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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Università degli Studi di BergamoDipartimento di Scienze Umane e SocialiCorso di Laurea in Scienze Psicologiche

LABORATORI DI PSICOMETRIALezione III

Prof. Andrea Greco

Dott.ssa Roberta Adorni

Dott. Agostino Brugnera

Dott. Nicola Palena

Dott.ssa Cristina Zarbo


Analisi fattoriale - STEPSTEP 1 – scegliere il numero di fattori da estrarre

STEP 2 – decidere il tipo di rotazione della soluzione fattoriale

STEP 3 – valutare la bontà della soluzione controllando gli autovalori, la percentuale complessiva di varianza spiegata dai fattori ed eventualmente riconsiderare il numero di fattori da estrarre

STEP 4 – verificare le correlazioni tra i fattori estratti, nel caso in cui risultino indipendenti (con indici di correlazione <.30) cambiare il tipo di rotazione (da obliqua ad ortogonale e viceversa)

STEP 5 – scartare, se necessario, le variabili che presentano scarse relazioni con tutti i fattori estratti o che saturano in modo elevato su più fattori contemporaneamente (è un processo iterativo!)

STEP 6 – ripetere l’AF nel caso siano state scartate variabili o si sia deciso di aggiungere fattori

STEP 7 – ripetere i vari passi fino ad arrivare a una soluzione fattoriale che sia convincete sia a livello teorico sia statistico


AF: esempio

Come punto di partenza, selezioniamo tutte le variabili che considereremo per l’AF (i 21 item del questionario) e richiamiamo le statistiche descrittive.

Valutiamo in particolare gli indici di asimmetria e curtosi: quali considerazioni possiamo fare sulla distribuzione delle variabili?


Misure di forma della distribuzioneSkewness (asimmetria): indice che informa circa il grado di simmetria o asimmetria di una distribuzione

• Y = 0 distribuzione simmetrica• Y < 0 asimmetria negativa (mediana>media)

• Y > 0 asimmetria positiva (mediana<media)

Kurtosis (curtosi): indice che permette di verificare se i dati seguono una distribuzione di tipo Normale (simmetrica)• β =0 distribuzione Normale

• β <0 distribuzione iponormale (rispetto alla distribuzione normale ha frequenza di densità minore per valori molto distanti dalla media)

• β >0 distribuzione ipernormale (rispetto alla distribuzione normale ha frequenza di densità maggiore per valori molto distanti dalla media)

Le distribuzioni delle variabili deviano fortemente dalla distribuzione normale se:• Criterio stringente: valori di asimmetria e curtosi maggiori di |1| (Barbaranelli, 2007)• Criterio più tollerante: valori di asimmetria maggiori di |2| e di curtosi maggiori di |7|

(West, Finch, & Curran, 1995)


AF: esempioEstraiamo la matrice di

correlazione delle variabili (item)

Quali sono gli item con la correlazione più forte?Il punto di partenza è la matrice di correlazioni fra le variabili osservate; le coppie di item con la correlazione più forti sono quelle che più probabilmente ritroveremo sullo stesso fattore dopo l’AF


AF: esempio


AF in Jamovi: PCA

A sx compare la lista delle variabili: trasportare a dx gli item del questionario da sottoporre ad AF

Jamovi utilizza alcune opzioni di default…

Come punto di partenza, selezioniamo:• Rotazione → nessuna• Numero delle componenti

da estrarre → basato su autovalori > 1


Decidere il tipo di rotazioneQuando le medesime variabili (item) presentano saturazioni elevate su più fattori, rendendo difficile l’interpretazione dei risultati, diventa necessaria una trasformazione della matrice delle saturazioni. Tale trasformazione viene effettuata ruotando i fattori, ovvero spostandone la posizione nello spazio, in modo tale che una singola variabile correli con un solo fattore e per nulla o poco con gli altri.

