La mente non ha bisogno ,come un vaso,di essere riempita, piuttosto, come legna, di una scintilla che l’accenda e vi infonda

l’ impulso della ricerca e l’amore ardente della vita. (Plutarco)

I PROBLEMI …. sono un PROBLEMA?

Educare alla matematica significa in primo luogo abituare a porsi problemi significativi, tradurli in rappresentazioni matematiche adatte, controllarne la risolubilità, trovare e interpretare correttamente e validamente le soluzioni più adatte. (M. Pellerey 1975)

Ad ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni per acquisire nuovi concetti e abilità, per arricchire il significato dei concetti già appresi e verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza (…) Componenti necessarie di questo approccio sono :

l’impostare e risolvere problemi

l’utilizzo delle sensazioni e delle percezioni

la capacità di costruire storie e schemi interpretativi e sviluppare argomentazioni

l’affinare il linguaggio naturale e la capacità di organizzare il discorso con speciale attenzione alla lingua italiana

(Progetto UMI-SIS Matematica 2001)

Dalle INDICAZIONI PER IL CURRICULUM 2012

La problematizzazione svolge una funzione insostituibile : sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste di indagine, a cercare soluzioni originali.

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione dei problemi, che devono essere intese come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.(….)

Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO

COMPETENZE (MATEMATICHE)

AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici. Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo

il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.

AL TERMINE DELLA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO:

Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza

Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico ad una classe di problemi

COSA E’ UN PROBLEMA?

Un problema è ogni ordine di difficoltà la cui soluzione implica la possibilità di un’alternativa (Diz. Zanichelli)

Un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere la meta non può farlo in modo automatico o meccanico o attraverso un comportamento appreso (…); la presenza di una motivazione e di un impedimento che non permette l’azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione cognitiva che spinge l’individuo ad agire per costruire l’equilibrio (G. Kanisza 1975)

Un problema è una domanda che per essere soddisfatta richiede una teoria non conosciuta da chi si pone il problema(…)E’ necessario che ci sia un minimo scarto fra ciò che il bambino conosce e ciò che gli viene chiesto, se no possiamo parlare solo di esercizio. (Antiseri 1985)

Il pensiero umano è caratterizzato dalla capacità di risolvere problemi. (G. Polya,1967)

"Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di qualsiasi problema c'è un pizzico di scoperta. Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta".

"Se non riesci a risolvere un problema, ce ne sarà uno più facile che riesci a risolvere: trovalo". (G. Polya,1967)

“Il fanciullo che apprende attraverso un processo di scoperta ricava una maggiore ricompensa psicologica, infatti l’elemento più squisitamente personale di ciò che l’uomo conosce è rappresentato da quanto egli scopre di sé.” (Jerome Bruner)

Nella pratica didattica “la parola problema assume per lo più il significato di una

etichetta che caratterizza un certo tipo di esercizio: un testo che

pone una domanda finale”[1] e che richiede procedimenti

che hanno a che fare con le operazioni matematiche.

Quando si richiede ai bambini di applicare semplicemente una regola, partendo dai dati, allora si chiede loro solamente di svolgere un esercizio, non di risolvere un problema!

[1] Rosetta Zan “Difficoltà in Matematica”, Ed. Springer 2007

Gli alunni elaborano modelli distinti e indipendenti di “problema reale “ e “ problema scolatico”? (R.Zan 2009)

Le attuali ricerche sul problem solving investono competenze di varia natura, dal campo più specificatamente matematico a quello pscicologico (e linguistico NdR) e ciò vale a maggior ragione se consideriamo l’attività di risoluzione dei problemi non unicamente come strumento, seppure insostituibile, per favorire l’acquisizione di contenuti matematici, ma come esercizio intellettuale estremamente rilevante e caratterizzante del pensiero umano.

