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27.1 Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011
Martingalee Misure di Probabilità
Capitolo 27
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.2
Derivati in Funzione di una Variabile Sia θ una variabile che non rappresenta
necessariamente il prezzo di un titolo. Il processo stocastico seguito da θ è del tipo
Siano f1 e f2 i prezzi di due derivati che dipendono da θ e da t.
In base al lemma di Itô
sdzmdθθ
dzσdtμffdzσdtμ
ff
222
211
1
1 e
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.3
Portafoglio Privo di Rischio Possiamo creare un portafoglio privo di rischio composto da
σ2 f2 del primo derivato e da –σ1 f1
del secondo. Il valore, Π, del portafoglio è Π = (σ2 f2) f1 – (σ1 f1) f2 ΔΠ = (σ2 f2) Δ f1 – (σ1 f1) Δ f2
Sostituendo Δ f1 e Δ f2 si ottiene ΔΠ = (σ2 f2)(μ1 f1 Δt + σ1 f1Δz) – (σ1f1)(μ2f2 Δt + σ2f2 Δz) = (μ1 σ2 f1 f2 – μ2 σ1 f1 f2) Δt
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.4
Prezzo di Mercato del Rischio Dato che il portafoglio è privo di rischio
ΔΠ = rΠΔt(μ1 σ2 f1 f2 – μ2 σ1 f1 f2) Δt = r[(σ2 f2) f1 – (σ1 f1) f2] Δt
da cui μ1 σ2 – μ2 σ1 = r σ2 – r σ1
ossia
Il rapporto λ = (μ – r)/σ è lo stesso per tuttii derivati che dipendono da θ ed è chiamatoprezzo di mercato del rischio.
2
2
1
1
σrμ
σrμ
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.5
Derivati in Funzione di Più Variabili Si considerino n variabili di stato θ1, θ2, ... θn
che seguono un processo stocastico del tipo
Il processo seguito dal prezzo, f, di un derivatoche dipende dalle θi e da t è
Si può dimostrare che
iiiiii dzθsdtθmθd
n
iiidzσffdtμdf
1
n
iiiσλrμ
1
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.6
Martingale Le martingale sono processi stocastici con drift nullo. Il valore atteso delle variabili che seguono
una martingala è uguale al valore corrente.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.7
Misure di Probabilità Nel tradizionale mondo neutrale verso il rischio,
dove il prezzo di mercato del rischio λ è nullo,si ha df = r f dt + σ f dz.
In un mondo in cui il prezzo di mercatodel rischio è λ, si ha df = (r + λ σ) f dt + σ f dz.
Quando si sceglie un particolare prezzo di mercatodel rischio si definisce una particolare misuradi probabilità.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.8
Un Risultato Fondamentale Siano f e g i prezzi di due derivati che non
distribuiscono redditi durante il periodo in esame. Se λ è uguale alla volatilità di g, si può dimostrare,
in base al lemma Itô, che il rapporto f /gè una martingala.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.9
Mondo Forward Risk Neutral Il mondo in cui il prezzo di mercato del rischio
è uguale alla volatilità di g è chiamato mondo forward risk neutral rispetto a g.
Se con il simbolo Eg si indica il valore attesoin un mondo forward risk neutral rispetto a g, si ha
T
Tg g
fEgf
0
0
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.10
Titolo che Funge da Numerario Sceglieremo come numerario
– il conto di mercato monetario;– il prezzo di uno zero-coupon bond;– il valore attuale di una rendita.
Il primo esempio mostra l’equivalenzacon il tradizionale principio della valutazioneneutrale verso il rischio.
Gli altri mostrano come valutare bond options, interest-rate swaps e swaptions.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.11
Conto di Mercato Monetario Il conto di mercato monetario è un conto, con valore
corrente di $1, che capitalizza continuamente il tasso d’interesse a breve privo di rischio.
Il processo seguito dal valore del conto è dg = r g dt .
La volatilità del conto è nulla. L’utilizzo del conto di mercato monetario come
numerario porta al tradizionale mondo neutraleverso il rischio in cui λ = 0.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.12
l’equazione diventa
Conto di Mercato Monetario (continua)
Dato che g0 = 1 e
dove Ê indica il valore atteso nel consueto mondo neutrale verso il rischio.
T
rdt
T egg 00
T
Tg g
fEgf
0
0
][ˆ 00 T
rdt
feEf
T
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.13
l’equazione diventa
Prezzo di uno Zero-Coupon Bond Dato che g0 = P(0, T) e gT = 1,
f0 = P(0, T) ET ( fT ) dove ET indica il valore atteso in un mondo
forward risk neutral rispetto al prezzodello zero-coupon bond.
