu "fuzzy" 7 . Rakstos vācu valodā
10
parasti lieto vārdu "Unscharfe Menge", franciski "Ensemble flou" 8 , krieviski "Нечеткое множество" . Latviešu valodā, pēc daudzām pārdomām un diskusijām mēs
nolēmām palikt pie termina "Nestrikta kopa". Respektīvi, runājot par nestriktām kopām,
kuras pieņem savas vērtības skalā L, mēs terminu "L-nestrikta kopa" parasti saīsināsim
līdz "L-kopa".
0.4. Nestriktas kopas un varbūtība. Dažreiz nācās dzirdēt izteikumus, ka nestriktu kopu teorija ir faktiski nekas cits, kā
pārrakstīta "citā valodā" varbūtību teorija. Šis viedoklis parasti tiek "pamatots" apmēram
šādi:
"Pateikt, ka elements x pieder nestriktai kopai M ar pakāpi ir tas pats, ka pateikt, ka
elements x pieder kopai M ar varbūtību un tāpēc nav jēgas izgudrot jaunus terminus un
pētīt tos, jo tas viss iekļaujas varbūtību teorijas gultnē".
Mēs nekādā gadījumā nevaram piekrist šādam viedoklim. Šeit apskatīsim vienu piemēru
kas ļaus nojaust atšķirību starp izteikumiem "elements x pieder nestriktai kopai M ar
pakāpi " un "elements x pieder kopai M ar varbūtību " Vairāk par to, kas ir kopīgs
abām teorijām (un tām, patiešām ir kaut kas kopīgs), un kas šķir tās, mēs apspriedīsim
vēlāk.
Piemērs. Pieņemsim, ka mums ir divi spēles kauliņi: pirmais - parastais spēles kauliņš,
t.i. kubs, kura skaldnēs ir iezīmēti skaitļi no 1 līdz 6; un otrais - lodītes formā, uz kuras
virsmas vienmērīgi ir izvietoti tie paši skaitļi - no 1 līdz 6.
Pirms mēs metam pirmo kauliņu, varam prognozēt: "varbūtība, ka uz augšējās kauliņa
virsmas būs skaitlis 5 ir 61 " Šeit ir varbūtība savā "tīrā izpausmē". Pēc mešanas
augšēja skaldnē ir kāds skaitlis - 5 vai kāds cits. Ja sauksim par atrisinājumu kopu A
tādu kopu, kas sastāv no cipara, kas ir augšējā skaldnē, tad skaitlis 5 vai nu pieder, vai
nepieder šai kopai: 5A vai 5 A. Viss ir viennozīmīgi skaidrs: process ir noticis un
vairāk šeit nav pamata runāt par varbūtību.
Tagad metam otro kauliņu. Pārdomāsim, sakumā, situāciju, kura izveidojās pēc
mešanas. Mēs skaidri redzam, ka izvietojas cipari uz lodes virsmās. Pieņemsim, ka
skatoties no augšas, mēs labi redzam skaitļi 5, daļēji mēs varam saredzēt skaitļi 3, bet
kaut kur maliņā ir saredzams skaitlis 6. Šajā situācijā varam pateikt apmērām
sekojošo: "Skaitlis 5 pieder iegūto skaitļu kopai ar pakāpi 0,9; skaitlis 3 - ar pakāpi
0,6, skaitlis 6 - ar pakāpi 0,2, bet pārējie skaitļi 1,2,4 - ar pakāpi 0. Šeit realizējas
nestriktas kopas koncepcija.
Galu galā - kāda situācija bija pirms otrā kauliņa mešanas? Šeit izpaužas gan
varbūtiskie aspekti, gan nestriktas kopas koncepcija. Piemēram, šeit mēs varam runāt
par varbūtību, ka pēc mešanas rezultāts būs nestrikta kopa, kura aprakstīta iepriekšējā
rindkopā.
0.5. Kursa saturs
Šis kurss sastāv no ievaddaļas (kuru Jūs pašlaik lasāt), 12 nodaļām, vairums no kurām ir
sadalīts dažos paragrāfos, pielikuma un izmantotas literatūras saraksta.
11
1. un 2. nodaļās tiek izstrādāti nestriktu kopu teorijas pamati; pie tam 1. nodaļā tiek
apskatīts "klasisko" nestrikto kopu gadījums (t.i. nestriktas kopas ar vērtībām vienības
intervālā [0,1] bet 2. nodaļā mēs pievēršam uzmanību vispārīgajai, t.i. L-nestriktu kopu,
jeb L-kopu situācijai - tātad gadījumam, kad nestriktas kopas pieņem savas vērtības skalā
(režģī) L. Lasot šo nodaļu no lasītāja mēs prasām tikai minimālas zināšanas no režģu
teorijas - elementāras definīcijas un dažus rezultātus. Bet, ja tomēr lasītājs jūtas pavisam
"bezspēcīgs" dzirdot terminu "režģis", tad tieši viņam ir rakstīts 1. Pielikums - "Režģa
teorijas elementi", kur ir savākta visa mums nepieciešamā informācija no režģu teorijas.
3. nodaļā tiek apskatītas nestriktās attiecības, jeb L-attiecības. 4. nodaļas saturs ir tā
saucamās "reprezentācijas teorēmas" - teorēmas, kas apraksta vēl vienu būtisku saikni
starp nestriktu kopu teoriju un režģu teoriju. 5.nodaļā apskatīts turpinājuma princips - tā
sauc metodi, kas ļauj, starp citu, operācijas starp kopu elementiem (teiksim, aritmētiskās
operācijas starp skaitļiem) "pacelt", jeb turpināt līdz operācijām ar šīs kopas nestriktām
apakškopām. Gan teorētiskos spriedumos, gan dažādas lietojumos bieži izmanto konkrētu
kopu nestriktās apakškopas. Reālo skaitļu kopas speciālās nestriktās apakškopas tiek
pētītas 6. un 7. nodaļās. Proti, 6.nodaļā mēs apskatām t.s. nestriktos lielumus, un 7.nodaļā
- t.s. nestriktus skaitļus. Šie "skaitļi" dažādās "nestriktās" situācijās spēle lomu,
analoģisku tai, kuru parastie skaitļi spēlē "striktās" situācijās. Gan 6, gan 7 nodaļās mēs
būtiski izmantosim 5.nodaļā izstrādāto turpinājuma principu.
Pirmās 7 nodaļas tiek apvienotas 1.daļā. Atšķirībā no 1.daļas apskatītiem jautājumiem,
2.daļā (kura sastāv no 8-12 nodaļām) režģis L, kurā nestriktās kopas pieņem savas
vērtības (tai skaitā arī režģis L=[0,1]) ir "bagātināts" ar papildstruktūru - t-normu, jeb
konjunkciju. Šī struktūra ļauj dziļāk attīstīt nestriktu kopu teoriju, kā arī konstruēt citas
teorijas, piemērām, t.s. nestrikto loģiku.
8.nodaļā mēs apskatīsim vienu piemēru, kas liecinās par to, ka ir situācijas, kad dabiski ir
"bagātināt" režģi L ar papildstruktūru un apskatīsim dažas no šīm struktūrām. Nopietnai
tāda veida struktūrai (kuru sauc par t-normu) un attiecīgām atvasinātām struktūrām ir
veltīta apjomīga 9.nodaļa.
10.nodaļā, pamatojoties uz iepriekš iegūtiem rezultātiem, it sevišķi izmantojot 9.nodaļā
izstrādātas koncepcijas un saiknes, tiek izklāstīti nestriktās loģikas pamati. Savukārt,
nestriktā loģika atļauj atgriezties pie nestriktām kopām un paskatīties uz tām no jauna
redzesloka - šiem jautājumiem ir veltīta 11.nodaļā.
Pēdējā, 12. nodaļā mēs apskatām L-vērtīgas kopas un to nestriktās apakškopas. Par L-
vērtīgām kopām mēs saucam parastas kopas, kurās tiek ieviesta t.s. L-vērtīga vienādība -
attiecība, kas kvalitatīvi vispārina parasto vienādību "= " un ļauj matemātiski precizēt,
teiksim, tādu izteikumu kā "šie divi objekti ir lielā mērā vienādi" vai "šie skaitļi ir gandrīz
vienādi".
1. Pielikums satur režģu teorijas pamatus kuru zināšana ir nepieciešama, lai dziļāk
izprastu kursa saturu.
2. pielikums satav no diviem individuālu uzdevumu komplektiem.
Drīzumā mēs plānojam papildināt šo kursu vēl ar divām daļām (III un IV daļas) un trešo
pielikumu. Trešajā daļā tiks apskatīti nestriktu un L-vērtīgu kopu teorijas pielietojumi un
12
interpretācijas dažu konkrētu matemātisku struktūru kontekstā, un pirmkārt, sakarā ar
topoloģijas, abstraktas algebras un funkcionālas analīzes struktūrām. Ceturtajā daļā tiek
plānots apspriest dažus nestriktu un L-vērtīgu kopu teorijas pielietojumu jomas. Trešajā
pielikumā tiks apspriesti daži "filozofiskie" nestriktu kopu aspekti. Tai skaitā šeit mēs
apspriedīsim dažus momentus, kas vieno, un kas šķir nestriktu kopu (L-kopu) teoriju un
varbūtību teoriju
0.6. Piezīmes. 1. Prefiksa L pāradīšana tiks pamatota vēlāk.
2. Kivi - vienīga no būtnem, kuru speciālisti pieskaita pie putniem, un kuram spalvas
vietā ir vilna.
3. No angļu "lattice" - režģis.
4. Atgādināsim, ka pats (abstraktas) kopas jēdziens ieiet matemātikā XIX gadsimta
pašās beigās un XX gadsimta sakumā saka. Sk. Georga Kantora darbus..
5. Īstenībā jēdziens mūsdienu matemātikas izpratnē "Daudzvērtīga loģika" ir plašāks
nekā jēdziens "Lukasieviča loģika"; vēlāk mēs atgriezīsimies pie šī jautājuma.
6. Lotfi Zadē starp nestriktu kopu pētniekiem un lietotājiem ir savā ziņā “elks”. Tāpēc
īsumā pastāstīsim viņa biogrāfiju. Lotfi Zade ir dzimis 1921. gadā Bakū
(Azerbaidžanā, toreiz Padomju Savienībā) biznesmeņa ģimenē; pēc tautības viņš ir
irānis. (Interesanta sagādāšana: Maks Bleks arī ir dzimis Bakū - 1909.gadā!) Laika
posmā no 1931. gada līdz 1944. gadam Zadē ģimene dzīvoja Irānā. Lotfi apmeklēja
reliģisku (presvitērijas) skolu. 1942.gadā Lotfi iegūva bakalaura grādu elektriskajā
inženierijā Teheranas universitātē. 1944.gada Zadē ģimene emigrēja uz ASV. 1946
gadā Lotfi ieguva maģistra grādu, bet 1951.gada - Kolumbijas universitātes doktora
gradu (arī elektriskajā inženierijā). 1963. Zadē tika ievelēts par Berklijas
universitātes elektriskās inženierijas nodaļas vadītāju, šajā nodaļā viņš strādā arī
pašlaik.
1956.gada Zadē iepazinās ar Stefenu Klīni [Stephen Kleene], tā laika vadošo
speciālistu daudzvērtīgā loģikā. Draudzība ar Klīni ļoti iespaidoja Zadē zinātniskās
intereses un viens no būtiskiem šīs draudzības rezultātiem bija Lotfi ideja izmantot
daudzvērtīgas loģikas principus elektriskajā inženierijā. Ar laiku šīs jaunās idejas un
intereses attīstijās nopietnā teorijā un 1965.gadā publicētājā darbā realizējās
nestriktās kopas koncepcijā. Atzīmēsim, ka Zadē arī tagad, neskatoties uz saviem 80
gadiem, ir sportisks, aktīvs cilvēks, Viņš turpina strādāt zinātnē, bieži piedalās
dažādās konferencēs, kurās tiek skarti nestriktu kopu teorijas un to lietojumu
jautājumi. Zadē brīvi pārvalda persiešu, angļu, krievu un franču valodas.
7. Tas, piemēram ir tipiski rakstiem ķīniešu vai koriešu valodās: starp daudziem
hieroglifiem tik patīkami šad tad ieraudzīt "saprotamu" vardu "fuzzy”!
8. Kaut šis termins franču valodā ir lietots arī citā situācija, kuru mēs minēsim 4.nodaļā
8.5. Pateicības.
Uzskatu par patīkamu pienākumu pateikties šeit vairākiem cilvēkiem, kuri vienā vai otrā
veidā iespaidoja šī darba tapšanu.
13
Vispirms es gribu izteikt pateicību saviem studentiem, kuri klausījās manus kursus "Fazi
kopas un struktūras I, II" un "L-vērtīgas kopas un L-struktūras", aktīvi piedalījās manos
semināros un kuru pierakstus es izmantoju sagatavojot šos materiālus. Personīgi vēlos
šeit atzīmēt Ansi Grasmani (1990/91 māc.g), Ingu Balodi (1997/98. māc.g), un Sergeju
Solovjovu, Jāni Valeini, Agri Pļaviņu un Ingrīdu Uļjani (2000/2001.māc. g.).
It sevišķi grību pateikties savai maģistrantei Ingrīdai Uļjanei par rūpīgu šī darba
izlasīšanu un tā rediģēšanu - gan literāru, gan metodisku. Ingrīda arī ir visu darbā
iekļauto zīmējumu, tabulu un diagrammu autore. Viņai pieder arī 1. Pielikums "Režģu
teorijas elementi".
Tālāk, esmu priecīgs izteikt sirsnīgu pateicību saviem kolēģiem un draugiem - Ulriham
Hohle (Bergishes Universitāte, Vācijā), Horstam Herrliham un Hansam Porstam
(Brēmenes universitāte, Vācijā), Radko Mesiaram (Bratislavas tehniskās universitāte,
Slovākija), Tomašam Kubiakam (Poznaņas universitāte, Polijā), Mariangeles. de Prada
Vicentei un Havieram Gutierrezam (Basku universitāte, Bilbao, Spānijā) par daudzām
vērtīgām diskusijām , kurās tika apspriesitas šajā darbā iekļautās problēmas.
Un visbeidzot, izsaku patiesu pateicību LU profesoram Agnim Andžānam par
piedāvājumu izstrādāt šī kursa INTERNET versiju LIIS projekta ietvaros un par atbalstu
šim darbam., un Julitai Klušai par darba ievietošanu INTERNETā.
I daļa
L-kopas
15
1. Nestriktas kopas: Teorijas sākumi
1.1. Nestriktas kopas: pamatdefinīcijas un piemēri
Ievadā mēs esam apskatījuši vairākas situācijas, kas noved pie nepieciešamības
paplašināt kopas jēdzienu un ļaut "kopai" būt arī ar nestriktām, "izskalotām" robežām. Šī
paragrāfa pamatmērķis ir stingri, matemātiski precīzi nodefinēt nestriktas kopas jēdzienu
un ilustrēt to ar dažiem piemēriem. Bet pirms mēs to darīsim, mēģināsim no jauna
pārdomāt klasisku situāciju - kad aplūkojam parastas kopas parastas apakšķopas.
1.1.1. Klasiskā situācija:
Ir dota kopa X un šīs kopas apakškopa XA . Tad šo apakškopu A var viennozīmīgi
raksturot ar tās harakteristisko funkciju A - proti ar funkciju
A : X {0,1} kura ir
definēta sekojoši:
A (x) =
A xja ,0
ja ,1 Ax
(sk.1.zīmējumu)
1
0A
x
1.zīmējums.
Izmantojot šo funkcionālo interpretāciju, ir iespējams arī aprakstīt ar harakteristisko
funkciju palīdzību visas ar kopām saistītās operācijas. Proti, pieņemsim, ka A,B X .
Tad viegli ir pārbaudīt, ka
BA = max ( A , B ),
(tātad, divu kopu apvienojumam atbilst šo kopu harakteristisku funkciju maksimums)
BA = min ( A , B ),
(tātad, divu kopu šķēlumam atbilst šo kopu harakteristisku funkciju minimums)
BA\ = max{ A - B , 0}.
(tātad, divu kopas starpībai atbilst šo kopu harakteristisku funkciju attiecīga starpība, pie
tam starpības negatīvas vērtības tiek aizvietotas ar 0).
Gadījuma, kad pirmās kopas lomā figurē visa kopa X, iegūstam papildinājuma
harakteristisko funkciju:
BX \ = 1 - B .
16
A B
1
0 x
BA
2.zīmējums
.
1
0A
x
AB
B
BA
3.zīmējums.
1
0A
x
B
AB
BA
4.zīmējums.
A B
1
0 x
A\B
BA\
5.zīmējums.
B
1
0 x
BX \
6.zīmējums.
Pirmās divas no šīm operācijām viegli vispārināt bezgalīgām kopu saimēm. Proti,
pieņemsim, ka { IiAi : } ir kopas X apakškopu saime, ii A ir šo kopu apvienojums,
un ii A ir šo kopu šķēlums, tad
iA =
iAi sup un iA
= iinfiA .
1.1.2. Nestriktas kopas: pirmais tuvinājums definīcijai:
17
Pamanot šo dabisko savstarpējo atbilstību starp kopas X apakškopām A un attiecīgām
harakteristiskām funkcijām, mēs varam spert pirmo soli, lai izprastu, kas varētu būt
"nestrikta kopa", jeb kopa ar nestriktām, izskalotām robežām.
Proti, ar kopas X nestriktu apakškopu mēs sapratīsim "kaut ko" A tādu, kas raksturojas ar
vispārinātu harakteristisku funkciju A : X [0,1]. Pie tam, ja kādam punktam Xx
izpildās A (x) = 1, tad mēs to (intuitīvi) uztveram, ka punkts x pilnībā pieder nestriktai
kopai A. Tālāk, ja punktam Xx izpildās A (x) = 0, tad mēs (intuitīvi) uztveram, ka
punkts x nemaz nepieder nestriktai kopai A. Un vispār, ja A (x) = , kur ,10 tad
mēs to interpretējām, ka punkts x pieder nestriktai kopai A ar pakāpi , kas varētu būt
lielāks vai mazāks skaitlis starp 0 un 1.
Tā, vai apmēram tā nestriktas kopas tika definētas pirmajos rakstos par šo tēmu - sk.,
piemērām, [ZA65], [ZA68] u. c.
Bet, kā zināms, matemātiķi vienmēr cenšas strādāt ar precīzi definētiem objektiem, un
pēc iespējas izvairīties no tādiem neprecīziem izteikumiem, kā "kaut ko" , "kaut kas",
u.t.t., it sevišķi kad tie tiek izmantoti definīcijā: definīcijai ir jābūt precīzi noformulētai!
Kā to var izdarīt mūsu situācijā? Šeit varētu būt dažādi risinājumi, bet visvienkāršākais,
un laikam, arī visērtākais ir vienkārši identificēt kopas X nestriktu apakškopu A (kas
pagaidām ir vēl kaut-kas mistisks!) ar šīs kopas harakteristisko funkciju A : X [0,1]
(kas ir "labi taustāma" katram matemātiķim!). Un ja nestrikta kopa A ir tas pats kas tās
harakteristiskā funkcija A , tad nav vērts arī apzīmējumos atšķirt A un
A , un mēs
varam izmantot nestriktām kopām vienu burtu - nolemsim, kā kopas X nestriktām kopām
mēs parasti izmantosim lielos latīņu burtus A,B,C, M,N, P u.t.t., un precīzi definēsim
nestriktas kopas jēdzienu, kā arī operācijas ar nestriktām kopām.
1.1.3. Nestriktas kopas definīcija
Par kopas X nestriktu apakškopu sauc attēlojumu M: X ]1,0[
1.1.4. Operācijas ar nestriktām kopām.
Ja M,N: X ]1,0[ ir divas kopas X nestriktas apakškopas, tad
par M un N apvienojumu sauc nestriktu kopu M N: X ]1,0[ , kuru definē sekojoši:
(M N)(x) = max (M(x),N(x));
par M un N šķēlumu sauc nestriktu kopu M N: X ]1,0[ , kuru definē sekojoši:
(MN)(x) = min (M(x),N(x));
par nestriktas kopas M papildinājumu kopā X sauc nestriktu kopu Mc : X ]1,0[ ,
kuru definē sekojoši:
Mc(x) = 1 - M(x).
saka, ka nestrikta kopa M ir nestriktas kopas N apakškopa, ja NM (t.i.,
ja )()( xNxM visiem Xx )
(sk. zīmējumus 7., 8., 9., 10.)
18
1
x
M(x) N(x)
7.zīmējums.
1
x
MN(x)
8.zīmējums.
1
x
MN(x)
9.zīmējums.
1
x
M(x)
)(xM c
10.zīmējums.
Bezgalīgas nestrikto kopu saimes gadījumā apvienojumu un šķēlumu definē izmantojot
suprēmu un infīmu attiecīgi maksimuma un minimuma vietā:
Ja {Mi: Ii } ir kopas X nestriktu apakškopu saime, tad šīs saimes apvienojumu iM
un šķēlumu iM definē, sekojoši:
iM (x) = sup{ iM (x): i I };
iM (x) = inf{ iM (x) : i I }.
Turpmāk ar F(X) mēs apzīmēsim kopas X visu nestriktu apakškopu saimi. (Burts F no
angļu termina "Fuzzy set".)
1.1.5. Parastas (klasiskās) kopas kā nestriktas kopas:
Paplašinot kopas jēdzienu mēs, protams, gribam lai jaunais jēdziens (proti, nestrikta
kopa) iekļautu sevī kā speciālu gadījumu parastas kopas jēdzienu. Un tās patiešam ir - kā
tikko esam norunājuši, mēs identificēsim kopas X apakškopu A ar tās harakreristisku
funkciju 0,1X: A . Turpmāk, runājot par parastām kopām nestriktu kopu kontekstā,
mēs izmantosim gan tradicionālo pierakstu A gan arī lietosim pierakstu
1,00,1X: A , identificējot kopu ar to pārstāvošo harakteristisko funkciju.
1.1.6. Operāciju ar nestriktām kopām pamatīpašības.
Operācijām ar parastām kopām piemīt vairākas svarīgas īpašības: Piemēram, skaidrs, ka
apvienojuma un šķēluma operācijas ir savā starpā distributīvas:
19
(A CB ) = ( )() CBCA ;
CBA )( = )()( CBCA
jebkurām kopām A,B un C.
Līdzīgas īpašības piemīt arī operācijām ar nestriktām kopām: Ja A, B, C )(XF , tad
CBA )( = )()( CBCA ;
CBA )( = ( )() CBCA .
Šīs īpašības izpildās ne tikai divu, bet arī bezgalīgas nestriktu kopu (un protams arī
parasto kopu!) saimes gadījumā:
1.1.6. Apgalvojums. Ja iA{ : }Ii ir kopas X nestriktu kopu saime un B ir kopas X
nestrikta apakškopa, tad
BAii )( = i ( iA )B ;
BAii )( = )( BAii .
Pierādījums:
Mēs pierādīsim tikai pirmo no divām vienādībām, otro atstājot lasītājam.
Pieņemsim, ka kādam punktam Xx un kādam ]1,0[ izpildās nevienādība:
( BAii )( )(x) . Tad B(x) un katram 0 var atrast 0i I tādu, ka
0iA (x) - un tāpēc BAii )( - . Skaidrs, ka tad
i ( iA )B (x) (0i
A B)(x) - . Tā ka šī nevienādība izpildās katram 0 , tad arī 1
i ( iA )B (x) un tātad ( BAii )( )(x) i ( iA )B (x).
Otrādi, ja i ( iA )B (x)) , tad )(xB un katram 0 var atrast 0i I tādu, ka
0iA (x) - un tāpēc BAii )( - . Ņemot vērā ka šī nevienādība izpildās katram
0 , varam secināt, ka ))(( xAii un tātad ( BAii )( )(x) i ( iA )B (x). Līdz
ar to vienādība BAii )( = i ( iA )B ir pierādīta.
Pirmā būtiskā atšķirība starp operācijām nestriktu kopu saimē F(X) ar operācijām parasto
kopu saimē P(X) parādās tad, kad sākam runāt par nestriktu kopu papildinājumiem. Proti,
ja A ir kopa un Ac = X \ A ir kopas A papildinājums (universālajā) kopā X, tad,
acīmredzot, A cA = X un A cA = 0 . Šīs īpašības analogs nestriktu kopu saimē F(X)
būtu vienādības A cA =1 X un cAA = 0 X , jo tieši konstantas funkcijas 1 X un 0 X
atbilst visai kopai un tukšai kopai. Bet skaidrs, ka šīs vienādības neizpildās jebkurām
nestriktām kopām: pietiek kaut paņemt nestriktas kopas A lomā jebkuru konstantu
funkciju X , kas atšķiras gan no 1 X , gan no X0 : tad ( X ) c = 1- X un tātad
X X c x1 ; X
X c X0 . (Ar X mēs apzīmējam konstantu nestriktu kopu,
kuras vērtība ir .)
20
1.1.7. Nestriktu kopu koncentrācija un izstiepšana:
Iepriekšējos paragrāfos mēs apskatījām apvienojuma, šķēluma un papildinājuma
operācijas nestriktām kopām. Pie tam definējot šīs operācijas mēs visu laiku paturam
prātā attiecīgas operācijas ar parastām kopām, ņemot tās par paraugu un prototipu. Tomēr
nestriktas kopas jēdziens ir daudz plašāks par parasto kopu un tāpēc dabiski gaidīt, ka
nestriktām kopām varētu būt arī operācijas, kurām nav saturīga analoga parasto kopu
kontekstā. Šeit mēs apskatīsim divas tāda veida operācijas: koncentrāciju un izstiepšanu.
Definīcija: Ja M: ]1,0[X ir kopas X nestrikta apakškopa, tad par šīs nestriktās kopas
koncentrāciju sauc nestriktu kopu Con M: ]1,0[X kuru definē ar formulu
Con M(x)= )(2 xM .
Definīcija: Par nestrikta kopas M izstiepšanu sauc nestriktu kopu Dil M: ]1,0[X
kuru definē ar formulu
Dil (M)(x) = )(xM .
Uzskatāmi šīs operācijas var interpretēt sekojošā zīmējumā:
1
10
M
1
10
M2
1
10
M
11.zīmējums.
Skaidrs, ka parastām kopām tādām operācijām nav saturīgas nozīmes: Ja XA tad
attiecīga nestrikta kopa ir A . Bet tad acīmredzot, gan A2 = A , gan A = A .
Uzdevums: Dodiet koncentrācijas un izstiepšanas operācijām uzskatāmu interpretāciju.
21
1.2. Nestriktu kopu attēli un pirmtēli
Klasiskajā matemātikā, strādājot ar kopām bieži ir jāsastopas ar nepieciešamību runāt par
kopu attēliem un pirmtēliem. Dabiski, līdzīga problēma parādīsies arī strādājot ar
nestriktām kopām. Tāpēc vajag precīzi noformulēt, ko mēs sapratīsim ar nestriktas kopas
pirmtēlu un attēlu. Ķersimies pie šī jautājuma. Mēs sāksim ar nestriktas kopas pirmtēlu,
kā vienkāršāko no divām definīcijām.
1.2.1. Nestriktas kopas pirmtēls.
Apskatīsim šādu situāciju. Ir dotas divas kopas X un Y un attēlojums YXf : . Tālāk,
pieņemsim, ka B ir kopas Y nestrikta apakškopa, t.i. ]1,0[: YB .
Definīcija Par nestriktas kopas B pirmtēlu ar funkciju YXf : sauc kopas X nestriktu
apakškopu )(1 Bf := ]1,0[: XfB (sk. 12.zīmējums.):
12.zīmējums.
f-1
(B) B
0 1
X Yf
Tātad nestriktas kopas pirmtēls ar funkciju YXf : ir šīs funkcijas kompozīcija ar doto
nestrikto kopu.
Šī definīcija nav nejauša - tā labi saskaņojas ar parastas kopas pirmtēla definīciju. Proti,
pieņemsim, ka YXf : , YB un )B(1f X ir kopas B pirmtēls. Tad, izmantojot
pierakstu ar harakteristiskām funkcijām, viegli pārbaudīt, ka )(1 Bf = fB . Tātad,
nestriktas kopas pirmtēla definīcija vispārina parastas kopas pirmtēla definīciju.
Uzdevums Pierādiet iepriekšējā rindkopā formulēto vienādību
)(1 Bf = fB .
1.2.2. Nestriktas kopas attēls.
Definīcija Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un ]1,0[: XA ir kopas X nestrikta
apakškopa. Tad par nestriktas kopas A attēlu ar funkciju f sauc kopas Y nestriktu
apakškopu )(Af : ]1,0[Y , kuru definē ar formulu:
)(Af (y) = sup {A(x): f(x) = y }
(sk. 13.zīmējums.)
22
13.zīmējums.
f(A)A
0 1
X Yf
(Šeit un turpmāk tukšas kopas suprēms ir definēts kā 0 : 0sup = 0, un tukšas kopas
infīms ir definēts kā 1: 0inf = 1.)
Pirmajā brīdī šī definīcija var likties pārāk sarežģīta un "dīvaina". Taču tā arī nav nejauša
jau tāpēc vien, ka tā labi saskaņojas ar parastas kopas attēla definīciju. Proti, pieņemsim,
ka YXf : , XA un )A(f Y ir kopas A attēls. Tad, izmantojot pierakstu ar
harakteristiskām funkcijām, viegli pārbaudīt, ka )( Af = )( Af . Tātad, nestriktas kopas
attēla definīcija vispārina parastas kopas attēla definīciju.
Uzdevums Pierādiet, iepriekšējā rindkopā formulēto vienādību
)( Af = )( Af ,
kur XA un YXf : ir attēlojums.
1.2.3. Nestriktu kopu attēlu un pirmtēlu īpašības.
Daudzas no nestriktu kopu attēlu un pirmtēlu īpašībām ir pilnīgi analoģiskas parasto kopu
pirmtēlu un attēlu attiecīgām īpašībām.
Teorēma Ja 1M , 2M , M )(XF , 1N , 2N , N )(YF un YXf : ir attēlojums, tad
1. (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M );
2. (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M );
gadījumā,ja YXf : ir injekcija, tad (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M ).
3. ( cMf ))( )( cMf ;
gadījumā, ja YXf : ir injekcija, tad )( cMf = ( cMf ))( ;
4. )( 21
1 NNf = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf ;
5. f )( 21
1 NN = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf ;
6. )(1 cNf = cNf ))(( 1 .
Pierādījums.
1. Skaidrs, ka ja NM , )(, XFNM tad )()( NfMf . Tāpēc, lai pierādītu
vienādību (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M ), pietiek pārbaudīt nevienādību
(f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ).
Pieņemsim, ka (f1M
2M )(y) > kādam y Y un L ; tad pēc nestriktas
kopas attēla definīcijas atradīsies Xx tāds, ka )()( 21 xMxM > . Bet no
23
šejienes var secināt, ka vismaz viens no skaitļiem )(un )( 21 xMxM ir lielāks par .
Pieņemsim, ka )(1 xM > . Tad, vēlreiz izmantojot nestriktas kopas attēla definīciju,
iegūstam (f1M ) (f
2M )(y) (f1M )(y)> un tāpēc
(f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ).
2. Nevienādība (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ) ir acīmredzama; pretējā nevienādība
neizpildās pat parasto kopu gadījumā. (Konstruējiet attiecīgu piemēru!). Pieņemsim
tagad, ka YXf : ir injekcija un ( (f1M ) (f
2M ))(y) > kādam y Y un
]1,0[ . Ņemot vērā, ka f it injekcija, atrādīsies viens vienīgais Xx tāds, ka
f(x)=y; bet no nestriktas kopas attēla definīcijas varam secināt, ka
)(un )( 21 xMxM . Tāpēc arī ))(( 21 xMM > un, vēlreiz atsaucoties uz
attēla definīciju, f ))(( 21 yMM > . Līdz ar to ir pamatota nevienādība
(f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ), un tātad arī vienādība
(f1M
2M )= (f1M ) (f
2M ) injekcijas gadījumā.
3. cMf ))( (y) = yxfx )(:
sup )(xM c = yxfx )(:
sup (1 - )(xM ) = 1-yxfx )(:
inf )(xM 1-
yxfx )(:
sup )(xM = = 1- )(Mf (y) = ( )(Mf )c(y).
Gadījumā, ja YXf : ir injekcija, dotajam y eksistē tikai viens x tāds, ka f(x)=y,
un tāpēc iepriekšējā formulu virknē nevienādība var tikt aizvietota ar vienādību.
4. No pirmtēla definīcijas ir skaidrs, ka katram Xx
)( 21
1 NNf (x) = ))()(( 21 xfNN ))(())(( 21 xfNxfN
)( 1
1 Nf (x) )( 2
1 Nf (x)
un tāpēc )( 21
1 NNf = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf .
5. un 6. formulas var viegli pieradīt pēc analoģijas ar iepriekšējo formulu.
24
1.3. Nestriktas kopas līmeņdekompozīcija.
1.3.1. Nestriktas kopas līmeņdekompozīcija un nestriktas kopas konstruēšana no
līmeņiem.
Pieņemsim ka X ir kopa un A: X [0,1] ir šīs kopas nestrikta apakškopa. Tālāk,
nofiksēsim kādu [0,1] un apskatīsim kopas X apakškopu A = {x : A(x) }. Kopu
A sauc par nestriktas kopas A -līmeni. Līdzīgi var aplūkot kopu A = {x : A(x) > },
kuru sauc par nestriktas kopas A stingro -līmeni. Skaidrs, ka
ja , ])1,0[,( tad AA , AA un .
AA
Tātad, katrai kopas X nestriktai kopai A atbilst divas dilstošas parasto X kopas apakškopu
sistēmas { A : ]1,0[ } un { A : ]}1,0[ ; pie tam skaidrs, ka 0A =X un 1A 0 .
Sk.14.zīmējumu:
14.zīmējums.
1
0
M
x
M
Precīzu aprakstu par sakarību starp nestriktām kopām un šo nestrikto kopu līmeņkopu
sistēmām satur šādas divas teorēmas:
1.3.2. Teorēma Pieņemsim, ka ir dota kopas X nestrikta apakškopa M: X ]1,0[ un
M ={ )(: xMx }, kur ]1,0[ , ir tās -līmenis. Tad līmeņu sistēmai
{ M : ]1,0[ } izpildās sekojošas īpašības:
(1LD) XM 0 ;
(2LD) sistēma { M : ]1,0[ } ir (nestingri) dilstoša: ja , ])1,0[,( tad
M M ;
(3LD) sistēma { M : ]1,0[ } ir pusnepārtraukta no apakšas sekojošā nozīmē:
M =
M katram ]1,0( .
Otrādi, ja kopā X ir dota dilstoša pusnepārtraukta no apakšas kopu sistēma
{ M : ]1,0[ } un 0M = X, tad ar formulu
M(x) := sup{ ]1,0[ : x M }
tiek definēta nestrikta kopa M. Pie tam M = M katram ]1,0[ .
25
Pierādījums.
Ja M: X ]1,0[ ir kopas X nestrikta apakškopa un { M : ]1,0[ } ir tās
līmeņdekompozīcija, tad īpašības (1LD) un (2LD) ir acīmredzamas. No īpašības (2LD) ir
skaidrs arī, ka M
M . Lai pierādītu īpašību (3LD) tāpēc pietiek pārbaudīt
iekļaušanu M
M .
Pieņemsim, ka Mx , tad )(xM , un tātad atradīsies tāds, ka arī
)(xM . Līdz ar to Mx un x
M .
Pieņemsim tagad, ka kopas X apakškopu sistēma { M : ]1,0[ } ir (nestrikti) dilstoša,
pusnepārtraukta no apakšas un 0M = X, un definēsim nestriktu kopu ]1,0[: XM ar
formulu M(x) := sup{ ]1,0[ : x M }. No definīcijas ir skaidrs, ka ja x M , tad arī
x M un tātad M M . Otrādi, pieņemsim, ka x M . Tad no saimes
{ M : ]1,0[ } pusnepārtrauktības seko, ka x M arī kādam . Ņemot vērā
saimes { M : ]1,0[ } monotonitāti un nestriktas kopas M definīciju, varam secināt, ka
)(xM un tātad Mx .
1.3.3. Teorēma Pieņemsim, ka ir dota kopas X nestrikta apakškopa M: X ]1,0[ un M ={ )(: xMXx }, kur ]1,0[ , ir tās stingrais -līmenis. Tad līmeņu sistēmai
{ M : ]1,0[ } izpildās sekojošas īpašības:
(1LD
) 1M 0 ;
(2LD
) sistēma { M : ]1,0[ } ir (nestigri) dilstoša: ja , ])1,0[,( tad
M M ;
(3LD
) sistēma { M : ]1,0[ } ir pusnepārtraukta no augšas sekojošā nozīmē: M =
M katram ]1,0( .
Otrādi, ja kopā X ir dota dilstoša pusnepārtraukta no augšas apakškopu sistēma
{ M : ]1,0[ } un 1M =0 , tad ar formulu M(x) := inf{ ]1,0[ : x M } tiek
definēta nestrikta kopa M. Pie tam M = M katram ]1,0[ .
1.3.4. Uzdevums: Pierādiet šo teorēmu pēc analoģijas ar iepriekšējo teorēmu.
26
1.3.5. Operācijas ar nestriktām kopām un līmeņdekompozīcija.
Nestriktu kopu dekompozīcija līmeņos spēlē lielu lomu visās situācijās, kurās ir
iesaistītas nestriktas kopas. Tāpēc aktuāls kļūst jautājums, ka uzvedas nestriktu kopu
līmeņi attiecībā pret dažādām darbībām ar nestriktām kopām. Sekojošās teorēmas dod
zināmu atbildi uz šo jautājumu.
1.3.6. Teorēma Pieņemsim, ka ]1,0[:, XNM ir kopas X nestriktas apakškopas un
].1,0[ Tad )( NM = M N un )( NM = M N .
Pierādījums:
Pārliecināties par šo vienādību pareizību var sekojoši:
x )( NM )( NM ( x ) )(xM vai N )(x x M vai
x N x M N .
x )( NM ))(( xNM )(xM un N )(x x M un
x N x M N .
Šo teorēmu var (daļēji) vispārināt bezgalīgām nestriktu kopu saimēm:
1.3.7. Teorēma Pieņemsim, ka iM : X [0,1], Ii , ir kopas X nestriktu kopu saime un
].1,0[ Tad )( iIi M Ii
iM
)( un )( iIi M
= Ii
iM
)( .
Pierādījums:
x Ii
iM
)( Ii tāds, ka x )( iM Ii tāds, ka )(xM i
)(xM iIi x )( iIi M .
x Ii
iM
)( Ii x )( iM Ii )(xM i ))(( xM iIi
x )( iIi M .
Sekojošais piemērs radā, ka nestriktu kopu bezgalīgas saimes apvienojuma gadījumā
vienādība vispār varētu arī nebūt:
1.3.8. Piemērs. Brīvi izvelētā netukšā kopā X apskatīsim nestriktu kopu saimi
nM n :{ N, 3n }, kur n
M n
1
2
1 . Tad
2
1 nM un tāpēc
21)( nM = X, bet
21)( nM = 0 katram n N, un tāpēc 0
2
1 nM .
Līdzīgas teorēmas izpildās arī par nestriktu kopu stingriem -līmeniem:
1.3.9. Teorēma Pieņemsim, ka ]1,0[:, XNM ir kopas X nestriktas apakškopas un
].1,0[ Tad )( NM = M N un )( NM = M N .
27
1.3.10. Teorēma Pieņemsim, ka iM : X [0,1], Ii , ir kopas X nestriktu kopu saime
un ].1,0[ Tad )( iIi M = Ii
iM
un )( iIi M Ii
iM
1.3.11. Uzdevums: Pierādiet divas pēdējās teorēmas un konstruējiet piemēru, kas rāda,
ka pēdējā formulā vienādības var arī nebūt.
1.3.12. Nestriktu kopu attēli un pirmtēli un līmeņdekompozīcija.
Apskatīsim tagad, ka uzvedas nestriktu kopu dekompozīcija līmeņos attiecībā pret
nestriktu kopu attēliem un pirmtēliem.
1.3.13. Teorēma. Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un )(XFM . Tad katram
]1,0[ izpildās iekļaušana ))(()( MfMf .
Pierādījums. Pieņemsim, ka )( Mfy , tad atrādīsies Mx tāds, ka yxf )( .
Tagad, no attēla definīcijas mēs varam secināt, ka )(Mf (y) un tāpēc ))(( Mfy .
Apgrieztā iekļaušana var neizpildīties: par to liecina sekojošais piemērs:
1.3.14. Piemērs Ņemsim kopu X = [0,1) un tanī definēsim nestriktu apakškopu M(x) = x.
Apskatīsim funkciju YXf : , kur Y ir kopa kas sastāv no viena punkta y0. Tad
f(M)(y0) = 1 un tāpēc (f(M))1= {y0}. No otrās puses kopa }x{x|MM 1)(1 ir tukša un
tāpēc arī tas attēls f(M1) ir tukša kopa.
1.3.15. Teorēma. Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un )(YFN . Tad katram
]1,0[ ir spēkā vienādība ))(()( 11 NfNf .
Pierādījums izriet no sekojošas apgalvojumu ķēdes:
)(1
Nfx )(xf N ))(( xfN ))((1 xNf )(1 Nfx .
28
1.4. Nestriktie punkti.
Strādājot ar parastām kopām liela loma ir kopas elementiem, jeb punktiem. Katra kopa
sastāv no punktiem (elementiem) un pilnīgi raksturojas ar tiem. Izmantojot punkta
jēdzienu un piederības attiecību katru kopu A var pierakstīt tādā formā:
A = { A}| xx ,
vai, pārejot pie vienelementīgām kopām:
A = A}|}{{ xx .
Pēdējas formulas sakarā atzīmēsim arī, ka no kopu teorijas viedokļa punkti, vai precīzāk
sakot vienelementīgas kopas { x } ir minimālie, sīkāk nedalāmie objekti. Tātad,
pasvītrosim vēlreiz divas parasto punktu (elementu) būtiskās īpašības:
(1) Katra kopa sastāv no punktiem un pilnīgi raksturojas ar tiem;
(2) Punkti ir minimāli, nedalāmi objekti - savā ziņā vienkāršākie ķieģelīši, no kuriem tiek
būvētas visas kopas.
Salīdzinot šo situāciju ar nestriktu kopu gadījumu, varam pamanīt šeit būtiskas atšķirības.
1.4.1.Nestriktais punkts. Kāds būs punkta analogs, strādājot ar nestriktām kopām?
Laikam, dabiskais risinājums ir šajā lomā ņemt nestriktas kopas ]1,0[:0
Xpx
, kur
Xx 0 (tātad 0x ir īstais kopas X punkts) un ]1,0( , kurus definē ar formulu:
0xp (x) =
. ja ,0
; ja ,
0
0
xx
xx
Tiešam, tādas nestriktas kopas sauc par nestriktiem punktiem; pie tam punktu 0x sauc par
nestrikta punkta
0xp nesēju, bet skaitli - par tā vērtību.
Parastais punkts 0x pie šīs interpretācijas izskatīsies kā nestriktais punkts ar nesēju 0x un
vērtību 1, tātad, kā nestriktais punkts 1
0xp .
Tālāk, mums vajag saprast, kā traktēt piederības attiecību nestrikta punkta un nestriktas
kopas gadījumā. Analizējot situāciju ar parastiem punktiem un parastām kopām, varam
nonākt līdz sekojošai definīcijai:
29
1.4.2. Definīcija. Nestriktais punkts
0xp pieder nestriktai kopai M (simbolos
0xp
~ M ), ja )( 0xM . (sk. 15.zīmējumu)
1
x
M(x)
0x
0xp
15.zīmējums.
Skaidrs, ka, analoģiski, kā parasto kopu situācijā, nestriktu kopu var iegūt apvienojot tai
piederošos nestriktos punktus:
}~|{ MppM xx ,
(kaut atšķirībā no parasto kopu situācijas, nestrikta kopa nav sev piederošu nestriktu
punktu kopa, t.i. }~|{ MppM xx !)
Tātad, no augstāk minētām parasto punktu īpašībām, pirmā, t.i. (1) raksturīga arī
nestriktiem punktiem. Tomēr otra īpašība nestriktiem punktiem nav spēkā: proti, ja
0xp
un
0xp ir divi nestriktie punkti ar vienu nesēju un , tad
0xp ~
0xp . Vēl jo vairāk,
0xp = {
0xp | } . Tātad, nestriktie punkti, atšķirībā no parastiem, nav minimālie,
nedalāmie elementi - katrs nestrikts punkts satur sevī bezgalīgi daudz nestriktu punktu un
ir vienāds ar to apvienojumu.
Sekojošās teorēmas analogs parasto kopu gadījumā ir labi zināms:
1.4.3. Teorēma. Ja )(, XFNM , tad
0xp ~ NM tad un tikai tad, kad
0xp ~ M vai
0xp ~ N ;
0xp ~ NM tad un tikai tad, kad
0xp ~ M un
0xp ~ N .
Teorēmas pierādījums ir vienkāršs un mēs atstājām to lasītājam. Mēs, savukārt,
pievērsīsim uzmanību bezgalīgu nestriktu kopu saimju gadījumam. Šeit situācija jau
atšķiras no "klasiskās".
1.4.4. Teorēma. Pieņemsim, ka }:{ IiM i ).(XF Tad
(1) ja Ii 0 , ka
0xp ~0i
M tad
0xp ~ }|{ IiM i
(2)
0xp ~ }|{ IiM i tad un tikai tad, kad
0xp ~iM .Ii
30
Pierādījums
(1) Ja
0xp ~0i
M kādam Ii 0 , tad 0i
M ( )0x ; tāpēc vēl jo vairāk )( 0xM ii un
0xp ~ }|{ IiM i .
(2) Pieņemsim, ka
0xp ~ iM visiem .Ii Tad iM ( )0x visiem .Ii un līdz ar to
)( 0xM ii . Bet tas tieši nozīme, ka
0xp ~ }|{ IiM i .
Otrādi, ja
0xp ~ }|{ IiM i , tad )( 0xM ii , t.i. iM ( )0x visiem .Ii , un
tāpēc
0xp ~ iM visiem .Ii
1.4.5. Piezīme. Atšķirībā no klasiskas situācijas no tā, ka
0xp ~ }|{ IiM i nevar
apgalvot, ka
0xp ~0i
M kaut vienam Ii 0 . Par to var pārliecināties no sekojošā piemēra:
Ja nnM 1
21 katram ,Nn 3n tad nestrikts punkts 2
1
xp pieder nestriktu kopu
apvienojumam nn MM 2
1 , kaut nepieder nevienai no nestriktām kopām nM .
Definējot attiecību ~ , t.i. attiecību "nestriktais punkts pieder nestriktai kopai", mēs par
pamatu ņemam nestingras nevienādības :
0xp ~ M , ja )( 0xM . Bet varbūt var
paņemt tās vietā stingru nevienādību >? Izrādās, ka tādu pieeju ir lietderīgi modificēt un
izmantot nevis pašam nestingram punktam
0xp bet duālajam nestriktam punktam, proti
1
0xp . Šī ideja pirmo reizi tika realizēta ķiniešu matemātiķu Pu Paominga un Liu
Yingminga rakstos [PuLiu80], [PuLiu80a], kuros tika definēta un pētīta nestrikta punkta
un nestriktas kopas t.s. kvazi-sakritības attiecība:
1.4.6. Definīcija [Nestrikta punkta kvazi-sakritība ar nestriktu kopu].
Saka, ka nestriktais punkts
0xp kvazi-sakrīt ar nestriktu kopu M , ja 1)( 0 xM . (sk.
16.zīmējumu)
1
x
M(x)
0x
0xp
0xM
1x 0 M
16.zīmējums.
Attiecību "nestrikts punkts
0xp kvazi-sakrīt ar nestriktu kopu M " simbolos pieraksta
šādi:
0xp q M .
31
1.4.7. Teorēma. Pieņemsim, ka }:{ IiM i ).(XF Tad
(1)
0xp q })|{( IiM i tad un tikai tad, kad Ii 0 , tāds, ka
0xp q 0i
M
(2) Ja
0xp q })|{( IiM i tad
0xp q iM .Ii
1.4.8. Uzdevums 1. Pierādiet teorēmu 1.4.7.
1.4.9. Piezīme. Apgalvojumam (2) apgrieztais apgalvojums var neizpildīties: Proti,
eksistē nestriktais punkts
0xp un nestriktu kopu saime }:{ IiM i tādi, ka
0xp q
iM visiem .Ii bet
0xp ne kvazi-sakrīt ar šo nestriktu kopu šķēlumu
}|{ IiM i . (Konstruējiet attiecīgu piemēru).
