PRCTICA No. 9ANLISIS DE RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA2. FUNDAMENTO TEORICO Diagramas de BodeUn Diagrama de Bode es una representacin grfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y otra que corresponde con la fase.El diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de transferencia en funcin de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logartmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una seal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una seal Asin(t) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atena por un factor x y desplaza en fase . En este caso, la salida del sistema ser (A/x)sin(t). Generalmente, este desfase es funcin de la frecuencia (= (f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas elctricos esta fase deber estar acotada entre -90 y 90.

Mrgenes de ganancia y faseMargen de Fase:El margen de fase se define como el ngulo a travs del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a travs del punto -1 en el eje real.En el diagrama de Nyquist se puede dibujar una lnea desde el origen al punto en el que el circulo unidad atraviesa al lugar . El ngulo que va desde el eje real negativo a esta lnea es el margen de faseMargen de Ganancia:El margen de ganancia es el reciproco de en la frecuencia donde el ngulo de fase es -180 . Se define como frecuencia de oscilacin como la frecuencia en la cual el ngulo de fase de la funcin en lazo abierto es igual a -180 . El margen de ganancia, se expresa como:

En trminos de decibelios ser:

Para un sistema estable de fase mnima, el margen de ganancia indica cuanta ganancia se puede aumentar antes de que se haga inestable el sistema.Para un sistema inestable, el margen de ganancia es indicativo de cunta ganancia se debe disminuir para hacer estable el sistema.

Diagramas de bode con MatlabEn Matlab se puede obtener los diagramas de bode de forma rpida y sencilla simplemente utilizando el comando bode el cual traza el diagrama logartmico de Bode de una funcin de transferencia dada. Adems presenta interesantes opciones de visualizacin como son los mrgenes de ganancia y fase.Ejemplo, Sea la funcin de transferencia:

En matlab:>> G=tf([1],[1 0.1 0.5])>> bode(G);

3. TRABAJO PREPARATORIO (TEORICO)3.1. Explicar y poner un ejemplo para cada uno de los comandos dados a continuacin bode.Traza el diagrama logartmico de Bode de una funcin de transferencia dada.Ejemplo:Sea la F.T:

num=[10 10]; den=conv([1 2],[1 5]); G=tf(num,den);

bode(G)

Margin

Calcula, sobre el diagrama de Bode, los mrgenes de fase y gananciade una funcin de transferencia y las frecuencias de corte.

Ejemplo:>> margin(G)

Lsim

Simula un sistema lineal

Ejemplo:>> T=0:0.01:10;>> U=ones(size(T));

>> lsim(G,U,T)

NyquistAl igual que con el diagrama de Bode MATLAB incorpora el comando Nyquist en su control system toolbox. Este comando calcula la respuesta en frecuencia en forma de traza polar para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.Ejemplo:>> nyquist(G)

Nichols

El anlisis de Nichols es una modificacin de los mtodos de Bode, y de Nyquist, pero con algunas otras ventajas. Bsicamente el metodo Nichols es una transformacin de los crculos M y N en la representacin rectangular en contornos no circulares M y N, sobre una representacin, en coordenadas polares, de la magnitud en decibeles contra el ngulo de fase.

Ejemplo:>> nichols(G)

3.2. Trazar el diagrama de bode del siguiente sistema:

n=[1];d=conv([1 1 0],[1 3]);G=tf(n,d);GH=feedback(G,2);bode(GH)

Determinar las caractersticas de respuesta de frecuencia: margen de fase margen de ganancia[G,F]=margin(GH)

G = 10.0000

F = Infrltool

4. TRABAJO PRCTICO (MATLAB)4.1. Considere el sistema de dos bloques en serie en la trayectoria directa y realimentacin negativa unitaria.

a) Realizar el anlisis de frecuencia del sistema G1

n1=[1 2];d1=[1 8];G1=tf(n1,d1);bode(G1)

nyquist(G1)

nichols(G1)

b) Realizar el anlisis de frecuencia del sistema G2n2=[10];d2=conv([1 3 0],[1 4]);G2=tf(n2,d2); bode(G2)

nyquist(G2)

nichols(G2)

c) Realizar el anlisis de frecuencia del sistema G1.G2

n1=[1 2];d1=[1 8];G1=tf(n1,d1);n2=[10];d2=conv([1 3 0],[1 4]);G2=tf(n2,d2);G=G1*G2;bode(G)

nyquist(G)

nichols(G)

d) Comparar anlisis anteriores

Bode:bode(G1,'r',G2,'--',G,'x')

Nyquistnyquist(G1,'r',G2,'--',G,'x')

Grafica de magnitud y fase (Nichols)nichols(G1,'r',G2,'--',G,'x')

e) Hallar el margen de fase y amplitud para cada caso

Para G1:margin(G1)[Gm,Pm]=margin(G1)Gm = Inf

Pm = -180

Para G2:

margin(G2)[Gm,Pm]=margin(G2)

Gm = 8.4000

Pm = 64.0580

Para G:

margin(G)

[Gm,Pm]=margin(G)

Gm = 54.1870

Pm = 87.4979

4.2. Considere el sistema:

a) Determinar el MG, MF de la funcin de transferencia anterior.

n=[40];d=conv([1 1 0],[1 2]);G=tf(n,d);margin(G)[G,F]=margin(G)

G = 0.1500

F = -40.4477

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Se realizo el anlisis de la tcnica respuesta en el dominio de la Frecuencia aplicando los mtodos del diagrama de Bode, Nyquist, Nichols as como los Mrgenes de Ganancia y Fase en Matlab. En el anlisis se aprecio las distintas relaciones que hay entra la amplitud, fase, frecuencia y tiempo de los sistemas. Para mejor anlisis de las respuestas de los distintos diagramas en Matlab puede usarse el comando logspace as como el comando axis para su mejor apreciacin.