La théorie du big bang (Cosmologie 3) · 2014-12-28 · Cosmologie 3 - Alain Bouquet 7/50 Expansion de l’univers ! L’analogie du ballon qui gonfle: l’univers se dilate, mais

La théorie du big bang (Cosmologie 3)

Alain Bouquet

Laboratoire Astroparticule et Cosmologie - Université Paris 7 muséeCurie

Cosmologie 3 - Alain Bouquet 2/50

Einstein et la cosmologie

n  1915 : Einstein écrit la relativité générale

n  L’univers des astronomes est alors limité à la Voie lactée

n  les autres galaxies sont tenues pour des nuages locaux de gaz, d’étoiles et de poussières

n  De 1900 à 1920 Jacobus Kapteyn en trace le premier plan

n  la Voie lactée est un ellipsoïde aplati de 1 kpc d’épaisseur et 5 kpc de diamètre

n  le Soleil est près du centre n  les étoiles ont des mouvements lents

[~ 20 km/s] et erratiques : l’existence du disque galactique et sa rotation ne seront étudiés que dans les années 20, par Jan Oort en particulier

n  En première approximation, l’univers est un gaz froid d’étoiles

n  1917 : Einstein construit donc un modèle n  homogène n  isotrope n  statique n  fermé [supprime la difficulté des conditions

aux limites]

n  1918 : Shapley donne une idée plus juste de la Galaxie


Einstein et de Sitter

n  Einstein s’appuie sur 2 idées n  ce qu’il appelle le « principe de Mach »: la

distribution de matière détermine la géométrie (la métrique) aux reparamétrisations près

n  l’univers est statique, indépendant du temps, fermé avec un rayon de courbure R

n  métrique

d s 2 = d t 2 - R 2 [ d 2 +

sin2(d2+sin2d2]

n  L’équation d’Einstein se simplifie et donne : n  une relation entre densité et rayon de

courbure R

n  mais aussi une relation entre densité et pression

n  Pas de solution statique introduction d’une constante cosmologique qui se comporte comme un fluide de pression P = -

n  cela fixe = 4πG dans le modèle d’Einstein n  soit = matière/2 n  ou R2 = 3/2)

n  Mais Willem de Sitter trouve une solution avec = 0 !


L’univers de de Sitter

n  Le modèle de de Sitter est vide de matière mais il a une courbure déterminée par la constante cosmologique

n  métrique

ds2 = cos2dt2 - R2[d2 + sin2(d2+sin2d2] avec R2 = 3/

n  c’est aussi apparemment un modèle statique avec apparemment une singularité à = π/2

n  quoique 2 particules-test s’écartent avec V D

et que les photons sont décalés vers le rouge

n  Kornelius Lanczos (1922) réécrit la métrique

ds2 = d2 - ch2( [d2 + sin2(d2+sin2d2] 0 = √(3/)

n  leçon : attention au choix des coordonnées !


Petite chronologie

n  1917 modèle statique d’Einstein

n  1917 modèle statique de de Sitter

n  1918… 1925 nombreuses discussions sur le sens du modèle de de Sitter, le principe de Mach, le décalage vers le rouge des photons et les observations de Slipher

n  1922 Alexandre Friedmann publie son modèle d’univers en expansion de courbure positive

n  1924 Friedmann publie son modèle de courbure négative

n  1925 Georges Lemaître effectue un lien entre une expansion de l’univers et les décalages vers le rouge de Slipher

n  1927 Article de Lemaître où figure (dans la version française) la loi de Hubble

n  1930 Eddington traduit en anglais et diffuse les idées de Lemaître

n  1912…1925 Vesto Slipher mesure les décalages spectraux des « nébuleuses » et observe que la majorité est décalée vers le rouge

n  1920 « Grand débat » entre Heber Curtis et Howard Shapley sur la nature extra-galactique ou non des nébuleuses

n  1924 Edwin Hubble observe une Céphéide dans la nébuleuse d’Andromède et démontre qu’elle se situe très au-delà de la Voie lactée

n  1929 Edwin Hubble publie la relation linéaire qui porte son nom entre « vitesse de récession » et distance des nébuleuses

