ALAINYGER (UniversitedeBordeaux)ANALYSEELEMENTAIRE(ModuleL1)PREMI`EREPARTIE:TOPOLOGIES,METRIQUESESPACESCOMPLETSESPACESNORMES1CHAPITRE1ESPACESTOPOLOGIQUES,DISTANCES,ESPACESMETRIQUES1. Espacestopologiques,Exemples,topologiedenieparunedistance.Denition1.1. OnappelleespacetopologiquetoutcoupleconstituedeladonneedunensembleEetdunefamille OdepartiesdeEstableparintersectionnie, unionquel-conque, ettellequeEet soientdeselementsdeE. Leselementsdelafamille Osontappeles ouverts de lespace topologique (E, O) ou encore ouverts pour la topologie (E, O).Tout ensemble E peut etre equipe dau moins deux topologies: la premi`ere (nous dirons latopologie grossi`ere ou encore la moins ne) est celle pour laquelle O = , E. La seconde(nous dirons la topologie discr`ete ou encore la plus ne) est celle pour laquelle O = T(E).Ilexistedesexemplesintermediaires: parexemple, etantdonneunensembleinni Eetla famille O constituee de et des complementaires des sous ensembles nis deE, (E, O)est un espace topologique. Dans le cas o` u E = R, on peut denir une famille douverts endisant quelle est constituee de et des complementaires des ensembles P= 0, P R[X].On retrouve cet exemple sous une forme plus generale dans le contexte algebrique suivant:etant donne un corps K algebriquement clos etE = An(K) lespace ane de dimensionncorrespondant, la famille O constituee de , E, et des complementaires des sous ensemblesalgebriques (cest `a dire des ensembles denis comme ensembles des zeros dun nombre nidequations algebriques, cest `a dire dequations polynomiales `a coecients dans le corpsK)estunefamilledouvertsetdenitavecElespacetopologique(E, O). Danslecaso` un=1, cestlatopologiedontlesouvertssont etlescomplementairesdespartiesnies. Lastabiliteparintersectionnievientdufaitquetouteunionniedensemblesalgebriques est algebrique. La stabilite par union quelconque est une consequence du faitque toute intersection densembles algebriques est algebrique (K[X1, . . . , Xn] est un anneauNoetherien). Cette topologie ainsi induite surAn(K) est la topologie de Zariski.Un cas particulier tr`es important pour nous ulterieurement est celui o` u la topologie surEest denie par une distance.Denition1.2. OnappelledistancesurunensembleEtouteapplicationddeEEdans R+tellequed(x, y) = 0 ssi x = y ,d(x, y) = d(y, x) x, y E [symetrie] ,d(x, z) d(x, y) +d(y, z) x, y, z E [inegalite triangulaire] .Les exemples les plus classiques de distance concernent les diverses distances que lon peutdenir dans Rn. La distance la plus classique est la distance euclidiennedeuc(x, y) :=_n

k=1(xiyi)2_1/22mais lon dispose (toujours sur Rn) aussi dautres distances, tellesd1(x, y) := max [xiyi[ , d2(x, y) :=n

k=1[xiyi[ .Classiquementd1 est la distance de lechiquier (chess-board distance en anglais),d2 seraitla city-block distance si lon pense au plan des villes americaines. On peut aussi imaginer enFrance la distance SNCF, o` u tout chemin de x `a y passe par un point e x0 (en locurrenceici Paris!). Donnons un exemple de distance de nature plus algebrique: soitEun anneauet I unideal tel quelintersectiondesideauxIk, k Nsoitreduite`a0(parexempleI=pZdansE= Z, o` upestunnombrepremier). OnpeutdenirunedistancesurE(dite distanceI-adique) pardI(x, y) = exp(maxk N, x y Ik).Toute distance induit une topologie de la mani`ere suivante; si (E, d) est un espace metrique,on appelle boule ouverte de centrex Eet de rayonr> 0 le sous ensemble deEdeniparBd(x, r) := y E, d(x, y) < r.On aurait envie de denir une topologie sur E en decretant que les ouverts sont precisementlesboulesouvertespourladistanced; ceci estimpossiblecarlafamilledetellesboulesouvertesnesatisfaitpaslesproprietesdestabilite(parunionquelconqueetintersectionnie) requises (on pourra raisonner avec la distance euclidienne dans le plan pour se conva-incre que lunion de deux boules ouvertes nen est pas une). On contourne cette diculteen donnant laDenition1.3. Onappelletopologieassocieeaucouple (E, d)latopologiedontlesou-verts Usont les ensembles caracterises par la propriete suivante: pour tout x U, il existeunebouleouverteBd(x, r(x))avecx B(x, r(x)) U (1.1)On dit que la topologie Odainsi denie est la topologie relative `a la distance d. On dit que(E, Od) est un espace topologique metrisable (au sens o` u la topologie peut etre denie parau moins une metrique d,nonnecessairement unique comme onle verra dans la remarque1.2).Remarque1.1. Toutebouleouverteest unouvert. Eneet, si yBd(x, r), onay Bd(y, r d(x, y)) Bd(x, r) `a cause de linegalite triangulaire.Exemples 1.1. Parexemple, dansleplan, toutdemi-plan1x1 + 2x2>0estunsousensembleouvert(pourladistanceeuclidienne). Soit, dans[0, 1], avecladistanced(x, y) = [x y[, lensembletriadiquedeCantor, cest `adirelensembledesnombresnayantquedes0oudes2dansleurdeveloppementenbase3(soitledeveloppementx= k=0ak3k). Cet ensembleauncomplementairequi est ouvert; cest doncunensemble ferme deE = [0, 1].3Remarque1.2. Il est souvent utile de travailler avec une distance bornee. On voit quesi destunedistancesurE,d := min(d, 1)estunedistancesurE. Deplus,onveriera(exercice) que la topologie denie pard est la meme que celle denie pard (au sens o` u lesfamilles douverts concident). De memed := d/1+d est aussi une distance sur E; en eet,commet t/1 + t est croissante, on a trivialement la symetrie et linegalite triangulairecard(x, z) d(x, y) +d(y, z)1 +d(x, y) +d(y, z) d(x, y)1 +d(x, y) +d(y, z)1 +d(y, z)=d(x, y) +d(y, z).On veriera encore (exercice) que la topologie denie pard est la meme que celle deniepard.Apr`es ces exemples despaces topologiques (metrisables ou non),denissons la notion devoisinage:Denition1.4. Etantdonneunespacetopologique(E, O), nousdironsquunsousen-sembleWdeEestunvoisinagedex(ouencoreW 1(x))sietseulementsiilexisteunouvertU Otelquex U W . (1.2)Ainsi un ouvert est-il voisinage de tous ses points. Etant donne un pointx deEet unetopologie (E, O), il est souvent interessant de remplacer 1(x) par une collection plus petitedensembles, mais malgre tout assez riche, au sens suivant:Denition1.5. Etantdonneunespacetopologique(E, O) et unpointx E, onditquunsousensemble B(x)de 1(x)estunebasedevoisinagesenx(ouencoreunsyst`emefondamentaldevoisinages)sietseulementsi,pourtoutW 1(x),ilexisteunensembleB B(x),avecx B W . (1.3)Exemple1.2. Si la topologie est denie par une distance, la famille des boules ouvertesde centrex et de rayon 1/n,n N, est un syst`eme fondamental de voisinages au pointx.On remarque quun tel syst`eme est denombrable.Cettenotiondebasedevoisinagesdependdupoint, maislonpeutaussienvisagerunenotion globale, celle de base douverts pour la topologie.Denition1.6. Etantdonneunespacetopologique(E, O), unesousfamille Oestunebasedouvertspourlatopologiesietseulementsitoutelementde Oestuneunionquel-conquedelementsde O, ouencore, cequi estequivalent, si pourtoutx E, pourtoutU Ocontenantx,ilexisteun element Ude Otelquex U U .Exemple 1.3. Dans le cas des espaces o` u O = Od, la collection Bd(x, r),x E,r > 0,ou meme B(x, 1/n),x E,n N, sont des bases douverts.Exemple1.4. Danslecaso` uE=Rneto` ulatopologieestdenieparladistance4max [xj yj[, on peut montrer que les boules ouvertesBd(, ), Qn, Q+ formentune base denombrable douverts (exercice [on utilisera le fait que tout intervalle ], [ nonvide de R contient un rationnel]).2. Interieuretadherence.Soit (E, O) un espace topologique; un sous ensemble quelconqueA deEnest en generalni ouvert ni ferme; il est donc judicieux de le concer au mieux entre un ouvert et un ferme.Cest le sens des deux denitions suivantes:Denition 2.1. EtantdonneunsousensembleAdeE,onappelleinterieurdeAleplusgrandouvert(ausensdelinclusion)inclusdansA,ouencoreluniondetouslesouvertsinclusdansA(ilexistedetelsouverts,aumoinsparexemple ). OnnotelinterieurdeAsouslaformeA.Denition 2.2. Etant donne un sous ensemble A de E, on appelle adherence de A le pluspetit ferme (au sens de linclusion) contenant A, ou encore lintersection de tous les fermescontenantA(il existedetelsfermes, parexempleE). OnnoteladherencedeAsouslaformeA.UnepartieAestouvertesietseulementsi A =A,fermeesietseulementsi A =A. Deplus,A B =A B, A B.Onverie immediatement que linterieur dune intersectionnie est lintersectiondesinterieurstandisqueladherenceduneunionnieestluniondesadherences. Parcon-tre, on a seulement les inclusionsA B A BAB A B (2.1)Si lon prendA = [0, 1[,B = [1, 2], on voit que les inclusions (2.1) peuvent etre strictes.Les points deA collent aux points deA au sens suivant:Proposition2.1. Soit(E, O)unespacetopologiqueetAunepartiedeE; x Asi etseulementsipourtoutW 1(x),W A ,= .Preuve.Prouvons tout dabord le si en prouvant lassertion contraposee. Supposons quilexiste un voisinageWdex ne rencontrant pasA; il existe un ouvertUcontenantx et nerencontrant pas A. Mais alors E Uest un ferme contenant A, donc A. On a donc x , A,ce qui est lassertion contraposee voulue.Prouvons maintenant le et seulement si en prouvant encore lassertion contraposee. Sup-posonsx , A; alorsE A est un voisinage dex ne rencontrant pasA. Exercice. Si AestunsousensembledeE, E AestunouvertcontenudansE A;on a doncE A E A. Montrer en utilisant la proposition 2.1 quun point interieur `a5E A ne saurait appartenir `a A; en deduire legalite E A =E A. Montrer de meme queEA= E A.Avant de donner une version de la proposition 2.1 valable dans le cas o` u la topologie estdenie par une distance, nous devons rappeler les notions de limite et de valeur dadherencedune suite de points dans un espace topologique (E, O). Rappelons quune suite de pointsdeEestuneapplicationN E: n x(n) =xn. Onnoteralasuite(xn)nN. Onaalors laDenition 2.3. La suite (xn)nN converge vers un element limite x de E si et seulementsi, pour tout W 1(x), il existe un entier n(W), tel que, pour n n(W), on ait xn W.Remarque 2.1. Il ny a en general pas unicite de la limite; par exemple, si O correspond`a la topologie grossi`ere, une suite arbitraire tend vers nimporte quel element de E. Si lonpeut, etant donnes deux points distinctsx,y deE, trouver des voisinagesx V ,y W,V W= (onditquelatopologieestseparee), alors, ilyaunicitedelalimitesielleexiste. Ceci est par exemple le cas lorsque la topologie est denie par une distance.Denition2.4. Lasuite (xn)nNadmeta Epourvaleurdadherencesietseulementsi,pourtoutW 1(a),ilexiste,pourtoutp N,unentiern ptelquexn W.DesignonsparAp:= xn;n p, p N; direqueaestunevaleurdadherencerevientdonc `a direa

