Questo insieme di bolle è un esempio dell'infinita varietà di configurazioni che possono venireassunte dalle lamine e dalle bolle di sapone. Malgrado la loro apparente complessità, i vari pezzidi superfici piane o curve possono intersecarsi solo in due modi. Le immagini che accompagna-no l'articolo sono state riprese da Fritz Goro, usando una soluzione fatta in casa con partiuguali di acqua e detersivo per piatti e con una piccola aggiunta di glicerina come stabilizzante.

le distinte. Innanzitutto una bolla com-posta o una lamina stesa su un supportodi fil di ferro è costituita da superficipiane o curve che si intersecano secondolinee con curvatura molto regolare. Insecondo luogo le superfici possono inter-secarsi solo in due modi: o tre superficisi incontrano lungo una linea regolare osei superfici (e quattro curve di interse-zione) si incontrano in un vertice. Infine,gli angoli di intersezione delle superficilungo una linea, o delle superfici e dellecurve di intersezione in un vertice, sonosempre uguali. In particolare tre superfi-ci si incontrano su una linea di interse-zione ad angoli di 120 gradi e le quattrocurve che si incontrano in un verticevi convergono con angoli di circa 109gradi.

Il primo studioso che abbia investigatosistematicamente la geometria delle bolledi sapone e che scoprì le tre regole appe-na indicate sembra essere stato il fisicobelga Joseph A.F. Plateau, più di unsecolo fa. Per questo motivo un'interaserie di questioni matematiche correlatecon la geometria delle superfici del tipodelle bolle di sapone viene chiamata an-cora oggi problema di Plateau.

Recentemente ci è stato possibile di-mostrare che le tre regole fondamentaliche governano la forma delle bolle disapone sono la conseguenza matematicadi un semplice principio di minimo del-l'area delle superfici delle bolle. Altriprincipi di simile generalità sono statistudiati in rapporto al problema dellebolle di sapone negli ultimi due secoli, aopera di vari noti matematici, ma senzaraggiungere la presente semplicità di for-mulazione e senza riuscire a svelare ilvero significato geometrico delle regoledi Plateau. Nel presente articolo verran-no spiegati sia il principio di minimodell'area sia la metodologia matematicanecessaria per l'applicazione del princi-pio stesso.

Le tre semplici regole appena citatenon sono sufficienti per caratterizzarecompletamente la geometria delle bolle

e delle lamine di sapone. In effetti laloro configurazione deve soddisfare uncerto numero di altre condizioni menoevidenti. Per esempio è noto da moltotempo che la curvatura media di ognisingola superficie che costituisce una bol-la complessa deve essere costante in ognisuo punto. Questa e, per quanto ne sap-piamo, tutte le altre condizioni di taletipo vengono soddisfatte dal nostro mo-dello matematico. Inoltre, a differenzadelle regole di Plateau, esso spiega comele bolle aderiscono a un supporto.

Il principio fisico fondamentale chegoverna la geometria delle bolle di sapo-ne è facilmente enunciato: un sistemafisico può esistere in una determinataconfigurazione solo se esso non può e-volvere verso una configurazione a mi-nor contenuto energetico. Le componen-ti energetiche di qualche importanza inun liquido qualsiasi a riposo e a tempe-ratura uniforme e costante, sia esso inmassa o disteso in film sottile, sono l'e-nergia potenziale gravitazionale, l'ener-gia di pressione delle bolle di gas intrap-polate e l'energia superficiale (spesso e-spressa in termini di tensione superficia-le). L'energia superficiale è il risultatodelle forze di attrazione fra le molecoledel liquido, che non sono bilanciate allasuperficie di esso (si veda la figura inalto a pagina 51). L'esistenza di questeforze non bilanciate fa sì che, in assenzadi gravità e di differenze di pressioneidrostatica fra i due lati, la superficie diun liquido si comporti come una mem-brana elastica, che tende a minimizzarela propria superficie e quindi la propriaenergia superficiale. Le forze in questio-ne sono maggiori fra molecole polari,come quelle dell'acqua, che non fra mo-lecole apolari, come quelle degli idrocar-buri (una molecola polare possiede unadistribuzione asimmetrica di cariche elet-triche).

