Embed Size (px)
Citation preview
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Laplace-transzformáció és
alkalmazása
Szakdolgozat
Kiss Eszter
Matematika BSc., Elemz® szakirány
Témavezet®: Bátkai András, Egyetemi docens
Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest
2012
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 2
2. Laplace-transzformáció 4
2.1. De�níció és alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Fontosabb alkalmazási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Deriválhatóság és integrálhatóság 13
3.1. A generátor függvény deriválása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Laplace-transzformált deriválása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. A generátor függvény primitív függvényének transzformáltja . . . . . . . . . . . 16
3.4. Laplace transzformált integrálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Inverz Laplace-transzformáció 19
4.1. Parciális törtekre bontás módszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Közönséges di�erenciálegyenletek és egyenletrendszerek 23
5.1. Példák di�erenciálegyenletekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2. Di�erenciálegyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3. Integrálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
1. fejezet
Bevezetés
A dolgozat a Laplace-transzformációval és annak alkalmazásával foglalkozik. El®ször röviden
ismertetném Laplace életét és munkásságát, majd a transzformáció de�níciója és annak alka-
lmazása következik néhány függvényre. Ezek után a transzformáltra vonatkozó tulajdonsá-
gokat vesszük sorra. A következ® fejezetben a Laplace-transzformált és a generátor függvény
alakulását nézzük meg deriválásra és integrálásra vonatkozóan. Ezek után a transzformáció
inverzét és a parciális törtekre bontás módszerét tárgyaljuk. A dolgozat transzformáció leg-
fontosabb alkalmazásával, a közönséges di�erenciálegyenletek és egyenletrendszerek valamint
az integrálegyenletek tárgyalásával zárul. Ahol láthatjuk hogy a transzformáció a di�erenciál-
egyenletek és egyenletrendszerekb®l algebrailag könnyebben megoldhatót hoz létre.
• Laplace élete és munkássága
Szülei szegényparasztok voltak. Beaumont-ban született. A beaumont-i katonai iskolának
bejáró növendéke volt, ahol felt¶nt kit¶n® emlékez®képességével. Tanulmányainak elvégzése
után ugyanennek az iskolának lett tanára. Képességeinek azonban a kis vidéki iskola nem
biztosított elég lehet®séget, és ezért Párizsba ment. Ajánlóleveleivel D'Alembertnél jelentkezett.
A híres enciklopédista azonban nem fogadta Laplace-t. Ekkor Laplace sajátkez¶leg írt levélben
kereste fel. A levél elolvasása után Laplace el®tt megnyílt D'Alembert ajtaja, hiszen ez az írás
a mechanikai elvekr®l szóló remek értekezés volt. Pár nap múlva Laplace-t az École Militaire
matematika tanárává nevezték ki. Ett®l kezdve gyorsan haladt el®re. 24 éves korában már
az akadémia levelez® tagja, majd a királyi tüzérség növendékeinek examinátora (vizsgáztatója)
lett. 1810 után majdnem minden európai tudományos akadémia tagjául választotta. 1794-ben
az École Normale Supérieure analízis tanára lett, nem sokkal kés®bb pedig a Mértékügyi Hivatal
tagja és elnöke. 1812-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószín¶ség
analitikai elmélete) cím¶ m¶ve, amely a valószín¶ségszámítást a matematika önálló ágaként
2
tárgyalja. Ebben a m¶ben jelent meg a valószín¶ség klasszikus modellje, amely akkor al-
kalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószín¶.
A newtoni mechanika alapjain az égi mechanika kifejl®dése L. Euler, J. L. D'Alembert, J.
L. Lagrange és P. S. Laplace tevékenysége nyomán indult meg. Különösen jelent®s Laplace
munkássága, mely az égi mechanika valamennyi területére kiterjedt. Nagy összefoglaló m¶ve
a "Traité de Mécanique Céleste" (I.-IV. kötet 1798-1805, V. kötet 1825) az égi mechanika
problémáinak els® rendszeres tárgyalását adja. Joggal tekintik Laplace-t az égi mechanika
megalapítójának (az égi mechanika elnevezés is t®le származik).
3
2. fejezet
Laplace-transzformáció
Ebben a fejezetben a Laplace-transzformáltat fogom de�niálni és ennek alapján néhány függ-
vénynek kiszámolom a traszfolmáltját.
2.1. De�níció és alkalmazása
2.1. De�níció. Az f : [0,∞[→ C, t→ f(t) függvény Laplace-transzformáltja az
F (s) =
∫ ∞0
f(t) · e−stdt
függvény, melynek értelmezési tartománya a ]0,∞[ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti
improprius integrál konvergens. Jelölés: L[f(t)] = F (s)
De�níció alapján számítsuk ki néhány függvény Laplace-transzformáltját!
Az értelmezési tartományt a továbbiakban nem jelöljük külön.
1. f(t) = 1
Alkalmazva a de�níciót a következ®t kapjuk.
F (s) =
∫ ∞0
1 · e−stdt =[e−st
−s
]∞0
= 0 +1
s=
1
s.
Tehát L[1] = 1sés az integrál linearitása miatt tetsz®leges c ∈ R esetén L[c] = c
s.
2. f(t) = t
A parciális integrálást alkalmazom a következ® megoldásakor.
F (s) =
∫ ∞0
t · e−stdt =[t · e
−st
−s
]∞0
−∫ ∞0
e−st
−sdt =
1
s
∫ ∞0
e−st =1
s·[e−st
−s
]=
1
s· 1s=
1
s2
4
Tehát L[t] = 1s2, illetve bármely c ∈ R esetén L[c · t] = c
s2.
3. f(t) = tn, n ∈ N+, n > 2.
Ennek meghatározásához teljes indukciót használok. Kiszámolom n = 2 és n = 3 esetet is.
a) El®ször legyen n = 2. Ekkor parciálisan integrálunk majd felhasználjuk a 2. feladatban
kapott eredményt, így
F (s) =
∫ ∞0
t2 · e−stdt =[t2 · e
−st
−s
]∞0
−∫ ∞0
2t · e−st
−sdt =
= 0 +2
s
∫ ∞0
t · e−stdt = 2
s· L[t] = 2
s· 1s2
=2
s3= L[t2].
b) Ha n = 3, akkor
F (s) =
∫ ∞0
t3 · e−stdt =[t3 · e
−st
−s
]∞0
−∫ ∞0
3t2 · e−st
−sdt =
= 0 +3
s
∫ ∞0
t2 · e−stdt = 3
sL[t2] =
3 · 2s4
=3!
s4= L[t3].
c) Teljes indukcióval megkapható bármely n-re megkaphatjuk L[tn] képletét.
L[tn] =
∫ ∞0
tn · e−stdt =[tn · e
−st
s
]∞0
−∫ ∞0
n · tn−1 · e−st
−sdt =
= 0−∫ ∞0
n
−s· tn−1 · e−stdt = n
s·∫ ∞0
tn−1 · e−stdt =
=n
s
([tn−1 · e
−st
−s
]∞0
−∫ ∞0
(n− 1)tn−2 · e−st
−sdt
)=
=n
s
(0−
∫ ∞0
n− 1
−s· tn−2 · e−stdt
)=n
s· n− 1
s·∫ ∞0
tn−2 · e−stdt =
=n
s· n− 1
s
([tn−2 · e
−st
−s
]∞0
−∫ ∞0
(n− 2)tn−3 · e−st
−sdt
)=
5
=n
s· n− 1
s(0−
∫ ∞0
n− 2
−s· tn−3 · estdt) = n
s· n− 1
s· n− 2
s·∫ ∞0
tn−3e−stdt =
. . . =n
s· n− 1
s· n− 2
s. . .
