La ciencia modernaLa ciencia moderna

La comprensión matemático - numérica de la La comprensión matemático - numérica de la realidad, germen de la Ciencia Moderna, se realidad, germen de la Ciencia Moderna, se incorpora en el Renacimiento, gracias a la incorpora en el Renacimiento, gracias a la migración de los sabios de Bizancio, tras la migración de los sabios de Bizancio, tras la

caída en poder de los turcos. caída en poder de los turcos.

fundadores de la Ciencia Moderna, fundadores de la Ciencia Moderna,

Copérnico (1473-1543)Copérnico (1473-1543) Galileo (1564-1642)Galileo (1564-1642) Kepler(1571-1630 )Kepler(1571-1630 ) Bacon (1561-1626)Bacon (1561-1626) Descartes (1596-1650)Descartes (1596-1650)

Características de la ciencia Características de la ciencia modernamoderna

predominio de lo medible, es decir, de las predominio de lo medible, es decir, de las característica cuantitativa del espacio característica cuantitativa del espacio como el elemento fundamental en la como el elemento fundamental en la comprensión de la realidad. comprensión de la realidad.

Sólo es científicamente objetivo, lo Sólo es científicamente objetivo, lo medible del espacio y de las cosas. El medible del espacio y de las cosas. El resto no pertenece al campo de la ciencia.resto no pertenece al campo de la ciencia.

El espacio y el tiempo según El espacio y el tiempo según GalileoGalileo

Toma como base el espacio de Euclides, espacio sustrato de los objetos. Toma como base el espacio de Euclides, espacio sustrato de los objetos. El espacio de Galileo es numérico, homogéneo, isomorfo e isótropo. El espacio de Galileo es numérico, homogéneo, isomorfo e isótropo.

Junto con la incorporación del espacio euclideo, Galileo incluye al Junto con la incorporación del espacio euclideo, Galileo incluye al tiempo como una dimensión más. Un tiempo que es unilineal y tiempo como una dimensión más. Un tiempo que es unilineal y secuencial. Esto implica dejar atrás la noción de tiempo vivido, secuencial. Esto implica dejar atrás la noción de tiempo vivido, propio de la concepción de éste en la antigüedad, colocándose propio de la concepción de éste en la antigüedad, colocándose fuera de él para poder observarlo en su decurrir secuencial medible fuera de él para poder observarlo en su decurrir secuencial medible desde el pasado al futuro. Esta exclusión ahora del tiempo, lleva al desde el pasado al futuro. Esta exclusión ahora del tiempo, lleva al observador neutro que no incide en los datos de la observación. observador neutro que no incide en los datos de la observación. Esta exclusión permitirá la repetición de la experiencia, que es uno Esta exclusión permitirá la repetición de la experiencia, que es uno de los fundamentos de la legalidad metodológica. Es en esta de los fundamentos de la legalidad metodológica. Es en esta exclusión de la realidad del observador de lo observado en donde exclusión de la realidad del observador de lo observado en donde se basa la noción de objetividad científica. (se basa la noción de objetividad científica. (Newton elimina la relatividad Newton elimina la relatividad observacional que tiene todo movimiento, refiriéndolo a un espacio absoluto, un observacional que tiene todo movimiento, refiriéndolo a un espacio absoluto, un espacio con características euclídeas y, obviamente, externo a la partícula. Se espacio con características euclídeas y, obviamente, externo a la partícula. Se agrega, además, un tiempo absoluto y, por lo tanto, reversible) agrega, además, un tiempo absoluto y, por lo tanto, reversible)

Además, Galileo avanza más allá y define en la Además, Galileo avanza más allá y define en la percepción de las cosas las cualidades primarias y percepción de las cosas las cualidades primarias y secundarias. Las primarias, que son propias del objeto, secundarias. Las primarias, que son propias del objeto, lo son por ser medibles. Son por lo tanto "reales y lo son por ser medibles. Son por lo tanto "reales y objetivas". Las secundarias, son las no medibles. No objetivas". Las secundarias, son las no medibles. No pertenecen a los objetos sino al observador, el cual las pertenecen a los objetos sino al observador, el cual las proyecta sobre el objeto y por lo tanto son subjetivas y proyecta sobre el objeto y por lo tanto son subjetivas y no científicas.no científicas.