n  1930 modèle d’univers en expansion d’Einstein-de Sitter


n  Georges Lemaître n  1925 : premières solutions

explication du décalage vers le rouge par l’expansion de l’univers, prévision que z ~ distance

n  1927 : solutions de courbures positive et négative, avec et sans rayonnement, avec et sans constante cosmologique, estimation H0 ~ 600 km/s/Mpc

n  1929 : Hubble z ~ distance, H0 ~ 540

n  Alexandre Friedmann n  1922 : solutions de courbure positive,

singularité n  Einstein : « C’est faux ! »

n  1924 : solutions de courbure négative n  Einstein : « C’est abominable ! »

n  1925 : mort prématurée et oubli

Les inventeurs du big bang


Expansion de l’univers

n  L’analogie du ballon qui gonfle: l’univers se dilate, mais pas les galaxies (en jaune). Les photons sont décalés vers le rouge par l’expansion, mais ils se déplacent toujours à la vitesse de la lumière % leur environnement (© Ned Wright, UCLA)

n  Un gaz de galaxies dans un univers en expansion, deux d’entre elles émettent une bouffée de photons: elles deviennent visibles l’une de l’autre au bout de 14 milliards d’années (© Ned Wright, UCLA)


Principe cosmologique

n  L’univers est identique en tout point de l’espace :

n  cela entraîne l’existence d’une foliation de l’espace-temps

n  il existe des hypersurfaces où densité, température, pression… sont uniformes

n  la normale à ces hypersurfaces définit le temps cosmique, le même pour tous les « observateurs fondamentaux » qui le synchronisent sur ces hypersurfaces

n  ce n’est bien entendu pas l’univers tel qu’il est « vu » par des observateurs mais tel qu’il est reconstruit


Coordonnées

n  Choix pratique de coordonnées

n  temps = temps cosmique jauge synchrone [forme simple de la métrique avec g0i = 0]

ds2 = dt2 - a2(t) gij dyi dyj

n  coordonnées spatiales yi fixes pour les objets « immobiles »

n  ce sont des coordonnées comobiles

n  ce ne sont pas toujours les plus pratiques n  Elles ne sont pas inertielles (lorentziennes) puisque les

observateurs sont en mouvement les uns par rapport aux autres

n  Elles sont indéfinies à l’approche d’une singularité


Coordonnées « physiques »

(© Ned Wright UCLA)


Coordonnées « physiques »

n  Le même univers, vu de la « galaxie d’à côté »


Coordonnées lorentziennes


Coordonnées comobiles


Coordonnées conformes

n  ds2 = a2() [d2 - gij dyi dyj ]


Analogie

n  Sphère projection de Mercator


n  Symétries (homogénéité et isotropie de l’espace)

Forme canonique

n  ds2 = dt2 - a2(t) [ d2 + Sk()2 (d2 + sin2 d2) ]

n  [] n  []

n  k = 0 Sk() = [] n  k = +1 Sk() = sin [] n  k = -1 Sk() = sh []

Robertson-Walker et coordonnées comobiles


Loi de Hubble

n  Soit un observateur à = 0 et une source [une galaxie] à

n  Leur séparation physique au temps t est D(t) = a(t)

n  Comme a(t) augmente avec t [expansion de l’univers], cette séparation augmente

V dD/dt = (da/dt) = (da/dt) (D/a) = H D loi de Hubble V = H D

avec H = (da/dt)/a qui varie en général au cours du temps n  Vitesse propre

n  si la galaxie se déplace « vraiment », n’est pas constant

n  V dD/dt = (da/dt) + a (d/dt) = vitesse « de récession » + vitesse « propre » [ou particulière]


Le cône de lumière en cosmologie

n  Trajectoire d’un photon ds2 = 0

n  dt = a dx

n  univers en expansion dominé par le rayonnement a(t) = t

n  x(t) = 2[t0 - t]

n  distance parcourue D=a(t)x(t)

D(t) = 2 t [t0 - t]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-0,2 0 0,2 0,4 0,6


Le cône de lumière


Le cône de lumière


La distance de l’horizon est ~ temps de Hubble (à un facteur 2 ou 3 près)

