Las Probabilidades Y La Vida

8/15/2019 Las Probabilidades Y La Vida

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ÉMILE BOREL

LAS PROBABILIDADES Y LA VIDA

EDICIONES ORBIS, S.A.



INTRODUCCIÓN

La ley única del azar. — Plan de la obra.

1. La ley única del azar.— ¿Existen leyes del azar? Parece evidente que la respuesta debería sernegativa, ya que precisamente el azar se define como característica de los fenómenos que no tienen ley,fenómenos cuyas causas son demasiado complejas para que podamos preverlas. Sin embargo, losmatemáticos, a partir de Pascal, Galileo y de otros muchos pensadores eminentes, han establecido unaciencia, el cálculo de probabilidades, cuyo objeto ha sido generalmente definido como el estudio de las

leyes del azar. En realidad, el principal objetivo del cálculo de probabilidades, como su mismo nombreindica, es calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de probabilidades conocidasde fenómenos más sencillos.

¿Cómo puede permitir el cálculo de probabilidades prever algunas eventualidades aleatorias? Elmecanismo de la previsión es siempre el mismo y hace intervenir de manera invariable a laúnica delazar, de la que hablaremos con más detalle, y que consiste esencialmente en que no se producen losfenómenos muy poco probables. Se trata, pues, de combinar las probabilidades de fenómenossencillos, de manera que lleguen a definirse fenómenos complejos cuyas probabilidades sondemasiado pequeñas para que sea aplicable la ley única del azar.

En esta obra utilizaremos algunos resultados del cálculo de probabilidades, pero no es absolutamentenecesario que el lector conozca al detalle los métodos a través de los cuales estos resultados han sidoobtenidos; es suficiente que confíe en los matemáticos, del mismo modo que un industrial tieneconfianza en su sección de contabilidad, sin verse obligado a repasar todas las sumas y todas lasmultiplicaciones.

Los fundamentos sobre los que se basa el cálculo de probabilidades son extremadamente sencillos ytan intuitivos como los razonamientos que llevan a un contable a sumar o multiplicar. Algunas veceslas probabilidades simples son conocidas por razones de simetría: si uno lanza al aire una moneda(juego de cara o cruz), las probabilidades de los dos lados de la moneda son iguales y cada una deellas es deuna mitad; existe una posibilidad sobre dos de que salga cara, y una sobre dos de que salga

cruz. Para un dado de seis caras, la probabilidad de cada una de ellas es deun sexto; hay unaprobabilidad sobre seis de obtener la cara con el númerocuatro. Otras probabilidades, de naturalezamás compleja, se deducen de la experiencia o de la estadística; si de 10.000 hombres de 80 años deedad mueren 1.300 en el curso de un año, se llega a la conclusión de que la probabilidad de morir enun año para un hombre de 80 años es de alrededor del 13%, es decir, igual a 0’13. Es evidente que lasprobabilidades nunca se conocen rigurosamente; únicamente se conocen valores aproximados, lo que,por otra parte, acontece en todas las magnitudes físicas que se pueden medir. Por más precisos quesean los medios de conocimiento, su precisión es limitada. En un dado o en una moneda, nunca esrigurosa su simetría, y el valor 1/2 o 1/6 de probabilidad es asimismo solamente aproximado.

Conociendo las probabilidades simples, es cuestión de combinarlas; si simultáneamente se lanzanalaire dos monedas o sucesivamente dos veces la misma moneda, la probabilidad de obtener dos vecescruz será igual al producto deuna mitad poruna mitad, es decir,un cuarto. Si se tiran dos dados, la



probabilidad de obtener el doble seis será de 1/6' multiplicado por 1/6, o sea 1/36. Pero laprobabilidad de obtener 6 y 5 con dos dados será 1/18, ya que puede obtenerse 6 con el primer dado y5 con el segundo, o 6 con el segundo y 5 con el primero, y cada una de estas eventualidades tiene porprobabilidad 1/36.

Por procedimientos y observaciones semejantes, los agentes de compañías de seguros, conociendo loscuadros de mortalidad de los hombres y de las mujeres, pueden resolver un problema como el quesigue. Dos esposos mayores, el marido de 60 años y la mujer de 55, invierten una suma de 2.000dólares a cambio de una renta vitalicia que deberá ser satisfecha hasta la muerte del últimosuperviviente: ¿cuál debería ser el importe de esta renta, para un valor dado del tipo de interés, si nose tuviera en cuenta el beneficio que debe reservarse la compañía de seguros para hacer frente a susgastos generales y para formar reservas que son la garantía para los asegurados de ser pagados encualquier caso? Un problema más difícil, pero que se puede resolver de acuerdo con los mismosfundamentos, consiste en calcular la reducción a que es preciso someter la renta para que la compañíaesté prácticamente segura de poder hacer frente a sus compromisos para con todos los asegurados enrentas vitalicias, incluso si algunos de ellos tienen la suerte de vivir mucho tiempo. Para la resolución

de este segundo problema, es necesario acudir a laley única del azar, de la que ya hemos hablado.

Esta ley es extremadamente simple y de una evidencia intuitiva, aunque no sea racionalmentedemostrable:los acontecimientos cuya probabilidad essuficientemente escasa, nunca se producen; o, por lomenos, en todas las circunstancias, deben ser tratados comoimposibles.

Un ejemplo clásico de estos acontecimientos imposibles es el delmilagro de los monos mecanógrafos1,alque se puede dar la forma siguiente: una mecanógrafa que conoce solamente el castellano es encerradaen un lugar aislado durante varios meses con su máquina de escribir y papel en blanco; se distraeescribiendo al azar y, al cabo de seis meses, resulta que ha escrito sin ningún error las obras completasde Shakespeare en su texto inglés y las obras completas de Goethe en su texto alemán. Este es el tipode acontecimientos que, aunque no puede demostrarse racionalmente que son imposibles, son, sinembargo, tan extraños, que cualquier persona de sentido común no dudará en declararlosefectivamenteimposibles. Si alguien nos asegurara haber observado un acontecimiento semejante, no dudaríamos enpensar que nos engaña, o que él mismo ha sido víctima de una superchería.

El caso de la mecanógrafa reproduciendo las obras de Shakespeare y de Goethe sin conocerlas es tanmilagroso, que nadie puede dudar de su imposibilidad; no obstante, uno podría imaginarseacontecimientos menos inverosímiles, si bien muy improbables; por ejemplo, si la mecanógrafahubiese escrito simplemente un verso de Shakespeare o de Goethe, o sencillamente tan sólo las dosprimeras palabras de una de sus obras. Es en casos parecidos que el cálculo de probabilidades debe

intervenir, pues permite establecer el valor exactode la probabilidad del suceso en cuestión; en elCapítulo III veremos los límites dentro de los cuales uno puede llegar a considerar rechazable estaprobabilidad.

2. La repetición crea la inverosimilitud.— Si examinamos el caso de la mecanógrafa milagrosa,comprobaremos que la inverosimilitud es el resultado de que el éxito total exige que el éxito parcial serealice sucesivamente gran número de veces; el éxito parcial consistirá en que la primera letra escritapor la mecanógrafa sea precisamente la primera letra deFausto. Este resultado no es probable, ya queexisten 29 letras en el alfabeto; pero sin embargo, no es completamente inverosímil. Igualmente ocurre

con la segunda letra, que podría tener muy bien la suerte de coincidir con la segunda letra deFausto; lo1

Borel, E., Le Hasard , págs. 164-339, Alean.



mismo para la tercera, y así sucesivamente. Cada uno de estos resultados parciales, considerándoloaisladamente, puede ser perfectamente posible; es su casi indefinida repetición lo que crea lainverosimilitud y que nos parece razonablemente imposible.

Uno de los problemas más clásicos que estudia el cálculo de probabilidades es precisamente el de las

probabilidades de este o aquel resultado cuando se repite indefinidamente una misma prueba. Porejemplo, se lanza al aire una moneda y se considera como un hecho favorable si sale cruz. ¿Cuál es laprobabilidad para que este hecho se produzca10.000veces seguidas en 10.000 pruebas sucesivas? ¿cuáles la probabilidad para que se produzca más de 6.000 veces a lo largo de 10.000 pruebas? El cálculoindica que estas probabilidades son tan escasas, que es imposible, según laley única del azar, llegar aestos resultados.

3. Plan de esta obra.— Tenemos la intención de estudiar en esta obra las aplicaciones del cálculo deprobabilidades en cierto número de cuestiones elegidas de entre las que interesan de un modo directo

a todo el mundo, la mayoría de ellas relacionadas con la vida cotidiana o con la enfermedad y lamuerte. Dejaremos a un lado, pues, las importantes aplicaciones del cálculo en las ciencias,especialmente en las físicas2; recordemos, sin embargo, que la importancia de estas aplicaciones y losdescubrimientos que han originado constituyen una de las pruebas más sólidas de la exactitud delcálculo de probabilidades. No desarrollaremos en absoluto las aplicaciones de este cálculo a la teoríade los juegos de azar, aplicaciones que han sido el origen del cálculo de probabilidades y que formanuna de las ramas más atractivas de esta ciencia. Nos contentaremos en hacer alusión algunas veces aella, tomando sencillos ejemplos destinados a ilustrar y a hacer comprender mejor algunos de losresultados que utilizaremos.

Las breves explicaciones que acabamos de dar acerca de la ley única del azar y del milagromecanográfico, son suficientes para hacer comprender una dificultad preliminar, a la cual estándestinados nuestros dos primeros capítulos. Esta dificultad es la siguiente: el cálculo deprobabilidades es una ciencia exacta, cuyos resultados son tan ciertos como los de la aritmética o losdel álgebra,tanto,que se limita en calcular numéricamente las probabilidades. De esta manera se llegaría acalcular la probabilidad para realizar el milagro mecano- gráfico de las obras de Shakespeare y deGoethe;si estas obras forman 50 volúmenes de la dimensión de la presente, o sea, alrededor de diezmillones de caracteres, la probabilidad del suceso milagroso que hemos tratado es igual a la unidaddividida por un número de más de diez millones de cifras. Este resultado es tan indiscutible como elde toda operación aritmética correctamente efectuada. Pero, si de la extraordinaria pequeñez de laprobabilidad se concluye que el milagro mecanográfico es imposible en virtud de la ley única del azar,

se sale del dominio de la ciencia matemática y es necesario reconocer que la afirmación, que nosparece evidente e indiscutible, no es una verdad matemática estrictamente hablando. Incluso unmatemático, apasionadamente abstraído, podría pretender quebastaría volver a empezar la experienciaun númerosuficiente de veces, a saber, un número de veces representado por un número de 20millones de cifras, para estar seguro de que el milagro se producirá varias veces a lo largo de estasinnumerables experiencias. Pero es humanamente imposible imaginar que la experiencia se produzcatan a menudo. Si consideramos que las dimensiones del Universo son iguales a un trillón de años luz,el número de átomos que podría contener, si estuviera lleno de materia, se expresa por un númeromenor de 200 cifras y, en el transcurso de un trillón de años, transcurren menos segundos que los quese podrían expresar con un número de 50 cifras. Ya que, si durante este tiempo cada átomo delUniverso se transformara en mecanógrafa y repitiera la experiencia cada milésima de segundo, el

número de experiencias realizadas sería muy inferior a un número de 300 cifras. No se puede pensar,2

Ver mis obras Le Hasard, Alean, y Le Jeu, la Chance et les Theoriesscientifiquesmodernes, Gallimard.



pues, en experiencias cuyo número comporte más de un millón de cifras; este es un punto de vistapura-mente abstracto, un pasatiempo matemático, que no puede corresponder a nada, y debemosconfiar en nuestra intuición y en nuestro sentido común, que nos permiten afirmar laimposibilidad prácticadel milagro mecanográfico que hemos descrito.

Sin embargo, se presentarán casos en que la evidencia intuitiva será menos manifiesta y en los cuales,en virtud de la ley del azar, será legítimo concluir en afirmaciones de valor práctico. El hecho de queestas afirmaciones no participen del valor absoluto de los teoremas matemáticos no se debe disimular,ya que tal disimulo correría el peligro de justificar todas las dudas sobre su exactitud; es precisocomprender que la ley única del azar lleva consigo una certeza de otra naturaleza que la matemática,pero esta seguridad es comparable a la que se nos impone sobre la existencia de tal personaje históricoo de tal ciudad situada en los antípodas, de Luis XIV o de Melbourne, igual a la que atribuimos a laexistencia del mundo que nos es desconocido.

Esta digresión hace comprender la naturaleza de la dificultad preliminar a la que están consagradoslos dos primeros capítulos. El sentido común basta a cada uno para darse cuenta, de manera más o

menos confusa, del carácter particular de las afirmaciones basadas sobre el cálculo de probabilidades;de aquí a dudar sobre la exactitud de estas afirmaciones no hay más que un paso, que será salvadorápidamente, ya que, como veremos, existe mucha gente que tiene motivos psicológicos que lesinducen a rechazar algunos resultados deducidos del cálculo de probabilidades.

El Capítulo Primero estará dedicado a las relaciones entre el cálculo de probabilidades y la psicologíade los jugadores; el Capítulo II estará dedicado a las dificultades que surgen en muchos espíritus dehombres muy razonables, cuando se trata de probabilidades concernientes a la vida humana.

En el Capítulo III intentaremos precisar cuáles son los valores de las probabilidades que pueden y

deben considerarse prácticamente negligibles. De esta manera nos veremos llevados a definirsucesivamente las probabilidades negligibles a escala humana, a escala terrestre, a escala cósmica y aescala supercósmica; acabaremos con unas observaciones sobre la definición de las probabilidades dela vida práctica.

En el Capítulo IV estudiaremos los acontecimientos cuya probabilidad es muy escasa, pero sin serabsolutamente despreciable cuando el número de pruebas es muy elevado. Entonces veremos que dela ley única del azar se puede deducir una ley muy útil en la práctica: la ley de Poisson.

En el Capítulo V se estudiarán de un modo más profundo las probabilidades de fallecimientos,tratadas ya en el Capítulo II, así como las probabilidades de enfermedades y de accidentes y, por

último, en el Capítulo VI se tratará sobre algunas aplicaciones curiosas del cálculo de probabilidades aalgunos problemas concernientes a la herencia en la especie humana. En los Apéndices hemosdesechado algunos desarrollos que habrían entorpecido el texto y que no son indispensables paraseguir la lógica de las ideas. El Apéndice I está dedicado al estudio de las repeticiones en los númerosde seis cifras, números que naturalmente llaman la atención a todos los adictos a la lotería y a todos lospropietarios de lotes de obligaciones. El Apéndice II da algunas precisiones aritméticas sobre lafórmula de Poisson.Uno de mis antiguos alumnos, autor de brillantes investigaciones personales sobreel cálculo de probabilidades, Jean Ville, profesor en la Facultad de Ciencias de Poitiers, ha leídocuidadosamente y corregido las pruebas del original francés de esta obra. Le doy mis más sincerasgracias por su valiosa colaboración.



CAPÍTULO PRIMERO

LAS PROBABILIDADES Y LA OPINIÓN COMÚN

LOS PREJUICIOS DE LOS JUGADORES

4. Las probabilidades y el sentido común.— Nohay duda de que algunos resultados, los más seguros,del cálculo de probabilidades, a mucha gente se les muestran contrarios a lo que comúnmente se llamasentido común, es decir, a la opinión común. No empezaré a analizar esta noción, algo imprecisa, delsentido común, contentándome en citar una brillante página de Paul Valéry3: «Yo no me encuentro amis anchas cuando me hablan del sentido común. Creo tenerlo, pues, ¿quién consentiría lo contrario?;¿quién podría vivir tan sólo un momento sin él? Si alguien me lo niega, me desconcierto, me dirijohacia mi interlocutor que no lo tiene, que se burla y que pretende que el sentido común es la facultadque en otro tiempo tuvimos para negar y rechazar claramente la pretendida existencia de losantípodas; lo que todavía hace hoy, cuando busca y encuentra en la historia de ayer los medios de nocomprender nada de lo que ocurrirá mañana.

»Añade que el sentido común es una intuición completamente local que deriva de las experienciasinexactas, sin cuidado, que se mezcla con una lógica y con analogías bastante impuras para seruniversales. La religión no lo admite en sus dogmas. Cada día las ciencias lo aturden, lo confunden, lodesconciertan.

»Este crítico de sentido común añade que no hay por qué vanagloriarse de que sealo más difundido enel mundo.

»Pero yo le respondo que todavía no hay nada que pueda sacar alsentido común esta gran utilidad quetiene en las disputas sobre las cosas más imprecisas, en las que no es el argumento más poderosoinvocarlo para sí, proclamar que los demás no razonan y que este bien tan precioso, por ser común,reside sólo en el que habla.»

La consecuencia que creo deducir de estas delicadas reflexiones es que, cuando la ciencia tropieza conel sentido común, es útil volver a buscar el porqué e intentar encontrar los argumentos necesarios paraconvencer a los que recurren al sentido común contra la ciencia.

5. Los números de los billetes de lotería.— Muchas personas rechazarán comprar un billete de

lotería cuyas cifras tengan para ellos alguna característica especial por su disposición; tal sería, por3

Valéry, P., Regards sur le monde actuel , pág. 3, !"o#$, 1931.



ejemplo, el caso del número 272727 y, con mayor razón, el número 222222. No obstante, todos los quehan reflexionado sobre las probabilidades y sobre los métodos empleados para obtener los númerospremiados en la lotería, saben que las probabilidades de premio son las mismas para todos los billetes,cualquiera que sea su número. Y, sin embargo, un gran número de ellos afirmarán, en nombre delsentido común: «es completamente imposible que un número tan singular como el 222222 obtenga el

primer premio». Quien afirma esto comprueba, cuando se publican los resultados del sorteo, que elprimer premio, efectivamente, lo ganó un billete cuyo número es el 825717 o el 203409, y acaba pordecir que el sentido común no lo engañó y que ha hecho muy bien en no comprar el número 222222 ysí el número 138615, que tampoco ha ganado.

No hay duda de que es muy débil la probabilidad para que el número que gane el primer premio estéformado por seis cifras iguales, ya que es equivalente a cien milésimas, pues hay 10 billetes sobre unmillón que están formados por seis cifras idénticas. Si se realizaran 25 sorteos por año, podríamosobservar que el ganador del primer premio formado por seis cifras iguales tiene un promedio de unavez cada 4.000 años; así pues, es bastante probable que este hecho no será observado por un hombre alo largo de toda su vida; pero ello no contradice en absoluto el cálculo de probabilidades, según el

cual, la posibilidad de ganar es la misma para todos los billetes.

En efecto, si uno señala concretamente un número, o incluso un lote de diez números, comprobaráfrecuentemente que no sale ninguno de estos diez números. Pero, si estos números son cualesquiera,que no tienen ninguna característica especial, uno no se fija en cada sorteo que estos números tampocohan salido.

6. Los números formados por dos cifras.— Unose dará cuenta mejor del hecho de que las

posibilidades de todos los números son iguales al estudiar cierta clase de ellos muy característica, perolo suficientemente conocida para que la salida de unos de ellos sea, de vez en cuando, efectivamenteobservada.

Un ejemplo nos lo darán los números formados por dos cifras, entre los cuales puede figurar el cero.Sea, por ejemplo, el número 233322, o el número 200200, o incluso el número 55555, ya que debeescribirse 055555; al contrario, el número 55444 está formado por tres cifras, ya que debe escribirse055444. El sorteo se hace con seis bombos, cada uno de los cuales da una de las seis cifras del númeroganador.

Es fácil calcular la cantidad de billetes cuyos números estén formados sólo por dos cifras.

Si una de las cifras figura 5 veces y la otra 1 vez, hay

10x9x6 = 540 números4.

Si una de las cifras figura 4 veces y la otra 2, hay

10x9x ((6x5) / (1x2)) = 1.350 números.

