La evaluación en el aula de matemáticas M Y R I A M A C E V E D O C A I C E D O "

Introducción

Antes de plantear algunos puntos de reflexión acerca del sentido y carácter de la evaluación en el aula de matemáticas, considero importante mencio­nar referentes que aparecen en la legislación colombiana y que segura­mente han sido ampliamente discutidos y trabajados por docentes y directivos en sus instituciones a lo largo de casi una década.

Derivado de la Ley General de Educación, y en relación con la "evalua­ción del rendimiento escolar", en la resolución 2343 (junio de 1996)1, se men­ciona un principio que no se cuestiona, al menos explícitamente desde la esencia del contenido del Decreto 0230 de 2002 (que establece "criterios"), pertinente para retomar en esta discusión: "Las propuestas pedagógicas y curriculares formuladas en la Ley 115 de 1994 conllevan una nueva visión de la evaluación y de las prácticas evaluativas. Se pretende avanzar hacia un pro­ceso evaluativo dinámico y abierto, centrado en el impacto del quehacer pe­dagógico sobre las diferentes dimensiones del desarrollo integral humano"; este enfoque trae consigo, expresan, requerimientos y compromisos, por par­te del educador (dominio de aspedos esenciales del desarrollo humano y una efectiva intervención en el proceso curricular...)", requerimientos y compro­misos por parte de los estudiantes y padres de familia (participación efectiva en el proceso curricular y compromiso con el proyecto formativo)...".

Dos aftos más tarde en el documento de Lineamientos curriculares de matemáticas2, se retoma el tema y en términos más específicos se expresa:

* Profesora de la Universidad Nacional de Colombia. Miembro del Grupo de Evaluación de Competencias

1 Ministerio de Educación Nacional. Resolución 2343 de junio de 1996.

2 Ministerio de Educación Nacional. Bogotá. 1998

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"La evaluación debe ser formativa, continua, sistemática y flexible, centrada en el propósito de producir y recoger información necesaria sobre los proce­sos de enseñanza y de aprendizaje, que tienen lugar en el aula y por fuera de ella. El papel de los docentes, la institución y la familia consiste en interpre­tar y valorar las informaciones obtenidas para tomar decisiones encamina­das a la cualiflcadón de los aprendizajes de los alumnos y las estrategias".

En otro aparte se sostiene:

La evaluación debe ser más una reflexión que un instrumento de me­dición para poner etiquetas a los individuos... aunque debe incluir la adqui­sición de informaciones, importan más las formas de actuación y las actitudes de los estudiantes..., se debe evaluar continuamente al estudiante en com­portamientos que muestren su trabajo cotidiano, su actitud, su interés; in­cluyendo elementos tan variados como concepciones, comprensión de conocimientos básicos, formas de comunicación, capacidad para aplicar conocimientos, para interpretar, plantear y resolver problemas, participa­ción en tareas colectivas...

En estas orientaciones, se intentaron involucrar -aunque a mi parecer no muy profundamente- algunos elementos que sugieren cómo el signifi­cado y carácter de la evaluación ha evolucionado en la comunidad educati­va, desde una simple asignación numérica (del 1 al 5 primero; del 1 al 10 después) hasta la emisión de juicios sobre logros cognitivos o valoraciones sobre comportamiento, para constituirse, por lo menos desde los plantea­mientos teóricos, en parte integral del proceso educativo, eje fundamental del currículo y de la práctica diaria en el aula, que informa y guía a los profesores y a las instituciones en tomo a decisiones y políticas curriculares. El concepto de evaluación, considerado desde multiplicidad de perspectivas que están determinadas por sus propósitos, entre los que se considera fun­damental hoy no sólo el tener evidencias y retroalimentación sobre aquello que los estudiantes conocen o están en posibilidad de hacer, sino derivar de los análisis del proceso de evaluación inferencias que tengan impacto direc­to sobre los procesos de enseñanza y de aprendizaje. La evaluadón debería potenciar, por ejemplo, el aprendizaje de los estudiantes: las tareas usadas para evaluar se constituyen, de hecho, en un mensaje para los estudiantes acerca de qué aspectos del conocimiento escolar son importantes; esto mar­ca sus decisiones sobre el tipo y carácter del trabajo por realizar y, a su vez, la retroalimentadón sobre los resultados y el análisis de las tareas los deberían apoyar para que asuman responsabilidad frente a su propio aprendizaje.

Se empieza además a reconocer en los documentos mencionados la naturaleza compleja de la matemática escolar, que involucra no sólo los conocimientos que los escolares traen desde sus experiendas previas y con­textos y los desarrollos de la disciplina misma, sino las necesidades sociales,

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sentidos y significados en contextos sodales y culturales diversos. Desde esta perspectiva, por ejemplo, si aceptamos que la matemática es una cien­cia viva y cambiante, es parte integral del conocimiento y de la cultura y se relaciona de forma íntima con el resto de las áreas en la búsqueda de solu­ciones a problemas de la sociedad; la matemática escolar debería constituir­se hoy en una herramienta fundamental para modelar situaciones, comprender la tecnología y para ello incorporar de forma adecuada y perti­nente aquellos temas que van adquiriendo más relevancia en la sociedad.