p=0Ap.Dans le cas particulier o` uE R, on peut montrer que la borne superieure de lensembledes valeurs dadherence (dans la droite numerique achevee aux deux innis) estlimpsupxn;n p ;quelonnotecouramment limsup xn. Dememelaborneinferieuredelensembledesvaleurs dadherence estliminf(xn) :=limpinfxn;n p .Remarque2.2. Danscertainscas, lensembledesvaleursdadherence(quelonnoterav.a[(xn)nN])peutetreunintervalledeR , +. Parexemple, si estunir-rationnel,lensemble des valeurs dadherence de la suite (sin(2n))nNest [1, 1]. Onpourra comparer `a ce qui se passe pour rationnel.Dans lecas particulier o` ulatopologie Oest deniepar unedistance, onaunecar-acterisation de ladherence en termes de suites.Proposition2.2. Soit(E, O)unespacetopologiquemetrisableetAunepartiedeE.Lesassertionssuivantessont equivalentes:(a) x A(b) x =limnxn, xn A(c) x v.a[(xn)nN] , xn A6Preuve. Onutiliselaproposition2.1etlefaitquedansunespacemetrisable, ilexistepour tout x une base denombrable de voisinages (les boules ouvertes Bd(x, 1/n),n N).La preuve de la proposition est alors immediate. Remarque 2.3. Six admet une base denombrable douverts et siA est une partie deE,on peut donner une version sequentielle de la proposition 2.1; dans ce cas, le raisonnementfait au dessus montre que, pour ce point x, les trois assertions (a), (b), (c) de la proposition2.2 sont encore equivalentes et lon peut utiliser un crit`ere base sur les suites pour testerstx Aounon. Danslecaso` utouslespointsontunsyst`emedenombrabledouverts(par exemple si lespace est metrisable comme dans le cadre de la proposition 2.2, mais cenestpasleseulcas), onditqueladherencedetoutepartieAest egale`asonadherencesequentielle.Dans un espace topologique, on dit quun sous ensemble B dun ensemble A est dense dansA si et seulement si A B. Si A =E,on dit queBest partoutdense. Par exempleQest partout dense dans R (equipe de la topologie denie par la distanced(x, y) = [x y[).Nous avons la proposition suivanteProposition2.3. Soit(E, O) unespacetopologiquepossedant unebasedenombrabledouverts. Alors,ilexistedansEunsousensembledenombrablepartoutdense. Deplus,si (E, O)estmetrisableetsiEcontientunsousensembledenombrableApartoutdense,alors (E, O)admetunebasedenombrabledouverts.Preuve. Lapremi`ereassertionestfacile: il sut, etantdonneunebasedenombrabledouverts, de prendre un element dans chaque composante non vide de la base. On formeainsi un ensemble denombrable. Comme on peut toujours intercaler un ensemble de la baseentre x E et un voisinage arbitraire de x, on a le resultat. Pour lautre assertion, il sutdeconsidererlacollectiondesboulesouvertesBd(, ), avec A, Q+,, etdunedistance denissant la topologie. Cette collection est (exercice) un syst`eme denombrabledouverts pour la topologie (E, O). 3.2. Applicationscontinuesdunespacetopologiquedansunautre.Dans cette section, on consid`erera deux espaces topologiques (E1, O1) et (E2, O2); sauf in-dication contraire, on ne supposera pas que les topologies soient denies par des metriques.Pour une fonction deE1dansE2, nous introduisons tout dabord la notion de continuiteen un point:Denition 3.1. Une fonction fde E1dans E2est continue au point x E1(relativementaux topologies O1et O2) si et seulement si, pour tout voisinage W2de f(x) dans (E2, O2),f1(W2) := x E1,f(x) W2estunvoisinagedexdans (E1, O1).Remarque.Souvent les applications ne sont denies que sur une partie de E1. Il est doncnatureldemunirtoutsousensembleAdunensembleE(equipedunetopologie O)luimeme dune topologie induite par la topologie de E. Cette topologie sera appelee topologierestreinte. LesouvertsdeAserontpardenitionlestracessurAdesouvertsdeE(onveriera en exercice quil sagit dune topologie). On pourra ainsi parler de continuite en7un point dune fonction denie seulement sur une partie A de E (on consid`erera la fonctioncomme denie surA equipe de cette topologie restreinte).On peut traduire la continuite locale en termes de suites.Proposition3.1. Soitf uneapplicationdeE1dansE2continueaupointx. Alors, si(xn)nNest une suite quelconque de points de E1convergeant vers x, la suite (f(xn))nNconvergeversf(x).Preuve. Soit (xn)nN une suite de points de E1 convergeant vers x; si la suite (f(xn)) neconvergeait pasversf(x),celasignieraitlexistencedun voisinageW2def(x)tel que,pour toutp N, il existe un element de la suite (xn)nN dindicen(p) superieur `ap dontlimage parfnest pas dansW2. Maisf1(W2) est un voisinageW1dex. Pourn p1,ondoitavoirxn W1(carlasuite(xn)nNconvergeversx); onadonc, pourn n1,f(xn) f(W1) W2. Ceci est contradictoire avec le fait quil devrait existern(p1) p1avecf(xn(p1))/ W2. Danslecasparticuliero` uil existeunsyst`emefondamental denombrabledevoisinagespour x dans E1 (par exemple si la topologie O1 peut etre consideree comme une topologieassociee `a une distance), il y a en fait equivalence.Proposition3.2. Supposonsquex E1admetteunsyst`emefondamentaldenombrabledevoisinages(relativement`alatopologie(E1, O1)). Unefonctionf deE1dansE2estcontinueenxsi et seulement si, pour toutesuite(xn)nNconvergeant versx, lasuite(f(xn))nNconvergeversf(x).Preuve. Remarquonsquelonpeuttoujourssupposerquelesyst`emedenombrabledevoisinages (Un)nNest une suite decroissante densembles pour linclusion; en eet, si cenest pas le cas, on peut considerer la suite (Un)nN), o` uUn :=n

j=0Ujqui elle fait laaire. On fera dorenavant cette hypoth`ese sur la suite (Un)nN.Il sut de montrer le et seulement si, car lassertion directe est contenue dans la proposition3.2. Supposons laconditionsur les suites remplie. Si f netait pas continueenx, ilexisterait W2, voisinage de f(x) dans (E2, O2), tel que f1(W2) ne serait pas un voisinagedex. Dans chaqueUn, on pourrait trouver un elementxntel quef(xn) / W2. La suite(xn) converge versx : en eet lesUn sont emboites et constituent une base de voisinages,donc un voisinage arbitraireW1 dex contient unUp1, donc tous lesUn pourn p1, donctouslesxnpourn p1. CommeW2necontientaucunf(xn), lasuite(f(xn))nNneconvergerait pas vers f(x), ce qui est contraire `a la condition sur les suites. Par consequentfest continue enx. En conclusion, si lespace topologique de depart admet un syst`eme denombrable douvertsen x, on peut tester la continuite en x en testant une propriete concernant les suites. Cecipeut etre faux en general. Si (E1, O1) est un espace metrisable, il ny a pas de probl`eme;on dit qualors la continuite est equivalente `a la continuite sequentielle.8On peut composer les applications continues: supposons que (E1, O1), (E2, O2), (E3, O3)soient trois espaces topologiques,f1 une application deE1 dansE2,f2 une application deE2dansE3. On a la proposition immediate suivante:Proposition 3.3. Si f1est continue en un point x E1et f2est continue en f1(x) E2,alorsf2 f1estcontinueaupointx.Il y a aussi une notion globale de continuite.Proposition3.4. SoitfuneapplicationcontinuedeE1dansE2,equipesdetopologiesO1et O2. Lesquatreassertionssuivantessont equivalentes.(1)festcontinueentoutx E1.(2)LimagereciproquedetoutouvertdeE2estunouvertdeE1.(3)LimagereciproquedetoutfermedeE2estunfermedeE1.(4)PourtoutepartieA E1,f(A) f(A).Preuve.(1)=(2). SupposonsqueO2soitunouvertdeE2etquexsoitdans f1(O2)(i.e.f(x) =y O2). On peut considerer queO2est un voisinage dey, doncf1(O2) est unvoisinage dex dapr`es (1). Cet ensemble est voisinage de tous ses points: cest un ouvert.(2) = (3). On utilise simplement le fait que, pour tout sous ensemble A2 de E2, f1(E2A2) =E1 f1(A2), ainsi quelefaitquunensembleestfermesi etseulementsi soncomplementaire est ouvert.(3) = (4). On aA f1(f(A)) f1(f(A)); ce dernier ensemble est un ferme (imagereciproque du ferme f(A)); comme il contient A, il contient A. On a donc A f1(f(A)),doncf(A) f(A).(4) = (1). Si W2 est un voisinage de y, E2W2 est inclus dans un ferme F2 ne contenantpasy. On af(f1(F2)) f(f1(F2)) F2 = F2.En reprenant limage reciproque,on voit quef1(F2) f1(F2),ce qui montre que cetensemble est ferme; il ne contient pasx et contient le complementaire def1(W2); doncf1(W2) contient un ouvert contenantx (en loccurrencef1(F2)). Dans le cas particulier o` u les topologies O1 et O2 sont denies par des distancesd1 etd2,une applicationfest continue (relativement `a ces topologies) enx E1 si et seulement si > 0, > 0, d1(x, xt) = d2(f(x), f(xt)) (3.1)ou encoren N, n> 0, d1(x, xt) n=d2(f(x), f(xt)) 1n. (3.2)Dans cette meme situation (les deux topologies sont denies par des metriquesd1etd2),onpeutpreciserlanotiondecontinuiteglobalesurunsousensembleenyajoutantuneclause duniformite.9Denition3.2. Soit f une applicationdunespace metrique(E1, d1) dans unespacemetrique (E2, d2). OnditquefestuniformementcontinuesurunsousensembleAdeE1sietseulementsin N, n> 0, x,xt A, d(x, xt) n=d(f(x), f(xt)) 1n .Exemple3.1. SupposonsqueE1=E2=I, avecIintervalleouvertdeR, d1(x, y)=[xy[, et fest une application derivable sur I et ayant une derivee bornee. On voit, graceau theor`eme des accroissements nis, quefest uniformement continue surItout entier.Nous allons maintenant regarder le probl`eme de la continuite sous un autre angle, `a traversdeux questions:Question1. Etant donnee une collection despaces topologiques (Ei, Oi), un ensembleF(sans topologie `a priori) et des applicationsfi : Ei F, peut-on construire une topologiesurFde mani`ere `a ce que toutes lesfi soient des fonctions continues entre les (Ei, Oi) et(F, O)?Question2. Etant donnes un ensembleE(sans topologie `a priori), une famille despacestopologiques(Fi, Oi), etdesapplicationsfi: E Fi, peut-onconstruireunetopologiesurEde mani`ere `a ce que chaquefisoit une fonction continue entre (E, O) et (Fi, Oi)?1. La reponse `a la question 1 est simple: les ouverts de lespace darrivee doivent etre telsque leurs images reciproques par chaquefisoient des elements de Oi. Or lensemble despartiesdeFayantcetteproprietesatisfaitauxaxiomesquiregissentladenitiondunetopologie Ofin. Toute topologie `a mettre surFpour repondre positivement `a la question1doitetremoins nequecettetopologie Ofin(qui est ellelatopologielaplusrichepossible que lon puisse mettre). On appellera cette topologie la topologienale associeeau probl`eme relatif aux donnees (Ei, Oi), fi, F.Exemple3.2. Latopologiequotient. ConsideronssurunensembleEequipedunetopologie O1 une relation dequivalence 1. Soit Flensemble quotient F:= E/1 et soit flapplication p de E dans Fqui `a tout element associe sa classe dequivalence. La topologienalesappelledanscecastopologiequotient Qissuede O1vialarelation 1. UnsousensembleA deFest ouvert si lensemblep1(A) = x E, x Aest un ouvert deE. Les ouverts de la topologie quotient sont les images parp des ouvertssatures de E; un ouvert de E est dit sature si et seulement si, d`es quil contient un elementx,il contient tout autre elementyde sa classe dequivalence. On pourra montrer que si(E, O) est un espace topologique arbitraire etfune application continue de (E, O1) dans(E, O) telle quef(x) ne depende que dex,alors,il existe une applicationgcontinue de(E/1, Q) telle quef(x) = g(x).(autrement dit, on peut factoriser f`a travers la projection canonique p). Ainsi, si E = R,F= R/Z, O1 = Od, d(x, y) = [xy[, E := z C, [z[ = 1, O = Od,d(z1, z2) = [z1z2[,f(x) = exp(2ix). Lapplicationx exp(2ix)10est continue deFdans le cercle unite; en fait, on peut dire plus: on veriera en exercicequil existe une constante strictement positivec telle que, pour toutx1, x2reelscd(x1x2, Z) [e2ix1e2ix2[ 2d(x1x2, Z)Ceci implique immediatement que lapplicationexp(2ix) xest aussi continue du cercle unite avec sa topologie (denie par la distance dans C) dansF, avec la topologie quotient issue de Od via la relation de congruence modulo Z. Lespacetopologique (F= R/Z, Q) est en bijection avec le cercle unite du plan complexe via uneapplication bicontinue, on dira plus loin un homeomorphisme.2. Regardonsmaintenantlaquestion2. Latopologie`aprendresurEdoitconteniraumoins tous les ensembles f1i(Oi), Oi Oi, et ce pour tout indice i. La plus petite topologiecontenanttouscesensemblesestlatopologielamoinsnequelonpuissemettresurEpoursatisfaireauprobl`eme. Lesouvertsensontlesunionsquelconquesdintersectionsniesdensemblesdelaformef1i(Oi), i I, Oi Oi. Onappellecettetopologielatopologie initiale induite par (E, (Fi, Oi), fi)Exemple 3.3. La topologie produit.Considerons une collection despaces topologiques(Fi, Oi) et notonsEle produit desFi. Soitfi =pila projection du produit sur lespacecoordonnedindicei. Latopologieinitialecorrespondantauprobl`emeestcelledontlesouverts sont les unions densembles

iIOio` uOi OietOi =Fisauf pour un nombre ni dindices. On dit queEequipe de cettetopologie est le produitdesespacestopologiques(Fi, Oi). Cette topologie initiale est ditetopologie produit.Remarque 3.2. Unebasedouverts pour latopologieproduit consisteentoutes lesintersections nies densembles du typep1i(Oi), cest `a dire en les ensembles du type

