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Statica
Equilibrio dei corpi Corpo rigido
Momento di una forza Condizione di equilbrio
Leve
La statica è la parte della meccanica che studia
l’equilibrio di un corpo materiale, ovvero le condizioni
necessarie affinché un corpo, inizialmente in quiete,
resti in quiete anche dopo l’intervento di forze esterne.
Statica
Nel corpo umano la conoscenza delle forze
agenti nei muscoli e nelle giunture è di grande
importanza per la medicina e la fisioterapia
Forza d’attrito Risultante macroscopica delle azioni tra molecole che si oppongono allo
scorrimento.
Quando proviamo a far scivolare un oggetto su un altro microscopiche protuberanze si oppongono al moto. Questo tipo di attrito
viene chiamato "attrito dinamico".
Quando un corpo è in moto lungo una superficie rugosa, la forza di
attrito dinamico agisce in direzione opposta alla velocità del corpo.
Il modulo della forza di attrito dinamico dipende dalla natura delle due superfici che scivolano l’una sull’altra, ed è proporzionale
al modulo della forza normale al piano di scorrimento.
Fad = fd N
fd coeff. attrito dinamico
Forza d’attrito
Esiste anche un attrito statico, forza parallela alle due superfici, che è
presente in assenza di moto relativo.
Supponiamo di esercitare una forza orizzontale su un banco,
ma questo non si muove (la risultante delle forze è zero).
Deve quindi esistere una forza, detta di attrito statico, che agisce sul banco che gli impedisce di muoversi.
Anche l’attrito statico è proporzionale al modulo della forza normale
al piano di scorrimento. Fas = fs N
fs coeff. attrito statico
Forza d’attrito
L’attrito fa venir meno la conservazione dell’energia
meccanica, che invece degrada in forme diverse di energia (calore).
Se si tiene conto di tutte le forme di energia, questa si conserva!!!
Si noti che è spesso più facile mantenere un oggetto pesante
in movimento, rispetto a muoverlo dalla sua posizione iniziale:
Fas ≥ Fad
Questo si traduce nella relazione:
fs ≥ fd
Lezione I 6
Esempi
Il momento di una forza rispetto ad un punto O ne misura la capacità di mettere in rotazione il punto o oggetto a cui è applicata rispetto ad O.
Momento di una forza
Il momento di una forza rispetto ad un punto è
definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza:
M = r x F
Momento di una forza
Il modulo di M è r F sen α = F b
Se F ed r sono perpendicolari, il braccio si identifica con r, ed il momento è massimo.
M può essere nullo se F o b sono nulli, oppure
se F ed r sono paralleli.
La grandezza r sen α, distanza dell'asse di
rotazione dalla retta su cui giace F, è detta
braccio della forza F.
Esempi Coppia di forze: 2 forze uguali in modulo e direzione ma verso
opposto, applicate in punti diversi di un corpo rigido che
può ruotare attorno ad un asse.
Un corpo rigido è per definizione indeformabile.
Esso è in equilibrio se le risultanti delle forze e dei momenti sono identicamente nulle:
ΣiFi = 0 ΣiMi = 0
• Le forze rendono conto dei moti di traslazione
• I momenti dei moti di rotazione.
Equilibrio di un corpo rigido
Centro di massa o baricentro
Rappresenta il punto in cui si può immaginare concentrata la
massa di un corpo esteso, quando se ne vogliono
determinare le condizioni di equilibrio o si vuole studiare il suo comportamento dinamico.
xCM = (m1/M)r1+(m2/M)r2
M = m1+m2
Le condizioni di equilibrio sono identificate, in tre dimensioni, da tre equazioni per l’equilibrio traslazionale e tre per l’eq. rotazionale:
Equilibrio nel corpo umano
Tuttavia, se si sceglie opportunamente il piano punto di applicazione delle forze O, si possono approssimare tutte le
forze come giacenti sullo stesso piano, e le 3 condizioni
rimanenti sono quelle per le forze in x e y e per il
momento in z.
Fx1 +Fx
2 +...+FxN = 0
Fy1 +Fy
2 +...+FyN = 0
Fz1 +Fz
2 +...+FzN = 0
!
"##
$##
Mx1 +Mx
2 +...+MxN = 0
My1 +My
2 +...+MyN = 0
Mz1 +Mz
2 +...+MzN = 0
!
"##
$##
Esempio: articolazione dell’anca Equilibrio su un solo piede
Approx: forze giacenti nel piano verticale passante per l’articolazione
• Fforza trazione glutei • Pgforza peso gamba (~1/7 P corpo) • Nreazione vincolare suolo = -P
• Rscarico peso corpo su articolazione = ?
Esempio: articolazione dell’anca
Rx = 0.55P
Ry = 2.37P
F =1.61P→ sost. 1 e 2 eq.
"
#$$
%$$
R = 2.43P
θ = arccosRx R = 76.9"#$
%$
• Equilibrio su un solo piede normale durante deambulazione.
• Forza R circa due volte e mezzo P!
• Testa del femore cresce maggiormente in direzione della forza R
(ossa crescono dove sollecitate).
Una leva è una macchina semplice
che trasforma il movimento.