Para ilustrar este propósito, miremos un ejemplo: todos sabemos que los números han sido y siguen siendo objeto de conocimiento en la escue­la, pero el trabajo con ellos se ha limitado al análisis no muy profundo de su estructura y al uso limitado en problemas cuantitativos de rutina, que dan cuenta de destrezas operatorias; pero hoy, nuestros alumnos se en­frentarán cada día más a situaciones que requieren interpretar los núme­ros en la descripción de fenómenos, razonar con conjuntos de variables interreladonadas, interpretar críticamente información cuantitativa, usar los números en situaciones diversas, para contar colecciones, asociados a la medida, como razones de comparación, como códigos, como coordena­das. La matemática discreta y los computadores con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representa­ción gráfica y posibilidades para modelar, han abierto multitud de campos de aplicación en la biología, la física, las ciencias sociales y las ciencias de la información, hecho que sustenta la necesidad de cambiar los énfasis. En un futuro no muy lejano estos cambios se verán reflejados en el carácter de la evaluación; las situaciones problemáticas que se propondrán en los do­minios numérico, variacional y estadístico deberán poner fundamental­mente el acento en la comprensión de lo que se está haciendo; será superflua la energía dedicada a adquirir agilidad en las rutinas, pues se potencian claramente las posibilidades de la matemática elemental para trabajar apli­caciones realistas que hasta ahora estaban vedadas por el tedioso cálculo numérico y simbólico.

Los cambios en paradigmas educativos y las nuevas visiones acerca de la educadón matemática relacionadas con concepciones distintas sobre el ca­rácter de la matemática en la escuela, que incorporan visiones de la matemá­tica como producto de una actividad humana, dinámica, constituida por un sistema relacionado de principios e ideas que se construyen a través de la exploración y la investigación, rompen con la mirada diagnóstica y de tipo dasificatorio de la evaluación y enfatizan en su papel de apoyo y enriqueci­miento del quehacer cotidiano. El paso de una concepción de evaluación centrada en modelos tecnológicos o experimentales a modelos cualitativos está acompañado de importantes constructos acerca de las fundones de la evaluadón, respecto a lo social, como elemento de apoyo y orientadón de todos los estudiantes, no de un grupo particular, que responde a necesidades

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y demandas artificiales para la "excelencia". Hemos de considerar la evalua­ción como parte integral del proceso educativo, que implica una concepción de la prádica como un seguimiento permanente al proceso de aprehensión de una cultura "básica". La evaluación tiene, desde luego, una función peda­gógica; a partir de ella se reconocen cambios surgidos en el proceso que permi­ten regular, valorar el trabajo escolar, determinar el grado de apropiación de conceptos y procedimientos, parcialmente consolidados, para proponer revi­siones y reelaboraciones.

Y ¿cuál sería el carácter y sentido de la evaluación en el aula de matemáticas, desde estas perspectivas?

En primer lugar, retomaría un principio que se propone en The Assesment Principie, del National Council of Teachers of Mathematics: "Si la evalua­ción es parte integral del trabajo en el aula de matemáticas, debe contri­buir significativamente a que todos los estudiantes aprendan matemáticas"3. Esta idea seguramente no es novedosa, si realmente la evaluación nos per­mite determinar qué están "aprehendiendo" y qué están en posibilidad de hacer nuestros estudiantes. Esto debería tener consecuencias positivas para sus aprendizajes; estaríamos hablando de una evaluación formativa. "Bue­nas" evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversas maneras: envían un mensaje a los estudiantes acerca de qué clase de conocimientos y habilidades matemáticas son valiosos, y este mensaje puede influir en las decisiones de los estudiantes, sobre qué trabajar a fon­do y qué no trabajar. Es importante, entonces, que las tareas propuestas para la evaluación exijan de los estudiantes tiempo y atención; deben con­siderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aula. La socialización de producciones de los estudiantes, las discusiones en el aula y el trabajo cooperativo proporcionan espacios de aprendizaje donde los estudiantes articulan sus ideas y avanzan en el proceso de aprendizaje. Por ejemplo, la presentación y el análisis de diferentes soluciones a problemas abiertos proporciona elementos importantes respecto a estrategias, formas de argumentación, validez o pertinencia de una solución; se cultiva ade­más en los estudiantes la disposición y la capacidad de autoevaluarse y reflexionar sobre su propio trabajo. Todo esto, desde luego, tiene un im­pacto positivo en el aprendizaje de los estudiantes.