iIOio` uOi Oiet o` u, sauf pour un nombre ni dindices, on aOi =Ei(en eet, les ouvertsde la topologie produit sont, dapr`es la construction ci dessus, les unions quelconques detels ensembles). Dans le cas du produit ni de N espaces topologiques, une base douvertsconsiste en les ensembles de la formeO1 ON, o` uOiest un ouvert deEi.On a aussi la proposition suivanteProposition3.5. Soit Eunproduit despaces topologiques (Fi, Oi). Soit (E, O) unespace topologique. Une application fde E dans E est continue (relativement `a la topologie11Osur Eet `a la topologie produit sur E) si et seulement si,pour tout i,pi fest continuede EdansFi.Preuve. Limplicationdirecteestfacileparcomposition. Sichaquepi festcontinue,limage reciproque de tout ensemble du type

iI Oi, o` u Oi est un ouvert de Fi et Oi = Fisauf pour un seul indice i0, est un element de O. Par intersection nie et union quelconque,onrestedans O. Donc, pourtoutOdanslatribuproduit, f1(O) O, cequimontrequefest continue. Exemple3.4. Produitnioudenombrabledespacesmetriques. Dans le cas o` uIest ni et o` u chaque topologie Oi correspond `a une distancedi, on montrera en exerciceque la topologie produit peut aussi etre denie par une metrique, par exempledeuc(X, Y ) : =

iIdi(xi, yi)2d1(X, Y ) : = MaxiIdi(xi, yi)d2(X, Y ) : =

iIdi(xi, yi)(onmontreraquetoutescesdistancesdenissentlatopologieproduit). LorsqueI estdenombrable(I =N) et quechaque On, nN, est associee`aunedistance dn, latopologie produit peut aussi etre denie par une distance, par exempled(X, Y ) =

nN12ndn(xn, yn)1 +dn(xn, yn)(`a voir en exercice).Exemple 3.5. Topologie de la convergence simple sur un ensemble.Soit E un en-semble et T(E, F) lensemble des applications de E dans un espace Fequipe dune topolo-gie O. On peut equiper T(E, F) dune topologie (dite topologie de la convergence simple)en considerant les elements de T(E, F) comme elements de lespace produit

xE F= FE.La topologie produit sur cet espace est dite topologie de la convergence simple sur T(E, F).En exercice, on traduira ce que signie le fait quune suite (fn) delements de T(E, F) con-verge vers un elementf.Un exemple important dapplication continue sur un espace produit est la fonction distance,ou plus generalement la fonction diam`etre.Proposition3.6. SoitEunespacemetrique(avecunedistanced). SoitN N. LafonctiondeniesurEE(Nfois), equipedelastructureproduit,par(x1, . . . , xN) max1i,jNd(xi, xj) = diam x1, . . . , xNestunefonctioncontinuesurEE(Nfois).Preuve. Laisseeenexercicedanslecasgeneral; danslecas N=2(continuitedelafonction distance), on applique simplement linegalie triangulaire. Nous terminerons ce paragraphe en insistant sur la notion dhomeomorphisme entre deuxespaces topologiques.12Denition 3.3. Deux espaces topologiques (E1, O1) et (E2, O2) sont dits homeomorphessilexisteunebijectioncontinue,dinversecontinu,entreE1etE2.Exemple3.6. Les espaces (R, Od) et (] 1, 1[, Od), o` ud est la distanced(x, y) = [x y[sont homeomorphes par exemple par lapplicationx 2Arctg(x)/.Exemple 3.7. Le plan complexe est homeomorphe `a la sph`ere unite de R3privee du poleNord (via la projection stereographique que lon ecrira analytiquement en exercice).Cette notion est importante car elle traduit le fait que deux espaces topologiques ont lesmemes proprietes topologiques. Il est clair intuitivement quun pneu (le tore) ne peut etrehomeomorphe `a une sph`ere; de meme, un tore `agtrous ne peut etre homeomorphe `a untore `ag 1 trous. De meme, deux espaces Rnet Rmne peuvent etre homeomorphes sin ,= m. Toutes ces armations sont loin detre faciles `a demontrer.4. Espacescompacts,compactsdunespacetopologique.Un espace topologique compact est intuitivement un espace que lon peut serrer, au sensou il utiliseunespacenimentcontrolable. Par exemple,dans le cas metrique (o` u notreintuition a un support raisonnable, car il y a une notion de distance) on peut le recouvrirpar un nombre ni de boules. Dans ce premier paragraphe, nous nous placons dans le casgeneralo` u(saufauniveaudesexemples),latopologienestpasassociee`aunedistance.On a laDenition4.1. Unespacetopologiqueest dit compact sil est separe*, et si, detoutrecouvrementdelespacepardesouvertsE =_iIOionpeutextraireunsousrecouvrementni.En termes de fermes, on a immediatement laProposition4.1. Unespacetopologiqueestcompactsi etseulementsi il estsepareetsi,pourtoutefamilledefermes (Fi)iI,ona

iIFi = J I, #J< ,

jJFj = (4.1)ouencore

iIFi ,= J I, #J< ,

jJFj ,= . (4.2)Exemple 4.1. Un ensemble ni est toujours compact (lorsquon le munit dune topologiequi le rende separe).Exemple4.2. Un intervalle [, ], muni de la topologie restreinte de la topologie usuellesur R, est compact: cest le theor`eme de Borel-Lebesgue.* Dans la terminologie anglo-saxonne, cette hypoth`ese ne gure pas, mais elle sera pournouscommode.13Theor`eme4.1(Borel-Lebesgue). Detoutrecouvrementdunintervallefermeborne[, ]pardesouvertsde R,onpeutextraireunsousrecouvrementni.Preuve. Onnote i, i I, lacollectiondouverts durecouvrement. Notons Alensembledespointsx [, ] telsque[, x] puisseetrerecouvertparunnombrenidouverts i. Cet ensemble A est non vide (il contient trivialement ) et majore. Il admetdonc une borne superieurex0 [, ], denie par les deux proprietes suivantes:(*)x0est un majorant deA(**) Pour tout> 0,x0 nest plus majorant deA.Il existei0tel quex0 i0(car lunion desicontient [, ]). Mieux, il existetel que]x0 , x0 + [i0(cari0estouvert). Dapr`es(**),ilexisteunpointx1deAdans]x0 , x0]; maisalors, lensemble[, x0 + [=[, x1] [x0 , x0 + [ estrecouvrableparunnombrenidouvertsi(`asavoiri0plustouslesiennombrenirecouvrant[, x1]). En particulier x0 A; si lon avait x0< , il y aurait des points `a droite de x0 quiappartiendraient `aA, ce qui contredirait (*); donc on ax0 = et par consequent A,ce qui clot la preuve du theor`eme. Exemple4.3. Si(xn)nNestunesuiteconvergentedepointsdunespacetopologiquesepare (E, O) et si x est la limite de la suite, lensemble A := xn,n Nx, munide la topologie restreinte, est un compact. En eet, soit (i)iIdes ouverts deEtels quelunion desAi recouvreA. Soiti0un ouvert contenantx; pourn assez grand, touslesxn sont dansi0; il nen reste quun nombre ni `a recouvrir, et lon peut donc extrairedu recouvrement deA par lesA iun sous recouvrement ni.Exemple4.4. EnrevancheRnestpascompact, carpourlafamilledefermesFn:=[n, +[, lequivalence (4.1) est fausse.Lexemple 4.3 sugg`ere que lon elargisse la notion de compacite `a celle de partie compactedun espace topologique.Denition 4.2. Soit (E, O)unespacetopologique;unepartieAdeEestcompactesietseulementsiA, equipedelatopologierestreinte,estunespacetopologiquecompact.Nous avons les deux resultats importants suivants:Proposition4.2. Uncompactdunespacetopologiquesepareestferme.Preuve.Soit A un compact de E et x un point de EA; comme lespace est separe, `a toutpoint y A, on peut associer deux ouverts Uy, Vy tels que y Uy, x Vy, UyVy = . LesUy,y A recouvrentA, et lon peut en extraire de la famille desUyA un recouvrementni deA; on a doncA N_j=1Uyj .Maisalorslintersectiondes Vyjnerencontrepas A; cestunouvert(intersectionniedouverts) contenant x; donc EA est voisinage de tous ses points et est donc ouvert. Bien s ur, la reciproque est fausse (R est ferme dans lui meme sans etre compact), mais ona cependant la14Proposition4.3. Dansunespacetopologiquecompact, lespartiescompactessontlespartiesfermees.Preuve. Il sut demontrer quetout fermeest compact. Onappliquepour celalaproposition4.1. SoitFunfermeetsoit(Fi)iIunefamilledefermesrelatifsdeFtelleque toute sous famille nie ait une intersection non vide. On peut ecrireFi = F Fi, o` uFi est un ferme de E. Toute sous famille nie de la famille Fi augmentee de Fa donc uneintersection non vide. DoncF

iIFi =

iIFi ,= ,ce qui prouve la compacite deF. Pour enrichir notre collection dexemples, donnons deux propositions nous permettant deconstruire des compacts `a partir dautres.Proposition4.4. Soit(E1, O1) unespacecompact et(E2, O2) unespacetopologiquesepare;alorslimagedeE1partouteapplicationcontinuedeE1dansE2estuncompactdeE2.Preuve. Soitfune application continue deE1dansE2. On consid`ere un recouvrementdef(E1) par des ouvertsi,i I; lesf1(i),i I, recouvrentE1, on peut en extraireun sous recouvrement niE1 =N_j=1f1(ij) .En prenant limage parf,f(E1) N_j=1f[f1(ij)] N_j=1ij ,do` u le resultat. Attention! Si (E1, O1) est separe,mais non compact,limage reciproque dun compactdeE2 par une application continue a beau etre un ferme deE1, ce nest pas en general uncompact deE1: par exemple, siE1 =]0, [2,E2 =]0, [,f(x, y) = xy (avec les topologiesrestreintes des topologies usuelles de R2et de R), limage reciproque de 1 est une branchedhyperbolequinepeut etrecompacte(lesfermesemboitesFn:= (x, y) ; xy=1, x 1/n ont une intersection vide et (4.1) est en defaut). Par contre, si (E1, O1) est compact,limagereciproquedetoutcompactdeE2estunfermedeE1, doncuncompactdeE1grace `a la proposition 4.2.Comme consequence de la proposition 4.4, nous avons le corollaire suivantCorollaire4.4.1. Soient(E1, O1)et(E2, O2)deuxespacestopologiques, avecE1com-pact, E2separe, etfunebijectioncontinuedeE1dansE2. Alorslapplicationfestunhomeomorphisme.Preuve. Il fautdemontrerquelapplicationinversef1estcontinue, cequelonpeutfaire en montrant que limage reciproque parf1de tout fermeF1 deE1 est un ferme de15E2. Mais (f1)1(F1) =f(F1);commeF1est compact (comme ferme dun compact) etquefest continue, f(F1) est un compact deE2,donc un ferme deE2. Le corollaire estdemontre. Exemple4.5. OnpourramontrerenexercicequelespacequotientR/Zestcompact.Lapplication deR/Z dans le cercle unite qui `ax associeexp(2ix) (cf exemple 3.2) estdonc un homeomorphisme, comme on lavait remarque precedemment.Proposition4.5. Toutproduitnidespacescompacts(equipedelatopologieproduit)estunespacecompact.Preuve. Il sutdefairelapreuvepour n=2etderaisonnerensuiteparinduction.Supposonsque(E1, O1)et(E2, O2)soientdeuxespacestopologiquescompacts. Recou-vronsE1E2par une union douverts pour la topologie produiti, i I. Pour chaqueX = (x, y) dansE1E2, il existe un indicei(X), des ouvertsU1(X),U2(X) (lun deE1,lautre deE2), tels que(x, y) U1(X) U2(X) i(X)(on utilise la remarque 3.2). Pour toutx0 E1, la bre x0E2est, si on lequipe dela topologie restreinte de la topologie produit, en correspondance bicontinue avecE2(vialapplication (x0, y) y). Cette bre est donc compacte. Cette breAx0est recouvrablepar les ouverts U1(X) U2(X), XAx0. Onpeut extrairedecerecouvrement unrecouvrementni parles U1(X) U2(X), X=(x0, y), y Ax0, o` uAx0estunsousensemble ni deE2. Alors, lensembleV1(x0) =

