R E S U M E C H A P I T R E 1 8 E S P A C E S V E C T O R I E L S E N

D I M E N S I O N F I N I E

18.1DIMENSION

Th 18.1 Soit ( , ,..., )! ! !u u up1 2 une famille libre de E et !u ∈ E

Alors !u ∈ Vect ( ( , ,..., )! ! !u u up1 2 ) ssi ( , ,..., , )

! ! ! !u u u up1 2 est liée.

Par contraposition, ( , ,..., , )! ! ! !u u u up1 2 est libre ssi !u ∉ Vect ( ( , ,..., )

! ! !u u up1 2 )

Th 18.2 Si (p+1) vecteurs

121,,...,,

+ppuuuu!!!! sont combinaisons linéaires de p vecteurs

peee!!!

,...,,21

alors les (p+1) vecteurs

121,,...,,

+ppuuuu!!!! forment une famille liée

D 18.1 On dit qu'un K-e.v. E ≠ { o! }est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie Remarque : Si E = { o! }, on pose par définition dim(E) = 0

Th 18.3 Soit E un K.e.v. de dimension finie (E ≠ {

!o }) et G une famille génératrice finie de E.

On peut extraire de G une base de E (∃ B t.q. "B ⊂ G " et B base de E )

Th 18.4 Soit E un K-e.v. de dimension finie tel que E ≠ {

!o }.Toutes les base de E ont le même cardinal

D 18.2 Soit E un K-e.v. de dimension finie tel que E ≠ {

!o }.

Le cardinal commun de toutes les bases de E est appelé dimension de E.

P 18.5 Soit E un K-e.v. de dimension finie tel que E ≠ {

!o } et L une famille libre de E..

On peut compléter L pour obtenir une base de E ((∃ B t.q. "L ⊂ B " et B base de E ) Conséquence des théorèmes 18.3 et 18.5 : Soit E un K-e.v. de dimension finie n. G génératrice de E ⇒ card(G) ≥ n et L libre ⇒ card(L) ≤ n Th 18.6 Théorème de caractérisation des bases : Soit E un K-e.v. de dimension finie n. Pour toute famille B de E les trois propositions suivantes sont équivalentes

i) B est une base ii) B est libre et card(B) = n le plus utilisé : ii) ⇒ i) iii) B est génératrice et card(B) = n

Th 18.7 Théorème de la base incomplète : Soit E un K-e.v. de dimension n et F = ( , ,..., )

! ! !u u up1 2 une famille libre de vecteurs de E

a) Si p = n , F est une base de E. b) Si p < n , on peut compléter cette famille avec (n−p) vecteurs de E pour obtenir une base de E.

18.2 SOUS-ESPACES VECTORIELS EN DIMENSION FINIE Th 18.8 Soit F un sous-e.v. d'un K-e.v.E de dimension finie n. a) Alors F est de dimension finie et dimF ≤ dimE b) Si de plus dimF = dimE , alors F = E. IMPORTANT : Si F et G sont deux sous-e.v. de dim.finie d'un K-e.v. E. Alors [ F ⊂ G et dim(F) = dim(G) ⇒ F = G ] Th 18.9 (Existence de supplémentaires) Soit E un K-e.v.de dimension finie n et F un sous-e.v.de E. Alors F admet au moins un supplémentaire G dans E ( càd on peut trouver G tel que : E = F ⊕ G) Th 18.10 (familles et sommes directes, dimension d'une somme directe) Soit E un K-e.v., F1 et F2 deux sous-e.v. de E en somme directe et F = F1 ⊕ F2

a) Si B1 une base de F1 et B 2 une base de F2 , alors B = " B1 ∪ B2 " est une base de F. b) dim(F) = dim(F1 )+ dim (F2 ) càd dim (F1 ⊕ F2) = dim(F1) + dim(F2) Th 18.11 (formule de Grassmann) Soit E un K-e.v.,F et G deux sous-e.v.de dim..finie Alors dim(F + G) = dim(F) + dim(G) – dim(F ∩ G) IMPORTANT : Soit F et G sont deux sous-e.v. d'un K-e.v. E. Si [ F ∩ G = {

!o } (1) et dim(F) + dim(G) = dim(E) (2)], alors E = F ⊕ G

Rédaction: Avec (1), F et G sont en somme directe. De plus, dim(F ⊕ G) = dim(F) + dim(G) = dim(E)

dimension dune somme directe avec (2) F ⊕ G est donc un sous-e.v. de E qui a même dimension que E donc F ⊕ G = E

18.3 APPLICATIONS LINEAIRES EN DIMENSION FINIE. Th 18.12 Soit ),...,,( 21 nbbb

!!!

une base de En et ( , ,..., )! ! !u u u

n1 2 n vecteurs de Fp. Alors il existe une application linéaire f et une seule de En dans Fp

t.q. : f( 1b

!

