La soluzione dell’equazione di terzo grado

M. Galuzzi

Milano, 2020

Premessa sulle notazioni: dall’Algebra di BombelliPotenze e tanti eguali a numero1

Le notazioni di Bombelli rappresentano gia un notevoleprogresso rispetto alla formulazione “retorica” del primoCinquecento.

Supponiamo data l’equazione, scritta qui con notazioniassai simili alle sue,

. . . agguaglisi 22´¶ + 12

1´¶ a 32. (1)

Bombelli spiega il procedimento risolutivo utilizzandol’equazione, come “paradigma”:

[1] Partasi ogni cosa per la quantita delle potenze, poi [2] sipiglia la meta delli Tanti e si quadra e [3] il produtto siaggionge al numero e [4] della somma e se ne piglia il lato e[5] di detto lato se ne cava la meta delli Tanti, e quello cherestera sara la valuta del Tanto.

1In notazioni moderne ax2 + bx = c. Si veda [Bombelli(1966), p.190].

La “formula”La prima operazione descritta, che ho indicato con [1],corrisponde a sostituire l’equazione originale con

x2 + bax = c

a.

Il passo [2] corrisponde a calcolare (12 ba)2. Il passo [3] da

(12ba)2 + c

a . Ora dobbiamo estrarre la radice quadrata (“e se nepiglia il lato”). Dunque ([4]):

¿ÁÁÀ(1

2

b

a)2

+ ca.

Finalmente, con il passo [5] abbiamo

¿ÁÁÀ(1

2

b

a)2

+ ca− b

2a. (2)

Qualche osservazione relativa a quanto esaminato diBombelli

Bombelli utilizza quantita numeriche. Se si vuole“modernizzare” quanto egli fa,utilizzando coefficienti, comeabbiamo fatto per l’equazione considerata, bisogna essereattenti ad alcune limitazioni.

I coefficienti debbono rappresentare solo quantita positive;

Le soluzioni cercate debbono a loro volta essere quantitapositive.

Bombelli ricava una sola soluzione, quella positiva. L’equazioneax2 + bx = c ha infatti una sola radice positiva (per la regola deisegni di Descartes).

L’equazione di terzo grado: la formula risolutiva. 1

Per semplicita utilizzo l’esposizione di [Cauchy(1821)].Un’equazione della forma

x3 + ax2 + bx + c = 0

si puo sempre, con un cambiamento di variabili della formax = z + h, ricondurre alla forma

z3 + pz + q = 0. (3)

Per semplicita, in quanto segue, supponiamo di considerareequazioni a coefficienti reali. Poniamo z = u + v. Ne segue

z3 = (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv(u + v) = u3 + v3 + 3uv ⋅ z,

e dunquez3 − 3uv ⋅ z − (u3 + v3) = 0. (4)

L’equazione di terzo grado: la formula risolutiva. 2Se le quantita u, v verificano il sistema

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u3 + v3 = −quv = −p

3

, (5)

z = u + v e una soluzione della (3).Poniamo

z1 = u3, z2 = v3 (6)

e consideriamo il sistema associato:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

z1 + z2 = −qz1 z2 = −p

3

27

.

Le soluzioni di questo sistema sono le radici z1 e z2dell’equazione

z2 + q z − p3

27= 0. (7)

L’equazione di terzo grado: la formula risolutiva. 3

Siano z1, z2 le soluzioni della (7).Sia ora U una qualsiasi radice cubica di z1, ed indichiamola conU = 3√z1.

Dalla (5) ricaviamo in corrispondenza il valore V = − p

3 3√z1

e

dunque una soluzione dell’equazione (3) della forma

U + V = 3√z1 − p

3 3√z1. (8)

Dalla relazione V = − p

3 3√z1

si trae

V 3 = − p3

27z1

e dunque V 3 = z2. Quindi anche V e una radice cubica di z2 (Il

prodotto delle due radici z1 e z2 della (7) e −p327).

L’equazione di terzo grado: la formula risolutiva. 4

Posto ω = cos 2π3 + i sin 2π

3 , tutte le radici cubiche di z1 sono dateda

U,ωU,ω2U

e, analogamente, le radici cubiche di z2 sono date da

V,ωV,ω2 V.

