Upload
others
View
2
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
__________Une nouvelle lecture de l'histoire de l'art __________
Mathématiques - Histoire de l'art - Ésotérisme - Arts plastiques
La COMPOSITION de MELENCOLIA
de Albrecht DÜRERDe la gravure aux cartes
------------ Yvo Jacquier --------------------------------------------------------------------------
GÉOMÉTRIE COMPARÉE ----------------------------------------------------------------------------- Décembre 2012 -----
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 1 on 30
INTRODUCTION
UNE PRÉCISION SIGNÉE A.D. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La géométrie comparée met en évidence la géométrie des maîtres anciens,
notamment ses rapports aux nombres. Le fameux quadrillage des
constructeurs de cathédrales est le principal outil de conversion des formes
en valeurs numériques. C'est le premier pas d'une traduction en langage
humain des lignes abstraites de la composition. À l'étude, la dernière et très récente correction d'échelle a vu s'afficher, sur le
fichier le plus lourd de la gravure Melencolia (1514), la valeur de 262,510
pixels par unité, au lieu des 262,222 établis quelques années plus tôt (soit
une différence de 0,288 pixel par carreau - 1,1‰). Une nouvelle figure a
récemment livré le secret de deux bords de l'oeuvre, et permis cette ultime
rectification... La première leçon d'une longue exploration des oeuvres de Dürer concerne
son extrême précision. C'est d'autant plus remarquable que la taille du sujet
de cet article est proche du format A4 (H ≈ 238 mm ± 0,75 mm et L ≈ 187
mm ± 0,75 mm - pour citer l'un des exemplaires du British Museum). Cette
oeuvre majeure de la Renaissance recèle bien d'autres enseignements.
Sans cette précision hors du commun, nul message ne serait identifiable.
Seules des marges de précision suffisamment serrées permettent d'acquérir
des certitudes. C'est le principe fondateur et même “déclencheur” de la
science...
Si le mot “magistral” a une définition, elle est dans Melencolia. Le fil conducteur de Melencolia qui se révèle ici résout notamment
l'insupportable “inventaire de boutique” auquel se livrent trop d'auteurs. Cette
oeuvre n'a pas seulement du sens, elle a un sens historique précis, résultant
de plusieurs missions explicites. En premier lieu celle d'expliquer le
fonctionnement du langage de l'image, ses rouages et ses règles.
Cependant, au-delà de cette mécanique subtile, Dürer se livre à un exposé
de l'histoire sacrée, depuis le signe paléolithique de la fertilité jusqu'à la
nuance qui sépare Zeus de Jupiter. Et il signe ce chapitre d'un anagramme :
LEO IN MICAEL. « ... La complaisance dans l'erreur, de la part de tels peintres, vient
uniquement du fait qu'ils ignorent tout de l'art de la mesure, sans lequel
personne ne peut devenir créateur. Mais les vrais responsables sont leurs
maîtres qui ignorent cet art. »
Albrecht Dürer, Instruction sur la manière de mesurer, 1525.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 2 on 30
LA RÉALITÉ DE MELENCOLIA
LE « PROJET DIDACTIQUE de DÜRER » Melencolia appartient à un ensemble de quatre gravures appelées les
Meisterstiche, puisque ce concept historique est désormais élargi à Adam et
Ève (1504). Les autres gravures sont Le Chevalier, le Diable et la Mort
(1513) et Saint Gérôme dans sa cellule (1514). Les quatre oeuvres ont un
format comparable. Il est assez inhabituel pour avoir été remarqué.
Les tarots dits de Marseille, plus précisément ceux que le cartier Nicolas
Conver continue de reproduire scrupuleusement en 1760, ont été conçus
avec les Meisterstiche. L'ensemble a pour mission de présenter le testament
de toute une civilisation, une culture de l'Image qui a vécu depuis Pythagore,
pour le courant occidental, jusqu'à la Renaissance, période de son
apothéose. Ce véritable dispositif didactique est conçu pour s'ouvrir par
paliers. Chaque étape livre des informations qui permettent d'apprendre
graduellement l'art de la composition des Anciens.
Un langage de l'Image, à part entière, se révèle Les cartes des tarots
constituent une encyclopédie oecuménique des symboles. Elles sont la
synthèse de tous les courants spirituels, religieux et ésotériques accumulés
au cours d'une longue histoire. De l'Inde védique aux nords glacés de
l'Europe, des Celtes antiques aux traditionnels Chrétiens, aucune influence
n'échappe à ce carrefour universel de la symbolique.
