Лекц 14

Тодорхой интеграл

• Тодорхой интеграл, тодорхой интегралын тухай ерөнхий ухагдахуун

• Тодорхой интеграл оршин байх н?хц?л

• Тодорхой интегралын чанарууд

• Хувьсах дээд хязгаартай тодорхрой интеграл

• Тодорхой интегралын хувьсагчийг солих

• Тодорхой интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах

1

Тодорхой интеграл, тодорхой интегралын тухай ерөнхийухагдахуун

1◦. Муруй шугаман трапецын талбайг олох.

//x

OO y x=a

a x1

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

ξ1

f(ξ1) _____

x2

ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

ξ2

x=bÂÂÂÂÂÂ

xn−1 b

y=f(x)ÂÂÂÂÂÂÂ

xn−2

f(ξn) __________________

O

S ≈ f (ξ1) ·∆x1 + . . . + f (ξn) ·∆xn =

n∑i=1

f (ξi) ·∆xi.

S = limλ→0

n∑i=1

f (ξi) ·∆xi , λ =maxi=1,n

∆xi (1)

2

2◦. Хувьсах хүчний ажлыг олох.S замд F хүчний гүйцэтгэх ажил нь A = S · F байдаг. Замын уртыг

[a; b] хэрчмээр тэмдэглэвэл хүч нь энэ хэрчмийн цэгүүд дээр тодорхойлогдсонy = F (x) гэсэн функц гэж үзэж болно. Мөн [a; b] хэрчмээ n хэсэгт хувааж,хэсэг тус бүрт харгалзах ξi, i = 1, n цэгүүдийг сонгон авъя. Хэсэг тус бүрдээрх хүчний утгыг нь, тогтмол бөгөөд ξi, i = 1, n цэг дээрх утгатай тэнцүүгэж үзвэл хэсэг тус бүрт гүйцэтгэх ажил нь ∆Ai = F (ξi) · ∆xi , i = 1, n гэжолдоно. Жижиг хэсэг тус бүр дээр хувьсаж буй хүчийг нь тогтмол гэж үзсэнучир [a; b] хэрчим дээр F (x) хүчний гүйцэтгэх ажил нь эдгээр ажлуудыннийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү байх ба жинхэнэ утгыг нь олохын тулд хэсэгтус бүрийн уртыг нь багасгах замаар хуваалтын тоог нь төгсгөлгүй олон болгоё.

A ≈n∑

i=1

∆Ai =

n∑i=1

F (ξi) ·∆xi (2)

Хуваалтын тоог ихэсгэх тусам, хүчийг тогтмол гэж үзсэн хэрчмийн хэмжээ уламбагасах учир ингэж тооцсоноос гарах алдаа мөн багасана. Иймд (2) нийлбэрээсmaxi=1,n

∆xi → 0 үеийн хязгаар олбол тэр нь бидний олох гэсэн ажлын жинхэнэ

3

хэмжээг илэрхийлнэ.

A = limλ→0

n∑i=1

F (ξi) ·∆xi, λ =maxi=1,n

∆xi (3)

Дээрх хоёр бодлого нь агуулгын хувьд өөр боловч бодогдох арга нь ижилхэнбайна. Ийм нийлбэр нь хязгаартай эсэх, хэрвээ байдаг бол тэр хязгаарыг нь яажолох, түүнийг хэрхэн ашиглахыг Математик анализын үндсэн хэсгийн нэг болохтодорхой интегралын хэсэгт судлах болно.

4

3◦. Тодорхой интеграл.

Sn =

n∑i=1

f (ξi) ·∆xi (4)

(4)–г [a; b] хэрчим дээр өгөгдсөн функцэд харгалзах интеграл нийлбэр гэнэ.

