Capítulo 10La Transformada de Lapla e

425

426 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 42710.1. Planteamiento del problemaA lo largo del urso venimos onstruyendo modelos matemáti os para estudiar fenómenosfísi os en los que apare en tasas de ambio de diversas variables, por ejemplo velo idades ya elera iones de partí ulas y sólidos. Estos modelos matemáti os se han onstruido en mu- has o asiones usando diversos tipos de e ua iones diferen iales ordinarias (EDO). Una vezresuelta la EDO, tendremos una fun ión y(t) que nos permite al ular de forma aproximadael modo en que evolu iona la variable y en fun ión de la variable t.

Figura 10.1: MuellePor ejemplo, en el Tema 9 (E ua iones Diferen iales Ordinarias) fuimos apa es de re-solver el problema del movimiento os ilatorio de un uerpo. Si un uerpo de masa m uelgaen equilibrio de un muelle (Figura 10.1(a)), tiramos ha ia abajo del uerpo hasta alargarel muelle ierta distan ia d (Figura 10.1(b)), lo soltamos y lo sometemos a partir de esemomento a ierta fuerza variable F (t), sabemos que la EDOmy′′ + βy′ + ky = F (t) (10.1)nos sirve omo modelo on el que podemos estudiar la os ila ión de la masa a lo largodel tiempo. En este modelo (10.1):y(t) ≡ posi ión del sólido en el instante t

F (t) ≡ fuerza apli ada al uerpo en ada instante t

m ≡ masa del sólidoβ ≡ onstante de amortigua ión que depende del medio físi o (gas, agua, a eite, et )k ≡ onstante que depende de las ara terísti as de rigidez del muelleE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

428 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACERe uerda también que la e ua ión (10.1) pertene e a un tipo de e ua ión diferen ial queapare e en múltiples apli a iones prá ti as de Cien ias e Ingeniería, se trata de una EDOlineal de oe� ientes onstantes y orden 2:ay′′ + by′ + cy = F (t) (10.2)A lo largo del tema anterior desarrollamos un pro edimiento que nos permite resolver enalgunos asos este tipo (10.2) de e ua ión diferen ial ordinaria. El pro edimiento sistemáti oque en ontramos onsiste en:Primero: Cal ulamos la solu ión general ygh(t) de la EDO homogénea aso iada a (10.2),es de ir, al ulamos la solu ión general de la EDOay′′ + by′ + cy = 0 (10.3)Sabemos que el problema de en ontrar la solu ión general de (10.3) se redu e al sen illoproblema de en ontrar las dos raí es m1 y m2 de la e ua ión ara terísti a de (10.2):am2 + bm + c = 0Segundo: Cal ulamos una solu ión parti ular ypc(t) ualquiera de (10.2). Este ál uloya no es tan sen illo, pero para ello disponemos de dos métodos, el método de los oe� ientesindeterminados y el método de los operadores.Ter ero: Una vez en ontradas ygh(t) e ypc(t), es sen illo obtener la solu ión general

ygc(t) de la e ua ión ompleta (10.2): ygc(t) = ygh(t) + ypc(t)El apartado ríti o de este pro edimiento es el segundo, el ál ulo de una solu ión par-ti ular ypc(t) ualquiera de (10.2). ¾Por qué es ríti o? Pues porque sólo podemos apli arloa una lase muy redu ida de fun iones F (t). Imagina que la fun ión F (t) es ualquiera delas que apare en representadas grá� amente en la Figura 10.2. Estos ejemplos de fun ionesF (t) son de uso muy orriente en las apli a iones de las Cien ias y la Ingeniería, porquepueden representar tensiones dis ontinuas apli adas a ir uitos elé tri os o fuerzas apli adasa móviles. Sin embargo, a ninguna de estas fun iones se le puede apli ar el método de los oe� ientes indeterminados, y el método de los operadores puede ser difí il de apli ar. Enresumen, el pro edimiento que hemos desarrollado en el Tema 9 para la resolu ión de laEDO (10.2) sólo es apropiado para una lase muy redu ida de fun iones, no ubre mu hasde las apli a iones reales importantes. El método de resolu ión de (10.2) que ono emosexige demasiada regularidad a la fun ión F (t).Así pues, bus amos un pro edimiento on el que resolver (10.2) pero que sea menosexigente que el método que ono emos en uanto a regularidad de F (t).10.2. La transforma ión de Lapla e de una fun ión y(t)¾Y por dónde empezamos? Curiosamente, vamos a empezar retomando un método quetratamos de apli ar al omienzo del Tema 9 y que resultó absolutamente inútil: la integra ióndire ta de la EDO. Vamos a integrar todos los términos de la e ua ión (10.2):

ay′′ + by′ + cy = F (t) ⇒ a

∫

y′′(t) dt + b

∫

y′(t) dt + c

∫

y(t) dt =

∫

F (t) dtDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.2. LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN Y (T ) 429

Figura 10.2: Fun iones dis ontinuasNo podemos ha er más. No podemos al ular∫

y(t) dtporque no ono emos y(t). Pre isamente y(t) es la fun ión que debemos determinar. Por esoen aquél momento abandonamos este �método� ingenuo de resolu ión. Por supuesto, estemétodo es válido en e ua iones de la forma y′′ = F (t) a ondi ión de que seamos apa es deintegrar dos ve es F (t).Ya sé que las ideas que vamos a utilizar a ontinua ión son muy elaboradas y que anadie se le o urrirían en un millón de años, pero realmente fun ionan. A ver si onsiguesentenderlas.Primera idea genial: Antes de integrar los términos de la EDO (10.2), multipli arla pre-viamente por la fun ión exponen ial h(t) = est, donde s es un número real ualquiera. ¾Yde dónde viene esta idea? De re ordar que las fun iones exponen iales se integran muyfá ilmente.Primero multipli amos:ay′′ + by′ + cy = F (t) ⇒ aesty′′(t) + besty′(t) + cesty(t) = estF (t)Y luego integramos en un intervalo ualquiera [p, q]

a

∫ q

p

esty′′(t) dt + b

∫ q

p

esty′(t) dt + c

∫ q

p

esty(t) dt =

∫ q

p

estF (t) dt (10.4)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

430 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEUna vez que de idamos qué valores p y q utilizar, el término de la dere ha se podráen prin ipio al ular porque F (t) es una fun ión ono ida. Pero los tres sumandos de laizquierda no pueden al ularse porque y(t) es des ono ida, se trata de la fun ión que hayque determinar. No pare e que hayamos arreglado gran osa, empiezo a pensar que estaprimera idea no ha sido tan genial.Segunda idea genial: En vez de abandonar este método, re ordamos lo fá il que es in-tegrar fun iones exponen iales y apli amos el método de integra ión por partes. Vamos aempezar por el segundo sumando de (10.4) ya que pare e más fá il:∫ q

p

esty′(t) dt =

[

u = est du = sest dtdv = y′(t) dt v = y(t)

]