32
2. L-kopas: Teorijas sākumi 2.1. L-kopas: problēmas nostādne un konteksts - režģis L.
Definējot nestriktu kopu kā parastas kopas vispārinājumu mēs balstāmies uz slēgta
intervāla [0,1] kā tās "elementu piederības" skalu. Tomēr, kā jau bija apspriests ievadā, ne
vienmēr intervāls [0,1] ir adekvāta skala, lai atspoguļotu dažādas "elementu piederības"
situācijas un tāpēc ir lietderīgi intervāla [0,1] vietā apskatīt režģi L kā elementu
piederības skalu. Šādu nestriktas kopas vispārinājumu, jeb modifikāciju, apskatīsim šajā
nodaļā. Bet vispirms precizēsim, ko mēs prasīsim no režģa L.
2.1.1. Režģis L.
Šeit un turpmāk visur L ir režģis
ar minimālo un maksimālo elementiem kurus mēs atiecīgi apzīmēsim ar 0 un 1, vai,
0L un 1L - gadījumā, kad vajadzēs atzīmēt kādā režģī mēs strādājam.
L ir pilns, t.i. jebkurai tā elementu apakškopai LIii }:{ eksistē suprēms:
}.:{0 Iii
L ir bezgalīgi distributīvs, t.i. ( )() iiii un ( )() iiii
katrai saimei LIii }:{ un katram elementam .L
Dažreiz mēs prasīsim, lai režģī būtu definēta involūcija, t.i. attēlojums c: L L. tāds, ka
cc tad, ja jebkuriem L , un
cc jebkuram L
Kā svarīgus piemērus atzīmēsim, ka gan L={0,1}, gan L=[0,1] apmierina visus iepriekš
izvirzītos nosacījumus: abos gadījumos standarta involūcija tiek definēta ar formulu
1c.
Atsevišķos gadījumos tiks prasīts, lai L būtu
pilnīgi distributīvs režģis.
Režģa pilnas distributivitātes definīcija ir sarežģītākā nekā iepriekš izmantotie jēdzieni no
režģu teorijas un tāpēc šeit netiek definēta. Lasītājs tās definīciju var atrast pielikumā
"Režģi", vai vienkārši izlaist pierādījumus, kur šī īpašība tiks izmantota. Tādu nebūs
daudz. Atzīmēsim arī, ka gan L={0,1} gan L=[0,1], kā arī jebkura ķēde ir pilnīgi
distributīvi režģi.
2.1.2. Piezīme. Mēs ceram, ka vairumam lasītāju ir zināmas priekšzināšanas par režģiem
un ar tiem saistīto terminoloģiju no standarta algebras un diskrētas matemātikas kursiem.
Bet ko lai dara tie, kuri vai nu vispār neko nav dzirdējuši par režģiem, vai pamatīgi ir
aizmirsuši dzirdēto? Viņiem mēs varam piedāvāt vienu no sekojošiem diviem
alternatīviem risinājumiem:
- Iepazīties ar režģu teorijas pamatiem pēc šajā kursa ietvertā pielikuma "Režģi";
33
- Izlaist šo nodaļu un lasīt tālāk visur simbolu L uztverot kā segmenta [0,1]
apzīmējumu. Arī pēc šīs vienkāršošanas šajā kursā materiāls paliek saturīgs.
2.2. L-kopas: definīcija un operācijas ar L-kopām.
Tagad dosim L-kopas definīciju:
2.2.1. Definīcija Par kopas X L-apakškopu, vai vienkārši L-kopu sauc attēlojumu
LXM : (sk.17.zīmējumu.).
M
1
0X L
17.zīmējums.
2.2.2. Piezīme Autoru vairākums svešvalodās šajā situācijā lieto terminus respektīvi L-
fuzzy set (angliski), L-unscharfe Menge (vāciski), L-flou ensemble (franciski), L-
нечеткое множество (krieviski). Dažreiz arī latviski saka L-nestrikta kopa, jeb L-fazi-
kopa. Tomēr mēs dodam priekšroku terminam L-(apakš)kopa, jo tā ir īsāka un pie tam
atspoguļo visu šajā kontekstā iespējamo informāciju.
Tātad iepriekšējās nodaļā definētai nestriktai kopai kā alternatīvu mēs izmantosim arī
terminu [0,1]-kopa, jeb L-kopa, precizējot, ja nepieciešams, ka L = [0,1].
2.2.3. Operācijas ar L-kopām Operācijas ar L-kopām arī vispārīgā situācijā tiek definētas pilnīgi analoģiski kā agrāk
mēs definējām operācijas ar nestriktām kopām. Proti:
Ja M, N: X L ir divas kopas X L-apakškopas, tad
par L-kopu M un N apvienojumu sauc L-kopu M N: X L , kuru definē sekojoši:
(M N)(x) = max (M(x),N(x));
par L-kopu M un N šķēlumu sauc L-kopu M N: X L , kuru definē sekojoši:
(M N)(x) = min (M(x),N(x));
par L-kopas M papildinājumu kopā X sauc L-kopu Mc : X L , kuri definē sekojoši:
Mc(x) = (M(x))
c.
L-kopa M ir L-kopas N apakškopa , ja )()( xNxM visiem Xx .
(Definējot papildinājumu, mēs protams izmantojām pieņēmumu, ka režģī L ir definēta
involūcija LLc : .
Bezgalīgas kopu saimes gadījumā apvienojumu un šķēlumu definē izmantojot suprēmu
un infīmu respektīvi maksimuma un minimuma vietā:
34
Ja {Mi: Ii } LX ir kopas X L-apakškopu saime, tad to apvienojumu iM un
šķēlumu iM definē, sekojoši:
iM (x) = sup{ iM (x): i I };
iM (x) = inf{ iM (x) : i I }.
Turpmāk ar F(X,L) mēs apzīmēsim kopas X visu L-apakškopu saimi.
2.2.4. Teorēma Operācijām ar kopas X L-apakškopām piemīt sekojošas īpašības
(M,N,PF(X,L)):
1. ;MMM 2. MMM ;
3. )()( PNMPNM ; 4. )()( PNMPNM ;
5. )()()( PNPMPNM 6. )()()( PNPMPNM .
Bezgalīgas L-kopu saimes }:{ IiM i gadījumā izpildās tādi iepriekšējo divu formulu
analogi:
5'. NM ii )( = i ( iM )N ; 6.' NM ii )( = )( NM ii .
Pierādījums seko tieši no attiecīgā režģa L īpašībām. Piemēram, 5' un 6' īpašības izpildās,
jo režģis L pēc pieņēmuma ir bezgalīgi distributīvs. Visu pierādījuma detaļu pārbaudi
mēs atstāsim lasītājam.
2.2.5. Secinājums Jebkuram (bezgalīgi distributīvam) režģim L un jebkurai kopai X L-
kopu saime (F(X,L), ),, arī ir bezgalīgi distributīvs režģis, kur attiecība kopā
F(X,L) tiek definēta punktveida (t.i. L-kopām attiecība NM nozīmē, ka )()( xNxM
visiem .Xx ) Minimālais un maksimālais elements šajā režģi ir atiecīgi konstantas
funkcijas 0X un 1X (Ja , L tad ar X mēs apzimējam konstantu funkciju kopā X ar
vērtību .) Pie tam, ja režģī L ir definēta involūcija LLc : , tad režģī F(X,L) arī var
ieviest involūciju cMM , kur L-kopa cM ir definēta ar formulu cc xMxM )()( .
Uzsvērsim, ka tomēr ne visas režģa L īpašības var pārnest uz attiecīgu L-kopu režģi
F(X,L). Piemēram F(X,L) nekad (izņemot triviālu gadījumu, kad X sastāv no viena
punkta - Šajā gadījuma F(X,L) ir izomorfs režģim L - padomājiet, kāpēc!) nevar būt
ķēde.
2.2.6. Piezīme. Gadījuma, kad L = 2 (2={0,1}), režģis F(X,2) ir acīmredzami izomorfs
kopas X visu apakškopu režģim P(X), kurā sakārtojums , maksimums un minimums tiek definēti atiecīgi kā kopu iekļaušanas attiecība ( BA ); kopu apvienojums
( BA ) un kopu šķēlums ( BA ). (Skaties arī pielikumā "Režģi"). Attiecīgais
izomorfisms : P(X)F(X,2) kopai AX piekārto harakteristisku funkciju A :
)(AA .
35
2.3. L-kopas pirmtēls un attēls.
L-kopas pirmtēlu un attēlu vispārīgajā situācijā definē pilnīgi analoģiski tam, kā
iepriekšējā nodaļā apskatītajā gadījumā L = [0,1]. Proti, pieņemsim, ka ir dotas divas
kopas X un Y un attēlojums YXf : . Tālāk, pieņemsim, ka B ir kopas Y L-apakškopa,
t.i. LYB : .
2.3.1. Definīcija Par L-kopas B pirmtēlu ar funkciju YXf : sauc kopas X L-
apakškopu )(1 Bf := LXfB : (sk. 18.zīmējumu):
18.zīmējums.
X Yf
f-1
(B) B
1
0
2.3.2. Uzdevums Pieņemsim, ka L = 2, YXf : ir funkcija un B Y. Pierādiet, ka
)(1 Bf = fB .
2.3.3. Definīcija Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un LXA : ir kopas X L-
apakškopa. Tad par L-kopas A attēlu ar funkciju f sauc kopas Y L-apakškopu
)(Af : LY , kuru definē ar formulu:
)(Af (y) = sup {A(x): f(x) = y }
(sk.19.zīmējumu.)
f(A)
X Yf
A
1
0
19.zīmējums.
36
2.3.4. Uzdevums Pieņemsim, ka L = 2, YXf : ir funkcija un A X. Pierādiet, ka
)( Af = )( Af .
2.3.5. L-kopu attēlu un pirmtēlu īpašības. L-kopu attēlu un pirmtēlu pamatīpašībās patvaļīga režģa L gadījumā ir līdzīgas, kā
apskatītas iepriekšējā paragrāfā režģa L=[0,1] gadījumā. Tomēr pierādot īpašību par L-
kopu apvienojumu saglabāšanu ar attēliem nāksies papildus prasīt režģa L pilno
distributivitāti.
Teorēma Ja 1M ,
2M , M ),( LXF , 1N , 2N , N ),( LYF un YXf : ir attēlojums,
tad
1. (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M ) pie nosacījuma, ka L ir pilnīgi distributīvs.
2. (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ). Gadījumā ja YXf : ir injekcija, tad
(f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M ).
3. ( cMf ))( )( cMf . Gadījumā ja YXf : ir injekcija, tad )( cMf = ( cMf ))( .
4. )( 21
1 NNf = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf ,
5. f )( 21
1 NN = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf un
6. )(1 cNf = cNf ))(( 1 .
Pierādījums.
1. No L-kopas attēla definīcijas ir skaidrs, ka ja BA , ),(, LXFBA tad
)()( BfAf . Tāpēc, lai pierādītu vienādību (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M ),
pietiek pārbaudīt nevienādību (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ).
(Lasītājiem, kuriem pilna distributīva režģa jēdziens nav zinams, nāksies izlaist šīs īpašības
pierādījumu.)
Pieņemsim, ka (f1M
2M )(y) = kādam y Y un L . Brīvi nofiksēsim
nesadalāmu elementu L tādu, lai . Tad, pēc L-kopas attēla definīcijas
atradīsies Xx tāds, ka )()( 21 xMxM . Bet no šejienes, ņemot vērā, ka
L ir nesadalāms, var secināt, ka vismaz viens no režģa L elementiem
)(un )( 21 xMxM nav mazāks par . Pieņemsim, ka )(1 xM . Tad, atkal
izmantojot L-kopas attēla definīciju, iegūstam ( (f1M ) (f
2M ))(y). (f1M )(y)
. Tagad, ņemot vērā, ka pēdēja nevienādība izpildās visiem un
atsaucoties uz režģa L pilnas distributivitātes īpašību, secinām, ka
( (f1M ) (f
2M ))(y) . Tāpēc katram Yy izpildās
( (f1M
2M ))(y) (f1M ) (f
2M )(y)
un līdz ar to nevienādība (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ) ir pierādīta.
2. Nevienādība (f1M
2M ) (f1M ) (f
2M ) ir acīmredzama. Pretēja
nevienādība neizpildās pat parasto kopu gadījumā. (Konstruējiet attiecīgu piemēru!).
Pieņemsim tagad, ka YXf : ir injekcija un ( (f1M ) (f
2M ))(y) = kādam y
Y un L Ņemot vērā, ka f it injekcija, atradīsies viens vienīgais Xx tāds, ka
f(x)=y; bet no L-kopas attēla definīcijas varam secināt, ka ,)(1 xM un
37
)(2 xM . Tāpēc arī ))(( 21 xMM un f ))(( 21 yMM . Līdz ar to ir
pamatota nevienādība (f1M
2M )(y) (f1M ) (f
2M )(y) (un tātad arī
vienādība (f1M
2M ) = (f1M ) (f
2M )) injekcijas gadījumā.
3. Jebkuram elementam Yy , izmantojot definīcijas un režģa īpašības, varam uzrakstīt
sekojošu (ne)vienādību ķēdi: cMf ))( (y) =
yxfx )(:
sup )(xM c = ( yxfx )(:
inf )(xM )c
(yxfx )(:
sup )(xM )c = ( )(Mf (y))
c
= ( )(Mf )c(y),
un tātad ( cMf ))( )( cMf .
Gadījumā, ja YXf : ir injekcija, tad dotajam y eksistē tikai viens x tāds, ka
f(x)=y, un tāpēc iepriekšējā formulu virknē nevienādība var tikt aizvietota ar
vienādību.
4. No pirmtēla definīcijas ir skaidrs, ka katram Xx izpildās )( 21
1 NNf (x)
= ))()(( 21 xfNN ))(())(( 21 xfNxfN )( 1
1 Nf (x) )( 2
1 Nf (x), un tāpēc
)( 21
1 NNf = )( 1
1 Nf )( 2
1 Nf .
5. un 6. formulas var pieradīt pēc analoģijas ar iepriekšējo formulu.
38
2.4. L-kopas līmeņdekompozīcija.
2.4.1. L-kopas līmeņdekompozīcija.
Pieņemsim kā X ir kopa un A: X L ir tās L-apakškopa. Tālāk, nofiksēsim kādu L
un apskatīsim kopas X apakškopu A = {x X : A(x) }. Kopu A sauc par L-kopas
A -līmeni. Līdzīgi var aplūkot kopu A = {x X : A(x) > }, kuru sauc par L-kopas A
stingro -līmeni. Skaidrs, ka
ja , ),( L tad AA , AA un
AA
Tātad, katrai kopas X L-kopai A atbilst divas dilstošas parasto X kopas apakškopu
sistēmas { A : L } un { A : }L ; pie tam skaidrs, ka 0A =X un 1A 0 . Bet
atšķirībā no gadījuma, kad ]1,0[L šīs kopu sistēmas var arī nebūt lineāri sakārtotas.
Piemēram, L-kopai ,: LXM kur ]1,0[]1,0[ X un L={0,a,b,1}=:L4,
līmeņdekompozīcija var izskatīties šādi (sk.20.zīmējumu.):
A
X
a-1A
)(A -1 b
1A -1
1
0
a b
20.zīmējums. Kā mēs redzējām iepriekšējā nodaļā, speciālā gadījumā, kad L=[0,1], L-kopas M
līmeņdekompozīcijai ir šāda svarīga īpašība:
(3LD) sistēma { M : ]1,0[ } ir pusnepārtraukta no apakšas sekojošā nozīmē:
M =
M
Vispārīgajā gadījumā šī īpašība var neizpildīties - var būt situācijas, kad M
M
(kaut, protams, vienmēr M
M !).
Attiecīgu piemēru var konstruēt pat pie L=2. Piemēram, ja MX, tad M1=M, bet M0 =X.
Līdzīgi, stingro līmeņu sistēmai A = {x : A(x) > } vispārīgajā gadījumā var
neizpildīties īpašība:
(3LD
) sistēma { M : L } ir pusnepārtraukta no augšas sekojošā nozīmē: M =
M ,
39
kura bija raksturīga gadījumā L = [0,1]: var būt situācijas, kad M
M (kaut
protams vienmēr M
M !).
2.4.1*. L-kopas līmeņdekompozīcija pilnīgi distributīva režģa gadījumā.
Pilnīgi distributīva režģa gadījumā L-kopas līmendekompozīcijas pusnepārtrauktību
nosacījumiem (3LD) un (3LD
) var atrast sekojošus analogus:
(3*LD) sistēma { M : ]1,0[ } ir pusnepārtraukta no apakšas sekojošā nozīmē:
M =
M
un
(3*LD
) sistēma { M : L } ir pusnepārtraukta no augšas sekojošā nozīmē: M =
M .
Pierādīsim pirmo no šīm vienādībām.
Skaidrs, kā iekļaušana M
M izpildās vienmēr. Tādēļ pietiek pierādīt apgriezto
iekļaušanu M
M . Pieņemsim, ka x
M , tad )(xM visiem . Bet
tā, kā L ir pilnīgi distributīva, }|{ , un tāpēc .)( xM , un .Mx
Piezīme. Gadījumā, kad L={0,1} (tātad parasto kopu gadījumā) īpašības (3*LD) un (3*LD
)
kļūst triviālas. Patiešām, ja }1,0{: XM , tad, ņemot vērā, ka šeit 1 1 īpašība (3*LD)
saka tikai, ka 1M = 1M .
2.4.2. Operācijas ar L-kopām un līmeņdekompozīcija.
Attiecība uz operācijām līmeņdekompozīcija vispārīga režģa gadījumā zināmā mērā ir
analoģiska iepriekšējā nodaļā apskatītajam gadījumam, kad L=[0,1].
2.4.3. Teorēma Pieņemsim, ka LXNM :, ir kopas X L-apakškopas un .L Tad
)( NM M N un )( NM = M N .
Pierādījums:
Pārliecināties par šo attiecību izpildi var sekojoši:
x )( NM )( NM ( x ) )(xM vai N )(x x M vai
x N x M N .
x )( NM ))(( xNM )(xM un N )(x x M un
x N x M N .
2.4.4. Piezīme Atšķirībā no gadījuma L=[0,1], vispārīgajā situācijā vienādība
)( NM = M N var arī neizpildīties. Par to varam pārliecināties ar sekojoša
40
piemēra palīdzību. Paņemsim X vietā jebkuru netukšu kopu, L=4L (sk. 2.4.1) un
apskatīsim konstantas 4L -kopas axM )( un bxN )( . Tad 1))(( xNM visiem
Xx . Tāpēc 1)( NM = X, kaut 011 NM .
Sekojoša teorēma ir teorēmas 2.4.3 vispārinājums bezgalīgām L-kopu saimēm:
2.4.5. Teorēma Pieņemsim, ka iM : X L, Ii , ir kopas X L-kopu saime un .L
Tad )( iIi M Ii
iM
)( un )( iIi M
= Ii
iM
)( .
Pierādījums:
x Ii
iM
)( Ii tāds, ka x )( iM Ii tāds, ka )(xM i
)(xM iIi x )( iIi M .
x Ii
iM
)( Ii x )( iM Ii )(xM i ))(( xM iIi
x )( iIi M .
2.4.6. Teorēma Pieņemsim, ka LXNM :, ir kopas X L-apakškopas un .L Tad )( NM M N un )( NM M N .
Pierādījums.
)())(()( vai)( NMxxNMxNxMNMx ;
NMxNxMxxNxMxNMNMx un )(un )())(()(
2.4.7. Piezīme. Atšķirībā no gadījuma L=[0,1], iepriekšējā teorēmā vienādības var arī
neizpildīties. Konstruējiet tādus piemērus.
Sekojoša teorēma ir teorēmas 2.4.6. vispārinājums bezgalīgām L-kopu saimēm.
Pierādījumu atstāsim lasītājam.
2.4.8. Teorēma Pieņemsim, ka iM : X L, Ii , ir kopas X L-kopu saime un .L
Tad )( iIi M
Ii
iM
un )( iIi M
Ii
iM
.
2.4.9. L-kopu attēli un pirmtēli un līmeņdekompozīcija.
Attiecībā uz pirmtēliem un attēliem līmeņdekompozīcija vispārīga režģa gadījumā
analoģiska iepriekšējā nodaļā apskatītajam gadījumam, kad L=[0,1].
41
2.4.10. Teorēma. Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un ),( LXFM . Tad katram
L ))(()( MfMf .
Pierādījums. Pieņemsim, ka )( Mfy , tad atradīsies Mx tāds, ka yxf )( .
Tagad, no attēla definīcijas mēs varam secināt, ka )(Mf (y) , un tāpēc ))(( Mfy .
2.4.11. Teorēma. Pieņemsim, ka YXf : ir attēlojums un ),( LYFN . Tad katram
L ))(()( 11 NfNf .
Pierādījums izriet no sekojošas apgalvojumu ķēdes:
)(1
Nfx )(xf N ))(( xfN ))()(( xfNf .
42
3. L-attiecības (Nestriktas attiecības)
3.1.Attiecības "klasiskajā" matemātikā.
Vispirms īsi atkārtosim, kas ir attiecība parastajā nozīmē.
3.1.1. Definīcija. Kopu X un Y Dekarta reizinājuma apakškopu (XY ) sauc par
attiecību starp kopu X un Y elementiem.
Gadījumā, ja X=Y, attiecību starp X un X elementiem parasti sauc par attiecību kopā
X.
Ja (x, y) , tad sakām, ka elementi x un y ir savā starpā attiecībā , un rakstam xy.
Ja (x, y) , tad sakām, ka elementi x un y savā starpā nav attiecībā , un rakstam x y.
Aplūkosim dažas ikdienā lietotas attiecības.
3.1.2. Piemērs [Vienādības attiecība [=] reālo skaitļu kopā]
[=] RR
Šo attiecību apzīmēsim ar simbolu [=]. To var definēt ar formulu
[=] := {(x, x) | xR }. Citiem vārdiem x[=]y x = y
3.1.3. Piemērs[Stingro nevienādību attiecības [<] un [>] reālo skaitļu kopā]
[<] RR un [>]RR.
Šīs nevienādības var definēt ar formulām
[<] := }|),{( yxyx (citiem vārdiem x[<]y x < y: x ir mazāks, nekā y) un
[>] := }|),{( yxyx (citiem vārdiem x[>]y x > y: x ir lielāks, nekā y).
3.1.4. Piemērs[Tukša attiecība]
Jebkuram kopām YX un varam ievest t.s. tukšo attiecību
YX ņemot 0 . Tas nozīmē, ka jebkuriem kopu X un Y elementiem x un y respektīvi
izpildās x y . Citiem vārdiem, nekādi kopu X un Y elementi x un y savā starpā nav
attiecībā .
3.1.5. Piemērs[Triviālā attiecība]
Jebkuram kopām YX un varam ievest t.s. triviālo attiecību
YXE ,
ņemot YXE Tas nozīmē, ka jebkuriem kopu X un Y elementiem x un y respektīvi
izpildās xEy . Citiem vārdiem, visi kopu X un Y elementi x un y savā starpā ir
attiecībā E .
Atgādīnāsim tagad, kā tiek definētas svarīgākas operācijas ar attiecībām klasiskajā
matemātikā.
43
3.1.6. Definīcija [Attiecību apvienojums] Apskatīsim divas attiecības starp kopu X un
Y elementiem: XY un XY
Par šo attiecību apvienojumu sauc attiecību . Citiem vārdiem, x()y (x, y)
(x, y) vai (x, y).
Piemēram apvienojot stingrās nevienādības attiecību un vienādības attiecību reālo skaitļu
kopā R iegūstam nestingras nevienādības attiecību:
[<] [=] [],
kur reāliem skaitļiem x un y attiecība x [ ] y ir spēkā tad un tikai, kad x y .
Cits piemērs: apvienojot divas stingras nevienādības iegūstam nevienādības attiecību:
[<] [>] [ ],
kur reāliem skaitļiem x un y attiecība x [ ] y izpildās tad un tikai, kad x y .
3.1.7. Definīcija [Attiecību šķēlums] Apskatīsim divas attiecības starp kopu X un Y
elementiem: XY un XY
Par šo attiecību šķēlumu sauc attiecību . Citiem vārdiem,
x( ) y (x,y) (x, y) un (x, y).
Piemēram, šķeļot stingras nevienādības attiecību un vienādības attiecību reālo skaitļu
kopā R iegūstam tukšu attiecību. Tukšu attiecību iegūsim arī šķeļot divas pretējas zīmes
stingrās nevienādības attiecības :
[<] [=] ,
[<] [>] .
Cits piemērs: šķeļot divas pretējas nestingro nevienādību attiecības, iegūstam vienādības
attiecību:
[] [] [=].
3.1.8. Definīcija [Attiecības papildinājums] Apskatīsim attiecību starp kopu X un Y
elementiem: XY. Par šīs attiecības papildinājumu sauc attiecību : = .\ YX
Citiem vārdiem, x y tad un tikai tad, kad elementi x un y savā starpā nav attiecībā .
Piemēram stingrās nevienādības attiecības [<] papildinājums ir pretēja virziena nestingras
nevienādības attiecība ][ = [].
Visas augstāk apskatītās operācijas ar attiecībām ir iegūtās piemērojot šai situācijai
attiecīgās operācijas ar kopām. Nobeigumā apskatīsim operāciju ar attiecībām, kurai nav
dabiska prototipa patvaļīgas kopas gadījumā, un kurai tomēr ir liela loma attiecību vispār
kā arī nestriktu attiecību kontekstā. Proti, runa ir par attiecību kompozīciju.
3.1.9. Definīcija. [Attiecību kompozīcija]. Pieņemsim, ka ir divas attiecības: Attiecība
starp kopu X un Y elementiem (tātad XY) un attiecība starp kopu Y un
Z elementiem (tātad ZY ). Tad par šo attiecību kompozīciju sauc attiecību
starp kopu X un Z elementiem (tātad ZX ) tādu, ka
:= ka |),{( Yyzx }),(un ),( zyyx .
44
3.1.10.Uzdevums:
1. Ja ir vienādības attiecība[=], kāda attiecība ir ?
2. Ja ir nestingras nevienādības attiecība, kāda attiecība ir ?
3. Ja ir stingras nevienādības attiecība, kāda attiecība ir ?
4. Ja ir patvaļīga attiecība, kāda attiecība ir ][ un ][ ?
45
3.2. L-attiecības (nestriktas attiecības): Definīcijas un piemēri.
Tagad aplūkosim attiecības jēdziena "nestriktu" analogu.
3.2.1. Definīcija. Par L-attiecību starp kopu X un Y elementiem sauc šo kopu
reizinājuma L-apakškopu, t.i. LYX : . (Šajā formulā apzīmē lielo
grieķu burtu "ro", nevis latiņu burtu "p"!) Gadījumā, kad ]1,0[L mēs kā
alternatīvu terminam L-attiecība izmantosim arī terminu nestrikta attiecība.
Ja X=Y, tad L-attiecību starp kopu Xun X elementiem sauc par L-attiecību kopā
X.
Skaitli (x,y) interpretējam kā pakāpi, ar kuru elementi Xx un Yy ir savā starpā
attiecībā .Gadījumā ja elementiem Xx un Yy izpildās nevienādība (x,y) ,
mēs rakstām arī x y, vai ),( yx un sakām, ka elementi xX un yY ir attiecībā ar
pakāpi .
Parasto attiecību YX acīmredzot, varam traktēt arī kā L-attiecību (tai skaitā, kā
nestriktu attiecību) LYX : , kura pieņem tikai divas vērtības,t.i.,1 un 0.
3.2.2. Piezīme. Skaidrs, ka katram L apakškopa YX ir "parasta" attiecība
starp kopu X un Y elementiem. Tātad katra L-attiecība LYX : var būt
sadalīta parasto attiecību sistēmā }|{ L , kur YX 0 ir triviālā attiecība
starp kopu X un Y elementiem.
Pielietojot teorēmu par nestriktu kopu līmeņdekompozīciju (sk. 1.3.2.) nestriktas
attiecības gadījumā iegūstam sekojošo teorēmu:
3.2.3. Teorēma. Ja ]1,0[: YX ir nestrikta attiecība, tad to līmeņu sistēma
]}1,0[|{ ir monotona (t.i., ), pusnepārtraukta no apakšas
(t.i.,
= visiem 0 ), un YX 0 ir triviālā attiecība.
Otrādi, ja ir dota monotona, pusnepārtraukta no apakšas nestriktu attiecību saime
]}1,0[|{
tāda, ka YX 0
, tad ar formulu
),(|sup{),( yxyx } ir
definēta nestrikta attiecība ]1,0[: YX . Pie tam
visiem ].1,0[
Izmantojot 2.4. paragrāfa rezultātus var raksturot L-attiecību dekompozīciju arī vispārīga
režģa gadījumā.
Tagad apskatīsim vairākus dažāda rakstura konkrētus L-attiecību piemērus.
46
Piemērs. [Nestrikta attiecība ][ "aptuveni vienāds" reālo skaitļu kopā]
Mēģināsim formalizēt attiecību : divi reālie skaitļi ir aptuveni vienādi.
Atšķirībā no agrāk apskatītās vienādības attiecības ][ , attiecību ][ (aptuveni
vienāds) nevar traktēt, kā attiecību parastajā nozīmē, jo ir skaidrs, ka skaitļi
yx, R var būt lielākā vai mazākā mērā "aptuveni vienādi". Piemēram, dabiski,
ka skaitļi 5x un 0001,5y ir lielākā mērā "aptuveni vienādi", neka, teiksim,
skaitļi 5x un 1,5y . Toties attiecību ][ var dabiski aplūkot, kā nestriktu
attiecību reālo skaitļu kopā ][ : RR[0,1]. Piemēram, nestriktu attiecību ][
var definēt ar formulu:
[2y)--k(xe)y x,]( ;
šeit k ir konstante, kuru var fiksēt atkarībā no konkrētas situācijas. Pie tam parasti
ņem k 2. (sk 21.zīmējumu)
1
y-x
21.zīmējums.
Analizēsim šo nestrikto attiecību. Atzīmēsim, vispirms, ka ][ (x,y)=1 tad un tikai
tad, kad yx : nekādi divi nevienādi skaitļi nevar būt "aptuveni vienādi" pilnā
mērā: Piemēram, kaut skaitļi 5x un 0001,5y ir "lielā mērā aptuveni
vienādi", tomēr "daudz lielākā mērā" būs "aptuveni vienādi", teiksim, skaitļi
5x un 10000000000,5z ! Otra šīs attiecības īpatnība ir tas, ka tā nekad nevar
būt nulle: jebkuri divi skaitļi x un y ir kaut kādā, varbūt ļoti mazā mērā, "aptuveni
vienādi" Un tāpēc funkcijas vērtība nekad nav nulle. Pirmajā brīdī tas var likties
dīvaini: kā var būt "aptuveni vienādi", teiksim, skaitļi 5x un 1000y ? Bet ja
mēs tagad salīdzināsim šo divu skaitļu attiecību ar attiecību starp skaitļiem 5x
un 10010z ? Laikam Jūs piekritisiet, ka pēdējā gadījumā vienādības mēram ir
jābūt mazākam, nekā pirmajā. Un visas šis prasības respektēs augstāk piedāvāta
funkcija [2y)--k(xe)y x,]( .
3.2.4. Piemērs [Nestrikta attiecība [<<] " daudz mazāks " reālo skaitļu kopā].
Analizējot iepriekšējo piemēru mēs jau lietojām izteikumu "daudz mazāks". Tur
šis izteikums tika lietots savā sadzīviskā, intuitīvā nozīmē. Tomēr jēdzienu "daudz
mazāks" arī var formalizēt un apskatīt kā nestriktu attiecību:
[<<] :RR[0, 1]
Piemēram, šim nolūkam var būt piemērota formula
47
y. x,y-x
11
y x ,0
)y x,]([1
2
Analizējot šo formulu, atzīmēsim, ka par attiecību "daudz mazāks" starp skaitļiem
x un y dabiski var runāt tikai gadījumā kad yx , un tāpēc pie yx funkcijas
[<<] vērtība ir 0. Toties, kad yx , jo lielāks attālums ir starp šiem skaitļiem, jo
lielākas vērtības pieņem funkcija [<<]. Uzskatāmi šo nestrikto attiecību varilustrēt
ar sekojošu grafiku (sk.22.zīmējumu.)
1
y-x1
22.zīmējums.
Analoģiski, var definēt nestriktu attiecību [>>] "daudz lielāks" ar formulu
x.y ,y-x
11
xy ,0
)y x,]([1
2
Tagad apskatīsim dažus cita rakstura piemērus, kur dabiski atklājas L-attiecības.
3.2.5. Piemērs [Radi]
Visu uz Zemes dzīvojošo cilvēku kopu apzīmēsim ar X un ievedīsim tajā
attiecību L P: LXX "būt radnieciskās attiecībās". Kā to izdarīt praktiski, un
ko ņemt skalas L lomā - atstāsim speciālistiem (demogrāfiem, antropologiem
u.c.). Iespējams, ka radniecības pakāpi starp diviem cilvēkiem x un y var mērīt
ar "sapratīgi definētam" attālumam no x un y līdz tuvākajam kopējam sencim s .
Tad P (x,x)=1 katram x X (katrs cilvēks sev pašam ir vistuvākais radinieks!), P
(x,y) ir ļoti liela vērtība, ja x un y ir brāļi vai māsas, P (x,y) kļūst mazāka
brālēniem un māsīcām u.t.t. Vai kādiem pašlaik dzīvojošiem cilvēkiem P (x,y) var
būt nulle? Vai varbūt mēs visi esam cēlušies no Ādama un Ievas un skaitlis P
(x,y), šajā gadījumā parādīs, cik tālu mēs esam no viņiem, ja mums nav citu,
tuvāku, kopīgu senču? Lai par to spriež antropologi un teologi - mums svarīga ir
ideja, ka pat tāda veida spriedumos var būt vieta L-attiecībām.
48
3.2.6. Piemērs [Paziņas]
Atkal kopas X lomā ņemsim visu uz Zemes dzīvojošo cilvēku kopu; apskatīsim
tajā attiecību U: LXX "būt paziņam". Atkal, vislielākā vērtība U (x,y) = 1
tiek sasniegta situācijā, kad yx ("es esmu sev "paziņa" vislielākajā mērā"). Šeit
dabiski ir gadījumi, kad U (x,y) = 0 (piemēram, mana "pazīšanas pakāpe" ar kādu
Kongo džungļos dzīvojošu aborigēnu, laikam, ir 0). Šis piemērs parāda arī
situāciju, kad vērtību skalas L vietā nav dabiski ņemt segmentu [0,
]1,0[: YX 1] vai citu lineāri sakārtotu kopu (jeb ķēdi). Teiksim, ja Jānis ir
mans darba kolēģis, Viktors dzīvo blakus manai vasarnīcai, bet ar Pēteri es
mācījos vidusskolā tad diez vai skaitļus U(Es,Jānis), U(Es,Viktors) un
U(Es,Pēteris) var salīdzināt pēc lieluma - viņi visi varbūt nesalīdzināmie skalas
elementi. Cita lieta, salīdzinot vērtības U(Es,Viktors) un U(Es,Guntars), kur
Guntars arī ir mans kaimiņš, bet ar kuru es kontaktēju mazāk nekā ar Viktoru.
Šajā situācijā dabiski pārim (Es,Guntars) piekārtot "zemāko" režģa L elementu
neka pārim (Es,Viktors).
3.2.7. Nestriktu attiecību definēšana ar matricu palīdzību.
Gadījumā, kad kopas X un Y ir galīgas, nestriktu attiecību LYX : ērti
uzdot ar matricas palīdzību. Piemēram, ja },,,{ 4321 xxxxX un },,{ 321 yyyY ,
tad matrica (sk. 23.zīmējumu.)
1y 2y3y
1x 11 1213
2x 21 2223
3x 31 32 33
4x 41 4243
23.zīmējums.
apraksta nestriktu attiecību ]1,0[: YX , tādu, ka ijji yx ),( .
Ja pie fiksēta ]1,0[ aizvietosim visus ij , kuri lielāki par , ar 1 un visus
pārējos ij ar 0, mēs iegūsim matricu, kas atbilst parastai attiecībai , kura ir
nestriktas attiecības -līmenis. Piemēram: (sk.24.zīmējumu.)
49
Aplūkosim šādu matricu :
1y 2y3y
1x 0.51 0.76 0.69
2x 0.25 0.11 0.38
3x 0.92 0.46 0.76
4x 0.32 0.67 0.45
24.zīmējums.
Un nofiksēsim līmeni 52.0 . Tad izpildot iepriekš norādītās darbības, iegūsim
matricu, kura apraksta parastu attiecību (sk.25.zīmējumu):
1y 2y3y
1x 0 1 1
2x 0 0 0
3x 1 0 1
4x 0 1 0
25.zīmējums.
50
3.3. Operācijas ar L-attiecībām
Šīs nodaļas sākumā mēs esam apskatījuši svarīgākās operācijas, kuras pielieto parastām
attiecībām - attiecību apvienojumu, šķēlumu, papildinājumu un kompozīciju. Šī paragrāfa
mērķis ir vispārināt šīs operācijas L-attiecību gadījumam, ilustrēt tos ar piemēriem un
apspriest, kādas īpašības piemīt šīm operācijām. Sāksim ar L-attiecību apvienojuma
definīciju:
3.3.1. Definīcija. Ja ir dotas divas L-attiecības : XY L un : XYL, tad par šo
L-attiecību apvienojumu sauc L-attiecību : XY L, kuru definē ar formulu
( )(x,y) : = max{P(x,y), (x,y)},
3.3.2. Piemērs Ja : XY [0,1] ir nestrikta attiecība "daudz mazāks" [<<] un :
XY[0,1] ir nestrikta attiecība "daudz lielāks" [>>], tad šo attiecību apvienojums
[<<] [>>] ir nestrikta attiecība, kura var nosaukt par "atšķirības attiecību":
Skaitlis [<<] [>>](x,y) ir jo lielāks (t.i. tuvāks 1), jo lielāks ir attālums starp skaitļiem x
un y. [<<] [>>](x,y) = 0 tad un tikai tad, kad yx .
3.3.3. Piemērs Nestriktu attiecību [<<] "daudz mazāks" un ][ "aptuveni vienādi"
apvienojums ir uzskicēts zīmējumā(sk.26.zīmējumu). Pārdomājiet, kādu interpretāciju
var dot nestriktai attiecībai, kuru izsaka šis apvienojums.
1
y-x1
26.zīmējums.
Tagad pāriesim pie šķēluma operācijas:
3.3.4. Definīcija. Ja ir dotas divas L-attiecības : XY L un : XYL, tad par šo
L-attiecību šķēlumu sauc L-attiecību : XY L, kuru definē ar formulu
( )(x,y) : = min{P(x,y),S(x,y)},
3.3.5. Piemērs Ja : XY [0,1] ir nestrikta attiecība "daudz mazāks" [<<] un :
XY[0,1] ir nestrikta attiecība "daudz lielāks" [>>], tad šo attiecību šķēlums
[<<] [>>] ir parasta "tukša" attiecība : jebkuriem diviem skaitļiem x un y vismaz
viena no vērtībām [<<](x,y) un [>>](y,x) vienāda ar 0 (sk.27.zīmējumu):
51
1
y-x
27.uzdevums.
3.3.6. Piemērs Nestriktu attiecību [<<] "daudz mazāks" un ][ "aptuveni vienādi"
šķēlums ir uzskicēts zīmējumā (sk.28.zīmējumu.). Pārdomājiet, kādu interpretāciju var
dot nestriktai attiecībai, kuru izsaka šis šķēlums.
1
y-x
28.zīmējums.
Pārejot pie L-attiecības papildinājuma definīcijas, vajag vispirms pieņemt, ka režģī L ir
definēta involūcija. Piemēram, tas ir gadījumā, ja L=[0,1] un involūcija tiek definēta ar
formulu 1c.
3.3.7. Definīcija L-attiecības : XY L papildinājums ir L-attiecība : XY L,
kuru definē ar formulu ( cyxyx ),(), visiem ,Xx .Yy
3.3.8. Piemērs. Nestriktas attiecības [<<] "daudz mazāks" papildinājums ir nestrikta
attiecība [<<]c, kuru definē sekojoša formula:
y. x,y-x
111
y x ,1
)y x,(][1
2
c .
Pārdomājiet šīs nestriktas attiecības uzskatāmu interpretāciju.
3.3.9. Piemērs. Nestriktas attiecības ][ "aptuveni vienādi" papildinājums ir dots ar
formulu 2y)--k(xe1)y x,(][ c . Uzskatāma interpretācija šai nestriktai attiecībai var būt
apmēram tāda, kā 3.3.2. piemēra aprakstītai "atšķirības" attiecībai. (sk. 29.zīmējumu)
52
1
y-x
c
29.zīmējums.
Noslēgumā definēsim L-attiecību kompozīcijas operāciju. Parastām attiecībām
XY un ZY kompozīcija tika definēta ar formulu:
:= ka |),{( Yyzx }),(un ),( zyyx .
Tātad, atšķirībā no iepriekš apskatītām operācijām, šeit figurē eksistences kvantors .
Izradās, ka, lai "pārtulkojot" izteiksmi, kur figurē eksistences kvantors L-kopu (tai skaitā
L-attiecību) situācijai, kvantors "parasti" ir jāaizvieto ar suprēma simbolu (Šeit mēs
ierobežosimies ar šī fakta konstatāciju, atliekot dziļāku tā pamatojumu līdz nākamām
kursa nodaļām.) Rezultātā var nonākt līdz tādai definīcijai:
3.3.10. Definīcija. Ja ir dotas divas L-attiecības : XY L un : YZL, tad par šo
L-attiecību kompozīciju sauc L-attiecību : XY L, kuru definē ar formulu
( )(x,z) : = Yy
sup { (x,y) (y,z)}.
Viegli pārliecināties, ka kompozīcijas attiecība ir asociatīva:
ja LYX:P , LZY:Σ , LTZ: ,tad PP .
Aicimām lasītāju pierādīt šo formulu.
No otras puses, kompozīcijas attiecība arī var nebūt komutatīva: PP . Aicinām
lasītāju konstruēt attiecīgu piemēru.
3.3.11. Piezīme. Ja : XY L un : YZL ir parastas attiecības (tātad un var
pieņemt tikai divas vērtības - 1 vai 0), tad šī definīcija kļūst ekvivalenta parasto attiecību
kompozīcijas definīcijai. Patiešam, ( )(x,z) = 1 tad un tikai tad, kad atradīsies Yy
tāds, kuram (x,y)=1 un (y,z)=1; pretējā gadījumā ( )(x,z) = 0.
Ilustrēsim tagad L-attiecību kompozīcijas operāciju ar vairākiem piemēriem.
3.3.12. Piemērs. Pieņemsim, ka ZYX R (tātad visas kopas ir reālo skaitļu kopas)
un abas nestriktas attiecības : XY L un : YZL ir "daudz mazāks"
attiecības [<<]. Tad ([<<] [<<])(x,z) = Yy
sup ([<<](x,y) [<<](y,z)). Pielietojot
matemātiskās analīzes aparātu, (vai pat intuitīvi uzmīnējot - šajā gadījumā tas nav
grūti) var saprast, ka suprēms tiks sasniegts pie tas y vērtības, kas atrodas pa vidu
53
starp x un z, (ņemot vērā ka netriviālajā gadījumā )zyx t.i. 2
xzy
,
iegūstam
1
2)(
41
z, xja ,0
),])([]([
zx
zx .
Tā kā
22 )(
11
)(
41
zxzx, no šejienes varam secināt, ka
([<<] ][ ) < [<<].
Uzskatāmi, šo parādību var ilustrēt ar vārdiem " kompozīcijas operācija
pastiprināja attiecības [<<] "daudz mazāk" “svaru”.
3.3.13. Piemērs. Atkal pieņemsim, ka ZYX R (tātad visas kopas ir reālo skaitļu
kopas) un abas nestriktas attiecības : XY L un : YZL ir "aptuveni
vienādas" attiecības [ ]. Tad kompozīcija [ ] [ ]: X LZ tiek definēta
sekojoši:
([ ] [ ])( ), zx = Yy
sup { [ ]( yx, ) [ ]( ), zy } =
=Yy
sup {2y)--k(xe
2z)--k(ye } = 4
)( 2zxk
e
Tā kā pie zx acīmredzami izpildās nevienādība 4
)( 2zxk
e
> 2z)--k(xe (un,
acīmredzot 4
)( 2zxk
e
= 2z)--k(xe pie zx !), varam secināt, ka [ ] [ ] [ ].
Uzskatāmi šo parādību var ilustrēt ar vārdiem "kompozīcijas operācija pavājina
attiecības [ ] "aptuveni vienāds" “svaru”.
3.3.14. Piemērs.
Atkal pieņemsim, ka ZYX R (tātad visas kopas ir reālo skaitļu kopas) un abas
(nestriktas) attiecības : XY L un : YZL ir attiecības [<] "mazāks" (Kā zināms,
katru parasto attiecību YX var traktēt arī kā L-attiecību LYX : , kura
pieņem tikai divas vērtības - 1 un 0.)
Tad, ievērojot, ka, ja zx , tad var atrast y tā, lai zyx , varam viegli
secināt, ka ([<] [<])(x,z) = Yy
sup {[<](x,y) [<](y,z)} = [<](x,z). Tāpēc
[<] [<] = [<]. Tātad stingras nevienādības parasta attiecība < (atšķirībā no
nestriktas nevienādības <<)nestrikta attiecība ir invarianta pret kompozīcijas
operāciju.
54
Mūsu nākamais mērķis noskaidrot, kā kompozīcijas operācija "sadzīvo" ar L-attiecību
apvienojuma un šķēluma operācijām. Apskatīsim tādu situāciju.
: XY L ir L-attiecība starp kopu X un Y elementiem;
: YZL un : YZL ir divas L-attiecības starp kopu Y un Z elementiem.
3.3.15. Teorēma. )()()( .
Pierādījums. ),)(( zx = Yy
sup { (x,y) ),)(( zy }= Yy
sup {( (x,y)
)),( zy {( (x,y) )),( zy } (Yy
sup {( (x,y) )),( zy ) (Yy
sup ( (x,y)
)),( zy ) = ),)((),)(( zxzx .
3.3.16. Piezīme. Kompozīcijas operācija ir monotoni augoša - t.i., ja : YZL un ' :
YZL ir divas L-attiecības starp kopu Y un Z elementiem un ja ' , tad,
acīmredzot, )'()( . No šejienes seko, ka
)()()( . Tomēr vienādība var arī neizpildīties pat parasto
attiecību gadījumā. Konstruējiet piemēru, kas ilustrē šo parādību!
3.3.17. L-kopu attēli ar L-attiecībām.
Pieņemsim, ka LXA : ir kopas X L-apakškopa un LYX : ir L-attiecība starp
kopu X un Y elementiem. Apskatīsim L-kopu )(A ),( LYF , kuru definē ar formulu
XxyxxAyA :,PsupP .
Šo L-kopu sauc par L-kopas LXA : augšējo attēlu ar attiecību , jo šis L-kopas
definēšana tiek izmantoti visi kopas Y elementi, kuri ir vismaz kaut kādā ( -)attiecībā ar
kādu no kopas X elementiem.
Var apskatīt arī t.s. apakšējo attēlu ar attiecību . Šo attēlu definē ar formulu
)(A (y) = Xx
inf ),P(),(1 yxxA .
3.3.18. Uzdevums. 1. Pierādiet, ka )()()( BABA un
)_()_()_( BABA ,
2. Vienādības )()()( BABA un )_()_()_( BABA var arī
neizpildīties - konstruējiet attiecīgus piemērus.
55
3.4. L-attiecību svarīgākās speciālās īpašības.
Parasto attiecību gadījumā bieži izmanto tādas speciālas attiecību īpašības, kā
refleksivitāte, simetriskums un tranzitivitāte. Attiecību, kurai piemīt visas šīs īpašības,
sauc par ekvivalences attiecību, vai vienkārši, par ekvivalenci. Un kā zināms,
ekvivalences ir ļoti liela nozīme dažādās matemātikas nozarēs. Šeit mēs apskatīsim šo
īpašību analogus L-attiecību gadījumā, kā arī dažas citas īpašības, kas raksturīgas tieši L-
attiecību, tai skaitā, nestriktu attiecību gadījumam.
Refleksivitāte
Atgādināsim, ka parasto attiecību starp kopas X elementiem (tātad XX ) sauc
par refleksīvu, ja XXxx ),( visiem .Xx "Pārtulkojot" šo definīciju L-kopu
gadījumam, dabiski iegūstam
3.4.1. Definīcija. L-attiecību LXX : sauksim par refleksīvu, ja 1),( xx
visiem .Xx
Viegli saprast, ka L-attiecība LXX : ir refleksīva tad un tikai tad, kad visi tas
līmeņu (parastas) attiecības axxxx '.P/',P ir refleksīvas.