Хэрэвλ =max

i=1,n∆xi → 0

үеийн хязгаар авахад төгсгөлөг тодорхой хязгаартай байвал энэ хязгаарыг өгөгдсөнf (x) функцээс [a; b] хэрчмээр авсан тодорхой интеграл гэж нэрлээд

limλ→0

n∑i=1

f (ξi) ·∆xi =

b∫

a

f (x)dx (5)

гэж тэмдэглэнэ.

энд a-гинтегралын доод хязгаарb–г интегралын дээд хязгаар[a; b] хэрчмийг интегралчлах завсар гэнэ.

5

Иймд

S =

b∫

a

f (x)dx, A =

b∫

a

F (x)dx

6

Тодорхой интегралын оршин байх нөхцөл

y = f (x), ∀x ∈ [a; b]

[a; b] хэрчмээ n хэсэгт хувааж, хэсэг тус бүрийн уртыг нь ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn гэжтэмдэглэе. (a = x0 < x1 < . . . < xn = b).

Мөн харгалзах завсрууд дахь max, min утгуудыг нь

m = infx0≤x≤xn

{f (x)} , M = supx0≤x≤xn

{f (x)}

mi = infxi−1≤x≤xi

{f (x)} , Mi = supxi−1≤x≤xi

{f (x)}, i = 1, n

гэвэлmi ≤ f (ξi) ≤ Mi , xi−1 ≤ ξi ≤ xi.

байна. Тэгвэл

Sn =

n∑i=1

mi∆xi , Sn =

n∑i=1

Mi∆xi

нийлбэрүүдийг нь харгалзан доод , дээд интеграл нийлбэр гэнэ.

7

Мөн Дарбугийн доод, дээд нийлбэр ч гэж нэрлэдэг.

Доод, дээд интеграл нийлбэрүүдийн хувьд дараах чанарууд биелэнэ.

а). [a; b] хэрчим дээр өгөгдсөн функцэд харгалзах дурын интеграл нийлбэрнь Дарбугийн доод, дээд интеграл нийлбэрүүдийн хооронд оршино.б).

Sn =

n∑

k=1

mk ·∆xk ≥ m ·n∑

k=1

∆xk = m · (b− a).

Sn =n∑

k=1

Mk ·∆xk ≤ M ·n∑

k=1

∆xk = M · (b− a)

m · (b− a) ≤ Sn ≤ Sn ≤ M · (b− a)

в). Хэрвээ y = f (x) нь [a; b] дээр тасралтгүй бол

limn→∞

Sn = limn→∞

Sn = Sn

байна.

Thr: Канторын теором. Битүү завсар дээр тодорхойлогдсон функц бүхэн жигдтасралтгүй байна.

8

ИймдSn = Sn = Sn

тэнцэтгэл биелэх болно.

г). Доод интеграл нийлбэр бүр нь дээд интеграл нийлбэр бүрээс ихгүй байна.?х.

Sn1 ≤ Sn2

Thr: Хэрвээ y = f (x) нь [a; b] дээр тасралтгүй бол f (x) нь [a; b] дээрээинтегралчлагдана.

9

1). Интеграл нь интегралчлах хувьсагчаас хамаарахгүй.b∫

a

f (x)dx =

b∫

a

f (t)dt = . . . =

b∫

a

f (z)dz

2). Дээд доод хязгаарын байрыг нь солиход интеграл тэмдгээ эсрэгээр өөрчилнө.b∫

a

f (x)dx = −a∫

b

f (x)dx

3). Дээд доод хязгаарууд нь тэнцүү бол интеграл тэгтэй тэнцүү байна.a∫

a

f (x)dx = 0

10

Тодорхой интегралын чанарууд.

1). Тогтмол тоон үржигдэхүүнийг интегралын тэмдгийн өмнө гаргаж болно.b∫

a

A · f (x)dx = A ·b∫

a

f (x)dx. A− const

2). Алгебрын нийлбэрээс авсан интеграл нь нэмэгдэхүүн тус бүрийн интегралыналгебрын нийлбэртэй тэнцүү байна.

b∫

a

[f (x)± g(x)]dx =

b∫

a

f (x)dx±b∫

a

g(x)dx

3). Хэрвээ f (x) ≤ g(x), x ∈ [a; b] болb∫

a

f (x)dx ≤b∫

a

g(x)dx.