In questo primo STEP di analisi, vogliamo valutare la soluzione NON ruotata.


Decidere quanti fattori estrarre

Estrazione di tutti i fattori che presentano un autovalore > di 1.

Ha come vantaggio quello di vedere quante dimensioni emergono in fase esplorativa. Il limite di tale criterio è che tende a sovrastimare il numero di fattori se le variabili di partenza sono molte e, viceversa, a sottostimarlo se sono poche.


Decidere quanti fattori estrarre

Permette di selezionare il numero di componenti estratte (ad esempio se abbiamo ipotesi a priori).


Test degli assunti

Test di sfericità di Bartlett: viene applicato alla matrice di correlazione delle variabili. L’ipotesi nulla è che le correlazioni tra le variabili risultino nulle → se il test è significativo, posso concludere che variabili hanno correlazioni sufficientemente elevate da essere considerate ≠ 0


Test degli assuntiKMO (Test di adeguatezza campionaria di Kaiser-Meyer-Olkin): è un indice che permette di confrontare la grandezza delle correlazioni osservate rispetto alle correlazioni parziali. Se le correlazioni parzializzate sono piccole tende a 1, quindi (secondo Kaiser)• se > 0.90 è eccellente• fra .80 e .90 buono• fra .70 e .80 accettabile• fra .60 e .70 mediocre• inferiore a .60 meglio non

fare l’analisi


Lettura e interpretazione dell’outputQuesta è la matrice delle saturazioni ed è l’unica che JAMOVI fornisce in automatico come output.Fornisce informazioni su:• N di fattori estratti• Saturazioni di ogni item su ogni

fattore estratto• “uniqueness” = 1- h2 (comunalità)

N.B. L’unicità consente di valutare quanto le variabili sono rappresentate dalla soluzione fattoriale. I valori di unicità >.75 indicano che meno del 25% della loro rispettiva varianza è spiegata complessivamente dai fattori estratti. QUINDI: noi vogliamo• Comunalità > .25• Unicità < .75


Lettura e interpretazione dell’output

Factor loadings = SATURAZIONI

È possibile visualizzare la matrice per intero, oppure nascondere le saturazioni sotto un certo valore (di default < 0.3). In questo modo è possibile visualizzare tutte le saturazioni principali

MA se vogliamo accertarci che non ci siano saturazioni secondarie che «disturbano» la saturazione principale possiamo imporre “Hide loadings below 0.15”

Inoltre si può richiedere di ordinare le saturazioni dalla più grande alla più piccola, per ogni fattore


Cosa si può chiedere in più in output



INITIAL EIGENVALUESSono riportati• gli autovalori corrispondenti a ogni fattore• la percentuale di varianza spiegata corrispondente• la relativa percentuale di varianza cumulata, data dalla somma delle varianze relative ai fattori analizzati fino a quel punto

La percentuale di varianza spiegata complessiva esprime la capacità della soluzione adottata di rendere ragione delle correlazioni tra le variabili.

N.B. La tabella «Component summary» equivale alla tabella degli autovalori, ma riporta solo i fattori estratti secondo il criterio stabilito (nel nostro caso le componenti con autovalore > 1)



SCREE PLOT: rappresentazione grafica degli autovalori relativi a tutte le componenti, ordinati in modo decrescente


RICORDA - Decidere quanti fattori estrarreCriteri di scelta più frequenti e indicazioni generali comunemente accettate:

1. Chi conduce la ricerca può disporre di modelli teorici che anticipano o ipotizzano il modo di raggrupparsi delle variabili originarie. L’estrazione in questo caso sarà congruente con il modello teorico di riferimento.

2. Estrazione di tutti i fattori che presentano un autovalore > 1. Ha come vantaggio quello di vedere quante dimensioni emergono in fase esplorativa. Il limite di tale criterio è che tende a sovrastimare il numero di fattori se le variabili di partenza sono molte e, viceversa, a sottostimarlo se sono poche.