No L-attiecību piemēriem, kurus apskatījām paragrāfā 3.2, refleksīva ir nestrikta attiecība
[ ] "aptuveni vienādi" (tas ir skaidrs no šīs attiecības definīcijas), kā arī L-attiecības
"Radi" un "Paziņas" - protams, pie nosacījuma, ka mēs uzskatām, ka katrs cilvēks ir gan
rads, gan paziņa pats sev vislielākajā mērā.
Uzdodot nestriktu attiecību ar matricu, refleksivitātes īpašība nozīmē, ka uz šīs matricas
galvenās diagonāles atradīsies viennieki (sk. 30.zīmējumu)
1x 2x3x 4x
1x 1 0 0.2 0.3
2x 0 1 0.1 1
3x 0.2 0.4 1 0.7
4x 0 1 0.4 1
30.zīmējums.
Līdzās refleksīvām L-attiecībām, dažreiz izmanto arī t.s. irrefleksīvas L-attiecības:
56
3.4.2. Definīcija. L-attiecību LXX : sauksim par irrefleksīvu, ja 0),( xx
visiem .Xx
Piemēram, nestriktas attiecības [<<] "daudz mazāks" un [>>] "daudz lielāks", acīmredzot
ir irrefleksīvas.
Simetriskums
Atgādināsim, ka (parasto) attiecību starp kopas X elementiem (tātad XX ) sauc
par simetrisku, ja XXyx ),( tad un tikai tad, kad XXxy ),( . "Pārtulkojot" šo
definīciju L-kopu gadījumam, dabiski iegūstam sekojošu definīciju:
3.4.3. Definīcija. L-attiecību LXX : sauksim par simetrisku, ja visiem
., Xyx izpildās vienādība:
),( yx ),( xy .
Viegli saprast, ka L-attiecība LXX : ir simetriska tad un tikai tad, kad visu tās
līmeņu (parastas) attiecības ir simetriskas.
No L-attiecību piemēriem, kurus apskatījām paragrāfā 3.2, simetriskas ir nestrikta
attiecība [ ] "aptuveni vienādi" (tas ir skaidrs no šīs attiecības definīcijas), un nestriktu
attiecību [<<] un [>>] apvienojums (par ko viegli pārliecināties). L-attiecību "Radi" arī
dabiski uztvert kā simetrisku. Spriežot par L-attiecību "Paziņas" var būt dažādi viedokļi:
iespējams, ka Pēteris uzskata Mārtiņu par sev ļoti tuvu draugu, teiksim,
U(Pēteris,Mārtiņš) = 0,9, bet Mārtiņa "jūtas" pret Pēteri nav tik draudzīgas un
U(Mārtiņš,Pēteris) = 0,7
Uzdodot nestriktu attiecību ar matricu, simetriskuma īpašība nozīme tieši, ka attiecīgā
matrica ir simetriska (sk. 31.zīmējumu.)
1x 2x3x 4x
5x
1x 0 0,1 0 0,1 0,9
2x 0,1 1 0,2 0,3 0,4
3x 0 0,2 0,8 0,8 1
4x 0,1 0,3 0,8 0,7 1
5x 0,9 0,4 1 1 0
31.zīmējums
57
Dažas L-attiecības var būt "lielā mērā" nesimetriskas. Mēs šeit apskatīsim divas tāda
veida īpašības - asimetriskas un antisimetriskas L-attiecības.
3.4.4. Definīcija. L-attiecību LXX : sauksim par asimetrisku, ja no tā, ka
),( yx >0 un ),( xy > 0 seko, ka yx .
3.4.5. Definīcija. L-attiecību LXX : sauksim par antisimetrisku, ja no tā, ka
),( yx >0 seko, ka ),( xy = 0. Citiem vārdiem, tas nozīme, ka
),( yx ),( xy =0 jebkuriem Xyx , .
Piemēram, nestriktas attiecības [<<] "daudz mazāks" un [>>] "daudz lielāks", ir
antisimetriskas.
Tranzitivitāte
Vispirms atgādināsim tranzitivitātes jēdzienu parasto attiecību gadījumā. Attiecību
starp kopas X elementiem (tātad XX ) sauc par tranzitīvu, ja no tā, ka ),( yx
un ),( zy seko, ka ),( zx visiem .,, Xzyx Meklējot analogu šai īpašībai L-
attiecību gadījumā, un tātad apskatot L-attiecību LXX : , vispirms, nosacījumus
),( yx , ),( zy un ),( zx aizvietosim attiecīgi ar vērtībām ),( yx , ),( zy un
),( zx . Tālāk, implikāciju "ja…tad", aizvietosim ar nevienādību . Rezultātā iegūsim
sakarību: ),( yx ),( zy ),( zx
Komentārs. Par to, ka elementa piederībai kopai klasiskajā matemātikā atbilst L-kopas
vērtībā šajā elementa, lasītājs, cerams, jau ir pieradis. Situācija, kad implikācija "ja…tad"
tiek aizvietota ar nevienādības zīmi ir jauna. Turpmāk mēs ar tādu situāciju bieži
satiksimies un vēlāk (10. Nodaļā) to vēl speciāli apspriedīsim. Pašlaik dosim tikai tādu
uzskatāmu tai interpretāciju: ja ),( yx pieder L-attiecībai ar pakāpi (t.i.
),( yx ) un ),( zy pieder L-attiecībai ar pakāpi (t.i ),( zy ), tad pārim
),( zx ir jāpieder šai L-attiecībai vismaz ar minimālo no šīm pakāpēm, tātad
),( zx . Rezultātā iegūstam formulu ),( yx ),( zy ),( zx .
Tagad šos spriedumus varam apkopot sekojošā definīcijā:
3.4.6. Definīcija. L-attiecību LXX : sauc par tranzitīvu, ja
),( yx ),( zy ),( zx visiem Xzyx ,, .
Nofiksējot iepriekšējā definīcija Xzx , un uzsverot, ka nevienādība izpildās jebkuram
Xy , varam tranzitīvitātes definīciju pārformulēt tādā ekvivalentā formā:
3.4.6'. Definīcija. L-attiecību LXX : sauc par tranzitīvu, ja
Yy
sup ( ),( yx ),( zy ) ),( zx visiem Xzx , .
58
Tālāk, salīdzinot izteiksmi Yy
sup ( ),( yx ),( zy ) ar L-attiecību kompozīcijas definīciju
(sk. definīciju 3.3.10), redzam, ka tas ir tas pats, kas ),)(( zx . Tātad, L-attiecības
tranzitīvitāte nozīmē, ka ),)(( zx ),( zx jebkuriem Xzx , . Rezultātā esam
pieradījuši sekojošu svarīgu teorēmu, kas raksturo tranzitīvas L-attiecības:
3.4.7. Teorēma. L-attiecība LXX : ir tranzitīva tad un tikai tad, kad
.
Tagad aplūkosim tranzitīvu (un netranzitīvu ) L-attiecību piemērus. Atzīmēsim uzreiz,
ka atšķirībā no parasto attiecību situācijas, L-attiecībām tranzitivitātes īpašība ir drīzāk
izņēmums, nekā tipiska parādība.
3.4.7. Piemērs. Nestrikta attiecība [<<] ir tranzitīva, jo kā mēs esam pierādījuši,
[<<] [<<] [<<].
3.4.8. Piemērs. Nestrikta attiecība [ ] nav tranzitīva, jo, kā mēs redzējām,
[ ] [ ] [ ], un pie tam ja zx , tad ([ ] [ ])( ), zx >[ ]( ), zx .
3.4.9. Piemērs. L-attiecība "radi" nav tranzitīva: piemēram mana brālēna brālēns var arī
nebūt mans brālēns!
3.4.10. Piemērs. L-attiecība "paziņas" arī nav tranzitīva: iespējams, ka Līga strādā kopa
ar Mārtiņu; Mārtiņš pamatskolā sēdēja vienā solā ar Inesi, bet Līga nekad nav
satikusi Inesi!
3.4.11. Piemērs. Galīgā kopā X={x,y,z,u} uzdosim nestriktu attiecību ar matricu (sk.
32.zīmējumu)
x y z u
x 0,2 1 0,4 0,4
y 0 0,6 0,3 0
z 0 1 0,3 0
u 0,1 1 1 0,1
32.zīmējums.
Šī attiecība ir tranzitīva. (pārbaudiet!)
Tranzitīvitātes īpašība ir ļoti svarīga parasto attiecību gadījumā, bet kā mēs redzējām
piemēros un ko var novērot arī daudzās citās "dabiskās" situācijās, L-attiecības bieži nav
tranzitīvas. Līdz ar to rodas jautājums, kā var "pārveidot" doto, netranzitīvu L-attiecību
LXX : , lai iegūtu ar to saistītu tranzitīvu L-attiecību. Uz šo jautājumu atbild
sekojošās definīcija un teorēma.
3.4.12. Definīcija. Par L-attiecības LXX : tranzitīvu slēgumu sauc vismazāko
tranzitīvu L-attiecību LXX :~
tādu, ka ~
.
59
Skaidrs, ka tranzitīvas L-attiecības slēgums ir pati šī tranzitīva L-attiecība. Bet kā atrast
šo slēgumu konkrētas netranzitīvas L-attiecības gadījumā? Un vai vispār tāds slēgums
vienmēr eksistē? Uz šiem jautājumiem atbild teorēma 3.4.12. Bet pirms to formulēsim,
ieviesīsim dažus apzīmējumus.
Ja LXX : ir L-attiecība, tad kompozīciju LXX : apzīmēsim ar 2 .
Tālāk, apskatot kompozīciju ( ) un ievērojot, vispirms, ka ( ) = ( ),
apzīmēsim to ar 3 . Turpinot pēc indukcijas un pieņemot, ka mums jau definēta
L-attiecību n-1 eksemplāru kompozīcija 1n , definēsim šo L-attiecību n eksemplāru
kompozīciju n = 1n . Citiem vārdiem, n.
n
PPPPapz
.
3.4.13. Teorēma. L-attiecības LXX : tranzitīvu slēgumu LXX :~
raksturo sekojošā formula:
~
= n
n
1
Pierādījums. Pierādīsim šo apgalvojumu gadījumā , ja L ir ķēde, piemēram, ka L=[0,1].
Apzīmēsim n
n
1 = . Mums vajag pierādīt, ka ir L-attiecības tranzitīvais
slēgums = ~
.
Pārbaudīsim vispirms, vai L-attiecība ir tranzitīva. Pieņem pretējo, ka tā nav. Tad
atradīsies punktu pāris XXzx ),( tāds, ka
),( zx < ( ) ),( zx = Yy
sup ( ),( yx ( ), zy ).
Bet tad atradīsies Xy 0 kas "realizē" šo nevienādību, proti, tādu, ka
),( 0yx ( ),0 zy > ),( zx . Atsaucoties uz L-attiecības definīciju kā visu L-
attiecību n suprēmumu, varam atrast naturālus skaitļus n un m tādus, ka n ),( 0yx m ( ),0 zy > ),( zx .
Apskatīsim tagad L-attiecību mn . Pēc definīcijas mn ),( zx = ( n m ) ),( zx =
=Yy
sup ( n ),( yx m ( ), zy ) ( n ),( 0yx m ( ),0 zy > ),( zx .
Tātad mn ),( zx > ),( zx . Bet tas ir pretruna ar L-attiecības definīciju, t.i, ka visu L-
attiecību n suprēms.
Tālāk, no L-attiecības konstrukcijas ir skaidrs, ka . Pieņemsim, ka ir vēl kāda
tranzitīva L-attiecība tāda, ka . Lai pabeigtu teorēmas pierādījumu, atliek parādīt,
ka .
No L-attiecības tranzitīvitātes un ņemot vērā kompozīcijas operācijas monotonitāti,
iegūstam: 2 = ; 2 ,
60
un tālāk, pēc indukcijas: n 1n . Tāpēc arī .
Tātad patiešām ir vismazākā tranzitīvā L-attiecība kopā X, kura satur L-attiecību
( ) un tātad = ~
.
3.4.14. Piezīme. Gadījumā, kad L=[0,1] L-attiecības LXX : tranzitīvu slēgumu
LXX :~
var uzskatāmi raksturot šādi:
~
),( zx tad un tikai tad, kad katram 0 atradīsies tāda kopas X elementu
galīga virkne },...,,{ 10 nyyy , ka xy 0 , zyn un ( ii yy ,1 ) visiem iy ,
ni ,...1 .
Apskatīsim piemērus, kā izskatīsies tranzitīvais slēgums dažās konkrētās situācijās.
3.4.14. Piemērs. Nestrikta attiecība "aptuveni vienāds" [ ]: R R L tiek uzdota ar
formulu [ ]( yx, )=2y)--k(xe .
Mēs redzējām (sk. 3.3.13), ka [ ]2 ( zx, ) = ([ ] [ ])( zx, ) = 4
)( 2zxk
e
.
Analoģiski:
[ ]4 ( zx, ) = ([ ]
2 [ ]2)( zx, ) =
Yy
sup { [ ]2( yx, ) [ ]
2( ), zy }=
=Yy
sup {2
4
1 y)-k(x-e
2
4
1 z)-k(y-e } =
2
2
4
)( zxk
e
un tālāk, pēc indukcijas
[ ]n2 ( zx, ) =
n
zxk
e 4
)( 2
.
Ievērojot, ka n
limn
zxk
e 4
)( 2
= 1 jebkuriem fiksētiem skaitļiem zx, , secinām, ka
~
( zx, ) = n
n
1( zx, ) = 1 un tātad
~ ir identiskā L-attiecība(sk. 33.zīmējumu.)
1
y-x
[ ]
2
4
33.zīmējums.
3.4.15. Piemērs. Apskatīsim L-attiecību "Paziņas". U: X LX , kur X ir visu uz
Zemes dzīvojošo cilvēku kopa. Ņemot, šai L-attiecībai tranzitīvu slēgumu mēs, tā
teikt, "pamatīgi paplašināsim savu draugu loku": jo tad sāks darboties princips:
61
"Mana drauga draugi ir mani draugi!" Iespējams, ka tādā gadījumā visi cilvēki uz
zemes savā starpā būtu draugi! Cik labi būtu, ja pati L-attiecība U patiešam būtu
tranzitīva!
3.4.16. Teorēma. Ja L-attiecībai LXX : visu līmeņu attiecības XX
ir tranzitīvas, tad pati LXX : arī ir tranzitīva.
Pierādījums. Vienkāršības labad ierobežosimies ar nestriktas attiecības gadījumu, t.i.
L=[0,1]. Pieņemsim, ka LXX : nav tranzitīva. Tad atradīsies Xzyx ,, tādi, ka
),( zx < ),(),( zyyx := . Bet tas nozīmē, ka ),(),,( zyyx , bet ),( zx -
tātad attiecība nav tranzitīva.
3.4.17. Uzdevums. Vai ar sekojošām matricām (sk. 34.zīmējumu nākamajā lpp.) uzdotās
nestriktas attiecības ir refleksīvas? Simetriskas? Tranzitīvas? Ja nav tranzitīvas,
konstruējiet tām tranzitīvus slēgumus.
3.4.18. Uzdevums. X - visu nenegatīvo, veselo skaitļu kopa. Apskatīsim nestriktu
attiecību ]1,0[: XX , kuru definē ar formulu ),( yx =||1
1
yx . Vai šī attiecība
ir refleksīva? Simetriska? Tranzitīva? Ja nav tranzitīva, konstruējiet tai tranzitīvu
slēgumu.
62
0,5 0,9 0 0 0,5
0 0,7 0 0 0
0 1 0,1 0,1 0
0 1 0,1 0,1 0
0,7 0,9 0 0 0,5
0,7 0 0 0 0
0,8 1 0,6 0,6 1
0 0 0,5 0,5 0
0 0 0,2 0,4 0
0,8 1 0,6 0,6 1
1 0,2 0,3 0,4 0,5
0 1 0,7 0,6 0,1
1 0,3 1 0,3 1
0,7 0,6 0,1 1 0
0,2 0,3 0,4 0,5 1
0,1 0,9 0,4 0,5 0,7
0,9 0,2 0,6 0,8 0
0,4 0,6 0,9 1 0,2
0,5 0,8 1 0,3 0,7
0,7 0 0,2 0,7 1
0,8 1 0,1
0 0,4 0
0,3 0 0,2
0,3 0,6 0,2
1 0,2 0,7
0 0,8 0,1
0,2 1 0,4
0 0,6 0,3
0 1 0,3
1 0 0,1
0 1 0,7
0,1 0,7 1
34.zīmējums.
63
3.5. Daži L-attiecību speciālie veidi.
3.5.1. Daļēja sakārtojuma L-attiecība
Definīcija. L-attiecību sauc par daļēja sakārtojuma L-attiecību, ja ir
refleksīva un tranzitīva.
Piemēram, 35.zīmējumā attēlotā matrica definē daļēja sakārtojuma L-attiecību.
Tās refleksivitāte ir acīmredzama, bet par tranzitivi lasītājs var pārliecināties pats.
1x 2x3x 4x
5x
1x 1 0,7 0,8 0,5 0,5
2x 0 1 0,3 0 0,2
3x 0 0,7 1 0 `0,2
4x 0,6 1 0,9 1 0,6
5x 0 0 0 0 1
35.zīmējums.
Teorēma. Ja L-attiecība ir daļējais sakārtojums tad 2 = .
Pierādījums.
No L-attiecību kompozīcijas definīcijas iegūstam:
2(x,z) =
y
sup ),(),( zyyx
Tā kā 1),(),( xxzz , no iepriekšējas formulas varam secināt, ka
2(x,z) ),( zx .
No otras puses, nevienādība
2(x,z) ),( zx
izpildās pateicoties L-attiecības tranzitivitātei, un tāpēc
2(x,z) ),( zx .
3.5.2. Sakārtojuma L-attiecība
Definīcija. Par nestriktu sakārtojumu sauc nestriktu
attiecību, kura ir refleksīva, tranzitīva un antisimetriska.
Piemēram, zīmējumā attēlotās matricas nosaka sakārtojuma nestriktas attiecības
(sk. 36.zīmējumu).
64
1x 2x3x 4x
1x 1 0,8 0 0
2x 0 1 0 0
3x 0,3 0,4 1 0,1
4x 0 0 0 1
36.zīmējums
3.5.3. Nestriktas ekvivalences attiecība. Definīcija. Par nestriktas ekvivalences, jeb L-ekvivalences attiecību attiecību sauc
L-attiecību , kura ir refleksīva, simetriska un tranzitīva.
Viegli pārbaudīt, ka, ja nestriktas ekvivalences attiecība pieņem tikai divas
vērtības - proti 0 un 1, tad tā ir "īsta" ekvivalences attiecība.
Piemēram, 37.zīmējumā attēlotā matrica definē nestriktas ekvivalences
L-attiecību - tā refleksivitāte un simetriskums ir acīmredzami, bet par tranzitīvi
lasītājs var pārliecināties pats.
1x 2x3x 4x
5x
1x 1 0,8 0,7 1 0,9
2x 0,8 1 0,7 0,8 0,8
3x 0,7 0,7 1 0,7 0,7
4x 1 0,8 0,7 1 0,9
5x 0,9 0,8 0,7 0,9 1
37.zīmējums.
Vēl vienu nestriktas ekvivalences attiecību uzdod funkcija
1, ja ,
x;y ja ,1
;1, ja ,
),(
)1(
)1(
kyxe
kxye
yx
xk
yk
Pārbaudiet!
65
3.5.4. Atšķirības L-attiecība.
Definīcija. Par atšķirības L-attiecību sauc L-attiecību , kura ir irrefleksīva,
simetriska un apmierina sekojošu īpašību:
(x,z) ),(),(inf zyyxy
(šo īpašību dažreiz sauc par min-max- tranzitivitāti.)
Var pārbaudīt, ka L-attiecība LXX : ir L-ekvivalences attiecība tad un
tikai tad, kad tās papildinājums LXX : ir atšķirības L-attiecība. (Šo
pārbaudi mēs atstāsim lasītājam).
Konkrēts L-atšķirības L-attiecības piemērs ir aprakstīts ar sekojošu matricu (sk.
39.zīmējumu):
1x2x 3x 4x
5x
1x 0 0,2 0,3 0 0,1
2x 0,2 0 0,3 0,2 0,2
3x 0,3 0,3 0 0,3 0,3
4x 0 0,2 0,3 0 0,1
5x 0,1 0,2 0,3 0,1 0
39.zīmējums. 3.5.5. Līdzības L-attiecība.
Definīcija. Par līdzibas L-attiecību sauc L-attiecību LXX : , kura ir
refleksīva un simetriska.
Piemēram, sekojoša matrica nosaka vienu konkrētu līdzības nestriktas attiecību.
(sk.40. zīmējumā):
1x 2x3x 4x
5x
1x 1 0,1 0,8 0,2 0,3
2x 0,1 1 0 0,3 1
3x 0,8 0 1 0,7 0
4x 0,2 0,3 0,7 1 0,6
5x 0,3 1 0 0,6 1
40.zīmējums.
66
Cits piemērs: nestrikta attiecība "aptuveni vienāds" ][ (sk.piemēru3.2.4) ir
līdzības L-attiecība.
Vēl vienu nestriktu attiecību naturālo skaitļu kopā nosaka funkcija
NyNxyx
yx ,,||1
1),(
Atzīmēsim, ka šīs nestriktas attiecības tranzitīvais slēgums ir ar sekojošo formulu
definēta nestrikta attiecība:
y. xja ,1
y, xja ,),(
21
yx
(Pārbaudi atstāsim lasītājam)
3.5.6. Nelīdzības L-attiecība
Definīcija Par nelīdzibas L-attiecību sauc L-attiecību LXX : , kura ir
irrefleksīva un simetriska
Viegli pārbaudīt, ka L-attiecība LXX : ir L-līdzības attiecība tad un tikai
tad, kad tās papildinājums LXX : ir nelīdzības L-attiecība. (Šo pārbaudi
mēs atstāsim lasītājam).
Piemēram, sekojoša matrica nosaka vienu konkrētu līdzības nestriktas attiecību.
(sk. 41.zīmējumu):
1x 2x3x 4y
5x
1x 0 0,3 0,9 1 0,2
2x 0,3 0 0,4 0,1 0
3x 0,9 0,4 0 0,8 0,1
4x 1 0,1 0,8 0 1
5x 0,2 0 0,1 1 0
41.zīmējums.
67
4. Reprezentācijas teorēmas.
Kā mēs redzējām 2. nodaļā, katrai kopai X un katram pilnam bezgalīgi distributīvajam
režģim L L-kopu saime (F(X,L), ),, arī ir pilns bezgalīgi distributīvs režģis. Šajā
režģī attiecība tiek definēta punktveidā (t.i. L-kopām M un N attiecība NM
nozīmē, ka )()( xNxM visiem .Xx ). Minimālais un maksimālais elementi šajā režģī
ir konstantas funkcijas 0X un 1X respektīvi. Divu L-kopu NM , F(X,L) maksimums un
minimums definēts, respektīvi, kā šo L-kopu apvienojums ( NM ) un šķēlums
)( NM . Bezgalīgu L-kopu saimes gadījumā }|{ IiM i tas suprēms un infīms tiek
definētas arī kā attiecīgas saimes apvienojums ( ii M ) un šķēlums ( ii M ). Pie tam, ja
režģī L ir definēta involūcija LLc : , tad režģī F(X,L) arī var ievest involūciju cMM , kur L-kopa cM ir definēta ar formulu cc xMxM )()( visiem .Xx
Šīs nodaļas mērķis ir raksturot režģi F(X,L) ar citu režģi G(X,L) gadījumā, kad režģis L ir
pilnīgi distributīvs. Mēs konstruēsim režģi G(X,L) un parādīsim, ka šis režģis G(X,L) ir
izomorfs dotajam režģim F(X,L) (un tāpēc manto visas tas "režģiskas" īpašības ), kaut ir
definēts uz citu ideju un koncepciju pamata. Tāpēc tas atļaus paskatīties uz L-kopām no
cita, alternatīva, viedokļa un, respektīvi, attīstīt alternatīvu aparātu L-kopu pētīšanai.
Tātad, mums ir fiksēts pilns bezgalīgi distributīvs režģis L un fiksēta kopa X. Kā parasti,
apzīmēsim ar )(XP kopas X visu apakškopu režģi.
4.1.Kopas G(X,L) definīcija.
Režģa G(X,L) elementi būs speciāla veida funkcijas )(: XPLf , tātad funkcijas,
kuras katram režģa L elementam piekārto kopas X kādu apakškopu .A Citiem
vārdiem, G(X,L) )}(:|{ XPLff = :M(L,P(X)). Pie tam kopā G(X,L)
iekļausim tādas un tikai tādas funkcijas, kuras apmierina sekojošus divus
nosacījumus:
(1) ;)0( Xf L
(2) i
iii ff )()( jebkurai režģa L virzītai elementu saimei }|{ Iii
Atgādināsim, ka režģa L elementu saimi A= }|{ Iii sauc par virzītu, ja jebkuriem
diviem elementiem Aji , atradīsies A tāds ka ji , . Gadījumā, ja
L ir ķēde, tad katra tas elementu saime ir acīmredzot, virzīta.
Atzīmēsim, ka no 2.nosacījuma izriet tāda svarīga kopai G(X,L) piederošo funkciju
īpašība:
(3) ja f G(X,L), tad f ir (nestingri) monotoni dilstoša: )()( ff .
Patiešām, ja , tad , un tāpēc no 2.nosacījuma secinām:
)()()()()( fffff .
68
Rezultātā mēs noskaidrojām, kas ir kopas G(X,L) elementi. Bet mums G(X,L) ir
vajadzīga nevis kā parasta kopa, bet kā režģis. Tāpēc mūsu kārtējais mērķis - definēt
režģa struktūru kopā G(X,L).
4.2. Režģa G(X,L) definīcija.
Ievedīsim sakārtojumu kopā G(X,L) sekojoši ( ),(, LXGgf ):
)()( gfgf visiem L
Minimumu un maksimumu elementiem ),(, 21 LXGff definēsim, respektīvi, šādi:
)()(:))(( 2121 ffff visiem L ;
)()(:))(( 2121 ffff visiem L
Lai pamatotu, ka maksimums un minimums tiek definēti korekti, un līdz ar to
G(X,L) patiešām ir režģis pie tāda veida definētām operācijām, mums ir
jānoskaidro, ka tādā veidā iegūtās funkcijas )(:21 XPLff un
)(:21 XPLff patiešām pieder kopai G(X,L) - proti, ka tam izpildās īpašības
(1) un (2) no iepriekšējā paragrāfa.
Tā kā
)0)(( 21 ff = )0(1f )0(2f = XX=X
un
)0)(( 21 ff = )0(1f )0(2f = XX=X,
īpašība (1) izpildās abām šīm funkcijām.
Pārbaudīsim īpašību (2) funkcijai )(:21 XPLff . Apskatīsim virzītu kopu
Iii : .L Tad
))(( 21 iiff = )(1 iif )(2 iif = i
if )(1 i
if )(2 =
i
ii ff ))()(( 21 = i
iff ))(( 21
un tātad 21 ff G(X,L).
Tagad pārbaudīsim īpašību (2) funkcijai )(:21 XPLff . Spriežot pēc
analoģijas ar minimuma gadījumu, jebkurai virzītai kopai Iii : .L varam
uzrakstīt:
))(( 21 iiff = )(1 iif )(2 iif = i
if )(1 i
if )(2 ?
i
ii ff ))()(( 21 = i
iff )))(( 21
un tātad 21 ff G(X,L).
Šajā formulu ķēdē visas vienādības ir acīmredzamas, izņemot vienādību, virs kuras
ir jautājuma zīme (jo ne vienmēr var mainīt vietām šķēluma un apvienojuma
operācijas.) Tātad, lai pabeigtu otrās īpašības pārbaudi funkcijai )(:21 XPLff
mums atliek pārliecināties par to, ka i
if )(1 i
if )(2 =i
ii ff ))()(( 21 .
69
Skaidrs, ka i
if )(1 i
ii ff ))()(( 21 un i
if )(2 =i
ii ff ))()(( 21
un tādēļ i
if )(1 i
if )(2 i
ii ff ))()(( 21 .
Otrādi, pieņemsim, ka x i
ii ff ))()(( 21 . Tad katram Ii x )(1 if vai
x )(2 if . Tomēr, lai secinātu, ka x i
if )(1 i
if )(2 tas ir par maz: mums
vajag pamatot, ka šis x pieder vai nu visiem )(1 if , vai nu visiem )(2 if (vai
abām divām).
Pieņemsim pretējo, t.i. ka atradīsies divi dažādi elementi Iii 21, tādi, ka
x )(11 if , bet x )(
12 if ;
x )(22 if , bet x )(
21 if .
Atsaucoties uz to, ka kopa Iii : .L ir virzīta, šajā kopā atradīsies 0i
tāds, ka
1i
0i
un 2i
0i
.
(Lineāri sakārtota režģa gadījumā (piem. kad L=[0,1]) elementa 0i
vietā var paņemt
lielāko no elementiem 1i
un 2i
.)
Bet tagad, atsaucoties uz īpašību (3), kura piemīt funkcijai 2f jo tā pieder G(X,L), ,
no tā, ka 1i
0i
secinām, ka )(12 if )(
02 if
Un no tā, ka 2i 0i
secinām, ka )(21 if )(
01 if . Tomēr tas nozīmē, ka
x )(01 if )(
02 if - kas ir pretrunā ar pieņemto.
70
4.3. Režģa G(X,L) pilnība.
Tā kā mēs parasti strādājam pilnu režģu kontekstā, dabiski parādās jautājums par
tikko konstruētā režģa pilnību. Mūsu nākamais mērķis ir parādīt, ka šis režģis
patiešām ir pilns (protams, pie nosacījuma, ka "izejas" režģis L ir pilns.).
Apskatīsim režģa G(X,L) elementu saimi }|{ Jjf j G(X,L) un definēsim
funkciju )(:0 XPLf ar vienādību )()(0 jj ff katram L . Tad funkcija
)(:0 XPLf ir saimes }|{ Jjf j infīms. Patiešām, ir skaidrs, ka 0f ir saimes
}|{ Jjf j infīms visu funkciju režģī )}(:|{ XPLff = : M(L,P(X)). Tātad
mums atliek pārbaudīt, ka 0f G(X,L). Lai par to pārliecinātos, apskatīsim režģa L
virzītu elementu saimi }|{ Iii un ņemot vērā, ka visas funkcijas jf G(X,L)
ievērosim, ka,
)0(0f = X
un
)(0 iif = ))(( iijj f = )( ii
j
jf = Jj
ij
Ii
f
)( = Ii
ij
Jj
f
)( =
=Ii
iji f
)))(( = Ii
if
)(0 ,
un tāpēc 0f patiešām pieder režģim G(X,L).
Tagad aplūkosim duālo jautājumu - proti, jautājumu par funkcijas saimes
}|{ Jjf j G(X,L). suprēma eksistenci.
(No vispārīgās režģu teorijas ir zināms, ka, ja režģī katrai elementu kopai eksistē infīms, tad arī katrai
elementu kopai eksistē arī suprēms. Tomēr mēs uzskatām par lietderīgu mūsu konkrētajā situācijā tieši
pārbaudīt šo faktu.)
Pirmā ideja, kas varētu nākt prātā - definēt funkciju saimes }|{ Jjf j suprēmu ar
formulu f = jj f ir maldīga: kaut funkcija f , acīmredzot, ir saimes }|{ Jjf j
suprēms funkciju režģī )}(:|{ XPLff = : M(L,P(X)), tā var arī nepiederēt
režģim G(X,L).
[Īsumā paskaidrosim, kāpēc tas var notikt. Iepriekšēja paragrāfā, pārbaudot, vai funkcija
)(:21 XPLff pieder G(X,L) pie nosacījuma, ka gan ),(1 LXGf gan
),(2 LXGf , mēs atsaucāmies uz to, ka katrs x, kas pieder šķēlumam
i
ii ff ))()(( 21 , pieder vai nu visiem )(1 if , i I vai visiem )(2 if , Ii .
Mēs pārliecināmies, ka šis apgalvojums ir spēkā divām funkcijām 1f , 2f ; līdzīgi var
vispārināt šo novērojumu galīgai funkciju ,...1f nf saimei. Tomēr skaidrs, ka mūsu
spriedumus neizdosies vispārināt bezgalīgai funkciju saimei ,...1f nf …. Lasītājs var
padomāt par konkrētiem pretpiemēriem. ]
Funkciju saimes }|{ Jjf j suprēmu 0f režģī G(X,L) definē ar sekojošu
formulu:
|{0 gf }, visiemun ),( JjffgLXGg jj .
71
No iepriekšējā punkta seko, ka funkcija 0f pieder režģim G(X,L) (kā režģim
G(X,L) piederošu funkciju saimes infīms) un pie tam skaidrs, ka 0f ir minimālā
no visām G(X,L) piederošām funkcijām, kuras mažorē visas funkcijas jf , un
tātad ir šīs saimes suprēms.
Tagad būtu laiks atcerēties, kāpēc mēs konstruējām režģi G(X,L) un interesējamies par tā
īpašībām. Proti, režģi G(X,L) mēs ievedām ar mērķi - atrast alternatīvu aprakstu kopas X
visu L-apakškopu režģim F(X,L) (kas, savukārt, ir visa šī kursa viens no centrāliem
objektiem!). Sekojošā teorēma tieši parāda, ka ar režģa G(X,L) palīdzību var realizēt šo
mērķi.
4.4.Reprezentācijas teorēma. Režģi G(X,L) un F(X,L) ir izomorfi.
Pierādījums.
4.4.1.Bijekcijas : F(X,L) G(X,L) konstruēšana.
L-kopai M F(X,L) piekārtosim funkciju (M) := Mf : X L , kuru definē
sekojoši: Mf ( ) = ]1,[1 M .
Pārbaudīsim, ka Mf G(X,L). Patiešām, Mf (0) = ]1,0[1M = X, tātad šai funkcijai
izpildās 1. nosacījums. Tālāk, ja Iii : L ir virzīta kopa, tad, ka viegli redzēt
Mf ( ii ) = ]1,[1
iiM =
i
iM
i
i fM )(]1,[1 ,
un tātad izpildās arī 2. nosacījums.
Tāpēc Mf G(X,L) un patiešām attēlo režģi F(X,L) režģī G(X,L).
Pārbaudīsim tagad, vai šādā veidā definēts attēlojums : F(X,L) G(X,L) ir injekcija.
Pieņemsim, ka NM , F(X,L) un NM . Tad atradīsies Xx tāds, ka
:= )()( xNxM =: . Apskatīsim funkcijas Mf un Nf . No definīcijas ir skaidrs, ka
x Mf ( ) un x Nf ( ). Pieņemsim, ka arī x Mf ( ) un x Nf ( ). Tad =
)(xM un = )(xN . Bet no šejienes seko, ka = . Iegūtā pretruna nozīmē, ka
vismaz viena no vienādībām Mf ( ) = Nf ( ) un Nf ( ) = Mf ( ) neizpildās, un tātad
Mf Nf .
Lai pamatotu, ka funkcija : F(X,L) G(X,L) ir sirjekcija, apskatīsim f G(X,L) un
konstruēsim ),( LXFM , tā lai Mf . Proti, liksim )}.(|sup{)( fxxM
katram .Xx
Rezultātā iegūstam L-kopu .: LXM
Pārbaudot, ka )( f = Mf ierobežosimies šeit ar gadījumu, kad L ir ķēde, piemēram,
L=[0,1]. Nofiksēsim .L Tad:
]1,[)( 1 Mxfx M ]1,[1Mx )(fx
)(xM )(Mfx
)(fx = ).()( ff
Tātad, )(Mfx )(fx visiem L , un tāpēc ffM .
72
Komentārs. Vispārīgajā gadījumā, tātad, kad L ir pilnīgi distributīvs režģis, pārbaudot
ka )(Mfx )(fx visiem L vajag izmantot wb-attiecību režģī L un ko-
primārus režģa L elementus (sk. 1. pielikumā). Tad attiecīgais pieradījums var
izskatīties šādi:
]1,[)( 1 Mxfx M visiem]1,[1Mx ,
CP(L) )(fx visiem , CP(L)
)(xM visiem , CP(L) )(Mfx visiem , CP(L).
No šejienes, ņemot vērā ka kopa )(,: LCP ir virzīta (sk. pielikumā) varam
secināt, ka
)(fx = f(sup )(,: LCP ) = ).(f
4.4.2. : F(X,L) G(X,L) ir režģu izomorfisms.
Patiešām, ja NM ( NM , F(X,L)), tad, no attēlojuma definīcijas ir skaidrs,
ka )(M := Mf Nf =: )(N . No režģu teorijas ir zināms (sk. pielikumā) , ka tas jau
garantē, ka attēlojums : F(X,L) G(X,L) ir režģu izomorfisms.
4.5. Režģis ar involūciju.
Apskatīsim tagad gadījumu, kad režģī L ir definēta involūcija LLc : . Kā redzējām 2.
Nodaļā, šī involūcija dabiski inducē involūciju L-kopu režģī F(X,L): cc xMxM )()( .
Šeit mēs definēsim involūciju ': G(X,L)G(X,L)
un paradīsim, ka izomorfisms : F(X,L) G(X,L) "respektē" šo involūciju.
Vienkāršības labad šeit mēs aplūkosim gadījumu, kad L =[0,1] ar standarta involūciju, t.i.
1:c.
Definēsim involūciju ': G(X,L) G(X,L) ar vienādību
c
fXf
)(\)(' .
Parādīsim, ka tādā veidā definēta funkcija 'f pieder kopai G(X,L). Patiešām,
'f (0)= 1
)(\
fX = 0\ X = X , tātad 1.īpašība izpildās.
Apskatīsim tagad skaitļu kopu :{ i }Ii un apzīmēsim = :{ i }Ii . Tad
'f ii = c
fX
)(\ = i c
i
fX
)(\ = i c
i
fX
)(\ = i
if )('
un tātad 2. īpašība arī izpildās.
Pārbaudīsim tagad, vai ': G(X,L) G(X,L) patiešām ir involūcija, t.i. vai ( 'f )' = f
katrai f G(X,L):
)()''( f = ).()()()(\\)('\
ffffXXfXc c c cc
Mums atliek pārbaudīt, vai izomorfisms : F(X,L) G(X,L) "respektē" šo involūciju,
tātad, ka cMM ff )'( .
Patiešām
73
1)()(1)( xMxMfx cM
cc
fXMXMXx c
)(\]1,[\]1,(\ 11 )(' f ,
un tāpēc cMM ff ' .
74
5. Turpinājuma princips.
Kā zināms, modernajā klasiskajā matemātikā ir daudzas nozares, kurās viens no
pamatjēdzieniem ir kopa - piemēram, modernā algebra, topoloģija, funkcionālanalīze
u.t.t. Tagad, ja mūsu uzmanības centrā ir L-kopas, t.i. kopas ar nestriktām, izplūdušām
robežām, tad dabiski rodas jautājums: vai mēs varam jau zināmus matemātiskus
rezultātus par parastām kopām jeb to parastiem elementiem "pārcelt", vispārināt
situācijai, kad operējam ar izplūdušām kopām un to "daļējiem" elementiem? Un vai
eksistē kaut kādas standarta metodes, kas atļauj to darīt pēc vienas shēmas?
Viena no tādam metodēm ir tā saucamais 'turpinājuma princips'. Šis princips, starp citu,
atļauj visdažādākās operācijas ar kaut kādas kopas elementiem (piem. skaitļu
saskaitīšana, reizināšana, u.c.) "pārcelt" uz šīs kopas L-apakškopām. Šajā nodaļa mēs
apskatīsim turpinājuma principu vispārīgajā formā. Konkrētus svarīgus šī principa
pielietojumus izpētīsim nākamajās divās nodaļās.
Sāksim ar vienu vienkāršu piemēru:
5.1. Piemērs. Pieņemsim, ka mums vajag saskaitīt divus reālus skaitļus x un y, kuri
radušies kaut kāda eksperimenta vai mērīšanas rezultātā un ir zināms, ka skaitlis x ir
atrasts ar precizitāti 0 un skaitlis y ir atrasts ar precizitāti 0 . Tad rezultātā mēs
iegūsim skaitli x+y ar precizitāti , jo kļūdas, kuras ir ieviesušās atradot skaitļus x un
y, saskaitot šos skaitļus, varēja arī summēties. Šo situāciju var interpretēt arī šādi:
Mēs saskaitām nevis skaitļus x un y, bet intervālus ],[ xx un ],[ yy un
rezultāta iegūstam nevis skaitļi x+y, bet intervālu ],[ yxyx :
],[ xx + ],[ yy = ],[ yxyx .
Šāda interpretācija liekas ļoti dabiska, jo reālie rezultāti ir nevis x un y bet kaut kādi
"precīzi nezināmie" skaitļi x' un y' no intervāliem ],[ xx un ],[ yy
respektīvi, un šo skaitļu x' un y' summa nav x+y, bet kaut kāds skaitlis x’+y’ no intervāla
],[ yxyx .
Skaidrs, ka līdzīgā situācijā starpības formula izskatīsies šādi:
],[ xx - ],[ yy = ],[ yxyx .
Ar līdzīgiem, kaut smalkākiem spriedumiem un ņemot vērā ka, kā parasti, un ir
mazie skaitļi var pamatot, ka reizinot attiecīgus skaitļus šajā situācija, mēs nonāksim līdz
formulai
],[ xx . ],[ yy = |]||||,|||[ xyxyxyxy .
75
5.2. Piemērs [Intervālā aritmētika]. Iepriekšējā piemērā apskatīta situācija ir t.s.
intervālā aritmētikas speciāls gadījums. Proti, apzīmēsim ar I(R ) visu reālo skaitļu slēgtu
intervālu kopu. Tad šajā kopā var dabiski definēt summas un starpības operācijas ar
sekojošām formulām:
],[],[],[ dbcadcba ;
],[],[],[ cbdadcba .
Daudz sarežģītāk izskatīsies intervālu reizinājuma formula (iegaumējiet, ka iepriekšējā
piemērā mēs atsaucāmies uz to, ka "pieskaitītie skaitļi un ir "mazi" salīdzinot ar
"galvenajiem" skaitļiem - x un y!)
Pašlaik mēs tikai formāli uzrakstīsim intervālu reizinājumu, atgriežoties pie šis formulas
pamatojuma vēlāk.
.0 vai0 ja }],,max{},,[min{
;0un 0 , 0 ja }],,max{},,[min{
;0un 0b ja ],,[
;0,0 ja ],,[
],][,[
cdabbdacbcad
accdabbcadbcad
dacbd
cabdac
dcba
Vēl sarežģītāks izskatīsies divu intervālu dalījums - šī jautājuma apspriedi mēs atliksim
līdz nākamajai nodaļai.
Tagad mēģināsim vispārināt iepriekšējo piemēru un saprast, kā būtu dabiski definēt
patvaļīgu reālo skaitļu apakškopu RA un RB summu BA , starpību BA , un
reizinājumu AB ?
Analizējot iepriekšējo gadījumu un vispārinot iepriekšējas formulas patvaļīgu reālo
skaitļu apakškopu summai, mēs nonācām līdz tādām formulām:
BA } ka ,,:{ zyxByAxz
BA } ka ,,:{ zyxByAxz
AB } ka ,,:{ zxyByAxz
Piemēram, ja ]3,2[A un }100{]7,1[ B tad, mēs iegūsim sekojošu
rezultātu: BA [3,10] ]103,102[ , ]97,98[]2,5[ BA ,
].300,200[]21,2[ AB
5.3.Definīcija.
Vispārinot iepriekšējo situāciju, apskatīsim funkciju ZYX : kas piekārto punktu
pārim ),( yx punktu ),( yxz , un definēsim attēlojumu
:P(X) )()( ZPYP ar
formulu
}),( ,,|{),( zyxByAxzBA
(Atgādināsim, ka ar P(X) mēs apzīmējam kopas X visu apakškopu saimi.)
Iegūto attēlojumu
:P(X) )()( ZPYP mēs sauksim par funkcijas ZYX :
turpinājumu uz kopu X un Y apakškopu saimēm P(X) un P(y).
76
Bet kā ir jārīkojas, lai funkciju ZYX : turpinātu uz kopu X un Y L-apakškopu
saimi? Citiem vārdiem, mums no funkcijas ZYX : ir "dabiski" jāiegūst
attēlojumu ),(),(),(:~ LZFLYFLXF . Viena no idejām kā to var izdarīt ir
konstruēt attiecīgu kopu no līmeņiem. Tas patiešam ir iespējams, kā mēs drīz
redzēsim teorēmā 5.8. Tomēr kā pamatdefinīciju ņemsim citu. Proti:
5.4 Definīcija. Apskatīsim funkciju ZYX : , kas piekārto punktu pārim
),( yx punktu ),( yxz un definēsim attēlojumu ),(),(),(:~ LZFLYFLXF ar
formulu
}),(,, |)()(sup{))(,(~ zyxYyXxyNxMzNM ,
kur ),(),,( LYFNLXFM .
Iegūto attēlojumu ),(),(),(:~ LZFLYFLXF sauc par funkcijas ZYX :
turpinājumu uz kopu X un Y L-apakškopu saimēm.
5.5. Piemērs. Definēsim "nestriktu" jēdzienu "skaitlis aptuveni vienāds ar 2" ar formulu:
.3 vai1 ja 0,
32 ja ,-3
2,x1 ja ,1
)(
xx
xx
x
xM
Tālāk, apskatīsim funkciju kas skaitļus kāpina kvadrātā:
RR : : 2)( xx
Tad, pielietojot šo funkciju nestriktam skaitlim M iegūstam:
9. x vai1 xja 0,
9,x4 ja ,x-3
4,x1 ja ,1
},|)(sup{))((~ 2
x
zxRxxMzM
(sk.41.zīmējumu)
-1 2 31
1
M(x)
-1 4 91
1
xM 2
41.zīmējums.
5.6. Piezīme. Parasto kopu gadījumā definīcija 5.4 reducējas uz formulu 5.3. Patiešām, ja
M un N ir kopas X parastas apakškopas, tad funkcija formulas
}),(,, |)()(sup{))(,(~ zyxYyXxyNxMzNM
77
labajā pusē var pieņemt tikai divas vērtības - 1, ja atradīsies punkti Mx un Ny
tādi, ka zyx ),( un 0 - pretējā gadījumā. Bet tieši to izsaka funkcija ),( NM sakarā
ar definīciju 5.3:
NyMxNMz ,),( tādi, ka ).,( yxz
Skaidrs, kā iepriekšējo definīciju var vispārināt vairākargumentu funkciju gadījumam:
5.7 Definīcija. Apskatīsim funkciju ZXX n ...: 1 un definēsim attēlojumu
),(),(...),(:~1 LZFLXFLXF n ar formulu
}),...,( ,,..., |)(...)(sup{))(,...,(~111111 zxxXxXxxMxMzMM nnnnnn ,
kur niLXFM ii ,...,1),,( .
Iegūto attēlojumu ),(),(...),(:~1 LZFLXFLXF n sauc par funkcijas
ZXX n ...: 1 turpinājumu uz kopu nXX ,...,1 L-apakškopu saimēm.
Definīcija 5.7 parasto kopu gadījumā nMM ,...,1 funkcijas ZXX n ...: 1
turpinājums )()(...)(: 1 ZPXPXP n izskatīsies šādi:
gad. pret. ,0
x,,x ka ,,, x ja ,1,,~ n111
1
zMMzMM
n
n
5.8. Piezīme. Gadījumā, kad n=1, tātad, kad ZX : ir viena argumenta funkcija, tad
no definīcijas 5.4 mēs iegūstam, ka attēlojums ),(),(:~ LZFLXF tiek definēts ar
vienādību
})(|)(sup{))((~ zxxMzM
Citiem vārdiem, attēlojums ),(),(:~ LZFLXF piekārto L-kopai M tās attēlu
).(M Savukārt, attēlojums
:P(X) )(ZP piekārto (parastai) kopai M šīs kopas attēlu
(M)= z}(x) ka ,|{ Mxz .
Agrāk mēs jau minējām, ka eksistē saiknes, starp funkcijas ZXX n ...: 1
turpinājumu uz L-kopu saimēm, t.i. ),(),(...),(:~1 LZFLXFLXF n un funkcijas
ZXX n ...: 1 turpinājumu uz parasto kopu saimēm, t.i.
)()(...)(: 1 ZPXPXP n . Vienu no tādām saiknēm apraksta sekojošā teorēma.
Vienkāršības labad šo teorēmu mēs formulēsim un pierādīsim divu argumentu funkcijas
gadījumā.