yAx0U1(x0, y)est un ouvert contenantx0et tel queV1(x0) E2 _yAx0i(x0,y).OnutiliselacompacitedeE1pourextrairedelafamilledesV1(x0), x0 E1, unsousrecouvrement niE1 =N_j=1V (xj).Il est clair que la famille desi(xj,y),y Axj,j = 1, . . . , N, recouvreE1E2 =__N_j=1V1(xj)__E2 =N_j=1(V1(xj) E2) .La proposition est demontree. Exemple 4.6. Unpave nj=1[j, j] est compact lorsquonlemunit delatopologierestreintedelatopologiedeRn(ouencoreestunsousensemblecompactdeRnpourcette topologie).On admettra ici que la proposition 4.5 se generalise au cas des produits quelconques, cestle16Theor`eme 4.1 (Tychono). Tout produit quelconque despaces topologiques compactsestencorecompact.Nousdonneronsauparagraphesuivantunepreuvedeceresultatlorsqueleproduitestdenombrable et les espaces metriques. Nous admettrons le resultat dans le cas general.Exemple4.7. Si Eest unensembleni (aveclatribudiscr`ete), lensemble ENdessuites `a valeurs dansE(avec la topologie produit) est un compact. Par exemple 0, 2Nest compact. Via lapplication qui `a un reel associe la suite des chires qui le representedanslesyst`emedenumerationenbase3, onpourramontrerenexercicequecetespacetopologiqueesthomeomorphe`alensembletriadiquedeCantor(voirlesexemples1.1.),equipe de la topologie restreinte de la topologie de R. Lensemble triadique de Cantor estdonc compact.Noustermineronsceparagrapheavecdeuxproprietesimportantesconcernantlessuitesetlessousensemblesinnisdansunespacecompact(oudansuncompactdunespacetopologique).Proposition 4.6. Soit A un compact dun espace topologique separe (E, O). Toute suitedepointsdeAadmetunevaleurdadherence(dansApuisqueAestferme). Deplus, silensembledesvaleursdadherencedelasuitesereduit`aunsingleton x,alorslasuiteconvergeversx.Preuve. Soit (xn)nNune suite de points deA. On consid`ere les fermes emboites (tousinclus dansA)Ap, o` uAp := xn,n p, p N.Aucunnestvide, ilssontemboiteslesunsdanslesautres, donctouteintersectiondunnombreni dentreeuxest nonvide. Onappliquelaproposition4.1(assertion4.2).Leur intersection est non vide et (voir la denition 2.4), il y a donc au moins une valeurdadherence.Supposons quil ny ait quune valeur dadherencex et soitUun ouvert deE contenantx. Les fermesAp (E U),p N, ont une intersection vide; comme ils sont emboites,inclus dansA, et queA est compact, il suit de (4.1) que lun deux (par exempleAp0) estvide; ceci implique que pour n p0, tous les xn sont dans U. Ceci est vrai pour un ouvertquelconque contenantx, doncxest limite de la suite. Laderni`ereproprieteexigeunedenitionsupplementaire, celledepointdaccumulationdun sous ensemble dans un espace topologique.Denition4.3. Soit(E, O)unespacetopologique. Onditquunpointxestunpointdaccumulationdunsousensemble Asi etseulementsi toutvoisinagedexcontientunpointde Aautrequex.Remarque 4.1.Dans la denition de point daccumulation, aucune hypoth`ese concernantladenombrabilitenestfaitesur A(contrairement`alanotiondevaleurdadherencequielleconcernelessuites, cest`adirelessousensemblesdenombrablesetdeplusint`egrelordre dans lequel les elements du sous ensemble sont numerotes).17Remarque 4.2.Tout point daccumulation dun ensemble est forcement dans ladherencede cet ensemble. En revanche, un point daccumulation peut ne pas appartenir `a lensemble(0 est point daccumulation de 1/n, n N dans R avec sa topologie usuelle associee `ad(x, y) = [x y[).Tout compact verie la propriete importanteProposition4.7(ProprietedeBolzano-Weierstrass). SoitAunepartiecompactedansunespacetopologiquesepare. Toutsousensembleinni deAadmetaumoinsunpointdaccumulation(dansApuisqueAestferme).Preuve. SupposonsquaucunpointdeAnesoitpointdaccumulationdunensembleinni AA. Achaque yA, onsait associer unouvert U(y) contenant y et nerencontrant Aqueventuellementaupointy. OnrecouvrelecompactAparunnombreni de tels ouvertsV (y1), . . . , V (yN). Lensemble Aest necessairement un sous ensembledelensemble y1, . . . , yN, cequi est contradictoireaveclefait que Aest inni. Laproposition est prouvee par labsurde. 5. Compactsdanslesespacesmetriques.Dans cette section, nous supposerons que E est un espace equipe dune distance d et de latopologie Odcorrespondante. Nous introduisons une denition utile par la suite, celle departie bornee.Denition5.1. OnditquunsousensembleAdelespacemetrique (E, d)estborne(oudediam`etreni),sietseulementsiilexisteuneconstantepositiveK = K(A)tellequed(x, y) K(A) x, y A ;sitelestlecas,onappellediam`etredeAlabornesuperieureded(x, y) ; x A,y A .Les parties compactes dun espace metrique sont forcement des parties bornees.Proposition5.1. Dans unespacemetrique, toutepartiecompacteest necessairementbornee.Preuve. Soit Aunepartiecompactedunespacemetrique(E, d). Toutpoint x Aadmetunvoisinagequi estunebouleouvertederayon(x). Onpeutrecouvrir Aparunnombreni detellesboulesBd(xj, (xj)), j=1, . . . , N. Si xetysontdeuxpointsquelconques deA, on ad(x, y) max1i,jNd(xi, xj) + 2 max1jN(xj)par linegalite triangulaire (en eet,x appartient par exemple `aBd(xi(x), (xi(x))), tandisqueyappartient `aBd(xi(y), (xi(y))), o` ui(x),i(y) sont dans 1, . . . , N). La propositionest demontree. 18Attention!La reciproque est fausse: dans un espace metrique, il peut exister des partiesbornees qui nesont pas compactes. Prenons par exemplelespace Edes fonctions fcontinues sur [0, 1], `a valeurs reelles. Commef([0, 1]) est compact (Proposition 4.4), unetelle fonction est bornee sur [0, 1] et lon denit une distance surEpard(f, g) =supt[0,1][f(t) g(t)[ .Dans E, lensemble A des fonctions continues sur [0, 1] et telles que sup[0,1][f[ 1 est unepartie bornee. On pourra verier en exercice que, si fn, n N, est la fonction denie parfn(t) = nt , 0 t 1/nfn(t) = nt + 2 , 1/n t 2/nfn(t) = 0 , 2/n t 1lensemble fn, n N est un sous ensemble inni deA sans point daccumulation (untel point ne pourrait etre que la fonction discontinue egale `a 1 en 0 et nulle sur ]0, 1], cequi est absurde). LensembleA ne peut etre compact du fait de la proposition 4.7.Il y a malgre tout equivalence lorsqueE = Rn.Proposition 5.2. Les parties compactes de Rn(avec la topologie usuelle denie par lunedesdistancesd1, d2, deuc(cfexemplesapr`esladenition1.2)sontexactementlespartiesfermeesbornees.Preuve. Tout compact de Rnest ferme (proposition 4.3) et borne (proposition 5.1). SiA est un ferme borne, il est inclus dans un pave

1jn[j, j]. Un tel pave est compact(exemple4.6). Ainsi Aestunfermeduncompact, doncuncompact(proposition4.3).Voici une application de la proposition 5.2.Corollaire 5.2.1. Soit (E, O) un espace metrique compact et fune application continuedeEdansRn. LimagedeEparfestunfermebornedeRn; danslecaso` un = 1, lesous ensemble f(E) de R admet une borne superieure, une borne inferieure, et les contienttouteslesdeux.Preuve. Onutiliselaproposition4.4etlaproposition5.2. Danslecas n=1, il estconnu que tout sous ensembleA majore (resp. minore) de R admet une borne superieure(resp. une borne inferieure). La borne superieurem est un majorant, et pour tout> 0,m nest plus un majorant; si lensemble A est de plus ferme, la borne superieure (resp.inferieure)estdans Acommelimitedunesuitedepointsde A. Ceci prouvedonclaproposition. Exemple5.1. Si A est une partie compacte dun espace topologique metrique (E, d) etsix E A, il existe au moins un pointy A tel qued(x, y) = minzAd(x, z) := d(x, A) .19De meme avec la fonction diam`etre diam introduite dans la proposition 3.6. Si A1, . . . , AN,sont N parties compactes dun espace metrique (E, d), il existe au moins y1 A1, yN AN,tels quediam(y1, . . . , yN) = maxz1A1,...,zNANdiam(z1, . . . , zN) .On utilisera lors de la preuve du theor`eme 5.1 ci dessous cet exemple.Dans un espace metrique, on a une autre consequence importante de la compacite. Cestle lemme de Lebesgue.Theor`eme 5.1 (Lemme de Lebesgue). Soit A un compact dun espace metrique (E, d).Etantdonneunrecouvrement 1deApardesouvertsdeE, il existe(1)>0tel quetoutsousensembledeAdediam`etrestrictementinferieur`a(1)estinclusdanslundesouvertsdurecouvrement.Preuve. On extrait tout dabord du recouvrement 1 un sous niA N_j=1j .SoitFj:=A j, 1 j n; FjestunfermedeA, doncuncompact. DeplusF:=F1FN(avec la topologie produit des topologies restreintes) est compact (proposition4.5) et limage deFpar lapplication continue(x1, . . . , xn) (x1, . . . , xN) := max1i,jN[xixj[(voir proposition 3.6) est un compactKde [0, ]. Ce compact est un ferme borne; il doitcontenir sa borne inferieure. Or, comme lintersection des Fj est vide (les j recouvrent A),le compactKest en fait inclus dans ]0, [. La borne inferieure deKest donc un nombrestrictement positif(1). Considerons un sous ensembleBdeA de diam`etre strictementinferieur `a(1); siBrecontrait chaqueFjen un pointj, on auraitdiamB (1, . . . , N) (1) ,cequi seraitabsurde. Ainsi BestinclusdanslundesjetlelemmedeLebesgueestprouve. Remarque5.1. Souvent on enonce lelemme de Lebesgue endisant quetant donne unrecouvrement 1 deA par des ouverts, pour assez petit (ceci depend du recouvrement),toute boule deA de rayon au plus est incluse dans lun des ouverts de 1.Voici maintenant une application du lemme de Lebesgue concernant les applications con-tinues dun espace metrique compact dans un autre espace metrique.Theor`eme 5.2 (Heine). Soitfuneapplicationcontinuedunespacemetriquecompact(E1, d1)dansunautreespacemetrique (E2, d2). Alors,lafonctiond1,d2[f]d1,d2[f] : R+ maxx,yEd1(x,y)d2(f(x), f(y))20(diteaussimoduledecontinuiteuniformedefrelativementauxdistancesd1, d2)satisfaitlim0d1,d2[f]() = 0 .OnditaussiquefestuniformementcontinuesurE.Remarque 5.2. On peut aussi dire (si lon utilise la topologie restreinte) que si fest unefonction continue dun espace metrique dans un autre, sa restriction `a tout sous ensemblecompactA de lespace de depart est uniformement continue surA.Remarque5.3. Luniforme continuite defsurA se lit encore > 0, > 0, x, y A, d1(x, y) = d2(f(x), f(y)) .Preuvedutheor`eme5.2. Soit> 0; ecrivons quefest continue en un pointx E1;il existe un voisinage ouvertV

x 1(x) tel quey V

x=d2(f(y), f(x)) /2 .On consid`ere le recouvrement 1 de E par tous les V

x. On applique le lemme de Lebesgueet lon pose = (1). Alors, sid1(x, y) ,x ety sont dans le memeV

x0et lon a doncd2(f(y), f(x)) d2(f(y), f(x0)) +d2(f(x0), f(x)) .On a donc bien montre luniforme continuite defsurE. Attention! En general, la continuite nimplique pas luniforme continuite. Par exemplex x2nest pas uniformement continue sur R.Enn, dans le cas o` u la topologie est denie par une distance, les propositions 4.6 et 4.7admettent des reciproques. Pour cela, nous utiliserons le lemme clef suivant.Lemme 5.1. Soit (E, d) un espace metrique possedant la propriete de Bolzano-Weierstrass(toutsousensembleinnidenombrableadmetaumoinsunpointdaccumulation). Alors,pour tout> 0, il existe un sous ensemble ni A

tel que tout point de E soit `a une distanceinferieureouegale`adelensembleA

. Enparticulier, lesous ensembledenombrable_n=1A1/nestdensedansE.Preuve. Fixons . Soit x1unpointarbitrairedelespace; si pourtout x E, onad(x1, x) , alors, on poseA

= x1 et cest gagne. Sinon, on prend un pointx2tel qued(x1, x2)>. SoittouslespointsdeEsont`amoinsdedex1oudex2, etlonposeA