Ordre de grandeur

Δχ ≡ d χ∫ =d ta(t)∫

Horizons

n  Notion n  en un temps fini, un signal lumineux parcourt

ou non une distance finie n  si la distance est finie, il existe un horizon

autour de chaque point

n  Horizon « des événements » n  horizon vers le futur

n  Horizon « des particules » n  horizon vers le passé

n  Calcul n  photon sur une trajectoire radiale

( = cte, = cte)

n  métrique RW et ds2 = 0

n  si l’intégrale converge, il existe un horizon

n  exemple : a(t)~ta avec a<1 pour t 0


Le « problème » de l’horizon

aujourd’hui

émission du CMB

——— big bang ——— cône de lumière à l’émission du CMB

cône de lumière à l’émission du CMB


Effet Doppler ?

Δχ =dta(t)t1

t 0

∫ =d ta(t)t1 +δ t1

t0 +δ t0

∫ =dta(t)t1

t0

∫ +δt0a(t0 )

−δt1a( t1 )

δ t0δ t1

=λ0λ1

=a(t0 )a(t1)

Il est vain de vouloir interpréter le décalage cosmologique vers le rouge comme résultant d ’un effet Doppler

Décalages vers le rouge

n  Origine n  dans un univers en expansion, les

longueurs d’onde se dilatent

n  prenons un signal périodique, émis à t = t1 et à t = t1 + t1 et reçu à une distance à t0 et t0 + t0

n  comme = c t on a donc :

n  Si le paramètre d’échelle augmente entre l’émission à t = t1 et la réception à t = t0, la longueur d’onde augmente dans le même rapport

n  Décalage vers le rouge z (0 - 1)/1

1 + z = a0/a(t)


Friedmannologie


Dérivation de l’équation de Friedmann-Lemaître

n  Equation d’Einstein

n  Métrique de Robertson-Walker

ds2 = dt2 - a2(t)[d2 + Sk()2 (d2 + sin2d)]

n  on calcule les symboles de Christoffel

n  on calcule le tenseur de Riemann

n  on calcule le tenseur de Ricci

n  Les seules composantes non nulles du tenseur de Ricci sont R00 et R11=R22=R33

n  La partie gauche [géométrique] de l’équation tensorielle se réduit ainsi à deux équations scalaires

n  La métrique dépend des coordonnées , et , mais toutes les dépendances dans les coordonnées d’espace se compensent et disparaissent

n  Les exigences d’homogénéité et d’isotropie impliquent que la matière soit décrite par un fluide parfait

T = (c2 + P)VV - P g T = diag {,-P,-P,-P}

2 composantes non-nulles T00 et T11=T22=T33

€

Rµν −12gµν (R − Λ) =

8πGc 4

Tµν


n  L’équation d’Einstein donne donc deux équations scalaires

n  une pour la composante 00

n  une pour les composantes ii

n  il existe une troisième équation, celle qui vient de la conservation LOCALE de l’impulsion-énergie [D T = 0]

d/dt + 3H { + P} = 0 H (da/dt)/a

n  mais elle n’est pas indépendante des précédentes [identités de Bianchi]

n  2 équations donc pour 3 inconnues (a, et P) on a besoin d’une équation d’état P = w

n  équation de conservation a-3(w+1)

n  matière w = 0, rayonnement w = 1/3, constante cosmologique w = -1

3 ˙ a a! " # $

2

+ 3 ka2 −Λ = 8πG ρ

2 ˙ ̇ a a

+˙ a a! " # $

2

+ka2 − Λ = −8πG P

L’équation de Friedmann-Lemaître


n  Comportements de a(t)

n  chacun des termes de droite domine tour à tour quand a(t) varie, ce qui simplifie la vie

n  La première équation s’écrit plus souvent

n  Remarques n  le membre de gauche est le carré de la

constante de Hubble

n  la densité d’énergie varie en 1/a3 (matière) ou en 1/a4 (rayonnement)

n  le terme de courbure varie en 1/a2

n  la constante cosmologique… ne varie pas

˙ a a! " # $

2

=8πGρ

3−

ka2 +

Λ

3



n  Solutions simples quand un seul terme domine

n  matière non relativiste a(t) ~ t 2/3 n  rayonnement a(t) ~ t1/2 n  courbure a(t) ~ t n  constante cosmologique a(t) ~ e H t (H=√/3)

n  si la courbure de l’espace est positive (k = +1), et si = 0, l’expansion peut s’arrêter (quand ) et devenir une contraction