5.9. Teorēma. Pieņemsim, ka ZYX : ir funkcija un
:P(X) )()( ZPYP un
),(),(),(:~ LZFLYFLXF tās turpinājumi respektīvi uz parasto apakškopu un
L-apakškopu saimēm. Tālāk, pieņemsim, ka ),( LXFM un ),( LYFN . Tad
katram L ir spēkā vienādība:
78
).,()),(~( NMNM
(Atgādināsim, ka ar M mēs apzīmējām L-kopas ),( LXFM stingro līmeņi, t.i. M = (x) |{ Mx })
Pierādījums. (L=[0,1] gadījums)
Pieņemsim, ka .)),(~( NMz Tad
z}y),(un ,|)()(sup{))(,( xYyXxyNxMzNM un tāpēc atradīsies tādi
punkti Xx 0 un Yy 0 , ka zyx ),( 00 un )()( 00 yNxM . Bet tad,
acīmredzams, ka Mx 0 ,
Ny 0 un tāpēc ).,( NMz
Otrādi, pieņemot, ka ),( NMz , varam atrast tādus punktus Mx 0 un
Ny 0 , ka ,( 0x )0y = z . Bet tad
))(,(~ zNM )()(z})y),(un ,|)()(sup{ 00 yNxMxYyXxyNxM un
tāpēc .)),(~( NMz
Nestingriem līmeņiem var pierādīt tikai vienu no iekļaušanām:
).,()),(~( NMNM
5.10. Uzdevums:
1. Pierādiet, ka jebkuram L , jebkurai funkcijai ZYX : un jebkuram L-
kopām ),( LXFM un ),( LYFN . ir spēkā iekļaušana
).,()),(~( NMNM
2. Konstruējiet piemēru, kas rāda, ka iekļaušanas ),()),(~( NMNM var arī
nebūt.
79
6. L-vērtīgie lielumi (Nestriktie lielumi)
Par L-vērtīgiem lielumiem sauc speciāla veida reālo skaitļu kopas R L-apakškopas.
Pārsvarā aplukosim šeit gadījumu, kad L=[0,1]. Šajā situācijā L-vērtīgus lielumus sauc
arī par nestriktiem lielumiem. Pirms mēs varēsim definēt šo jēdzienu mums vajadzēs
precizēt dažus jēdzienus no matemātiskās analīzes.
6.1. Izliektas L-kopas un no augšas pusnepārtrauktas L-kopas.
6.1.1. Definīcija. Funkciju RRf : sauc par izliektu uz leju, vai vienkārši izliektu, ja
tās grafiks atrodas virs hordas kas savieno jebkurus divus grafika punktus. Citiem
vārdiem, funkcija ir izliekta, ja no zyx seko )(yf )()( zfxf . (sk 42.zīmējumu)
Piemērojot šo definīciju L-kopu situācijai, iegūstam:
x y z
f(x)
f(y)
f(z)
42.zīmējums. 6.1.1'. Definīcija. Reālas taisnes L-apakškopu A: R L sauc par izliektu, ja visiem
zyx ir spēkā nevienādība )(yA )()( zAxA .
6.1.2. Teorēma. Reālas taisnes L-apakškopa A ir izliekta tad un tikai tad, kad katram
L tā -līmenis ir intervāls (slēgts, pusvaļējs vai vaļējs; ierobežots vai neierobežots).
Tātad ],[ baA , ),[ baA , ],( baA vai ),( baA kur
ba
Pierādījums. Pieņemsim, ka L-kopas A visi -līmeņi ir intervāli un zyx .
Apzīmēsim )()( zAxA . Tad, ņemot vērā, ka A ir intervāls, varam secināt, ka
],[ zx A un tāpēc arī y A . Bet tas nozīmē kā )(yA .
Otrādi, pieņemsim, ka L-kopa A ir izliekta, un Azx , . Tad no izliektas kopas
definīcijas secinām, ka katram ],[ zxy izpildās Ay . Bet no šejienes viegli izriet, ka
)(yA )()( zAxA un tāpēc y A . Tātad, ja divi punkti Azx , , tad kopa A
satur arī visu nogriezni [x,z]. Bet tas tieši nozīmē, ka kopa A ir intervāls - ierobežots vai
neierobežots.
80
Atgādināsim no matemātiskās analīzes kursa zināmo funkcijas pusnepārtrauktības
jēdzienu:
6.1.3. Definīcija. Funkciju Xf : R sauc par pusnepārtrauktu no augšas ja katram
Rt kopa {x | f(x) t} ir slēgta.
(sk. 43.zīmējumu)
t
Šī funkcija ir pusnepārtraukta no augšas.
t
Šī funkcija nav pusnepārtraukta no augšas.
43.zīmējums.
L-kopas (L=[0,1]) gadījumā šī definīcija var būt pārformulēta sekojošā veidā:
6.1.4. Teorēma Reālas taisnes L-apakškopa M ir pusnepārtraukta no augšas tad un tikai
tad, kad visi tas līmeņi M ir slēgtas kopas.
6.1.5. Teorēma. Funkcija :f R R ir pusnepārtraukta no augšas tad un tikai tad, kad
katram Rx un katram 0 atradīsies 0 tāds, ka visiem Ry , kas
apmierina nevienādību || yx , izpildās nevienādība )()( xfyf .
Pierādījums ir vienkāršs un mēs atstāsim to lasītājam.
6.2. Aritmētiskās operācijas ar reālas taisnes L-apakškopām un -līmeņi
Iepriekšējā nodaļā apskatījām t.s. turpinājuma principa metodi, kas starp citu atļauj
"pacelt " artimētiskas operācijas, no skaitļiem uz skaitļu kopām. Šeit mēs apskatīsim šī
principa darbību reālas taisnes L-apakškopu gadījumā. Vispirms parādīsim, ka
aritmētiskās operācijas neizjauc reālo skaitļu L-apakškopu izliektību:
6.2.2. Teorēma. Pieņemsim, ka ),R(, LFBA Tad, ja BA, ir izliektas, tad arī L-kopas
A+B, A B un -A ir izliektas.
Pierādījums
1. Mums ir jāpierāda, ka jebkuriem zyx izpildīsies nevienādība
))(( yBA ))(())(( zBAxBA . Nofiksēsim >0. Tad, atsaucoties uz
turpinājuma principu, atradīsim 1x , 2x , 1z un 2z tādus, ka xxx 21 , zzz 21
un ))(()()( 21 xBAxBxA ; ))(()()( 21 zBAzBzA . Tālāk, tā kā
zyx varam atrast [0,1] tādu, ka zxy )1( .
81
Sadalīsim y kā divu skaitļu summu y =x' + z', kur 11 )1(' zxx un
22 )1(' zxz .
Tad, ņemot vērā summas A+B definīciju un L-kopu A un B izliektību, secinām:
)()()()()'()'())(( 2211 zBxBzAxAzBxAyBA
( ))(( xBA ) ( ))(( zBA )= ))(( xBA ))(( zBA .
Tā kā šī nevienādība izpildās visiem >0, no šejienes izriet vajadzīgā nevienādība
))(( yBA ))(())(( zBAxBA .
2. Pierādījums līdzīgs, kā summas gadījumā: Lai pierādītu nevienādību
))(( yAB ))(())(( zABxAB , kur zyx , nofiksēsim >0, un atsaucoties uz
turpinājuma principu, atradīsim 1x , 2x , 1z un
2z tādus, ka xxx 21 , zzz 21 un
))(()()( 21 xABxBxA ; ))(()()( 21 zABzBzA . Tālāk, tā kā zyx
ņemot vērā reizinājuma operācijas nepārtrauktību varam atrast 'x starp 1x un
1z un
z' starp 2x un
2z tādus, ka y =x' z'. Ņemot vērā reizinājuma AB definīciju un L-kopu
A un B izliektību, secinām:
)()()()()'()'())(( 2211 zBxBzAxAzBxAyAB
( ))(( xAB ) ))(( zAB )= ))(( xAB ))(( zAB .
Tā kā šī nevienādība izpildās visiem >0, no šejienes izriet vajadzīga nevienādība
))(( yAB ))(())(( zABxAB .
3. L-kopas -A izliektība ir acīmredzama, jo no nevienādības zyx seko nevienādība
xyz .
Formulās, pēc kurām turpinām aritmētiskās operācijas no reāliem skaitļiem uz reālo
skaitļu L-apakškopām, figurē suprēms. Suprēma izmantošana no vienas puses ir ļoti
principiāla turpinājuma principa izpausme, bet no otras puses, tas būtiski sarežģī un
komplicē aritmētisko operāciju izpēti un lietošanu. Par laimi, izrādās, ka gadījumā, kad
mēs operējam ar pusnepārtrauktām reālo skaitļu L-apakškopām, aritmētisko operāciju
definīcijas var būtiski vienkāršot. Proti, ir spēkā sekojoša vispārīga teorēma:
6.2.3. Teorēma. Pieņemsim, ka RRR : ir nepārtraukta operācija un ),(, LRFBA
ir pusnepārtrauktas no augšas L-kopas kurām visi līmeņi pie >0 ir ierobežotas
kopas. Tad katram Rz , kuru var iegūt izskatā yxz vispār, var arī piemeklēt
Ryx , tādus, ka yxz un ).()())(( yBxAzBA
Pierādījums. Pēc turpinājuma principa ).()(sup))(( yBxAzBAzyx
Gadījums, kad
0))(( zBA ir acīmredzams.Tādēļ apskatīsim gadījumu, kad ))(( zBA >0. Pie tam
pieņemsim, ka )()( yBxA ).()(sup yBxAzyx
visiem Ryx , tādiem, ka yxz .
Atsaucoties uz suprēma definīciju, konstruēsim virknes ( )nx un )( ny tādas, ka
82
nn yxz un virkne )()( nn yBxA konverģē uz no apakšas. Pie tam mēs esam tiesīgi
pieņemt, ka visi )(un )( nn yBxA ir pozitīvi un vismaz viena no virknēm nxA vai nyB
konverģē uz skaitļi no apakšas. Pieņemsim, ka tāda ir virkne )( nxA . Tagad,
atsaucoties uz to, ka visi līmeņi ir slēgtas (tas izriet no L-kopas A pusnepārtrauktības) un
ierobežotas kopas, varam secināt, ka virknei ( )nx ir apakšvirkne ( )knx , kura konverģē uz
kādu punktu 0x un pie tam šis punkts pieder katram ' līmenim 'A , kur ' . Bet
tad, izmantojot līmeņu īpašības, varam secināt, ka 0x
'
'A = A . (sk 1.3.2. teorēmu
par nestriktas kopas līmeņu dekompozīcijas pusnepārtrauktību).
Apskatīsim tagad ar atbilstošiem numuriem virknes )( ny apakšvirkni ( )kny . No
konstrukcijas ir skaidrs, ka bezgalīgi daudz tās locekļu kny pieder katram ' līmenim
'B , kur ' . Tad arī var apgalvot, ka šai virknei ( )kny atradīsies akumulācijas punkts
0y , kas pieder visiem ' līmeņiem, kur ' . (Atkal mēs izmantojām šeit to, ka
līmeņi ir slēgtas ierobežotas kopas.) Tāpēc, līdzīgi kā iepriekš, iegūstam
0y
'
'B = B .
Tātad, )( 0xA , )( 0yB un tāpēc )( 0xA )( 0yB .
No otras puses pēc konstrukcijas visiem n izpildās vienādība nn yxz un tāpēc,
atsaucoties uz operācijas nepārtrauktību varam secināt, ka 00 yxz . Līdz ar to
teorēma ir pierādīta.
6.2.4. Piezīme. Analizējot iepriekšējās teorēmas pierādījumu ir skaidra sekojošā teorēmas
modifikācija. Ja mēs pieņemsim, ka L-kopām ),(, LRFBA visi -līmeņi ir slēgtas un
ierobežotas kopas vismaz sākot ar tiem , kuriem ir spēkā nevienādība , tad tiem
z R , kuriem ))(( zBA , var piemeklēt Ryx , tādus, ka yxz un
).()())(( yBxAzBA
6.2.5. Teorēma. Pieņemsim, ka RRR : ir nepārtraukta operācija un ),(, LRFBA
ir pusnepārtrauktas L-kopas, kurām visi līmeņi pie >0 ir ierobežotas kopas. Tad
)( BA = BA visiem >0.
Pierādījums. Pieņemsim, ka z )( BA . Tad, atsaucoties uz iepriekšējo teorēmu, varam
atrast Ryx , tādus, ka yxz un Ax , By . No turpinājuma principa mēs tagad
varam secināt, ka z BA . Tāpēc )( BA BA .
Apgrieztā iekļaušana )( BA BA izpildās jebkurām L-kopām ),(, LRFBA .
Patiešām, ja z BA , tad atradīsies Ax , By tādi, ka yxz . Bet tad no
turpinājuma principa izriet, ka ))(( zBA un tāpēc z )( BA .
No teorēmām 6.2.3. un 6.2.5. izriet svarīgas sekas par L-kopu -līmeņu saglabāšanu arī
turpināto operāciju gadījumā, kad sākotnējā operācija ir nepārtraukta. No šī viedokļa
83
apskatīsim vēlreiz svarīgākās operācijas ar reāliem skaitļiem: summu, starpību, inverso
(pēc saskaitīšanas) atrašanu, reizinājumu un dalījumu. Atsaucoties uz turpinājuma
principu iegūstam:
1. reālas taisnes L-apakškopu BA un summa izskatīsies šādi:
)()(sup))(( yBxAzBAzyx
;
2. reālas taisnes L-apakškopas A inversā (pēc saskaitīšanas) L-apakškopa ( )A
izskatīsies šādi: ( )A (x) = A (-x);
3. reālas taisnes L-apakškopu BA un starpība izskatīsies šādi:
)()(sup))(( yBxAzBAzyx
;
(Ievērojiet, ka L-kopu starpību var iegūt, pēc analoģijas ar parasto skaitļu starpību arī
pieskaitot L-kopai A L-kopas B inverso L-kopu )( B : BABA )( );.
4. reālas taisnes L-apakškopu BA un reizinājums izskatīsies šādi:
)()(sup))(( yBxAzABzxy
.
5. reālas taisnes L-apakškopu BA un dalījums izskatīsies šādi:
)(z
B
A)()(sup yBxA
yzx
(Ievērojiet, ka nosacījumu "z ir skaitļu x un y dalījums" mēs pierakstam formā "x=yz",
nevis formā "z=x/y lai izslēgtu gadījumu, kad ir jādala ar 0.)
Pirmās četras no apskatītām operācijām RRR : ir nepārtrauktas - tas ir labi
zināms no matemātiskās analīzes kursa (un faktiski par to lasītājs viegli var
pārliecināties pats). Tāpēc no iepriekšējas teorēmas iegūstam tādu secinājumu:
6.2.6. Secinājums Pieņemsim,ka ),(, LRFBA ir pusnepārtrauktas no apakšas L-kopas,
kurām visi līmeņi >0 ir ierobežotas kopas. Tad visiem >0:
a) )( BA = BA ;
b) AA )( ;
c) )( BA = BA ;
d) )(AB = BA .
Atšķirībā no pirmām četrām operācijām, dalīšanas operācija reālo skaitļu laukā nav
nepārtraukta: ir zināms ka ar 0 dalīt nedrīkst. Tāpēc arī šīs operācijas turpinājums uz L-
apakškopu saimi nav tik skaidrs, kā pārējo aprakstīto operāciju turpinājums. Šeit mēs
vairāk nepētīsim dalījuma operāciju, bet atgriezīsimies pie tā vēlāk.
6.3. L-vērtīgie, jeb nestriktie lielumi. Aritmētiskās operācijas ar nestriktiem
lielumiem un to -līmeņi
Pagājušā paragrāfā mēs apskatījām trīs reālas taisnes L-apakškopu īpašības - izliektību,
pusnepārtrauktību no augšas un -līmeņu ierobežotību. Reālas taisnes L-apakškopām,
84
kurām piemīt visas šīs īpašības, būs liela loma mūsu kursā un tāpēc tas ir nopelnījušas
speciālu nosaukumu - mēs tās sauksim par L-vērtīgiem lielumiem. Gadījumā kad L =
[0,1], kas turpmāk šajā nodaļā tiek pieņemts visur, ja nav speciālās atrunas, mēs parasti
sauksim tas par nestriktiem lielumiem.
6.3.1. Definīcija. Par L-vērtīgu jeb nestriktu lielumu sauc reālas taisnes izliektu
pusnepārtrauktu no augšas L-apakškopu, kurai -līmeņi visiem >0 ir ierobežotas
kopas. Visu nestriktu lielumu kopu mēs apzīmēsim NL.
Ievērojiet, ka katra reāla skaitļa t R harakteristiskā funkcija
t (x) =
tx
tx
ja,0
ja ,1
ir izliekta, pusnepārtraukta no augšas un visi tās -līmeņi sakrīt ar kopu {t} (citiem
vārdiem, ar deģenerēto intervālu [t,t].) Tāpēc identificējot skaitļus ar tās harakteristiskām
funkcijām (ko mēs parasti arī darīsim), varam uztvert reālus skaitļus kā nestriktus
lielumus.
Iepriekšējā nodaļā mēs apskatījām kā turpinājuma princips atļauj aritmētiskas operācijas
ar reāliem skaitļiem turpināt līdz aritmētiskām operācijām ar reālo skaitļu L-apakškopām
veltot īpašu uzmanību jautājumam, kā operācijas ar L-kopām atspoguļojās tās līmeņos.
Šeit, pamatojoties uz iepriekšējā paragrāfā iegūto informāciju, mēs parādīsim, ka šīs
nepārtrauktās operācijas, pielietojot tās nestriktiem lielumiem, neizved no nestrikto
lielumu saimes.
Bet vispirms dosim vienu ērtu nestrikto lielumu raksturojumu:
6.3.2. Teorēma L-kopa ),( LXFA ir nestrikts lielums tad un tikai tad, kad katram
L , 0 -līmenis A ir slēgts intervāls, tātad A =[ ba , ]. (Nav izslēgts
gadījums, kad ba )
Pierādījums seko tieši no teorēmām 6.1.2., 6.1.4. un nestrikta lieluma definīcijas.
Ar teorēmas 6.2.5 un tās secinājuma 6.2.6. palīdzību mēs pierādīsim apsolīto rezultātu
par operācijām ar nestriktiem lielumiem:
6.3.3. Teorēma. Pieņemsim, ka RRR : ir nepārtraukta operācija un NLBA , .
Tad BA NL .
Pierādījums. Vispirms pārbaudīsim, ka, ja A un B ir slēgti intervāli: A=[a,b], B=[c,d], tad
A B arī ir slēgts intervāls (deģenerēta intervāla [a,a] gadījums nav izslēgts.)
Patiešām, ja A un B ir slēgti intervāli, tad to reizinājums ir slēgts taisnstūris A B plaknē
R2, No matemātiskās analīzes vai elementāra topoloģijas kursa ir zināms, ka kvadrāts ir
kompakta sakarīga kopa. Tā kā pēc nosacījuma operācija ir nepārtraukta divu
argumentu funkcija: : R2R, tad kompaktas kopas A B attēls (un šis attēls, kā viegli
redzēt, ir tieši kopa A B !) ir kompakta reālas taisnes apakškopa. No otras puses
sakarīgas kopas A B attēls ir sakarīga reālas taisnes apakškopa. Tātad, kopai A B ir
85
jābūt gan kompaktai gan sakarīgai. Bet no matemātiskās analīzes vai elementāras
topoloģijas ir zināms, ka tikai slēgti ierobežoti intervāli ir taisnes apakškopas, kuras ir
gan kompaktas, gan sakarīgas.
Apskatīsim tagad vispārīgu situāciju, kad BA, NL . Tad, atsaucoties uz teorēmu 6.2.5.
izpildās )( BA = BA visiem >0. Savukārt, no teorēmas 6.3.2. nestriktu lielumu
visi -līmeņi BA un ir slēgtie ierobežotie intervāli un tāpēc arī no jau pierādītā varam
secināt, ka )( BA = BA ir slēgts ierobežots intervāls. Mums atliek vēl reiz
atsaukties uz teorēmu 6.3.2 un secināt, ka
BA ir nestrikts lielums.
6.3.4. Secinājums Ja NLBA , tad visiem >0:
a) )( BA = BA ;
b) AA )( ;
c) )( BA = BA ;
d) )(AB = BA .
6.3.5. Secinājums Ja NLBA , , tad BA NL , BA NL un NLAB .
Īpašu uzmanību ir jāpievērš dalīšanas operācijas turpinājumam uz nestrikto lielumu
kopu, jo šī operācija nav nepārtraukta. Sīkāk apskatīsim situāciju, kad dalītājs ir
"parastais skaitlis" t R , vai precīzāk sakot, attiecīgais nestriktais lielums, tātad skaitļa t
harakteristiskā funkcija t .
Ja 0t , tad dalīšanas operācija ar t ir nepārtraukta un tāpēc šajā gadījumā varam
atsaukties uz iepriekš iegūtajiem rezultātiem un secināt, ka
t
A
ir nestriktais lielums.
Konkrēts šī lieluma apraksts dots ar sekojošo formulu:
t
A
(z) = )()(sup yxA t
yzx
= (A )() tzt t = )(ztA .
Pievērsīsimies tagad gadījumam, kad .0t Tad
0
A(z) = )()(sup 0 yxA
yzx
.
Bet no šīs formulas ir skaidrs, ka netriviāls suprēms var būt sasniegts tikai ja 0y (šajā
gadījumā )0(0 =1 un 0)(0 y ja 0y ). Bet tad arī x=yz=0, un tas nozīmē, ka
0
A(z) = ).0(A visiem z R .
86
Tātad:
0
A ir konstanta L-kopa, kuras vērtība ir ).0(A Atsaucoties uz attiecīgām
definīcijām, varam secināt, ka
0
A ir (deģenerēts) nestrikts lielums
0
A= 0, ja
A(0)=0 un tas ir "gandrīz" nestriktais lielums
0
A= A(0) ja 0)0( A . (Tā acīmredzot ir
pusnepārtraukta no augšas izliekta L-kopa; līdz "kārtīgam" nestriktam lielumam tai trūkst
tikai -līmeņu ierobežotība.)
87
6.4. Operāciju ar nestriktiem lielumiem algebriskās īpašības.
Šajā nodaļā mēs apskatīsim kādas algebriskās īpašības piemīt operācijām ar nestriktiem
lielumiem. Daudzas no šīm īpašībām ir analoģiskas attiecīgām reālo skaitļu īpašībām.
Tomēr ir arī būtiskas atšķirības. Svarīgākās no īpašībām ir savāktas sekojošā teorēma. Kā
parasti, mēs identificējam reālo skaitli t ar attiecīgu harakteristisku funkciju t .
CBA un , šeit ir patvaļīgie nestriktie lielumi ( ),, NLCBA .
6.4.1. Teorēma
1. 0 + A = A;
2. gadījumā, ja 1)(sup
xARx
(tādas L-kopas sauc par normālām), tad 00 A ;
3. AA 1 ;
4. ;ABBA (tātad summas operācija ir komutatīva);
5. ;)()( CBACBA (tātad summas operācija ir asociatīva);
6. ;BAAB (tātad reizinājuma operācija ir komutatīva);
7. ;)()( CABBCA (tātad reizinājuma operācija ir asociatīva);
8. tBtABAt )( (reizinājums ar skaitli ir distrībutīvs attiecība uz nestrikto lielumu
summu)
9. ACABCBA )( , kaut arī vienādība ACABCBA )( var neizpildīties
(tādu īpašību var nosaukt par pusdistributivitāti);
10. ;)( AA
11. );()()( BAABBA (un tātad );()( tAAt )
12. ;1
Att
A pie nosacījuma, ka 0t un tāpēc, ņemot vērā 3. īpašību,
1
AA ;
Gadījumu, kad t=0 mēs jau esam apskatījuši agrāk. Proti, mēs redzējām, ka:
0
A ir
konstanta L-kopa, kuras vērtība ir ).0(A
Pierādījums.
1.īpašība: ))(0( xA = )()(sup 0 zAyxzy
= )()0(sup 00
zAxz
= )(xA ;
2.īpašība: ))(0( xA
)()(sup 0 zAyxyz
)()0(sup 00
zAxz
0 xja ,0
0; xja ),(sup zARz .
Tātad, ja 1)(sup
xARx
, tad )0( A = 0 (=0); pretējā gadījumā rezultātā mēs iegūsim L-
kopu, kura visur ir nulle izņemot punktu x=0, kurā tās vērtība ir )(sup xARx
.
3.īpašība: 1
)()(sup)( 1 zAyxAxzy
)()()1(sup 11
xAzAxz
;
4.,5.,6. un 7. īpašību pierādījums ir vienkāršs un mēs to atstāsim lasītājam.
88
8.īpašība: ))(()(sup)()( zBAyxBA txzy
t
= ))(()(sup zBAttxzt
=
)()(sup vBuA
xztzvu
;
no otras puses:
)(xBA tt )()()()(sup)(
vBtuAt ttxtvu
)()(sup vBuA
xztzvu
.
Tātad, abos gadījumos mēs iegūstam vienu un to pašu rezultātu. Tāpēc
)()( xBAt = )(xBA tt
un līdz ar to 8.īpašība ir pierādīta.
9.īpašība: Lai pierādītu nevienādību ACABCBA )( , pieņemsim, ka tā nav spēkā.
Tad atradīsies Rx tāds, ka ))(())(( xACABxCBA . Apzīmēsim šīs nevienādības
labo pusi ar un, atsaucoties uz nestrikto lielumu summas un reizinājuma definīcijām,
atradīsim skaitļus yts un , tādus, lai yts un )()()( tCsByA .
No otras puses, tā kā ))(( xACAB , tad, atkal izmantojot nestriktu lielumu summas
un reizinājuma definīcijas, varam secināt, ka jebkuriem skaitļiem zwvu un ,, , kuri
apmierina vienādību xwzuv , ir spēkā nevienādība )()()()( zCwAvBuA .
Paņemot ywu , sv un tz (kas, acīmredzot, apmierina vajadzīgās prasības),
iegūstam )()()( tCsByA .No iepriekš pierādītā secinām, ka
ACABCBA .
10.un11.īpašību pārbaudi mēs atstāsim lasītājam.
12. īpašība: ))()((sup)( zyAxA
txzyt
))()((sup tyA txty
= );(xtA
no otras puses arī )())(()(1
1 xtAxAxAt t
, un tāpēc
t
A
A
t
1.
6.4.2 Uzdevumi
1. Uzdevums. Pierādiet, ka eksistē nestriktie lielumi A un B tādi, ka:
a) AA 0;
b) ABBA )( ;
c) A
A 1.
2. Uzdevums. Iepriekšējā teorēmā ir pierādīta nevienādība
ACABCBA )( .Konstruējiet piemēru kas parāda, ka nevienādību nevar
aizvietot ar vienādību. Proti, konstruējiet tādus nestriktus lielumus CBA ,, , ka
ACABCBA )( .
89
3. Uzdevums. Apzīmēsim ar C visu izliektu taisnes R L-apakškopu saimi. Ievedīsim
sakārtojumu kopā C liekot BA L-kopām BA, C tad un tikai tad, kad
)()( xBxA visiem Rx .
a) Pierādiet, ka (C, ) ir režģis.
b) Konstruējiet tādas BA, C, ka BA C BA , kur ar ir apzīmēts parastais
(punktveida) maksimums, bet ar C ir apzīmēts maksimums režģī (C, ).
4. Uzdevums. Apskatīsim reālas taisnes divas L-apakškopas:
)1(2
1)(
2
x
exA
un
1)( xB .
Pierādiet, ka BA un ir izliektas L-kopas, un arī BA ir izliekta L-kopa, bet
5.05.05.0)( BABA .
90
7. L- skaitļi un L-intervāli
(Nestriktie skaitļi un nestriktie intervāli)
Šajā nodaļā mēs apskatīsim divus nestriktu lielumu speciālus tipus: t.s. nestriktus skaitļus
un nestriktus intervālus. Tieši tādus nestriktus lielumus visbiežāk izmanto gan teorētiskos
pētījumos, gan dažādos pielietojumos.
7.1. L-skaitļi (nestriktie skaitļi)
7.1.1. Definīcija. Par nestriktu skaitli sauc nestriktu lielumu A , kuram eksistē viens
vienīgs punkts )( Axx tāds, ka .1)( xA Šo punktu )( Axx mēs sauksim par nestrikta
lieluma A virsotni.
Atsaucoties uz iepriekšējas nodaļas rezultātiem, nestriktu skaitli definēsim sekojoši:
7.1.1'. Definīcija Par nestriktu skaitli sauc reālas taisnes L-apakškopu A tādu, ka
01 visi līmeņi A ir slēgti ierobežoti intervāli;
02 eksistē viens vienīgs punkts )( Axx tāds, ka .1)( xA
Lasītājs var viegli pārliecināties par sekojošo apgalvojuma patiesumu
7.1.2. Apgalvojums. Ja A ir nestrikts skaitlis un Ax ir tas virsotne, tad intervālā
],( Ax funkcija A ir augoša un intervālā ),[ Ax tā ir dilstoša.
(Terminus "augoša" un "dilstoša" mēs saprotam nestingrā nozīmē. Proti funkcija A ir
augoša, ja no x<y seko A(x) )(xB . Līdzīgi tiek definēta arī dilstoša funkcija.)
Ir ļoti svarīgi, ka parastus skaitļus var dabiski interpretēt, kā speciāla veidā nestriktius
skaitļus. Proti, identificējot, kā parasti, skaitli Rt ar tā harakteristisko funkciju t ,
ievērosim, ka t ir nestrikts skaitlis: visi līmeņi tam ir deģenerēts intervāls [t,t].
44. zīmējumā mēs parādam dažus tipiskus nestriktus skaitļus:
1 1 1
44.zīmējums.
91
7.1.3. Teorēma. Ja BA un ir nestriktie skaitļi, tad ,BA AB un A arī ir nestriktie
skaitļi.
Pierādījums
Iepriekšējā nodaļā mēs jau redzējām, ka ja BA un ir nestriktie lielumi, tad ,BA AB
un A arī ir nestriktie lielumi. Tāpēc, lai pierādītu šo teorēmu, mums pietiek parādīt, ka
katrai no L-kopām ,BA AB un A ir viena vienīga virsotne. Pārbaudīsim šo faktu L-
kopai ,BA atstājot pārējās lasītājam.
Ievērosim, vispirms, ka ja Ax ir L-kopas A virsotne un
Bx ir L-kopas B virsotne, tad
BAx :=
Ax +Bx ir kopas ,BA virsotne, jo
( ,BA )(BAx
) = )()(sup tBsABAxts
= )()( BA xBxA = 1.
No L-kopu summas definīcijas ir skaidrs arī, ka nevienā citā punkta, izņemot BAx
funkcija ,BA nevar sasniegt vērtību 1.
7.2. Trīsstūrveida nestriktie skaitļi.
Sevišķi uzskatāmu nestriktu skaitļu klasi veido t.s. trīsstūrveida nestriktie skaitļi:
7.2.1. Definīcija. Par trīsstūrveida nestrikto skaitli sauc nestrikto skaitli A , kuru var
uzdot ar formulu
x
cxbcb
cx
bxaab
ax
ax
xA
c ja ,0
, ja ,
, ja ,
, ja ,0
)(
kaut kādiem cba .
Skaidrs, ka trīsstūrveida nestriktus skaitļus var ērti pierakstīt, kā trīs reālo skaitļu kortežu:
( cba ,, ), kur cba . Tātad nestriktam skaitlim ( cba ,, ) punkts b ir virsotne, bet
intervāls ),( ca ir nesējs.
Protams šai definīcijai ir nepieciešams precizējums: kā mēs to sapratīsim gadījumā, kad
cba , cba vai pat cba ?
Pirmajā situācijā punktā ba šo formulu sapratām šādi: ab
abaA
)( := 1;
Otrajā situācijā punktā cb šo formulu sapratām šādi: bc
bccA
)( :=1;
Dabiski, pēdējā gadījumā, punkta cba šo formulu sapratām šādi: ab
abaA
)( :=1.
Tātad, trīsstūrveida skaitlis ( ),, aaa = a ir faktiski reālais skaitlis .a
92
Zīmējumos ir parādīti trīsstūrveida nestrikti skaitļi (-1,2,3)(sk. 45.zīmējumu), (1,1, 3) (sk.
46.zīmējumu), (-2,3,3) (sk. 47.zīmējumu) un (2,2,2) (sk. 48.zīmējumu):
-1 2 31
1
45.zīmējums.
-1 2 31
1
46.zīmējums.
2 3-2 -1 1
1
47.zīmējums.
1
1 2
48.zīmējums.
7.2.2 Teorēma. Trīsstūrveida skaitļu saskaitīšanai ir spēkā sekojoša formula:
),,(),,(),,( fcebdafedcba
(kur cba un fed )
un tāpēc trīsstūrveida skaitļu summa ir atkal trīsstūrveida skaitlis.
Pierādījums. Iepriekšējā nodaļā mēs redzējām, ka nestriktiem lielumiem BA un ir spēkā
līmeņu saskaitīšanas formula: BABA )( . Pielietojot šo formulu mūsu situācijā,
iegūstam
.)),,(()),,(()),,(),,(( fedcbafedcba
No šejienes vispirms viegli secināt, ka summas nesējs ir intervāls ),( fcda un ka
vērtība 1 tiek sasniegta (vienīgi) punktā eb . Pieņemsim tagad, ka nestrikta skaitļa
),,( cba -līmeņa kreisais punkts ir u un ka, attiecīgi nestrikta skaitļa ),,( cba -līmeņa
kreisais punkts ir v . Tad pēc iepriekšējas līmeņu saskaitīšanas formulas vu ir nestrikta
skaitļa ),,(),,( fedcba -līmeņa kreisais punkts.
No otrās puses, ņemot vērā formulas, kas uzdod nestriktus skaitļus ),,( cba un ),,( fed ,
redzam ka
de
dv
ab
au
, kur bua un .bvd
No šīs formulas iegūstam: aabu )( ; ddev )( un tāpēc
)()(
)()(
daeb
davu.
93
Bet tas tieši nozīme, ka nestrikta skaitļa ),,( fcebda -līmeņa kreisais punkts ir
vu . Tātad, katram nestrikto skaitļu ),,( fcebda un ),,(),,( fedcba -
līmeņu kreisie punkti sakrīt.
Analoģiski var pārliecināties, ka arī labie punkti sakrīt šo nestrikto skaitļu -līmeņiem.
Bet tas nozīme, ka nestriktiem skaitļiem ),,( fcebda un ),,(),,( fedcba -
līmeņi sakrīt visiem un tāpēc paši nestriktie skaitļi ),,( fcebda un
),,(),,( fedcba sakrīt.
Tātad trīsstūrveida nestrikto skaitļu saskaitīšana ir ļoti vienkārša: tā reducējas uz reālu
skaitļu trijnieku koordinātu saskaitīšanu.
7.2.3 Trīsstūrveida nestrikto skaitļu reizināšana
Atšķirība no saskaitīšanas, trīsstūrveida nestriktu skaitļu reizinājums var arī nebūt
trīsstūrveidīgs. Piemēram, ja )1,0,1(A vai, pilnā pieraksta formā:
.10 ja ,1
,01 ja ,1
,1 vai1 ja ,0
)(
xx
xx
xx
xA
(sk 49.zīmējumu)
tad atsaucoties uz nestrikto lielumu reizināšanas formulu, iegūstam
)()()(sup)(2 xAsAtAxAxst
, un tāpēc
1.x0 ja ,1
,01- ja ,1
;1 vai1 ja ,0
)(2
x
xx
xx
xA
(sk. 50.zīmējumu)
1
1 2-1 0
49.zīmējums.
1
1 2-1 0
50.zīmējums.
Praktiskai trīsstūrveida nestriktu skaitļu reizinājuma aprēķināšanai bieži ir ērtāk izmantot
līmeņu reizināšanas formulu, kura šajā gadījumā izskatīsies šādi:
.)),,(()),,(()),,)(,,(( fedcbafedcba
94
7.2.4.Uzdevums.
Doti divi trīsstūrveida nestriktie skaitļi A=(-1,2,3) un B=(3,5,6). Atrast A+B, -A, A-B, 2A ,
A , BA .
7.3.Nestriktie intervāli.
Dažos praktiskos uzdevumos nācās izmantot nevis skaitļus, bet intervālus. Piemēram, tas
ir neizbēgami, ja mērījumu rezultāts ir iegūts nevis precīzi, bet ar zināmu pieļaujamo
kļūdu (un tas praktiski notiek katrā "reālajā" situācijā!) Tas savukārt, prasa paplašināt
aritmētiskās darbības no skaitļiem uz intervāliem. Kā to var izdarīt, mēs jau noskaidrojām
iepriekšējā nodaļā ar turpinājuma principa palīdzību. Šeit mēs pārdomāsim dažus
konkrētus ar šo problēmu saistītus aspektus.
Vispirms, ievērosim, ka identificējot reālas taisnes slēgtu intervālu ],[ ba ar tā
harakteristisku funkciju ],[ ba , mēs varam interpretēt intervālu ],[ ba ka nestriktu lielumu
],[ ba . Bet ļoti bieži praktiskās problēmās paši intervāli (piemēram, intervāli, kas iegūti
mērījumu rezultātā) nav precīzi definēti, bet ir atrasti ar zināmu tuvinājumu jeb kļūdu.
Tas noved uz nestrikta intervāla jēdzienu.
7.3.1 Definīcija Par nestriktu intervālu sauc nestriktu lielumu A , kuram atradīsies reālie
skaitļi Rba , , ba tādi, ka 1)( xA tad un tikai tad, kad bxa . Kopu ],[ ba
sauksim par nestrikta intervāla A virsotni. (sk. 51.zīmējumu)
ba
1
51.zīmējums.
Tipiskus nestriktus intervālus veido t.s. trapecveidīgi nestriktie skaitļi.
7.3.2. Definīcija Nestriktu intervālu A sauc par trapecveidīgu, ja atradīsies tādi skaitļi
dcba ,,, , ka
95
. ja ,1
ja ,1
, ja ,
, vai, ja ,0
)(
dxbdbdb
x
bxa
axcca
c
ca
x
dxcx
xA
(sk. 52.zīmējumu).
ba
1
c d
52.zīmējums.
Trapecveidīgu nestriktu skaitli var pierakstīt kā četrinieku A=(a,b,c,d).
7.3.3. Piezīme. Skaidrs, ka šai formulai ir jēga, tikai, ja dalījumu saucējos neparadās 0,
tātad ja dbac . Pēc analoģijas ar trīsstūrveida skaitļu gadījumu pārdomājiet, kā
piedefinē trapecveidīgu nestriktu intervālu, lai iekļautu arī gadījumus kad ac vai/un
.db
7.3.4.Uzdevumi:
1. Pierādīt, ka (a,b,c,d,)+(a’,b’,c’,d’)=(a+a’,b+b’,c+c’,d+d’).
2. Doti divi trapecveida nestriktie skaitļi A=(-2,-1,1,2) un B=(3,5,6,7). Atrast A+B, -A,
A-B, 2A , A , BA .
II daļa
L-vērtīgas
struktūras
97
8. Piemērs: Papildstruktūru izpausme režģī L.
Iepriekšējā kursa daļā kopas X L-apakškopas tika definētas balstoties uz režģa L kā
"potenciālo vērtību kopu". Svarīgi bija tieši kopas L kā režģa īpašības - tā sakārtojums,
elementu maksimuma un minimuma eksistence, pilnība, distributivitāte, u.c. Formāli
režģi mēs pierakstījām formā L = (L, ,,, ). Dažreiz režģī papildus tika ieviesta vēl
viena operācija - involūcija. Šī operācija arī ir tieši saistīta ar režģa struktūru, jo pēc
būtības tā tikai apgriež sakārtojumu.( ba tad un tikai tad, ja cc ab ) Tomēr dažreiz
(un pietiekoši bieži!) var nonākt līdz situācijai, kad papildus "tīrai" režģa struktūrai kopā
L ir nepieciešamība ievest vēl citu, ar režģa pamatstruktūru L=(L, ,,, ) samēram vāji
saistītu papildstruktūru. Šajā paragrāfā apskatīsim vienu piemēru, kad tādas
papildstruktūras (kuru vēlāk sauksim par t-normu) nepieciešamība izpaužas diezgan
uzskatāmi. Precīzu matemātisku aparātu t-normu un vairāku atvasinātu struktūru izpētei
un lietošanai attīstīsim nākamajā nodaļā.
1. Apskatīsim kubu K= [0,1]3 trīsdimensiju telpā 3R . Kuba katru malu sadalīsim 4 daļās
- rezultātā kubs K tiks sadalīts 4 44 = 64 mazākos kubiņos. Visu šo kubiņu kopu
apzīmēsim ar S: tātad kopas S elementi ir kubiņi, Ss , kurus varam raksturot ar
kortežiem ar garumu 3 piemēram, s= ),,( kji , 4,3,2,1,, kji : nozīmē, kas ir kubiņš,
kura projekcija uz x ass ir [41i ,
4i ], projekcija uz y ass ir [
4
1j,
4
j] un projekcija uz z
ass ir [4
1k , 4k ]. Kopas S elementus apzīmēsim ar s, vai ijks - gadījumā, ja vajag
atzīmēt vietu, kur atrodas šis kubiņš, (sk. 53.zīmējumu):
x
y
z
1
1
1
111s
444s
i
j
k
53.zīmējums.
2. Projicēsim kubu K uz xoy plakni, attiecīgu projekcijas attēlojumu apzīmēsim ar .
Kuba attēls pie projekcijas , acīmredzot, ir kvadrāts [0,1]2 un kuba K sadalījums
"atspoguļojās" kvadrāta [0,1]2 sadalījumā 4 4 = 16 mazākās kvadrātiņos: (i,j,k) =
(i,j). Katru kvadrātiņu varam raksturot ar kortežiem ,kas satāv no divām koordinātām:
98
piemēram, ja kubiņš ijks ir projecēts plaknē, tad tā projekcija ir kvadrātiņš (s) =
( ), ji , Visu kvadrātiņu kopu apzīmēsim ar Q. Tātad Q= }}4,3,2,1{,:),{( jiji .
3. Pieņemsim, ka katrs kubiņš Ss ir vai nu (absolūti) caurspīdīgs, vai izkrāsots
pelēkajā krasā (tātad daļēji caurspīdīgs). Tālāk, pieņemsim, ka no kuba K augšējas
skaldnes puses kubs K ir apgaismots ar gaismu, un rezultātā apgaismošanas aina tiek
projicēta uz plakni. (sk.54.zīmējumu); šo ainas projekciju turpmāk sauksim par
apgaismošanas rezulātu. Pie tam, atkarībā no tā, caur cik daudziem pelēkiem kubiem
iet gaisma, plaknes kvadrāts var būt piecos dažādos krāsu toņos. Proti, fiksētiem
( ), ji var būt sekojoši peici gadījumi:
Ja visi kubiņi )1,,( ji , )2,,( ji , )3,,( ji , )4,,( ji ir caurspīdīgi, kvadrāts ( ), ji ir balts
- šajā gadījumā kvadrātam ( ), ji piekārtosim skaitli 0;
Ja trīs no kubiņiem )1,,( ji , )2,,( ji , )3,,( ji , )4,,( ji ir caurspīdīgi (nav svarīgi, kuri
tieši), bet ceturtais ir pelēks, tad kvadrāts ( ), ji ir "mazliet pelēks" - šajā gadījumā
kvadrātam ( ), ji piekārtosim skaitli 41 ;
Ja divi no kubiņiem )1,,( ji , )2,,( ji , )3,,( ji , )4,,( ji ir caurspīdīgi (nav svarīgi,
kuri tieši), bet parēji divi ir pelēki, tad kvadrāts ( ), ji kļūst tumšāks - šajā
gadījumā kvadrātam ( ), ji piekārtosim skaitli 21 ;
Ja trīs no kubiņiem )1,,( ji , )2,,( ji , )3,,( ji , )4,,( ji ir pelēki (nav svarīgi, kurš
tieši), tad kvadrāts ( ), ji ir kļūst vēl tumšāks - šajā gadījumā kvadrātam ( ), ji
piekārtosim skaitli 43 ;
Ja visi kubiņi )1,,( ji , )2,,( ji , )3,,( ji , )4,,( ji ir pelēkie, tad attiecīgais kvadrāts
( ), ji izskatās pavisam melns - šajā gadījumā piekārtosim tam skaitli 1.
54.zīmējums.
4. Apzīmēsim ar X visu iespējamo pelēko kubiņu izvietojumu. Tātad, katrs kopas X
elements Xx ir konkrēts pelēko kubu izvietojums lielajā kubā K. Piemēram, x var
izskatīties šādi: )}3,1,2();1,2,4();1,1,3();2,4,1();3,3,2{(x - tas nozīmē, ka x ir
izvietojums, kurā vietās ar attiecīgām koordinātēm
)3,1,2();1,2,4();1,1,3();2,4,1();3,3,2( atrodas pelēkie kubiņi, bet visas parējās 59 vietas
ir caurspīdīgie kubiņi.
99
5. Kopā X varam ievest šķēluma un apvienojuma operācijas: proti, ja Xyx , tad
dabiski yx ir izvietojums, kurā pelēkie kubiņi atrodas tajās vietās, kur tie bija abos
izvietojumsos yx un . Piemēram, ja
)}3,1,2();1,2,4();1,1,3();2,4,1();3,3,2{(x un
)}1,3,2();4,1,2();3,3,3();2,4,1();3,1,2();1,3,1();4,1,1{(y ,
tad yx = )}3,1,2();2,4,1{( .
Analoģiski, par izvietojumu yx un apvienojumu yx sauksim izvietojumu, kurā
pelēkie kubiņi aizņem vietas, kurās tie bija vismaz vienā no izvietojumiem yx un .
Iepriekšējā piemērā
)}1,3,2();4,1,2();3,3,3();1,3,1();4,1,1();3,1,2();1,2,4();1,1,3();2,4,1();3,3,2{( yx .
6. Apskatīsim režģi }1.,,,0{43
21
41L un ar F(Q,L), kā parasti, apzīmēsim kopas Q visu
L-apakškopu saimi. Definēsim attēlojumu X: F(Q,L) sekojoši: katram pelēko
kubu izvietojumam Xx piekārtosim L-kopu xAx :)( F(Q,L) kura katram
kvadrātiņam ),( ji Q piekārto skaitli no režģa }1.,,,0{43
21
41L , kas raksturo dotā
kvadrātiņa krāsu, kas veidojas apgaismojot kubu ar doto pelēko kubu izvietojumu x .
Piemēram, ja
)}3,4,4();1,4,2();4,2,3();3,2,3();4,2,1();2,2,1();1,2,1{(x
tad 43)2,1( xA ;
21)2,3( xA ;
41)4,4()4,2( xx AA un 0),( jiAx visiem pārējiem
),( ji Q.
7. Tagad, pēc situācijas aprakstīšanas un apspriešanas varam formulēt problēmu. Proti,
pieņemsim, ka mēs nevaram zināt, kāds ir kubiņu izvietojums Xx , tomēr mēs
varam novērot ainu, kura veidojas projekcijai kuba K apgaismošanas rezultātā. Citiem
vārdiem, mēs, nezinot Xx , skaidri redzam tai atbilstošo L-kopu xA :Q L .Cik
"vērtīga" ir šī informācija? Kā mēs varam ar to operēt? Piemēram, ja mums zināms
divu izvietojumu x un y apgaismošanas rezultāts - tātad L-kopas xA :Q L . un
yA :Q L , vai mēs varam iegūt informāciju, par izvietojumiem yx un yx
apgaismošanas rezultātu, proti, par L-kopām yxA : Q L un LQA yx : .
Apskatīsim trīs tipiskas situācijas. 8. Pieņemsim, ka mums ir papildinformācija, ka abos izvietojumos x un y pelēkie
kubiņi var atrasties tikai virs caurspīdīgiem. Citiem vārdiem, ja xkji ),,( un kk '
tad arī xkji )',,( . Tad viegli saprast, ka pelēkie kubiņi šķēlumā yx atradīsies tur
un tikai tur, kur pelēkie bija abos izvietojumos. Rezultātā, varam secināt, ka
yxA = xA yA .
Tātad šajā gadījumā mēs iegūstam to pašu L-kopu šķēluma operāciju, ar kuru mums
bija darīšanas visa iepriekšējā kursa daļā.
100
9. Pieņemsim, ka mums tagad ir cita papildinformācija - proti, ka izvietojumā x pelēkie
kubiņi var atrasties tikai virs caurspīdīgiem, bet izvietojumā y - otrādi: pelēkie
kubiņi var atrasties tikai zem caurspīdīgiem. Tad
yxA = }0 ,1max{ yx AA .