Una molecola di sapone o di un ten-sioattivo qualsiasi è molto caratteristica,in quanto consiste usualmente di unalunga catena idrocarburica apolare a unaestremità della quale è attaccato un grup-po ossigenato fortemente polare. Quan-do tali molecole vengono a trovarsi in unmezzo acquoso, tendono a migrare allasua superficie e a orientarsi in modo chele loro estremità apolari vengano a tro-varsi fuori del mezzo (si veda la figura inmezzo a pagina 51). La superficie del-l'acqua viene quindi a trovarsi ricopertain parte o completamente da uno stratoapolare che riduce drasticamente la suatensione superficiale. L'aggiunta di sapo-ne all'acqua ha due effetti importanti perquanto riguarda la formazione di unalamina. Innanzitutto la superficie del li-quido acquista nuove proprietà elastichestabilizzatrici: lo stiramento dello stratodi molecole di sapone ha per effetto nonsolo l'aumento della superficie comples-siva ma anche quello dell'energia super-ficiale per unità di superficie (in altreparole della tensione superficiale), inconseguenza della diminuzione del nu-mero di molecole di sapone per unità disuperficie. L'effetto è attribuibile al fat-

I due modi secondo i quali le bolle e le lamine di sapone possono incontrarsi sono visualizzabilicon lamine piane formate su telai di filo di ferro. La fotografia in alto mostra tre superfici che siintersecano lungo una linea retta secondo angoli di 120 gradi. La fotografia in basso mostra seisuperfici che si incontrano a tre alla volta lungo segmenti di retta, i quali si incontrano a lorovolta in un vertice formando degli angoli di circa 109 gradi. È stato osservato da più di un seco-lo, e ora è provato matematicamente, che questi due tipi di intersezione sono gli unici possibili.

La geometria delle bolledi sapone

Le possibili configurazioni delle bolle di sapone sono governate daalcune regole elementari conosciute da oltre un secolo. Un modellomatematico elaborato di recente spiega la ragione di questo fenomeno

di Frederick J. Almgren Jr. e Jean E. Taylor

L

e bolle e le lamine di sapone hannoun fascino tutto particolare. Laloro mutevole iridescenza, la loro

sensibilità a ogni soffio d'aria, la lorofragilità contribuiscono a formarne l'in-canto. Ma ancora più sorprendente è laperfezione della loro geometria. Quali

sono i principi secondo i quali le bolle ele lamine di sapone possono esistere soloin determinate configurazioni geometri-che e non in altre? Quali sono le formeche esse possono assumere?

Osservando attentamente un certo nu-mero di bolle risultano evidenti tre rego-

49Ci

A sinistra, una lamina di sapone si forma su un telaio di filo di ferrospesso con due estremità libere, pur non riempiendo un foro topologi-camente definito. Nessuna superficie matematica può aderire a unsimile telaio infinitamente sottile. Il modello di superfici del tipo delle

lamine di sapone elaborato dagli autori è valido sia per i telai dotatidi spessore sia infinitamente sottili. A destra, un supporto per confi-gurazioni di lamine e bolle di sapone non deve per forza essere un fi-lo di ferro, ma può essere, per esempio, la superficie di un tavolo.

MOLECOLE DI SAPONE

to che l'aumento di superficie in seguitoallo stiramento espone all'aria delle mo-lecole d'acqua che si trovano sotto lostrato di molecole di sapone, almenofino a quando altre molecole di saponepossono diffondere per occupare la nuo-va superficie esposta. Questo processoavviene abbastanza rapidamente, ma ri-mane comunque tempo sufficiente per-ché si stabilisca un'importante forza dicontrasto a piccole perturbazioni.

Il secondo effetto del sapone, impor-tante per la formazione di una lamina, èche esso sembra limitare lo spessore diquesta alla lunghezza di due molecole disapone aderenti coda a coda, una perognuna delle due superfici della lamina(si veda la figura in basso nella pagina afronte). Lamine relativamente spesse ri-parano immediatamente piccoli fori, maquesta possibilità diminuisce rapidamen-te con lo spessore della lamina. Quindi,senza qualcosa che limiti lo spessore mi-nimo del film, esso probabilmente non siformerebbe neppure.

La formazione di una lamina sapono-sa su un supporto di filo di ferro quandoquesto viene tirato fuori da una bacinelladi saponata è facile da osservare e ancheil comportamento elastico della lamina èaltrettanto manifesto. Quando il telaiosta per uscire dall'acqua esso solleva lasuperficie della saponata. La forza digravità agente sull'acqua la fa scorrereall'interno della superficie sollevata, fa-cendola collassare e provocando la for-

mazione di una lamina a vari strati. Ilprocesso continua fino a che il telaioviene estratto completamente e la super-ficie si salda completando la formazionedella lamina.