Por último, si cada una de las cifras figura 3 veces, hay

4%a #i&ra '(e &ig(ra ) *e#es p(ede ser (na #(al'(iera de las 1+ #i&ras, y la '(e &ig(ra *e, (na #(al'(iera de las o"ras 9, lo '(e a#e posible

9+ ele##iones/ la #i&ra '(e no &ig(ra más '(e (na *e p(ede o#(par 6 l(gares dis"in"os/ en "o"al se "ienen, p(es, 9+ 0 6 )4+ n2meros.



((10x9) / (1x2)) x ((6x5x4) / (1x2x3)) = 900 números5.

En total hay, pues, 540 + 1.350 + 900 = 2.790 números sobre 1.000.000 que responden a la condición deestar formados sólo por dos cifras; si se añaden los diez números formados por una sola cifra resultan2.800, o sea, casi 1 de cada 357. La probabilidad para que tal número obtenga unpremio determinado

es, pues, de alrededor de 1/357. Si admitimos que la cantidad de series y el número de premios sontales que hayan 360 premios importantes por año (por ejemplo, 30 series de 12 premios, o 18 series de20 premios), se podrá observar la ganancia de un premio importante por uno de estos números unpromedio de aproximadamente una vez por año6. Será un hecho extraño, pero, sin embargo, bastantefrecuente, que podrá ser observado por todos aquellos que siguen de cerca la lista de los números quehan ganado los premios importantes en cada sorteo.

Efectivamente, si uno se tomara la molestia de consultar varias listas de sorteos que comprendan unmillón de números, comprobaría con facilidad que la proporción de los números ganadores formadossólo por dos cifras está muy conforme con las previsiones del cálculo de probabilidades7.

En el Apéndice I estudiaremos con más detalle los números de 6 cifras desde el punto de vista de larepetición de una misma cifra en un número.

7. Las series en la ruleta. — El problema de las series en un juego como la ruleta es en extremosemejante al que acabamos de estudiar; incluso se le podría considerar idéntico si se utilizara elsistema de numeración binaria (de base 2). Se puede convenir en representar la salida del rojo por lacifra 0 y del negro por la cifra 1 (nos estamos basando en una ruleta que no tiene el cero); una serie de

juegos de ruleta saliendo el rojo o bien el negro, es entonces presentada por una serie de 0 y de 1,

como 10100100101110101. Una serie así puede ser considerada como un número escrito en el sistema binario y se puede representar razonándose sobre estos números tal como lo hemos hecho con losnúmeros escritos en el sistema decimal; uno se verá obligado a admitir que estos números tan distintostienen todos la misma probabilidad. Un número compuesto exclusivamente por la cifra 1 es muysingular y su salida es muy poco probable, sobre todo si el número de cifras es elevado, igual a 30 porejemplo; pero la salida de cualquier otro númerobien determinado de 30 cifras es igualmenteimprobable.

Dejemos de lado el sistema de numeración binario y tratemos la cuestión por un razonamiento directo,poniendo en evidencia, desde un principio, el delicado punto en que los resultados del cálculo deprobabilidades se discuten en nombre del sentido común.

Este delicado punto es el siguiente: todos los jugadores de ruleta han observado que, en una largaserie de jugadas, las salidas del rojo y del negro son casi tan numerosas unas como otras. Por ejemplo,en 1.000 jugadas se observarán 483 rojos y 517 negros; pero nunca se observarán 217 rojos y 783negros. La mayoría de jugadores creen poder deducir de esta observación —que es exacta y, además,completamente conforme con los resultados del cálculo de probabilidades— que, si durante cierto

5!i #ada (na de las #i&ras &ig(ra 3 *e#es, se p(ede elegir (na de ellas de 1+ maneras dis"in"as y la seg(nda de 9 maneras. Pero #ada

#ombina#in, #omo 3 y 4, se ob"iene *e#es 53 y 4, desp(és 4 y 3/ ay, p(es, 4) #ombina#iones #omo la de 4 y 3 y, para #ada (na de ellas,

+ disposi#iones dis"in"as7 444333, 443433, e"#é"era, o sea, en "o"al, 4) 0 + 9++.6

!eg2n la &rm(la de Poisson 5*er 8ap"(lo V, se llega a la #on#l(sin de '(e en 1++ a:os abrá alrededor de 36 en '(e ning(no de es"os

n2meros ganará (n premio, 36 en '(e (no de es"os n2meros ganará, 1; en '(e dos de es"os n2meros ganarán, 6 en '(e "res n2meros ganarán

y 1 en '(e #(a"ro n2meros o más ganarán.7

En el #aso de alg(nas #a"egoras de obliga#iones, #(yo n2mero no es pre#isamen"e 1.+++.+++, sino por e<emplo )++.+++, se #omprobara

&á#ilmen"e '(e la propor#in es m(y seme<an"e/ si sobrepasa 1.+++.+++ se res"ará la #i&ra de los millones.



período han observado a menudo más el rojo que el negro, la ruleta ha contraído de alguna manerauna deuda para con el negro y deberá pagar esta deuda haciendo salir más el negro queel rojo a lolargo de las próximas jugadas. En algunos casos, la deuda incluso deberá ser pagada inmediatamente;si un jugador, consultando los archivos de la ruleta a lo largo de un gran número de años, hacomprobado que la serie más larga observada ha sido de 24 rojos o de 24 negros, incluso si nunca se

ha observado una serie que sobrepase 24, este mismo jugador, si un día observa una serie de 24 rojos,no dudará en deducir que el negro debe salir forzosamente a la siguiente jugada,«puesto que nunca hayuna serie de 25»

A ello Joseph Bertrand, junto con aquellos que han profundizado sobre el estudio de lasprobabilidades, responde: «La ruleta no tiene conciencia ni memoria». Es hacerle demasiado favorpensar que guarda el recuerdo de sus desvaríos y que tiende a repararlos.

El «sentido común» debería bastar para persuadir a los jugadores de que las sucesivas jugadas de laruleta son independientes unas de otras; es imposible imaginar algún mecanismo por el cual las

jugadas anteriores modificarían el resultado de la que va a ser jugada. Pero los jugadores están

influidos por un hecho innegable y que es confirmado por multitud de observaciones: en un grannúmero de jugadas, las salidas del rojo son casi tan frecuentes como las del negro y, para explicar estehecho de observación, no se les ocurre otro medio que imaginar la existencia de un mecanismodesconocido que desempeñaría el papel de la conciencia y memoria de la ruleta, es decir, estemecanismo obligaría a la ruleta a compensar sus veleidades.

Un estudio profundo del conjunto de todas las posibilidades, estudio completamente semejante al quese ha desarrollado en el Apéndice I para losnúmeros decimales de seis cifras, muestra que si lascombinaciones en las que los rojos son casi tan numerosos como los negros son observadas más amenudo que las combinaciones en que los rojos serían más numerosos que los negros, únicamente esdebido a que las primeras combinaciones son mucho más numerosas que las otras, del mismo modoque los números de seis cifras formados por 3, 4, 5 o 6 cifras distintas son mucho más numerosos quelos que no están formados más que por una o dos cifras diferentes.

No es porque los bombos de la lotería tengan ninguna atracción particular hacia los números en losque figuran uno o dos pares, es decir, con una o dos cifras figurando dos veces en el número, que talesnúmeros salen más a menudo que los otros, sino porque, sobre un millón de números, hay más de680.000 que tienen uno o dos pares. Igual ocurre en la distribución de los rojos o de los negros en unaserie de jugadas de ruleta (no tenemos en cuenta el cero). Por ejemplo, si se considera una serie de 30

jugadas, se obtienen los resultados siguientes. El número de posibles resultados de las 30 jugadas esigual a la 30.ª potencia de 2, o sea, algo más de mil millones (exactamente 1.073.741.824). Sobre estos

mil millones de posibilidades, los distintos resultados globales siguientes representan el número deveces indicado:

30 rojos y 0 negro 1 vez

29 rojos y 1 negro 30 veces

28 rojos y 2 negros 435 veces



27 rojos y 3 negros 4.060 veces




23 rojos y 7 negros 2.035.800 veces










…………………… ……………………

…………………… ……………………

1 rojo y 29 negros 30 veces

0 rojo y 30 negros 1 vez

Hemos omitido la mayor parte de la segunda mitad del cuadro, ya que evidentemente es simétrica a laprimera mitad. Existe el mismo número de combinaciones con 17 rojos y 13 negros que con 17 negrosy 13 rojos.



La serie de 30 rojos, así como la serie de 30 negros, son de combinaciones únicas; cada una de ellas noes ni más ni menos singular que cada una de las otras combinaciones particulares, cuyo númerosobrepasa los mil millones, pero toda combinación particular es en extremo poco probable; tal sería elcaso de la combinación consistente en obtener rojo y negro alternativamente, de tal manera que el rojosaliera en todas las jugadas impares y el negro en todas las pares.

Los jugadores de ruleta nunca han observado una serie de 30 rojos, o de 30 negros, y con agradoconsideran tal serie como imposible. Si una ruleta llega a jugar 1.000 veces por día (1 jugada porminuto durante algo más de 16 horas), sería necesario un millón de días, o sea, alrededor de 27 siglos,para llegar a jugar mil millones de veces y tener, de este modo, verdaderas posibilidades para obteneruna serie de 30 rojos (ver Capítulo IV, ley de Poisson).

Los casos en que, como mínimo, salen 28 rojos o bien 28 negros, son 2 x (1 + 30 + 435) = 932, o sea,menos de una millonésima parte del número total de jugadas; tal eventualidad será muy rara, peroalgunas veces observable si un jugador paciente anota todas las jugadas durante algunos años; alcompás de 1.000 jugadas diarias le bastarían 3 años para observar más de un millón de jugadas.

Las combinaciones que al menos contienen 27 rojos o 27 negros son superiores a 8.000, o sea, cerca dela cienmilésima parte del número total de combinaciones; tal eventualidad se presentará alrededor deuna vez de cada 100.000.

Hay casi 63.000 combinaciones con al menos 26 rojos o negros; este conjunto de combinaciones sepresentará casi una vez de cada 15.000.

Las combinaciones con al menos 25 rojos o negros llegan casi a 350.000; se presentarán con unpromedio de algo más de una vez de cada 3.000; el jugador que anotara 1.000 jugadas por día podría

observarlas 2 veces por semana.

Pasando, como mínimo, a 24 rojos o negros, el número de combinaciones sobrepasa ampliamente elmillón y la probabilidad de observar una sobrepasa, pues, una milésima.

Con al menos 22 rojos y negros, el número de combinaciones sobrepasa los 10 millones (alrededor de17 millones); la probabilidad está comprendida entre 1 y 2 centésimas.

Por último, con un mínimo de 20 rojos o negros, el número de combinaciones es algo superior a los100millones y la probabilidad, muy cercana auna décima. Hay, pues, nueve posibilidades de cada 10 paraque, en una serie de 30 jugadas, ni el número de los rojos ni el de los negros sobrepase de 19. Siendo el

número medio 15 se dirá, si el número observado es 19, queel error con relación al promedio o, másconcretamente,el error9 es igual a 4.

Hay, pues, 9 posibilidades de cada 10 para que el error sea como máximo igual a 4, es decir, que seainferior a 5. Se observará que 5 es la parte entera de la raíz cuadrada de 30, número de jugadasobservadas. Esta es la ley general:la probabilidad de un error igual o superior a la raíz cuadrada del númerode jugadas es aproximadamente igual a una décima.

8. La ley de los errores. — Puede verse que el cálculo de probabilidades está lejos de imponer al azarleyes rígidas a las que debería conformarse. No sólo son posibles los errores relativamenteimportantes, sino que, hasta cierto límite, son probables y necesarios. Quien observa con cuidado y



perseverancia las series de 30 jugadas verá, bastante a menudo, series que contienen más de 20 rojos enlas 30 jugadas, e incluso algunas veces series que contienen más de 25 rojos; pero no observará seriesque contengan 29 rojos y, con mayor razón, series de 30 rojos con la exclusión de los negros.

Si el número de jugadas de la serie es mucho más elevado, por ejemplo de 3.000 en lugar de 30, la

probabilidad de los errores permanece igual,a condición de hacer corresponder los errores que están en lamisma relación con la raíz cuadrada del número de jugadas9 es decir, los errores que son 10 veces mayorespara 3.000 jugadas que para 30. Los erro-res de 50 serán, pues, bastante probables, y los errores de 150prácticamente imposibles. Si el número de jugadas fuera de 300.000, los errores de 1.500 son los queserían extremadamente raros y casi imposibles.El error relativo, es decir, la relación del error con elnúmero de jugadas decrece cada vez más a medida que el número de jugadas aumenta. Es la ley de losgrandes números de Bernoulli, que es una sencilla consecuencia aritmética de la ley única del azar: lasseries de 300.000 jugadas en las cuales el error es inferior a 1.500, es decir, que encierran menos de301.500 y más de 298.500 rojos, son extraordinariamente más numerosas que las series en las que elerror es más considerable. Estas no se encuentran porque, aunque sean muy numerosas, sonextremadamente raras con relación a las otras.

No sólo es en los juegos que uno debe tener en cuenta el aforismo de Joseph Bertrand: «la ruleta notiene ni conciencia ni memoria». Esto es igualmente cierto en la mayoría de los fenómenos accidentalespor los que nos interesamos en la vida, salvo en casos en que los fenómenos sucesivos no sonindependientes unos de otros. Un ejemplo muy conocido de estos casos es el de la lluvia y del buentiempo. Una larga serie de días de lluvia aumenta las posibilidades para que llueva aún al díasiguiente y, del mismo modo, una larga serie de días buenos aumenta las posibilidades para que hayaaún otro día bueno. Pero, si uno observa la lluvia y el buen tiempo, no en días consecutivos, sino, porejemplo, en una misma fecha, todos los años se aplicarán las reglas de las probabilidades. Lasestadísticas meteorológicas nos indicarán, por ejemplo, que, en tal o cual ciudad y en el mes de mayo,hay el mismo número de días de lluvia y de días sin lluvia.Hay, pues, una posibilidad de cada dospara que el 14 de mayo sea un día de lluvia; si observamos esta fecha durante cierto número de añosconsecutivos, podremos aplicar a estas observaciones los resultados obtenidos para el rojo y el negroen la ruleta; el hecho de que haya llovido el 14 de mayo 5 años seguidos, no aumenta ni disminuye lasposibilidades para que llueva en la misma fecha el año siguiente; son de una sobre dos.

Si un abonado de teléfono ha observado minuciosamente que, de las 2 a las 6 de la tarde, su teléfonoestá ocupado completamente durante 2 horas de las 4, es decir, la mitad del tiempo, por numerosascomunicaciones, cada una de corta duración, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarlo libre sillamo. Si he obtenido 3 veces seguidas la señal «comunica», tengo siempre una posibilidad sobre dosde encontrarlo libre si telefoneo de nuevo. Si telefoneo cada día, llegaré casi una vez por mes a obtener

5 veces seguidas la señal «comunica», y más de una vez por año obtenerla 8 veces seguidas. Siadmitimos que, debido a una avería en el teléfono, recibimos automáticamente la señal «comunica» enuna media de una o dos veces por año, será razonable que sospeche dicha avería cuando habré, almenos, obtenido 8 veces seguidas tal señal; si la obtengo 10 o 12 veces seguidas, la alteración será muyprobable; sería casi seguro si la señal «comunica» fuera obtenida 20 veces seguidas en intervalos de 5 o10 minutos.

Si circulo en coche por una ciudad en la que numerosos cruces están equipados con señales rojas yverdes alternativamente, de tal modo que, sobre las dos vías que se cruzan, los coches tengan derechoapasar sólo por una en un momento dado, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarme en cadacruce con la luz roja o con la luz verde. Si mi camino comporta doce cruces, deberé esperar encontrar,

como promedio, 6 luces rojas y 6 verdes. Pero, si un día tengo la mala suerte de encontrarme lucesrojas en los 6 primeros cruces, no podré llegar a la conclusión de que tendré luces verdes en los otros 6.



Podría muy bien sucederme tener 10 si hago el mismo trayecto varias veces por día, o incluso 11,mucho más extraño 12 luces, todas rojas o, al contrario, todas verdes; si un día he tenido la mala suertede estar detenido así en casi todos los cruces, ello no aumentará en absoluto mis posibilidades deencontrar al día siguiente luces verdes en la mayoría. Y, sin embargo, si tuviera la paciencia de llevaruna estadística durante un año entero, comprobaría que la relación entre el número total de luces rojas

y luces verdes sería muy próxima a la unidad.



CAPÍTULO II

CONJETURAS SOBRE LAS PROBABILIDADES

CONCERNIENTES A LA VIDA Y A LA MUERTE

9. La mística del azar. — Una de las razones por las que algunas conjeturas están tan aferradas en los jugadores, es la gran importancia que conceden a ganar o perder; así, están muy dispuestos a recibirfavorablemente las sugestiones más irrealizables si creen ver en ellas un medio para vencer al azar yasegurarse el éxito. Es por el mismo motivo que algunas opiniones especiales sobre la buena o malasuerte se dan con frecuencia en los hombres de teatro, actores o autores, cuyo éxito o reputaciónpueden depender de un incidente en el transcurso de un ensayo general. Les parece que la másmínima circunstancia puede traerles un brillante éxito o, al contrario, un fracaso del que no se saldránfácilmente, estando dispuestos a usar de todos los medios, en apariencia los más absurdos, para volvera tener suerte.

Pero, aun siendo muy importante el hecho de ganar o perder en el juego, el éxito o el fracaso en elteatro es una realidad a la que los hombres están todavía más ligados, ya que forma parte de su propioser. Asimismo, en todas las cuestiones que conciernen más o menos directamente a la vida y a lamuerte, la mayoría no razonan bien, dejándose llevar por su sensibilidad o por sus prejuicios.

Las ideas confusas y, a veces, misteriosas, que muchos hombres se hacen del azar y de su papel en lavida, han sido resumidas con mucho talento por Rémy de Gourmont:

«No hay nada más esperado que lo inesperado, nada que, en el fondo, nos sorprenda menos. Lo quenos asombra, por encima de todo, es el desarrollo lógico de los hechos. El hombre está en perpetuaespera del milagro, e incluso se enfurece si este no sucede, con lo cual se descorazona. Pero el milagroacontece a menudo. Las vidas más humildes no son más que una serie de milagros o, más bien, deazares. Se dirá que verdaderamente no hay azar y que esta palabra no hace más que confirmar nuestraignorancia sobre el encadenamiento de las causas. Pero, siendo indescifrable este encadenamiento paranuestro espíritu, llamamos azar a todos los acontecimientos que, aun prestando nuestra mayoratención, nos sería imposible discernir su llegada. Se forman, se producen, pero no los conocemos nipodemos conocerlos. Y es bueno que no podamos. Es una acción indiferente, ya que la vida sólo es unacto de confianza en nosotros mismos y en la benevolencia del azar.

»Contamos con el azar. No existe ningún ser, incluso el más falto de imaginación, que no lo tengapresente en sus vagas previsiones. Contar tan sólo con el azar es de locos; no contar con él, aún lo es



más. Tan irrazonable es esperar como desesperar. En cada momento de la vida lo imposible resultaposible. Del mismo modo que puede ser motivo de esperanza encontrarse perdido en un laberinto adoscientos metros bajo tierra, puede uno desesperarse por completo el día en que nuestro corazónrebosa de felicidad, en que la vida nosresulta agradable, colmando todos nuestros deseos8.»

Existen muchos motivos, que la razón no conoce, para que las aplicaciones del cálculo deprobabilidades a la mayoría de problemas que conciernen a la vida humana sean a menudosistemáticamente ignoradas e, incluso, a veces, despreciadas y puestas en duda, por las cuales, noobstante, debería uno interesarse.

Los resultados del cálculo de probabilidades que se han estudiado mejor son los concernientes a lamortalidad; desde hace más de un siglo, las compañías de seguros de vida distribuyen a susaccionistas dividendos que son una prueba tangible de la exactitud de los estudios de sus dirigentes,

basados sobre el cálculo de probabilidades y sobre los cuadros de mortalidad, es decir, sobre datosestadísticos.

