La massa del bosone di HiggsLimiti teorici diretti e indiretti

Natascia Vignaroli

Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare II prof. C.Dionisi a.a.2006/2007

La massa del bosone di Higgs rimane l’unico parametro ad oggi sconosciuto del Modello Standard.

Si sono però ottenuti dei limiti sul suo valore sulla base di:

Misure dirette (LEP1 e LEP2)

Vincoli teorici:unitarietà della matrice di diffusione.

finitezza dell’accoppiamento quartico dei bosoni di Higgs( Triviality bound).

stabilità del potenziale scalare (Stability bound).

Misure elettrodeboli di precisione

Le ricerche a LEP1 e LEP2

hanno fissato MH > 114.4 GeV con un 95% C.L.(….ne parlerà Cristiana nella sua presentazione)

Limiti teorici direttiUnitarietà

Consideriamo lo scattering di bosoni WL ad alta energia :

L L L LW W W W+ − + −→

L

LL

L

Possiamo avvalerci del Teorema di Equivalenza Elettrodebole:

e calcolare A sulla base del potenziale scalare dei bosoni di Goldstone

+2 1

-2 1

30

1ω = (θ + ιθ )2

1ω = (θ - ιθ )2θω =

2

2 2M 2MH Hg = -i g = -i + - + - + - 2ω ω H ω ω ω ωv v

2 22 2 + - 2 2 + - 2H H

0 02

22H

M MV = (H + ω + 2ω ω )H + (H + ω + 2ω ω )2v 8vM+ H

2

ω+ω−

- -gω ω ω ω+ +

ω+ ω−

2Hgωω

2Hgωω

s

t

Troviamo quindi l’ampiezza

che decomponiamo in onde parziali

In cui ℓ è il momento angolare ,θ l’angolo di scattering, Pℓ i polinomi di Legendre, aℓ le ampiezze d’onda parziale.

Per le ampiezze d’onda aℓ che compaiono in A vale la relazione: aℓ =i(1- a’ℓ )/2k ,con k vettore d’onda dello stato iniziale ed a’ℓ azione del potenziale di scattering sulla componente ℓ dell’onda sferica divergente dello stato finale.

(vedere Burcham and Jobes Nuclear and Particle Physics o Appendice:Limiti di Unitarietà negli appunti del prof.Dionisi) .

Poiché per un processo 2 → 2 risulta dσ/dΩ = |A|² /(64π²s) si trova :

In cui si è utilizzata la relazione di ortonormalità

per i polinomi di Legendre.

1'

'1

2(cos ) (cos ) (cos )

2 1d P P δ

θ θ θ−

=+∫ ll

l l l

Per il teorema ottico:

Tale teorema è una diretta conseguenza della richiesta di unitarietà della matrice di diffusione S.Infatti, considerando lo sviluppo di S al primo ordine in p.t. possiamo scrivere: S = 1+iT

Da cui, essendo , si ottiene la condizione di unitarietà

†

† †

δ δ δ

= ⇒ =

†ik ik kj kj ij

ij ik kj ii ik ki

La richiesta che sia SS = 1 cioè ( + iT )( - iT ) =

porta alla condizione :2ImT T T 2ImT T T

∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ll

lA(θ = 0) a=0

Im = 16π (2 + 1)Im

da cui

Consideriamo quindi l’onda parziale con ℓ =0 (dà il limite più stringente):

L’integale si può facilmente calcolare nel s.c.m. ottenendo:

⇓

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫ ∫

l l

1

-1

2 21 1 2 2 2H H H

0 2 2 2H H-1 -1

1a (s, t) = d(cosθ)P (cosθ)A 32π

M M M1 1 1 1a (s, t) = d(cosθ)A = d(cosθ) -2 - - 32π 32π v vv s - M t - M

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 2H H H

0 2 2 2H H

M M M sa (s) = - 2 + - ln 1 +s16πv s - M M

⇒ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

l l l l l

l l

a a a a a

a a

2 22

22

= Im( ) Re( ) + Im( ) = Im( )

1 1 Re( ) + Im( ) - =2 4

≤l

1Re( )2

a

Nel s.c.m.(si trascura la massa dei bosoni visto che siamo nel limite di alta energia)

P+ =(E,0,0,E)P- =(E,0,0,-E)P’- =(E,0,-Esenθ,-Ecosθ) P’+ =(E,0,Esenθ,Ecosθ)

s =(P+ + P- )² = 4E²t =(P+ - P’- )² = -2 P’- P+ = -2E²(cosθ +1)

Per l’unico termine dell’ampiezza A che dipende da cosθ risulta allora:

