Universidad Cat´olica

Santo Toribio de Mogrovejo

Escuela de Ingenier´ıa Civil

Matem´atica B´asica

Laboratorio de ejercicios

Danessa Chirinos Fern´andez, Jorge Chirinos

Salazar

Chiclayo, 2012

1

1

Cap´ıtulo 1

Nu´meros Complejos

1.1. Laboratorio 1

1. Aplicando las propiedades de nu´meros reales determine el intervalo o con- junto al cual pertenece “a ”.

a ) a2 < −3

b) (a − 1)2 ≤

−5 c) (a − 6)2 >

−1 d ) (a + 1)2

≥ −5

k ) 1

> 2

a + 1 5

l ) 2

≥ 3

a − 2 2

e ) a2 < 8

f ) (a − 1)2 ≤ 10 g ) (a − 6)2 >

5 h ) (a + 1)2 ≥ 9

m ) −a + 5 < 8

n ) −3a + 9 ≥ 4

n˜) a2 = 18

o) (a − 5)2 = 9

i ) 1

< 3 a 2a p) =

a + 1 5j )

1 ≤ 5

a − 3q ) ((a −3)−1)−1 = 4

2. Si z1 = 1 − i, z2 = −2 + 4i, z3 = √

3 − 2i. Hallar el valor num´erico de

cadauno de los siguientes enunciados.

a ) z2 + 2z1 − 3b) |2z2 − 3z1|

c) (z3 − z3)2

d ) |z1z2 + z2 z1|

z1 + z2 + 1

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1

f ) (z2 + z3 )(z1 − z3 )

g ) |z1 + z2 | + |z3 − z2 |h ) Re(2z2 + 3z2 − 5z3)

z1 z2

e ) i ) I m z1 − z2 + i

z3

3. Expresar cada uno de los siguientes nu´meros complejos en forma polar.

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2

3

3 1

o

−

a ) 2 − 2i

b) −1 + √

3i

c) 2√

2 +

2√

2i

d ) −i

e ) −4

f ) −2√

3 − 2i

g ) √

2i

h ) √

3/2 − 3i/2

4. Hallar el valor num´erico de las siguientes expresiones

a ) (5 cos 20o+i sen 20o)(3 cos 40o+

i sen 40o)

b) (2 cos 50o + i sen 50o)6

(3eiπ/6 )(2e−5πi/4)(6e5πi/3 )d )

(4e2πi/3 )2

4

c) (8 cos 30 + i sen 30o)3

√3 i !

e ) √

5 1 + i

(2 cos 60o + i sen 60o)4

3 + i 1 − i

5. Calcular los valores de cada radical

a ) (2√

− 2i)1/2 e ) (64)1/6

b) (−4 + 4i)1/5f ) (i)1/3

c) (2 + 2√

i)1/33πi

g ) (e 4 ) /√3d ) (−16i)1/4 h ) (4 2(cos π + i sen π ))1/3

6 6

2

3 2

w )

