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LA OPTIMIZACIÓN Y
SU APLICACIÓN A LA
ECONOMÍA
2
ÍNDICE
1) INTRODUCCIÓN Pág. 4
2) LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Pág. 5
3) MODELO DE OPTIMIZACIÓN Pág. 7
4) MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Pág. 9
4.1.VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Pág.10
5) FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA Pág. 11
6) RESULTADOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Pág. 13
6.1. MÉTODO SIMPLEX Pág. 13
6.2. SOLUCIÓN Pág. 16
6.3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDADMÉTODO Pág. 16
7) EJERCICIO PRÁCTICO PROPUESTO Pág. 17
7.1. ENUNCIADO Pág. 17
7.2. MODELIZACIÓN Pág. 22
7.3.SOLUCIÓN CON MATHEMATICA Pág. 24
8) CONCLUSIONES Pág. 28
9) BIBLIOGRAFÍA Pág. 30
10) WEBGRAFÍA Pág. 31
3
RESUMEN
La principal finalidad de este trabajo fin de grado no es otra más que la de mostrar a
modo de ejemplo o ejercicio práctico, la programación lineal y su importancia en el
ámbito económico. Ya que hoy en día existen muchas actividades muy diferentes
entre sí, donde es muy difícil hacer una buena asignación de sus recursos disponibles,
en gran parte por la limitación de los propios recursos con lo que los empresarios
pueden contar, por lo que una buena gestión de éstos es clave para el éxito
empresarial.
El ejercicio práctico está orientado a la fase de transporte de aceituna a la almazara,
donde he considerado que, un buen análisis, puede suponer una gran oportunidad de
reducir costes de transporte. Además, encontrar una solución óptima para ciertos
problemas, como veremos a continuación, puede ser más sencillo gracias a utilización
de programas informáticos como Mathematica.
ABSTRACT
The main purpose of this end-of-degree project is simply to show, by way of example
or practical exercise, linear programming and its importance in the economic field.
Since today there are many very different activities among themselves, where it is
very difficult to make a good allocation of the available resources, largely by the
limited own resources with what entrepreneurs can count on. The practical exercise
is oriented to the olive transport phase to the mill, where I have considered that a good
analysis can be a great opportunity to reduce transport costs. In addition, finding an
optimal solution for certain problems, as we will see below, can be easier thanks to
the use of computer programs such as Mathematica.
Palabras clave: programación lineal ( PL), Mathematica, transporte.
4
1. INTRODUCCIÓN
La provincia de Jaén es conocida en toda España y en gran parte del mundo por ser la
provincia, región o lugar con una mayor concentración de olivos y por consiguiente, de
producción oleícola. La zona geográfica de Jaén está recubierta por más de 60 millones
de estas plantas, que abarcan unas dimensiones tan extensas que a menudo son
denominadas como “mar de olivos”.
Son muchos los cuidados que el olivar ha de tener para garantizar el éxito del producto
final: la poda, abonado, uso de herbicidas,… son algunos de los mimos que los olivos
reciben, lo que supone un gran esfuerzo tanto de trabajo como económico para poder
obtener una buena rentabilidad.
La recolección de la aceituna es la fase inicial para la producción del aceite de oliva. Los
campos de olivos, como hemos dicho, han estado siendo durante todo el año trabajados
para poder llegar a esta labor, en donde una perfecta planificación, como puede ser la
fecha de inicio de la campaña, las técnicas y medios disponibles al alcance del agricultor,
la propia madurez del fruto y los conocimientos adquiridos por los propios agricultores
encargados de la recolección van a determinar el éxito y en gran medida de la calidad del
producto final, el tan valioso aceite de oliva.
Uno de los tantos problemas que pueden tener los agricultores o productores de aceite de
oliva es el traslado de las aceitunas a las almazaras, molinos o cooperativas. En este
trabajo fin de grado abordaremos de modo práctico, un problema de transporte de
aceitunas, desde su recolección en el campo hasta su destino en la almazara, ayudándonos
de las matemáticas y más concretamente en la Programación Lineal para poder dar una
solución óptima al empresario o agricultor. Hay que tener en cuenta que la fase de
transporte del fruto y su posterior molienda en la almazara debe durar lo mínimo posible
y además no sea demasiado costoso para el propio agricultor. De esta forma, no solo
ahorrará costes el productor, sino que también facilitará en mayor medida que las
aceitunas transportadas no pierdan calidad.
La selección de una determinada alternativa puede basarse en la experiencia del agricultor
o en ayudas de diferentes técnicas de análisis, de donde la complejidad puede ser alterada
por muchas circunstancias distintas. Un modelo de decisión que represente de una forma
5
matemáticamente sencilla la realidad hará que la elección de una alternativa sea más fácil
y así poder conseguir mayor eficacia.
2. LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
Buscar una definición concreta de investigacion operativa no nos resulta del todo sencillo,
esto es debido, principalmente, a la continua evolución que ha mostrado y que hace difícil
poder dar una definición precisa.
La investigación operativa se puede definir como la aplicación de métodos científicos en
la mejora de la efectividad de las operaciones, decisiones y gestión de las mismas1.
Según Taha la Investigación de operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción
óptimo de un problema de decisión con la restricción de los recursos limitados, aplicando
técnicas matemáticas para representarlo por medio de un modelo y así poder analizar los
problemas de decisión2.
Las raíces de la Investigación Operativa se puede remontar a las civilizaciones más
antiguas pero el verdadero origen de la investigación operativa como una nueva área de
la investigación científica lo encontrariamos durante el desarrollo de la Segunda Guerra
Mundial y podemos decir que sus inicios fueron totalmente militares, pues servía para
hacer referencia al conjunto de técnicas y herramientas que utilizaban los distintos bandos
para obtener una mejor utilización de sus propios recursos bélicos durante la guerra.