La evaluación constituida en parte integral de la actividad en el aula provee, como ya lo mencioné anteriormente, informadón a los profesores

National Council of Teachers of Mathematics. Profesional Standars for Teaching Mathematics. 1991.

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que les permite tomar decisiones sobre el diseño de los planes y los proyec­tos: ¿Cómo y cuándo revisar elementos básicos?, ¿cómo trabajar concep­tos que revisten especial dificultad?, ¿cómo adaptar actividades para estudiantes que requieren profundizar o enriquecer algunos conceptos? La evaluación se constituye, pues, en fuente de evidencias; una evaluación significativa permite a los profesores hacer inferencias y tomar decisiones importantes para el desarrollo del proceso.

De otra parte, la evaluación debe reflejar la matemática que "todos" los estudiantes deben conocer (conocimientos fundamentales) y debería abordar tanto la "comprensión" de los conceptos como el "uso con signi­ficado" de procesos, procedimientos y herramientas, teniendo en cuenta los diferentes ritmos de los estudiantes para acceder a los distintos signifi­cados, aproximaciones, representaciones y estrategias diversas. La evalua­ción debe considerar aproximaciones múltiples.

Existen distintas técnicas que se usan o deberían usarse en el aula para hacer seguimiento al proceso: pruebas de preguntas abiertas, prue­bas de preguntas cerradas, tareas de investigación, diarios, portafolios, entrevistas, discusiones, etc., pero es importante resaltar que algunas de ellas son más apropiadas para un fin particular. Una prueba cerrada o de selección múltiple sería más adecuada para indagar por procedi­mientos; pero actividades abiertas o de investigación serían más ade­cuadas para explorar la capacidad de los estudiantes en la aplicación de la matemática en situaciones nuevas o complejas; de otro lado, las dis­cusiones en el aula de clase pueden dar indicadores acerca del pensa­miento de los estudiantes y permiten monitorear cambios en las formas de la argumentación. Es importante resaltar que la comunicación no sólo es esencial en la evaluación por ser el vehículo para apreciar proce­sos de resolución de problemas y razonamiento; ella es importante en sí misma para la descripción de fenómenos y situaciones a través de formas escritas, orales y visuales. Es preciso que los estudiantes trabajen cooperativamente en el aula, que creen explicaciones y las compartan, que construyan y expliquen una representación gráfica o el comporta­miento de un fenómeno del mundo real, que propongan una conjetu­ra, que pidan explicaciones o hagan preguntas. Es evidente, que un modelo o técnica no puede dar la riqueza de la perspectiva antes men­cionada, una diversidad de aproximaciones permitiría tener una mira­da crítica y potendadora del desarrollo del proceso. Además, si el profesor selecciona una u otra estrategia para evaluar, que tiene en cuenta la edad, el nivel de desarrollo, las experiencias y las necesidades especiales de los estudiantes, ésta aportará a la construcción de una mirada que le permita realmente aproximarse a lo que conocen y a lo que están en capacidad de hacer sus estudiantes.

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Evaluación en el aula y desarrollo curricular: un problema de coherencia

El asumir la evaluación como parte integral del proceso genera continua reflexión sobre multiplicidad de aspectos; menciono apenas tres de ellos: • Temas fundamentales por evaluar, que dependerán de la estructura u

organización que el profesor ha construido. • Procesos de aprendizaje, etapas de desarrollo y posibilidades de poten­

ciar uno u otro tipo de aprendizaje. • Posibilidades de explorar, a través de la evaluación, acerca del conoci­

miento de los estudiantes, la estructura y la organización de éste y sus procesos cognitivos.

Una de nuestras primeras preocupaciones se ubica usualmente en de­finir los contenidos por evaluar. Las investigaciones y la experiencia han mostrado que esta simple definición se deriva fundamentalmente de los propósitos de la evaluación y de las concepciones acerca de la matemática y del aprendizaje de la matemática. Por ejemplo, si en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la naturaleza de la mate­mática ubicamos aquella que la considera como una colección de hechos, herramientas y conceptos que se particionan y pueden, en consecuencia, ser explorados aisladamente, se evaluarán aspectos puntuales: el profesor esperará que el estudiante demuestre maestría en ellos para determinar que alcanzó un nivel funcional en el área.

En el otro extremo de las concepciones, en el que la matemática se considera como un cuerpo estructurado de conocimientos interdependientes, la evaluación explorará si el estudiante conoce objetos, conceptos, herra­mientas, propiedades, principios, y si establece relación entre ellos. Me parece importante destacar aquí tres líneas de investigación en esta últi­ma perspectiva, e insistir en los planteamientos que con respecto a la evaluación se derivan de cada una, pues nos pueden ser de utilidad en reflexiones futuras.