È composta da due bracci solidali fra loro (che
ruotano cioè dello stesso angolo e con la stessa
velocità angolare) incernierati per un'estremità ad
un fulcro, attorno al quale sono liberi di ruotare.
Le leve
Condizione di equilibrio di una leva
La condizione di equilibrio di una leva è che la somma
dei momenti delle forze ad essa applicate sia nulla:
F1b1=F2b2
Da cui b1/b2=F2/F1 ovvero il braccio e la forza su di
esso applicata sono inversamente proporzionali.
La bilancia
Perché sia garantito l’equilibrio, il braccio della forza
peso della palla di 5kg dev’essere 20 volte maggiore
di quello della forza peso della palla da 100kg.
Condizione di equilibrio di una leva
Il rapporto tra forza resistente Fr e forza motore (o potenza) Fp,
uguale al rapporto fra bp e br, viene chiamato guadagno meccanico G.
G = Fr/Fp = bp/br
È una proprietà geometrica della leva!
Guadagno di una leva
Le leve si distinguono in: • svantaggiose: se la forza applicata richiesta è maggiore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più lungo del
braccio-potenza (bp / br < 1)
• indifferenti: se la forza applicata richiesta è uguale alla forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è uguale al braccio-
potenza (bp / br = 1)
• vantaggiose: se la forza applicata richiesta è minore della forza resistente, ovvero se il braccio-resistenza è più corto del
braccio-potenza (bp / br > 1)
Tipi di leve
Esercizio
A che distanza deve mettersi la bambina (peso minore) per bilanciare il peso del bambino.
Esercizio
Leve e conservazione energia meccanica
Leve e conservazione energia meccanica
In base alla posizione reciproca del fulcro e delle forze si ha un’ulteriore distinzione:
Tipi di leve
• I genere: il fulcro si trova tra le due forze (vantaggiose, svantaggiose o indifferenti)
• II genere: la forza resistente si trova fra il fulcro e la forza applicata (sempre vantaggiose)
• III genere: la forza applicata si trova fra il fulcro e la forza resistente (sempre svantaggiose)
Nel nostro corpo: i muscoli scheletrici (elemento attivo) inserendosi
sulle ossa (elemento passivo) per mezzo della contrazione muscolare determinano il movimento.
Questo è possibile grazie anche alle articolazioni,
le regioni di “snodo” tra le parti fisse.
Tutto l'apparato locomotore è basato su un sistema di leve che possono essere di primo,
secondo o terzo tipo.
Leve del corpo umano
Nelle leve del corpo umano:
• Il fulcro è dato dall'asse di rotazione (di solito l'articolazione, ma può anche essere un punto di
appoggio – piede – o di presa – mani);
• la potenza è data dal punto in cui viene applicata la forza (di solito l'origine o l'inserzione muscolare);
• la resistenza è data dal punto in cui viene generata la stessa forza resistente (un peso, la forza gravità della
parte del corpo interessata, ecc.).
Leve del corpo umano
Articolazione di appoggio della testa
L'intensità di Fm è tale da produrre un momento uguale a quello prodotto da Fr:
Se il peso Fr della testa è di 8 Kg ~ 80N,
si avrebbe:
Fm = Fr 8/2 = 320 N (~ peso 32Kg)
Si noti che l'insieme delle due forze tenderebbe a causare un abbassamento del sistema: il
fulcro esercita anche una reazione vincolare che si oppone alla traslazione. Per questo dopo un
certo tempo l'articolazione è affaticata.
Esempio di leva del I genere e svantaggiosa.
Per bilanciare il peso del capo ed evitare che la testa ciondoli in avanti, viene esercitata una potenza da parte dei muscoli della nuca.
2 cm 8 cm
Innalzamento sulle dita del piede
FT = Forza Motrice, forza muscolare (polpaccio) applicata dal tendine sul calcagno. FO = Forza Resistente, forza esercitata dalle forze della gamba (tibia e fibula) sul piede. FP = reazione vincolare del suolo sulla pianta del piede, causata dalla forza peso del corpo che agisce sul fulcro (punto fermo).
Esempio di leva del II genere
10 cm
Innalzamento sulle dita del piede
Equilibri traslazionali • Verticale: FT cos(7o) + FP = FO cos(θ) • Orizzontale: FT sin(7o)= FO sin(θ) Equilibrio rotazionale rispetto al punto centrale:
5.6 * FT cos(7o) = 10 * FP
da cui si ricava
FT=10*FP/(5.6*0.992)=1.8*FP
Sostituendo nelle precedenti equazioni si ha:
1.8* FP *0.992+ FP= FO cos(θ)
1.8* FP *0.122= FO sin(θ)
tg(θ)=0.2196/2.7856 FP= 0.079
da cui
θ=4.5ο, FO = 2.8 FP
10 cm
Abduzione del braccio Esempio di leva del III genere
In quale condizione è più faticoso tenere il libro?
Esempio di leva: l’apparecchio dentale
L’apparecchio dentale consiste in un filo metallico sottoposto a una tensione di 2N. Esso quindi esercita una forza di 2N sul dente nelle due direzioni come indicato in figura. Calcolare la forza risultante sul dente dovuta all’apparecchio
Esempio di leva: l’apparecchio dentale
Esempio: tensione nella corda del lampadario
Esempio: tensione nella corda del lampadario
