Lavoro ed energia

Lavoro di una forza Teorema dell’energia cinetica

Forze conservative Conservazione dell’energia

Consideriamo una forza F applicata ad un punto

materiale P che si sposti di una quantità s lungo una

traiettoria rettilinea.

Lavoro di una forza

Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il

suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto

scalare:

L = F·s=F s cos θ = Fs s  

θ  

F  

s  P  

Casi particolari

•  L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s •  L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0

•  L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s

È  la  componente  della  forza  lungo  lo  spostamento  l’unica  a  compiere  lavoro!  

In generale…

Il lavoro può essere positivo (la componente della forza lungo lo spostamento ha lo stesso verso del primo) o negativo ( la componente della forza lungo lo spostamento ha verso opposto al primo)

Lavoro per un percorso generico

Si scompone il lavoro in lavori infinitesimali lungo il percorso, e il lavoro totale è dato dalla somma

di questi contributi

L = L1+L2+L3 + … = Σi Li

Unità di misura del lavoro

Nel SI il lavoro si misura in Joule:

L = F · Δs  

1 J = 1 N · m

Non è semplice definire il concetto di energia, ma in generale si intende la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro.

L’energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l’energia che un corpo

possiede per il fatto che si muove.

Trattandosi di una grandezza omogenea al lavoro, si misura in J nel SI.

Concetto di energia

Data una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare:

K = ½ mv2

Secondo il teorema dell’energia cinetica o

delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove (di moto accelerato dato che agisce una forza…)

è uguale alla variazione di energia cinetica:

L = ΔK = Kf - Ki = ½ mvf2 - ½ mvi

2 = ½ m(vf2 - vi

2)

Teorema dell’energia cinetica

Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo δt, in cui il punto materiale percorre uno spazio

anch’esso infinitesimo δs. In questo intervallo il moto sarà uniformemente

accelerato, per cui la velocità media sarà data dalla media aritmetica delle velocità iniziale e finale.

L = F⋅Δs = ma⋅vmΔt = m(vf-vi/Δt)⋅(vf+vi/2)Δt =

= ½ m(vf-vi)⋅(vf+vi) = = ½ mvf

2 - ½ mvi2 = Kf – Ki = ΔK

Diretta conseguenza della 2a legge della dinamica:

F=ma

Teorema dell’energia cinetica: derivazione

1)  v=v0+a(t-t0) t-t0 = v-v0/a

2)  s=s0+v0(t-t0)+½a(t-t0)2

s=s0 + v0 (v - v0) /a + ½ (v - v0)2 / a

s=s0 + (2 v0 v – 2 v0 2 + v2 – 2 v0 v + v0

2)/2 a

s – s0 = (v2 – v02)/2a a(s – s0)=1/2(v2 – v0

2)

Seconda derivazione. Moto uniformemente accelerato

Lavoro di una forza variabile

Teorema dell’energia cinetica derivato e valido per accelerazione costante.

F=ma

  Anche la forza è costante.

Come si calcola il lavoro fatto da una forza variabile?

Vale il teorema dell’energia cinetica?

Lavoro di una forza variabile

Il teorema dell’energia cinetica è valido anche nel caso di forze variabili

Una forza variabile nel piano F-x descrive

un’area che può essere approssimata

come somma di “rettangoli di forza

costante”.

La sommatoria Σ di questi triangoli, quando la base Δx tende a zero, si

chiama integrale e si indica con ∫  

Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L

dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B.

Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita

(si conserva la differenza di energia, e quindi il lavoro)  

Forze conservative

Forze non conservative   Forze conservative  

Forze conservative: forza peso

Calcolare il lavoro fatto dallo scalatore contro la forza gravitazionale per spostare un peso di massa m=15 Kg ad una altezza h di 10 m. La pendenza della salita è γ= π/2 - θ = 30°

Esempio/problema

m=15 Kg h=10 m θ1=π/3 d1=20 m L1=? θ2=π/6 d2=11.55 m L2= ?

Quando si trasporta qualcosa ad un’altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello!

θ2=π/6  θ1=π/3  

Esempio/problema

Energia potenziale

Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione, l’energia potenziale U, tale che:

L = Ui - Uf = -ΔU (teorema dell’energia potenziale)

L’energia potenziale o posizionale di un corpo rappresenta l’energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l’azione di una

forza di tipo conservativo.

Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).

Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative.

Per il teorema dell’energia cinetica: L = ΔK

Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU

Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0

Se indichiamo con E l’energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0

Principio di conservazione dell’energia (meccanica): L’energia si può trasformare da una forma all’altra,

ma l’energia totale di un sistema si conserva Non è dimostrabile ma al momento non ci sono

casi in cui l’energia non viene conservata Generalizzabile a tutte le forme di energia!

Conservazione dell’energia meccanica

La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a:

U = Ph = mgh Energia posseduta da un corpo ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv2 + m g h = costante

Energia potenziale gravitazionale

Energia potenziale gravitazionale

Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U = mgh = 1Kg ⋅  9.8 m/s2  ⋅  70 m = 686 J

h=70 m m=1 kg a=g=9.8 m/s2

v0= 0 m/s vfinale=? L=?

sssght finale 78.3

8.91402

===

v = a t = 9.8 ⋅  3.78 m/s = 37.04 m/s

K = 1/2 m v2 = 0.5 ⋅ 1 Kg ⋅ 37.042 m2/s2 = 686 J

Esercizio

s(t)=1/2 a t2

s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m

h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra

Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande

o piccola?

Esercizio

h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo a terra U=mgh=70Kg⋅9.8m/s2⋅6m=4116J Applicando il principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v2

=> v = 4116×2

70m / s =10.8m / s = 39km / h

Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande

o piccola?

La stessa!

ghm

mghv 22=

×=

Esercizio

Energia potenziale elastica

Per una forza di natura elastica

esiste una proporzionalità

diretta fra deformazione e

forza deformante:

F = -k x (legge di Hooke).

La forza elastica è una forza

conservativa a cui è associata

l’energia potenziale

U = ½ k x2.

La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E’ definita come il rapporto fra

il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:

P = ΔL/Δt

Potenza istantanea P = dL/dt = dK/dt = mv dv/dt = ma v = F ⋅  v

Nel SI si misura in Watt (simbolo W):

1 W = 1 J /s.

Il chilowattora (kWh) è un’unità di misura di energia: 1 kWh = 103 W 3.6 103 s = 3.6 106 J

Potenza

Un  atleta  di  60  Kg  sale  una  rampa  di  scale  alta  4.5  m  in  4.0  s  

Quanto  lavoro  compie?    Quanta  potenza  ha  impiegato?  

Esercizio

Un  atleta  di  60  Kg  sale  una  rampa  di  scale  alta  4.5  m  in  4.0  s  

Quanto  lavoro  compie?    Quanta  potenza  ha  impiegato?  

 L=mgh=60  Kg ⋅  9.8  m/s2 ⋅  4.5  m=2646  J  

W=L/Δt=2646  J  /  4  s  =  661.5  W  Cavallo  vapore=  potenza  per  sollevare  75  Kg  per  

1  metro  in  1  secondo  1  cavallo-­‐vapore=mgh/s=75 ⋅  9.8  Js=735  W  

In  Inghilterra  746  W!

Esercizio