байна.

11

4). m = infa≤x≤b

{f (x)} , M = supa≤x≤b

{f (x)} бол

m(b− a) ≤b∫

a

f (x)dx ≤ M(b− a)

байна.5). Дундаж утгын тухай теором.

Thr: ∃ξ ∈ [a; b] хувьдb∫

a

f (x)dx = (b− a) · f (ξ).

6). Хэрвээ [a; b] = [a; c] + [c; b] бол

b∫

a

f (x)dx =

c∫

a

f (x)dx +

b∫

c

f (x)dx

байна.

12

Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл.

Ньютон-Лейбницын томъёо.

a–г бэхлээд, b–г хувьсах хэмжигдэхүүн гэе.

//x

OO y

O a x b

A

X B

x∫

a

f (t)dt = Φ(x).

y = f (x) нь ∀x ∈ [a; b]-ийн хувьд тасралтгүй, f (x) > 0 , x ∈ [a; b] =⇒x∫

a

f (t)dt = Φ(x) = SaAXx

13

Thr1: Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интегралаас хувьсах дээд хязгаараарнь авсан уламжлал нь, интегралын доорхи функцийн хувьсах дээд хязгаардээрх утгатай тэнцүү байна.

x∫

a

f (t)dt

′

x

= Φ′(x) = f (x)

Thr2: Хэрэв y = f (x) нь [a; b] дээр тасралтгүй бөгөөд F (x) нь [a; b] дээрf (x)-ийн эх функц нь болж байвал

b∫

a

f (x)dx = F (b)− F (a) (6)

байна.

(6) томъёог тодорхой интегралыг бодох Ньютон-Лейбницын томъёо гэнэ.b∫

a

f (x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) =

14

Жишээb∫

a

xndx =xn+1

n + 1

∣∣∣∣b

a

=bn+1 − an+1

n + 1(n 6= −1).

Жишээ2π∫

0

sin xdx = − cos x|2π0 = −(cos 2π − cos 0) = −(1− 1) = 0

Жишээ1∫

0

xdx√1 + x2

=√

1 + x2|10 =√

2− 1.

15

Тодорхой интегралын хувьсагчийг солих

Thr:b∫

a

f (x)dx

хувьд y = f (x) нь [a; b] дээр тасралтгүй бөгөөд x = ϕ(t), f [ϕ(t)] функцүүдийнхувьд дараах гурван н?хц?л зэрэг биелдэг бол

1. ϕ(α) = a, ϕ(β) = b

2. ϕ(t), ϕ′(t) нь [α; β]–т тасралтгүй3. f [ϕ(t)] нь мөн [α; β]-т тасралтгүй.

b∫

a

f (x)dx =

β∫

α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt (7)

байна.

(7)–г тодорхой интегралын хувьсагчийг солих томъёо гэнэ.

16

Жишээa∫

0

√a2 − x2dx =

∣∣∣∣∣x = a sin t, x = 0 =⇒ a sin t = 0 =⇒ t = 0

dx = a cos tdt, x = a =⇒ 6 a sin t =6 a =⇒ t =π

2

∣∣∣∣∣ =

=

π2∫

0

√a2(1− sin2 t)a cos tdt =

πa2

4.

17

Тодорхой интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах

u(x), v(x) нь [a; b]-т дифференциалчлагдах функцүүд байг

(u · v)′ = u′ · v + u · v′d(u · v) = u · dv + v · du

=⇒

(uv)|ba =

b∫

a

udv +

b∫

a

vdu

=⇒b∫

a

udv = (uv)|ba −b∫

a

vdu. (8)

(8) томъёог тодорхой интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах томъёо гэнэ.

18