La primera línea de investigación considera cada dominio concep­tual de la matemática previamente estructurado, y orienta sus propues­tas a especificar una colección de posibles tareas que dan peso relativo a diferentes apartes de un dominio y permiten profundizar en el estu­dio y análisis del dominio; dichas tareas resultan muy adecuadas para indagar por el uso de procedimientos, más que por la solución de pro­blemas o el razonamiento.

La segunda va más allá de la especificación de contenidos y tareas, para dar relevancia a las relaciones entre situaciones diversas y problemas de un mismo dominio; una gran variedad de tareas pueden generarse e identificarse desde unos pocos elementos que definen un campo concep­tual; a través de esta mirada podría potenciarse el proceso de construcción de significado y madurar conceptos en cada dominio.

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Finalmente, la tercera considera el conocimiento matemático integra­do y propone que la evaluación debería involucrar la aplicación de diversos aspectos de uno o de distintos dominios. Desde esta perspectiva, se requiere que los estudiantes apliquen variedad de conceptos y procedimientos, pero además, que dispongan de herramientas sólidas en razonamiento y resolu­ción de problemas. Por ejemplo, un conjunto de situaciones en las que se consideran diferentes formas de representación, tareas dirigidas a evaluar el conocimiento de la función y la gráfica o aquellas que requieren recolección y análisis de información, estarían en esta perspectiva.

Si concebimos que el aprendizaje como un proceso dinámico y conti­nuo, que es una experiencia individual y social, y reconocemos que los estudiantes van construyendo sus propios significados conectando infor­maciones nuevas, modificando y acomodando esquemas, no tendría sen­tido que la evaluación se apartara de esta dinámica. En el aula, la evaluación debería estar enfocada hacia la flexibilidad, la creatividad y la perseveran­cia frente a tareas matemáticas; debería estar enfocada, desde mi punto de vista, a promover confianza en el hacer matemático. No olvidemos que los elementos que implican usar la matemática son esenciales en estos nive­les, y esto implicaría que a través del proceso se exploraran, por ejemplo, aspectos como: identificación de situaciones y formulación de problemas, formulación de hipótesis y reconocimiento de variables, planeación y ade­cuación de modelos, interpretación de datos, descripción y comunicación de resultados, etc. En ese caso, la evaluación en el aula nos permitiría estu­diar niveles en la comprensión de conceptos y procedimientos, analizar formas de razonamiento, identificar estrategias de resolución de proble­mas y diversas maneras de expresar ideas matemáticas.

En ese sentido, los problemas abiertos permiten al estudiante explorar variedad de opciones que no están prescritas a una regla o limitadas a resultados o estrategias previamente determinados; realmente, a través de ellos, puede apreciarse cómo va avanzando el proceso. Las tareas abiertas permiten al estudiante mostrar flexibilidad en la interpretación y demos­trar su comprensión, y al profesor identificar información relevante para reestructurar sus planes y proyectos.

Algunos elementos sobre la evaluación en los distintos dominios.

Desde las reflexiones anteriores empiezan a generarse cuestionamientos sobre el tipo de tareas de evaluación que generalmente proponemos, po­siblemente en sentidos como: ¿Las tareas se orientan fundamentalmente a la ejecución de procedimientos, técnicas y algoritmos?, ¿indagan por formas de argumentación, interpretaciones, representaciones y significa­dos diversos?, ¿permiten dar cuenta del desarrollo del proceso? Con la

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intención de apoyar posibles cambios en las propuestas en este último aparte, sugiero algunas ideas acerca de tareas y actividades que permiten propiciar ambientes de resolución de problemas e involucran algunos as­pectos a los que hice referencia en los apartes anteriores. Naturalmente, estas ideas no tendrán sentido si el hacer diario en el aula no está orienta­do desde la misma perspectiva, pues, como ya lo mencione, es a través del encuentro con la matemática significativa que el estudiante se potencia, y esto sólo sucederá si las tareas son estimulantes y si se crean ambientes en los cuales la resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación sean valiosos. El mensaje que debería enviarse a través de la evaluación y las prácticas está ligado al verdadero valor de la matemática.

La evaluación en el dominio geométrico-métrico

Acorde con la discusión que se presentó inicialmente, sólo podemos pen­sar en una propuesta de evaluación en este u en otro dominio si tenemos daros los logros fundamentales que los estudiantes deben alcanzar en él, desde niveles iniciales, hasta culminar su proceso de formación. En este dominio sería preciso identificar, por ejemplo, los logros relacionados con la adquisición de conocimientos acerca de nociones, conceptos, definicio­nes, métodos y de las herramientas requeridas para usar elementos bási­cos. Es necesario pensar además en logros relacionados con la habilidad de construir, analizar y utilizar modelos geométricos específicos en aplicacio­nes en áreas y situaciones diversas, y no dejar de lado metas más ambicio­sas como las referidas a la comprensión de la naturaleza y el papel de las definiciones, los teoremas, las demostraciones, la interpretación de repre­sentaciones y expresiones simbólicas, el uso de reglas de deducción lógica, la argumentación, el análisis y la solución de problemas, entre otros.

