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LA CARTA DE SMITH
- Pensada para resolver ecuaciones muy repetidas en microondas:
- Representación de plano de impedancias y del c. de reflexión
- Líneas r=cte. -> círculos centro [r/(r+1)+j0], radio 1/(r+1)
- Líneas x=cte -> círculos centro [1+j1/x], radio 1/x
- z=1 (Z=50Ω), Γ =0
- z=jx -> Γ =1 0<ϕ<180o (x>0), 180<ϕ<360o (x<0)
- z=1+jx -> Γ=jx/(jx+2) círculo superior,
z=1-jx -> Γ=-jx/(-jx+2) círculo inferior
- z=r+j1 -> si r->0+ => Γ->radio unidad,
si r<0 => Γ sobrepasa circulo unidad
- z=-1 -> Γ=∞
- z real, z<1 => Γ se aproxima a círculo unidad
- Re(z)<0 => Γ sigue en círculo de radio ∞
- Región externa al círculo unidad: impedancias con Re(z)<0
2.1
1
19
r centro radio +∞ 1 0+2 2/3 1/3+1 1/2 1/2+1/2 1/3 2/30 0 1
-1/2 -1 2-1 -∞ ∞-3/2 3 2-2 2 1-5 5/4 1/4
r centro radio Circunferencias deresistencia constante
Líneas r=cte ⇒círcunferenciasCentro: r/(r+1)+j0. Radio 1/(r+1)
-1 1
+j1
-j1
20
r+j1
r-j1
r-j2
r+j2
r+j0
Circunferencias de reactancia constante
1+j1
Líneas x=cte ⇒ circunferenciascentro [1+j1/x], radio 1/x
APLICACIONES DE LA CARTA DE SMITH
Conversión impedancia-admitancia
2.2
Impedancias con parte real negativa
2.3
Respuesta en frecuencia de redes
Medida de la Q de una cavidad
En las frecuencias (f1, f2) de potencia mitad r=x (z=r+jx)
si r=1 => centro en ±j1 y radio 21/2
Q=f0/(f2-f1)
2.4
2
21
Q cargada de un circuito resonante: 0
LfQBW
=
Q de un nodo de un circuito: Sn
S
XQ
R=
Donde ZS=RS+jXS es la impedancia equivalente vista desde dicho nudo
Sn
S
BQ
G=
Donde YS=GS+jBS es la admitancia equivalente vista desde dicho nudo
22
Contornos de Qn constante.
2 2
2 2 2 2
2 2
22
2
1 1 21 (1 ) (1 )
21
1 11
n
n n
U V Uz r jx jU V U V
x UQr U V
U VQ Q
+Γ − −= + = = +
−Γ − + − +
= =− −
+ ± = +
U jVΓ = +
Centro (0, -1/Qn) x>0
Centro (0, 1/Qn) x<0Radio (1+1/Qn
2)1/2
1
23
-0.010.01-0.50.5505011final (f)
0.010.010.50.5-5050-11(A’)
00.020105001inicial (i)
B (Ω -1)G (Ω -1)bgX (Ω)R(Ω)xrPuntos
admitanciaimpedancia
(a)(b)
Adaptación de impedancias con la carta de Smith.
Zi=50Ω Zf=ZA=50+j50Ω0.5
1.0
2.0
1.0
-0.5-1.0
-2.0
(a)
(b)
A’
A
50 Ω
50+j50 ΩXC
BL
1 1
1( ) 50 0 50
1( ) 0.01 0.01 0.02 ; 50
C A i
L f A
a X X XC
b B B B LL
ω
ωω
− −
= − = − = − − Ω = − Ω
= − = − = − − Ω = − Ω = Ω
Uso de topologías específicas.