= y(t)est

∣

∣

∣

∣

t=q

t=p

− s

∫ q

p

esty(t) dt (10.5)Pues no pare e que estemos solu ionando nada porque la expresión (10.5) nos obliga aevaluar la fun ión des ono ida y(t)est en los puntos t = p, t = q, y también nos obliga aintegrarla en el intervalo [p, q]. Pare e que estas ideas geniales no lo son tanto.Ter era idea genial: Consiste en ha er que (10.5) sea más sen illa eligiendo ade uada-mente los valores p y q. La ele ión p = 0 es buena porque el valor de y(t)est en t = 0es igual a y(0), de modo que sólo ne esitamos ono er y(0), lo ual mu has ve es es una ondi ión ini ial ono ida. ¾Y qué valor de q podemos tomar?La idea es ha er que y(q)esq sea 0, eligiendo q = ∞. Claro, tenemos que suponer omohipótesis que la fun ión y(t)est tiende ha ia 0 uando t → ∞, es de ir:lımt→∞

y(t)est = 0 (10.6)Por supuesto, esta hipótesis (10.6) nos limita el onjunto de fun iones y(t) que podemosobtener, porque no siempre será ierta. Por ejemplo, si fuera s < 0 e y(t) = t2, se veri� a lahipótesis porquelımt→∞

t2est = lımn→∞

t2

e−st= 0En ambio, aunque tomemos s < 0 para y(t) = et2 , no se veri� a la hipótesis (10.6)porque

lımt→∞

et2+st = ∞Sin embargo, tomando siempre s < 0 onseguimos que la hipótesis (10.6) sea ierta parauna lase muy amplia de fun iones, porque el fa tor exponen ial est tiende ha ia 0 muyrápidamente uando t → ∞. Esta hipótesis (10.6) no es demasiado restri tiva porque lamayoría de las fun iones y(t) on las que trabajamos en Cien ias e Ingeniería umplen esta ondi ión de � re er más lentamente que alguna fun ión exponen ial�.Ejer i io 10.1 Estudia si se veri� a la hipótesis (10.6) en los siguientes ejemplos de fun- iones y(t):1. y(t) = ektDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.2. LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN Y (T ) 4312. y(t) = tt3. y(t) es una fun ión polinómi a4. y(t) es una fun ión a otada en [0,∞)Ya que nos interesa tomar s < 0 vamos a ambiar s por −s y tomar s > 0. Según lo quehemos obtenido, las expresiones (10.4) y (10.5) quedarán así:a

∫

∞

0e−sty′′(t) dt + b

∫

∞

0e−sty′(t) dt + c

∫

∞

0e−sty(t) dt =

∫

∞

0e−stF (t) dt (10.7)

∫

∞

0e−sty′(t) dt = s

∫

∞

0e−sty(t) dt − y(0) (s > 0) (10.8)Con lo ual, sustituyendo (10.8) en (10.7):

a

∫

∞

0e−sty′′(t) dt+b

(

s

∫

∞

0e−sty(t) dt − y(0)

)

+c

∫

∞

0e−sty(t) dt =

∫

∞

0e−stF (t) dt (10.9)Observa que ya tenemos un patrón en (10.9): nos apare e repetido el término

∫

∞

0e−sty(t) dt (10.10)Y el término de la dere ha de (10.9) es muy pare ido:

∫

∞

0e−stF (t) dtporque se forma sustituyendo y(t) por F (t) en (10.10). Este término se puede evaluar, porquela fun ión F (t) es ono ida. En el siguiente ejer i io vamos a evaluarlo para algunas fun iones

F (t).Ejer i io 10.2 Cal ula el valor de (10.10) que resulta de la opera ión �primero multipli- amos por e−st y luego integramos en [0,∞)�, para las siguientes fun iones F (t). Observaque el resultado es una fun ión H(s) del parámetro s > 0, porque integramos respe to a lavariable t. Dibuja la grá� a de las orrespondientes fun iones H(s) siendo:1. F (t) = k2. F (t) = t3. F (t) = t24. F (t) = eatE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

432 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACESi ahora integramos por partes el sumando que nos queda de (10.7), sería fantásti o que denuevo nos apare iera (10.11). Veamos:∫

∞

0e−sty′′(t) dt =

[

u = e−st du = −se−st dtdv = y′′(t) dt v = y′(t)

]

=

= y′(t)est∣

∣

∣

t=∞

t=0+ s

∫

∞

0e−sty′(t) dt = −y′(0) + s

(

s

∫

∞

0e−sty(t) dt − y(0)

)

=

= s2

∫

∞

0e−sty(t) dt − sy(0) − y′(0) (10.11)Para obtener (10.11) hemos utilizado las mismas ideas que antes: suponer omo hipótesisque el produ to y′(t)e−st tiende ha ia ero uando t → ∞. Ahora (10.7) quedará así:

a

(

s2

∫

∞

0e−sty(t) dt − sy(0) − y′(0)

)

+ b

(

s

∫

∞

0e−sty(t) dt − y(0)

)

+

+ c

∫

∞

0e−sty(t) dt =

∫

∞

0e−stF (t) dt (10.12)Observa que de nuevo nos ha apare ido el término que onsiste en �primero multipli arpor e−st y luego integrar el resultado en [0,∞)�. La verdad, tener que llamar a esta opera ión�primero multipli ar por e−st y luego integrar el resultado en [0,∞)� no es nada ómodo.Vamos a darle un nombre.De�ni ión 10.1 Dada una fun ión y(t) de�nida en [0,∞), llamamos transforma iónde Lapla e de y(t) a la nueva fun ión de la variable s que denotaremos por L (y(t)) = Y (s), al ulada (en el aso de que exista) del siguiente modo:

L (y(t)) = Y (s) =

∫

∞

0e−stF (t) dt (s > 0)Por ejemplo, según el ejer i io 10.2:1. y(t) = k ⇒ L (y(t)) = Y (s) = L (k) = k/s, (s > 0)2. y(t) = t ⇒ L (y(t)) = Y (s) = L (t) = 1/s2, (s > 0)3. y(t) = t2 ⇒ L (y(t)) = Y (s) = L (t2) = 2/s3, (s > 0)4. y(t) = eat ⇒ L (y(t)) = Y (s) = L (eat) = 1/(s − a), (s > a)La Figura 10.3 muestra las grá� as de ada una de las parejas y(t) e Y (s). Observa que latransformada de Lapla e puede entenderse omo una forma de de�nir fun iones Y (s) a partirde otras fun iones y(t). A partir de una fun ión y(t) de�nida en t ∈ [0,∞), onstruimos otrafun ión distinta Y (s) de�nida en otro dominio D. Por ejemplo, Y (s) = L (t2) = 2/s3 estáde�nida para s > 0, mientras que Y (s) = L (e4t) = 1/(s − 4) está de�nida para s > 4.La transforma ión de Lapla e apli ada a la EDO (10.2), transforma esta EDO en unae ua ión en la que la fun ión in ógnita es Y (s) = L (y(t)):

a(

s2Y (s) − sy(0) − y′(0))