Esta diferencia que se fundamenta entre otras cosas en Esta diferencia que se fundamenta entre otras cosas en la carencia de un instrumental matemático cualitativo (la la carencia de un instrumental matemático cualitativo (la topología) como tenemos hoy en día, lleva a topología) como tenemos hoy en día, lleva a fundamentar lo objetivo en lo medible. Esto da lugar a fundamentar lo objetivo en lo medible. Esto da lugar a una concepción del espacio basado en sus una concepción del espacio basado en sus características métricas ("científicas y objetivas"), características métricas ("científicas y objetivas"), quedando las cualitativas en el campo de lo ilusorio y quedando las cualitativas en el campo de lo ilusorio y por lo tanto de la subjetividad.por lo tanto de la subjetividad.

En 1610, con su nuevo telescopio, observando En 1610, con su nuevo telescopio, observando las fases de la luna, descubre Galileo que no es las fases de la luna, descubre Galileo que no es perfecta como lo suponía la teoría aristotélica perfecta como lo suponía la teoría aristotélica -que distinguía los mundos “-que distinguía los mundos “sublunar”sublunar” : que : que comprende la Tierra y todo lo que se encontraba comprende la Tierra y todo lo que se encontraba entre la Tierra y la Luna en este mundo era entre la Tierra y la Luna en este mundo era imperfecto y cambiante y imperfecto y cambiante y “supralunar”,“supralunar”, que que comenzaba en la luna y se extendía más allá. comenzaba en la luna y se extendía más allá. En esta zona, no existían más que formas En esta zona, no existían más que formas geométricas perfectas (esferas) y movimientos geométricas perfectas (esferas) y movimientos regulares inmutables (circulares). regulares inmutables (circulares).

Esta concepción es legitimada y sostenida Esta concepción es legitimada y sostenida filosóficamente por Descartes, ya que divide a filosóficamente por Descartes, ya que divide a la realidad en la res extensa (o mundo la realidad en la res extensa (o mundo objetivo) y en la res pensante (o mundo objetivo) y en la res pensante (o mundo subjetivo). Podemos decir que a partir de aquí subjetivo). Podemos decir que a partir de aquí las condiciones de objetividad científica las condiciones de objetividad científica necesitan la no inclusión del observador en el necesitan la no inclusión del observador en el campo a observar. Objetivizar es registrar los campo a observar. Objetivizar es registrar los elementos cuantitativos presentes en la elementos cuantitativos presentes en la organización del espacio y requiere excluir el organización del espacio y requiere excluir el mundo de la subjetividadmundo de la subjetividad

Geometría: Se puede definir una geometría como el estudio de las invariantes que permanecen Geometría: Se puede definir una geometría como el estudio de las invariantes que permanecen en un determinado movimiento. en un determinado movimiento.

Hasta mediados del siglo XIX sólo hablamos de geometría descriptiva o geometría proyectiva: Hasta mediados del siglo XIX sólo hablamos de geometría descriptiva o geometría proyectiva: En la geometría descriptiva los movimientos son la traslación y la rotación, permaneciendo como En la geometría descriptiva los movimientos son la traslación y la rotación, permaneciendo como invariantes todas las características geométricas del cuerpo. En la geometría proyectiva el invariantes todas las características geométricas del cuerpo. En la geometría proyectiva el movimiento es la proyección de un cuerpo sobre un plano, y las invariantes son ciertos ángulos y movimiento es la proyección de un cuerpo sobre un plano, y las invariantes son ciertos ángulos y distancias.distancias.

