ANÁLISIS ESPECTRAL.

CAPÍTULO 111

SEÑALES ACÚSTICAS PERIÓDICAS. SERIE DE FOURIER

En este capítulo vamos a presentar la Serie de Fourier, la más importante de las herramientas destinadas al análisis de señales periódicas. Comenzaremos con una aproximación intuitiva para luego arribar, gradualmente, a la formulación del teorema propiamente dicho. Examinaremos después algunas sencillas aplicaciones prácticas con el fin de apreCiar la utilidad del método.

Al final del capítulo se agrega una ampliación que le permitirá profundizar en el tema al lector con conocimientos formales de matemática. Al igual que el resto de las ampliadonel no es imprescindible para la comprensión- del texto y puede ser obviada por quienes la consideren excesivamente ardua.

SUMA DE ONDAS SINUSOIDALES DE DISTINTA

FRECUENCIA

En el capítulo I estudiamos lo que ocurre cuando se suman dos señales sinusoidales de igual frecuencia: el resultado es una nueva señal sinusoidal (periódica) que conserva la

73

Los números irracionales son

aquellos que no se pueden expresar

por medio del cociente entre dos números enteros (p/q, si p

y q son enteros). Sus expansiones decimales son

necesariamente infinitas y no

periódicas. Ejemplos & números

irraciionales son

fp. V y = tfn numero

ractond/ se puede

expresar por

medio del cociente enire

dos Mínieros

enteros a y b. La

expresión decimal de un numero racional eonlierie•

una cantidad

bina de dipilOs u

una e xlenuOn

dee intat periódica.

Por elemplo 2/1

(1„Wmtth<th...

(),(fi periódico.

' Tomamos en

cuenta solo el Menor de k:

periodos (que

corresponde a la mayor

frecuencia). Siempre es

posible encontrar otros periodos mayores que lo

incluyan. • •

S

&SIMAS ACISTICAs pERR5DICAS. SERIE os FOURIER. GusTAvo B,ssso

ANÁLISIS ESPECTRAL

frecuencia de las componentes. Si en cambio se toman dos funciones sinusoidales (periódicas) de distinta frecuencia y se las deja correr juntas ¿el resultado de la suma será también periódico? En general no. Supongamos por ejemplo que las sinusoides tienen frecuencias fi = 200 Hz y f, = N12 f =

282,141. Hz. Al ser la relación entre las frecuencias j",/fi= = = 1,414..., cada vez que la primera onda completa un ciclo la otra recorre casi uno y medio. Cualquier evento particular, como el cruce de l'as dos señales en fase por el eje de abscisas, no volverá a ocurrir en el futuro: la onda resultante

FIGURA 3.1

f,(t)

Tiempo 1ms1

I > 20 30 40 50

1,-.100 Hz

f,(t)

f \ 1\ P\ r\ ,1 \ \ „,

I A ,

j

,, ,, , , Tiempo (msj l ',1

iyi \

-1.......—> \ ITt\ I 1 f l 1 ()\' I_ \,209 \I \ 30 ) 1 \ 4c9 \I

f,(t ) f.(t)t. f,(t)

1,.300112

\ V\

•/

\

Tiempo (msl

20 30 40 50 1 >

\ f,,,:100 Hz

Suma de das sinusoides de 100 y 300' Hz... La resultante pás.ee'una frecuencia de 100 Hz

no es periódica porque no existe un patrón de forma que se repita tal como lo exige la definición dada en el capítulo I (este comportamiento se debe a que la relación de frecuencias está determinada por un número irracional como Nal' El fenómeno es muy común en los instrumentos de teclado afinados con temperamento igual.

Si elegimos en cambio dos ondas cuyas frecuencias mantengan una relación de 3 a 1 observamos que a cada ciclo de la señal de menor frecuencia le corresponden exactamente tres ciclos de la de mayor frecuencia, retornando ambas luego de un tiempo a la situación inicial. La onda resultante en este caso es periódica, y se la puede ver en la figura 3.1.

