Amandine Hocquet Année 2008/2009 Groupe O1

Écrit disciplinaire module 2

Mathématiques

L'apprentissage de l'addition posée en CE1

IUFM de Créteil-Paris 12 site Jean Monnet Torcy

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La séquence objet de l'analyse à suivre s'est déroulée durant la seconde période de l'année

scolaire 2008/2009. Elle a été mise en place dans une classe de CE1 de l'école élémentaire Orme

Bossu à Lagny-Sur-Marne (77), comportant 22 élèves de classe moyenne, dont 14 garçons et 8

filles.

Cette séquence de mathématiques a comporté 8 séances de 45 minutes, à raison de 3 et 2

séances par semaine durant 3 semaines (cf. tableau de programmation des séances, annexe 1).

Cette séquence de numération avait pour but d'introduire la technique de l'addition posée auprès des

élèves, que certains d'entre eux avaient déjà entrevue en classe de CP. Toutefois, je préférais partir

du principe que cette notion était inconnue de tous, afin de ne pas perturber la majorité des élèves

qui n'avait pas travaillé cette notion l'année passée. Les compétences que cette séquence visaient à

développer sont les suivantes (extrait du BO hors série n° 3 du 19 juin 2008) :

Compétence principale:

- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition [et de la soustraction] (sur les

nombres inférieurs à 1 000).

Compétences travaillées à l'occasion des différentes séances:

–Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et

des produits.

–Résoudre des problèmes relevant de l'addition.

–Calculer en ligne des suites d'opérations.

La technique opératoire de l'addition sans, et surtout avec retenue doit être maitrisée

rapidement par les élèves de CE1, car elle sert de base à l'acquisition de la technique soustractive

qui devra elle aussi être maitrisée avant la fin de l'année. Ainsi, afin de mener à bien cet

apprentissage, j'ai décidé d'introduire dans un premier temps la technique sans retenue, afin de

pouvoir se concentrer sur l'indispensable alignement des dizaines et unités. J'ai également travaillé à

partir de problèmes additifs, dans le but de démontrer aux élèves l'utilité de la technique opératoire

en contexte. Ainsi, après avoir proposé un problème additif sur ardoise aux élèves, j'ai accueilli

toutes leurs procédures de calcul réfléchi avant de leur proposer (sans leur imposer néanmoins) la

technique posée en colonnes, sans retenue (séance 1 et 2). Puis, il m'a semblé nécessaire de

proposer une situation problème aux élèves permettant de réactiver les notions de centaines,

dizaines et unités. Il s'agissait de présenter aux élèves des centaines de haricots qu'ils devaient

dénombrer, et de les amener à former des « paquets de 10 » pour faciliter le comptage. Puis, répartis

en groupes, les élèves ont rassemblé 10 haricots par enveloppe, une enveloppe représentant alors

une dizaine. Enfin, les totaux étaient rassemblés, et j'ai construits pour la séance suivante un

panneau récapitulatif (cf. annexe 2) se présentant sous la forme d'un arbre de calcul et permettant

d'additionner progressivement tous les totaux des élèves, en utilisant bien sûr la technique

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opératoire de l'addition avec retenue (séances 3 et 4).

Les séances 5,6 et 7 ont permis de réinvestir les premières séquences, et la dernière séquence a été

consacrée à l'évaluation.

D'une manière générale, je dirais que la classe a plutôt bien réagi à cette séquence. Les

premières séances étant réservées à une remobilisation des acquis et à des phases d'apprentissages

facilement accessibles, je ne m'étendrai pas dessus outre mesure. Simplement, notons que la

technique de l'addition posée en colonne ne faisait pas partie des procédures personnelles des élèves

lors de la première séance, mais que celle-ci fut très bien accueillie et réussie des élèves par la suite

(certains ont ressenti le besoin d'être guidé par des colonnes « dizaines » et « unité », après que je

leur ai suggéré la possibilité de cette aide). Toutefois, j'ai été très étonnée de voir à quel point les

élèves n'avaient pas l'habitude d'être confronté à des problèmes additifs, certains n'en avaient même

jamais faits. Pourtant, il m'a semblé que ce genre de problème était, entre autres, un bon moyen de

donner du sens et une utilité concrète à la technique opératoire de l'addition. Ainsi, la traduction de

l'énoncé en phrase mathématique a été laborieuse, tout comme l'intégration du concept de « phrase

réponse ».

C'est donc sur l'apprentissage de la technique opératoire de l'addition avec retenue que mes

difficultés ont été les plus importantes, tout comme il fut le plus délicat à inculquer aux élèves. Tout

d'abord, il faut préciser qu'en intégrant la phase de recherche avec les haricots, je choisissais

d'aborder la notion de la retenue « par le sens ». De cette manière, une fois que les unités étaient

additionnées, j'invitais les élèves à se demander: « combien d'enveloppes peut-on remplir avec x

haricots? », ou encore: « combien peut-on faire de paquets de 10 avec x, et combien est ce qu'il en

reste ensuite? ». Je parle ici d'aborder la notion de retenue par le sens, en opposition avec une

approche plus « mécanique » qui aurait consisté à dire par exemple: « je trouve un nombre x, j'écris

son chiffre des unités sous la colonne des unités, et son chiffre des dizaines au dessus de la colonne

des dizaines, en guise de retenue ». Comme nous le verrons plus tard, je pense aujourd'hui qu'avec

certains élèves en difficulté, il aurait été plus approprié de présenter les choses sous cet angle.