4
s
∫ ∞0
t3 · e−stdt = n
s· n− 1
s· n− 2
s· . . . · 4
sL[t3] =
=n
s· n− 1
s· n− 2
s· . . . · 4
s· 3!s4
=n!
sn+1= L[tn].
A fontosabb exponenciális és trigonometrikus függvények traszformáltja közetkezik.
1. f(t) = eat
Ekkor
F (s) =
∫ ∞0
eat · e−stdt =∫ ∞0
e(a−s)tdt =[e(a−s)t
a− s
]∞0
= 0− 1
a− s=
1
s− a.
Ez alapján
L[e−at] =1
s+ a.
2. Legyen f(t)=t · eat, ahol a tetsz®leges valós vagy komplex állandó.
Ismét a parciális integrálást alkalmazzuk az f = t és a g′= eat · e−st kiosztással.
F (s) =
∫ ∞0
t · eat · e−stdt =∫ ∞0
t · e−(s−a)tdt =
=
[t · e
−(s−a)t
−(s− a)
]∞0
−∫ ∞0
e−(s−a)t
−(s− a)dt =
= 0−[e−(s−a)t
(−s+ a)2
]∞0
= −(0− 1
(s− a)2
)=
1
(s− a)2.
3. f(t) = tn · eat
n=1-re már láttuk
L[t · eat] = 1
(s− a)2.
6
n=2 esetben a következ® képpen alakul
F (s) =
∫ ∞0
t2 · eat · e−stdt =∫ ∞0
t2 · e−(s−a)tdt =[t2 · e
−(s−a)t
−(s− a)
]∞0
−∫ ∞0
2 · t · e−(s−a)t
−(s− a)dt =
0 +2
s− a
∫ ∞0
t · eat · e−stdt = 2
s− a· 1
(s− a)2=
2
(s− a)3.
Folytatható az eljárás n ≥ 3 esetén is. Teljes indukcióval pedig megkaphatjuk L[tneat]
képletét. Az indukció során parciális integrálást hajtunk végre.
Tehát
L[tn · eat] =∫ ∞0
tn · eat · e−stdt =∫ ∞0
tne−(s−a)t =
[tne−(s−a)t
−(s− a)
]∞0
−
−∫ ∞0
n · tn−1 e−(s−a)t
−(s− a)dt = 0−
∫ ∞0
n
−(s− a)tn−1 · e(s−a)tdt = n
s− a
∫ ∞0
tn−1 · e−(s−a)tdt = n
s− a·([tn−1 · e
−(s−a)t
−(s− a)
]∞0
−∫ ∞0
(n− 1) · tn−2·
e−(s−a)t
−(s− a)dt
)=
n
s− a·(0−
∫ ∞0
n− 1
−(s− a)· tn−2 · e−(s−a)tdt
)=
n
s− a
·n− 1
s− a·∫ ∞0
tn−2 · e−(s−a)tdt = n
s− a· n− 1
s− a·([tn−2 · e
−(s−a)t
−(s− a)
]∞0
−∫ ∞0
(n− 2)tn−3 · e−(s−a)t
−(s− a)dt
)=
n
s− a· n− 1
s− a·(0−
∫ ∞0
n− 2
−(s− a)·
tn−3 · e−(s−a)tdt)=
n
s− a· n− 1
s− a· n− 2
s− a·∫ ∞0
tn−3 · e−(s−a)tdt = . . . =
7
n
s− a· n− 1
s− a· . . . · 3
s− a
∫ ∞0
t2 · e−(s−a)tdt = n
s− a· n− 1
s− a· n− 2
s− a·
. . . · 3
s− aL[t2eat] =
n
s− a· n− 1
s− a· n− 2
s− a· . . . · 3
s− a· 2!
(s− a)3=
n!
(s− a)n+1= L[tneat].
4. f(t) = cos(at)
Ebben az esetben használjuk az Euler formulát (eiφ = cosφ+i sinφ, e−iφ = cosφ−i sinφ).A két egyenl®séget kivonva egymásból és rendezve kapjuk, hogy a cos(at) = eiat+e−iat
2.Ez
alapján a transzformált a következ® képpen alakul.
F (s) =
∫ ∞0
cos(at) · e−stdt =∫ ∞0
eiat + e−iat
2· e−stdt =
=
∫ ∞0
e(ia−s)t + e(−ia−s)t
2=
∫ ∞0
e(ia−s)t
2+
∫ ∞0
e(−ia−s)t
2=
=1
2·(− 1
ia− s− 1
−ia− s
)=
1
2· −(−ia− s)− (ia− s)
−a2 − s2=
1
2· 2s
−a2 − s2=
s
a2 + s2.
• Végül a hiperbolikus függvényekre mutatunk néhány példát.
5. f(t) = cosh(at), a ∈ C tetsz®leges, z = at.
A cosh z = ez+e−z
2a 4.példára hivatkozva, így kapjuk
F (s) =
∫ ∞0
eat + e−at
2· e−stdt = 1
2
∫ ∞0
eat · e−st + e−at · e−stdt = 1
2· L[eat] · L[e−at].
Az exponenciális függvényeknél már láttuk e±at transzformálját,ez alapján az eredmény
1
2·(
1
s− a+
1
s+ a
)=
s
s2 − a2.
8
6. f(t) = sinh(at)
Itt is felhasználjuk az Euler-formulát,így
sinh z =ez − e−z
2,
tehát
F (s) =1
2
∫ ∞0
(eat · e−st − e−at · e−st) = 1
2·[
1
s− s− 1
s+ a
]=
a
s2 − a2.
7. f(t) = t · sinh(at)
F (s) =
∫ ∞0
t · sinh(at) · e−stdt =∫ ∞0
t · eat − e−at
2· e−stdt =
1
2
∫ ∞0
t · eat · e−st − 1
2
∫ ∞0
te−ate−st =1
2
1
(s− a)2− 1
2
1
(s+ a)2=
2as
(s2 − a2)2.
Az alábbi táblázatban összegy¶jtöttem a fontosabb függvények Laplace-transzformáltját.
f(t) L[t]
1. 1 1s
2. t 1s2
3. t2 2s3
4. tn n!sn+1
5. eat 1s−a
6. ln(t) −1s· (C + ln(s))
7. cos(at) ss2+a2
8. sin(at) as2+a2
9. cos2(at) s2+2a2
s(s2+4a2)
10. sin2(at) 2(a2)s(s2+4a2)
11. t · cos(at) s2−a2(s2+a2)2
12. t · sin(at) 2as(s2+a2)2
13. sin(at)t
arctan(as)
14. cosh(at) ss2−a2
15. sinh(at) as2−a2
16. cosh2 at s2−2a2s(s2−4a2)
17. sinh2 at 2a2
s(s2−4a2)
9
2.2. Fontosabb alkalmazási szabályok
A következ® pontban 5 fontos alkalmazási tulajdonságát szemléltetem a transzformáltnak.
1. Linearitás
• Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)] = F (s) akkor L[K · f(t)] =K · L[f(t)] = K · F (s), valamely K valós vagy komplex számra.