+ =

y ) = 50

Cap´ıtulo 2

Ecuaciones e InecuacionesPolin´omicas

2.1. Laboratorio 2

1. Resolver las siguientes ecuaciones polin´omicas

a ) 12x3 + 18x = 0

b) x3 + 4x2 + x + 4 = 0

c) 2x3 + x2 − 6x − 3 = 0

n˜) x3 − 7x + 6 = 0

o) x3 − 7x − 6 = 0

p) x3 + 6x2 + 9x + 4 = 0

d ) −9x3 − 3x2 + 3x + 1 = 0

q ) x3− 7x + 16x − 12 = 0

e ) x5 + x4 + x + 1 = 0

r ) 25x6 + 20x3 + 4 = 0

f ) x4 − 13x2 + 40 = 0

g ) 2x4 + 4x2 + 1 = 0

s ) (x4− 64)(x − 9)(x + 3) = 0

h ) y3 − 3y2 − 4y + 12 = 0

i ) x3 − 2x2 − 19x + 20 = 0

j ) x3 + 7x2 + 16x + 12 = 0

t ) 4x3 + 12x2 − 9x − 27 = 0

u ) 2x3 + 5x2 − 8x − 20 = 0

v ) 6x5 + 10x4 = 3x3 + 5x2

k ) 4x3 + 4x2 − 5x − 3 = 0

1x−1

x

1 5x+2 4

x+1

l ) 12x3 + 16x2 + 7x + 1 = 0

m ) 2x3 + 7x2 − 9 = 0

x ) 2x+7

− x+3

= 1

x2

x+100

n ) 3x3 + 10x2 + 9x + 2 = 0 z ) 10 − 12 + 4 = 0

x x−3

2. Una herencia de 900000 soles se repartir´a entre Fufy, Gabriel y Jair, de la siguiente manera: Gabriel recibir´a 3/4 de lo que obtenga Fufy, mientras que Jair obtendr´a la mitad de lo que reciba Fufy. ¿Cu´anto recibir´a cada uno?.

3. El per´ımetro de un rect´angulo es de 60 pies. Encuentre su longitud y anchura si la longitud es 8 pies mayor que la anchura.

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4

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4. Un jardinero tiene 46 pies de alambre que ser´a utilizado para rodear un jardin rectangular, si la longitud del jardin es el doble de su anchura, ¿Cu´ales son las dimensiones del jardin?, ¿Cu´al es el ´area del jardin?.

5. Una caja sin tapa ser´a construida de una hoja de metal cuadrada, a la cual se le quitar´a de cada esquina un cuadrado de 1 pie por lado, y se doblar´a hacia arriba los lados. Si la caja tiene una capacidad de 4 pies cu´bicos, ¿Cu´ales deben ser la dimensiones de la hoja met´alica?

6. Un fabricante de casas rodantes reduce el precio de un modelo en un 15 %.Si el precio nuevo es de 125000 soles. ¿Cu´al ser´a su precio original? ¿ Cu´anto se puede ahorrar al comprar el modelo?

7. Un pintor puede pintar, ´el solo, cuatro cuartos en 10 horas, con un ayudante realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si deja que el ayudante trabaje solo,¿Cu´anto tiempo tardar´a ´este en pintar cuatro cuartos?

8. Un jardin rectangular mide 6 pies de ancho y 8 pies de largo, un jardinero desea colocar un borde de cemento de anchura uniforme alrededor del jardin. Si el borde tiene una altura de 3 pulgadas y una yarda cu´bica de cemento premezclado. ¿Cu´anto mide el ancho del borde? (1 yarda cu´bica= 27 pies cu´bicos, 12 pulgadas= 1 pie).

9. Una barra rectangular de chocolate mide 12 cent´ımetros de largo, 7 de ancho y 3 de grosor. Debido a las alzas en los costos de la cocoa, el fabricantedecide reducir el volumen de la barra en un 10 %. As´ı, la nueva presentaci ndeber´a tener los mismos 3 cent´ımetros de grosor pero el largo y el ancho se reducir´an en un nu´mero igual de cent´ımetros. ¿Cu´ales ser´an las nueva dimensiones de la barra de chocolate?

10. Alrededor de un piscina circular de di metro 10 pies se har´a un borde ancho

uniforme utilizando un pie cu´bico de concreto. Si el borde tendr´a una altura de 3 pulgadas, ¿Cu´al debe ser su ancho?

11. Una bomba que trabaja sola, llena un estanque en 7 horas, otra lo har´a en8 horas. ¿En cu´anto tiempo se llena el estanque si trabajan ambas bombas a las vez?

12. Una escalera de 20 pies se coloca contra el costado de una casa de modo que su base est´a a 16 pies de la casa. Si se resbala hasta que su base est´e a18 pies de la casa, ¿ Cu´anto resbala hacia abajo la parte superior de la

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5

J. Chirinos S.-D. Chirinos F. 5

escalera?.

13. Un alambre de 40 cm de longitud se cort´o en dos pedazos. Una de las partes se dobl´o haciendo un cuadrado y la otra un rect´angulo que es 3 veces m´as largo que el ancho. La suma del ´area del rect´angulo y del cuadrado es 553/4 cm2 . ¿Cu´ales son las dimensiones de los pedazos de alambre cortados?

14. Un arquitecto quiere construir un edificio rectangular en un terreno de forma triangular que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo. Encuentre lasdimensiones del edificio si la secci cuadrados.

n transversal de su ´area mide 15000 pies

15. Un arquitecto desea construir un tanque de agua sin tapa en forma de prisma triangular de altura 6 pies, con una placa rectangular de metal de4 por 6 pies de tal forma que resulte un tri ngulo is´osceles de lado 2

pies.Si el volumen del tanque de agua es de 9 pies cu´bicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales.