Tradicionalmente, en las propuestas de evaluación para este dominio, se indaga esencialmente por un tipo de logros los referidos al reconoci­miento de nombres, de definiciones y propiedades de conceptos o aque­llos que se relacionan con habilidades para realizar algunas construcciones básica (paralelas, perpendiculares,medianas...), determinar medidas de los lados o ángulos, determinar áreas o perímetros. No es corriente encontrar propuestas de evaluación que enfaticen, por jemplo, en la visualización, la solución de problemas abiertos, la modelación gaométrica de situaciones extra-matemáticas, el razonamiento riguroso y heurístico, la generación y exploración de hipótesis o la identificación de relaciones entre diferentes aspectos geométricos. Entre éstos, por ejemplo, el realizar seguimiento a procesos de resolución de problemas abiertos en geometría tiene, desde etapas iniciales, una especial riqueza para la evaluación: especificar de ma­nera precisa un problema y formularlo; examinar diferentes perspectivas

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para abordarlo; comparar distintas estrategias y soluciones respecto a la complejidad del método o técnica usados; estudiar potencia de la solución encontrada, posibles generalizaciones del problema y su solución o rela­cionarlo con problemas similares, permite estructurar y motiva, muy segu­ramente, exploraciones de nuevas ideas o resultados.

En niveles básicos, las actividades de evaluación deberían estar orien­tadas al reconocimiento, descripción, análisis y clasificación de figuras geométricas; a propiciar argumentación sobre relaciones entre distintas familias de figuras; tareas que exijan interpretación y uso de definiciones que describen interrelaciones; exploración concreta de objetos físicos, cons­truidos o creados en un programa graficador. Los niños pueden enfrentar­se a tareas en que investiguen formas, medidas y propiedades de los objetos y resuelvan problemas.

En los niveles de secundaria, además de las actividades anteriores, pue­den proponerse situaciones en las que los estudiantes requieran relacionar experiencia en el espacio físico con teoría formal, investigar aspectos con­ceptuales de la geometría, validar y argumentar acerca de enunciados geométricos. Deberían privilegiarse situaciones que exijan interpretar con­ceptos y proposiciones, actividades en que los estudiantes, bien sea apoya­dos en manipulación o en uso de herramientas computacionales, desarrollen secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de otra y exploren, por lo menos intuitivamente, la necesidad del rigor en los razonamientos.

Proponer en cualquier nivel actividades de visualización, referida ésta a la capacidad de producir imágenes que ilustren o representen determina­dos conceptos, propiedades o situaciones, y de realizar ciertas lecturas vi­suales a partir de determinadas representaciones; dibujar un tetraedro, dibujar un diagrama, apreciar que un dibujo plano corresponde a un de­terminado poliedro tridimensional; construir e interpretar modelos y re­presentaciones a escala, determinar distancias y proporciones a partir de un modelo visualizar y estudiar ejes y planos de simetría; construir una maqueta y analizar su forma, desniveles o cortes, son todas tareas intere­santes que permiten explorar niveles de visualización.

Para indagar por el conodmiento del plano y el espacio que los estu­diantes van construyendo a través del proceso, algunos investigadores en educación matemática sugieren no hacer énfasis en las nociones primiti­vas (ideas simples que no pueden describirse en términos más simples punto, recta, por ejemplo), ni en las definiciones de carácter general (¿qué es un teorema?, ¿qué es un corolario?, ¿qué es un axioma?). Proponen que desde el uso de las nociones y términos puede inferirse el significado que de ellos tienen los estudiantes; el centro debe estar, comentan, en las definiciones de todo aquello que no sea una noción primitiva ni general. Pero algo que sí resulta muy importante, es que avanzando secuencialmente desde una definición provisional que resulte de una exploración de los estudiantes,

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se indague sobre ejemplos y contraejemplos, para apreciar cómo van mo­dificando y precisando conceptos y definiciones.

Una vez precisadas las definiciones, abordar otras dos actividades cen­trales en la geometría: relacionar y clasificar (actividades iniciadas desde la básica), pero que en niveles superiores pueden ser enriquecidas con la dis­tinción de criterios que permiten clasificar o no; en ver cómo criterios aparentemente distintos dan lugar a la misma clasificación (por ejemplo tener dos ángulos de la misma medida o tener dos lados de la misma medi­da lleva a la misma clasificación de triángulos); dada un clasificación, de­ducir posibles criterios que la han generado, clasificar usando transformaciones (traslaciones, rotaciones, proyecciones).