Este indudable valor de los datos sacados de estadísticas hechas con seriedad, contrasta con lasconjeturas corrientes sobre la estadística. En gran parte, estas conjeturas tienden a lo que se ha llamado«mentalidad individualista». Al hombre no le gusta ser considerado como una simple unidad, idénticaa otras unidades; cada uno tiende hacia su individualidad y tiene un sinnúmero de buenas razonespara considerarse realmente distinto de todos los demás hombres. Por consiguiente, cuando losestadistas comprueban que se produce cierta proporción de defunciones entre los hombres de 40 años,cada uno de estos pensará que esta estadística no le concierne en absoluto, ya que, considerándose aún

joven y disfrutando de buena salud, no existe ninguna razón para fallecer en el curso del año. A menosque tal individuo se considere, con o sin razón, gravemente enfermo, pensando que su muerte notardará.

10. El promedio de vida.— Los resultados estadísticos son tan exactos, que no es preciso aplicarlos sindiscriminación a todos los hombres de 40 años; las compañías de seguros obligan a un examen médicoa los que quieren asegurarse. En los coeficientes de mortalidad deducidos de los cuadros esconveniente distinguir la parte que se aplica a lospindividuos que, tras el examen médico, seconsideran con buena salud, y la parte que se aplica a los individuos a quienes dicho examen revela laexistencia de enfermedades o de algunas taras hereditarias (tuberculosis, cáncer, sífilis, etc.). Pero,hecha esta salvedad, no hay duda de que hay cierta probabilidad de morir en el curso del año paracualquier ser humano, probabilidad que depende de diversas causas, de las que la edad y el sexo son

las más importantes. Esta probabilidad puede ser calculada gracias a los cuadros de mortalidad, de losque hablaremos más adelante9.

Estos cuadros de mortalidad permiten calcular, en una época y en un país determinado, la vida mediade los hombres y la de las mujeres, que generalmente es algo más elevada que la de los hombres.

El promedio de vida de cierto número de individuos es la media aritmética de la duración de la vida decada uno de ellos. Definida así, el promedio de vida sólo puede ser calculado con exactitud si se tratade un grupo de individuos que estén todos muertos. Es de esa forma que, con los análisis de los

8=e Go(rmon", >., ?%@na""end(, er#(re de Cran#e, 1) de abril de 19+6.

9Ver 8api"(lo V y Apéndi#e .



registros del estado civil del siglo xix, se podría calcular la vida media de los individuos nacidos en1800 que murieron en un país determinado.

Tratándose de una población numerosa, si los cuadros de mortalidad están seriamente establecidos, sepuede admitir que las edades de fallecimiento del conjunto de personas que viven en la actualidad se

repartirán en el futuro, si el estado de salud no cambia, siguiendo proporciones muy semejantes de lasque resultarían de estos cuadros de mortalidad. Esto es lo que permite hablar del promedio de vida delos habitantes de un país en una fecha dada.

Se podría pensar en otro método para calcular el promedio de vida: tomar la media aritmética de lasedades de fallecimiento de todos los hombres o de todas las mujeres muertos a lo largo de un año.Reflexionando un poco, nos daríamos cuenta de que este método sólo sería correcto si la poblaciónpermaneciera sensiblemente estacionaria en el transcurso de un largo período. Si anotamos el númerode fallecimientos a lo largo del año 1941, los muertos a la edad de 20 años pertenecen a personasnacidas en el año 1921, mientras que los muertos a la edad de 80 años conciernen a personas nacidasen 1861. Por lo tanto, si la población del país en cuestión hubiera aumentado notablemente de 1861 a

1921, el número de muertos de 20 años resultaría demasiado elevado en relación con el número defallecimientos de los de 80 años, de manera que la vida media calculada sería inferior a la vida mediareal.

Las estadísticas revelan que, en todos los países civilizados, el promedio de vida ha aumentadonotablemente en el transcurso de los dos últimos siglos; este aumento se debe, en gran parte, a ladisminución considerable de defunciones de niñosde menos de un año, debido a los progresos de lahigiene. Además, sería interesante desde varios puntos de vista, considerar la vida media calculándolano por el conjunto de nacimientos, sino por el conjunto de niños que hayan alcanzado un año.Volveremos a tratar este punto en el Capítulo V.

11.Interpretación de los cuadros de mortalidad.—Algunas de las indicaciones que acabamos de darson suficientes para señalar la importancia que tienen para cada uno de nosotros las indicaciones delos cuadros de mortalidad y el valor del promedio de vida, a condición de comprender bien susignificado y no exagerar su valor. No cabe duda de que cada habitante de un país está interesado enel aumento de la vida media del mismo, aumento que puede ser consecuencia de las medidas dehigiene tomadas para evitar la propagación de algunas enfermedades epidémicas o contagiosas, de laconstrucción de hospitales, sanatorios, etc.

Sé perfectamente que una persona individualista podría encerrarse en su egoísmo y decir: tomopersonalmente todas las precauciones para evitar los contagios, tengo un excelente médico que mevigila y cuida bien si caigo enfermo; así pues, poco me importa que se construyan o no hospitalesdonde yo no iré nunca, que se higienicen barrios insalubres donde no pienso residir. Incluso, desde supunto de vista puramente egoísta, a este individuo le falta razón, pues no puede vivir aislado delconjunto de los demás seres humanos, estando expuesto a ser víctima de contaminaciones más omenos directas, que se habrían evitado de haberse eliminado algunas enfermedades gracias a losprogresos de la higiene.

Además, las excesivas precauciones tomadas contra varias contaminaciones por algunas personasdemasiado preocupadas por su salud, producen, a veces, desastres imprevistos; se citan casos de

personas que, no habiendo bebido más que agua hervida durante muchos años para evitar la fiebretifoidea, mueren de esta enfermedad a causa de un único descuido; lo habría soportado mejor aquel



cuyo organismo se hubiera acostumbrado poco a poco a la lucha contra los microbios. Bertranddedica10 unas páginas muy interesantes a la controversia que se produjo en el momento en que sedescubrió la vacuna contra la viruela, controversia en la que tomaron parte especialistas del cálculo deprobabilidades. El problema que se planteaba era el siguiente: la vacunación producía la muerte deuna persona de cada 100; pero, en aquella época, eliminaba probabilidades muy considerables de

fallecimiento por viruela; ¿es aconsejable la vacunación? o, al contrario, ¿no debe practicarse?

Calculando la vida media en las dos hipótesis (vacunación o no vacunación), Bernoulli llegó alresultado de que la vacunación aumentaba el promedio de vida en tres años, llegando a la conclusiónde que no debía dudarse en practicarla.

Bertrand, después de Alembert, no dudó en indicar que el cálculo de la vida media no essuficientemente decisivo y que deben intervenir otras consideraciones.

He desarrollado los argumentos de Bertrand11; la principal razón por la que muchas personasdudarán. y con motivo, en dejarse convencer por el cálculo de la vida media, es ignorar la fecha exacta

en la que se producirá su muerte, ignorancia que es uno de los elementos más importantes de sucotidiana felicidad. Si los progresos de la ciencia lograran que cada uno conociera la fecha exacta en laque se produciría su muerte, la mentalidad humana cambiaría completamente, dando cada cual unaimportancia especial a diversas circunstancias que podrían modificar la fecha de su fallecimientoprevista por los médicos. Sin embargo, es inútil razonar sobre una hipótesis irrealizable; veamos lascosas tal como son.

Evidentemente, frente a los peligros de enfermedades, los hombres se dividen en dos categorías,pasando algunos de ellos de una categoría a otra según su humor, o perteneciendo alternativamente auna u otra según la enfermedad de que se trate. Una de las categorías es la de los apáticos; la otra, la

de los obsesos. Los primeros se desentienden queriendo ignorar que hay microbios de la fiebre tifoideay de los peligros de contagio; comen y beben tal como lo han hecho sus padres y sus antepasados ypiensan que su robusta constitución les evitará el contagio; si este se produjera, lo aceptarían confatalidad. Contrariamente, los obsesos, cuya atención se habrá despertado unas veces por una lectura,otras veces por una enfermedad mortal observada en torno suyo, continuamente sólo pensarán entomar precauciones para evitar las enfermedades que los preocupan en particular (olvidando, a veces,peligros de enfermedades más peligrosas y más frecuentes). Pero, tanto unos como otros, no seinteresarán en absoluto por el conocimiento exacto de las probabilidades de contagio o defallecimiento relativos a cierta enfermedad; estas cifras abstractas no les dirían nada; lo queúnicamente tiene valor para ellos es la reacción de su sensibilidad personal frente a tal o cualenfermedad; uno temerá la tifoidea; otro, el cáncer, etc.

10Calcul des probabiütés, Ga("ier-Villars.

11 Le Hazard , pags. 39 y sigs.



CAPÍTULO III

LAS PROBABILIDADES NEGLIGIBLES Y LAS

PROBABILIDADES DE LA VIDA PRÁCTICA

12. Certeza científica y certeza práctica.— Cuando hemos enunciado la ley única del azar: «losacontecimientos cuya probabilidad es bastante pequeña nunca se producen»9 no hemos disimulado laimprecisión del mismo. Es uno de los casos sobre los que no cabe ninguna duda; por ejemplo, el casodel milagro mecanográfico, en el que las obras completas de Goethe son reproducidas por unamecanógrafa desconocedora del alemán y escribiendo a máquina al azar. Pero, entre este caso, difícilen extremo, y aquellos de probabilidades muy pequeñas, a pesar de lo cual su acaecimiento no esinverosímil, hay un gran número de casos intermedios. Vamos a intentar precisar lo más posible quévalores de la probabilidad deben ser considerados como despreciables en estas o aquellascircunstancias.

Es evidente que las exigencias que puedan formularse sobre el grado de certeza que deben esperarsede la ley única del azar no serán las mismas según se trate de una certeza casi absoluta, o bien de unacon la que nos contentamos en determinada circunstancia de la vida práctica.

Si se trata de una ley científica, como el principio de Carnot, según el cual el calor no puede pasarespontáneamente de un cuerpo caliente a otro frío, podremos exigir que la probabilidad delfenómeno, considerado según la ley como imposible, sea en realidad extraordinariamente pequeña;para que la ley merezca el nombre de ley la de física es preciso que a esta no se le produzca la menorinfracción en, ninguna circunstancia, en ninguna época, en ningún punto del Universo. Para abreviar,diremos que la probabilidad debe ser despreciable a escala supercósmica, y los cálculos que hemoshecho antes referentes al número de átomos que podrían existir en un Universo cuyas dimensionesalcanzaran miles de millones de años luz, y sobre el número de segundos contenidos en miles demillones de siglos, nos conducirán a señalar en 10—500, es decir, en la unidad dividida por un númerode 500 cifras, la probabilidad, despreciable a escala supercósmica, que puede ser tomada igual a ceroen el enunciado de una ley científica. Evidentemente, esta evolución es, en parte, arbitraria; en lugardel exponente 500 hubiésemos podido escribir 1.000, o sólo 200 o 300. Verdaderamente, lasprobabilidades a las que conduce la teoría cinética de los gases para una infracción posible al principiode Carnot son mucho más débiles: iguales a la unidad dividida por cantidades de millones de cifras.Tales probabilidades deben ser consideradas comouniversalmente despreciables.

Pero, tratándose simplemente de acciones humanas de la vida cotidiana, veremos que no es preciso

que una probabilidad sea tan débil para que tengamos el derecho y el deber de despreciarla en la vidapráctica, es decir, de tratarla como si fuera nula. De este modo nos vemos obligados a definirlas



probabilidades despreciables a escala humana, a escala terrestre, a escala cósmica, escalas a las quecorresponden grados de certeza práctica que no alcanzan a la certeza científica y casi absoluta que nosda la escala supercósmica.

13.Las probabilidades despreciables a escala humana.— Diremos que una probabilidad esdespreciable a escala humana cuando los hombres más prudentes y más razonables deben tratarlacomo si esta probabilidad fuese nula, es decir, deben correr el riesgo de ver realizarse el suceso queconcierne a esta probabilidad, incluso si la llegada de este acontecimiento es considerado por elloscomo una gran desgracia. Tal es el caso, por ejemplo, si se trata de la muerte de la persona interesada ode una persona que le es particularmente querida.

Demos un ejemplo sencillo. Según las estadísticas en tiempo de paz, el número de accidentes mortalesde circulación en una ciudad cuya población sea de varios millones de habitantes, es de unos pocospor día. Es decir, que por cada ciudadano que circula diariamente, la probabilidad para que se muera

a lo largo del día por un accidente de circulación es de casi una millonésima. Si para evitar este ligeropeligro un hombre renunciara a toda actividad exterior y se encerrara en su casa o impusiera estareclusión a su esposa o a su hijo, se le consideraría loco. Es decir, que las personas más cuerdas y másrazonables no dudan en afrontar normalmente un peligro de muerte, cuya probabilidad es de unamillonésima. Claro está que no nos encontramos aquí con un caso en que la ley única del azar permiteasegurar que el acontecimiento considerado nunca se produce; el que sale cada día por las calles deuna gran ciudad sabe muybien que un accidente mortal es posible. Solamente piensa en ello, de unamanera inconsciente, tomando cierto número de precauciones que le disminuyen las posibilidades deaccidente; no se arriesga en la calzada sin haber mirado antes si viene un coche; pero, durante todo eldía, no está obsesionado por el temor de un probable accidente.

Comparando el número de accidentes con el de los habitantes de una gran ciudad, hemos designadouna millonésima como el valor que razonablemente se puede adoptar para una probabilidaddespreciable a escala humana. Llegaríamos a un resultado semejante si centráramos nuestra atenciónen el número de veces que un hombre puede realizar, a lo largo de toda su vida, gestos o actos muysencillos, como trazar una letra del alfabeto, avanzar un paso al andar, o respirar. Este número de veceses del orden de un millón en algunas semanas, o en algunos meses, o en algunos años, según lanaturaleza y frecuencia del acto considerado. Por ejemplo, un escritor tan fecundo como Balzac llegabaa escribir dos o tres millones de letras a lo largo de un año; una mecanógrafa profesional sobrepasaríaampliamente esta cifra. Con esto se llega a la conclusión de que la probabilidad de escribir una letra acontinuación de otra, si se trata de un escritor que se sirve de su pluma o de una mecanógrafa muy

experta, es verdaderamente superior a una millonésima. Si esta probabilidad es sólo de unamillonésima, produciéndose un único error en 500 páginas escritas a máquina, estaremos de acuerdoen considerarla despreciable y en afirmar que la mecanógrafa logra la perfección.

14. Las probabilidades despreciables a escala terrestre. — Si fijamos la atención en el conjunto dehombres que viven en el mundo, y no en uno solo, las probabilidades, para ser despreciables, debenser notablemente más débiles. Cualquier accidente completamente improbable para un hombredeterminado, es relativamente bastante frecuente si se consideran todos los hombres. Ganar el primerpremio en la lotería de un millón de billetes es una probabilidad despreciable para quien sólo tiene un

billete; si es sensato, no realizará proyectos para el futuro basados con lo que pueda obtener del primerpremio; al contrario, si se venden todos los billetes y considerando a todos los compradores, con toda

seguridad sí habrá un ganador.



Admitiendo que el número de seres humanos es de algunos miles de millones, se considerarádespreciable a escala terrestre la probabilidad mil millones de veces más pequeña que la probabilidaddespreciable a escala humana, es decir, la mil millonésima parte de una millonésima, o 10-15, la unidaddividida por un número de 15 cifras. Se puede aceptar igual valor considerando a todos los sereshumanos que han vivido a lo largo de algunos centenares de siglos, pues su número es apenas mil

veces mayor que el número actual de hombres vivos. Igualmente podríamos considerar talesprobabilidades, como veremos en el Capítulo VII, en el estudio de algunos problemas relativos a laherencia en la especie humana.

La probabilidad de obtener 50 veces seguidas el rojo en la ruleta, o cruz en el juego de cara o cruz, esde 2-50; si se usa la igualdad aproximada, muy práctico en esta clase de cuestiones, 210 = 103 (enrealidad, 210 = 1.024, es decir, algo más dé 1.000), se comprobará que 2-50 equivale casi a 10-1S, es decir, ala probabilidad despreciable a escala terrestre. Verdaderamente, si todos los hombresde la tierrapasaran todo su tiempo jugando a la ruleta al compás de 1.000 veces por día, o sea, alrededor de1.000.000 de veces cada tres años, tan sólo en un promedio de una vez en este tiempo uno de ellosobtendría una serie de 50 rojos.

15.Las probabilidades despreciables a escala cósmica.— Considerando no ya el globo terrestre, sinola porción del Universo que es accesible a nuestros instrumentos de astronomía y de física, nosveremos llevados a definir las probabilidades despreciables a escala cósmica. Algunas leyesastronómicas, como la de Newton sobre la atracción universal y algunas leyes físicas relativas a lapropagación de las ondas luminosas, son verificadas por numerosas observaciones que se efectúansobre todos los astros visibles. La probabilidad para que una nueva observación contradiga todas estasobservaciones concordantes es extremadamente débil. De esta manera, podremos fijar en 10-50 el valorde las probabilidades despreciables a escala cósmica; cuando la probabilidad de un accidente esinferior a este límite, se puede afirmar que el acontecimiento no se producirá en absoluto., cualquieraque sean el número de ocasiones que se presenten en el Universo entero. El número de estrellasobservables es del orden de los 1.000 millones, o sea, de 109, y las observaciones que todos loshabitantes de la tierra, observando el cielo, podrían hacer de las estrellas a lo largo de los siglos, sonciertamente en número inferior a 1020. Por consiguiente, un fenómeno cuya probabilidad es 10-50 nuncase producirá o, por lo menos, nunca será observado.

16. Las probabilidades despreciables a escala supercósmica. — Recordemos que las leyes físicas

deducidas de la mecánica estadística (y también las leyes matemáticas deducidas igualmente delcálculo de probabilidades) tienen una certeza incomparablemente mayor aún y pueden caracterizarsediciendo que la probabilidad del acontecimiento contrario es despreciable a escala supercósmica; tales

son las probabilidades inferiores a 10-n, cuandones un número de más de 10 cifras. Si, por ejemplo, setiene en un recipiente de un litro una mezcla de volúmenes iguales de oxígeno y de nitrógeno, laprobabilidad de que en un momento dado todas las moléculas de oxígeno se encuentren en la mitad

inferior del recipiente y todas las moléculas de nitrógeno en la mitad superior es, igual a 2-n, siendonel número de moléculas12. Es despreciable a escala supercósmica.

12Dna molé#(la-gramo de gas #on"eniendo 6@+6 1+3 molé#(las, el n2mero n de molé#(las #on"enidas en (n li"ro es del orden de

301+

, y as -n

es del orden de 1+ a la po"en#ia F 1+



Un cálculo fácil indica que, si evaluamos las dimensiones de nuestro Universo, es decir, la distancia delas galaxias más alejadas, a 10.000 millones de años luz, el volumen de este Universo es inferior a 1085

centímetros cúbicos, conteniendo pues, menos de 10110 átomos, ya que la densidad media esverdaderamente inferior a 1025 átomos por centímetro cúbico.

Imaginemos, pues, con Boltzmann, un Universo U2 que abarcara tantos universos U1 análogos alnuestro como número de átomos posee; luego, un Universo U3 que encerrara tantos universos U2comonúmero de átomos posee U1; después, un Universo U4 que contuviera tantos U3 como número deátomos posee U1, y así sucesivamente, repitiendo un millón de veces la misma operación, es decir,hasta un Universo UN, con N = 106.Este superuniverso contendría un número de átomos igual a 10elevado a la potencia 110 millones, o sea, que estaría representado por un número de 110 millones decifras. Imaginemos también un tiempo T2 conteniendo tantos miles de millones de años comosegundos contienen los 1.000 millones de años de T1; luego un tiempo T3 conteniendo tantos años T2como segundos contiene T1; y así sucesivamente hasta un tiempo TN, cuyo índice N sería un millón.Supongamos que volvemos a empezar un experimento tantas veces como átomos hay en el UniversoUN, y tan a menudo como segundos hay en el tiempo TN, es decir, un número de veces ciertamente

inferior a 10 a la potencia 109. Si la probabilidad de éxito de un experimento aislado es despreciable aescala supercósmica, un cálculo fácil indica que la probabilidad para que el experimento se produzcauna sola vez será tan débil, que podrá ser despreciada. Si tomamos como ejemplo la separaciónespontánea del oxígeno y del nitrógeno contenidos en un recipiente de un litro, podemos, pues,afirmar que este experimento no se logrará nunca, ni en el tiempo ni en el espacio.

