La progettazione - DIMA - Sapienza - Università di Romadma.ing.uniroma1.it/users/lsm_progmacc/esercitazione DOE 2005-2006.pdf · trasmissione e lamiere estese e di alto spessore

La progettazione degli esperimenti (DOE) mediante l uso delle matrici ortogonali

Anno Accademico 2005-2006


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1 Introduzione................................................................................................................................................. 3 2 Glossario ...................................................................................................................................................... 3 3 La sperimentazione campione: la saldatura laser ad alta potenza..................................................... 5 4 Il campo sperimentale di applicazione .................................................................................................... 5 5 La tecnologia del processo ....................................................................................................................... 5 6 Concetti di base, ......................................................................................................................................... 7

6.1 La determinazione dei fattori oggetto di indagine................................................................................. 7 6.2 La costruzione delle matrici degli esperimenti...................................................................................... 8 6.3 Esperimenti con fattori a 2 livelli ........................................................................................................ 10 6.4 La misura dell esperimento: la funzione obiettivo .............................................................................. 12 6.5 La costruzione della funzione obiettivo .............................................................................................. 13 6.6 L introduzione dei fattori esterni......................................................................................................... 15

7 Passi dell applicazione............................................................................................................................. 20 7.1 Brainstorming, formulazione del problema......................................................................................... 20 7.2 Pianificazione dell esperimento .......................................................................................................... 22 7.3 Conduzione dell esperimento.............................................................................................................. 22 7.4 Analisi dei risultati .............................................................................................................................. 22 7.5 Valutazione dei fattori esterni analisi della varianza........................................................................ 25

7.5.1 Analisi mediante la deviazione standard............................................................................... 25 7.5.2 Analisi mediante il rapporto S/n.............................................................................................. 26

7.6 Previsione dell ottimo delle prestazioni .............................................................................................. 27 8 Accuratezza degli esperimenti con l uso di matrici ortogonali ........................................................... 29 9 Lo studio delle interazioni........................................................................................................................ 32

9.1 Esperimenti progettati per lo studio di interazioni .............................................................................. 33 9.2 Impostazione dell esperimento............................................................................................................ 36 9.3 L analisi delle interazioni.................................................................................................................... 38 9.4 Indagine sulla presenza di interazioni ................................................................................................. 39 9.5 Il "Severity Index"............................................................................................................................... 42 9.6 L'adozione di colonne dedicate ........................................................................................................... 43 9.7 Azioni da condurre in caso di interazione ........................................................................................... 43

10 Conclusioni ............................................................................................................................................ 44


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1 Introduzione

Nei progetti di sviluppo di prodotto e nella messa a punto dei processi industriali, la realizzazione di prove sperimentali rappresenta quasi sempre una fonte notevole di costi, sia come impiego di tempo che di risorse umane e materiali. Infatti, lo studio e la sperimentazione effettuata su sistemi complessi, che quindi presentano numerosi parametri di funzionamento e diversi fattori che influiscono sulle loro prestazioni, richiede generalmente tempi lunghi e risorse notevoli, specie affrontando l influenza dei singoli fattori singolarmente; inoltre, uno studio così condotto non porta necessariamente a risultati significativi, con forte rischio di perdita degli investimenti fatti. Il DOE (Design Of Experiments) è un metodo di approccio alla progettazione ed organizzazione degli esperimenti, mediante il quale è possibile analizzare in modo sistematico la natura, gli obiettivi, gli elementi significativi degli esperimenti e dei processi su cui operano, e poter così finalizzare le prove sperimentali alla massima efficacia. Mediante una ragionata applicazione delle tecniche del DOE, è quindi possibile ridurre drasticamente i costi della realizzazione di prove sperimentali, e operando su prove pianificate correttamente è possibile ottenere risultati ricchi di informazioni, anche in considerazione delle semplici tecniche di analisi statistica che il DOE ha fatto proprie. In particolare, attraverso l adozione delle matrici ortogonali e del metodo di Taguchi, è possibile con l ausilio di semplici strumenti indagare su un largo numero di parametri e, con l applicazione di appropriate metodologie statistiche, ottenere valutazioni importanti sul comportamento del sistema con un minimo numero di prove sperimentali. La progettazione degli esperimenti con l applicazione del metodo di Taguchi può essere inoltre un valido strumento nella ricerca di continui miglioramenti della qualità dei prodotti e dei processi: attraverso la sperimentazione si possono identificare i fattori che più influenzano la qualità e le prestazioni dei prodotti stessi, selezionare per essi dei valori ottimizzati e, seguendo i paradigmi del Robust Design, rendere i prodotti stessi più stabili nel loro comportamento rispetto all influenza delle variabili esterne ed incontrollabili.

2 Glossario

Nell ambito del DOE utilizzeremo un insieme di termini specifici, analogamente a quanto riportato in letteratura:

Fattore: ogni grandezza caratteristica di un fenomeno fisico e tecnologico che influisce sul suo rendimento. Viene di seguito chiamato anche Parametro.

Rispetto al contesto in cui l esperimento viene effettuato, i fattori possono essere di due tipi:


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Controllabili: sono quelli per i quali è possibile definirne i valori a priori, come input dell esperimento stesso. Parametri controllabili possono essere considerati le dimensioni geometriche, le variabili caratteristiche del processo, i materiali impiegati. Non controllabili: sempre con riferimento all ambito sperimentale, sono quei fattori che possono modificarsi durante il funzionamento del prodotto o del processo, ma non fanno parte (per scelta costruttiva, operativa o per impossibilità oggettiva) delle variabili controllate. Parametri non controllabili (rumore, disturbi) possono considerarsi le variabili ambientali, il deterioramento del prodotto, le imperfezioni dei componenti di produzione.

Rispetto alle grandezze rappresentate, i fattori possono inoltre essere: continui, ai quali possiamo far assumere qualsiasi valore per i livelli che vogliamo prendere in considerazione. Rientrano in questa tipologia le grandezze fisiche ( temperatura pressione, etc.) e di dimensione (volumi, fatotri di forma, etc.) discreti, per i quali si assumono valori noti per ciascun livello (indici di merito, scelte costruttive, materiali diversi, ruote dentate, etc.) Livello: indica ciascun valore del fattore o parametro considerato, con riferimento ad unità di misura e modalità di misurazione per le grandezze fisiche, a scelte tecniche o costruttive, oppure a indici di merito nel caso di parametri non direttamente misurabili (ad esempio: aspetto della superficie); Matrice degli esperimenti: in questo contesto, matrice avente sulle colonne i fattori presi in considerazione nell esperimento, e per ogni riga i livelli dei fattori adottati in ogni condizione di prova. Esperimento: indica in questo contesto l insieme delle prove riferibili alla matrice degli esperimenti. In un DOE è possibile avere uno o più esperimenti. Le condizioni di prova di ciascun esperimento sono indicate da quanto espresso nella matrice utilizzata. Condizioni di prova: sono quelle relative alla singola prova all interno dell esperimento complessivo: corrispondono ai valori(livelli) di una riga della matrice adottata. Funzione obiettivo: si indica con questo termine la funzione mediante la quale noi misureremo la prestazione del nostro prodotto o processo, combinando una o più grandezze attraverso coefficienti pesati. La forma tipica della funzione è del tipo:

43,032.022.013.0 crcrcrcrY

laddove i termini cr1, cr2, ... sono le grandezze misurate in output nelle diverse condizioni di prova.

Risultati: nel caso di esperimenti progettati con una funzione obiettivo composta da una sola grandezza, si adotta anche la dizione, prestata dalla teoria dei sistemi, di risposta . Nel caso di funzione obiettivo composta dalla combinazione di più

grandezze, si dà il nome di risultato al valore della combinazione in base ai coefficienti e alla formulazione della funzione obiettivo. Diagramma di processo: la funzione di un processo o di un prodotto può essere rappresentata come un sistema che richiede un input per produrre un output attraverso l uso di diversi fattori. Se l input non si modifica nel corso del tempo, siamo di fronte ad un sistema cosiddetto statico, mentre se l input è variabile, abbiamo un sistema dinamico.


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3 La sperimentazione campione: la saldatura laser ad alta potenza

Nella trattazione teorica che segue, è bene collegare i concetti di riferimento a casi pratici di progettazione degli esperimenti tratti dalla realtà industriale. E stato qui scelto di fare riferimento all applicazione del DOE nella saldatura laser ad alta potenza. L esempio sviluppato è particolarmente esaustivo, per vari motivi: la determinazione dei fattori nasce da un analisi accurata dei fenomeni fisici ed ingegneristici che sono alla base del funzionamento con tecnica laser; i fattori sono numerosi, e ciò consente di analizzare approfonditamente le valutazioni che sono alla base delle scelte di progettazione degli esperimenti; esistono diversi fattori esterni, inerenti a materiali e condizioni ambientali di funzionamento, che costituiscono materia di indagine ai fini del Robust Design la valutazione delle prestazioni nasce da un insieme di grandezze non omogenee, da considerare all interno di una funzione obiettivo complessa.

Di seguito vengono riportate le informazioni che riguardano il campo sperimentale di applicazione e la tecnologia del processo, che saranno utile riferimento nella descrizione dei passi di applicazione del metodo.

4 Il campo sperimentale di applicazione

La tecnologia laser nel campo della saldatura si è affermata in questi anni in molti settori dell industria allargando il suo campo di utilizzo, in origine limitato solo ad alcuni processi particolari. Infatti, dopo aver visto la sua introduzione limitatamente all impiego di laser Ni:Yag di bassa potenza per la saldatura di piccoli componenti, già da diverso tempo negli impianti robotizzati delle grandi linee di produzione in serie sono previsti impianti laser ad alta potenza (C02) per la saldatura di organi di trasmissione e lamiere estese e di alto spessore (ad esempio, nel settore automotive, parti di carrozzeria; nel settore navale, parti dello scafo). La diffusione di questa tecnologia è legata alla qualità della saldatura, che viene realizzata con un apporto termico molto basso e su zone più ristrette del materiale rispetto alle tecniche tradizionali, con distorsioni e conseguentemente tensioni residue ridotte, oltre ai vantaggi di una finitura di alta qualità, alla velocità di esecuzione e all accuratezza del risultato, senza necessitare del contatto meccanico con il pezzo in lavorazione.

