ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

Logro: Al finalizar la sesin el alumno usar el MINITAB 17 para realizar pruebas de hiptesis para una media, una varianza y para una proporcin. Adems podr realizar PH para la razn de varianzas y diferencia de medias con un sentido crtico para la toma de decisiones.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MEDIA, VARIANZA Y UNA PROPORCION

1. ELEKTRA S.A., es una empresa importadora y distribuidora de transformadores de diferente tipo. El gerente de dicha empresa afirma que los transformadores que distribuye tienen una capacidad media superior a 3.35 KVA, de probarse esto aumentar la produccin. Para verificar ello, se prueban al azar 16 transformadores, obtenindose una capacidad promedio de 3.55 KVA y una varianza de 0.225 KVA2. Si la capacidad de los transformadores tiene distribucin normal, al 5% de significacin, aumentar la produccin?

Solucin

X= Capacidad de los transformadoresn=16 S2 = 0.225 S = 0.474

Nivel de significacin: = 0.05

Planteamiento:

Ho: 3.35H1: > 3.35 El gerente aumentar la produccin

MINITAB:

Estadsticas / Estadsticas Bsica / T de 1 muestra

T de una muestra

Prueba de = 3.35 vs. > 3.35

Error estndar Lmite de la inferior N Media Desv.Est. media de 95% T P16 3.550 0.474 0.118 3.342 1.69 0.056

P-valor = 0.056 > = 0.05 No rechazar Ho

Conclusin: Con 5% de significacin, no existe evidencia estadstica para afirmar que la capacidad media sea superior a 3.35 KVA.

Por lo tanto, el Gerente no aumentar la produccin.

2. En un proceso de fabricacin se requiere que la desviacin estndar de las longitudes de cierto tipo de tornillo sea de 2.0 milmetros. Para controlar la variabilidad de este proceso (bajo control), el jefe de control de calidad selecciona diariamente una muestra al azar de 10 tornillos. Un da determinado registr las siguientes longitudes en milmetros:

71666472696770686569

En base a la informacin de la muestra, es posible afirmar que el proceso est fuera de control? Asuma que la distribucin de las longitudes es normal y use = 0.05.

Solucin

X= longitud de los tornillos (en milmetros)

Planteamiento:

Ho: 2 = 4H1: 2 4 Proceso fuera de control

Nivel de significacin: = 0.05

Ingresar los valores al MINITAB:

Estadsticas / Estadsticas Bsica / 1 varianza

Pruebas

EstadsticaVariable Mtodo de prueba GL Valor pLongitud Chi-cuadrada 15.23 9 0.170 Bonett 0.113

P-valor = 0.170 > = 0.05 entonces No rechazar Ho.

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, no existe evidencia estadstica para afirmar que la varianza sea diferente de 4.

Por lo tanto, el proceso no est fuera de control.

3. Ibrica S.A. es una empresa dedicada a la venta de taladros, ltimamente est recibiendo devoluciones de diferentes tipos de taladros por mal funcionamiento. El dueo de la empresa afirma que si ms del 15% de taladros devueltos son del tipo C, dejara de comprar ese tipo de taladro. Para verificar el supuesto, selecciona una muestra aleatoria de 55 taladros devueltos. Los datos se muestra a continuacin:

Al 5% de significacin, el dueo debe dejar de comprar el taladro tipo C?

Solucin

X= Nmero de taladros devueltos del tipo Cn = 55

Nivel de significacin: = 0.05

Planteamiento:

Ho: P 0.15 (No Se deja comprar el taladro tipo C) H1: P > 0.15 (Se deja de comprar el taladro tipo C)

Estadsticas / Estadsticas Bsica / 1 Proporcin

Prueba e IC para una proporcin

Prueba de p = 0.15 vs. p > 0.15

Lmite inferiorMuestra X N Muestra p de 95% Valor Z Valor p1 14 55 0.254545 0.157932 2.17 0.015

Uso de la aproximacin normal.

P-valor = 0.015 < = 0.05 entonces Se Rechaza Ho

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, se puede afirmar que la proporcin de taladros del tipo C devueltos es mayor a 15%. Por lo tanto se deja de comprar el taladro tipo C.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS MUESTRAS

4. ELECTRONICS S.A. es una compaa que fabrica piezas electrnicas, y para mejorar la produccin, el dueo piensa comprar una nueva mquina que fabrique las piezas empleando menos tiempo. El departamento de produccin debe elegir entre la mquina A o B, y su decisin se basar en lo siguiente: se elegir la mquina B si es ms eficiente, en caso contrario comprar la mquina A. Durante un periodo de prueba, al jefe de produccin se le permiti operar ambas mquinas, de tal manera que registro al azar los tiempos en segundos de 10 piezas fabricadas por cada mquina.

Mquina A55565756585354596057

Mquina B50514250406053444858

Utilizando un nivel de significacin del 5% y suponiendo que los tiempos tienen distribucin normal.

a) Se podra concluir que las varianzas de los tiempos de fabricacin en ambas mquinas son homogneas? b) Qu tipo de mquina debera elegir el departamento de produccin?

