La construction du nombre au cycle 1...texte du masque Deuxième niveau Troisième niveau − Quatrième niveau Cinquième niveau Comparaison Les boites empilées MS/GS Des boîtes

La construction du nombre au cycle 1

Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 1

Mes sources

CDROM : Apprentissages mathématiques en maternelle, Joël Briand, Martine Loubet, Marie-Hélène Salin, Hatier, 2004Découvrir le monde avec les mathématiques, Dominique Valentin, Hatier, 2004 (deux tomes)Apprentissages numériques GS, ERMEL, Hatier, 1990Grand N Spécial maternelle, tome 1 et 2, IREM de Grenoble


Domaines d'activités de la maternelle

Découvrir les formes et les grandeursApprocher les quantités et les nombresSe repérer dans le tempsSe repérer dans l’espace

Programmes 2008


Document d’accompagnement des programmes 2002

La fréquentation des nombres dans des activités occasionnelles liées à la vie de la classe ou dans les jeux est nécessaire mais ne suffit pas à la construction des compétences numériques visées. Des occasions doivent être ménagées où les enfants ont un problème à résoudre, c’est à dire sont confrontés à une question qu’ils identifient et dont ils cherchent à élaborer une réponse, puis se demandent si la réponse obtenue convient…


Programmes 2008

Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.


Résultats, procédures et techniques

- à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer

Langage et représentations- verbales- symboliques

Définition et Propriétés- utilisées implicitement- explicitées

Problèmesqu'il permet de résoudre

Un apprentissage complexe…pour tout concept d’après G. vergnaud

6Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011


Les problèmes sur les quantités et les nombresCes problèmes sont choisis pour que les

nombres y apparaissent comme des outils efficaces pour :

• Comparer des quantités• Mémoriser et communiquer des informations

sur les quantités• Réaliser une collection ayant autant, plus ou

moins d’objets qu’une autre collection


Les problèmes sur les nombres• Repérer des positions dans une liste

ordonnées d’objets

• Anticiper le résultat d’une action sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) ou sur des positions (déplacement en avant ou en arrière)


Chercher… pour apprendre


Nombres et mémoire des quantitésUne situation "de référence”

Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.

Exemples de problèmes de la PS à la GS


– Collections assez nombreuses et proches PS– Placer les bouchons : respect de la contrainte

– Jusqu'à 5 ou 6 bouteilles, bouchons proches PS– Préparer sur un plateau avant de placer

– Jusqu'à 4 bouteilles, bouchons éloignés fin PS, MS– Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une

seule fois)

– Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés fin MS, GS

– Aller chercher en plusieurs fois– Aller chercher avec un plateau en une seule fois

Construire une collection équipotente à une collection donnée

« Les voyageurs » ERMEL GS

MS/GS

Il faut aller chercher juste assez de voyageurs (les bouchons) pour remplir toutes les places de la voiture

12

-Des boîtes pour figurer des voitures, avec un quai-Des places dessinées-Des bouchons

Situation fondamentale du nombre cardinal

Divers habillages pour cette situation à support matériel en MS et GS :Les voitures et les voyageursLes math-œufsERMEL GS

Voitures et garagesLapin et carottesCDROM Apprentissages mathématiques en maternelle

La ferme de MathurinDécouvrir le monde avec les mathématiques



Situation fondamentale du nombre cardinal

Divers habillages pour cette situation en début de CP :

– Le robot– Les mosaïques

ERMEL CP– Les ziglotrons

Capmaths CP


Le nombre mémoire de la quantité une activité à l'articulation Maternelle-CP

D'après Cap maths CP

1. Aller chercher, en une seule fois, juste assez de gomettes pour réparer le ziglotron (MS, GS, CP)

2. Les commander oralement (GS, CP)

3. Les commander par écrit (GS, CP)


Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut

la prolonger.


Deux axes de travail• Travailler sur des situations “matérielles ”Réserver le travail sur fiche à l’entraînement en GS

et au CP

• Travailler avec les productions des élèves« La prise d’information sur le comportement des

enfants face aux tâches proposées et sur les compétences qu’ils manifestent dans leur réalisation est donc primordiale pour adapter au mieux les situations proposées. Pour cela, les activités papier-crayon constituent rarement un moyen pertinent. » Document d’accompagnement 2002


Quatre objectifs importants pour la maternelle

• A quoi servent les nombres ?

