SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA YOLANDA TOLEDO AGERO

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Esta es la tradicin del civilizado- del hombre de la geometra-, del hombre de la armona, porque ha comprendido(porque sabe) que si lo fijo es la ley, la vida es movimiento (el desequilibrio que quiere equilibrarse la polarizacin-, la identidad de los contrarios; yalo hemos estudiado), y sabe tambin que si la idea es el padre (lo abstracto, el uno, la Razn), la madre de todo es el Alma (el dos, lo que gesta) y que la obra (el tres, lo real, lo realizado) es lo que se manifiesta como cosa. Y esa idea del hombre, tanto la realiza un templo como una vida(porque todo es conjunto ordenado; idea que se llam clsica); es Egipto, Grecia o Bizancio. Y otro arte que no est en esta elevacin y esta profundidad y en este equilibrio no creo que merece el nombre de tal, como tampoco un vivir desorbitado, porque vivir es cuando se vive en eso universal." Joaqun Torres Garca, Agosto,1934. 2INDICE I.PRESENTACIN II.SECCIN UREA II.1 Antecedentes II.2 Definicin y cuestiones geomtricas II.3.Polgonos regulares II.3.1.Redes en el plano II.4.Poliedros regulares II.4.1 Redes en el espacio II.5.Sucesin de Fibonacci II.6.Rectngulo ureo II.7.Espirales ureas III.SECCIN UREA EN MSICA III.1. Armona Pitagrica: todo es nmero III.2. Diapasn, diapente, datsaron y seccin urea III.3.Msica y dems artes IV.SECCIN UREA EN ARTE IV.1.Arte indgena americano IV.1.1. Artesana iv.1.2.Cermica IV.2Arte oriental IV.2.1.ArtesanaIV.2.2. Cermica IV.2.3.Escultura IV.3. Arte egipcio IV.4. Arte griego IV.4.1.Artesana y cermica IV.4.2.Escultura IV.5. Arte romano IV.6. Arte islmico 3IV.7. Arte gtico IV.7.1. Pintura IV.8. Arte renacentista IV.8.1.Pintura italiana del Quattrocento IV.8.2.Pintura italiana del Cinquecento IV.8.3.Pintura renacentista en Europa IV.8.4.Pintura italiana manierista IV.9.Arte barroco IV.9.1.Pintura barroca francesa IV.9.2.Pintura barroca holandesa IV.9.3.Pintura barroca espaola IV.10Arte en el Siglo XVIII IV.11.Arte en el Siglo XIX IV.11.1.Clasicismo IV.11.2.Movimientos impresionistas IV.12.Arte en el Siglo XX IV.12.1.Cubismo IV.12.2.Abstraccin geomtrica Orfismo Neoplasticismo Constructivismo ruso IV.12.3Arte moderno hispanoamericano IV.13Arte en Castilla-La Mancha V.SECCIN UREA EN ARQUITECTURA V.1. Arquitectura 3500 a.C. V.2.Arquitectura oriental V.2.1.Zigurats V.2.2. Arquitectura budista V.2.3.Otras construcciones orientales V.3.Arquitectura egipcia V.4.Arquitectura indgena americana V.5.Arquitecturaantigua: Grecia y Roma V.5.1.Armonas humanas 4V.5.2.Construcciones arquitectnicas V.6.Arquitectura gtica V.7.Arquitectura renacentista V.7.1.Arquitectura renacentista V.7.2.Manierismo italiano V.7.3.Arquitectura renacentista espaola V.8. Arquitectura rococ V.8.1.Rococ francs V.9.Arquitectura en el siglo XX V.9.1.Gaud V.9.2.Le Corbusier VI.OTROS VI.1. Seccin urea en la naturaleza VI.2. Seccin urea en la UCLM VII. BIBLIOGRAFA SECCION AUREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero 5 I.PRESENTACIN SECCION AUREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero 6 Eltemaquevoyadesarrollaracontinuacinesampliodebidoasu universalidady su aplicacin a un gran nmero de campos. Aun as, he intentado reunir todos los aspectos fundamentales de esta proporcin, haciendo un estudio desus aplicaciones ms directas y significativas en las artes. Soyconsciente,noobstante,quenoheconseguidomasqueuna aproximacin,yaqueuntemaqueeraenprincipiomatemtico-geomtricose convirti a medida que redactaba el trabajo en un tema con un trasfondo incierto. Descubrenlaseccinureaunodeloseslabonesqueunenelmundodelas matemticas, con el hombre,la naturaleza y las artes. Por eso, muchas veces, he credonecesariohacercomentarioseincisosentemas,quesiasimplevistano sonpuramentematemticos,meparecannecesariosparalacomprensintotal del mundo que envuelve la seccin urea. Me pareca que esta esencia la recoga lacitaconlaquecomienzoeltrabajomeparecaquerecogaestaesencia. Muchosautoresapoyanestasteorasyotrostantosnovenenellassino casualidad y coincidencia, yo me he limitado a exponerlas, pero la realidad es que haydemasiadascosasenelmundo(flores,galaxias,peces,conchasdemar, insectos,hombres...)queposeenuncrecimientoarmnicobasadoenuna proporcin tan rebuscada. Muchos de los estudios de las obras de arte que he realizado se basan en otros tantos, hechos por otros autores o por el creador mismo de la obra; donde he hechocomprobacindequelaseccinureaseaplicabadeunaforma consciente, en otros casos los anlisis de las obras se hacen sin saber muy bien si la aplicacin de esta regla era un acto consciente del artista o bien pura intuicin, pero no por esto he credo menos conveniente pararme sobre ellas, sino que por el contrario,me parece un hecho a resaltar que el hombre se exprese a s mismo y su belleza mediante leyes geomtricas cuando lo podran hacer de muchas otras formas.Estoesmuestradelaespecialsensibilidaddelhombrehaciaesta proporcin. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero7 II.SECCIN UREA SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero8Elorigenexactodeltrminoseccinureaesbastanteincierto. GeneralmentesesitaenAlemania,enlaprimeramitaddelS.XIX.Muchos hansidolosartistas,humanistasymatemticosquelohantratado,aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposicin. Otros nombres que recibe son seccin divina, seccin de oro, proporcin divina, proporcin dorada, canon ureo, regla de oro o nmero de oro.Seccin urea es simplemente una proporcin concreta. Esta proporcin hadesempeadounimportantepapelenlosintentosdeencontraruna explicacinmatemticaalabelleza,dereducirstaaunnmero,de encontrar la cifra ideal ". Deestaproporcinsehablabayadesdemuyantiguo,losegipciosla descubrieronbuscandomedidasquelespermitierandividirlatierradeforma exacta.DeEgiptopasaGreciaydeallaRoma.Pitgoras(569a.C.) escogicomosmboloparasuEscuelalaestrellapentagonal,figura geomtrica que muestra en todas sus relaciones la seccin urea y se cree que apartirdeestafigurallegaronalanocindeinconmensurabilidadyal conocimientodelosnmerosinconmensurables,talescomo elqueahoranos ocupa.Platn(428-347a.C.)hacereferenciaaellaenelTimeoydicees imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazn entre ellasquelasensamble,lamejorligaznparaestarelacineseltodo.... Euclides (450-380 a. C.), matemtico griego, en su obra principalElementos, extensotratadodematemticassobregeometraplana,proporciones, propiedadesdelosnmeros,magnitudesinconmensurablesygeometradel espacio,nosrevelalaprimerafuentedocumentalimportantesobreesta seccin,suclculoytrazadogeomtrico.Mstarde,Vitruvio,arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura. En el periodo renacentista existen numerosos autores que retoman este canon. El monje Franciscano Luca Pacioli (1445-1514)la denominaba "divina proporcin"yescribetodountratado(DeDivinaProportione),sobresus propiedadesyproporciones,delquehablaremosmstarde.Estetratadose apoyabaenlasideasdePierodellaFrancesca(1420-1492),quienhaba expuesto enDe Abaco,manualdematemticasparacomerciantes,elclculo SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero9deproporciones.OtrosartistascomoLeonardodaVinci(1452-1519)o Durero (1417-1528) hicieron especial hincapi en la relacin del nmero ureo ylasproporcioneshumanasyelogiaronlaaparienciadearmonayequilibrio que presentan las obras creadas a partir e dicha proporcin.Andrea Palladio (1508-1580),arquitectoitaliano,estabaconvencidodequelasescalas musicales-relacionadasconlaseccinureacomoveremosmstarde-han deusarsecomocnonesdediseoarquitectnico.Unodelosltimos renacentistasquecelebraronsusvirtudesfueKepler(1517-1630),quien afirmaba:haydostesorosenlageometra...unoelteoremadePitgorasy otro la divisin proporcional... una joya. 1 DespusestaregladivinacayenelolvidohastaelS.XIX.Eneste periodo vuelve a ser puesta de relieve como principio morfolgico por el alemn Zeysing,quienen1855afirmaensuAestetischeForschungen:Paraqueun todo, dividido en partes desiguales, parezca hermoso, desde el punto de vista dela forma,debehaberentrelaparte menorylamayor,lamismaraznque entrelamayoryeltodo.2Enestemismosiglo,pintorescomoSeurat(1859-1891) o Czanne (1839-1906) volvieron a buscar la armona y la belleza en el arte por medio de estrictas reglas geomtricas, entre ellas,la regla urea. En laarquitectura,destacamossindudaaLeCorbusier(1887-1965)queensu empeo de considerar a la naturaleza como encarnacin de todo lo verdadero, quieretraducirlasleyesquelarigenenproporcionesgeomtricassimplesy tomarlascomocnonesdediseouniversal,haciendoasquetodaobra creada por el hombre, refleje la naturaleza misma de ste.Hoyendasonmuchoslosartistasqueusaestaproporcinpara estructurar sus obras, ya sea de forma consciente e inconscientemente, debido al bagaje cultural de siglos.

1 KEPLER J.: El secreto del universo, Ed. Alianza, Madrid, 1992. p 142 2 Citado en GHYKA M. C.: Esttica de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Ed. Poseidn, Barcelona, 1983. p 38 SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero10 La seccin urea del latnsectio aureaes una proporcin que aparece entre los segmentos de una recta al dividir sta en media y extrema razn. Una recta AB queda dividida por un punto F en otros dos segmentos (AF y FB) detal forma que el segmento mayor es al menor, como el todoes al mayor. TansoloexisteunpuntoFquehagaposibleestarelacinentrelos segmentosyverifiquelaproporcinAF/FB=AB/AF,quetambin podemos escribir comoAF /FB = (AF+FB) /AF. Si hacemos AF = xyFB =1,tenemos: Eligiendo la solucin positiva tenemos: stees El Nmero de Oro, que normalmente designamos con la letra griega.... Su caracterstica principal es la inconmensurabilidad, es decir, no se puedeexpresarcomoproporcindedosenteros,esirracional.Elperiodode ... 6180339885 , 1 2 / ) 1 5 ( = + + = x25 10 1122== + =xx xx xSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero11estenumeroesinfinitoysuscifrasdecimalesnoserepitenperidicamente. Estenmerotienepropiedadesnicas,algunasdeellaslasveremosa continuacin.

