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Lattice‐Boltzmann: metodi cinetici per lafluidodinamica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDIDI CASSINO E DEL LAZIO MERIDIONALE
‐
fluidodinamica
Università di Cassino
26 giugno 2015
Prof. Stefano Ubertini
XXX CORSO DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE, MECCANICA E BIOMECCANICA
FLUIDODINAMICA
• Fluidodinamica = studio della dinamica dei fluidi
• Osservazione = fluido come mezzo continuo caratterizzato da proprietà cinematiche (velocità) e termodinamiche
Università di Cassino26 Giugno 2015
Il Metodo LBMProf. Stefano Ubertini
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e termodinamiche• Problema fluidodinamico = risoluzione di equazioni (modello matematico) per determinare le proprietà del fluido (velocità, pressione, densità e temperatura) in funzione dello spazio e del tempo.
IPOTESI DEL CONTINUO
• Ipotesi del continuo = fluido come un continuo– Le proprietà intensive del fluido (densità, temperatura, pressione, velocità) definite ad una scala di lunghezze infinitesima ⇒ variano con continuità da un punto ad un altro.
• Fluidi = composti da un numero elevato (pur • Fluidi = composti da un numero elevato (pur sempre discreto) di molecole che possono collidere tra loro o con corpi solidi.– La natura molecolare, discreta, del fluido viene ignorata.
– Kn=λ/L<<1 (libero cammino medio / lunghezza caratteristica)
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MODELLO MATEMATICO
• Principi fisici (imposta la condizione di continuo deformabile)– principio di conservazione della massa (equazione di continuità);
– secondo principio della dinamica (bilancio della – secondo principio della dinamica (bilancio della quantità di moto);
– primo principio della termodinamica (conservazione dell'energia).
• Equazioni di “bilancio” dette equazioni di Navier-Stokes
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SIMULAZIONE FLUIDODINAMICA (CFD)
MODELLO MATEMATICO
(EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI)
OSSERVAZIONE: PRINCIPI FISICI
APPROSSIMAZIONE DISCRETA (SPAZIO E TEMPO)
(DIFFERENZE FINITE, VOLUMI FINITI, ELEMENTI FINITI)
RISOLUZIONE NUMERICA
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MODELLAZIONI FLUIDI
MACROSCOPICOMACROSCOPICO MICROSCOPICOMICROSCOPICO
INSIEME DI
MOLECOLEINSIEME DI
MOLECOLE
DINAMICA
MOLECOLARE
IPOTESI DEL
CONTINUO
EQUAZIONI
NAVIER-STOKES
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MOLECULAR DYNAMICS
• Dinamica molecolare = N molecole interagenti l’una con l’altra si muovo all’interno del dominio
• Assunzione=molecole puntiformi ⇒ leggi della puntiformi ⇒ leggi della dinamica
N~Numero di Avogadro=6,023x1023( )
NiFdt
vmd
vdt
dx
i
ii
ii
,......,1:,=
=
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DINAMICA ESATTA NECESSARIA?
• Abbiamo bisogno di conoscere la dinamica esatta di ogni molecola per descrivere il comportamento di un fluido?Assolutamente NOAssolutamente NO
• Le varabili fisiche a cui siamo interessati • Le varabili fisiche a cui siamo interessati risultano dalla mediamedia del comportamento di un grande numero di molecolegrande numero di molecole
• Similitudine dinamica: Re ⇒ due fluidi differenti a parità di Re si comportano “macroscopicamente” allo stesso modo
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MODELLAZIONI FLUIDI
MACROSCOPICOMACROSCOPICO MICROSCOPICOMICROSCOPICO
INSIEME DI
MOLECOLE
MESOSCOPICOMESOSCOPICO
INSIEME DI
MOLECOLE
INSIEME DI
MOLECOLE
DINAMICA
MOLECOLARE
NO DETTAGLI
STATISTICA
TEORIA CINETICA
EQ. BOLTZMANN
IPOTESI DEL
CONTINUO
EQUAZIONI
NAVIER-STOKES
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FILOSOFIA METODI CINETICI
o Risolvere il campo fluidodinamico macroscopico con un approccio mesoscopico (tra micro and macro) cinetico mesoscopico (tra micro and macro) cinetico cheche “preserva” i preserva” i
principi di conservazioneprincipi di conservazione
Approccio statistico (proprietà=media statistica)
),,( tcxffrr
=
Funzione distribuzione o popolazione = Probabilità di trovare una molecola attorno alla posizione dello spazio x al tempo t con una certa velocità c
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BOLTZMANN EQUATION (BE)
o 1872: Equazione di Boltzmann (evoluzione di f in termini delle interazioni microscopiche)
Qfcft =∇⋅+∂
• La densità delle particelle in una certa posizione dello spazio varia perché le particelle interagiscono: operatore di collisione
• Velocità delle particelle ≠ Velocità fluido
( ) ),,(:,,,,: tcxffBEtxuTPNSrrr
=ρ
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LATTICE BOLTZMANN EQUATION
NiQfcf iiiit ,0==∇⋅+∂
Spazio delle velocità Spazio delle velocità ridotto ad un numero discretonumero discreto: in ogni punto dello spazio le particelle possono muoversi solo lungo alcune direzioni
“Real” microdynamics Fictive microdynamics on a lattice“Real” microdynamics Fictive microdynamics on a lattice
2D 9-bit model (D2Q9)
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DISCRETIZZAZIONE SPAZIO VELOCITÀ
La scelta non è arbitraria!!