Il fenomeno è analogo a quanto acca-drebbe se si avesse un telaio all'internodi un pallone pieno d'acqua e fortementestirato (si veda la figura a pagina 52).Su un telaio costituito da tre semicircon-ferenze disposte su piani che formanoangoli di circa 120 gradi, il pallone col-lasserebbe formando una figura rassomi-gliante a tre semicerchi intersecantisi se-condo angoli di 120 gradi lungo i rispet-tivi diametri. L'estrazione dell'acqua, peresempio mediante aspirazione da unacannuccia, provoca un aumento della su-perficie del pallone. Analogamente, nellaformazione di una lamina di acqua sapo-nata sul medesimo telaio l'aumento disuperficie che accompagna la formazio-ne del film è dovuto all'azione della for-za gravitazionale sull'acqua.

Una volta che la lamina di acqua sa-ponata si è formata, sia essa una bolla ouna lamina stesa su un telaio, la suaconfigurazione sarà stabile solo quandonon potrà evolvere verso un'altra di mi-nore contenuto energetico. Quali trasfor-mazioni di questo tipo sono possibili? Aquesto punto si può notare innanzituttoche la massa della lamina è così piccolada rendere trascurabile l'influenza del-l'energia di pressione delle masse d'ariaintrappolate dal film.

Innanzitutto va notato che variazionidi forma che comportano la rottura dellalamina o la sua separazione dal telaio disupporto non avvengono facilmente an-che se provocherebbero una sostanzialeriduzione della superficie. Tali eventi ri-chiedono dei mutamenti intermedi nellaconfigurazione della lamina che non pos-sono avvenire facilmente per motivi dicarattere molecolare.

Una possibile variazione di configura-zione si osserva ogni volta che due bolledi sapone vengono a contatto. Esse man-tengono la loro forma sferica al momen-to in cui si toccano. A questo punto,invece di mantenere le quattro distintesuperfici che le bolle avrebbero se Venis-sero semplicemente compresse l'una con-tro l'altra, le lamine saponose si fondo-no. Con questo viene eliminata partedella superficie esterna di entrambe lebolle e quindi si riduce l'energia superfi-ciale della configurazione iniziale.

Un secondo metodo mediante il qualele lamine saponose diminuiscono la lorosuperficie complessiva richiede pure uncambiamento di configurazione. Per e-sempio, in condizioni molto particolari,con una saponata molto viscosa e un te-laio a maglia piccola, quattro superficipossono apparentemente intersecarsi lun-go una linea. Ciò appare avvenire soloquando lungo tale linea viene intrappo-lata una notevole quantità d'acqua e intali condizioni il modello fisico di unalamina costituita da due superfici ravvi-

cinate che racchiudono uno strato sottiled'acqua non è più valido. In condizioninormali una lamina saponosa invariabil-mente diminuisce la sua superficie cam-biando di configurazione quando lungouna linea si intersecano più di tre super-fici oppure l'intersezione avviene secon-do angoli diversi.

Come si può costruire un modello ma-tematico delle bolle di sapone che

descriva accuratamente le caratteristichegeometriche del modello fisico? La pri-ma fase della nostra analisi richiede diapprossimare la lamina reale tridimen-sionale, costituita da più strati, con unasuperficie bidimensionale. Successiva-mente diciamo che una configurazionegeometrica di superfici bidimensionaliaderenti a un telaio rappresenta una la-mina saponosa se nessuna piccola defor-mazione che lasci immutato il telaio con-sente una diminuzione della sua superfi-cie complessiva. Se una deformazione fasì che due pezzi di superficie vengano asovrapporsi, la zona di sovrapposizioneviene contata una volta sola, per simula-re matematicamente la fusione delle la-mine saponose sovrapposte. (Nel passatola maggior parte dei modelli matematicidi ricerca del minimo di un'area conta-vano più di una volta le zone di sovrap-posizione.)

