Lavori di gruppo per il corso di Storia della

Matematica

Irene Maria Cedroni Chiara SenatoreGiulia Giulimondi

3 maggio 2017

Introduzione

1. Costruire con GeoGebra la prima e la seconda curva disegnate dal com-passo di Cartesio cioe, con riferimento alla figura, la curva tracciata daipunti D ed F.

set6.png

1

2. Determinare le equazioni della prima e della seconda curva di Cartesio:

si prenda un punto P0 variabile su una circonferenza di centro O. Sifissi una retta r passante per il centro della circonferenza.

Per ogni punto Po si consideri la semiretta OP0, la retta P0A1, perpen-dicolare a OP0 e la retta A1P1 perpendicolare a r. Il luogo dei punti P1

descrive una curva la cui equazione, scegliendo come origine il centrodella circonferenza, come asse delle x la retta r e come unita il raggiodella circonferenza, si determina che posto x = OA1 e y A1P1 allorax2+y2 = OP 2

1 Ma OP1 OP0 = OA21 ed essendo OP0 = 1 allora si ricava

che OP1 = x2 quindi l’equazione della curva e di quarto grado e ed e’

2

x2 + y2 = x4 iterando il procedimento si imposta che per ogni puntoP1 di coordinate (a,b) della curva ottenuta si costruisce la retta OP1,la sua perpendicolare P1A2 e la perpendicolare ad r P 2

2A22. il luogo

descritto da P2 e una nuova curva la cui equazione si calcola a partiredall?equazione precedente.

Si ha ,essendo simili i triangoli OP1A2 e OP2A2, bx-ay=0 Si consideriora il triangolo rettangoloP1A2P2 risulta P1A

22 = by mentre valutando il

triangolo rettangolo OP1A2, P1A22 = x(x-a). Percio si ottine ax+by=x2.

Si ricavano da queste equazioni a e b in funzione di x e y: a= x

3

x

2+y

2

e b= x

2y

x

2+y

2 . Sostituendo i valori ottenuti nell’equazione della curva si

ricava a2 + b2 = a4 . In questo modo si trova l’equazione del secondo

3

luogo : ( x

3

x

2+y

2 )2 + ( x

2y

x

2+y

2 )2 = ( x

3

x

2+y

2 )4 cioe (x2+y2)3=x8 che e di grado8.

3. Dati i segmenti a e b, determinare, con il compasso di Cartesio, duemedie proporzionali tra a e b, ovvero due segmenti x e y tali chea:x=x:y=y:b.

L’immagine mostra una sequenza di triangoli rettangoli simili: YBC,YCD, YDE, YEF, YFG, YGH etc. Iper i quali si puo ricavare laproporzione YB:YC=YC:YD=YD:YE=YE:YF=YF:YG etc.

In particolare per la ricerca di due medi proporzionali e su�ciente in-terrompere il processo ossia: YB:YC=YC:YD=YD:YE dove i segmentiYC e YD sono i due medi proporzionali tra YB e YE. Dunque, asse-gnati due segmenti a e b basta predisporre un compasso in cui risultaYA=YB=a e individuare su YZ un punto T tale che YT=b. Variandopoi l’angolo ZYX in modo continuo, bisogna portare il punto E a coin-cidere col punto T. I segmenti ottenuti sono i due medi proporzionalicercati.

4