In tale ottica assume particolare rilevanza il ruolo del problema reale, non necessariamente concreto, mentre il problema scolastico è spesso profondamente irreale per alcune caratteristiche strutturali :il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è stabilito a prioriil campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è stabilito a priorisi dovranno utilizzare conoscenze scolastiche acquisitesi dovranno utilizzare conoscenze scolastiche acquisitebisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenzialibisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenzialila soluzione esiste ed è unicala soluzione esiste ed è unica““fare operazioni” e “dare la risposta” senza chiedersi “perché” si fa, ma fare operazioni” e “dare la risposta” senza chiedersi “perché” si fa, ma solo “come” si fa solo “come” si fa (NdR).

I processi risolutivi attivati da un bambino

possono essere bloccati

da una inadeguata rappresentazione

del problema(…);

l’influenza della formulazione del testo

sulla comprensione

e, quindi, sui processi risolutivi

è un elemento da tenere presente

quando, dato un problema,

passiamo dalla fase di osservazione

a quella di interpretazione dei comportamenti(…),

in questo processo di interpretazione

c’è un baratro invalicabile

fra quello che l’allievo “fa” e quello che l’allievo “è”

e spesso da ciò che l’allievo “non ha fatto”

si pretende di dedurre che l’allievo

“non ha le capacità”

( R. Zan 2009)

PROBLEMI : QUALI COMPETENZE?

Comprensione del testo Individuare dati essenziali, dati mancanti, dati sovrabbondanti Individuare relazioni fra i dati Costruire relazioni e corrispondenze Utilizzare in modo consapevole tecniche e procedure di calcolo Sviluppare algoritmi risolutivi Controllare la validità di tali algoritmi Matematizzare il problema da risolvere attraverso processi di

generalizzazione e simbolizzazione che riducono l’effetto della complessità

Padroneggiare modelli risolutivi in condizioni di certezza e di incertezza Allenarsi al rigore e alla precisione mentale Comprendere e utilizzare codici formali Consapevolezza e valorizzazione dell’errore ............................................................

QUALI FATTORI INTERVENGONO NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA?

La presentazione del problema (testo e contesto) L’interazione del contesto problematico con

conoscenze e modelli di ciascun solutore Il rapporto di ciascun solutore con la propria matrice

cognitiva L’utilizzazione dell’errore come strumento di

informazione e di revisione di ipotesi Convinzioni sulla disciplina Convinzioni metacognitive ……………………………………

PROBLEM SOLVING – PROBLEM POSING

L’insieme dei processi necessariad analizzare,affrontare

e risolvere positivamenteuna situazione problematica

Un modello di apprendimento e conoscenza che siarticola intorno alle modalità con le quali, a partire da da una situazione problematica, si arriva a formulare nuove questioni approfondendo e aggiungendo significato agli stessi contenuti che si apprendono.

GENERAZIONE/CREAZIONE di problemi che superail “quanto sapere” puntando sul “come sapere” e sull’”imparare a imparare”, acquisendo capacità di analisi e sintesi, induzione e deduzione,intuizione eInvenzione.

DA UN PROBLEMA AD UNA CLASSE DI PROBLEMIPROBLEMI SIMILI … MA DIVERSI

PROBLEMI ANALOGHI… MA NON UGUALI

??

PROBLEM SOLVING

Il problem solving è un cambiamento comprovabile che ha luogo nelle capacità di una persona e che si circoscrive all’acquisizione di una regola (Gagnè1973)

Il problem solving è un atto di apprendimento nel senso che nel comportamento del soggetto, dopo che il problema è stato risolto, si manifesta un genere di prestazione che prima non possedeva e che gli permette la generalizzabilità a classi di problemi.

VARIABILI CHE INTERVENGONO NELL’ATTIVITA’ DI PROBLEM SOLVING

VARIABILI ESTERNEVARIABILI ESTERNE

Stimoli (fisici,verbali,iconici,ecc)

Direttive (indicazioni sulla visione delproblema o su alcuni dei suoi aspetti)

Istruzioni (interventi per indirizzare allasoluzione)

VARIABILI INTERNEVARIABILI INTERNE

Quantità di informazioni possedute

Facilità a richiamare alla memoriainformazioni possedute

Capacità di selezionare concettiFlessibilità nel fare ipotesi

Capacità di confrontare il casospecifico con il caso generale

FASI DEL PROBLEM SOLVING G. Polya in Come risolvere i problemi (1983)

CAPIRE IL PROBLEMA

Qual è l’incognita? Quali sono i dati?Qual è la condizione da soddisfare? E’ possibile soddisfarla? La condizione è sufficiente a determinare l’incognita? O è insufficiente? O è superflua? O è contraddittoria? Si disegni la figura, si introduca un conveniente sistema di notazione, si separino le varie parti della condizione.