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MODELLI “LATTICE”
NiQfcf iiiit ,0==∇⋅+∂
Spazio delle velocità Spazio delle velocità ridotto ad un numero discretonumero discreto: in ogni punto dello spazio le particelle possono muoversi solo lungo alcune direzioni
o Ci sono molti differenti schemi per problemi 2D e 3D
o Magic speeds!: 2D→9 velocities (D2Q9) N
S
EW
NW NE
SW SE
3D →19 velocities (D3Q19)
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NiQfcf iiiit ,0==∇⋅+∂
OPERATORE DI COLLISIONE
o L’operatore di collisone descrive l’interazione tra le molecole e la probabilità che due o più particelle si trovino nell’intorno della stessa posizione allo stesso istante tistante t
o Lo stesso Boltzmann partì non solo dall’assunzione che la collisione fosse binaria localizzata ⇒ Q=Q(f,f) ma anche dalla non-correlazione tra due molecole che collidono (“caos” molecolare)
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COLLISIONE – EQUILIBRIO LOCALE
( )La collisione definisce il “rilassamento” all’equilibrio“rilassamento” all’equilibrio
EQUILIBRIO LOCALEEQUILIBRIO LOCALE⇒ feq
Annulla l’operatore di collisione Q(feq,feq)=0
( )uffeq ,ρ→
feq è una funzione delle grandezze macroscopiche in modo da conservare conservare
massa, quantità di moto e energia massa, quantità di moto e energia ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ distribuzione Maxwelldistribuzione Maxwell--
BoltzmannBoltzmann
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FROM LBE TO BGK
Operatore di collisione
1 ( )1
Qi f( ) ⇒ Aij fi − fieq( )
j=1
n
∑
ijij δτ
A1
→ ( )eq
iiiit ffτ
fcf −−=∇⋅+∂1
BGKBGK (Bhatnagar-Gross-Krook) [PHYS.REV. 94, 511, 1954]: Relaxation to equilibrium on a single time-scale τ
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COLLISIONE – EQUILIBRIO LOCALE
EQUILIBRIO LOCALEEQUILIBRIO LOCALE⇒ feq
Nel 1860 Maxwell dimostrò statisticamente che un sistema collisionale nonsoggetto a forze esterne è all’equilibrio spazialmente omogeneo con distribuzione sulle velocità del tipo:
−−=
RTRTf
eq
2
u)(eexp
2
2
π
ρ
T
RTRT 22π
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DISTRIBUZIONE MAXWELL-BOLTZMANN
0.0025
0.003
0.0035
0.004
Fra
cti
on
of
Mo
lec
ule
s
98 K
198 K
298 K
398 K
498 K
598 K
−−=
RTRTf
eq
2
u)(eexp
2
2
π
ρ
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0 500 1000 1500 2000
Speed (m/s)
Fra
cti
on
of
Mo
lec
ule
s
598 K
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MODELLO D2Q9
21 sc/=β
Distribuzioni di equilibrio: espansione al 2° ordine nellavelocità di Maxwell-Boltzmann:
( )[ ]
−⋅+⋅+= 22
21 uucucwf iii
eq
i
rrrr ββρ
w
4/9 i = 0
= 1/9 i = 1, 3, 5, 7
Set of discrete speeds ci (D2Q9):
( )[ ] ( )( )[ ] ( )
=−+
=−=
8,4254cos2
4,021cos
ii
iici ππ
πr
3
1=sc
weighting factor iw = 1/9 i = 1, 3, 5, 7
1/36 i = 2, 4, 6, 8
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MODELLI D3….