La relación 3 a 1 no tiene nada especial. Lo importante es que cada una de las dos señales completan una cantidad entera de ciclos en el mismo tiempo, y esa condición se cumple para la relación 3 a 1, o 3 a 5, o 17 a 12. El caso general está dado por dos ondas de frecuencias a y 1):- siempré qué el cociente a/b tenga por resultado un número racional, la suma de ambas señales originará una señal periódica.-Mientras la primera onda recorre a cielos la segunda comPléta b ciclos, y vuelven a encontrarse nuevamente en la situación relativa inicial. La periodicidad de la resultante está determinada por el máximo común divisor ( MCD) entre las frecuencias fi y J. Veamos algunos ejemplos:

1. = 100 I lz j',.= 300 Hz = 31; Periodicidad (P) = MCI) de 100 y 300 Hz = 100 Hz. Este resultado se puede comprobar en la figura 3.1

= 600 Ilz f, = 800 I lz = 4/3 j; Periodicidad (P) = MCD de 600 y 800 Hz = 200 Hz.

3. j; = 5.230 14z f2 = 7.550 Hz Periodicidad (P) = MCD de 5.230 y 7.550 Hz = 10 Hz.

Suma de ondas sinusoidales armónicas

Si se suma una sinusoide de período P con otra que en el mismo tiempo P completa dos ciclos, luego con otra que completa 3 ciclos, y así todas las que deseemos, se obtendrá

75

Gl ISTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

P 'O ras = 100 ílz) 1.(14-1,111+t,M+1.(ft

A

FIGURA 3.2

P= 10 ms (f =100 Hz)

• I vy

111

k 1

Ik

P= 10ms (f, 10014z)

' La sucesión armónica et un caso particular de sucesión -aritmCtica en la que la base a„ coincide con la razón k fa, a„+ k con k = a„).

Suma de las primeras cuatro sinusoides armónicas cuya frecuencia base es de fu = 100 Hz

77

SEÑALES ACÚSTICAS PERIÓDICAS. SERIE DE FOURIER.

un resultado muy particular. Las frecuencias de estas señales son, de menor a mayor:

fi' t3= , n

La suma resultante de estas funciones es también una función periódica y su frecuencia, que corresponde al máximo común divisor de todas las frecuencias anteriores, coincide con fi , la frecuencia de la primera de las señales (el período de la suma es P = 1/fi ). Él valcir,de las frecuencias delas señales sigue exactamente una secuencia armónica y se denomina sucesión dé sinusoides armónicas al conjunto de sinusoides cuyas frecuencias cumplan con esa condición. Recordemos que una sucesión es armónica cuando presenta una base y todos sus múltiplos.

Por ejemplo, una sucesión armónica de base 5 será:

5, 10„;15, 20, 25,... , n x 5

y de base 300:

300, 600, 900, 1200, , n x 300

La diferencia entre dos,„valores sucesivos, o razón de la :sucesión armónica, es igual al valor de la base. Así, en el último de los ejemplos, 1.200 - 900 = 300. 9(H) - 600 = 300, etc.'

Podemos apreciar el resultado de la suma de las primeras cuatro sinusoides armónicas con base = 100 Hz en la figura 3.2. La forma de onda particular de esta figura aparece sólo si las amplitudes de las componentes decrecen a medida que aumenta la frecuencia.

La base o fundamental de la serie es a la vez su primer armónico. Los armónicos superiores toman diferentes nombres en' la literatura especializada (parciales, parciales armónicos, sobretonos, etc.) que muchas veces llevan a confusión y que emplearemos, de ser necesario, luego de definir el ámbito de pertinencia de cada uno de ellos.

76

• t f 1 0 r 5

A ,

15'

SEÑALFIS ACÚSTICAS PERIODICAS.SERIE Dei FOURIER. Gt sTAvo 13Asso ANÁLISIS ESPECTRAL

' realidad

existen ciertas

restricciones

matemáticas: las

funciones deben .