De las expresiones anteriores tenemos: Podemos tambin obtener otra expresin del nmero de oro, dividiendo por los dos miembros de la igualdad: sustituyendo de forma reiterada por su valor, tenemos:

... 1 1 1 1... 1 1 11+ + + + = + + + = + = lim... 1111111111111... 1111111111+++++++ = + = +++ =++ = lim10 122+ = = = x+ = + = 1112SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero12por lo que: Estos desarrollos del nmero en fraccin continua se conocen desde antiguo, pero la expresin del lmite de la raz cuadrada resulta de un teorema publicado en 1917 en la Universidad de Oklahoma por Nathan Altshiller-Court, comoindicaMatilaensulibroEstticadelasproporcionesenla naturalezayen las artes. Pasemos ahora a verla construccin geomtrica de esta proporcin de oro. Existen dos formas bsicas de calcular la seccin urea: 1) En la primera se nos plantea la divisin de un segmento en media y extrema razn. Partimos del segmento AB yqueremos encontrar un punto F, talquelossegmentosAFyFB,estnenproporcinurea.Paraello, levantamoslaperpendicularBDdeunaalturaigualAB/2,concentroenD llevamosestaalturaalahipotenusadeltringuloABDyobtenemosE;ahora con centro en A y radio AE calculamos el punto F (fig.1). ... 111111 1+++=limFIGURA 1: Divisin de un segmento en media y extrema razn. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero13Este problema ya fue resuelto por Euclides en la proposicin30 del libro VI de los Elementos de la siguiente forma: Dividir una recta finita dada en extrema y media razn: sea AB la recta finita dada. As pues, hay que dividir la recta AB en extrema y media razn. Constryase a partir de AB el cuadrado y aplquese a el paralelogramo igual a y que excedaenlafigurasemejantea.Ahorabien,esun cuadrado; entonces es tambin un cuadrado. Y como es iguala,qutesedeambos;entoncesel(paralelogramo) restanteesigualal(paralelogramo)restante.Peroson tambinequingulos;entonceslosladosquecomprendenlos ngulos iguales de los (paralelogramos) , son inversamente proporcionales;entonces,comoesa,asa.Pero es igual a y a . Por tanto, como es a, as a . Pero es mayorque;aspues,estambinmayorque.Porconsiguienteseha dividido la recta en extrema y media razn por y su segmento mayor es . Q.E. F. 3 2) En la segunda, debemos hallar un segmento FB, que est en relacin urea con otrodado AF. Para calcularlo, construimos un cuadrado de lado AF, yconcentroenAF/2yradioellado,trazamosunarcohastacortarala prolongacin de AF y obtenemos el segmento que buscbamos(fig.2). FIGURA 2: Trazado de la seccin urea. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero14Estaltimaconstruccinnoesotraqueladelpentgonoregular,que como veremos est ntimamente relacionado con . LucaPacioliensuDivinaproporcinanalizalostreceefectos (aplicaciones matemticas) de este nmero. Algunos de ellos se relacionan con los polgonos regulares; stos son el sptimo: que los lados del hexgono y del decgono estn en esta proporcin, el noveno: que mediante el cruce de las diagonales del pentgono obtendremos la relacin del lado con la diagonal, el undcimo: al dividir el lado de un hexgono segn esta proporcin, su parte mayor ser siempre el lado del decgono, y el decimotercer efecto: Como sin esta proporcin no es posible construir un pentgono equiltero y equingulo.4 Ahora estudiaremos estas relaciones ms detenidamente. PENTGONO:laformamssencilladederivar deunpolgono regular es hacerlo partiendo de un pentgono. La razn de la diagonal y el lado de un pentgono regular es precisamente el nmero ureo, as como la de lossegmentos en que queda dividida una diagonal al cortarse con otra(fig. 3). 3EUCLIDES: Elementos. Libros V-IX, Ed. Gredos, Madrid, 1994, p 104. 4 PACIOLI L.: La Divina proporcin, Ed. Akal, Madrid, 1987. pp 48-58FIGURA 3: Pentgono regular. Relaciones de diagonales = = = = =MGMDMDGDNDMNABKFKGKFSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero15Laconstruccinmscomndelpentgonoeslallamadade Ptolomeo(fig.4a),quemstardefueretomadaporDurero;peroEuclides tambin abordesteproblemadelasiguiente forma:partiendodelsegmento AB,calculamoselpuntoFquelodivideenmediayextremarazn.Haciendo centro en F y en B con radio AF, calculamos el punto G(fig.4b). Porlassiguientesrelacionesdengulosel nguloaeesde72porlo tanto el lado MN ser el del pentgono regular: Relacionesdengulos:nguloFBG=ae=72,porlotantoGFBy AGB tambin son iguales a ae.El nguloFGB ser entonces de 180 2aey el AGF y GAF3ae 180. Al hacer la suma dengulos del tringulo AFG tenemos: 180 = 2 (3ae 180) + (180 ae) = 5ae 180 5ae = 360 ae = 72 FIGURA 4a: Construccin del pentgono segn Ptolomeo.FIGURA 4b: Construccin del pentgono segn Euclides. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero16Podemos encontrar dentro del pentgono diez tringulos rectngulos, es el llamado tringulo sagrado egipcio o tringulo de Pitgoras. Es un tringulo rectngulocuyosladossonproporcionalesalosnmeros3,4,y5.Eselnico tringulo cuyos lados forman una serie aritmtica. Este tringulo se aproxima al coeficienteureoenlarelacindelas5unidadesdelladoylas3dela base(fig. 5) ... 666 , 135= =ADCD PENTGONOESTRELLADO:uniendodedosendoslosvrticesdel pentgonoregular,obtenemoselpentgonoestrellado,tambinllamada estrelladecincopuntas,pentagrama,pentnguloopentalfa;smbolodela antigua Escuela Griega de Matemticas, fundada por Pitgoras (fig.6). FIGURA 6: Pentagrama. FIGURA 5: Tringulo pitagrico SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero17Elnmerodeoroapareceprcticamenteentodaslasrelacionesque podemosestablecerentrelosdiversossegmentosquelaforman.Podemos encontrardentrodelpentgonoestrelladovariostringulosqueresultanestar relacionados con el nmero de oro. El primero es un tringulo issceles(en la fig.6 el AGB). Tres de estos tringulosentrelazadosformanlaestrelladecincopuntas.Eselmismo tringulo del que se sirvi Euclides(fig.6b) para su construccin del pentgono. Como vemoslos ngulos de la base son el doble del ngulo en el vrtice, esun tringulo72-72-36(fig.7). En este tringulo los lados AB/BG estn en proporcin urea. ste es el nico tringulo issceles con esta propiedad, lo que llev a sus admiradores a calificarlo de sublime.Sisetrazalabisectrizcdelnguloquedenominbamosae(72), tenemos: ya que el pie de la bisectriz(F) es el punto que divide el segmento AB en media yextremarazn,loquequieredecirquelarelacindelladodelpentgono regular(BG)conelladodelpentgonoestrellado(AB)eselnmerode oro o lo que es lo mismo, que el lado del pentgono regular y su diagonal es este mismo nmero como afirmbamos anteriormente.FIGURA 7: Tringulo 72-72-36 = = = == =FGABBGABFBGBFBAFGB FG FASECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero18Elsegundo(enlafig.6elAMB),esotrotringuloisscelesque aparecealtrazareneltringuloanteriorlas dos bisectrices delos ngulos de 72; el punto de interseccin de stas(M), forma con el lado del pentgono un nuevo tringulo BMG con propiedades ureas. El tringulo que obtenemos aqu es uno de 36-36-108 ( BMG en la fig.8). Enestetringulolarelacindelladomayor(BG)conloslados menores(BM y MG) es el nmero . Porlotanto,elpuntodeinterseccinentrediagonalesdividea cada una de ellas en dos segmentos que estn en relacin . Eltercertringulo(KMFenlafig.6)larelacindeladoseslamisma que en los casos anteriores, al igual que ocurre con el cuarto y ltimo tringulo GOP; ya que son semejantes al AMB y al AGB respectivamente. Geomtricamente,queestoscuatrotringulostenganestasrelaciones entre sus lados, significa que abriendo los lados de estos tringulos obtenemos unrectngulodeoro.Dentrodeunpentgonoregularpodemosdibujaruna estrella de cinco puntas trazando sus diagonales, dentro de staaparece otro pentgonomenorinvertidoenelquepodemosinscribirotraestrella.As FIGURA 8: Tringulo 36-36-108 = =MGBGBMBGSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero19puedenagregarsediagonalesindefinidamente;pentgonosypentngulos recurren en escalas cada vez menores, cada uno tiene relacin respecto su antecesordemayorescala.Repitiendoestepatrnenraznformamosun nido armnico encajado, lo que nos muestra la habilidad nica de ste nmero para pasar un patrn entre escala. DECGONO:estepolgonotieneunarelacinmuyestrechaconel nmerodeoroalserunaderivacindelpentgono.Retomandoeltringulo isscelesdelafig.8enelquevienendeterminadoslosladosdelpentgono regularyestrellado,AFyABrespectivamente,notemosquealserelngulo delvrticeAde36, elladoGBes ellado deldecgonoregularinscritoenla circunferencia de radio AB. Probemosahoraquelarelacindelladodeldecgono(D)conla circunferencia(R)esprecisamenteelnmeroureo.Alsersemejantese issceles los tringulos AGB y FGB, los lados AF, FG y GB deben ser iguales por lo que tenemos: y dividiendo por D2: que es la ecuacin del nmero de oro:

( )02 2= =D RD RD R DDR0 122= DRDR0 12= SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero20Aligualqueenelpentgonopodemosobtenerundecgonoestrellado trazando sus diagonales. Resumimos ahoralas relaciones algebraicas que se danentrelosladosdepentgonosydecgonosestrelladosyregularesyel nmero . HEXGONO:estepolgonoresultadelaunindeseistringulos equilterosytienelapropiedadnicadetenerelladoigualalradiodela circunferenciaquelocircunscribe,loquefacilitasuconstruccin.Podemos trazar en su interiorseis diagonales que formarn la estrella de seis puntas o hexagrama, smbolo que desempea un papel importante en la mstica y en el arte decorativo judaico(fig.9). P= lado del pentgono regular. D= lado del decgono regular. P*= lado del pentgono estrellado. D*= lado del decgono estrellado. R= radio de la circunferenciacircunscrita. Figura 9: Estrella hexagonal == ==R DRDR PR P*5 *5SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero21Alrelacionarestepolgonoconeldecgono,obtenemosestarelacin urea: al dividir el lado del hexgono en media y extrema razn, obtenemosel ladodeldecgono,portantoelladodelhexgonoydeldecgonoestnenproporcin urea(fig.10).

I II I. .3 3. .1 1. . R Re ed de es s e en n e el l p pl la an no o Alintentarhacerunmosaicorepletodetringulos,cuadrados, pentgonos, hexgonos y octgonos sin dejar espacios libres entre s, veremos que solo es posible hacerlo partiendo del tringulo equiltero,el cuadrado y el hexgono,peronoconlosotrosdos.Lateoranosdemuestraquesololos polgonosregularescuyonguloen elvrticeessubmltiplode 360, pueden provocarestastramasdemosaicos;estossonjustamentelostrespolgonos nombrados anteriormente(con ngulos de 60, 90 y 120 respectivamente).Podemos formar redes istropas con estas figuras, como laprimera que apareceenlaseriesiguiente,formadaporcircunferenciasintersecanteso podemos hacer combinaciones con ellas como vemos en el segundo ejemplo, donde aparece un mosaico de cuadrados y tringulos equilteros. = =NKEBlldecgonohexgonoFIGURA 10: Construccin del decgono y hexgono regular y comparacin de sus lados. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero22 Mosaico de cuadrados y tringulos equilteros. Red istropa de circunferencias Red istropa de rombos SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero23

Estos dos trazados se utilizaron como modelos decorativos de los pavimentos bizantinos y romnicos. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero24 Redes hexagonales SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero25 Todoslasfigurasvistashastaahoraestndibujadasendos dimensiones. En este sistema la figura ms simple es el tringulo, y la parte de lasmatemticasque seocupadesuestudio,latrigonometra; basadaenlas razonesdelostringulosrectngulos,tomandocomobaseeltringulo3-4-5 de Pitgoras.Lasformasqueaquestudiaremosestnconstruidasentres dimensiones,sonfigurasslidasllamadaspoliedrosregularesquetienen como caras, polgonos regulares idnticos unidos por aristas de igual longitud; todosinscriptiblesenunaesfera.Estoscuerpossoncinco:tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro y estn representados en la fig. 11. Enestesistemalafiguramssimpleeseltetraedro,trestringulos alrededordeunvrtice,concuatrocarasdetresladosycuatrovrtices.El cuboformadoporseiscarasyochovrtices.Elprximoentamaoy complejidadeseloctaedro,cuatrotringulosconvergenenunpunto,con ocho caras y seis vrtices; su complemento geomtrico es el cubo, las caras de unosonlosvrticesdelotro.Elsiguienteencomplejidad,elicosaedro,tiene cinco tringulos por vrtice, con doce vrtices y doce caras. La quinta forma de geometra en tres dimensiones es el dodecaedro, complemento del icosaedro, con tres caras de cinco lados por vrtice, doce caras y veinte vrtices. FIGURA 11: Poliedros: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero26EstoscincocuerposhabansidorelacionadosporPlatnensuTimeo,conloscuatroelementosdelosquesurgilanaturaleza:fuego,aire,tierray agua,(elelementoquefaltaenestarelacineslaquintaesencia,delaque partieron los otros cuatro), y con la proporcin urea. Luca Pacioli, ms tarde, retomaestaideaensuDivinaProporcin:eldodecaedro...queelantiguo Platn en su Timeo denominaba con la misma expresin de quintaesencia. Sin esta proporcin no se pueden obtener los cinco cuerpos regulares, de los que el ms complejo es el quinto;5 y desarrolla en varios captulos de su tratado ladependenciaquetienenestoscuerposdelaproporcindivinaparasu construccin. Una de las caractersticas de estos cuerpos es la inclusin de cada uno en el siguiente hasta el punto de que el ltimo (el dodecaedro o la esfera) los contiene a todos (fig. 12). Como eldodecaedro yelicosaedrosonlasampliaciones enelespacio delpentgonoregularencontraremostambinenelloslaseccinureacomo raznesencial.Idnticaobservacinseaplicaalosdosdodecaedros estrelladosqueseobtienenprolongandolascarasdelicosaedroyel dodecaedro, y que constituyen la ampliacin en el espacio del pentagrama.

