ANISOTROPIA PLANARE LAMIERE

5/10/2018 ANISOTROPIA PLANARE LAMIERE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/anisotropia-planare-lamiere 1/10

Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS)XXXVI Convegno Nazionale – 4-8 Settembre 2007

Università degli Studi di Napoli Federico II – Seconda Università degli Studi di Napoli

STUDIO DELL’ANISOTROPIA PLANARE

DI LAMIERE DA STAMPAGGIO

MEDIANTE MISURA OTTICA DELLE DEFORMAZIONI

G.B. Broggiatoa, L. Cortesea, M. Rossib,

a Dipartimento di Meccanica e Aeronautica, Università di Roma “La Sapienza”,

Via Eudossiana 18 - 00184 Roma, e-mail: [email protected],

[email protected] b Dipartimento di Meccanica, Università Politecnica delle Marche,

Via delle Brecce Bianche - 60131 Ancona, e-mail: [email protected]

Parole chiave: anisotropia, stampaggio lamiera, elaborazione digitale delle immagini.

Sommario

In questo lavoro è stato usato un sistema ottico di misura delle deformazioni per studiarel’anisotropia planare di lamiere da stampaggio. È stata effettuata una campagnasperimentale su provini di diversa forma per analizzare diverse condizioni di tensione edeformazione: trazione monoassiale, trazione biassiale, taglio. Sono state inoltre esaminatediverse direzioni rispetto a quella di laminazione per valutare l’anisotropia. Le provesperimentali sono state riprodotte tramite modelli FEM usando due diversi criteri disnervamento anisotropi opportunamente tarati (Hill48, Barlat91). Infine, sono stati discussii risultati e le capacità previsionali dei modelli esaminati.

Abstract

In the present paper an optical method for strain field measurement has been used to studythe planar anisotropy of sheet metals. The experiments consisted in tensile tests on

differently shaped specimens to evaluate different stress-strain conditions: uniaxial tension,biaxial tension, shear. Different directions, respect to the rolling one, were examined toassess the anisotropy. The tests were reproduced by FE models using two anisotropicyielding criteria (Hill48, Barlat91) calibrated on the experiments. The results and theeffectiveness of the models have been discussed.

Introduzione

L’anisotropia planare è quasi sempre presente nelle lamiere da stampaggio e influenzanotevolmente il processo di formatura. Essa può essere causa della formazione di difettiquali l’assottigliamento localizzato o le grinze e, per questo motivo, è importante disporredi modelli attendibili nel descriverla nelle simulazioni numeriche. Numerosi modelli sonostati presentati nel corso degli anni per descrivere l’anisotropia delle lamiere, in questo

lavoro si sono presi in considerazione rispettivamente: il modello di Hill del 1948 [1] e ilmodello di Barlat del 1991 [2]. I due modelli sono stati scelti perché sono tra quelli che



hanno incontrato maggior diffusione nelle applicazioni industriali, tanto che sono in generegià disponibili nei più diffusi codici FEM commerciali.

Da un punto di vista sperimentale, per studiare l’anisotropia, si utilizzano in genereprove di trazione su provini tagliati lungo differenti direzioni rispetto a quella dilaminazione (presa come direzione di riferimento). Lo scopo di questo lavoro è quello diestendere lo studio dell’anisotropia a stati di tensione-deformazione diversi da quellouniassiale usando la correlazione tra immagini digitalizzate (DIC) per registrare il campo dideformazione superficiale durante lo svolgimento dell’intera prova. I dati sperimentali dellamisura ottica verranno confrontati con i modelli FEM della prova per verificarne l’effettivacorrispondenza.

L’idea è quella di utilizzare una comune macchina per prove di trazione su provini digeometria diversa per studiare diverse condizioni di tensione e deformazione. In questomodo è possibile ottenere differenti tipologie di sollecitazione con un sistema di provasemplice rispetto all’utilizzo, ad esempio, di macchine di prova biassiali. Lo svantaggio diquesto tipo di approccio consiste nel fatto che potendo esercitare trazione lungo un soloasse si hanno delle limitazioni sugli stati di tensione analizzabili, ad esempio non è possibileriprodurre una sollecitazione equibiassiale.