5 La tecnologia del processo

La saldatura laser è un processo ad alta densità di energia, che opera secondo due modalità differenti in base alle caratteristiche del fascio impiegato. Nel caso di sorgenti a bassa potenza (Nd:Yag), l energia viene trasferita sulle superfici da saldare e agisce trasportata all interno del materiale per conduzione: questa modalità è utilizzabile per saldature con poca penetrazione e di dimensioni modeste.


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In questo caso, il raggio laser focalizza in un piccolo spot di diametro stabilito, e fornisce l'energia per far fondere ed evaporare il metallo. Nel caso di sorgenti ad alta potenza, la trasmissione del calore avviene attraverso del cosiddetto key-hole , una cavità che si forma a causa della vaporizzazione istantanea del materiale in corrispondenza del raggio laser. La presenza di questa cavità, di forma approssimativamente cilindrica, permette al raggio laser di cedere direttamente in profondità al materiale una buona parte della sua potenza incidente, sia direttamente, sia attraverso il mantenimento di vapori di metallo ad altissima temperatura, in grado di riemettere parte dell energia assorbita verso le pareti del key-hole. Per sorgenti CO2 ad elevata potenza, vengono utilizzati specchi focalizzanti raffreddati ad acqua al posto delle tradizionali lenti. La saldatura che si ottiene da questo procedimento è caratterizzata da un buon rendimento, vista l efficacia degli scambi termici descritti, e da un elevata penetrazione, come si denota dai particolari rapporti di forma ottenibili nel cordone di saldatura prodotto. Influisce invece negativamente sul rendimento il fenomeno del pluming , ovvero la tendenza da parte del vapore che fuoriesce dal key-hole a trasformarsi in plasma, con conseguente diminuzione da parte del raggio della sua profondità di penetrazione. Inoltre, l energia assorbita dal plasma tende ad essere riemessa in tutte le direzioni, con perdita di efficienza del processo. Tra i parametri di controllo del processo, l impiego dei gas di saldatura è fondamentale per il mantenimento del rendimento, dell efficienza e della qualità della saldatura per i laser CO2 di elevata potenza. In particolare, i gas di saldatura agiscono sia in termini di protezione della zona di saldatura che delle ottiche laser dai fumi e dalla contaminazione, sia nell inibizione della formazione del plasma:la scelta delle miscele e dei gas, in funzione della tipologia di saldatura e dei materiali utilizzati è decisiva per il controllo di questo tipo di fenomeno, che, se si presenta in modo rilevante, può portare anche all interruzione del processo di saldatura.


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6 Concetti di base,

6.1 La determinazione dei fattori oggetto di indagine

Il DOE è una strategia sperimentale che prevede di studiare simultaneamente l effetto di fattori multipli effettando test che prevedono ciascuo diversi livelli dei fattori.

La progettazione di un esperimento implica quindi la determinazione iniziale di una serie di fattori oggetto dell indagine.

Anche se nei processi industriali è possibile riscontrare la presenza di fenomeni in cui i fattori che influenzano il fenomeno possono assumere in parte 2-3 valori, in parte valori più numerosi, in una grande maggioranza di casi è possibile considerare lo stesso numero di livelli per ciascun fattore. E comunque oggetto della progettazione degli esperimenti la scelta su quali livelli debbano essere considerati, come debbano essere combinati tra loro, quanti esperimenti vadano effettuati.

Per studiare l influenza di un fattore preso come parametro, occorre effettuare una serie di esperimenti con due o più valori (livelli) dello stesso fattore: ovviamente, due è il minor numero di valori richiesto per poter effettuare un confronto di risultati per la funzione obiettivo, e su questa base determinarne l influenza. Nell esempio preso in esame, si può partire dalla valutazione di alcuni dei fattori caratteristici, ed ipotizzare per essi dei valori di funzionamento (presi dai dati di manuale delle macchina, ovvero dall esperienza industriale e di laboratorio su questo tipo di tecnologie):

id. Fattori u.m. Pmin=L1 Pstd Pmax=L2

P1 Diametro di spot mm. 3 3 4 P2 Lunghezza d onda m 10.0 10.6 15 P3 Densità di energia W/cm2 1x106 1.1x106 1.2x106

P4 Velocità di avanzamento mm/sec 12 13.3 15

Come detto in precedenza, occorre chiedersi quando la scelta di due soli valori non possa essere considerata sufficiente. In generale, è possibile affermare che, dal momento che la scelta di due soli livelli ci consente di tracciare una linea tra due punti per quanto riguarda l andamento della funzione obiettivo, in caso di linearità degli effetti del fattore in esame rispetto alla funzione stessa, l adozione di più livelli può risultare non necessaria, mentre è necessaria laddove si sospetti (per ragioni fisiche o per la natura del processo) che l andamento non sia lineare all interno dell intervallo di sperimentazione.


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6.2 La costruzione delle matrici degli esperimenti

Se prendiamo in considerazione due fattori P1 e P2, dalla tabella precedente, per ognuno dei quali consideriamo due livelli L1 e L2, si possono creare 4 differenti combinazioni:

P2=L1 P2=L2 P1=L1 * * P1=L2 * *

Volendo effettuare una prova per ogni combinazione, otteniamo:

P1L1,P2L1 P1L1,P2L2 P1L2,P2L1 P1L2,P2L2

Analogamente, se consideriamo una situazione sperimentale identificata da tre fattori P1, P2 e P3 per ognuno dei quali si considerino 2 livelli , gli esperimenti saranno nel complesso 8:

P2=L1 &

P3=L1

P2=L1 &

P3=L2

P2=L2 & P3=L1

P2=L2 & P3=L2

P1=L1 * * * * P1=L2 * * * *

Ovvero:

P1L1,P2L1,P3L1 P1L1,P2L2,P3L1 P1L2,P2L1,P3L1 P1L2,P2L2,P3L1 P1L1,P2L1,P3L2 P1L1,P2L2,P3L2 P1L2,P2L1,P3L2 P1L2,P2L2,P3L2


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Se usiamo 1 per il livello 1 e 2 per il livello 2, possiamo usare la seguente notazione:

n.esp.

P1

P2

P3

Y

1 1 1 1 Y1

2 1 2 1 Y2

3 2 1 1 Y3

4 2 2 1 Y4

5 1 1 2 Y5

6 1 2 2 Y6

7 2 1 2 Y7

8 2 2 2 Y8

che chiameremo matrice dell esperimento.

In essa: La prima colonna rappresenta il progressivo di ciascuna prova dell esperimento; ogni riga rappresenta una combinazione di livelli dei diversi parametri per la quale viene effettuato un esperimento; ogni colonna centrale (P1, P2, etc.) rappresenta la valorizzazione dei livelli di ciascun parametro nei singoli esperimenti. L ultima colonna, il risultato dell esperimento, ovvero il valore misurato e calcolato della funzione obiettivo nella singola prova sperimentale.

In generale, il totale delle n combinazioni possibili di un numero dato di parametri, per ognuno dei quali si vogliano due livelli di settaggio, è dato dalla seguente tabella:

Condizioni sperimentali Parametri Livelli

pln

n

3 2 32n 8 4 2 42n 16 7 2 72n 128

Come si può ben vedere, l applicazione di una matrice completa comporta, al crescere dei fattori da analizzare, un numero senz altro eccessivo di esperimenti. Al fine di rendere applicabile una sperimentazione, è necessario a questo punto cercare ed applicare un criterio che consenta di mantenerne l efficacia e la significatività, ma ne riduca significativamente il numero degli esperimenti, ovvero l impatto in termini di costi e di tempi. A questo scopo, per la progettazione di esperimenti nel comune ambito industriale, Taguchi ha costruito un certo numero di matrici ortogonali, che consentono di affrontare la sperimentazione riducendo drasticamente il numero delle combinazioni previste dalle matrici complete.


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6.3 Esperimenti con fattori a 2 livelli

Se torniamo all esempio considerato di tre fattori P1,P2 e P3 con ciascuno due livelli applicabili, Taguchi fornisce in questo caso una matrice ridotta, denominata L-4 che contiene solo 4 delle righe della matrice completa di tutte le possibili combinazioni dei livelli esposta in precedenza. Alle combinazioni dei valori è stata aggiunta una colonna a destra , utile in seguito per indicare i valori Y1, Y2... dei risultati degli esperimenti condotti:

L-4 # Esperimento

Fattore P1

Fattore P2

Fattore P3

Risultato

1 1 1 1 Y1 2 1 2 2 Y2 3 2 1 2 Y3 4 2 2 1 Y4

Il contenuto di questa matrice può suggerire alcune osservazioni:

I numeri riportati rappresentano i livelli dei fattori Px

Ciascuna riga rappresenta una condizione sperimentale Ciascuna colonna è ortogonale, ovvero in essa i diversi livelli sono presenti in egual numero: in questo caso sono stati dati ai livelli i valori di riferimento 1 e 2; per comodità di calcolo, nelle successive applicazioni potranno essere riportate le coppie di valori +1 e 1, in maniera tale da consentire l applicazione semplificata del criterio di ortogonalità (ovvero:

08

1 ,71 i jilj )

la prima riga riporta tutti i livelli = 1, ma non c è necessariamente una riga con i livelli tutti = 2, come sarebbe in una matrice completa; I livelli di ciascun fattore compaiono in egual numero le combinazioni di fattori del tipo:

11 21 PP 12 21 PP

..... 21 21 PP

compaiono in egual numero, consentendo una valutazione pesata del contributo delle singole condizioni sperimentali sui risultati; Gli effetti del fattore P1 possono essere separati dagli effetti di P2, P3

I risultati della sperimentazione possono esser valutati sulla base dei valori medi registrati. La matrice prevede solo 4 condizioni sperimentali invece delle 8 previste dalla matrice completa.