+ b (sY (s) − y(0)) + c Y (s) = L (F (t)) (10.13)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.2. LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN Y (T ) 433

Figura 10.3: Cuatro fun iones y sus transformadasPero lo importante es que esta nueva e ua ión (10.13) ya no es una e ua ión diferen ial,porque ya no apare en fun iones derivadas. El operador transformada de Lapla e ha elimi-nado las derivadas y′(t) e y′′(t). Ahora la fun ión in ógnita de (10.13) es Y (s). No obstante(10.13) indi a que es ne esario ono er un par de datos de y(t), los valores de y(0) e y′(0).La Figura 10.4 muestra el pro eso que se apli a a una fun ión ualquiera u(t) para darlugar a la transformada de Lapla e U(s). También se muestra ual es el resultado de apli arel operador transformada de Lapla e a ada uno de los términos de la EDO.Cuarta idea genial: Nos damos uenta de que (10.13) es una e ua ión algebrai a de laque es posible despejar fá ilmente Y (s).Ejer i io 10.3 Despeja Y (s) de la e ua ión (10.13).Apliquemos todo esto a un ejemplo. Supongamos que el problema on ondi iones ini-E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

434 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 10.4: Pro edimiento de Lapla e iales esy′′ + y′ = t

y(0) = 0

y′(0) = 0 (10.14)Apli amos a (10.14) la transformada de Lapla e y tenemos en uenta el ejer i io 10.2(b):s2

∫

∞

0e−sty(t) dt + s

∫

∞

0e−sty(t) dt =

∫

∞

0e−stt dt =

1

s2Con lo ual:∫

∞

0e−sty(t) dt =

1

s3(s + 1)(10.15)Así pues, la solu ión y(t) de (10.14) es la fun ión y(t) que umple la e ua ión (10.15).La e ua ión (10.15) nos permite saber ual es la transformada de Lapla e Y (s) de y(t).Pero lo que bus amos es y(t), no su transformada. El problema ahora es: si ono emos latransformada Y (s) de una fun ión y(t), ¾ ómo al ularemos y(t)? ¾Cómo despejamos y(t)de (10.15)?En general, si apli amos todo este pro edimiento al problema

ay′′ + by′ + cy = F (t)

y(0) = y0

y′(0) = m0 (10.16)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.2. LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN Y (T ) 435Obtendremos �nalmente la transformada Y (s) de la fun ión bus ada y(t):L (y) =

∫

∞

0e−sty(t) dt = Y (s) ⇒ y(t) =? (10.17)Y ahora la pregunta es, ¾ ómo despejar y(t) de (10.17)? Se trata, por tanto, de realizarla opera ión inversa de la transformada de Lapla e. Vamos a de�nir este nuevo on epto:De�ni ión 10.2 Dada una fun ión Y (s), llamamos transforma ión inversa de Lapla- e de la fun ión Y (s) a una fun ión de y(t) tal que L (y(t)) = Y (s). Se denota del siguientemodo:

L−1(Y (s)) = y(t)Según lo que hemos obtenido hasta el momento, el pro edimiento en tres pasos para resolverel problema (10.16) apare e esquematizado en la Figura 10.5:

Figura 10.5: Tres pasosSin embargo, todavía no sabemos ómo apli ar el ter er paso de este pro edimiento, esde ir, no sabemos ómo al ular y(t) a partir de Y (s).Quinta idea genial:La idea onsiste en manejar una tabla de posibles fun iones y(t) junto a sus orrespon-dientes transformadas Y (s). Esa tabla nos dará la fun ión y(t) ono ida su transformadaY (s). Por ejemplo, la Tabla 1 ha sido onfe ionada a partir de los resultados del ejer i io10.2:De este modo, es sen illo demostrar que:

L−1

(

6

s

)

= 6

L−1

(

−4

s2

)

= −4t

L−1

(

5

s3

)

=5

2t2

L−1

(

4

s − 5

)

= 4e5tE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

436 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEy(t) = L −1(F (s)) F (s) = L (y(t))

kk

s

t1

s2

t22

s3

eat 1

s − aCuadro 10.1: Tabla 10.1Ejer i io 10.4 Cal ula la transformada inversa de Lapla e de la fun iónY (s) =

6

s−

3

s2+

4

s3+

2

s − 5En la prá ti a, utilizaremos tablas más ompletas que la Tabla 10.1, omo la Tabla 10.2.Las tablas se utilizan en ambos sentidos, es de ir, dada una fun ión y(t), la fun ión Y (s)que apare e es su transformada; y re ípro amente, dada una fun ión Y (s), la fun ión y(t)es su transformada inversa. Como ejer i io, demuestra ada una de las entradas.La Tabla 10.2 nos permite al ular transformadas y transformadas inversas de algunasfun iones que apare en en las apli a iones prá ti as. Además, es muy sen illo demostrar lalinealidad de ambos operadores. Para ualesquiera números reales A y B:L (Au(t) + Bv(t)) = AL (u(t)) + BL (v(t))

L−1 (AU(s) + BV (s)) = AL

−1 (U(s)) + BL−1 (V (s)) = Au(t) + Bv(t)En onse uen ia, podremos al ular transformadas y transformadas inversas de ombi-na iones lineales de fun iones que apare en en la tabla, omo las que se proponen en elsiguiente ejer i io.Ejer i io 10.5 Cal ula:1. La transformada de y(t) = 3 sen(4t) − 5e−6t + 3t2 − t + 2Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS TRANSFORMADAS 437y(t) Y(s)u(t)

1

s

tn ∀n ∈ Nn!

sn+1

e−αt 1

s + α

sen ω0tω0

s2 + ω20

cos ω0ts

s2 + ω20

senhβtβ

s2 − β2

cosh βts

s2 − β2Cuadro 10.2: Tabla 10.2: Transformadas de Lapla e2. La transformada inversa de F (s) =1

s4+

5

2s − 3−

6

2s2 + 3Ejer i io 10.6 Termina de resolver problema (10.14), que dejamos pendiente en (refeq10.15):L (y(t)) =

1

s3(s + 1)⇒ y(t) = L

−1

(

1

s3(s + 1)

)10.3. Existen ia y uni idad de las transformadasHasta ahora hemos supuesto que las transformadas de Lapla e Y (s) de la fun iones onsi-deradas existen. Sin embargo, en matemáti as debemos preo uparnos también por estudiarsi realmente existe el objeto matemáti o que estamos manejando. Por ejemplo, podemosE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