En los niveles de la básica secundaria, empezar a indagar por aproxi­maciones intuitivas a la demostración, y en los superiores, enriquecer esta mirada con distintos niveles y estrategias de demostración de un mismo enunciado. El uso inicial de materiales manipulativos y dibujos ("demos­traciones sin palabras") permite presentar en geometría multitud de resul­tados; en un nivel de "convencimiento" estas experiencias son suficientes, inicialmente para "descubrir" teoremas o "verificar" certezas previamente enunciadas, pero paulatinamente, es importante avanzar hacia niveles su­periores de razonamiento, resaltando la importancia de la deducción, del porqué es necesario demostrar, es decir, motivar a construir demostracio­nes más formales a través de la identificación y el análisis de condiciones, la exploración de diversos caminos o "herramientas" para llegar a la con­clusión, la descripción y escritura en el lenguaje natural de cada uno de los pasos del razonamiento.

La actividad de resolución de problemas, como ya lo comenté, en apar­tes anteriores, es el centro de las actividades de evaluación, inicialmente desde el planteamiento y la resolución de problemas con enunciado cerra­do, que implican un reconocimiento o uso de procedimientos o propieda­des geométricas o métricas para pasar luego a problemas interesantes y novedosos con enunciado abierto, de generalización y de aplicación, que permitan el uso enriquecedor de estrategias como el ensayo y el error, el análisis de casos particulares o casos más simples, la elección de notación o el lenguaje conveniente, la reflexión sobre diferentes tipos de represen­taciones, la argumentación inductiva, la experimentación con construc­ción de modelos tridimensionales, el "desdoblamiento" de figuras tridimensionales, la disección o división de figuras planas en figuras más simples, para sacar conclusiones o resultados sobre las iniciales, el uso de transformaciones y la combinación de diversos métodos.

Si se dispone en la institución de un programa informático como el CABRI, éste puede aprovecharse para estructurar actividades de observa­ción, construcción y representación, de exploración (producir algoritmos para hacer construcciones geométricas, identificar objetos geométricos y

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propiedades a partir de la observación), de modelación (dar significado a figuras o transformaciones, producir una secuencia de afirmaciones a par­tir de una interpretación de datos), explicar un proceso de conjetura (ha­llar una afirmación formal, a partir de un descubrimiento y justificarla por medio de modelos, figuras o estableciendo relaciones más complejas), de clasificación, argumentación o acercamiento deductivo (encontrar propie­dades en común, conceptos relacionados, generalizaciones simples, uso de razonamientos deductivos con inferencias lógicas). Para la ampliación de este punto puede consultarse en el documento: Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas. Serie Lineamientos Curriculares. MEN, 19984.

Un tema que tradicionalmente ha tenido un tratamiento árido tanto en su desarrollo en el aula como en la evaluación, es la trigonometría. Sería interesante ensayar otras miradas; diseñar actividades que puedan orientarse hacia la exploración y la adquisición de conceptos y sus aplica­ción a situaciones interesantes, dado que hoy las calculadoras gráficas o el computador permiten efectuar cálculos y construir diversas representacio­nes; así se hace fácil el abordaje más significativo de las aplicaciones. Como ha sido tradicional, aplicar métodos trigonométricos en situaciones prác­ticas que supongan resolución de triángulos, sigue siendo muy importan­te (siempre y cuando haga referencia significativa a un verdadero contexto de aplicación, y tenga interés para el grupo, un ejemplo muy corriente consiste en resolver un problema topográfico que requiere determinar el ángulo entre dos marcas en un mapa de lugares ubicados a alturas diferen­tes). Un aspecto menos trabajado en el aula, pero también esencial, se refiere al uso de las funciones seno y coseno para construir modelos de fenómenos periódicos del mundo real (en este proceso los estudiantes cons­truyen tablas, representan datos, conjeturan sobre el comportamiento, proponen un modelo funcional, estudian puntos críticos, analizan varia­bles, observan relaciones de dependencia, estudian amplitud y período).

La evaluación en el dominio numérico-variacional

Aspectos esenciales para trabajar en las propuestas de evaluación tie­nen que ver, desde luego, como se comenta en el documento de Lineamientos, con la comprensión de los números y de la numeración, el significado del número, la apreciación del carácter y estructura del sistema de numeración, el significado de las operaciones en contextos diversos, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las rela­ciones entre ellas, el uso de los números y las operaciones en diferentes

Ministerio de Educación Nacional. Matemáticas: Lineamientos curriculares. Bogotá, Coope­rativa Editorial Magisterio, 1998.

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situaciones, la relación entre contextos y el cálculo requerido, el uso de estrategias y representaciones diversas, el análisis y la verificación de soluciones, la identificación de patrones y el uso de propiedades y algoritmos en la resolución de problemas.