= x1, x2, et cest encore gagne, soit ce nest pas le cas et lon continue. Ainsi, si parmalchance le processus mis en route ne sarrete pas, on sera en mesure de construire unesuitedepoints(xn)nNtellequen>m=d(xn, xm)>. Supposonsquecettesuite(innie) ait un point daccumulation x. Dans la boule ouverte de centre x et de rayon /2,il doit exister un point de la suite, xn0, distinct de x. Dans la boule ouverte de centre x etde rayond(x, xn0)/2, il devrait exister un autre point de la suite (xn1), ce qui est absurdecar on auraitd(xn0, xn1) 0tel quex O1, y O2, [x y[ = d(x, y) (car la fonction distance est continue et ne sannule pas sur le compactO1O2, elle estdoncminoreeparuneborne >0qui estdailleursrealisee). Soituncouple(1, 2),1 O1,2 O2, realisant ce minimum; supposons1< 2 (ceci est licite car1 ,= 2); lespoints de ]1, 2[ ne peuvent etre dansO2 (ils seraient trop proches de1), ni dansO1 (ilsseraient trop proches de2). Ceci est absurde, donc [, ] est connexe.Lexemple 7.2 sugg`ere un joli crit`ere pour voir si un espace metrique compact (ou une partiecompacte dun espace metrique) est connexe. Nous enoncerons le resultat concernant unepartie (on peut toujours supposer que cest lespace tout entier).Proposition 7.1 (crit`ere de connexite pour un compact dans un metrique). UnepartiecompacteAdunespacemetrique (E, d)estconnexesi etseulementsi, pourtout>0, pourtoutcoupledepoints(x, y)deAA, il existeunechainedepointsdeA,x0 = x, x1, . . . , xN1, xN= y,telsqued(xj, xj+1) .Preuve.(=)Cetteimplicationestvraiesanslhypoth`esedecompacite. Onutiliseunraison-nementtr`esclassiquelorsquintervientlaconnexite. CestunpeuleraisonnementquenousavonsutilisepourprouverlelemmedeBorel-Lebesguedanslasectionprecedente.On va exhiber un sous ensemble qui sera ouvert et ferme, non vide, donc sera A tout entier.Ici, si > 0 est xe eta A, on noteE(a) lensemble des points deA que lon peut relier`aa par une chaine de pointsajavecd(aj, aj+1) . Commea E(a), E(a) ,= . Il est25immediatqueE(a)estouvertcarsi x E(a),toutpointdeAdansBd(a, )estencoredans E(a). DememeE(a)estferme, carsi x E(a) A, Bd(x, )contientunpointy E(a); le pointx se trouve relie `aa viay, et doncx E(a). DoncE(a) = A.(=)Cestlademonstrationfaitedanslexemple7.2. Supposonsquelonpuisserelierdeuxpointsquelconquesde Aparunechainedepasarbitrairementpetit. SupposonsA = O1O2, ou O1,O2 sont deux ouverts de A disjoints; ces ouverts sont aussi des fermesdeA, donc des compacts. On a, pour un certain> 0,x O1, y O2, d(x, y) .Ceci contredit le fait que lon puisse relier deux points quelconques deA par une chainede pas strictement inferieur `a. .Exemple dapplication du crit`ere 7.1. Il est des sous ensembles fermes bornes de Rnpour lesquels la connexite nest pas evidente et o` u le crit`ere donne ci dessus sav`ere utile:par exemple := (x, y) R2;y = sin(1/x), x ]0, 1] (0, y), y [1, +1]est un sous ensemble borne deR2dont on peut verier en exercice quil est ferme;cestdoncuncompact (proposition5.2). Onpeut appliquer lecrit`ere. Onvoit quedeuxpointsdepeuventetrereliesparunechainedepasinferieur`a. Cestfacilesi lesdeuxpointssontdelaforme(x1, y), (x2, y)avecx1>0,x2>0(il sutdesubdiviserlintervalle [x1, x2] et dutiliser le fait que dapr`es linegalite des accroissements nis, pourtout , [x1, x2], [f() f()[ [[ max[x1,x2][ cos(1/x)/x2[). Si lun des points estdelaforme(0, y), y [1, 1],oncommence`alapprocherparunpointdugraphedelafonctionx sin(1/x) (ce qui est possible vu que, comme dans lexemple de la remarque2.2, lensemble des valeurs dadherence de la suite (sin(2n)), / Q, est [1, 1]), ensuiteon se retrouve dans la premi`ere situation.Remarque 7.1.Lorsquune partie A dun espace metrique (E, d) est telle que deux pointsdeA puissent etre relies par une chaine de points de pas arbitrairement petit, on dit queA est bien enchainee. Ainsi, on peut phraser notre crit`ere en disant quun compact dansun metrique est connexe si et seulement si il est bien enchaine.Donnons maintenant quelques recettes pour construiredenouveauxconnexes `apartirdautres.Proposition7.2. Dansunespacetopologique(E, O), touteuniondunefamilleCidepartiesconnexesdontlintersectionestnonvideestconnexe.Remarque7.2. La clause sur lintersection est essentielle (lunion de deux ouverts dis-joints et non vides nest pas connexe!).Preuvedelaproposition7.2. Supposons Ci=O1 O2. Pourtout i, lestracessurCideO1etO2sontdeuxouvertsrelatifsdisjointspartitionnantCi. CommeCiestconnexe, lun deux est vide. AlorsCiest inclus, soit dansO1, soit dansO2. Mais lesCiont un point commun, par exemple dansO1. Mais alors cestO1qui contient tous lesCiet lon aO2 = . 26Exemple 7.3.Tout intervalle de R(ouvert, ferme, semi-ouvert) est une union dintervallesdu type [, ], connexes dapr`es lexemple 7.2. Donc tout intervalle de R (ouvert, ferme,semi-ouvert) est connexe. Reciproquement, si est un connexe de R et si, sont deuxpointsdistinctsde,[, ]estinclusdans(sinon,onpourraittrouver ], [etpartitionner avec les deux ouverts ] , ], ], +[). Les connexes deR sontexactement les intervalles ouverts, fermes, semi-ouverts.Proposition 7.3. SiAestunepartieconnexedunespacetopologique,toutensembleBtelqueA B Aestconnexe.Preuve.Soient deux ouverts O1 et O2 de E dont les traces sur B partitionnent B en deuxouverts relatifs disjoints. Les traces surA de O1 etO2 partitionnent aussiA (carA B);commeA est connexe, on aA O1 = (par exemple). Mais on a aussi, par denition deladherence (voir la proposition 2.1)O1 A = , doncO1 B = . Proposition 7.4. Soit (E1, O1) et (E2, O2) deux espaces topologiques, A une partie con-nexedeE1etf: E1 E2uneapplicationcontinuesurA;alorsf(A)estunconnexedeE2.Preuve. Soient O1 et O2 deux ouverts de E2 dont les traces sur f(A) partitionnent f(A).Commefest continue surA, f1(O1) A etf1(O2) A sont deux ouverts deA. Cesdeux ouverts partitionnentA. Donc lun est vide (carA est connexe). On a par exemplef1(O1) A = , do` uO1 f(A) = . Exemple7.4. Toute application continue dun espace topologique `a valeurs dans Q (ouplus generalement dans un espace topologique dont les parties connexes ne peuvent contenirplus dun element) est constante sur toute partie connexe. Par exemple, on prend un lacetfermedeR2parametrepar: [0, 1] R2, (0) =(1),aveccontinue. Onconsid`erelecomplementairedelimagedeetlapplicationf dedansZqui `aunpointde associe le nombre de tours que le lacet fait autour du point, chaque tour etant comptepositivement sil se fait dans le sens trigonometrique, negativement sinon. Limage de lacetrealise une partition de en ouverts connexes 1, 2, . . . (on fera un dessin sur un exemple)sur lesquels f est constante. On peut decrire plus analytiquement (et plus rigoureusement!)cetteapplication. Si zestlaxedunpointde,consideronslapplicationzcontinuede [0, 1] dans le cercle unitez : t (t) z[(t) z[ ;vialhomeomorphismeentreR/Zetlecercleuniteduplancomplexe(exemple3.2ou4.5), on peut la considerer comme une application continue de [0, 1] dans R/Z. On peutmontrer (exercice) que cette application serel`eve en une application continue de [0, 1]dansR, telleque(t) z= [(t) z[ exp(2i(t)). Onvoitfacilementquesi estdeclasseC1, on peut faire en sorte quil en soit de meme pour. On voit aussi que le calculsuivant dintegrale curviligne donne12i_dz =_10t(t)dt = (1) (0) .27On veriera que ce nombre est un entier et represente le nombre de tours que notre lacetfait autour dez. On veriera alors en exercice que la fonctionz 12i_d zestcontinuedansetconstantedanschaqueportionduplandelimiteepar (t);t [0, 1]. Cest une application de la proposition 7.4.Exemple7.5. Si festunefonctioncontinuedunespacetopologiqueconnexedansR,et si y1ety2sont des points de limagef(E),tout les points de [y1, y2] sont dansf(E):cest le theor`emedesvaleursintermediaires. Cela vient simplement du fait quef(E) estun connexe de R, donc un intervalle (Exemple 7.3).Enn, un produit despaces connexes est connexe.Proposition7.6. Soient (Ei, Oi),i I,unecollectiondespacestopologiquesconnexes.LeproduitdesEi(aveclatopologieproduit)estconnexe.Preuve.Leresultatestfacilepourdeuxespaces; faisonsledaborddanscecas. Il sutderemarquerquepourquunespacesoitconnexe, il fautetil sutquetantdonnesdeuxpoints quelconques de lespace, ils sont dans une meme partie connexe (`a faire en exercice).Mais si (x1, x2) et (y1, y2) sont dans E1E2, x1E2 (homeomorphe `a E2) et E1x2(homeomorphe `aE1) sont deux connexes dintersection non vide;leur union est connexe(proposition 7.4) et contient les deux points. Cest ni dans ce cas.Onxeunpoint(xi)iIdansleproduit(ceci estpossiblesi leproduitestnonvide,cequelonsupposera). Etantdonneunsousensembleni JdeI, onnoteCJlesousensemblede iEicorrespondantauproduitdesYi, o` uYi=Eipouri J, Yi= xipouri / J. LensembleCJest limage de jJ Ejpar une application dont on verierafacilement quelle est continue, `a savoir:(j)jJ (yi)iI,_yi = i,i Jyi = xi,i/ JComme consequence du premier cas (produits nis) et de la proposition 7.4, CJ est connexe.Dautrepart, si J1etJ2sontdeuxsousensemblesnisCJ1J2 CJ1 CJ2. Onpeutmontrer (en adaptant la preuve de la proposition 7.2) que lunion des CJ est encore connexe(Jdecrivant tous les sous ensembles nis de I). Mais un pave quelconque (non vide) Q deEsecrit, pour un certain sous ensemble niJQdeI,

iIUio` u_Ui = Ei,i/ JUiouvert deEi,i JQCepave(puisquilestnonvide)contientdoncunpointdeCJQ. Onvoitdoncquetout ouvert de iEirencontre lunion desCJ,J I, #J< . On a donc

iIEi =_JI#J 0).En fait, si lon reechit `a lexemple 7.9, on voit que si lon part dun point (0, y1), on neverra aucun chemin `a suivre pour acceder `a un point (x, y2) avecx> 0 (en fait tous leschemins possibles devraient suivre le graphe de x sin(1/x) et aucun naboutit `a (0, y1)).Cela nous conduit `a une derni`ere notion, celle de connexite par arc.Denition7.3. Soit (E, O)unespacetopologique. OnditqueEestconnexepararcsietseulementsi etantdonnes deuxpoints x, ydeE,ilexisteuneapplicationcontinuefde[0, 1]dansEtellequef(0) = x,f(1) = y.Exemple 7.10.Un ouvert connexe (on dit aussi un domaine) de Rnest connexe par arcs:mieux, on peut relier deux points du domaine par une ligne polygonale `a cotes parall`elesauxaxesdecoordonnees. EnrevancheunconnexedeRnnonouvertpeutnepasetreconnexe par arcs (voir lexemple 7.9).30.31CHAPITRE2ESPACESMETRIQUESCOMPLETSETRUDIMENTSDANALYSEFONCTIONNELLE8. SuitesdeCauchydansunespacemetrique. Espacescomplets.Denition8.1. SoitdunedistancesurunespaceE; nousdironsquunesuite (xn)nNdelementsdeErelativement`aladistancedestunesuitedeCauchysi etseulementsipourtout > 0,ilexisteN Nn, m N = d(xn, xm) .Exemple8.1. Toutesuiteconvergentedans unespacemetrique(E, d) est unesuitedeCauchypourladistanced; enrevanche, lareciproqueestfausse, commelemontrelexemple de la suite (1/n)nNdans ]0, 1[.En revanche, cette reciproque est vraie dans R (`a fortiori aussi dans Rp).Proposition8.1. ToutesuitedeCauchydansRp(relativement `alunedes distancesdeuc, d1, d2estconvergentepourlatopologieusuellede Rp.Preuve. Onpeutsecontenterdeladonnerdanslecas p=1; eneet, si unesuite(X(n))nN est de Cauchy dans Rp, chaque suite de coordonnees (X(n)k)nN est de Cauchydans R. On consid`ere donc une suite de Cauchy (xn)nNde nombres reels. On voit quelensemble xn,n N est un ensemble borne: en eet, pourn, m assez grands (n, m N(1)), [xnxm[ 1; donc, pour toutn N(1), [xnxN(1)[ 1, soit [xn[ 1 +[xN(1)[.Ainsi, on a pour toutn[xn[ max0j 0 etp N(/3). Dans ]p /3], il y a un elementxk, avec k p de Ap; dans [p, p+/3[, il y a un element xk , kt p de Ap (ceci en vertude la denition des bornes inferieures et superieures). Mais alors[pp[ [pxk[ +[xk xk [ +[pxk [ /3 +/3 +/3 =.Lasuitecroissantemajoree(p)pNadmet unelimite l1, commelasuitedecroissanteminoree (p)pN en admet une,l2. De plus, au vu de ce quon a montre plus hautl1 = l2et la suite (xn)nNconverge vers cette valeur commune. Remarque8.1. On aurait aussi pu raisonner avec lesAp,suite decroissante de fermes,doncdecompacts, ducompact A0. Lintersectiondetouscesensemblesestnonvide(on utilise la propriete (4.2) des compacts) et reduit `a un singleton (comme ci dessus, onmontre que le diam`etre desAp tend vers 0 lorsquep tend vers linni). On applique alorsla proposition 4.6 pour conclure que la suite (xn)nNest convergente.32Denition8.2. Unespacemetrique (E, d)estditcompletsietseulementsitoutesuitedeCauchy(relativement`aladistanced)estconvergente. UnepartieAdelespace (E, d)estditecompl`etesi toutesuitedeCauchy(pourladistanced)depointsdeAconvergedansA(aveclatopologierestreinte`aAdelatopologie Od).Remarque8.2. Nousavonsbiennotelespacemetrique(E, d)etnon(E, Od), carcequi estimportantestlametrique, nonlatopologie. Lememeespacepeut etrecompletpour une metrique, non complet pour une autre, memesicesdeuxmetriquesdenissentlamemetopologie. Onlavu(Proposition8.1), Restcompletpourladistancevaleurabsolue usuelle; mais sur R, on a aussi la distancedt(x, y) =2[Arctg(x) Arctg(y)[qui denit aussi la topologie de R (exemple 3.6). Dailleurs, la fonctiont 2/ Arctg(t)realise lhomeomorphisme entre R et ] 1, 1[. La suite (xn)nN o` u xn = cotg(1/n) est unesuite de Cauchy pour dt, non convergente (car la suite (11/n)nNne converge pas dans] 1, 1[). La notion de completude est une notion metrique, non topologique (au contrairepar exemple des notions de compacite ou de connexite etudiees prealablement).La preuve de la completude de R sugg`ere une propriete importante des espaces complets,dite propriete de Cantor.Proposition 8.2 (Cantor). Soit (E, d) un espace complet et (Fn)nN une suite de fermesnonvidesdeE,decroissanteausensdelinclusion. Onsupposequelediam`etre(Fn) := sup d(x, y);x, y Fntendvers 0lorsquentendverslinni. Alors