438 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEoperar on las expresiones L (et2) y L −1 (2s + 1) y sin embargo ninguna de estas trans-formadas existe. Así pues, tenemos que hablar de las ondi iones bajo las uales podemosestar seguros de que existe la transformada Y (s) de ierta fun ión y(t) y de la transformadainversa de y(t) de ierta fun ión Y (s).En el apartado anterior (ver ter era idea) nos apare ió la lave para mostrar qué on-di iones son su� ientes para que transformada de Lapla e de y(t) exista. Re uerda que allíne esitábamos que el produ to y(t)e−st tendiera ha ia 0 uando t tendía ha ia in�nito, para ierto valor de s > 0, es de ir:lımt→∞

y(t) e−st = lımt→∞

y(t)

est= 0 (s > 0) (10.18)Esta ondi ión (10.19) viene a signi� ar: en el aso de que y(t) → ∞ uando t → ∞, debeha erlo on un orden menor que alguna fun ión exponen ial est (s > 0). Vamos a es ribirformalmente esta idea en forma de teorema:Teorema 10.1 (Existen ia de la transformada de Lapla e.) Supongamos que y(t) esuna fun ión ontinua a tramos en el intervalo [0,∞) y que existen onstantes no negativas

a, M y T tales que:|y(t)| ≤ M eat ∀t ≥ TEnton es, existe la transformada de Lapla e Y (s) de la fun ión y(t).La demostra ión de este teorema es sen illa:|L (y(t))| =

∣

∣

∣

∣

∫

∞

0e−sty(t) dt

∣

∣

∣

∣

≤

∫

∞

0e−st |y(t)| dt ≤ M

∫

∞

0e−steat dt =

= M

∫

∞

0e(a−s)t dt = M lım

A→∞

∫ A

0e(a−s)t dt = lım

A→∞

e(a−s)t

a − s

∣

∣

∣

∣

∣

t=A

t=0

s>a=

1

s − aA otadoAsí pues, bajo las hipótesis del teorema 10.1, la integral impropia es onvergente para s > a.Observa que la úni a ondi ión que hemos impuesto a y(t) es que sea ontinua a tramosen [0,∞). Una fun ión ontinua a tramos en [0,∞) es una fun ión ontinua en todos lossubintervalos de la forma [0, b] salvo quizá en un número �nito de puntos donde puede pre-sentar dis ontinuidades de salto �nito. La Figura 10.2 muestra algunos ejemplos de fun iones ontinuas a tramos. La ondi ión de ser ontinua a tramos no es demasiado restri tiva, yla umplen mu has de las fun iones on las que se trabaja en Cien ias e Ingeniería. Porejemplo, las fun iones ontinuas son también ontinuas a tramos.Ejer i io 10.7 En la demostra ión del teorema 10.1, hemos obtenido que si F (s) es latransformada de una fun ión F (t), enton es:

|F (s)| ≤1

s − a(s > a)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAYDE LA TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE439 on lo uallım

s→∞

F (s) = 0 (10.19)Por tanto, para que una fun ión F (s) sea la transformada de Lapla e de ierta fun iónf(t), es ne esario (aunque no su� iente) que umpla esta ondi ión (10.19). Esta ondi ión(10.19) NO sirve para demostrar que una fun ión F (s) admite transformada inversa, peropuede servir para demostrar que no admite transformada inversa . (¾Sabes uándo podremosha er esta a�rma ión?).Al prin ipio de este apartado 3 a�rmamos que no existeL −1(2s + 1), ¾puedes expli aahora por qué esa a�rma ión es ierta? ¾Puedes dar otros ejemplos de fun iones F (s) queno admiten transformada inversa de Lapla e?Ejer i io 10.8 Una fun ión y(t) que veri�que las ondi iones del teorema 10.1 se llamafun ión de orden exponen ial. Demuestra que las siguientes fun iones y(t) son de ordenexponen ial.1. y(t) = kebt2. y(t) = k sen(bt)3. y(t) = k cos(bt)Ejer i io 10.9 (Uni idad de las transformadas.) ¾Es posible que dos fun iones dife-rentes u(t) y v(t) tengan la misma transformada de Lapla e? Se puede demostrar que ambasfun iones u(t) y v(t) no puede ser distintas en todos los puntos de un intervalo de longitudpositiva. En parti ular, diferentes fun iones ontinuas tienen también diferentes transfor-madas de Lapla e. Sin embargo, dos fun iones u(t) y v(t) pueden diferir en varios puntosaislados y tener igual transformada. Veri� a que esto es ierto para las fun iones uya grá� aapare e en la Figura 10.6.El ejer i io anterior muestra que dos fun iones ontinuas a tramos que sean diferentespero que tengan igual transformada de Lapla e, pueden diferir solamente en puntos aislados.Así pues, la transformada inversa es esen ialmente úni a, porque tales diferen ias no songeneralmente importantes en las apli a iones.10.4. Propiedades de la transformada y de la transformadainversa de Lapla eHemos visto que la Tabla 10.2 y la propiedad de linealidad nos permite al ular trans-formadas y transformadas inversas de algunas fun iones que apare en en las apli a ionesprá ti as. Sin embargo, aún existen otras mu has fun iones que no son ombina ión linealde fun iones de la Tabla 10.2 y que también son muy usuales en las apli a iones prá ti- as. Por ejemplo, la Figura 10.7 muestra las grá� as de fun iones que pueden representartensiones o fuerzas, y para las uales no tenemos la transformada.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

440 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 10.6: Uni idad de la transformada

Figura 10.7: Fun iones ontinuas a tramosDel mismo modo, a ve es tenemos una ierta fun ión u(t) y su transformada U(s), perone esitamos ono er la transformada de nuevas fun iones al uladas a partir de u(t).Por ejemplo, si ono emos L (u(t)), ¾ uál será la transformada de las nuevas fun ionesv(t) = eatu(t) y v(t) = tnu(t)? Observa la Figura 10.8, hemos representado la grá� a dela fun ión u(t) = cos(2t) y su transformada U(s) =

s

s2 + 4. También hemos representadolas grá� as de las nuevas fun iones v(t) = u(t)e−0.2t y v(t) = u(t) · t. ¾Cuáles serán lasDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAYDE LA TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE441transformadas de estas dos fun iones?

Figura 10.8: Más fun ionesPor supuesto, para al ular la transformada de una nueva fun ión v(t), es posible apli arla de�ni ión de transformada de Lapla e:L (v(t)) = V (s) =

∫

∞

0e−stv(t) dtpero este ál ulo dire to puede no ser sen illo, porque hay una integral impropia queevaluar. Por ejemplo, no es sen illo al ular la transformada de Lapla e de la fun ión

v(t) = t3e−t sen(2t) apli ando la de�ni ión. Y todavía tenemos más di� ultad a la horade al ular transformadas inversas, porque hasta ahora sólo ono emos un método para ha- erlo: usar la Tabla 10.2 y la propiedad de linealidad. Por ejemplo, ¾ uál será la transformadainversa de la fun ión F (s) =e−2s

s + 1?En mu hos asos, la solu ión a este problema de ál ulo de transformadas es utilizar,además de tablas de transformadas, una ole ión de propiedades de los operadores trans-formada y transformada inversa de Lapla e. Seguidamente enun iamos las propiedades másimportantes.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

442 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACESupongamos que las fun iones U(s) y V (s) son respe tivamente las transformadas deLapla e de las fun iones u(t) y v(t).Propiedad 10.1 (linealidad) Si A y B son onstantes reales ualesquiera:L (Au(t) + Bv(t)) = AL (u(t)) + BL (v(t))Análogamente, para la transformada inversa:L