Lai pārliecinātu lasītāju par šīs formulas "dabiskumu", apskatīsim 3 raksturīgas situācijas.
Pieņemsim, ka izvietojumā x ir trīs peļeki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji un ka izvietojumā y ir divi pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji . Izmantojot esošo informāciju, varam secināt, ka izvietojumam x tie ir kubiņi
)}2,,(),3,,(),4,,{( jijiji un izvietojumam y tie ir kubiņi )}1,,(),2,,( jiji (sk.
55.zīmējumu). Tad yx )}2,,{( ji . Skaidrs, ka šajā gadījumā punktā Qjiq ),(
L-kopu vērtības ir attiecīgi 43)( qAx ,
21)( qAy un yxA (q) =
41 tātad yxA (q) =
41
21
43 1 = 1)()( qAqA yx = max{ 1)()( qAqA yx ,0}.
i
k
j
i
j
k
55.zīmējums.
Pieņemsim, ka izvietojumā x ir divi pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes
ir ),( ji un ka izvietojumā y ir divi pēlēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji . Izmantojot esošo informāciju, varam secināt, ka izvietojumam x tie ir kubiņi
)3,,(),4,,( jiji (sk. 56.zīmējumu) un izvietojumam y tie ir kubiņi )1,,(),2,,( jiji (sk.
57.zīmējumu). Tad yx 0 . Skaidrs, ka šajā gadījumā punktā Qjiq ),( L-
kopu vērtības ir respektīvi 21)( qAx ,
21)( qAy un yxA (q)= 0 tātad
yxA (q)= 0121
21 = 1)()( qAqA yx = max{ 1)()( qAqA yx ,0}.
101
i
k
j
56. zīmējums.i
j
k
57.zīmējumu. Pieņemsim, ka izvietojumam x ir divi kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir ),( ji
un ka izvietojumā y ir 1 kubiņš, kuram pirmās divas koordinātes ir ),( ji . Izmantojot
esošo informāciju, varam secināt, ka izvietojumam x tie ir kubiņi )3,,(),4,,( jiji un
izvietojumam y tas ir kubiņš )}1,,( ji Tad yx 0 . Skaidrs, ka šajā gadījumā punktā
Qjiq ),( L-kopu vērtības ir respektīvi 21)( qAx ,
41)( qAy un yxA (q)= 0 tātad
yxA (q)= max{ 0}0,121
41 = max{ 1)()( qAqA yx , 0}.
10. Pieņemsim tagad, ka izvietojums pelēko kubiņu abos izvietojumos ir nejaušs, un tie ir
neatkarīgi viens no otra. Tad izvietojumu šķēluma L-kopu yxA : Q L . rēķināsim
pēc formulas:
yxA = xA yA .
Paskaidrosim šīs formulas "dabiskumu":
Pieņemsim, ka izvietojumā x ir trīs pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji un ka izvietojumā y ir trīs pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji . Tā, kā pelēko kubiņu izvietojums ir nejaušs, tad ir iespējamas 3
4C = 4 dažādas
pelēko kubiņu kombinācijas izvietojumā x. Tālāk, ja izvietojums x ir nofiksēts, tad ir
iespējamas divas principiāli dažādas kombinācijas y izvietojumā:
- visi pelēkie kubiņi atrodas tajās pašas vietās, kur izvietojumā x bija pelēkie
kubiņi. Tādu situāciju var būt 3
3C =1. Un katrā šādā situācijā mēs iegūtu
yxA ),( ji =43
- divi no pelēkiem kubiņiem atrodas tajās pašās vietās, kur izvietojumā x bija
pelēkie kubiņi. Tādu situāciju var būt 2
3C =3. Un katrā šādā situācijā mēs
iegūtu yxA ),( ji =42 =
21 .
Tā, kā visu situāciju iespējamībai ir vienāda varbūtība, tad lai iegūtu L-kopas
yxA ),( ji "gaidāmo" rezultātu ir jāsaskaita visi iespējamie rezultāti un jādala
iegūtā summa ar visu iespējamo kombināciju skaitu, tātad ar skaitli 3
4C 3
4C :
102
yxA ),( ji =
3
4
3
4
212
3433
3
3
4
CC
CCC =
169 ,
Tātad, yxA ),( ji = xA ),( ji yA . ),( ji =43
43 =
169
Pieņemsim, ka izvietojumā x ir trīs pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji un ka izvietojumā y ir divi pelēki kubiņi, kuriem pirmās divas koordinātes ir
),( ji . Tad, spriežot līdzīgi, kā iepriekšējā situācijā, ir jāaplūko divi gadījumi.
- visi pelēkie kubiņi atrodas tajās pašas vietās, kur izvietojumā x bija pelēkie
kubiņi. Tādu situāciju var būt 2
3C =3. Un šādā situācijā mēs iegūtu
yxA ),( ji =21
- viens no pelēkiem kubiņiem atrodas tur, kur izvietojumā x ir pelēkais kubiņš.
Tādu situāciju var būt 1
3C = 3. Un šādā situācijā mēs iegūtu yxA ),( ji =41
Tā kā visas situācijas ir vienādi iespējamas, tad iegūstam:
yxA ),( ji =
2
4
3
4
411
3422
3
3
4
CC
CCC =
83 = ).,(),(
21
43 jiAjiA yx
Tātad, pārdomājot trīs dažādas situācijas, kuras mēs aprakstījām punktos (8, 9 un 10),
varam secināt, ka ir vismaz trīs dažādi "dabiski" veidi, kā var definēt L-kopu šķēluma
operāciju, atkarībā no situācijas:
yxA = xA yA
yxA = }0 ,1max{ yx AA .
yxA = xA yA .
Bet varbūt ir arī citi, dabiski veidi, kā var definēt šķēluma operāciju?
Piedāvājot dažādas šķēluma operācijas definīcijas, dabiski, ir jāpadomā, kā "saskaņoti"
definēsim apvienojuma operāciju.
Nākamajā nodaļā mēs vērsīsimies pie šī un daudzu citu, ar šo problēmu saistīto jautājumu
izpētes.
Uzdevums. Apskatīsim izvietojumu apvienojumam atbilstošu L-kopu LQA yx : . Tad
punktos 8, 9, un 10 aprakstītām situācijām šo L-kopu ir attiecīgi jādefinē ar formulām:
yxA = xA yA
yxA = min{ xA + yA , 1}
yxA = xA + yA - xA yA .
Aicinām lasītāju patstāvīgi pārdomāt šīs situācijas.
103
9. Režģi ar t-normām un no t-normām
atvasinātas struktūras.
9.1. t-normas Šajā paragrāfā mēs apskatīsim nozīmīgu konstrukciju, ar kuras palīdzību režģī L var
definēt papildus operācijas, tai skaitā arī tādas, par kurām tika runāts iepriekšēja nodaļā.
9.1.1. Definīcija Par t-normu režģī L sauc attēlojumu T: LLL , kas apmierina
sekojošus nosacījumus (x,y,z L):
(1) T(x,y) = T(y,x) (simetrijas nosacījums);
(2) T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)) (asociativitāte);
(3) 21 xx T(x1,y) T(x2,y) (monotonitāte);
(4) T(x,1) = x.
9.1.2. Piezīme Izmantojot iepriekšējo definīciju, viegli pierādīt, ka t-normai izpildās arī
tādās īpašības:
(3') ja 21 xx un y1 y2, tad T(x1,y1) T(x2,y2)
(4') T(1,y) = y un
(5) T(x,0) = T(0,y) = 0
Mēs pierādīsim šeit (5) vienādību, atstājot divas pirmās ((3’) un (4’)) lasītājiem:
No īpašības (4) seko T(1,0) = 0; tad, ņemot vērā (3) iegūstam T(x,0) T(1,0) = 0 un līdz
ar to T(x,0) = 0. Tagad, izmantojot (1), iegūstam arī T(0,y) = 0.
Šeit mēs definējam t-normu kā funkciju, kura darbojas kopā LL un pieņem savas
vērtības kopā L. Tomēr apskatot konkrētas t-normas, pētot to īpašības un vispār, strādājot
ar t-normām, bieži ir izdevīgi līdzās "funkcionālai" t-normas definīcijai izmantot arī
ekvivalentu "algebrisku" tās raksturojumu. Citiem vārdiem pieraksta T(x,y) vietā lietot
pierakstu x y, kur ir bināra algebriskā operācija režģī L. Pie tam aksiomas (1) - (4) no
t-normas definīcijas "algebriskā formā" izskatīsies šādi:
(1*) x y = y x - tātad operācija ir komutatīva;
(2*) (x y) z = x (y z) - tātad operācija ir asociatīva
(3*) 21 xx x1 y x2 y - tātad operācija ir monotona;
(4*) x 1 = x. - tātad, interpretējot kā reizinājuma operāciju, elementam 1 ir
"viennieka loma".
Savukārt, papildīpašības (3'), (4') un (5) varam pierakstīt šadi:
(3'*) ja 21 xx un y1 y2, tad x1 y1 x2 y2;
(4'*) 1 x = x un
(5*) x 0 = 0 x = 0.
104
Tagad apskatīsim dažus t-normu piemērus. Šīs konkrētās t-normas turpmāk mūsu darbā
tiks pastāvīgi izmantotas.
9.1.3. t-normu pamatpiemēri:
1. min-t-norma TM.
Šo t-normu definē ar formulu:
TM(x,y) = x y .
Citiem vārdiem šī t-norma režģa L elementiem x un y piekārto šo elementu
minimumu. Tāpēc to sauc par min-t-normu.
2. Vāja T-norma TW:
Šo t-normu definē ar formulu:
TW(x,y) =
1 ja ,0
1 ja ),,min(
yx
yxyx
un sauc par vāju t-normu (šī nosaukuma izcelsme drīz tiks pamatota). Indekss W šīs t-
normas apzīmējumā nāk no angļu vārda "weak" - vājš.
Atšķirībā no pirmām divām t-normām, kuras var būt definētas jebkurā režģī L, sekojošās
trīs t-normas tiek definētas, tikai situācijā, kad L = [0,1], vai L ir kaut kāda segmenta
[0,1] apakškopa, kura ir invarianta attiecībā pret šo t- normu, piemērām, L = {0,1}.
3. Lukasieviča t-norma TL:
Šo t-normu definē ar formulu:
TL(x,y) = max(x+y-1, 0).
Tātad, šī t-norma piekārto skaitļiem x un y skaitli x+y-1, gadījumā, ja x+y-1>0 un 0
pretējā gadījumā.
4. Reizinājuma t-norma TP:
Šo t-normu definē ar formulu:
TP(x,y) = x y.
Tātad, šī t-norma piekārto skaitļiem x un y šo skaitļu reizinājumu. Tas arī pamato t-
normas apzīmējumu TP - no angļu "Product" - reizinājums.
5. Nilpotenta minimuma t-norma Tnil.
Šo t-normu definē ar formulu:
Tnil(x,y) =
1 ja ,0
1 ja ),,min(
yx
yxyx
(Šīs t-normas nosaukuma izcelsme tiks paskaidrota vēlāk).
9.1.4. Uzdevums: Pārbaudiet, vai TM, TW, TL un TP patiešam ir t-normas, t.i., vai tām
izpildās definīcijas 9.1.4. visi četri nosacījumi.
Pieņemsim, ka režģī L ir uzdotas divas t-normas T un T'. Teiksim, ka t-norma T' ir
stiprāka par t-normu T (vai ka t-norma T ir vājāka par t-normu T'), ja TT'. (Tas nozīme,
ka T(x,y) T'(x,y) visiem x,y L ).
105
9.1.5. Teorēma Ja t-normas TW, TM tiek apskatītas režģī L = [0,1] un T ir patvaļīga t-
norma tajā pašā režģī L = [0,1], tad
TW T TM. Tātad TW ir visvājāka, un TM ir visstiprāka, t.i. vislielākā, no visām t-normām dotajā režģī
L
Pierādījums. No īpašībām (1) un (5) varam secināt, ka
T(x,y) T(x,1) = x un T(x,y) T(1,y) = y, un līdz ar to T(x,y) x y = TM(x,y).
(Atzīmēsim, ka šī pierādījuma daļa būs spēkā arī gadījumā, kad t-normas T un TM ir
uzdotas patvaļīgā režģī L.)
Tālāk, lai pamatotu, ka TW T, ņemsim x,y [0,1]. Gadījumā, ja yx =1, un pieņemot,
ka, piemēram y = 1, mēs secinām, ka TW(x,y) = min (x,y) = x; no otras puses T(x,y) =
T(x,1) = x - tātad TW(x,y) = T(x,y). Pretējā gadījumā, t.i. ja yx < 1, TW(x,y) = 0
T(x,y). Tātad, jebkurā gadījumā TW (x,y) T(x,y).
9.1.6. Piezīme. Atzīmēsim, ka nevienādība TW T var arī neizpildīties patvaļīga režģa
gadījumā. Piemēram, apskatīsim kopu L={0,a,b,c,1} un ieviesīsim tajā šādu daļēju
sakārojumu: 0< c<a<1 un 0< c<b<1. Definēsim t-normu T: LLL ar formulu
1y1, x,0
1 x,
1y ,
),(
ja
jay
jax
yxT
Tad T <TW
Ņemot vērā, ka x+y-1 xy visiem x,y [0,1], no teorēmas 9.1.5. viegli izriet tāds
secinājums.
9.1.7. Secinājums TW TL TP TM
9.1.8. Definīcija Saka, ka elements xL ir idempotents attiecībā pret t-normu T, ja
x xx,T
Skaidrs, ka elementi 0 un 1 ir idempotenti attiecībā pret jebkuru t-normu.
9.1.9. Definīcija t-normu T sauc par stingri monotonu, ja jebkuram y L un visiem x1,
x2 L no x1 < x2 seko T(x1,y)< T(x2,y).
9.1.10. Uzdevums. Pierādiet, ka stingri monotonai t-normai nevar būt idempotentu
elementu izņemot 0 un 1.
9.1.11. Teorēma Ja T ir t-norma režģī L, un T(x,x) = x katram xL tad T = TM.
Citiem vārdiem, TM ir vienīgā t-norma režģī L, attiecība pret kuru visi xL ir
idempotenti.
106
Pierādījums. Pieņemsim, ka T(x,x) = x katram xL un nofiksēsim x,y L. Tad,
apzīmējot z:= x y un izmantojot t-normas T īpašības un iepriekšējo teorēmu, varam
iegūt
z = T(z,z) T(x,y) TM(x,y) = x y = z,
un tātad T = TM.
9.1.12. Uzdevums [Vēbera t-normu saime] Apskatīsim t-normu saimi T , kur
),1( :
T = max
0,
1
1
xyyx
Tālāk definēsim T-1
= 1
lim
T un T
=
lim T .
Pārbaudiet, ka katram ],1[ T ir t-norma.
Pārbaudiet, ka T0 = TL; T
-1 = TW un T
= TP.
9.1.13. Uzdevums [Jāgera t-normu saime] Apskatīsim vēl vienu parametriski uzdotu t-
normu saimi T
, kur ),0( :
T
(x,y) = 1 - min{ [(1-a)
+ (1-b)
] p1
, 1}.
Tālāk definēsim T0 =
0lim
T
un T
=
lim T
.
Pārbaudiet, ka katram ],0[ T
ir t-norma.
Pārbaudiet, ka T0 = TW un T
= TM.
9.1.14. Īsi par t-normas jēdziena rašanās vēsturi. Pirmo reizi t-normas jēdziens parādījās 1942 K. Mengera darbā [Menger42], kas bija
veltīts t.s. varbūtiskām metriskām telpām. Vēlāk, t-normu teoriju attīstīja un izmantota
Švaicers un Sklars t.s. funkcionālo vienādojumu teorijā [SchSk], sk. arī [Menger51]. T-
normas L-kopu teorijā pielietoja P. Klements un R. Messiars [KlMe97], S. Gotvalds
[Got93], R. Jagers [Ya80], [Ya80a] u.c. Nesen ir publicēta speciāli veltīta t-normām
liela monogrāfija [KlMePa]. Lielu ieguldījumu t-normu pētījumā izdarīja Zigfrīds
Vēbers [Siegfried Weber]- vācu matemātiķis, strādā Johannes Gutenberga universitātē,
Maincā, Vācijā, un Rolands Jāgers [Roland R. Jager] - amerikāņu zinātnieks.
107
Nākamajās trīs nodaļās apskatīsim dažas t-normu speciālās īpašības: nepārtrauktas t-
normas, arhimēda t-normas un nilpotentas t-normas.
9.2. Nepārtrauktās t-normas 9.2.1. Definīcija t-normu T: LLL sauc par nepārtrauktu, ja tā ir nepārtraukta, kā
pirmā argumenta funkcija.
9.2.2. Piezīme [Svarīga piezīme!] Skaidrs, ka šai definīcijai ir jēga tikai tad, ja režģī L ir
ievesta kaut kāda topoloģija. Principā ir vairāki dabiski veidi, kā režģī L var ievest
topoloģiju. No biežāk lietotām ir t.s. Skotta topoloģija un augšējā topoloģija (sk.
piemēram, grāmatu [Gierz u.c.].) Tomēr šeit, negribot apgrūtināt lasītāju ar
papildinformāciju, mēs pamatos aplūkosim gadījumu, kad L = [0,1] ar parasto
topoloģiju. Turpmāk, runājot par nepārtrauktām t-normām, apskatīsim tieši šo gadījumu.
Atzīmēsim, uzreiz, kad gadījumā L=[0,1] t-normas nepārtrauktības īpašību var
raksturot ar virkņu palīdzību. Proti, t-norma T: LLL ir nepārtraukta tad un tikai tad,
kad axn
lim T(xn,y)=T(a,y) katram ]1,0[a un katrai virknei )( nx , kura konverģē uz a .
9.2.3. Piezīme Ņemot vērā t-normas komutativitāti, nepārtrauktība pēc pirmā argumenta
nozīmē arī nepārtrauktību pēc otrā argumenta, t.i,. byn
lim T(x,yn)=T(x,b).
No matemātiskās analīzes kursa studenti zina, ka eksistē divargumentu funkcijas, kuras ir
nepārtrauktas pēc atsevišķiem mainīgiem, bet nav nepārtrauktas, kā divu argumentu
funkcija. Piemēram, tāda ir funkcija
0yx ja 0,
0y xja ,yx
xy
yx,F
22
22
Kaut arī šī funkcija ir nepārtraukta atsevišķi pēc x un pēc y, tā nav nepārtraukta kā divu
argumentu funkcija punktā (0,0).
Tomēr t-normu gadījumā tādas situācijas nevar būt: nepārtraukta t-norma (tātad t-norma,
kas apmierina augšējo definīciju) ir nepārtraukta (tātad, nepārtraukta, kā divu argumentu
funkcija). Proti, ir spēkā sekojoša teorēma:
9.2.4. Teorēma: Ja t-norma T: LLL ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta (tātad ir
nepārtraukta definīcijas 9.2.1. nozīmē), tad tā ir nepārtraukta arī kā divu argumentu
funkcija.
Pierādījums: Lai pierādītu t-normas T nepārtrauktību nofiksēsim punktu (x0,y0) LL
un 0 . Tad, atsaucoties uz t-normas nepārtrauktību pēc pirmās un otrās koordinātēm
varam atrast 0 tādu, lai izpildītos sekojošas nevienādības:
T(x0+ , y0) - T(x0- , y0) < ;
T(x0- , y0 + ) - T(x0- , y0 - ) < ;
T(x0, y0 + ) - T(x0, y0 - ) < ;
108
T(x0+ , y0 + ) - T(x0- , y0 - ) < .
Tagad apskatīsim patvaļīgu punktu (x1, y1) LL , kas apmierina nevienādības
|| 01 xx un || 01 yy . Lai novērtētu starpību ),(),( 0011 yxTyxT apskatīsim,
iespējamos četrus punkta (x1, y1) izvietošanas gadījumus :
1. Ja x1x0 un y1 y0 (sk.58.zīmējumu), tad no t-normas monotonitātes nosacījuma
varam secināt, ka
0 T(x1,y1) - T(x0,y0) T(x0 + ,y1) - T(x0,y0)
T(x0 + ,y1) - T(x0,y0+ ) + T(x0,y0+ ) - T(x0,y0) 2 .
2. Ja x1x0 un y1 y0 (sk.59.zīmējumu), tad vispirms atzīmēsim, ka no izvēles seko,
ka
-3 < T(x0,y1) - T(x0 - ,y1) < 3 ,
un tātad, ņemot vērā t-normas monotonitāti,
0 T(x0,y1) - T(x0 - ,y1) < 3 ,
un vēl jo vairāk
0 T(x1,y1) - T(x0 - ,y1) < 3 .
No otrās puses, skaitļa izvēle atļauj secināt, ka
- < T(x0 - , y1) - T(x0,y0) < ,
Saskaitot pēdējās divas nevienādības, iegūstam
4),(),( 0011 yxTyxT
Atlikušās divās situācijās, proti, kad x1x0 , y1 y0 un x1x0 , y1 y0, var iegūt līdzīgus
starpības ),(),( 0011 yxTyxT novērtējumus.
Bet tās ļauj mums secināt, ka t-norma T ir nepārtraukta brīvi izvelētā punktā (x0,y0) un
tāpēc arī visā kopā LL .
x0 x1 0x
y0
y1
0y
58.zīmējums.
x0x10x
y0
y1
0y
59.zīmējums.
109
9.2.5. Piemēri:
(1) t-norma TM(x,y) = yx ir nepārtraukta
(kā divu nepārtrauktu funkciju minimums)
(2) t-norma TL(x,y) = max(x+y-1,0) ir nepārtraukta.
(3) t-norma TP(x,y) = xy ir nepārtraukta.
(4) t-norma TW nav nepārtraukta.
(5) T-norma Tnil nav nepārtraukta, bet ir pusnepārtraukta no apakšas
(sk. nākamo definīciju!)
Pamatojiet, kāpēc!
Turpmāk mūs galvenokārt interesēs nepārtrauktas t-normas. Tomēr dažreiz būs
nepieciešams izmantot vispārīgāku īpašību - proti, t.s. pusnepārtrauktas no apakšas t-
normas.
9.2.6. Definīcija. t-normu T: LLL sauc par pusnepārtrauktu no apakšas, ja katrai
režģa L elementu saimei Iiix )( L un katram y L ir spēkā vienādība
Ii
sup T(xi, y) = T( ii x ,y);
vai, izmantojot algebrisku pierakstu,
yxii )( = )( yxii
Salīdzinot ar nepārtrauktības īpašību, pusnepārtrauktības viena no priekšrocībām ir tā, ka
mēs to varam izmantot ne tikai gadījumā L = [0,1], bet arī vispārīgu režģu gadījumā. Pie
tam intervāla L=[0,1] gadījumā var elementu saimes Iiix )( ]1,0[ vietā ņemt virkni
Nnnx )( . Turklāt, pietiek, ja aplūkojam tikai augošas virknes.
9.2.7. Definīcija. Pilnu režģi L, kurā ir definēta pusnepārtraukta no apakšas t-norma T:
LLL sauc par GL-monoīdu.
(GL-monoida jēdziens ir ievests vācu matemātiķa U. Hoehle darbos, sk. piemēram, [ Ho].
(Ulrihs Hoehle strādā Bergisches universitāte Wuppertālē). Šajos darbos ir attīstīti arī
GL-monoidu teorijas fundamentālie pamati.)
Līdzīgi, aizvietojot suprēmuma simbolu ar infimuma simbolu , mēs varam definēt
pusnepārtrauktas no augšas t-normas. (kaut praksē šī t-normu īpašība nav tik svarīga, kā
pusnepārtrauktība no apakšas).
Viegli saprast (vismaz gadījumā, kad L = [0,1]) ka t-norma ir nepārtraukta tad un tikai
tad, kad tā ir pusnepārtraukta no apakšas un pusnepārtraukta no augšas.
110
9.3. Arhimēda t-normas Pirms mēs definēsim Arhimēda t-normas jēdzienu, atgādināsim, ka t-normu var ievest arī
kā algebrisku operāciju:
T(x,y) = x y
No šejienes, ņemot vērā operācijas asociatīvitāti un komutivitāti, dabiski varam definēt
elementa x pakāpes:
x x = x2,
x x2 = x
3,
un tālāk, pēc indukcijas,
x x n-1
= xn.
Skaidrs, ka 0n = 0 un 1
n=1 jebkuram naturālam skaitlim n.
9.3.1. Definīcija. t-normu T: LLL sauc par Arhimēda t-normu, ja jebkuriem
,, Lyx x,y 1,0 atradīsies tāds skaitlis n, ka xn < y.
9.3.2. Piemēri: Viegli pārliecināties, ka visas t-normas no mūsu pamatsaraksta (sk.9.1.3 )
izņemot min-t-normu TM ir Arhimēda:
(1) t-norma TM(x,y) = yx nav Arhimēda
(2) t-norma TL(x,y) = max(x+y-1,0) ir Arhimēda.
(3) t-norma TP(x,y) = xy ir Arhimēda.
(4) t-norma TW ir Arhimēda.
(5) T-norma Tnil ir Arhimēda
Pamatojiet šos faktus.
Atzīmēsim, ka Lukasieviča t-normas gadījumā katram x 1,0 pat var atrast naturālo
skaitli n tādu, ka xn = 0.
Lasītājs var viegli pārliecināties par sekojošas teorēmas patiesumu:
9.3.3. Teorēma Ja L=[0,1], tad t-norma T: LLL ir Arhimēda tad un tikai tad, kad
nlim x
n = 0 katram Lx .
9.3.4. Teorēma (Pie nosacījuma ]1,0[L ) : 10. Ja t-norma T: LLL ir Arhimēda, tad
katram x 1,0 izpildās nevienādība: T(x,x) < x.
20. Gadījumā, ja t-norma T: LLL ir nepārtraukta, un T(x,x) < x visiem x 1,0 , tad
T ir Arhimēda t-norma.
Pierādījums: 10. No pretējā: Pieņemsim ka kādam x L T(x,x) x., tad, ņemot vēra
teorēmu 9.1.5, T(x,x) = x. No šejienes pēc indukcijas var secināt, ka arī katram naturālam
skaitlim n izpildās xn = x un tad nevienādība x
n < y pietiekoši maziem y nav iespējama.
111
20. Aplūkosim divus elementus x,y L , x,y 1,0 . No t-normas īpašībām viegli seko, ka
x 2x ......3 nxx No matemātiskās analīzes kursa ir labi zināms ka jebkurai
dilstošai ierobežotai virknei eksistē robeža (Veierštrasa teorēma) un tāpēc eksistē
nlim x
n=: z. Lai pabeigtu pierādījumu pietiek parādīt, ka z = 0.
Patiešam, izmantojot operācijas nepārtrauktību, varam secināt:
nzz lim( x
n)
nlim( x
n) =
mnlim (x
n x
m) =
nlim( x
n) = z;
un tātad zz z. Bet ņemot vērā teorēmas pieņēmumu, tas nozīme ka z=0.
9.4. Nilpotentas t-normas.
Vispirms definēim dažus jaunus jēdzienus.
9.4.1. Definīcija. Elementu x L , x 0 sauc par nilpotentu (attiecībā pret t-normu
LLLT : ), ja atradīsies tāds naturāls skaitlis n, ka xn = 0.
9.4.2. Definīcija. t-normu T sauc par nilpotentu, ja katrs elements x L , x 1 ir
nilpotents.
9.4.3. Definīcija. Saka, ka t-normai T ir nulles dalītāji, ja atradīsies tādi x,y L , ka
x y =0.
Strādājot ar t-normām bieži ļoti lietderīga ir sekojoša teorēma:
9.4.4. Teorēma. Pieņemsim, ka T: LLL ir nepārtraukta Arhimēda t-norma. Tad
sekojošie nosacījumi ir ekvivalenti:
(1) t-normai T ir nilpotents elements;
(2) t-norma T ir nilpotenta;
(3) t-normai T ir nulles dalītāji;
(4) t-norma T nav stingri monotona.
Pierādījums.
Implikācija )2()1( ir acīmredzama.
)1()2( Pieņemsim, ka elements x ir nilpotents, t.i. xn = 0 kādam naturālam skaitlim n,
un y L . Izmantojot Arhimēda t-normas nosacījumu, varam atrast naturālo skaitli m
tādu, ka ym
< x. Tad (ym
)n x
n = 0, un tātad elements y arī ir nilpotents.
)3()2( Ja x ir nilpotents, tad atradīsies n tāds, ka xn = 0. Pie tam varam pieņemt, ka n
ir minimālais skaitlis ar šo īpašību. Tad xn-1
un x ir nulles dalītāji, jo xn-1 x = 0 un ne
viens no šiem reizinātājiem nav nulle.
)4()3( Ja t-normai T ir nulles dalītāji, tad atradīsies x,y L x,y 0, tādi, ka x y = 0.
Bet tādā gadījumā T nav stingri monotona, jo 0< x, bet T(0,y) = T(x,y) = 0.
)3()4( .
Pierādot šo implikāciju, mēs ierobežosimies ar gadījumu L=[0,1].
112
Pieņem, ka t-norma T nav stingri monotona, t.i. atradīsies x L un y,z L y<z tādi, ka
x y = zx .Nofiksējot z, apskatīsim T kā viena argumenta funkciju: T(z,.) : L L.
Ievērojot, ka T(x,0) = 0 < y < z = T(z,1), un atsaucoties uz Bolcāno-Košī teorēmu par
nepārtrauktas funkcijas starpvērtību (funkcija T(z,.) ir nepārtraukta!) varam atrast v L
tādu, ka T(z,v) = y, t.i. z v = y.
Izmantojot Arhimēda t-normas definīciju paņemsim naturālo m tādu, lai vm
< z.
Tad, kāpinot vienādību x y = zx pakāpē m un izmantojot iepriekšējo nevienādību un
vienādību z v = y, viegli iegūstam
xm
z
m = x
m y
m = x
m z
m v
m x
m z
m z = x
m
z
m+1.
Pēc indukcijas no šejienes varam secināt, ka
xm
zm
= xm
z
m+p
visiem p N .
Pārejot pie robežas šajā vienādībā kad p un ņemot vērā t-normas nepārtrauktību un
to, ka zn+p
0 kad p ( Teorēma 9.3.3), redzam, ka
xm
zm
= T(xm
,zm
) = p
lim T(xm
,zm+p
) = T(xm
,0) = 0.
Tātad elementi xm
un zm
ir t-normas T nulles dalītāji.
(3) )1(
Pieņemsim, ka t-normai T ir nulles dalītāji, t.i. atradīsies x,z 0 tādi, ka x z = 0. Tad,
pēc Arhimēda īpašības katram y L var atrast tādus naturālus skaitļus p un q, ka yp<x un
yq < z. Tad y
p+q x z = 0 un līdz ar to elements y ir nilpotents
9.4.5. Piemēri: (1) t-norma TM(x,y) = yx nav nilpotenta.
(2) t-norma TL(x,y) = max(x+y-1,0) ir nilpotenta.
(3) t-norma TP(x,y) = xy nav nilpotenta.
(4) t-norma TW ir nilpotenta.
(5) t-norma Tnil ir nilpotenta (tās arī ir viens no šīs t-normas nosaukuma
"nilpotentais minimums" izcelsmes pamatojumiemtiem).
9.4.6. Uzdevums. Pamatojiet iepriekšējā piemērā formulētās konkrētu t-normu īpašības.
9.4.7. Uzdevums: Pārbaudiet, kādas īpašības (nepārtrauktība, Arhimēda īpašība,
nilpotentu elementu eksistence, stingra monotonitāte) piemīt sekojošām t-normām:
1. Vebera saimes t-tormām
2. Jagera saimes t-normām.
3. t-normai
1yx,max jaxy,
1yx,max ja,2
xy
yx,T1
113
4. t-normai
gad. pret. ,yx,min
0,5yun 0,5 xja0,5,0,5y0,5x2
2
1y;0
2
1x0 ja0,
yx,T2
(Neaizmirsiet arī pārbaudīt, ka T1 un T2 patiešām ir t-normas !)
114
9.5. Rezidijs
Režģī definētā t-norma atļauj dabiski ievest tajā pašā režģī dažas "atvasinātās" operācijas,
no kurām svarīgākā ir rezidijs. Šajā nodaļā mēs to apskatīsim.
Pieņemsim, ka T: LLL ir pusnepārtraukta no apakšas t-norma, un - tai atbilstošā
algebriskā operācija.
Atgādīnāsim, ka režģi ar pusnepārtrauktu no apakšas t-normu sauc par GL-monoīdu (sk.
definīciju 9.2.7). Piemēram, L lomā var ņemt intervālu [0,1] ar jebkuru nepārtrauktu t-
normu
9.5.1. Definīcija. Par rezidiju režģī L sauc attēlojumu R: LLL , tādu, ka
),( baR = }),(|{ baxTx
Rezidijs R un attiecīgā (pusnepārtraukta no apakšas) t-norma T ir saistīti ar t.s. Galuā
saikni:
a ),( cbR T(a,b) c
jebkuriem elementiem a, b, c L .
Patiešām, ja a ),( cbR , tad no rezidija definīcijas un ņemot vērā t-normas T
pusnepārtrauktību no apakšas, varam secināt, ka T(a,b) c. Otrādi, ja T(a,b) c, tad no
rezidija definīcijas seko, ka R(b,c) a.
Kā t-normas gadījumā, tā arī strādājot ar rezidijiem bieži ir ērtāk izmantot algebrisku
pierakstu un attiecīgi uztvert to nevis kā funkciju, bet kā algebrisku operāciju, kuru
parasti apzīmē ar simbolu . Izmantojot apzīmējumus algebriskā formā, iepriekšējo
definīciju varam pārformulēt šādi:
9.5.1.' Definīcija. Par rezīdīju režģī L sauc bināru operāciju tādu ka
ab = {x | x a b }
Galuā saikne algebriskā formā izskatīsies šādi:
a cb a b c.
9.5.2. Apgalvojums. Ja a b , tad ab = 1. Tai skaitā aa = 1 katram a .L
Pierādījums. Patiešam, pieņemsim, ka a b . Tad ab = {x | x a b } 1, jo
1 a = a b. Tā kā 1 ir režģa maksimālais elements, iepriekšējā nevienādība nozīmē, ka
ab = 1.
9.5.3. Apgalvojums. Rezidijs ir dilstoša (nestingri) funkcija pēc pirmā argumenta un
augoša (nestingri) funkcija pēc otrā argumenta:
a1 2a R(a1, b) R(a2, b)
b1 b2 R(a, b1) R(a, b2).
Pierādījums viegli seko no rezidija definīcijas un no t-normas monotonitātes.
9.5.4. Teorēma. R(a,b) R(b,c) R(a,c) jebkuriem .,, Lcba
115
Pierādījums. Apzīmēsim R(a,b)= un R(b,c)= . Atsaucoties uz t-normas apakšējo
pusnepārtrauktību, no šīm vienādībām iegūstam, respektīvi, ka ba un cb .
Savukārt, ņemot vēra t-normas komutativitāti, no šīm nevienādībām varam secināt, ka
ca . Izmantojot Galuā saikni, iegustam ca , t. i.
),(),(),( caRcbRbaR .
Rezīdīja operācija zināmā nozīmē ir inversā operācijai . Tātad, uztverot kā
"vispārinātu reizinājumu", rezidiju var traktēt kā atbilstošu "vispārinātu dalījumu".
Konkrēto šīs domas izpausmi izsaka sekojoša teorēma.
9.5.5. Teorēma Ja t-norma T ir nepārtraukta un a b, tad (ab) a = b.
Pierādījums Gadījumā, ja a = b, acīmredzot, ab = 1, un tāpēc (ab) a= a 1 = b .
Gadījumā, ja b = 0 un a 0, acīmredzot, ab = 0 un tāpēc (ab) a =a 0 = 0= b.
Aplūkosim tagad gadījumu, kad a > b un b 0. Apzīmēsim ab = c. Tad c= {x | x
a b } un, ņemot vērā operācijas pusnepārtrauktību no apakšas, arī c a b . Tagad,
nofiksējot a kā t-normas pirmo koordināti, un apskatot t-normu kā otrā argumenta
funkciju, T(a, t): L L , redzam ka
T(a,0)=0 < b < a = T(a,1)
Atsaucoties uz Bolcāno-Košī teorēmu par segmentā definētas nepārtrauktas funkcijas
starpvērtībām, varam atrast c' ]1,0[ tādu, ka T(a,c') = b, vai, citiem vārdiem, ca '= b.
Skaidrs, ka tādā gadījumā c = {x | x a b } 'c . Bet no otras puses t-normas
monotonitāte ļauj secināt, ka arī bca .
Līdz ar to teorēma ir pierādīta.
Tagad apskatīsim dažas konkrētas t-normas un tām atbilstošos rezidijus.
9.5.6. Piemēri: 1. Minimuma t-normai TM atbilstošais rezidijs ir
ba jab,
ba ja1,ba,R M
2. Lukasieviča t-normai TL atbilstošais rezidijs ir
RL(a,b) = min{1 - a + b, 1}
3. Reizinājuma t-normai TP atbilstošais rezidijs ir
ba ja,
a
b
ba ja1,
ba,R p
4. Nilpotenta minimuma t-normai Tnil atbilstošais rezidijs ir
ba jab,a1
ba ja1,ba,R nil
Par to var viegli pārliecināties pielietojot rezidija definīciju konkrētām t-normām.
Piemēram RL(a,b) = { x ]1,0[ | max{a + x - 1, 0) b } = { x ]1,0[ | a + x - 1 b}
= { x ]1,0[ | x 1 - a + b } = min{1-a+b, 1}.
116
Pamatojoties uz rezidija definē arī t.s. birezidiju:
9.5.7. Definīcija. Pieņemsim, ka režģī L tiek uzdota pusnepārtraukta no apakšas t-norma
T un R ir tai atbilstošais rezidijs. Tad par birezidiju sauc attēlojumu _
R : LLL , kuru
definē ar formulu (a,b L ): _
R (a,b) = T(R(a,b),R(b,a)).
9.5.8. Teorēma. Pieņemsim, ka režģis L ir lineāri sakārtots, piemēram, L = [0,1]. Tad _
R (a,b) = R(a b , a )b .
Pierādījums. Vispirms apskatīsim gadījumu, kad a .b Tad R(b,a) = 1 un tāpēc _
R (a,b) = R(a,b). Otrādi, ja a b , tad R(a,b) = 1 un tāpēc _
R (a,b) = R(b,a). Tātad, jebkurā
gadījumā birezidijs ir vienāds ar to no diviem rezidijiem, kura pirmais elements nav
mazāks par otro.
9.5.9. Sekas _
R (a,b) = R(a,b) R(b,a). Citiem vārdiem _
R (a,b) = TM(R(a,b),R(b,a)).
Pasvītrosim, ka šajā birezidija raksturojumā figurē min-t-norma TM neatkarīgi no tā, kāda
t-norma T ir attiecīgajā rezidija pamatā.
Tagad apskatīsim birezidijus, kurus inducē konkrētās t-normas:
9.5.10. Piemēri
1. Min-t-norma TM : _
R M(a,b) = RM(a b , a )b un tātad,
_
R M(a,b) =
baba
ba
ja ,
ja ,1
2. Lukasieviča t-norma TL: _
R L(a,b) = RL(a b , a )b = min{1 - max(a,b) + min(a,b), 1 } un tātad _
R L(a,b = 1 - |a - b|.
3. Reizinājuma t-norma TP: _
R P(a,b) = RP(a b , a )b un tātad
_
R P(a,b)=
baba
ba
ba
ja ,
, ja,1
9.5.11. Uzdevums: Izmantojot doto rezidiju un t-normu var "restaurēt" divu elementu
maksimumu un minimumu režģī. Kā piemērus piedāvājam jums pierādīt sekojošās
formulas:
117
(L - režģis, T: LLL - pusnepārtraukta no apakšas t-norma un R - attiecīgais rezidijs,
a,b L .)
1. Max(a,b) = TM(RM(RM(a,b),b), RM(RM(b,a),a));
2. Max(a,b) = min (RP(RP(a,b),b), RP(RP(b,a),a));
3. Max(a,b) = RL(RL(a,b),b);
4. Min(a,b) = TP(a,RP(a,b),b).
9.5.12. Uzdevums: Pierādiet, ka 22112121 bababbaa .
118
9.6. Involūcija un t-konormas.
Iepriekšējas kursa nodaļās mums jau vairakkārt nācās apskatīt situācijās, kad režģī tika
definēta involūcija. Šeit mēs pievērsīsimies situācijai, kad involūcija darbojas režģī ar t-
normu (piemēram, GL-monoīdā) un izpētīsim t-normas un involūcijas mijiedarbību,
kuras rezultātā režģī tiek ģenerēta jauna operācija - tā saucama t-konorma. Bet vispirms
atgādināsim involūcijas definīciju: 9.6.1. Definīcija. Par involūciju režģī L=(L, ),, sauc attēlojumu N: L L tādu, ka
1. N(N(x)) = x katram x X un
2. Ja x y , tad )()( yNxN .
Vērtību N(x) bieži pieraksta arī formā xc un režģi kurā ir definēta involūcija pieraksta
šādi: L = (L, ),,, c . Iegaumējiet, ka 0c = 1 un 1
c = 0.
(Tieši tādā formā mēs apzīmējām involūciju saskaroties ar to iepriekšējās kursa daļās.
No definīcijas ir skaidrs, ka involūcija ir savstarpēji viennozīmīgs attēlojums (t.i.
bijekcija).
9.6.2. Piemēri:
1. Ja L = {0,1}, tad vienīgā iespējamā involūcija ir tāda, kas attēlo 0 par 1 un 1 par 0.
2. "Standarta" involūcija režģī L = [0,1] tiek definēta ar formulu xc = 1-x.
3. Vispārinot standarta involūciju nofiksēsim skaitli 0< a < 1 un definēsim involūciju
Na: L L (L=[0,1]) sekojoši:
Na (x) =
1.xa ja a, 1a
1x
a;x0 ja 1, a
x -x
(sk.60.zīmējumu).
1
x1a
a
0
60.zīmējums.
Pārbaudiet, ka patiešam šādā veidā iegūtā funkcija Na ir involūcija. Standarta
involūciju iegūsim no šīs formulas ņemot a = 21 .
Sugēno involūcija. (Sugeno – Japānu zinātnieks.) Nofiksēsim skaitli 1 un definēsim
involūciju
SN : LL , L=[0,1], ar formulu
119
SN (x) = x
x
1
1
Pārbaudiet, ka patiešām šī funkcija ir involūcija.
4. Involūcijas režģī, kas sastāv no 4 elementiem.
Apskatīsim režģi, }1,,,0{ baL kurā visas saiknes starp elementiem tiek raksturotas
ar nevienādībām 0<a<1; 0<b<1. Šajā režģī definēt divas dažādas involūcijas, proti:
N1(0)=1; N1(1)=0, N1(a)=a, N1(b)=b un
N2(0)=1; N2(1)=0, N2(a)=b, N2(b)=a
9.6.3. Teorēma. Involūcija savieno minimuma ( ) un maksimuma ( ) operācijas ar De
Morgana likumiem:
( ccc yxyx ) un ( ccc yxyx )
jebkuriem x,y L .
Pierādījums
No nevienādībām x yx un y yx un involūcijas definīcijas seko, ka
cx ( )cyx un cy ( )cyx un tāpēc arī cc yx ( )cyx . Lai pierādītu
apgriezto nevienādību pieņemsim, ka cc yx . Tad cx un cy . No
involūcijas definīcijas varam secināt, ka xc , y
c un tāpēc x y c . Vēlreiz
izmantojot involūcijas definīciju, iegūstam ( )cyx un tātad cc yx ( )cyx .
No abām iegūtajām nevienādībām seko, ka ( ccc yxyx ) .
Analoģiski var pierādīt arī otro vienādību.
Iepriekšējā teorēmā konstatētā sakarība starp operācijām , un involūciju c: L L
var tikt uzskatīta par sekojošas definīcijas pamatu un motivāciju:
9.6.4. Definīcija. Pieņemsim, ka L = (L, ) , , , , c ir režģis bagātināts ar t-normu un
involūciju. Par t-konormu šajā režģī sauc attēlojumu S: LLL kuru definē ar
formulu S(x,y) = N(T(N(x),N(y)).
Kā arī parējām operācijām režģī, paralēli funkcionālajam pierakstam, t-konormai mēs
izmantojam algebrisku pierakstu, traktējot to kā bināru algebrisku operāciju režģī L:
xy := S(x,y).
Pieturoties konsekventi algebriskai formai t-konormu var definēt arī ar formulu
xy = ( xc y
c )
c.
Tātad, no pašas definīcijas ir skaidrs, ka t-norma, involūcija un attiecīga t-konorma savā
starpā ir saistītas ar De Morgana likumiem:
.( xy )c= x
c y
c un.x
cy
c = ( x y )
c.
9.6.5. Teorēma [t-konormu pamatīpašības]
120
(1) S(x,y) = S(y,x) (simetrijas nosacījums);
(2) S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z)) (asociativitāte);
(3) 21 xx S(x1,y) S(x2,y) (monotonitāte);
(4) S(x,0) = x.
Pierādījums viegli seko no attiecīgām t-normu īpašībām.
Pārformulējot šos nosacījumus algebriskā formā iegūstam sekojošu teorēmas 9.6.5.
pārformulējumu:
9.6.5.' Teorēma [t-konormu pamatīpašības algebriskā formā]
(1*) xy = yx tātad operācija ir komutatīva;
(2*) (xy) z = x (y z) tātad operācija ir asociatīva
(3*) 21 xx x1y x2y tātad operācija ir monotona;
(4*) x0 = x.
9.6.6. t-konormu piemēri.
1. Minimuma t-normai TM atbilstošā t-konorma SM ir maksimuma operācija:
SM(x,y) = x y - tas ir skaidrs no t-konormas definīcijas.
2. Vājai t-normai TW atbilstošā t-konorma SW ir
0. y xja 1,
0;y xja y,xyx,SW
Pasvītrosim, ka abos iepriekšējos gadījumos t-konorma bija definēta izejot no t-normas,
neatkarīgi no tā, kāds režģis ir ņemts un kā tiek definēta involūcija tajā. Šajā ziņā tie ir
unikāli gadījumi: parasti definējot t-konormu nācās precizēt ne tikai režģi un t-normu, bet
arī attiecīgo involūciju. Runājot par režģi L=[0,1] mums parasti būs darīšanas ar
"standarta" involūciju xc = 1 - x.
3. Lukasieviča t-normai TL (un standartai involūcijai) atbilstošā t-konorma
SL: LLL (L = [0,1]) izskatās šādi:
SL(x,y) = min{x+y,1}.
Patiešām, SL(x,y) = 1 - max{xc + y
c - 1, 0} = min{ 1 - (x
c + y
c - 1), 1 - 0 } =
min{x+y,1}.
4. Reizinājuma t-normai TP (un standartai involūcijai) atbilstošā t-konorma SP:
LLL (L = [0,1]) izskatās šādi:
SP(x,y) = x + y - xy
Patiešam, SP(x,y) = 1 - xc y
c = 1 - (1 - x)(1 - y) = x + y - xy.
5. Nilpotenta minimuma t-normai Tnil (un standarta involūcijai) atbilstošā t-konorma ir
Snil(x,y) =
1 y xja ,0
1;y xja ,yx
6. Nodaļā 9.1 mēs apskatījām t.s. Vēbera t-normu saimi. Parādiet ka atbilstoša t-
konormu saime ir
1,
1
xy -y x min,
yxS , ],1[
121
(Pie 1 un mēs, dabiski, formulu saprotam kā attiecīgu robežu.)
9.6.7. Uzdevums. Uzrakstiet, kā izskatās t-konormas atbilstoši t-normām TM, T W, TL, TP
un Tnil un involūcijām Na, kur 0 < a < 1.
Līdz šim mēs apskatījām involūciju režģī neņemot vērā kāda t-norma ir definēta režģī.
Involūcijai, no t-normas viedokļa bija tikai pakārtota nozīme definējot t-konormu. Tomēr
ir situācijas, kad involūcija ir cieši saistīta ar attiecīgo t-normu. Svarīgākā no tāda veida
situācijām ir aprakstīta sekojošā teorēmā:
9.6.8. Teorēma. Ja TL ir Lukasieviča t-norma režģī L = [0,1] un RL ir attiecīgais rezidijs,
tad standarta involūciju var iegūt no formulas N(x) =RL(x,0), vai, algebriskā
formā 0xx c .
Pierādījums. Kā tika noskaidrots paragrāfā 9.5, Lukasieviča t-normai TL atbilstošais
rezidijs ir RL(a,b) = min(1 - a + b, 1). Ievietojot šajā formulā a = x un b = 0, dabūsim
RL(x,0) = 1 - x.