n=0Fn ,= . (8.1)Preuve. Onprend, pourchaquen, un elementxn Fn. Soit> 0etN Ntelquen Nimplique(Fn) ; si n, m N, xnetxmsontdansFN, doncd(xn, xm) .La suite (xn)nNest donc de Cauchy relativement `a la distanced, donc convergente (car(E, d)estsupposecomplet). Lalimitedelasuite(xn)nNestdanstouslesFncarcesensembles sont fermes. Remarques8.3. En fait, sous les hypoth`eses de la proposition, lintersection desFnsereduit `a un et un seul element.Remarque 8.4.La proposition 8.2 reste valable (sans la condition sur les diam`etres) dansun espace metrique compact.La remarque 8.4 sugg`ere de mani`ere naturelle la proposition suivante:33Proposition8.3. Toutespacemetriquecompactestcompletrelativement`animportequelledistancedenissantlatopologiedelespace.Preuve.On se donne un espace compact metrique (E, Od), o` u d est une distance arbitrairedenissantlatopologie. Soit(xn)nNunesuitedeCauchyde Erelativement`acettedistanced. On introduit les ensemblesAp := xn;n pet leurs adherencesAp, p 0. Ces adherences constituent une suite de fermes emboites.Montrons que le diam`etre deAptend vers 0 lorsquep tend vers linni: soit> 0 etNtel que n, m Nimplique d(xn, xm) /3; soient x, y AN; on peut trouver un xn, avecn N, dansBd(x, /3) etxm, avecm N, dansBd(y, /3); on ad(x, y) d(x, xn) +d(xn, xm) +d(xm, y) /3 +/3 +/3 ,ce qui montre que le diam`etre des Ap, pour p N, est majore par . La suite des diam`etresdes Ap tend donc vers 0 quand p tend vers linni. Dapr`es la compacite, il resulte de (4.2)que

p=0Ap ,= .Dapr`es la condition sur la suite des diam`etres, cette intersection est en fait un singleton.On applique la proposition 4.6 pour conclure que la suite (xn)nNconverge dansE. Remarque 8.5. Une remarque liee `a cela (et `a la preuve ci dessus) est la suivante: si unesuite est de Cauchy dans un espace (E, d), la suite des diam`etres des fermesAp, o` uAp := xn,n p, p Ntend vers 0; si par hasard, la suite admet une sous suite convergente, alors toute la suite(xn)nNconverge vers la limite de cette sous suite. ToutesuitedeCauchydontonpeutextraireunesoussuiteconvergenteestconvergente.Onpeutsedemandercequimanque`aunespacemetriquecomplet(resp. `aunepartiecompl`ete dun espace metrique) pour etre compact (resp. pour etre une partie compacte).Nousintroduisonslanotionsuivante, engeneralassezfacile`atesterconcr`etement(plusfacilement en tout cas que ne le sont les crit`eres usuels de compacite), celle de precompacite.Denition8.3. Unespacemetrique(E, d)(resp. unepartieAdunespacemetrique)estditprecompact(resp. precompacte)si etseulementsi, pourtout>0, il existeunrecouvrement de E(resp. de A) par un nombre ni de boules ouvertes de rayon au plus .Nous avons lequivalence importante suivante.Proposition8.4(LemmedeHausdor). Soit(E, d)unespacemetrique. Lespace(E, Od)estcompactsietseulementsi (E, d)estprecompactetcomplet.Preuve. (=) On utilise la proposition 8.3 et le lemme 5.1.34 (=) On suppose que (E, d) est complet et precompact. Pour montrer que (E, Od) estunespacecompact, onvautiliserlecrit`ere5.4bis. Soit(xn)nNunesuitedepointsdeE. Commelespaceestrecouvertparunnombreni deboulesouvertesderayon1(precompacitede(E, d)), il yaunesuitestrictementcroissantedindices(np)pNtelleque tous lesxnpsoient dans une bouleBd(a1, 1) (cest le principe des allumettes que londoit repartir dans un nombre ni de boites). Mais lespaceEest aussi recouvert par unnombre ni de boules ouvertes de rayon 1/2; il existe donc une suite strictement croissantedindices extraite de la suite precedente (npk)kN tels que tous les xnpk, k N, soient dansune meme boule Bd(a2, 1/2). On continue ainsi de suite en utilisant chaque fois le fait queEest union ni de boules de rayon 1/n. On consid`ere la suite (xn1, xnp2, xnpk3, . . .). Parconstruction, on voit que cette suite est une suite de Cauchy (n etant un entier strictementpositif xe, touslestermesdelasuitedindiceassezgrandsontdansunememebouleBd(an, 1/n)). Cette suite est une suite convergente, extraite de la suite (xn)nN. On peutappliquer le crit`ere 5.4 bis. Les derni`eres propositions sugg`erent un parall`ele important entre espaces complets et es-pacescompacts. Onaenparticulierleresultatsuivant,pendantdespropositions4.2et4.3.Proposition8.5. Toutepartiecompl`etedansunespacemetrique(E, d)(relativement`aladistanced)estfermee; deplus, dansunespacecomplet(E, d), il yaidentiteentrelensembledespartiesfermeesetlensembledespartiescompl`etes.Preuve. Soit (E, d) un espace metrique et A une partie compl`ete de E (relativement `a la distanced). On utilise la proposition 2.2 pour montrer que A est fermee: soit x A et (xn)nN unesuite de points deA convergent versx (dansE);dapr`es lexemple 8.1, la suite (xn)nNest de Cauchy dansA et,commeA est compl`et relativement `a la distanced,cette suiteconverge dansA vers un elementy deA; par unicite de la limite, on ax = y A.Soit Aunepartiefermeedansunespacecomplet(E, d). Soit(xn)nNunesuitedeCauchydeA(relativement`aladistanced). Onpeutconsiderercettesuitecommeunesuite de Cauchy de (E, d), convergente dansEpuisque (E, d) est complet. CommeA estferme, lalimitedelasuiteestdansAetlasuite(xn)nNconvergedoncdansA. Donc(A, d) est un espace complet. Enn, dans un espace complet, on a laProposition8.6. Soit (E, d)unespacecomplet. UnepartieAdeEestprecompactesietseulementsiAestunepartiecompacte(onditaussiAestrelativementcompacte).Preuve.Si Aestprecompacte, onpeutrecouvrirAparunnombreni deboulesouvertesderayon/2 ( etant arbitraire).A N

j=1Bd(aj, /2) .35Mais alorsA N

j=1Bd(aj, /2) N

j=1Bd(aj, ) .Donc A est aussi precompact; comme A est un ferme dun complet,A est complet dapr`esla proposition 8.5. Dapr`es la proposition 8.4,A est compact. SiA est compact, on peut le recouvrir par un nombre ni de boules ouvertes de rayon(avec arbitraire) car une partie compacte est precompacte (proposition 8.4). Lunion deces boules ouvertes recouvre aussiA. DoncA est aussi une partie precompacte. Comme applicationimportante de lapropriete des fermes emboites dans uncomplet(proposition 8.2), nous avons laProposition 8.7 (theor`eme de Baire). Dans un espace metrique complet (E, d), touteuniondenombrabledefermesdinterieurvideestencoredinterieurvide; ouencore, parcontraposition,touteintersectiondenombrabledouvertsdensesestencoredense.Preuve. Il est clair que les deuxassertions sont equivalentes car le complementairedune intersection est lintersection des complementaires et le complementaire dun fermedinterieur vide est, dapr`es lexercice suivant la proposition 2.1, un ouvert dense. On vadonc montrer lassertion concernant les suites de fermes.Onsedonnedoncunesuitedefermes(Fn)nNde(E, d), tousdinterieurvide. Onvamontrer que le complementaire de

Fn est dense. Soit B0 une boule ouverte de lespace E(relativement `a la distanced). Cette bouleB0 rencontre le complementaire deF1 puisquececomplementaireestdense. LabouleB0contientunpointx1deE F1, etdoncuneboule fermeeB1 = Bd(x1, 1), telle queB1 B0 (E F1) ;onpeutdailleursfortbiensupposer 1 1. OnpeutrecommenceravecB1, qui doitcontenir etre voisinage dun pointx2de louvertE F2. On peut donc trouver une boulefermeeB2 = Bd(x2, 2), avecB2 B1 (E (F1 F2)) ;onpeutdailleurssupposer 2 1/2. Oncontinueainsi desuiteetlonconstruitunesuite de fermes emboitesBn, de diam`etre tendant vers 0 (diamBn = 1/n), tels queBn (