˙ a =0



Solutions simples: univers vide de matière

n  Constante cosmologique ou non?

n  L = 0 , k = 0 Þ a(t) = constante [Minkowski]

n  L = 0 , k = -1 Þ a(t) ~ t

n  L > 0 , k = -1 Þ a(t) = H-1 sh{H t} H2 = L/3

n  L > 0 , k = 0 Þ a(t) ~ exp{H t}

n  L > 0 , k = +1 Þ a(t) = H-1 ch{H t} Univers spatialement fermé illimité dans le temps :

pas de singularité, mais un "rayon" minimal et un décalage maximal vers le rouge

n  L < 0 , k = -1 Þ a(t) = H-1 sin{H t}

Anti-deSitter (AdS)

a(t)

t


a(t)

t

Solutions simples: matière non-relativiste

n  Matière n  matière non-relativiste : P << n  la densité d’énergie varie en 1/a3

n  On néglige constante cosmologique [a petit] et courbure spatiale [a très petit]

n  modèle d’Einstein-de Sitter de 1932 n  version très appauvrie des modèles de

Friedmann-Lemaître n  mais modèle de référence pendant ~ 60 ans n  a(t) t2/3

n  Autres possibilités n  k = -1 a = amax(ch - 1)/2 t = amax(sh - )/2

n  k = +1 a = amax(1 - cos )/2 t = amax(- sin )/2


n  Rayonnement n  la densité numérique de photons varie en 1/a3 n  l’énergie de chaque photon varie en 1/a n  la densité d’énergie varie en 1/a4

a(t) √t [pour a 0]

n  loi de Stefan : E ~ T4 T ~ 1/a

Solutions simples: rayonnement

n  Equivalence matière rayonnement n  = 4.8x10-34 [1+z]4 g/cm3 n  idem neutrinos n  mat = 1.9x10-29 [1+z]3 g/cm3 math2

n  zeq ≈ 20 000 math2 ≈ 3200

© J. Lesgourgues, Annecy


Il est temps de faire une pause…


n  Densité critique

n  Equation de Friedmann

n  On définit

n  Elle se réécrit 1 = mat + rad + k +

ρcrit =3H02

8πG

Ωmat =ρmatρcrit

Ωrad =ρradρcrit

Ωk =3k

8πGρcrita2ΩΛ =

Λ8πGρcrit

˙ a a! " # $

2

= H 2 =8πGρ

3−

ka2 +

Λ

3

Les Omégas

n  Le modèle de référence

n  mat = 0.3 ± 0.1 n  rad << 1 n  k < 0.1 n  = 0.7 ± 0.1

n  Le souci

n  ces quantités évoluent au cours du temps différemment, en [1+z]3, [1+z]4, [1+z]2, et [1+z]0

n  elles ne sont proches que pour des valeurs particulières de z


Triangle cosmique

WL : Energie noire ou constante cosmologique

Quelque soit le point à l’intérieur du tr iangle équilatéral, la somme des trois distances reste constante et égale au coté du triangle

Toute solution cosmologique peut ainsi être représentée par un point dans ce triangle

Wm + WL + Wk = 1


Rayonnement cosmologique

Supernovae

Amas et galaxies

Chaque observation cosmologique mesure une certaine combinaison des paramètres

Courbure nulle

Energie noire 70%

Matière 30%

WL : Energie noire ou constante cosmologique

Le modèle de concordance


Évolution des omégas

Matière non-relativiste (sans pression) Uzan &Lehoucq 2001


n  Temps de regard en arrière

n  Age de l’univers

n  t(z=∞) = H0-1 F() = 14 milliards d’années

n  Différentes méthodes indépendantes • radiochimie [rapport U/Th] • âge des étoiles des amas globulaires • refroidissement des naines blanches

s'accordent aussi sur un âge de 13 à 15 milliards d'années

d t =d a˙ a =

a0 d z[1 + z]2

1˙ a

˙ a = aH =a0

1 + zH0 f(z)

f(z) = Ωmat0 [1 + z]3 +Ωrad

0 [1 + z ]4 +Ωk0 [1+ z]2 +ΩΛ

0[ ]1/ 2

d t =1

H0

d z[1+ z] f (z)

t(z) = 1H0

d z'[1 + z' ] f (z' )0

z

∫

Age et décalage vers le rouge

n  Indices 0 temps présent

n  Paramètre d’échelle a = a0[1+z]-1


n  La lumière a une vitesse finie: depuis combien de temps est partie une lumière dont le décalage vers le rouge est z ?