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gli esperimenti così condotti (limitato numero di condizioni sperimentali, fattori e livelli ordinati,etc.) generano risultati più facilmente riproducibili La condizione migliore che sarà verificabile dagli esperimenti, sarà una delle 8 possibili, ma non necessariamente una delle 4 descritte nella matrice ortogonale: questo perché le conclusioni tratte dagli esperimenti vengono estese come valide all intero dominio sperimentale abbracciato dai parametri e dai loro valori.

Nel caso di esperimenti con 7 fattori e 2 livelli, la matrice completa prevede 128 esperimenti, mentre la matrice ortogonale suggerita da Taguchi ne riporta solamente 8:

n.o esperimento

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

Risultato

1 1 1 1 1 1 1 1 Y1 2 1 1 1 2 2 2 2 Y2 3 1 2 2 1 1 2 2 Y3 4 1 2 2 2 2 1 1 Y4 5 2 1 2 1 2 1 2 Y5 6 2 1 2 2 1 2 1 Y6 7 2 2 1 1 2 2 1 Y7 8 2 2 1 2 1 1 2 Y8

Se considerassimo invece la matrice completa, avremmo le seguenti combinazioni:

P1L1 P1L2 P2L1 P2L2 P2L1 P2L2

P3L1 P3L2 P3L1 P3L2 P3L1 P3L2 P3L1 P3L2 P7L1 Esp.1

P6L1

P7L2 P7L1

P5L1

P6L2

P7L2 Esp.3

P7L1 P6L1

P7L2 Esp.5

P7L1 Esp.7

P4L1

P5L2

P6L2

P7L2 P7L1 P6L1

P7L2 Esp.8

P7L1 Esp.6

P5L1

P6L2

P7L2 P7L1 Esp.4

P6L1

P7L2 P7L1

P4L2

P5L2

P6L2

P7L2 Esp.2


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All interno della matrice sono riportate le otto condizioni sperimentali (Esp.1 ... Esp.8) previste nella matrice di Taguchi. Si può notare come le condizioni di bilanciamento dei fattori e di simmetria tipiche delle matrici ortogonali siano percepibili in forma di simmetria delle 8 condizioni di Taguchi nello schema delle 128 condizioni di prova possibili (schema a V inclinata). La notazione standard per descrivere le matrici ortogonali ha la forma:

L n (xm )

laddove n rappresenta il numero delle condizioni di prova (e quindi, delle righe della matrice), x il numero dei livelli presi in considerazione per ciascun parametro, m il numero dei fattori/parametri, per cui la matrice presa in considerazione viene rappresentata da:

L8 (27)

Nell esempio che andremo sviluppando, sarà proprio questa la matrice utilizzata, dal momento che la scelta progettuale riguarderà la sperimentazione su 7 fattori a 2 livelli, e la matrice di Taguchi sarà così rappresentabile:

Matrice interna L8-2 Esp.# P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Y

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8

6.4 La misura dell esperimento: la funzione obiettivo

Come esposto in precedenza, nel progettare un esperimento occorre definire in fase preliminare quali sono le grandezze caratteristiche (definite anche criteri ) che vengono adottate come misura delle prestazioni del prodotto o processo in esame. A seconda dei casi, è possibile che un fenomeno sia compiutamente definito nelle sue prestazioni attraverso una sola grandezza: nell esempio qui sviluppato, sarebbe stato corretto anche assumere il solo rapporto di forma della saldatura come indice dell efficacia del processo. Peraltro, avendo a che fare spesso con fenomeni complessi, la valutazione complessiva delle prestazioni è facile che possa prendere in considerazione più grandezze (criteri), che dovranno essere pesati da coefficienti che esprimono percentualmente la valutazione (soggettiva) dell incidenza della


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singola grandezza sulla prestazione complessiva. La funzione obiettivo assume quindi la forma:

43,032.022.013.0 crcrcrcrY

Le caratteristiche di Qualità (QC)

Per valutare correttamente la scelta dei livelli di ciascun parametro ottimali per la funzione prescelta, occorre stabilire prioritariamente la caratteristica di Qualità applicabile al caso in oggetto. Abbiamo:

#1 BigIs Better (BiB) E migliore il valore più alto della funzione obiettivo

#2 SmallIsBetter (SiS) E migliore il valore più basso

#3 StandardIsBetter (STDiB)

E migliore il valore più vicino ad un valore standard di riferimento

Nel caso di una funzione obiettivo composta, ricordiamo che le grandezze prese a misura della prestazione dovranno essere combinate in un unica funzione obiettivo che tenga conto anche del peso relativo di ciascuna rispetto a quello che viene considerato come risultato atteso ottimale.

6.5 La costruzione della funzione obiettivo

In questi casi, ricordiamo che nella determinazione di un unica funzione obiettivo, occorrerà fare in modo che la caratteristica di qualità (QC) risulti essere per tutte o il maggior valore (BiB) oppure il minor valore(SiB) oppure StdiB . Se si riferisce, ad esempio, tutto al QC= BigIsBetter (BIB), avendo grandezze per cui il miglior valore è quello nominale (cr1), si può ricondurre la CQ al maggior valore considerando la differenza rispetto al valore target, rapportandola alla differenza massima registrata, e complementando ad 1. Nel caso invece di grandezze con QC=(SmallIsBetter), si può ricondurre la QC alla BigIsBetter considerando la differenza tra il valore massimo e il valore registrato. Se consideriamo il caso della saldatura laser, gli obiettivi di miglioramento riguardano l analisi dell influenza dei diversi parametri di funzionamento rispetto alla qualità del prodotto di saldatura, per la quale si prendono in considerazione come grandezze di riferimento:

il rapporto di forma della saldatura, definito come: rf = profondità del cordone / larghezza media [L°] la durezza finale del campione, misurata in un intorno della zona interessata dalla saldatura e dalla deformazione locale residua


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la deformazione residua locale del campione, quale indice di valutazione delle tensioni residue, espressa in gradi Brinell. la caratteristica qualitativa del giunto, esprimibile come un indice di merito che tiene conto dell aspetto, della regolarità del cordone, delle caratteristiche di finitura.

Le grandezze prese in considerazione dovranno essere combinate in un unica funzione obiettivo che tenga conto anche del peso relativo di ciascuna rispetto a quello che viene considerato come risultato atteso ottimale. Ci troviamo quindi in questo caso nella condizione in cui la valutazione del risultato viene operata in base alla combinazione di quattro diverse grandezze osservabili come riportato in tabella:

Criterio

Grandezza U.M. Minimo Target Massimo

QC Peso relativo

cr1 Rapporto di forma (rf) n. 0,51 0,75 0,97 StdiB

30% cr2 Durezza finale del

campione ° Brinell 112 125 125 BiB 20%

cr3 Deformazione residua locale

% 0,1% 0,1% 0,5% SiB 20%

cr4 Caratteristica del giunto

n. 0 1 1 BiB 30%

Fig. grandezze osservabili costituenti la funzione obiettivo

In questi casi, ricordiamo che la determinazione di un unica funzione obiettivo dovrà soddisfare le seguenti condizioni:

Le funzioni componenti dovranno essere misurate in base alla stessa unità di misura, e nel caso di grandezze adimensionali comunque, ciascuna funzione viene espressa come frazione percentuale rispetto all intervallo minimo - massimo preso in esame.

Ad esempio, detto r=120 il valore della grandezza del cr2 rilevato, in base ai valori della tabella, ai fini del calcolo della funzione obiettivo il valore cr2 considerato sarà:

La caratteristica di qualità (QC) deve essere per tutte o il maggior valore (BiB) oppure il minor valore(SiB) . Qui viene adottato CQ= BigIsBetter (BIB). Nel caso di grandezze per cui il miglior valore è quello nominale (cr1), si può ricondurre la QC al maggior valore considerando la differenza rispetto al valore target, rapportandola alla differenza massima registrata, e complementando ad 1. Nel caso specifico, la cr1 può essere quindi ricondotta

61.0112125

1121202

minmax

min

rr

rrcr


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alla QC=BiB considerando che, se r= 0.84 è la misura del rapporto di forma rilevato in uno degli esperimenti, la cr1 calcolata per la funzione obiettivo sarà:

Essendo: 09.0stdrr

ed in questo caso:

24.0minmax rrstd

Nel caso invece della cr3 (SmallIsBetter), si può ricondurre la QC alla BigIsBetter considerando la funzione:

Ciascun criterio deve essere incluso con un peso appropriato, che tenga conto della sua importanza rispetto al risultato di miglioramento che si vuole ottenere.