24
0.0080.0160.40.8-2550-0.51(B’)
-0.010.010.50.5505011Punto final (f)
-0.0080.016-0.40.825500.51(B)
00.020105001Inicial (i)
B (Ω-1)G (Ω -1)bgX (Ω)R(Ω)xrPuntos
admitanciaimpedancia
(a)(b)
Adaptación de impedancias con la carta de Smith.Zi=50Ω Zf=ZA=50+j50Ω
'
1 11 '
1
2 2
1( ) 25 0 25
1( ) 0.008 0.008 0.016 ; 62.5
( ) 50 25 25
C B i
L B B
L f B
a X X XC
b B B B LL
c X L X X
ω
ωωω
− −
= − = − = − − Ω = − Ω
= − = − = − − Ω = − Ω = Ω
= = − = − − Ω = Ω
(c)
0.51.0
2.0
1.0
-0.5-1.0
-2.0
A
B
B’
(a)(b)
(c) 50 Ω
50+j50 Ω
XC
BL1
XL2
25
Uso de topologías específicas. Restricción de impedancias.
26
1 11 1 12 21
2 21 1 22 2 111
2 2
'/
L12 21 -j2L11 LL
L22L
b S a S ab S Sb S a S a S + = = - 2S ea 1- Sa b
θ θρ θ
= +⎧ ⎫⎪ ⎪ Γ= + ⇒ = = Γ⎨ ⎬
Γ⎪ ⎪Γ =⎩ ⎭
cot ; tan
-j211 LS = = 1 -2e
1+z = = -j y j1-
θ θ
θ θ
′ ΓΓ
=Γ
11'tan ; cot
-j2LS = - = 1 180 - 2e
z = j y j
θ θθ θΓ
= −
-1 -10 Loc sc
c 0
R X= ( ) = ( )tg tgX R
θ θ
• Parámetros S de líneas de transmisión
• Línea terminada en carga ΓL:
•ΓL=1 circuito abiertoopen stub: reactancia capacitiva
• ΓL=-1 cortocircuitoshorted stub: reactancia inductiva
• Dada reactancia Y longitud eléctrica:open stub: empieza en 0o y rota en sentido horario 2θshorted stub: empieza en 180o y rota en sentido horario 2θ
• Cada λ/4 la reactancia cambia de signo- útil cuando no se pueden hacer cortocircuitos.
shorted stub 45o = open stub (90-45)o
- secciones λ/2 para separar componentes- a mayor longitud más selectivos
z=3.08jz=1.35jf=1.2GHz
θ=162oθ=45·1.2=54ºf=1.2GHz
-jcot135o=1jz=jtg45o=1jf=1GHz
o.s. 135ºs.s. 45of=1GHz
S11=S22=0S12=S21=e-jΘ Θ=ωl/c=2πl/λ
Adaptación de impedancias con líneas de transmisión
a1
a2b1
b2
ΓL
0.125
0.250
0.375
0.500
Circuito abierto
Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador
l
Z ,0
in o= e-2j
0.125
0.250
0.375
0.500
Cortocircuito
Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador
l
o
o
o
o
o
o in o= e-2j
Z ,0
o
o o
o
Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador
l
o in o= e-2j
Z ,0 ZL
in
2
Topologías de elementos distribuidos
- Conexión serie de open-stub y shorted stub difícil con microstrip
- Para conseguir la tierra para polarización y el elemento serie para corregir
inductancias parásitas de transistores y cables:
Shorted stub paralelo TLs + línea de transmisión TL
- Origen → A': círculo de conductancia cte. =20 mmho ⇒ BL=-20mmho
longitud shorted stub = desde 180o hasta encontrar el circulo de susceptancia
normalizada -1 =(180-90)/2=45o
- Línea de transmisión: Γ→Γ' rotando en sentido horario
A': θ1=116.6o, A: θ2=63.4o ⇒
longitud eléctrica=-(63.4-116.6)/2=26.6o
- condensador de desacoplo si es necesario
- "Bypass" en el shorted stub: condensadores u open stub λ/4 (buena tierra RF a
frecuencia determinada)
2.7
27
Si Zin, ZL ∈ ú Y Zc∈ ú y se puede trasladar ZL6 Zin con línea λ/4
Ej.: 50Ω 6 20Ω con λ/4 de impedancia Zc=(50·20)1/2=31.62Ω
20Ω en círculo que pasa por A Y añadir línea de longitud-(63.4-180)/2=58.3o
tantan
L cin c
c L
2co
in c in LL
+ jZ Z = Z Z + jZ ZZ= = , =90 Z Z Z ZZ
θθ
θ ⇒
Impedancia característica de líneas … Impedancia de referencia.