5 op.cit.: La Divina Proporcin FIGURA 12: Los cinco poliedros inscritos uno dentro del otro. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero27Otrasrelacionesdeestoscuerposconlaseccinurea,lasencontramosalintentartransformar,unodeestoscincopoliedrosen cualquiera de los otros: Los vrtices de un cubo, son los vrtices de un tetraedro regular. Los puntos medios de los lados de un tetraedro regular son los vrtices de un octaedro regular. Losveintevrticesdeundodecaerdosonlosvrticesdecinco tetraedros regulares. Un grupo de cinco cubos puede dar los veinte vrtices del dodecaedro. Los doce vrtices de un icosaedro estn sobre la superficie de un cubo, la razn entre la arista del cubo y la del icosaedro inscrito es . Alprolongarlasaristasdeundodecaedro,lospuntosdeinterseccin sonlosdocevrticesdeunicosaedro,laraznentrelaaristadelicosaedro envolvente y la del dodecaedro generador es 2. Al prolongar las aristas de un icosaedro, se obtienen los vrtices de un dodecaedro,laraznentrelaaristadeldodecaedroenvolventeyladel dodecaedro generador es . Ademsdeestoscuerposplatnicos,existenotrostrececuerpos igualmente inscriptibles en una esfera llamados arquimedianos. Cada uno tiene porcaraspolgonosregularesdearistasiguales,perodedosespecies distintas. Once de ellos pueden obtenerse de manera muy simple partiendo de los cinco platnicos: el octaedro y el cubo dan el cuboctaedro, el dodecaedro y el icosaedro producen el triakontgono, etc. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero28I II I. .4 4. .1 1. . R Re ed de es s e en n e el l e es sp pa ac ci io o El cubo es el nico poliedro regular que puede llenar el espacio sin dejar huecosentres,pero laredque formanoesistropa,como tampocolo esla particin del plano en cuadrados. La trama espacial con propiedades istropas ms compacta de todas es la formada por esferas. Al igual que en el plano se puedenobtenerpartiendodeunacircunferencia,otrasseiscircunferencias tangentesentresyalaprimeracuyoscentrossonlosvrticesdelhexgono regularinscriptibleendichacircunferencia(comoveamosenlasredes anteriores), se pueden colocar en el espacio, fuera de una esfera, doce esferas iguales tangentes entre s ya la primera, con sus centros en los doce vrticesdeuncuboctaedro.Lapropiedadqueleconfiereadichopoliedrotener primaca en redes isotrpicas y agrupaciones de esferas tangentes, es al igual queenelcasodelhexgono,tenersuladoigualalradiodelacircunferencia que lo circunscribe. Leonardo Fibonacci, nace en Pisa en torno al 1170 y muere en el 1240 presumiblemente en el mismo lugar. Viaj por Egipto, Siria, Grecia ySicilia; endondeconocilamatemticaempleadaenestasregiones.Detodassus obras,lamsconocidaLiberabacci(1228),esuncompendiodetodoslos conocimientosdearitmticaylgebraqueadquiriensusviajesyquehan tenidounafuncinfundamentaleneldesarrollodelamatemticaenEuropa Occidentalyenparticularenlanumeracinindo-arbiga,queremplazala latinayfueconocidaenEuropaatravsdeestelibro.Peroloqueha recordado desde entonces a este matemtico italiano, ha sido una sucesin de nmeros a la que se le ha dado el nombre de Serie de Fibonacci y sobre la que ahora hablaremos. Fibonaccillegadescubrirestasucesindenmerosestudiandola evolucindeunaparejadeconejos.Retomemos ahorael problemaalquese enfrentLeonardo:laparejadeconejosAconcibecadamesyapartirdel SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero29segundo una nueva pareja, que a su vez ser productiva a sus dos meses de vida.Seiniciaelexperimentoensuprimermesconunaparejadeconejos recinnacida(anotamoselnmero1).Enelsegundomesseguimostodava con una nica pareja (anotamos de nuevo el nmero 1). En el tercer mes nace unaparejaB(anotamoselnmero2).AlsiguientemeslaparejaAha generadounaCmientrasquelaBnohaprocreado(anotamoselnmero3). Pasado otro mes, las dos primeras parejas generan otras dos (D y E), mientras que la tercera no tiene hijos (anotamos el 5). Portanto,tenemoslasucesindenmeros1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55, 89, 144...,que es la famosa sucesin de Fibonacci. Estaesunasucesinrecurrentedeorden2,cadaunodelostrminos de la sucesin se obtiene como suma de los dos anteriores. En consecuencia fijados los dos primeros trminos, sta queda totalmente determinada. U1=1 U2=1 U3=2 U4=3 U5=5 U6=8. . . Elconceptodesucesinrecurrentegeneralizalosdeprogresin aritmtica y progresin geomtrica. AtodaecuacinrecurrentedeordenKlecorrespondeunaecuacin algebraicadegradoK,talquetodarazdesta,esrazndeunaprogresin geomtrica que verifica la ecuacin recurrente. En este caso la ecuacin recurrente es:

2 1 + + =N N NU U USECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero30y la ecuacin caracterstica: y sus dos races son: Estassonlasracesdelaecuacin,queportantosonrazndeuna progresingeomtricaqueverifiquelaecuacinrecurrente.Sinosfijamosen las races, vemos que: = 1,6180 = 0,618 es el nmero de oro, y una parte proporcional de ste; = = la raznde la progresin geomtrica = + 1, o lo que es lo mismo, n = n-1 + n-2 , queverificanlaecuacinrecurrenteanterior.Portanto,larazndedos trminosconsecutivosdelaseriedeFibonaccitiendehaciaunlmite,que es precisamente,elnmerodeoro.Cuantomsavanzamosenestaserie,al calcular su razn, ms prxima est stadel nmero de oro. EltrminogeneraldelasucesindeFibonaccies:Un =An-1 +Bn-1, paradeterminarloscoeficientesAyB,tomamosn=1yn=2yobtenemos como resultado: 5212152121 =+ =5 21 5,5 21 5 =+= B A12+ = L LSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero31Por tanto, Podemos resumir este apartado con la siguiente notacin: SUCESIN DE FIBONACCI Los rectngulos cuya razn de lados es un nmero entero o fraccionario sonllamados"estticos",yaquellosenlosqueestaraznesunnmero inconmensurablesellaman"dinmicos".Deestosltimosnosocuparemos aqu.Elrectnguloorectnguloureoesaqueldinmicocuyaraznde lados es el nmero de oro; en la figura 14 el AFCK. (((

||.|

\| ||.|

\| +=n nnU25125 151|.|

\|= 1 nnn UUlimFIGURA 14: Rectngulo y rectngulo SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero32Si calculamos la media y extrema razn del segmento AF, y aadimos la longitudBF=GAalladomayordelrectnguloobtenemosotrorectngulo dinmico,muyusadoenarteconocidocomo"rectngulo5".Tantodel rectngulo,comoel5podemosobtenercomposicionesarmnicasmso menos complicadas que son -como ms tarde veremos-el modelo deplanos de templos, de alzados en fachadas de iglesias o la tramageomtrica sobre la queseestructuranmuchoscuadros.Estascomposicionesureas rectangulares las vemos en la fig.15. Hemosvistoenlafig.14,comopartiendodeunrectnguloureo,al trazardentrodeluncuadradodeladoelmenordelrectngulo,obtenemos otrorectnguloureodelquepodemosvolveraobteneruncuadradoyun rectngulo menor y astrazar rectngulos ureos hasta el infinito. Tambin podemostomarestapropiedadalainversayaadiralladomayordel rectnguloureouncuadradodeeselado,yobtendremosasrectngulos cadavezmayores.Asvemosqueesunarmniconaturalcapazde regenerarse a s mismoy de crear formas geomtricas estables como ocurra con el pentgono (fig. 16). FIGURA 15: Tres ejemplos de descomposiciones armnicas de rectngulos. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero33 En la figura anterior vemos como la base de cada rectngulo es la suma delabaseylaalturadelrectnguloanterior,ylaalturaeslabasededicho rectngulo.Comoconsecuencia,podemosaproximarestasucesinde rectngulos a una sucesin de Fibonacci en la que se tiende aun rectngulo en proporcin urea. EsinteresantedestacaraquladescomposicinarmnicaqueJay Hambidge hace del rectngulo (fig.17). FIGURA 16: Descomposicin armnica de un rectngulo ureo. FIGURA 17: Rectngulo phi. Descomposicin armnica SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero34Yahemosvistocomoexistenformasgeomtricasquerecurrenunay otra vez formando nidos armoniosos de crecimiento constante .Algunas de estas formas generan espirales que estn por lo tanto en la misma relacin .Partiendo de que toda espiral logartmica est caracterizada por una progresin geomtrica, podemos asegurar que de la serie: 1,, 2, 3,... obtendremos una de estas espirales, que tienen como pulsacin radial, diametral, o cuadrantal al nmero ureo. Entrelasespiraleslogartmicasdestacamosladelafigura18,con pulsacincuadrantal=,conpulsacindiametral=2yconpulsacinradial =4. El rectngulo director de dicha espiral es de mdulo .Al ser la razn de crecimientodeesterectnguloiguala,losmdulosdelosrectnguloscrecientesasobtenidossonloselementosdelasucesindeFibonacci. Tambin la de la figura 19, espiral formada por sucesivos tringulosissceles del tipo 72-72-36, aquellos que estudibamos en la figura 7. FIGURA 18: Espiral logartmica y correspondencias con la serie de FibonacciSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICA Yolanda Toledo Agero35 La espiral de la fig. 18 es el patrn de las formas de la naturaleza, patrn de los seres vivos. Una galaxia o una flor se desenvuelven en intervalos de Fibonacci, creando una de estas espirales. FIGURA 19: Espiral derivada de tringulos isscelesSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 36 IIIIII.. SSEECCIINN UURREEAA