16. Un tanque de agua en forma de cono circular est´a formado por 125 metros cuadrados de metal. Si la altura del cono es de 10 metros, encuentre el radio correcto con dos cifras decimales.

− 4

≤ 0

2.2. Laboratorio 3

1. Resolver las siguientes inecuaciones

a ) −5 ≤ 4 − 3x ≤ 2

b) x2 + x > 12

c) x4 > x2

d ) (x + 2)(x2 − x + 1) > 0

e ) −x2 + 1 > 0

f ) x5 − 10x3 + 9x > 0

g ) x3 − 4x2 + 3x ≤ 0

h ) (x4 − 5x2 + 4)(x4 − 25x2 +144)(x2 + x − 30) ≤ 0

i ) x4 +13x3 +45x2 −25x−250 > 0

j ) (x − 2)3(x + 5)8(x + 11)22 ≥ 0

o) 1

< 06 − 2x

2

p) x − 9x2 − 16

≤ 0

x3 − 1q ) ≥ 0

x2

r ) x

≤ 0x + 1

s ) x + 1

≤ 2x + 3

t ) 2x5 − 32x = 0

u ) 3x3

k ) (x − 2)3(x + 5)8(x + 11)22 ≥ 0

l ) (x + 3)7(x + 1)6(x + 8)15 ≤ 0

m ) 7 − x

2

n ) 5

> 03x + 7

− 12x < 0

v ) 6x6 − 54x2 > 0

w ) x3 − x2 + x − 1 ≥ 0

x ) 3x3 − 6x2 − 3x + 6 ≥ 0

y ) 25z4 + 5z ≥ 125z3 + z2

6 5 4 2

n˜) 2

> 0 (x − 1)2

z ) 3x −2x0

+9x −3x +12x−9 ≤

2. La relaci´on entre las escalas de temperatura Fahrenheit y Celcius est´a dada por

C = (5/9)(F − 32)

Si 60 ≤ F ≤ 80, exprese el intervalo correspondiente de C en t´erminos de una desigualdad.

3. La relaci´on entre las escalas de temperatura Fahrenheit y Celcius est´a dada por

C = (5/9)(F − 32)

¿Qu´e intervalo de la gama celcius corresponde a la gama de temperatura

50 ≤ F ≤ 95?

4. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan con la ecuaci´on

C = (5/9)(F − 32)

¿Qu´e temperaturas F corresponden a 30 ≤ C ≤ 40?

5. La fuerza tensil F de un pl stico var´ıa con la temperatura T de acuerdo a

la f´ormula F = 500 + 600T − 20T 2.¿ Para qu´e valores de la temperatura podremos hacer que la fuerza tensil sea mayor de 4500?

6. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones en sus cuatro ex´amenes

11, 11, 14, 16 en el curso de matem´atica, pero el curso solo se aprueba si obtiene un promedio mayor o igual a 14. ¿Cu´al debe ser la m´ınima nota que debe sacar en su quinto examen para aprobar el curso de matem´atica?

7. En una caminata de tres d´ıas, Petra, Juana y Salustiana caminaron el doble el segundo d´ıa que lo que caminaron el primero. El tercer d´ıa caminaron seis millas. Si el total de la distancia caminada no fue mayor de 30 millas.¿Cu´al fue la distancia ma´s larga que pudieron caminar el primer dia?

8. Las manzanas se mantienen en mejor estado si se almacenan en un intervalo de temperatura de 0oC a 5oC. Un empleado, al tratar de almacenar un embarque de manzanas, encuentra que su refrigerador mide la temperatura en escala Farenheit. ¿En qu´e intervalo debe ajustar el termostato?

9. La altura h de un edificio est´a dado por la f´ormula

h = 32t − 16t2,

donde t es el tiempo transcurrido en an˜os. ¿Para qu´e valores de t la altura del edificio es mayor de 12 metros?

10. El per´ımetro de un jardin de forma rectangular de 10 m de largo debe ser, al menos, de 50 m pero no mayor 75 m.¿Cu´al es el intervalo permitido para el ancho de este jardin?