Per costruire un modello matematicodelle bolle di sapone o delle lamine sapo-nose che intrappolano dell'aria, occorretener conto dell'energia dell'aria intrap-polata. Ciò può ragionevolmente venireeffettuato in diversi modi. Dato che tutticonducono essenzialmente al medesimorisultato, abbiamo scelto il più semplice:le deformazioni delle bolle non devonoprovocare variazioni di volume dell'ariaintrappolata. Tenendo conto di tuttoquesto possiamo dire che una configura-zione geometrica di superfici bidimensio-nali rappresenta una bolla di sapone seracchiude una o più regioni dello spaziooccupato e se la loro superficie comples-siva non può diminuire in seguito a pic-cole deformazioni senza alterare il volu-me di ognuna delle regioni racchiuse. Sela configurazione di superfici aderisce aun supporto, la forma di questo deverimanere invariata in seguito alle defor-mazioni impresse. L'area delle superficiviene misurata come detto prima per lelamine.

A questo punto possiamo utilizzare ilmodello per risolvere dei problemi. Sup-poniamo, per esempio, di specificare unsupporto. Esistono delle configurazionidi superfici del tipo delle lamine sapono-se che si adattano a tale supporto? Op-pure dati certi volumi e magari anche unsupporto, esistono delle configurazionidi superfici del tipo delle bolle di saponeche rinchiudono regioni con volumi i-dentici a quelli specificati e che si adatta-no al telaio? Se è possibile rispondere af-fermativamente a tali domande cosa èpossibile dire, dal punto di vista mate-matico, sulla struttura geometrica di taliconfigurazioni di superfici?

La speranza, naturalmente, è che la

La tensione superficiale esistente in un liquido è dovuta alle forze attrattive non bilanciate vigen-ti fra le molecole alla superficie del liquido stesso. Queste forze, che nella figura sono v isualizza-te con frecce bidirezionali, sono particolarmente intense fra le molecole polari, come quelle del-l'acqua, che possiedono una distribuzione delle cariche asimmetrica. In assenza della gravità edella pressione atmosferica la superficie di un liquido si comporterebbe come una membranaelastica, che tende a ridurre al minimo la propria energia superficiale per unità di superficie.

A differenza delle molecole polari dell'acqua, quelle di un detergente o di un sapone sonocostituite da lunghe catene apolari recanti a un'estremità un gruppo ossigenato fortementepolare. Queste molecole tendono a migrare alla superficie dell'acqua orientandosi in modo chele catene apolari ne fuoriescano e riducendo quindi la tensione superficiale. Però quando lostrato di molecole di sapone viene stirato, con un filo o con un soffio d'aria, la tensionesuperficiale aumenta temporaneamente a causa della diminuzione del numero di molecole disapone per unità di superficie. Tale effetto dà alla superficie nuove proprietà elastiche stabilizzanti.

10111111illiiiiiì414tií, 4:,,tf:e:,:;?*:41`.:Nstsg,..*J 4:4:metIll ttlf tff yeiN:Il secondo effetto importante del sapone sulla formazione di una lamina liquida è quello di limi-tarne lo spessore minimo a quello di due molecole di sapone accostate nel senso della lunghezza.

50 5

Un pallone pieno d'acqua che collassa su un'intelaiatura quando l'acqua viene estratta, fornisceun analogo del modo in cui una lamina di sapone si forma su un telaio estratto dalla soluzionesaponosa. Fino a un certo punto la tensione del pallone basta a far fuoriuscire l'acqua,successivamente essa deve venire estratta dal tubicino e ciò fa aumentare la superficie delpallone. Nella formazione di una lamina di sapone su un telaio (come a pagina 50 a sinistra) è laforza di gravità che agendo sull'acqua all'interno del film provoca l'aumento di superficie.

risposta a tali quesiti di natura matema-tica sia strettamente correlata con le ca-ratteristiche delle bolle di sapone osser-vate sperimentalmente. E in effetti leconclusioni relative all'analisi matemati-ca del modello sembrano ricalcare conmolta accuratezza i risultati dell'osserva-zione del comportamento delle lamine edelle bolle di sapone. In particolare, con-figurazioni di superfici di tale tipo esi-stono per qualsiasi supporto di formaopportuna. (Per esempio, un pezzo difilo di ferro rettilineo non può essereconsiderato un supporto opportuno peruna lamina di sapone.) Inoltre, per moti-vi matematici, tutte le configurazionisuddette devono necessariamente seguirele tre regole esposte all'inizio. Va notatoche questa conseguenza matematica noncostituisce una prova che le bolle di sa-pone debbano per forza comportarsi inquel modo. E semplicemente una consta-tazione del fatto che il principio di mini-mo dell'area complessiva, utilizzato perla definizione delle superfici del tipo del-le lamine e bolle di sapone, è per sestesso completamente adeguato al finedella descrizione della geometria com-plessiva di tali superfici. Tutto conside-rato, non sembra irragionevole ritenereche questa geometria sia realmente de-terminata da tale principio.

niscuteremo ora più dettagliatamenteil tipo di matematica che si è dovuta

utilizzare per questo tipo di analisi geo-metrica. La semplicità delle ipotesi ini-ziali e delle conclusioni è sfortunatamen-te in netto contrasto con la complessitàdel procedimento matematico interpostofra di essi.