N.B. : Dürer est précis au point d'anticiper les erreurs du chercheur !
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 3 on 30
L'oeuvre la plus célèbre de la Renaissance
MELENCOLIA § I
Albrecht Dürer (1471-1528)
Gravure au burin - 1514
238 mm par 187 mm (± 0,75 mm) British Museum de Londres, Royaume Uni — Musée Jenisch, cabinet
cantonal des Estampes, Vevey, Suisse — Cabinet des Estampes et des
Dessins, Strasbourg, France.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 4 on 30
LA COMPOSITIONDE MELENCOLIA
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 5 on 30
LE GRAND CARRÉ - CROIX GRECQUE
Du cercle au carré
Selon d'adage, on a pas deux fois
l'occasion de donner une première
impression. L'importance de la première
affirmation de l'étude est donc capitale.
C'est là que l'intérêt et la confiance du
lecteur s'établissent ou non. Par la suite, le même lecteur appréciera
de ne pas être submergé par des flots
de détails sur l'oeuvre. En réalité, aucun
texte ne saurait se substituer à l'image. Ainsi, ce premier pas doit être prudent,
et ses exp l icat ion do ivent êt re
scrupuleuses. Il n'y a aucun texte de ce
genre. Ceux qui pouvaient le faire se
sont tus - ils sont morts il y a des
siècles, quant à ceux qui ont écrit sur
ces sujets, ils n'ont par exemple jamais
intégré la notion de précision en termes
scientifiques - ce que l'on désigne par
les marges de précision...
Nous allons construire un carré, ou plus exactement reconstituer celui qui a
servi de base à la composition de Dürer. Il nous faut en premier lieu trouver
son côté. La seule forme géométrique pure et identifiable du tableau est la
sphère du premier plan. Et elle est “presque parfaite”. L'étude révèlera qu'elle
répond au cercle qui la cerne en haut, sur la gauche et à droite, mais qu'elle
se rétracte à sa base. La réponse à cette incohérence réclame un chapitre
entier : il figure à l'article III sur la composition des tarots. Le centre de la sphère est résolument fiable, il nous servira donc de repère.
De l'autre côté de la scène, la ‘signature’ de Dürer nous offre une authentique
marque de composition : la croix/flèche que dessine le 4 de 1514. NB : à l'envers, c'est à dire dans le sens où elle a été gravée, l'inscription
1514 peut de lire : « † IRI ». Et cette affirmation est placée au-dessus de la
signature du maître.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 6 on 30
D'autres marques précises de l'oeuvre vont
nous servir de guide. Une ombre esquisse un
angle droit près d'une arête du polyèdre :
cette indication confirmera la présence d'une
ligne dorée du carré. L'horizontale qui sépare
la troisième et la quatrième ligne du carré
magique sera également une indication
précieuse.
Si ces deux détails laissent une marge
d'appréciation assez large, il n'en va pas de
même pour la croix/flèche de la signature. Sa
pointe ne saurait être fiable, ne serait-ce que
parce que naturellement, la largeur du trait
s'élargit à cet endroit précis. Le segment
vertical est forcément, si c'est le cas, le repère
posé par Dürer. L'expérience montrera qu'il
fau t cho is i r sa l im i te ex tér ieure , au
microscope.
L'ensemble de ces développements initiaux se trouvera ré-ajusté par la suite
au travers d'une figure plus large encore que celle du grand carré : elle ira
chercher deux bords de la gravure. La précision qui s'en suivra sera de
l'ordre du dix millième (relatif/hauteur).
Pour l'instant, nous construisons le
premier carré. Il se développe à partir
du centre de la sphère, et aligne son
côté droit au trait de composition de la
signature. En haut, il prend une ligne
de séparation du carré magique, son
angle vient friser avec un ergot de la
chauve-souris dans le phylactère, et
cette horizontale soutient même le
bras de l'animal. En bas, le ligne du
carré passe entre les tenailles.
À chaque étape, plusieurs niveaux de
lecture de l'image sont possibles. Le
premier niveau considère les éléments
concrètement identifiables. Cette
lecture est strictement narrative. Le
second niveau s'appuie sur les traits
qu'elle détourne de leur signification
originale. Cette lecture est graphique,
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 7 on 30
et doit être recevable dès que l'on souligne ces traits. Enfin l'ultime niveau
laisse parler l'inspiration avec les motifs des ombres et des lumières, des
aspects presque cachés de l'oeuvre.