Ugyanis a konstans kiemelhet®sége miatt
L[Kf(t)] =
∫ ∞0
K · f(t)e−stdt = K ·∫ ∞0
f(t)e−st = K · L[f(t)].
• Adott f1(t), f2(t), amelyeknek Laplace transzformáltja F1(s), F2(s), akkor
L[f1(t) + f2(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] = F1(s) + F2(s).
Ugyanis az integrál additivitása és disztributívitása miatt
L[f1(t) + f2(t)] =
∫ ∞0
(f1(t) + f2(t))e−stdt =∫ ∞
0
f1(t)e−stdt = L[f1(t)] + L[f2(t)] = F1(s) + F2(s).
Mindkét törvényszer¶ség azzal igazolható hogy a Laplace-transzformált tulajdonkép-
pen határozott integrál.
2. Eltolási tétel
Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)]=F(s), ekkor f(t−τ) esetén a Laplace
transzformált eredménye a t− τ = z,t = z + τ ,dt = dz helyettesítéssel
L[f(t− τ)] =∫ ∞0
f(t− τ)e−stdt =∫ ∞0
f(z)e−(z+τ)sdz =∫ ∞0
f(z)e−zse−τsdz = e−τs∫ ∞0
f(z)e−zsdz = e−τsF (s).
3. Csillapítási tétel
Most megviszgáljuk az el®z® kérdés fordítottját. Ha F az f függvény transzformáltja,
akkor az s→ F (s+ a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik?
Mivel
F (s) =
∫ ∞0
f(t)e−stdt
10
ezért
F (s+ a) =
∫ ∞0
f(t)e−(s+a)tdt =
∫ ∞0
f(t)e−ate−st = L[f(t)e−at].
Tehát a Laplace-transzformált eltolása a generátorfüggvény e−at exponenciális tényez®vel
való szorzásával egyenérték¶.
A csillapítási tétel segítségével számítsuk ki a következ® függvény
transzformáltját!
� f(t) = e−at cosh(bt)
Korábban már láttuk hogy L[cosh(bt)] = s2
s2−b2
Ebb®l következ®en s→ s+ a helyettesítésel adódik:
L[e−at cosh(bt)] =(s+ a)2
(s+ a)2 − b2
4. Hasonlósági tétel
Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)] = F (s) ekkor f(at) esetén a Laplace
transzformáció eredménye:
Legyen at = z, ekkor t = zaés dt = 1
adz így,
L[f(at)] =
∫ ∞0
f(at)e−stdt =
∫ ∞0
f(z)e−s·za · 1
adz =
1
a
∫ ∞0
f(z)e−sazdz =
1
aF
(s
a
).
• Hasonlósági tétellel számoljuk ki a L[ln(at)]-t!
Laplace-transzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy:
L[ln t] = −1s(C + ln s), ahol C egy állandó.
Innen a hasonlósági tétellel adódik:
L[ln at] =1
a
(−1
sa
(C + ln
s
a
))= −1
s
(C + ln
s
a
).
• Számoljuk ki a L[(at)2 cosh(at)]-t!
Szintén a táblázatból tudjuk, hogy
L[t2 cosh(t)] =2s(s2 + 3)
(s2 − 1)3.
11
Ahonnan a hasonlósági tétellel adódik
L[(at)2 cosh(bt)] =1
a·2 · s
a
((sa
)2
+ 3
)((
sa
)2
− 1
)3 =
2sa
(s2
a2+ 3
)a ·(s2
a2− 1
)3 = a2 · 2s · (s2 + 3a2)
(s2 − a2)3.
5. Konvolúció
Az f1(t) és f2(t) függvények konvolúcióját a
g(t) =
∫ t
0
f1(t)f2(t− τ)dτ
összefüggéssel értelmezzük. Most tekintsük a g(t) Laplace-transzformáltját. Cseréljük
meg az integrálás sorrendjét, és vezessük be a t′ = t− τ változót:
G(s) =
∫ ∞0
e−stdt
∫ t
0
f1(t)f2(t− τ)dτ =
=
∫ ∞0
f1(t)dτ
∫ t
0
e−stf2(t− τ)dt =
=
∫ ∞0
e−stf1(τ)dτ
∫ ∞0
e−stf2(t′)dt′ = F1(s)F2(s).
Így a konvolúció transzformáltja egyszer¶en az egyes transzformáltak szorzata.
12
3. fejezet
Deriválhatóság és integrálhatóság
3.1. A generátor függvény deriválása
Eddig a de�níció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-transzformáltját. A most
következ® részben a gyakorlati szempontból fontos eljárást fogalmazunk meg. Melynek segít-
ségével könnyebben el®állítható a transzformált.
El®ször egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltjával foglalkozunk.
A de�níció alapján adódik
L[f ′(t)] =
∫ ∞0
f ′(t)e−stdt =
[f(t) · e−st
]∞0
−∫ ∞0
f(t)(−s)e−stdt =
−f(0) + s ·∫ ∞0
f(t)e−stdt = s · L[f(t)]− f(0) = sF (s)− f(0),
ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja.
Tehát
L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0).
Ennek a formulának az ismételt alkalmazásával el®állíthatjuk magasabb rend¶ deriváltak tran-
szformáltját is
L[f ′′(t)] = sL[f ′(t)]− f ′(0) = s · (sL[f(t)]− f(0))− f ′(0) = s2L[f(t)]− sf(0)− f ′(0).
Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrend¶ deriváltakra vonatkozó formula
L[f (n)(t)] = snL[f(t)]− sn−1f(0)− sn−2f ′0− ...− f (n−1)(0).
13
A következ® példákon keresztül illusztrálnám ezt a szabályt.
1.f(t) = t
Akkor
L[f ′(t)] = s · 1s2− f(0) = 1
s.
2.f(t) = cos(at)
A táblázatból láthatjuk hogy
L[cos(at)] =s
s2 + a2
akkor
L[f ′(t)] = L[−a · sin(at)] = s · L[cos(at)]− f(0) = s · s
s2 + a2− f(0).
3.f(t) = cos2 at
f ′(t) = 2 cos(at)(− sin(at))a = −a2 sin(at) cos(at) = −a sin 2(at)
ekkor
L[f ′(t)] = −aL[sin 2at] = −a 2a
s2 + 4a2= L[f(t)]s− f(0) = sL[f(t)]− 1,
tehát
L[f(t)] =1
s·(1− 2a2
s2 + 4a2
)=
1
s· s
2 + 4a2 − 2a2
s2 + 4a2=
s2 + 2a2
s(s2 + 4a2).
4.f(t) = sin2 at
Mivel
f ′(t) = 2 sin(at) cos(at) · a = a2 sin(at) cos(at) = a sin 2a,
ezért
L[a sin 2a] = a · L[sin 2a] = a · 2a
s2 + 4a2,
tehát
L[f(t)] =a · 2a
s2+4a2+ 0
s=
2a2
s(s2 + 4a2).
14
3.2. Laplace-transzformált deriválása
Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-transzformált s-szerinti deriváltját kiszámíthatjuk
úgy,hogy a deriválás és az improprius integrál sorrendjét felcserélhetjük, azaz el®ször s szerint
deriváljuk az e−stf(t) kifejezést, majd a kapott eredménynek besszük az improprius integrálját.