3. Scree-test: traduce graficamente la progressione decrescente delle grandezze degli autovalori associati ai fattori, riportando i primi sull’asse delle ordinate e i fattori in ascissa. Dall’analisi dello scree-plot si può decidere di interrompere il processo di estrazione nel punto in cui la curva degli autovalori cambia pendenza fino a diventare piatta. Lo svantaggio è che spesso si verificano più punti di appiattimento della curva, rendendo l’utilizzo di questo criterio soggettivo.


RICORDA - Decidere quanti fattori estrarre4. A partire dallo scree-test si tiene conto empiricamente delle differenze

nell’entità degli autovalori, partendo dai più alti fino ad arrivare ai più bassi.

5. Tenendo presente, man mano che si misurano gli “scarti” tra autovalori, la percentuale cumulata di varianza che i fattori spiegano complessivamente all’avanzare dell’analisi, è possibile decidere se e quando interrompere l’estrazione. Per l’interruzione dell’estrazione si può utilizzare un CRITERIO DI PARSIMONIA: quando la percentuale cumulata di varianza spiegata non aumenta più di molto, quindi l’entità dell’autovalore è simile a quella dell’autovalore precedente, è possibile interrompere l’estrazione.

6. Su ogni fattore dovrebbero esserci almeno 3 item


AF: esempio 2

• Proviamo ad estrarre 21 componenti (cioè un numero di componenti equivalente al numero di variabili originarie).

• Quali considerazioni possiamo fare?

4 C

OM

PO

NE

NT

I

21

CO

MP

ON

EN

TI


Lettura e interpretazione dell’output

Torniamo alla soluzione iniziale:• Rotazione → nessuna• Numero delle componenti

da estrarre → basato su autovalori > 1

Cosa possiamo dire delle saturazioni?


Decidere il tipo di rotazioneQuando le medesime variabili (item) presentano saturazioni elevate su più fattori, rendendo difficile l’interpretazione dei risultati, diventa necessaria una trasformazione della matrice delle saturazioni. Tale trasformazione viene effettuata ruotando i fattori, ovvero spostandone la posizione nello spazio, in modo tale che una singola variabile correli con un solo fattore e per nulla o poco con gli altri.


Decidere il tipo di rotazione• Varimax è un tipo di rotazione ortogonale, gli assi rispetto ai quali i fattori

si posizionano vengono quindi mantenuti ortogonali, rimanendo tra loro non correlati. Questa rotazione massimizza la somma delle varianze, ossia i quadrati delle saturazioni delle variabili sui fattori, aumentando le saturazioni iniziali elevate e riducendo quelle con valori iniziali bassi. La matrice delle saturazioni fattoriali, contenente le correlazioni tra variabili e fattori, esprime anche il peso che un fattore ha su ciascuna variabile.

• Oblimin (o Quartimax, Promax) è una rotazione di tipo obliquo, gli assi non sono più ortogonali e i fattori sono correlati tra loro, fa in modo che le variabili abbiano saturazioni vicine allo 0 in tutti i fattori tranne uno.Le relazioni tra variabili e fattori sono riassunte attraverso due matrici: la Matrice Struttura (Jamovi non la produce) e la Matrice Pattern. La prima contiene dei coefficienti di regressione (beta) che rappresentano il contributo unico di ciascun fattore alla spiegazione della varianza della variabile, essa risente quindi della correlazione tra fattori. L’interpretazione dei fattori andrà fatta sulla matrice Pattern.


Rotazione obliqua – Oblimin• Ricordiamoci che nel momento in cui ruotiamo i fattori in maniera obliqua stiamo

permettendo ai fattori di correlare tra loro, quindi dobbiamo controllare la Matrice della correlazione tra i fattori estratti

• Dalla Matrice di correlazione tra i fattori si possono osservare i fattori tra loro maggiormente correlati e le correlazioni che, se superiori a .30, giustificano il tipo di rotazione effettuato.