Du carré au rectangle, puis du rectangle au cercle
La composition met en action des
principes mathématiques. L'un des plus
beaux, et pour cette raison l'un des plus
fréquents, fait intervenir la fameuse
proportion dorée. Nous avons cru par
erreur qu'elle était apparue avec
l'identification numérique du nombre
d'or :
φ = (1+√5)÷2 ≈ 1,618 034
avec φ2 = φ + 1
Or pendant des mi l léna i res , la
proportion dorée a été considérée
c o m m e u n p u r p h é n o m è n e
géométrique, dans le contexte d'une
pratique à la règle et au compas. Tout
rectangle doré en engendre un plus
petit par soustraction d'un carré. Le
rapport entre ces deux rectangles est la
proportion dorée, mais on peut la
construire.
Dans le cas de Melencolia, l'on peut extraire les quatre rectangles
dorés inscrits au grand carré.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 8 on 30
La division du côté du grand carré par φ
fixe le diamètre du cercle qui dessine
l'arc-en-ciel. C'est la première preuve
de la validité de la composition. Les
détails que nous avons énoncé
précédemment la confortent : le visuel
complet est à la page suivante. Dürer
a intégré d'énormes contraintes dans
ce projet, particulièrement celles du
vieillissement du papier. Ses gravures
sont conçues pour subir les siècles.
Preuve en est de la révélation tardive
de cette composition - près de cinq
siècles après sa conception. En
homme de métier, Albrecht Dürer a
induit des marges dans ses formes,
sans qu'elles n'altèrent la précision de
leur structure mathématique.
Ainsi les vibrations de l'arc-en-Ciel, outre de produire leur effet de sfumato
esthétique, évitent que les déformations du papier n'altèrent son cercle. Pour
être trop précis à l'origine, il deviendrait faux dans le temps.
Il faut le trait de la composition
pour le voir : la lanière de la
bourse dessine une langue au-
delà du carré. Une façon pour
Dürer de dénoncer la cupidité.
Tout en haut, la diagonale du
carré rejoint le cercle de l'arc-en-
ciel au bord de la gravure. Ce que
souligne l'ergot du phylactère. Le
‘O’ de MELENCOLIA et le C
bordent cette diagonale.
Le compas ne s'arrange pas de
façon militaire avec ces lignes,
t r o p c a r r é e s à s o n g o û t .
Cependant, il démontre toute la
précision de son appréciation.
D e u x l i g n e s o n t d u s e n s
concernant cet instrument, si l'on
considère la section carrée du
métal :
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 9 on 30
la ligne intérieure sur l'avant, et la ligne extérieure à l'arrière. La
première touche le milieu du cadre avec son angle, et la seconde
touche une ligne dorée à son extrémité.
La boule du compas est sur le cercle, dans son cadre, c'est à dire avant
qu'il ne devienne celui de l'arc-en-ciel. Le Oméga qui pend au fléau de
la balance souligne à la fois le milieu du cadre et sa ligne supérieure. Et
tout en bas, dans une certaine mesure, le croisement de la scie et de la
règle joue avec les lignes de référence du cadre. Le marteau également
s'accommode d'une ligne dorée, comme un peu plus haut le bord du
chaudron.
Le point qui se révèlera le plus important par la suite est l'angle extrême
du polyèdre. Plus on s'écarte du centre de la gravure et plus le dessin
original est tributaire des déformations du papier dans le temps. Voilà
pourquoi Albrecht Dürer a dessiné un angle abîmé, écorné même,
comme si la pierre avait avait voyagé avec lui jusqu'en Italie...
Cette somme de détails met peu à peu notre oeil en confiance,
néanmoins ces seuls arguments ne suffisent ni à nous convaincre
définitivement et surtout, pas à nous expliquer ce qu'est l'art de la
composition. Cette première étape est à la construction picturale ce que
le terrassement est à l'architecture : une base nécessaire qui ne rend
que très peu compte de ce que sera le résultat final.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 10 on 30
DU CARRÉ JUSQU'AU CERCLE
Du carré au rectangle, puis au triangle, puis du triangle au cercle
Dürer continue son exposition du
vocabulaire géométrique de base.
Comment maintenant p lacer un
rectangle fondamental dans un carré ?
Nous avons vu le rectangle doré, qui
s'inscrit dans le sens des côtés du
carré. Il faut désormais trouver autre
chose. Par exemple, que la diagonale
du rectangle soit au milieu du carré.
Si l'angle du rectangle touche le bord,
on a affaire à un autre carré, inscrit, et
placé en losange (√2 fois plus petit). Il
faut trouver autre chose. Le triangle de
type 3-4-5 est un candidat idéal.