De plus, j'ai pu remarquer que si pour un bon nombre d'élève, la retenue d'une ou plusieurs dizaines

fut bien appréhendée, beaucoup ont eu du mal à appliquer le même raisonnement aux centaines. De

deux choses l'une: soit le sens de la retenue n'était pas saisi, puisque pas généralisé, soit les entiers

naturels supérieurs à 100, qui sont censés être vu en CE1 n'étaient pas maitrisés par la majorité des

élèves (notons que lors de l'évaluation, dans l'exercice 1, les élèves ont échoué par ma faute,

puisque j'aurais du tracer une colonne « centaines » par avance).

Autre erreur à laquelle j'ai été confrontée et pour laquelle j'ai pu avoir du mal à trouver des

méthodes de remédiation fut l'alignement des unités et des dizaines en colonnes. Divers travaux

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d'élèves ont montré que certains n'avaient pas compris qu'il fallait s'appliquer à additionner les

unités, puis les dizaines, et que d'autres, qui pourtant ne faisaient pas d'erreurs, ne comprenaient pas

réellement pourquoi ce cloisonnement est nécessaire. Ainsi, c'est le fait que notre système de

numération en base 10 est un système de numération de position qui n'était pas assimilé. Afin de

remédier à cette lacune, je pense à posteriori qu'un travail sur l'aspect ordinal des nombres aurait dû

être mis en place en parallèle. Il faut que l’élève comprenne que selon sa place, un chiffre ne se

prononce pas de la même façon et ne représente pas la même valeur. On peut alors manipuler et

dénombrer des collections d’objets, coder le résultat, manipuler et dénombrer des collections

d’objets et parvenir à une stratégie efficace en faisant des groupes de 10 (donc réitérer au besoin le

travail avec les haricots), compter en barrant, compter en groupant pas 10, ou encore travailler la

décomposition des nombres. Enfin, ce type de remédiation peut aussi concerner les élèves qui ne

commencent pas leur calcul par les chiffres des unités, en plus d'une mise en parallèle avec les

additions en ligne et les arbres de calcul qui étaient maitrisés par l'ensemble de la classe.

La dernière séance de cette séquence fut consacrée à l'évaluation, qui comportait trois

exercices : des additions déjà posées en colonnes, des additions à poser et deux petits problèmes

additifs. Dans l'ensemble, les résultats furent satisfaisants, même la technique opératoire devra être

revue et retravaillée régulièrement tout au long de l'année. En annexe, trois travaux d'élèves sont

présentés. J'ai choisi de joindre à mon analyse l'évaluation de Tom (cf. annexe 3) afin d'illustrer la

difficulté avec laquelle les élèves ont essayé de résoudre des problèmes additifs. Cet élève fait partie

du « haut » de la classe, mais il a échoué au dernier exercice car, comme beaucoup d'autres, il n'a

pas lu l'énoncé jusqu'au bout et a oublié de traduire mathématiquement la dernière donnée. Le

devoir de Yohan (cf. annexe 4) est différent, il y a davantage d'erreurs de calcul, et surtout cet élève

a été dérouté lorsque le résultat comportait un chiffre des centaines sans que ce soit le cas des

nombres à ajouter. Cela nous ramène à la réflexion faite en amont : un travail parallèle sur les

entiers naturels comportant un chiffre des centaines et une réflexion sur notre système de

numération de position aurait dû être proposé aux élèves afin d'éluder ce genre d'erreur lors de

l'apprentissage de la technique opératoire.

J'évoquerai pour terminer le cas d'un élève en grande difficulté, avec lequel je dois

reconnaître ne pas avoir atteint mes objectifs de départ. Alan est un élève difficile. Il est très ardu de

l'intéresser aux contenus des enseignements, et il passe la majorité de son temps à dissiper la classe

ou à s'occuper avec autre chose que du travail. Ainsi, j'ai rencontré de gros problèmes pour atteindre

les objectifs fixés avec Alan, dans la mesure où celui-ci travaille réellement uniquement lorsque

l'adulte est avec lui, auprès de lui, le guide et l'encourage. Même si j'ai essayé d'instaurer une grande

proximité entre lui et moi, et il est difficile de mettre en place un tel processus de différenciation au

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sein d'une classe ou chaque élève nécessite une attention particulière à un moment donné. Dans son

évaluation, Alan a cumulé erreurs de calcul, difficultés de gestion de la retenue et problèmes

d'alignement des chiffres. En ce qui concerne le premier problème, je pense avec le recul que cet