Da qui è stata valorizzata l ultima colonna della tabella sopra esposta: la funzione obiettivo potrà quindi in questo caso essere così formulata:

6.6 L introduzione dei fattori esterni

L idea centrale di Taguchi è che una variazione in una prestazione di un prodotto genera una perdita di qualità ed economica nel corso del ciclo di vita del prodotto, e uno degli scopi della sperimentazione è analizzare come questa variazione possa dipendere dai fattori che influiscono sul processo. Tuttavia occorre considerare come le sorgenti di queste variazioni possano essere classificate in parametri controllabili, i cui valori quindi possono essere assunti come input , facenti parte delle condizioni di prova dell esperimento, e parametri

incontrollabili, cioè rumore . Una grandezza di per sé non appartiene in modo assoluto ad uno dei due insiemi sopra definiti: ad esempio, per il nostro processo di saldatura, in determinate condizioni noi potremmo considerare l umidità e la temperatura dell ambiente di

43,032.022.013.0 crcrcrcrY

625.024.0

09.0111

max

cr

minmax

max3rr

rrcr


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saldatura come due fattori esterni , in quanto supponiamo che anche in esercizio la saldatrice operi in un capannone industriale con condizioni di microclima interno variabili e fuori controllo: tuttavia, se magari al termine di una sperimentazione, ci accorgessimo che umidità e temperatura ambientale sono due grandezze alle quali il nostro processo è estremamente sensibile, potremmo decidere di modificare a priori le condizioni di funzionamento, facendo operare la saldatrice in aria controllata (predisponendo, ad esempio un impianto aggiuntivo di trattamento dell aria ambiente): in questo caso, i fattori umidità e temperatura potrebbero rientrare nel novero dei fattori controllabili, e noi potremmo anche decidere di verificarne l influenza assumendoli come parametri ed assegnandogli due o più livelli all interno delle nostre condizioni di prova. La sperimentazione organizzata attraverso l applicazione delle matrici che prendono in considerazione i soli fattori controllabili identifica sicuramente l influenza dei singoli fattori sulla funzione obiettivo, ma occorre anche tener conto che in molte situazioni, come quella qui presa in considerazione, l influenza dei parametri non controllabili non è a priori trascurabile nelle valutazioni di Robust Design. In questo contesto, la strategia proposta da Taguchi prevede di minimizzare l influenza dei parametri non controllabili ottimizzando i livelli dei fattori controllabili. In pratica, il progetto ottimizzato si ottiene non scegliendo le migliori prestazioni nelle condizioni ideali, ma piuttosto ricercando una condizione di prestazioni accettabili anche quando il sistema è esposto all influenza di fattori non controllabili.

I fattori esterni assumono comunque una particolare importanza all interno di un esperimento quando si vogliano prendere in considerazione le caratteristiche di robustezza di un progetto.

Infatti, quando si procede nella progettazione di un prodotto, di un sistema, di un processo, si ipotizzano delle condizioni di funzionamento che riguardano sia i fattori interni che una serie di condizioni ambientali tipiche , ovvero i limiti entro i quali il nostro prodotto opererà. Il concetto di robustezza entra in gioco quando ci poniamo l obiettivo di valutare non tanto le prestazioni del nostro sistema nelle condizioni ordinarie di funzionamento, ma il suo comportamento al di fuori dei limiti progettuali, e di indagare sulla sensibilità del sistema ai fattori esterni, al rumore . Noi potremmo avere, ad esempio, un motore progettato per operare in un range di temperatura prefissato, ad esempio 35° +50°. Le prestazioni del motore saranno sicuramente sensibili alla temperatura ambiente, ma volendo effettuare una valutazione di robustezza potrebbe essere più interessante sapere cosa accade a 37° oppure a +55°, ovvero se il motore, fuori dai limiti stabiliti, accusa solo un calo proporzionale di potenza, resta parzialmente attivo oppure cessa completamente di funzionare, e come la variazione delle condizioni ambientali, ovvero di variabili non controllabili, influisce sul corretto funzionamento del motore. Viene considerato robusto un progetto in cui le prestazioni, seppure influenzate dall azione delle variabili esterne, siano stabili rispetto alle loro variazioni, e garantiscano il funzionamento il meno degradato possibile del sistema in esame anche al di fuori dai limiti stabiliti per il progetto. Volendo applicare al caso concreto questa strategia, occorrerà:


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prevedere un set di run multipli per ogni condizione sperimentale prevista, costruendo una matrice esterna, che riporti differenti combinazioni dei parametri esterni a cui far riferimento per ciascuna sperimentazione; sottoporre i risultati multipli ottenuti a criteri di analisi, come la deviazione standard e il rapporto S/n

Si tenga conto che in base a quanto Taguchi enuncia, il vero obiettivo è quello di ridurre le variazioni di performance intorno al valore target della funzione obiettivo per l elemento progettato, ovvero, in altre parole, ridurre la variabilità senza pensare a rimuovere le cause della variabilità. L introduzione delle variabili esterne, non controllabili, in un esperimento viene quindi realizzata procedendo secondo le seguenti fasi:

tenendo in considerazione le sole variabili interne, costruire una matrice dell esperimento valutare quali sono i fattori non controllabili di cui si intende osservare l influenza rispetto all esperimento in corso costruire una matrice esterna di fattori non controllabili prevedere l esecuzione delle prove dell esperimento in condizioni ambientali che simulino e riproducano le combinazioni dei fattori non controllabili riportate nella matrice esterna: in tal caso, i fattori non controllabili vengono messi sotto controllo per poter riprodurre condizioni sperimentali simili a quelle ottenibili in ambiente aperto : ad esempio, simulando, attraverso un sistema di controllo climatizzato, le condizioni di temperatura ed umidità che nel nostro esempio sono considerati fattori esterni non controllabili. Per ciascuna delle condizioni di prova previste dalla matrice interna, ottenere tanti valori della funzione obiettivo quante sono le righe (=condizioni di prova) della matrice esterna: in pratica, si ottiene così un vettore di valori delle Y ottenuti con gli stessi livelli dei fattori interni, che differiscono tra di loro per effetto delle sole condizioni esterne: l analisi della varianza fornirà in tal caso una valutazione dell effetto specifico dovuto alla variazione dei fattori esterni, e quindi una valutazione diretta della robustezza del sistema.

Nel nostro esempio, la matrice ortogonale comprende quindi fattori controllabili (P1, P2, P3,..) che fattori esterni (= non controllabili = E1, E2, E3). Mentre la matrice interna definisce i valori dei parametri adottati per ciascuna prova, i valori assegnati ai fattori esterni definiscono le condizioni di prova a cui il sistema verrà esposto durante l esperimento.

id. Fattori Grandezza/tipo

u.m. P1 Diametro di spot Lunghezza mm. P2 Frequenza frequenza Hz P3 Energia di impulso Energia W P4 Velocità di avanzamento Velocità mm/sec P5 Inclinazione dello spot Angolo di

incidenza °

P6 Geometria delle superfici Forma del A/B


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di saldatura profilo P7 Miscela del gas di

saldatura 2 tipologie di miscela

A/B

E1 Purezza del gas di saldatura

Concentrazione impurezze presenti nel gas

ppm

E2 Temperatura del campione

temperatura °C E3 Umidità dell ambiente di

saldatura Umidità relativa

%

Tab. 2 Fattori candidati che possono influenzare il fenomeno

La combinazione delle due matrici, interna ed esterna, può essere rappresentata in base allo schema seguente:

Matrice esterna L4-2

E1 -1 +1 +1 -1

E2 -1 +1 -1 +1

E3 -1 -1 +1 +1

Matrice interna L8-2 Esp.# P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 R11 R12 R13 R14 2 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 R21 R22 R23 R24 3 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 R31 R32 R33 R34 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 R41 R42 R43 R44 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 R51 R52 R53 R54 6 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 R61 R62 R63 R64 7 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 R71 R72 R73 R74 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 R81 R82 R83 R84

Tab.3 matrice di esecuzione della sperimentazione

Avendo costruito una matrice esterna di 4 condizioni di prova, complessivamente la sperimentazione comporterà 4 x 8 = 32 esperimenti, caratterizzati ciascuno da una combinazione di condizioni di prova dei 7 fattori interni e da una delle 4 condizioni previste dalla matrice esterna per i fattori esterni. Questa situazione comporta quindi un numero maggiormente elevato di prove, e quindi costi maggiori, con in più il beneficio di sottoporre la sperimentazione ad un analisi ben strutturata ed organizzata rispetto all influenza dei disturbi esterni. Questo approccio può essere in generale visto come quello di maggiore sofisticazione in una scala di interventi per la considerazione dei disturbi, in ordine di complessità decrescente, come riportato dalla seguente tabella:


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Nella valutazione costi-benefici di questo approccio occorre tenere conto dei seguenti vantaggi:

La condizione di ottimo risultante dall adozione della matrice esterna risulta essere la meno sensibile all effetto dei disturbi esterni non controllabili, e quindi è in linea con la filosofia di Robust Design;

Il numero delle ripetizioni previste e le ipotesi relative ai valori dei fattori esterni possono essere stabiliti in base alla dimensione prevista della matrice esterna.

L influenza dei fattori esterni può essere calcolata facilmente, come vedremo in seguito, nello stesso modo dei fattori controllabili.

L interazione tra fattori controllabili e disturbi può essere successivamente valutata, qualora si ritenga necessario.

1 Costruzione di una matrice esterna per i fattori di disturbo

2 Ripetizione degli esperimenti, applicando valori random per i fattori di disturbo

3 Ripetizione multipla delle prove 4 Effettuazione di un sola prova per ogni

condizione sperimentale


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7 Passi dell applicazione

L applicazione del metodo prevede una serie di passi, mutuati principalmente dal ciclo di Deming (PDCA, Plan, Do, Check, Act), a cui viene preposta una fase di brainstorming e formulazione del problema, essenzialmente necessaria per

analizzare il problema fisico ed ingegneristico, e raccogliere idee ed informazioni sui dati tipici del problema. In questa fase viene quindi analizzato il campo di applicazione del metodo, mettendo in evidenza le caratteristiche del processo preso in esame e la possibilità di identificarne tutti gli elementi critici: per far questo viene anche analizzata la tecnologia del processo, allo scopo di identificare sia gli obiettivi della sperimentazione, e quindi le grandezze e i metodi utili a definirne l efficienza, sia i parametri in gioco che possono incidere sui risultati.

Brainstorming,

Formulazione

del problema

Pianificazione

degli esperimenti

Analisi

dei risultati

Conferma

del miglioramento

Adozione

del progetto

migliorato

NO SI

Processo di applicazione del DOE

7.1 Brainstorming, formulazione del problema

La fase di brainstorming produce i migliori risultati se viene correttamente pianificata e formalizzata. In questo ambito, è necessario che una sessione del gruppo di lavoro che opera intorno al progetto sia dedicata ai punti di una checklist di domande che coprono le scelte di impostazione iniziale dell esperimento che viene progettato.