Dessinons donc un rectangle aux
proportions 3x4, avec sa diagonale au
milieu du cadre d'origine : le grand
carré. Pour l'instant on ne se soucie pas
des mensurations exactes, juste des
proportions entre les figures. D'où le ‘3’
etc.
Le visuel suivant est trop grand pour être placé ici, et ça tombe bien puisqu'il
va être question de Cupidon : il nous faut justifier son identité. Le petit ange
au centre de la gravure est souvent qualifié de putto. Cependant, ce
personnage est beaucoup plus qu'un hymne à l'Amour inspiré à l'artiste par
sa nostalgie de l'Italie. Le putto est un nourrisson joufflu et moqueur... Les
Allemands de Franconie seraient-ils plus précoces que les Vénitiens ou
autres Siciliens, précoces au point de savoir lire et écrire en bas âge ? Et son
attitude générale se prête plus au procès verbal qu'à la rêverie... Dürer ne
laisse rien au hasard; il campe un personnage affairé, sérieux et concentré,
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 11 on 30
qui ne peut pas être un banal putto. Les plateaux de la balance se font l'écho
de ses ailes. Or justement le signe astrologique de la Balance a pour planète
Vénus : Vénus, mère de Cupidon. Enfin, et ce détail est le plus probant de
tous : la position des bras et des mains de l'ange sont exactement celles de
l'archer qui se prépare à tirer une flèche. La ressemblance avec le Cupidon
des tarots de Dürer/Conver est en cela frappante. Même le bord de la tablette
évoque la forme d'un arc, avec sa ficelle qui dépasse !
Le rectangle a pris la mesure du
grand carré par sa diagonale; Il
peut désormais trouver une place
plus sage, à la verticale ou à
l'horizontale.
Les diagonales dessinent alors
une série de triangles.
Particularité intéressante de la
rosace qui se constitue : deux
triangles d'orientation différente
partagent le même cercle inscrit.
L'hypoténuse d'un autre triangle
trouve le ‘I’ du titre de l'oeuvre.
Sa symétrique épouse le pli de la
robe de l'Archange et passe près
du triangle noir tout au bas de la
roue de pierre (meule). Ce
triangle est le signe de la fertilité,
un symbole paléolithique... Enfin,
le rectangle vertical touche la tête
du chien sur la gauche et surtout
en haut, il s'appuie sur l'Alpha du
carré magique, et sépare l'aile de
l'archange du sablier.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 12 on 30
Ce n'est pas un point de détail.
L'Archange ne touche pas le
symbole de Saturne, même s'il
en est proche. En revanche il
touche de son aile, juste, l'un
des plateaux de la Balance,
signe de Vénus. Y aurait-il du
Mars en ce personnage ? Doit-
on s'en étonner ?C'est saint
Michel, le chef des armées
célestes. Son pied droit est
fermement posé sur le seul outil
qui ressemble à une épée (la
scie, nous y reviendrons).
La rosace ci à droite n'est pas
seulement esthétique. L'une de
ses petites amandes capte une
précieuse indication : le chiffre
7. Posé au dénominateur ce
nombre désigne Mercure,
particulièrement dans π/7. Au
numérateur, il se réclame de Jupiter !
La ligne basse du rectangle
horizontal trouve à gauche, le
signe de l'oreille du chien. Ce petit
mot i f n 'es t pas fac i lement
identifiable. Or si Dürer l'avait
voulu, il le serait. L'on reconnait
un animal, proche du lion, du
chien ou encore du primate. On
peut, de façon générique l'appeler
la bête - en ajoutant avec intention
l'accent de la campagne. C'est “la
béte”. De l'autre côté sur la droite,
la ligne trouve une clef. Le
trousseau entier s'aligne sur la
diagonale bleue.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 13 on 30
Un autre visuel se prépare. Le principe de sa constitution est simple. Il y
a tant de lignes à montrer, que l'on doit en réduire le nombre et les
étudier par thème. Ainsi les quatre triangles possibles de ce rectangle
ont chacun trois bissectrices (les droites qui coupent leurs angles en
deux).
Sur ce visuel, les bissectrices
vertes des quatre triangles sont
confrontées aux cercles de l'arc-
en-ciel du grand carré, en jaune.
D'un côté des triangles de type 3-
4-5, et de l'autre des cercles
dorés. Toutes ces figures ont en
commun une commune origine,
u n e m ê m e s o u r c e à l e u r
c o n s t r u c t i o n : l e c a r r é
fondamental. Et ô surprise,
quatre bissectrices se conjuguent
avec quatre cercles dorés, de
façon parfaite sur leurs amandes.