Luego, surgen dos campos nuevos, interconectados entre sí: la topología y las geometrías no Luego, surgen dos campos nuevos, interconectados entre sí: la topología y las geometrías no euclidianas. En la geometría topológica (1831) la transformación es total: sólo quedan como euclidianas. En la geometría topológica (1831) la transformación es total: sólo quedan como invariantes las características más esenciales del cuerpo: el límite, la conexión o conectividad (y invariantes las características más esenciales del cuerpo: el límite, la conexión o conectividad (y su noción relacionada: la continuidad) y la direccionalidad o no de sus superficies. El campo su noción relacionada: la continuidad) y la direccionalidad o no de sus superficies. El campo topologico es el de la deformación continua y se relaciona con las leyes del movimiento topologico es el de la deformación continua y se relaciona con las leyes del movimiento experiencial, estableciendo relaciones cualitativas entre el todo y la parte. Se define una experiencial, estableciendo relaciones cualitativas entre el todo y la parte. Se define una geometría por los puntos que permanecen invariantes frente a determinados tipos de geometría por los puntos que permanecen invariantes frente a determinados tipos de transformaciones. Podemos decir que las leyes topológicas surgen del propio campo, a transformaciones. Podemos decir que las leyes topológicas surgen del propio campo, a diferencia de las proyectivas que son impuestas desde afuera. Entre las leyes y relaciones de la diferencia de las proyectivas que son impuestas desde afuera. Entre las leyes y relaciones de la topología aparecen las nociones de inclusión, interior - exterior, exclusión y el concepto de topología aparecen las nociones de inclusión, interior - exterior, exclusión y el concepto de región y el de conexión con el todo. Es en este sentido que la topología es la ciencia de las región y el de conexión con el todo. Es en este sentido que la topología es la ciencia de las relaciones espaciales que conectan la parte al todo (adentro - afuera), a diferencia de las relaciones espaciales que conectan la parte al todo (adentro - afuera), a diferencia de las proyectivas que conectan las partes entre sí dentro del todo (fondo - figura).La topología, a proyectivas que conectan las partes entre sí dentro del todo (fondo - figura).La topología, a diferencia de la geometría descriptiva que está ligada a la noción de medida, no hace intervenir diferencia de la geometría descriptiva que está ligada a la noción de medida, no hace intervenir la cuantificación sino que aparece como una geometría cualitativa.la cuantificación sino que aparece como una geometría cualitativa.

. Posteriormente surge el desarrollo de la teoría de los campos, por ejemplo el electromagnético, . Posteriormente surge el desarrollo de la teoría de los campos, por ejemplo el electromagnético, que hoy entendemos como una modificación del espacio, específicamente como que hoy entendemos como una modificación del espacio, específicamente como transformaciones topológicas del mismo. La noción de "campo" no habla de partículas; es una transformaciones topológicas del mismo. La noción de "campo" no habla de partículas; es una noción mas bien geométrica..noción mas bien geométrica..

Las partículas son Las partículas son cuantitativamentecuantitativamente mensurables, un "campo" es mensurables, un "campo" es cualitativamente cualitativamente comprensible. En los campos magnéticos no hay partículas, comprensible. En los campos magnéticos no hay partículas, no son partículas que recorren un no son partículas que recorren un espacioespacio. Hay fuerzas que actúan. . Hay fuerzas que actúan.

Bacon, Francis, 1561-1626Bacon, Francis, 1561-1626En el Novum Organum (o Indicaciones relativas a la interpretación de la naturaleza, publicada en 1620) concibe la ciencia como técnica, capaz de dar al hombre el dominio de la naturaleza. Se opone radicalmente al procedimiento propuesto por la lógica aristotélica para obtener nuevos conocimientos, ya que piensa que sólo la mencionada lógica es buena para la disputa verbal. Propone el procedimiento técnico-científico. Es importante que el entendimiento humano se apropie de instrumentos eficaces para dominar la naturaleza. Y esto se logra con los experimentos y los datos que nos aporta la experiencia sensible. Debemos liberarnos de los prejuicios que nos obstaculizan el paso de las nuevas ideas. Estos prejuicios son los ídola: (parte destructiva del tratado)´Idolos de la tribu: prejuicios comunes al género humano.Idolos de la caverna, son los que proceden de la educación y los hábitos de las personasIdolos de la plaza pública o del foro, son los nacidos por el uso del lenguaje. Ídolos del teatro son los nacidos por la falsa filosofía puesta en escena en cada teoría.

La parte constructiva estudia el modo en que debe ser organizada la experiencia. Es La parte constructiva estudia el modo en que debe ser organizada la experiencia. Es un discurso sobre el método científico. La viga maestra de este método es la un discurso sobre el método científico. La viga maestra de este método es la inducción. Para organizar e interpretar los datos de la experiencia (y para hacer inducción. Para organizar e interpretar los datos de la experiencia (y para hacer experimentos) Bacon propuso su "teoría de las tres tablas" (o tres registros):experimentos) Bacon propuso su "teoría de las tres tablas" (o tres registros):

En la primera (En la primera ("Tabla de presencia""Tabla de presencia" ) el investigador anotará aquello que ) el investigador anotará aquello que encuentre en la naturaleza que quiere someter a examen (ejemplo: el calor). encuentre en la naturaleza que quiere someter a examen (ejemplo: el calor).