Finalizada esta, su uso se extendió para el ámbito civil y gracias a la alta especialización
que desarrollaron las organizaciones económicas, el uso de la investigación operativa se
generalizó dentro de las propias organizaciones.
La Investigación Operativa es la disciplina que puede dar respuesta a muchos problemas
de diversa índole que pueden surgir de relaciones económicas; es decir, se pueden
investigar operaciones tan diversas dentro de una misma organización, como sería:
producción, comercialización, finanzas, contabilidad, recursos humanos… para todo ello
se sirve de un método científico que a su vez, se apoya en diferentes técnicas para poder
1 Robinson R. (1999). Welcome to OR territory. OR/MS Today. Pp 40-43. 2 TAHA H.A. (2012). Investigación de operaciones. PEARSON EDUCACIÓN. P 824.
6
aportar una o varias soluciones que ayuden a los empresarios a tomar una decisión final
o aportar un grupo de soluciones optimas.
La optimización es una de las partes más relevante dentro de la investigación operativa.
Optimizar equivaldría a poder encontrar el valor que deben tomar las variables para hacer
óptima la función objetivo satisfaciendo el conjunto de restricciones. Podemos decir que
tuvo un progreso algorítmico muy rápido en sus inicios, muchas técnicas de porgramación
lineal y dinámica son anteriores a 1960 como por ejemplo:
• Teoría de juegos: von Neumann y Morgenstern 1944.
• Método Simplex: Dantzig 1947.
• Principio de optimalidad: Bellman 1957.
“En la última década, los nuevos avances en algoritmos han sido tan importantes como
los impresionantes avances en informática. Tecnología”. George L. Nemhauser (1994).
“Las mejoras tecnológicas en algoritmos, modelación, lenguajes, software y hardware
han hecho que la metodología sea mucho más accesible, fácil de usar y rápida. Así que la
edad de La optimización ha llegado”. George L. Nemhauser (1994).
Hoy en día y sobre todo gracias al desarrollo tecnológico es mucho más fácil, pues se
podría resolver en cuestión de pocos segundos lo que hace no muchos años se habría
necesitado de años para resolver.
Todos los problemas de optimización tienen una serie de componentes, como norma
general, todo problema tendría:
- La función objetivo: es la medición cuantitativa del funcionamiento de aquel sistema
que se quiere optimizar. Como por ejemplo: maximización de beneficios como
consecuencia de la venta de unos productos o la minimización del gasto de gasolina
en el transporte de mercancías.
- Variables: conjunto de decisiones que se pueden tomar para afectar a la función
objetivo. Se pueden clasificar en independientes, principales o de control y variables
dependientes o auxiliares o de estado.
- Restricciones: condiciones o relaciones que pueden estar expresadas mediante
ecuaciones e inecuaciones que ciertas variables deben satisfacer.
7
Para poder resolver un problema de optimiación, será necesario poder encontrar el valor
que deberán tomar las variables para hacer óptima la función objetivo satisfaciendo a su
vez el conjunto de restricciones.
Los métodos de optimización los podemos clasificar en :
- MÉTODOS CLÁSICOS. Donde garantizan un óptimo local.
- MÉTODOS METAHEURÍSTICOS. Donde tienen mecanismos específicos para
alcanzar un óptimo local, aunque no garantizan su alcance.
Hay que decir que los métodos de optimización son una de las ramas matemáticas que
consistiría en el uso de modelos matemáticos, estadísticos y de algoritmos con el objetivo
de poder realizar un proceso que nos permita tomar las decisiones. Normalmente trata el
estudio de complejas situaciones reales, con la finalidad de mejorar su funcionamiento u
optimizarlo.
3. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.
La Real Academia Española (RAE), define modelo como aquel esquema teórico, que
generalmente viene formulado en expresión matemática, de un sistema o realidad
compleja, que se elabora para facilitar su comprensión y facilitar el estudio de su
comportamiento3.
El modelo es la representación matemática simplificada de una realidad mucho más
compleja y modelar, la acción que permite la construcción del modelo. En difinitiva, una
herramienta que ayuda a la toma de decisiones, por lo que sus resultados deben ser
tangibles además de útiles.
La modelación sería por tanto, aquel proceso completo de abstracción de un problema
real a un modelo cualitativo y tiene como resultado un modelo matemático del sistema
real bajo estudio. Podemos considerar que se trataría quizás de la parte más importante
3 https://dle.rae.es/?id=PTk5Wk1 Definición de Modelo por la RAE.
8
de la Investigación de Operaciones ya que se le considera como una mezcla de arte y de
ciencia.
Algunos de los beneficios derivados del proceso de modelado además del propio modelo
en sí, podemos mencionar:
- Ayuda al intercambio de información entre las personas que participan en el modelo.
- Organiza los datos obtenidos y toda la información disponible.
- Facilita la comprensión.
- Indica la dirección a la hora de tomar las decisiones.
Generalmente los modelos de programación lineal son más utilizados que los otros tipos
de optimización y pueden englobar distintas actividades de la actividad humana como
micro y macroeconomía, marketing, economía de la empresa, química, agrónoma, etc.
En cuanto a las etapas o fases que podemos encontrar en el desarrollo de un modelo
podemos nombrar las siguientes:
- 1. Identificar el problema. Consiste en la recopilación de la información relevante
para la resolución del problema. Lo normal es que los problemas reales muestren una
información imprecisa que es necesaria interpretar para convertirla en ecuaciones
matemáticas.
- 2. Formulación. Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir
el sistema simplificado en un modelo cuantitativo que lo describa. Escritura
matemática del problema, definiendo variables, ecuaciones, función objetivo entre
otras. Además aquí se analiza cual es el tamaño de nuestro problema.