Solucin XA = tiempo de produccin de la mquina A (en segundos) XB = tiempo de produccin de la mquina B (en segundos) Ingresando los datos en el Minitab:

a) Prueba de hiptesis de la razn de varianzas

Ho:

H1:

Nivel de significacin: = 0.05

Estadsticas/Estadsticas bsicas/2 Varianzas

Prueba e IC para dos varianzas: A, B

Mtodo

Hiptesis nula Varianza(A) / Varianza(B) = 1Hiptesis alterna Varianza(A) / Varianza(B) 1Nivel de significancia = 0.05

Se utiliz el mtodo F. Este mtodo es exacto slo para datos normales.

Estadsticas

IC de 95% paraVariable N Desv.Est. Varianza varianzasA 10 2.173 4.722 ( 2.234, 15.738)B 10 6.467 41.822 (19.787, 139.387)

Relacin de desviaciones estndar = 0.336Relacin de varianzas = 0.113

Intervalos de confianza de 95%

IC para IC para relacin de relacin deMtodo Desv.Est. varianzaF (0.167, 0.674) (0.028, 0.455)

Pruebas

EstadsticaMtodo GL1 GL2 de prueba Valor pF 9 9 0.11 0.003

Como Valor p = 0.003 < = 0.05 Se Rechaza Ho

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, se puede afirmar que las varianzas poblacionales son diferentes (Heterogneas).

b) Qu tipo de mquina debera elegir el departamento de produccin?

Prueba de hiptesis de dos medias poblacionales

Ho:

H1: (la mquina B emplea menos tiempo de fabricacin, es ms eficiente)

Nivel de significacin: = 0.05

Estadsticas/Estadsticas bsicas/T 2 muestras

Prueba T e IC de dos muestras: A, B

T de dos muestras para A vs. B

Error estndar de la N Media Desv.Est. mediaA 10 56.50 2.17 0.69B 10 49.60 6.47 2.0

Diferencia = (A) - (B)Estimacin de la diferencia: 6.90Lmite inferior 95% de la diferencia: 3.03Prueba T de diferencia = 0 (vs. >): Valor T = 3.20 Valor p = 0.004 GL = 11

Como Valor p = 0.004 = 0.05 entonces se Rechaza Ho

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, se puede afirmar estadsticamente que el tiempo promedio de produccin de la maquina A es mayor que la mquina B, por lo tanto la mquina B emplea menos tiempo de fabricacin. Se compra la mquina B

5. MATRIX S.A. es una empresa que se dedica a la fabricacin de tornillos. El departamento de control de calidad le ha informado al jefe de produccin que la longitud promedio del tornillo fabricado con la mquina I excede a la longitud promedio del tornillo fabricado con la mquina II en ms de 10 milmetros, y por lo tanto no se est cumpliendo con las especificaciones tcnicas. Para verificar esta informacin el jefe de produccin ha tomado al azar dos muestras de tornillos fabricados con la maquinas I y II respectivamente, obteniendo los siguientes resultados:

MaquinanS

I1077.5 mm3.071 mm

II1268.1 mm2.601 mm

Suponiendo que la longitud de los tornillos sigue una distribucin normal, y en base a estos resultados, se cumple con las especificaciones tcnicas? Use = 0.05.

Solucin

X1: Longitud del tornillo tipo I (en mm)X2: Longitud del tornillo tipo II (en mm)

Paso 1: Prueba de hiptesis de la razn de varianzas

Ho:

H1:

Nivel de significacin: = 0.05

Estadsticas/Estadsticas bsicas/2 varianzas

Prueba e IC para dos varianzas

Mtodo

Hiptesis nula Varianza(Primero) / Varianza(Segundo) = 1Hiptesis alterna Varianza(Primero) / Varianza(Segundo) 1Nivel de significancia = 0.05

Se utiliz el mtodo F. Este mtodo es exacto slo para datos normales.

Estadsticas

IC de 95% paraMuestra N Desv.Est. Varianza varianzasPrimero 10 3.071 9.431 (4.462, 31.432)Segundo 12 2.601 6.765 (3.395, 19.503)

Relacin de desviaciones estndar = 1.181Relacin de varianzas = 1.394

Intervalos de confianza de 95%

IC para IC para relacin de relacin deMtodo Desv.Est. varianzaF (0.623, 2.335) (0.389, 5.454)

Pruebas

EstadsticaMtodo GL1 GL2 de prueba Valor pF 9 11 1.39 0.594

Como Valor p = 0.594 > = 0.05 No se Rechaza Ho

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, las varianzas poblacionales son homogneas.

Paso 2: Prueba de hiptesis de dos medias poblacionales

Ho: (Se cumple con las especificaciones tcnicas)

H1: (No se cumple con las especificaciones tcnicas)

Nivel de significacin: = 0.05

Estadsticas/Estadsticas bsicas/T de 2 muestras

Prueba T de dos muestras e IC

Error estndar de laMuestra N Media Desv.Est. media1 10 77.50 3.07 0.972 12 68.10 2.60 0.75

Diferencia = (1) - (2)Estimacin de la diferencia: 9.40Lmite inferior 95% de la diferencia: 7.32Prueba T de diferencia = 10 (vs. >): Valor T = -0.50 Valor p = 0.688 GL = 20Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 2.8222

Como Valor p = 0.688 > = 0.05 entonces No se Rechaza Ho

Conclusin: Con un nivel de significacin del 5%, no se puede afirmar que la longitud promedio del tornillo tipo I excede a la longitud promedio del tornillo tipo II en ms de 10 mm, por lo tanto Si se est cumpliendo con las especificaciones tcnicas.