El razonamiento cuantitativo ha tenido y sigue teniendo un papel fundamental en las aplicaciones de la matemática. En los primeros grados, los niños deben empezar a desarrollar procedimientos computacionales y se introducen en la comprensión conceptual que requieren para resolver problemas cuantitativos, aprenden maneras de describir datos y relaciones usando representaciones numéricas, gráficas y simbólicas; usan procedi­mientos, interpretan informaciones cuantitativas, hacen inferencias y ve­rifican conclusiones razonables. Pero a pesar de que los números se han usado siempre, sus usos han sido más bien predecibles y limitados a unos problemas familiares bien definidos. Hoy se nesecita que en este dominio se explore esencialmente la habilidad para interpretar números usados en la descripción de fenómenos, razonar con conjuntos de variables interreladonadas, interpretar críticamente métodos para cuantificar fenó­menos. Los números pueden tener usos diversos, en todas estas situacio­nes, entre ellos: en el conteo de colecciones discretas, como medidas de cantidades continuas, como razones de comparación, como códigos, como localizaciones, como constantes; para ello se requiere proponer múltiples situaciones en las que tengan que contar, medir, comparar, estimar, clasifi­car u ordenar, según distintos criterios y en contextos variados.

Aunque sigue siendo necesaria la adquisición de destrezas básicas con números sencillos, la automatización de cálculos largos y tediosos debe abandonarse para indagar por situaciones que requieran dar sentido a un conjunto de datos, elegir estrategias de solución e interpretar resultados. Dado que cada vez está más extendido el uso de tablas para organizar y comunicar informadón numérica (como se comentaba en el dominio es­tadístico), y que su elaboración e interpretación se constituyen en un paso necesario en la resolución de problemas aritméticos y en el análisis de situaciones de muy diversa índole, la lectura, la interpretación y la cons­trucción de tablas, la comparación de datos y la búsqueda de información implícita en ellas, la observación de regularidades y las relaciones entre variables son tareas que permiten evaluar no sólo el aprendizaje de proce­dimientos relativos a su uso, sino la comprensión de conceptos, relaciones y propiedades aritméticas.

Es importante insistir en que el tipo de tareas propuestas en lo numé­rico debe ir más allá del simple reconocimiento de una relación de perte­nencia o contenencia para indagar, por ejemplo, sobre diferentes significados de la fracción y formas de representación, sobre la representa­ción de los números racionales, el paso de la fracción al decimal, la identi­ficación de la fracción dada la expresión decimal, haciendo énfasis en los

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niveles superiores en la equivalencia entre una fracción y una expresión decimal infinita periódica. La idea de proceso infinito que subyace en las notaciones decimales, procesos que nunca terminan, exige que el estu­diante trabaje en actividades en las cuales se requiere encontrar cada vez "mejores aproximaciones", familiarizarse con el carácter de los procesos infinitos, construir encajes de números, estimar el error y la magnitud de éste. Para investigar las relaciones entre números reales y puntos de la rec­ta numérica se requiere, en niveles superiores, proponer construcciones geométricas que permitan intuir la posibilidad de subdivisión infinita o convergencia a un punto, e indagar además por la conmensurabilidad de segmentos como un problema significativo que motiva la necesidad de "nuevos" números.

Un concepto básico en el dominio variadonal es el de función, y sobre él seguramente los profesores tendrán propuestas de evaluación diversas. Deseo insistir en un punto al cual hacen referencia los Lineamientos curriculares: propiciar situaciones de trabajo en las que el estudiante confronte diferentes nociones de función -transformación, aplicación, fórmula-, para determinar si el estudiante se ha apropiado realmente del concepto. El trabajo con tablas desde niveles básicos debe centrar la atención en determinar si los estudiantes las asumen como representación parcial de la función, por cuanto su dominio puede ser infinito, particularmente en la representación tabular, el estudio de regu­laridades, diferencias constantes, diferencias que se incrementan o dis­minuyen regularmente en una constante, cocientes constantes, potencian la deducción de la regla que define la función. El lenguaje de las gráficas de las fundones constituye un excelente recurso para centrar la atención del estudiante en el análisis sobre qué cambia y cuánto cambia, usando, si es posible, la calculadora. Así, puede hacerse un trabajo significativo en esta dirección; es importante además que a través de este trabajo el estudiante avance en dar significado a la variable como elemento de un conjunto arbitrario, que puede ser un conjunto numérico finito o infini­to o un conjunto de magnitudes continuas o discretas.

Respecto a la variación, tareas que pueden resultar de interés son aque­llas que demandan que el estudiante interprete situaciones de cambio en contextos significativos de aplicación, fenómenos físicos, químicos, bioló­gicos o económicos, para que comprenda el significado de los cambios relativos de una magnitud con respecto a otra en un contexto, a partir del análisis de un modelo matemático. En estos contextos, es importante es­tudiar cambios repentinos de las variables, variaciones entre valores extre­mos de las magnitudes involucradas e interpretar razones de cambio en procesos continuos. Un ejemplo sería el análisis de los incrementos en los precios de los artículos de la canasta familiar.