17. Las probabilidades y la vida práctica. — A menudo no se encontrarán en la vida prácticaprobabilidades inferiores a 10-6 o a 10-15, es decir, despreciables a escala humana o terrestre; pero debeseñalarse que las probabilidades mucho más débiles deben despreciarse en numerosos casos en que elacontecimiento correspondiente a tales probabilidades no presente para nosotros una grave desdicha,sino simplemente un accidente desagradable. Por ejemplo, si se trata de salir sin paraguas y sinimpermeable un día en que el tiempo es bueno, podría calcularse la probabilidad de lluvia haciendolaestadística de los días en que el tiempo era bueno a las 10 de la mañana y que, sin embargo, llovió a lolargo de toda la tarde. Sin haber hecho el cálculo, creo no equivocarme afirmando que la probabilidades superior a una milésima, al menos en algunos climas. No obstante, a no ser que una persona estéparticularmente delicada hasta el punto de que una lluvia imprevista pueda comprometer su salud ysu vida, no la tacharemos de imprudente si, un día en que nada hace prever tormenta, sale sinparaguas o impermeable.

Es inútil multiplicar los ejemplos. Todos los hombres, incluso aquellos que no han oído hablar nuncadel cálculo de probabilidades, las hacen sin saberlo, como el personaje de Moliere con la prosa;muchas de sus decisiones están influidas por la idea más o menos vaga que tienen sobre laprobabilidad de algunos acontecimientos. Puede deducirse que es inútil conocer el cálculo deprobabilidades, ya que el simple sentido común lo suple en la mayoría de los casos; no necesito dichocálculo para tomar el paraguas si amenaza tormenta o dejarlo si brilla el sol. Es cierto, pero también loes que, en algunos casos, tenderé a consultar el barómetro antes de decidirme, ya que sus indicacionesme permitirán conocer la probabilidad de lluvia con menos posibilidad de error que si me contentocon mirar al cielo desde la ventana. Si me es posible, podré igualmente consultar un boletínmeteorológico, interesándome por la dirección y fuerza del viento. No deberán ser despreciadas estasprecauciones suplementarias, porque no se trata solamente de correr el riesgo de mojarse con la lluvia,

sino que, si salgo al mar en un pequeño bote de vela, el mal tiempo puede acarrearme gravesaccidentes.



La mayoría de los hombres ignoran el valorexacto de las probabilidades, que usan más o menosconscientemente, al igual que los niños y los poblados salvajes desconocen el valor exacto de lamoneda y el precio de los objetos corrientes. Tanto en un caso como en otro, estos valores sonevaluados según las impresiones subjetivas, las cuales, a menudo, comportan graves errores.Normalmente, antes de entregar dinero a un niño se le instruye sobre el valor de los objetos que puede

adquirir con él. Igual ocurre con las probabilidades, sobre las cuales quiere estar exactamenteinformada aquella persona que se ve obligada a correr ciertos peligros. Tal es el caso, por ejemplo, delas probabilidades que conciernen a algunos peligros o a algunas enfermedades; cuando uno denosotros ha sido testigo de un accidente grave, o ha observado a su alrededor algunos casoscontagiosos, a menudo se ha impresionado mucho, llevándole a exagerar de una manera inconscienteel valor de la probabilidad para que este accidente o este contagio vuelvan a repetirse. Por el contrario,si se trata de un accidente grave o de una enfermedad que no hemos experimentado de cerca, nosinclinaremos a despreciar la probabilidad, por más elevada que pueda ser.

La comparación que hemos hecho entre la ignorancia del valor de las probabilidades y la del valor deldinero y de los diversos productos, puede ser continuada; en muchos casos es necesario correr algún

riesgo, salir a pie o en coche, o bien permanecer constantemente en casa con peligro de volverseanémico; aun teniendo el estómago delicado, es necesario comer y optar entre los posiblesinconvenientes que puedan tener algunos alimentos entre los que nos es posible elegir.

La situación de quien ignora las probabilidadeses, pues, análoga a la de un hombre o de un niño quetiene una cantidad limitada de dinero y que ignora los precios de los productos; corre el riesgo demalgastar toda su pequeña fortuna de una manera torpe; del mismo modo, la ignorancia de lasprobabilidades puede llevar a correr los mayores riesgos queriendo evitar los más pequeños.

Hay otra analogía entre los precios y las probabilidades: el conocimiento exacto de los precios es unode los elementos de nuestras decisiones, pero no es el único: si tenemos que elegir entre dos objetos deuna misma naturaleza, nos gustará a veces uno más que el otro, y quizá lo elegiremos siendo inclusomás caro. No obstante, será razonable por nuestra parte informarnos de los precios para poder tratarcon conocimiento de causa; si el precio es diez veces más costoso, quizá no dudaremos en hacer unsacrificio también elevado para contentar nuestra fantasía. Igual ocurre para la probabilidad. Sitenemos razones serias para desplazarnos con rapidez, aceptaremos correr peligros de accidentesmayores usando un automóvil muy rápido o un avión. Pero, si supiéramos que, vistas lascircunstancias, el peligro de accidente mortal alcanza una décima, reflexionaríamos sin duda antes decorrer este peligro.

Para el niño .que ignora aún el valor de la moneda, las expresiones diez dólares, cien dólares y mil

dólares, son, si no equivalentes, por lo menos desprovistas de un significado preciso; igualmente lo espara quien no ha reflexionado nunca sobre las probabilidades cuando se le habla de aquellas cuyosvalores respectivos son una décima, una centésima y una milésima. Sin embargo, basta un poco dereflexión y de costumbre para darse cuenta de que hay muchos casos en que sería razonablecorrer elpeligro cuya probabilidad es de una milésima, mientras que sería muy poco prudente correr el mismoriesgo si su probabilidad fuese de una décima.

Insistamos aún sobre el hecho de que, al igual que el precio no es el único elemento de nuestradecisión cuando se trata de comprar algo, así la probabilidad no debe ser absolutamente el únicoelemento de nuestra decisión cuando se trata de correr un peligro. Uno de los motivos por los cualesalgunos espíritus desprecian la precisión de las matemáticas es porque imaginan que esta precisión

pone en peligro su libre albedrío. Una persona suficientemente rica puede, evidentemente, elegir losobjetos que compra sin preocuparse por el precio, basándose sólo en sus gustos. Pero, cuando se trata



de correr un peligro, sobre todo estando en juego la salud o la vida misma, nadie es bastante rico parapoder despreciar ciertas probabilidades, salvo en el caso en que altas consideraciones de moralidad ode honor nos obliguen a correr el peligro de muerte, por elevado que este sea. En tales casos espreferible ignorar la probabilidad del peligro. Pero, en la vida ordinaria, el conocimiento de laprobabilidad es un elemento útil en nuestra decisión, del mismo modo que lo es el conocimiento del

precio cuando se trata de una compra, sin que este conocimiento nos impida tener en cuenta otrasconsideraciones antes de decidirnos.

18. Las probabilidades son sólo aproximadas. —Las probabilidades deben ser consideradas análogasa la medida de las magnitudes físicas; es decir, que nunca pueden ser conocidas exactamente, sino sólocon cierta aproximación. Además, el grado de esta aproximación varía mucho, según la naturaleza delas probabilidades. En los casos en que estas pueden ser valoradas por razones de simetría, el errorcometido en su evaluación es generalmente muy débil. Tal es el caso de la probabilidad de obtenercierta cara del dado, o de sacar una carta de una baraja señalada con antelación, bien mezclada y

extendida sobre la mesa. El dado nunca es un cubo perfecto, y los puntos con que están marcadas susdiversas caras producen asimismo una disimetría, pero es tan pequeña, que la probabilidad de cadacara difiere muy poco de 1/6; del mismo modo, si la baraja es de 32 naipes, la probabilidad de sacar elrey de diamantes es muy próxima a 1/32, aunque los 32 naipes no sean rigurosamente idénticos entresí y se distingan a veces por sus dibujos y colorido. En la evaluación de las probabilidades, los errorescometidos son mucho mayores cuando se trata de probabilidades empíricas sacadas de las estadísticas;por una parte, estas ya son a menudo imperfectas, estando alteradas por errores sistemáticosimposibles de evitar y difíciles de corregir; más adelante veremos unos ejemplos de estadísticas enrelación a causas de fallecimientos; por otra parte, las estadísticas sólo dan un número limitado decasos, obteniéndose resultados diferentes según se trate de una población4 más o menos numerosa, ode un intervalo de tiempo más o menos largo. Finalmente, las probabilidades varían en general en eltranscurso del tiempo, aplicándose en el presente año los valores obtenidos de las estadísticascorrespondientes a uno o varios años precedentes.

Otras probabilidades son aún más dudosas: aquellas que se formulan incluso personas competentes,de acuerdo con sus impresiones y sus recuerdos. Por ejemplo, un médico evalúa en 9 de cada 10laprobabilidad de curar a un paciente de la enfermedad que padece, o una persona asidua a torneosde tenis valora en 3 de cada 4 la probabilidad en que tal campeón sea el vencedor del torneo. Alcontrario de lo que afirman algunos autores, sería excesivo quitar todo valor a estas evaluaciones, pormás dudosas que parezcan, siendo conveniente someterlas a una crítica juiciosa. Primeramente, hayque asegurarse de la sinceridad de quien formula el juicio de probabilidades; conviene preguntarse si

hay razones serias para dudar de ella. Por ejemplo, un médico puede dictaminar un diagnósticooptimista en vistas a lo que rodea al enfermo; el asiduo a partidos de tenis puede dejarse influir poramistades personales o, incluso, en algunos casos, por motivos menos confesables, como las apuestas,en las que puede tener un interés personal. El método más adecuado para asegurarse su sinceridad esobligar a quien emite el juicio a verificar una apuesta de cierta cantidad importante, pero con lacondición de que no pueda ejercer ninguna influencia sobre el resultado del suceso fortuito sobre elque se lleva la apuesta.

19. El método de la apuesta. — Si una apuesta está relacionada con un acontecimiento cuya

probabilidad es p, debe ser equitativamente reglamentada de la manera siguiente: si Pedro apuestaque el acontecimiento será un hecho y Pablo apuesta lo contrario, Pedro debe invertir una cantidad Ap



y Pablo una suma A (1 - p); el total de las apuestas, o sea A, revertirá al ganador. Por ejemplo, si Pedroapuesta que él sacará el 6 en un dado, invertirá 10 dólares y Pablo 50 dólares; el ganador tomará eltotal de las apuestas: 60 dólares; si Pedro saca el 6, gana 50 dólares; si no sale el 6, pierde 10dólares.Ahora pongámonos en el caso de que la probabilidad p, al contrario que en el caso anterior, esdesconocida por los dos jugadores, pero en la que Pedro ha querido dar a pel valor de la probabilidad.

Si tanto lo estima así, la cantidad Ap que deberá invertir será demasiado elevada y la cantidad A (1 — p) que invertirá su adversario será muy pequeña; el juego será desventajoso para Pedro. Si se sospechaque Pedro exagera el valor de la probabilidad —y el mismo caso podría darse en el del médicooptimista que, queriendo tranquilizar a sus clientes, exagerara su posibilidad de curación—obligándole a apostar una importante cantidad a favor de tal suceso, se le invitaría a disminuir suexageración y a reconsiderarla. Por ejemplo, si el médico declara que las posibilidades de curación sonde 9 sobre 10 (o sea, una probabilidad de 0’9), cuando en realidad sólo son de 1 sobre 2 (probabilidadde 0’5), e invirtiera 90.000 dólares contra100.000en caso de curación, se arruinaría pronto si estaoperación se repitiera a menudo. Supongamos que de 100 enfermos sanan sólo unos 50; si apostara encada caso, invertiría un total de 9 millones y sólo percibiría alrededor de 5 millones.

Por lo tanto, el método de la apuesta permite evitar los errores voluntarios que se cometerían en laevaluación de las probabilidadescuando se conoce el sentido de estos errores. Pero es evidente que elmédico, si en lugar de ser optimista se vuelve en algunos casos pesimista y evalúa en 0’9 laprobabilidad de curación cuando en realidad es mayor, por ejemplo igual a 0’99, será ventajoso para élaceptar una apuesta; invertirá 90.000 dólares para recibir 100.000 en caso de curación y, si de 100enfermos sólo muere uno, habrá apostado 9 millones para recibir 9.900.000 dólares.

¿Es posible evitar con este método los errores voluntarios que cometería Pedro en la evaluación de laprobabilidad, cuando estos errores no tienen siempre el mismo sentido, es decir, que tanto pueden serfavorables como desfavorables? Esto es posible, pero reuniendo dos condiciones: la primera, que Pablopueda imponer a Pedro el sentido en el que debe apostar, o sea que, si se trata de un enfermo, Pablopuede apostar a su conveniencia, sea por la curación o por la muerte del enfermo. La segundacondición, que viene a completar la primera, y no menos indispensable, es que Pablo sea tancompetente como Pedro en la evaluación de la probabilidad; siendo Pedro un buen médico ytratándose de la curación de un enfermo, Pablo debe saber en qué sentido ha valorado Pedro laprobabilidad, orientando en consecuencia su apuesta. Si Pedro ha exagerado la probabilidad decuración, se verá obligado a apostar por la misma; al contrario, si exagera la probabilidad de muerte,deberá apostar en este sentido. Al aceptar Pedro estas condiciones, no tendrá más remedio que hacersu evaluación de una manera sincera, ya que cualquier error sistemático le perjudicaría.

También sería bastante natural que Pedro, modesta y prudentemente, declarara que se niega a precisar

el valor de la probabilidad de curación, pero que se contenta afirmando que, según su opinión, estaprobabilidad está comprendida entre 0’8 y 0’9, y que, en tales condiciones, si se le obliga a apostar porla curación, exigirá que se adopte 0’8, pero que si se le obliga a apostar por la muerte, exigiría que seadopte 0’9. Tal actitud sería perfectamente correcta, pero la de Pablo no lo sería menos si se negara aapostar en estas condiciones; esto querría decir que está de acuerdocon Pedro en que la probabilidadde curación está comprendida entre 0’8 y 0’9 y que, por consiguiente, las dos apuestas le sondesfavorables, ya que Pedro arriesgaría 80.000 dólares contra 20.000 apostando por la curación, o sólo10.000 contra90.000apostando por la muerte.

El método que acabamos de bosquejar para obligar a Pedro a evaluar lo más correctamente posibleciertas posibilidades, tiene muchas analogías con la evaluación de las probabilidades de alta o de baja

de un valor bursátil que resultarían de las cotizaciones para las compras o ventas fijas, o con diversasprimas, así como la importancia de los compromisos ligados a estas cotizaciones. Cada una de estas



operaciones corresponde a la evaluación de la probabilidad, tanto para el comprador como para elvendedor, estimando cada uno de ellos que esta evaluación le es ventajosa, o sea, que la mismarepresenta un máximo para uno de ellos y un mínimo para el otro.

20. La combinación de la apuesta y de las subastas. — A menudo el método de venta en las subastaspermite darse cuenta de la evaluación exacta que cualquier comprador ha dado al valor del objeto odel inmueble en venta, ya que cesa de aumentar el precio cuando ha llegado al límite que se ha fijado.Un método semejante podría aplicársele a Pedro en caso de estar conforme, para que conozca conprecisión el valor que ha dado a una posible probabilidad. Volvamos al caso en que Pedro es unmédico que ha podido evaluar las posibilidades de curación de un enfermo; nos proponemos saber sievalúa estas posibilidades en más del 50%; para ello elegiremos un acontecí-miento aleatorio cuyaprobabilidad es exactamente del 50%, como el juego de cara o cruz, y ofrecemos a Pedro un regaloimportante o una ventaja moral considerable para él, dejándole la elección entre las doseventualidades que siguen: o recibirá este regalo si el enfermo sana, o bien si saca cruz al lanzar al aire

una moneda. Es evidente que tendrá interés en elegir aquel de los dos cuya probabilidad le parecemayor; elegirá, por lo tanto, la curación del enfermo si considera que la probabilidad de tal curación essuperior al 50%; al contrario, si elige el juego de cara o cruz, ello nos demostrará que valora en menosdel 50% la probabilidad de curación. Entonces podremos volver a empezar la prueba sirviéndonos deun suceso cuya probabilidad es del 49%; por ejemplo, con varias barajas de dorsos semejantes,haremos un montón de 100 naipes, 49 de los cuales son rojos y 51 negros; después de bien barajados yextendidos sobre la mesa, la probabilidad de sacar uno rojo es del 49%, o 0’49. Si Pedro prefiere estaprobabilidad a la del caso de curación, es porque evalúa esta última en menos del 0’49; seguiremosigualmente con 0’48, y así sucesivamente, hasta que veamos que Pedro elige la probabilidad decuración en el momento en que la otra probabilidad es tan sólo de 0’43, aunque él hubiese preferido laprobabilidad de 0’44; llegaremos así a la conclusión de que su sincera evaluación de la probabilidad decuración está comprendida entre 0’43 y 0’44. Claro está que esta evaluación sincera no significa que seaexacta, pues Pedro no es infalible; incluso siendo muy hábil, es muy dudoso que pueda diferenciarcerteramente unas probabilidades tan próximas como 0’43 y 0’44; por eso, sería completamenteilusorio intentar obtener un decimal exacto, y más haciendo disminuir en una milésima en lugar de enuna centésima las probabilidades usadas sucesivamente.

Pueden compararse estas evaluaciones con las relativas a una longitud o a un peso, hechas por unapersona que no disponga de un aparato de medida. Si esta persona tiene cierta competencia, debida ala costumbre, su evaluación podrá ser relativamente exacta, es decir, asignar 2 cifras de un valorajustado; pueden ser 3 si la primera cifra es 1, como en el caso de medir la estatura de un hombre

valorándola en centímetros. Tales evaluaciones no tienen el valor de una medida física precisa,realizada con buenos instrumentos, pero son preferibles a un desconocimiento total; igual ocurre enlas probabilidades.

No obstante, entre estos dos tipos de evaluaciones hay una diferencia bastante notable, con tendencia aque los métodos que se pueden usar para controlar el valor de estas evaluaciones son muy distintossegún se trate de la evaluación de un objeto mensurable o de una probabilidad. En el primer caso, elcontrol es fácil, puesto que basta medir con un aparato adecuado comparando el resultado con laevaluación. De esta manera uno puede controlar sus propias evaluaciones y perfeccionarse en estearte, valorando de una ojeada la estatura de un hombre o la altura del techo de un piso. Al tratarse deuna probabilidad, será corrientemente imposible dar con un método preciso para evaluar con gran

precisión la probabilidad desconocida, como el metro lo es para la medida de una longitud; solamente



por métodos indirectos y necesariamente más complicados puede llegarse a conocer si lasevaluaciones hechas por una persona sobre cierta clase de probabilidades son relativamente correctas.

21. El control del valor de las evaluaciones de probabilidad.— No es posible controlar el valor de laevaluación de la probabilidad de un único suceso aislado, a menos que la evaluación hecha seaextremadamente pequeña o muy próxima a 1, es decir, que se confunda prácticamente con laimposibilidad o con la verosimilitud. Pero, si afirmamos que tal acontecimiento tiene 9 posibilidadessobre 10 de producirse o, al contrario, 9 sobre 10 de que no se produzca, podrá suceder en uno u otrocaso que el suceso sea un hecho real o, al contrario, que no se realice, y no llegar a la conclusión sobresi nuestra evaluación era exacta o inexacta; un acontecimiento puede muy bien no producirse, aunquesu probabilidad sea de 0’9 o, al contrario, puede realizarse siendo su probabilidad de 0’1 solamente.Algunos autores creen resolver esta dificultad rehusando examinarla, o sea, negando la probabilidadde un suceso aislado; he discutido esta tesis e indicado por qué razones no me parece aceptable13; lanoción de probabilidad es una noción primaria, cuyo significado entiende cada uno intuitivamente, y

que un estudio científico permite precisar, de la misma manera que la geometría precisa las nocionesde la recta, del plano y de la esfera; sus ejemplos más o menos sencillos los encontramos en laexperiencia cotidiana.