- 3. Resolución. Implantar el algoritmo que permita la obtención de la solución
numérica óptima. Hay que decir que es posible que un mismo problema tenga
diferentes métodos de solución.
9
- 4. Verificación y validación. Fase en la que se eliminan los errores, una etapa de
depuración y posteriormente comprobar que los resultados son coherentes con
respecto a lo que sucedería realmente.
- 5. Interpretación y análisis de los resultados. Consiste en la detección de alternativas
suficientemente atractivas y comprobación de la solución óptima.
- 6. Implantación y documentación. Fase fundamental para garantizar la difusión del
mismo, la documentación debe ser clara, precisa y completa.
4. MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Los modelos de decisión como hemos visto, son una representación de la realidad.
Dentro de la planificación de las empresas, los modelos que más se utilizan son:
1)Modelos de Simulación.
2)Modelos de Optimización.
Los de Simulación, donde podemos ver su versión más simplificada en el método de los
presupuestos totales, serían modelos más descriptivos, con aproximaciones sucesivas,
donde se establecerán en principio planes de producción y comprobando y miediendo
después cual de ellos es mejor. Los modelos de Optimización son aquellos que se basarían
en la teoría marginalista y calculan el plan óptimo desde el mejor uso de los factores de
la producción. Estos últimos se encuentran los métodos de programación matemática.
Estos se pueden clasificar en4:
- M. de Programación Lineal.
- M. de Programación Cuadrática.
- M. de Programación Entera.
- M. de Programación Dinámica.
- M. de Programación Estocástica.
Dentro de la programación matemática, la forma más utilizada es la Programación Lineal,
que opera exclusivamente con funciones objetivo y restricciones lineales; además, ha
4 Hernández Díaz. J. (1985) La programación lineal y ejemplos de su aplicación. Instituto Nacional de
Investigaciones Forestales. México.
10
encontrado una aplicación especial en el mundo de las empresas y negocios. Utilizada en
problemas de ingeniería, transportes…
Los componentes de la Programación Lineal reconocidos son cuatro:
I. La fucnción objetivo. Es uno de los componentes principales, debe ser
perfectamente definido y orientado a dos opciones, maximizar un valor o bien
minimizar un criterio.
II. Variables de decisión. Representación de los elementos a modelar que son
controlables por el decisor.
III. Restricciones. En referencia a que actividades están sujetas a ciertas
restricciones o limites, condiciones propias del sistema.
IV. Los recursos con los que se cuentan. Los recursos disponibles para poder
resolver el problema, aprovechándolos lo máximo posible.
Las empresas deberían utilizar la Programación Lineal para poder determinar la
distribución óptima de sus recursos y demás elementos como los costes, beneficios y la
producción entre otros.
4.1.VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
Como ventajas podemos decir:
I. Permite comparar un rango muy amplio de soluciones alternativas y analizar las
posibles consecuencias para la empresa, sin ser necesario un alto coste y tiempo.
II. Consigue que el empresario o administrador gestione de una forma más eficaz sus
factores, así como su distribución.
III. Hace que el empresario tome decisiones con más lucidez y claridad, haciéndolo
más objetivo, ya que puede formular matemáticamente el problema.
IV. No impide que se pueda modificar la solución, adaptándose a las necesidades de
cada empresa.
Tenemos que decir que el método también presenta una serie de desventajas y
limitaciones, como cualquier otra técnica matemática. Ciertamente en el mundo
empresarial, la principal desventaja es:
I. No controla las relaciones de los productos con el consumidor; es decir, no puede
tener en cuenta la demanda y oferta con el paso del tiempo.
11
5. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE
CLÁSICO.
Podemos decir que el transporte constituyó uno de los principales y más viejos problemas
estudiados en el campo de la investigación de operaciones. Estos problemas clásicos de
transporte derivaron con el paso del tiempo en problemas asociados al transporte mucho
más complejos, como puede ser el problema del trasbordo.
En la Programación Lineal el problema se resuelve determinando la mejor de las opciones
o mejor combinación de actividades sin utilizar más recursos de los que realmente
dispones, optimizando la función objetivo.
Para la búsqueda de ese óptimo mediante PL será necesario plantear un modelo
matemático; es decir, un sistema de ecuaciones lineales que representen en la mayor
medida la realidad del problema que se plantea.
Elaborar un modelo matemático que describa la particularidad de la situación, es
posiblemente la parte más delicada y trabajosa del método. Sería el arte de poder expresar
en distintas ecuaciones todos los aspectos posibles que definen el problema en cuestión.
Existen matemáticamente, dos formas diferentes de plantear un problema de PL,
dependiendo de si lo que queremos es maximizar o minimizar la función. La formulación
matemática del objetivo de minimizar puede hacerse de la siguiente forma para nuestro
problema de transporte clásico.
Debemos pensar en un producto, en este caso las aceitunas, que deben enviarse en ciertas
cantidades u1,...,un, desde cada uno de n orígenes (fincas de olivos), y recibirse en
cantidades v1,...,vm, en cada uno de m destinos (almazaras). El problema consiste en
determinar las cantidades xij , que deben enviarse desde el origen i al destino j, para
conseguir minimizar el coste de enviar esas aceitunas a las almazaras. Nunca excediendo
la capacidad de oferta de cada origen y que se satisfaga la demanda de las almazaras o
destino.
12
Los principales cuatro elementos de tal problema serían los siguientes:
1. Datos
n: el número de orígenes.
m: el número de destinos
ui: la cantidad que debe enviarse desde el origen i
vj: la cantidad que debe ser recibida en el destino j
cij : el coste de envío de una unidad de producto desde el origen i al destino j
2. Variables
xij : la cantidad que se envía desde el origen i al destino j. Teniendo que suponer que las
variables deben ser no negativas:
xij ≥ 0; i = 1,...,n; j = 1,...,m
Esto implica que la dirección de envío del producto está prefijada desde los distintos
orígenes hasta los destinos.