• Dovendo procedere alla scelta del tipo di rotazione si suggerisce di utilizzare una rotazione Oblimin in via esplorativa. Dopo aver verificato le correlazione tra i fattori estratti, se nessuna diqueste raggiunge valori superiori a 0.3 in valore assoluto, è meglio procedere con un’analisi mediante rotazione Varimax.


Rotazione obliqua –Oblimin

Come sono cambiate le saturazioni?IMPORTANTE: nel caso di rotazione obliqua, si creano due tipi di matrici di saturazione:

• La prima è la matrice PATTERN, più importante (ovvero quella visualizzata in JAMOVI), riporta le saturazioni delle variabili analizzate nei fattori estratti, dopo che questi sono stati ruotati, al netto degli altri fattori.

• La seconda è la matrice di STRUTTURA, meno utile a interpretare i fattori (non visualizzata in JAMOVI – mentre altri softwares la visualizzano) perché le sue saturazioni tengono conto della correlazione fra i fattori.


Rotazione ortogonale -VarimaxProviamo comunque a fare una rotazione ortogonale

Come sono cambiate le saturazioni?


Problemi dell’interpretazione dell’output

Stabilito che la oblimin è la rotazione migliore, ispeziono in dettaglio la matrice delle saturazioni

Nella pratica è comune trovarsi di fronte a variabili (item) che presentano saturazioni elevate su più di un fattore o che non saturano in maniera accettabile su nessuno dei fattori estratti, oppure che hanno valori di unicità elevati.

In questo caso può essere utile eliminare la variabile e ricondurre l’AF (togliendo una variabile per volta).


RICORDA - Ricerca della soluzione migliore

Più i valori di saturazione sono elevati, più forte è la correlazione tra la variabile e il fattore.Diversi criteri per stabilire quando una saturazione fattoriale è da considerare significativa:• Criterio stringente: saturazione > |0.40| (Garson, 2010)• Criterio intermedio: saturazione > |0.32| (Comrey & Lee, 1992)• Criterio più tollerante: saturazione > |0.3| (Barbaranelli, 2007)

Una saturazione ≤ 0.3 trascurabile, indica che meno del 9% della varianza della variabile è spiegata dal fattore.

Questi sono i principali criteri utilizzati per discriminare le saturazioni principali (a seconda che si voglia essere più o

meno rigorosi).



Oltre ai criteri precedenti, Ercolani e Perugini (1997) suggeriscono un ulteriore criterio (di semplicità fattoriale):

Rapporto tra la saturazione principale e la più elevata delle saturazioni secondarie sia per lo meno uguale a 2 o, in altre parole, tutte le saturazioni secondarie minori della metà della saturazione principale.



Tre sono, dunque, i criteri per la scelta e selezione degli item:

1) Saturazione principale significativa (saturazioni principali maggiori di uno dei cut-off precedentemente presentati da utilizzare per tutta l’Analisi Fattoriale)

2) Saturazioni secondarie non significative (saturazioni secondarie minori del cut-off utilizzato al punto 1; anche in questo caso il cut-off rimane lo stesso per tutta l’Analisi Fattoriale)

3) Saturazioni secondarie minori della metà della saturazione principale (o, in altre parole, rapporto tra la saturazione principale e la più elevata delle saturazioni secondarie sia per lo meno uguale a 2)



Sulla base delle regoli precedenti, step by step, vengono eliminati alcuni item, tendenzialmente in base a:

• Rispetto cut-off saturazione principale >|.30|

• Saturazione secondaria < |.30|• Saturazione secondaria < ½

saturazione primaria



Tutti gli item hanno saturazione principale di almeno |.30|



Alcuni item hanno saturazioni secondarie >.|30|



Partiamo dal 14 (saturazione principale più bassa)