IDEARE UN PIANO PER TROVARE LA SOLUZIONE

Si determinano i legami fra dati e incognita Il problema è già noto? E’ noto un problema simile o connesso con questo?Conosci una regola che può esserti utile? Un problema simile può aiutarti? Puoi risolvere una parte del problema? Puoi dedurre qualcosa di utile dai dati? Puoi pensare ad altri dati utili a trovare l’incognita? Hai usato tutti i dati? Tutte le condizioni?Tutte le informazioni essenziali del testo?

ESEGUIRE IL PIANO

Sviluppo del piano Esegui il tuo piano di risoluzione, controllando ogni passaggio. Puoi vedere che è esatto? Puoi provare che è esatto?

ESAME DELLA SOLUZIONE TROVATA

Verifica del risultato Puoi verificare il risultato? Puoi verificare il procedimento? Puoi ottenere il risultato in modo diverso? Puoi vederlo a prima vista? Puoi usare il risultato o il metodo per risolvere un altro problema?

L’attività di problem solving permette all’allievo di:

“Penetrare” i legami fra i dati

Scoprire regolarità e non regolarità dei risultati

Scoprire analogie e differenze fra “processi”

Scoprire analogie e differenze fra “prodotti” di processi analoghi

FASI DEL PROBLEM POSING(S. Brown –M. Walter “L’arte del Problem Posing”)

Accettazione del dato E se non Lista degli attributi Analisi del nonAi

Fare ciclo

Un esempio per chiarire !

Una f ormichina vuole eff ettuare un percorso quadrato partendo da A, passando poi per B, poi per C e per D fi no a tornare in A. A B D C I l lato del quadrato è di 200 metri. Durante il giorno la f ormichina riesce a percorre tanti metri quanto misura un lato ma durante la notte un f orte vento la riporta indietro della metà del percorso f atto durante il giorno. Se parte lunedì mattina da A, quando riuscirà a percorrere tutto il tragitto tornando in A?

Accettazione del dato:

il percorso ha forma quadrata; la formica passa prima per A, poi per B, poi per C e per D e infine torna in

A; il lato del quadrato misura 200 metri; di giorno la formica percorre tanti metri quanto misura il lato del quadrato; di giorno la formica percorre 200 metri; di notte la formica è portata indietro dal vento della metà del percorso; di notte la formica torna indietro di 100 metri; la formica parte lunedì

Il percorso quadrato può essere rappresentato linearmente e … il disegno

ci può parlare!!!

A--------A1------B------ B1---------C------- C1------- D---------D1------A 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Lun mart merc gio ve sa do notte notte notte notte notte notte

E se non

Se IL LATO DEL QUADRATO NON misurasse 200 METRI? Se il lato MISURASSE 100metri? ……………………….

Se la lumaca NON TORNASSE INDIETRO la notte DELLA META’ DEL PERCORSO FATTO DI GIORNO?

Se tornasse indietro di ….? …………………………

Lista degli attributi Analisi del nonAi

Fare ciclo

Si ripete la lista degli attributi con la NUOVA ipotesi ( lato 100 m, …,torna indietro di.. , il lato di…e torna indietro di…, ecc)

Un altro esempio

…. che si presta bene al problem posing

Paolo ha comprato dei pesci rossi che vuole mettere nel suo acquario da 36 litri.

Per riempire l’acquario ha a disposizione due brocche, una da 3 litri e una da 5 litri.

Ad ogni viaggio sceglie una sola brocca che riempie sino all’orlo e la svuota del tutto nell’acquario.

Qual è il numero minimo di viaggi che Paolo dovrà fare per riempire esattamente l’acquario?