EENN MMSSIICCAA SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 37 Hecredoconvenientecomenzarelestudioporlamsica,dadoque, muchasdelasobraspictricasyarquitectnicasquemstardeveremosbasansus proporciones en relaciones musicales, a su vez basadas en relaciones ureas. Conociendoestasrelacionesdeantemano,sefacilitalavisin,comprensiny descomposicinde las obras para su estudio. LaparticularidaddelsistemapitagricofueencontrarenlasmatemticasunaclavepararesolverelenigmadelUniversoyenelnmero,elprincipiode todaslascosas.Lasteorasentornoalamsicaocupanunpuestodeespecial importancia para esta escuela pitagrica; mantena una posicin central dentro de la metafsica y la cosmologa pitagricos. Lasmatemticasylamsicaseunenenelconceptopitagricode "armona",quesignificaproporcindelaspartesdeuntodo.Lospitagricosse guiaron siempre en sus investigaciones por el principio de que la msica deba ser reconducida hasta las proporciones ms simples, ya que deba reflejar en todola armona universal.Pitgorasdescubrilaresonanciade unacuerdatensa,ytambinquelos sonidosobtenidoscorrespondenalasdiferentesfraccionesdelacuerda;en consecuencia, estos hechos se pueden reducir a relaciones de nmeros enteros y la armona tiene un aspecto matemtico. Segn la leyenda, Pitgoras descubri la armona al escuchar el sonido de martillos provenientes de diferentes yunques en el taller de un herrero. El peso de estos martillos se corresponda con los nmeros 12, 9, 8, 6; el peso del cuarto martillo dara el tono,y el del primer martillo, que era eldobledelmenor,dabalaoctava.Elpesodelosotrosdos,quesonlasmedia aritmticayarmnica delosdosanteriores daranlaquintaylacuarta.Llevadas estasproporcionesaunmonocordiovemosqueeltonoonotabaselodael sonido de la cuerda entera, es lo quese llamaba unsono, si la cuerda tienela SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 38mitaddelalongitudoriginalsuenaunaoctavamsaltaquelaanterior,la proporcin1/2,que produceelmismosonidoquelacuerdaenterasoloque ms agudosellamaoctava(DO-DO)porquesellegaalatravsdeochointervalos delaescala,ochonotas,ochoteclasblancasdelteclado;aestaproporcin llamabanlosgriegosdiapasn.Sisulongitudson2/3delaprimera,lacuerda emite la quintade la nota base, la proporcin 2/3se llam diapente, denominada hoy quinta (DO-SOL) pues se llega a ella a travs de cinco intervalos. Por ltimo, si su longitud son 3/4 de la primitiva, la nota que suena es la cuarta de la base, a laproporcin3/4selellamdiatsaron,conocidaahoracomocuarta(DO-FA) con cuatro intervalos. Lospitagricosatribuanalasdistanciasentrelosastros,relaciones anlogasalasdelaslongitudesdelascuerdasvibrantesquedanlasnotas caractersticasdelosmodosmusicales;esloqueellosdenominabanlaarmona delasesferas.Platnretomlasideasdequelamateriayelmundoestn organizadossegnestructurasmatemticasproducidasexplcitamentecomo anlogas a estructuras musicales. Bajo la influencia de Platn, la Edad Media yel Renacimientoconcedieronunagranimportanciaaestamsicamundana, armona del mundo.LosprimerostericosdelossiglosVIIIyIXsehayanmuyligadosalos principiosdelmundoantiguo.SanAgustnensutratadoDeMsicadabaun contenido preciso a su frmula: la msica es la ciencia de la modulacin justa.... Se retoma en esta poca de la tradicin pitagrica la relacin entre el movimiento de los cielos, la msica y el nmero, entre los que reina la mxima concordancia. Labellezadetipomatemtico-musical,porlacualserigeelmundo,principio DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SI-DO 1/23/42/3 SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 39pitagrico-platnico,representaunadelospuntoscardinalesdetodoel pensamiento medieval. ElhechodequeelsmbolodelaEscuelaPitagricafueseelpentagrama hacepensarquelospitagricosyaconocansusarmonasnumricasy geomtricasyporlotantoqueconocanlaraznurea,aunquelaprimera referencia escrita sobre sta sea obra deEuclides. Otro hecho que nos aproxima alconocimientodenmerosinconmensurablesporpartedelospitagricosesel famosoteoremadePitgorassobreeltringulo3-4-5,quecomoyavimosenla fig.5tenaproporcionesprximasalasureas.Veamosahoralasrelaciones reales que existen entre el nmero de oro y las proporciones musicales. Laproporcin2/3=0.666deldiapenteesunaaproximacincercanaala proporcin 0.618 de la seccin urea. El diatsaron es idntico a la proporcin 3/4deltringulodePitgoras.Eldiapasn,tienelaproporcin1/2=0.5deun rectngulocompuestopordoscuadradosigualesyunadiagonalde5,oloque eslomismo,laproporcinmayordeunsegmentoureoconlaporcinmenora ambos lados. DIAPENTE: se aproxima a los lados del pentgrafo. DIATSSARON: corresponde s la proporcin 3/4 de un tringulo 3-4-5.DIAPASN: corresponde a un rectngulo recproco o rectngulo5. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 40Sinosfijamoseneltecladodeunpiano,reconoceremossus proporcionesarmoniosasyureas:hay8teclasblancas,5teclasnegrasyellas aparecen en grupos de 2 y de 3. La serie 2/3/5/8 es, por supuesto, el comienzo de la serie de Fibonacci, y las proporciones de todos esos nmeros gravitan hacia la proporcin irracional y perfectamente recproca de 0.618 de la seccin urea. Lasproporciones1/2,2/3y3/4reaparecenenlosprimerosymsfuertes armnicos, tambin llamados parciales o componentes, que reverberan dentro de cada sonido musical, combinndose con el fundamental, como si simultneamente sepulsaranmscuerdasinvisibles,queacompaanycomplementanelsonido fundamental.Estaunindinergticadelaarmonayelsonidofundamentaleslo que da a los sonidos musicales plenitud, vitalidad y belleza se lo llama timbre- y lo que los distingue del mero ruido.Lasdosmodalidadesprincipalesdelasescalasoccidentales,lamenor (consideradatriste)ylamayor(asociadaconlabrillantez)difierenunadeotra nicamente en la longitud de los pasos entre ciertos intervalos, tal como las partes FIGURA 20: Armonas musicales fundamentales de las cuerdas vibrantes y percutibles(teclados). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 41menor y mayor de la seccin urea difieren entre s slo por sus longitudes. Y tal comola unindelas partes menorymayornos deleitaenlas armonasvisuales de la seccin urea, as tambin la unin de las escalas menor y mayor, llamada modulacin, nos encanta cuando la omos en acordes y melodas. Tantolaescalamenorcomolamayortienen,cadauna,suspropias variantesllamadasdominantesysubdominantes-consuspropiosconjuntosde acordes:ylarelacindestosconsuscontrapartidastnicasseajusta nuevamente a las proporciones antes mencionadas. La dominante es el intervalo de quinta desde la nota clave (la primera nota de la escala) y la subdominante, el de cuarta. Elpoderdelaseccinureaparacreararmonasurgedesuexclusiva capacidaddeaunarlasdiferentespartesdeuntododemodoque,conservando cada una su propia identidad, las combina no obstante en el patrn mayor de un todo nico. El cociente de la seccin urea es un nmero irracional e infinito que slopuedeseraproximadoy,sinembargo,talesaproximacionessonposibles incluso dentro de los lmites de los nmeros enteros mnimos. Larelacindelamsicaconlasdemsartesesindiscutible,muchoshan llegadoadecirqueesdestadedndepartentodaslasdems;perono trataremos aqu este tema sino que nos centraremos en aspectos ms particulares deestarelacin,comoson:elestudiodelasproporcionesdelamsica(recordemos que se trataba de proporciones ureas) y su uso en dos artes concretas, la Pintura y la Arquitectura.Comosabemos,elRenacimientoesunretornoaloclsicoyes precisamenteenesteambientedondeencontramosalosartistasms representativos en esta "musicalizacin" de las artes. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 42LeonardodaVinci(1452-1519)describisuarteentrminosmusicales diciendoquelapercepcinsimultneadetodaslaspartesintegrantesdeuna pinturacreaunaarmonaconcordanteque,paraelojo,esunasensacin equivalente a aquella experimentada por el odo cuando escucha la msica.LeonBautistaAlberti(1404-1472),arquitectorenacentista,afirmqueuna proporcinarmoniosaeneldiseoarquitectnicoeraaquellaque,expresada comounaarmonamusical,condujeseaunaconcordanciaagradable.Enel captuloVdesutratadodearquitecturaDereaedificatoriaexplicacomolos intervalos musicales agradables al odo son los intervalos de cuerda del diapasn, diapente y diatesarn, y hace una descripcin de las proporcione ms usadas para distribuir superficies en funcin de estas relaciones que resumimos en la tabla 1. TABLA 1 SUPERFCIE SESQUILTERA........................... 2/3 SUPERFCIE SESQUITERCIA............................ 3/4 SUPERFCIE DOBLE .......................................... 1/2 SUPERFCIE SESQUILTERA DOBLE.............. 4/6/9 SUPERFCIE SESQUITERCIA DOBLE............... 9/12/16 SUPERFCIE DIAPASN-DIAPENTE................. 3/6/9 SUPERFCIE DIAPASON-DIATESARON............ 3/6/8 Los artistas del renacimiento tomaron al pie de la letra el texto de Alberti, y utilizaronlosnmerosquesteproponaenlasproporcionesdesusobras. Pongamos algunos ejemplos tpicos de Albertismo tpicos en la pintura. EmpezamosporElParnasodeMantegna(1431-1506),dondeelautorse cie a las relaciones musicales 9/12/16. La cesura 9 que parte de la derecha sirve parasituaraVenusyMarteenlapartesuperioryorientarelmovimientodelas piernas de las Musas en la inferior(fig.21). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 43 Botticelli(1444-1510)eslapersonalidadmsfamosadeeste ambiente, comencemos analizando La Primavera, (fig.22) su trazado es simtrico enaparienciaperonoenlarealidad,Venusnoocupaelcentrodelcuadroylas damas que rodean a stase acomodan perfectamente a una proporcin 4/6/9del doblediapente,losgruposquerodeanalagrandamaseacomodanaesta proporcin.Sealemosquecadadivisindelcuadrocomportatantospersonajes como unidades. FIGURA 21: El Parnaso (Mantegna). FIGURA22: La Primavera (Botticelli). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 44Elrestodeartistasdeestageneracinempleestosmismoscortes verticalesintroducidostambinenlapinturareligiosa.Porhombrescomo Ghirlandaio(1449-1494), en el fresco de La Natividad de la Virgen de Santa Mara Novella utiliza la proporcin 2/3; dibuja un cuadrado a la derecha y el corte musical del panel fija el lugar del personaje principal(fig.23). EnlosfrescosdeMasaccio(1401-1428),detanhondareligiosidad,el personaje principal ocupa el lugar de honor que marca la cesura. As, en El Tributo deSanPedrosesitaenlos4/9delanchototal.NtesequeMasaccioutilizaba estasproporcionesparaguiarsuscuadrostreintaaosantesdequeAlberti escribiera su tratado(fig.24). FIGURA 23: La Natividad (Ghirlandaio). FIGURA 24: Tributo de San Pedro (Masaccio). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 45LadistribucinquehaceBenozzoGozzoli(1420-1497)enLosReyes Magos(fig.25)nopuedesermsevidente:lacomposicinestdivididaporla mitad y los caballeros se sitan a igual distancia de este eje. Estamos pues ante la divisin de la octava en quinta y en cuarta. NohemosnombradoanaPierodellaFrancesca(1416-1492)ya Rafael(1483-1520),dosdelosmaestrosdelRenacimiento.Elprimeroesla expresinestticadeAlbertillevadaasumximaradicalidad;enLa Flagelacin(fig.26) superpone los esquemas de la arquitectura y de la perspectiva que vienen determinados por la proyeccin de los lados menores, resulta chocante su iconografa de tres personajes secundarios situados en primer plano, mientras que a Cristo, ms alejado, lo distinguimos difcilmente. La tela est cortada segn eldoblediapente4/6/9estecorteinsistirsobreelpersonajeprincipal,los4/9 desde la derecha caen sobre la columna, exactamente sobre el lmite de la capa, y los6/9sobreelCristo,lasfigurasestndistribuidassegnlarelacinmusical 4/6/9partiendodeladerecha:4marcaellimitedelostrespersonajesenpie,6 estsobreelCristo.Estoscortessuperponenalrigordelageometraunasutil armona. FIGURA 25: Los Reyes Magos(Gozzoli)SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 46