Definizione della geometria dei provini

Sono state sviluppate tre diverse geometrie di provini per analizzare tre diverse condizionidi tensione e deformazione: trazione monoassiale, trazione biassiale, taglio. I provini per latrazione monoassiale sono stati realizzati secondo quanto prescritto dalla norma UNI EN

10002 per i provini piatti.I provini per la trazione biassiale e per il taglio sono stati invece studiati tramite FEMper ottimizzarne la geometria. Provini cilindrici intagliati sono utilizzati da tempo pervalutare condizioni di tensione triassiali [3]; nelle lamiere l’uso di provini intagliati è usatoad esempio nella prova Nakazima per studiare diversi rapporti tra “major strain” e “minorstrain”. In questo caso si è scelta una geometria per cui il raggio dell’intaglio sia la metàdella larghezza della sezione di gola.

Fig. 1– Provino intagliato: disegno, modello FEM, triassialità massima al centro del provino

In Fig. 1 è mostrato il disegno del provino, il modello FEM e la triassialità, calcolata alcentro del provino, al variare della deformazione equivalente. Il valore di triassialitàmassimo vale circa 0.5 ed indica uno stato di trazione a metà tra quello monoassiale(triassialità = 0.33) e quello equibiassiale (triassialità = 0.66).



Per quanto riguarda i provini per la prova di taglio, in letteratura ci sono pochi esempiapplicati alle lamiere, in questo lavoro è stata sviluppata una nuova geometria tale da poteressere testata su di una macchina per prove di trazione.

Due geometrie sono state studiate. Esse sono mostrate in Fig. 2: la prima presenta intagliorizzontali, mentre la seconda presenta intagli a 45°. Il provino è sottoposto ad un carico ditrazione verticale rispetto al disegno in figura, le sezioni di prova sono due dirette secondola direzione di tiro. Entrambe le geometrie sono simmetriche così da compensare le forzetrasversali che altrimenti si svilupperebbero tendendo a far ruotare il provino. Altriparametri che sono stati tenuti in considerazione sono la distanza h tra gli intagli e ladistanza d tra gli estremi degli intagli perpendicolarmente alla direzione di tiro.

Fig. 2 – Provini per prova di taglio: disegni e modelli FEM

Per prima cosa sono state valutate le due geometrie proposte: a parità di h e d , la geometriacon intaglio a V presenta una migliore distribuzione delle tensioni lungo la sezione di prova,

mentre nella sezione con i tagli orizzontali si ha una maggiore influenza delle componentinon di taglio che aumenta all’aumentare della deformazione. Per queste considerazioni èstata scelta la tipologia a V, sebbene presenti qualche difficoltà in più nella realizzazionealle macchine utensili.

Una volta scelta la geometria, è stato ottimizzato il valore di h e d . L’obiettivo fissato èstato quello di cercare di riprodurre il più possibile la condizione di taglio puro nellasezione di prova. La tensione tangenziale teorica, se lo stato di sollecitazione fosse di tagliopuro, è uguale a / 3eσ . Lo stato di tensione reale nel provino è stato ricavato da modelli

FEM, è stato quindi calcolato il rapporto tra la tensione tangenziale calcolata e la tensionetangenziale teorica in diversi punti della sezione di prova: nel grafico di Fig. 3 vienemostrato il valore di tale rapporto al variare della deformazione equivalente per diversivalori di h e d .



Fig. 3 – Analisi dello stato di tensione nella sezione di prova

La soluzione migliore ottenuta è stata quella per cui h = 10 mm e d = -4 mm dove il segnomeno significa che i due intagli sono sovrapposti. Con questa configurazione è possibilemantenere la condizione di taglio puro circa costante fino ad una deformazione equivalentedi 0.2 m/m.

Prove sperimentali

La campagna di prove è stata fatta su provini ricavati da una lamiera di acciaio dastampaggio tipicamente usata nei processi di deformazione plastica a freddo. Tale materiale,denominato FP04, è caratterizzato da un’elevata duttilità con un allungamento finale a

rottura (A5) maggiore del 30%.

Fig. 4 – Set-up di prova

Diversi provini sono stati realizzati utilizzando le geometrie descritte al paragrafoprecedente per studiare differenti direzioni rispetto a quella di laminazione. Per i provini ditrazione sono state esaminate 5 diverse direzioni, rispettivamente: 0°, 22.5°, 45°, 67.5° e90°, dove la direzione a 0° rappresenta quella di laminazione. Per i provini intagliati e iprovini per le prova a taglio sono state esaminate, invece, 4 diverse direzioni: 0°, 30°, 60° e90°. La superficie dei provini è stata verniciata usando spray di diverso colore per creare lamarcatura speckle con cui effettuare la misura del campo di deformazione attraverso

l’analisi di immagine.



