L’algebra delle opzioni

Giulio TagliaviniUniversità di Parma

Premessa Miscelando contratti a fermo e ad opzione è

possibile organizzare posizioni speculative di significato molto vario.

Nel seguito sono riassunte alcune indicazioni che riguardano la contabilizzazione e l'interpretazione delle posizioni create mediante combinazione di contratti semplici.

Infatti, il significato reale di molte posizioni complesse molto facilmente sfugge se non viene

utilizzata una precisa metodologia di controllo.

Obiettivo dello speculatore e blocchi elementari di lavoro. L'obiettivo del trader è quello di

organizzare un profilo di risultato sui vari prezzi possibili a termine che abbia caratteristiche di rischio/rendimento adeguate con: le previsioni circa la volatilità/stabilità del

prezzo del titolo e circa le sue tendenze al rialzo ed al ribasso;

la propria avversione al rischio, e quindi con la perdita massima che si ritiene di sopportare in ipotesi pessimistica.

Blocchi elementari I blocchi elementari che possono essere composti nella

posizione complessiva sono in numero piuttosto ridotto, e di interpretazione immediata:

acquisto e vendita del titolo con esecuzione a pronti o a termine

acquisto e vendita di contratti call alle varie basi acquisto e vendita di contratti put alle varie basi.

Risulta molto significativo illustrare i blocchi elementari con riferimento ad un grafico sul cui asse delle ascisse si pongono i vari prezzi possibili del titolo alla data di valutazione della posizione speculativa.

Sull'asse delle ordinate viene posto il guadagno e la perdita potenziale che si produce ai vari livelli di prezzo.

Grafici Con riferimento ai blocchi elementari, l'osservazione dei grafici suddetti

permette queste osservazioni: il prezzo di esercizio dà luogo, nelle opzioni, a grafici di profitto “spezzati”; i contratti put danno luogo a grafici orizzontali a destra del prezzo di esercizio. A sinistra

dello stesso danno luogo ad un linea crescente, in caso di vendita del contratto, o decrescente, in caso di acquisto;

i contratti call danno luogo a grafici orizzontali a sinistra del prezzo di esercizio. A destra di tale prezzo danno luogo ad una linea crescente, in caso di acquisto, o decrescente, in caso di vendita;

il grado di pendenza delle linee non orizzontali dipende dal numero di contratti che sono stati stipulati. Per contratti unitari la pendenza è 45 gradi. Contratti di ammontare maggiore danno luogo a pendenze più pronunciate;

il contratto a fermo produce un grafico sempre inclinato, positivamente in caso di acquisto (posizione "lunga"), negativamente in caso di vendita (posizione "corta" ). Si mantiene la regola circa il grado di pendenza legato al numero di contratti conclusi.

Risulta comodo indicare con O la pendenza orizzontale, con 1 la pendenza positiva procurata da un contratto (45 gradi), con -1 la pendenza negativa procurata da un contratto (- 45 gradi). 1 vuol dire che il guadagno cresce di 1 al crescere di 1 del prezzo.

Le formule necessarie E' utile poi trascrivere in un linguaggio

algebrico particolare i contratti base: acquisto put (-1, O) (E) vendita put ( 1, 0) (E) acquisto call ( 0, 1) (E) vendita call ( 0,-1) (E) acquisto a fermo ( 1, 1) (S) vendita a fermo (-1,-1) (S)

Dove: E = prezzo di esercizio di ogni contratto S = è il prezzo di effettuazione del contratto a fermo

Posizione lunga Posizione corta

(1,1) S

(-1,-1) S

Call comprato Call venduto

(0,1) E

(0,-1) E

Put comprato Put venduto

(-1,0) E(1,0) E

La combinazione dei blocchi di base La notazione algebrica appena

introdotta permette di controllare il significato di posizioni composte, in cui hanno effetto più contratti elementari. Un esempio semplifica la possibilità di "sommare" le singole posizioni di base.

ESEMPIO N.1 Lo speculatore acquista un contratto call base 1.0 e

vende un contratto put base 1.0. Quale è il significato della posizione ? Ricorrendo alla notazione algebrica: acquisto del call (0,1) (1.0) vendita del put (1,0) (1.0) e sommando i due contratti posizione complessiva (1,1) (1.0) che si interpreta come un acquisto a fermo a prezzo

uguale alla base comune. In questo caso le due "spezzature" dei profili elementari

si compensano nella posizione complessiva in modo da formare una linea continua.