En la segunda (En la segunda ("Tabla de ausencia""Tabla de ausencia" ) se tomará nota de lo ausente en la ) se tomará nota de lo ausente en la naturaleza sometida a examen (ejemplo: los rayos del sol se anotarán en la tabla naturaleza sometida a examen (ejemplo: los rayos del sol se anotarán en la tabla anterior, mientras que los de la luna, que no producen calor, en la segunda) anterior, mientras que los de la luna, que no producen calor, en la segunda)

En la tercera (En la tercera ("Tabla de grados""Tabla de grados" ) se señalarán los casos el los cuales la ) se señalarán los casos el los cuales la naturaleza observada aparecen en distintos grados de intensidad. A partir de esta naturaleza observada aparecen en distintos grados de intensidad. A partir de esta investigación interviene la inducción: se comparan los diferentes casos, se investigación interviene la inducción: se comparan los diferentes casos, se interpretan, se construye una primera hipótesis y se procede a la experimentación. interpretan, se construye una primera hipótesis y se procede a la experimentación. Tras un largo trabajo se llegará a una hipótesis crucial, que de verificarse será la Tras un largo trabajo se llegará a una hipótesis crucial, que de verificarse será la causa y la naturaleza del fenómeno examinado. Bacon investigaba la naturaleza de causa y la naturaleza del fenómeno examinado. Bacon investigaba la naturaleza de las cosas, su sustancia y su esencia. Finalmente, otro aspecto importante de la las cosas, su sustancia y su esencia. Finalmente, otro aspecto importante de la filosofía de la ciencia de Bacon es su exclusión de las causas finales del campo de la filosofía de la ciencia de Bacon es su exclusión de las causas finales del campo de la investigación científica. En otras palabras, Bacon restringió el estudio de las causas investigación científica. En otras palabras, Bacon restringió el estudio de las causas de los fenómenos a las formales, materiales y eficientes, en vista de que la búsqueda de los fenómenos a las formales, materiales y eficientes, en vista de que la búsqueda de las causas finales sólo conducía a disputas verbales que hacían más difícil el de las causas finales sólo conducía a disputas verbales que hacían más difícil el progreso de la ciencia. Las preguntas lícitas eran ¿qué?, ¿cómo? y ¿por qué?, progreso de la ciencia. Las preguntas lícitas eran ¿qué?, ¿cómo? y ¿por qué?, mientras que ¿para qué? quedó excluida no sólo por sus resonancias teológicas, mientras que ¿para qué? quedó excluida no sólo por sus resonancias teológicas, sino por la falta absoluta en su tiempo de conceptos y mecanismos posibles para sino por la falta absoluta en su tiempo de conceptos y mecanismos posibles para explicar el comportamiento adaptativo como consecuencia de un programa, en vez explicar el comportamiento adaptativo como consecuencia de un programa, en vez de un propósito predeterminado. de un propósito predeterminado.

keplerkeplerLas leyes de Kepler describen la cinemática del

movimiento de los planetas en torno al Sol.Leyes de Kepler:

Primera Ley.- Era la ley que decía que todos los planetas se encontraban en una órbita en forma de elipse y donde el sol era uno de

sus focos.Segunda Ley.-

El vector que une al sol con cada uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales

Tiempo más tarde enunció la tercera de sus leyes.Tercera Ley.-

Es la relación numérica de los periodos de revolución [t2/r3 (tiempo sobre radio)] de los planetas

Con esto Kepler dijo descubrir un misterio mediante la astronomía, música y la geometría (armonía).

Segunda ley de kepler

Geometría analítica, síntesis Geometría analítica, síntesis de la geometría y el álgebrade la geometría y el álgebra

En el campo de las matemáticas, simplifico la notación algebraica y creó la geometría analítica, fundamental en disciplinas como la propia matemática, la física y la economía, ya que de ahí surgen los ejes cartesianos X e Y.Abre el camino al cálculo diferencial e integral; además inventó la regla del paralelogramo.