T
Tg g
fEgf
0
0
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.14
Prezzi Forward Sia F il prezzo forward a T anni di una variabile
generica θ e f il valore del contratto forward. Dato che f0 = P(0, T) ET ( fT ), si ha
f0 = P(0, T) [ET ( θT ) – K]. Il prezzo forward, F, di θ è il valore di K che rende
nullo f0, per cui F = ET ( θT ). In un mondo forward risk neutral rispetto al prezzo
di uno zero-coupon bond, il valore atteso di una variabile generica è uguale al prezzo forward.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.15
Tassi d’Interesse Sia R(t, T1, T2) il tasso forward per il periodo (T1, T2),
composto 1/ (T2 – T1) volte l’anno. Per definizione, R(t, T1, T2) = f / g dove
Dato che f0 = P(0, T2) ET ( fT ), si ha R(0, T1, T2) = E2[R(T1, T1, T2)]
dove E2 indica il valore atteso in un mondo forward risk neutral rispetto a P(t, T2).
),( e ]),(),([1221
12TtPgTtPTtP
TTf
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.16
Valore Attuale di una Rendita Sia A(t) il valore attuale di una rendita
Dato che f0 = g0 Eg ( fT / gT ), si ha
dove EA indica il valore atteso in un mondo forward risk neutral rispetto ad A(t).
1
011 ),()()(
N
iiii TtPTTtA
)()0(0 TA
fEAf TA
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.17
Rendita e Tasso Swap Sia s il tasso fisso di uno swap
con N date di pagamento T1, T2 , ... , TN. Il tasso swap che rende nullo il valore
del contratto è s(t) = f/g dove f = P(t, TN) – P(t, TN+1) e g = A(t).
Dato che f/g = EA(fT/gT), si ha s(t)=EA[s(T)]. In un mondo forward risk neutral rispetto al valore
attuale di una rendita, il tasso swap atteso è uguale al tasso swap corrente.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.18
Estensione a Più Fattori Indipendenti Nel mondo neutrale verso il rischio si ha
In altri mondi (internamente coerenti) si ha
n
iiig
n
iiif dzgσdtrgdgdzfσdtrfdf
1,
1,
n
iiig
n
iigi
n
iiif
n
iifi
dzgσdtgσλrdg
dzfσdtfσλrdf
1,
1,
1,
1,
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.19
Estensione a Più Fattori Indipendenti Il mondo forward risk neutral rispetto a g
è il mondo in cui λi = σgi. Come nel caso di un solo fattore,
f/g è una martingala e gli altri risultatirestano validi.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.20
Applicazioni Il principio della valutazione forward risk neutral
può essere applicato per valutare (in particolare)– le opzioni call e put europee quando i tassi
d’interessesono stocastici;
– le opzioni di scambio.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.21
Modello di Black Dato che f0 = P(0, T) ET ( fT ), si ha
c = P(0, T) ET [max(FT – K, 0)] dove FT ≡ ST. Inoltre, poiché
ET [max(FT – K, 0)] = ET (FT)N(d1) – KN(d2) e ET (FT) = F0, ne segue che
c = P(0, T)[F0N(d1) – KN(d2)] . Pertanto, il modello di Black resta valido anche quando i
tassi d’interesse sono stocastici.
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.22
Opzioni di Scambio Dato che f0 = g0 Eg(fT / gT), in un mondo forward risk neutral
rispetto a U si ha V0 = U0 EU (VT / UT). Se f0 ≡ V0 è il valore corrente di un’opzione di scambio e fT =
max(VT – UT, 0) è il suo valore finale, si ha f0 = U0 EU [max(VT – UT, 0) / UT] da cuif0 = U0 EU [max(VT / UT – 1, 0)] e quindi f0 = U0 [EU (VT / UT) N(d1) – N(d2)] .
Infine, dato che V0 = U0 EU (VT / UT), si ottiene la formula di Margrabe per un’opzione di scambio:
f0 = V0 N(d1) – U0 N(d2)].
Opzioni, Futures e Altri Derivati, 8a ed., Copyright © John C. Hull 2011 27.23
Cambiamento di Numerario Quando cambiamo il numerario da g ad h,
il drift di una variabile ν cambia in misura pari a ρ σv σw
dove: – σv è la volatilità di v;– w = h/g;– σw è la volatilità di w;– ρ è il coefficiente di correlazione tra v e w.