SU.

seccienalinente

continuas .además

de periódicas,

A fortunadaMente

las que

intervienen en .

acústica musical

cumplen con

estos requisitos

Estamos ahora en condiciones de enunciar el Teorema de Fourier, una de las principales herramientas matemáticas utilizadas en acústica (y en toda disciplina que tenga que ver con fenómenos periódicos).

TEORENIA DE FOURIER

Hemos visto que una suma de sinusoides armónicas genera una onda periódica cuyo períodO coincide con el de la sinusoide de menor frecuencia; llamado primer armónico o fundamental de la serie. Aunque parezca increíble toda función periódica puede reducirse a una Ittma de esta clase, sin que importeel, grado de complejidad presente. Eso es lo que establece, precisamente, el Teorema de Fditrier: 5

«Toda función periódica de período P puede -descomponerse en una suma de sinusoides armónicas, de amplitudes ylases adectuulas,,- cuyo primer armónico o

.fiindamental posea período

Así como este teorema permite descomponer y analizar cualquier función periódica, también habilita la posibilidad de construir señales periódicas complejas a partir de una suma -‘ de sinusoides puras. Se puede entouces reescribir el teorema de la siguiente forma:

,(TulajitticiónPeriódica de período P puede construirse a partir de una suma de sinusoides cuyas frecuencias for-men una serie armónica de fundamental f = I/P. Cada sinusoide debe poseer la adecuada amplitud y fase, que se determinará a partir de la función periódica a sintetizar »

La disposición de las amplitudes, frecuencias y fases de las sinusoides-involucradas en la sumase denorriina espectro de Fourier. y cada una de ellas toma el nombre de componente de Fourier.

El teorema establece que «puede descomponerse» o que «puede construirse» una función periódica cualquiera, lo cual no significa que resulte sencillo. La complejidad de los cálculos matemáticos involucrados es grande y supera el alcance de este libro. Sin embargo, en la actualidad existen numerosos programas de computación que los efectúan con gran eficiencia y que ponen directamente los resultados al alcance de cualquier persona no especializada que los necesite.

Pero aún sin realizar grandes esfuerzos matemáticos podemos extraer numerosas conclusiones cualitativas que serán de utilidad. Para comenzar el teorema establece que una función periódica posee un espectro armónico. Si tenemos una señal periódica y conocemos su período sabemos inmediatamente:

I, que el espectro correspondiente será armónico, y 2. cuáles serán las frecuencias de cada uno de los armónicos

(la correspondiente al período de la señal original y sus múltiplos).

FIGURA 3.3

espacio (minl

2

tiempo Imal I I,

Amplitud (rnml

f [Hz]

1.000 2.000 3.000 4,000 5.000

Análisis de Fourier de una función periódica que no presenta cambios bruscos

7R 79

FIGURA 3.4

espacio Imin

2

.1 O

?"1 .,,.1 r 1

V. l

4› 1 ,...

. .. : 11 I

1.' 5 1 ')

,1` , •• ' 1

1.1

' 1,

">, t I

.4 / ' 1 l'' —1. Y

1 S í

P.; I .. l'^ A

5 o ,, tiempo rinsl 1) 1

1 1 (.- i•ij

ll'i .0

1.4 '4" . J

'109.

.1

' 1,i 1«,. (1,

1.1

+1 5 ' 51

Amplitud irruni

(1-11

5.000

1.000 2.000 3.000 4.000

SEÑALES Acti.s-rwAs matiODICAS.SERIE DE Fou RIES. Gu.s-rAvo IlAss<>

Desconocemos, hasta que se aplique completo el Análisis de Fourier, las amplitudes de cada uno de esos armónicos.

Naturalmente, la frecuencia de las componentes de un espectro determinan algunas de las características de la onda compleja resultante. Si esta última varía lenta y suavemente, como la que se observa en la figura 3.3, es probable que no posea más que unos pocos armónicos de baja frecuencia.