3. Restricciones. Las restricciones de este problema son:
∑ 𝑥𝑛𝑖=1 ⅈ𝑗 = ui; i = 1,….,n.
∑ 𝑥𝑚𝑗=1 ⅈ𝑗 = vj; j = 1,….,m.
13
El primer conjunto de condiciones indica que la cantidad del producto que parte del origen
i debe coincidir con la suma de las cantidades que parten de ese origen hasta los distintos
destinos j = 1,...,m.
El segundo conjunto de condiciones asegura que el total recibido en el destino j debe
corresponder a la suma de todas las cantidades que llegan a ese destino y parten de los
distintos orígenes i = 1,...,n.
4.Objetivo que debe optimizarse. En el problema del transporte nos interesa normalmente
minimizar los costes de envío; es decir, se debe minimizar
Mín z =
∑ ∑ 𝑐ⅈ𝑗𝑥ⅈ𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
En este caso, hablaremos de un problema de transporte balanceado, puesto que la oferta
total será igual a la demanda total. Cumpliéndose así:
∑ 𝑢ⅈ = ∑ 𝑣𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
Una vez que se hayan identificado estos cuatro elementos fundamentales se puede estar
preparado para poder resolver un problema.
6. RESULTADOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
Existen varios métodos de resolución de problemas de Programación Lineal pero
normalmente y el más utilizado es el Método Simplex.
6.1. MÉTODO SIMPLEX.
Fue desarrollado por el matemático George Dantzig y Leonid Vitalievch Kantorovich en
1947, con el objetivo claro de crear un algoritmo con capacidad para resolver aquellos
problemas de m restricciones y n variables. Podemos decir que el método simplex es uno
de los mejores métodos analíticos de solución para los problemas de programación lineal,
14
este método es capaz de resolver modelos mucho más complejos que otros métodos, como
por ejemplo el método gráfico.5
Este método permite localizar de la forma más eficiente la solución más óptima entre los
puntos extremos de un problema de PL. La principal ventaja de la que goza el método
simplex, es la de ser un método bastante sencillo y práctico.
Cobra mucha importancia en el ámbito de la empresa, suele ser utilizado por diferentes
entidades para obtener solución a problemas de beneficios y costes entre otros. A los
empresarios, este método muestra las respuestas de cuánto han de producir, comprar,
vender,… para maximizar o minimizar sus ganancias o pérdidas.
Dicho de otra forma podemos decir que de las características más importantes de este
método es que resuelve los problemas de programación lineal en iteraciones, cada una de
estas iteraciones desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene el suficiente
potencial como para mejorar la función objetivo y el proceso termina cuando ya no se
puede mejorar dicha función objetivo.
Este método por otro lado conlleva una gran cantidad de cálculos que provoca que una
computadora sea una herramienta básica y fundamental para poder resolver los problemas
de programación lineal. Las propias reglas del método simplex se adaptan perfectamente
para el cálculo automático de los problemas.6
En el algoritmo del método simplex cobra mucha importancia la teoría de las matrices.
La matriz idéntica o de identidad puede ser considerada como una ordenación de los
distintos elementos, números colocados en forma de filas y columnas, basándose en estas
se puede resolver un problema.7
8
5 González Martín, C. y Herrera Rodríguez, G. (2002). Programación y diccionarios. Suma. Pp 27-32. 6 TAHA H.A. (2012). Investigación de operaciones………op. P 631. 7 https://revistasuma.es/IMG/pdf/39/027-032.pdf 8https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-
ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/
15
Además en este método es muy importante convertir las inecuaciones iniciales en
ecuaciones, utilizando para ello las variables denominadas de holgura. Estas variables
tienen una gran importancia y valor en el análisis de sensibilidad y juegan un papel
fundamental a la hora de crear la matriz identidad que es la base del método simplex.9
Ejemplo de transformación de inecuaciones a ecuaciones:
10
Las variables artificiales nos son útiles para convertir inecuaciones >= o <= en
ecuaciones, tenemos que decir que en el resultado no deben aparacer estas, pues no
representan ningun tipo de recurso, la función principal como hemos dicho es la de porder
formar la matriz identidad.
Una de las principales ventajas de este método y de las más destacables es que dicho
método no solo proporciona el plan óptimo junto con el valor de la función objetivo,
además aporta un conjunto de resultados extra, que pueden tener mucho valor para la
toma de una decisión final y que otros métodos no son capaces de proporcionar11.
9 González Martín, C. y Herrera Rodríguez, G. (2002). Programación y diccionarios. Suma. pp 27-32. 10https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-
industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/ 11 Davis L. & N. Johnson. (1987). Forest management. Third edition. McGraw-Hill. Estados Unidos. P 34.
16
6.2. SOLUCIÓN.
El principal resultado de la PL es el plan óptimo con la determinación concreta de sus
variables. Dicho de otra manera, la solución señalará qué y cuáles actividades se han de
realizar para obtener una mayor eficacia. Es el único de los métodos que proporciona un
punto óptimo con la precisión matemática.
Otro resultado sería el valor de la función objetivo, que es la función que queremos
minimizar para obtener los menores costes posibles.
En las restricciones también encontramos información valiosa, que nos puede ayudar a
conocer en dónde se encuentran los “cuellos de botella” y dónde los excedentes de la
empresa.
6.3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
El análisis de sensibilidad o análisis de estabilidad nos ayudan para una vez obtenida la
solución saber como puede variar esta con el cambio o la modificación de algún elemento.
La estabilidad de una solución es de vital importancia a la hora de realizar un análisis del
resultado, lo más deseado es que aquellas soluciones que hemos obtenido sean lo más
estables posibles; esto quiere decir, que serán mejores soluciones cuando estas sean
menos sensibles a las variaciones de los datos.