La causa più importante di tale com-plessità dipende dalla natura delle varia-zioni di configurazione geometrica concui si ha a che fare. Per esempio, duediverse superfici possono venire messe acontatto e poi contate come una sola.Oppure delle giunzioni di svariate super-fici devono poter slittare, introducendonuove superfici dove prima non ve neerano. Le variazioni strutturali che deb-bono essere permesse per avere un mo-dello realistico comportano drastiche va-riazioni nella geometria delle configura-zioni considerate. I rapporti fra i varipezzi di superficie, e pure il loro nume-ro, possono mutare notevolmente in con-seguenza delle variazioni di configurazio-ne possibili in una lamina di sapone.Non sembra esservi alcuna maniera ra-gionevole per prevedere un limite supe-riore a tale complessità e si è pertantoobbligati a trattare matematicamente del-le superfici la cui complessità è poten-zialmente illimitata.

A questo punto occorre dire una paro-la sui telai di sostegno. Nel fare film disapone si impiegano dei telai di filo diferro il cui diametro non è trascurabile.Molto spesso è impossibile trattarli ma-tematicamente come curve monodimen-sionali. In effetti su molti telai infinita-mente sottili non possono esistere dellesuperfici matematiche del tipo delle la-mine di sapone, anche se queste si for-

52

Come dimostrano le sezioni in questa pagina, i film di saponepossono evolversi in vari modi per diminuire la loro superficie com-plessiva. In a due bolle vengono a contatto formando una bollacomposta. Appena si toccano, l'acqua dentro al film che forma unadelle bolle fluisce entro la seconda bolla. Nella configurazione finaleparte delle due superfici viene eliminata, riducendo sostanzialmente lasuperficie complessiva delle due bolle di partenza. Nella configura-

zione fortemente improbabile mostrata in b, quattro superfici siincontrano lungo una retta. Questa configurazione evolve prontamen-te riducendo la propria superficie complessiva seguendo indifferente-mente una delle due vie possibili. In c è mostrata l'intersezione ancorapiù improbabile di cinque superfici con una delle possibili sequenze se-condo cui può diminuire la sua superficie complessiva. In tutti gli esem-pi le superfici si incontrano nello stadio finale con angoli di 120 gradi.

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mano effettivamente su telai di ugualeforma fatti con un filo reale di spessorefinito. Un esempio di questo tipo è co-stituito da un telaio a forma di nodoallentato, con entrambe le estremità libe-re (si veda la figura a sinistra nell'illu-strazione a pagina 50). Su un telaio simi-le costituito da una linea infinitamentesottile non può esistere una configura-zione di superfici tipo lamine di sapone.Un'altra proprietà curiosa di questa par-ticolare lamina di sapone è che essa nonricopre il telaio in nessuno dei modi fa-miliari ai topologi. Questo fenomeno diuna lamina di sapone che non ricopre unforo topologicamente definito lo si ritro-va anche in talune configurazioni di su-perfici matematiche tipo lamina di sapo-ne comprese entro un telaio infinitamen-te sottile. Non si tratta quindi di unaproprietà tipica dei telai di spessore fini-to. Nel nostro modello i telai possonoessere spessi o infinitamente sottili. Ineffetti il nostro modello non richiede af-fatto che il telaio rassomigli a un filo.Un supporto adatto per delle bolle di sa-pone potrebbe anche essere, per esem-pio, il piano di un tavolo (si veda la figu-ra a destra nell'illustrazione a pagina 50).

Non è difficile provare che se la strut-tura di una lamina o di una bolla di sa-pone deve essere finita e deve consisteredi superfici piane o di curvatura moltoregolare intersecantisi in maniera pureregolare, allora devono essere valide laseconda e la terza regola di Plateau.Dato che questa analisi conduce alla co-struzione di lamine veramente affascinan-ti, ne esporremo le modalità.