( )[ ]
−⋅+⋅+= 22
21 uucucwf iii
eq
i
rrrr ββρ
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DA BGK A NAVIER-STOKES
f1
f2
f3
f5f6
f7 f8
f0
nfff ,....,, 21
f4
uTPv
,,,ρ
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DA BGK A NAVIER-STOKES
o Si dimostra con l’espansione di Chapman-Enskong che si possono derivare le equazioni di Navier-Stokes a partire da LBGK fino al 2° ordine in Kn (e Ma)
o Come calcoliamo le variabili macroscopiche a partire dalle f?:
∑∑∫ ===i
eq
i
i
C
iffcdfρ
eq∑∑∫ ===111r
τυ 2
sc=
i
i
eq
i
i
i
C
cfcfcdcfui∑∑∫ ===
ρρρ
111r
o La pressione si ottiene dall’equazione di stato
2
scddP ⋅= ρ
o LBGK standard: Navier-Stokes isoterme e pocopoco--comprimibilicomprimibili 1<<Ma
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( )eq
iiiii ffτ
ttxftttcxf −
∆−=−∆+∆+ ),(),(
BGK DISCRETA
1° COLLISION
ict
x=
∆
∆( )eq
iiiit ffτ
fcf −−=∇⋅+∂1
1° COLLISION
( ) ( )ttxftttcxfiii ∆+=∆+∆+ ,, * rrr
2° STREAMING
( ) ( )[ ] τ/,,),(),(*txftxfttxfttxf
eq
iiii
rrrr−∆−=∆+
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ict
x=
∆
∆
STANDARD BGKN
S
EW
NW NE
SW SE
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STANDARD BGK
9-speed model (D2Q9) 7-speed model (D2Q7)
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BGK DISCRETA E’ MODELLO
( )τ
),(),(),(),(
txftxfttxftttcxf i
eq
iiii
−∆=−∆+∆+
1<<Ma
∆−=
2
2 tcs τυ
∑=i
ifρ
i
i
cfui∑=
ρ
1r
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1⇒c=1
( )2
13
21
Re2 −
=−∆
==ττυ
uL
tc
uLuL
s
ict
x=
∆
∆
τk
eq
kkkk
fftxftcxf
−=−++ ),()1,(
22
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
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MODELLO DI VELOCITÀ
2
13
6 5
i,ji+1,j
i-1,j+1i+1,j+1
i-1,j
i,j+1
47 8
i+1,j
i+1,j-1i-1,j-1
i-1,j
i,j-1
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio
( ) ( )8,....,0
),(2
3),(
2
9),(31),(,
22
=
−•+•+=
k
jiujiucjiucjiwjif kkk
eq
k
rρ
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
• Inizializzo il campo fluidodinamico (in f, ρ, u)• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione
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FASE DI COLLISIONE
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )jitjiftjif
tjiftjif k
eq
kkk ,
,,,,,,1,,* ∀
−+=+
τ
i-1,j+1i+1,j+1
i,j-1
i,ji+1,j
i+1,j-1i-1,j-1
i-1,j
i,j-1
Locale!!!i
j
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming
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FASE DI STREAMING
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]1,,1,1,1
1,,1,1,
1,,1,,1
1,,1,1,
1,,1,,1
*
5
*
4
*
33
*
22
*
11
4
+=+++
+=+−
+=+−
+=++
+=++
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif 2
4
13
6 5
7 8
i-1,j+1i+1,j+1
i,j+1
( )[ ] ( )[ ]M
1,,1,1,15 5+=+++ tjiftjif
i,ji+1,j
i+1,j-1i-1,j-1
i-1,j
i,j-1
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FASE DI STREAMING
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]1,1,11,,
1,1,1,,
1,,11,,
1,1,1,,
1,,11,,
*
5
*
4
*
33
*
22
*
11
4
+−−=+
+−=+
++=+
+−=+
+−=+
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
i-1,j+1i+1,j+1
i,j+1
2
4
13
6 5
7 8
Università di Napoli Federico II22 Aprile 2008
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( )[ ] ( )[ ]M
1,1,11,,5 5+−−=+ tjiftjif
i,ji+1,j
i+1,j-1i-1,j-1
i-1,j
i,j-1
COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
• Inizializzo il campo fluidodinamico
Università di Napoli Federico II22 Aprile 2008
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• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming• Calcolo grandezze fluidodinamiche P,ρ,ux,uy
CAMPO FLUIDO
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]1,,1,,
11,,
1,,1,,
8
0
,
8
0
++
=+
+=+
∑
∑
=
=
tjifctji
tjiu
tjiftji
k
kxkx
k
k
ρ
ρ
( )[ ]
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]3
1,,1,,
1,,1,,
11,,
1,,
8
0
,
0
+=+
++
=+
+
∑=
=
tjitjiP
tjifctji
tjiu
tji
k
kyky
k
ρ
ρ
ρ
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COSTRUZIONE DEL CODICE
• Fluidi incomprimibili ⇒ Analogia di Re• ∆x=1 ∆t=1• Si sceglie il modello di velocità (D2Q9) ⇒ è imposta la griglia
• Inizializzo il campo fluidodinamico• Calcolo distribuzione di equilibrio• Fase di collisione• Fase di streaming• Calcolo grandezze fluidodinamiche P,ρ,ux,uy
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CONDIZIONI AL CONTORNO
• Una delle principali difficoltà nella risoluzione numerica di problemi di flusso di fluidi è il trattamento delle condizioni al contorno
• In genere note in funzione di pressione e velocità ⇒ per le f?velocità ⇒ per le f?