Ezért:
d
dsF (s) =
d
ds
∫ ∞0
f(t) · e−stdt =∫ ∞0
f(t)d
ds· e−stdt =∫ ∞
0
f(t)(−t) · e−st = −∫ ∞0
t · f(t) · e−stdt
így
d
dsF (s) = −L[t · f(t)].
Általánosan n-edrend¶ deriváltra a következ®t kapjuk
dn
dsnF (s) =
dn
dsn
∫ ∞0
f(t) · e−st =∫ ∞0
(−t)n · f(t) · e−stdt =
(−1)n∫ ∞0
tn · f(t) · e−stdt = (−1)nL[tnf(t)],
vagyis
dn
dsnF (s) = (−1)nL[tnf(t)].
A következ® részben az el®z®ekhez hasonlóan néhány feladaton keresztül mutatnám be az egyes
függvények transzformáltjának deriválását.
1.Legyen f(t) = t · sin(at).Felhasználva L[sin(at)] = a
s2+a2= F (s), valamint alkalmazva d
ds· F (s) = −L[t · f(t)] formulát
kapjuk, hogy
L[t · sin(at)] = − d
ds· a
s2 + a2= −
(− a · 2s(s2 + a2)2
)=
2as
(s2 + a2)2.
2. Legyen f(t) = t2 · cosh(at)Korábbról tudjuk a hiperbolikus függvény transzformáltját
F (s) = L[cosh(at)] =s
s2 − a2.
15
Erre alkalmazzuk a
d2
ds2· F (s) = (−1)2 · L[t2 cosh(at)]
képletet így,
L[t2 cosh(at)] =d2
ds2
(s
s2 − a2
)=
d
ds
((s2 − a2)− s2s
(s2 − a2)2
)=
=d
ds
(−s2 − a2
(s2 − a2)2
)=
2s(s2 + 3a2)
(s2 − a2)3.
3. Legyen f(t) = tneat.
Induljunk ki az eat Laplace transzformáltjából
L[eat] =1
s= F (s).
Alkalmazzuk erre az F-re a dn
dsnF (s) = (−1)nL[tnf(t)] formulát.
L[tneat] =1
(−1)n· d
n
dsn· 1
s− a=
1
(−1)n· d
n−1
dsn−1· −1(s− a)2
=
1
(−1)n· d
n−2
dsn−2· (−1)(−2)(s− a)3
= . . . =1
(−1)n(−1)n n!
(s− a)n+1=
n!
(s− a)n+1,
ahol Re(s− a) > 0.
3.3. A generátor függvény primitív függvényének transz-
formáltja
A deriváltra vonatkozó formula alkamazásával könnyen levezethetünk egy összefüggést,egy f
függvény integrálfüggvényének Laplace transzformáltjára vonatkozóan.
Legyen
φ(t) =
∫ t
0
f(t)dt
Ekkor ddtφ(t) = f(t) összefüggés miatt egyrészt
L
[d
dtφ(t)
]= L[f(t)].
Másrészt a deriváltra vonatkozó szabály szerint
L
[d
dtφ(t)
]= sL[φ(t)]− φ(0) = sL[φ(t)],
16
hiszen
φ(0) =
∫ 0
0
f(t)dt = 0.
Átrendezve az egyenletet, kapjuk a keresett összefüggést
L
[∫ t
0
f(t)dt
]=
1
sL[f(t)] =
F (s)
s,
ahol F szokás szerint f Laplace transzformáltja. Eszerint a generátorfüggvény integrálása a
Laplace transzformált s-sel való osztásával egyenérték¶.
1. Számítsuk ki a φ(t) =∫ t0t sin(at)dt függvény Laplace transzformáltját!
Az el®z® megállapítás alapján az integrandusnak a Laplace-transzformáltját kell osztani s-sel,
így
L[φ(t)] =1
s· L[t · sin(at)] = 1
s· 2as
(s2 + a2)2=
2a
(s2 + a2)2.
2. Számítsuk ki φ(t) =∫ t0t2e−tdt függvény transzformáltját.
Induljunk ki abból hogy ismerjük a tneat transzformáltját, most ezt az n = 2, a = −1 helyettesítés-sel kapjuk:
L[φ(t)] =1
s· L[t2e−t] = 1
s· 2!
(s− (−1))3=
s2 + 2a2
s2(s2 + 4a2).
3.4. Laplace transzformált integrálása
A Laplace transzformáltnak az integrálfüggvényét ha megviszgáljuk hasznos összefüggést ka-
punk. Ehhez állítsuk el® t→ f(t)t
függvény transzformáltját
L[f(t)] =
∫ ∞0
f(t)
te−stdt =
∫ ∞0
f(t)dt
∫ ∞s
e−stdt =
=
∫ ∞s
(∫ ∞0
f(t)e−stdt
)ds =
∫ ∞s
F (s)ds,
ahol felhasználtuk a dds( e−st
t) = −e−st összefüggést.
1. Számítsuk ki az f(t) = sin(at)t
függvény transzformáltját!
Az el®bb levezetett összefüggést alkalmazva
17
L
[sin(at)
t
]=
∫ ∞s
L[sin(at)]ds =
∫ ∞s
a
s2 + a2ds =
=1
a
∫ ∞s
1
( sa)2 + 1
ds =
[1
a
(arctan
(s
a
))a
]∞s
=
=
[arctan
(s
a
)]∞s
=π
2− arctan
(s
a
)= arctan
(a
s
).
2. Számítsuk ki az f(t) = sin2 att
függvény transzformáltját.
Itt felhasználjuk hogy L[sin2 at] = 2a2
s(s2+4a2), amit már kiszámoltunk korábban. Innen következik
L[f(t)] =
∫ ∞s
L[sin2at]ds =
∫ ∞s
2a2
s(s2 + 4a2)ds.
Az integrál kiszámításához parciális törtekre bontunk
2a2
s(s2 + 4a2)=
12
s−
12s
s2 + 4a2,
ennek primitív függvénye∫ (1
2s− 1
4
2s
s2 + 4a2
)ds =
1
2ln |s| − 1
4ln |s2 + 4a2| = 1
4ln
∣∣∣∣ s2
s2 + 4a2
∣∣∣∣ahonnan
L
[sin2 at
t
]=
∫ ∞s
2a2
s(s2 + 4a2)ds =
1
4
[ln
∣∣∣∣ s2
s2 + 4a2
∣∣∣∣]∞s
=
=1
4ln
∣∣∣∣1 + 4a2
s2
∣∣∣∣.
18
4. fejezet
Inverz Laplace-transzformáció
4.1. De�níció. Legyen az F egy, komplex szám független változójú függvény, és létezzen egy
f(t) egyváltozós valós szám értek¶ függvény,amelyre teljesül,hogy L[f(t)] = F . Az f(t) füg-
gvényt az F függvény inverz Laplace transzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace traszfor-
mált jelölése: L−1[F ] = f(t).
A gyakorlati alkalmazás szempontjából egyik legfontosabb tulajdonságot az alábbi állításban
adjuk meg.
Állítás: Ha létezik f1(t)=L−1[F1]; f2(t) = L−1[F2] ; . . . ; fk(t) = L−1[Fk] inverz Laplace
transzformált függvények, és c1;c2; . . . ; ck tetsz®leges adott valós vagy komplex számok akkor
L−1[c1F1 + c2F2 + . . . + ckFk] =
= c1L−1[F1] + c2L
−1[F2] + . . . + ckL−1[Fk] =
= c1f1(t) + c2f2(t) + . . . + ckfk(t)
azaz az inverz Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú.