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BRAINSTORMING TABELLA DI VALUTAZIONE Obiettivi del progetto Quali obiettivi ci poniamo per l esperimento?

Come pensiamo di misurare gli obiettivi?

Quali sono i criteri di valutazione e quali le loro CQ?

E possibile applicare più di un criterio? E necesario quindi assegnare un peso per combinare più criteri tra di loro?

Fattori / parametri dell esperimento

Quali sono i fattori candidati?

Possiamo considerarne alcuni più importanti di altri?

Quanti fattori pensiamo di includere in questa sperimentazione?

Livelli Quanti livelli possibili hanno i fattori considerati?

Qual è il collegamento tra livelli e fattori? Interazione tra fattori Quali sono i fattori che presumibilmente interagiranno

tra loro?

Quante interazioni vogliamo considerare nel nostro esperimento?

Preferiamo un interazione o un fattore in più?

E sostenibile nell ambito di questo esperimento lo studio delle interazioni, in termini di tempo e di costo?

Fattori esterni e Robust Design

Quali fattori influenzano probabilmente la funzione obiettivo, ma non sono controllabili?

Come è possibile rendere il prodotto su cui stiamo sperimentando meno sensibile ai fattori esterni?

E possibile condurre l esperimento riproducendo in modo simulato l esposizione ai fattori esterni?

Conduzione dell esperimento Quali passi occorre seguire per combinare i criteri di valutazione in una funzione obiettivo composta?

Come considerare i fattori non inclusi in questo studio?

Come organizzare l esperimento per riprodurre le condizioni in campo effettive in cui opererà il prodotto?

Quante ripetizioni e in che ordine andranno effettuate le prove?


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7.2 Pianificazione dell esperimento La fase di brainstorming dovrà consentire l espressione da parte del gruppo di lavoro di tutte le problematiche, le valutazioni e le caratteristiche del progetto in maniera propedeutica alla fase di pianificazione vera e propria, il cui compito è quello di determinare:

I criteri di valutazione da adottare nell esperimento Le modalità di misurazione I parametri che influenzano il fenomeno, ovvero il sottoinsieme di essi di cui intendiamo valutare l effetto sui criteri prescelti I livelli dei parametri che intendiamo variare all interno dell esperimento, in relazione al loro numero e ai valori da considerare

7.3 Conduzione dell esperimento

Una volta progettato l esperimento, occorre ancora definire le sue modalità di conduzione, ovvero se si intende procedere con prove singole o multiple e, nel caso di prove multiple, se si adotta la ripetizione in ordine randomico o sequenziale delle prove. Occorre inoltre definire se la scelta della funzione obiettivo è di una sola grandezza rappresentativa del fenomeno, oppure le grandezze misurate in output debbano essere raccolte ed elaborate in una funzione obiettivo composta in base a coefficienti pesati, prima di essere utilizzate per l analisi di risultati.

7.4 Analisi dei risultati

In questa fase debbono essere raccolte le medie dei valori misurati per le grandezze espresse nella funzione obiettivo e si passa alla determinazione delle condizioni di ottimo. La valutazione dei risultati raccolta porta, attraverso l uso di tabelle di supporto, alla valutazione dell influenza dei singoli fattori sulle condizioni di ottimo, in termini di selezione dei livelli dei parametri che forniscono singolarmente i risultati migliori per la funzione obiettivo. Complessivamente, quindi, la fase di rielaborazione dei dati ottenuti passa attraverso:

l analisi dei risultati e la loro interpretazione: in questo contesto, l analisi delle medie viene condotta per identificare i fattori dominanti tra quelli interessati dalla sperimentazione, e ne viene analizzata l interazione, mentre l analisi della varianza verrà successivamente applicata per valutare l incidenza dei fattori esterni.. la determinazione delle condizioni di ottimo: applicando i criteri sopra enunciati ad un ciclo di produzione completo, è possibile adottare le condizioni di ottimo e prevedere le % di difettosità attese.


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Di seguito, si prende in considerazione una tabella che riporta i dati sperimentali ottenuti nell esempio qui sviluppato, al fine di descrivere le modalità di analisi delle medie:

esp. M p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 1 0,78 -0,78

-0,78 -0,78

-0,78

-0,78

-0,78

-0,78 2 0,59 -0,59

-0,59 0,59 -0,59

0,59 0,59 0,59 3 0,63 -0,63

0,63 -0,63

0,63 -0,63

0,63 0,63 4 0,55 -0,55

0,55 0,55 0,55 0,55 -0,55

-0,55 5 0,38 0,38 -0,38 -0,38

0,38 0,38 -0,38

0,38 6 0,34 0,34 -0,34 0,34 0,34 -0,34

0,34 -0,34 7 0,36 0,36 0,36 -0,36

-0,36

0,36 0,36 -0,36 8 0,59 0,59 0,59 0,59 -0,59

-0,59

-0,59

0,59

"-" 0,64 0,52 0,54 0,58 0,58 0,57 0,51

"+" 0,42 0,53 0,52 0,47 0,47 0,48 0,55

DELTA

-0,22

0,01 -0,02

-0,10

-0,11

-0,09

0,04

scelta - + - - - - +

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

In ciascuna colonna viene indicata riportato il risultato di ciascuna condizione di prova, con segno positivo o negativo in funzione del fatto che nell esperimento il fattore è valorizzato al livello +1 oppure 1. In questo modo, a consuntivo di ciascuna colonna, i valori di riportano:

il primo è la media dei valori della funzione obiettivo relativi agli esperimenti per i quali il livello del fattore era 1 il secondo è la media dei corrispondenti valori con il livello del fattore a +1

Il confronto dei due valori (delta) consente di valutare: il livello del singolo fattore che dà il migliore risultato della funzione obiettivo, tenendo conto che in questo caso il modello adottato è BigIsBetter ; l incidenza del settaggio rispetto al contributo che quel fattore fornisce al miglioramento della funzione obiettivo.

Per questo secondo aspetto, il grafico sottostante mette in evidenza quali tra i fattori forniscono il maggior contributo, e quindi possono essere considerati effetti principali nell ambito della sperimentazione condotta.


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Questa determinazione è importante per due motivi: a) Nel caso in cui la sperimentazione si prefigga lo scopo di individuare i parametri salienti che influiscono sul processo, gli effetti principali possono essere posti sotto ulteriore osservazione, sia per un diverso ciclo sperimentale, che per una rivisitazione del processo stesso: ad esempio, è possibile applicare ai soli effetti principali un esperimento fattoriale completo: identificando 3 effetti principali (epx), l applicazione di una matrice completa sarebbe:

# Esp.

ep 1

ep 2

ep 3

1 -1 -1 -1 2 -1 -1 +1 3 -1 +1 -1 4 -1 +1 +1 5 +1 -1 -1 6 +1 -1 +1 7 +1 +1 -1 8 +1 +1 +1

Con soli 8 esperimenti aggiuntivi diviene così possibile analizzare in modo compiuto, ad esempio, gli effetti delle interazioni presenti.

b) La ricerca delle condizioni di ottimo e di process improvement può essere focalizzata sui soli effetti principali, orientando in modo più efficace gli investimenti nelle prove sperimentali.


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7.5 Valutazione dei fattori esterni analisi della varianza

7.5.1 Analisi mediante la deviazione standard

L analisi della varianza fin qui condotta ha considerato i risultati ottenibili nelle 4 condizioni ipotizzate di combinazione dei fattori esterni. Questi ultimi, quindi, incidono per il momento nelle considerazioni fatte solo solo come incidenza sulla media del fenomeno osservato. Diversamente, la tabella che segue ha lo scopo di evidenziarne l effetto in termini di scostamento rispetto alla media. Ciascuna colonna riporta infatti la deviazione standard riferita alle 8 condizioni sperimentali, valorizzata nel segno in base al livello adottato da ciascun fattore riportato in colonna (+1 e 1). Il delta risultante per ciascuna colonna è la differenza tra la media delle deviazioni standard inerenti ai 4 casi con livello +1 e quella con livelli a 1, e misura quindi in termini di dispersione della deviazione, la sensibilità di ciascun fattore ai parametri esterni.

esp. devstd p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 1 0,027 -0,027

-0,027

-0,027

-0,027

-0,027

-0,027

-0,027

2 0,124 -0,124

-0,124

0,124

-0,124

0,124

0,124

0,124

3 0,054 -0,054

0,054

-0,054

0,054

-0,054

0,054

0,054

4 0,088 -0,088

0,088

0,088

0,088

0,088

-0,088

-0,088

5 0,037 0,037

-0,037

-0,037

0,037

0,037

-0,037

0,037

6 0,091 0,091

-0,091

0,091

0,091

-0,091

0,091

-0,091

7 0,033 0,033

0,033

-0,033

-0,033

0,033

0,033

-0,033

8 0,037 0,037

0,037

0,037

-0,037

-0,037

-0,037

0,037

"-" 0,073

0,070

0,038

0,055

0,052

0,047

0,060

"+" 0,050

0,053

0,085

0,068

0,071

0,076

0,063

delta -0,024

-0,017

0,047

0,012

0,018

0,029

0,003

-0,024

-0,017

0,047

0,012

0,018

0,029

0,003

+ + - - - - -

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

Si noti come questa sensibilità è del tutto indipendente dal fatto che ciascun fattore è o no un effetto principale: come si evince dai dati riportati, il fattore P3, pur non comportando una significativa variazione della funzione obiettivo in base al livello prescelto, appare essere fortemente influenzato dai fattori esterni: in termini quindi di


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ottimizzazione del processo, non sarà quindi utile operare sui livelli di P3 tanto per ottimizzare la funzione obiettivo, quanto sarà significativo ridurre l effetto di dispersione dei dati causata dai fattori esterni combinati con le condizioni dei fattori interni: ciò influirà quindi non tanto sul risultato intrinseco del processo quanto sulla sua stabilità.