ESEMPIO N. 1 CON VARIAZIONE Se la base dei due contratti non fosse stata la stessa (ad

esempio base del put = 1.1) l'operazione di somma sarebbe stata effettuata con maggiore attenzione:

acquisto del call (0,1) (1.0) vendita del put (1,0) (1.1) posizione complessiva (1,2,1) (1.0,1.1) e con un criterio analogo in caso di basi invertite: acquisto del call (0,1) (1.1) vendita del put (1,0) (1.0) posizione complessiva (1,0,1) (1.0,1.1)

LA SOMMA DELLE PENDENZE Il funzionamento di questa notazione si basa

dunque sull'individuazione, mediante somma, della pendenza della posizione tra i vari prezzi a cui sono state fissate le basi dei contratti elementari. L'algebra delle opzioni può essere utilizzata per interpretare la somma di svariati contratti che sono in essere o, partendo dal punto di vista opposto, per tradurre nei contratti necessari una posizione che viene immaginata nel suo complesso.

L'esempio numero 2 parte dalla considerazione della posizione complessiva.

ESEMPIO N.2 Si vuole "montare" la posizione speculativa

descritta in questo modo (la posizione è denominata nel gergo butterfly spread):

(0,1,-1,0) (1.0,1.2,1.3) Si noti che il numero dei prezzi nella seconda

parentesi è uguale al numero dei cambi di pendenza, e quindi al numero delle inclinazioni della prima parentesi diminuito di uno. Ciò è ovvio: per ottenere il cambio di pendenza occorre un contratto a premio e farne corrispondere la base.

PER COSTRUIRE LA POSIZIONE Per costruire la posizione si possono comporre i

seguenti contratti: A = acquisto V = vendita A 1 call base 1.0 (0,1, 1, 1) (1.0,E , E) V 2 call base 1.2 (0,0,-2,-2) ( E,1.2, E) posizione intermedia (0,1,-1,-1) (1.0,1.2, E) A 1 call base 1.3 (0,0, 0, 1) ( E, E,1.3) posizione finale (0,1,-1, 0) (1.0,1.2,1.3)

ALTERNATIVA ma è possibile anche la seguente soluzione: A 1 put base 1.3 (-1,-1,-1,0) ( E, E,1.3) V 2 put base 1.2 (+2,+2, 0,0) ( E,1.2, E) posizione intermedia ( 1, 1,-1,0)

( E,1.2,1300) A 1 put base 1.0 (-1, 0, 0,0) (1.0, E, E) posizione finale ( 0, 1,-1,0) (1.0,1.2,1.3) La prima soluzione "sistema" la posizione da sinistra,

partendo da basi basse, ed utilizza contratti call. La seconda soluzione, da destra, utilizza contratti put.

ULTERIORE ALTERNATIVA Sono possibili soluzioni ancora diverse, ad

esempio: V 1 fisso (-1,-1,-1,-1) ( E, E, E) A 1 call ( O, 0, 0,+1) ( E, E,1.3) V 2 put (+2,+2, 0, 0) ( E,1.2, E) A 1 put (-1, 0, 0, 0) (1.0, E, E)

posizione ( 0, 1,-1, 0) (1.0,1.2,1.3)

 Rilevanza della molteplicità delle soluzioni Se la stessa posizione speculativa può essere organizzata in modi diversi

ne consegue che tali diversi modalità dovrebbero avere il medesimo costo.

Se così non fosse, potremmo acquistare la soluzione meno costosa e vendere quella a prezzo più alto.

La differenza positiva tra i due prezzi sarebbe l'utile del nostro arbitraggio. Gli esiti delle due posizioni, per definizione identiche, si compensano

esattamente, in quanto una è stata venduta e l'altra acquistata. La convenienza per l'acquisto della soluzione meno costosa tende a rafforzare su di essa la domanda. La conseguente crescita del costo dei premi utilizzati dovrebbe spingere ad un riequilibrio ed all'annullamento delle convenienze per l'arbitraggio. L' investitore di borsa può dunque valutare le differenze di costo tra modalità diverse di montaggio della stessa posizione.

In un mercato perfetto tutte le diverse modalità hanno il medesimo costo. Nella realtà, i costi di transazione, i tempi di reazione non immediati, la diversità dell’ammontare dei capitale investiti riducono la convenienza di arbitraggi estremamente sofisticati in presenza di squilibri di importo non rilevante.