) = !u 1, f( 2b

!

) = !u 2 , ... , f( nb

!

) = !u n. D 18.3 Matrice d'une application linéaire. Soit f ∈ L(Ep , Fn ) , dim(Ep) = p , dim(Fn) = n Soit B = ),...,,( 21 nbbb

!!!

une base de Ep et B1 = ( , ,..., )! ! !h h hn1 2 une base de Fn.

MatB,B1

(f ) =

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

nj

j

j

n

pj

a

a

a

h

h

h

bfbfbfbf

2

1

2

1

21 )()()()(

!

!

!

!!!!

∈ M n,p(K)

Les éléments de la jième colonne sont les coordonnées de f( jb!

)dans la base B1 = ( , ,..., )! ! !h h hn1 2

f( jb!

) = a1j .!h1 + a2j .

!h2

+ ... + anj !hn .

D 18.4 Deux K-e.v. E et F sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de E vers F. Th 18.13 Deux K-e.v. E et F de dimension finie sont isomorphes ssi dim(E) = dim(F) Th 18.14 Soit f ∈ L(E,F) Tout supplémentaire de Kerf dans E est isomorphe à Imf Si E = Kerf ⊕ G, g : G → Imf définie par : !u g( !u ) = f( !u ) est un isomorphisme de G sur Imf D 18.5 Rang d'une application linéaire Définition : rg(f) = dim(Imf) Th 18.15 Théorème du rang : Soit f ∈ L(E,F) , E de dimension finie. dimE = dim(Kerf)+dim(Imf) i.e. dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f) Th 18.16 caractérisation des isomorphismes Soit f ∈ L(E,F) , E , F de dim.finie t.q. dimE = dimF.

f est injective ssi f est surjective ssi f est bijective ssi rg(f) = dim(E) N.B.Ce résultat est utilisable en particulier si E est de dim.finie et si f ∈ L(E)

18.4 DETERMINATION DU RANG D 18.6 Rang d'une famille de vecteurs Définition : rg ( , ,..., )

! ! !u u u

n1 2 = dim(Vect( ( , ,..., )! ! !u u u

n1 2 ) Remarque : Soit f ∈ L(E,F) , E de dim. finie, ( , ,..., )

! ! !e e e

n1 2 une base de E. rg(f) = dim(Imf) = dim(Vect( ( ( ), ( ),..., ( ))f e f e f en

! ! !1 2 = rg ( ( ), ( ),..., ( ))f e f e f en

! ! !1 2 )

Méthode de détermination du rang Soit B = ( , ,..., )

! ! !e e e

n1 2 une base de E et ( , ,..., )! ! !u u up1 2 une famille de vecteurs de E.

M = Mat B( ( , ,..., )! ! !u u up1 2 ) =

! ! !

!

!

!

u u u

e

e

e

a

a

a

j

n

j

j

nj

1 2

1

2

1

2

!

"

#####

$

%

&&&&&

!u j = a eij ii

n

.!

=

!1

Pour déterminer le rang de la famille ( , ,..., )

! ! !u u up1 2 càd dim(F ) avec F = Vect ( ( , ,..., )

! ! !u u up1 2 ) ainsi qu'une

base de F, on obtient une matrice réduite en partant de M et en effectuant les opérations élémentaires suivantes : a) Ci ↔ Cj (échange de deux colonnes ) b) λ.Ci → Ci avec λ ≠ 0 .

c) λ.Ci + µ.Cj → Ci avec λ ≠ 0 Les colonnes de la matrice réduite donnent les coordonnées des vecteurs d'une nouvelle famille qui engendre toujours F et qui est libre, i.e. les coordonnées des vecteurs d'une base de F. Remarque : Pour déterminer le rang d'une application linéaire f ∈ L(E,F), on remarque que : rg(f) = dim(Imf) = rg( ( ( ), ( ),..., ( ))f e f e f en

! ! !1 2 avec B = ( , ,..., )

! ! !e e e

n1 2 base de E Les colonnes de la matrice réduite donnent alors les coordonnées des vecteurs d'une base de Im(f)

Remarque : Soit f ∈ L(Ep,En), u! ∈ Ep , B une base de Ep , B1 une base de En.

A = MB,B1

(f) ; X = MB( u! )

Alors : AX = MB1

(f( u! )) i.e. MatB1

(f ( u! ) = Mat

B,B1(f ). MB( u

! )

ou également [f( u! )]B1

= [f]B,B1

.[ u! ]B (le produit s'effectuant "ligne par colonne")