El rango de validez de los coeficientes indica dentro de aquellos límites que puede variar
el coeficiente sin que se modifique la solución. Ayuda a predecir la estabilidad de la
solución.
El coste de sustituir una actividad que en principio no ha sido incluida en la solución
informará en cuánto aumentará o se reducirá el valor de la función para el caso de
incluirla.
En cuanto al coste de oportunidad de los recursos que han sido agotados nos pueden
indicar como puede variar el valor de la función en el caso de aumentar o disminuir los
recursos.
17
7. PROBLEMA PRÁCTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
A continuación vamos a proponer un problema de programación lineal, el problema lo
hemos enfocado en la producción del aceite de oliva, ya que es símbolo de nuestra
provincia, pues como bien hemos dicho anteriormente, Jaén es uno de los principales
productores de aceite en todo el mundo.
La Junta de Andalucía ha estimado que solo la provincia de Jaén produce tanto aceite
como Grecia e Italia al mismo tiempo, de este modo la cosecha repercute fuertemente en
la provincia desde un punto de vista económico, ya que genera alrededor de 4 millones
de jornales; es decir, de trabajo directo con la recolección. Pero además genera mucho
más empleo relacionado con diferentes actividades que indirectamente repercuten en la
recolección.12
Trataremos de optimizar el envío de aceitunas a las posibles almazaras desde los distintos
orígenes, teniendo en cuenta que el coste de los viajes es distinto entre fincas y almazaras.
Para el problema tendremos en cuenta principalmente la producción de aceitunas de
distintas fincas o parcelas, el gasto de transporte y la capacidad en kilogramos de
transportar aceitunas desde las parcelas a las distintas almazaras.
Después de haber planteado el problema pasaremos a resolverlo con un programa
informático, el Mathematica. Este programa además de resolver el problema de
programación de una forma rápida, efectiva y eficiente, nos fue útil durante varios años
en la carrera/grado para poder resolver problemas en las asignaturas de Matemáticas I y
Matemáticas II.
7.1. ENUNCIADO DEL CASO.
Un agricultor de la pequeña localidad marteña (Jaén) es propietario de una gran extensión
de olivos. El agricultor cuenta con diversas parcelas de tierra, con distintas medidas y
capacidades productivas; además, por diferentes circunstancias, las diversas parcelas
donde se ubican los olivos tienen una producción diferente, pues en algunas, aún siendo
de menor tamaño, la producción es mayor que en otras. Esto es producido mayormente
por circunstancias externas al empresario, como pueden ser los factores climatológicos o
12 https://www.lainformacion.com/economia-negocios-y-finanzas/recoger-aceitunas-jaen-pagan-mas-
nunca-mejor-convenio-pais/6484064/
18
la calidad de la propia tierra. Todas las parcelas del propietario están cubiertas por olivos
de la variedad Picual.
Tenemos que tener en cuenta que la cantidad de fruto que puede ofrecer el olivo es
diferente dependiendo de las distintas variedades que existen, generalmente la variedad
Picual es propensa a producir muchos más kilogramos por olivo que otras variedades
como puede ser la Picudo o la Hojiblanca, además dependiendo de la clase de olivo, el
fruto tendrá diferentes rendimientos, que es la palabra utilizada para saber cuanto aceite
de oliva puede ofrecer una aceituna.
Los datos que se muestran a continuación son una aproximación a la realidad, teniendo
en cuenta que en el olivar tradicional, la producción está muy condicionada a factores
externos que se escapan de las posibilidades de actuación para el propietario.
Tabla de información de las diez parcelas13:
Tabla 1. Muestra las distintas parcelas o fincas, extensión, nº de plantas y la producción
El propietario tiene la opción de trasladar la aceitunas recolectadas a dos puntos
diferentes, dos almazaras ubicadas ambas cerca de la localidad marteña. Las almazaras
13 Los datos reflejados son una aproximación a la realidad, los datos han sido facilitados y comprobados
por los administradores de la Cooperativa de aceite Virgen de la Villa. Martos (Jaén).
PARCELA EXTENSIÓN (ha) N.º DE OLIVOS PRODUCCIÓN MEDIA (kg)
1 2 180 10800
2 4 360 21600
3 3 270 16200
4 2 165 8250
5 5 450 22500
6 1 88 7480
7 1 86 6880
8 3 270 13500
9 3 250 17500
10 2 172 12040
TOTAL 26 2291 136750
19
son de un tamaño reducido y por lo tanto, no tienen aún la capacidad para recoger
demasiados kilogramos de aceitunas en un cierto tiempo determinado. Diremos entonces
que la almazara 1 tiene una capacidad máxima de 126.000 kilogramos mientras que la
almazara 2, tiene una capacidad máxima de 72.000 kilogramos.
El propietario cuenta con un tractor y un remolque para poder transportar los kilogramos
de aceituna a las distintas almazaras. Para poder calcular el precio de transporte hemos
tenido en cuenta que el depósito de un tractor medio tiene una capacidad de unos 90 litros
de gasóleo rojo o agrícola, el consumo dependerá de la distancia y del peso del que tiene
que tirar el tractor, podemos decir que el tractor tiene un consumo medio de 1,35 euros
por kilómetro, con cada remolque transportado. Ademas el remolque con el que cuenta el
agricultor tiene una capacidad máxima de 6.000 kilogramos por viaje.
Tabla 2. Muestra los kilómetros de distancia desde la finca a cada almazara.14
Una vez que hemos reunido los datos de producción de las diferentes parcelas, la
capacidad de procesamiento de las distintas almazaras y las distancias entre las parcelas
y las almazaras, es necesario construir una nueva tabla, donde se exprese el coste de
transportar cada remolque desde cada parcela a los diferentes destinos. Teneiendo además
14 Los datos reflejados son una aproximación a la realidad, los datos han sido facilitados y comprobados
por los administradores de la Cooperativa de aceite Virgen de la Villa. Martos (Jaén).