L'altezza del profilo di risultato Il grafico di risultato della posizione speculativa può

essere gestito nel senso che si può imprimergli la successione di pendenze che più soddisfa i desideri e la fantasia dell'investitore.

La dislocazione del profilo di risultato rispetto agli assi, e quindi l'utile e la perdita da contabilizzare nei singoli esiti del mercato, non possono però essere ovviamente decisi dall'investitore, ma sono intrinseche nelle condizioni di mercato.

In altri termini, la decisione di acquistare (vendere) una opzione per imprimere una certa modificazione di pendenza è subordinata alla verifica che il costo (ricavo) sia soddisfacente e accettabile.

GUADAGNI E PERDITE Le varie configurazioni del profilo di

risultato inevitabilmente presentano tratti di guadagno e tratti di perdita. Gli sforzi per allargare l'area di guadagno procurano sempre l'aumento delle perdite in altre situazioni di mercato. 

La trasformazione dei contratti La possibilità di organizzare profili di speculazione in modo

alternativo è particolarmente interessante per quei contratti complessi che vengono venduti sul mercato già assemblati.

Tali profili di risultato vengono richiesti con una certa regolarità ed allora alcuni operatori (i trasformatori delle opzioni) si assumono il compito di vendere sul mercato la posizione assemblata per acquistare le componenti o viceversa.

La differenza di costo tra il contratto sintetico e le sue componenti è rilevante per il trasformatore e per l'acquirente che può decidere di rivolgersi al mercato delle componenti, se la differenza di prezzo è sufficientemente interessante.

Le modalità di costruzione delle posizioni speculative Nel seguito sono indicate le più

importanti equivalenze tra opzioni e sono illustrati numerosi contratti complessi. Oltre a contratti complessi sono descritte posizioni speculative non offerte in modo diretto; esse possono essere organizzate solo partendo dalle componenti di base. Molte di esse non sono utilizzate dagli operatori nazionali.

TRASFORMAZIONE DEI CONTRATTI A FERMO TITOLI SINTETICI A fisso ( 1, 1) V fisso (-1,-1) = = A call ( O, 1) (E) V call ( 0,-1) (E) V put ( 1, 0) (E) A put (-1, 0) (E)

TRASFORMAZIONE DEI PREMI A FACOLTA' SEMPLICE A call ( 0,1) (E) V call ( 0,-1) (E) = = A fisso ( 1,1) V fisso (-1,-1) A put (-1,0) (E) V put ( 1, 0) (E)   A put (-1, 0) (E) V put ( 1, 0) (E) = = V fisso (-1,-1) A fisso ( 1, 1) A call ( 0, 1) (E) V call ( 0,-1) (E)

TRASFORMAZIONE DEI PREMI A FACOLTA' COMPOSTA NEGOZIATI SUL MERCATO ITALIANO - STELLAGE  

A stellage (-1,+1) (E) V stellage (+1,-1) (E) = = A put (-1, 0) (E) V put ( 1, 0) (E) A call ( 0, 1) (E) V call ( 0,-1) (E) = = A fisso ( 1, 1) V fisso (-1,-1) A 2 put (-2, 0) (E) V 2 put ( 2, 0) (E) = = V fisso (-1,-1) A fisso ( 1, 1) A 2 call ( 0, 2) (E) V 2 call ( 0,-2) (E) (lo stellage viene denominato straddle sui mercati

anglosassoni)

STRIP A strip (-2, l) (E) V strip ( 2,-1) (E) = = A 2 put (-2, O) (E) V 2 put ( 2, 0) (E) A 1 call ( 0, l) (E) V 1 call ( 0,-1) (E) = = A 3 call ( 0, 3) (E) V 3 call ( 0,-3) (E) V 2 fisso (-2,-2)A 2 fisso ( 2, 2) = = A 1 fisso ( l, l) (E) V 1 fisso (-1,-1) (E) A 3 put (-3, 0) (E) V 3 put ( 3, 0) (E)

STRAP A strap (-l, 2) (E) V strap ( 1,-2) (E) = = A 1 put (-l, 0) (E) V 1 put ( l, 0) (E) A 2 call ( 0, 2) (E) V 2 call ( 0,-2) (E) = = A 3 call ( 0, 3) (E) V 3 call ( 0,-3) (E) V 1 fisso (-1,-1) A 1 fisso ( l, l) = = A 2 fisso ( 2, 2) (E) V 2 fisso (-2,-2) (E) A 3 put (-3, 0) (E) V 3 put ( 3, 0) (E)