Prendiamo un punto della configura-zione di superfici in esame e pensiamodi osservarlo con un microscopio a in-grandimento crescente. All'aumentaredell'ingrandimento le superfici paiono di-ventare sempre più piatte. Risulta quindifacile dimostrare che la verità o la falsitàdella seconda e terza regola di Plateauper le configurazioni di lamine e bolle disapone dipende solo dalla loro verità ofalsità per configurazioni di superficipiane che si incontrano lungo linee rettele quali, a loro volta, si intersecano invertici. Consideriamo allora un insiemedi superfici di questo tipo. Ogni punto didiramazione di tale insieme può essereconsiderato come il centro di una piccolasfera tale che la sua intersezione con lesuperfici dell'insieme comprende un pun-to situato su un vertice o una linea diintersezione fra le superfici. Quindi laconfigurazione tipo lamina di sapone in-terseca la superficie bidimensionale dellasfera secondo tratti di curve monodimen-sionali che risultano essere archi di cer-chi massimi.

Se si esaminano ora le possibili con-figurazioni di tali archi di cerchio massi-mo, si osserva che essi possono incon-trarsi in vertici solo in numero di tre conun angolo di incidenza di esattamente120 gradi. Infatti se questa regola nonfosse valida, in uno di tali vertici sarebbepossibile diminuire, con una piccola de-formazione, la superficie della configura-zione compresa entro la sfera.

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Ne deriva che è possibile determinareil numero delle possibili configurazionidi archi di cerchio massimo che si incon-trano tre alla volta con un angolo di 120gradi utilizzando semplicemente la trigo-nometria sferica. Di tali configurazionine esistono esattamente dieci (si veda lafigura in alto in queste due pagine). Perognuna di queste configurazioni ci si puòchiedere se esistono delle piccole defor-mazioni in grado di diminuire la superfi-cie complessiva della configurazione dipiani che la originano intersecandosi conuna sfera opportuna. Nel cercare tali de-formazioni non è permesso muovere lasuperficie lungo la sfera perché, così fa-cendo, la configurazione all'interno dellasfera non sarebbe più connessa con laconfigurazione originale all'esterno dellasfera stessa. Così facendo, è possibiletrovare le deformazioni cercate in tutti icasi, fatta eccezione per i primi tre (siveda la figura in basso in queste duepagine). Le deformazioni trovate per viamatematica sono state effettivamente os-servate in vari casi costruendo degli op-portuni telai di supporto e studiando laforma della lamine di sapone che si for-mano su di essi. Dato che le deforma-zioni osservate e calcolate mostrano chele configurazioni di lamine originali nonhanno le caratteristiche delle lamine sa-ponose (per definizione una lamina sa-ponosa ha una superficie che non puòvenire diminuita con una piccola defor-

grado di fare diminuire la superficie della configurazione di piani che ha originato quella parti- mazione), le configurazioni in questione,colare intersezione con una sfera. La risposta a questo problema è data nella illustrazione in basso, e le loro versioni con superfici curve,non possono esistere in forma stabile.

Come sono state ottenute la secondae terza regola di Plateau? La configu-razione di superfici che può originare unsolo cerchio massimo per intersezionecon una sfera è un piano, perché inquesto caso il centro della sfera non è unpunto di ramificazione della configura-zione. Tre piani che si incontrano fra diloro secondo angoli di 120 gradi lungo ildiametro della sfera danno origine a tremezzi cerchi massimi, che pure si incon-trano secondo un angolo di incidenza di120 gradi. La configurazione in grado diformare sei archi uguali di cerchio mas-simo, intersecantisi a tre a tre con angoliuguali in corrispondenza dei vertici di untetraedro regolare, viene originata da seipiani disposti a diedro incontrantisi a trea tre lungo quattro linee rette che a lorovolta si intersecano secondo angoli ugua-li al centro della sfera. Quindi i soli modiin cui dei pezzi di superfici piane posso-no intersecarsi dando origine a una con-figurazione avente le caratteristiche diuna lamina di sapone sono proprio quellidescritti dalle regole empiriche di Pla-teau. È quindi possibile affermare chetali regole sono valide per qualsiasi con-figurazione di superfici del tipo delle la-mine o delle bolle di sapone, purchésiano regolari e finite.