Cada uno de nosotros sabe perfectamente lo que dice cuando afirma que tal acontecimiento le parecemuy poco probable, bastante probable o extremadamente probable, del mismo modo que afirma quetal persona es baja, de estatura media, bastante alta o muy alta. La experiencia permitesustituir estasevaluaciones aproximadas por otras numéricas más precisas, y decir: pienso que tal persona mide 1’60m; o pienso que dicha probabilidad es ligeramente superior a una mitad, o sea, que este suceso es másprobable que el contrario.

Se trata ahora de conocer cómo podremos darnos cuenta de que las evaluaciones hechas por unapersona son generalmente correctas, mientras que las verificadas por otras son torpemente inexactas.Tal como puede adivinar el lector, el método de la apuesta nos ayudará a resolver este problema perodicho método debe ser aplicado con prudencia, de manera que nos evite lamentables errores.

Es preciso observar que si una persona hace una evaluación inexacta y la obligamos a apostartomando por exacta su evaluación, hay tantas probabilidades para que esta apuesta le sea favorablecomo desfavorable,. ya que todo depende del sentido en que se verifica esta apuesta. Si, desconociendocompletamente la ruleta, afirmo que la probabilidad del rojo es de 3 sobre 4 y la del negro de 1 sobre 4,y si alguien tan desconocedor como yo apuesta 3 dólares para el rojo contra mi apuesta de un dólar

para el negro, esta apuesta es ventajosa para mí y mi error me es provechoso. Sin profundizar en estacuestión, deduciremos que el método de la apuesta, aplicado sin discriminación, no permitiría conocerquién hace las evaluaciones inexactas, pues los casos en que esta inexactitud le será provechosa lecompensarán de aquellos en que estas apuestas le sean desventajosas.

Ya no ocurre lo mismo si uno se propone comprobar las habilidades de dos personas que evalúan lasmismas probabilidades, cada una por su cuenta, y que luego las confrontan.

Admitimos que Pedro haya evaluado en 0’5 y Juan en 0’7 las probabilidades del suceso quellamaremos favorable (curación de un enfermo, ganar un partido de tenis, ganar una carrera uncaballo designado con anterioridad). Si adoptan para su apuesta el valor medio 0’6, Juan tendrá

13Borel, E., ?Vale(rpra"i'(e e" Pilosopi# des probabili"és, Traite du Calcul des robabilités et de sesapplications , *ol7 V, &ase. ,

Ga("ier-Villars.



interés, desde su punto de vista, en apostar por el suceso favorable, y Pedro en apostar por elcontrario. Efectivamente, para la cantidad total de 100 dólares, Juan sólo invierte 60, mientras que,según su propia evaluación, debería invertir 70, y Pedro sólo invierte 40 dólares cuando, según supropia evaluación, debería invertir 50. Así, si uno de ambos apostantes, Juan o Pedro, ha realizado unaevaluación exacta de la probabilidad, la apuesta es favorable para él y desfavorable para su adversario.

Pero se puede ir más lejos y señalar que, si las dos evaluaciones son inexactas, la apuesta es ventajosapara aquel de los dos apostadores que ha cometido el error más débil14, sean los errores del mismosentido o bien sean de sentido contrario. Por ejemplo, si el verdadero valor de la probabilidad es 0’8, laapuesta de 60 dólares contra 40 es ventajosa para Juan, mientras que es desfavorable para él si el valorde la probabilidad es 0’4 o, incluso, si es 0’55 (caso en que los errores son de signo contrario). Si Juan yPedro hacen una única apuesta, podría suceder muy bien que esta fuese ganada por aquel de los dosque inicialmente jugaba con desventaja. Pero si hacen suficientecantidad de apuestas semejantes, elque generalmente tiene ventaja acabará por ganar. Es una consecuencia de la ley de las grandescantidades de Bernouilli. La probabilidad para que Pedro finalmente gane cuando hace con Juan ungran número de apuestas desfavorables, resulta despreciable cuando el número de estas apuestas essuficientemente elevado.

El método de la apuesta, aplicado así a dos personas, permite saber cuál de las dos es la más hábil ensu evaluación de la probabilidad; si del mismo modo se comparasen de dos en dos gran número depersonas, por ejemplo los diagnósticos de numerosos médicos especialistas de una mismaenfermedad, se podría saber cuál de todos ellos evalúa más correctamente las probabilidades,pudiéndose presumir que las evaluaciones del vencedor de este torneo de apuestas son tan buenascomo lo permite el estado actual de la ciencia médica.

14A'( e*al(amos el error #ome"ido por la di&eren#ia en"re el *alor *erdadero y el indi#ado por (an y Pedro/ a es"a e*al(a#in del error

#orresponde la ele##in '(e emos e#o de la media ari"mé"i#a. !i se #on*iene en e*al(ar el error por la rela#in del *alor *erdadero y del*alor indi#ado Flo #(al es, '(iá, pre&eribleF, seria pre#iso elegir #omo base de la ap(es"a la media geomé"ri#a de +@) y +@, es de#ir, #asi

+@)9. %a di&eren#ia en"re la media ari"mé"i#a y la media geomé"ri#a es generalmen"e m(y débil en los #asos prá#"i#os7 el e#o de '(e (an

e*al2e la probabilidad en +@9 y Pedro en +@1 o#(rrirá m(y po#as *e#es.



CAPÍTULO IV

LOS SUCESOS DE ESCASA PROBABILIDAD

LEY DE POISSON

22. Las probabilidades pequeñas, pero no despreciables.— A menudo acontece que la probabilidadde algunos sucesos no es lo suficientemente pequeña para despreciarla; por consiguiente, no puedeaplicárseles la ley única del azar ni afirmar que no se producen; pero, cuando las experiencias sonnumerosas, pueden formularse algunas leyes aproximadas respecto a las frecuencias de tales sucesos;la probabilidad para que se produzcan graves infracciones en estas leyes es, a veces, muy pequeñapara que se pueda aplicar la ley única del azar y para que puedan ser consideradas altamenteimprobables y, a veces, incluso prácticamente imposibles.

Consideremos un fenómeno cuya probabilidad es tan pequeña que, en caso de producirse, pueda sermirado como algo excepcional. Para precisarlo mejor, supondremos tal probabilidad inferior a 1/30. Si

se lleva a cabo una experiencia diaria, el fenómeno deberá producirse en un promedio de una vez pormes. Supongamos, asimismo, superior la probabilidad a 1/1.000, aunque esta hipótesis no influya enlos resultados que se van a exponer y que se consideran verídicos, por pequeña que pueda ser laprobabilidad; pero si esta resultara demasiado pequeña, las experiencias imaginadas deberían serdemasiado numerosas para que en la práctica fuesen realizables.

23.La ley de Poisson. — Como ejemplo, tomemos una probabilidad igual a 1/100; podrá tratarse deganar el premio para el poseedor de un solo billete en un sorteo compuesto de 100 billetes. Si estecomprador de un solo billete puede repetir a menudo su experiencia, es decir, que frecuentementetiene ocasión de adquirir un billete de un sorteo de 100 billetes, sorteo cuyo único premio es siempre elmismo, repetidas veces hemos afirmado como un hecho evidente, resultante de la misma definición dela probabilidad, que el comprador en cuestión, llamémosle Pedro, ganará en un promedio de una vezde cada 100. No obstante, la observación prueba que si Pedro vuelve a repetir precisamente 100 vecesuna experiencia que consiste en comprar un billete de un sorteo de 100, podrá muy bien suceder quegane una sola vez, que no gane ninguna, o que gane dos o varias veces. El teorema de Poisson15 noshace conocer las probabilidades de estas diversas eventualidades. Según este teorema, lasprobabilidades para que Pedro, en 100 experiencias, gane 0, o 1, o 2 veces, etc., se detallan en elsiguiente cuadro:

15En el Apéndi#e p(eden *erse alg(nas e0pli#a#iones ma"emá"i#as rela"i*as a es"e "eorema, e0pli#a#iones '(e realmen"e no son

indispensables para poder #omprender lo '(e *iene a #on"in(a#in, pero '(e, sin d(da, in"eresarán a a'(ellos de n(es"ros le#"ores #on #ier"os#ono#imien"os ma"emá"i#os.



Ganó 0 veces 36’788%; probabilidad 0’36788

1 36’788%; 0’36788

2 18’394%; 0’18394

3 6’131%; 0’06131

4 1’533%; 0’01533

5 0’306%; 0’00306

6 0’051%; 0’00051

7 0’007%; 0’00007

8 0’001%; 0’00001

Se observará que la probabilidad de ganar una sola vez es igual a la de ganar 0 veces; la deganar2veces es 2 veces más pequeña; la de ganar 3 es3veces más pequeña que la de ganar 2; la deganar4es aún 4 veces más pequeña, y así sucesivamente. La probabilidad de ganar 8 veces es alrededorde una cada 100.000, la de ganar 9 sería 9 veces más débil, es decir, alrededor de una millonésima, y lade ganar 10 veces sería de una diezmillonésima; llegamos aquí a las probabilidades despreciables aescala humana.

Si 100 personas distintas hacen la misma experiencia que Pedro, es decir, adquieren 100 vecesconsecutivas un billete del sorteo, se podrá afirmar que de estas 100 personas habrá alrededor de 36 o37 que no ganarán ninguna vez en los 100 sorteos en los que participarán; otras tantas ganarán unasola vez; alrededor de 18 ganarán 2 veces; 6 ganarán 3 veces; 1 o 2 ganarán 4 veces y,

excepcionalmente, una ganará más de 4 veces.

Claro está que estas cifras sólo son promedios y, como siempre, los errores en relación a estos valoresmedios son, no sólo posibles, sino muy probables, y deben ser considerados como la regla y no comola excepción, a condición de que los errores no sean demasiado considerables.

24.Los errores. — Ya hemos dicho que los valores del error que se pueden considerar normales, esdecir, que se observarán frecuentemente, son los inferiores a la raíz cuadrada del número deseado; porejemplo, de 100 personas que hayan participado en 100 sorteos cada una, es de esperar que 36 o 37 noganen ni una sola vez (media de 36’8); la raíz cuadrada de 36 es 6, y razonablemente debe esperarseque el número de personas que noganarán ninguna vez esté comprendido entre 31 y 43; un doble error



de 6, que correspondería a menos de 25 o más de 44, será muy raro, y un error triple (menos de 19 omás de 55) será completamente excepcional. Los mismos resultados pueden aplicarse al número depersonas que ganarían sólo una sola vez.

En cuanto a las personas que ganarían 2 veces, un error de 4 puede producirse normalmente en

relación al promedio de 18, o sea, que su número estará comprendido entre 14 y 22; raramente podrá bajar a 10 o elevarse a 26. Pero se deberá considerar completamente excepcional que dicho númeropueda ser inferior a 6 o superior a 30.

Análogos resultados se aplicarían a los casos de personas que ganen 3 veces o más a lo largo de unaserie de 100 sorteos.

Estos resultados indican hasta qué punto es decepcionante el oficio de jugador, si así se puede llamar ala persona en quien el juego se convierte en costumbre. El único premio del sorteo en el que Pedrocompra con perseverancia un billete valdrá ciertamente menos de 100 dólares si el billete cuesta uno,ya que los organizadores de la tómbola se ven obligados a la subvención de gastos y, además, obtener

un beneficio. Si este premio vale 80 dólares y Pedro se obstina en tomar 100 veces seguidas un solo billete, la probabilidad de que gane es de 0’37; en este caso, sufrirá una pérdida de 20 dólares, ya queha comprado 100 billetes de un dólar y ganado un premio de 80; también tiene la probabilidad 0’37 deperder sus 100 dólares sin ganar nada. En cuanto a sus posibilidades de ganar, son las siguientes:alrededor de 18 sobre 100 de ganar 60 dólares (2 premios de 80, menos 100 dólares, importe de los

billetes), 6 sobre 100 de ganar140 dólares y 1 o 2 sobre 100 de ganar 220 dólares, siendo ínfimas las deuna ganancia superior. Cálculos análogos se aplicarían al asiduo a la ruleta, obstinado en jugarconstantemente a un número entero (que, además, puede variar a su antojo sin modificar lasprobabilidades); en la ruleta con el cero, ganará en promedio una vez de cada 37, de manera que, en 37veces consecutivas, las probabilidades de que nunca gane, o de que gane 1 o 2 veces, etc., vienen dadaspor el cuadro de Poisson.

25.Caso en que la serie de experiencias se repite varias veces consecutivas.— Es interesanteaveriguar lo que sucede cuando se repiten varias veces consecutivas las series de experiencias quehemos supuesto, y que consisten, para Pedro, en tomar 100 veces seguidas un billete en un sorteo de100, o en jugar 37 veces seguidas un número entero en la ruleta.

Supongamos que Pedro no gana ni una sola vez a lo largo de la primera serie; la probabilidad de taleventualidad es de 0’3679; si este hecho se produce, la probabilidad para que Pedro no gane en el

transcurso de la segunda serie no se ve modificada y es igualmente de 0’3679; la probabilidad para queestas dos eventualidades se produzcan sucesivamente, es decir, para que Pedro no gane ni a lo largode la primera serie ni a lo largo de la segunda, es igual al producto de estas dos probabilidades, o sea,casi 0’135. Tal es la probabilidad para que a lo largo de las dos series de 100 sorteos cada una, es decir,200 sorteos consecutivos en total, Pedro no gane ni una sola vez. Si se considera una segunda serie,igualmente de 200 sorteos, la probabilidad para que Pedro no gane es la misma de 0’135, y laprobabilidad para que no gane niuna sola vez a lo largo de los 400 sorteos consecutivos (2 series de200) es el producto de 0’135 por 0’135, o sea, alrededor de 0’018; esta probabilidad es de casi 2centésimas y no es en absoluto despreciable.

La probabilidad de que Pedro no gane a lo largo de dos series de 400, es decir, a lo largo de una serie

de 800, sería el cuadrado de 0’018, o sea, alrededor de 0’0003, o casi una de cada 3.000, probabilidadmuy débil, no siendo, sin embargo, despreciable a escala humana.



De esta manera, se comprende que la simple observación según la cual Pedro gana promediouna vezde cada 100, debe interpretarse a la luz de los cálculos de Poisson, a fin de que su significado secomprenda bien; no sería preciso que este enunciado de un promedio le implique a Pedro la seguridadde ganar el premio del sorteo, no sólo en 100 experiencias sucesivas, sino en varios centenares de ellas.

Ocurre lo mismo cuando la probabilidad en cuestión no es la de ganar un premio en un sorteo, sino lade un accidente al que Pedro está expuesto diariamente. Por ejemplo, Pedro es un obrero cuyo oficioencierra algunos peligros, como el de aviador, maquinista de tren o conductor de camión. Si laprobabilidad de un accidente, según la estadística de todos los acaecidos a aquellos que tienen elmismo oficio que Pedro, es de 1/1.000 por día de trabajo, esto equivale a casi un accidente cada tresaños (si se admite que hay 333 días de trabajo por año). Pero, de 100 personas que tienen el mismooficio que Pedro, habrá casi 37 de ellas que no tendrán ningún accidente a lo largo del primer períodode tres años, y unas 13 que no lo tendrán en el transcurso de dos períodos consecutivos de3 años. Talproporción de excepciones es lógica, siendo simple consecuencia de los cálculos de probabilidades dePoisson, sin que para explicarlo sea necesario diferenciar las probabilidades concernientes a diferentesindividuos.

Naturalmente, no se puede excluir a priori la posibilidad de tales diferencias; esta es una cuestión quesólo puede ser resuelta por la observación y la experiencia. Incluso casi puede asegurarse que existenestas diferencias, ya que no todos los hombres son iguales; existen, entre los conductores de camiones,unos cuya probabilidad de accidente es inferior a la media, contrariamente a otros que la tienensuperior.

Fácilmente puede verse que esta desigualdad entre las probabilidades concernientes a diferentesindividuos aumenta, consecuentemente, la proporción de aquellos que, al cabo de cierto período detiempo, no sufren ningún accidente. Sabemos que, si para cada individuo, el número de experienciases igual al denominador de la probabilidad, es decir, a 1.000 si la probabilidad es de 1/1.000, debesuponerse que el suceso esperado o temido suceda a casi el 37% de individuos. Si se trata de unaccidente, esta será la proporción de individuos indemnes; por ejemplo, de aviadores o de conductoresde camiones que no hayan sufrido ningún accidente16.

Evidentemente, un error que no sobrepase el 6% en relación a este promedio, tanto en un sentidocomo en otro, debe considerarse normal, yaque puede ser debido a causas puramente fortuitas. Si laproporción de los que no hayan sufrido ningún accidente es sensiblemente superior al 36%, subiendo,por ejemplo, al 45 o 50%, se deberá presumir que este error no es fortuito, sino que es debido a queentre los individuos observados los hay con probabilidad notablemente inferior a la media, mientrasque, para otros, es superior. Este último resultado se vería confirmado en el caso de tratarse de

accidentes cuya mayoría no son mortales, como en el caso de los automóviles, por el hecho de que laproporción de individuos que hayan sufrido más de 2 accidentes a lo largo del período en cuestiónsería superior al 18%, y la proporción de los que habrían sufrido más de 3 accidentes sería superior al6%.

En el cálculo de probabilidades, se resumirá este aumento de la proporción de los casos en que elnúmero de accidentes es 0, 2, 3, y su disminución forzosamente correlativa en los casos en que elnúmero de accidentes es igual a la unidad, es decir, a la media, diciendo quela dispersión observada esmayor que la normal; una ley general del cálculo de probabilidades es que, en este caso, el material

16%a probabilidad 1H1.+++ se s(pone #al#(lada de a#(erdo #on #ier"as es"ads"i#as/ di#a probabilidad p(ede rela#ionarse al da de la par"ida,

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sobre el que se hace la observación no es homogéneo, es decir, que las probabilidades no son igualespara todos los individuos, sino que para unos son superiores a la media e inferiores para otros.

¿Puede ser la dispersión observada inferior a la normal? Ello podrá producirse en el caso de que losfenómenos observados no sean independientes unos de otros; por ejemplo, si se trata de enfermos

contagiosos, u observaciones relativas a gran número de pasajeros que usan los mismos medios detransporte; si descarrila un tren repleto de viajeros, varios centenares de personas se encuentransimultáneamente incluidas entre las que han sufrido un accidente, muriendo a veces buen número deellas o resultando gravemente heridas. A veces un grave accidente, con proporciones de catástrofe,produce en un solo día un número de víctimas superior a la media anual total. Lo mismo ocurre, conmayor motivo, en accidentes marítimos.

No obstante, tanto en los ferrocarriles como en los barcos, subsiste alguna independencia entre lasposibilidades de accidente en dos personas distintas; ello obedece a que, salvo en casos muyparticulares (miembros de una familia viajando frecuentemente juntos, moradores de los arrabales deuna gran ciudad que toman cada día los mismos trenes en horas regulares), los más frecuentes son

aquellos en que unos viajeros se encuentren juntos en un mismo tren o en un mismo barco debido acircunstancias puramente fortuitas y que no se repiten. La probabilidad para que uno de ellos sufra unnuevo accidente es independiente de la que tenga uno de sus compañeros de azar. No ocurre lo mismocuando se consideran las probabilidades de algunas enfermedades epidémicas, o de aquellas cuyafrecuencia es debida a causas climatológicas; las probabilidades cambian entonces por un igual paralos habitantes de una misma casa, de un mismo barrio, de una misma ciudad o de una misma región.

26.Las probabilidades de espera.— La probabilidad de espera es uno de los problemas prácticos que

suelen presentarse frecuentemente en la vida diaria, cuando su duración depende de circunstanciasfortuitas, tal como la afluencia de clientes en una ventanilla, o bien la regularidad del paso de unvehículo de servicio público.