Fontos még a konvolúciós tételként ismert állítás
Állítás: Egy ismeretlen f(t) függvény F Laplace transzformáltja legyen szorzat alakú: F =
F1F2,de legyenek ismertek az f1(t) és f2(t) függvények, mint a tényez®k inverz Laplace-transzformáltjai:
f1(t) = L−1[F1] és f2(t) = L−1[F2]
Ekkor
f(t) = L−1[F ] = L−1[F1F2] =
∫ 0
t
f1(x)f2(t− x)dx.
Alkalmazom a fent megfogalmazottakat néhány függvényre.
1. Számítsuk ki az
F (s) =3s− 1
s2 + 4s+ 13
19
függvény inverz Laplace-transzformáltját!
A tört nevez®jét teljes négyzetté alakítjuk
F (s) =3s− 1
s2 + 4s+ 13=
3s− 1
(s+ 2)2 + 9=
3(s+ 2)− 7
(s+ 2)2 + 9= 3
s+ 2
(s+ 2)2 + 9− 7
3
3
(s+ 2)2 + 9
ezért az inverz Laplace-transzormált linearitását,a csillapitási tételt és a koszinusz és szinusz
függvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva:
L−1[F (s)] = 3L−1[
s+ 2
(s+ 2)2 + 32
]− 7
3L−1
[3
(s+ 2)2 + 32
]= 3e−2t cos(3t)− 7
3e−2t sin(3t).
2. Számítsuk ki az
F (s) =19− 2s
s2 + s− 6
függvény inverz Laplace-transzformáltját!
19− 2s
s2 + s− 6=
19− 2s
(s− 2)(s+ 3)=
A
s− 2+
B
s+ 3
19− 2s = A(s+ 3) +B(s− 2) = As+ 3A+Bs− 2B
A+B = −2→ A = −2−B
3A− 2B = 19
3(−2−B)− 2B = 19
−6− 3B − 2B = 19
−6− 5B = 19
−5B = 25
B = −5→ A = −2 + 5 = 3
tehát
F (s) =3
s− 2− 5
s+ 3.
Inverz Laplace-transzformáció linearitását alkalmazva
L−1[F (s)] = 3L−1[
1
s− 2
]− 5L−1
[1
s+ 3
]= 3e2t − 5e−3t.
20
4.1. Parciális törtekre bontás módszere
Ez a módszer a kés®bbiekben is fontos lesz. Ebben a részben általánosan szeretném ismertetni
majd egy egyszer¶ példán bemutatni.
Legyen f(x) = p(x)q(x)
alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú polinom. A nevez®nek
csak egyszeres, valós gyökei vannak. Ekkor q(x) felírható gyöktényez®s alakban. Ekkor pedigp(x)q(x)
felírható:
p(x)
q(x)=
p(x)
(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)=
A1
x− x1+
A2
x− x2+ . . . +
Anx− xn
alakban. Itt az A1, A2, . . . , An számokat az egyenl® együtthatók módszerével kapjuk meg. Tehát
p(x)
q(x)=
p(x)
(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)=
A1
x− x1+
A2
x− x2+ . . . +
Anx− xn
azonosságban a jobb oldalt közös nevez®re hozzuk, majd az így kapott számláló együtthatóit
összevetjük p(x) megfelel® együtthatóival, így egy egyenletrendszert kapunk Ai-kre, amelyet
megoldva megkapjuk a kívánt együtthatókat.
PÉLDA
1. Legyen
F (s) =19− 2s
s2 + s− 6.
A nevez® szorzattá alakítása után kapjuk,
F (s) =19− 2s
(s− 2)(s+ 3)=
A
s− 2+
B
s+ 3
ebb®l
19− 2s = A(s+ 3) +B(s− 2) = As+ 3A+Bs− 2B
ahonnan
A+B = −2→ A = −2−B
3A− 2B = 19
21
Behelyettesítem A-t a második egyenletbe
3(−2−B)− 2B = 19
−6− 3B − 2B = 19
−5B = 25
B = −5
B-t behelyettesítve az els® egyenletbe
A = −2− (−5) = 3
így
F (s) =19− 2s
s2 + s− 6=
3
s− 2− 5
s+ 3.
22
5. fejezet
Közönséges di�erenciálegyenletek és
egyenletrendszerek
A Laplace transzformáció egyik legfontosabb alkalmazása az álladó
együtthatós lineáris di�erenciálegyenletek és di�erenciálegyenletrend-
szerek megoldása. Ehhez tekintsünk egy másodrend¶ di�erenciálegyenletet
ax′′ + bx′ + cx = f(t)
ahol a, b, c adott konstansok, x = x(t) az ismeretlen függvény,f szintén adott függvény.
A megoldási módszer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-
transzformáltját. Ha bevezetjük az ismeretlen t→ x(t) függvény transzformáltjának jelölésére
az s→ X(s) jelet, és felhasználjuk a korábban bizonyított
L[x′(t)] = sX(s)− x(0)L[x′′(t)] = s2X(s)− sx(0)− x′(0)összefüggéseket,akkor a transzformáció eredménye az
a(s2X(s)− sx(0)− x′(0)) + b(sX(s)− x(0)) + cX(0) = F (s)
algebrai egyenlet.
A transzformáció elvégzése után tehát az ismeretlen x függvény transzformáltjára egy közön-
séges algebrai egyenletet kapunk.
23
5.1. Példák di�erenciálegyenletekre
1. Tekintsük az
x′′ − 4x = 0, x(0) = 1, x′(0) = 0
kezdeti érték feladatot.
Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját
L[x′′]− 4L[x] = 0.
Használva az X(s) = L[x] jelölést valamint a második derivált Laplace-transzformáltjára
vonatkozó azonosságot, kapjuk
s2X(s)− sx(0)− x′(0)− 4X(s) = 0
A kezdeti értéket használva
(s2 − 4)X(s) = s
azaz
X(s) =s
s2 − 4.
Bontsuk parciális törtekre X(s)-t,
s
s2 − 4=
s
(s+ 2)(s− 2)=
A
s+ 2+
B
s− 2
amib®l átszorozva kapjuk, hogy
s = A(s− 2) +B(s+ 2)
A+B = 1→ A = 1−B
−2A+ 2B = 0
−(1−B) +B = 0
2B = 1→ B =1
2
A = 1− 1
2=
1
2
24
ezért
s
s2 − 4=
1
2
1
s+ 2+
1
2
1
s− 2.
Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldását
x(t) = L−1[X(s)] = L−1[
s
s2 − 4
]= L−1
[1
2
1
s+ 2+
1
2
1
s− 2
]=
1
2e−2t +
1
2e2t.
2. Tekintsük az x′′(t) + 4x′(t) + 3x(t) = 1
x(0) = 0
x′(0) = 0
Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját
s2X(s)− sx(0)− x′(0) + 4sX(s)− x(0) + 3X(s) =1
s
ekkor
X(s) =1
s2 + 4s+ 3· 1s=
1
s3 + 4s2 + 3s.