Ce n'est pas banal, on a affaire à
une authentique propriété. Et la
leçon symbolique peut s'énoncer
comme suit : les lignes internes
du triangle 3-4-5 ont une affinité
avec le nombre d'or.
La géométrie égyptienne en apporte de nombreuses preuves :
http://www.jacquier.org/Yvo_Jacquier-Geometrie_egyptienne-2014.pdf
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 14 on 30
Appliquons le même procédé aux
rectangles, et rassemblons tous
les cas où l'une des diagonales
est verticale ou horizontale.
Quatre rectangles font huit
triangles. Un cercle cerne le tout.
Une diagonale/hypoténuse vient
chercher le pli de la robe, en
direction du rabot. Cette même
droi te vers le haut , prend
l'inclinaison de l'aile pour trouver
le milieu du sablier.
Préambule au chapitre suivant
Les non mathématiciens qui font l'effort de comprendre la composition
de Melencolia méritent l'attention et le respect de l'auteur. La géométrie
de Dürer est à la fois la plus complexe et la plus didactique de tous les
temps (en cela, Dürer est à Botticelli ce que Bach est à Stravinsky dans
le domaine musical). La démonstration qui va suivre ne doit effrayer
personne : il s'y passe deux choses en même temps, deux
phénomènes. Cette conjonction est le propre du génie de Dürer et de
son époque, mais rien ne nous empêche de les étudier séparément,
puis de les laisser se réunir tranquillement dans notre esprit. D'une part la composition géométrique des tarots s'accorde à l'échelle
de Melencolia : le quadrillage qui leur sert de trame se règle
simplement sur la sphère du premier plan. D'autre part le triangle que
nous avons étudié prend une place et une orientation et fait
explicitement référence aux tarots. Pour la petite histoire, le format des cartes et celui de la gravure sont
naturellement en accord. À l'origine, la confrontation des images ne
réclamait aucun changement d'échelle.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 15 on 30
L'ÉCHELLE DE MELENCOLIA
La géométrie avec les yeux
Les éléments les plus simples de la géométrie avec les yeux, celle des
populations mégalithiques devenue pythagoricienne puis celte,
byzantine, romane ou encore gothique et russe jusqu'à ce qu'elle se
fonde dans le creuset de la Renaissance italienne pour préparer
l'avènement de la science, ces éléments les plus simples sont
aujourd'hui ignorés. Ne nous étonnons pas que les Anciens soient
taxés d'empirisme sous prétexte de leurs croyances précaires. Le
mépris est si facile envers ce que l'on ne comprend pas.
Les principales propriétés du triangle 3-4-5
sont :
1 = Rayon du cercle inscrit (dit intime)
2 = Diamètre du cercle inscrit
3 et 4 = Côtés formant l'angle droit - cathètes.
5 = Hypoténuse, diamètre du cercle circonscrit
6 = Surface du triangle
7 = Pente de l'hypoténuse quand le triangle
pivote de 45° - c'est le cas des tarots.
2.φ = Distance du sommet au cercle inscrit
sur la bissectrice d'ordre 2 (voir visuel).
- Les bissectrices sont les diagonales naturelles d'un simple, double et triple carré.
- Les bissectrices d'ordre 1 et 3 sont les diagonales naturelles d'un rectangle doré.
La composition des tarots comprend un système de
sept triangles liés entre eux par une homothétie (ils
sont semblables). Chacun représente un astre, de la
Lune à Saturne. L'ensemble des figures est construit
sur un quadrillage qui pivote au final de 45°. Le
double carré qui sert de cadre aux cartes est ici
représenté en imposte.
Deux triangles sont utiles à la compréhension de
Melencolia : Le triangle du Soleil et son cercle
inscrit (d = 2) et le triangle de Jupiter et son grand
cercle (D = 35/6).
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 16 on 30
Une parfaite concordance Le rapport entre le cercle de l'arc en ciel et celui
de la boule, sur Melencolia, est exactement le
même que celui des deux cercles des tarots, à
savoir : le cercle circonscrit de Jupiter et le
cercle inscrit du Soleil.
L'on peut en conséquence accorder les deux
couples de cercles jusqu'à les confondre. En
d'autres termes : on peut mettre le cadre des
tarots à l'échelle de Melencolia.
Sur ce visuel, le cercle intime des tarots est
accordé à celui de la sphère. Toute la
composition des tarots se retrouve à cette
même échelle. Le cercle de la mandorle épouse
alors parfaitement l'arc-en-ciel, exactement
comme le cercle issu du grand carré de
Melencolia.