Pero si la onda compleja posee cambios bruscos debe tener necesariamente componentes de peso que varíen rápidamente, y son los armónicos de mayor frecuencia los que se comportan de esa manera. En la fig. 3.4 sé grafica una señal periódica compleja de 5 ms de período que tiene un pico que crece y decrece en apenas 0,1 ms. Podemos suponer que el desarrollo de Fourier de esa señal va a incluir una componente qué cambie de sentido en 0,1 ms, y eso lo hace recién el armónico 25 del ejemplo -que posee una frecuencia de 5.000 Hz.

Análisis de Fourier de una función periódica qüe presenta variaciones rápidas

ANÁLISIS ESPECTRAL

Cuanto más aguzado (más rápido) sea el pico mayor será el orden del armónico involucrado. Los cambios bruscos de dirección, como los de la onda diente de sierra de la fig. 3.6 requieren, tal como veremos, armónicos infinitamente rápidos.

En la siguiente sección analizaremos los/resultados que se obtienen al ápl iCár el Teorema de Fourier a algunas señales de uso frecuente en acústica musical.

ANÁLISIS DE SEÑALES PERIÓDICAS CARACTERÍSTICAS

Señal sinusoidal

La primera de las señales periódicas a las que aplicaremos el teorema es, por supuesto, la conocida función sin:ab/da!, que aquí repetimos para tomarla como referencia. El análisis de Fourier nos dice que se puede descomponer en una serie armónica, que en este caso contiene solamente la fundamental de amplitud A = I cm y frecuencia]; = 100 Hz. Los armónicos superiores, presentes en teoría, poseen amplitud cero.

Onda diente de sierra

Una función que aparece habitualmente en acústica es la onda diente de sierra dibujada en la figura 3M. La aplicación del Teorema de Fourier nos muestra que posee iodos los armónicos posibles desde la fundamental hasta el infinito. La amplitud de cada uno je ellos va decreciendo :a medida que aumenta la frecuencia según la ley A = A, / n siendo o el número del armónico, A l la amplitud de la fundamental y A amplitud del armónico número o. Por ejemplo, el quinto armónico tendrá una amplitud A, =A1 /5 , cinco veces menor que la fundamental.

En teoría se deben sumar todos los infinitos armónicos para sintetizar, exactamente una onda diente de ,sierra. Esta riqueza armóniCa es uno de los motivos de su empleo en gran cantidad de aplicaciones prácticas. La voz humana y algunos

.instrumentos, como el violín` o el oboe, generan señales que se le aproximan:

8 1

Amplitud (mm)

A

= 1/P=440 Hz

2

(Hz]

/ 500

= 440 Hz

Arrlphtud =,

1.000 880 Hz

espacio [mm]

2 - Amplitud = 1 mm

tiempo [ms]

-1

P = 2,3 ms

Amplitud = 1 mm

0,64

0,32

espacio [mm)

2

tiempo [ms]

o

-1

P = 0,01 ms

Amplitud [mm)

A, = 0,64 mm

t,,=n f,

I, = 111, = 100 Hz

,,-

1 I I__....A_____1 1 1 1 , ( 01z)

>

1,. 100 liz 1, , 5C011z. „ : t 000 Hz

SEÑALES ACÚSTICAS PERIÓDICAS. SERIE DE FOURIER. GUSTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

FIGURA 3.5

Gráfico temporal V cárectral de una señal sinusoidal

Onda cuadrada

Otra furteión caraeterística es. la onda cuadrada que se observa en,la figura 3.7. Conmuta entre un valor máximo

y 'uno mínimo con velocidad infinita, permaneciendo el mismo tiempo -la mitad deUperíodo- en cada uno de ellos.

El análisis de Fourier establece que en su espectro están

presentes los armónicos impares, pero no los pares. La ley que siguen es:

A I =A 1 / rr • si n es impar = si ti es par

Así, el armónico 7 tiene una amplitud A, =A117 , y el 8 A8 = O por ser par..

Como la onda cuadrada debe conmutar entre el valor máximo y el mínimo con velocidad infinita su espectro posee necesariamente infinitos armónicos, -todos los impares.