Le prove sono state eseguite su una macchina di trazione MTS da 250 kN su cui è statamontata una telecamera digitale per acquisire il campo di deformazione tramite la tecnica dicorrelazione numerica tra immagini. Tale sistema di misura è stato già utilizzato e descrittodettagliatamente in lavori precedenti [4, 5]. In Fig. 4 è illustrato il set-up di prova.

Modelli per l'anisotropia

Come già ricordato nell’introduzione, due modelli sono stati presi in considerazione: Hill48e Barlat91. Di seguito viene riportata una breve descrizione di tali modelli, per unadiscussione più ampia si faccia riferimento alla bibliografia [1, 2].Modello di Hill48.

La funzione di snervamento, nel caso generale, è espressa da:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 1 y z z x x y yz zx xyF G H L M N σ σ σ σ σ σ τ τ τ − + − + − + + + = ; (1)

dove F, G, H, L, M e N sono i parametri che definiscono lo stato di anisotropia. In unalamiera, gli assi principali di anisotropia, per ogni punto, sono la direzione di laminazione,la direzione trasversale, e la direzione lungo lo spessore. Chiamiamo x la direzione dilaminazione, y la direzione trasversale e z la direzione lungo lo spessore. Se lo stato disforzo può essere considerato piano, come comunemente avviene nelle lamiere di piccolospessore, le componenti della tensione diverse da zero diventano σ x, σ y, e τ xy e il criterio disnervamento si riduce a:

( ) ( ) 2 22 2 1 x x y y xyG H H H F N σ σ σ σ τ + − + + + = ; (2)

dall’Eq. 2 è possibile ricavare la tensione di snervamento di una prova di trazionemonoassiale al variare dell’angolo α che rappresenta la direzione di taglio del provinorispetto alla direzione di laminazione per cui α = 0°. Si ha:

( )1/ 22 2 2 2sin cos 2 4 sin cosF G H N F G H σ α α α α

−

= + + + − − − ; (3)

dalla tensione è possibile ottenere le componenti della deformazione e il parametro R oparametro di Lankford che rappresenta il rapporto tra l’incremento di deformazione indirezione trasversale rispetto alla tensione uniassiale e quello in direzione dello spessoredella lamiera. Per una qualsiasi direzione α, si ricava che R è uguale a:

( )2 2 2 2

2 2

sin cos 2 sin cos 2 4 sin cos

sin cos x y xy

x y

d d d H N F G H R

d d F G

ε α ε α γ α α α α

ε ε α α

+ − + − − −

= − =

+ +

. (4)

Modello di Barlat91. Nel caso generale di stato di deformazione triassiale, la funzione disnervamento vale:

1 2 2 3 3 1 2m m m m

eS S S S S S σ − + − + − = ; (5)

dove Si=1,2,3 sono i valori principale di una matrice simmetrica Sij definita rispetto allecomponenti del tensore di Cauchy come:



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2

6 5

1 3

6 4

2 1

5 4

3

3

3

xx yy zz xx

xy zx

yy zz xx yy

xy zy

zz xx yy zz

zx zy

C C C C

C C S C C

C C C C

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

− − −

− − − =

− − −

; (6)

Le costanti C i=1,2,3,4,5,6 rappresentano lo stato di anisotropia e nel caso di lamiere si ha cheC 4 = C 5 = 1, quindi i coefficienti indipendenti da tarare sono quattro. L’esponente m è in

genere legato alla struttura cristallina del materiale, per i materiali BCC come l’acciaio siusa un valore di m = 6 [2].

Taratura dei modelli

Per prima cosa sono stati tarati i parametri di anisotropia dei modelli, successivamente lacurva di flusso plastico è stata ottenuta facendo ricorso a metodi inversi. La taratura inversaè un metodo ormai piuttosto diffuso per la caratterizzazione dei materiali che consistenell’usare un modello FEM in modo iterativo variando i parametri di riferimento fino adottenere corrispondenza tra i dati misurati e quelli calcolati. In letteratura esistono diversilavori che usano metodi inversi per la caratterizzazione ad esempio della curva sigma-epsilon dopo il carico massimo [6]Modello di Hill48. Il modello di Hill48 è stato tarato a partire dai valori di R misuratisperimentalmente. Il valore di R misurato sperimentalmente al crescere della deformazioneequivalente è mostrato nel primo grafico di Fig. 5: come si può vedere tale valore varia dacirca 2.2 nella direzione longitudinale (α = 0°) a 1.3 per α = 90°, inoltre il valore di R simantiene più o meno costante al variare della deformazione equivalente, per questo motivo iparametri di anisotropia sono stati mantenuti costanti.