– Exprimer les quantités pour les mémoriser

– Repérer et exprimer des positions dans une liste

– Traiter des problèmes "arithmétiques"

• Suite orale des nombres : stabilisation

• Dénombrement : différentes méthodes

• Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique

Importance de la "comptine" orale et du dénombrement

L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures…

Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos


L'acquisition de la comptine : quelques

étapes

Grande variabilité selon les enfants(donc valeurs moyennes)

4 ans et demi : récitation jusqu'à seize

5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante

Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement

ni savoir utiliser


Niveau d’élaboration et procédureFuson

Le chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétiqueLa chaîne insécable : pas de possibilité de commencer au milieuLa chaîne sécable : compter à partir de La chaîne terminale : début d’automatisationLa chaîne bidirectionnelle : dans les deux sens

21Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011

Connaître la "comptine"Vers 6 ansA partir de 1 jusqu'à…

A partir de … jusqu'à…

A rebours (décompter)

Utilisation pour dénombrer

A partir de 6-7 ansCompter et décompter n nombres à partir de …

Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés


DénombrementPlusieurs compétences à développer

Reconnaissance immédiate de petites quantités

Quantités repères : constellations, doigts…

Comptage un par un (3 principes importants) Correspondance nombre – objet

Dernier nombre dit

Indépendance du parcours des objets

EstimationRoland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 23

Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble

1 2 3 4

5

5

Principe cardinal (Rochel Gelman)

=?


Dénombrement par comptage un à unquelques repères


47 %37 %5 %11

objets

80 %47 %19 %7 objets

5 ans4 ans3 ans

Les difficultés des élèvesSuite orale non stable, non conventionnelleImportance de l’ordre, de la disposition spatiale, de la nature des objetsNon coordination de la correspondance un à unNon cardinalisationEn général, les élèves de PS ne comprennent pas le comptage !



un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

• Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée

• Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre

un deux trois quatre cinq

1 2 3 4 5 6 7

Ecris les nombres dictés:(830 – 86 – 700 – 107 – 292 – 660)

Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011

28

« On apprend à un enfant que "trois" c'est 3, "cent" c'est 100, "sept" c'est 7. Comment lui faire ensuite comprendre que "trois cent sept" ne s'écrit pas 31007? » « Il faut construire la logique numérique à partir de la langue. » Stella Baruk

29

Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011

triple code et « petits nombres »

dehaene

30

trois 3

Marie-Paule D

ussuc-Roland C

harnay- 2011

Le nombre pour mémoriser ou représenter une quantité

31

Des situations d’apprentissage

Dénombrement par comptageJoël Briand

nécessite la mise en œuvre de compétences élémentaires et de savoirs pré-numériques et logiques à coordonner

◦ la collection,◦ l’inclusion, la partition◦ la désignation, la correspondance

terme à termel’énumération.


Enumération d’une collection (J. Briand)

action de structuration d’une collection qui permet de la parcourir de façon ordonnée et contrôlée.

désigner un à un, et une seule fois tous les objets de la collection, sans en oublier. L’ordre dans lequel on énumère les objets n’a pas d’importance.


Des situations pour la PS


• Aller chercher juste ce qu’il faut de jetons pour…

Des situations pour la PS


Les boîtes d’oeufs

• Il faut aller chercher dans son plateau des châtaignes pour remplir la boîte d’œufs sans en prendre trop.

• Le nombre de voyages n’est pas limité

Dominique Valentin

Découvrir le monde avec les mathématiques

Cliquez pour éditer le format du plan de texte

Second niveau de plan

− Troisième niveau de plan

Quatrième niveau de plan

− Cinquième niveau de plan

− Sixième niveau de plan

− Septième niveau de plan

− Huitième niveau de plan

Neuvième niveau de planCliquez pour modifier les styles du texte du masque

Deuxième niveau Troisième niveau

− Quatrième niveau Cinquième niveau

Les autres situationsSur les quantités (à partir de la PS) Comparaison non

numérique Appariement

Sur les nombres Aspect cardinal (dès la MS)

Comparaison Partage

Aspect ordinal (dès la GS)













ComparaisonLes boites empilées MS/GSDes boîtes ou assiettes empilées

avec 3 ou 4 ou 5 objets par boîte

Un dé

On jette le dé ; on gagne le contenu de la boîte du dessus si le nombre d’objets est inférieur au nombre de points marqués par le dé

Le même jeu peut avoir lieu avec les boîtes alignées

On peut alors choisir la boîte “gagnée”

ERMEL GS37


Partage (GS, adaptable en MS… et au CP)

– 25 objets, 6 pochettes– mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette – Puis, contrainte supplémentaire : il doit y

avoir tous les types de pochettes

Replacer un objet à sa position(aspect ordinal)

Respecter le rang GS/CPUne frise modèle constitué d’une suite d’images, placée plus loin.