Consideremos primero el caso de un coche de servicio público que pasa a intervalos rigurosamentefijos, por ejemplo cada 20 minutos. Si uno desconoce su horario, o no lo tiene en cuenta, se deberánconsiderar iguales las probabilidades de llegar al lugar de la parada en un momento cualquiera delintervalo de 20 minutos que separa dos recorridos consecutivos; la duración media de la espera será,pues, de 10 minutos.

Tomemos ahora un caso algo más complejo; supongamos que el intervalo medio de los pasos es

siempre de 20 minutos, pero que dicho intervalo es alternativamente de 30 y de 10 minutos. En otraspalabras, las horas de salida de término son las 12, 12.10, 12.40, 12.50, 13.20, 13.30, 14, 14.10, 14.40horas, etc. Continuemos suponiendo que el pasajero no tiene en cuenta el horario, ya porque lo ignora,ya porque su reloj no va a la hora o, incluso, que será el caso más frecuente, porque tiene ocupacioneso compromisos cuya duración no puede ser evaluada exactamente y que se decida a tomar el cochecuando queda libre.

Podría caerse en la tentación de razonar del modo siguiente: cuando el intervalo que separa dos cocheses de 30 minutos, la duración media de la espera es de 15 minutos y, cuando este intervalo es de 10minutos, es de 5; así, siendo dicha espera alternativamente de 15 y de 5 minutos, da una media de 10,o sea, la misma que cuando los coches pasan a intervalos regulares de 20 minutos cada uno. Tal

reflexión no es válida porque no se tiene en cuenta una circunstancia evidente: el pasajero que sepresenta en la parada en un momento arbitrario tiene muchas más posibilidades de llegar a ella a lo



largo de un intervalo de 30 minutos que en uno de 10; llegará un promedio de 3 veces decada 4 a lolargo de un intervalo de 30 minutos; y una sola vez durante uno de 10 minutos; habrá, pues, 3 veces decada 4. una espera media de 15 minutos y una sola vez una espera media de 5 minutos; la verdaderaduración media será



1/4 x (3x15 +1x5) = 50/4 = 12’5 minutos,

es decir, 12 minutos y 30 segundos; la irregularidad del servicio aumenta la duración.

Un problema análogo se nos presentaría al intentar resolver el caso en que las irregularidades delservicio no sean sistemáticas, sino motivadas por circunstancias fortuitas, como ocurre con frecuenciaen las líneas de autobuses de las grandes ciudades, donde la circulación es muy intensa. En tal caso,los coches, aunque con la obligación de salir de la estación de término a intervalos regulares, porejemplo 10 minutos, a mitad del recorrido se encuentran con varios minutos de adelanto o de retrasoen relación unos de otros17.

Expuesto así el problema, es bastante difícil someterlo a un cálculo riguroso, ya que dicho cálculodebería basarse solamente en hipótesis muy precisas sobre la probabilidad de los diversos retrasos (oadelantos) que se consideran posibles. En el caso de líneas de autobuses con salidas bastante

frecuentes, se obtendrá un resultado bastante aproximado a la realidad aceptando como un hechoexperimentado que, cuando el intervalo medio que hay entre los coches es de 10 minutos, losintervalos de 0 a 20 minutos son casi todos igualmente probables. La duración media de espera es de 5minutos cuando la regularidad es perfecta, y de 10 cuando su irregularidad es tan manifiesta comopuede serlo según nuestra hipótesis (intervalos cuya duración es, alternativamente, de 0 y 20 minutos).Fácilmente llegamos a la conclusión de que la duración media de la espera es la media aritmética de 5y 10 minutos, es decir, de 7’5 minutos, que puede verse aumentada el 50% por el hecho de lasirregularidades del servicio.

Hemos supuesto hasta aquí que el pasajero que espera encuentra siempre sitio en el primer coche que

pasa; para poder dictaminar en los casos en que los coches van completos o que no pueden aceptarmás que una parte de los pasajeros, sería preciso hacer numerosas hipótesis, que serían muyarbitrarias de no estar basadas en la observación y la estadística. En el caso de que los coches vayan aveces completos o casi completos, el problema tiene analogía con el de las ventanillas, del que ahorahablaremos, limitándonos a un caso muy sencillo, ya que sería muy complicado si se quisieranestudiar todas las circunstancias que pueden presentarse.

27.El problema de la espera en la ventanilla. —Admitamos en primer lugar que el número deventanillas de una administración, idénticas entre sí, sea estrictamente suficiente para atender a todos

los usuarios que se presenten a lo largo de un día; para simplificar, supondremos que el tiemponecesario para atenderlos es igual para cada uno de ellos, por ejemplo, 5 minutos. Si una ventanillaestá abierta diariamente 10 horas consecutivas,pueden ser atendidas 120 personas; y 10 ventanillaspueden atender a 1.200.

Si los usuarios se presentan en menor número al comienzo de la jornada, es evidente que algunasventanillas cerrarán parcialmente y, por consiguiente, al final del día la afluencia será excesiva, nopudiendo ser atendidos todos los clientes. Si esta circunstancia se repite varias veces y es conocida porlos usuarios, aquellos que lamentan no haber podido ser atendidos a última hora debido a la excesiva

17En el #aso de los a("ob(ses "ambién se p(ede obser*ar '(e (n #o#e '(e *aya #on re"raso se *erá obligado a #argar mayor n2mero de

*ia<eros en #ada parada, lo #(al "enderá a a(men"ar s( re"raso, mien"ras '(e (no '(e #ir#(le #on adelan"o en rela#in #on el pre#eden"e

#argará menos *ia<eros, de manera '(e s( adelan"o irá en a(men"o. Por es"e me#anismo, en alg(nas lneas de a("ob(ses o#(rre #on &re#(en#ia

'(e (no de s(s #o#es llega an"es a "érmino '(e s( pre#eden"e.



afluencia procurarán presentarse a primera hora, con la consecuencia de que, al comienzo, elpromedio será mayor, con una espera más o menos prolongada. Como puede verse, el problema no essimple, ya que interviene la psicología de los interesados, al igual que otras muchas circunstancias quepueden variar según la naturaleza de las operaciones efectuadas. Únicamente puede calcularse esteproblema simplificando mucho las hipótesis.

A partir de ahora supondremos que existe una sola ventanilla y que la afluencia cotidiana de clienteses inferior a lo que puede rendir, de manera que si aquellos se sucedieran a intervalos regulares, nosólo no habría ninguna espera, sino que la ventanilla estaría libre durante una cuarta parte del tiempototal, o sea, durante 2 horas (120 minutos) de 8 horas de trabajo. Durante las 6 horas de trabajo efectivo,se puede atender un promedio de 30 usuarios a la hora, despachándose uno cada dos minutos,resultando 180 por día. Pero estos 180 clientes no se presentan a intervalos rigurosamente iguales;generalmente hay horas de poco trabajo y otras de mucha afluencia. No obstante, si buena parte de losclientes tienen todas las horas libres y no les gusta esperar, procurarán algunosde ellos acudir a lashoras conocidas de trabajo reducido, estableciéndose poco a poco cierto equilibrio. No es absurda lasencilla hipótesis de que todas las horas del día son igualmente probables para cada usuario, es decir,

que ocurre como si cada uno de ellos echara a suerte la hora y el minuto de presentarse en laventanilla. En dicha hipótesis, el problema de espera puede ser sometido a cálculo y, a pesar de susencillez, la solución continúa siendo todavía bastante complicada. En el Apéndice II damos algunasprecisiones sobre estos cálculos, destinados a aquellos lectores interesados en las matemáticas; aquínos contentamos en dar los resultados del caso que acabamos de indicar.

Señalemos en primer lugar algunas denominaciones. El primer usuario que se presente después deabrir la ventanilla será llamado un cabeza de serie; si durante los 2 minutos que dura suestacionamiento en la ventanilla no se presenta nadie más, la serie se ha terminado, componiéndosetan sólo de un elemento. Contrariamente, si mientras es atendido el primer cliente se presentan uno ovarios más, la serie terminará cuando la ventanilla vuelva a quedar libre; puede componerse de 2, 3, 4,5, etc., elementos, formado cada uno por un concurrente que usa la ventanilla durante 2 minutos; si laserie consta de 4 elementos, su duración es de 8 minutos. Cuando se ha acabado una serie, el primercliente que se presenta es de nuevo un cabeza de serie, y así sucesivamente hasta la hora de cierre. Depermitirse sea atendida la totalidad de los asistentes, deberemos admitir que esta hora se veráretrasada en algunos minutos.

Hemos supuesto que hay en total 180 usuarios, cuyo despacho exige 6 horas, estando abierta laventanilla durante 8 y quedando, la misma, libre

durante una cuarta parte del tiempo total de su apertura. En estas condiciones, la probabilidad para

que un usuario que se presente casualmente a lo largo del día sea un cabeza de serie, es precisamentede una cuarta parte, sacándose la conclusión de que el número de series tendrá un promedio igual a lacuarta parte de 180, o sea, 45.

Pueden ser calculadas las respectivas probabilidades para que una serie esté compuesta de 1,2,3 o demayor número de elementos. Estas probabilidades disminuyen rápidamente al principio, y luegomucho más lentamente. Multiplicándolas por 45, número total probable de las series, se obtienen losnúmeros probables de las series de 1, 2, 3, 4, etc., elementos. Estos números tienen 21 series de 1elemento, 7 series de 2, 3’5 series de3,2’1 series de 4, 1’4 series de 5 y 1 serie de 6 elementos. El númerodisminuye luego poco a poco, ya que es multiplicado por 0’9 cada vez que el número de elementosaumenta en una unidad, resultando así 0’36 para 16 elementos y 0’13 para 26; la suma total de

números probables de series de 6 elementos o más es igual a 10, es decir, está lejos de ser despreciable,



y el número total probable de series de 29 elementos o más es igual a la unidad. Pueden, pues,combinarse de la manera siguiente:

21 series de 1 elemento

7 2 elementos

3 3

2 4

2 5

1 6 o 7

1 8

1 9

1 10 o 11

1 12 o 13

1 14 a 16

1 17 a 20

1 21 a 25

1 26 a 30

1 31 a 40

Claro está que podrán presentarse errores con relación a estos números medios; hemos querido darsimplemente un boceto general del fenómeno.

Siendo 45 el número de series y 180 el número total de elementos, cada serie está compuesta por un

promedio de 4. Recordemos que el tiempo total de apertura de la ventanilla, 8 horas, es igual a 4 vecesel tiempo en que la misma está libre, o sea, 2 horas; de ahí que el promedio de elementos sea 4.



El promedio que acabamos de calcular es la media aritmética de los elementos de las diversas series o,si se prefiere, la media de las duraciones de estas series (siendo su unidad, para nosotros, de 2minutos). En algunos casos, será preferible otra definición.

Consideremos un usuario al azar; formará parte de una serie, pudiendo ser su cabeza o bien cualquier

otro de sus elementos; al acabarse, esta serie contendrá cierto número de elementos que calificaremoscomo el númeroobservado por el usuario en cuestión. Si de la misma forma consideramos un grannúmero de usuarios, cada uno de ellos observará en su serie cierto número de elementos, ydenominaremos valor medio de las series a la media aritmética de los valores así observados por ungran número de usuarios. Es evidente que la media así definida es superior a la que hemos calculado,pues es más probable que un cliente tomado alazar pertenezca a una serie larga que a una corta. En elproblema que nos ocupa, el cálculo indica que la nueva duración media es exactamente el cuadrado dela anterior, es decir, 16 elementos en lugar de 4. Si un cliente llega al azar y pertenece a una serie de 16elementos, tiene las mismas posibilidades de ocupar cualquiera de los puestos comprendidos entre el1 y el 16; el número de los que le preceden está comprendido entre 0 y 15; hay, pues, un promedio de7’5. Esta es la respuesta más precisa y general que puede darse a dicho problema. Sería necesario un

nuevo cálculo para fijar la duración media de la espera.

Si la ventanilla estuviera libre durante un tiempo igual a la mitad de las horas de abertura (y no unacuarta parte como habíamos supuesto), el promedio de las series sería de 2 según el primer sistema decálculo y de 4 según el segundo; cada cliente tendría un promedio de 1’5 de antecesores en la serie a laque pertenece; la mitad de los clientes serían cabezas de serie y no tendrían ningún antecesor.

Al contrario, si la ventanilla sólo estuviera libre durante una décima parte de las horas de apertura, elpromedio de las series sería de 10 con el primer método de cálculo y de 100 con el segundo; bastante amenudo, aunque no todos los días, se podrían observar series superiores a 100. Siendo solamente de18 el promedio de las series diarias, sería necesaria una observación de varios días para comprobarnuestros resultados.



CAPÍTULO V

LAS PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTOS,

ENFERMEDADES Y ACCIDENTES

28.Probabilidades de fallecimientos. — A partir del siglo xviii empezaron a establecerse conrigurosidad las estadísticas de fallecimientos debidos a la edad18; a lo largo del siglo XIX dichasestadísticas lograron gran exactitud en los países civilizados. Además, las compañías de seguros devida, cuyo número e importancia iban en aumento, establecieron estadísticas muy precisas sobre suclientela. Según la naturaleza del contrato, en tales estadísticas las compañías distinguen doscategorías entre esa clientela. En algunos contratos, la muerte del asegurado resulta un acontecimientoventajoso, si no para él, sí al menos para sus herederos y, por consiguiente, desfavorable para lacompañía, que debe satisfacer una suma importante; en otros contratos, en cambio, la existenciaprolongada del asegurado es ventajosa para él mismo y desfavorable para la compañía, que debesatisfacerle una renta vitalicia. En el lenguaje de las compañías de seguros, la primera categoría es la

de losasegurados, siendo la segunda la de losrentistas. Se observa fácilmente que la muerte de losrentistas es inferior a la de los asegurados, a pesar de las precauciones tomadas por las compañíasexigiendo unexamen médico y rehuyendo asegurarlos si dicho examen resulta desfavorable. Quien seencuentra enfermo o es de salud endeble no se decide fácilmente a clasificarse en la categoría de losrentistas, entregando un capital importante a cambio de la promesa de una renta vitalicia.

Señalemos aquí que los cuadros de las compañías de seguros están relacionados con una parteseleccionada de la población, ya que los asegurados deben pasar por un examen ante un médico de lacompañía, y los rentistas, antes de suscribir el contrato, se han preocupado en consultar a su propiomédico. Estos exámenes se realizan una sola vez en el momento en que se suscribe el contrato, y laduración del mismo es, a menudo, muy larga. En el curso de esta duración, tanto asegurados comorentistas pueden sufrir graves enfermedades que aumenten considerablemente sus probabilidades defallecimiento a lo largo del año, en relación con las probabilidades medias relativas al conjunto dehombres o de mujeres de la misma edad.

Insistimos en la diferencia que hay que establecer entre la probabilidad media de fallecimiento a lolargo de un año para un hombre de 40 años y la probabilidad semejante cuando se sabe que dichoindividuo goza actualmente de buena salud y que no corre peligros excepcionales, ni en su profesiónni en sus hábitos.

188(adro de =epar#ie(0, 146.



29.Significado de la probabilidad media.— Como orientación, consideremos que los hombres de 50años que mueren a lo largo de un año son 7.834 de 791.283, o sea, algo menos de 10 de cada 1.000. Siadmitimos la cifra 10 sobre 1.000, la probabilidad media de mortalidad a lo largo de un año esde 0’01,o sea, una centésima para un hombre de 50 años,de quien no se conoce ninguna otra información, y delque legítimamente puede pensarse que ha sido elegido al azar de entre los hombres de dicha edad.

Por ejemplo, considerando que30.000es el número de hombres que cumplen su 50.° aniversario en eltranscurso del mes de enero, será probable que mueran 300 antes de la edad de cincuenta y un años.La diferencia que se observará entre la cifra de fallecimientos realmente acaecidos y el número mediocalculado de 300 según la probabilidad, será relativamente débil, es decir, del orden de los errores quese obtienen cuando se repite numerosas veces una experiencia simple, como es echar un dado o sacarun número de una urna.

Teniendo en cuenta la posibilidad de algunos acontecimientos excepcionales que aumentan lamortalidad general (guerras, epidemias, invierno anormalmente frío), los errores observados son, aveces, mayores que los producidos en acontecimientos aleatorios simples.

Admitamos, sin embargo, en los ejemplos que hemos elegido, que el número de fallecimientossobrepase los 250 y sea inferior a 400, suponiendo, claro está, que la experiencia se realizasobre30.000personas de 50 años elegidas verdaderamente al azar. Del mismo modo ocurriría si, enlugar de elegir las que han nacido en enero, se eligieran aquellas cuyo apellido comienza por las letrasA o B. Pero si se eligieran 30.000 funcionarios en ejercicio en la fecha del 1.° de enero y con edad de 50a 51 años, debería esperarse una mortalidad verdaderamente inferior, ya que el hecho de estar enactivo demuestra que hasta el presente no han sufrido ninguna enfermedad grave. Además,uno puedepreguntarse si las probabilidades de algunas enfermedades o causas de accidente no son menores paralos funcionarios que para los obreros opara los agricultores.

Restringiendo la categoría de las personas consideradas, las variaciones de probabilidad serían aúnmucho más considerables si, en lugar de tratar la probabilidad de fallecimientosa lo largo de un año, seconsideraran las probabilidades de fallecimientoen el transcurso de un día, más exactamente, a lo largode 24 horas, de hoy al mediodía a mañana al mediodía.

Para un conjunto de los hombres de 50 años, esta probabilidad es 365 veces más débil que para un año,o sea, que debe esperarse una media de 10 fallecimientos entre 365.000 personas en lugar de 10 entre1.000. En un país donde el número de personas de 50 años fuese de 730.000, el promedio diario defallecimientos de esta edad sería de 20. Pero es evidente que este porcentaje sería mucho menor si sólose consideraran las personas de 50 años que hoy al mediodía gozan de buena salud y que, además, a lolargo de las 24 horas no deben correr ningún peligro excepcional de accidente (largo viaje en avión, en

coche, exhibición peligrosa para un acróbata, etc.). Sin previo aviso hay pocas enfermedades quematan en 24 horas, e incluso muchos accidentes mortales dejan a su víctima algunas horas o algunosdías de supervivencia. Sería bastante exagerado, pues, evaluar en1sobre 36.500 la probabilidad defallecimiento a lo largo de las 24 horas para una persona que goce de buena salud y que no deba correrningún peligro excepcional; se puede afirmar que esta probabilidad es verdaderamente mucho másdébil, aunque su precisa evaluación sea bastante difícil;también es bastante delicado definirla conprecisión. ¿Qué hay que entender, pues, por persona con buena salud?; ¿debemos contentamos con laafirmación de la persona interesada, o exigirle un examen médico? Además, ¿cuáles son los riesgos deaccidente que deben considerarse como normales y cuáles como excepcionales?

Sería bastante interesante distinguir, mejor de lo que se ha hecho hasta ahora, las probabilidades de

supervivencia global a una edad determinada para el conjunto de una población, y las probabilidadesrelativas a las personas de esta edad cuya salud es buena y que no corren peligros excepcionales. El



estudio de las estadísticas relativas a los fallecimientos clasificados según sus causas sería uno de loselementos más importantes para utilizar en este estudio.

30.Los fallecimientos según sus causas. — La aplicación de las leyes obligando a declarar las causasde los fallecimientos ha progresado mucho a partir de la primera edición francesa de esta obra, engran parte motivadas por el desarrollo de los seguros sociales, gracias a los cuales el médico esllamado casi siempre en caso de enfermedad grave. Mientras que en 1936, en Francia, de 642.000fallecimientos había alrededor de 131.000, o sea, más del 20% debidos a motivos no especificados omal definidos, en 1948 este número era sólo de unos 35.000 sobre 506.000 fallecimientos, o sea, menosdel 7%. Hemos elegido las estadísticas publicadas en Francia para el año 1948, que, además, fue el añoen que el número de fallecimientos fue el menos elevado durante el período de medio siglo que abarcade 1900 a 1949.