θω+

ω−

'ω+

'ω−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫2 21 12 2

H H2 2 2H H-1 -1

2 22 22H H

2 2 2H H

M M1 1 1 1d(cosθ) - = d(cosθ)32π v 32π vt - M 2E (1 + cosθ) + M

M M1 1 4E 1 1 s= ln 1 + = ln 1 +32π v 16π v s2E M M

Abbiamo quindi :

nel limite si ottiene:

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎨⎪⎪⎩

2 2 2H H H

0 2 2 2H H

0

M M M sa (s) = - 2 + - ln 1 +s16πv s - M M

1Re(a ) <2

HM S

⎧⎯⎯⎯⎯→⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

2H

2s M H

0 2

0

Ma (s) -

8πv1Re(a ) <2

v = 246 GeVHM < 872 GeV

Il limite superiore ottenuto si abbassa se si tengono in considerazione gli altri

possibili canali dello scattering ad alte energie: ed in

generale gli scattering ad alte energL LW W+ −

L L LZ Z , HH , Z Hie con i possibili accoppiamenti tra bosoni

vettoriali e bosoni vettoriali ed Higgs.

Le ampiezze di tali scattering possono essere rappresentate da una matrice6x6 nella base dalla quale si

ottiene, per l’onda parziale con ℓ =0:

Il più grande autovalore che si ottiene diagonalizzando la matrice è 3/2 da cui illimite:

2H

0 2

-Ma =8πv

HM < 712 GeV

Se invece consideriamo il limite

da cui il limite che, considerando tutti gli accoppiamenti come prima, si riduce a:

Il limite trovato ci dice che, nel caso in cui l’Higgs sia troppo pesante, cioèinesistente, allora, quando la scala di energia comincia a superare i TeVdevono comparire fenomeni legati a NUOVA FISICA che ristabiliscano l’unitarietà.

HM S

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞

⎯⎯⎯⎯→⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎨⎪⎪⎩

2H

2 2 2s MH H H

0 2 2 2 2H H

0

M M M s sa (s) = - 2 + - ln 1 + -s16πv s - M M 32πv

1Re(a ) <2

s < 1.74 TeV

s < 1.2TeV

1-2 TeV è proprio il range di energia esplorato dalTevatron

Limiti teorici direttiTriviality bound

Consideriamo l’accoppiamento quartico tra i bosoni di Higgs e le relative correzioni radiative ad un loop:

dalla rinormalizzazione si ottiene l’equazione per il running coupling:

Il coupling varia logaritmicamente con il quadrato della scala di energia in gioco nel processo ( Q² ).(v =246GeV è la scala di energia alla quale si ha la rottura di simmetria elettrodebole).

4 6Hg λ=24Hg 2

4Hg 24Hg

Nel limite :

La teoria diventerebbe triviale:non ci sarebbe interazione tra i bosoni di Higgs che sarebbero, inoltre, privi di massa ( ).

Nel limite opposto :

λ(Q²) cresce con Q² e può diventare infinito quando il denominatore si annulla(polo di Landau) cioè quando

2 2Q v

⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎣ ⎦2 2

-122 2 2

+2 2 Q v

3 Qλ(Q ) = λ(v ) 1 - λ(v )log 04π v

2H2

Mλ =2v

2 2Q v

22

2 2

3 Qλ(v )log = 14π v

La richiesta che λ rimanga diverso da zero e finito pone dei limiti su MH.

Per evitare il polo di Landau, infatti, deve essere:

⇒ ⇒2 2 2 2

2 2 2H H2 2 2 2 2 2

2

3 Q 3 Q 8π vλ(v )log < 1 M log < 1 M <4π v 8π v v Q3log

v

Stability bound

• Finora nel running non abbiamo considerato i contributi dei fermioni e dei bosoni di Gauge.

• Dato che, però, gli accoppiamenti dell’Higgs sono proporzionali alle masse delle particelle con cui si accoppia, possiamo limitarci a considerare i contributi che vengono dai quarks top e dai bosoni di Gauge.

Si ottiene, allora la seguente variazione di λ con la scala di energia:

con

I termini aggiuntivi, comunque, hanno un contributo rilevante solo nel limitein cui risulta:

la scala alla quale dovrebbe manifestarsi nuova fisica dipende da mt

1 2 'NOTAZIONEg g g g≡ ≡

E quindi:

Perché non si abbia instabilità ho una condizione su λ(v²) che porta al limite:

Il contributo del top può portare ad instabilità, cioèa valori di λ(Q²) negativi

Considerando insieme lo Stability e il Triviality Bound si ottengono le limitazioni di MH alle varie scale ( nel grafico sono inclusi i contributi a due loop )

Limiti teorici indirettiMisure di precisione elettrodeboli

IDEA DI BASE

La precisione delle misure elettrodeboli raccolte è tale che, per confrontarle con le rispettive predizioni teoriche, tali predizioni devono includere le correzioni radiative ad ordini elevati.

