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8/10/2019 Lab2 fisica 2 uni

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II- TTULO: PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER

III- FUNDAMENTO TERICO:

En cualquier cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un eje paralelo al eje

que pasa por el centro de masa del slido bajo la accin de gravedad se puede obtener elperiodo de oscilacin dela siguiente manera:

Analizamos el siguiente grfico:

De l podemos formular ciertos conceptos vistos

anteriormente.

Donde es el momento de inercia respecto al eje que pasa por O, masa del slido y ladistancia de O a CM.

Pero cuando es muy pequeo entonces se puede hacer la siguiente aproximacin por lo tanto remplazando en la ecuacin se tendra:

Pudiendo comparar esta ecuacin con la ecuacin: que es la ecuacin del MASdemostrando as que el movimiento angular oscilatorio es armnico simple con . Porconsiguiente el periodo que es la ecuacin con el que se va a realizar el anlisis apartir de los T experimentales obtenidas en la sesin de laboratorio slo que en este caso el

cuerpo a analizar es una barra homognea con huecos. Los momentos de inercia con respecto

a los ejes perpendiculares se pueden determinar a partir de la ecuacin del periodo lneas

arriba, pero es imposible determinar el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el

C.G. por este mtodo. Por lo tanto estamos forzados a utilizar un mtodo indirecto el

TEOREMA DE STEINER que s expresa de la siguiente forma:

Donde es el momento de inercia respecto al centro de masa y la masa de la barra.


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IV- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

a) Materiales:

Una barra metlica de longitud 109,5cm Un soporte de madera con cuchilla.

Dos mordazas simples Un cronmetro digital

Una regla milimetrada


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b) Procedimiento:

1-Sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre l, suspender la barra de la siguiente manera, con

el fin de hallar el centro de gravedad de la barra.

2-Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos a

hacerla oscilar separando su posicin de equilibrio no ms de 15.tomamos nota los tiempos

cada 20 oscilaciones y los tres ltimos agujeros adyacentes al C.G slo 10 oscilaciones;

tomamos nota tambin la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra.

3- Tomar todas las dimensiones de la barra y su masa.

Centro de giro

Centro de

gravedad

L

Centro de

gravedadL

Centro

de giro

MESA

BARRA

SOPORTE

CENTRO DE GRAVEDAD


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VI- DATOS EXPERIMENTALES:

# deHueco

Longitud (cm) # deoscilaciones

Periodo T

1 51.1 0.05 33.78 33.56 33.53 20 1.681

2 45.9 0.05 32.89 32.90 32.93 20 1.6453 41.0 0.05 32.26 32.21 32.23 20 1.612

4 35.9 0.05 31.53 31.49 31.75 20 1.580

5 31.3 0.05 31.83 32.08 32.03 20 1.599

6 26.0 0.05 32.09 32.25 32.08 20 1.607

7 20.9 0.05 33.31 33.33 33.32 20 1.667

8 15.9 0.05 17.92 17.72 17.11 10 1.758

9 11.0 0.05 20.29 20.16 20.39 10 2.028

10 5.9 0.05 26.62 26.78 26.56 10 2.665

M=masa de la barra con agujeros

m= masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de labarra y cuya densidad es la misma que la de la barra.

M+21m=masa de una barra solida sin agujeros.

Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos.

L= distancia entre el C.G. de la barra y el eje de giro O

VOLUMENV1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS

ArCBAV 221..1

Reemplazando los datos:

V1=(0.7)(4.15)(109.5)-21(3.14)(0.75

2

)(0.7)V1=292.13cm3

DENSIDAD()

33

1

48.613.292

5.1894

cm

gr

cm

gr

V

M

cmz

cmr

grM

cmC

cmB

cmA

agujeros

5

75.0

5.1894

5.109

15.4

7.0

21#


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VII- CLCULOS Y RESULTADOS:

1.- Tabla realizada en el laboratorio.

# deHueco

Longitud (cm) # deoscilaciones

Periodo T

1 51.1 0.05 33.78 33.56 33.53 20 1.681

2 45.9 0.05 32.89 32.90 32.93 20 1.645

3 41.0 0.05 32.26 32.21 32.23 20 1.612

4 35.9 0.05 31.53 31.49 31.75 20 1.580

5 31.3 0.05 31.83 32.08 32.03 20 1.599

6 26.0 0.05 32.09 32.25 32.08 20 1.607

7 20.9 0.05 33.31 33.33 33.32 20 1.667

8 15.9 0.05 17.92 17.72 17.11 10 1.758

9 11.0 0.05 20.29 20.16 20.39 10 2.028

10 5.9 0.05 26.62 26.78 26.56 10 2.665

2.- a. Grfica de T vs ,(T en el eje vertical y en el eje horizontal)T vs (T eje vertical -eje horizontal)

b. A partir de la ecuacin con I dada por la ecuacin encuentre elvalor de para que el periodo sea mnimo.CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por O ser() igual alMomento de inercia de la barra solida ( sin agujeros ) respecto al eje que pasa por Omenos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra

)respecto al eje que pasa por O.