Fig. 5 – Taratura del modello di Hill48

L’Eq. 4 esprime il valore teorico di R secondo il modello di Hill48, i parametri dianisotropia del modello dell’Eq. 2 (rispettivamente F , G, H e N ) sono stati taratiminimizzando la funzione errore data dalla differenza tra il valore di R calcolato dalla Eq. 4e quello misurato sperimentalmente. La minimizzazione è stata fatta con MATLAB e ilrisultato è mostrato nel secondo grafico di Fig. 5.

Una volta determinati i parametri di anisotropia la curva di flusso plastico è stata tarata

in modo inverso sulla curva carico spostamento della prova di trazione relativa alladirezione di laminazione (vedi Fig. 6).



Modello di Barlat91. Il modello di Barlat91 può essere tarato a partire dalla misura dellatensione di snervamento in tre diverse direzioni (0°, 45° e 90°) più una prova biassiale.Qualora non fosse disponibile la prova biassiale (come in questo caso), generalmente siassume la tensione di snervamento biassiale uguale a quella a 0°. Nel codice MSC.Marc, icoefficienti di Barlat sono calcolati automaticamente in base alla procedura descritta nellavoro di Yoon et al. [7]. I dati richiesti per il calcolo dei parametri sono il rapporto tra letensioni di snervamento nelle tre direzioni. Tale rapporto è stato ottenuto dalle provesperimentali e vale rispettivamente: σ45 / σ0 = 0,989 e σ90 / σ0 = 0,969.

Fig. 6 – Risultato della taratura inversa della curva carico spostamento

Anche in questo caso, determinati i parametri di anisotropia, la curva di flusso plastico è

stata determinata in modo inverso sulla curva carico spostamento della prova di trazionenella direzione di laminazione. I risultati della taratura inversa del modello di Hill48 eBarlat91 sono mostrati in Fig. 6.

Risultati e discussione

Il confronto tra gli esperimenti e le simulazioni è stato fatto sia da un punto di vista globalein termini di carico e spostamento misurati e calcolati, sia da un punto di vista localeconfrontando la deformazione calcolata e quella misurata dall’analisi d’immagine.

Fig. 7 – Confronto curva carico spostamento per i provini con α = 90°

Le prove sperimentali e le simulazioni agli elementi finiti sono state condotte in controllo dispostamento, in questo modo è possibile mettere in correlazione diretta il modello FEM e laprova sperimentale in base allo spostamento.

F o r z a [ N ]

F o r z a [ N ]

F o r z a [ N ]

F o r z a [ N ]



Confronto curve carico-spostamento. Per tutte le prove eseguite, sono state confrontate lecurve carico spostamento misurate e quelle calcolate con i due modelli anisotropi. In Fig. 7,a titolo di esempio, è mostrato il risultato ottenuto nei provini tagliati lungo la direzionetrasversale a quella di laminazione (α = 90°).

In Fig. 8, vengono invece riassunti i risultati ottenuti in termini di errore percentuale trala curva sperimentale e numerica in tutte le configurazioni esaminate. Nelle prove ditrazione, ovviamente, la curva a 0° presenta l’errore minimo in quanto è quella su cui è statatarata la curva di flusso plastico, nelle altre direzioni il modello di Barlat91 dà buonirisultati con errore massimo intorno al 2%, mentre il modello di Hill48 presenta errorimaggiori fino ad arrivare a circa il 10% nella prova a 67.5°. Nei provini intagliati il grado di

errore aumenta per entrambi i modelli, il modello di Hill48 descrive bene la prova a 0° e a22.5° mentre il modello di Barlat91 ha un errore medio leggermente più basso ma presentein tutte e quattro le direzioni esaminate. Nella prova di taglio non c’è una sostanzialedifferenza tra i due modelli, il modello di Barlat91 sembra avere errori leggermente minori,comunque entrambi i modelli si dimostrano abbastanza affidabili con l’errore quasi sempreal di sotto del 5%.