ALMAZARA 1 ALMAZARA 2
PARCELA 1 20 27
PARCELA 2 30 28
PARCELA 3 25 30
PARCELA 4 19 24
PARCELA 5 25 20
PARCELA 6 27 28
PARCELA 7 25 33
PARCELA 8 38 37
PARCELA 9 36 35
PARCELA 10 25 19
20
en cuenta el número de remolques que son necesarios transportar desde cada parcela o
finca de origen.
Las distancias en kilómetros, serán multiplicadas por el consumo medio del tractor y así
de esta forma obtendremos el costo en euros de transportar un remolque a cada una de las
distintas almazaras.
Además la producción de cada finca será dividida por la capacidad del remolque del que
dispone el propietario o agricultor.
Tabla 3. Resultado de multiplicar las distancias, por el consumo del tractor. Muestra el
coste en euros de transportar un remolque a cada almazara. También muestra el número
de remolques que producen cada finca o parcela y la capacidad máxima en remolques
de cada almazara.
Por tanto, podemos decir que el problema consite en dererminar cuantos remolques de
aceitunas deberían enviarse desde las fincas o parcelas (origen) hasta las dos almazaras
(destino) de tal forma que podamos minimizar el coste de los envíos, siempre
garantizando que la producción total de las distintas fincas o parcelas lleguen para
satisfacer en la medida de los posible, la demanda de las propias almazaras.
ALMAZARA
1
ALMAZARA
2
N.º DE
REMOLQUES
PARCELA 1 27 36,45 2
PARCELA 2 40,5 37,8 4
PARCELA 3 33,75 40,5 3
PARCELA 4 25,65 32,4 2
PARCELA 5 33,75 27 4
PARCELA 6 36,45 37,8 2
PARCELA 7 33,75 44,55 1
PARCELA 8 51,3 49,95 3
PARCELA 9 48,6 47,25 3
PARCELA 10 33,75 25,65 2
CAPACIDAD DE
PROCESAMIENTO,
EN REMOLQUES 21 12
21
El resultado final del ejercicio estará por tanto medido en remolques; es decir, trataremos
de saber cuántos remolques deberán ir a la almazara 1 y cuántos a la almazara 2 y desde
que fincas han de salir los mismos.
A continuación mostramos en forma de esquema en que consistirá nuestro problema.
22
Los problemas de transporte son un tipo particular dentro de los problemas de
programación lineal. Para poder resolver el problema por el método del transporte será
necesario que se cumplan las siguientes condiciones:
1. La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.
2. Las cantidades que salen de los distintos orígenes deben ser igual a las cantidades
que entran en los destinos.
7.2.LA MODELIZACIÓN15
Los m + n vértices representan los m puntos de origen y los n puntos de destino
Las aristas (i, j), los caminos entre cada origen i y cada destino j
Cada vértice origen tiene asociada una producción ui, i = 1, . . ., m
Cada vértice destino tiene asociada una capacidad de procesamiento vj,
j = 1, . . ., n
Cada arista, un coste cij que representa el coste de enviar un remolque desde cada
finca (origen) a cada almazara (destino) de i a j
Producción de las fincas ≤ Capacidad de procesamiento de las distintas almazaras.
( ∑ 𝑢ⅈ ≤ ∑ 𝑣𝑗𝑚𝑗=1
𝑛𝑖=1 )
Los remolques de aceitunas que se deben enviar desde cada parcela i = 1,…,10 a las
almazaras j = 1, 2.
xij = Nº de remolques transportados entre la parcela i y las almazaras j.
15 https://www.uv.es/martinek/material/Tema6.pdf
23
mín z = ∑ ∑ 𝑐ⅈ𝑗𝑥ⅈ𝑗𝑚𝑗=1
𝑛𝑖=1
sujeto a:
∑ 𝑥ⅈ𝑗 = 𝑢ⅈ𝑛𝑖=1 , i = 1, 2….. ,m
∑ 𝑥ⅈ𝑗 ≤ 𝑣𝑗,𝑚𝑗=1 j = 1,2……,n
xij ≥ 0, ∀(i, j)
cij = coste de transporte entre la parcela i y la almazara j, por remolque.
mín z = 27x 11 + 36,45x 12 + 40,5x 21 +37,8x 22 + 33,75x 31 + 40,5x 32 + 25.65x 41 + 32,4x
42 + 33,75x 51 + 27x 52 + 36,45x 61 + 37,8x 62 + 33,75x 71 + 44,55x 72 + 51,3x 81 + 39,95x
82 + 48,6x 91 + 47,25x 92 + 33,75x 10.1 + 25,65x 10.2
Sujeto a :
x11+ x12 = 2 x11,……x10.2 ≥ 0
x21 +x22 = 4
x31 +x32 = 3
x41+ x42 = 2
x51 +x52 = 4
x61 + x62 = 2
x71 + x72 = 1
x81 +x82 = 3
x91 + x92 = 3
x10.1 + x10.2 = 2
x11 + x21+ x31 + x41 + x51 + x61 + x71 + x81 + x91 + x10.1 ≤ 21
x12 + x22 + x32 +x42 + x52 + x62 + x72 + x82 + x92 + x10.2 ≤ 12
24
7.3. RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO CON EL PROGRAMA MATHEMATICA
En el grado de Administración y dirección de empresas que he cursado hemos utilizado
en diversas asignaturas programas para resolver diferentes tipos de problemas, entre los
que destaca Mathematica, para poder resolver los problemas matemáticos durante los
primeros cursos en las asignaturas de matemáticas I y matemáticas II. El conocer este
programa desde hace años, me ha permitido poder enfocar y resolver el problema
planteado en este trabajo fin de grado a través de este programa.