11. El volumen de una piscina de forma de un paralelep´ıpedo de base cuadrada de 5 m de fondo debe ser, al menos, de 10000 m3 pero no mayor 15000 m3 .¿Cu´al es el intervalo permitido para el ancho de la base de la piscina?

2.3. Laboratorio 4

1. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones, luego identificar si la relaci´on es funci´on o no.

5 5

-5 0 5 -5 0 5

-5 -5

5 5

-5 0 5 -5 0 5

-5 -5

5

-5 0 5

-5

2. Graficar las siguientes funciones y hallar el dominio y rango

a ) f (x) =

−5, si x > 3

3, si x < 3

b) g(x) =

8, si x < −1−2, si x > −1

c) h(x) =

2x + 3, si x ≥ 2−2x + 1, si x < 2

f ) n(x) = 3x2 − 5x + 1

g ) p(x) = −2x2 + 3x + 7

h ) q(x) = − 3 x2 + 3x + 12

i ) r(x) = |3x + 5|

d ) j(x) =

x + 3, si x ≤

−12, si x > −1

j ) s(x) = | − 2x + 1|

−x + 2, si x > −4

e ) m(x) =

5, si x = −4 2x + 3, si x < −4

k ) t(x) = x − |x + 2|

l ) v(x) = 2x + |x − 3|

3. Si a y h son nu´meros reales, encuentre: f (a), f (−a), −f (a), f (a + h) de las siguientes funciones.

a ) f (x) = 5x − 2 b) f (x) = 2x2 + 3x − 1

4. Si f es una funci´on real de variable real, tal que f (x + 3) = x2 − 1, hallar el valor de

f (a + 2) − f (2) , a = 0

a − 2

5. Si una funci´on lineal satisface las condiciones dadas, encuentre f (x)

a ) f (−3) = 1, f (3) = 2 b) f (−2) = 7, f (4) = −2

6. Grafique y halle el domino y rango de las siguientes funciones

a ) f (x) = 3x + 5

b) f (x) = −2x + 1, x ∈ [0, 1]

c) g(x) = x + 3, −3 ≤ x < 4

d ) g(x) = 3x + 1, x < −3

7. Dadas las siguientes funciones

a ) f (x) = x2 − 4x

b) f (x) = −3x2 + 9x

c) g(x) = −2x2 + 5x + 25

d ) g(x) = x2 + 5

Hallar

a ) El v´ertice de la par´abola

b) Los puntos donde la par´abola corta el eje X

c) Grafique la funci´on

d ) El valor m´aximo o m´ınimo de la funci n

e ) Hallar el dominio y rango de la funcio´n

8. Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones

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J. Chirinos S.-D. Chirinos F. 1010

4

a ) f (x) = −x2 +x−3, −3 ≤ x < 4 b) g(x) = x2 − 3x + 1, x ∈ [0, 1]

9. Trace la gr´afica de f (x) = 4x , f (x) = (0,25)x

10. Trace la gr´afica de f (x) = log x, f (x) = log 1 x2

11. Trace la gr´afica de las funciones, usando las gr´aficas de las funciones f (x) =

x2 , f (x) = ex

a ) f (x) = x2 + 5

b) f (x) = ex − 2c) f (x) = (x − 1)2 + 2

d ) f (x) = ex+2 − 3

e ) f (x) = (x + 2)2

f ) f (x) = e−x + 1

g ) f (x) = −ex−2

12. Una secci´on de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre torres gemelas que est´an a 120 metros entre s´ı y se elevan 30 metros sobre la calzada horizontal (vea la figura). Un cable tendido entre los re- mates de las torres tiene la forma de una par´abola y su punto central est´a 5 metros sobre la calzada. Suponga que se introducen ejes de coordenadas, como se ve en la figura.

a ) Encuentre una ecuaci n para la par´abola.

b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente (vea la figura). Encuentre la longitud total de estos soportes.

13. La poblaci´on N (t) (en millones) de Peru´ en t an˜os despu´es de 1980 se puede aproximar con la f´ormula

N (t) = 231e0, 0103t

a ) ¿Cu´ando es que la poblaci

b) ¿Cu´ando es que la

poblaci

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1111

J. Chirinos S.-D. Chirinos F. 1111

n ser´a el doble de la de 1980?

n ser´a de 2 000 millones?