82

Algunos instrumentos, como los tubos tapados de órgano o

el clarinete en su registro inferior, producen señales

parecidas.

FIGURA 3.6

• Grdlico temporal y espectral de una onda diente de sierra

Onda rectangular

Un caso general a partir del cual se obtiene la onda cuadrada

es la onda rectangular de la figura 3.8. En ella difiere'n los

tiempos de permanencia en el valor máximO(a)Y en el mínimo

(1) = P-a). Al aplicarse el Teorema de Fourier se comprueba

que si el tiempo que le corresponde al máXimo, llamado tiempo

de conducción a, es de 1/p del período, no estarán presentes

en el desarrollo de Fourier el armónico!) ni sus múltiplos. En

el ejemplo de la figura 3:81, tiemPo de conducción es de 1/6

83

0.04

espacio Imml A

2

tiempo Ims1

o

P = 0.01 los

Amplitud (mm)

A A, 1,27 111111

1.'1

U. 0 ,

1, , IiP , 100 I14

1 1

1, = 500 Hz

(Hzl

1, = 900 Hz 1, = 100 Hz

FiGUIZA 3.7

2.5

1.25

100 Hz

FIGUIdA 3.8

espacio [mm] A

2

1 a

h= 2 mm

tiempo (els)

2

P= 0.01 nis

A nplolud Imtnl 1/P 100 HZ

A, , O

1 l i 4

= 500 Hz "

4=900 Hz

, SEÑALES ACÚSTICAS 1.1:RIODICAS.SERIE: FOURIER. GUSTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

del período (p = 6), relación que determina una amplitud de valor cero para los armónicos 6, 12, 18, 24, ...,

Los valores que toman las amplitudes de los diferentes armónicos no resultan de cálculo sencillo.' Las señales rectangulares son de uso corriente en generadores electrónicos.. y sirven' para simular la excitación de los instrumentos de Viento controlados'Por presión.:. Son, ,además, ilbase de la técnica de muestreo de señales, primera etapa de los coñversores analógico-digitales.

que aumenta la frecuencia. La ley que sigue la amplitud de los armónicos es:

A.= A t n' si n es impar A = 0 si n es par

Por ejerriplo, el arMónieb 5 tiene una amplitud A5 = A 1 /S' = A t/25, y el 6 = O pues es par.

Como, todos los armónicos -a excepción del primero- son pequeños, la onda triangular es utilizada para generar electrónicamente sinusoides por filtrado con muy baja distorsión.

" En la ampliación al final del capítulo se presenta la expresión completa que pera ile,calcular estas amplitudes.

Gráfico temporal y espectral de una onda cuadrada

Onda triangular

Otra función muy usada es la onda triangular de la figura 3.9. .E1 análisis de Fourier establece que su espectro posee sólo los armónicos impares, como el de-la onda cuadrada,- pero la amplitud de éstos decrece más rápidamente a medida

Gráfico temporal y espectral de una onda rectangular

Tren de impulsos 'unitarios

La última función que veremos en esta sección es el tren dé impulsos unitarios, igualmente espaciados, quelse oblerlya en la figura 3.10. El espectro de Fourier que le corresponde contiene

84 85

Gráfico temporal y 'espectral de una onda triangular

86

tiempo (ms)

f [Hz]

= 500 Hz 1,,,. 1.000 Hz

espacio (mmi A

/

P 0.01 ms

t„ n f,

1/P s 100 Hz

área = 1

A rehuid [mml

A = at.4*

f, = 100 Hz

27r/P

FIGURA 3.10

Gráfico temporal y espectral de un tren de impulsos unitarios

SEÑALES ACÚSTICAS PERRSDICAS.SERIE DE FOURIER. G u.vrAvo BAsso ANÁLISIS ESPECTRAL

En realidad, se ha comprobado que la validez perceptual de esta ley es aceptable sólo. a partir de los 400 Hz. Por debajo de los 200 Hz se perciben diferencias si cambia la fase en Una onda permanente (Patterson, 1987).

la serie completa de armónicos, de cero a infinito, con igual amplitud: el espectro de Fourier de un tren de impulsos unitarios en el tiempo es un tren de impulsos unitarios en la frecuencia.