n  Attention, cela dépend des paramètres cosmologiques H0 et i

Temps de regard en arrière (lookback time)


Distances

n  Il est possible de définir de différentes façons — non équivalentes — une notion de distance

n  Distance propre n  distance parcourue par un photon d’un point à l’autre, d’intérêt très limité

n  Distance comobile

n  c’est celle que l’on a implicitement utilisée Dcomobile = a(t)

n  c’est la distance, à l’instant t, de 2 objets « immobiles » (de coordonnées comobiles constantes)

n  remarque : dans un univers de courbure positive (k=+1), la coordonnée comobile varie de 0 à π et il existe une distance propre maximale : l’univers est fini.

n  inconvénient 1 : la distance comobile n’est pas directement mesurable n  Inconvénient 2 : elle dépend des paramètres cosmologiques H0 et i


Distance comobile


Dangulaire= a( t1 )Sk(χ )

Distance angulaire

n  Celle qu’utilisent les télémètres d ’artillerie…

n  Un objet de dimension physique L connue est vu sous l’angle

n  sa distance D est simplement D = L/[2tan(/2)] ~ L/

n  si l’objet est une galaxie de diamètre L et vue comme elle était à l’instant t1 , la métrique RW donne : L = a(t1) Sk()

n  sa « distance angulaire » est

n  Pour des objets de plus en plus lointains, Sk() augmente mais a(t1) diminue, et l’angle passe par un minimum

n  le même phénomène existe sur Terre


Distance angulaire


n  Dans un univers euclidien, la luminosité apparente d’une source diminue comme le carré de sa distance

n  On définit la « distance de luminosité » Dlum par

où L est la luminosité absolue de la source et l sa luminosité apparente

n  Les photons émis au temps t1 arrivent au temps t0 sur une sphère de rayon a(t0) avec

n  un décalage vers le rouge a(t0)/a(t1) n  un ralentissement temporel a(t0)/a(t1)

l =L

4πa2 (t0 )χ2a( t1 )a(t0 )#

$ % &

' ( 2

l = L4πDlum

2

Dlum = a2 (t0 ) χ / a(t1)

Distance de luminosité


Distance de luminosité


De plus en plus loin


Distances et décalage vers le rouge

n  Dans le cas général, partant de l’équation de Friedmann

avec on obtient pour la distance angulaire

et pour la distance de luminosité


Résumé: les distances cosmologiques


En pratique...

n  On utilise rarement la distance propre, la distance comobile, la distance angulaire ou la distance de luminosité, qui dépendent trop des paramètres cosmologiques.

n  On utilise le décalage vers le rouge z qui est mesuré !

n  Par contre, la relation entre z et les différentes notions de distance sert à tester les modèles cosmologiques

n  exemple : la magnitude apparente ( distance de luminosité) des SN indique une accélération de l’expansion


2˙ ̇ a a

+˙ a a! " # $

2

+ka2 − Λ = −8πG P

˙ ̇ a a=−4πG

3ρ + 3P( ) + Λ

3

Accélération de l’expansion ?

n  Il existait une seconde équation !

n  On peut la combiner avec l’équation de Friedmann pour obtenir l’accélération de l’expansion

n  matière, rayonnement -> freinage n  constante cosmologique -> accélération

n  On pourrait l’appeler « l’équation de Newton »

n  Interprétation newtonienne ? n  Implosion d ’une sphère de gaz

n  Le rayon a suit la même équation, n  apparaît comme une constante

d’intégration

n  Source de confusions multiples


C’est fini !

n  Merci

pour votre attention

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