La bissectrice dorée du triangle solaire montre l'échelle. Les
compositions sont en effet, à la même échelle.
Suite de l'aventure : la magie des angles
La propriété mathématique la plus surprenante est la présence de la
proportion dorée sur une des bissectrices du triangle. À cette propriété, Dürer
va combiner celles d'une orientation particulière : Quand l'une des diagonales
d'un rectangle doré se met à l'horizontale, l'autre diagonale devient aussi la
diagonale d'un double carré.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 17 on 30
Explication : Le rayon du cercle vert mesure √5/2 par construction (son
centre est au milieu d'un double carré). Le petit angle (noté ••) de la diagonale
d'un rectangle doré est la moitié du grand angle de la diagonale d'un double
carré. Si bien que si l'on incline un rectangle doré de cet angle noté ••, l'une
de ses diagonales se retrouve à l'horizontale...
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 18 on 30
LE GRAND TRIANGLE DE ZEUS
Le cercle de l'arc-en-ciel de Melencolia et le grand cercle de Jupiter des tarots
ne font qu'un. En conséquence, le grand triangle que nous étudions est celui
de Jupiter multiplié par le nombre d'or. Les deux triangles sont du même type
(3-4-5) et ils ont le même rapport que l'hypoténuse du grand triangle et le
diamètre du cercle de l'arc-en-ciel : φ.(NB : le diamètre du cercle circonscrit à
un triangle rectangle est égal à son hypoténuse) Pour cette raison, il est
légitime d'attribuer le grand triangle à Zeus.
Mesures du Grand Triangle de Zeus
d = (7/3).φ ≈ 3,775 413 Cercle inscrit
‘Sin’ = (7/2).φ ≈ 5,663 413 Petite cathète
‘Cos’ = (14/3).φ ≈ 7,550 413 Grande cathète
D = (35/6).φ ≈ 9,438 413 Cercle circonscrit
S = 7.φ Surface
RD = (7/3).φ2 ≈ 6,108 413 Longueur du rectangle doré
Calé sur la croix que forment deux lignes d'or du grand carré, voici
le rectangle doré de Zeus (celui qui prend ses mesures sur la
bissectrice dorée à l'aide du cercle inscrit). Il est présenté en
position horizontale - avant de prendre place sur le triangle, et
montre de curieuses affinités avec le polyèdre !
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 19 on 30
La position étrange du triangle de Zeus
L'inclinaison du triangle de Zeus
1) L e r e c t a n g l e d o r é q u i
s'installe sur sa bissectrice du
même nom a une diagonale à
l 'horizontale quand l 'autre
indique un double carré vertical
(en tant que diagonale).
2) L'angle β du petit côté du
triangle avec l'horizontale, a
pour tangente φ.
Surface du triangle du Soleil : 6.
Pour Jupiter : 7. Pour Zeus : 7φ.
La translation du triangle de Zeus
L'angle gauche est sur la médiane horizontale
du grand carré et le centre de son cercle inscrit
se pose sur la diagonale.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 20 on 30
Bis repetita placent...
Voici d'autres visuels du rectangle doré de Zeus.
Le cadre des tarots
Pourquoi Dürer met-il en scène la
diagonale avec autant de soin ? Le
d o u b l e - c a r r é q u e r é c l a m e l a
composition de Melencolia n'est autre
que celui des tarots.
La carte reine du jeu, l'arcane XXI du
Monde répond parfaitement à cet
appel. L'arc-en-ciel devient mandorle
et le polyèdre piédestal. L'écharpe
trouve la lumière de la comète et le
sceptre/rouleau s'inscrit entre deux
barreaux de l'échelle.
Une révélation !
Une autre place du cadre se révèlera par la suite,
qui elle vaut pour toutes les cartes.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 21 on 30
L'apparition du Monde (XXI)
Le cadre des tarots est sur la
diagonale du rectangle doré de
Zeus. Et il se cale, comme le
cercle inscrit au triangle, sur la
diagonale du grand carré. Dans
ces conditions, il touche presque
le cercle.
Cette figure mérite une grande
attention. Tous les éléments
s'alignent avec une précision
phénoménale. Ce visuel est
également un authentique sujet de
méditation. Aucune autre carte
que l'arcane XXI ne se sent aussi
bien à cette place. Face à ce
spectacle, l'on comprend que la
gravure et le jeu de cartes dit “de
Conver” ont été conçus comme un
ensemble cohérent.