Esta señal es la piedra angular de la técnica de muestreo necesaria para convertir una señal analógica en otra digital, y será estudiada con mayor detalle en el último capítulo.

En los ejemplos se puede ver que, salvo en el caso de la sinusoide, la amplitud (A1 ) del primer armónico del desafrollo de Fourier no coincide'¿on el máximo (h) de la señal compleja.

Aunque las señales anteriores, a excepción de la sinusoide, requieran infinitos armónicos para su completa reconstrucción -tarea imposible de llevar a cabo-, afortunadamente sólo es necesario llegar hasta el límite superior de audibilidad en, frecuencia del oído, unos 20.000 Hz. Con la tecnología de audio actual ese límite no representa problema alguno para el análisis, la síntesis y la reproducción de señales musicales.

FIGURA 3.9

Ley de Ohm

En el análisis anterior nos hemos detenido en la frecuencia y amplitud de las componentes de Fourier, habiendo dejado de lado la fase de las mismas. La omisión fue adrede: para ondas estacionarias en el tiempo nuestro oído responde a las amplitudes y frecuencias de los armónicos, siendo prácticamente indiferente a las fases relativas de los mismos afirmación conocida como ley de Ohm.' Las dos señales de la figura 3.11 son auditivamente indistinguibles debido a que sus espectros de Fourier coinciden. Sin embargo las formas de onda temporales difieren apreciablemente a causa de la variación en las fases de sus componentes. En este caso particular se comprueba que el espectro representa mejor que el gráfico temporal lo que efectivamente se oye.

37

SIISIALES ACÚSTICAS PERIODICAS.SERIE DE FOURIER. ANÁLISIS ESPECTRAL

La fase de los componentes es, sin embargo, importante en otras situaciones. La Ley de Ohm es sólo una aproximación que no puede extenderse demasiado. En especial, no es válida en los procesos de generación de señales acústicas ni en la percepción de las ondas transitorias que serán estudiadas en los capítulos V y VI.

FIGURA 3.11

Dos mulas con igual espectro de potencia de Fourier pero distintas fases relativas

entre las co ►pot ► ntes. Son auditivamente indistinguibles

Ahora bien ¿cuál de las dos representaciones, temporal o espectral, conviene utilizar? Una u otra, según la situación. Cada una de ellas nos da una perspectiva distinta del mismo fenómeno y por lo tanto- van a ser empleadas en función del aspecto particular que se desee examinar. Si bien existen otras descripciones posibles dé una señal acústica,' las anteriores son especialmente adecuadas para el análisis de los procesos característicos de la música pues a la vez oímos, en cierto sentido, de manera temporal y espectral.

RECONSTRUCCIÓN DE PARCIALES POR BATIDO

En el primer capítulo vimos que dos sinusoides de distinta frecuencia baten a una tasaigual a la diferencia de frecuencias entre ambas:ron:161as componentes de Fourier son sinusoides,

es de esperar que este fenómeno tenga lugar para todo par de componentes armónicos que se consideren. Si fi y f son las frecuencias de dos armónicos cualquiera, la frecuencia de batido será:

fb Dadas las características.de la Serie de Fourier la frecuencia

de batido siempre- va a coincidir con la frecuencia de algún armónico. En particular, dos componentes consecutivas baten a la frecuencia de la, fundamental. Así,

- f, f; .1; f, = " = De esta manera la armonicidad de un espectro refuerza la

periodicidad dada por su fundamental. Y Más aún, pues aunque' falte la fundamental- la frecuencia que le corresponde se reconstruye a partir del batido de sus armónicos. Este

. fenómeno, de gran importancia musical, se puede observar en la....figura 3.1:2 en la que aparece una señal de espectro armónico. a la. -cual se- le ha filtrado electrónicamente la fundamental. Sin embargo, ésta reaparece como producto del batido de los armónicos y define la periodicidad .de la señal completa. Es común referirse -esta fundamental reconstruida cuino la «fundamental fantasnia» o «perdida» de la onda.