Šajā teorēmā noteikta sakarība starp Lukasieviča t-normu un standarta involūciju režģī L
= [0,1] kalpo par pamatu un motivāciju sekojošai definīcijai:
9.6.9. Definīcija. Režģi ar pusnepārtrauktu no apakšas t-normu (jeb GL-monoīdu) (L,
) , , , sauc par MV-algebru, ja 0)0( a = a katram L .
No definīcijas ir skaidrs, ka piekārtojot katram L elementu ca = 0a mēs
iegūstam involūciju MV-algebrā L. MV-algebras nosaukums nāk no "Multi-valued
algebras". MV-algebras jēdzienu ievēda C.C. Čangs (sk. piemēram, darbus [Ch58].
[Ch66].) MV-algebrām ir lielu loma gan algebrā, gan matemātiskās loģikas pētījumos un
tās pētīja un izmantoja sabos darbos daudzi matemātiķi, sk. piem;eram, Belluči un Hohles
darbus [Bel], [Ho].
122
10. L-vērtīgas loģikas (vai nestriktās loģikas)
elementi
Laikam katrs matemātiķis piekritīs, ka matemātiskā loģika ir viens no modernās
matemātikas stūrakmeņiem. Ar matemātiskās loģikas pamatjēdzieniem un elementāriem
principiem studenti iepazinās jau pirmajā semestrī un vēlāk, vairāk vai mazāk
konsekventi, tos izmanto citos priekšmetos - algebrā, ģeometrijā, matemātiskajā analīzē.
Viens no matemātiskās loģikas pamatprincipiem ir tā saucamais bivalences princips: pēc
kuram katrs matemātiskā loģikā "akceptējamais" izteikums ir patiess, vai aplams - un
neviens izteikums nevar būt gan patiess gan aplams. Tieši pamatojoties uz šī bivalences
principa tiek konstruēta visa matemātiskas loģikas milzīga "ēka". Tomēr "reālajā" dzīvē
mēs ļoti bieži sastopamies ar izteikumiem, par kuriem nevar pateikt vai tas ir patiess vai
aplams. Piemēram, tādi ir (gandrīz) visi izteikumi, kas attiecas uz nākotni. (Viens
konkrēts piemērs: Ja es saku: "Rīt Rīgā būs lietus" - šis teikums nav ne patiess, ne
aplams, jo šodien nevar droši zināt par rītdienas laiku - laika prognoze arī var būt
kļūdaina!) Tādi arī ir izteikumi, kuriem ir novērtējošs raksturs. (Vairāki tāda tipa piemēri
tika apskatīti ievadā - piemēram, par labiem vīniem un garšīgām konfektēm.)
Kaut domājošiem cilvēkiem jau senatnē bija skaidrs, ka, tēlaini izsakoties, starp balto un
melno krāsu ir tūkstošiem pelēkas krāsas toņu, tomēr tādu situāciju aprakstīšanai
piemērots matemātiskais aparāts sāka izveidoties tikai XX gadsimta 20-ajos gados. Proti,
šeit mēs runājam par tā saucamo "Daudzvērtīgo loģiku" , vai L-vērtīgu loģiku, kuras
pamati tika izstrādāti izcilā poļu filozofa un matemātiķa Jāna Lukasieviča darbos sk.
[Lu35], [Lu70]. Lukasieviča pamatideja bija atļaut patiesuma funkcijai, kas apraksta
izteikuma patiesumu pieņemt ne tikai divas vērtības 1 (patiess, balts) un 0 (aplams,
melns) bet arī citas vērtības no segmenta [0,1], kas atbilst dažādām "patiesuma
pakāpēm" (vai dažādiem pelēkās krāsas toņiem). Līdzīgas idejas var atrast Posta darbos,
sk., piemēram, [Post].
Sakumā interesi par daudzvērtīgo loģiku izrādīja samēram šaurs matemātiķu loks. Tomēr,
kad XX gadsimta otrā pusē parādījās nestriktas kopas jēdziens un sāka strauji attīstīties
"nestriktu kopu matemātikā", drīz kļuva skaidrs, ka nestriktas kopu teorija ir cieši saistītā
ar daudzvērtīgu loģiku. Līdzīgi, kā "klasiskā matemātika" , kuras pamatā ir parastas
kopas jēdziens, balstās uz parastas, t.i. bivalentas, loģikas, tā "nestriktu kopu
matemātikai" dabiski atbilst daudzvērtīga loģika. Rezultātā nestriktu kopu matemātikas
straujā attīstība izraisīja arvien pieaugušo interesi par daudzvērtīgo loģiku un veicināja arī
tās attīstību.
123
Šajā nodaļā mēs apskatīsim dažus daudzvērtīgās loģikas aspektus, izklāstot tos tādā
veidā, lai tie būtu maksimāli piemēroti mūsu pamatmērķim - nestriktu kopu tālākai
izpētei.
Komentārs. Tieši pasvītrojot, ka mūsu izklāsts pakļauts galvenajam šī darba mērķim - L-
kopu teorijai (un tāpēc neizslēdzot, ka no "tīra" matemātiskas loģikas speciālista var
izraisīt dažādus vairāk vai mazāk pamatotus pārmetumus) šeit mēs izmantojam terminus
"L-vērtīga" un "nestrikta" loģika domājot ar to mums vajadzīgus daudzvērtīgas loģikas
fragmentus
Šajā nodaļā L = (L, , ) , , , c ir režģis ar t-normu , involūciju LLc : un attiecīgu
t-konormu . Kā arī agrāk, t-normai, involūcijai un t-konormai paralēli algebriskiem
apzīmējumiem , c , un mēs lietosim arī funkcionālus apzīmējumus respektīvi T:
LLL , N: LL un S: LLL .
10.1. L-vērtīgas loģikas: loģiskas saiknes un patiesuma vērtības funkcijas
Pieņemsim, ka V ir elementāru izteikumu kopa un ka katram izteikumam VA ir
piekārtota tā patiesuma vērtība A L . Tātad, patiesuma vērtību varam apskatīt kā
funkciju
: V L.
Tālāk, tā kā klasiskajā loģikā, no elementāriem izteikumiem izveidosim izteikuma
formulas, kuru kopu apzīmēsim ar F(V). Proti, ar izteikuma formulu mēs definējam pēc
indukcijas
Katrs elementārs izteikums ir izteikuma formula;
Ja A ir izteikuma formula, tad arī A ir izteikuma formula, kur
ir negācijas saikne;
Ja A un B ir izteikuma formulas, tad arī A$B arī ir izteikuma formula, kur dolāra zīmes $
vietā var būt jebkura no sekojošam loģiskām saiknēm:
& - konjunkcija;
# - disjunkcija;
- implikācija;
- ekvivalence
.
Komentārs. Mēs šeit izvelējam disjunkcijas apzīmējumam simbolu #, bet nevis simbolu
, kuru parasti lieto loģikā disjunkcijas apzīmējumam, jo simbols , mums ir jau ta ļoti
noslogots - ar to mēs apzimējam režģu L elementu maksimumu un suprēmu, kā arī L-
kopu apvienojumu
Turpināsim patiesuma vērtības funkciju : V L.uz visu izteikuma formulu kopu
F(V) pēc indukcijas sekojoši:
124
Ja A )(VF un formulai A ir jau definēta patiesuma vērtība A L , tad formulai
A (kuru, kā klasiskajā loģikā lasām "ne A" ) piekārtosim vērtību
A = A c L .
Uzreiz atzīmēsim, ka šajā gadījumā, protams, ir spēkā dubultnegācijas likums
A = A
Ja A,B )(VF un formulām A un B ir jau definētās patiesuma vērtības A , B L ,
tad formulai A&B (kuru, kā klasiskajā loģikā interpretējam: "ir gan A, gan B")
piekārtosim patiesuma vērtību
BA & = A B L .
Ja A,B )(VF un formulām A un B ir jau definētās patiesuma vērtības A , B L ,
tad disjunkcijas formulai A#B (kuru, kā klasiskajā loģikā interpretējam: " A vai B")
piekārtosim patiesuma vērtību
BA# = A B L .
Ja A,B )(VF un formulām A un B ir jau definētās patiesuma vērtības A , B L ,
tad formulai AB (kuru, kā klasiskā loģikā sauksim par implikāciju un
interpretējam: "ja ir A, tad ir arī B") piekārtosim patiesuma vērtību
BA = A B ,
vai, izmantojot "funkcionālo pierakstu",
BA = R( A , B ) L , kur R ir rezidījs.
Uzreiz atzīmēsim divas nozīmīgas šīs implikācijas īpašības:
- A BA B - tas ir "nestriktais" analogs vienam no klasiskās
loģikas pamatlikumiem - proti "MODUS PONENS" likumam: "Ja
apgalvojums A ir spēkā, un no apgalvojuma A seko apgalvojums B,
tad apgalvojums B arī ir spēkā".
- BA CB CA - tas ir "nestriktais" analogs tādam
bieži izmantotajam klasiskās loģikas likumam: "Ja no apgalvojuma A
seko apgalvojums B un no apgalvojuma B seko apgalvojums C, tad no
apgalvojuma A arī seko apgalvojums C.”
Ja A,B )(VF un formulām A un B ir jau definētās patiesuma vērtības A , B L ,
tad formulai A B (kuru, kā klasiskajā loģikā interpretējam: "apgalvojumi A un B ir
ekvivalenti", vai " A ir tad un tikai tad, kad ir B") piekārtosim patiesuma vērtību
BA = BA AB L .
Izmantojot birezidija definīciju, ekvivalences patiesuma vērtību var definēt arī šādi:
BA = ( A B ) ( B A ) = A B L .
125
10.2. Dažas konkrētas L-vērtīgas loģikas
Iepriekšējā paragrāfā mēs izklāstījām L-vērtīgas loģikas uzbūves shēmu - tās
pamatprincipus un pamatlikumus. Šeit mēs centīsimies piepildīt šo shēmu ar konkrētu
saturu.
Apskatīsim dažus konkrētus L-vērtīgu loģiku piemērus.
10.2.1. Klasiskā, jeb binārā loģika . Pieņemsim, ka L = {0,1} : = 2 un ir t-
norma, bet LLc : ir involūcija tajā. Tad augšā definētas patiesuma
vērtības visām loģiskām operācijām: konjunkcijai, negācijai, dizjunkcijai,
implikācijai un ekvivalencei - sakrīt ar attiecīgām definīcijām no klasiskās
loģikas. (Šīs vērtības lasītājs var atrast sekojošās tabulās, sk 62.zīmējumu)
Tāpēc režģim {2, },,, c atbilstošā loģika ir, pēc būtības, parasta
klasiskā loģika.
& 1 0 ||A||
1 1 0
0 0 1
||B||
1 0 ||A||
1 1 1
0 0 1
||B||
# 1 0 ||A||
1 1 1
0 1 0
||B||
1 0 ||A||
1 0 ||
A||
61.zīmējums. Komentārs. Atgādināsim, ka divpunktīga režģa L = {0,1} gadījumā nav vajadzības
precizēt, kādu t-normu un kādu involūciju mēs ņemam, jo uz {0,1} visas t-normas sakrīt
ar un vienīga involūcija ir 0 .01,1 cc sakrīt.
10.2.2. Lukasieviča loģika
L=[0,1]: Izmantojot Lukasieviča t-normu definējot konjunkciju, t.i.,
BA & = max{ A + B - 1, 0 },
standarta involūciju negācijas definīcijā, t.i.
A = 1 - A ,
un definējot implikāciju ar rezidīja palīdzību, t.i.
BA = min{1- A + B , 1},
126
mēs veidosim t.s. Lukasieviča loģiku. Dizjunkcija Lukasieviča loģikā tiek
definēta ar attiecīgu t-konormu, t.i.
BA# = min{ A + B , 1}.
10.2.2' Lukasieviča loģikas speciālais gadījums
(Galīgas vērtību kopu gadījums).
Apskatīsim režģi L={0, }1,,,43
21
41 = 5 kā standarta intervāla [0,1] apakškopu
un reducēsim Lukasieviča loģikas formulas uz šo gadījumu. Tad attiecīgas
loģiskās saiknes var aprakstīt ar sekojošām uzskatamām tabulām (sk.
62.zīmējumu.):
# 041
21
43 1 ||A||
0 041
21
43 1
41
41
21
43 1 1
21
21
43 1 1 1
43
43 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
||B||
& 041
21
43 1 ||A||
0 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0
41
21 0 0 0
41
21
43 0 0
41
21
43
1 041
21
43 1
||B||
||A B|| 041
21
43 1 ||A||
0 143
21
41 0
41 1 1
43
21
41
21 1 1 1
43
21
43 1 1 1 1
43
1 1 1 1 1 1
||B||
||A|| 041
21
43 1
||
A|| 143
21
41 0
62.zīmējums. 10.2.3. Gēdeļa loģika
L = (L, ),, - jebkurš pilns režģis. Par pamatu ņemot minimuma t-normu
TM definējam konjunkciju, t.i.
BA & = A B ,
un standarta involūciju negācijas definīcijā
A = 1 - A ,
izmantosim rezidiju, lai definētu implikāciju:
BA = A B =
BB A ja ,
B A ja ,1 .
Dizjunkcijas patiesuma vērtībai šajā loģikā atbilst maksimums:
BA# = A B .
127
10.2.3’. Gēdeļa loģikas speciālais gadījums
(Galīgas vērtību kopu gadījums).
Apskatīsim režģi L={0, }1,,,43
21
41 = 5 kā standarta intervāla [0,1] apakškopu
un reducēsim Lukasieviča loģikas formulas uz šo gadījumu. Tad attiecīgas
loģiskās saiknes var aprakstīt ar sekojošām uzskatamām tabulām
(sk.63.zīmējumu):
& 041
21
43 1 ||A||
0 0 0 0 0 0
41 0
41
41
41
41
21 0
41
21
21
21
43 0
41
21
43
43
1 041
21
43 1
||B||
# 041
21
43 1 ||A||
0 041
21
43 1
41
41
41
21
43 1
21
21
21
21
43 1
43
43
43
43
43 1
1 1 1 1 1 1
||B||
041
21
43 1 ||A||
0 1 0 0 0 0
41 1 1
41
41
41
21 1 1 1
21
21
43 1 1 1 1
43
1 1 1 1 1 1
||B||
||A|| 041
21
43 1
||
A|| 143
21
41 0
63.zīmējums.
Reizinājuma loģika.
Ņemsim L=([0,1], ,.),, ar parasto reizinājumu t-normas lomā. Tad
definējot konjunkciju kā
BA & = A B ,
ņemot standarta involūciju, t.i.
A = 1 - A ,
iegūstam implikāciju
BA =
B
BAB
A
A ja ,1
ja ,
128
10.2.4. Trīsvērtīgā loģika
Šoreiz režģa L vietā ņemam intervāla [0,1] apakškopu 3 = {0, 21 ,1}. Ja oriģinālai
patiesuma funkcijai : V L. atļautu pieņemt tikai tādas vērtības, kas pieder
kopai 3 (citiem vārdiem, apskatīt funkciju : V 3), tad šīs funkcijas
turpinājumi : F(V) 3 L Lukasievičas loģikas ietvaros un loģikas no 3.
piemēra ietvaros, sakrīt, un pie tam arī pieņem vērtības no kopas 3. Aicinām
lasītājus pārbaudīt šī fakta patiesumu.
129
10.3. Alternatīvas loģiskās saiknes.
Punktā 10.1 mēs izklāstījām L-vērtīgas loģikas shēmu, kas balstās uz divām
pamatoperācijām L - t-normas un involūcijas. Bet kāpēc tieši tā vajag definēt patiesuma
novērtējumu loģiskām operācijām &, #, ,, ? Viens no pamatojumiem ir fakts, ka
šīs definīcijas labi saskaņojas ar klasiskās loģikas pamatlikumiem - to mēs redzējām
piemērā 1. Svarīgs arī ir fakts, ka šajā shēmā izpildās "MODUS PONENS" likuma
analogs, proti
A BA B
un implikācijas "tranzitivitātes likums":
BA CB CA .
Bet tomēr domājošam matemātiķim dabiski rodas jautājums - vai patiešām augstāk
izklāstīta shēma ir vienīgā "dabiskā" un "lietderīgā" ? Atbilde uz šo jautājumu ir, nē
eksistē vēl citas "dabiskas" un dažās situācijās pat labāk piemērotas "shēmas". Par dažām
no tām mēs parunāsim šajā nodaļa. Kā iepriekšējos paragrāfos L = (L, , ) , , , ir
režģis ar t-normu un, kad nepieciešms, ar involūciju LLc : .
10.3.1 Alternatīvā negācija.
Dažreiz, definējot negāciju, neizmanto involūciju (un tāpēc pie šīs pieejas involūcijai
vispār nav obligāti jābūt definētai režģī L), bet balstās tieši uz rezidiju, kas savukārt ir
atvasināts no oriģinālās t-normas. Proti, negācija klasiskajā loģikā var būt definēta šādi:
" a = no apgalvojuma "a" izriet aplamība"
"Pārtulkojot" šo apgalvojumu L-vērtīgājā kontekstā un atceroties, ka loģiskai implikācijai
mūsu situācijā atbilst rezidijs iegūstam:
A := 0A = 0A
Šādā veidā definētai negācijas patiesuma vērtībai ir priekšrocība salīdzinot ar agrāk
apskatīto definīciju, jo šī definīcija nav atkarīga no involūcijas un līdz ar to var tikt
definēta jebkurā pilnā režģī. Tā arī ir daudz ciešāk saistīta ar t-normu. Diemžēl, šai
negācijai arī ir liels trūkums: tai var neizpildīties dubultnegācijas likums:
A = A .
Ir viegli saprast, ka dubultnegācijas likums: A = A ir spēkā visiem apgalvojumiem
A tad un tikai tad, kad
A = ( 0A ) 0 = A
un tas, savukart nozīme, ka L ir jābūt MV-algebrai. Piemēram, kad L = {0,1},
L={0, 21 ,1} vai L = [0,1] ar Lukasieviča t-normu: pēdējā gadījumā
A = 1-(1- A ) = A .
130
10.3.2. Alternatīvā dizjunkcija
Klasiskajā loģikā dizjunkciju var iegūt balstoties uz konjunkciju un negāciju. Proti,
apgalvojumu " A vai B" var aizvietot ar loģiski ekvivalentu apgalvojumu
" )).(&)(( BA "
Tas uzrāda mums alternatīvu ceļu, kā definēt dizjunkciju L-vērtīgā kontekstā. Proti,
definēsim patiesuma vērtību apgalvojumam "A vai B" ar formulu
BA# = BA .
Tad, gadījumā, ja negācija tiek definēta ar involūcijas LLc : palīdzību , mēs iegūstam
augstāk definēto dizjunkciju:
BA# = BA = cccBA = A B L .
Tomēr, šī formula BA# = BA atver mums vēl alternatīvu iespēju: proti,
definējot negāciju ar rezidija un “atvasinātās” negācijas palīdzību. Izklāsta formā šī
formula izskatīsies šādi:
BA# = )0(( A )0( B ) 0 .
Konkrētām t-normām šī formula dod sekojošus rezultātus:
Minimuma t-normas gadījumā
BA
BABA
ja,1
ja,0#
Lukasieviča t-normas gadījumā
BA# = min{ 1}. ,BA
Reizinājuma t-normas gadījumā
0 0 ja,1
0 ja,0#
BvaiA
BABA
10.3.3. Alternatīvas implikācijas.
Iepriekšējā paragrāfā 10.2 mēs definējām loģisku implikāciju ar rezidija palīdzību.
Tomēr ir arī citas alternatīvas "dabiskās" implikāciju definīcijas. Šeit mēs īsumā
apskatīsim divas no tām.
10.3.3.1. Klīni-Dinesa implikācija
Klasiskajā (binārajā) loģikā implikāciju ba : "ja a tad arī b"
var formāli pierakstīt šādi:
"nē a vai b"
Citiem vārdiem “ a ir aplams, vai b ir patiess”.
"Pārtulkojot" šo teikumu "L-vērtīgajā kontekstā" varam nonākt līdz šādai definīcijai:
BA c BA ,
vai, ekvivalenti,
131
cBAc
BA
Šādā veidā definētu implikāciju mēs sauksim par Klīni-Dinesa implikāciju un apzīmēsim KD BA . Viena no Klīni-Dinesa implikācijas labām īpašībām ir tā, ka šī implikācija
apmierina t.s. "kontrapozīcijas likumu": KD BA = KD AB .
Patiešam, KD BA = ccBA = cc
AB = KD AB .
Kontrapozīcijas likumam ir liela loma klasiskajā loģikā - piemēram, uz tā balstās
"pierādījumi no pretējā" .
Skaidrs, ka konkrēto jēgu Klīni-Dinesa implikācija iegūst izvēloties konkrētas t-normas . Šeit mēs minēsim svarīgākām t-normām atbilstošās Klīni-Dinesa implikācijas.
Pārbaudīt detaļas mēs atstāsim lasītājam.
Minimuma t-normas gadījumā (tātad ) KD
M BA = max{1 - A , B };
Lukasieviča t-normas gadījumā KD
L BA = min{1 - A + B , 1};
(Tātad šajā gadījumā mēs ieguvām tieši tādu implikāciju, kuru mums deva rezidijs - tas ir
vēl viens apliecinājums Lukasieviča t-normas "labām īpašībām".)
Reizinājuma t-normas gadījumā KD
P BA = 1 - A B ;
Nilpotenta minimuma t-normas gadījumā
KD
nil BA =
B
BBA
A ja ,1
A ja ,1(
(Šajā gadījumā arī ieguvām to pašu rezultātu, kuru deva rezidijs).
Vājas t-normas gadījumā KD
W BA =
.1Aun 0B ja 1,
1 A ja ,
0; B ja ,1
B
A
Atzīmēsim, ka implikācijai KD
M BA piemīt tranzitivitātes īpašība:
KD
M BA KD
M CB KD
M CA .
10.3.3.2. Zadē implikācija
Klasiskajā (binārajā) loģikā implikāciju ba :
"ja a tad arī b"
var formāli pierakstīt arī šādi:
"nē a vai (gan b, gan a)."
(Pārbaudiet šo apgalvojumu ar bināro implikācijas patiesuma vērtību tabulu).
Citiem vārdiem “Vai nu a ir aplams, vai gan a, gan b ir patiesi”.
"Pārtulkojot" šo teikumu "L-vērtīgajā kontekstā" varam nonākt līdz šādai definīcijai:
132
) A B(A c
BA ,
vai, ekvivalenti,
ccABA
cB(A
Šādā veidā definētu implikāciju sauc par Zadē implikāciju un apzīmēsim Za BA
Dažreiz šo implikāciju sauc par QL-implikāciju - no "Quantum logic", jo šo implikāciju
izmanto t.s. kvantu loģikā.
Konkrētu jēgu šī definīcija iegūst izvēloties konkrētas t-normas . Šeit minēsim
svarīgākām t-normām atbilstošās Zadē implikācijas. Pārbaudīt detaļas atstāsim lasītājam.
Minimuma t-normas gadījumā Za
M BA = max{1 - A , A B };
Lukasieviča t-normas gadījumā Za
L BA = max{1 - A , B };
Reizinājuma t-normas gadījumā Za
P BA = 1 - A B + A2 B .
10.3.4. Uzdevums. Mēs esam apskatījuši vairākas konkrētas implikācijas.
Noformulēsim vairākas īpašības, kuras ir spēkā klasiskai implikācijai un, pēc
analoģijas var uzskatīt par "vēlamām" arī citām implikācijām. Diemžēl, nevienai
no implikācijām, izņemot klasisko, neizpildās visas šis īpašības. Tomēr daudzām
no implikācijām ir spēkā vairākas no šīm īpašībām. Pārbaudiet, kādas īpašības
izpildās konkrēti katrai no šajā nodaļā apskatītām implikācijām:
(a) dilst (nestigri) pēc pirmā argumenta: Ja A 'A , tad
BA ' BA ;
(b) aug (nestingri) pēc otrā argumenta: Ja B 'B , tad
BA 'BA ;
(c) 0 A = 1 pie jebkuras vērtības A ;
(d) 1A = 1 pie jebkuras vērtības A ;
(e) 01 = 1 ;
(f) BA = 1 tad un tikai tad, kad A B ;
(g) 1 A = A pie jebkuras vērtības A ;
(h) CBA = CAB jebkuriem A , B , C (t.s. apmaiņas
princips);
(i) BA = AB . jebkuriem A , B , (t.s. kontrapozīcijas likums).
133
10.3.5. Dažas konkrētas loģikas II
Šeit mēs apskatīsim dažas samēram bieži izmantojamas loģikas, kuras iegūstam
izvelējoties konkrētas formas loģiskām saiknēm.
L=[0,1]: Izmantojot Lukasieviča t-normu definējot konjunkciju, t.i. , BA &
= max{ A + B - 1, 0 }, standartu involūciju negācijas definīcijā, t.i. A
= 1 - A , un definējot implikāciju kā rezidīju, t.i.
BA = min{1- A + B , 1},
mēs veidosim t.s. Lukasieviča loģiku (sk. arī 10.2.2.).
L = (L, ),, - jebkurš pilns režģis. Izejot no mimimuma t-normas TM
definējam konjunkciju, t.i. BA & = A B , izmantosim rezidiju, lai
definētu implikāciju:
BA = A B =
BB A ja ,
B A ja ,1 ;
un definēsim negāciju atvasinot to no implikācijas, t.i.
A = 0A = A 0 =
0. x ja ,1
0; x ja ,0,
iegūstam rezultātā t.s. intuicionistisko loģiku. Disjunkcija intuicionistiskā
loģikā tiek definēta ar negācijas palīdzību:
BA# = BA &( =
0. y vai0 xja ,1
0; y x ja ,0
(Salīdzini intuicionistisko loģiku ar Gēdeļa loģiku, 10.2.3.)
L=[0,1]: Izejot no reizinājuma t-normas TP definējam konjunkciju, t.i.
BA & = A B , tālāk, balstoties uz attiecīga rezidija definējām implikāciju
BA = A B =
.A ja , A
B
A ja ,1
B
B
Tāpat kā iepriekšējā gadījumā definēsim negāciju ar implikācijas palīdzību:
A = 0A = A 0 =
0. x ja ,1
0; x ja ,0,
Rezultātā iegūstam t.s. reizinājuma loģiku (dažreiz to sauc arī Gogēna vārdā).
Dizjunkicju reizinājuma loģikā iegūst līdzīgi, kā intuicionistiskajā loģikā:
BA# = BA &( =
0. y vai0 xja ,1
0; y x ja ,0
L=[0,1]. Definēsim konjunkciju, kā minimumu: BA & = A B ,
dizjunkciju kā maksimumu: BA# = A B , definēsim implikāciju kā
134
rezidīju BA = A B un atvasinot no tās negāciju: A = 0A
= A 0, iegūstam t.s. monoidālo loģiku (U. Hoehle).
10.4. Kvantori Pieņemsim, ka X ir kaut kāda kopa, P ir kaut kāds predikāts (apgalvojums, jeb īpašība) un
pieraksts P(x) nozīmē, ka elements x apmierina apgalvojumu P (jeb elementam x piemīt
īpašība P). Pieļaujot elementam x apmierināt apgalvojumu P (vai būt apveltītam ar
īpašību P) zināmā pakāpē )(xP L , varam interpretēt P kā funkciju )(P : X L.
Kā šajā kontekstā "pārtulkot" klasiskās loģikas izteikumus
)(: xPXx
"Katrs elements x no kopas X apmierina apgalvojumu P” (jeb “katram elementam x no
kopas X ir īpašība P”).
un
)(: xPXx
"Eksistē elements x no X, kas apmierina apgalvojumu P” (jeb “eksistē elements x no X ar
īpašību P" )?
Izradās, ka "dabiski" to var definēt ar formulām
10.4.1
)(| xPXx := Xx
inf )(xP L un
)(| xPXx := Xx
sup )(xP L .
(Pasvitrosim, ka šīs definīcijas ir korektas ņemot vērā ka pēc mūsu pienēmuma režģis L ir
pilns.)
Turpmāk, kad nevar rasties pārpratums, mēs rakstīsim šīs formulas arī saīsinātā formā:
xP un xP respektīvi.
10.4.2. Piezīme. Tātad "skaitļi" xP un xP raksturo jau nevis katru x X atsevišķi,
bet visu X kopā. Pie tam viegli saprast, kā "paplašinot" kopu X skaitlis xP samazinās
vai nemainās, bet skaitlis xP palielinās vai nemainās: Ja X X ' , tad
)(| xPXx )(|' xPXx un )(| xPXx )(|' xPXx
10.4.3. Viens ilustratīvs piemērs: Jauni draugi.
Pieņemsim, ka Pēterim ir 6 draugi: Māris (M), Koļa (K), Astrīda (A), Inese (I) , Daina
(D) un Guntis (G). Mārim ir 18 gadi; Koļam ir 20 gadi, Astrīdai ir 19 gadi, Inese ir 17
gadu jauna, Daina ir 1 gadu jaunāka par Inesi, bet Guntim ir jau 30 gadi. Pieņemsim, ka
novērtējuma skalas lomā mēs ņemsim segmentu [0,1] un piekārtosim (protams, nosacīti)
pakāpi "J" ar kuru katrs no Pētera draugiem pieder jauno cilvēku kopai sekojoši:
J(M) = 0,85; J (K)=0,7; J (A)=0,8; J (I)=0,9; J (D)=0,92; J (G)=0,65.
Tālāk, pieņemsim, ka Pēteris teica divas frāzes:
135
1. “Visi mani draugi ir jauni”
un
2. “Starp maniem draugiem ir jauni cilvēki.”
Cik lielā mēra Pētera apgalvojumi ir patiesi? Apzīmējot Pētera draugu kopu ar X (tātad
X={M,K,A,I,D.G}) pirmo no apgalvojumiem, pēc mūsu norunas "skaitliski" ir jāatšifrē
šādi:
)(| xJXx := Xx
inf )(xJ = 0,65
bet otrais apgalvojums skaitliski izskatīsies šādi:
)(| xJXx := Xx
sup )(xJ = 0,92
Tātad, pirmais no apgalvojumiem ir patiess ar pakāpi 0,65 (vēcākais no draugiem, Guntis,
samazināja šo pakāpi), bet otrais no apgalvojumiem ir patiess ar pakāpi 0,92 (Daina,
jaunāka no draugiem palielināja šo pakāpi).
136
11. . L-kopu režģu struktūra no L-vērtīgas
loģikas viedokļa
Jau kursa sakumā (1. un 2. nodaļās) apskatot dotās kopas visu L-apakškopu režģi F(X,L)
mēs sapratām, ka tajā dabiski var tikt ievesta režģu struktūra (F(X,L), ) , , . Proti
L-kopām A,B ),( LXF likām A B tad un tikai tad, kad A(x) B(x) katram
Xx (šajā gadījumā mēs sakām, L-kopa A ir L-kopas B L-apakškopa);
L-kopu maksimumu un minimumu definējām punktveidā: proti ja A,B ),( LXF
tad šo kopu maksimums A B ),( LXF un minimums A B ),( LXF , tiek
definēti respektīvi ar formulām: (A B )(x) = A(x) B (x), un (A B )(x) = A(x) B (x) .
Ja režģī L ir uzdota involūcija LLc : , tad šo involūciju var punktveidā pārnest uz
režģi F(X,L):. .)()(cc xAxA
Tagad, atsaucoties uz attīstīto L-režģa struktūru (9.nodaļā) un uz tā pamata izstrādātas L-
loģikas elementiem (10.nodaļā), mēs varam no jauna, jau daudz dziļāk un pamatīgāk
izpētīt L-kopu režģa F(X,L) problēmu.
11.1. L-kopu L-vērtīga iekļaušana.
Vispirms vēlreiz pārdomāsim situāciju ar parastām kopām. Pieņemsim, ka X ir kopa un
P(X) - šīs kopas visu apakškopu saime.
Tad parastām kopām: ),(XPA )(XPB mēs sakām, ka A ir kopas B apakškopa un
rakstam BA , ja ir spēka sekojoša implikācija:
x x X : Ja Ax tad .Bx (11.1.1)
Tagad, pāriesim no parastu kopu uz L-kopu situāciju un apzīmēsim ar F(X,L) visas kopas
X L-apakškopas, kur L, tā kā arī agrāk - pilns režģis ar nepārtrauktu t-normu T.
"Pārtulkojot" formulu (11.1.1) L-kopu situācija, tai skaitā pielietojot L-vērtīgas loģikas
likumus, mēs
1. aizvietosim nosacījumus Ax un .Bx ar skaitļiem A(x) un B(x), kas raksturo
punkta x piederību kopām A un B,
2. aizvietosim klasisko implikāciju "ja p tad q" ar daudzvērtīgu implikāciju qp ,
3. aizvietojot nosacījumu x x X ar tā L-vērtīgu vispārības kvantora analogu, proti
)(| xPXx := Xx
inf )(xP L ,
mēs varam definēt L-vērtīgas iekļaušanas attiecību ~ L-kopām A,B ),( LXF ar
sekojošu formulu:
A ~ B = )()(|: xBxAXxx = Xx
inf )()( xBxA .
Tagad mums ir iespējami vairāki ceļi: mēs LLL : varam brīvi izvēlēties
implikāciju - un tādas iepriekšējā nodaļā tiek aprakstītas nemazums. Tomēr šeit, lai
pieturēties pie vienas vadlīnijas un nebūtu spiesti apskatīt ļoti daudz dažādu gadījumu,
137
mēs visur, izņemot speciāli atrunātus gadījumus, pieņemsim, ka implikācija tiek definēta
ar rezidiju. Tātad, L-kopu iekļaušana tagad izskatīsies šādi:
A ~ B = Xx
inf (R(A(x),B(x))
Tātad L-kopu iekļaušanas attiecība ir faktiski L-attiecība režģī F(X,L):
~ : F(X,L) LLXF ),(
Atzīmēsim uzreiz dažas iekļaušanas attiecības īpašības:
11.1.1. Teorēma. Jebkurām A,B,C ir spēka sekojošās īpašības:
1. A ~ A = 1;
2. Ja B 'B , tad A~ B A ~ B' un ja AA', tad A ~ B A'~ B.
3. (A ~ B) (B~ C) (A ~ C);
Pierādījums. 1. īpašība ir acīmredzama, jo R(a,a) = 1 katram a .L
2.īpašību arī var viegli pamatot tieši no definīcijām.
Tātad mums pietiek pārbaudīt 3. īpašību.
Vienkāršības labad mēs ierobežosimies ar gadījumu, kad L ir lineāri sakārtots režģis,
piemēram, L=[0,1].
Pieņemsim, ka 2.īpašība neizpildās, t.i.
(A ~ B) (B~ C) > (A ~ C);
tad atradīsies Xx tāds, ka
(A ~ B) (B~ C) > R(A(x), C(x)).
Tad, no L-vērtīgas iekļaušanas definīcijas seko, ka šīm pašam Xx vēl jo vairāk ir
spēkā arī nevienādība R(A(x),B(x)) R(B(x),C(x)) > R(A(x), C(x)), bet tā ir pretruna ar
rezidiju īpašībām (sk. paragrāfu 9.3)
11.1.2. Konkrētās situācijās iekļaušanas attiecība izskatīsies šādi:
1. Ja L = {0,1}, tad jebkurām kopām A,B F(X,L) (= P(X) ) izpildās:
A~ B = 1 ja A B (tātad, ja A ir kopas B apakškopa) un
A~ B = 0 pretējā gadījumā.
2. Ja L = [0,1] ar t-normu TM, tad
A~ B = Xx
inf RM(A(x),B(x)) =
B(x)A(x) kuriem x, visiempa B(x) inf
X; x visiem)(A(x) ja ,1 xB
3. Ja L=[0,1] ar t-normu TL, tad
A~ B = Xx
inf RL(A(x),B(x)) = Xx
inf {1 - A(x) + B(x), 1}
4. Ja L=[0,1] ar t-normu TP, tad
A~ B = Xx
inf RP(A(x),B(x)) =
B(x)A(x) kuramir x ja A(x)
B(x) inf
X; x visiemB(x)A(x) ja 1,
x
5. Ja L=[0,1] ar t-normu Tnil, tad
138
A~ B = Xx
inf Rnil(A(x),B(x)) =
B(x)A(x) kuriem x, visiempa B(x)) A(x)-(1 inf
X; x visiem)(A(x) ja ,1 xB
Turpmāk runājot par L-vērtīgu iekļaušanu, kas atbilst vienai no t-normām TM, TL, TP,
Tnil, mēs izmantosim arī speciālus apzīmējumus respektīvi ~ M, ~ L, ~ P, ~ nil.
Ilustrācijas nolūkos arī apskatīsim tādu konkrētu piemēru:
11.1.3. Piemērs. Pieņemsim, ka X ir kaut kāda kopa un A(x) = a, B(x) = b ir šīs kopas
divas konstantas nestriktas apakškopas. Aprēķināsim vērtību A~ B dažādām konkrētām
t-normām. Pie tam varam aplūkot gadījumu, kad a > b, jo pretējā gadījuma visas t-normas
dos vērtību 1 (sk. 9.5.3). Lasītājs var viegli pārliecināties, ka
1. A~ M B = a;
2. A~ L B = 1 - a + b;
3. A~ P B = ba ;
4. A~ nil B = max{1-a, b}.
11.2. L-vērtīgas vienādības attiecība starp L-kopām.
Lai definētu L-vērtīgu vienādības attiecību starp L-kopām, mēs rīkosimies līdzīgi, kā
definējot L-vērtīgu iekļaušanu. Proti, vispirms sāksim ar parasto kopu un parasto
vienādību starp tām:
Parastas kopas ),(XPA )(XPB ir vienādas (A = B) ja ir spēka sekojošas attiecības:
A B un .AB (11.2.1)
Šo faktu var pierakstīt izmantojot loģiskas saiknes:
A = B tad un tikai tad, kad
x x X [ ( Ja Ax tad .Bx ) un (ja x ,B tad x Ax )]
Ax tad un tikai tad, kad .Bx
"Pārtulkojot" formulu (11.2.1) L-kopu situācijā, proti, aizvietojot nosacījumus Ax un
.Bx ar skaitļiem A(x) un B(x) respektīvi, varam iegūst sekojošo L-vērtīgo vienādības
attiecību ~ starp L-vērtīgām kopām A,B )(XF :
A ~ B = ,)()(|: xBxAXxx .
Tālāk, aizvietojot implikāciju "ja p tad q" ar rezīdiju R(p,q), aizvietojot ekvivalenci ar
birezidiju un aizvietojot nosacījumu x x X , ar operāciju Xx
inf , raksturosim L-vērtīgo
vienādības attiecību ~ L-kopām A,B )(XF ar sekojošu formulu:
A ~ B = Xx
inf ( R (A(x),B(x)));
Atceroties birezīdija definīciju un attiecīgās īpašības (sk. 9.5.7., 9.5.8., 9.5.9.) varam dot
arī sekojošas ekvivalentas L-vērtīgas vienādības formulējumus:
A ~ B = Xx
inf ((R(A(x),B(x) ) R(B(x),A(x)) (11.2.2)
A ~ B = Xx
inf ((R(A(x) ),(xB A(x) B(x) ) (11.2.3)
139
11.2.1. Teorēma A ~ B = (A ~ B) ~ (B A) .
Pierādījums. Definēsim kopas X apakškopas
XA = {x | A(x) )(xB } un XB = {x | B(x) )}.(xA
Tad
A ~ B = Xx R(A(x) ))()( ),( xBxAxB
B(x))R(A(x), inf
AXx
A(x))R(B(x), inf
BXx=
B(x))R(A(x), infXx
A(x))R(B(x), infXx
= (A ~ B) ~ (B A).
11.2..2. Piezīme Jebkurām L-kopām A un P ir spēkā nevienadība (A ~ B) ~ (B A)
(A ~ B) ~ (B A), bet vienādības, vispār runājot, var arī nebūt.
Lai par to pārliecinātos, varam apskatīt sekojošo piemēru:
Ņemsim kopas X vietā reālo taisni R un definēsim tās L-apakškopas A un B ar
formulām:
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
Tad viegli pārbaudīt, ka A ~ L B = 31 , ~ B LA = 3
1 un
(A ~ L B) ~ (B LA) = 0 < (A ~ LB) ~ (B LA) = 31
(sk. 64.zīmējumu)
1
0 x1
A(x)B(x)
3-1-3
64.zīmējums.
L-vērtīga vienādība varētu būt interpretēta kā attēlojums
~ : F(X,L) LLXF ),(
Nākamājā teorēmā noskaidrosim šī attēlojuma svarīgas īpašības:
11.2.3. Teorēma Jebkurai L-vērtīgai vienādībai režģī F(X,L) un jebkuram A,B.C
),( LXF ir spēkā sekojošas īpašības:
1. A ~ A = 1;
2. A ~ B = B ~ A;
140
3. .(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
Pierādījums Pirmās divas īpašības viegli seko no definīcijām un par to pareizību
pārliecināties mēs atstājām lasītājam. Pārbaudīsim šeit trešo īpašību gadījumā, kad
L=[0,1]. Pieņemsim, ka tā var neizpildīties. Tad atradīsies tāds Xx , ka
(A ~ B) (B ~ C) > (R(A(x),C(x) ) (R(C(x),A(x)),
un tad, atsaucoties uz formulu (11.2.5) šim pašam x izpildīsies arī nevienādība
(R(A(x) ),(xB A(x) B(x) )) (R(B(x) ),(xC B(x) C(x) )) >
>R(A(x) ),(xC A(x) C(x) ))
Parādīsim, ka tas noved līdz pretrunai. Pieraksta vienkāršības labad apzīmēsim A(x)=a,
B(x)=b un C(x) = c. Tad nevienādība izskatīsies šādi:
(R(a ,b a b)) (R(b ,c b c )) >R(a c , a c )).
Apskatīsim visus skaitļu a,b,c savstarpēja izvietojuma gadījumus.
(1) a cb
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(b,a) R(c,b) > R(c,a).
(2) b a c
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(a,b) R(c,b) > R(c,a).
(3) a c b
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(b,a) R(b,c) > R(c,a).
(4) b c a
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(a,b) R(c,b) > R(a,c).
(5) c a b
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(b,a) R(b,c) > R(a,c).
(6) b a c
Tad šī nevienādība izskatīsies šādi: R(a,b) R(b,c) > R(a,c).
Lasītājs var viegli pārliecināties, ka katra no šīm situācijām ir pretrunīga.
11.2.4. Piezīme Nevienādība (A ~ B) (B ~ C) A ~ C var arī nebūt. Piemēram, tā
var izjukt Lukasieviča t-normas gadījumā.
11.2.5. Tagad apskatīsim, kā izskatās L-vērtīga vienādība starp divām L-kopām A, B
),( LXF nozīmīgāko t-normu gadījumos.
1. Minimuma t-normas TM gadījumā:
A ~ M B := B(x)A(x) : x |)()(inf xBxA , ja A B un
A ~ M A := 1.
2. Lukasieviča t-normas TL gadījumā:
A ~ L B := x
inf | B(x) - A(x) | - 1 .
3. Reizinājuma t-normas gadījumā:
A ~ P B :=
B A ja ,1
ja ,)()(
)()(inf
0)()(:BA
xBxA
xBxA
xBxAx
4. Nilpotentas t-normas gadījumā:
141
A ~ nil B := inf{ ((1-A(x)) )(xB ) ))(1()(( xBxA | x: A(x) )(xB }, ja A B
un A ~ nil B = 1 ja A = B.
Ilustrēsim šīs vienādības ar vienu konkrētu piemēru. Ņemsim parasto taisni R kopas X
vietā un apskatīsim tajā divas nestriktas kopas:
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,x 11
10
1,1; x ja ,1
(sk. 65.zīmējumu: )
1
0 x1
A(x)B(x)
65.zīmējums.
Tad viegli pārliecināties, ka
A ~ M B = 0; A ~ L B = 1110 , A ~ P B = 11
10 un A ~ nilB = 2110 .
11.3. L-kopu L-vērtīga iekļaušana un L-vērtīga vienādība alternatīvu
implikāciju gadījumā.
Definējot L-kopu L-vērtīgu iekļaušanu un, uz tā pamata L-vērtīgu vienādību, mums
pamatlomu spēlēja loģiskās implikācijas interpretēšana. Iepriekšējos paragrāfos mēs
implikāciju definējām ar rezidiju. Turpinot arī tālāk uzskatīt šo pieeju par galveno, mēs
šeit īsumā apskatīsim situācijas alternatīvas implikācijas izmantošanas gadījumā.
Pievērsīsim šeit uzmanību divām implikācijām: Klīni-Dinesa implikācijai un Zadē
implikācijai.
Dabiski, par režģi (L, ,,, ),c ņemam L = [0,1] ar standarto involūciju.c: LL .
Kaut vēl paliek brīvība t-normas . izvelē, parasti šeit ņem minimuma t-normu M vai
Lukasieviča t-normu L.
142
L-kopu iekļaušana uz Klīni-Dinesa implikācijas pamata.
Ņemot par pamatu Klīni-Dinesa implikāciju un minimuma t-normu TM iegūstam KD
MBA = max (1 - A , B ). Tad L-vērtīga iekļaušana un attiecīga L-vērtīga
vienādība starp divām L-kopām izskatīsies šādi:
A ~ KD B = )()(|: xBxAXxx KD = Xx
inf (max{1-A(x),B(x)})
A ~ B = ,)()(|: xBxAXxx = Xx
inf ((max{(1-A(x), B(x)} max{1-B(x), A(x)}
Viegli pārbaudīt, ka, kā arī rezidija gadījumā, uz Klīni-Dinesa implikācijas definētai
iekļaušanai un vienādībai ir spēkā šāda teorēma:
11.3.2. Teorēma Jebkurām A,B,C ir spēka sekojošās īpašības:
1. Ja B 'B , tad A~ KD B A ~ KD B' un ja AA', tad A ~ KD B A'~ KD B.
2. (A ~ KD B) L (B~ KD C) (A ~ KD C),
3. A ~ KD B = B ~ KD A;
4. (A ~ KD B) L (B ~ KD C) A ~ KD C.
bet vienādība A ~ KD A = 1 (un līdz ar to vienādība A ~ KD A = 1) ir spēkā tikai gadījumā,
kad A ir kopas X parasta apakškopa.
11.3.3. Piezīme. Ja iepriekšējā teorēmā Lukasieviča t-normas vietā ņemsim minimuma
t-normu, tad nevienādības 2. un 4. punktā var arī nebūt . Lasītāju aicinām
konstruēt attiecīgus piemērus.
11.3.4. L-kopu iekļaušana uz Zadē implikācijas pamata
Ņemsim par pamatu Zadē implikāciju uz minimuma t-normas bāzes:
BA Za = max (1 - A , A B ).
Tad L-vērtīga iekļaušana un attiecīga L-vērtīga vienādība starp divām L-kopām
izskatīsies šādi:
A ~ Za B = )()(|: xBxAXxx Za = Xx
inf (max{1-(A(x),A(x) B(x)})
A ~ Za B = )()(|: xBxAXxx =
Xxinf ((max{(1-A(x), A(x) B(x)} max{1-B(x), A(x) B(x)})}
Viegli pārbaudīt, ka uz Zadē implikācijas pamata definētai iekļaušanai un vienādībai ir
spēkā sekojošā teorēma:
11.3.6. Teorēma Jebkurām A,B,C ir spēka sekojošās īpašības:
1. Ja B 'B , tad A~ Za B A ~ Za B' un ja AA', tad A ~ Za B A'~ Za B.
2. (A ~ Za B) L (B~ Za C) (A ~ Za C),
3. A ~ Za B = B ~ Za A;
4. (A ~ Za B) L (B ~ Za C) A ~ Za C.
bet vienādība A ~ Za A = 1 (un līdz ar to vienādība A ~ Za A = 1) ir spēkā tikai gadījumā,
kad A ir kopas X parasta apakškopa.
11.3.7. Uzdevums. Pierādijiet teorēmas 11.3.2 un 11.3.6.
144
11.4. L-vērtīgās šķēluma un apvienojuma operācijas.
Atcerēsimies, kā tiek definētas kopu šķēluma un apvienojuma operācijas klasiskajā
matemātikā:
Ja A un B ir kopas, tad
Par šo kopu šķēlumu sauc kopu A B , kas sastāv no visiem elementiem x X
tādiem, ka x A un Bx ;
Par šo kopu apvienojumu sauc kopu BA kas sastāv no visiem elementiem x X
tādiem, ka x A vai Bx
Apskatot tagad kopas X L-vērtīgas apakškopas A,B ),( LXF kur L=(L, ),,,, c un
"pārtulkojot" šķēluma un apvienojuma definīcijas L-vērtīgajā situācijā, nonācām līdz
šādām L-vērtīga šķēluma ~ un L-vērtīga apvienojuma ~ definīcijām:
11.4.1. Definīcija ))(~( xBA = )()( xBxA un )()())(~( xBxAxBA ,
( kur ir t-norma un - tai atbilstoša t-konorma.)