Le projet didactique de Dürer.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 22 on 30
Un bon point et une colle
Ce visuel exhibe plusieurs
surprises. La plus belle est l'angle d'or
qui monte depuis le cadre du
grand carré (~137,5°). Cette
droite prend dans sa ligne de
mire le pied du personnage, le
cercle de son sceptre/rouleau,
l'axe de la balance et le
sommet du sablier. L'on sait désormais pourquoi
le personnage du monde lève
le pied !
En revanche, le léger décalage vers le haut du centre du cercle gauche
de la mandorle ouvre une question. L'étude indépendante de la carte
met en évidence deux cercles de Jupiter parfaitement symétriques,
avec leurs centres au niveau du milieu du double carré. Or un angle de
~0,7° se forme entre les deux centres.
Les deux “niveaux” se croisent au dos de la main, précisément autour
du cercle que le personnage exhibe. Pour l'instant un seul fait est à
rapprocher de cet écart : la ligne d'horizon fait une pente du même
ordre, que prolonge en partie le bas du sablier par le jeu des ombres.
Cette inclinaison n'est pas à imputer à la maladresse : Dürer l'a voulue,
vraisemblablement pour de multiples raisons, dont celle de rattraper les
effets de la déformation du papier dans le temps. Une autre réalité peut
être à cette occasion évoquée : le phénomène des marées.
Particulièrement dans l'ambiance lunaire du tableau (une des pistes les
plus sérieuses pour en expliquer l'éclairage particulier). Auquel cas la
barque que représente la mandorle par sa forme se mettrait en quelque
sorte à tanguer.
Dürer est si précis que la moindre anomalie prend l'allure d'une
conjecture !
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 23 on 30
LE GRAND RECTANGLE DE ZEUS
La citation de π
Pour placer les bords de sa
gravure en haut et à droite, Dürer
a u t i l i s é u n p r o c é d é
particulièrement inattendu : Un rectangle de type 3 en
hauteur pour 4 en largeur se
développe au dessus de la moitié
inférieure du grand carré. Il
s'aligne sur la verticale gauche
du carré. La diagonale de ce rectangle
m e s u r e e x a c t e m e n t l a
circonférence du cercle inscrit au
triangle de Zeus. L'idée de placer les bords de la
gravure est particulièrement
ambitieuse. La gravure est
particulièrement capricieuse sur
ces marges autrement appelées
corbeille là où la presse laisse sa
trace.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 24 on 30
Première coïnc idence : la
bissectrice verte d'un triangle
appartenant au premier rectangle
que nous avons placé sur le
grand carré, coupe la diagonale
rouge sur son bord blanc.
Deuxième coïncidence : une
amande de la rosace des
cercles des mêmes rectangles,
étudiés au début, pointe sur la
diagonale rouge.
NB : les deux rencontres ne
dépendent pas de la longueur
de la diagonale.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 25 on 30
PLACE CENTRALE DES TAROTS
Le quadrillage
Les tarots trouvent une place générique
s u r Melencolia. Toutes les cartes y
défilent pour se confronter à saint Michel.
Par ailleurs, chaque carte trouve une
place privilégiée sur la gravure, qui met
ses symboles en valeur. Par exemple la
Justice, arcane VIII, prend celui de la
balance en écho à la sienne. Le présent article se concentre sur la
composition. Cette histoire figure dans
les autres, consacrés plus spécialement
aux tarots. En l'occurrence, le point de
croisement des lignes du quadrillage 6 et
1, en diagonale, vient se poser sur le
point d'accroche du triangle de Zeus sur
le polyèdre.
Le quadrillage partage l'unité de
Melencolia. La valeur de repère est la
sphère du premier plan, dont le
diamètre est 2. Il est à noter que
l'échelle de mesure s'établit avec
l ' e n s e m b l e d e s c o m p o s i t i o n s ,
particulièrement celles de grandes
mensu ra t ions comme le g rand
rectangle de Zeus et sa diagonale.
Celle-ci a permis d'affiner l'unité au-
delà du millième. L'établissement de
l'unité s'effectue par recoupement de
nombreuses informations. Les lignes de
l'homothétie sont partie prenante dans
la composition de Melencolia. Celle des
‘sinus’ passe sur la tête de Cupidon et
sous Oméga. Celle du centre des
cercles passe sur la tête de l'Archange
et sur la lettre Alpha que dessine le 4 du carré magique.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 26 on 30
Les triangles astrologiques
Les deux triangles représentés ici
sont celui du soleil (d=2) et celui
de Jup i te r (d=7 /6 ) . Leu rs
bissectrices dorées, en jaune,
s'inscrivent entre les montants de
l'échelle. C'est un des effets les
p lus spec tacu la i res de la
confrontation des tarots avec
Melencolia.