Un ejemplo de reconstrucción de la fundamental se da cuando oímos música por una radio pequeña cuyo 'parlante es . incapaz de emitir ondas, de baja frecuencia: no dejamos por ello de percibir los bajos de la composición. Esto se debe a que larmayoilade tos instrumentos graves -contrabajos, fagotes o bajos eléctricos- producen señales espectralmente ricas que van a posibilitar la reconstrucción de los primeros armónicos aunque éstos no estén presentes a la salida del parlante.

El fenómeno de fundamental reconstruida también puede originarse durante el proceso de percepción. Ocurre por ejemplo cuando dos señales acceden, a través de auriculares, de manera independiente a cada uno de los oídos: en ese caso no existe batido físico exterior, de manera que, la fundamental se reconstruye en algún lugar de la cadena de procesamiento..

_13,eural superior.

Para ver otras

formas de

representar

señales consultar,

el libro de

Giovanni De Poli

• Represe:m.1(10ns uf Musical Signals (199 I ).

GUSTAVO BASSO

89 8 8

NPS (dB]

PeriOdicidad = 0,01 ms f,„; • „,,„= 1/P = 100 Hz

fundamental reconstruida

80

N t5 ItU11

t 900 Hz

1 000 Hz

.... • I, itz

undamontal locuirntruldo

.10

=100 14z

IHzI

Gráfico espectral de la serie armónica formada por sólo dos componentes

Las relaciones entre la periodicidad de una señal, el desarrollo . de Fourier de la misma y la reconstrucción por batido son

„imprescindibles para comprender él proceso de percepción de la altura de, un sonido, de la sonoridad resultante de un

SEÑALES ACI'S'FICAS PERIODICASSI:RIE DE 1:01IIER. Gustavo BAsso ANÁLISIS ESPECTRAL

FIGURA 3.12

40

conjunto instrumental, y para dar cuenta de numerosas estrategias de composición e instrumentación. En especial, la percepción de la llamada altura tonal, virtual o residual está fuertemente relacionada con la periodicidad, y es la que nos

permite asignar perceptualmente un solo valor de altura a un estímulo complejo como el generado por la voz humana o los instrumentos musicales usuales. En el capítulo que sigue analizaremos algunos de estos puntos con más detalle.

f,= 100 Hz I.= 500 Hz

/ (Hz]

l,„ 1.000 Hz

Reconstrucción dela jimdarnental por batido entre, armónicos .--

Podemosreinterpretar ahora el batido entre dos sinusoides' • de frecuencias cercanas ya analizado- en el capítulo I. Se las puede considerar como dos armónicos consecutivos de una Serie de Fourier que tiene..por fundamental a la frecuencia - de batido, siendo el resto de los armónicos de amplitud cero.

Dicha situación se puede observar en la figura 3.13.

FIGURA 3.13

Aplicaciones del análisis espectral

De las muchas cónsecuenCias prácticas derivadas del

Teorema de: Fourier (y de la Transiormada de Foutier que verá en el capítulo 5) se destaca nítidarnente el análisis espectral

de señales. Permite realizar gran cantidad de operaciones tales

como el filtrado de ruido, la eliminación de ondas parásitas, la ecualización o compensación de una toma de sonido

desbalanceada, o, si se está trabajando en el campo digital, -cualquiera de las acciones que ofrece el procesamiento digital

del sonido (DSP)." Hoy en día se lo usa en muchas ocasiones fuera del laboratorio o del estudio de grabación. El análisis

espectral en tiempo real permite ver la composición de Fourier de una onda a medida que se va desarrollando. Se emplean con este fin programas de computación adecuados o instrumentos diseñados especificamente para esa función.