Elsegundounodelosartistasquerepresentamejorquenadiela perfeccindeloclsico,conocelasideasdesutiempo,lapruebadequelas conocaydequeentendasualcance,esellugareminente quelesdaenlaobraLaEscueladeAtenas(fig.27)Enel ngulo izquierdo, Pitgoras escribe sobre unlibro; a su lado, otros dos filsofos observan con atencin una pizarra que un jovensostieneantesumaestro.Sobreestapizarraest precisamenteescritoeldiagramadelasconsonancias musicalesconlasindicacionesengriego:tono,diatesarn, diapente, diapasn. El propio fresco est compuesto sobre el diatesarn: sobre la relacin3/4. EntrelosgrandesartistasdelasegundamitaddelXVIydeprincipiosdel XVII,elconocimientodelasproporcionesmusicalesparecemsomenosclaro, peor su empleo se hace ocasional. Veamos algunos ejemplos: FIGURA 26: La Flagelacin (Piero della Francesca). FIGURA 27: Detalle de Escuela de Atenas(Rafael). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 47La Presentacin de la Virgen en el Templo(fig.28) de Tiziano, la situacin de la nia se rige por las proporciones musicales: a lo ancho en la 12 de 9/12/16 y a lo alto entre los lmites 9 y 12 de la misma proporcin. Las Bacanales del mismo autor estn agrupadas con toda exactitud y dispuestas sobre las lneas que unen lospuntos4/6/9tomadossobrelosladosdelrectngulo.LaResurreccinde Cristo que tanto debe a Piero della Francesca, est compuesta en 9/12/16. Otra obra de Tiziano es Baco y Ariadna. Relacin 4/6/9. Baco est sobre la cesura4partiendodelaizquierda.Lamisma cesura,partiendodesdearriba,establecela alturadelospersonajes.Lacesuravertical6 determinalasituacindeltroncodelrbol,la oblicuapartiendo desde la parte alta de la cesura 4haciaelnguloinferiorizquierdorigelapierna deAriadnayladireccindesumovimiento;la oblicuaquepartedelvrticesuperiorderechoy seunaalacesura6horizontalestableceel movimientodeBacohaciaAriadnaascomoel movimiento sobresaltado de sta(fig.29). FIGURA 28: Presentacin de la Virgen en el Templo(Tiziano). FIGURA 29: Baco y Ariadna (Tiziano). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 48Tintoretto(1477-1576)empleaenvariasocasionesestarelacin:por ejemplo en el Cristo en el limbo y La Serpiente de bronce.Verons(1528-1588),granamigodePalladio,asimilasuscomposiciones arquitectnicasensuobra,dandopreferenciaalarelacin4/6/9;aunqueen algunosdesusretratosempleeotrasproporcionescomolarelacinmusical 9/12/16 en Dama y su hijo y La Bella Nani.Lomazzo(1536-1600)publicaenMilnen1584suTratattodellartedella pintura.LaposicindeLomazzoeslomsalejadaposibledelaestticade Alberti;noobstanteLomazzohabladelas consonancias musicalesycitaalgran terico del pasado. En realidad, sin pasar por la necesidad de explicarlas emplea las expresiones de la terminologa musical del Timeo que Alberti haba puesto de moda. Poussin(1594-1665) utilizalas relaciones 9/16 tomadas por ejemplo a partir de la izquierda y 4/9 a partir de la derecha, relaciones muy cercanas entre s y que parecenestarentresusfavoritas.Unhbitocomn,eldequererresaltarla importanciadeunpuntohacindolocoincidirconelpuntodefugadela perspectiva,muchasveces,estepuntovienemarcadoporlaproporcinureay otras por la relacin musical, como es el caso delRapto de las sabinasdonde el punto de irradiacin est sobre la relacin 9/16 en las dos dimensiones(fig.30).

. AcabamosesteperiodohablandodeAndreaPalladio(1508-1580), arquitecto italiano del renacimiento tardo, considerado manierista, que ha influidonotablementeenlahistoriadelaarquitecturaoccidental.Estudiaalosclsicos FIGURA 30: El rapto de las Sabinas. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 49comoVitruvioyseguaporunsistemadeproporcionesmusicalesaligualque Alberti,consiguiendoasuninteresanteenlaceentrematemticas,msicay arquitectura. Analizaremos algunas de sus obras en el ltimo captulo. EnelS.XIX,Seurat(1859-1891)defiendelaconstitucinmusicaldela realidad: "el arte es armona, la armona es analoga de los contrarios, la analoga delassemejanzas,deltono,delcolor,delalnea,consideradosatravsdela dominanteybajolainfluenciadeunailuminacinencoloresalegres,serenaso tristes.Estadefinicin,dadabajoelttulodeEsthtique,hacepensarenuna teoramusicalyempleasulenguaje(dominante).Construyendounsistemade analogas, Seurat llega a una metodologa de lneas y colores que es comparable a la base cifrada que conocemos como propia de la msica de la gran poca de la polifona, y sus cuadros estn compuestos con un rigor igual alde J. S. Bach. EnelS.XXalgunosartistashanseguidoutilizandolasproporciones musicalesensuscomposiciones.CitemosaquuncuadrodeCharlesBouleau distribuido segn las relaciones musicales 9/12/16 (fig.31). FIGURA 31: Pintura (Charles Bouleau).SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 50 IIVV.. SSEECCCCIINN UURREEAA

EENN AARRTTEE SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 51I IV V. .1 1. .1 1. . A Ar rt te es sa an n a a Recordemoslared formadaporvariospentgonosodecgonosregulares similar a una tela de araa, pues bien, los tejedores realizaban su oficio siguiendo un patrn similar. Se han reconstruido dos sombreros hechos artesanalmente por dos tribus indgenas norteamericanas de la regin noroeste del pacfico. El primero(fig.32) es unsombrero tipo cncavo tejido de corteza de cedro y yucaporlosMakahyotrospueblosNootka.Endichafigura,semuestrancuatro deesasrelacionesconconstruccionesdelaseccinureaalrededordeun sombrero alto y de uno bajo. FIGURA 32:Sombrero tipo cncavo y su descomposicin urea.SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 52Elsegundo(fig.33a)esunsombreroconvexoderacesdepicea,muy comnentrelospueblosTinTinglit,HaidayKwakiutl.Representamosdosde estossombreros,elprimero,msbajo,tiendeareproducirlasproporciones ureas y el segundo, ms alto, los 3/4 del tringulo pitagrico. Esto se aprecia en laslneasqueconectanlosextremosopuestosdelosdimetrossuperiorese inferioryquecoincidenenelprimertipo-conlasdiagonalesdeunrectngulo ureoyconlahipotenusadeuntringulopitagricoenelsegundotipo,la exactituddeestasproporcionessecompruebaenel trazadodelaseccin urea que se sita encima de los dos sombreros. Lasarmonasdeestospatronesresultantambinevidentesenla correspondenciadeambasformasconlaestrellapentagonal,dondelasegunda formaseencuadraconprecisinenlostringulospitagricoscontenidosenel pentgonocentralylaprimerasealineaconlostringulosdelosextremosdel pentgrafo(fig.33b). FIGURA 33a: Sombrero tipo convexo y su descomposicin urea. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 53 Lospueblosindgenasnorteamericanosdelnoroestemuestranlamisma preferencia en sus mantas ceremoniales por la proporcin de oro,ajustndose a las proporciones tanto en la forma general como en la articulacin del diseo. La fig. 34muestra variantes ureas en el borde de una manta Chilkat.Vemos que la construccindelaseccinureasobrelamantaestformadaporundos rectngulos ureos recprocos, que conjuntamente generan el rectngulo5. FIGURA 34: Manta Chilkat FIGURA 33b: Correspondencias de los sombreros de tipo convexo con formas hexagonales. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 54Lasmismasproporcionesseextiendenalosdetallesdelatramadela mantaformadaporloscaractersticosojosuovoidesdelarteindgena norteamericanodelnoroeste.Lafig.35muestradosdiseosdeestetipo encuadrados en rectngulos ureos. Lasproporcionesdesterectngulotambinaparecenenlosreiterados diamantes del patrn de un tejido mejicano (fig.36). I IV V. .1 1. .2 2. . C Ce er r m mi ic ca a La fig. 37 es un cuenco de barro cocido de los Acoma. Su forma es comn entrelastribusZuniyPuebloysefabricaendiferentestamaos yproporciones. Vemoselanlisisureodelcuencocompuestoporunapartedela correspondenciadelasdimensionesdelcuencoconlaproporcinurea,ypor FIGURA 36: Patrn de tejido mejicano FIGURA 35: Tpica cabeza de truchaasalmonada(izq.) y tpico diseo de ojo (dcha.). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 55otraelpatrndeldibujoformadoporespiralesrectangulares,quesemuevenen direcciones opuestas formando un trazado armnico. I IV V. .2 2. .1 1. . A Ar rt te es sa an n a a Tambin podemos ver en el arte oriental, diversas muestras de la utilizacin de la proporcin urea. En las proporciones de una alfombra prusiana oriental (fig. 38),podemosdistinguirelrectngulodeorotantoenlasdimensionesdela alfombra,como enlosdiamantes delpatrndeltejido,como ocurraenla fig. 36 en los patrones del tejido mejicano. FIGURA 37: Cuenco Acomadecorada con espirales rectangulares. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 56 I IV V. .2 2. .2 2. . C Ce er r m mi ic ca a Pasando ahora al estudio de la clebrecermica china, la fig. 39muestra unjarrnchinoLungChuan,deladinastaSung(960-1279d.C)ysuestudio ureo.Estaderivacinmuestraqueloscentrosdelascuatroespirales logartmicas,generadorasdecontornos, ocupanlas esquinas de dosrectngulos de proporciones muy cercanas a las ureas. Podemoscomprobarlo dividiendo la anchuradelaboca(7,1)entrelaalturadelosrectngulos(11,5):7,1/11,5= 0.617

=0.6178.).Laformacompletaseencuadraenunrectnguloformadoporun cuadradoqueabarcalapartedemayorvolumenylabase-ydosrectngulos ureosseparadosporelejeprincipalquerigelafiguraycuyasalturas corresponden a la del cuello. FIGURA 38: Alfombra prusiana FIGURA 39: Jarrn chino Lung Chuang SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 57I IV V. .2 2. .3 3. . E Es sc cu ul lt tu ur ra a ElcanontibetanoparaconstruirlafiguradeBuda,muestracomosela encuadraentresrectngulosureos,unodentrodelotro.Elrectngulomayor encierratodalafigura,desdeelpuntosuperiordelacabezahastalabase, incluyendolasrodillas;elrectngulointermedio,seextiendedesdelaparte superior de la cabeza hasta las piernas, tocando la mano derecha y el codo; y el rectngulomenorencuadralacabeza.Aparecentambindostringulosquevan desde el mentn hasta las piernasy dibujan un pentgono centraly dentro de l un pentgrafo que apunta al mentn, la cintura y las axilas(Fig.40a). LafiguracoreanadebroncedeMaitreya,elfuturoBuda(fig.40b),se puedeencuadrarenunrectnguloureoquedescansasobreuncuadradodel mismoancho,conteniendoesteltimoelasientoyabarcando,elprimero,el grueso de la figura. FIGURA 40a: Buda segn el canon tibetano. FIGURA 40b: Buda Maitreya. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 58Una de las obras de arte ms importantes de las dos primeras dinastas, es la estela del faran Vadyi, el Rey Serpiente. Es un relieve calcreo procedente de Abydos.Mide1,45metrosyconstituyelapartesuperiorde unaaltaestelaqueadornabalapuertadelcenotafiodeeste rey. El rectngulo en que ondea la serpiente est en relacin urea con el cuadrado constituido por el edificio(fig.41). "El placer no es el primero ni el segundo de los bienes, sino que el primero delosbienesconsisteenlamesura,eneljustomedio,enloconvenienteyen todas las dems cualidades anlogas a esas, que debemos considerar dotadas de unanaturalezainmutable[...]Queelsegundodelosbieneseslaproporcin,lo hermoso, lo perfecto, lo que es por s mismo suficiente, y todo lo que pertenece a este gnero".1 Enel mundoclsicosonnumerosaslas muestrasdeartecreado segnla proporcin urea, no en vano, es en le mundo griego donde nace, con Pitgoras ysusdiscpulos,Platn,Euclides, etc., un estudio de dicha proporcin.Comoya hemosdichoanteriormente,sonlosElementosdeEuclideslaprimerafuente escrita de estudioque ha llegado hasta nosotrosque trata de esta proporcin. Enestapocaencontramosejemplosdelusodestaentodaslasartes, desde la escultura o la arquitectura, hasta la poesa.