Fig. 8 – Errore tra curve carico-spostamento misurate e calcolate con i modelli Hill48 e Barlat91

Confronto campo di deformazione. In questo caso è stato confrontato il campo dideformazione misurato dall’analisi speckle con quello calcolato dal FEM ad uno stessomomento della prova. Le configurazioni di confronto sono state fissate in base allospostamento imposto alle estremità del provino, rispettivamente 4 mm per la prova ditrazione, 3 mm per la prova con intaglio e 1.5 mm per la prova a taglio. In Fig. 9 vieneillustrato il procedimento utilizzato: per i provini di trazione monoassiale e per quelli

intagliati, è stata individuata una sezione al centro da cui si sono estratte le deformazionilungo la direzione longitudinale e trasversale rispetto alla direzione di tiro. Le deformazionisono state confrontate campionando i dati del FEM e della DIC secondo una lunghezzaadimensionale in modo da avere una corrispondenza punto punto delle deformazioni. Unesempio di tale confronto si può vedere nei due grafici di Fig 9a. Per le prove a taglio si èproceduto in modo analogo solo che questa volta è stata confrontata la deformazione discorrimento, Fig 9b.

In Fig. 10 sono mostrati i risultati ottenuti per tutte le prove. Nelle prove di trazione ilmodello di Hill48 descrive abbastanza bene il comportamento del materiale con un erroreinferiore al 10%, il modello di Barlat91, invece, fornisce dei valori di deformazione moltodiversi da quelli misurati sperimentalmente con errori che superano il 20%. Anche nelleprove con intaglio il modello di Hill48 produce risultati migliori, mentre il modello diBarlat91 porta ancora a grossi errori. Le prove a taglio mostrano invece un buon accordo tra



deformazioni misurate e calcolate con errori inferiori al 10%, in questo caso non ci sonodifferenze importanti tra i due modelli analizzati.

(a)

(b)

Fig. 9 – Confronto delle deformazioni: (a) provino intagliato, (b) prova a taglio.



Fig. 10 – Errore tra il campo di deformazione misurato e calcolato con i modelli di Hill48 e Barlat91

Per questo materiale, dunque, i due modelli esaminati non descrivono soddisfacentemente ilcomportamento plastico anisotropo della lamiera: il modello di Barlat91 consente unabuona descrizione da un punto di vista delle forze e quindi della tensione di snervamentoma non è in grado di descrivere in modo appropriato il flusso plastico, il modello di Hill48,al contrario, descrive bene il flusso plastico ma non altrettanto la tensione di snervamentonelle varie direzioni.

Conclusioni

È stato condotto uno studio numerico-sperimentale del comportamento plastico di unalamiera da stampaggio con particolare attenzione al suo carattere anisotropo. I risultati delle

prove sperimentali sono stati confrontati con i risultati di modelli numerici delle stesseprove fatti utilizzando due criteri di snervamento anisotropi (Hill48, Barlat91). Lo studio hamostrato come lo strumento utilizzato per la misura a campo intero delle deformazioni siaefficace per esaminare questo tipo di problemi in quanto consente di analizzare quello cheavviene localmente nel materiale durante il processo di deformazione, si è visto, infatti, cheun confronto basato esclusivamente sui risultati in termine di forza-spostamento porta aduna descrizione incompleta del problema dell’anisotropia.

Bibliografia

[1] – R. Hill: A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals, Proc. Roy. Soc.,London, vol. 193 (A), pp. 281-297 (1948).

[2] – F. Barlat, D.J. Lege, J.C. Brem: A six-component yield function for anisotropic materials, Int. J.

Plasticity, vol. 7, pp. 693-712 (1991).[3] – P.W. Bridgeman: The stress distribution on the neck of a tensile specimen, Trans. ASM, pp. 32-

355 (1944).

[4] – M. Rossi, G.B. Broggiato, S. Papalini: Studio del danneggiamento plastico nelle lamiere

tramite l’analisi di immagine digitale, Atti del XXXV Convegno AIAS,Ancona (2006).

[5] – G.B. Broggiato: Adaptive image correlation technique for full-field strain measurement, Proceedings of ICEM12 - 12th International Conference on Experimental Mechanics, Bari,(2004)

[6] – Y. Ling: Uniaxial True Stress-Strain after Necking, in AMP Journal of Technology, 5, 37-48(1996).

[7] – J.W. Yoon, F. Barlat, K. Chung, F. Pourboghrat, D.Y. Yang: Earing predictions based on

asymmetric nonquadratic yield function, Int. J. Plasticity, vol. 16, pp. 1075-1104 (2000).

Documents

ANISOTROPIA PLANARE LAMIERE