Es usual dividir el eje del espectro que representa a la frecuencia en segmentos de un ancho de banda constante -que

pueden corresponder a I octava, 1/3 de octava o una fracción porcentual fija. Generalmente se dispone la intensidad -o del

nivel de intensidad en decibeles- de la señal en lugar de la amplitud

corno variable en el eje de ordenadas. El gráfico se denomina,

en ese caso, espectro de potencio de la señal. En lá figura 3.14

se puede apreciar la imagen de la pantalla de una computadora en la que se analiza el espectro de potencia de la señal acústica

generada por un fagot barroc-o."'

Un ejemplo de aplicación típico es el control del balance en frecuencias de un sistema de amplificación electroactiStico

parwmúsica al aire libre (como el que se usa para un recital de

" l'ara tener un

panorama

completo de la

gran cantidad de

operaciones que

se pueden realizar

a partir del

procesamiento

digital del sonido

ver el libro (le

Ken Pullman

"Minan. 1994).

"Gentileza de

Eduardó

Rodríguez.

94) 91

&Ion

LO

33

, , „• ., • , , RowirertFreq.nnisi,..31 dE ái.40E 11i Gil r.TS1z3 85.531411ceülk 131ftanuurharriti.'lilaiit1 s3.0134104.t1311#3 211317

SEÑALES ACÚSTICAS PERIÚDICAS.SERIE DE FOURIER.

rock en un estadio de fútbol). Es usual disponer a los lados y sobre el escenario una gran cantidad de altoparlantes que radian hacia, en teoría, todos los sitios ocupados por el público. Unos reproducen bajas frecuencias, otros freCuencias medias y otros altas frecuencias. En la práctica resulta casi imposible predecir el balance espectral de la onda que recibirá cada espectador. Si está justo en el eje de una bocina de alta frecuencia lo más probable es que el sonido le resulte estridente y desprovisto de bajos. Un método empleado para obtener una distribución pareja en frecuencias consiste en colocar micrófonos que toman muestras de la onda en distintoS lugares de la platea durante las pruebas de sonido. Se genera una señal de comportamiento espectral conocido (que puede ser ruido blanco o rosa) y se analiza a continuación el espectro de potencias en cada uno de los lugares. Para conseguir un reparto espectral uniforme de la energía se reordena entonces la disposición espacial ,y la potencia de salida del conjunto de altoparlantes. Esta operación se monitores desde una única consola y un equipo de técnicos entrenados la puede completar en un tiempo relativamente breve."

FIGURA 3. I4

Espectro de potencia de la señal acustica generada por un fagot barroco..

ANÁLISIS ESPECTRAL

AMPLIACIÓN

Esta ampliación requiere conocimientos formales de matemática y puede pasarse por alto sin perjuicio para la comprensión del resto de los temas.

Serie de Fourier

Sifir) representa la amplitud de una señal periódica en función del tiempo, por el

Teorema de Fourier esperamos que se la pueda escribir como la suma de cierto

número de funciones armónicas simples tales como cos (kt), una para cada

frecuencia armónica. Si la periodicidad defit) es la misma que la defi, el primer

armónico de Fourier será (incluyendo la amplitud A1 y la fase inicial 1p 1 ):

.111 , 1 = Al cos (2z f 1 t+(11 1 ) (1)

Para no tener que tratar con amplitudes y fases a la vez se hace uso de una conocida identidad trigonométrica y se llega a una suma de senos y cosenos (un

par para cada armónico) que permite reconstruir totalmente la función originalfit):

I„ = ao +al cos(2ir t)+1)1 sen (21 r t)+

+ a 2 cos(27r2 f t)+ set: (2it 2 t)+

+ • • • + a „ cos. (2 ir ft f t ) + 17„ sen (27r n

(2) con n= 1, 2, ...

o, de manera compacta:

f(r) = a0 cos(n2dr t)+b„ sen(n2x f

(3)

n=1

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GUSTAVO BASSO

"Se puede ampliar sobre esta

técnica en los libros de Davis y Davis (1997) y de Davis y iones (1989).

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