Tāda veidā definētas L-vērtīga šķēluma un apvienojuma operācijas var tikt interpretētas
kā L-vērtīgie attēlojumi ~ : F(X,L) LLXF ),( un ~ : F(X,L) LLXF ),( .
11.4.2. Piemēri
1. Minimuma t-normas TM gadījumā iegūstam BA~ = BA un BA~ = BA .
Tātad, šajā gadījumā mēs nonācām līdz L-kopu šķēluma un apvienojuma definīcijām
no I daļas. (sk. definīcijas 2..2.3, 1.1.4).
2. Lukaiseviča t-normas TL gadījumā iegūstam ( BA~ )(x) = max{A(x) + B(x) - 1, 0}
un ( BA~ )(x) = min {A(x) + B(x), 1}.
3. Reizinājuma t-normas TP gadījumā iegūstam ( BA~ )(x) = A(x) B(x) un ( BA~ )(x)
= 1 - A(x) - B(x) + A(x)B(x).
Var viegli pārliecināties, kā L-vērtīgām šķēluma un apvienojuma operācijām piemīt
daudzas īpašības, kuras ir analoģiskām attiecīgām klasisko operāciju īpašībām:
11.4.3. Teorēma: Ja X ir kopa un A,B,C ),( LXF , tad
1. .A~ A A 1' A~ A A
2. .A~ B = B~ A 2' A~ B = B~ A
3. .A~ (B~ C) = (A~ B) ~ C 3' A~ (B~ C) = (A~ B) ~ C
11.4.4. Piezīmes
1. Vienādības A~ A = A un A~ A = A var arī nebūt. Piemēram, tās var izjukt
Lukasieviča un reizinājuma t-normu gadījumos (pārdomājiet, kāpēc). Īstenībā šīs
vienādības saglabājas tikai retos gadījumos - piemēram, kad = ir minimuma t-
norma un attiecīga t-konorma = vai kad A ir kopas X parasta apakškopa - šājā
gadījumā nav svarīgi ar kādu t-normu mums ir darīšanas.
2. Arī distributivitātes likumi - proti vienādības A~ (B~ C) = (A~ B)~ (A ~ C) un
A~ (B ~ C) = (A~ B) ~ (A~ C) var arī nebūt. Un atkal - šīs vienādības ir
145
garantētas minimuma t-normas un attiecīgas t-konormas gadījumā, kā arī situācijā,
kad visas kopas ir parastas.
3. Dažām t-normām ir spēkā nevienādības, kuru var nosaukt par "pusdistributivitātes
likumu":
A~ (B~ C) (A~ B)~ (A ~ C) un A~ (B ~ C) (A~ B) ~ (A~ C).
Aicinām lasītājus pierādīt, ka
Šīs divas nevienādības ir sava starpā ekvivalentas;
Reizinājuma t-normai ir spēkā šis "pusdistributivitātes" likums.
4. A~ B BA , A~ B .BA
11.4.5. Piezīme. Pieņemsim, ka L=[0,1] un c: L L ir standarta involūcija, t.i.
1c. Tad, atšķirībā no klasiskās situācijas, sakarības A~ A
c =
X0 un
A~ Ac = 1X var arī neizpildīties. Tomēr šis attiecības ir spēkā gadījumā, kad
šķēlums un apvienojums tiek definētas ar Lukasieviča t-normu:
A~ LAc =
X0 un A~ LAc = 1X.
Interesanti, ka ar Lukasieviča t-normu definētas šķēluma un apvienojuma
operācijas ļauj restaurēt arī parastu apvienojumu un šķēlumu. Proti:
A B = (A~ LBc ) ~ L B un A B = (A~ L B
c ) ~ L B
jebkurām A,B F(X,L).
Aicinām lasītāju pārbaudīt šīs sakarības!
Ja A1,A2, B1, B2 ir kopas X parastas apakškopas, un A1 B1; A2 B2 , tad
A1 A2 B1 B2. L-vērtīgajā situācijā šī fakta analogu apraksta sekojošā teorēma:
11.4.6. Teorēma. Ja X ir kopa, un A1,A2, B1, B2 ),( LXF tad
(A1 ~ B1) (A2
~ B2) A1 ~ A2
~ B1 ~ B2
Pierādījums:
Vienkāršības labad mēs pierādīsim šo apgalvojumu gadījumā, kad L = [0,1].
No pretēja: Pieņemsim, ka A1 ~ B1 A2
~ B2 > A1 ~ A2
~ B1 ~ B2 . Tad apzīmējot
(A1 ~ B1) (A2
~ B2) = , un atceroties L-attiecības ~ definīciju redzam, ka
xinf { (A1
~ A2 )(x) (B1 ~ B2 )(x)}< .
Tāpēc atradīsies Xx tāds, ka
(A1 ~ A2 )(x) (B1
~ B2 )(x)}< .
"Atšifrējot" šķēluma definīciju, iegūstam
A1(x) A2(x) B1(x)B2(x) < A1 ~ B1 A2
~ B2 =
(x
inf (A1(x) B1(x) )) (x
inf (A2(x) B2(x) )) <
(A1(x) B1(x) )) ( (A2(x) B2(x) )),
kas ir pretrunā ar rezidija īpašībām (sk. 9.5.12).
146
11.5. L-vērtīgās attiecības un L-kopu līmeņdekompozīcija.
Kursa pirmajā daļā mēs bieži izmantojām L-kopu dekompozīciju pa līmeņiem. Tagad
noskaidrosim, kā L-kopu dekompozīcija pa līmeņiem uzvedas attiecībā pret L-vērtīgām
šķēluma un apvienojuma operācijām.
Pieņemsim, kā parasti, ka (L, ),,, ir režģis bagātināts ar t-normu, X ir kopa un M,N
),( LXF . Tad katram L apskata L-kopu M un N t.s. nestingras -līmeņkopas:
})(|{ xMXxM , })(|{ xNXxN
un stingras -līmeņkopas:
})(|{ xMXxM un })(|{ xNXxN .
11.5.1. Teorēma. (M~ N) M N un (M ~ N) M N ;
(M~ N) M N un (M ~ N) M N ;
Gadījumā, ja ir minimuma t-norma un L=[0,1], visur iekļaušanas zīme var būt
aizvietota ar vienādības zīmi.
Pierādījums. Pieņemsim, ka x (M~ N) , tad (M~ N)(x) = M(x) N(x) un tāpēc
M(x) , N(x) un x M N .
Pieņemsim tagad, ka x M N un no divām iespējām pieņemsim, ka M(x) . Tad
(M~ N)(x) M(x) un x (M ~ N) .
Līdz ar to pirmās divas attiecības ir pierādītas. Līdzīgi var pārliecināties par atlikušo divu
attiecību pareizību.
Minimuma t-normas gadījumā operācijas ~ un ~ sakrīt, respektīvi, ar nestriktu kopu
šķēluma un apvienojuma operācijām no 1. nodaļas un attiecīgās vienādības jau bija
pieradītas 1.2. paragrāfā.
11.5.2. Uzdevums. Konstruējiet piemērus, kas rāda, ka Lukasieviča t-normas gadījumā
un reizinājuma t-normas gadījumā iekļaušanas zīmes nevar aizvietot ar vienādības
zīmēm.
11.6. L-vērtīgās attiecības, L-vērtīgās operācijas un attēlojumi.
Klasiskajā matemātikā, strādājot ar kopām un to attēlojumiem, pastāvīgi nācās runāt par
kopu attēliem un pirmtēliem. Šajā nodaļā mēs pievērsīsimies jautājumam par to, kā
uzvedas L-kopu L-vērtīga iekļaušana un operācijas ar L-kopām attiecībā uz funkciju
attēliem un pirmtēliem.
Pieņemsim, kā parasti, ka (L, ),,,, c ir režģis ar t-normu un (vajadzības gadījumā) ar
involūciju, ka X un Y ir kopas, un YX : ir funkcija.
11.6.1. Teorēma. Pieņemsim, ka A,B ),( LXF . Tad
1. )(A ~ )(B A ~ B;
2. A( ~ B) )(A ~ )(B ;
147
3. A( ~ B) )(A ~ )(B .
4. A( ~ B) )(A )(B .
Pierādījums.
Pierādīsim šo apgalvojumu gadījumā, kad L = [0,1].
1. Pieņemsim, ka nevienādība neizpildās. Tad Yy
inf ( )(A (y) )(B (y)) <
Xxinf ( )()( xBxA ) := un tāpēc atradīsies 0y Y tāds, ka
)(A ( 0y ) )(B ( 0y )< . Atsaucoties uz L-kopas attēla definīciju, pārrakstīsim
iepriekšējo nevienādību:
0)(;
supyxx
)(xA0)(;
supyxx
B(x) < .
Tāpēc atradīsies 0x X tāds, ka ( 0x )= 0y un )( 0xA0)(;
supyxx
B(x) < . No
šejienes, izmantojot rezidija īpašības, varam secināt, ka vēl jo vairāk
Xxinf ( )()( xBxA )
0)(inf
yx ))()(( 0 xBxA =
0)(0 sup)(
yx
xA
B(x) < ,
kas ir pretrunā ar pieņemto.
2. Nofiksēsim Yy 0 . Tad, atsaucoties uz attēla definīciju un t-normas īpašībām,
iegūstam:
A( ~ B)( 0y ) = 0)(:
supyxx
A( ~ B)(x) =0)(:
supyxx
( )()( xBxA )
0)(:
supyxx
)(xA 0)(:
supyxx
)(xB = )(A ( 0y ) )(B )( 0y ) = ( )(A ~ )(B )( 0y )
3. Lai pierādīt nevienādību A( ~ B) )(A ~ )(B , nofiksēsim 0y .Y Tad:
))(~( 0yBA = 0)(
supyx
))(~( xBA = 0)(
supyx
)()( xBxA 0)(
supyx
)(xA 0)(
supyx
B(x) =
))(())(( 00 yByA = ( )))((~)( 0yBA .
4. Acīmredzot, A~ B A un A~ B B. Tāpēc A( ~ B) )(A un A( ~ B)
)(B un tātad A( ~ B) )(A )(B .
11.6.2. Piezīme. Vienādības A( ~ B) = var arī nebūt: par to liecinā sekojošais piemērs.
Apskātīsim L=[0,1] ar Lukasieviča t-normu; X =Y= R (reālo skaitļu kopa) un definēsim
kopas A un B:
A(x) =
),0( ja ,0
],0,( ja ,1
x
x
B(x) =
),0( ja ,1
],0,( ja ,0
x
x
Funkcijas : YX ņemsim konstantu (x) = 0y . Tad A( ~ B)( 0y ) = 0, bet
( )(A ~ )(B )( 0y )=1.
148
11.6.3. Piezīme. Gadījumā, kad A un B ir kopas X parastas apakškopas un YX : ir
funkcija, no šīs teorēmas izriet labi zināmie fakti. Proti:
1. Ja A B , tad )(A )(B ;
2. A( B) )(A )(B ;
3. A( B) = )(A )(B .
No šis piezīmes ir arī skaidrs, ka 1.un 2. formulās nevienādību nevar aizvietot ar
vienādības zīmi.
11.6.4. Teorēma. Pieņemsim, ka A,B ),( LYF un YX : ir funkcija. Tad
1. )(1 A ~ )(1 B A ~ B;
2. A(1 ~ B) = )(1 A ~ )(1 B ;
3. A(1 ~ B) = )(1 A ~ )(1 B .
Pierādījums. Izvēlēsimies kādu .Xx Tad:
Atsaucoties uz L-attiecības ~ , operāciju ~ un ~ un L-kopas pirmtēla definīcijām, kā
arī ņemot vērā infimuma īpašības, iegūstam:
1. )(1 A ~ )(1 B = Xx
inf ( )(1 A (x) )(1 B (x)) = Xx
inf ( ))(( xA ))(( xB )
Yy
inf (( )()( yByA ) = A ~ B;
2. A(1 ~ B) (x) = ( BA~ )( )(x ) = A( )(x ) B( )(x ) =( )(1 A ~ )(1 B )(x);
3. A(1 ~ B) (x) = ( BA~ )( )(x ) = A( )(x )B( )(x ) =( )(1 A ~ )(1 B )(x).
11.6.5. Piezīme. Gadījumā, kad A un B ir kopas Y parastas apakškopas un YX : ir
funkcija, no šīs teorēmas izriet labi zināmie fakti. Proti:
1. Ja A B , tad )(1 A )(1 B ;
2. A(1 B) = )(1 A )(1 B ;
A(1 B) = )(1 A )(1 B .
149
12. L-vērtīga vienādība un L-vērtīgas kopas.
12.1 Pamatdefinīcijas.
Iepriekšējā paragrāfā mēs redzējām, kā var dabiski definēt attiecību ~ dotās kopas X
visu L-apakškopu saimē F(X,L). Šai attiecībai ir īpašības, kuras zināmā nozīmē atgādina
vienādības pamatīpašības: refleksivitāti, simetriju un tranzitīvitāti:
A ~ A = 1; A ~ B = B ~ A; (A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
Ņemot šīs īpašības par paraugu, definēsim L-vērtīgas vienādības jēdzienu:
12.1.1. Definīcija Par L-vērtīgu vienādību kopā X sauc attēlojumu LXXE : tādu,
ka
1. E(x,x) = 1;
2. E(x,y) = E(y,x);
3. E(x,y) ),(),( zxEzyE
visiem x,y,z X .
Pāri (X,E), kur X ir kopa un E ir kaut kāda L-vērtīga vienādība tajā, sauc par L-vērtīgu
kopu.
12.1.2. Piemērs. Definēsim attēlojumu LXXE : ar formulu
. ja ,0
; ja ,1),(
yx
yxyxE
Tad faktiski mēs iegūstam parasto vienādību "=" kopā X:
E(x,y) = 1 tad un tikai tad, kad x=y
Un savukārt pāris (X,E) ir parasta kopa X.
Uzsvērsim, ka šeit mēs neizmantojām režģa L vai t-normas T konkrētas īpašības, jo
pirmās divas aksiomas vispār nav atkarīgas no t-normas izvēles, un 3. aksiomā kreisajā
pusē vērtība 1 var būt tikai gadījumā, kad x = y un y = z, un tātad x=z.
Tāpēc parasta vienādība var tikt interpretēta kā L-vērtīga vienādība jebkuram režģim L.
Skaidrs, ka šī L-vērtīga vienādība ir minimālā: proti, ja LXXE :' ir vēl kaut kāda
L-vērtīga vienādība kopā X, tad E(x,y)E'(x,y) jebkuriem x,y .X
Vispārīgā gadījumā vienādību E(x,y) = , kur LXXE : ir L-vērtīga vienādība
kopā X , mēs interpretējam kā apgalvojumu "punkti x un y ir vienādi ar pakāpi ". Ja
E(x,y) = 1 tad sakām, ka elementi x un y ir (absolūti) vienādi, bet ja E(x,y) = 0 tad sakām,
ka elementi x un y ir (absolūti) dažādi.
12.1.3. t-normas TM gadījums.
Sevišķi uzskatāmi L-vērtīga vienādība izskatās minimuma t-normas gadījumā. Proti,
nofiksējot L un Xyx , , rakstīsim x y~ tad un tikai tad, kad ),( yxE . Skaidrs
ka attiecība ~ ir ekvivalences attiecība kopā X: tās refleksivitāte ( xx
~ ) un
simetriskums (ja x y~ , tad xy
~ ) ir acīmredzamas no L-vērtīgas vienādības pirmām
150
divām aksiomām. Šīs attiecības tranzitivitāte (ja x y~ un zy
~ , tad zx
~ ) izriet no L-
vērtīgas vienādības 3.aksiomas, jo minimuma t-normas gadījumā, t.i. kad , no
E(x,y) un ),( zyE tā ļauj secināt, ka ),( zxE .
Tātad, katram L kopa X sadalās dizjunktās apakškopās, katra no kurām sastāv no
sava starpā ~ -ekvivalentiem kopas X elementiem.
Atzīmēsim , ka vispārīgā gadījumā attiecība ~ kaut vienmēr ir refleksīva un simetriska,
var nebūt tranzitīva un līdz ar to nav ekvivalence.
12.1.4. Uzdevums Skaidrs, ka L-vērtīgas vienādības LXXE : definīcija ir atkarīga
no t-normas izvēles, jo t-normas izvēle diktē arī 3. aksiomas reālo saturu. Šajā
sakarā aktuāls kļūst jautājums par to, kā t-normas maiņa iespaido visu situāciju.
Viens no vienkršiem rezultātiem šajā jomā ir sekojošais apgalvojums:
Pieņemsim, ka T un T' ir divas t-normas režģī L un ka T' T. Tad, ja
LXXE : ir L-vērtīga vienādība attiecībā pret t-normu T, tad tā ir arī L-
vērtīga vienādība attiecībā pret t-normu T'.
Aicimām lasītāju pārbaudīt šo apgalvojumu.
12.2. Daži "praktiskā rakstura" ilustrējoši piemēri
12.2.1. Piemērs. Pieņemsim, ka X ir objektu kopa, kurus mēs varam novērot tikai caur
blāviem stikliem, un šo stiklu biezums mainās no 0 (ļoti caurspīdīgs) līdz 1 (absolūti
nespodrs) . Ņemsim divus objektus Xyx , un apskatīsim tos pēc kārtas caur blāvu
stiklu, kura biezums ir . Ja rezultātā mēs nevaram atšķirt, vai mēs apskatījām divus
dažādus objektus, vai vienu un to pašu objektu x abas reizes, tādā gadījumā teiksim, ka
objekti Xyx , ir -neatšķirami. Skaidrs, ka ja Xyx , ir -neatšķirami un ' ,
tad tie ir vēl jo vairāk būs '-neatšķirami. Tāpēc diviem objektiem Xyx , varam
definēt skaitli NR(x,y) = inf{ | x un y ir -neatšķirami}, kuru mēs interpretējam kā
"minimālo neatšķiramības robežu" starp elementiem x un y. Ir viegli saprast, ka
NR(x,x) = 0;
NR(x,y) = NR(y,x) un
NR(x,y) NR(y,z) NR(x,z).
Patiešām, pirmās divas īpašības ir acīmredzamas. Lai pamatotu pēdējo nevienādību
pieņemsim, ka NR(x,y) NR(y,z) = . Tas nozīmē, ka skatoties caur stiklu ar biezumu
mēs varam saprast, vai x, y ir viens un tas pats objekts, un līdzīgi, vai y, z ir viens
un tas pats objekts. Skaidrs, ka šajā gadījumā mēs varam arī saprast, vai x, z ir viens un
tas pats objekts.
Tagad, pamatojoties uz "Minimālo neatšķiramības robežu" NR(x,y) mēs definēsim
attēlojumu E: LXX ar formulu E(x,y) = 1 - NR(x,y). Intuitīvi, var teikt ka skaitlis
E(x,y) raksturo "līdzības pakāpi" starp elementiem x un y.
No NR īpašībām secinām, ka
151
1. E(x,x) = 1;
2. E(x,y) = E(y,x)
3. E(x,y) ),( zyE ),( zxE
visiem Xzyx ,, .
Tāpēc E ir L-vērtīga vienādība kopā X, kur režģis L=[0,1] ir apveltīts ar minimuma t-
normu .
12.2.2. Piemērs. Pieņemsim, ka X ir kopa, kuras elementi x ir melnbaltas gleznas un
katra glezna x atrodas kvadrātā ar malu garuma 1. (sk. 66.zīmējumu) . Gleznas x melno
punktu kopu apzīmēsim ar S(x). Pieņemsim, ka katram x kopa S(x) ir mērojama pēc
Boreļa mēra m. (Izsakoties uzskatāmi, tas nozīmē, ka figūrai x ir laukums m(S(x))).
Definēsim attēlojumu E: LXX ar formulu:
E(x,y) = m((S(x) S(y)) ([0,1] [0,1] \ (S(x) )(yS )), kur m ir Borēla mērs.
Uzskatāmi skaitļi E(x,y) varam interpretēt, kā pakāpi, ar kuru gleznas x un y ir līdzīgas,
vai arī kā pieņēmumu, ka divas gleznas x un y ir vienādas.
x
1
0 1
S(x)
1
0 y 1
S(y)
66.zīmējums.
No attēlojuma E definīcijas ir skaidrs, ka
1. E(x,x) = 1;
2. E(x,y) = E(y,x);
Var arī pierādīt, (sk. tālāk), ka jebkuriem Xzyx ,,
3. E(x,y) + E(y,z) 1 E(x,z).
Tāpēc E ir L-vērtīga vienādība uz kopas X, kur režģis L=[0,1] ir apveltīts ar Lukasieviča
t-normu.
Nevienādības E(x,y) + E(y,z) 1 E(x,z) pamatojums:
1. solis. Kā pirmo, apskatīsim gadījumu, kad x,y un z ir kvadrāti, kuriem viena virsotne
ir kopīga un malas ir paralēlas koordinātu asīm. Pie tam, lai nevajadzētu ievest jaunus
apzīmējumus, kvadrāta x malu mēs apzīmēsim arī simbolu x; tātad šī kvadrāta
laukums ir m(S(x)) = x2. Skaidrs, ka E(x,y) = 1 - |x
2 - y
2|. Tātad, lai pierādītu
nevienādību E(x,y) + E(y,z) 1 E(x,z) pietiek pārliecināties, ka
152
1 - |x2 - y
2| + 1 - |z
2 - y
2| 1 - |z
2 - x
2| jebkuriem skaitļiem x,y,z. Bet tas izriet no labi
zināmas moduļa īpašības:
|x2 - y
2| + |z
2 - y
2| |z
2 - x
2| .
x
y
67.zīmējums.
2.solis. Pieņemsim, ka xn, yn, ir figūras, kas atrodas kvadrātā ar malu n1 , n N un
definēsim attiecīgo "k-sasmalicināto līdzības novērtējumu"
)S(yS(x)\K)S(y)S(xm)y,(xE nnnnnnn , kur Kn ir kvadrāts ar malu n1 .
Apskatīsim situāciju, kad kopu xn, yn, zn lomā ir kvadrāti un pie tam tiem viena virsotne ir
kopīga un malas ir paralēlas koordinātu asīm. Tad, rīkojoties kā iepriekšējā gadījumā,
varam pārliecināties, ka
En(xn,yn) + En(yn,zn) - En(xn,zn) .2
1
n.
3.solis. Pieņemsim, ka kvadrāts K ir sadalīts 2n kvadrātiņos (rūtiņās) ar malām
n1 . Tālāk,
pieņemsim, ka figūras x un y, kas atrodas kvadrātā K, var tikt izteiktas kā apvienojumi
i
ixx un i
iyy 2,...,1 ni , kur ix un iy ir figūru daļas, kas atrodas rūtiņā iK un
pie tam visi ix un iy izskatās tā, kā prasīts iepriekšējā punktā, t.i. ir kvadrātiņi ar
koordinātasīm paralēlām malām un ar vienu kopīgu virsotni. (Turpmāk tāda tipa figūras
mēs sauksim par n-kvadrātiskām figūrām.) Tad, kā viegli redzēt E(x,y) =
2
1
),(n
i
iii yxE
un tāpēc, saskaitot nevienādības Ei(xi,yi) + Ei(yi,zi) - Ei(xi,zi) .2
1
n; i = 1,…,n
2, iegūstam
nevienādību E(x,y) + E(y,z) 1 E(x,z). Tātad šī nevienādība izpildās jebkurām n-
kvadrātiskām figūrām x,y z ( pie brīvi izvelēta, fiksēta n).
153
68.zīmējums.
4.solis. No mēra teorijas pamatiem ir zināms, ka jebkurai figūrai x ir spēkā sakarība
m(S(x)) = n
lim m(S([x]n)),
kur [x]n
ir minimāla n-kvadrātiskā figūra kas aptver figūru x,
un tāpēc, kā viegli redzēt, E(x,y) = n
lim E([x]n,[y]
n), kur [y]
n ir minimāla n-kvadrātiskā
figūra kas aptver figūru y.
5.solis. Parejot pie robežas kad n nevienādībā
E([x]n,[y]
n) + E([y]
n,[z]
n) 1 E([x]
n,[z]
n),
kur [x]n,[y]
n un [z]
n ir minimālas n-kvadrātiskās figūras kas aptver attiecīgi figūras x,y un
z , mēs iegūstam vajadzīgo sakarību E(x,y) + E(y,z) 1 E(x,z).
12.2.3. Piemērs Tehnikā un fizikā bieži rodas tāda veida problēmas, ka mērījumu kļūda
(kura ir neizbēgama pie jebkura reālā mērījuma) var atspoguļoties attiecīgajos procesu
modeļos. Vienkāršākā pieeja šāda rakstura problēmas risināšanai ir sekojoša. Ja
mērīšanas rezultātā mēs ieguvām skaitli 0x , tad aizvietosim šo skaitļi ar intervālu [ 0x -
, 0x + ], kur >0 ir maksimāla kļūda, kura var rasties mērīšanas rezultātā. Tad "īstā"
vērtība, kuru mums vajadzētu iegūt mērījuma rezultātā, ir kaut kāds skaitlis 0x no
intervāla [ 0x - , 0x + ]. Definēsim attiecību R = { 2R),( yx | | |yx }. Skaidrs, ka
šī attiecība ir refleksīva un simetriska, bet nav tranzitīva. Praktiski, netranzitivitāte šajā
gadījumā nozīme sekojošo: kaut gan a un b , gan b un c mēs nevaram atšķirt mūsu
mērījumu neprecizitātes dēļ (t.i. |a-b|< un |b-c|< ), tomēr a un c mēs jau varam atšķirt
(t.i. |a-c| ) .
Piezīme. Tāda veida fenomenu parasti sauc par "Puankarē paradoksu". 1905.gadā
publicētajā darbā slavens Franču matemātiķis Anri Puankarē parādīja, ka eksistē
situācijas, kad ir neiespējams atšķirt fizikālo parādību A no fizikālas parādības B un ir
neiespējams atšķirt fizikālo parādību B no fizikālas parādības C, tomēr var atšķirt fizikālo
parādību A no fizikālas parādības C. Shematiski viņš aprakstīja tādu situāciju, ka A=B,
B=C bet A<C, un traktēja to kā fizikālas nepārtrauktības ideju. Šis rezultāts ir pretrunā ar
klasisko loģiku, bet var iegūt dabisku traktējumu nestriktas loģikas ietvaros.
154
Tagad, mainoties iespējamai maksimālai kļūdai dažādās situācijās, varam apskatīt
attiecību saimi { R : ]1,0( } un ar to palīdzību definēt L-vērtīgu vienādību
E: LRR ar sekojošo formulu:
E ),( yx = 1 - inf{ ]1,0[ | Ryx ),( }
Viegli redzēt, ka E ir L-vērtīga vienādība, kur L=[0,1] ir apveltīts ar Lukasieviča t-normu
TL (pamatojiet, kāpēc!), un pie tam visiem ]1,0[
),( yx R tad un tikai tad, kad E ),( yx 1 - un
[ 0x - , 0x + ] = {x }1),E( | R 0 xx .
Šādā veidā definēta L-vērtīga vienādība E parāda, kādus rezultātus vajag savā starpā
identificēt, ja mērīšana notiek ar pieļaujamo kļūdu . Citiem vārdiem, pie dotā 0x kopu
}1),E( |{ 0 xxXx veido visi tie skaitļi, kurus nevar atšķirt no skaitļa 0x ar
pieļaujamo kļūdu .
12.2.4. Piemērs Iepriekšējā piemērā L-vērtīga vienādība tika inducēta ar reālo skaitļu
taisnes standarta metrikas palīdzību. Tomēr šī metrika var nebūt piemērota L-vērtīgu
vienādību inducēšanai visos līdzīgos gadījumos. Piemēram, salīdzinot divu cilvēku
vecumu, rezultāts, dabiski būs atkarīgs no izvelētās mēru vienības (gadi, mēneši, dienas,
varbūt pat stundas, vai minūtes!). Lai būtu iespējams ņemt vērā šo faktoru, definējot L-
vērtīgu vienādību var izmantot skalāro reizinātāju c iesaistot to formulā, piemēram,
sekojošā veidā:
E(x,x') = 1 - min{|c x - c x'|, 1 }.
Atkarībā no tā, kādu mēra vienību mēs izmantosim, jāizvēlas atbilstošu koeficientu c.
12.2.5. Piemērs Dažos pielietojumos nācās modificēt iepriekšējā piemērā piedāvāto
shēmu. Pieņemsim, ka visi iespējamie kāda procesa mērīšanas rezultāti (reālie skaitļi)
atrodas segmentā ],[ ba . Šoreiz mēs izmantosim nevis vienu reizinātāju c visiem
mērīšanas rezultātiem, bet mainīsim to atkarība no situācijas. Piemēram, ja mums sevišķi
svarīga tos mērīšanas rezultātu, kas atrodas segmentā [c,d] ],[ ba , precizitāte, bet
rezultātu, kas atrodas ārpus šī segmenta, precizitāte nav tik aktuāla, mēs varam "palielināt
intervāla [c,d] lomu" reizinot to, teiksim, ar skaitli 3 un "samazināt pārējo segmenta
],[ ba daļu ietekmi" reizinot to, teiksim, ar skalāru 0,5.
Apskatīsim šo shēmu konkrētajā situācijā kad a= -3, b=5, c=-1, d=1. Tad attēlosim kopu
[-3,5] ar gabaliem lineāru funkciju
]9,0[]5,3[: f :
5x1 ja ,7)10,5(
1;x1- ja 1,1)3(
-1;x3- ja ),3(5,0
)(
x
x
x
xf
Attiecīga L-vērtīga vienādība E: ]1,0[]5,3[]5,3[ inducēta ar šo pārveidojumu
izskatīsies šādi:
155
E(x,x') = 1 - min{| 1}. |,)'()( xfxf
Tāda veida L-vērtīga vienādība var būt piemērota arī modelējot tādus procesus, kur
mērīšanas precizitāte ir atkarīga no tā, kurā segmenta [a,b] daļā atrodas mērīšanas
rezultāti.
156
12.3 Ekstensionālas L-kopas.
Strādājot ar kopas X L-apakškopām gadījumā, kad kopā X ir definēta L-vērtīga
vienādība E (citiem vārdiem, kad (X,E) ir L-vērtīga kopa), parasti lielāku uzmanību
pievērš t.s. ekstensionālām L-kopām.
12.3.1. Definīcija. Kopas X L-apakškopu M sauc par ekstensionālu, ja jebkuriem
Xyx , ir spēkā nevienādība:
M(x) ),( yxE )(yM .
Gadījumā, ja režģis L ir pilns (piemēram, L = [0,1]), ekstensionālitātes nosacījumu var
pārformulēt sekojoši:
Xx
sup M(x) ),( yxE M(y)
katram Xy .
No šejienes, ņemot vērā L-vērtīgas vienādības refleksivitāti, t.i. ka
)(1)(),()( xMxMxxExM ,
iegūstam sekojošu teorēmu:
12.3.2. Teorēma. Pieņemsim, ka L ir pilns režģis. Tad kopas X L-apakškopa M ir
ekstensionāla, tad un tikai tad, kad jebkuram Xy izpildās vienādība
Xx
sup M(x) ),( yxE = M(y).
L-kopas M ekstensionalitāte intuitīvi nozīme sekojošo: ja elements x pieder L-kopai M ar
pakāpi un ja elementi x un y ir vienādi ar pakāpi , tad elements y pieder L-kopai M
vismaz ar pakāpi .
12.3.3. Piemērs. Ja LXXE : ir parasta vienādība (tātad 1),( xxE un
0),( yxE , ja yx ), tad jebkura kopas X L-apakškopa (un tai skaitā, jebkura parasta
tā apakškopa) ir ekstensionāla:
Patiešam, prasība M(x) ),( yxE )(yM acīmredzot kļūst triviāla parastas vienādības E
gadījumā.
Citu L-vērtīgu vienādību gadījumā daudzas L-apakškopas (un tai skaitā parastas
apakškopas) nav ekstensionālas. Lai to ilustrētu, apskatīsim tādu piemēru:
12.3.4. Piemērs. Ņemsim X=[0,1] un L=[0,1] ar Lukasieviča t-normu. Definēsim L-
vērtīgu vienādību LXXE : ar formulu
||1),( yxyxE
(Pārbaudiet, ka tā patiešam ir L-vērtīga vienādība kopā X!)
Kopas XM vietā ņemsim intervālu [0, ]21 , un apskatīsim punktu 1y . Tad
Xx
sup M(x) ),( yxE = M )1,()(21
21 E =1
21 =
21 ,
157
kaut M(1)=0 (jo punkts 1 nepieder kopai M),
un tāpēc nevienādība Xx
sup M(x) ),( yxE M(y) neizpildās un līdz ar to kopa M nav
ekstensionāla attiecība uz šo L-vērtīgu vienādību.
Šajā sakarā dabiski rodas jautājums: L-kopai M atrast ekstensionālu L-kopu M , kura
būtu "dabiski" saistīta ar doto kopu M. Šo ideju realizē ekstensionālas čaulas jēdziens,
kuru mēs tagad apskatīsim.
12.3.5. Definīcija. Pieņemsim, ka (X,E) ir L-vērtīga kopa un M ),( LXF . Tad par L-
kopas M ektensionālu čaulu sauc kopas X L-apakškopu M ),( LXF , kuru definē ar
sekojošo formulu:
M (x) = Xt
sup M(t) ),( txE .
Būtiskākās ekstensionālās čaulas īpašības ir apkopotas sekojošā teorēmā:
12.3.6. Teorēma. L-kopas M ekstensionāla čaula M ),( LXF ir vismazāka L-kopa no
visām L-kopu M aptverošām ekstensionalām L-kopām (nevienādības nozīmē ) .
Pierādījums.
1. M ir ekstensionāla.
Patiešām, atsaucoties uz M definīciju un L-vērtīgas vienādības E aksiomām,
iegūstam:
Xx
sup M (x) ),( yxE = Xx
sup ( Xt
sup M(t) ),( txE ) ),( yxE )
Xt
sup M(t) ),( tyE ) = M (y).
2. Ir spēkā nevienādība M M
Patiešām, M (x) = Xt
sup M(t) ),( txE )(xM ),( xxE = ).(xM
3. M ir minimālā no tādām L-kopām, kas apmierina 1. un 2. nosacījumus
Patiešām, pieņemsim, ka MB , B ir ekstensionāla un atradīsies Xx tāds, ka
)(xB < M (x). Tad
B(x) < M (x) = Xt
sup M(x) ),( txE Xt
sup B(x) ),( txE )(xB .
No iegūtās pretrunas secinām, ka M ir minimālā no ekstensionalām L-kopu M
aptverošām L-kopām.
Apskatīsim dažu konkrētu L-kopu ekstensionālas čaulas.
12.3.7. Piemērs Pieņemsim, ka X ir kaut kāda kopa, un LXXE : ir kaut kāda L-
vērtīga vienādība. Kopā X nofiksēsim kādu punktu Xa un apskatīsim attiecīgo
harakteristisko funkciju a : LX , t.i.
158
ax
axa
ja ,0
ja ,1
Tad ekstensionāla čaula a : LX tiek definēta ar formulu
a (x) = Xx'
sup ( a ( )',()' xxEx ) = a ( )a ),( axE = ),( axE .
Tātad, izsakoties uzskatāmi, punkta Xa ekstensionāla čaula ir kopas X L-apakškopa,
kas raksturo cik lielā mērā "tekošais" punkts Xx ir vienāds ar doto punktu Xa .
12.4. Ekstensionālie attēlojumi.
Strādājot ar attēlojumiem starp L-vērtīgām kopām, t.i. kopām, kurās ir ievesta L-vērtīga
vienādība, dabiski prasīt, lai šie attēlojumi "respektētu" attiecīgas L-vērtīgas vienādības.
Proti, ja divi punkti ir vienādi ar pakāpi kopā X, tad to attēliem ar funkciju
YXf : ir jābūt vienādiem vismaz ar tādu pašu pakāpi . Precīzi šo domu izsaka
sekojoša definīcija:
12.4.1. Definīcija Attēlojumu YXf : no L-vērtīgas kopas (X, EX) uz L-vērtīgu kopu
(Y,EY) sauc par ekstensionālu ja EX(x,x') EY(f(x),f(x')) visiem x,x'' .X
Ja attēlojums f no L-vērtīgas kopas (X, EX) uz L-vērtīgu kopu (Y,EY) ir ekstensionāls, tad
simbolos mēs to pierakstīsim šādi: ),(),(: YX EYEXf .
12.4.2. Piemērs. Pieņemsim, ka LXXEX : ir parasta vienādība, t.i.
. ja ,0
; ja ,1),(
yx
yxyxE .
un LYYEY : ir jebkura L-vērtīga vienādība kopā Y. Tad jebkurš attēlojums
),(),(: YX EYEXf ir estensionāls.
(Pārdomājiet, kāpēc!)
12.4.3. Piezīme. Skaidrs, ka jebkurai kopai X un jebkurai L-vērtīgai vienādībai EX
identiska funkcija
).,(),(: XX EXEXid
ir ekstencionāla. Tālāk, ja ),(),(: YX EYEXf ir ekstensionāls attēlojums no ),( XEX
uz ),( YEY , un ),(),(: ZY EZEYg ir ekstensionāls attēlojums no ),( YEY uz ),( ZEZ
tad kompozīcija
fg : ),( XEX ),( ZEZ .
ir ekstensionāls attēlojums no L-vērtīgas kopas ),( XEX uz L-vērtīgu kopu ),( ZEZ .
Patiešam, ))'(),(()',( xfxfExxE YX visiem Xxx ', (jo ),(),(: YX EYEXf ir
estensionāls) un ))'(),(()',( ygygEyyE ZY visiem Yyy ', (jo ),(),(: ZY EZEYg
ir estensionāls), un tāpēc arī )))'(()),((()',( xfgxfgExxE ZX .
159
Tāpēc L-vērtīgas kopas un to attēlojumi veido kategoriju. (Ar kategorijas jēdzienu un
kategoriju teorijas pamatiem lasītājs var iepazīties, piemēram, izmkantojot H.Herrliha un
Dz.Strekera gramatu [HS]. )Šo kategoriju mēs sauksim par L-vērtīgu kopu kategoriju un
apzīmēsim SET(L).
12.4.4. Teorēma. Pieņemsim, ka kopā X ir uzdotas divas L-vērtīgas vienādības '
XE un
XE , pie tam '
XE XE un kopā Y ir uzdotas divas L-vērtīgas vienādības '
YE un
YE , pie tam '
YE YE . Tad, ja attēlojums ),(),(: YX EYEXf ir ekstensionāls,
tad arī attēlojums )',()',(: YX EYEXf ir ekstensionāls.
Pierādījums viegli izriet no definīcijām un mēs to atstāsim lasītājam.
Saikni starp ekstensionaliem attēlojumiem un ektensionalām L-kopām apraksta sekojošā
teorēma:
12.4.5. Teorēma. Ja attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir ekstensionāls un N ir kopas Y
ekstensionāla L-apakškopa, tad )(1 Nf ir kopas X ekstensionāla apakškopa.
Pierādījums:
Jebkuriem ),(', LXFxx izpildās:
)(1 Nf (x) )',( xxEX = N(f(x)) )',( xxEX N(f(x)) ))'(),(( xfxfE
N(f(x')) = )(1 Nf (x'), un tātad L-kopa )(1 Nf ir ekstensionāla.
Pētot attēlojumus starp kopām dažreiz kļūst aktuāls jautājums par to, kā var "dabiski"
pārnest L-vērtīgu vienādību no vienas kopas uz otru. Apskatīsim divas tāda veida
situācijas.
1. situācija: Dota L-vērtīga kopa ),( XEX un attēlojums .: YXf Vajag atrast L-
vērtīgu vienādību YE kopā Y tā, lai attēlojums ).,(),(: YX EYEXf būtu
ekstensionāls.
Ja mēs neizvirzām nekādas papildprasības, tad L-vērtīgu vienādību YE var definēt ļoti
vienkārši: proti 1)',( yyEY visiem ', yy Y. (Tātad YE ir maksimāla L-vērtīga
vienādība kopā Y). Pie šīs L-vērtīgas vienādības jebkurš attēlojums
).,(),(: YX EYEXf , acīmredzot kļūst ekstensionāls. Tomēr ir skaidrs, kā šādai
atbildei nav lielas jēgas, jo tā nemaz neizmanto konkrēto situāciju - un "spēlē" tikai ar to,
ka YE ir maksimālā L-vērtīga vienādība. Tātad precizēsim sākotnējo problēmu šādi:
Vajag atrast minimālo L-vērtīgu vienādību YE kopā Y, no visām tādām, kurām
attēlojums ).,(),(: YX EYEXf ir ekstensionāls.
Uz šo jautājumu atbildi dod sekojoša teorēma:
12.4.6. Teorēma Pieņemsim, ka ),( XEX ir L-vērtīga kopa un funkcija f: X Y ir
sirjektīva. Pie tam pieņemsim, ka t-norma ir pusnepārtraukta no apakšas (sk.
160
9.2.6.definīciju; atgādināsim, ka režģus ar pusnepārtrauktu no apakšas t-normu mēs
saucām par GL-monoīdiem.) Tālāk, definēsim attēlojumu EY: LYY ar formulu
EY ( yy, ') = sup { ')'(,)(:)',( yxfyxfxxEX }.
Tad EY: LYY ir L-vērtīga vienādība kopā Y un attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir
ekstensionāls. Pie tam EY ir minimālā (nevienādības nozīmē) L-vērtīgā vienādība,
attiecība pret kuru attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir ekstensionāls.
Pierādījums.
Vispirms pārbaudīsim, ka EY ir L-vērtīga vienādība. Vienādības EY ( yy, )= 1 un
EY( yy, ') = EY( yy ,' ) visiem Yyy ', ir acīmredzamas. Ja Yyyy '',', , tad
EY ( yy, ') EY ( yy ,' '') =
sup { ')'(,)(:)',( yxfyxfxxEX } sup { '')''(,')'(:)'','( yxfyxfxxEX } =
sup{ ')'(,)(:)'','()',( yxfyxfxxExxE XX , '')''( yxf }
sup { '')''(,)(:)'',( yxfyxfxxEX } = EY ( yy, ''),
(tieši pamatojot šo nevienādību nāksies izmantot t-normas pusnepārtrauktību)
un tāpēc EY ( yy, ') EY ( yy ,' '') EY ( yy, '').
Tālāk, no pašas L-vienādības EY definīcijas ir skaidrs, ka attēlojums :f (X,EX) (Y,EY)
ir ekstensionāls. Arī ir skaidrs, ka ja E'Y ir kāda cita L-vērtīga vienādība kopā Y tāda, ka
E'Y(y,y') < EY(y,y'), kādiem Yyy ', , tad atrādīsies elementi x,x' X , tādi, ka f(x)=y un
f(x') = y' un tāpēc attēlojums :f (X,EX) (Y,E'Y) nav ekstencionāls.
12.4.7. Definīcija Iepriekšējā teorēmā definēto L-vērtīgu vienādību YE sauc par finālo
attiecībā pret funkciju f: (X,EX) Y un apzīmē )( XEf .
Finālajai L-vērtīgai vienādībai ir daudz "lietderīgu" īpašību. Vienu no tām apraksta
sekojošā teorēma:
12.4.8. Teorēma. Pieņemsim, ka :f (X,EX) (Y,EY) ir bijektīvs attēlojums, un pie tam
EY ir finālā L-vērtīga vienādība attiecībā pret funkciju f: (X,EX) Y. Tad attēlojums
:f (X,EX) (Y,EY) saglabā ekstencionālas kopas. Proti,
Ja M ir kopas X ekstensionāla L-apakškopa, tad tās attēls )(Mf ir ekstensionāla kopas Y
apakškopa.
Pierādījums.
Vienkāršības labad pierādījumu veiksim situācijā, kad ir ķēde, piemēram, L=[0,1].
No pretējā: Pieņemsim, ka kopas Y L-apakškopa )(Mf nav ekstensionāla. Tad atradīsies
y,y' Y tādas, ka )(Mf (y) EY( yy, ') > )(Mf (y'). Tad, ņemot vērā, ka funkcija f ir
bijekcija, atradīsies viens vienīgs punkts x X tāds, ka )(xf = y, un viens vienīgs
punkts x' X tāds, ka )'(xf = y'. Pie tam, atsaucoties uz L-kopas attēla definīciju viegli
saprast, ka M(x)=f(M)(y) un M(x')=f(M)(y'). Tāpēc M(x) EY(y,y') > )(Mf (y'). Tā kā
attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir ekstensionāls, no šejienes seko, ka
M(x') = )')(( yMf M(x) EY(y,y') = M(x) EY(f(x),f(x')) = M(x) EX(x,x').
161
Bet tas ir pretruna ar to ka L-kopa M ir ekstensionāla.
2. situācija: Dota L-vērtīga kopa ),( YEY un attēlojums .: YXf Vajag atrast L-
vērtīgu vienādību XE kopā X, tā, lai attēlojums ).,(),(: YX EYEXf būtu
ekstensionāls.
Šim uzdevumam arī ir viens triviāls risinājums. Proti, ja mēs ņemsim parasto vienādību,
citiem vārdiem, minimālo L-vērtīgo vienādību LXXEX : , tad jebkurš attēlojums
).,(),(: YX EYEXf ir ekstensionāls (sk. piemēru 12.4.2.). Tomēr izrādās, ka dabiski
ir interesēties par maksimālo L-vērtīgu vienādību XE no visām tādām, L-vērtīgām
vienādībām kopā X, attiecībā pret kuriem dotais attēlojums ).,(),(: YX EYEXf ir
ekstensionāls. Tieši tāda L-vērtīga vienādība kopā X būs visciešāk saistīta ar doto L-
vērtīgu vienādību EY kopā Y. Tādas L-vērtīgas vienādības konstrukcija ir dota sekojošā
teorēmā:
12.4.9. Teorēma Pieņemsim, ka ),( YEY ir L-vērtīga kopa un ir dota funkcija
f: X Y . Definēsim attēlojumu EX: LXX ar formulu
EX ( xx, ') = EY( ))'(),( xfxf .
Tad EX: LXX ir L-vērtīga vienādība kopā X un attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir
ekstensionāls . Pie tam EX ir maksimāla (nevienādības nozīmē) L-vērtīga vienādība
kopā X, attiecība pret kuru attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir ekstensionāls
Pierādījums
Vienkāršības labad pierādījumu veiksim situācijā, ka L ir ķēde, piemāram, L=[0,1].
Viegli pārliecināties, ka EX ir L-vērtīga vienādība, jo īpašības 1),( xxEX ,
),'()',( xxExxE XX un )'','()',( xxExxE XX )'','( xxEX acīmredzami seko
attiecīgām L vērtīgas vienādības YE īpašībām un attēlojuma EX definīcijas. No
formulas EX ( xx, ') = EY( ))'(),( xfxf ir skaidrs, ka attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir
ekstensionāls. Lai pierādītu, ka EX: LXX ir maksimāla (nevienādības nozīmē)
L-vērtīga vienādība kopā X, attiecība pret kuru attēlojums :f (X,EX) (Y,EY) ir
ekstensionāls, pieņemsim, ka E'X: LXX ir kāda cita L-vērtīga vienādība kopa X,
un ka atradīsies ', xx X tādi, ka E'X(x,x') > EX(x,x'). Tad EY( ))'(),( xfxf =EX(x,x') <
E'X(x,x') un līdz ar to attēlojums :f (X,E'X) (Y,EY) nav ekstensionāls. Tātad patiešam
EX ir maksimāla no visām L-vērtīgām vienādībām kopā X attiecībā pret kuru attēlojums
:f (X,EX) (Y,EY) ir ekstensionāls.
12.4.10. Definīcija Iepriekšējā teorēmā definēto L-vērtīgu vienādību sauc par iniciālo
attiecībā pret funkciju f: X (Y,EY) un apzīmē )(1
YEf .
162
12.5 `Operācijas ar L-vērtīgām kopām.
12.5.1. L-vērtīgu kopas L-vērtīgas apakškopas.
Pieņemsim, ka (X,EX) ir L-vērtīga kopa, X' X un EX' LXX '' ir attēlojuma EX:
LXX ierobežojums (jeb sašaurinājums) uz kopu X'. Tad, acīmredzams, EX' ir L-
vērtīga vienādība kopā X'. Attiecīgu L-vērtīgu kopu (X',EX') sauc par L-vērtīgas kopas
(X,EX) (L-vērtīgu) apakškopu.