ALCUNI PROBLEMI … per smentire che

“nella pratica didattica la parola problema assume per lo più ilsignificato di un’etichetta che caratterizza un certo tipo di esercizio: un testo che pone una domanda finale e che richiede procedimenti che hanno a che fare con le operazioni matematiche”.

?

La maestra chiede ai bambini di portare a scuola qualche vecchio giornale. La mattina seguente ogni bambino si presenta con un pacco di vecchi giornali. Che confusione di fogli! Per mettere ordine la maestra suggerisce ai bambini di raggruppare i fogli dei giornali in rotolini, rotoli e rotoloni con questa tecnica : un rotolino è fatto da 10 fogli di giornale, un rotolo è fatto da 10 rotolini e un rotolone è fatto da 10 rotoli. I bambini si mettono a lavoro e in un angolo dell’aula sistemano 7 rotoloni, 4 rotoli , 2 rotolini e 3 fogli sfusi. Quanti fogli di giornale avevano portato in classe gli alunni? Se invece ogni rotolino fosse stato fatto da 20 fogli, ogni rotolo da 20 rotolini e ogni rotolone da 20 rotoli , quanti rotoloni, quanti rotoli , quanti rotolini e quanti fogli sfusi i bambini avrebbero sistemato nell’angolo della classe?

Quante monete da 50 centesimi servono per formare 2,30 euro? Spiega come hai fatto a dare la risposta.

La merenda che preferisci costa 2,30 euro e vuoi procurarti la somma in modo da non dovere avere resto . In quanti modi puoi raccogliere la somma che ti serve ?

Barbara, la sorella di Daniele, ha comprato allo spaccio della Perugina una scatola di cioccolatini per regalarla all’amica Silvia per il compleanno.

Nella scatola ci sono 5 file di cioccolatini composte ciascuna da 4 cioccolatini.

Daniele di nascosto mangia 5 cioccolatini e al loro posto riposiziona solo l’involucro.

Quanti cioccolatini troverà nella scatola Silvia?

E se Daniele avesse mangiato due cioccolatini per ogni fila quanti cioccolatini sarebbero rimasti?

Spiega il tuo ragionamento.

In un negozio di lampadari ho visto lampadari a 2 luci e a 3 luci.

Conto le lampadine : sono in tutto 20.

Quanti, secondo te, possono essere i lampadari?

Spiega come hai fatto a trovare la risposta.

Il numero 34 è la somma di quattro numeri naturali consecutivi

34 = 7+ 8 +9 +10

Trova degli altri numeri, fra 40 e 50, che sono anche loro somma di quattro numeri naturali consecutivi e spiega come hai fatto.

Cosa si può dire circa i numeri che risultano somma di quattro numeri naturali consecutivi?

Secondo te ci sono numeri per cui è vero che la loro somma è uguale al loro prodotto?

FACCIAMO UN GIOCO!

Ognuno pensi un numero di 2 cifre e lo scriva in un foglietto.

Nello stesso foglietto ognuno scriva anche il numero che si ottiene invertendo le cifre del numero pensato. Scrivete alla lavagna il numero che ognuno ha ottenuto come differenza fra i due numeri ( dal più grande si tolga il più piccolo!) .

Quale caratteristica hanno tutti questi numeri scritti alla lavagna?

Se fate la stessa cosa con un numero di tre cifre notate la stessa caratteristica?

I 60 alunni delle classi quinte della Scuola Leonardo da Vinci vanno a Roma a visitare i Musei Vaticani .

Metà di loro entrano subito nella sala dove sono esposti i reperti egizi, dei restanti solo la metà è ammessa alla visita della Cappella Sistina e gli altri vanno a visitare la Pinacoteca.

Sapresti dire quanti bambini visitano la Cappella Sistina e quanti la Pinacoteca?

Spiega come hai fatto a dare la risposta.

Un gruppo di ragazzi delle scuole di Perugia si trova in visita ai Musei Vaticani .