• Un vantaggio per LBM è la semplicità delle condizioni al contorno.
• La più nota (anche se non la più utilizzata) è la condizione bounce-back (più spesso la half-way bounce-back)
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CONDIZIONI AL CONTORNOBOUNCE BACK
i,j i+1,j
i-1,j+1i+1,j+1
i-1,j
i,j+1 2
4
13
6 5
7 8
• Collisione calcolata con u
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]1,,1,,
1,,1,,
1,,1,,
*
86
*
75
*
42
+=+
+=+
+=+
tjiftjif
tjiftjif
tjiftjif
• Collisione calcolata con uwall• Osserviamo che al tempo successivo le popolazioni che erano entrate nel nodo di parete torneranno verso i nodi da cui provenivano ⇒ sono stati respinti indietro dal muro ⇒ da qui il nome “bounce-back”
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oo D2D2--Q9 Q9 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒SQUARE LATTICE SPACINGSQUARE LATTICE SPACING
ON Solid Body
GRIGLIA REGOLARE
Grid points
OFF
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BOUNDARY CURVI
• Trattamento dei boundary curvi con misto interpolazioni/bounce-back
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INFITTIMENTO
• LBM utilizza griglie cartesiane ⇒ infittimento della griglia utilizzando griglie regolari via via più piccole⇒ passaggio coarse-fine con interpolazioni
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GRID REFINEMENT
• Infittimento nelle zone di interesse
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MODELLI DI COLLISIONE AVANZATI
• Schema BGK: unico parametro di rilassamento τ ⇒instabilità numerica ad alti Re e con alti gradienti di pressione/velocità
• Maggiore stabilità (alti Re)– Multiple-relaxation (MRT)– Multiple-relaxation (MRT)
– Entropici (teorema H)
– Positivity enforcing (tecnica numerica)
( ) ( )∑=
−⇒b
j
eq
iiiji ffAfQ1
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ENTROPICO
• Basato sul teorema H di Boltzmann: il sistema evolve verso la massima entropia ⇒ l’equilibrio locale è individuato dal minimo della funzione H≡-S
( ) ( ) ( )[ ] ( )=−+⇒= ∫ :min,,ln,, α fHfffHHcdtcxftcxfHeq
( ) ( )[ ]
−∆=
∆+−∆++=∆+
2
11
,,),(),(
2
αβυ
αβ
tc
ttxfttxftxfttxf
s
i
eq
iii
rrrr
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FIXUP: POSITIVITY ENFORCING
( ) ( )[ ]
i
i
eq
i
eq
iii
fttxfftxf
ttxfttxftxfttxf
110),(00),(
/,,),(),(
−>⇒>∆+⇒>>
∆+−∆++=∆+
τ
τ
rr
rrrr
• Correzione locale di instabilità
( ) ( )[ ] effi
eq
iii
i
eff
ttxfttxftxfttxf
f
τ
ττ
/,,),(),(
11;min
∆+−∆++=∆+
−=
rrrr
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TURBOLENZA
• Turbulence modeled via a modified relaxation time
turbeff
111+=
τττ
( ) ( )[ ]
ijij
s
tturb
s
turb
effi
eq
iii
turbeff
SSLc
CSmag
k
c
Ck
ttxfttxfttxfttxf
22
1
/,,),(),(
2
22=⇒+=⇒−
∆+−∆+∆+=∆+
τε
τε
τ
τττ
µ
rrrr
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VANTAGGI E APPLICAZIONI
� Semplice (propag. e collisione) ⇒ basso costocomputazionale
� Propagazione lineare e non-linearità locale nello spazio
� Condizioni al contorno semplici� Condizioni al contorno semplici
�� Facilità nella parallelizzazioneFacilità nella parallelizzazione
� Aerodinamica (POWERFLOW)
� Flussi multifase
� Flussi in mezzi porosi
� Microfluidica
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