La clasificación de las causas de fallecimiento, como toda clasificación, no puede ser perfecta, y es

preciso reconocer que, en muchos casos, un médico puede hallarse confundido. Por ejemplo, unenfermo padece una tuberculosis de probable curación; sin embargo, por un frío excesivo, muere deuna bronquitis o de una pulmonía; ¿a qué debe atribuirse su muerte, a la tuberculosis, o a laenfermedad accidental? Semejante cuestión se plantea a menudo en los enfermos sifilíticos; según losespecialistas de la sífilis, el número de fallecimientos cuya causa real es dicha enfermedad esrealmente mucho más elevado que el número indicado en las estadísticas. Estas mencionanmayormente una causa accidental, que en muchos casos seguramente no hubiera producido la muertesi el sujeto no fuera sifilítico.

En lo concerniente a las causas de senilidad y vejez, para 14.788 hombres hay 488 fallecimientos de los

50 a los 69 años, 4.722 de los 70 a los 79 y 9.578 de los 80 a los 99. Para 23.714 mujeres, 572 de los 50 alos 69 años, 6.188 de los 70 a los 79 y 16.954 entre las mayores de 80 años. Estas cifras se explican por elhecho de que la longevidad de las mujeres es superior a la de los hombres.

También la clasificación de los fallecimientos según las causas por provincias sería bastante instructiva,ya que pondría en evidencia importantes diferencias. Unas se explican por la variedad de los climas opor la presencia de hospitales especializados, debiéndose otras a diferencias de terminología entre losmédicos de las distintas regiones. La proporción de fallecimientos cuyas causas no se han declarado oestán mal definidas cambia también mucho según las regiones.



CAPÍTULO VI

APLICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES A CIERTOS PROBLEMAS DE HERENCIA

31. La herencia y los cromosomas.— Según las teorías generalmente admitidas por los biólogos y

confirmadas por numerosas experiencias, los fenómenos de la herencia están relacionados con laexistencia, en cada individuo, de cierto número de parejas de cromosomas (23 pares en la especiehumana). Dichas parejas se diferencian unas de otras y podemos distinguirlas por una enumeración.En cada niño los cromosomas de cierta pareja, digamos por ejemplo la 17.ª, está formada por uno delos cromosomas de la pareja 17.ª de su padre y por uno de los dos cromosomas de la pareja 17.ª de sumadre. Ocurre como si el niño sacara a suerte y tuviera, así, una probabilidad sobre dos de elegir cadauno de los dos cromosomas del padre y cada uno de los dos de su madre, tanto para la pareja17.ªcomo para cada una de las otras 23 parejas. El número de elecciones posibles es de 46 parejas,siendo igual a 246, o sea, 60 billones. Cuando dos hermanos o hermanas no son gemelos nacidos de unmismo óvulo (en cuyo caso tienen exactamente los mismos cromosomas y se parecen de un modoperfecto), la probabilidad para que tengan las mismas elecciones es muy escasa e igual al cociente de

la unidad por 60 billones. No es probable, pues, que un acontecimiento así se haya producido en laTierra desde que existe la especie humana.

Aunque el preciso papel de los cromosomas en la determinación de los caracteres físicos, intelectualesy morales de cada individuo no sea aún bien conocido, parece claro que la presencia de dosindividuos de ciertos grupos de cromosomas idénticos es suficiente para crear entre ellos ciertosparecidos o analogías muy sorprendentes; a veces, incluso, la especial colocación («locus») de un solocromosoma determina un carácter tan importante para que sea inmediatamente observado; este es elcaso para algunas taras hereditarias. Dicha observación indica el interés que presenta el estudio de lasprobabilidades que vamos a hacer referentes a la presencia simultánea de un cromosoma enindividuos que tienen uno o varios antepasados comunes, parecidos entre hermanos, tíos ysobrinos, primos hermanos, etc.

32.Cromosomas comunes a hermanos y a primos. — Consideremos primeramente a dos hermanos deigual padre y madre. Todos los cromosomas de cada uno de ellos, que llamaremos A, proceden delpadre o de la madre, es decir, de uno de los dos padres comunes a A y a su hermanoB. Si centramos laatención en un cromosoma determinado de A, habrá una posibilidad de cada dos para que se leencuentre enB, ya queB sólo ha obtenido de sus padres un cromosoma de cada dos. De los 46cromosomas de A, habrá un promedio de 23 que se encontrarán igualmente enB.



Hemos admitido implícitamente que el padre y la madre de los dos hermanos no son familiares, esdecir, que no tienen cromosomas comunes.

Consideremos ahora un tío y un sobrino; se supone que el padre del sobrino es un hermano verdaderodel tío, es decir, que tienen el mismo padrey la misma madre; pero la madre del sobrino no tiene

ningún lazo de parentesco con su marido. En estas condiciones, el tío y el sobrino tienen dosantepasados comunes, que son los padres del tío y los abuelos paternos del sobrino. Cualquiercromosoma del tío le viene de uno de estos dos antepasados comunes, pero, para cada uno de estoscromosomas, sólo hay una posibilidad de cada cuatro para que se le halle en el sobrino, puesto queestá separado de los dos antepasados comunes por dos generaciones (comprendiendo la suya).

Habrá un promedio de 11’5 cromosomas comunes al tío y al sobrino.

Si se trata de primos hermanos, supondremos, precisándolo bien, que sus padres son hermanosverdaderos y que sus madres ni son parientes entre sí ni de sus esposos. En estas condiciones tienendos antepasados comunes, que son sus abuelos paternos. Un cromosoma de uno de los primos tiene

una posibilidad de cada dos de proceder de los antepasados comunes y, en este caso, hay unaposibilidad de cada cuatro de encontrarse igualmente en el otro primo; la probabilidad para que uncromosoma de rango determinado sea común a los dos primos es, pues, 1/2x1/4 = 1/8. De 46cromosomas, les son comunes un promedio de 5’75.

Tomemos ahora el caso de primos hermanos, cuyos padres son hermanos y cuyas madres sonhermanas; tienen cuatro antepasados comunes, y cualquier cromosoma de uno de ellos proviene deuno de estos cuatro antepasados; pero cada uno de tales antepasados está separado de su nieto pordos generaciones, es decir, por dos elecciones; uno de sus cromosomas sólo tiene, pues, unaposibilidad de cada cuatro de encontrarse en el nieto; losdos primos tienen, así, un promedio de 11’5

cromosomas comunes, una cuarta parte de los cuales proviene de cada uno de sus cuatro antepasadoscomunes. La diferencia entre el caso de estos dos primos y el de los dos hermanos, que tienenigualmente 4 abuelos comunes, se explica por el hecho de que, en el caso de los dos hermanos, suspadres han hecho ya la elección entre los cromosomas de los abuelos, y que dicha elección es la mismapara los dos hermanos.

Por lo tanto, si un carácter está ligado a un solo cromosoma, se le vuelve a encontrar una vez de cadados en los dos hermanos, una vez de cada cuatro en el tío y el sobrino y una vez de cada ocho en losdos primos hermanos (una vez de cada cuatro si los primos son hermanos por parte doble).

33.Algunas palabras sobre un caso más general.— Hemos supuesto, como es el caso más frecuente,que dos hermanos tienen los mismos padres; sería fácil tratar el caso más general en que losantepasados comunes no son forzosamente un padre y una madre. Por ejemplo, tomemos el caso dedos primos que tienen en común un abuelo y una bisabuela, siendo los demás antepasados comunesexclusivamente los antepasados de aquellos dos19. Tomemos un cromosoma de uno de los primos;existe una posibilidad de cada cuatro de que provenga de su abuelo y una de cada ocho de queprovenga de su bisabuela; descartamos estas dos eventualidades. En el primer caso, hay unaposibilidad sobre cuatro de que el cromosoma existatambién en el segundo primo, y en el segundo

19!(pongamos '(e Pablo y (an son los dos primos7 Pablo es i<o de Pedro y de ara, y (an es i<o de Enri'(e y de Ana. Pedro y Enri'(e

son i<os del mismo padre, pero no de la misma madre. ara es i<a de Ed(ardo y Ana es i<a de argari"a. Ed(ardo y argari"a "ienen la

misma madre, pero no el mismo padre.



caso, una posibilidad sobre ocho. La probabilidad para que el cromosoma sea común a los dos primoses, pues,

1/4x1/4 + 1/8x1/8 = 5/64

Semejante fórmula se aplicaría cualquiera que fuese el número de los antepasados comunes que, encambio, pueden no corresponder a la misma generación para los dos primos. De un modo general, elantepasado de ordena1 de A ha supuesto ser el antepasado de ordenb1 de (sia1 = 1, se trata del padre;paraa1 = 2, del abuelo; paraa1= 3, del bisabuelo, etc.), el antepasado de ordena2 de A es el antepasadode ordenb2 deB, etc, el antepasado de ordena3 de A es el antepasado de ordenb3deB, etc. Laprobabilidad para que un cromosoma sea común a y a es, entonces,

Por ejemplo, si se trata de dos primos hermanos por parte doble, es decir, teniendo cuatro abueloscomunes, se tiene

a1= b1= 2;a2 = b2 = 2;a3=b3 = 2;a4 =b4= 2

la fórmula da

P = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 4

Sólo queda por tratar el caso en que uno de los antepasados comunes deba ser considerado unantepasado múltiple por uno de los descendientes (tales el caso cuando los primos se han casado entreellos). Sin entrar en detalles, indicamos simplemente que cada individuo tiene dos antepasados en laprimera generación (padres), cuatro en la segunda (abuelos), ocho en la tercera (bisabuelos), etc. Sientre los 16 antepasados de la cuarta generación una misma persona figura 2 veces, en el cálculo hechoanteriormente deberemos tenerla en cuenta dos veces, es decir, atribuirle dos números (iguales entresí)a1ya2. Si entre los 32 antepasados de la quinta generación cierta persona figura 3 veces entre losantepasados de A y 2 veces entre los antepasados deB, tendremos 3 númerosa iguales a 5 y 2númerosb iguales a 5, lo cual nos dará 3x2 = 6 sumasa+ biguales a 10, es decir,6 términos iguales cadauno a 1/210

Dejamos al lector el caso de estudiar aquellos más complicados que puedan presentarse; aquel en queun mismo antepasado figura dos o varias veces en la estirpe de un mismo individuo, pero con líneas



que pueden ser diferentes, no presenta ninguna dificultad particular. Un caso algo menos sencillo esaquel en el que los dos individuos A yB que se comparan, tienen antepasados comunes que sonparientes entre sí, es decir, que ellos mismos tienen antepasados comunes.

El ejemplo más sencillo de este caso es el de dos hermanos cuyos padre y madre son primos más o

menos lejanos. Casos aún más complejos, en que para completarlos se vería uno obligado a remontarsea un número casi indefinido de generaciones, se encuentran frecuentemente en pueblos aislados,donde desde hace siglos se vienen cruzando entre sí un pequeño número de familias.

34.Aplicación de la ley única del azar. — Todos los resultados que acabamos de dar sobre la herenciase traducen en coeficientes de probabilidades; por lo tanto, no pueden conducir a ninguna previsiónsegura, a menos que sean utilizados para calcular otros coeficientes de probabilidades que serían

bastante pequeños para poderles aplicarley única del azar.

Por ejemplo, hemos dicho que la probabilidad para que un cromosomaS se encuentre en su hermanoB es de 1/2, mientras que la probabilidad sólo es de 1/8 para que este mismo cromosoma de A seencuentre en su primo hermanoC; sin embargo, podría suceder perfectamente queS no se encuentreenBy se encuentre en es decir, que haya entre los primos hermanos cierto parecido o analogía que noexiste entre los dos hermanos.

Pero, si consideramos a 100 parejas de hermanos A1, B1 ; A2, B2 ; etc., y si suponemos que los cien Aposeen algún cromosoma que determine en ellos una particularidadS, podemos afirmar que estecromosoma y, por consiguiente, dicha particularidadS, se encontrarán en una media de 50 veces en los100B. Y, en virtud de la ley única del azar, concluiremos que es imposible queS se encuentre a la vez

en los 100B, o incluso en más de 95 de ellos, y que es igualmente imposible queS no se encuentreninguna vez enB, o incluso sólo en menos de 5 de ellos. Si en lugar de considerar 100 parejas dehermanos AB hubiésemos considerado 100 parejas de primos hermanos AC, la particularidadShubiera debido encontrarse en una media del 12’5 de entre ellos y se podría afirmar con seguridad queno se encontrará en más de 50 de ellos, mientras que es verdaderamente poco probable,sin que seacompletamente imposible, que no se encuentre en ninguno.

Así pues, si se ignora a priori que las 100 parejas estaban formadas por hermanos o por primoshermanos, pero se sabe que el parentesco es el mismo para las 100 parejas, al observar 60 veces lapresencia del carácterS en los dos individuos podremos afirmar que se trata de hermanos, mientrasque si sólo se observa 5 o 6 veces se tratará de primos hermanos.

Estos ejemplos bastan para indicar cómo los diversos resultados obtenidos en este Capítulo y en losprecedentes pueden conducir a previsiones seguras, cuando se las combina de tal manera que sepueda aplicar la ley única del azar.



APÉNDICE I

SOBRE LAS REPETICIONES DE CIFRAS

EN LOS NÚMEROS PREMIADOS DE LOTERÍA

35. Probabilidades de los diversos tipos de números.— El problema de la probabilidad de las

repeticiones de cifras en los números premiados de la lotería, del que ya hemos hablado en el CapítuloPrimero, merece algunas explicaciones complementarias, ya que puede contribuir a hacer comprendermejor algunas dificultades que se presentan en muchas aplicaciones numéricas del cálculo deprobabilidades.

Consideremos todos los números de 6 cifras escritas en el sistema decimal; son en número de unmillón, incluyendo en ellos los números menores de seis cifras, que pueden completarse a su izquierdacon ceros, y el número cero, que se escribirá 000.000. En resumen, son todos aquellos números que sepueden obtener en los sorteos hechos con seis bombos, colocados en un orden determinado yconteniendo cada uno de ellos las 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En este millón de números de seis cifras, calcularemos primeramente cuántos hay que tienen 6 cifrasdistintas o bien 5, 4, 3, 2 o 1 cifras diferentes.

Para obtener un número de seis cifras distintas, como 324.789 o 023.586, se puede tomar como primeracifra a la izquierda una cualquiera de las diez cifras; como cifra siguiente una cualquiera de lasotras 9;como tercera, una cualquiera de las otras 8, y así sucesivamente hasta la sexta cifra, que es unacualquiera de las cinco cifras aún no elegidas. Así pues, hay en total 10x9x8x7x6x5 = 151.200 númerosformados por seis cifras distintas.

Pasemos a los números compuestos por cinco cifras distintas; únicamente una cifra, una sola, seencontrará repetida dos veces; es lo que los jugadores de póquer llamarían una pareja. La cifrarepetida dos veces puede ser una cualquiera de las diez y puede ir colocada en dos cualesquiera de losseis lugares posibles, lo que da quince posibilidades20 para cada una de las cifras, 150 en total.

Cuando la cifra repetida dos veces se encuentracolocada, por ejemplo, en el 2.° y en el 5.° lugar,podemos escribir el número del siguiente modo:

x3xx3x

20!e p(ede #olo#ar la primera #i&ra en (no #(al'(iera de los seis l(gares y la seg(nda en (no #(al'(iera de los o"ros #in#o, lo #(al da, en

aparien#ia, 3+ posibilidades. Pero si en (n prin#ipio se a elegido el seg(ndo p(es"o y l(ego el #(ar"o, se "iene la misma disposi#in '(e si se

(biera elegido en (n prin#ipio el #(ar"o y l(ego el seg(ndo. Por lo "an"o, es pre#iso di*idir 3+ por , lo '(e da 1). Es"e res(l"ado se p(ede

*eri&i#ar gra#ias a (na denomina#in dire#"a de las 1) disposi#iones posibles.



designando porxlas cifras indeterminadas que no pueden ser el 3.

Para reemplazar laxde más a la derecha, podemos elegir una cualquiera de las otras 9 cifras que no

sean el 3; para reemplazar laxsiguiente, una cualquiera de las 8 cifras que quedan; luego, unacualquiera de las otras 7; y después, una cualquiera de las 6 restantes. Obtenemos, pues, una cantidadde números igual a

150x9x8x7x6 = 10x9x8x7x6x5x3

es decir, un número triple del número 151.200 de los números formados por 6 cifras diferentes.

La cantidad de números formados por 5 cifras diferentes (con una pareja) es, pues,

151.200x3 = 453.600.

Análogos razonamientos permiten calcular la cantidad de números con 4 cifras diferentes. Se pueden

dividir en dos categorías, una conteniendo dos parejas, como los números 121.472 o 003.347, yllevando la otra una cifra repetida 3 veces (una berlanga), como el 303.483; la primera categoría (dosparejas) comprende 226.800 números y la segunda (una berlanga) comprende 100.800, en total 327.600números con sólo 4 cifras.

Para obtener todos los números que tienen 2 parejas, es preciso ante todo elegir las dos cifras que estánrepetidas dos veces; esta elección puedehacerse de(10x9) / 2 = 45maneras distintas. Puedeelegirse unacualquiera de las diez cifras, luego una cualquiera de las nueve restantes, lo que en total da 10 X 9 = 90elecciones; pero cada pareja de dos cifras, como 7 y 5, se obtiene dos veces, puesto que se puede elegirprimero 7 y luego 5, o primeramente 5 y luego 7. Él número de las parejas de 2 cifras es, pues, la mitadde 90, o sea, 45. Sea 7 y 5 el par elegido; se podrá colocar 7 en uno cualquiera de los seis lugares y

luego en uno cualquiera de los cinco restantes; el número total de elecciones es, así, de 6 X 5, perodicho número debe ser dividido por 2, por un motivo semejante al que se acaba de indicar; hay entotal, pues, 15 maneras de elegir los lugares de los dos 7. Cuando éstos estáncolocados, quedan cuatrolugares vacíos, habiendo seis maneras de colocar en ellos los dos 5. Cuando los 7 y los 5 estáncolocados, se tiene la disposición

x577x5



en la que puede reemplazarse la primeraxpor una cualquiera de las otras 8 cifras y la segundaxpor unacualquiera de las 7 restantes; obtenemos así un total de combinaciones igual a

45x15x6x8x7 = 5x9x8x7x6x5x3.

Este número es, pues, la mitad del número ya calculado

10x9x8x7x6x5x3 = 453.600.

Es igual a 226.800.

Es un hecho bastante destacable que baya exactamente el mismo número total de pares en los númerosde una y en los de dos parejas. Esto no se produce en todos los valores del número total de las cifrasutilizadas (aquí igual a 10, puesto que nos servimos del sistema decimal) y del número de cifras queforman los números en cuestión21.

Para obtener todos los números conteniendo una berlanga (cifra repetida 3 veces), primeramente sedeberá elegir dicha cifra, lo cual puede hacerse de diez maneras distintas; luego, elegir los 3

lugaresque ocupe, lo cual puede hacerse de

(6x5x4) / (1x2x3) =20maneras distintas. Se obtienen así 200 disposiciones como la que sigue:

x88xx8

cada una de las cuales podrá ser completada de 9x8x7 maneras distintas por tres cifras diferentes del 8

y diferenciándose entre sí. Se tienen así, en total, 200x9x8x7 = 100.800 números conteniendo una berlanga.

Pasemos a los números de sólo 3 cifras diferentes. Pueden contener 3 pares, como 422.477 (en númerode 10.800), o bien un par y una berlanga, como 422.274 (en número de 43.200), o, por último, uncuadrado, como 447.484 (en número de 10.800); o sea, en total, 64.800 números de 3 cifras.

Sin entrar en detalles, basados siempre sobre los mismos principios, indiquemos cómo se hanobtenido los números precedentes.

21!e p(ede demos"rar &á#ilmen"e '(e si el n2mero "o"al de #i&ras ("iliadas es n ! 2 " !, siendo ! (n n2mero en"ero #(al'(iera, di#a

propiedad s(bsis"e "omando, para *alor del n2mero de #i&ras '(e &ig(ran en (na #an"idad, p I J si n ! 2 J ! y p # $ ! " % si n # $

! 2 - !& !e ob"iene el res(l"ado del "e0"o para ! # , n ! 2J ! 1+, p ! J 6.