El programa Mathematica fue uno de los primeros programas de cálculo simbólico que
funcionaba en diversos sistemas operativos. Este programa apareció en 1988 y desde esa
fecha, el programa es utilizado en muchos y distintos campos científicos, además este
programa es muy utilizado por estudiantes de diversas disciplinas en las que las
matemáticas cobran especial importancia16.
No es una tarea muy sencilla definir en pocas palabras el programa Mathematica,
podríamos decir que se trata de un programa para la computación y visualización
numérica, simbólica y gráfica, que ofrece herramientas de cálculo y lenguaje muy amplio
de programación.17
Dentro del lenguaje utilizado por este programa “Wolfram Language” encontramos una
gran colección de algoritmos capaces de resolver problemas de optimización lineal a los
que se puede acceder mediante LinearProgramming, FindMinimum, FindMaximum,
NMinimize, NMaximize, Minimize y Maximize.18
Para poder resolver el problema que hemos planteado anteriormente utilizaré la orden
Minimize y después de haber introducido los datos de forma correcta se resuelve el
problema en cuestión de minutos.
En primer lugar hay que introducir la función objetivo.
mín z = 27x 11 + 36,45x 12 + 40,5x 21 +37,8x 22 + 33,75x 31 + 40,5x 32 + 25.65x 41 + 32,4x
42 + 33,75x 51 + 27x 52 + 36,45x 61 + 37,8x 62 + 33,75x 71 + 44,55x 72 + 51,3x 81 + 39,95x
82 + 48,6x 91 + 47,25x 92 + 33,75x 10.1 + 25,65x 10.2
16 https://www.wolfram.com/mathematica/ 17 http://www.eduinnova.es/monografias09/ene2010/MATHEMATICA.pdf 18 https://reference.wolfram.com/language/tutorial/ConstrainedOptimizationLinearProgramming.html
25
El segundo paso es el de introducir las restricciones derivadas de la producción total de
cada parcela en número de remolques.
El tercer paso consiste en introducir las restricciones que hacen referencia a la capacidad
de las almazaras, también en remolques.
Por último hay que introducir las restricciones de no negatividad.
Una vez introducidos los datos correctamente el problema pasa a ser resuelto, obteniendo
los siguientes resultados.
26
Como podemos observar se muestra cuantos remolques se enviarán desde cada parcela
hasta cada almazara. Utilizaré una tabla para mostrar mejor los resultados.
ALMAZARA
Nº 1
ALMAZARA
Nº 2
PARCELA 1 2 0
PARCELA 2 1 3
PARCELA 3 3 0
PARCELA 4 2 0
PARCELA 5 0 4
PARCELA 6 2 0
PARCELA 7 1 0
PARCELA 8 0 3
PARCELA 9 3 0
PARCELA 10 0 2
TOTAL 14 12
Tabla 4. Muestra el resultado del ejercicio, mostrando como se distribuirán los
remolques desde cada parcela o finca hasta cada almazara.
Con estos resultados podemos decir que optimizamos el envío de aceitunas a las distintas
almazaras en función del coste que supone transportarlas. Pues optimizar no es otra cosa
más que buscar la mejor manera de realizar una tarea o actividad como así indica la propia
RAE19.
La construcción de la tabla nos ayuda a mostrar mejor los resultados del problema, donde
podemos observar mucho mejor el número de remolques que irán destinados desde cada
finca o parcela hasta cada almazara.
Destacamos que las parcelas 1,3,4,6,7 y 9 envian todos los remolques a la almazara
número 1, mientras que solo las parcelas 5, 8 y 10 envían todo a la almazara número 2.
La parcela número 2 es la única de todas las parcelas que envía un remolque a la almazara
19 http://lema.rae.es/dpd/srv/search?id=LiE1rActOD6qKXDDnt
27
número 1 y tres a la almazara número 2; es decir, es la única parcela que envía al menos
un remolque a cada almazara.
Si analizamos las distancias entre las parcelas y las almazaras, observamos como las
distancias desde las parcelas 2,6,8 y 9 son muy similares tanto para la almazara 1 como
para la 2, en cambio, las parcelas 6 y 8 envían todos los remolques a la almazara más
cercana, la parcela 2 debe transportar un remolque a la almazara 1, por estar saturada la
almazara 2, debido al reducido tamaño de la misma. La parcela 9 no tiene más remedio
que enviar todos los remolques a la almazara 1 pese a estar más lejos. Es decir, no todas
las parcelas pueden enviar los remolques a la almazara más cercana debido a la propia
capacidad de procesamiento que estas tienen, también podemos observar que el envío de
remolques a las más lejanas tienen lugar entre las parcelas que tienen menor diferencia
de kilómetros entre sí.
Hay que hacer mención a la almazara 1, pues recibirá 14 remolques en total de las distintas
fincas, no agotándose así su capacidad máxima de procesamiento. En cambio, la
almazara 2 recibirá 12 remolques, lo que supone que alcanzará su capacidad máxima de
procesamiento.
Otra curiosidad que podemos tener en cuenta, es que el resultado del problema refleja
números enteros, que hacen referencia a los remolques que serán enviados, pero para
otros casos distintos, en Mathematica podemos introducir Intergers, de esta forma el
problema mostrará la solución con números enteros.
Como se muestra en la imagen superior es tan sencillo como introducir la orden, en este
caso observamos como los resultados son los mismos antes y después de haber
introducido Integers.
28
8. CONCLUSIONES
Podemos decir que la principal finalidad u objetivo de este Trabajo Fin de Grado no es
más que la de mostrar y enseñar la relación tan estrecha que podemos observar entre la
teoría de optimización matemática y la asignación de los recursos dentro de un ámbito
más económico.