• Línea terminada en cortocircuito o circuito abierto:
• Γ para línea terminada: expresión compleja- renormalizar carta, rotar y volver a normalizar
• Caso simple especial: línea λ/4 Zc…Z0
0 0- cot , cotc s sZ jZ Z jZθ θ= =
0.50.2 1.0
0.51.0
2.0
Z =31.6 c Ωθ=90o
Z =50 c Ωθ=58.3o
Zin=50+j50 Ω50 Ω
A
63o
PARÁMETROS S DE TRANSFERENCIA
Útil para combinar redes en cascada
Ondas de salida como variables dependientes:
(problema con redes unilaterales)
2.9
DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL
1) Cada variable a1, a2, b1, b2 se
designa como un nudo
2) Cada parámetro S es una rama
3) Rama de nudo de variable
independiente a dependiente
4) b1, b2: variables dependientes, a1, a2:
v. independientes.
5) Nudo= suma de variables que
convergen en él
Aplicaciones
1) Generador de tensión (ver apéndice)
2) Carga
3) Carga conectada al generador 4) Red entre generador y carga.
2.10
REGLA DE MASON O DE LAZOS NO TOCANTES
Lazo de 1er orden: producto de ramas en un bucle siguiendo flechas
Lazo de 2º orden: producto de 2 lazos de 1er orden no tocantes
Lazo de n orden: producto de n lazos de 1er orden no tocantes
Cálculo de un nudo de la red (Ej: b1):
1) Identificar variables independientes (bs)
2) Identificar caminos entre bs y b1 siguiendo flechas (S11, S21ΓLS21)
3) Encontrar lazos no tocantes respecto a los caminos encontrados (S22ΓL no toca
con camino S11)
4) Regla de lazos no tocantes:
Pi: camino i
ΣL(k)i: suma de lazos de orden k que no tocan con camino i
ΣL(k): suma de lazos de orden k
Regla útil para encontrar expresiones de ganancia y potencia:
2.11
Potencia entregada a la carga: Pdel= Pincidente- Preflejada= a' 2- b' 2
Potencia disponible en la fuente: potencia
entregada a una carga adaptada conjugada
Pavs=[ a' 2- b' 2]=[ b 2- a 2]
Ganancia en tensión: cociente entre tensiones
totales
Ganancia de transducción: potencia entregada a la carga entre potencia disponible
en la fuente Gt=Pdel/Pavs
Objetivo fundamental: maximizar ganancia de transducción.
2.12
DEFINICIONES DE GANANCIA
Ganancia de transducción Gt=PL/Pavs (reorganizando el denominador)
Ganancia de potencia Gp: cociente entre potencia entregada a la carga y potencia
de entrada a la red Pin
Ganancia de potencia disponible PA: cociente entre potencia disponible en la red
Pavn y la potencia disponible en la fuente Pavs.
¡Cuidado con el factor 1/2!
2.13
ESTABILIDAD
Maximizar Gt => adaptar de forma conjugada salida y entrada.
Inconvenientes: puede oscilar el amplificador con ciertas impedancias.
- Red condicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para algunas impedancias
positivas de fuente y carga a una frecuencia específica.
- Red incondicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para cualquier impedancia
real positiva de carga y fuente ( Γs ≤1, ΓL ≤1)
Γin =1 : límite de separación de regiones estable y no estable.
Ecuación de circunferencia de radio y centro:
Para ZL=50Ω (ΓL=0) Γin = S11
Si S11 <1 región estable.
No situarse próximo al borde por
problema de alteraciones por
temperatura, envejecimiento,
sustitución de transistores.
2.14
Estabilidad incondicional
Estabilidad en un rango de frecuencias: se construye círculos donde pueda existir
problema. Proceso tedioso. Mejor experiencia:
- Región plana de S12 S21 la más preocupante
- Inductores con comportamiento capacitivo a altas frecuencias.
- Diodos túnel: investigar estabilidad fuera de rango de trabajo
2.15
Apéndice: Representación de un generador de tensión mediante el diagrama de
a
bbsflujo
Vs
Zs
Ig+
-
Vg
a
b
Potencia cedida a carga Z0
Se demuestra de esta manera que la variable bs tiene el mismo carácter que las
variables a y b, es decir, su módulo al cuadrado nos da idea de potencia (con el
factor 1/2)
2.16