Ensuite, le ‘cosinus’ de Jupiter
vient chercher un des sommets
du polyèdre.
Enfin, l'hypoténuse du Soleil
passe en haut en plein milieu de
la comète (!) et en bas, à
l'extrémité de la règle.
D e u x c o ï n c i d e n c e s s e
produisent avec la composition
de la gravure.
Une diagonale du grand carré,
en blanc, passe par le point
d'intersection entre l'hypoténuse
du Soleil et le ‘cosinus’ de
Jupiter.
Ensuite, le point de tangente du
cercle de Jupiter est sur une
ligne d'or du grand carré.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 27 on 30
Le jeu des aires
Enfin l'hypoténuse du triangle de
Zeus trouve un deuxième point
du quadrillage, en plus de celui
qu'il partage avec lui à l'angle du
polyèdre. Il est à noter que ce
second point est sur le 7 inscrit
sur la manche de l'Archange. Le
7 de Jupiter, qui marque ses
mensurations.
Ce point dialogue en quelque
sorte avec le premier, ce qui
nous invite à constituer la figure
suivante.
Les deux lignes du quadrillage
qui passent par les points de
contact entre le triangle et le
q u a d r i l l a g e f o r m e n t
naturellement un triangle isocèle
de côtés jumeaux 5 et de grand
côté 5√2.
5√2 est la hauteur du cadre des
tarots, que nous devons alors
placer à l'horizontale. Il reste de
la place en bas pour un triangle
verticalement symétrique au
premier. La confrontation avec
les éléments de la gravure est
étonnante de précision.
Chaque triangle fait la moitié de
la surface du cadre des tarots
(25/2), si bien qu'au total la
figure en compte 50. Et l'on a ici
rassemblés, le cercle, un
double-carré et deux demi carrés.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 28 on 30
L'Ankou, figure de référence
Le personnage de
l'Arcane sans Nom est le
seul à affronter
franchement le regard
de l'Archange... Sur ce visuel l'ensemble
des éléments de la
composition se
combinent comme par
magie. Un rectangle
doré prend naissance
sur la diagonale que fait
le petit côté du triangle
de Zeus, puis ajoute un
carré sur sa droite. Sa
diagonale verte est la
bissectrice dorée du
grand triangle. Le centre du cercle de
Zeus (inscrit) est sur le
trait qui cerne la tête de
l'Ankou. À l'opposé du
cadre des tarots, la
diagonale du premier
rectangle doré croise la
bissectrice de l'angle
droit (triangle), et le bord
du rectangle de Zeus.
Rendez-vous s'il en est
sur le cercle de la Faux !
Christophe de Cène nous fait remarquer qu'une droite joint le centre de
la sphère au milieu du pied du sablier avec un angle de 36° par rapport
à la verticale. Il passe du centre de la boule à travers le trou de la
meule de pierre, et se prolonge au coin du carré magique jusqu'au
sommet de la cloche. On peut encore ajouter la ceinture de Cupidon
(héritage maternel) à cet inventaire ! Une étude est en cours sur
l'interprétation de cette ligne.
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 29 on 30
Ce visuel est le bouquet final d'un article qui réserve peu de place à
l'interprétation. Néanmoins l'on peut tisser quelques trames de réflexion
et de méditation. Sur la religion, différentes couches se superposent. Le
symbole paléolithique de Vénus (triangle noir) coupe le pied de la Mort.
Jupiter se fait coiffer par Zeus, l'Ankou appelle toute la culture
druidique, et à travers saint Michel, Dürer expose les basiques du
catholicisme.
La science a la place qu'elle peut en 1514 : celle d'une préfiguration. À
travers la qualité des mathématiques que le maître déploie dans ses
compositions, mais aussi par les thématiques sous-jacentes aux
arguments qu'il expose : un sablier pour compter le temps, une balance
pour peser, un compas pour mesurer les distances, une cloche pour
donner le La, et même de la bougie pour évaluer la lumière (les plis du
vêtement de l'Archange n'évoquent-ils pas cette matière ?). Ces
instruments de mesure sont des outils de comparaison davantage que
le matériel dont la science aura besoin pour progresser.
Que pense l'Archange de tout cela ?
Yvo Jacquier © Géométrie comparée | La composition de MELENCOLIA de DÜRER 30 on 30