−1 (AU(s) + BV (s)) = AL−1 (U(s)) + BL

−1 (V (s)) = Au(t) + Bv(t)Propiedad 10.2 (primera propiedad de trasla ión)L

(

eatu(t))

= U(s − a) (s > a)Análogamente, para la transformada inversa:L

−1 (U(s − a)) = eatu(t) (s > a)Propiedad 10.3 (segunda propiedad de trasla ión)Si h(t) =

{

u(t − a) t > a

0 t < aenton es L (h(t)) = e−asU(s)Análogamente, para la transformada inversa:

L−1

(

e−asU(s))

=

{

u(t − a) t > a

0 t < aPropiedad 10.4 ( ambio de es ala)L (u(at)) =

1

aU

(s

a

)

(a > 0)Análogamente, para la transformada inversa:L

−1 (U(as)) =1

au

(

t

a

)Propiedad 10.5 (derivada enésima)L

(

un)(t))

= snU(s) − sn−1u(0) − sn−2u′(0) − . . . − u(n−1(0)Propiedad 10.6 (fun ión integral)L

(∫ t

0u(z) dz

)

=U(s)

sAnálogamente, para la transformada inversa:L

−1

(

U(s)

s

)

=

∫ t

0u(z) dzDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAYDE LA TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE443Propiedad 10.7 (produ to por tn)L (tnu(t)) = (−1)n

dn

dsn(U(s))Análogamente, para la transformada inversa:

L−1

(

dn

dsn(U(s))

)

= (−1)n tnu(t)Propiedad 10.8 (fun ión periódi a)Si u(t) es una fun ión periódi a de periodo T (es de ir, si u(t + T ) = u(t) para todo t):L (u(t)) = U(s) =

∫ T

0 e−stu(t) dt

1 − e−sTEjer i io 10.10 Demuestra la propiedad 10.2 e interprétala grá� amente.Ejer i io 10.11 Interpreta grá� amente la propiedad 10.3.Ejer i io 10.12 Demuestra la propiedad 10.5. Observa que esta propiedad nos puede per-mitir resolver EDO lineales de oe� ientes onstantes y orden n > 2.Ejer i io 10.13 Demuestra la propiedad 10.6.AYUDA: Deriva la fun ión integral y luego al ula la transformada de Lapla e de laderivada.Ejer i io 10.14 Cal ula la transformada de Lapla e de las fun iones v(t) uyas grá� asapare en en la Figura 10.8.Ejer i io 10.15 Cal ula la transformada de Lapla e de las fun iones uyas grá� as apare- en en la Figura 10.9.Figura 10.9: Fun iones periódi asEjer i io 10.16 Cal ula:E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

444 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE1. L(

e−t cos t)2. L

(

t2e2t)3. L

(

∫ t

0 sen z dz)4. L −1

(

e−5s

(s − 2)4

)5. L −1

(

4s + 12

s2 + 8s + 16

)6. L −1

(

6s − 4

s2 − 4s + 20

)7. L −1

(

1

s2(s + 1)2

)Ejer i io 10.17 Resuelve el problemay′′ + y = F (t)

y(0) = 0

y′(0) = 0siendo F (t) la fun ión uya grá� a apare e en la Figura 10.10.Figura 10.10: Fun ión es alón (Ejer i io 10.17)Ejer i io 10.18 El método de la transformada de Lapla e nos permite en ontrar la solu ióndel problema

ay′′ + by′ + cy = F (t)

y(0) = y0

y′(0) = m0Sin embargo, hay o asiones en las que las ondi iones ini iales no se re�eren al puntot = 0, sino en otro punto t0 diferente: y(t0) = y0, y′(t0) = m0. O bien pueden apare ernosDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.5. LA PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN 445 ondi iones de ontorno: y(t0) = y0, y(t1) = y1. También es posible que lo que se busque nosea una solu ión parti ular de la EDO ay′′ + by′ + cy = F (t), sino su solu ión general. Sinembargo, para al ular la transformada de y′(t) e y′′(t) ne esitamos ono er los valores dey(0) e y′(0). Piensa en un pro edimiento que nos permita resolver este problema y aplí aloa las siguientes situa iones:1. Cal ula la solu ión de y′′ − 3y′ + 2y = 4t − 6, y(1) = y′(1) = 2 + e2. Cal ula la solu ión general de y′′ − 3y′ + 2y = 4t − 610.5. La propiedad de onvolu iónHemos visto ómo utilizando la tabla de transformadas y las propiedades, somos apa esde al ular la transformada inversa de Lapla e de una lase amplia de fun iones. Vamos atratar de al ular la transformada inversa de la fun ión H(s) =

s

(s2 + 1)2. Para ello tratamosde des omponerla omo suma de fra iones simples:

s

(s2 + 1)2=

As + B

s2 + 1+

Cs + D

(s2 + 1)2Pero es fá il veri� ar que obtenemos A = B = 0, C = 1, D = 0. Es de ir, no obtenemosnada útil. En mu has o asiones, la fun ión H(s) para la ual ne esitamos al ular la transfor-mada inversa h(t), se puede es ribir omo un produ to de dos fun iones, H(s) = F (s) ·G(s).En nuestro aso, podemos tomar:H(s) = s

1

(s2 + 1)2; F (s) = s; G(s) =

1

(s2 + 1)2pero no es una buena ele ión (¾sabes por qué?). Sin embargo, tomandoH(s) =

s

s2 + 1·

1

s2 + 1; F (s) =

s

s2 + 1; G(s) =

1

s2 + 1se tiene:f(t) = L

−1

(

s

s2 + 1

)

= cos t

g(t) = L−1

(

1

s2 + 1

)

= sen tAhora sería muy ómodo que la transformada inversa del produ to F (s) · G(s) fuera igualal produ to de las transformadas inversas, es de ir:L

−1 (F (s) · G(s)) = L−1 (F (s)) · L −1 (G(s)) = f(t) · g(t) (10.20)Si fuera ierta la rela ión (10.20), enton es:

L−1

(

s

s2 + 1

)

= cos t sen tE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

446 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEAsí pues, nos preguntamos: ¾es ierta en general la rela ión (10.20)? Desgra iadamente,no es así. De he ho, en la mayoría de los ejemplos de fun iones F (s) y G(s) que tomemos,no será ierta.Ejer i io 10.19 Emplea las fun iones F (s) = 1/s y G(s) = 1/s para demostrar que (10.20)no es ierta en general.Con la transformada inversa de un produ to o urre algo pare ido a lo que o urre on laintegra ión de fun iones de una variable real: nos ahorraríamos mu has uentas si la integralde un produ to de fun iones fuera igual al produ to de las integrales, pero esto no es iertoen general.Así pues, la dire ión en la que vamos a avanzar es: bus ar un método on el que al ularla transformada inversa de Lapla e h(t) del produ to H(s) = F (s) · G(s) a partir de lastransformadas inversas de los fa tores, f(t) = L −1 (F (s)) y g(t) = L −1 (G(s)).Vamos empezar es ribiendo F (s) ·G(s) empleando la de�ni ión de transformada y expre-sando este produ to mediante una integral doble (elegante rela ión entre ambos on eptos):F (s)·G(s) =

(∫

∞

0e−suf(u) du

) (∫

∞

0e−svg(v) dv

)

=

∫

∞

0

(∫

∞

0e−s(u+v)f(u)g(v) du

)

dv(10.21)La expresión (10.21) onsiste en al ular la integral doble de la fun iónR(u, v) = e−s(u+v)f(u)g(v)en el dominio D = {(u, v) |u ∈ [0,∞), v ∈ [0,∞)}. La Figura 10.11 muestra el dominiode integra ión D.