Togliendo il 14 ci sono ancora item «scarsi». Il 191 ha la saturazione principale più bassa. Proviamo ad escluderlo, reinserendo però il 14



Ora il 43, che prima era buono, peggiora. Quindi togliamo sia il 14 che il 191



Il 43 rimane «brutto», quindi teniamolo d’occhio. Togliamo però il 132 per primo, perché ora ha 3 saturazioni > |.30|



Se togliamo il 132, il 43 rimane «brutto» (dx) ma anche se reinseriamo il 132 e togliamo il 43 (sx) la situazione non è rosea. Quindi li togliamo entrambi



Arrivati a questo punto notiamo che l’autovalore del 4° fattore è prossimo a 1 (0.997), quindi proviamo a forzare una soluzione a 4 fattori


Ricerca della soluzione miglioreA questo punto la soluzione è passata a 3 componentiIn questa soluzione l’autovalore del quarto fattore è 0,997, cioè prossimo a 1, e, quindi abbiamo comunque mantenuto la soluzione a 4 fattori.


Ricerca della soluzione migliore

Una situazione che comporta scelte complesse riguarda l’interpretazione dei fattori, soprattutto in caso di analisi fattoriale esplorativa, quando non si hanno idee precise sulla struttura fattoriale e sul significato dei fattori.

Può accadere che sui fattori estratti saturino variabili non immediatamente riconducibili ad un’area o contenuto comune, creando problemi di interpretazione e denominazione del fattore.

Confronto la soluzione con gli item → gli item così organizzati hanno senso?



Il terzo e 4 fattore sembrano in realtà misurare due dimensioni opposte di uno stesso costrutto (ovvero gli item del III e IV fattore fanno riferimento allo stesso costrutto), quindi forse è meglio tenere la soluzione a tre fattori, basata sugli autovalori



Ora bisogna però togliere il 148, perché presenta una saturazione secondaria maggiore di .30



Poi 145, perché presenta saturazioni secondarie che non rispetto il vincolo di essere minori della metà della principale



Arriviamo così ad una soluzione soddisfacente a 3 fattori.



Diamo ora un nome ai 3 fattori

1. Soddisfazione di vita

2. Autostima

3. Ottimismo

Esercizio: proviamo a fissare l’estrazione di 3 fattori e ricominciamo l’analisi con tutti gli item di partenza


L’attendibilità


• L’attendibilità è solitamente il passo successivo per verificare la bontà dell’analisi fattoriale condotta.

• Dopo aver verificato la validità interna dello strumento, è altrettanto importante vedere quanto le scale emerse dall’AF misurino lo stesso costrutto anche in somministrazioni successive, o quanto gli item che le compongono misurino tutte lo stesso costrutto.

• I risultati ottenuti possono sempre essere influenzati in parte da un errore, che può avere origini diverse.

L’ATTENDIBILITA’


• L’errore di misura può essere di tipo casuale oppure sistematico e comunque originato da diverse fonti:

1. Uso irregolare dello strumento di misura

2. Alterazione dello strumento di misura

3. Distorsione sistematica introdotta dallo strumento

Gli ultimi due tipi di errore danno luogo ad oscillazioni sistematiche delle misure e sono eliminabili.

Il primo tipo produce, invece, una variazione casuale della misura che minaccia la ripetibilità o fedeltà della stessa. Spesso non è possibile distinguere errori sistematici di misura da errori di tipo casuale e per ogni misura effettuata è difficile capire quale parte del punteggio dipenda da variazioni casuali e quale parte invece dal costrutto che vogliamo misurare. E’ tuttavia importante conoscere quanto ciò che stiamo misurando è effettivamente indipendente dall’errore e quanto è attendibile una misura effettuata.

• Qualunque sia la forma dell’errore, il metodo generale per individuarlo è ripetere la misura una seconda volta. Nelle scienze sociali questo non è praticamente mai possibile perché non si può assumere che le variabili misurate siano identiche nel tempo.



