Lavori di gruppo per il corso di Storia della
Matematica
Irene Maria Cedroni Chiara SenatoreGiulia Giulimondi
3 maggio 2017
Introduzione
1. Costruire con GeoGebra la prima e la seconda curva disegnate dal com-passo di Cartesio cioe, con riferimento alla figura, la curva tracciata daipunti D ed F.
set6.png
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2. Determinare le equazioni della prima e della seconda curva di Cartesio:
si prenda un punto P0 variabile su una circonferenza di centro O. Sifissi una retta r passante per il centro della circonferenza.
Per ogni punto Po si consideri la semiretta OP0, la retta P0A1, perpen-dicolare a OP0 e la retta A1P1 perpendicolare a r. Il luogo dei punti P1
descrive una curva la cui equazione, scegliendo come origine il centrodella circonferenza, come asse delle x la retta r e come unita il raggiodella circonferenza, si determina che posto x = OA1 e y A1P1 allorax2+y2 = OP 2
1 Ma OP1 OP0 = OA21 ed essendo OP0 = 1 allora si ricava
che OP1 = x2 quindi l’equazione della curva e di quarto grado e ed e’
2
x2 + y2 = x4 iterando il procedimento si imposta che per ogni puntoP1 di coordinate (a,b) della curva ottenuta si costruisce la retta OP1,la sua perpendicolare P1A2 e la perpendicolare ad r P 2
2A22. il luogo
descritto da P2 e una nuova curva la cui equazione si calcola a partiredall?equazione precedente.
Si ha ,essendo simili i triangoli OP1A2 e OP2A2, bx-ay=0 Si consideriora il triangolo rettangoloP1A2P2 risulta P1A
22 = by mentre valutando il
triangolo rettangolo OP1A2, P1A22 = x(x-a). Percio si ottine ax+by=x2.
Si ricavano da queste equazioni a e b in funzione di x e y: a= x
3
x
2+y
2
e b= x
2y
x
2+y
2 . Sostituendo i valori ottenuti nell’equazione della curva si
ricava a2 + b2 = a4 . In questo modo si trova l’equazione del secondo
3
luogo : ( x
3
x
2+y
2 )2 + ( x
2y
x
2+y
2 )2 = ( x
3
x
2+y
2 )4 cioe (x2+y2)3=x8 che e di grado8.
3. Dati i segmenti a e b, determinare, con il compasso di Cartesio, duemedie proporzionali tra a e b, ovvero due segmenti x e y tali chea:x=x:y=y:b.
L’immagine mostra una sequenza di triangoli rettangoli simili: YBC,YCD, YDE, YEF, YFG, YGH etc. Iper i quali si puo ricavare laproporzione YB:YC=YC:YD=YD:YE=YE:YF=YF:YG etc.
In particolare per la ricerca di due medi proporzionali e su�ciente in-terrompere il processo ossia: YB:YC=YC:YD=YD:YE dove i segmentiYC e YD sono i due medi proporzionali tra YB e YE. Dunque, asse-gnati due segmenti a e b basta predisporre un compasso in cui risultaYA=YB=a e individuare su YZ un punto T tale che YT=b. Variandopoi l’angolo ZYX in modo continuo, bisogna portare il punto E a coin-cidere col punto T. I segmenti ottenuti sono i due medi proporzionalicercati.
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