I risultati dell analisi sono evidenziati nel grafico seguente:

7.5.2 Analisi mediante il rapporto S/n

In alternativa alla deviazione standard, l analisi della dispersione può essere condotta in base alla valutazione del rapporto segnale/disturbo, considerando come segnale il valore della funzione obiettivo (e delle sue medie) e come disturbo la stessa deviazione standard misurata per ciascun esperimento. In questo caso, per il segnale , il valore massimo atteso è pari a 1, e la miglior condizione di stabilità del risultato tende ovviamente a minimizzare il valore della deviazione, per cui la formula applicabile risulta essere:

2

2

1010/sYLognS

dove Y è la media delle funzioni obiettivo e s la deviazione standard corrispondente. Applicando l espressione ai dati precedentemente esposti, si ottiene la seguente tabella:


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esp.

S/n p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

1 -29,22 29,22 29,22 29,22 29,22 29,22 29,22 29,22

2 -13,57 13,57 13,57 -13,57 13,57 -13,57 -13,57 -13,57

3 -21,28 21,28 -21,28 21,28 -21,28 21,28 -21,28 -21,28

4 -15,94 15,94 -15,94 -15,94 -15,94 -15,94 15,94 15,94

5 -20,12 -20,12 20,12 20,12 -20,12 -20,12 20,12 -20,12

6 -11,47 -11,47 11,47 -11,47 -11,47 11,47 -11,47 11,47

7 -20,69 -20,69 -20,69 20,69 20,69 -20,69 -20,69 20,69

8 -24,03 -24,03 -24,03 -24,03 24,03 24,03 24,03 -24,03

"-" 19,08 20,48 16,25 17,20 17,58 16,75 19,75

"+" 20,00 18,59 22,83 21,88 21,50 22,33 19,33

0,92 -1,89 6,57 4,68 3,92 5,58 -0,42

0,92 -1,89 6,57 4,68 3,92 5,58 -0,42

- + - - - - +

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

Con il grafico:

Occorre precisare come l analisi relativa alla deviazione standard risulti a volte (come in questo caso) più efficace del rapporto S/n nell identificare l entità dei contributi di ciascun fattore alla dispersione dei risultati.

7.6 Previsione dell ottimo delle prestazioni

Come esposto in fase di progettazione della matrice dell esperimento, la condizione ottimale per la funzione obiettivo in generale può riferirsi ad una combinazione di livelli dei fattori che non corrisponde ad alcuna delle condizioni dell esperimento: questo è tanto più probabile quanto il numero degli esperimenti della matrice di Taguchi si discosta dal numero di righe della matrice completa (nel nostro caso: 8 << 128).


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Nel caso analizzato, trascurando i fattori p2,p3 che incidono poco sul risultato, possono essere considerati come effetti principali:

effetti principali

P1

P4

P5

P6

P7

livelli -1 -1 -1 -1 +1

Ricordiamo in particolare come per poter estendere i risultati osservati nel numero limitato predefinito di esperimenti occorra adottare l ipotesi di trovarsi di fronte a fattori additivi rispetto alla funzione obiettivo, secondo un principio di sovrapposizione che può essere così espresso:

...,..),( 2121 jiji ppYPPY

dove: Y(...) è la funzione obiettivo,

,..., 21 ji pp sono i contributi rispetto alla media dovuti all effetto dei singoli

parametri il valore

rappresenta l errore

Applicando quindi l espressione precedente, il valore atteso della funzione obiettivo può essere calcolato a partire dalla media, sommando gli incrementi rispetto alla media stessa dovuti all adozione dei singoli livelli, essendo:

Ove 1pY è la media degli esperimenti in cui il valore p1 è al livello 1, etc., e quindi:

)()()()()( 76541. YYYYYYYYYYYY pppppopt

ip pYY 11


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Nella tabella seguente si riassume l elaborazione che porta ad un valore di 81,0.optY :

esp.

M p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 1 0,78

-0,78

-0,78

-0,78

-0,78

-0,78

-0,78

-0,78

2 0,59

-0,59

-0,59

0,59

-0,59

0,59

0,59

0,59

3 0,63

-0,63

0,63

-0,63

0,63

-0,63

0,63

0,63

4 0,55

-0,55

0,55

0,55

0,55

0,55

-0,55

-0,55

5 0,38

0,38

-0,38

-0,38

0,38

0,38

-0,38

0,38

6 0,34

0,34

-0,34

0,34

0,34

-0,34

0,34

-0,34

7 0,36

0,36

0,36

-0,36

-0,36

0,36

0,36

-0,36

8 0,59

0,59

0,59

0,59

-0,59

-0,59

-0,59

0,59

"-" 0,64

0,52

0,54

0,58

0,58

0,57

0,51

"+" 0,42

0,53

0,52

0,47

0,47

0,48

0,55

Opt.

0,53

0,11

0,05

0,06

0,05

0,02

0,81

- - - -

Come si vede, questo valore risulta molto vicino a quello risultante dall esperimento 1 (Y=0,78), da cui differisce per il solo livello di p7 (lì a 1, mentre a +1 nella condizione di ottimo), che è anche il fattore più debole da considerare come effetto principale.

8 Accuratezza degli esperimenti con l uso di matrici ortogonali

Come abbiamo visto nella determinazione delle condizioni di ottimo, l uso delle matrici ortogonali riesce a mantenere una cospicua efficacia, pur limitando in modo significativo i costi delle sperimentazioni.

Tuttavia è possibile aggiungere alcune considerazioni, essenzialmente empiriche, per capire in quali termini, almeno per la determinazione delle condizioni di ottimo, l uso della matrice ortogonale al posto di quella completa, può essere adottato senza perdita di accuratezza.

Facciamo l esempio di una funzione obiettivo stavolta non da valorizzare con i risultati sperimentali, ma rappresentabile come una funzione lineare di tre grandezze prese come fattori interni da valutare:

Y = 2P1 + 3P2 + P3

Supponiamo inoltre che per i tre parametri siano da considerare i seguenti livelli.

P1 P2 P3 L1 0.5

1,2

4,2

L2 0,7

1,7

5,5


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Nel caso di Taguchi, andremmo ad applicare la matrice L4:

#E sp. P1

P2

P3

Y

1 1 1 1 Y1

2 1 2 2 Y2

3 2 1 2 Y3

4 2 2 1 Y4

Ottenendo:

Y1 = 2*0,5 + 3*1,2 + 4,2 = 8,8 Y2 = 2*0,5 + 3*1,7 + 5,5 =11,6 Y3 = 2*0,7 + 3*1,2 + 5,5 =10,5 Y4 = 2*0,7 + 3*1,7 + 4,2 =10,7

Le medie corrispondenti sarebbero :

Ym = (Y1+Y2+Y3+Y4)/4 = 10,4 P1 (1) = (Y1 + Y2) /2 = 10,2 P1 (2) = (Y3 + Y4) /2 = 10,6 P2 (1) = (Y1 + Y3) /2 = 9,65 P2 (2) = (Y2 + Y4) /2 = 11,15 P3 (1) = (Y1 + Y4) /2 = 9,75 P3 (2) = (Y2 + Y3) /2 = 11,05

E quindi la terna di livelli ottimale corrisponderebbe a P1(2),P2(2),P3(2) per cui :

Yott. = Ym + (P1(2) Ym) + (P2(2) Ym) + (P3(2) Ym) = = 10,4 + (10,6 10,4) + (11,15 10,4) + (11,05 10,4) = = 10,4 + 0,2 + 0,75 + 0,65 = 12,0

oppure, dal momento che la Y è simulata da una funzione nota:

Yott.(2,2,2) = 2*0,7 + 3*1,7 + 5,5 =12,0

Nel caso considerassimo la matrice completa, avremmo:

#E sp. P1

P2

P3

Y 1 1 1 1 Y1

2 1 2 2 Y2

3 2 1 2 Y3

4 2 2 1 Y4

5 1 1 2 Y5

6 1 2 1 Y6

7 2 1 1 Y7

8 2 2 2 Y8


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Ottenendo :

Y1 = 2*0,5 + 3*1,2 + 4,2 = 8,8 Y2 = 2*0,5 + 3*1,7 + 5,5 =11,6 Y3 = 2*0,7 + 3*1,2 + 5,5 =10,5 Y4 = 2*0,7 + 3*1,7 + 4,2 =10,7 Y5 = 2*0,5 + 3*1,2 + 5,5 = 10,1 Y6 = 2*0,5 + 3*1,7 + 4,2 = 10,3 Y7 = 2*0,7 + 3*1,2 + 4,2 = 9,2 Y8 = 2*0,7 + 3*1,7 + 5,5 = 12,0

Anche qui è la condizione di massimo con Y=12,0 corrispondente all esperimento 8.

Come si può vedere, nel caso in cui si possa ipotizzare che il comportamento della funzione obiettivo si comporti in maniera lineare rispetto ai fattori presi in esame, così come da noi simulato sostituendo alla misura sperimentale un andamento lineare della funzione rispetto ai fattori in esame, l applicazione della matrice ortogonale produce il 100% di accuratezza. Questo risultato era prevedibile, dal momento che i valori stessi della matrice si basano su un modello lineare.