nk=1Fk) = . Il existe donc, par la proposition 8.2, un point dans lintersection de touslesBk,k 1. Ce point est dans le complementaire de lunion desFn. Donc, dansB0, onpeuttrouverunpointducomplementairedeluniondetouslesFn. Cecomplementaireest donc dense. On classe en general les espaces metriques non vides en deux categories, dites categories deBaire:dans la premi`ere categorie, sont ceux que lon peut ecrire comme union denombrabledensembles XntelsqueXnsoitdinterieurvide; parexempleQestdanslapremi`erecategorie. Danslasecondecategorie,onmettouslesautresespacesmetriques. Dapr`eslaproposition8.7, toutespacemetriquecompletrelativement`aunedistancedenissant36satopologieest`amettredanslasecondecategorie: eneet, si E= nXn, onaaussiE= nXn, ce qui fait, si (E, d) est complet et si lesXnsont tous dinterieur vide, queElui meme est dinterieur vide. Mais alorsEserait vide.Exemple 8.2 dapplication de Baire. Soitfune fonction positive ou nulle, integrableau sens de Riemann sur [a, b], telle que_baf(t)dt = 0 .Les ensembles f 1/n, n N, sont tous dinterieur vide (car sinon, on pourrait trouverune somme de Darboux inferieure strictement positive et minorant lintegrale de f). On endeduit donc que lensemble o` uf> 0 est dinterieur vide (resultat bien s ur facile `a etablirlorsquefest supposer continue).Onrencontrera ulterieurement beaucoupdautres applications dutheor`eme de Baire,lorsquenousaurons`anotredispositionlesespacesvectorielstopologiquesetlesnormesou semi-normes.Terminons cette section par un catalogue dexemples despaces complets. Comme on la vu,R, Rp, C, Cp,(avecnimportelaquelledesdistancesdeuc, d1, d2)sontcomplets(propo-sition8.1). Dememe, dapr`es laproposition8.3, tout metriquecompact est completrelativement`animportequelledistancedenissantsatopologie. Nousallonsintroduireunemani`ereessentielledeconstruiredesespacescomplets`apartirdautres, ceavecdesexemples despaces de fonctions. Ceci va nous permettre de poser ici les premiers jalonsdu cours danalyse fonctionnelle.ConsideronsunensembleE(`apriori sans topologie, sans metrique, bref, sansrien...).Considerons un espace topologique metrisable F, la metrique etant denie par une distanced. Il y a au moins deux moyens dequiper dune topologie lensemble des applications deEdansF. On sait, on la vu (exemple 3.5), denir une topologie sur lensemble T(E, F) des appli-cations deE dansF. Il sut de considerer T(E, F) comme un espace produit (FE) et delequiper de la topologie produit. Cette topologie sur T(E, F) est appelee topologie de laconvergence simple. Pour faire cela, il nous sut davoir une topologie sur lespace darriveeFet on ne prote en aucune mani`ere du fait que cet espace soit metrisable. Dailleurs, leprobl`emeaveclatopologiedelaconvergencesimpleestquelonnepeutpasengeneralla denir par une metrique [on sen convaincra en regardant en detail lexercice 107, page117-118, dans le cours danalyse de G. Choquet, tome 2, Topologie, Masson 1973].Onpeutaussi proterdecequelonaunedistance(`asavoir d)pourconstruireenfonction delle une topologie sur T(E, F). En fait, il sut de construire une distance surT(E, F), ce que lon fait en posantd(f, g) := supxE[inf(1, d(f(x), g(x)))]. (8.2)Il sagit l`a, comme on le verie immediatement, dune distance sur lensemble T(E, F). Latopologie sur T(E, F) denie par cette distance est la topologie de la convergence uniforme37sur T(E, F) attachee `a la distanced. Il faut prendre garde quil sagit ici cette fois (do` uson introduction dans ce chapitre) dune notion metrique et non dune notion topologique.Si lon prend une autre distance dt denissant la meme topologie que d sur F, la topologiedelaconvergenceuniformeattachee`adtneconcidepas engeneral aveclatopologiedelaconvergenceuniformeassociee`ad. Lespace T(E, F), equipedelatopologiedelaconvergenceuniformeassociee`ad, estunespacemetrique, ladistance etantdeniepar(8.2). Il est important de savoir caracteriser les suites convergentes (pour cette topologie)dans T(E, F), ce que lon fait grace `a la proposition evidente suivante:Proposition8.8. Unesuitedefonctions(fn)nNdelementsde T(E, F)convergeversune fonction f T(E, F) pour la topologie de la convergence uniforme relative `a la distanced(onditencoreconvergeuniformementversf lorsqueladistancedestimplicite)si etseulementsi > 0, N N, n N= supxEd(fn(x), f(x)) . (8.3)Remarque 8.6. Bien que cela soit beaucoup moins interessant puisque la topologie de laconvergence simple nest en general pas une topologie metrisable (ce qui fait que le recours`a des suites nest plus susant pour caracteriser ladherence, la continuite..., de mani`eresequentielle), on peut aussi, toujours lorsque la topologie de Fest denie par une distanced, ecrire en parall`ele `a (8.3) ce que signie le fait quune suite suite de fonctions (fn)nNdelementsde T(E, F)convergeversunefonctionf T(E, F)pourlatopologiedelaconvergence simple (on dit aussi converge simplement versf): > 0, x E , N(x) N, n N(x) =d(fn(x), f(x)) . (8.4)Ici par contre, remplacer d par une distance denissant la meme topologie sur Fne modiepas la topologie de la converegence simple; dans (8.4), on peut remplacerd par nimportequelledistancedtdenissantaussi latopologiedeF. Onvoitentoutcasladierencecapitale entre (8.3) et (8.4), portant sur la place du quanticateur x E.Exemples8.3. La suite (fn)nNde fonctions de [0, 1] dans lui meme donnee parfn(t) = nt , 0 t 1/nfn(t) = nt + 2 , 1/n t 2/nfn(t) = 0 , 2/n t 1converge simplement, mais nonuniformement (ladistance sur [0, 1] etant ladistanceusuelle). On multipliera les exemples en exercice!Nous pouvons enrichir notre catalogue despaces complets par laProposition8.9. Soit Eunensemble et (F, d) unespace metrique complet. Alors,lespace T(E, F), equipedelametriquecorrespondant`alatopologiedelaconvergenceuniformerelative`ad(soitlametriquedeniepar(8.2)),estaussiunespacecomplet.Preuve. Onconsid`ereunesuitedeCauchy(fn)nNdelementsde T(E, F) (pour ladistance (8.2)). Ceci signie, comme on le voit immediatement, > 0, N N, n, p N, x E, d(fn(x), fp(x)) . (8.5)38Ceci montre que pour toutx xe dansE, la suite (fn(x))nNest de Cauchy dans (F, d);cet espace etant complet, elle est convergente dansFvers un elementf(x). En bloquantn Netx Edans(8.5),maisenfaisanttendrepverslinni,onobtient,grace`alacontinuite de la distance deF Fdans R+, > 0, N N, n N, x E, d(fn(x), f(x)) .Maisceci estexactement(8.3). Lasuite(fn)nNconvergedoncvers f ausensdelaconvergence uniforme. Un autre espace de fonctions joue un role si lon a une topologie aussi sur lespace sourceE: lespace ((E, F) des applications continues de (E, O) dans (F, Od). On a laProposition 8.10. Soit (E, O) un espace topologique et (F, d) un espace metrique. Alors((E, F), considere comme sous espace de T(E, F) avec latopologie de laconvergenceuniformerelative`aladistanced,estunfermede T(E, F).Preuve. Comme T(E, F), equipe de la topologie de la convergence uniforme associee `aladistanced, estunespacemetrisable, onpeututiliserlaproposition2.2. Consideronsun elementfdans ladherence de ((E, F) et une suite de fonctions continues (fn)nNde(E, O) dans (F, d) convergent vers fdans T(E, F) au sens de la convergence uniforme; ondoitmontrerquefestcontinueenunpointquelconquex0 E(alorsfserabiendans((E, F)). Soit > 0. ChoisissonsNassez grand (selon (8.3)), pour que, pour toutx E,on aitd(f(x), fN(x)) /3. On ecritd(f(x), f(x0)) d(f(x), fN(x)) +d(fN(x), fN(x0)) +d(fN(x0), f(x)) 2/3+d(fN(x), fN(x0)) . (8.6)Mais, commefNest continue enx0, il existe un voisinageVdex0tel quex V =d(fN(x), fN(x0)) /3.En reportant dans (8.6), on voit quex V = d(f(x), f(x0)) ,ce qui montre la continuite defenx0. Corollaire8.10.1. Soit (E, O)unespacetopologiqueet (F, d)unespacemetriquecom-plet. Lensemble ((E, F) des applications continues de(E, O) dans(F, d), muni deladistance (8.2) correspondant `a la topologie de la convergence uniforme associee `a d, est unespacemetriquecomplet.Preuve.Dapr`es les propositions 8.9 et 8.10, cest un ferme dun complet, donc un completdapr`es la proposition 8.5. Il y a un autre corollaire important de la proposition 8.10.39Corollaire8.10.2. Etantdonneunespacemetrique(E, d), il existeunespacecomplet(E, d) et uneisometrieT deEdans E(i.e, pour x, y Eavecd(x, y) 1, d(x, y)=d(T(x), T(y))) telles quelimageT(E) soit densedans E. Deplus, si lonadeuxtelstriplets (E1, d1, T1) et (E2, d2, T2), il existe une isometrie 12de (E1, d1) dans (E1, d2) telleque12(E1) = E2.Preuve. On sinspire de lidee qui nous a guide lorsque nous avons introduit (dans le casdes espaces metriques) le compactie de StoneCech (theor`eme 6.1). On consid`ere lespace((E, [0, [), avec la distanced denie pard(f, g) = supxEmin(1, [f(x) g(x)[) .Cest un espace completF(proposition 8.9) car [0, [ est un ferme de R, donc un espacecomplet pour la valeur absolue usuelle). Lespace Fest en fait muni de ce que lon appelleun ecart, cest `a dire une application deFFdans [0, +] satisfaisant les clauses de ladenition1.2dunedistance(cestdonclamemechosequunedistance, mis`apartquelon tol`ere que la distance de deux elements puisse etre innie). On peut parler de suitedeCauchyrelativement`aunecart; unespaceequipedunecartseraditcompletsi etseulement si toute suite de Cauchy pour cet ecart est convergente. Muni de lecartd(f, g) = supxE[f(x) g(x)[ ,Fest un espace complet (les suites de Cauchy pour lecart d sont aussi les suites de Cauchypour la distanced). Du point de vue metrique, il ny a pas de dierence entre les structurescorrespondant `a la distanced ou `a lecart d. On consid`era par la suite lespaceFmuni delecart d.On consid`ere lapplicationT: x dxo` udx(y) :=d(x, y). Ona,si d(T(x), T(y)) =d(x, y); cecidecouledeladoubleinegalitetriangulaire[d(x, z) d(y, z)[ d(x, y) d(x, z) +d(y, z) .Ondenit EenprenantladherencedeT(E)dansF. Larestrictiondelecartausousespace T(E) devient une distance (simplement par densite de T(E) et par le fait que lecartest continu de E E dans [0, ]). On voit aussi par le meme argument queTrealise uneisometrie entreEet son image.Pour demontrer la partie unicite de la proposition, on prouvera tout dabord le petit lemme8.1 suivant.Lemme8.1. Soit Aunepartiepartout densedunespacemetrique(E1, d1) et f uneapplicationuniformementcontinuedeAdansunespacemetriquecomplet (E2, d2). Alorsfseprolongeenuneapplicationuniformementcontinuede (E1, d1)dans (E2, d2).Preuvedulemme8.1. Ecrivons luniforme continuite defsurA: pour tout> 0,ilexiste> 0 tel que,x, y A, d1(x, y) = d2(f(x), f(y)) .40Consideronsunpoint xdeE1etunesuiteconvergente(doncdeCauchy)vers x(ceciestrealisablecarAestpartoutdensedansE1). Lasuite(f(xn))nNestdeCauchydepart luniforme continuite de fet converge donc dans (E2, d2) (qui est un espace complet)versunelimitel. Onmontrequunetellelimitenedependpasdelasuitechoisiepourapprocher x, ce qui rend notre construction intrins`eque et nous autorise `a poser l = f(x).Lafonctionf ainsi construite est uniformement continue: soient eneet x, y E1,d1(x, y) /2et(xn)net(yn)ndeuxsuitesdepointsdeAconvergentrespectivementversxety. Pournassezgrand, d1(xn, yn) d1(xn, x) + d1(x, y) + d1(y, yn) , doncd2(f(xn), f(yn)) . Toujours pourn assez grand,d2(f(x), f(y)) d2(f(x), f(xn)) +d2(f(xn), f(yn)) +d2(f(yn), f(y)) 3 ,ce qui prouve bien luniforme continuite def. Remarque8.7. Sifest une isometrie surA, il en est de meme pour son prolongement.Si londisposededeuxtriplets (E1, d1, T1) et (E2, d2, T2) realisant les conclusions ducorollaire8.10.2, lapplicationT2 T11estuniformementcontinuede(T1(E), d1)dans(E2, d2) (cest meme une isometrie) et se prolonge donc en une isometrie12de (E1, d1)dans(E2, d2). Onfaitlamemechoseen echangeant E1et E2etlonobtientuneautreisometrieenprolongeant T1 T12enuneisometrie21de(E2, d2)dans(E1, d1). Onremarqueque21estlinversede12enremarquantquececiestvraisilonregardecesapplications comme applications entreT1(E) etT2(E), prolongees ensuite par continuite.Ceci ach`eve donc la preuve du corollaire 8.10.2. Exemple8.4. RavecladistanceusuelleestnaturellementuncompletedeQ, lorsquelon equipe Q de la valeur absolue usuelle (valeur absolue archimedienne).Exemple 8.5. On peut considerer sur Q dautres distances; les plus classiques en theoriedesnombressontlesdistances p-adiques(petantunnombrepremier). Ladistancep-adiquededeuxelementsdeQestdenie`apartirdunevaleurabsolue(cettefoisnonarchimedienne), la valeur absoluep-adiqueprmnp:=1prsim, n sont premiers avecp; six ety sont deux rationnels, la distancep-adique entrex ety estdp(x, y) := [x y[p.Le complete de Q est le corps Qp des nombres p-adiques. Ladherence de Z dans Qp (pourla metrique de Qp comme complete de Q equipe de la distancd dp) est lanneau des entiersp-adiques. Expliquons pourquoi on dispose de structures algebriques (de corps pour R ouQp), danneau sur Zp) sur ces divers completes. Si (xn)nN et (yn)nN sont des suites deCauchy dans Q, il en est de meme pour les suites (xn +yn)nN et (xnyn)nN (que ce soitpour la valeur absolue archimedienne usuelle ou pour les valeurs absoluesp-adiques). Onpeut donc denir la somme et le produit de deux elements x et y du complete de Q pour la41valeur absolue usuelle ou pour une valeur absolue p-adique: il sut de prendre deux suites(xn)nNet(yn)nNdedepointsdeQconvergentes(doncdeCauchy), respectivementversxet yetdeposer x + y=lim(xn + yn), xy=lim(xnyn), leslimitesetantprisesdanslecompletesubordonne`alavaleurabsoluequelonachoisi. OnvoitainsiqueR,Qpheritentdestructuresdecorps. Quant`aZp, ilheritenaturellementdunestructuredanneau (celle de Z qui passe au complete).Exemple8.6. On peut reprendre aussi ici lespace de nature algebrique introduit apr`esladenition1.2. SoitEunanneau, IunidealtelquelintersectiondesIk, k N,soitreduite `a 0 (par exempleE = Z,I = pZ, avecp premier, ou aussiE = A[X1, . . . , Xn], Aetant un anneau etIetant lideal maximal (X1, . . . , Xn)). On a une distance surE(ditedistanceI-adique) denie pardI(x, y) = exp(maxk N, x y Ik) .Cetespacemetrique(E, d)admetuncomplete, ditcompleteI-adique. Danslecaso` uE=A[X1, . . . , Xn]etI=(X1, . . . , Xn), cecompletejoueunroletr`esimportant: cestlanneau A[[X1,, Xn]] des series formelles en (X1, . . . , Xn), de la formex =