ALTRE POSIZIONI SPECULATIVE L'ACQUISTO DI UN VERTICAL SPREAD (al rialzo)

Lo spread combina l'acquisto e la vendita di opzioni dello stesso tipo. Lo spread verticale combina premi con diversa base e stessa scadenza; lo spread orizzontale combina diverse scadenze ma la stessa base; lo spread diagonale combina diverse basi e scadenze. Nel seguito sono analizzati solo contratti con medesima scadenza, e quindi spread verticali.

A vertical spread ( 0, l, 0) (e,E) = A 1 put base bassa (-l, 0, 0) (e) V 1 put base alta ( l, l, 0) (E) = A 1 call base bassa ( 0, l, l) (e) V 1 call base alta ( 0, 0,-1) (E)

LA VENDITA DI UN VERTICAL SPREAD (al ribasso) V vertical spread ( 0,-1, 0) (e,E) = V 1 put base bassa ( 1, 0, 0) (e) A 1 put base alta (-1,-1, 0) (E) = V 1 call base bassa ( 0,-1,-1) (e) A 1 call base alta ( 0, 0, 1) (E)

L' ACQUISTO DI UN CALL NEUTRAL RATIO VERTICAL SPREAD

(Rispetto alle posizioni precedenti vengono combinate call per quantitativi diversi.)

A neutral ratio v. spread ( 0, 2,-1) (e,E)

= A 2 call base bassa ( 0, 2, 2) (e) V 3 call base alta ( 0, 0,-3) (E)

L' ACQUISTO DI UN PUT NEUTRAL

RATIO VERTICAL SPREAD

A neutral ratio v. spread ( 1,-2, 0) (e,E)

= A 2 put base alta (-2,-2, 0) (e) V 3 put base bassa ( 3, 0, 0) (E)

STRANGLE

ACQUISTO (-1, 0, 1) (e,E) VENDITA( 1, 0,-1) (e,E)

BUTTERFLY SPREAD

ACQUISTO ( 0, 1,-1, 0) (el,e2,e3) VENDITA( 0,-1,+1, 0) (el,e2,e3)

Straddle - Stellage

StrangleButterfly

FASTER BREAKEVEN CALL ACQUISTO ( O, 2, 1) (e,E) anticipa l'area di guadagno al

rialzo a condizioni di costo ridotto

FASTER BREAKEVEN PUT ACQUISTO (-2,-1, 0) (e,E) anticipa l'area di guadagno al

ribasso a condizioni di costo ridotto

CONDOR ACQUISTO ( 0, 1, 0,-1, 0)

(el,e2,e3,e4) VENDITA ( 0,-1, 0, 1, 0)

(el,e2,e3,e4)

PTERODATTILO ACQUISTO ( 0,-1, 2,-1, 0)

(el,e2,e3,e4) (al rialzo) VENDITA ( 0, 1,-2, 1, 0)

(el,e2,e3,e4) (al ribasso) (sono uno spread tra butterfly)

La scelta del profilo di risultato e l'impostazione della strategia di

investimento

Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti.  

convenienza Strategia ribasso rialzo profitto perdita forte debole debole forte max max

A fermo ************ I I V fermo ************ I I A call *********** I L V call *********** L I A put *********** I L V put *********** L I A stellage ********* ********* I L V stellage ******** L I A strip ********* ********* I L V strip ******* L I A strap ********* ********* I L V strap ******* L I

La scelta del profilo di risultato e l'impostazione della strategia di

investimento

Nella tabella seguente sono riassunte alcune indicazioni per l'utilizzo dei profili di risultato prima descritti.  

convenienza Strategia ribasso rialzo profitto perdita forte debole debole forte max max A vertical spread ********** L L V vertical spread *********** L L A strangle ********* ******** I L V strangle ******** L I A butterfly ********* ******** L L V butterfly ******** L L A call neutral rvs ****** I L V call neutral rvs ************* ****** L I A put neutral rvs ****** I L V put neutral rvs ******* ************ L I A faster b call ************* L I A faster b put ************ I L A condor ******** V condor ********* ******** A pterodattilo *********** V pterodattilo ***********