Le correzioni radiative ad uno o più loop dipendono logaritmicamente dalla massa dell’Higgs.

Fittando le misure di precisione con le espressioni teoriche nelle quali si lascia MH come parametro libero, si arriva a stimare la massa dell’Higgs.

I FIT

I parametri dello Standard Model vengono espressi in funzione delle quantitàconosciute con maggiore precisione:

La costante di struttura fine

La costante di Fermi

La massa dello Z

Tali quantità si utilizzano come parametri di input dei fit.

Vengono, invece, lasciati come parametri liberi la massa dell’Higgs e quella del top.

Le correzioni puramente elettromagnetiche sono sottratte dal fit sostituendo α con il suo valore alla scala di energia MZ :α→ α(MZ )≈1.064α

Dipendenza da MH delle correzioni radiative(esempio ad un loop )

2

2 2 2

2

2

22

(1 )82

dà la correzione alla costante di struttura fine :

(q )= , dall1- (q )

W W Z

Wrem

W

G e rs c M

cr rs

α ρ

αααα

= + Δ

⇓

Δ = Δ − Δ + Δ

⇓

Δ

Δ2

22

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

a quale si trova ( )

364

ha i principali contributi dal top : ln( )

e dall'Higgs: ln( )

Z

tW W Z

top trem rem

W Z

Higgs Hrem

W Z

M

e ms c M

mr rc M

mrc M

α

ρπ

Δ ≈

Δ Δ

Δ

Le misure di precisione elettrodeboli a Lep (√s=MZ)Le asimmetrie

Le principali asimmetrie analizzate sono:

L’asimmetria forward-backward per i fermioni, operativamente definita dall’equazione:

in cui NF ed NB indicano il numero di eventi in cui si ha produzione di fermioni in avanti ed indietro.L’asimmetria di polarizzazione Pτ definita da :

in cui σR(L) è la sezione d’urto per la produzione di leptoni τ ¯right(left)-handed

L’asimmetria forward-backward nel flusso di carica negli eventi adronici:

con qf carica fermionica, Γf(had) larghezza parziale di decadimento di Z in fermioni (adroni).

Tutte queste asimmetrie possono essere espresse in funzione della quantità:

e quindi delle grandezze gvf e gAf che entrano nell’accoppiamento :

La dipendenza, dunque, delle asimmetrie dalla massa dell’Higgs è legata alla dipendenza dei coupling gvf e gAf da MH nelle correzioni radiative.

Altre misure di precisione

La quantità:

che dipende direttamente dai coupling g (leptonici, in questo caso)

Il rapporto:

in cui anche Γℓ è legato ai coupling g dalla relazione

Il rapporto:

con Γb larghezza di decadimento di Z in b-bbar.Un analogo rapporto è definito per il quark c. RISULTATI DEI FIT

Risultati Fit sulle misure di precisione raccolte a LEP1,LEP2,SLC,

Tevatron.

Non si considerano le correzioni puramente elettromagnetiche

α→ α(MZ )

bFB

Si trova la più bassa compatibilità tra risultato del fit

e misura sperimentale per A

Stime di MH

risultanti dai fit su misure di precisione elettrodeboli.

bFB

H

Misura di precisione A

un po' fuori dal range di M risultante

dalla media su tutti i singoli risultati

Andamento con MH di ΔΧ² = Χ²- Χ²mis , ilΧ² è ottenuto da un fit globale sututte le misure di precisione elettrodeboli

La zona in giallo è esclusa dal limite

MH >114.4GeV

fissato a LEP

La banda celeste viene dall’incertezza teorica sulle correzioni di ordini più alti

Massa di Wα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2H HW

2(5)had Z t

s Z

M MM = 80.364 - 0.0579ln - 0.008ln100GeV 100GeV

(M ) M - 0.5098 - 1 + 0.525 - 1

0.02761 172GeV

a (M ) - 0.085 - 1

0.118

L’ovale rosso viene dalle misure indirette di mw e mt a LEP1 e SLD

L’ovale blu tratteggiatoviene da misure direttea LEP2 e Tevatron

ReferenzeThe Anatomy of Electro-Weak Symmetry Breaking, A.Djouadi

Precision Tests of the Standard Model at LEP, B.Mele

Tasi 2004 Lecture Notes on Higgs Boson Physics , L. Reina

Unitarity constraints on scalar parameters of the Standard and Two HiggsDoublets Model, A. Arhib

Introduction to Electroweak Symmetry Breaking,S.Dawson

An introduction to gauge theories and modern particle physics, E.LeaderE.Predazzi

Nuclear and Particle Physics, Burcham and Jobes

Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare II Appendice: Limite di Unitarietà, prof. C.Dionisi