Números con tres pares:

((10x9x8) / (1x2x3)) x ((6x5) / (1x2)) x ((4x3) / (1x2)) = 10.800

Números con una pareja, una berlanga y otra cifra:

(10x9x8x7x6x5x4) / 2 = 43.200

Números con un cuadrado (cifra repetida 4 veces) y otras 2 cifras diferentes:

10 x ((6x5x4x3) / (1x2x3x4)) x 9 x 8 = 10.800.

Hemos calculado (en6. Los números formados por dos cifras.) la cantidad de números con sólo doscifras distintas; ellos se dividen en tres categorías.

Números con un quinterno (cifra repetida 5 veces) y otra cifra:

10x9x6 = 540.

Números con un cuadrado y una pareja:

10 x 9 x ((6x5) / (1x2)) = 1.350.

Números con dos berlangas:

((10x9) / (1x2)) x ((6x5x4) / (1x2x3)) = 900



Por último, la cantidad de números formados mediante una sola cifra (comprendiendo 000.000, peroevitando contar 333 por ejemplo, que debe escribirse 000.333) es igual a 10.

CUADRO I

Número de cifras

diferentes Ejemplo

Número para cada

ejemplo

Número total para cada

número de cifras diferentes

6 327689 151.200 151.200

5 327683 453.600 453.600

4327376

327336

226.800

100.800 327.600

3

071701

007017

723777

10.800

43.200

10.800

64.800

2

556555

556565

556566

540

1.350

900 2.790

1

333333

o

000000 10 10

Total 1.000.000 1.000.000

Muchos lectores se sorprenderán de estos resultados, que son, sin embargo, indiscutibles. Puesto quesólo hay seis bombos y diez cifras, podría esperarse como caso más frecuente aquel en que cada

bombo diera una cifra diferente a la de los otros; pero esto sólo ocurre unas 15 veces de cada 100,mientras que en más de 45 sobre 100 una misma cifra se ha obtenido dos veces y que unas 33 veces decada 100 sólo se han logrado 4 cifras diferentes, tanto si 2 de ellas sale cada una 2 veces (casi 23 veces

de cada 100), como si una misma cifra sale 3 veces (unas 10 veces de cada 100).



Fijándonos en un solo sorteo de la lotería, sucederá a menudo que las proporciones de los númerosganadores con 6, 5, 4, 3 cifras distintas, respectivamente, serán bastante diferentes de las proporcionesque se acaban de calcular; pero si se considera un número bastante elevado de sorteos que comportenun centenar o, preferentemente, varios centenares de premios importantes, podremos ver que lasproporciones se asemejan mucho a las que resultan de nuestro Cuadro. Se comprobará,

principalmente, que el caso más frecuente, y que suministra casi la mitad de los números premiados,es aquel de los números en los cuales una sola cifra, sólo una, se encuentra repetida dos veces. Claroestá que en estas enumeraciones no podrán despreciarse los ceros que deben figurar a la izquierda, demanera que todos los números tengan exactamente seis cifras.

36.Resultados relativos a las repeticiones de una cifra en particular.— Es interesante confrontar losresultados que acabamos de obtener con los que se logran cuando fijamos nuestra atención en unacifra particular, por ejemplo la cifra 7, y cuandose colocan los números según el número de veces quecontengan tal cifra.

Números que no contienen la cifra 7. — Cada una de las seis cifras de estos números puede ser elegidaarbitrariamente de entre las otras 9 cifras. La cantidad de estos números es

9x9x9x9x9x9 = 96 = 531.441.

Números que contienen una sola vez la cifra 7. — Puede escribirse la cifra 7 en uno cualquiera de los seislugares, y luego, en cada uno de los cinco restantes, escribir una cualquiera de las otras 9 cifras; elnúmero de combinaciones será

6x9x9x9x9x9 = 6x 96= 354.294.

Números que contienen solamente dos veces la cifra 7. — Los dos 7 podrán ser colocados de ((6x5) / (1x2))

= 15 maneras distintas y, en cada uno de los otros 4 lugares, podrá inscribirse una de las otras 9 cifras.Su número de combinaciones será

15x9x9x9x9=15x94 = 98.415.

Números en que la cifra 7figura tres veces. — Los tres 7 pueden ser colocados ((6x5x4) / (1x2x3)) = 20distintasmaneras, obteniéndose en total



20x9x9x9 = 20x93= 14.580 combinaciones.

Números que contienen cuatro veces la cifra7. — Hay 15 lugares posibles para los cuatro 7, en total

15x 9x 9 = 1.215 combinaciones.

Números conteniendo cinco veces la cifra7. — Se obtienen en total

6 X 9 = 54 combinaciones.

Finalmente, existe un solo número, el 777.777, que comprende seis veces la cifra 7.

En el Cuadro II resumimos los resultados obtenidos.

CUADRO II

Número de cifras 7 Cantidad de números

0 531.441

1 354.294

2 98.415

3 14.580

4 1.215

5 54

6 1

Total 1.000.000



En el Cuadro II puede observarse que los números obtenidos son los términos del desarrollo de lasexta potencia del binomio 9+1:

(9 + 1)6 = 96 + 6x95 + 15x94 + 20x93...

El Cuadro II da lugar a varias observaciones interesantes.

Ante todo, puede observarse que hay más de la mitad de los números (531.441 sobre un millón) queno contienen la cifra 7. Sin embargo, se hacen seis sorteos, en cada uno de los cuales la probabilidad desalir el 7 es de una décima; la suma deestas probabilidades es de seis décimas y superior a una mitad.Ello indica que las probabilidades no deben ser sumadas sin circunspección. Lo que sí puede sumarseson las esperanzas matemáticas, es decir, las probabilidades de ganar de un jugador que apostara paraque saliera la cifra 7. Invirtiendo este jugador un dólar, se le deben dar equitativamente 10 dólarescuando salga el 7. Si se hacen 6 sorteos a la vez, deberá invertir 6 dólares, recibiendo tantas veces 10dólares como veces salga la cifra 7.

El Cuadro II indica que hay casi 53 posibilidades de cada 100 de perder sus 6 dólares, algo más de 35de cada 100 de ganar 10, unas 10 de cada 100 de recibir 20, 14 de cada 1.000 de recibir 30 y casi una

posibilidad de cada 1.000 de ganar 40 dólares. Estas posibilidades de ganancia, relativamente elevadas,compensan el hecho de que pierda má6 de una vez de cada dos su apuesta de 6 dólares.

Consideremos ahora el caso en que la cifra 7 aparezca más de una vez; sobre un millón de números,hay 98.415 pares de 7, 14.580 berlangas de 7, 1.215 cuadrados de 7 y 54 quinternos de 7.

Como sea que puede razonarse, para cada una de las diez cifras, exactamente como lo hemos hechocon la cifra 7, vemos que en el conjunto del millón de números existen 984.150 parejas, es decir, casi unmillón. Sería erróneo deducir de ello que casi todos los números comportan un par. El Cuadro I nosseñala que sólo hay 453.600 números que llevan una sola pareja; para obtener el número total de pareses preciso tener en cuenta los números de 2 o 3 pares y aquellos en los que la pareja va acompañada deuna berlanga o de un cuadrado. El Cuadro I nos da:735.750 números comprendiendo, en total, 984.150pares

Pares

453.600 números con un solo par 453.600

226.800 dos pares 453.600



10.800 tres pares 32.400

43.200 un par y una berlanga 43.200

1.350 un par y un cuadrado 1.350

735.750 Números comprendiendo, en total, 984.150

El resultado concuerda bien con el que habíamos deducido del Cuadro II, lo que confirma la exactitudde nuestros cálculos.

Igualmente, del Cuadro II se saca la consecuencia de que hay, en total, 145.800 berlangas que, según el

Cuadro I, se desglosan así:

100.800 números con una sola berlanga 100.800

43.200 una berlanga y un par 43.200

900 dos berlangas 1.800

Total 145.800

Por último, según el Cuadro II, hay 12.150 cuadrados en total, de los cuales 10.800 van solos y 1.350acompañados de un par, según el Cuadro I.

Para terminar, señalemos una curiosa consecuencia de las cifras del Cuadro II.

Supongamos que un jugador apuesta para que salgan pares y que se le prometen 10 dólares tantas

veces como pares contenga el número que salga. Si juega un millón de veces y salen todos losnúmeros, habrá en total 984.150 pares, o sea, cerca de un millón. Así, si su apuesta es de 10 dólares.el

juego puede resultarle perfectamente equitativo; el organizador de la lotería, que se ha comprometidoen pagar 10 dólares por cada par salido, únicamente se reserva un beneficio del 15 al 16% o sea,alrededor del 1’5%. Merece señalarse que el juego puede resultar también equitativo, conviniendo quecada terno, cuadrado, quinterno o séxtuple será pagado, no en 10 dólares al igual que la pareja, sinosolamente en un dólar. Según el Cuadro I, el número total de ternos, cuadrados, quinternos yséxtuplos para la cifra 7 es

14.580 +1.215 + 54 +1 = 15.850.



El número total sería 10 veces mayor para el conjunto de las cifras, pero, si en cada una de estas salidassólo entregamos la décima parte de lo apostado (1 dólar en lugar de 10), deberemos añadir 15.850 a984.150, lo que suma exactamente un millón.

Este resultado tan destacable es una consecuencia de la siguiente relación, que nuestros lectores notendrán dificultad en demostrar:

150x94+ (106-96 -6x95-15x94) = 106.

Así, resulta perfectamente equitativo el siguiente juego: Pedro entrega 10 dólares a Pablo antes delsorteo y, si el número ganador del primer premio contiene pares, Pablo da a Pedro tantas veces 10dólares como pares haya; si en vez de pares, o junto a ellos, una cifra se repite más de dos veces, Pabloda a Pedro un dólar para cada uno de estos grupos que tienen más de dos cifras idénticas (ternos,cuadrados, quintemos o séxtuplos). Así, las ganancias posibles de Pedro son las siguientes(de dondesería preciso deducir su apuesta, igual a 10 dólares):

Un par 10 dólares Una berlanga 1 dólares

Dos pares 20 Dos berlangas 2

Tres pares 30 Un cuadrado 1

Un par y una berlanga 11 Un quinterno 1

Un par y un cuadrado 11 Un séxtuplo 1



APÉNDICE II

SOBRE LA FÓRMULA DE POISSON

37.Fórmula de Poisson. — Esta fórmula da a conocer las probabilidades relativas a los

acontecimientos fortuitos que se suceden sin otra ley que la existencia reconocida de alguna frecuenciamedia.Por ejemplo, si una ruleta funciona al compás de una vez por minuto, cada número, por ejemploel 17, saldrá en un promedio de una vez cada 37 minutos: es la frecuencia media22. Algunos fenómenosde relativa importancia quedan englobados en esta definición; tal es el caso de las emisiones departículas correspondientes a la desintegración de algunas moléculas correspondientes a laradiactividad; para una masa dada de radio, el número medio de átomos desintegrados durante ciertointervalo de tiempo es una constante bien determinada.

Los intervalos de tiempo se pueden representar, en una línea recta, por longitudes proporcionales; enlugar de hablar de la distribución de los acontecimientos en el tiempo, se podrá hablar de ladistribución de los puntos en la línea recta; estos pueden ser considerados como repartidos al azar, con

la única condición de que sudensidad mediaes constante, siendo esta el número de puntos por unidadde longitud; si se expresa por la letrad,el número de puntos situados en una longitudaserá,en promedio, ad.

Consideremos, pues, un intervalo de tiempo, o una parte determinada de la recta, y designemos porb= ad el número medio de acontecimientos o de puntos que pueden ser observados en el intervalo detiempo dado o en la parte señalada de la recta. En general, este númerob no es un número entero;incluso en el caso en que lo sea, no siempre se observará precisamente dicho número. La ley dePoisson da a conocer la probabilidad para que se observen precisamenten acontecimientos (onpuntos) en lugar del número medio 6; esta probabilidad P es:

(1)P =e-bx (bn / n!)

Tal es la fórmula de Poisson, en la quee designa, según costumbre, la base de los logaritmosneperianos (e = 2’718281828...).

22En realidad, la ley de Poisson es (na ley lmi"e '(e slo se apli#ara de (na manera rig(rosa si nos p(diésemos imaginar (na r(le"a a (n

#ompás #ada *es más rápido, mien"ras '(e los n2meros posibles seran #ada *ea más n(merosos. Por e<emplo, en (na r(le"a de 6++ n2meros

'(e &(n#ionara (na *ea por seg(ndo, #ada n2mero saldra, en promedio, #ada die min("os.



En el caso en queb = 1, la fórmula (1) resulta:

(2)P = 1/e x 1/n!

Según esta fórmula (2) se han calculado los números dados en el Capítulo IV.

En efecto, se tiene

1/e= 0’36788...

y las fórmulas (1) y (2) se aplican también en el caso en quen = 0, a condición de reemplazar, enestecaso, an! por la unidad.

(Se sabe quen! designa el producto de losnprimeros números enteros; se tiene (n + 1)! =(n + 1) xn!y,si en esta fórmula se hace quensea igual a 0, se deduce perfectamente que 0! = 1.)

38.Problema de la espera en la ventanilla. —Gracias a la fórmula de Poisson (y a otros cálculos) hanpodido ser obtenidos los resultados indicados en el Capítulo IV con respecto al problema de la esperaen la ventanilla. Admitamos que el número de clientes en la ventanilla sea deN por día y que cadacliente permanezcaa minutos; supongamos que el productoNa es inferior a la duración totalD deapertura en la ventanilla; más concretamente, queNa =Dσ, siendoσ un número inferior a la unidad.

Tal como ya hemos expuesto, se puede dividir el número de clientes en series, estando formada cadauna de ellas por clientes que se suceden sin interrupción, mientras que en el intervalo de dos series elacceso a la ventanilla queda libre. La probabilidad de que una serie esté compuesta den clientes vienedada por la fórmula23

Pn =e-nσ x σn-1 x (nn-2 / (n-1)!)

De esta fórmula se deducen los resultados numéricos dados en el Capítulo IV.

23Para la demos"ra#in *er Borel, E., 'ur l(emploi du theorems de )ernouilli, pour le calculd(uneinfinité de coefficients&&

Applicationauprobl*med(attente + un guichet, in&ormes de la A#ademia &ran#esa de 8ien#ias, maro de 194.



TÍTULOS PUBLICADOS

* Volumen extra,en color

1Carl SaganLaconexióncósmica

2Isaac AsimovIntroducciónalaciencia (I)

3Elfuturode la exploración del espacio *

4Isaac AsimovIntroducciónalaciencia (II)

5Bertrand Russell ABCdelarelatividad

6Isaac AsimovFotosíntesis

7C. RaynerLa mente humana *

8Desmond MorrisElmonodesnudo

9AlvinTofflerLa tercera ola(I)

10AlvinTofflerLa tercera ola(II)

11Richard LeakeyLaformacióndelahumanidad(I)*

12Werner HeisenbergLa imagen de la naturaleza en la física actual

13Pierre P. GrasséEl hombre,ese dios en miniatura

14David DicksonTecnologíaalternativa

15Richard LeakeyLaformacióndelahumanidad(II)*

16Stephen Jay GouldElpulgardel panda

17Walter C. PattersonLaenergíanuclear

18Erwin Schrödinger¿Que es la vida?

19C. RaynerElcuerpohumano (I)

20Jacques MonodElazarylanecesidad

21 Stephan L. Choro verDel Génesis algenocidio



22J. E. LovelockGaia, una nueva visión de la vida sobre la Tierra

23C. RaynerElcuerpohumano(II)*

24Desmond MorrisElzoohumano

25K. Lorenz y otros Hombreyanimal

26Charles Sherrington HombreversusNaturaleza

27K. GatlandExploracióndelespacio(II)*

28Robert Fouet/Charles PomerolLasmontañas

29Paul ColinvauxPor qué son escasas las fieras

30F. Jacob y otrosBiologíamolecular

31K. GatlandExploracióndelespacio(III)*

32Alan Ross AndersonControversiasobre mentes y máquinas

33Pierre GeorgeElmedioambiente

34Xavier Le Pichón/Guy PautotEl fondo de los océanos

35K. GatlandExploracióndelespacio (IV)*

36 H. J. EysenckRaza,inteligencia y educación

37FernandMoreau Alcaloidesyplantasalcaloideas

38Bruce A. BoltTerremotos

39R. Hardy, P. Wright,

J. Gribbin, J. KingtonEl libro del clima (I)*

40Recopilación de artículos de La RECHERCHE Astrofísica

41Sydney P. ClarkLa estructura de la Tierra

42Recopilación de artículos de La RECHERCHELas nuevas energías

43R. Hardy, P. Wright,

J. Gribbin, J. KingtonEl libro del clima (II)*

44H. J. EysenckExperimentosen terapia de la conductaI.Inhibición recíproca

45H. J. EysenckExperimentosen terapia de la conductaII. Métodos de condicionamiento



46H. J. EysenckExperimentosen terapia de la conductaIII.Experimentación con niños

47R. Hardy, P. Wright,J. Gribbin, J. KingtonEl libro del clima (III)*

48 Tom LogsdonRobots: una revolución

49 B. F. SkinnerSobre el conductismo

50H. Takeuchi/S. Uyeda/H. Kanamori¿Qué es la Tierra?

51Desmond MorrisEl hombre al desnudo (1)*

52Paul Chovin/André RoussellLa polución atmosférica

53Pierre Rousseau Astronomíasin telescopio

54Félix TrombeLas aguas subterráneas

55Desmond MorrisElhombre al desnudo (II)*

56A. R. LuriaEl cerebro en acción (I)

57A. R. LuriaEl cerebro en acción (II)

58D. H. Tarling/M. P. TarlingDerivascontinentales

59Desmond MorrisElhombre al desnudo (III)*

60Pierre RousseauLa luz

61Stephen J. GouldLafalsa medida del hombre

62Jean-Jacques MatrasEl sonido

63Desmond MorrisElhombre al desnudo (IV)*

64Richard FeynmanEl carácter de la ley física

65Michel BégueryLaexplotacióndelos océanos

66Ivan P. Pavlov Actividadnerviosasuperior

67Peter RodwellLibro básico del ordenador personal (I)*

68J.L. Cloudsley-ThompsonEl hombre y la biología de zonas áridas

69Y. Perelman Matemáticasrecreativas

70Philippe RenaultLaformacióndelascavernas

71 Peter RodwellLibro básico del ordenador personal (II)*



72Lloyd MotzEluniverso(Su principio y su fin)

73Joseph DekenLacasaelectrónica

74M. Mead,T. Dobzhansky y otrosLaCienciay el concepto de raza

75 Peter RodwellLibro básico del ordenador personal (III)*

76Isaac AsimovDelosnúmerosysuhistoria

77Alfred TomatisEloídoyellenguaje

78Henri y GenevieveTermierLosanimalesprehistóricos

79Fred HoyleIniciaciónalaastronomía(I)*

80Roland PratLa óptica

81Marie-Claude NoaillesLaevoluciónbotánica

82André WarusfelLasmatemáticasmodernas

83Fred HoyleIniciaciónalaastronomía(II)*

84 Carl Wood /Ann WestmoreFecundación «in vitro»

85Pierre-Julien Le ThomasLametalurgia

86Jules CarlesLafecundación

87Brian StablefordElhombrefuturo(I)*

88AndréeGoudot-PerrotCibernéticaybiología

89Georges Aubert/Jean BoulaineLaedafología.Elmundoenelquevivimos

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Brian StablefordEl hombre futuro

Albert EinsteinContribuciones a la ciencia

Carl Sagan/I. S. ShklovskiiVida inteligente en el Universo



Este libro se terminó de imprimir en los talleres de Printer, industria gráfica, sa de SantVicenc deisHorts, el día 15 del mes de

Diciembre de 1986

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Las Probabilidades Y La Vida