Metà di loro entrano subito nella sala dove sono esposti i reperti egizi, dei restanti la metà è nella sala dove sono esposti i reperti romani, 13 sono in visita della Cappella Sistina e 15 vanno a visitare la Pinacoteca.

Sapresti dire quanti sono i ragazzi delle scuole di Perugia in visita ai Musei Vaticani?

Spiega come hai fatto a dare la risposta.

I 60 alunni delle classi quinte della Scuola Leonardo da Vinci vanno a Roma a visitare i Musei Vaticani .

La maggior parte di loro entrano subito nella sala dove sono esposti i reperti egizi, un gruppo più piccolo è nella sala dove sono esposti i reperti romani e gli altri 15 vanno a visitare la Pinacoteca.

Sapresti dire di quanti bambini può essere formato il gruppo che è nella sala dei reperti egizi e quello che è nella sala dei reperti romani?

Spiega come hai fatto a dare la risposta.

Luca ha 53 anni e sua figlia ne ha 21. Fra quanti anni l'età di Luca sarà i 5/3 dell'età di sua figlia? Metti una crocetta sulla risposta fra le seguenti che ritieni giusta:

(a) 21 (b) 27 (c) 33 (d) 18

Spiega come hai fatto ad individuare la risposta giusta.

Tre amiche Bianca, Rosa e Viola si incontrano e notano che i loro vestiti sono del colore del loro nome, ma nessuna di loro ha il vestito del colore del suo nome.

Viola ha un vestitino a pieghe di un bel colore sgargiante.

Secondo te è possibile indovinare il colore del vestito di ognuna delle tre amiche.

Nel libro dei Dolci di Lisa Boni mia figlia Paola legge la ricetta della :CIOCCOLATA ALLA FRANCESE ( Per 4 persone ) – In una casseruola mettete 160 gr di cioccolato fondente grattugiato, unite 4 cucchiai d’acqua e ponete sul fuoco a bagnomaria finchè il cioccolato si sarà sciolto. Togliete dal fuoco la cioccolata e sbattetela energicamente, poi diluitela con altri 8 cucchiai d’acqua e aggiungete lentamente un litro di latte bollente. Versate nelle tazze e servite subito.Paola pensa di preparare la Cioccolata alla francese per la merenda del pomeriggio che farà insieme ai suoi 7 compagni di classe che ha invitato e mi chiede di farle trovare gli ingredienti necessari. Vado di corsa al supermercato e compro la roba che serve. Cosa ho comprato e in quale quantità?

Scrivi la ricetta della Cioccolata alla francese per 2 persone.

Un ranocchio, un canguro e una lepre partendo tutti dalla casella 0 saltano sulla “linea dei numeri”.

Il ranocchio fa sempre salti da 3 caselle , il canguro da 6 e la lepre da 4 e ciascun animale lascia la propria impronta sulla casella dove poggia le zampe.

Nella casella 96 ci sono le impronte di tutti e tre gli animali.

In quali altre caselle prima della 96 ci sono le impronte di tutti e tre gli animali?

Un giorno, il re chiese al suo giullare: «Sai dirmi l'età delle mie tre fìglie? Sappi che il prodotto dell'età delle tre è 36, e che la somma è pari al numero delle finestre del palazzo che abbiamo di fronte.».

Il giullare replicò: «Sire, la soluzione è alla mia portata, ho solo necessità di un altro piccolo aiuto».

Il re, allora, aggiunse: «La più grande ha gli occhi azzurri», e il giullare diede la risposta corretta.

Secondo te qual è stata la risposta del giullare?

Come hai fatto tu a trovarla?

Edoardo ha 42 biglie e vuole metterle in 7 scatolette in modo che :

- ognuna delle scatolette contenga un numero diverso di biglie;

- la scatoletta che contiene meno biglie abbia solo una biglia e quella che ne contiene di più ne abbia 10;

- una sola scatoletta contenga un numero di biglie doppio di quello di un’altra.

Puoi aiutare Edoardo ad ordinare le sue 42 biglie nelle 7 scatolette?

Con quali regole tu avresti sistemato le 42 biglie nelle 7 scatolette?