FIGURA 41: La estela del faran Vadyi. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 59I IV V. .4 4. .1 1. .C Ce er r m mi ic ca a Estudiemoselcontornodeunanforaticaqueilustralaleyendade Hrcules y Pholus. Las proporciones principales, tanto de la altura como del ancho comparten la relacin urea. La fig. 42 presenta el contorno de dicha nfora y su estudio ureo en altura. Lasfigurassiguientesnosmuestranotrostresejemploscermicos.La primeraesunacrateracretense(fig.43a)encuadradaendosconjuntosde rectngulosureosrecprocos-5delongitudtotal-,comositalesrectngulos hubiesenrotadoconjuntamentealrededordelejelongitudinaldelavasija.Los rectngulos ureos ms pequeos contienen los hombros, la cabeza y las asas, y los mayores, la parte ms voluminosa. Adems, el ancho de la aberturay la altura totalcomparten la misma relacin urea. El nfora cretense (fig. 43b) est contenida en un rectngulo dentro del cual los hombros, la cabeza y las asas se encuadran en el rectngulo ureo reciproco. Las proporciones de los dos rectngulos ureos recprocos estn presentes en la

1 VVAA: Historia del arte, Ed. Anaya, Madrid, 1986, p 90. FIGURA 42: nfora tica SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 60relacin del borde con los hombrosy en la relacin de la base con sus entradas. Porltimo,enlafig.43c,semuestrauncntarominoicocontenidoenunsolo rectngulo ureo. I IV V. .4 4. .2 2. . E Es sc cu ul lt tu ur ra a Se otorga en la escultura griega la absoluta primaca a la representacin del cuerpohumano.Enste,labellezaseconsiguetantoporlaperfeccinformal comoporlaarmonadesusproporciones,basadaenlacorrespondenciadesus diversaspartes. Por otra parte, mediante la actitud, el movimiento o la mirada, el escultorgriegoexpresaelmundodelespritu.Destacamosatresgrandes escultores: Mirn, Fidias y Polcleto. En Policleto (s.V a.C.), a quien se atribuye la autoria de un clebre tratado sobre las proporciones del cuerpo humano, actualmente perdido, encontramos por vezprimeraelconceptodebellezabasadaenelidealismodeproporcionesdel cuerpo humano como ocurre en dos de sus obras maestrasEl Diadmenos y El PortalanzaoDorforo.Lasconstruccionesdelaseccinureadeesta escultura(fig.40)muestrandosconjuntosderectngulosureosrecprocos,cada uno de 5 de largo; el conjunto mayor abarca todo el cuerpo, con las rodillas y el FIGURA 43a:Cratera cretense FIGURA 43b: nfora cretense. FIGURA 43c: Cntaro Minoico. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 61pecho en los puntos de la seccin urea; el conjunto menor se extiende desde la partesuperiordelacabezahastalosgenitales.Elombligoseencuentraenel punto de la seccin urea de la altura total, los genitales en el punto de 3/4 de la altura hasta el mentn. EnlaAfroditadeCirene(fig.45)sepuedenreconocerrelacionesde longitud igualmente armoniosas, aunque por desgracia se ha perdido la cabeza. FIGURA 44: Dorforo(Polcleto). FIGURA 45: Afrodita de Cirene.. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 62Las cabezas de Hipnos, diosa del sueo (fig. 46a) y de Higeia, diosa de la salud y patrona de los pitagricos (fig.46b), ambas del siglo IV a.C., comparten en miniatura los mismo lmites proporcionales que articulan los cuerpos de la Afrodita de Cirene y del Doriforo. Quizs sea la arquitectura la rama de las artes ms desarrollada en Roma, lacualsetratarmstarde.Citamosaqu,amododeejemplo,unbajorelieve procedente de una tumba de Neumagen(fig.47) donde un preceptor da clase a sus discpulos.Ladistribucindelospersonajessehacemediantemedidasureas, situndose el preceptor a una distancia en relacin a los discpulos sentados a ambos lados del mismo. FIGURA 47:Bajorelieveromano FIGURA 46a: HipnosFIGURA 46b: Higeia SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 63Lasmuestrasdelusodelaseccinureaenelarteislmicosonmuy frecuentesdebidoasuscaractersticosentramadospoligonalesquedecoran techumbres,bvedas,arcosyparedesdesusconstruccionesarquitectnicas. TomamosaqulaPuertadel dormitoriodelosReyesMorosdel AlczardeSevilla,edificiodefinales delS.XIII,dondeseresumen tcnicastpicasdecorativasdelarte hispanorabe(fig.48).Distinguimos endichapuertaunentramadode hexgonosregulares,queentrelazados,formanunaredque dejaensusinteriorestrellas hexagonales. Quizlaprimeraideaquesenosvienealacabezaalintentarrelacionareste arte con la seccin urea sean las tpicasvidrieras, que adornaniglesias y catedrales,yqueseformanensumayorparteporformasgeomtricas FIGURA 48: Puerta del dormitorio de los Reyes del Alczar de Sevilla. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 64poligonales. Pero no es la nica forma artstica relacionada con la seccin de oro. Pasemos al estudio de algunas obras pictricas que comparten dicha medida. I IV V. .7 7. .1 1. . P Pi in nt tu ur ra a El Salterio dela Capilla Santa, llamado Salterio de Blanca de Castilla es un libro que se sita en los primeros aos del S. XIII, es representativo del arte gtico.Elanlisisdedicholibrorevelael empleosistemticodeunatraza geomtrica,basadasobretodoen polgonosregularesyesquemasmuy simples, sobre la que se sitan los sucesos desuiconografa.Entresusilustraciones destaquemosuna,ladelAstrnomo(fig. 49). Vemoscomoelcrculotrazadotienepordimetroelejemayordela imagen,elcieloesunarcodelmismoradio.Elhexgonoinscritoenlesel determinantedelpuntodesuspensindelastrolabio,ladireccindelrodillo,la altura de los escalones, etc. sta misma estructura se repite en la mayora de las imgenes del libro, tales como la Creacin de Eva. EnlapinturadelS.XVsedistinguendosestilos,elinternacionalyel flamenco. En el desarrollo del primero,es importante destacar las cortes de Berry y de Borgoa y en particular a los miniaturistas. Nos detenemos ahora en una obra de uno de ellos Paul de Limbour, las Muy Ricas Horas del duque de Berry. La vida de Jess se abre con una representacin delParaso terrenal, (fig.50)imagen de laperfeccinidentificadaconeltrazadogeomtricodelaseccinurea, FIGURA 49: Salterio de Blanca de Castilla- El astrnomo y el calculista. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 65proporcin perfecta. En relacin a su posicin en la pgina del manuscrito, el eje delafuenteestsituadosobrelaproporcinurea.EnelcrculodelParasose inscribe un doble pentgono. Cuatro verticalesestablecen el ancho de la fuente y sitan al rbol prohibido y los personajes la derecha. TambinseencuadraenesteestilolaobradeStefanLochner,aquin debemosLaVirgendelRosal(fig.51),dondeseapreciauntrazadogeomtrico complejo:tangentealoslados,uncrculoencierraundoblepentgono.El pentgonoapoyadosobresubase,situadoaigualdistanciadearribaquede abajo, determina el lugar del crculo. La prolongacin de algunas diagonales de los pentgonos da la construccin de la prgola. El muroquerodea alaVirgen,sigueel arcoqueha servido para trazar el pentgono apoyado en un vrtice. FIGURA 50: Muy Ricas Horas del Duque de Berry(Paul Limbour). FIGURA 51: La Virgen del Rosal (S. Lochner).SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 66En la Natividad de Weltchronik des Rudolf von Ems podemos ver el uso de la seccin urea partiendo de la dimensin media del cuadrado, que se encuentra enlapartesuperiordelcuadro,laruedaseapoyaenlabasedelcuadrado,el camino del paisaje asciende a lo largo de la diagonal del cuadrado(fig.52). Eneldesarrollodelestilo flamenco destacamos aloshermanos Hubertoy Jan Van Eyck, ambos colaboraron en la obra maestra de este arte, La Adoracin del Cordero Mstico, tabla central del polptico de San Bavn de Gante, integrado pornumerosastablas,cuyasdivisionesenanchuracorrespondenauna progresin urea(fig. 53) FIGURA 52: Natividad (W.Rudolf von Ems) y entramado geomtrico. FIGURA 53: Estructuira geomtrica del polptico deSan Bavn de Gante. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 67Podemos destacar en el uso del nmero de oro, otro pintor flamenco, Rogervan der Weyden (1400-1464), en especial dos de sus cuadros. ElJuicio Final,el Descendimiento de la Cruz (fig.54). En el primero de estos cuadros la proporcin entrelaalturadelashojasplegablesylacentral.eselnmerodeoroEnel segundo,el cuadro est dibujado sobre una trama geomtrica de pentgonos, la estructuradelretabloestestablecidasobrelaproyeccindelasdiagonalesdel cuadrado y de los rectngulos y sobre el nmero ureo. De la influencia flamenca por Europa tenemos obras de varios autores que ponenderelieveladivinaproporcindeformaparticularconelpentgono,tan comnmenteescogidoporestosautoresparaguiarlatramadesusobrascomo ocurre enla Coronacin de la Virgendel Maestro Moulins dndese aprecia un doblepentgonoquesirvedetramaaloscrculosmsticos,elcrculopequeo est centrado sobre el cruce del eje vertical con el horizontal dado por la seccin urea(fig.55). Otra Coronacin de la Virgende Enguerrand Quarton tambin nos muestralaproporcinureaque,tomadasobrelosladosestablecelaalturadel centrodelcrculo.Estecrculoestangentealapartesuperiordelretabloysu FIGURA 54: El Descendimiento (Roger van der Weyden) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 68puntoinferiorestablecelaalturadelapedrela.Enelcrculoseinscribeundoble pentgono.Lasdiagonalesdelospentgonos,prolongadasmsalldelcrculo, establecen el rtmo de las pequeas figuras de los lados(fig. 56) Porltimo,pasemosalmsgrandepintordelapoca,JeanFouquet (1415-1481)ysuobramaestra,eldpticodeLaVirgendeEtienneChevalie(fig. 57). Vemos como se forma un tringulo isscelesprincipal donde se encuadra a laVirgenconabsolutanaturalidad,consumantocayendosobreloslados mayoreseltringulo.Estepentgonosecombinacon otro, formando un decgono, el cual deja un rectngulo ensuinteriordondeseencuadranelmontantedela silla y la hilera de ngeles. FIGURA 55: Coronacin de la Virgen ( Moulins). FIGURA 56: Coronacin de la Virgen ( Enguerrand Quarton).FIGURA 56: La Virgen(Etienne Echevalie.). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 69El Renacimiento nace apoyado en los modelos clsicos pero no rompe con ciertasformasdelMedievo;seuneaunaevocacinaloantiguo,conuna observacin viva de la naturaleza y un dominio de la perspectiva que hace posible larepresentacindelorealendosdimensiones.En1509,sepublicaellibrode FrayLucaPacioli;as,ladivinaproporcinsevuelveaponerdeactualidaden Italia,particularmenteenVenecia.Elnmeroureoserapresentadoenlo sucesivo a los artistas, en los distintos tratados de pintura,al mismo nivel que las relacionesmusicales,peroalrecuperarlascomposicionesdelaEdadMediase cometan grandes errores en su trazado. La proporcin urea se haya casi siempre con la ayuda del pentgono, que lacontieneentodassuspartes.Comolaconstruccinesbastantecompleja,se procurarsimplificarla.AlbertoDurero,unperfectoconocedordelaconstruccin clsicadelpentgono,proponeunanuevaconunasolaaperturadecomps,se tratadeunabuenaaproximacin.Esimportantesealarqueestemtodotan ingenioso es una buena simplificacin del diagrama de Hipcrates. Por estos polgonos, estas inteligentes construcciones se volvieron cada da ms engorrosas para los artistas, que slo conservaron la seccin urea como un buenmtodoparadistribuirlaslneasydeorganizarlassuperficiessegn relacionesarmnicas,sinnecesidadseseguirunafigurageomtrica.Esta diferenciaexistenteentreunacomposicindelaEdadMediayporejemplouna composicin de Vermeer. Algunasescenasestncompuestas(comolasqueseencontrarnms tardeenPompeya)segnunaconcepcindelnmeroureomuydiferentedela delaEdadMediaymuchomsmoderna;larelacinesttomadadirectamente sobrelosladosdelmarcoyregulaapartirdeahsuspersonajes,loslienzosde muro, las arquitecturas. Para concluir diremos quesiendo creciente el cansancio de los pintores al proyectarla, laseccin urea se reducir al hbito de cortar las composiciones a cierta distancia del marco, corte que se convertir por as decirlo en intuitivo. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 70I IV V. .8 8. .1 1. . P Pi in nt tu ur ra a i it ta al li ia an na a d de el l Q Qu ua at tt tr ro oc ce en nt to o Laprimeramitaddeestesiglosecorrespondeconlaincorporacinde elementos clsicos, y un estudio de la perspectiva. Lainvestigacin que se llev a cabo en Florencia en este periodo, y que funda el arte con la ciencia matemtica,lageometraylaperspectiva;tienesumximorepresentanteenPierodella Francesca(1416-1492).l,consiguiarmonizarlocientficoylaclaridad intelectual,conunaintuicindebellezadelasformasydelusodelaluzcomo elemento expresivo y simblico. Escribi De Prospectiva Pingendi, un tratado de perspectivadondedescubrequeladistribucindelaslucesessimplementeun problema de color, y siendo el maestro de Luca Pacioli, muchos le sealan como coautor oal menos inspirador de la Divina Proporcin del fraile franciscano. Muchospintoresrecurrieronalastrazasgeomtricas.Peroninguno comoPierocreunaobratanprofundamentecaladaporunaconcepcin geomtrica de la belleza. Las figuras son cuerpos simples que no estn sometidos por la fuerza a un entramado geomtrico sino que forman este entramado con una apariencia natural. LaobramaestradePierosonlosfrescosdeSanFranciscode Arezzo,peroaqutrataremossultimaobraconocida:LaVirgenyelNio rodeados de Santos (fig.58). Se trata de una composicin basada en los cuerpos regularesylosnmeros2y3.Suanchuraesasualturacomo2a3,relacin discretamente repetida en la bveda, cuyos casetones suman 9 en un sentido y 6 en el otro(6/9=2/3). Toda la obra est organizada sobre trescrculos, los dos de labveda cortan otro crculo, centrado sobre el primer tercio de la alturasy en el cualseinscribendos hexgonos.Lasprolongacionesdelosladosdeunodelos hexgonos determinan la altura de la bveda. De este modo, a pesar del aparente desfase en la distribucin de los espacios, la composicin es uniforme. PierodellaFrancescapermanecersiemprefielalasdivisionessencillasdesuscuadrossegnlosnmeros2,3,4;veamos,noobstante,cmosultima obraesunacomposicinmuchomscompleja,basadaenelhexgono.El BautismodeCristo(fig.58)estconstruido sobreel nmero tres. Divisinentres de su anchura, con los ejes sobre el lado derecho del rbol y del costado izquierdo SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 71de San Juan, trazado a lo largo de la vertical. Divisin en tres de la altura, o ms exactamenteendossisloconsideramoslaparterectangular,quesiguela relacin 2/3. El semicrculo que corona la obra y constituye el tercer tercio es, en realidad, un crculo completo si seguimos la curvatura del brazo de San Juan y la partesuperiordelospaosdeCristo.Lapaloma,perfectamentehorizontal, indicaelemplazamientoexactodelladosuperiordelrectnguloyelcentrodel crculo. Otros artistas de este primer periodo son Paolo Ucello(1396-1475), Andrea Castagno(1390-157)oMasaccio(1401-1428),delquehemoshabladoenel captulo anterior relacionando alguna de sus obras con la proporcin musical. Lasegundageneracindeartistasdeesteperiodopresentanuninters sorprendenteporlos aspectosconcretosdelavida,estandotambinpresentela evocacindelmundoclsico.Muchasdelasobrasdeesteperiodo,hansidoya estudiadas, como ocurra con la obra El Tributo de San Pedro de Masaccio, en el captuloanteriordadoquesusestructurastienenunclaroapoyoenlas FIGURA 58:La Virgen y el Nio rodeados de Santos (Piero della Francesca).FIGURA 59:El Bautismo de Cristo (Piero della Francesca) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 72proporcionesmusicalesyenlateorasdeAlberti;entreestasobrasdestacamos LosReyesMagosdeBenozzoGozzoli,laNatividaddelaVirgendeDomenico Ghirlandaio, El parnasode Andrea Mantegna y La Primavera de Boticelli. SandroBotticelli(1444-1510)seaquizelmsconocidodetodosellos. Analicemosotradesusobrasconmsrepercusin,ElNacimientodeVenus(fig. 59). La proporcin utilizada es un 9/16. Volvemos a encontrar el eje de simetra del cuadro desplazado ligeramente a un lado. La relacin de espacio entre los pies yelombilgoylacabezaesde0,618;que eslamismarelacinquehayentre el cuellodelfmurylarodillaylalongituddelapiernaenteraylamismaquehay entre el codo y la punta del dedo medio y la longitud del brazo. V V. .8 8. .2 2. . P Pi in nt tu ur ra a i it ta al li ia an na a d de el l " "C Ci in nq qu ue ec ce en nt to o" " EltrnsitodelQuattrocentoalCinquecentoestencarnadodeforma excepcional en Leonardo da Vinci(1452-1519), considerado siempre como una de las mentes ms brillantes y prodigiosas de la historia. Leonardo es el artista ms secreto y ms sabio de los tratados hasta el momento. Apasionado de la msica, habla abundantemente de la sutileza de las relaciones del arte de los sonidos con FIGURA 59: El Nacimiento de Venus de Botticelli SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 73la pintura, pero su forma de concebir estas relaciones es realmente particular. Sus reflexiones sobre todas las cosas son excesivamente profundas y enigmticas. La ltimaCena,lanicacomposicinmonumentalqueconservamos,sigueuna disposicinsimpledelrectngulo5.Aunqueestacomposicinestcentrada sobreelCristo,sutrazadeterminaotrocuadradocentralqueestenproporcin urea con las longitudes sobrantes a los lados. En el cuadrado central, se inscribe uncuadradoms pequeodonderesidencuatrorectnguloureosyasuvezla figura de Cristo se inscribe en otro rectngulo ureo delimitado por la ventana del fondo(fig. 60). FIGURA 60: La ltima Cena (Leonardo da Vinci). FIGURA 61: Hombre de Vitruvio (Leonardo da Vinci). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 74En muchos otros cuadros suyos utiliz la proporcin urea considerada por lcomounreflejodelaproporcinhumana.Leonardoestablece-siguiendolos dictmenesdelaarquitecturadeVitruvio-quelasproporcionesdelcuerpo humano son perfectas cuando el ombligo divide al cuerpo en modo ureo y es a la vez el centro de la circunferencia que lo circunscribe(fig.61). Laaplicacinmsdirectaquehacedeestas proporcioneslaencontramosenLaGioconda (fig.62)dondelarelacinurealaencontramosen las proporciones del cuadro, en las dimensiones del rostro,enelespacioquehayentreelcuelloyla mano y en el que hay entre el escote del vestido y el final de la mano.