Todas las empresas y sus empresarios buscan exprimir al máximo sus capacidades y así,
de esta forma, estarán más cerca de sus objetivos individuales, haciéndoles que estos sean
posibles de alcanzar.
Dentro de los principales objetivos de estos empresarios encontramos siempre el de
maximizar sus beneficios o por el contrario, intentar minimizar los costes. Cuando los
empresarios quieren cumplir con estos objetivos, realmente lo que está ocurriendo es que
necesitan optimizar funciones matemáticas y este es el motivo por el que es necesario
tener un cierto conocimiento en el campo de la optimización, debido a que se convierte
en un punto clave para cualquier empresa o empresario.
Podemos pensar que la optimización y el planteamiento matemático de este tipo de
problemas solo son realizados por las empresas más importantes que conozcamos pero
en verdad observamos que optimizar no solo es importante para aquellas empresas
grandes, ya que en este trabajo fin de grado observamos como puede tener un uso en una
explotación agrícola no exageradamente muy grande.
Aprovechando la importancia que tiene el sector del olivar dentro de nuestra provincia de
Jaén y de la importancia que tiene dicho sector para sus habitantes, hablando tanto de
importancia económica como consecuencia de su explotación como de la importancia de
identidad para todos los ciudadanos de la provincia de Jaén, que para la mayoría, me
atrevería a decir, supone un motivo de orgullo poder decir que su provinca es la principal
productora de aceite del mundo. Por todo esto he considerado oportuno mostrar con un
ejemplo práctico como poder optimizar el coste que supondría el envío de numerosos
remolques cargados de aceitunas, desde sus distintas parcelas u orígenes, hasta que son
depositados en una almazara.
Obteniendo la mejor opción de como distribuir los remolques en el caso de existir un gran
número de orígenes distintos y destinos diferentes. Para el supuesto planteado o ejemplo
29
práctico que resolvemos tenemos una combinación de diferentes datos de diversas
fuentes, suposiciones y diferentes hipótesis para que el caso pueda aproximarse lo
máximo posible a la realidad.
De esta forma podermos mostrar como las matemáticas están al servicio de los
empresarios, nos ayudan a tomar mejores decisiones, que nos pueden ayudar a minimizar
costes. Favoreciendo o facilitando el éxito al agricultor.
La utilización de este programa (Mathematica) me ha supuesto poder resolver el problema
en pocos minutos, una vez introducidos los datos correctamente en el lenguaje que utiliza
el programa. Por lo que se manifiesta la importancia que tienen este tipo de programas
para los ámbitos matemáticos y económicos.
Para resolver este problema con Mathematica, hemos utilizado la funcion Minimize cuya
principal ventaja es la de la facilidad a la hora de introducir los datos del problema en el
propio programa, mucho más sencilla de utilizar que otras funciones como
LinearProgramming.
Tenemos que tener en cuenta que el modelo planteado en el Trabajo Fin de Grado
corresponde a un modelo sencillo, pues este mismo problema podría ser mucho más
complejo; es decir, se podrían haber tenido en cuenta otros factores como por ejemplo el
coste de transportar los remolques vacíos a las parcelas después de descargar en las
almazaras, de este modo, se podría estudiar también teniendo el orden en el que se deben
transportar los remolques y desde qué parcelas.
Por último, puedo decir que realizando el presente trabajo, además de aprender más sobre
la provincia de Jaén y más concretamente de la producción de aceite de oliva, he podido
volver a utilizar el programa Mathematica que utilicé en las asignaturas de matemáticas I
y II.
30
8. BIBLIOGRAFÍA
o Arranz Sombría, M.R. y Pérez González, M.P. (1997): Matemáticas para la
Economía: Optimización y Operaciones Financieras. Editorial AC, Madrid.
o Davis L. & N. Johnson. (1987). Forest management. Third edition. McGraw-Hill.
Estados Unidos.
o Fernández Lechón, R. y Castrodeza, C. (1989): Programación Lineal. Editorial
Ariel Economía. Barcelona.
o Guerrero Casas, F.M. (1994): Curso de Optimización: Programación Matemática.
Editorial Ariel Economía. Barcelona.
o González Martín, C. y Herrera Rodríguez, G. (2002). Programación y
diccionarios. Suma.
o Hernández Díaz. J. (1985) La programación lineal y ejemplos de su aplicación.
Instituto Nacional de Investigaciones Forestales. México.
o Perez Grasa, I.; Minguillón, E. y Jarne, G. (2010): Matemáticas para la Economía:
Programación Matemática y Sistemas Dinámicos. Editorial McGraw Hill.
Madrid.
o Robinson R. (1999). Welcome to OR territory. OR/MS Today.
o TAHA H.A. (2012). Investigación de operaciones. PEARSON EDUCACIÓN.
o Wolfram Research, Inc., (2018). Mathematica, Version 11.3, Champaign, IL
31
9. WEBGRAFÍA
- https://dle.rae.es/?id=PTk5Wk1 Definición de Modelo por la RAE.
- https://revistasuma.es/IMG/pdf/39/027-032.pdf.
- https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero
- industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/
- https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-
industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/
- https://www.uv.es/martinek/material/Tema6.pdf
- https://www.wolfram.com/mathematica/
- http://www.eduinnova.es/monografias09/ene2010/MATHEMATICA.pdf
- https://reference.wolfram.com/language/tutorial/ConstrainedOptimizationLinearPro
gramming.html
- https://www.lainformacion.com/economia-negocios-y-finanzas/recoger-aceitunas-
jaen-pagan-mas-nunca-mejor-convenio-pais/6484064/
- http://lema.rae.es/dpd/srv/search?id=LiE1rActOD6qKXDDnt
32
“Sólo cabe progresar cuando se piensa en grande,
sólo es posible avanzar cuando se mira lejos”.
JOSÉ ORTEGA Y GASSET 1883-1955.