A nevez®t szozattá alakítjuk és használjuk a parciális törtekre bontás módszerét:
X(s) =1
s(s+ 1)(s+ 3)=A
s+
B
s+ 1+
C
s+ 3
átszorozva kapjuk
1 = A(s2 + 4s) + 3) +Bs2 + 3Bs+ Cs2 + Cs
ebb®l A+B + C = 0
4A+ 3B + C = 0
3A = 1→ A = 13
A-t behelyettesítve a másik két egyenletbe{13+B + C = 0
43+ 3B + C = 0
25
Kivonjuk egymásból a két egyenletet
−1− 2B = 0→ B = −1
2
1
3− 1
2+ C = 0→ C =
1
6
így
X(s) =1
3s− 1
2
1
s+ 1+
1
6
1
s+ 3.
Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk az egyenlet megoldását:
x(t) = L−1[X(s)] = L−1[1
3s− 1
2
1
s+ 1+
1
6
1
s+ 3] =
1
31(t)− 1
2e−t +
1
6e−3t.
5.2. Di�erenciálegyenletrendszerek
Di�erenciálegyenletek esetén felhasználva az az el®z®ekben megkapott összefüggéseket, algebrai
lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlenfüggvények transzformáltjára vonatkozólag. Az
egyenletrendszer megoldása után ismét a visszatranszformálás a feladat. 1. Számítsuk ki a
következ® egyenletrendszert! x′ = 3x− 2y + et
y′ = x+ 6y − et
x(0) = 2
y(0) = −1
vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját:{sX(s)− x(0) = 3X(s)− 2Y (s) + 1
s−1
sY (s)− y(0) = X(s) + 6Y (s)− 1s−1
a kezdeti feltételeket használva:
(s− 3)X(s) + 2Y (s) = 2 +1
s− 1
−X(s) + (s− 6)Y (s) = −1− 1
s− 1
az egyenletrendszert rendezve kapjuk:
26
{X(s) = 2s2−11s+6
(s−4)(s−5)(s−1)
Y (s) = − s2−5s+1(s−4)(s−5)(s−1)
és így parciális törtekre bontva X(s)-t:
2s2 − 11s+ 6
(s− 4)(s− 5)(s− 1)=
A
s− 4+
B
s− 5+
C
s− 1
2s2 − 11s+ 6 = A(s2 − 6s+ 5) +B(s2 − 5s+ 4) + C(s2 − 9s+ 20)
2s2 − 11s+ 6 = As2 − A6s+ 5A+Bs2 − 5Bs+ 4B + Cs2 − 9Cs+ 20C
A+B + C = 2→ A = 2−B − C
−6A− 5B − 9C = −11→ −6(2−B − C)− 5B − 9C = −11→ B = 1 + 3C
5A+ 4B + 20C = 6
5(1− 4C) + 4(1 + 3C) + 20C = 6
9 + 12C = 6
C = −1
4
B = 1 + 3(−1
4) =
1
4
A = 2− 1
4− (−1
4) = 2
x(t) = L−1[
2
s− 4+
1
4
1
s− 5− 1
4
1
s− 1
]x(t) = 2e4t +
1
4e5t − 1
4et
majd ismét a parciális törtekre bontás módszerével megkapjuk y(t) is:
A+B + C = −1→ A = −1−B − C
−6A− 5B − 9C = 5→ −6(−1−B − C)− 5B − 9C = 5→ B = −1 + 3C
5A+ 4B + 20C = −1→ 5(−4C) + 4(−1 + 3C) + 20C = −1
−4 + 12C = −1
C =1
4
B = −1 + 3C = −1
4
A = −1−(−1
4
)− 1
4= −1
27
y(t) = L−1[− 1
s− 4− 1
4
1
s− 5+
1
4
1
s− 1
]y(t) = −e4t − 1
4e5t +
1
4et.
2. Legyen:
x′ = −7x+ y + 5 x(0) = 0
y′ = −2x− 5y − 37 y(0) = 0
Mindkét egyenletnek vesszük a Laplace-transzformáltját.
Ekkor: {sX(s) = −7X(s) + Y (s) + 5
s
sY (s) = −2X(s)− 5Y (s) + 37s2
Az els® egyenletet megszorozzuk s + 5-tel majd összeadjuk a két egyenletet így megkapjuk az
X(s)-t: {X(s)(s+ 7)− Y (s)− 5
p= 0 /(s+ 5)
Y (s)(s+ 5) + 2X(s)− 37p2
= 0{X(s)(s+ 5)(s+ 7)− Y (s)(s+ 5) = 0
Y (s)(s+ 5) + 2X(s)− 37s2
= 0
X(s)(s2 + 12s+ 35 + 2)− 37
s2− 5s+ 25
s= 0
X(s) =37 + 5s2 + 25s
s2(s2 + 12s+ 37)
Parciális törtekre bontjuk X(s)-t:
X(s) =37 + 5s2 + 25s
s2(s2 + 12s+ 37)=A
s+B
s2+
Cs+D
s2 + 12s+ 37
37 + 5s2 + 25s = A(s(s2 + 12s+ 37)) +B(s2 + 12s+ 37) + Cs(s2) +Ds2
37 + 5s2 + 25s
A+ C = 0 −→ C = −1
12A+B +D = 5 −→ D = −6
37A+ 12B = 25 −→ 37A− 12 = 25→ A = 1
37B = −37 −→ B = −1
x(t) = L−1[1
s+
1
s2− s+ 6
(s+ 6)2 + 1
]= 1− t− e−6tcos(t).
28
Majd az egyenletrendszerb®l megkapjuk az Y(s)-t ha az els® egyenletet megszorozzuk 2-vel a
másodikat pedig s+ 7-tel és kivonjuk egymásból:{2X(s)(s+ 7)− 2Y (s)− 10
p= 0
Y (s)(s+ 5)(s+ 7) + 2(s+ 7)X(s)− 37s+259s2
= 0
Y (s)(s2 + 12s+ 37)− 37s− 259
s2− 10
p= 0
Y (s) =−10s− 37s− 259
s2(s2 + 12s+ 37)=−47s− 259
s2 + 12s+ 37.
Parciális törtekre bontjuk Y(s)-t:
−47s− 259
s2 + 12s+ 37=A
s+B
s2+
Cs+D
s2 + 12s+ 37
−47s− 259 = A(s(s2 + 12s+ 37)) +B(s2 + 12s+ 37) + Cs(s2) +Ds2
−47s− 259 = As3 + A12s2 + A37s) +Bs2 +B12s+ 37B + Cs(s2) +Ds2
A+ C = 0→ C = 1
12A+B +D = 0→ 12− 7 = −D → D = 5
37A+ 12B = −47→ 37A+ 84 = −47→ A = 1
37B = −259→ B = −7.
Megkaptuk hogy:
1
s+−7s2
+s+ 5
s2 + 12s+ 37.
Vesszük az el®z® egyenlet inverz Laplace-transzformáltját:
y(t) = L−1[1
s− 7
s2− s+ 5
s+ 6
2
+ 1
]y(t) = 1− 7t+ e−6t cos(t) + e−6t sin(t).
29
5.3. Integrálegyenletek
Néhány esetben el®fordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az ismeretlen függvény egy
konvolúcióban szerepel. A
g(x) = f(x) + λ
∫ b
a
k(x− y)g(y)dy
egyenlet, ahol f(x) és k(x) megadott függvények és a λ adott állandó. Ha az el®z® egyenletben
a x′ = x− a, y′ = y − a változó cserével a következ®t kapjuk
g(x′) = f(x′) + λ
∫ x′
0
k(x′ − y′)g(y′)dy′
Az általános megoldási módszer: alkalmazzuk a Laplace transzformációt az egyenletre,
G(s) = F (s) + λK(s)G(s)
algebrai egyenletre jutunk, amelyb®l következik, hogy
G(s) =F (s)
1− λK(s).