kNnukXk11 Xknn.Onexprimeraenexercicelecartsurcetanneauquienfaitunanneaucomplet, puisonmontrera pourquoi A[X1, . . . , Xn] est dense dans cet anneau pour la metrique denie parcet ecart.9. Theor`emesdupointxe,applications.Les theor`emes dupoint xe emmathematiques sont de diverse nature: ensembliste,topologique, metrique, geometrique. Les moins profonds sont engeneral les resultatsensemblistes, les plus subtils sont les resultats o` u interviennent des hypoth`eses de naturegeometrique. Ondonneraunexemplederesultatdutypeensembliste(proposition9.1),du type topologique (avec une metrique quand meme) avec la proposition 9.2, puis vrai-ment du type metrique avec le principal resultat de cette section et ses variantes, `a savoirletheor`emedesapproximationssuccessivesdansunespacemetriquecomplet. Avantdecommencer, mentionnons un exemple cel`ebre o` u la geometrie entre en jeu.Theor`emedeBrouwer. TouteapplicationcontinuedunebouleeuclidiennefermeedeRndansellememeposs`edeaumoinsunpointxe.Esquissedepreuvedanslecasn = 2. On simplie un peu le probl`eme en supposantqueTestuneapplicationdelaboulefermeeBderayon1dansellememecontinueetayant des derivees partielles jusqu`a lordre 2 par rapport `a x et y continues jusquau bord.SupposonsqueTnaitpasdepointxe; alors, pourtoutMdeB, T(M)Mdirigeunedemi-droitecoupantlecerclederayon1en(M). Lapplicationestuneapplicationcontinue(avecderiveespartiellescontinuesjusquaubord)deBdanslecercleuniteS1.On a = (1, 2) avec21(x, y) +22(x, y) 1 .42Dautrepart, estlidentitesurlecercleunite; onadonc, parlaformuledeGreen-Riemann vue en premier cycle_S11d2 =_S1xdy =_Bdxdy = si S1est parcouru une fois dans le sens trigonometrique, lintegrale sur S1etant lintegralecurviligne. Mais on voit facilement que si1d2 = Pdx +Qdy,la condition21(x, y) + 22(x, y) 1 donne, en derivant par rapport aux deux variables eten ecrivantquelesyst`emeobtenuen(1, 2)nepeut etreunsyst`emedeCramer(cariladmet une solution non nulle (1, 2)),Qx (x, y) Py (x, y) 0 .Si lon utilise encore Green-Riemann,_S11d2 =_S1Pdx +Qdy = 0 ,ce qui est contradictoire avec le resultat precedent. Les theor`emes du point xe de type metrique, qui vont nous interesser maintenant, jouentunroleessentielenanalyse; etantdonneeuneapplicationcontinueTdunespace(E, d)dans lui meme, on se pose le probl`eme de savoir sous quelles hypoth`eses on est assure delexistence dun point xe x, cest `a dire dun point x tel que T(x) = x. On peut aussi fairelhypoth`ese queTenvoie une partieA de lespace topologique dans elle meme et se poserlexistence dun point xe deTdans A.Exemple 9.1. Soit E lespace des fonctions continues sur [1, 1], `a valeurs reelles, equipede la topologie associee `a la distanced(x, y) := maxt[1,1][x(t) y(t)[(dite aussi topologie de la convergence uniforme sur lespace (([1, 1]) des fonctions con-tinues sur [1, 1]). Soit Fune fonction continue de [1, 1] R dans R. On peut denir, siy0 R, lapplicationT= TF,y0(dailleurs lineaire de (([1, 1]) dans lui meme) associant`a x : t x(t) element de E, cest `a dire une fonction continue sur [1, 1] `a valeurs reelles,le nouvel element deET(x) : t y0 +_t0F(s, x(s))ds (9.1)(lintegrale dans (9.1) etant lintegrale au sens de Riemann). On peut verier la continuitedeTen un pointx deE. En eet, appelonsm etMrespectivement les bornes inferieureet superieure dex sur [1, 1];la fonctionFest, dapr`es le theor`eme de Heine (theor`eme435.2), uniformement continue sur [1, 1][m 1, M + 1]; donc, si x est un element deEtel qued(x, x) 1 et si > 0,il existe> 0 tel que,si |(s, x(s)) (s, x(s))| pourtouts [1, 1], alors [F(s, x(s)) F(s, x(s))[ ; mais ceci signie en particulier que sid(x, x) min(, 1), alors_t0F(s, x(s))ds _t0F(s, x(s))ds, t [1, 1] ,cequiimpliquebienlacontinuitedeT. PouvoirarmerqueTaunpointxedanscecas, cest dire quil existe une fonction y continue de [1, 1] dans R, et telle que T(y) y,cest `a dire,t [1, 1] , y(t) = y0 +_t0F(s, y(s))ds . (9.2)Lesecondmembrede(9.2)apparaitcommeunefonctionderivablesur[1, 1] (`adroiteseulementen 1et`agaucheseulementen1), et`aderiveecontinuesur[1, 1]; ondiraque y (1([1, 1]). Si londerive(9.2), onvoitque yestunesolutiondelequationdierentielleyt = F(t, y(t)) (9.3)avec condition initialey(0) = y0. (9.4)Ainsi, lexistence dune solution pour ce probl`eme (dit aussi Probl`eme de Cauchy, consistant`apouvoirresoudrelequationdierentielle(9.3)enimposantlaconditioninitiale(9.4))equivaut `a lexistence dun point xe pour lapplicationTF,y0. Nous donnerons plus loinune condition surFpour que cette existence soit assuree.Donnons tout dabord un theor`eme de point xe elementaire dans une situation ensemblistetout `a fait generale.Proposition9.1. SoitEunensemble(`apriori sanstopologie)etTuneapplicationEdansluimeme. OnsupposequelintersectiondesTn(E),o` uTn= T T(nfois),sereduit`aunsingletonx. AlorsxestunpointxedeT.Preuve. Si xestdanstouslesTn(E)(parconventionT0(E):=E), ilest evidentqueT(x) lest aussi. Comme lintersection se reduit `a un singleton, alorsT(x) = x etx est unpoint xe. Une information de nature topologique permet de donner des enonces moins rudimentairesde theor`eme du point xe: la connexite ou la compacite peuvent entrer en jeu, avec biens ur la continuite deT. Par exemple,une application continueTde [0, 1] dans lui memeadmet un point xe, car il est impossible de partitionner [0, 1], qui est connexe, en les deuxouverts disjoints x, T(x)>x et x, T(x) 0,h [0, 1],> 0, tels que pour toutt [h, h], pour touty1, y2 [y0, y0 +],[F(t, y1) F(t, y2)[ K[y1y2[ . (9.12)Supposons aussi que[F(t, y)[ M , si t [h, h], y [y0, y0 +] . (9.13)Designons cette fois, pour ]0, h] et [0, ], parE,lespace (toujours complet pourla topologie de la convergence uniforme dapr`es le corollaire 8.10.1) des fonctions continuesde [, ] dans [y0, y0 +]. Soitx un element de cet espaceE,. On a alors, grace `a(9.13)t [, ], [TF,y0(x)[t] y0[ MPar consequent, d`es queM (9.14)47on voit queTF,y0est une application continue deE,dans lui meme. Examinons si cetteapplication peut etre strictement contractante. On a, en utilisant (9.9) et (9.12), six etysont deux elements deE,,t [, ], [TF,y0(x)[t] TF,y0(y)[t][ K max[,][x(s) y(s)[ce qui donned(TF,y0(x), TF,y0(y)) K d(x, y)sid est la distance dansE(d(x, y) := maxs[0,][x(s) y(s)[); donc, pourvu queK < 1 (9.15)lapplicationTF,y0est strictement contractante. Si lon choisit [0, h] et [0, ] avecles deux restrictions (9.14) et (9.15), alors le theor`eme du point xe sapplique et il existeune fonctiony de classe (1sur [, ], `a valeurs dans [y0, y0 +], solution sur [, ]du probl`eme de Cauchy_yt(t) = F(t, y(t)) t [, ]y(0) = y0De plus, cette solution est unique. On retrouvera cet exemple tr`es important dapplicationdu theor`eme du point xe en calcul dierentiel. Le resultat que nous venons de prouverici est le suivant:Theor`eme(deCauchypourlesequationsdierentiellesresolubleseny). Soitunouvertde R RpetFuneapplicationcontinuede dans Rp, telsquepourtoutpoint (t0, y0) , il existe un voisinage V (t0, y0) de (t0, y0) et une constante K(t0, y0) telleque(t, y1), (t, y2) V (t0, y0), |F(t, y1) F(t, y2)| K(t0, y0)|y1y2|(ondit encorequeFest localement Lipschitziennepar rapport `ay). Alors, pour toutpoint (t0, y0) de , il existe un produit de boules ]t00, t0 +0[B| |(y0, ), inclus dans,ettelquilexisteuneuniquefonctiondeclasse (1de ]t00, t0 +0[dansB| |(y0, )solutionduprobl`emedeCauchy_yt(t) = F(t, y(t)) , t ]t00, t0 +0[y(t0) = y0(ici | |designelanormeeuclidiennedans RpetB| |(y0, )labouleeuclidiennedans Rpdecentrey0etderayon).Preuve. Onpeutfairelapreuvedanslecas p=1(lecas p 1estsimilaire). Onraisonnecommeprecedemment ensupposant que t0=0et quelevoisinage V (t0, y0)contient [h, h] [y0, y0 +]. Revenons`anotrecontextegeneral. Souvent, onappliqueletheor`eme9.1`aunefamilledapplications, toutes strictement contractantes, dependant continuement dun param`etre. On a alors le resultat attendu, `a savoir la dependance continue en fonction du param`etrede lunique point xe, `a condition toutefois que lekde la contraction stricte ne dependepas de.48Proposition 9.3. Soit (, L) un espace topologique et (E, d) un espace metrique complet.SoitFuneapplicationde EdansE,tellequilexistek ]0, 1[,avec , x, y E, d(F(, x), F(, y)) kd(x, y) .Onsupposeque,pourtoutxdeE,lapplication F(, x)estcontinuede (, L)dans(E, d). Alors,sixdesigneluniquepointxedansEdex F(, x),lafonction xestcontinuede (, L)dans (E, d).Preuve. Fixons0 . On ad(x, x0) = d(F(, x), F(0, x0)) d(F(, x), F(, x0)) +d(F(, x0), F(0, x0)) kd(x, x0) +d(F(, x0), F(0, x0)),do` ud(x, x0) d(F(, x0), F(0, x0))1 k. (9.16)On utilise la continuite de F(, x0)pour deduire que le second membre de (9.16) est inferieur `a si est dans un voisinageconvenable de0. 10. Equicontinuiteettheor`emedAscoli.Dans cette section, on se donne deux espaces, lun topologique, (E, O), le second metrique,(F, d). On supposera de plus queEsecrit sous la formeE =_k=0On, (10.1)o` u les ensemblesOn sont des ouverts relativement compacts emboites (Op Oqsip q).Par exemple, tout ouvert de Rnsecrit de cette mani`ere puisque les unions nies de boulessont des sous ensembles relativement compacts de Rn. Nous allons, sous ces hypoth`eses,denir une nouvelle topologie sur lespace des applications continues de E dans F, associeeaussi `a une metrique, dite topologie de la convergence uniforme sur tout compact.Denition10.1. Si Esecritsouslaforme(10.1), ondenitunedistancesur ((E, F)pard(f, g) :=

n=012n_maxxOnd(f(x), g(x))1 + maxxOnd(f(x), g(x))_. (10.2)49On appelle topologie de la convergence uniforme sur tout compact (associee `a d) la topolo-giecorrespondant`acettemetrique.Remarque 10.1. Cette denition est bien licite, car, etant donne le compact On, et deuxelementsf, g de ((E, F), la fonctionx On d(f(x), g(x))est continue, bornee et atteint son maximum (corollaire 5.2.1). Les quantitesmaxxOn(d(f(x), g(x)), n N,sont donc toutes nies. Enn, la serie numerique (10.2) converge car son terme general estmajore par 1/2n.Remarque 10.2. Etant donne un compact K de E, on peut extraire du recouvrement deKpar lesOn un sous recouvrement ni; donc, puisque lesOn sont emboites,Kest inclusdans lun deux On0. Si une suite (fn)nN delemen