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La evaluación en el dominio estadístico

Este dominio, según los referentes curriculares, debe orientarse inicialmente a la exploración, representación, lectura e interpretación de datos en con­textos; al análisis cualitativo de regularidades, tendencias, tipos de creci­miento y a una aproximación intuitiva a las posibilidades. El estudiante debería estar familiarizado con algunas formas de representación de infor­mación numérica y estar en capacidad de interpretar estas representacio­nes. En los grados superiores deberá potenciarse la formulación de inferencias y argumentos, usando medidas de tendencia central y de dis­persión para analizar datos, interpretar informes y elaborar conclusiones.

En este dominio resulta muy interesante proponer actividades de eva­luación que privilegien el trabajo en grupo. En el manejo de información, por ejemplo, la recolección de datos interesantes y relevantes para el gru­po, el investigar cómo es el estudiante promedio del curso o de la institu­ción; formular preguntas para determinar características: edad, altura, color de ojos, tipo de música o programa de televisión que prefiere, número de personas del núcleo familiar. Estas actividades requieren que los estudian­tes construyan un instrumento de sondeo adecuado con el objeto de obte­ner los datos y, una vez establecidos estos instrumentos, proceder a recolectar, agrupar y granear los datos y analizar la información, guiando esta exploración con preguntas como; ¿Qué es lo que más aparece en los datos?, ¿qué tendencias se aprecian en éstos?, ¿son significativos los pun­tos extremos?, ¿cómo pueden interpretarse?, ¿qué dificultades podrían presentarse si generalizamos a otros problemas similares?, ¿qué datos adi­cionales podríamos recoger para verificar o refutar las conclusiones que se han sacado a partir de estos datos?

En este campo, los contextos y las situaciones reales son ricas fuen­tes de exploración, pues en ellos los estudiantes pueden generar datos nuevos e investigar un campo amplio de hipótesis o conjeturas, incluso dentro de la misma institución, manejar datos de los compañeros de cla­se de educación física: longitud de saltos, tiempo empleado en recorrer una determinada distancia; o llevar registros de los precios de algunos artículos de la canasta familiar vendidos en expendios del barrio, duran­te un período de tiempo determinado, para estudiar su variación. Estu­diar la naturaleza de la relación entre pares de variables tales como: peso y estatura de los alumnos, su edad y ritmo cardíaco, su temperatura y ritmo cardíaco; registrar información, construir tablas de doble entrada y estudiar el comportamiento de las variables. Trabajar con informes de tipo estadístico (científicos, económicos, sociales, políticos, deportivos) que aparecen en los medios de comunicación, como motivo de discu­sión en la clase, interpretar la información que presentan y motivar inferencias a partir de ellos.

LA E V A L U A C I Ó N EN EL A U L A DE M A T E M Á T I C A S 1 3 9

Si están disponibles, es pertinente además, el uso de herramientas tecnológicas para representar datos y calcular medidas estadísticas, dis­cutiendo la adecuación de una u otra medida en un problema dado. Iniciar discusión sobre ajuste de curvas. Hacer énfasis en la estimación y la aproximación.

Las tareas en torno a la representación de información tienen múlti­ples perspectivas que van más allá de la elaboración o lectura esquemáti­ca de una gráfica. Las referidas a diagramas lineales, por ejemplo, que requieren trazado de ejes, elección de escalas, ampliación y reducción, interpretación de representaciones, pueden proponerse a partir de fluc­tuaciones anuales de precios o de producción, a desarrollos comparati­vos de preferencias, ventas y valores y a los histogramas de ventas: pérdida-beneficio, gasto-ingreso, o a la representación de encuestas de opinión. Los diagramas circulares, que requieren un trabajo interesante de conversión entre porcentajes y medida angular, usualmente son más pertinentes para presentar o trabajar resultados de encuestas, elecciones, porcentajes de población, y los pictogramas que pueden resultar intere­santes para proponer a los niños de la básica primaria, requieren uso de escalas, pero exigen fundamentalmente interpretación y uso de conven­ciones. Los datos de producción corrientemente se presentan en esta for­ma, así como la comparación de poblaciones, los índices de calidad de vida y la dotación de servicios públicos.

A través de la experimentación y simulación puede motivarse a que los estudiantes formulen hipótesis, elaboren modelos de problemas, reco­jan, representen y estudien datos, lleguen a entender de esta forma cómo una predicción puede basarse en un conjunto de datos. Es posible apreciar de esta forma cómo se aproximan intuitivamente al concepto de probabi­lidad. El centro estará en que los estudiantes usen diagramas y representa­ciones gráficas para efectuar predicciones y obtengan información útil para la resolución de situaciones problema.