NewtonNewton

Espectro de luzEspectro de luz

Newton uso por primera vez la palabra Newton uso por primera vez la palabra espectroespectro (del latín "apariencia" o "aparición") (del latín "apariencia" o "aparición") en 1671 al describir sus experimentos en óptica. Newton observó que cuando un en 1671 al describir sus experimentos en óptica. Newton observó que cuando un estrecho haz de luz solar incide sobre un prisma de vidrio triangular con un ángulo, estrecho haz de luz solar incide sobre un prisma de vidrio triangular con un ángulo, una parte se refleja y otra pasa a través del vidrio, mostrando diferentes bandas de una parte se refleja y otra pasa a través del vidrio, mostrando diferentes bandas de colores. La hipótesis de Newton era que la luz estaba hecha por corcúspulos colores. La hipótesis de Newton era que la luz estaba hecha por corcúspulos (partículas) de diferentes colores y que la diferencia en los colores era debido a la (partículas) de diferentes colores y que la diferencia en los colores era debido a la diferencia de velocidades de cada uno de ellos, de modo que en un medio diferencia de velocidades de cada uno de ellos, de modo que en un medio transparente, la luz roja era más veloz que la luz violeta. El resultado es que la luz transparente, la luz roja era más veloz que la luz violeta. El resultado es que la luz roja se roja se doblabadoblaba (refractaba) menos que la luz violeta cuando pasaban a través del (refractaba) menos que la luz violeta cuando pasaban a través del prisma, creando el espectro de colores.prisma, creando el espectro de colores.

Los ojos de muchas especies perciben longitudes de onda diferentes de Los ojos de muchas especies perciben longitudes de onda diferentes de las del espectro visible del ojo humano. Por ejemplo, muchos insectos las del espectro visible del ojo humano. Por ejemplo, muchos insectos tales como las abejas pueden ver la luz ultravioleta es úti l para tales como las abejas pueden ver la luz ultravioleta es úti l para encontrar el néctar en las flores. Por esta razón, los éxitos encontrar el néctar en las flores. Por esta razón, los éxitos reproductivos de las especies de plantas cuyos ciclos de vida están reproductivos de las especies de plantas cuyos ciclos de vida están vinculados con la polinización de los insectos, dependen de que vinculados con la polinización de los insectos, dependen de que produzcan emisión ultravioleta, más bien que del colorido aparente a produzcan emisión ultravioleta, más bien que del colorido aparente a los ojos humanos.los ojos humanos.

Leyes de NewtonLeyes de Newton

Las leyes de Newton constituyen los cimientos no sólo de la Las leyes de Newton constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general. dinámica clásica sino también de la física clásica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones... La validez de esas de su validez radica en sus predicciones... La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos durante más de dos siglos

En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos:En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: Por un lado, constituyen, junto con la Por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileotransformación de Galileo, la , la

base de la base de la mecánica clásicamecánica clásica;; Por otro, al combinar estas leyes con la Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitación Ley de la gravitación

universaluniversal, se pueden deducir y explicar las , se pueden deducir y explicar las Leyes de KeplerLeyes de Kepler sobre el sobre el movimiento planetario.movimiento planetario.

Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los los astrosastros, como los movimientos de los proyectiles artificiales , como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la mecánica de creados por el ser humano, así como toda la mecánica de funcionamiento de las funcionamiento de las máquinasmáquinas..

Cálculo diferencial: derivadas e Cálculo diferencial: derivadas e integralesintegrales

Cálculo diferencialCálculo diferencial CálculoCálculo , rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y , rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y

de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.forma continua.

I I . Evolución históricaII. Evolución histórica El cálculo se deriva de la antigua geometria griega. Democrito calculó el volumen de piramides y conos, se cree que considerándolos formados por un número El cálculo se deriva de la antigua geometria griega. Democrito calculó el volumen de piramides y conos, se cree que considerándolos formados por un número

infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímides utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímides utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenon de Eleaimpidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri yEvangelista Torricelli ampliaron el uso de los Zenon de Eleaimpidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri yEvangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea yy la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante instante x.x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, decir, dy/dxdy/dx = = ayay con una cierta constante negativa con una cierta constante negativa a.a. Para hallar Para hallar yy en función de en función de x,x, hay que encontrar una función hay que encontrar una función yy = = ff((xx) tal que ) tal que dy/dxdy/dx = = ayay para cualquier para cualquier x.x. La La forma general de esta función es forma general de esta función es yy = = ceaxceax en donde en donde cc es una constante. Como es una constante. Como ee0 = 1, entonces 0 = 1, entonces yy = = cc para para xx = 0, así es que = 0, así es que cc es la cantidad inicial (tiempo es la cantidad inicial (tiempo xx = 0) = 0) de material en la muestra. Como de material en la muestra. Como aa<0, se tiene que <0, se tiene que eaxeax 0 cuando 0 cuando xx crece, por lo que crece, por lo que yy 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si aa es una constante positiva, se obtiene la misma solución, es una constante positiva, se obtiene la misma solución, yy = = ceax,ceax, pero en este caso pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la cuando el tiempo transcurre, la yy crece rápidamente (como hace crece rápidamente (como hace eaxeax si si aa>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de >0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

V. Cálculo integralV. Cálculo integral El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y

derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

Grandes inventos siglos XVII y XVIII

1590 Telescopio Juan Roget

1609 Ley del movimiento planetario Kepler, Johannes Alemania

1609 Movimiento de los planetas Kepler, Johannes Alemania

1611 Telescopio astronómico Kepler, Johannes Alemania

1614 Logaritmo neperiano Napier, John Escocia

1619 Geometría Analítica Descartes, René Francia

1620 Regla de cálculo Oughtred, William Inglaterra

1628 Circulación de la sangre (Se le atribuye después de Miguel Servet) Harvey, William Inglaterra

1636 Micrómetro Gascoigne, William Inglaterra

1640 Hidrodinámica Torricelli, Evangelista Italia

1642 Pascalina (Máquina sumadora mecánica) Pascal, Blas Francia

1643 Barómetro Torricelli, Evangelista Italia

1650 Máquina neumática Guericke, Otto Von Alemania

1656 Reloj de péndulo Huygens, Christiaan Holanda

1660 Electricidad estática Guericke, Otto Von Alemania

1665 Espectro de la luz Newton, Isaac Inglaterra

1668 Telescopio (Primero de reflexión) Newton, Isaac Inglaterra

1670 Cálculo Newton, Sir Isaac Inglaterra

1672 Máquina electrostática Guericke, Otto Von Alemania

1675 Cálculo diferencial e integral Leibniz, Gottfried von Alemania

1675 Velocidad de la luz, Determinación de Römer, Olaf Dinamarca

1679 Olla de presión para cocinar Papin, Denis Inglaterra

1687 Higrómetro Amontos, Guillaume Francia

1687 Ley de la gravitación universal Newton, Sir Isaac Inglaterra

1705 Máquina de vapor (Primera) Newcomen, Thomas Inglaterra

1714 Termómetro de mercurio Fahrenheit, Gabriel Daniel Alemania

1717 Campana de inmersión Halley, Edmund Inglaterra

1718 Movimiento de las estrellas Halley, Edmond Inglaterra

1719 Impresión en colores Le Blon, Jakob Christoph Francia

1733 Lanzadera de telar Kay, John Inglaterra

1738 Teoría de los gases Bernoulli, Daniel Suiza

1742 Grados centígrados o celsius Celsius, Anders Suecia

1752 Pararrayos Franklin, Benjamin EE.UU.

1757 Sextante Campbell, John Inglaterra

1761 Cronómetro marino Harrison, William Inglaterra

1764 Máquina de vapor Watt, James Inglaterra

1776 Submarino “Tortuga” (Primero de la historia) Bushnell, David EE.UU.

1780 Lentes bifocales Franklin, Benjamin EE.UU.

1783 Globo aerostático Montgolfier, JosephMontgolfier, Jacques Francia

1784 Refrigerador (primitivo) Cullen, William Escocia

1785 Paracaídas Blanchard, Jean Pierre Francia

1785 Telar mecánico Cartwright, Edmund Inglaterra

1790 Lámpara de gas Murdoch, Richard Escocia

1792 Lápiz de grafito Conté, Jacques-Nicolas Francia

1794 Motor de explosión de 2 tiempos Clerk, Dugala Inglaterra

1795 Prensa hidráulica Bramah, Joseph Inglaterra

1796 Litografía Senefelder, Alois Alemania

1800 Pila eléctrica Volta, Alessandro Italia