Il calcolo dell’attendibilità è un passaggio fondamentale della psicometria e rientra nel concetto più ampio di fedeltà e validità delle misure.

I significati attribuiti al concetto di attendibilità sono molteplici: si può intendere la somiglianza dei risultati di uno strumento:

• Nel tempo

• Tra due strumenti paralleli

• All’interno di uno strumento

Nel primo caso è possibile somministrare lo stesso strumento agli stessi soggetti in tempi diversi e calcolare la stabilità delle risposte nel tempo.

Nel secondo caso è possibile somministrare due strumenti paralleli agli stessi soggetto nello stesso tempo e verificare la correlazione delle risposte.

Nel terzo caso si valuta la coerenza interna dello strumento.



E’ un indice di consistenza interna basato sulla media delle correlazioni tra tutti gli item della scala; questo metodo estremizza il concetto delle forme parallele, considerando tutti gli item come altrettante forme parallele della stessa scala.

E’ il più frequentemente impiegato per il calcolo dell’attendibilità.

Si basa sul calcolo delle correlazioni tra tutti gli item di uno strumento e assume valore 1 in caso di coerenza perfetta tra gli item e 0 in caso di coerenza nulla.

L’impiego di questo indice è quindi sensato solo se gli item appartenenti alla scala misurano tutti lo stesso costrutto, ovvero solo se la scala è unidimensionale (ovvero esisterà un coefficiente Alpha di Cronbach per ogni fattore latente o componente principale stratta).

Quindi il calcolo dell’attendibilità di una scala di misura è possibile solo dopo aver indagato la dimensionalità latente o le componenti principali relative agli item attraverso l’Analisi Fattoriale/Analisi delle Componenti Principali.

L’Alpha di Cronbach


L’analisi dell’attendibilità andrà effettuata separatamente, una per ogni scala, ovvero una per ogni fattore estratto dall’AF.

N.B. Nel caso in cui siano stati eliminati alcuni item tramite l’analisi fattoriale, è opportuno non considerarli per il calcolo dell’attendibilità.

Calcolo dell’Alpha di Cronbach- JAMOVI


STEP 1- scegliere il gruppo di variabili da sottoporre all’analisi

STEP 2- decidere il metodo di misura dell’attendibilità (solitamente Alpha di Cronbach)

STEP 3- selezionare le altre opzioni desiderate tramite la finestra Descriptive For, in particolare attivare l’opzione Scale If Item Deleted che indica per ciascun item quale valore assumerebbe l’attendibilità se esso fosse eliminato dalla scala

STEP 4- leggere l’output, verificare la presenza di eventuali item che presentano basse correlazioni con la scala totale

STEP 5- in caso di item che correlano scarsamente con la scala, eliminare l’item e ricalcolare l’attendibilità della scala

STEP 6- decidere la miglior composizione finale della scala valutando l’eventuale eliminazione di uno o più item

L’ATTENDIBILITA’ DAL PUNTO DI VISTA EMPIRICO - STEP


Calcolo dell’Alpha di Cronbach- JAMOVIStudiamo l’Alpha di Cronbach per le scale individuate tramite l’analisi della dimensionalità precedente:


Interpretazione a• I coefficienti di attendibilità variano da 0 (mancanza assoluta di

attendibilità) a +1 (attendibilità perfetta).

• Come regola pratica si considerano: o valori > 0.90: ottimi, o valori compresi tra 0.80 e .90: buoni, o valori compresi tra 0.70 e .80: discreti,o valori compresi tra 0.60 e .70: sufficienti, o valori < 0.60 deficitari.

• E’ corretto calcolare a quando gli item della scala misurano tutti una caratteristica omogenea

• Allo stesso tempo, se gli item sono fra loro troppo simili, l’attendibilità sarà molto elevata, ma la validità della misura può risultare bassa In questi casi rischiamo di avere una misura iper-specifica

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