Figura 10.11: Dominio DPor ejemplo, si tomamos las fun iones del ejemplo anterior:F (s) =

s

s2 + 1, G(s) =

1

s2 + 1, f(t) = cos t, g(t) = sen tDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.5. LA PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN 447R(u, v) = e−s(u+v) cos(u) sen(v)Ahora, para ada valor �jo de s, el produ to F (s) ·G(s) es igual a la integral de F (u, v)en D. Para este ejemplo, la Figura 10.12 muestra fragmentos de las super� ies z = R(u, v)obtenidas tomando algunos valores onstantes del parámetro s. El valor exa to de F (s)·G(s)será igual a la integral doble de la fun ión R(u, v) = e−s(u+v) cos(u) sen(v) en todo el dominio

D.

Figura 10.12: Integral doble en la onvolu iónAhora vamos a apli ar en (10.21) el ambio de variables:v = v

u = t − vEs de ir, la variable v no ambia y la variable u se sustituye por t − v, donde t esuna nueva variable. Re uerda que para apli ar un ambio de variable en una integral doblene esitamos el Ja obiano del ambio.Ejer i io 10.20 Demuestra que en este ambio de variable, |J | = 1.Cal ulamos ahora los nuevos límites de integra ión:Para la integral exterior, la variable v sigue re orriendo en intervalo [0,∞) Para la integralinterior, �jamos un valor de v ualquiera:Límite inferior: u = 0 ⇒ t = vE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

448 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACELímite superior: u = ∞ ⇒ t = ∞Así pues, (10.21) queda:F (s) · G(s) =

∫

∞

0

(∫

∞

v

e−stf(t − v)g(v) dt

)

dv (10.22)La Figura 10.13 muestra el nuevo re into de integra ión D′. Observa ual es el orden deintegra ión en (10.22).

Figura 10.13: Nuevo dominio D′Ahora ambiamos en (10.22) el orden de integra ión (se puede demostrar que esto esposible si f y g son de orden exponen ial):F (s) · G(s) =

∫

∞

0

(∫ t

0e−stf(t − v)g(v) dv

)

dt (10.23)En (10.23) sa amos fuera de la integral interior el fa tor e−st, porque no depende de v:F (s) · G(s) =

∫

∞

0e−st

(∫ t

0f(t − v)g(v) dv

)

dt (10.24)Observa que la integral interior es una fun ión de t, porque se integra en el intervalo[0, t] la fun ión f(t − v)g(v) respe to a v. El resultado de la integral interior es una fun iónh(t) de�nida así:

h(t) =

∫ t

0f(t − v)g(v) dvEnton es (10.24) es pre isamente la transforma ión de Lapla e de h(t). Por tanto:

F (s) · G(s) = L

(∫ t

0f(t − v)g(v) dv

) (10.25)Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.5. LA PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN 449O equivalentemente:L

−1 (F (s) · G(s)) =

∫ t

0f(t − v)g(v) dv (10.26)Así pues, para al ular la transformada inversa h(t) del produ to F (s) · G(s), lo úni oque hay que ha er es:1. Cal ular las transformadas inversas f(t) y g(t) de F (s) y G(s).2. La fun ión h(t) se obtendrá así:

h(t) =

∫ t

0f(t − v)g(v) dv (10.27)Veamos si somos apa es de apli ar todo este pro edimiento a las fun iones del ejemploanterior, F (s) =

s

s2 + 1, G(s) =

1

s2 + 1, f(t) = cos t, g(t) = sen t. Teniendo en uenta(10.26):

h(t) = L−1

(

s

(s2 + 1)2

)

=

∫ t

0cos(t − v) sen(v) dvComo

cos B sen A =1

2(sen(A + B) + sen(A − B))se tiene

h(t) =1

2

∫ t

0(sen(t) + sen(2v − t)) dv =

1

2

(

v sen(t) −cos(2v − t)

2

)∣

∣

∣

∣

v=t

v=0

=1

2t sen tEste resultado es fá il de omprobar, teniendo en uenta la Propiedad 10.7 (transformadadel produ to por tn, para n = 1):

L−1

(

1

2t sen t

)

=(−1)1

2

d

ds

(

1

s2 + 1

)

=s

(s2 + 1)2Así pues, la lave para en ontrar la transformada inversa del produ to F (s) · G(s) es laopera ión (10.27), que se realiza entre las fun iones f(t) y g(t). Creo que mere e la pena darnombre a esta importante opera ión.De�ni ión 10.3 Sean f(t) y g(t) dos fun iones integrables. Se llama opera ión onvo-lu ión de ambas fun iones, y se representa por f(t) ∗ g(t), a la nueva fun ión obtenida delsiguiente modo:f(t) ∗ g(t) = (f ∗ g)(t) =

∫

∞

−∞

f(t − v)g(v)dvQue en el aso de las fun iones de orden exponen ial que estamos tratando quedará omof(t) ∗ g(t) = (f ∗ g)(t) =

∫ t

0f(t − v)g(v)dv (10.28)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

450 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEEs fá il omprobar que la opera ión onvolu ión (10.28) es onmutativa, es de ir, f(t) ∗g(t) = g(t) ∗ f(t).Así pues, según esta nueva de�ni ión:

L−1 (F (s) · G(s)) = f(t) ∗ g(t) = L

−1 (F (s)) ∗ L−1 (G(s))O equivalentemente:

F (s) · G(s) = L (f(t)) · L (g(t)) = L (f(t) ∗ g(t))En resumen:L (f(t) ∗ g(t)) = L (f(t)) · L (g(t))

L−1 (F (s)) ∗ L

−1 (G(s)) = L−1 (F (s) · G(s)) (10.29)Vimos más arriba un ejemplo que mostraba que, en general, no es ierto que la trans-formada del produ to sea igual al produ to de transformadas. En otras palabras, no son iertas en general las igualdades:

L (f(t) · g(t)) = L (f(t)) · L (g(t))