Uno de los artistas querepresenta mejor que nadie laperfeccindeloclsicoesRafaelSanziodeUrbino, Rafael(14831520).Suobramsimportantequizs sean las decoraciones al fresco que realiz en el palacio delVaticano.Ladivisinde3/4larepiteenlosfrescos de las Estancias del Incendio del Borgo, La Disputa sobre elSantoSacramento,ladelaExpulsindeHeliodoro, etc.Esunadivisinmuysimple:cortedelanchoen cuatro y del alto en tres. FIGURA 62: Gioconda o Mona Lisa FIGURA 63: Retrato de Juana de SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 75Rafael,anconociendoelconjuntoderelacionesmusicales,slo empleabaparasusgrandescomposicionesrelacionesmusicalessimples:las divisiones 2/3 o 3/4 son las ms frecuentes. Basten como ejemplos los cartones detapicesdealgunasMadonas(Madonna deOrleans,Madonna deBelvedere). En sus retratos emplea sin embargo las divisiones 4/6/9 o 9/12/16, como ocurre en elRetratodeJuanadeAragn(fig.63)dondeelpersonajeestenuneje ligeramente oblcuo que se corresponde con la medida de 9 en la relacin 9/12/16, arriba tomada desde la derecha y abajo desde la izquierda.|

I IV V. .8 8. .3 3. . P Pi in nt tu ur ra a r re en na ac ce en nt ti is st ta a e en n E Eu ur ro op pa a NosdetendremosaquenAlbertoDurero(1471-1528),grabador,pintory tericoalemn,investigadordelasproporcioneshumanas,representalafusin delgticoalemnconlasnovedadesrenacentistas.Comotodoslosartistasdel norte, conoca tan bien como Pacioli el nmero ureo. Basta con indagar un poco ensuobraparadarsecuentadequeloemplecorrientementeentodaslas etapas desuvida,especialmente ensujuventud. Laseccinurea paraDurero nosuponaningunanovedad.EnelApocalipsis(fig.64a)yenLaVidadela Virgen:laAsuncin(fig.64b)casitodaslasescenasdibujadasantesde1506 siguenelnmeroureoylasplanchasdeDavidpenitente(fig.65a)yla DegollacindeSanJuanBautista(fig.65b),fechadasen1510,siguenelcomps de la relacin musical 4/6/9. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 76 I IV V. .8 8. .4 4. .P Pi in nt tu ur ra a i it ta al li ia an na a m ma an ni ie er ri is st ta a Enelmanierismohayunfuertesentidoanticlsico,esunmundo fuertementeintelectualizado;lasformas,losmodelosylostiposdelosgrandes artistasvanaserutilizadoscomounelementomsenlascomposicionestan libremente entendidas.EnVeneciaseconsiguemantenerunclimacalmadofrentealacrispacin manieristadelrestodeItalia.Entrelosartistasvenecianosdestacamosa Giorgione, que signific para Venecia lo mismo que Leonardo para Florencia, y a Tiziano(1487-1576),discpulodelprimero,ygranfiguradelapinturaveneciana. FIGURA 64: Apocalipsis y Vida de la Virgen(Durero).FiGURA 65: Degollacin de San Juan Bautista yDavid penitente(Durero). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 77Lamayoradeestosartistasyafueroestudiadosenelcaptuloanterior;ahora veremos otras obras suyas con correspondencias ureas y musicales. De Giorgione destacamos suVenus(fig.66). La relacin 9/12/16est aqu tomada hacia la izquierda y hacia la derecha sobre cada lado del lienzo, comoya hizoMantegnasobreelParnaso.Centradoenestearcoseencuentraelarco sobre el que reposa Venus, divisin que en otro sentido, establece la horizontal del paisaje. De Tiziano destacamos, adems de las obras ya sealadas anteriormente, Venusyelorganista(fig.67)construidasobrelarelacin4/6/9,unadelasms comunesenesteartista.Estas Venusderivantodasdelasde Giorgioneysiguenlamisma composicin:elsemicrculosobreel queseapoyaVenusestenel centro de la divisin 4 partiendo de la derecha. FIGURA 66: Venus ( Giorgione). FIGURA 67: Venus y el Organista ( Tiziano). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 78VeronsyTintorettoemplearonlaregladeorodebuengrado, paralelamente a otras trazas. PaoloVerons(1528-1588) construye muchas veces susretratossobreelnmeroureo.CitaremoselRetratodeF.Franceschini,el CondePortoysuhijo,Retratosdegeltilhombre.OtrasobrasdeVeronsque siguenestaproporcin,sonJessyelcenturin,Jessentrelosdoctores,La AnunciacinylaResureccindeLzaro.EnLafamiliadeDaro,laarquitectura sigue el nmero ureo y los personajes la armadura del rectngulo. En la Comida en la casa de Lev(fig. 68),la arquitectura estregulada por la relacin urea, con regresinarmnicadeunamismarelacin.Lospuntosdeinterseccindelas lneasqueunenlospuntosentresyconlosvrticesdelrectngulosonlos puntosquepermitenladisposicindelascolumnas.Lasdosdiagonalesdel rectngulo dan las escalera del primer plano. ParalasBodasdeCan(fig.69),porunaparteVeronsparecehaber empleado el nmero ureo en su trazado ms sencillo; y por otro el doble diapente parece inspirar las proporciones generales. FIGURA 68: Comida en casa de Lev ( Verons ). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 79 JacoboTintoretto(1518-1594)eselnicoartistavenecianoquepresenta algodeinquietud acercadel manierismo.Ensu obratropezaremostambincon bastantefrecuenciaconelnmeroureo:verelMilagrodeSanMarcos,el Hallazgo del cuerpo de San Marcos,la Leda, etc. EnLaResurreccin(fig.70),sobrelaslneas oblicuassurgidasdelaproporcinureatrasladadapor dosvecesalternativamentesobreloscuatroladosdel lienzo,Tintorettositaasuspersonajesydistribuyelas zonas de luz y de sombra EnElLavatorio(fig.71),conservadaenelmuseodelprado,podemosver como el espacio est ordenado por las columnas del fondo. El espacio que va de lasegundacolumna,partiendodelladoizquierdo,hastaellateralderechodel cuadro,formaunrectnguloureo;siendounpuntodedivisinlaprimera columnapartiendodelladoderecho.Obtenemosasuncuadradoyunnuevo rectngulo ureo menor donde sita a tres personajes en primer plano, reservando el cuadrado para los personajes sentados alrededor de la mesa. Al rectngulo total FIGURA 69: Las bodas de Can (Verons). FIGURA 70: La Resurreccin (Tintoretto). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 80se aade a la izquierda la longitud del cuadrado anterior, donde encuadra a varios personajes en primer y tercer plano. Elarte delS.XVII,suponelavueltaalambienteserenodelRenacimiento. Serecobranlasformasbellasyverosmiles.Lapinturatomadoscaminos:el naturalismo, y el clasicismo. I IV V. .9 9. .1 1. . P Pi in nt tu ur ra a B Ba ar rr ro oc ca a f fr ra an nc ce es sa a La figura mxima de clasicismo es el francs Nicols Poussin (1594-1665), del que ya estudiamos una de sus obras, Las Sabinas. I IV V. .9 9. .2 2. . P Pi in nt tu ur ra a B Ba ar rr ro oc ca a h ho ol la an nd de es sa a La enumeracin de los maestros holandeses que utilizaron el nmero ureo resultaraengorrosa.DeentretodosellospodemosdestacaraRembrandtvan Ryn (1607- 1669) y a Jan Vermeer de Delft (1632-1675). Rembrandt, por ejemplo, lo utiliz en los Sndicos del gremio de los Paos(fig.73) tanto en las dimensiones del cuadro como en la distribucin de personajes. FIGURA 71: El Lavatorio (Tintoretto) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 81 Vermeerlousaespecialmenteypodemosasegurarquelo prefiereaotros mtodosenlaMujersentadaalclave,laParejadejvenes,laDamaensu escritorio, la Carta de amor y El Taller de pintor (fig.74). Esta ltima obra merece unaespecialmencindadoqueesunaobratotalmenteregidaporlaseccin urea.Vermeernosdemuestrasuabsolutoconocimientoydominiodeesta proporcin, el cuadro se inscribe en una red de lneas ortogonales y oblicuas que conducen a un entramado ureo. FIGURA 73: Los Sndicos del gremio de los paos (Rembrandt) FIGURA 74: El Taller del pintor(Vermeer). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 82I IV V. .9 9. .3 3. . P Pi in nt tu ur ra a B Ba ar rr ro oc ca a e es sp pa a o ol la a La figura de Velzquez(1599-1660), de las ms grandes de toda la pintura espaola,esenlaquenosdetendremosenesteapartado.Desdesusprimeras obrassuporepresentarlarealidadtalcomolaveaytuvolavirtuddesaber comunicar al espectador la nocin de espacio, mediante un genial uso deluces y sombrasyunapinceladasegursima.Sehadichoavecesqueelrealismode Velzquezes"espiritualizado"detalmaneraque,siendobarroco,pareceun clsico de la poca de Pericles; y su pintura se ha mantenido -como el arte griego- en un plano elevado de armona, elegancia y profundidad que solo son reflejo de la autentica belleza.Dosdesusgrandesobras:LasHilanderasyLasMeninas,queelautor pintaltrminodesucarrera,sonejemplodelsentidoespacialqueposeaeste espaolypodemospensarquedetrsdeestostrazosgenialesseescondela proporcinurea.EnlatramadeLasMeninasseescondeunaespiralureade aquellas de Fibonacci como vemos en el detalle de la fig.75b.