Az egyenlet átírható a
G(s) = F (s) +λK(s)
1− λK(s)F (s)
alakra.
1. Tekintsük az
s =
∫ s
0
es−tg(t)dt
egyenletet. A Laplace transzformáltja a következ®
1
s2=
1
s− 1G(s)
innen
G(s) =s− 1
s2=
1
s− 1
s2,
g(t) = 1− t.
30
2. Tekintsük a
g(x) = 1−∫ x
0
(x− y)g(y)dy
egyenletet. Ekkor
G(s) = s−1 − s−2G(s),
ami a következ® megoldást adja:
G(s) =s
1 + s2
g(x) = cosx.
31
Irodalomjegyzék
[1] Hanka László, Zalay Miklós Komplex függvénytan M¶szaki könyvkiadó(2010)
[2] Brain Davies Integráltranszformációk és alkalmazásaik M¶szaki könyvkiadó(1983)
[3] Simon L. Péter, Tóth János Di�erenciálegyenletek, Typotex (2005)
32
Laplace transzformáció
2007. március 19.
1. Bevezetés
Definíció: Legyen f : [0,∞[→ R. Az F (s) =∞∫
0
f (t) e−st dt függvényt azf függvény
Laplace-transzformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius integrál valamilyens ∈ Rszámokra konvergens.
Megjegyzések:
• A Laplace-transzformáció tehát egy olyan leképezés, amelyfüggvényhez füg-gvényt rendel:f → F.
• A Laplace-transzformáció definíciójábanf általában komplex változós fügvényéss is komplex szám. Mi azonban a csak valós számokra szorítkozunk.
• A definícióban szereplo improprius integrált Laplace-integrálnak nevezzük.
• Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt is szokás mondani, hogyaz f függvény azF inverz Laplace-transzformáltja.
• A generátorfüggvényt a definícióban csak nemnegatív számokra értelmeztük.Szokták negatív számokra is értelmezni, azonban ilyenkorf a negatív helyekmindegyikén 0-t vesz fel.
Jelölések:
• A Laplace-transzformáltra:F (s) = f (s) = L[
f (t)]
= L[
f]
• Az inverz Laplace-transzformáltra:f (t) = L−1 [F] = L−1 [F (s)]
• A kapcsolatukra:f � F, illetve F� f .
Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három esetvalamelyike fordulhat elo:
• Mindens ∈ R esetén konvergens.
1
• Egyetlens ∈ R esetén sem konvergens.
• Létezik olyana ∈ R szám, hogys < a esetén a Laplace-integrál divergens,s > aesetén pedig konvergens.
Tétel: Ha létezik olyanK ∈ R+ ésα ∈ R, hogy∣
∣
∣ f (t)∣
∣
∣ ≤ Keαt, akkor az∞∫
0
f (t) e−st dt
Laplace-integráls > α esetén konvergens.
Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-transzformáltja ésc ∈ R, akkor ac ffüggvénynek is létezik Laplace-transzformáltja és
L[
c f]
= cL[
f]
Tétel: Legyenekf1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik.Ekkor létezik f1 + f2 Laplace-transzformáltja is és:
L[
f1 + f2
]
= L[
f1
]
+ L[
f2
]
Tétel: Legyenekf1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik.Ha c1, c2 ∈ R, akkor létezikc1 f1 + c2 f2 Laplace-transzformáltja is és:
L[
c1 f1 + c2 f2
]
= c1L[
f1
]
+ c2L[
f2
]
Megjegyzés:Az utóbbi tételnek az elozo ketto speciális esete. A két speciális esetegyüttesen ekvivalens az utolsó tétellel, amely biztosan igaz, ha az elozo ketto igaz.
2. Néhány konkrét függvény Laplace-transzformáltja
2.1. Az egységugrás függvény Laplace-transzformáltja
Definíció: Az 11: R→ R, 11 (t) =
{
0 ha t < 0
1 ha t ≥ 0függvényt egységugrás függvény-
nek nevezzük.
L [11] =
∞∫
0
e−st dt =
[
−e−st
s
]∞
0
= limω→∞
(
−e−sω
s+
1
s
)
=1
sha s > 0
2.2. Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja
L[
eat]
=
∞∫
0
eate−st dt =
∞∫
0
e(a−s)t dt =
[
e(a−s)t
a − s
]∞
0
= limω→∞
(
e(a−s)ω
a − s−
1
a − s
)
=
1
s − a
ha s > a
Példa: e3t�
1
s − 3
2.3. A hiperbolikus függvények Laplace-transzformáltja
L [sh (at)] = L
[
eat − e−at
2
]
=1
2
(
L[
eat]
− L[
e−at])
=1
2
(
1
s − a−
1
s + a
)
=a
s2 − a2
ha s > |a|
Példa: sh 2t�2
s2 − 4
L [ch (at)] = L
[
eat+ e−at
2
]
=1
2
(
L[
eat]
+ L[
e−at])
=1
2
(
1
s − a+
1
s + a
)
=s
s2 − a2
ha s > |a|
Példa: ch 5t�s
s2 − 25
2.4. A trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja
L [sin (at)] =
∞∫
0
sin (at) e−st
v=sin(at), u′=e−st
dt =
[
−sin (at) e−st
s
]∞
0
+
a
s
∞∫
0
cos (at) e−st
v=cos(at), u′=e−st
dt =
= limω→∞
(
−sin (aω) e−sω
s+ 0
)
−
[
a
s·
cos (at) e−st
s
]∞
0
−a2
s2
∞∫
0
sin (at) e−st dt =
= 0 −a
s2· limω→∞
(cos (aω) e−sω − 1) −a2
s2L [sin (at)] ha s > 0
Tehát a következo egyenlethez jutottunk:
L [sin (at)] =a
s2−
a2
s2L [sin (at)] ha s > 0
Ebbol rendezéssel adódik:
L [sin (at)] =a
s2+ a2
ha s > 0
Az elozo gondolatmenethez hasonlóan:
L [cos (at)] =
∞∫
0
cos (at) e−st
v=cos(at), u′=e−st
dt =
[
−cos (at) e−st
s
]∞
0
−a
s
∞∫
0
sin (at) e−st
v=sin(at), u′=e−st
dt =
= limω→∞
(
−cos (aω) e−sω
s+
1
s
)
+
[
a
s·
sin (at) e−st
s
]∞
0
−a2
s2
∞∫
0
cos (at) e−st dt =
=1
s+ 0 −
a2
s2L [cos (at)] ha s > 0
L [cos (at)] =1
s−
a2
s2L [cos (at)] ha s > 0
L [cos (at)] =s
s2+ a2
ha s > 0
Példa: 2 sin 3t − 3 cos 5t� 2 ·3
s2+ 9− 3 ·
s
s2+ 25
=
6
s2+ 9−
3s
s2+ 25
2.5. A hatványfüggvény Laplace-transzformáltja
Eloször vezessünk le egy a hatványfüggvény Laplace-transzformáltjára vonatkozó re-kurzív összefüggést (n pozitív egész szám):
L [tn] =
∞∫
0
tne−st dt
v=tn , u′=e−st
=
[
−tne−st
s
]∞
0
+
n
s
∞∫
0
tn−1e−st dt =
= limω→∞
(
−ω
ne−sω
s+ 0
)
+
n
sL[
tn−1]
=
n
sL[
tn−1]
Tudjuk, hogyL[
t0]
= L [11] =1
s, tehátL [t] =
1
s· L [11] =
1
s2, L
[
t2]
=2
s· L [t] =
2
s3,
L[
t3]
=
3
s· L
[
t2]
=
6
s4, L
[
t4]
=
4
s· L
[
t3]
=
24
s5, stb.