Mūsu nākošais mērķis ir definēt L-vērtīgu kopu reizinājumu. Tomēr, lai to varētu
konsekventi izdarīt, mums vajadzēs ievest jēdziens par divu L-vērtīgu vienādību
šķēlumu, jeb minimumu, gadījumā, kad šīs L-vērtīgas vienādības ir definētas viena kopā.
To mēs apskatīsim nākamajā sadaļā 12.5.2.
12.5.2. L-vērtīgu vienādību šķēlums.
Pieņemsim, ka kopā X ir uzdotās divas L-vērtīgas vienādības E1 LXX : un
E2 LXX : . Definēsim attēlojumu E LXX : ar formulu
E(x,y) = E1(x,y) E2(x,y).
Tad E: LXX : arī ir L-vērtīga vienādība kopā X. Patiešām, L-vērtīgas vienādības
pirmās divas aksiomas E(x,x) = 1 un E(x,y) = E(y,x) ir acīmredzamas. Lai pierādītu
trešo aksiomu, paņemsim x,y,z X . Tad
E(x,y) E(y,z) = (E1(x,y) E2(x,y)) (E1(y,z) E2(y,z))
(E1(x,y) E1(y,z)) (E2(x,y) E2(y,z)) E1(x,z) E2(x,z) = E(x,z).
(Pirmā no divām nevienādībām seko no nevienādības (a )b (c )d ( )() dbca
kura, kā viegli pārliecināties, ir spēkā jebkuram režģim L un jebkurai t-normai tajā.
Otrā nevienādība izriet no tā fakta, ka E1 un E2 ir L-vērtīgas vienādības.)
12.5.3. L-vērtīgu kopu reizinājums. Pieņemsim, ka (X,EX) un (Y,EY) ir L-vērtīgas kopas. Apskatīsim attiecīgu kopu X un Y
reizinājumu:
YX = {(x,y) | YyXx , }
un projekcijas :Xp YX X, :Yp YX Y . Tālāk, apskatīsim kopā
YX attiecīgas iniciālas L-vērtīgas vienādības XE = )(1
XX Ep un YE = )(1
YY Ep (sk.
12.4.9 ) . Definēsim L-vērtīgu vienādību E: YX L kā šķēlumu E = XE YE .
Atsaucoties uz iepriekšējo paragrāfu, varam secināt, ka XE ir maksimālā L-vērtīga
vienādība uz kopas YX , attiecībā pret kuru projekcija :Xp YX X ir
ekstensionāla. Līdzīgi, YE ir maksimālā L-vērtīga vienādība uz kopas YX , attiecībā
pret kuru projekcija :Yp YX X ir ekstensionāla. No šejienes ir viegli saprast, ka
E = XE YE ir maksimālā L-vērtīga vienādība kopā YX attiecība pret kuru abas
projekcijas ir ekstensionālas. Šo L-vērtīgu vienādību apzīmē E = YX EE un sauc par L-
vērtīgu vienādību YX EE un reizinājumu. Attiecīgi, L-vērtīgu kopu ( YX , YX EE )
sauc par L-vērtīgu kopu (X,EX) un (Y,EY) reizinājumu.
163
12.5.4. L-vērtīgu kopu taisna summa.
Pieņemsim, ka (X,EX) un (Y,EY) ir L-vērtīgas kopas un pie tam 0YX . Apskatīsim
attiecīgu kopu X un Y apvienojumu.: T YX un definēsim attēlojumu LTTE :
ar formulu
.', vai', ja ,1
;', ja ),',(
;', ja ),',(
)',(
XtYtYtXt
YttttE
XttttE
ttE Y
X
Tad LTTE : ir L -vērtīga vienādība kopā T . Patiešām, pirmās divas L-vērtīgas
vienādības aksiomas ir acīmredzamas. Lai pierādītu 3.aksiomu, proti, ka
)'',()'','()',( ttEttEttE visiem Tttt '',', ,
apskatīsim divas iespējamas situācijas:
1. Visi elementi Tttt '',', pieder vienai no kopām X vai Y . Tad vajadzīga
nevienādība seko no L-vērtīgu vienādību YX EE vai attiecīgajām īpašībām.
2. Divi no elementiem Tttt '',', pieder vienai no kopām X un Y , bet trešais elements
pieder otrai kopai. Apskatīsim šeit divus tipiskus gadījumus
a) ja Xtt ', un Yt '' , tad
)'','()',( ttEttE )'',(11)',( ttEttE
b) ja Xtt '', un Yt' , tad
)'','()',( ttEttE 1 11 = )'',( ttE .
Līdz ar to aksioma )'',()'','()',( ttEttEttE visiem Tttt '',', ir nodrošināta.
L-vērtīgu kopu ),( ET sauc par L-vērtīgu kopu ),(un ),( Yx EYEX taisno summu.
Apskatīsim "ielikšanas" attēlojumus YXTXqX : un YXTYqY : ,
kurus definē ar formulām ,)( xxqX ,)( yyqY Viegli saprast, ka šie attēlojumi ir
ekstensionāli, pie tam L-vērtīga vienādība LTTE : ir minimālā no visām
L-vērtīgām vienādībām kopā T, attiecībā pret kuru abi attēlojumi YXTXqX :
un YXTYqY : ir ekstensionāli (pārbaudiet!)
12.6 Ar pseidometriku inducēta L-vērtīga vienādība.
Viens no standartām metodēm, kā var definēt L-vērtīgās vienādības, ir izmantojot
metriku vai vispārīgāk, pseidometriku. Atgādināsim pseidometrikas un metrikas
definīcijas:
12.6.1. Definīcija Par pseidometriku kopā X sauc attēlojumu RXX : tādu, kā
(1) 0),( tad, ja tampie ;0),( yxyxyx ;
(2) ;, visiem),(),( Xyxxyyx
(3) Xzyxyzzxyx ,, visiem),(),(),( .
Gadījumā, ja pseidometrika RXX : apmierina sekojošu, stiprāko pirmās
aksiomas versiju
164
(1') 0),( tampie ;0),( yxyx tad un tikai tad, kad yx ;
tad pseidometriku sauc par metriku.
Pāri ),( X sauc par (pseido)metrisku telpu.
Pie tam turpmāk, runājot par pseidometriku (metriku) RXX : , mēs pieņemsim,
ka tā ir ierobežota ar skaitli 1, t.i. 1),( yx visiem Xyx , .
Tad mēs dabiski varam definēt attēlojumu ]1,0[: XXE ar formulu
E ),(1),( yxyx
Pārbaudīsim, ka šādā veidā definēta funkcija ]1,0[: XXE ir L-vērtīga vienādība
uz kopas X attiecībā uz Lukasieviča t-normu. Patiešām, vienādības
E(x,x) = 1 un E(x,y) = E(y,x) ir acīmredzamas no psedometrikas definīcijas. Pārbaudot
trešo aksiomu mums vajag pārliecināties, ka E(x,y) ),(),( zxEzyE . Ņemot vērā, ka
lomā mēs ņemam Lukasieviča t-normu, pēdējā no nevienādībām, kuru ir jāpārbauda,
izskatīsies šādi:
Max{1- ),( yx +1- )0,1),( zy 1- ),( zx .
Bet tas momentāni izriet no pseidometrikas 3.aksiomas:
Xzyxyzzxyx ,, visiem),(),(),(
Rezultātā mēs esam pierādījuši sekojošu teorēmu:
12.6.2 . Teorēma. Pieņemsim, ka ),( X ir pseidometriska telpa, kur 1),( yx visiem
Xyx , . Tad ar formulu E ),(1),( yxyx definēts attēlojums ]1,0[: XXE
ir L vērtīga vienādība, kur L ir režģis [0,1] ar Lukasieviča t-normu.
12.6.3. Piezīme [Par ierobežotām pseidometrikām]
Definējot L-vērtīgas vienādības šajā paragrāfā mēs balstāmies uz ierobežotām
pseidometrikām, precīzāk, uz tādām pseidometrikām RXX : , kuras apmierinā
nosacījumu 1),( yx visiem Xyx , . Apskatīsim dažus tāda tipa pseidometrikas
piemērus.
Pieņemsim, ka RXX : ir patvaļīga pseidometrika kopā X un definēsim
attēlojumu RXX :' ar formulu }1),,(min{),(' yxyx . Tad
RXX :' ir pseidometrika kopā X (pārbaudiet, to!). Pie tam, kā ir zināms no
topoloģijas vai funkcionālas analīzes kursiem pseidometrikas RXX : un
RXX :' inducē kopā X vienu un to pašu topoloģiju. (Tādas pseidometrikas
sauc par eikvivalentiem).
Definēsim attēlojumu RR R: (kur R ir parastā reālā taisne) ar formulu
| arctg arctg|2
),( yxyx
.
Tad viegli saprast, ka RR R: ir metrika reālo skaitļu kopā un 1, yx
visiem Xyx , .
Pielikumi
169
Pielikums I:
Režģi
170
P1. Režģi: Pamatdefinīcijas un piemēri.
P.1.1. Definīcija. Kopu L sauc par daļēji sakārtotu, ja tajā ir definēta asimetriska
tranzitīva attiecība LL , tas ir,
1) (asimetrija)
2) un (transitivitāte).
Sekojot tradīcijai, runājot par sakārtojuma attiecībām, mēs dodam priekšroku pierakstam
pieraksta , vietā.
Kā parasti mēs rakstam ja vai .
P.1.2. Definīcija Daļēji sakārtota kopa L ir lineāri sakārtota (jeb ķēde), ja par katriem
diviem šīs kopas elementiem , ir spēkā viens (un tikai viens) no sekojošiem
apgalvojumiem
1) ,
2) ,
3) .
P.1.3. Definīcija Daļēji sakārtota kopa L ir ierobežota, ja tajā eksistē maksimālais
(apzīmēsim 1L) un minimālais (apzīmēsim 0L) elements, tas ir,
1) eksistē 0L tāds, ka katram L izpildās L0 vai L0 ;
2) eksistē 1L tāds, ka katram L izpildāsL1 vai
L1 .
P.1.4. Definīcija Kopu L sauc par režģi, ja L ir daļēji sakārtota , ierobežota, un katriem
diviem šīs kopas elementiem var atrast maksimālo elementu un minimālo elementu
( minmax
un L , ).
Tagad definēsim, ko saprotam ar divu režģa L elementu un maksimumu un
ko ar minimumu .
P.1.5. Definīcija Pieņemsim, ka ., L Tad par šo elementu un maksimumu sauc
elementu L tādu, ka
1) un un pie tam
2) katram L tādam ka un seko, ka .
P.1.6. Definīcija Pieņemsim, ka ., L Tad par šo elementu un minimumu sauc
elementu L tādu, ka
1) un un pie tam
3) katram L tādam, ka un seko, ka .
Skaidrs, ka katru lineāri sakārtotu kopu var aplūkot kā režģi:
jebkuriem diviem elementiem un ja un ja ;
jebkuriem diviem elementiem un ja un ja .
Tagad apskatīsim dažus režģu piemērus.
171
P.1.6. Piemēri
1. Vienkāršākais režģis sastāv no viena punkta: L={a}. Skaidrs, ka šajā gadījumā šis
punkts ir gan šī režģa minimālais elements L0a , gan šī režģa maksimālais
elements L1a . Turpmāk mēs neapskatīsim šo triviālo režģi un pieņemsim, ka
režģis satur vismaz divus dažādus elementus.
2. Režģis 1,0L satur tieši divus dažādus elementus. Kā lasītājs var pārliecināties
apgūstot mūsu kursu, šīs režģis "atbilst" klasiskai bivalentai loģikai un "parasto kopu
matemātikai".
3. Savukārt režģis 1,0L (ar dabisku sakārtojumu) atbilst "nestriktu kopu
matemātikai".
4. Visi iepriekšēji piemēros aplūkotie režģi bija ierobežoti. Atšķirībā no tiem naturālo
skaitļu režģis N = {1,2,…,n,…} (ar dabisku sakārtojumu) ir ierobežots no apakšas
(minimālais elementa 0N lomu šeit spēlē 1) bet nav ierobežots no augšas (nav
maksimālā elementa 1N). Reālo skaitļu režģī R (ar dabisku sakārtojumu) nav ne
minimālā, ne maksimālā elementa. Turpmāk mēs apskatīsim tikai ierobežotus režģus.
Visi režģi, kurus mēs līdz šim apskatījām bija lineāri sakārtotas, jeb ķēdes. Nākamajā
piemērā aplūkosim dažus svarīgus režģus, kuri nav lineāri sakārtoti.
P.1.7. Piemērs Aplūkosim dotas kopas X visu iespējamo apakškopu saimi
XA/AXP un definēsim tanī sakārtojumu:
Ja XPA un XPB , tad BABA un BABA , taču BA .
Skaidrs, ka tas ir daļējais sakārtojums un pie tam ja X satur vismaz divus elementus šīs
sakārtojums nav lineārs jo varam atrast tādas kopas A un B, ka A nav B apakškopa, un
tātad kopas A un B ir nesalīdzināmi. Daļēji sakārtota kopa (P(X),<) acīmredzot ir
ierobežota: tās minimālais elements ir tukša kopa: 00 XP , bet maksimālais elements ir
visa kopa: 1P(X)=X.
Pārbaudīsim vai L:=P(X) ar šo sakārtojumu ir režģis.
Lai L būtu režģis, vēl ir jādefinē katru divu kopas L elementu maksimums un minimums.
Ja XPA un XPB , tad BABA : un BABA : . Viegli pārbaudīt, ka
tāda veidā definētas kopas ir patiešam kopu A un B respektīvi maksimums un
minimums..
Tātad L ir režģis, kurš nav lineāri sakārtots.
P.1.8. Piemērs Apskatīsim topoloģisku telpu (X,T) un definēsim sakārtojumu
topoloģijā T pilnīgi analoģiski, kā iepriekšējā piemērā definējām sakārtojumu kopā P(X).
Ņemot vērā, ka divu vaļēju kopu gan apvienojums gan šķēlums ir vaļējas kopas, secinām,
kā ,T ir režģis.
P.1.9. Piemērs Aplūkosim kopas X visu nestriktu apakškopu saimi
1,0: XMXF . Definēsim sakārtojuma attiecību šajā saimē tā, ka
172
(x)M(x)M X x MM 21
def
21 un
)(xM)(xM :X xun (x)M(x)M XxMM 0201021
def
21
Definēsim nestriktu kopu M1 un M2 maksimumu:
(x)}M (x),max{M:)(x)M(M 2121
un minimumu:
(x)}M (x),min{M:)(x)M(M 2121 .
Viegli pārbaudīt, ka XFL ir režģis, kurā 0F(x) = 0 un 1F(x) = 1 ir konstantas funkcijas,
kas pieņem vērtības 0 un 1 respektīvi.
P.1.10. Piemērs. Vispārinot iepriekšējo piemēru nofiksēsim kaut kādu režģi L un kopu X
un apskatīsim visu kopas X L-apakškopu saimi F(X,L). Definējot sakārtojumu kopā
F(X,L) analoģiski, kā iepriekšējā piemērā, iegūstam režģi (F(X,L), ).
P.1.11. Definīcija. Pieņemsim, ka (L, ) ir režģis un LK ir tā apakškopa. Ja
jebkuriem K, šo elementu suprēms un infīms arī pieder kopai K tad,
inducējot sakārtojumu uz kopu K iegūstam režģi (K, ). Šo režģi sauc par režģa (L, )
apakšrežģi.
P.2. Režģi ar papildinājumiem.
P.2.1. Definīcija Režģi L sauc par režģi ar papildinājumiem, ja katram režģa L
elementam eksistē viens vienīgs režģa elements c , ka L1 c un L0 c .
Elementu c sauc par elementa papildinājumu.
No šis definīcijas ir skaidrs, ka ja L ir režģis ar papildinājumiem, tad cc katram
L .
Noskaidrosim, kuri no iepriekš aplūkotajiem režģiem ir režģi ar papildinājumu un kuri
nav.
P.2.2.Piemērs
1. L={0,1} ir režģis ar papildinājumu, jo L0010 un L1110 .
2. Aplūkosim režģi 1,0L . Dabiskākai veids, kā definēt šī režģa papildinājumu, būtu
katram L piekārtot Lc tādu, ka 1c. Tas mums garantē, ka
cc .
Taču, ja ]1,0[3
1 , tad
3
2
3
11c , bet 1
3
2
3
1 . Tātad īstenībā
c nav
elementa papildinājums. Var pierādīt, ka vispār nevar definēt papildinājumu režģī
L=[0,1].
3. Definēsim režģī (P(X), ) (sk. piemēru P.1.7) papildinājumu tā, ka katrai kopai
XA piekārtosim tās papildinājumu A\X:A c. Šajā gadījumā
173
XP1XA\XAAA c un XP0XA\XAAA c , tātad režģī
(P(X), ) ir papildinājums.
4. Atšķirībā no iepriekšējā piemēra režģī (T, ) no piemēra P.1.8. nevar definēt
papildinājumu, jo vaļējas kopas papildinājums var arī nebūt vaļējs.
5. Režģī 0,1X:MXF nevar definēt papildinājumu, jo, piemēram neeksistē
tāda funkcija F(X)M , ka 0M(x)3
1un 1M(x)
3
1 .
6. Režģī LX:M:LX,F papildinājumu var ievest tad un tikai tad, kad pats L ir
režģis ar papildinājumu. (Pārdomājiet, kāpēc!) . Piemēram, papildinājumu var
dabiskā veidā definēt režģī F(X,2).
P.3. Pilnie režģi
Kā zināms, režģī L jebkuriem diviem elementiem eksistē maksimums un minimums. No
šejienes, atsaucoties uz matemātiskās indukcijas principu, viegli pamatot, kā arī
jebkuriem galīgā skaitā ņemtiem režģa elementiem n ,...,, 21 eksistē maksimums un
minimums. Vispārinot šo īpašību bezgalīgām režģa elementu saimēm, iegūstam pilna
režģa definīciju:
P.3.1. Definīcija. Pieņemsim, ka A= Iii : ir režģa L kāda elementu saime. Par šīs
saimes suprēmu sauc elementu L tādu, ka
1. i visiem i A un
2. ja L un i visiem i A, tad .
Par saimes A= Iii : infīmu sauc elementu L tādu, ka
1. i visiem i A un
2. ja L un i visiem i A, tad .
Saimes A= Iii : suprēma un infīma apzīmējumiem izmantosim, respektīvi
pierakstus Iii : (vai, īsāk, A) un Iii : (vai, īsāk, A).
P.3.2. Definīcija. Režģi L sauc par pilnu, ja tajā eksistē suprēms un infīms katrai
elementu saimei.
P.3.3. Piezīme. Viegli saprast, ka visu režģa elementu suprēms ir tas maksimālais
elements:
L1L
un līdzīgi, visu režģa elementu infīms ir tas minimālais elements:
L0L .
174
P.3.4. Piezīme. Var pieradīt, ka, ja režģī L katrai elementu saimei eksistē suprēms, tad arī
katrai elementu saimei tajā eksistē infims. Un otrādi, ja režģī L katrai elementu saimei
eksistē infims, tad arī katrai elementu saimei tajā eksistē suprēms. (Lasītājs var patstāvīgi
pamēģināt pieradīt šo faktu).
P.3.5. Piemērs. Režģi L={0,1}, L=[0,1], P(X), F(X,[0,1]) un T (sk. piemēri P.1.6, P.1.7,
P.1.8, P.1.9.) ir pilni. Par režģu L={0,1}, L=[0,1], P(X), F(X,[0,1]) pilnību lasītājs var
viegli pārliecināties pats. Šeit mēs pārdomāsim kāpēc topoloģiskas telpas (X,T) vaļējo
kopu režģis T ir pilns.
Tā kā vaļējo kopu apvienojums ir vaļēja kopa, tad par kopu saimes IiAi : T
suprēmu dabiski ņemt šīs saimes apvienojumu: IiAi : = IiAi : . Bet kā
definēsim šīs saimes infīmu: Problēma ir, ka vaļēju kopu šķēlums bezgalīgajā skaitā var
arī nebūt vaļēja. Izradās, ka šīs saimes infīmu režģī L ir jādefinē, kā šķēluma iekšieni:
IiAi : = int( IiAi : ). Aicinām lasītājus pārbaudīt detaļas!
P.3.6. Piemērs. Aplūkosim režģi
1;
2
1
2
10;L (sk. 3. zīm.). Sakārtojuma attieksme
šajā režģī ir definēta klasiskajā nozīmē ( kā reālu skaitļu sakārtojums). Citiem vārdiem
mēs apskatām L kā režģa [0,1] apakšrežģi.
Konstruēsim augošu virkni ,,, 21 n , tādu, kuras robeža ir 2
1. Līdz ar to L n
n
režģis L nav pilns. Līdzīgi šo faktu var pierādīt, konstruējot dilstošu
virkni, kuras robeža ir 2
1.
Šajā sakarā interesanti apskatīt arī šādu "režģim līdzīgu" konstrukciju:
P.3.7. Piemērs Aplūkosim kopu L, kas sastāv no intervāliem
1,
2
1
2
1,0 un punktiem
a un b, kas atrodas vienā līmenī ar 2
1(sk. 4. zīm.). Ievedīsim sakārtojuma attieksmi šajā
kopā sekojoši: intervālos
1,
2
1
2
1,0 ir spēkā reālo skaitļu sakārtojums un 1a0 ,
1b0 . Šī kopa L nav režģis, jo punktiem a un b ba un b,a .
P.4. Distributīvie un bezgalīgi distributīvie režģi
P.4.1. Definīcija Režģi sauc par distributīvu, ja katriem trim šī režģa elementiem
un , ir spēkā sekojošas īpašības:
1. )(
2. )( .
Visi iepriekš aplūkotie režģi ir distributīvi. Aicinām lasītājus pārdomāt šo faktu.
175
Aplūkosim dažus režģus, kas nav distributīvi.
P.4.2. Piemērs Aplūkosim režģi, kas sastāv no pieciem punktiem : {0, 1} un vēl trīs
punktiem a, b, c, kas atrodas vienā līmenī (sk. 1.zīm.).Ievedīsim sakārtojumu “<”
sekojoši: 1a0 , 1b0 , 1c0 un a, b, c savā starpā nav salīdzināmi. Šādu režģi
sauc par dimantu. Režģis nav distributīvs, jo neizpildās distributivitātes nosacījumi.
0c)(bc)(abet ,ccba
1c)(bc)(abet c,c)ba(
1
0
a
b
c
2.zīmējums.
1
0
a b c
1.zīmējums.
P.4.3. Piemērs Aplūkosim režģi, kas sastāv no pieciem punktiem : {0, 1} un vēl trīs
punktiem a, b, c. Ievedīsim sakārtojumu “<” sekojoši: 1ba0 , 1c0 , bet a un
c kā arī b un c savā starpā nav salīdzināmi. Šādu režģi sauc par pentagonu. Režģis nav
distributīvs, jo neizpildās distributivitātes nosacījumi.
ba)(ca)(bbet ,aacb
Grāmatās par režģu teoriju (sk., piemēram, [Bi] ) var atrast tādu svarīgu faktu:
P.4.4. Teorēma Režģis L nav distributīvs tad un tikai tad, ja režģi L eksistē apakšrežģis
kas ir dimants vai pentagons.
P.4.5. Definīcija Režģis ir bezgalīgi distributīvs, ja šis režģis ir pilns un tam izpildās
īpašības:
iii
iii
jebkuriem Iii : L un .L
1
0
3. zīmējums.
2
1a b
1
0
2
1
4. zīmējums.
176
P.4.6. Definīcija Režģi (L, ) un (L’, ') ir izomorfi, ja eksistē tāds attēlojums
L'L: ,kuram izpildās sekojošas īpašības.
1. ir bijekcija.
2. (b)'(a) tadb,a ja ,
3. (b)'(a)b)(a ,
4. (b)'(a)b)(a .
Attēlojumu L'L: sauc par režģu izomorfismu.
Grāmatās par režģu teoriju (sk. piemēram [Bi]) var atrast tādu režģu izomorfisma
raksturojumu:
P.4.7. Teorēma Attēlojums L'L: ir režģu izomorfisms tad un tikai tad, ja
1. ir bijekcija un
20. (b)'(a) ja tad,un tikai tadba .
P.5. Pilnīgi distributīvie režģi
Atgādināsim, ka pilnu režģi L sauc par bezgalīgi distributīvu, ja jebkuram L un
jebkurai elementu saimei LIii }:{ izpildās vienādība
iIiiIi }){( .
Gadījumā, ja attiecīga vienādība izpildīsies arī tad, kad elementa vietā arī var būt
elementu saime Jjj : , režģi sauc par pilnīgi distributīvu. Precīzi pilnīgi distributīva
režģa definīcija izskatās diezgan sarežģīti:
P.5.1. Definīcija. Pilnu režģi L sauc par pilnīgi distributīvu, ja
}:}:{{}:}:{{ )( jJj
jjfjji IfJjJjIi
katrai režģa L elementu saimei LIiJj jji },:{ .
Paskaidrosim šīs definīcijas jēgu. Vienādības kreisajā pusē stāvošā formula ir
}:}:{{ JjIi jji . Tas nozīmē, ka sakumā dotajām fiksētajam indeksam Jj
mēs ņemam visu ji suprēmu. Apzīmēsim šo suprēmu ar Aj (Indeks j ir nepiciešams, jo
acīmredzot šīs suprēms katram indeksam Jj varētu būt savs). Tālāk, mēs ņemam
infīmu no visām tāda veidā iegūtiem elementiem Aj . Apzīmēsim šo infīmu ar B.
Analizēsim tagad vienādības labo pusi, proti, formulu }:}:{{ )( jJj
jjf IfJj .
Pieraksts jJjIf
faktiski nozīmē, ka f ir funkcija, kura katram indeksam Jj
piekārto kaut kādu elementu jIjf )( . Tātad, formulas iekšējā daļā, proti izteiksmē
}:{ )( Jjjjf vienai konkrētai funkcijai jJjIf
mēs apskatām atbilstošus
elementus )( jjf un tad ņemam infīmu no visiem šiem elementiem. Apzīmēsim šo infīmu
ar fC (jo, dabiski, katrai funkcijai tas var būt cits). Kopumā labajā pusē stāvoša formula
177
raksturo suprēmu no elementiem fC pa visām funkcijām jJjIf
. Apzīmēsim šo
suprēmu ar D. Tātad, pilnīgi distributivitātes raksturojuša formula saka, ka abi rezultāti ir
vienādi, proti B = D.
P.5.2. Teorēma Pilnīgi distributīvais režģis L ir bezgalīgi distributīvs, tātad, izpildās
vienādība
iIiiIi }){(
jebkuram L un jebkurai elementu saimei LIii }:{ .
Pierādījums. Pilnās distributivitātes formulā
}}:{{}:}:{{ )( iIi
iifiij JfIiIiJj
ņemsim }2,1{J , II 1 un }0{2 I . Tad }.:)0,{(}0{21 IiiIII Tātad faktiski
21 II ir tā pati indeksu kopa I un elementus 21 IIf viennozīmīgi nosaka tos pirmā
koordināte. Tālāk, ņemsim ii 1 , IIi 1 un i2 = , kur }.0{2 Ii (tātad šajā
gadījumā )0i . Rezultātā, izmantojot pilnas distributivitātes formulu, varam iegūt
sekojošu vienādības ķēdi:
iIi = 201 iIi = iIiiIi 21 2 =
= iIiffIIf )2(2)1(121.
Un tātad režģis L patiešam ir bezgalīgi distributīvs.
Strādājot ar L-kopām pilnīgi distributīva režģa L gadījumā parasti izmanto nevis pilnas
distributivitātes definīciju, bet dažās tādu režģu labas īpašības. Mūsu nākamais mērķis ir
apspriest svarīgākas no šīm īpašībām pievēršot sevišķu uzmanību tām, kuras tiek
izmantotas mūsu kursā. Bet vispirms mums vajadzēs ievest dažās definīcijas.
wb-attiecība
P.5.3. Definīcija. Katrā pilnā režģī ),L( var ievest jaunu sakārtojumu kuru angliski
sauc "way below relation" un kurai šajā kursa mēs izmantosim saīsinātu nosaukumu "wb-
attiecība". Proti, sakām, ka elementi L, ir savā starpā wb-attiecībā un rakstam
, ja katrai kopai LD , kurai D atrādīsies galīga apakškopa DE tāda,
ka .E
Noformulēsim dažus wb-attiecības īpašības. Lasītājs var pats pamēģināt pieradīt šis
īpašības vai izlasīt tos attiecīgajās grāmatās, piemēram sk. monogrāfiju [Gierz] no
literatūras saraksta.
P.5.4. Teorēma. Jebkurā pilnā režģī L jebkuriem ,,, :
1. Ja , tad .
2. 0 katram L .
3. Ja , un , tad .
178
4. Ja 1 un 2
, tad .21
P.5.5. Piemērs. Intervālā [0,1] ar parasto sakārtojumu wb-attiecība "praktiski" sakrīt ar
stingras nevienādības attiecību <. Precīzāk:
tad un tikai tad, kad vai 0 .
P.5.6. Piemērs. Vispārinot iepriekšējo piemēru apskatīsim ķēdi (jeb lineāri sakārtotu
režģi) L. Ja elementi L, ir wb-attiecībā tad vai un šis
elements ir izolēts no apakšas.
P.5.7. Piezīme. Eksistē tādi pilni režģi, kuros wb-attiecība izpildās tikai triviālajā
gadījumā, proti, kad 0 . Tomēr pilnīgi distributīvajos režģos elementu kas savā starpā
ir wb-attiecībā ir "pietiekoši daudz" un ar tiem var bieži strādāt līdzīgi tām, ka strādā ar
stingras nevienādības attiecību < parasta intervālā situācijā. Piemēram, dažās no tādām
situācijām ir aprakstītas sekojošās teorēmās:
P.5.8. Teorēma. [Gierz] Ja režģis L ir pilnīgi distributīvs, tad katru elementu L var
raksturot ar sekojošu formulu:
:sup L
P.5.9. Teorēma. [Gierz] Ja režģis L ir pilnīgi distributīvs un neizpildās nevienādība
, tad var atrast L tādu, ka un neizpildās nevienādība .
P.5.10. Teorēma. Ja režģis L ir pilnīgi distributīvs, un , tad atrādīsies L tāds,
ka . Pie tam ja , tad arī var izvelēties tā, lai .
-Nesadalāmie elementi.
P.5.11. Definīcija. Režģa L elementu sauc par -nesadalāmu, vai ko-primāru, ja no
tā, ka seko, ka vai .
Apzīmēsim visu -nesadalāmu režģa L elementus ar CP(L).
Pilnīgi distributīvājos režģos ir spēka sekojošais -nesadalāmu elementu raksturojums:
P.5.12. Teorēma. [Gierz]. Ja režģis L ir pilnīgi distributīvs, tad elements ir -
nesadalāms tad un tikai tad kad izpildās sekojošā īpašība:
Ja tad vai .
Ļoti svarīgu lomu L-kopu teorijā spēlē sekojošais pilnīgi distributīvu režģu raksturojums:
P.5.13. Teorēma. [Gierz] . Pilns režģis ir pilnīgi distributīvs tad un tikai tad, kad katram
elementam L ir spēkā sekojošās divas aproksimācijas:
(1) :Lsup
(2) )L(:Lsup CP
179
Izmantojot attiecības un ko-primāru elementu īpašības, no šīs teorēmas var viegli iegūt
sekojošu secinājumu:
P.5.14. Secinājums. Pilns režģis ir pilnīgi distributīvs tad un tikai tad, kad katram
elementam L ir spēkā sekojošā aproksimācija:
CP(L)un :Lsup .
Uzradīsim dažus pilnīgi distributīvu režģu piemērus:
P.5.15. Piemēri 1. Katra ķēde (jeb lineāri sakārtotais režģis) ir pilnīgi distributīvs. Tai skaitā intervāls
[0,1] ir pilnīgi distributīvs režģis.
2. Ja L ir pilnīgi distributīvs režģis, tad L)F(X, (tātad visu kopas X L-apakškopu
režģis) arī ir pilnīgi distributīvs.
Pielikums 2:
Uzdevumi
181
Uzdevumu komplekts 1-1A
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir vāja t-norma t-norma TW ; attiecīgu t-
konormu apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca b , (I(a,b) = S(ac,b) )
vai, ekvivalenti, ba = (a bc)
c (I(a,b) = T
c(a,b
c) ).
(Šo implikāciju sauksim par Klīni-Dinesa implikācija uz vājas t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
182
Uzdevumu komplekts 1-2A
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir Lukasieviča t-norma TL ; attiecīgu t-
konormu apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca b , (I(a,b) = S(ac,b) )
vai, ekvivalenti, ba = (a bc)
c (I(a,b) = T
c(a,b
c) ).
(Šo implikāciju sauksim par Klīni-Dinesa implikācija uz Lukasieviča t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
183
Uzdevumu komplekts 1-3A
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir nilpotenta t-norma Tnil ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca b , (I(a,b) = S(ac,b) )
vai, ekvivalenti, ba = (a bc)
c (I(a,b) = T
c(a,b
c) ).
(Šo implikāciju sauksim par Klīni-Dinesa implikācija uz nilpotentas t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
184
Uzdevumu komplekts 1-4A
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir minimuma t-norma TM ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca b , (I(a,b) = S(ac,b) )
vai, ekvivalenti, ba = (a bc)
c (I(a,b) = T
c(a,b
c) ).
(Šo implikāciju sauksim par Klīni-Dinesa implikācija uz minimuma t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
185
Uzdevumu komplekts 1-5A
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir reizinājuma t-norma TP ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca b , (I(a,b) = S(ac,b) )
vai, ekvivalenti, ba = (a bc)
c (I(a,b) = T
c(a,b
c) ).
(Šo implikāciju sauksim par Klīni-Dinesa implikācija uz vājas t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
186
Uzdevumu komplekts 1-1B
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir vāja t-norma TW ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca (a b) , ( I(a,b) = S(ac, T(a,b)) )
vai, ekvivalenti, ba = (a (a bc))
c (I(a,b) = T
c (a, T
c(a,b)) )
(Šo implikāciju sauksim par Zadē implikāciju uz vājas t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
187
Uzdevumu komplekts 1-2B
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir Lukasieviča t-norma TL ; attiecīgu t-
konormu apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca (a b) , ( I(a,b) = S(ac, T(a,b)) )
vai, ekvivalenti, ba = (a (a bc))
c (I(a,b) = T
c (a, T
c(a,b)) )
(Šo implikāciju sauksim par Zadē implikāciju uz Lukasieviča t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
188
Uzdevumu komplekts 1-3B
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir nilpotenta t-norma Tnil ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca (a b) , ( I(a,b) = S(ac, T(a,b)) )
vai, ekvivalenti, ba = (a (a bc))
c (I(a,b) = T
c (a, T
c(a,b)) )
(Šo implikāciju sauksim par Zadē implikāciju uz nilpotentas t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
189
Uzdevumu komplekts 1-4B
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir minimuma t-norma TM ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca (a b) , ( I(a,b) = S(ac, T(a,b)) )
vai, ekvivalenti, ba = (a (a bc))
c (I(a,b) = T
c (a, T
c(a,b)) )
(Šo implikāciju sauksim par Zadē implikāciju uz minimuma t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
190
Uzdevumu komplekts 1-5B
Dots: (L, ),,,, c kur L=[0,1], xc = 1-x un ir reizinājuma t-norma TP ; attiecīgu t-konormu
apzīmējam . Definējam implikāciju uz L ar formulu
ba = ca (a b) , ( I(a,b) = S(ac, T(a,b)) )
vai, ekvivalenti, ba = (a (a bc))
c (I(a,b) = T
c (a, T
c(a,b)) )
(Šo implikāciju sauksim par Zadē implikāciju uz reizinājuma t-normas pamata)
1.uzdevums: Izpētīt šīs implikācijas īpašības. Piemēram, pārbaudīt vai izpildās īpašības:
ba = cc ab ;
)( cba = )( cab ;
1 a = a;
ba = 1 tad un tikai tad, kad ba
ir augoša (stingri? nestingri ?) pēc 2 argumenta un dilstoša (stingri? nestingri?) pēc 1
argumenta.
ir nepārtraukta pēc pirmā argumenta, ir nepārtraukta pēc otrā argumenta.
)( ba ( )cb )( ca
Uz šīs implikācijas pamata definēsim iekļaušanas attiecību ~ starp kopas X L-apakškopām (A,B
),( LXF ):
A ~ B = x
inf )()( xBxA .
2.uzdevums: Izpētīt šīs iekļaušanas attiecības īpašības. Piemēram, vai izpildās īpašības:
Ja A A ' , B 'B , tad A ' ~ B' A ~ B;
A ~ B B ~ C A ~ C;
A ~ A jebkurai A ),( LXF
ja A ~ B f(A) ~ f(B) jebkurai funkcijai YXf : .
Definēsim L-vērtīgu vienādības attiecību:
A ~ B = Xx
inf ((A(x) B(x) ) (B(x) A(x))
3. uzdevums:
Izpētīt šīs L-vērtīgas vienādības īpašības. Piemēram, vai tai izpildās sekojošas īpašības:
A ~ A = 1;
A ~ B = B ~ A;
(A ~ B) (B ~ C) A ~ C.
4. uzdevums.
Aprēķināt A ~ B un A ~ B konkrētām A,B. Piemēram
1 x vai-3, xja ,1
0;x3- ja ,
1;x0 ja ,
)( 31 x
x
xA un
1. x3, xja ,1
0;x1- ja ,
3;x0 ja ,
)(
31
x
x
xB
A(x) =
0 x ja 0,
1; x0 ja ,
1; xja ,1
x un B(x) =
0 x ja ,0
1,1; x 0 ja ,
1,1; x ja ,1
1110
191
Uzdevumu komplekts 2-1
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu
|' arctg - arctg |1)',( 1 xxxxE
1. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
2. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
3. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
4. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
5. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
II. Z - veselo skaitļu additīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G: Z ]1,0[ , lai
G(1) = 41 ; G(2)=
21
192
Uzdevumu komplekts 2-2
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu
}0|,'|1max{)',( xxxxE
1. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
2. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
3. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
4. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
5. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
II. Z - veselo skaitļu aditīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G: Z ]1,0[ , lai
G(3) = 41 ; G(6)=
21
193
Uzdevumu komplekts 2-3
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu
}0|,'|1max{)',(31 xxxxE
1. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
2. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
3. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
4. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
5. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
II. Z - veselo skaitļu multiplikatīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G:
Z ]1,0[ , lai G(2) = 41 ; G(5)=
21 .
194
Uzdevumu komplekts 2-4
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu '||)',( xxexxE
1. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
2. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
3. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
4. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
5. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
II. Z - veselo skaitļu multipilkatīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G: Z ]1,0[ ,
lai G(3) = 41 ; G(5)=
21
195
Uzdevumu komplekts 2-5
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu '||2)',( xxexxE
1. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
2. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
3. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
4. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
5. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
II. Z - veselo skaitļu additīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G: Z ]1,0[ , lai
G(3) = 41 ; G(5)=
21 ..
196
Uzdevumu komplekts 2-6
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu
| arcctg - arcctg |1)',(2x
21 ''xxxE
6. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
7. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
8. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
9. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
10. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
III. Z - veselo skaitļu multipilikatīva grupa. Atrast minimālu L-monoīdu G:
Z ]1,0[ , lai G(1) = 41 ; G(2)=
21
197
Uzdevumu komplekts 2-7
I. Attēlojumu E: ]1,0[ XX , kur RX (reālā taisne), definē ar formulu
}0|,'|31max{)',( xxxxE
6. Vai E ir L-vērtīga vienādība kopā X attiecībā pret kādu no t-normām WPLM TTTT ,,, ?
7. Nofiksēsim punktu x0 (piemēram, var ņemt x0=0) un definēsim kopas
}),(|{ 00 xxExM x un })',(un ),'( ka ,'|{ 00
xxExxExxN x . Kā
izskatās šīs kopās, teiksim, ja ,03
2,1 ?
8. Apskata funkciju XZf : , ( RZ ), kuru definē ar formulu 2)( zzf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(1 Ef kopā Z ?
9. Apskata funkciju YXf : , ( RY ), kuru definē ar formulu 3)( xxf . Kā
izskatās L-vērtīga vienādība )(Ef kopā Y?
10. L-kopa ]1,0[: RA definēta ar formulu
0
0
ja ,0
ja ,)(
xx
xxaxA
( )10 a
Atrast izliektu čaulu ].1,0[:~
RA
III. Z - veselo skaitļu multiplikatīva grupa. Atrast minimālu L-pusgrupu G:
Z ]1,0[ , lai G(2) = 41 ; G(5)=
21 .
198
165
Izmantotas literatūras saraksts
1. [Black] M. Black, Vagueness, Phil. of Science, vol. 4 (1937), 427-455.
2. [Bel] L.P. Belluce, Semi-simple and complete MV-algebras, Algebra Universalis vol.
29 (1992), 1-9
3. [Bi] G. Birkhoff, Lattice Theory, Amer. Math. Soc., Coll. Publ, 3rd
edition, Amer.
math. Soc., RI, 1973.
4. [Ch58] C.C. Chang, Algebraic analysis of many-valued logics, Trans. Amer. Soc.
Math., 87 (1958), 467-490.
5. [Ch66] C.C. Chang, H.J. Keisler, Continuous Model Theory, Ann. of Math. Stud.,
vol. 58, Princton Univ. Press, Princton, New York, 1966.
6. [DuOsPr] D. Dubois, W. Ostasiewicz, H. Prade, Fuzzy Sets:History and Basic
Notions: Fundamentals of Fuzzy Sets, Kluwer Academic Publ. , Boston, Dodrecht,
London, 1999.
7. [Fo] J. Fodor, A new look at fuzzy connectives, Fuzzy sets and Syst., vol 87 (1993),
141 - 148
8. [FrB-H] A.A. Fraenkel, Y.A. Bar-Hillel, A. Levi, Foundations of set theory, North-
Holland, 1973.
9. [Gierz] G. Gierz, K.H. Hofmann, K. Keimel, J.D. Lawson, M. Mislove, D.S. Scott, A
Compendium of Continuous Lattices, Springer Verlag, Berlin, New York, 1980.
10. [Go67] J.A. Goguen, L-fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl., vol. 8 (1967), 145-174.
11. [Go69] J.A. Goguen,, The logic of inexact concepts, Synthese, vol. 19 (1969), 325-
373.
12. [Got81] S. Gottwald, Fuzzy points and local properties of fuzzy topological spaces,
Fuzzy sets and Syst., vol. 5 (1981), 199 - 201.
13. [Got93] S. Gottwald, Fuzzy sets and fuzzy logic - foundations of applications from
a mathematical point of view, Vieweg, Wiesbaden, 1993, Germany.
14. [Got99] S. Gottwald, Many-valued logic and fuzzy set theory, In: Mathematics of
Fuzzy Sets: Logics, Topology, Measure Theory, Kluwer Academic Publ. , Boston,
Dodrecht, London, 1999, 5-90.
15. [HS] H. Herrlich, J. Strecker, Category Theory
16. [Ho]U. Höhle, Commutative residuated l-monoids. In: Non-classical logics and
Their Applications to Fuzzy Subsets, (U. Hoehle and E.P. Klement eds.), Kluwer
Acad. Publ., Dodrecht, 127- 157.
17. [HoSo99] U.Höhle, A.Šostak, Axiomatic Foundations of Fuzzy Basis Fuzzy
Topology: In: Mathematics of Fuzzy Sets: Logics, Topology, Measure Theory, (U.
Hoehle, S. Rodabaugh eds), The Handbook of Fuzzy Sets Series, Kluwer Academic
Publ. , Boston, Dodrecht, London, 1999., 123 - 273.
18. [HoSo95] U.Höhle, A.Šostak, A general theory of fuzzy topological spaces, Fuzzy
sets and Syst., vol. 73 (1995), 131 - 149.
19. [KlMe97] E.P. Klement, R. Mesiar, Triangular norms, Tatra Mount. Math. Publ.,
vol. 13 (1997), 169-193..
20. [KlMePa] E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap, Triangular norms, 2000.
21. [Ko93] B. Kosko, Fuzzy thinking, Hyperion, New York, 1993.
166
22. [Ko90] B. Kosko, Fuzziness vs. probability, International Journal of General
Systems, 17 (1990), 211-240.
23. [KrGeKl] R. Kruse, J. Gebhardt, F. Klawon, Foundations of Fuzzy Systems, John
Wiley & Sons, Chichester, New York, Birsbane, Toronto, Singapore, 1998.
24. [Lu35] J. Lukasiewicz, Zur Geschichte der Aussagenlogik, Erkenntnis, vol. 5 (1935),
111 - 135.
25. [Lu70] J. Lukasiewicz, Selected Works: Studies in Logic and the Foundations of
Mathematics (Borkowski eds), North-Holland, Amsterdam, 1970.
26. [Mg51] K. Menger, Ensembles flous et fonctiones aleatories, Comptes Rendus de
l'Academie des Sciences de Paris, 232 (1951), 2001 - 2003.
27. [Mg51a] K. Menger, Probabilistic geometry, Proc. N.A.S., 37 (1951), 226 - 229.
28. [NeRa] C.V. Negoita, D.A. Ralescu, Applications of Fuzzy Sets to Systems
Analysis, Interdisciplinary Systems Research Series, Vol. II, New York,
Basel&Stutgart and Halsted Press.
29. [NgWa96] Hung.T. Nguen, Elbert A. Walker, A First Course in Fuzzy Logic, CRC
Press, New York, 1996.
30. [NgWa99] Hung T. Nguen, Elbert A. Walker, A First Course in Fuzzy Logic
(Second Edition), CRC Press, New York, London, Tokyo, 1999
31. [Poi] H. Poincare, La Valeur de la Science, Flammarion, Paris, 1905.
32. [Post]E.L. Post, Introduction to a general theory of elementary propositions,
American J. of Mathematics, vol. 43 (1921), 165-185.
33. [PuLiu80] Pu Paoming, Liu Yingming, Fuzzy topology I: Neighbourhood structure
of a fuzzy point, J. Math. Anal. Appl., vol. 77 (1980), 20 - 37.
34. [PuLiu80a] Pu Paoming, Liu Yingming, Fuzzy topology II: Product and quotient
spaces, J. Math. Anal. Appl., vol. 78 (1980), 571 - 599.
35. [Ro99] S.E. Rodabaugh, Powerset operator foundations for poslat fuzzy set theories
and topologies, Mathematics of Fuzzy Sets: Logics, Topology, Measure Theory,
(U. Hoehle, S. Rodabaugh eds), The Handbook of Fuzzy Sets Series, Kluwer
Academic Publ. , Boston, Dodrecht, London, 1999., 91 - 116..
36. [Rs] A. Rosenfeld, Fuzzy groups, J. Math. Anal. Appl. Vol. 35 (1970), 512-517.
37. [So89] A. Šostak, Two decades of fuzzy topology: Basic ideas, notions and results,
Russian Math. Surveys vol. 44 (1989), 125 - 186.
38. [So96] A. Šostak, Basic structures of fuzzy topology, J. of Math. Sciences vol. 78
(1996), 662-701
39. [SchSk] B. Schweizer, A. Sklar, Probabilistic Metric Spaces, North-Holland,
Amsterdam, 1983.
40. [Ya79] R. Yager, On the measure of fuzziness and negation - Part I: Membership in
the unit interval, Int. J. of General Systems, vol. 5 (1979), 221 - 229.
41. [Ya80] R. Yager, On the measure of fuzziness and negation - Part II: Lattices,
Information and Control, vol. 44 (1980), 236 - 260.
42. [Ya80a] R. Yager, On a general class of fuzzy connectives, Fuzzy sets and Syst., vol.
4 (1980), 235-242.
43. [We] S. Weber, A general concept of fuzzy connectives, negation and implication
based on t-norms and t-conorms, Fuzzy Sets and Syst., vol. 11 (1983), 115 - 134.
44. [Za65] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, vol. 8 (1965), 338 - 353.
167
45. [Za68] L.A. Zadeh, Probability measures of fuzzy events, J. Math. Anal. Appl., vol.
23 (1968), 421 - 427.
46. [Za] L.A. Zadeh, Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy sets and
Syst.,
47. [Ko] А. Кофман, Введение в теороию нечетких множеств, перевод с
французского, Москва, изд. "Радио и Связь", 1982.
48. [Op] С.А. Орловский, Проблемы принятия решения при нечеткой исходной
информации, Москва, изд. "Наука", 1981.
49. [Ягер] Р.Я. Ягер, Нечеткие множества и теория возможностей: последние
достижения, перевод с английского, Москва, изд. "Радио и Связь", 1986.