L−1 (F (s)) · L −1 (G(s)) = L

−1 (F (s) · G(s)) (10.30)Ahora bien, las propiedades (10.29) vienen a signi� ar que si la opera ión produ to entrelas fun iones de los términos izquierdos de (10.30) se sustituyen por nuestro nuevo modo deentender el produ to (la opera ión onvolu ión), enton es ya es ierta esta propiedad de �latransformada del produ to es el produ to de transformadas�.Ejer i io 10.21 Utiliza la onvolu ión para al ular la solu ión general de la EDO ay′′ +by′ + cy = F (t).AYUDA: Apli a la transformada, despeja Y (s) y apli a la transformada inversa paraobtener y(t). Verás que ne esitas estudiar las raí es de la e ua ión as2 + bs + c = 0, que espre isamente la e ua ión ara terísti a de la EDO.10.6. Sistemas lineales de EDOEn el Tema 9 (E ua iones Diferen iales Ordinarias), estudiamos diversos métodos onlos que resolver e ua iones en las que apare ía una fun ión des ono ida y(t) y sus su esivasderivadas.Sin embargo, en mu has apli a iones apare en varias fun iones in ógnita que es ne esariodeterminar y que están rela ionadas mediante varias e ua iones diferen iales ordinarias. Asípues, se tratará de resolver un sistema de e ua iones diferen iales. Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 10.1 (Depósitos de fermenta ión.) La Figura 10.14 muestra un sistema paratransformar el mosto en vino por fermenta ión. El sistema está formado por tres depósitosde igual apa idad, entre los uales hay ir ula ión de líquido on velo idad onstante (enDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.6. SISTEMAS LINEALES DE EDO 451litros/día). A medida que el mosto fermenta, ambia la antidad de al ohol (en Kg) quehay en ada depósito. Mediante agita ión, onseguimos que la on entra ión de al ohol en ada depósito sea uniforme, pero esta on entra ión podrá ser diferente de un depósito a otroporque las antidades de al ohol que tienen pueden ser diferentes. Se trata de estudiar qué antidad de al ohol tendrá ada depósito en ada instante de tiempo.Figura 10.14: Ejemplo 10.1Vamos a llamar x1(t), x2(t) y x3(t) a las antidades de al ohol (en Kg) que se en uentranen ada uno de los depósitos en el instante t. Construiremos un modelo que nos permitadeterminar estas tres fun iones.Como x1(t) es la antidad de al ohol (en Kg) en D1, si llamamos C a la apa idad (enlitros) de ada depósito, enton es x3(t)/C será igual a la on entra ión de al ohol en D3 enel instante t. Si v es la velo idad de ir ula ión del líquido (en litros/día), enton es vx3(t)/Cserá igual a la velo idad (en Kg/día) on que entra al ohol a D1. Si ahora restamos lavelo idad on que sale al ohol on destino a D2, tendremos la velo idad de ambio de x1(t)en Kg/día:

x′

1(t) = vx3

C− v

x1

CRepitiendo el razonamiento para los depósitos D2 y D3, llegamos �nalmente al modelo:x′

1(t) = vx3

C− v

x1

C

x′

2(t) = vx1

C− v

x2

C

x′

3(t) = vx2

C− v

x3

Cx1(0) = C1

x2(0) = C2

x3(0) = C3 (10.31)En este modelo los valores C1, C2 y C3 indi an las antidades de al ohol ini iales en ada uno de los depósitos. La Figura 10.15 muestra las grá� as de la solu ión obtenidanuméri amente mediante Winplot on las ondi iones ini iales C1(0) = 6 gramos de al ohol,C2(0) = 14 gramos, C3(0) = 20 gramos, para v = 5. 4 litros/día y C = 7. 3 litros. Comopuede verse, la antidad de al ohol en ada depósito onverge ha ia un mismo valor, que esaproximadamente igual a 13. 32 gramos al abo de t = 5. 7 días.E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

452 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 10.15: Solu ión del ejemplo 10.1Ejer i io 10.22 Des ribe un pro edimiento que nos permita resolver analíti amente el pro-blema (10.31) empleando la transformada de Lapla e.Ejer i io 10.23 Supongamos que dos tanques de salmuera (agua on sal), on apa idadesde 100 y 200 litros respe tivamente, están one tados omo indi a la Figura 10.16. En elprimer depósito entra agua dul e a razón de 30 litros/minuto, y a esta misma velo idad seeva úa salmuera por el desagüe del segundo depósito. Construye un modelo que te permita al ular la antidad de sal (en Kg) que habrá en ada depósito en ada instante t. ¾Ha iaqué valores onvergerán las antidades de salmuera en ada depósito? Verifí alo resolviendoel sistema de e ua iones.

Figura 10.16: Ejemplo 10.23Ejemplo 10.2 (Resortes verti ales a oplados) Observa la Figura 10.17. Representa unsistema dinámi o formado por dos muelles y dos masas unidas a ellos que se desplazanverti almente. Cada uno de los resortes tiene su propia onstante ara terísti a k1 y k2, yen un momento determinado ada masa m1 y m2 tendrá un desplazamiento verti al x1(t) yx2(t).Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.6. SISTEMAS LINEALES DE EDO 453

Figura 10.17: Ejemplo 10.2Pues bien, se puede demostrar que un modelo que sirve para estudiar el movimiento deeste sistema a oplado es el siguiente sistema de e ua iones diferen iales:m1x

′′

1 = −k1x1 + k2(x2 − x1)

m2x′′

2 = −k2(x2 − x1)

x1(0) = d1

x′

1(0) = v1

x2(0) = d2

x′

2(0) = v2 (10.32)Donde las ondi iones ini iales d1, d2 indi an los desplazamientos ini iales de las masas,y v1, v2 sus velo idades ini iales.Ejer i io 10.24 ¾Se podrá apli ar también aquí el pro edimiento que des ribiste en el ejer- i io 10.22 para en ontrar su solu ión?Ejemplo 10.3 (Resortes horizontales a oplados) Con el mismo planteamiento que enel ejemplo anterior, el movimiento del sistema a oplado de la Figura 10.18, formado por dosmasas y tres muelles puede modelizarse mediante es sistema de e ua iones:m1x

′′

1 = −(k1 + k2)x1 + k2x2

m2x′′

2 = k2x1 + (k2 + k3)x2

x1(0) = d1

x′

1(0) = v1

x2(0) = d2

x′

2(0) = v2 (10.33)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

454 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACEFigura 10.18: Ejemplo 10.3Ejer i io 10.25 El pro edimiento que des ribiste en el ejer i io anterior, ¾se podrá apli arpara resolver el sistema (10.33)?Ejemplo 10.4 (Cir uitos elé tri os) La Figura 10.19 muestra el esquema de un ir uitoelé tri o formado por una fuente de alimenta ión que propor iona una tensión variable E(t),una resisten ia R, una indu tan ia L y un ondensador C.