Ebbol arra a sejtésre jutunk, hogyL [tn] =n!
sn+1.
Ez teljes indukcióval könnyen igazolható is, hiszen:
L[
tn+1]
=n + 1
s· L [tn] =
n + 1
s·
n!
sn+1=
(n + 1)!
sn+2,
tehát ha egyn természetes számra helyes a megsejtett képlet, akkor helyes n + 1-re,azaz a következo természetes számra is.
Példa: t3 − 3t2+ 7t + 9�
3!
s4− 3 ·
2!
t3+ 7 ·
1!
t2+ 9 ·
1
s=
6
s4−
6
t3+
7
t2+
9
s
3. Néhány számítási szabály
3.1. Exponenciális függvénnyel szorzott függvény Laplace-transz-formáltja
Tegyük fel, hogy ismerjük azf függvény Laplace-transzformáltját:f (t) � F (s).Ekkor az f (t) eat szorzat Laplace-transzformáltja is könnyen felírható:
f (t) eat� F (s − a) .
Bizonyítás:
L[
f (t) eat]
=
∞∫
0
f (t) eate−st dt =
∞∫
0
f (t) e−(s−a)t dt = F (s − a)
Példák:
• e2t sin 3t�3
(s − 2)2+ 9=
3
s2 − 4s + 13
• et cos 4t�s − 1
(s − 1)2+ 16
=
s − 1
s2 − 2s + 17
• e3t sh 2t�2
(s − 3)2− 4=
2
s2 − 6s + 5
• e−2t ch 2t�s + 2
(s + 2)2− 4=
s + 2
s2+ 4s
• e5tt8�
8!
(s − 5)9
3.2. Hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformáltja
Tegyük fel, hogy ismerjük azf függvény Laplace-transzformáltját:f (t) � F (s).Ekkor az f (t) tn szorzat Laplace-transzformáltja is meghatározható:
f (t) tn� (−1)n
·dnF (s)
dsn.
Bizonyítás:Eloször azn = 1 speciális esetre bizonyítjuk az összefüggést. Induljunk kia Laplace-transzformáció definíciójából:
∞∫
0
f (t) e−st dt = F (s)
Deriváljuk ennek mindkét oldalás azs változó szerint:
∞∫
0
−t f (t) e−st dt =dF (s)
ds
Ezt−1-gyel szorozva a bizonyítani kívánt összefüggéshez jutunk:
∞∫
0
t f (t) e−st dt = −dF (s)
ds
Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható. Tegyükfel, hogyn-re már igazoltukaz állítást. Ekkorn + 1-re:
L[
tn+1 f (t)]
= L[
t · tn f (t)]
= −d
dsL[
tn f (t)]
= −d
ds(−1)n
·dnF (s)
dsn=
= (−1)n+1 dn+1F (s)
dsn+1
Tehát ha az állításn-re igaz, akkorn + 1-re is teljesül.
Példa: t sin 2t� −d
ds
2
s2+ 4= −
0 − 2 · 2s
(s2+ 4)
2=
4s
(s2+ 4)
2
3.3. Függvény integráljának Laplace-transzformáltja
Legyen f (t) � F (s). Ekkor a g (t) =t∫
0
f (x) dx függvény laplace-transzformáltja
F (s)
s.
Bizonyítás:
L[
g (t)]
=
∞∫
0
t∫
0
f (x) dx
e−st
v=t∫
0
f (x) dx, u′=e−st
dt =
−
(
t∫
0
f (x) dx
)
e−st
s
∞
0
+
1
s
∞∫
0
f (t) e−st dt =
= limω→∞
−
(
ω∫
0
f (x) dx
)
e−sω
s+ 0
+
F (s)
s=
F (s)
s
3.4. Függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltja
Ha f (t)� F (s) = f (s), akkor f ′ (t)� s f (s) − f (0).Bizonyítás:Ismét parciális integrálást alkalmazunk:
L[
f ′ (t)]
=
∞∫
0
f ′ (t) e−st
u′= f ′(t), v=e−st
dt =[
f (t) e−st]∞
0+ s
∞∫
0
f (t) e−st dt = − f (0) + s f (s)
Az f függvény második deriváltjának Laplace-transzformáltja:
f ′′ (t)� s2 f (s) − s f (0) − f ′ (0)
Bizonyítás:
L[
f ′′ (t)]
= sL[
f ′ (t)]
− f ′ (0) = s(
s f (s) − f (0))
− f ′ (0) = s2 f (s) − s f (0) − f ′ (0)
Az f függvényn-edik deriváltjának Laplace-transzformáltja:
f (n) (t)� sn f (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0)
Bizonyítás: (Teljes indukcióval.) Az állításn = 1-re ésn = 2-re igaz. Tegyük fel,hogyn-re is igaz. Ekkorn + 1-re:
L[
f (n+1) (t)]
= sL[
f (n) (t)]
− f (n) (0) =
= s(
sn f (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . . . − f (n−1) (0))
− f (n) (0) =
= sn+1 f (s) − sn f (0) − sn−1 f ′ (0) − . . . − s f (n−1) (0) − f (n) (0)
Tehát ha az állítás igazn-re, akkorn + 1-re is igaz.
3.5. Eltolási tétel
Legyen f (t) � F (s). Ekkor a g (t) =
{
0 ha x < af (t − a) ha x ≥ a
függvény Laplace-
transzformáltjaL[
g (t)]
= e−asF (s)
Bizonyítás:
L[
g (t)]
=
∞∫
0
g (t) e−st dt =
a∫
0
0 dt +
∞∫
a
f (t − a) e−st dt =
∞∫
a
f (t − a) e−st dt
Alkalmazzunku = t − a helyettesítést:
L[
g (t)]
=
∞∫
a
f (t − a) e−st dt =
∞∫
0
f (u) e−s(u+a) du = e−as
∞∫
0
f (u) e−su du = e−asF (s)
4. Inverz Laplace-transzformáció
Hogyan állítsuk elo a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-transzformáltja? Ha aLaplace-transzformált valamilyen egyszeru racionális törtfüggvény, akkor gyakran aLaplace-transzformáció megfordításával (táblázat segítségével) célt érünk.
Példák:
•
1
s − 8� e8t
•
3
s2+ 4=
3
2·
2
s2+ 4�
3
2sin 2t
•
2
s4=
1
3·
3!
s4�
1
3t3
•
s − 1
s2 − 6s + 13=
s − 1
(s − 3)2+ 4=
s − 3
(s − 3)2+ 4+
2
(s − 3)2+ 4�
� e3t cos 2t + e3t sin 2t
Ha a visszatranszformálandó kifejezés bonyolultabb racionális tört, akkor eloször rész-törtekre bontást alkalmazunk és a tagokat egyenként transzformáljuk vissza.