9 Lo studio delle interazioni

Di fronte ad un problema di progettazione degli esperimenti, la conoscenza fisica del fenomeno che è alla base del sistema tecnologico o del prodotto in esame è fondamentale, come si è visto in precedenza, per individuare le grandezze fisiche e i parametri tecnologici candidati ad essere rilevanti per la sperimentazione. E anche importante, in questa fase, che la scelta dei parametri venga effettuata valutando che l applicazione delle matrici di Taguchi, e delle metodologie di analisi dei risultati successive, si basa sull assunto iniziale che gli effetti dei singoli parametri siano indipendenti tra di loro (principio della sovrapponibilità degli effetti dei singoli parametri sulla funzione obiettivo). Tuttavia, anche facendosi carico di una scrupolosa valutazione a priori, è abbastanza comune che, tra i parametri esistano numerose interazioni, che possono comportare una valutazione erronea dei risultati della sperimentazione; in particolare, se consideriamo ad esempio un problema con n parametri a due livelli, le interazioni possibili saranno in teoria:

2/)1(nnI

ovvero: n 2

3

4

5 6 I 1

3

6

10 15


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Da cui si vede come il rischio della presenza di interazione tra i parametri divenga sempre più rilevante nel caso di problemi con un numero elevato di parametri. E quindi indispensabile affiancare alla valutazione di un esperimento, l analisi della presenza di interazioni, con i seguenti obiettivi:

verificare la presenza delle interazioni e la loro influenza sui risultati includere lo studio delle interazioni nel progetto dell esperimento determinare le condizioni di ottimo e i valori corrispondenti della funzione obiettivo nelle condizioni in cui l interazione è significativa.

9.1 Esperimenti progettati per lo studio di interazioni

L interazione può essere definita come la dipendenza di un fattore da un altro; supponiamo di avere una funzione obiettivo:

)2,1( PPfY

ovvero supponiamo di avere progettato un esperimento con due parametri (ad esempio, con due livelli) e di analizzarne i risultati in base ai valori che la Y assume rispetto ai livelli dei parametri P1 e P2 adottati. Se dai risultati sperimentali emerge che la variazione del parametro P1 porta una variazione significativa della Y, questo può essere assunto come valore principale , ovvero come uno dei parametri chi incide in modo netto sula valore della funzione presa come riferimento del nostro esperimento. Ma se gli stessi risultati ci evidenziano che le variazioni significative di Y corrispondenti alle variazioni di P1 dipendono anche dalla presenza corrispondente del parametro P2 (ovvero si verificano solo se contestualmente ad un livello di P1 era presente nella stessa prova sperimentale un determinato livello di P2), in questo caso possiamo affermare che P1 e P2 interagiscono tra di loro. L interazione tra P1 e P2 viene rappresentata con la notazione:

P1xP2

L interazione dei fattori, se rilevante, tende a falsare l analisi dei risultati della sperimentazione; in particolare, possiamo dire che l effetto dell interazione si mescola agli effetti dovuti alla variazione degli altri parametri presi in considerazione. A questo proposito sono stati condotti degli approfondimenti mirati a determinare su quali altri effetti l interazione andasse ad agire.

Le ricerche condotte hanno evidenziato in particolare come,ad esempio, ponendo due parametri P1 e P2, ambedue a 2 livelli, nelle colonne 1 e 2 della matrice, gli effetti della loro interazione, qualora siano presenti, si mescolino con quelli del parametro a cui è assegnata la colonna 3.


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Se considerassimo ad esempio la matrice L8 dell esercitazione:

Matrice interna L8-2 Esp.# P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8

in presenza di interazione tra P1 e P2, i suoi effetti sarebbero mescolati con quelli di P3, parametro a cui è assegnata la 3.a colonna della matrice. Questa affermazione si esprime con la notazione:

1x2=>3

ove 1,2 e 3 sono i numeri delle colonne contenenti i parametri dati.

Poiché, in tal caso, i risultati relativi agli effetti del parametro contenuto in colonna 3 non sarebbero corretti, volendo determinare l effetto dell interazione dei parametri nelle colonne 1 e 2, dovremmo lasciare la colonna 3 vuota, non assegnandole alcun parametro, e riservando la colonna 3 allo studio dell interazione dei parametri nelle due colonne precedenti. Le tre colonne interessate costituiscono un gruppo interattivo. Si noti come le colonne in un gruppo interattivo siano commutative:

1x2 => 3 1x3 => 2 2x3 => 1

Evidentemente risulta necessario generalizzare quanto ottenuto per il gruppo 1x2 a due colonne arbitrarie, al fine di determinare, partendo da qualsiasi coppia di colonne, la terza da riservare allo studio dell interazione. A questo scopo, Taguchi ha costruito una serie di tabelle triangolari: di sotto viene riportata quella relativa a problemi con 2 livelli per ciascun parametro (esistono altre matrici per 3 e 4 livelli):


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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

2

1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

3

7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

4

1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

5

3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

6

1 14 15 12 13 10 11 8 9

7

15 14 13 12 11 10 9 8

8

1 2 3 4 5 6 7

9

3 2 5 4 7 6

10

1 6 7 4 5

11

7 6 5 4

12

1 2 3

13

3 2

14

1


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La tabella va intesa come a doppio ingresso : all intersezione di riga e colonna relative alle colonne della matrice ortogonale in esame di interazione, si trova il numero della colonna della matrice ortogonale da riservare allo studio dell interazione: se consideriamo ad esempio i parametri inseriti nelle colonne 3 e 4 della matrice, otterremo dalla matrice triangolare che la colonna da riservare allo studio dell interazione è la colonna 7. La tabella che segue mostra altri esempi di lettura della matrice triangolare.

Prima colonna Seconda colonna Terza colonna (Lettura dalla matrice triangolare)

Rappresentazione

2 4 6 2x4=>6 2 5 7 2x5=>7 4 8 12 4x8=>12 5 7 2 5x7=>2 3 4 7 3x4=>7 3 5 6 3x5=>6

9.2 Impostazione dell esperimento

Quindi, nella progettazione degli esperimenti, qualora si vogliano prendere in considerazione gli effetti delle interazioni, occorra riservare alcune colonne della matrice degli esperimenti all interazione, e quindi prevedere matrici che abbiano, a fianco delle colonne dedicate a parametri per i quali si intende valutare l effetto sulla sperimentazione, e quindi sulla funzione obiettivo prescelta, colonne dedicate all interazione. Se prendiamo ad esempio una sperimentazione per la quale siano stati prescelti 5 parametri P1 ...P5 con 2 livelli ciascuno, e si voglia integrare la sperimentazione con le interazioni:

Occorrerà prevedere: 5 colonne per ciascun fattore 2 colonne aggiuntive per lo studio delle interazioni


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Potremmo quindi candidare l uso di una matrice L8:

Esp.# C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8

in cui solo 5 delle 7 colonne vengano destinate ai parametri e 2 alle interazioni.

Tuttavia, mentre negli esempi precedenti, che non tenevano conto delle interazioni, l assegnazione delle colonne ai parametri era libera, qui occorre seguire una strategia di assegnazione, essenzialmente per fare in modo che le colonne riservate all interazione risultino in base alle indicazioni della matrice triangolare; così, ad esempio, nel caso qui trattato, si parte assegnando prima le colonne relative alle interazioni, ed applicando lo schema 1x2=>3 alla prima interazione si ottiene:

Esp.# P1 P3 P1xP3 C4 C5 C6 C7 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8

Mentre applicando lo schema 2x4=>6 alla seconda, si completa ulteriormente:

Esp.# P1 P3 P1xP3 P2 C5 P2xP3 C7 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8


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A questo punto si possono assegnare le colonne residue ai parametri rimasti, in particolare P4 e P5, ottenendo l assegnazione completa:

Esp.# P1 P3 P1xP3 P2 P4 P2xP3

P5 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Y1 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y2 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Y3 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 Y4 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Y5 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 Y6 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 Y7 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 Y8

Da questo esempio si può notare come all interno di una matrice L8 sia possibile rappresentare un solo gruppo di interazione (nel caso specifico P1xP2xP3), e che quindi è possibile studiare al suo interno 2 interazioni solo se queste hanno un parametro in comune (nel nostro esempio, P3). Nel caso di uno studio più numeroso, occorrerà quindi fare ricorso a matrici di maggiori dimensioni, magari utilizzando solo in parte le colonne messe a disposizione. E' ovvio, comunque, che è possibile nell'ambito della matrice sopra riportata, effettuare lo studio dell'interazione relativamente ad uno qualsiasi dei parametri inclusi: sarà infatti sufficiente modificarne la posizione nell'ambito della matrice stessa, in modo da occupare le colonne riservate ai parametri oggetto di indagine.

9.3 L analisi delle interazioni

La costruzione della matrice ortogonale e l assegnazione dei parametri e delle loro interazioni alle colonne costituiscono le premesse per la successiva valutazione ed analisi. Questa impostazione, che prevede il trattamento delle interazioni alla stessa stregua degli altri parametri della sperimentazione, ha il vantaggio di ricondurre il problema alla normale valutazione fatta in assenza di interazione attraverso l analisi della varianza e delle medie. In particolare, l analisi per il calcolo degli effetti principali viene condotta considerando le interazioni alla stregua degli altri parametri, e valutandone quindi l importanza ai fini della determinazione delle condizioni di ottimo. A questo punto sarà quindi possibile determinare se un interazione è oppure no significativa ai fini del problema posto:

nel caso in cui l analisi ci dica che essa, valutata appunto come fosse un parametro, non incide significativamente sui valori della funzione obiettivo, allora potremo procedere alla determinazione delle condizioni di ottimo come fatto precedentemente, e concludere che l interazione, se esiste, non incide sulla funzione obiettivo prescelta; viceversa, nel caso in cui l interazione risulti tra i fattori principali, occorrerà inserirla nella valutazione delle condizioni di ottimo.


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La valutazione dell'interazione avviene nella stessa modalità con cui, nell'analisi delle medie, si determina la presenza di un fattore principale; in questo caso, la pendenza della linea che unisce i valori della funzione obiettivo per differenti livelli dei parametri, in corrispondenza della colonna dedicata all'interazione, fornisce in termini qualitativi l'influenza relativa degli effetti di interazione.