Esistono effettivamente delle configu-razioni di superfici matematiche con lecaratteristiche delle lamine e delle bolledi sapone che si adattino a determinati

mazioni matematiche qui rappresentate per quelle sette configurazioni sono state trovate dagli telai e delimitino determinati volumi? Inautori studiando il comportamento di lamine di saponi reali, formate su supporti opportuni, caso affermativo, tali configurazioni de-

Vi sono dieci possibili configurazioni di archi di cerchio massimo che illustrazione. Per ognuna di tali configurazioni ci si potrebbe doman-si intersecano con angoli di 120 gradi e sono tutte raccolte in questa dare se esistano o non esistano delle piccole deformazioni che siano in

Le deformazioni cercate per le configurazioni della figura in alto sette configurazioni di piani (e le corrispondenti di superfici curve)esistono per tutte tranne per le prime tre, provando che le restanti non sono del tipo a lamina di sapone. La maggior parte delle defor-

Una superficie ipotetica di area finita ma complessità illimitata può venire rappresentatamatematicamente come una misura, cioè una funzione che assegna un certo numero a unsottoinsieme dello spazio soddisfacendo contemporaneamente ad alcune altre condizioni. Ilnuovo approccio alla geometria noto come teoria della misura consente di trattare configurazio-ni di superfici molto complicate, come quelle del tipo delle lamine e delle bolle di sapone.

vono necessariamente consistere di pezzidi superfici regolari, che si intersecanolungo curve regolari, le quali a loro voltasi intersecano regolarmente in vertici?

non l'obbiettivo, fra l'altro, di otteneredei modelli realistici di configurazio-

ni geometriche come quelle delle laminee bolle di sapone, i matematici hannostudiato nuovi tipi di superfici. Questesono un po' lontane dall'esperienza co-mune e richiedono una breve introduzio-ne. Lo studio di proprietà geometrichecome la lunghezza di una curva, l'area diuna superficie o il volume di un solidorisale almeno ai matematici greci. Fino ache la figura geometrica è elementarenon vi sono seri dubbi nel definirne lalunghezza, la superficie o il volume. Glisviluppi della matematica avvenuti a par-tire dal secolo scorso hanno messo in lu-ce dei problemi spinosi riguardo a qualelunghezza, area o volume dovrebbero ve-nire assegnati a certe strutture complica-te. I tentativi di risolvere tali problemihanno portato alla fondazione della co-siddetta teoria della misura.

Una delle definizioni fondamentali intale teoria è proprio quella di misura.Una misura unidimensionale è una fun-zione che attribuisce a ogni sottoinsiemedello spazio un numero detto lunghezza.Questo numero corrisponde alla comune

nozione di lunghezza se questa è definitain maniera naturale su tale insieme. (Inalcuni casi il numero è infinito, come nelcaso di un sottoinsieme costituito da unasuperficie o da un volume positivi.) Ana-logamente una misura bidimensionale èuna funzione che assegna a ogni sottoin-sieme dello spazio un numero detto areae una misura tridimensionale è una fun-zione che gli assegna un numero dettovolume. Le misure studiate nella teoriadella misura non devono necessariamen-te corrispondere a grandezze fisiche masono piuttosto delle semplici funzioni cheassegnano ai sottoinsiemi dello spaziodei numeri positivi (o zero o infinito) esoddisfano alcune condizioni aggiuntive.

Un'idea fondamentale nel trattare ipiù recenti argomenti della teoria dellamisura è costituita dall'effettuazione diuna trasformazione di tipo abbastanzacomune in matematica. Originariamenteuna misura bidimensionale veniva consi-derata come uno strumento per determi-nare l'area di una qualsiasi superficie,ma si è trovato molto utile trasformarele superfici stesse in misure, che sonoquindi in grado di misurare da sole lapropria superficie. Detto un po' più ri-gorosamente, una superficie trasformatain misura assegna a un qualsiasi sottoin-sieme dello spazio quel numero che cor-risponde all'area della superficie racchiu-

sa in quel sottoinsieme. Uno dei moltivantaggi di tale approccio alla geometriaè costituito dal fatto che è ora possibiletrattare configurazioni di superfici estre-mamente complicate, anche di comples-sità infinita, purché la loro superficie to-tale rimanga finita (si veda la figura diquesta pagina).