L’élève dispose d’une frise vide, sans images, et d’une image,

il doit la replacer sur la frise vide au même endroit que sur la frise modèle.CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle

Marie-Paule D

ussuc-Roland C

harnay- 2011

39


Approche du calcul de la GS au CP

Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS

Les problèmes d'abord

"Calcul" en GS ?


Quels résultats, quelles procédures ?

à mémoriserà savoir élaborer

Comment ?

Quel langage ?verbal

SymboliqueComment dire ?

Quelles explications ?Pourquoi ?

Quels problèmes ?Pour quoi faire ?












Quels problèmes en GS ?Sur les quantités

Résultat d’une augmentation ou d’une diminution

Valeur de la transformation

Etat avant transformation

Résultat d’une réunion

Complément

Résultat d’un partage

Positions sur une piste

Position après un déplacement (en avant ou en arrière)

Valeur du déplacement

Position avant déplacement


Quelles procédures pour ces problèmes?

1- procédures qui relèvent du comptageElles s’appuient soit sur « une figuration réalisée » de la situation (recours aux doigts)sur une figuration mentale de la situation (l’élève visualise les collections, dans sa tête)Ce sont le recomptage, surcomptage, décomptagesur les écritures chiffrées et la bande numérique, c’est le double comptage

43

44

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

un deuxtroisquatrecinq six sept

Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011

Double comptage sur la bande numérique

Pour : « 6 et 7 »

2- procédures qui relèvent plutôt du calculL’élève visualise des collections types (de doigts), lié souvent à de la perception globaleL’élève utilise des résultats mémorisés « je sais que deux et deux ça fait quatre »

Marie-Paule Dussuc - avril 2011- IUFM Bourg 45


Problème de réunion

GS/CP– cartes portant des points dessinés de 1 à 5– on montre une carte, on dit le nombre de points, on la

retourne – on recommence avec l'autre carte, en la plaçant tout à côté

de la première– quel est le nombre de points cachés ?

Validation en retournant les cartes

Résultat d’une réunion

Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011 47

Le bon panier (CDROM Hatier)

L'enfant qui entre au CP…

… a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés…

… sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat.

A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul, mais c’est le CP qui installera le symbolisme et les techniques (programmes 2008)Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 48

ANTICIPER / VALIDER aspect essentiel de ce type de situation


ManipulerFavorise

l’appropriation de la situation et du problème

Anticiper

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

Il est important que chaque élève puissent faire plusieurs essais


Deux autres aspects importantsLes interactions entre élèves : imitation, aide, confrontation, observationLes interactions avec l’enseignant : verbalisation, sollicitation


L’ adaptation des situationsNécessité d’évaluer les connaissances de chaque élève :La comptine numériqueLe dénombrementLa constitution d’une collection de cardinal donnéLe successeur d’une nombreLa lecture des nombres


Des enjeux communs pour toute l'école primaire


• Acquérir des outils, des connaissances

• Etre capable de les utiliser, en autonomie

• Etre capable d'initiative pour aborder une question nouvelle, seul ou avec d'autres

• Rôle central de la résolution de problèmes

Trois axes de travailTravailler sur des situations « matérielles »Au cycle 1, quelques fiches peuvent être conçues

en lien étroit avec la situation vécue

Travailler en s’appuyant sur les productions des élèves

Favoriser et utiliser la diversité des procédures, et des approches

Aspect de la différenciationMarie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011

54

Merci de votre attentionMarie-Paule Dussuc Mai 2011

Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011 55

Documents

La construction du nombre au cycle 1...texte du masque Deuxième niveau Troisième niveau − Quatrième niveau Cinquième niveau Comparaison Les boites empilées MS/GS Des boîtes