FIGURA 75a: Las Meninas (Velazquez). FIGURA 75b: Detalle de las Meninas. Centro de la espiral urea. SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 83Enesteperiodolageometradelosartistassereduceatrazasmuy simples, todo se resolva con el uso del cuadrado o el rectngulo, que en muchos casos se apoyaban en el nmero de oro.AquasistimosalnacimientodelestiloRococ,delqueelfrancsAntoine Watteau(1684-1721)esunodelosmsrepresentativos,DelestudiaremossuGilles(fig.76),dondeobservamosladescomposicindelcuerpo,desdeel sombrerohastaelcomienzodelaspiernas,enunrectnguloureo;laspiernas se encuadran en un cuadrado igualal que se forma dentro del rectngulo anterior al buscar sobre su lado mayor la seccin area. Otro de estos artistas, Greuze (1725-1815) utiliza tambin la medida urea en alguno de sus cuadros como El Pajarero (fig. 77), donde la longitud de lafigura marca la longitud del segmento ureo respecto el resto del cuadro. FIGURA 76: Gilles (Watteau). FUGURA 77: El Pajarero (Greuze) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 84EnlosaosfinalesdelS.XVIIIyprincipiosdelS.XIX,sedanlos movimientosdelClasicismoyRomanticismoenlaPintura,delosqueahora analizaremosalgunosautores.Elprimerestilosecaracterizaporeldeseode resucitar las formas de la antigedad; el segundo por el culto alsentimentalismo, a la naturaleza, y el rechazo a la civilizacin. EnLasegundamitaddelS.XIXsurgelallamadacorrienteImpresionista, llevadaacaboporungrupodeautoresqueimprimenunespritudecambioe innovacin en el arte occidental. I IV V. .1 11 1. .1 1. . C Cl la as si ic ci is sm mo o DeesteperiododestacamosadosautoresJacques-LouisDavid(1748-1825),aJean-Auguste-DominiqueIngres(1780-1867)yaTheodoreGricault (1791-1824).DelprimeroexaminemossucuadroEljuramentodelosHoracios(fig.78) considerado el punto de partida de la pintura Neoclsica. FIGURA 78: El juramento de los Horacios (J.-L.David) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 85 Enlencontramosquelasituacindelospersonajesatiendeamedidas ureasrespectolasdimensionesdelcuadro.Elpersonajeprincipalnoocupael centro del cuadro sino una posicin desviada a la derecha donde se ve encerrado en un rectngulo cuyo lado menor viene marcado por los puntos de la longitud total del cuadro. Estos puntos se obtienen calculando la seccin de oro a partir de losdosextremosdeestalongitud.Deigualforma,vemosquecalculandoensu altura los puntos, obtenemos los nivelesa los que sita a los Horacios y a las mujeres. Otra de las obras ms representativa de David, LamuertedeMarat(fig.79)sedescomponeen medidasureasdeformasimilaralaanterior; calculandolospuntosquedividensualtura encontramos la posicin donde se encuadra a Marat. DelmismoautorLasSabinas(fig.80),dondeutilizalaseccinureapara colocar a los personajes principales. FIGURA 79: La muerte de Marat (J.-L. David)FIGURA 80: Las Sabinas (J.-L. David) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 86Con Ingres volvemos al Quattrocento italiano, su obsesin era contemplar a Rafael,yloacabimitando.Unodesuscuadrosmsrepresentativoses Odalisca y su esclava (fig.81)donde vuelve a utilizarun arcoque ya conocamos deTizianoyGiorgione,laoblicuaquemarca,eslacuerdadelarcosobreel que se apoya Odalisca. Para terminar, hablemos de La Balsa de la Medusa (fig.82) de Gricault. En el esquema vemos la descomposicin del cuadro en proporciones ureas.

FIGURA 81 : Odalisca y su esclava (Ingres). FIGURA 82:La Balsa de la MedusaSECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 87I IV V. .1 11 1. .2 2. . M Mo ov vi im mi ie en nt to os s I Im mp pr re es si io on ni is st ta as s Enesteperiodoloquemspreocupaeslauninentrearteyciencia, destacaremos ados artistas cuyo pensamiento est en sintona con la bsqueda delasleyesdelanaturalezaquerigenelarteysonlasmismasdelespritu humano.GeorgesSeurat(1859-1891),neoimpresionistayadmiradordePiero della Francesca, Ingres, Poussin, etc. Para Seurat el arte es armona, y podemos verestaencuadroscomoLaParada(fig.83),cuyacaractersticaesuncorte ortogonal entre la lnea superior de la rampa yel bastidor vertical de la derecha; la horizontalestmuyprximaalaseccinurea.Otrasrelacionesureasquese han encontrado en el cuadro se muestran en la fig.83. PaulCzanne(1839-1906)esunartistaposimpresionistaquefundamenta suartesobreestrictasleyesgeomtricas:tratarlanaturalezapormediodel cilindro, de la esfera,del cono, todo ello puesto en perspectiva, de modo que cada ladodeunobjetoodeunplanosedirijaaunpuntocentral....2Lasobrasde CzannesobrelasquehemosestudiadolaproporcinureatenemosElcastillo negro(fig.84),dondelaslneasortogonalesyhorizontalesqueestructuranel cuadro estn sobre los puntos de seccin urea. TambindeCzanneLasGrandesBaistas(fig.85).Aquhaceintervenir todounjuegodecurvascuyoscentrossesitanenlasortogonalesnacidasdel

2 Czane P. : Correspondence, Pars, 1937. FIGURA 83: La Parada(Seurat). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 88cruce de las diagonales del rectngulo y las ortogonales marcadas por los puntos de seccin urea de ambos lados del rectngulo. I IV V. .1 12 2. .1 1. .C Cu ub bi is sm mo o ElnacimientodelCubismopasanecesariamenteporelNeoimpresionismo deSeuratylaobradeCzanne.Estemovimientorepresentalarupturaclaray definitiva con la pintura tradicional, lo que se insinuaba con el cubismo no era solo unatransformacindelarte,sinounanuevamaneradeverelmundo.Dentrode esteambientedestacaremosadosautoresque,sinserlospuntosdereferencia ms claros de este arte, usaban proporciones ureas en sus composiciones. FIGURA 85: Las Grandes Baistas (Czanne). FIGURA 84: El castillo negro(Czanne). SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 89UnodeellosRogerdelaFresnaye(1885-1925)ysuConquistadelAire, dondeestablecelaarquitecturalinealdelcuadrosobreproporcionesureas similares alas que us Vermeer en su Taller. Otro autor esFernand Lger (1881-1955) con Las Bellas Ciclistas (fig. 86), donde la composicin se rige por un crculo en el que inscribe un pentgono, que coma ya vimos, est basado en relaciones ureas.

I IV V. .1 12 2. .2 2. . A Ab bs st tr ra ac cc ci i n n G Ge eo om m t tr ri ic ca a La belleza se convertir quizs en un sentimiento intil para la humanidad y el arte ser algo que se situar a mitad del camino entre el lgebra y la msica. Esta definicin premonitoria de la abstraccin geomtrica, fue citada por Flaubert.3 Laabstraccingeomtrica,nacidaenlasegundadcadadelsigloXX, comoconsecuenciadelCubismo,esungranmovimientoqueagrupaadistintos autorespertenecientesamovimientosmenores,comoelOrfismooel

3 VVAA: Historia del arte, Ed. Salvat, vol. 26, Barcelona, 2000, p 79. FIGURA 86:Las Bellas Ciclistas (Lger) SECCIN UREA EN ARTE, ARQUITECTURA Y MSICAYolanda Toledo Agero 90Neoplasticismo,bajounamismaidea:darprioridadalordenconceptualsobrela percepcinsensorial,queexigeunaarmonaparalelaalanaturalezaynouna imagen de ella.Dos grandes maestros de la pintura francesa, Czanne y Seurat, ledieronfundamento,defendiendolaarmonacomoobjetivoyesenciadela pintura. G ORFISMO: Esmuydifcilestablecerconexactitudcundonacilaprimeraobra considerada tpica de la nocin de abstraccin geomtrica. En cualquier caso, uno de los focos de los que parti fue la Section dOr, ese grupo de cubistas herticos (orfistas)quequisieronbasarlosfundamentosdesuartesobrelasrelaciones entreelnmeroylamedida,aficionadosabsolutosdelnmeroureoy seguidoresdelcaminoesbozadoporSeurat.Elnombredelgrupodemuestrala bsqueda de una teora de la armona, de una base cifrada en la pintura.DelaSetiondO