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0


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Entonces la ecuacin ser:

210 III .. (I)

Hallando 1I :

Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos:

222

1 )21()(12

21LmMCB

mMI

(II)

Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o

Ahora hallamos2I .

Sea el siguiente grafico la representacin de todos los cilindros solidos, faltantes en la barra

con huecos.

Datos:

m= masa de cada cilindro

cilindrovm

grm 01.87.0)75.0(14.348.6 2

r=radio=0.75

Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos.

Z=5 cm

El momento de inercia del conjunto de cilindros slidos respecto al centro de gravedad delconjunto, ser igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto delcentro de gravedad del conjunto de cilindros.

Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de

gravedad C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

Centro de gravedad del conjunto de

cilindros C.G

El cilindro a se encuentra de color rojo

para diferenciarlo por coincidir con el C.G


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CALCULO DEL PERIODO MINIMO

A partir de la ecuacinMgL

IT 02

Con 0I = 222

)21()(12

21LmMCB

mM -( 222 21770

221 mLmzr

m )

Encontramos un valor L para el cual el periodo sea mnimo.

Remplazando las ecuaciones tenemos:

MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T

)217702

21()21()(12

21

2

222222

Para que el periodo sea mnimo aplicamos el criterio de la primera derivada:

Derivando:

3222222

222222

)()217702

21()21()(12

21

))217702

21()21()(12

21()42)21(2(2

MgLmLmzrm

LmMCBmM

mLmzrm

LmMCBmM

MgMgLmLLmM

L

T

Si 0

L

TTmnimo

Despejando L tenemosM

mzrm

CBmM

L

)7702

21()(12

21 2222

.()

Analizando la anterior relacin: L es igual a la raz cuadrada de la relacin entre el momento deinercia ,del objeto en anlisis respecto su centro de gravedad, y su masa.

Remplazando datos en ():

cmLteorico 75.315.1894

658.1909754

hallamos T en

MgL

mLmzrm

LmMCBmM

T

)217702

21()21()(12

21

2

222222

reemplazando datos: sTteorico 58.1


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c. Compare el valor de obtenido en b. con el que obtiene de la grfica en a.Del grfico obtenido en a. se tiene a encontrar por proporcionalidad aproximadamente los

datos que aparecen en el recuadro siguiente.

Experimentalmente. Tericamente

T mnimo =1.578s T mnimo =1.580s

L=35.86 cm L=31.75 cm

d. Cul es el periodo para esta distancia?

La respuesta a esta pregunta yace en la respuesta de b.

Experimentalmente. Tericamente

T mnimo =1.578s T mnimo = 1.580s

L=35.86 cm L=31.75 cm

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

Per

iodoT

Longitud

Series1


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e. De su grfico, Puede deducir dos puntos de oscilacin con el mismo periodo? Indquelos.

Las intersecciones de las rectas en color rojo nos indican dos longitudes en el cual el periodo esel mismo. Estas longitudes aproximadamente son : 26.78cm y 40.00cm donde el periodo en

comn es 1.608s.

3.- Con el valor de T conocido experimentales, encuentre, utilizando la relacin ,el valor de I y llene la tabla 2 con la siguientes caractersticas.

Resol. TABLA 2

# de hueco eje de oscilacinL(cm) T2(s2) Momento de

inercia (gr/cm2)L2(cm2)

1 51.1 2.8258 7977.6586 2611.21

2 45.9 2.7060 58471.5166 2106.81

3 41.0 2.5985 20154.5639 1681.00

4 35.9 2.4964 42190.2893 1288.81

5 31.1 2.5568 37433.5511 967.21

6 26.0 2.5824 31608.2711 676.00

7 20.9 2.7789 27341.5471 436.81

8 15.9 3.0906 23133.6311 252.81

9 11.0 4.1128 21297.7712 121.0010 5.9 7.1022 19726.4434 34.81

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0

PeriodoT

Longitud

Series1


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VIII- OBSERVACIONES Y DISCUSIONES:

A partir del experimento analizado se puede comprobar la validez de las ecuaciones estudiadas

teniendo una aproximacin muy buena. Claro est que dicho error ha sido por causas

ambientales y por la velocidad de reaccin del que controla el cronmetro.

IX- CONCLUSIONES:

X- REFERENCIAS:

-MARCELO ALONSO Y EDWARD J.FINN, Fsica Volumen I. Editorial Addison-Wesley

Iberoamericana. Edicin en espaol,1986.


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