9.4 Indagine sulla presenza di interazioni

L'indagine si conduce eseguendo due differenti test: Il Test sulla presenza di interazioni Il Test sulla rilevanza delle interazioni

Nel primo test, lo scopo è quello di individuare la presenza di interazioni tra i fattori presi in esame, indipendentemente dalla valutazione della loro rilevanza. Nel secondo test, invece, viene valutata proprio la rilevanza dell'interazione, mediante l'applicazione del metodo della varianza, analizzando la colonna appositamente riservata all'interazione. Ovviamente, in una strategia complessiva della sperimentazione, il test di rilevanza viene effettuato una volta che si è accertata, dal primo test, la presenza di interazioni. A valle dei test, potremmo trovarci in una delle condizioni espresse dalla seguente tabella:

Interazione Azione Assente Nessuna Presente, non significativa Nessuna Significativa Modificare le condizioni di ottimo

Calcolare il nuovo valore di ottimo della funzione obiettivo

Consideriamo allora un caso reale di applicazione ad un esperimento della matrice L8 sopra riportata, in cui due delle colonne sono state dedicate alle interazioni di due gruppi, mentre le altre cinque a parametri dell'esperimento:

Esp.# P1 P3 P1xP3 P2 P4 P2xP3 P5 Y 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 2 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 23 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 19 4 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 26 5 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 39 6 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 27 7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 25 8 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 12


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Per eseguire il primo test, ovvero per valutare la presenza dell'interazione, occorrerà considerare per ciascuna coppia di parametri indagati, tutte le combinazioni di livelli; nel nostro caso, per la prima coppia P1P3, essendo previsti due livelli per ciascun parametro abbiamo le seguenti quattro combinazioni:

P1-P3- P1-P3+ P1+P3- P1+P3+

Il test consiste nel calcolare le medie relative agli esperimenti per i quali si è in presenza di ciascuna delle coppie elencate. Di seguito è riportata l'elaborazione del calcolo relativo:

EXP

P1

P3

P1P3

P2

P4

P2P3

P5 Y P1-P3-

P1-P3+

P1+P3-

P1+P3+

1 -1

-1

-1 -1

-1

-1 -1 18 18 2 -1

-1

-1 1 1 1 1 23 23 3 -1

1 1 -1

-1

1 1 19

19 4 -1

1 1 1 1 -1 -1 26

26 5 +1

-1

1 -1

1 -1 1 39

39 6 +1

-1

1 1 -1

1 -1 27

27 7 +1

1 -1 -1

1 1 -1 25

25 8 +1

1 -1 1 -1

-1 1 12

12

AVG

23,62

20,5 22,5

medie

33 18,5

Riportando in un grafico i valori delle medie calcolati, si ottiene:

20,522,5

33

18,5

0

5

10

15

20

25

30

35

P1-

P1+

P1- 20,5 22,5

P1+ 33 18,5

1 2


Pag. 41 di 44

Le due serie, rappresentate da due segmenti di colore diverso, riguardano l'andamento della funzione obiettivo, ciascuna serie in corrispondenza ad un diverso livello del parametro P1, al variare del parametro P3. Il parallelismo tra i segmenti è indice di indipendenza reciproca dei parametri: infatti, se i due segmenti ottenuti in questo caso fossero stati paralleli, ne avremmo dedotto che gli incrementi / decrementi della funzione obiettivo relativi a diversi livelli del parametro P3 sono uguali (o simili) in presenza di livelli diversi del parametro P1, e quindi indipendentemente da essi. Poiché invece in questo caso otteniamo segmenti fortemente non paralleli,

dobbiamo ritenere che esista una forte interazione tra i parametri: addirittura, mentre il livello P1+ comporta in presenza del livello P3- un incremento della Y pari a +12,5 (33 - 20,5) rispetto al livello P1- , per lo stesso livello P1+ in presenza del livello P3- si ha un decremento pari a -4 (18,5 - 22,5) rispetto ai valori registrati per P1-.

Si noti che i valori calcolati per le medie P1-P3+, etc. non devono essere confusi con i valori relativi ai parametri (P1xP3) che si riferiscono a colonne esplicitamente assegnate all'interazione.

Analogamente, per quanto riguarda i gruppi P2P3, abbiamo le combinazioni:

P2-P3- P2-P3+ P2+P3- P2+P3+

e possiamo calcolare:

EXP

P1

P3 P1P3 P2 P4 P2P3 P5 Y P2-P3-

P2-P3+

P2+P3-

P2+P3+

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 18 18 2 -1 -1 -1 1 1 1 1 23

23 3 -1 1 1 -1 -1 1 1 19

19 4 -1 1 1 1 1 -1 -1 26

26 5 +1 -1 1 -1 1 -1 1 39 39 6 +1 -1 1 1 -1 1 -1 27

27 7 +1 1 -1 -1 1 1 -1 25

25 8 +1 1 -1 1 -1 -1 1 12

12

AVG

23,62

28,5 22

medie

25 19


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I valori sopra indicati conducono alla seguente rappresentazione grafica:

28,5

22

25

19

0

5

10

15

20

25

30

P2-

P2+

P2- 28,5 22

P2+ 25 19

1 2

Da questa si vede come i segmenti siano sufficientemente paralleli per poter affermare l'indipendenza dei parametri ottenuti. Estendendo all'interazione P2P3 le considerazioni già effettuate nel caso precedente, qui si nota come il passaggio dal livello P2- al livello P2+ comporti, in presenza di P3-, un delta della funzione obiettivo pari a + 3,5 (28,5 - 25), ed in presenza di P3+ un delta corrispondente di +3 (22 - 19). Le variazioni sono dello stesso segno e di entità simile, i due segmenti pertanto risultano quasi paralleli e inducono a considerare l'indipendenza dei parametri P2 e P3.

9.5 Il "Severity Index"

Viene indicato con l'espressione "Severity Index" un indicatore che può esprimere l'intensità dell'interazione in termini di quantitativo numerico riferito geometricamente alla misura dell'angolo tra le rette dei due segmenti considerati. L'indice è espresso in una forma per cui il 100% corrisponde a linee perpendicolari, mentre 0% rappresenta due linee parallele. L'interazione è pertanto elevata quanto maggiore è il valore percentuale dell'indice:

MINMAXABSPPPPPPPPABSSI *2

100*31313131


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9.6 L'adozione di colonne dedicate

Da quanto visto in precedenza, è possibile analizzare la presenza di interazione tra diversi parametri considerando le medie dei valori della funzione obiettivo riscontrate in corrispondenza delle diverse coppie di livelli dei parametri ; in questa analisi, tuttavia, non si è fatto esplicito riferimento alle colonne dedicate all'interazione, quindi tale analisi risulta fattibile anche in sperimentazioni in cui queste non fossero presenti. Anzi, è buona regola sperimentale, in ogni elaborazione basata sul metodo di Taguchi, effettuare la verifica dell'indipendenza dei parametri secondo quanto visto, dal momento che tutto il metodo si basa sull' ipotesi di indipendenza dei parametri stessi. Tuttavia, anche se è possibile comunque effettuare una valutazione delle interazioni, si adotta in taluni casi il metodo di sacrificare alcune colonne della matrice ortogonale destinandole alle interazioni per i seguenti motivi: avere colonne specifiche destinate alle interazioni consente di valutarne gli effetti e condurre uno studio completo; Senza disporre di colonne separatamente dedicate alle interazioni, benché sia possibile valutarne comunque la presenza, non è possibile determinarne la rilevanza in relazione agli altri fattori Il test che determina la presenza di interazione fornisce informazioni solo sull'intensità della presenza di questa in relazione ad altre interazioni; diversamente, il test di rilevanza fornisce l'influenza delle interazioni in termini quantitativi di questa rispetto ad altri fattori o ad altre interazioni

9.7 Azioni da condurre in caso di interazione

Come precedentemente esposto, nel caso di presenza di interazione in modo significativo, occorre sia determinare il nuovo vettore di valori dei parametri P corrispondente all'ottimo, sia ricalcolare la funzione obbiettivo nelle condizioni di ottimo. Per quanto riguarda le condizioni di ottimo, la determinazione si avvale dell'utilizzo dell'interazione (e dell'apposita colonna) come fattore principale, laddove l'interazione è presente; nel nostro caso, quindi, nell'ipotesi di caratteristica di qualità Big is Better, stabilita la rilevanza dell'interazione P1P3, si adotta la combinazione P1+P3- che fornisce il miglior valore medio (pari a 30) .Nella valutazione dell'ottimo della prestazione, l'espressione della Y opt. tiene conto della colonna interazione al pari di qualsiasi altro fattore: partendo dall'espressione generale della funzione obiettivo, nell'ipotesi di trovarsi di fronte a fattori additivi rispetto alla funzione obiettivo, secondo un principio di sovrapposizione che può essere così espresso:

...,..),( 2121 jiji ppYPPY

dove:


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Y(...) è la funzione obiettivo, ,..., 21 ji pp

sono i contributi rispetto alla media dovuti all effetto dei singoli parametri il valore

rappresenta l errore

e considerando i valori dei singoli addendi come incrementi rispetto alla media stessa dovuti all adozione dei singoli livelli, ovvero:

(ove 1pY è la media degli esperimenti in cui il valore p1 è al livello 1, etc.), nel

nostro caso si ha:

avendo valutato non significativa l'interazione P2P3.

Si noti come l'interazione P1P3 fornisca il suo contributo all'ottimo della prestazione in modo del tutto analogo agli altri fattori in esame.

10 Conclusioni

L applicazione in campo sperimentale delle metodologie di Taguchi è sicuramente efficace nell ottica di riduzione dei costi di sperimentazione, senza peraltro rinunciare ad avere risultati qualitativamente rilevanti nell identificare i fattori che incidono maggiormente sul processo. La possibilità inoltre di analizzare gli effetti dei fattori esterni e di disturbo alla stessa stregua dei fattori interni porta ad una flessibilità di impiego molto efficace in un ottica di Robust Design. Le informazioni deducibili che identificano gli effetti principali incidenti sul processo possono utilmente essere impiegate in analisi più approfondite e già più mirate, prendendo in considerazione gli aspetti più rilevanti del processo stesso.

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