Tenendo conto delle (5), abbiamo, per le tre radicidell’equazione (3), le espressioni:

z1 = U + V,z2 = ωU + ω2V

z3 = ω2U + ωV.(9)

Ne consegue che tutte le radici sono esprimibili nella forma (8),come si verifica immediatamente.

Utilizzando i radicaliLa formula di Cardano “modernizzata”

La formula risolutiva puo essere scritta nella forma abituale

3

¿ÁÁÀ−q

2+√

q2

4+ p

3

27+ 3

¿ÁÁÀ−q

2−√

q2

4+ p

3

27(10)

dove, naturalmente, i radicali vanno scelti opportunamente,tenendo conto delle eguaglianze della (9).Si noti anche la relazione

q2

4+ p

3

27= − 1

108∆

dove ∆ e il discriminante dell’equazione (3).

Esempi. 1

Consideriamo l’equazione

z3 − z − 1 = 0,

dove p = −1, q = −1. L’equazione ha una sola radice reale(≃ 1.32471 . . . ). La formula risolutiva da per la radice realel’espressione

3

¿ÁÁÀ1

2+√

1

4− 1

27+ 3

¿ÁÁÀ1

2−√

1

4− 1

27.

Eseguendo i calcoli si trova il valore della radice.

Esempi. 2Il Casus Irreducibilis. 1

L’equazione z3 − 7z + 5 = 0 ha tre radici reali, come mostra ilgrafico.

Esempi. 3Il Casus Irreducibilis. 2

Il suo discriminante e dato da

−4p3 − 27q2 = 697.

La quantita che compare nei radicali quadratici della (10) eallora data da

q2

4+ p

3

27= − 1

108⋅ 697.

Questo signifca che le radici reali si ottengono come somma dinumeri complessi coniugati. Si ha sempre questa situazione, ilcosiddetto Casus Irreducibilis, quando il discriminante epositivo, ossia quando le tre radici sono reali.2

2Se le radici dell’equazione sono α,β, γ, il discriminante e dato da

(α − β)2(α − γ)2(β − γ)2.Si noti che il segno del discriminante non e piu significativo per gradimaggiori di 3. Per z4 + 1 = 0, si ha come discriminante 256.

Esempi. 4

Consideriamo l’equazione

z3 − 7z − 6 = (z + 1)(z + 2)(z − 3) = 0.

Si haq2

4+ p

3

27= −100

27

e le radici sono date, scegliendo opportunamente i valori, da

3

√3 + 10 i

9

√3 + 3

√3 − 10 i

9

√3.

Il valore delle radici non si ottiene in modo del tutto semplice. . .

Il Casus irreducibilis e l’analisi di Viete3

La trisezione di un angolo: un problema di inserzione (νεÜσις).

Bisogna “inclinare” opportunamente AK in modo che siaHK = 2AD.

3Si veda [Viete(1646), p. 91].

Soluzione per mezzo della trisezione. 1

L’equazionez3 − 3b2z − b2d = 0 (11)

con b > d2 ha tre radici reali. Il suo discriminante e dato infatti

da 27 b4 (4 b2 − d2).Ora consideriamo la figura seguente:

Soluzione per mezzo della trisezione. 2Sia OD = z

2 e consideriamo l’identita

cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ. (12)

Ora

cos3θ = d

2b, cos θ = z

2b. (13)

Sostituendo nella (12), otteniamo esattamente la (11).

Le altre radici e le altre possibili equazioni

Naturalmente, stante l’identita (12), le altre radici (negative)sono date da

2b cos(θ + 2π

3), 2b cos(θ + 4π

3). (14)

Si noti che le equazioni

x3 − px ± q = 0

hanno radici opposte, sicche la considerazione della (11) esufficientemente generale.

EsercizioSi consideri l’equazione z3 − 3z − 1 = 0 e si calcoli il valore di θcorrispondente alla radice positiva.

[Bombelli(1966)] Bombelli R. (1966).Algebra.Feltrinelli, Milano.Prima edizione integrale a cura di E. Bortolotti.

[Cauchy(1821)] Cauchy A. L. (1821).Analyse Algebrique.Chez Debure freres, Paris.Riproduzione anastatica (J. Gabay, 1989).

[Viete(1646)] Viete F. (1646).Opera Mathematica.Ex Officina Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum,Ludguni Batavorum.Opera atque studio Francisci a Schooten LeydensisMatheseos professoris.