In quest'ottica non è difficile provarel'esistenza di misure che costituiscono lasoluzione di un problema. Il fatto è chea questo punto tali soluzioni sono solodelle misure. Fortunatamente esistonodelle tecniche matematiche per scoprireil contenuto geometrico di simili misuree risulta possibile dimostrare rigorosa-mente che la misura soluzione del nostroproblema deriva da pezzi di superficibidimensionali regolari e che la configu-razione di tali superfici costituisce unlegittimo candidato matematico per unasuperficie del tipo delle lamine e dellebolle di sapone. Sembra paradossale chela conoscenza del modo in cui questesuperfici dovrebbero intersecarsi, se lofacessero con regolarità, consenta (dopoalquanto lavoro) di concludere che effet-tivamente si intersecano a quel modo.Ciò rappresenta la conclusione del lavo-ro di ricerca di un modello matematicodel comportamento delle lamine e dellebolle di sapone, in quanto è stata datauna risposta alle principali domande.

Vale la pena di segnalare che questomodello matematico è molto flessibile.Può venire adattato per risolvere parec-chie varianti dei problemi che abbiamomenzionato e la natura delle conclusioniottenute non dipende in maniera criticadalle ipotesi fatte. La medesima tecnicapuò anche venire utilizzata per risolverealtri problemi in cui interviene l'energiasuperficiale, come nella determinazionedella forma assunta da un liquido in uncontenitore di forma qualsiasi in presen-za di fenomeni di capillarità. Lo studiodelle configurazioni geometriche variabi-li nel tempo è un settore della matemati-ca molto vivo e con varie possibilità diapplicazione.

Nel suo famoso libro Crescita e For-ma D'Arcy Wentworth Thompson

cita vari esempi che fanno pensare comela forma di molti oggetti viventi sia de-terminata da principi matematici elemen-tari. Per noi assume un interesse partico-lare lo studio di Thompson sul modo incui certe forme vengono determinate dal-la tensione superficiale. Egli esamina inparticolare alcuni organismi marini, i ra-diolari, alcuni dei quali paiono chiareapplicazioni dei principi delineati in que-sto scritto. Quando i radiolari sono vivi,essi consistono di una piccola massa diprotoplasma circondata da una schiumadi bollicine. Come avviene per le bolle disapone, il fluido contenuto nella schiu-ma si accumula prevalentemente nei pun-ti di intersezione delle superfici forman-do uno scheletro assai intricato prodottodalla precipitazione di un solido dal flui-do. Quando sopravviene la morte la so-stanza organica decade e rimane lo sche-letro. Questo visualizza i punti di ramifi-

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Alcuni esempi forniti dalla natura danno un'eccellente visualizzazionedei principi matematici descritti nel presente articolo. 1 disegni in alto,riprodotti dal Report on the Scientific Results of the Voyage of theHMS Challenger during the Years 1873-1876 (Rapporto sui risultatiscientifici del viaggio della nave Challenger negli anni 1873-1876) diErnst Haeckel, rappresentano gli scheletri microscopici lasciati dopo

la morte da vari tipi di radiolari, piccoli organismi marini che consi-stono in una masserella di protoplasma circondata da una specie dischiuma di bollicine. Come mostrano le fotografie in basso, i rami delloscheletro dove tende ad accumularsi il liquido ricco di silice della schiu-ma, rassomigliano fortemente alle ramificazioni presentate dalle bolledi sapone disposte al centro di lamine formate su supporti opportuni.

cazione della schiuma, cioè le linee diintersezione delle superfici e i vertici.

In conclusione, siamo riusciti a dimo-strare come poche osservazioni riguar-danti il modo in cui le lamine e le bolledi sapone possono variare la loro confi-gurazione per diminuire la loro energia

superficiale costituiscono la base di unmodello matematico di configurazioni disuperfici che si comportano come le la-mine e le bolle di sapone. Sulla base solodi un'analisi matematica è stato possibilemostrare l'esistenza di tali configurazio-ni di superfici, corrispondenti a determi-

nati telai di supporto, e anche provareche esse obbediscono alle tre regole em-piriche di Plateau che governano la geo-metria delle lamine e delle bolle di sapo-ne, confermando che il principio di mi-nimo dell'area basta per rendere contodella geometria delle bolle di sapone.

Nel libro di Haeckel compaiono anche esempi più complessi di scheletri denza il modo in cui la tensione superficiale del liquido in una schiumadi radiolari. D'Arcy Wentworth Thompson fu il primo a mettere in evi- di bolle di sapone può determinare la formazione di simili strutture.

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