élève aurait eu besoin d'une charge de travail moins lourde, afin qu'il ne parte pas « perdant » et

qu'il puisse se motiver et se concentrer devant son travail. En effet, habitué à rencontrer des

problèmes dans toutes les disciplines, il paraissait souvent abattu devant la somme de travail

demandée, et ne pouvait pas suivre le rythme de la classe. De plus, Alan n'a pas saisi du tout le sens

de la retenue. Comme évoqué précédemment, j'avais choisi d'aborder la retenue en essayant de

donner le plus de sens possible à celle-ci, et par la même occasion à la technique opératoire. Mais

pour cet élève, cette approche n'est pas satisfaisante, puisqu'il n'a pas saisi le sens de la retenue : il

l'applique de manière quasi systématique, même lorsqu'il ne doit pas y en avoir. Peut-être aurait-il

fallu présenter à Alan une démarche beaucoup plus « mécanique » dans un premier temps, quitte à

revenir sur la signification véritable de la retenue un peu plus tard, lorsque la technique opératoire

aurait été acquise. Cela aurait sans doute évité que cet élève ait une si mauvaise note à l'évaluation.

Car même si le statut de l'erreur est important dans la conception actuelle de notre enseignement,

nous sommes dans un cas de figure où cet élève avait besoin de regagner une estime de soi, dont il

ne bénéficiait d'ailleurs pas hors de l'école, et une confiance envers l'institution scolaire qui semblait

déjà érodée à son âge. Enfin, Alan aurait du bénéficier également d'un travail de remédiation en ce

qui concerne le signification de notre système de position, puisqu'on peut observer que souvent, lors

de son évaluation, les chiffres ne sont pas correctement alignés (notons à ce propos que bien que j'ai

très largement suggéré aux élèves d'utiliser des colonnes pour marquer une délimitation entre les

chiffres, Alan, ne se sentant certainement pas concerné, ne les a jamais utilisées). Cela est

observable également avec le dernier exercice: il a préféré poser en ligne le calcul, mais il a

visiblement commencé par additionner les chiffres de dizaines, puis ceux des unités en y appliquant

une retenue (d'où le « =26=27 »), le tout avec une erreur de calcul. Notons tout de même qu'il a bien

réussi à traduire l'énoncé en phrase mathématique, sans omettre d'élément comme ont pu faire

d'autres élèves.

En conclusion, je pense que cette séquence était très délicate à mettre en place, car

primordiale. Même si beaucoup d'élèves ont eu des résultats correctes, je pense d'une part que je n'ai

pas suffisamment anticipé les difficultés que pouvaient rencontrer les élèves, notamment en ce qui

concerne les entiers naturels supérieurs à 100 ou la valeur des chiffres en fonction de leur position

dans un nombre, D'autre part, trop d'élèves ont été laissé au bord du chemin mathématique, faute

d'une différenciation satisfaisante de ma part. Peut-être par peur de manquer de temps pour boucler

cette séquence importante, je n'ai pas assez pris le temps d'analyser les difficultés des élèves pour

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leur proposer de véritables solutions. Je pense donc aujourd'hui et avec le recul nécessaire que

j'aurais dû faire avancer la classe « lentement mais sûrement », c'est à dire leur demander moins de

choses à la fois, mais exiger que les notions abordées au fur et à mesure soient maitrisées.

Annexes

Annexe 1: programmation des séances

Séances Description du contenu

Séance 1: vendredi 28 novembre. •Calcul réfléchi: proposer un problème additif sans retenue (à

l'oral, avec ardoise). Accueillir toutes les procédures

personnelles et les calculs en ligne ( arbre de calcul, addition

unités et dizaines...).

•Introduire l'addition posée sans retenue. Insister sur le positionnement des chiffres en colonnes, proposer de suivre une

ligne verticale verte pour les unités et une ligne rouge pour les

dizaines.

•Exercices d'application sur fiche.

Séance 2: lundi 1er décembre •Exercice de calcul mental sur ardoise

•Additions posées sans retenue sur ardoise, avec correction au tableau

•Exercices d'application sur fiche, sous forme de problèmes additifs à poser.

Séance 3: mardi 2 décembre

•Situation problème: comment compter des allumettes (hypothèses recueillies, propositions de stratégies, comptage en

groupe, chaque groupe inscrit son nombre sur un tableau

récapitulatif)

•Réunir les résultats de deux groupes et proposer aux élèves de

poser l'addition.

•Présentation de l'addition posée avec retenue.

Séance 4: vendredi 5 décembre •Addition de tous les paquets d'allumettes ( construire un tableau avec tous les nombres présentés sous forme d'un arbre

de calcul jusqu'au résultat final)

•Fichier Pour comprendre les mathématiques, Hachette

éducation,p°37.

Séance 5: lundi 8 décembre

•Calcul mental

•Fichier Pour comprendre les mathématiques, Hachette éducation, p°38.

Séance 6: mardi 9 décembre

•Calcul mental

•Problèmes additifs, additions posées avec et sans retenue.

Séance 7: vendredi 12 décembre •Exercices d'application.

Séance 8: lundi 15 décembre •Évaluation.

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Annexe 2: panneau support de la séance 4.

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