Figura 10.19: Ejemplo 10.4Nos interesa al ular las intensidades de orriente i1(t), i2(t) e i3(t) que ir ula en adaparte del ir uito en ada instante t. Si al ulamos dos de estas intensidades, ya tendremosla ter era porque i1(t) = i2(t)+ i3(t). Pues bien, un modelo que des ribe ómo ambian i1(t)e i2(t) a medida que trans urre el tiempo es el siguiente:L

di1dt

+ R i2 = E(t)

Rdi2dt

+1

C(i2 − i1) = 0

i1(0) = v1

i2(0) = v2Ejer i io 10.26 Observa que el modelo matemáti o es un sistema formado por dos e ua- iones diferen iales de orden 1. ¾Se podrá apli ar también aquí el mismo pro edimiento deresolu ión?Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.7. SISTEMAS NO LINEALES DE EDO 455Re uerda que en el Tema 8 (Integral urvilínea) también nos apare ieron algunos siste-mas de e ua iones diferen iales. Algunos de aquellos sistemas eran lineales y de oe� ientes onstantes, omo por ejemplo:x′ = x − 2y

y′ = −y

x(0) = 2

y(0) = 1 (10.34)Allí omprobamos que la solu ión de (10.34) es x(t) = et +e−t, y(t) = e−t, pero en aquelmomento no teníamos ningún método analíti o para al ular la solu ión. Sin embargo, ahorapodemos emplear la transforma ión de Lapla e.Ejer i io 10.27 Resuelve el sistema (10.34) y omprueba que se obtiene omo solu ión lasfun iones x(t) = et + e−t, y(t) = e−t10.7. Sistemas no lineales de EDOSin embargo, en el Tema 8 también nos apare ieron sistemas no lineales, que pudi-mos resolver mediante métodos numéri os empleando Winplot. Por ejemplo, a partir dela fun ión de poten ial F (x, y) = x2y podemos onstruir el ampo ve torial onservativoV = (Fx, Fy) = (2xy, x2) y trazar las líneas de ampo, es de ir, las urvas x(t), y(t) que sonsolu ión del sistema de e ua iones

x′(t) = 2xy

y′(t) = x2 (10.35)Pero observa que el sistema (10.35) no es lineal. Si tratamos de emplear la transforma iónde Lapla e para resolverlo:L (x′) = 2L (xy) ⇒ sX(s) − x(0) = 2L (x(t)y(t))

L (y′) = L (x2) ⇒ sY (s) − y(0) = L (x2(t))Re uerda que la transformada de un produ to de fun iones NO es en general el pro-du to de las transformadas. No podemos ontinuar porque no sabemos ómo es ribir latransformada de Lapla e de las fun iones x(t)y(t) y x2(t) en fun ión de las transformadasX(s), Y (s) de x(t) e y(t).En mu has o asiones la úni a posibilidad de resolu ión del sistema será al ular unasolu ión numéri a. La Figura 10.20 muestra el ampo ve torial V y algunas líneas de ampo(solu iones de (10.35)) trazadas numéri amente mediante Winplot.¾Y por qué habría de interesarnos estudiar e ua iones y sistemas de e ua iones no li-neales? La razón fundamental es que, en general, los sistemas físi os reales no son lineales.Nuestros modelos lineales son aproxima iones que nos permiten estudiar los fenómenos físi- os mediante e ua iones que podamos resolver analíti amente. Y en mu has o asiones unE.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

456 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 10.20: Campo onservativo y líneas de ampomodelo lineal puede ser su� ientemente pre iso para estudiar el fenómeno real. No obstante,Einstein llegó a sugerir que, puesto que las e ua iones bási as de la Físi a no son lineales,toda la Físi a matemáti a debe reha erse por ompleto.Por ejemplo, onsidera un péndulo al que no se apli a fuerza para mantener su os ila ión.Si x(t) es el ángulo de os ila ión en ada instante (ver �gura 10.21), un modelo que permiteestudiar este sistema físi o es:x′′ +

c

mx′ +

g

Lsen x = 0 (10.36)donde g es la a elera ión de la gravedad, c es una onstante que depende del medio físi oen el que os ila, m es la masa del péndulo y L la longitud del hilo.Observa que el término sen x de (10.36) ha e que este modelo sea no sea lineal, de modoque no podemos apli ar ninguno de los métodos que hemos visto para en ontrar su solu ión.En la linealiza ión habitual, el término senx se sustituye por x, lo ual es una aproxima iónrazonable si x es pequeño, es de ir, si las os ila iones del péndulo son pequeñas (sen x ≈ x).

x′′ +c

mx′ +

g

Lx = 0 (10.37)Sin embargo, este modelo lineal (10.37) produ e una gran distorsión uando x es grande,es de ir, no ha e buenas predi iones a er a del movimiento real del péndulo. Observa laFigura 10.22. Hemos al ulado numéri amente mediante Winplot las solu iones de ambase ua iones ((10.36) en trazo grueso y (10.37) en trazo �no), on los siguientes valores de losparámetros: c = 4. 6, L = 2 y m = 2. 9. Las grá� as de la �gura superior se al ularon onDepartamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

10.7. SISTEMAS NO LINEALES DE EDO 457

Figura 10.21: Péndulolas ondi iones ini iales x(0) = 0. 9, x′(0) = 0. Las grá� as de la �gura inferior se al ularontomando x(0) = 3, x′(0) = 0, lo ual da lugar a os ila iones mu ho más grandes de x(t).Como puede verse, las solu iones de ambos modelos (10.36) y (10.37) son razonablementepare idas en el primer aso (grá� a superior, pequeñas os ila iones) pero muy diferentes enel segundo (grá� a inferior, os ila iones grandes).La e ua ión (10.37) es lineal, homogénea y de oe� ientes onstantes, y por tanto pode-mos resolverla analíti amente mediante la transformada de Lapla e o mediante el métodoque desarrollamos en el Tema 9.Con los sistemas de e ua iones diferen iales o urre lo mismo. Re uerda por ejemplo elmodelo de ampo gravitatorio plano que onstruimos en el Tema 8. Allí tomamos omofun ión de poten ial en ada punto (x, y)

F (x, y) =M

(x − a)2 + (y − b)2donde M es la masa que produ e el ampo y (a, b) es el punto donde está situada.Luego onstruimos el ampo ve torial V = ∇F = (Fx, Fy), uyas líneas de ampo serán lassolu iones del sistema de e ua iones diferen ialesx′(t) = Fx(x, y)

y′(t) = Fy(x, y) (10.38)Evidentemente, (10.38) tampo o es un sistema lineal.Ejer i io 10.28 Sin embargo, el sistema (10.38) puede resolverse fá ilmente si lo trans-formamos en la EDO dy/dx = Fy(x, y)/Fx(x, y). ¾Eres apaz de resolver esta e ua ión?¾Puedes también al ular las líneas de ampo del ampo U perpendi ular a V ?Ejer i io 10.29 Dada la EDO de orden 2y′′ = F (t, y(t), y′(t)) (10.39)E.U.P. San Sebastián Departamento de Matemáti a Apli ada

458 CAPÍTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Figura 10.22: Solu iones de las e ua iones 10.36 y 10.37demuestra que es posible en ontrar un sistema de dos e ua iones diferen iales ordinariasequivalente a la e ua ión (10.39). Para ello, de�ne las fun iones auxiliares u = y, v = y′.Utiliza esta idea para es ribir un sistema de EDO equivalente a la EDO no lineal (10.36) yresuélvelo numéri amente empleando Winplot, tal y omo nosotros hemos he ho para trazarla Figura 10.22.

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