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Lavoro Forza Gravitazione
Campi di Forze Centrali
Campi di hellip
Campi di Forze
Forza che agisce su un punto materiale P dipende da posizione velocitagrave istante considerato hellipCampo geometrizzazione della ldquoforzardquo =
= ldquofisicizzazionerdquo della geometriaEsempi
bull campo gravitazionale
bull campo elettrico
bull campo magnetico
Lavoro
O
F
dr
Lavoro elementare
dL=Fdr
α
=Fdrcosα
[L]=[mlt-2 l]=[ml2t-2]N m=joule (J)
αltπ2 dLgt0 lavoro motore
αgtπ2 dLlt0 lavoro resistente
A
B
l
Ancora lavoro
O
F
Lavoro della forza F nellrsquointervallo di tempo (t1 t2)
dL=Fdr
α =Fdrcosαt1-
A
t2-B
l
Potenza W=dLdt
vdr= dt
(integrale di linea o integrale curvilineo)
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campi di hellip
Campi di Forze
Forza che agisce su un punto materiale P dipende da posizione velocitagrave istante considerato hellipCampo geometrizzazione della ldquoforzardquo =
= ldquofisicizzazionerdquo della geometriaEsempi
bull campo gravitazionale
bull campo elettrico
bull campo magnetico
Lavoro
O
F
dr
Lavoro elementare
dL=Fdr
α
=Fdrcosα
[L]=[mlt-2 l]=[ml2t-2]N m=joule (J)
αltπ2 dLgt0 lavoro motore
αgtπ2 dLlt0 lavoro resistente
A
B
l
Ancora lavoro
O
F
Lavoro della forza F nellrsquointervallo di tempo (t1 t2)
dL=Fdr
α =Fdrcosαt1-
A
t2-B
l
Potenza W=dLdt
vdr= dt
(integrale di linea o integrale curvilineo)
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campi di Forze
Forza che agisce su un punto materiale P dipende da posizione velocitagrave istante considerato hellipCampo geometrizzazione della ldquoforzardquo =
= ldquofisicizzazionerdquo della geometriaEsempi
bull campo gravitazionale
bull campo elettrico
bull campo magnetico
Lavoro
O
F
dr
Lavoro elementare
dL=Fdr
α
=Fdrcosα
[L]=[mlt-2 l]=[ml2t-2]N m=joule (J)
αltπ2 dLgt0 lavoro motore
αgtπ2 dLlt0 lavoro resistente
A
B
l
Ancora lavoro
O
F
Lavoro della forza F nellrsquointervallo di tempo (t1 t2)
dL=Fdr
α =Fdrcosαt1-
A
t2-B
l
Potenza W=dLdt
vdr= dt
(integrale di linea o integrale curvilineo)
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Lavoro
O
F
dr
Lavoro elementare
dL=Fdr
α
=Fdrcosα
[L]=[mlt-2 l]=[ml2t-2]N m=joule (J)
αltπ2 dLgt0 lavoro motore
αgtπ2 dLlt0 lavoro resistente
A
B
l
Ancora lavoro
O
F
Lavoro della forza F nellrsquointervallo di tempo (t1 t2)
dL=Fdr
α =Fdrcosαt1-
A
t2-B
l
Potenza W=dLdt
vdr= dt
(integrale di linea o integrale curvilineo)
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Ancora lavoro
O
F
Lavoro della forza F nellrsquointervallo di tempo (t1 t2)
dL=Fdr
α =Fdrcosαt1-
A
t2-B
l
Potenza W=dLdt
vdr= dt
(integrale di linea o integrale curvilineo)
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Energia Cinetica
Punto materiale di massa m e velocitagrave v
Ec =frac12mv2
Energia cinetica
[Ec]=[ml2t2]=[L]
joule (J)
Identitagrave
frac12d(v2)= frac12d(vv)= d(v)v =(dvdt)vdt
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Teorema dellrsquoEnergia Cinetica
R=F
LABl =Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
A
B
l
vA Ec(A)
vB Ec(B)
R=m (dvdt) II legge Newton
m
(Teorema delle Forze Vive)
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 1
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v1=0
Energia cinetica di un corpo rispetto ad un osservatore egrave uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocitagrave considerata
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Significato dellrsquoEnergia Cinetica 2
F
L12l =Ec(2) - Ec(1) =
ΔEc
P1
P2
l
v1 Ec(1)
v2 Ec(2)
m
Se v2=0
Energia cinetica di un corpo egrave opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allrsquoosservatore considerato
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campi Conservativi
l
Ll dipende da l
Se qualunque sia la traiettoria chiusa
Ll=0 Forze Conservative Campo Conservativo
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria
A
B
12
Campo conservativo
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Energia Potenziale
Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione Energia Potenziale EP
OEP(O)=K
A
B
Qual egrave il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )
LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B)
=-ΔEP
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Energia Cinetica amp Energia Potenziale
LAB=Ec(B) - Ec(A) =
ΔEc
In un Campo Conservativo
LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP
Teorema energia cinetica
0=Ec(B)+EP(B) ndash [Ec(A)+EP(A)]
Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost
Se agiscono solo Forze Conservative lrsquoEnergia Totale si CONSERVA
(Teorema di Conservazione dellrsquoEnergia Meccanica)
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause
Isaac Newton intuigrave che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole egrave la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra
Tale forza egrave universale
Vale per qualsiasi coppia di oggetti
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi
puntiformi di masse m1 e m2 egrave direttamente proporzionale alle
masse dei corpi inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza r
Poicheacute le masse sono sempre (e solo) positive egrave sempre attrattiva
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La gravitazione universale
Lespressione matematica egrave
G egrave la costante di gravitazione universale
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi variamo m1 m2
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2
se r raddoppia la forza diventa 14
se r triplica la forza diventa 19
se r si dimezza la forza quadruplica
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La gravitazione universale
bull F diminuisce rapidamente al crescere di r
bull F aumenta velocemente al tendere di r a zero
Il modulo di F egrave inversamente proporzionale a r2
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Forza-peso e costante G
La forza-peso FP egrave la forza (di gravitagrave) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando egrave posta vicino alla superficie terrestreMT RT massa e raggio della Terra
Ricaviamo G
Con i valori di MT RT noti a Newton si ottiene
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Accelerazione di gravitagrave alla superficie della Terra
noti MT e RT si ricava il valore di g
La quantitagrave in parentesi egrave una costante e vale
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Accelerazione di gravitagrave sulla superficie della Terra
Il valore dellespressione
corrisponde proprio al valore
sperimentale di g
Da cui si ricava
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione in prossimitagrave della superficie terrestre con
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Lavoro della Forza Peso
x
z
g AzA
zB
mα
BP
dr
dz
= EP(A) - EP(B) =-ΔEPO K=0
EP(A)=P zA = mg
zA
(dz= -cosα
dr)
Energia potenziale della forza peso
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse piugrave grandi M1 e M2
Dallangolo di torsione del filo si misura il valore di F
Si ottiene
Henry Cavendish (1798) misurograve per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale mi indica la resistenza del corpo ad essere accelerato
massa gravitazionale mg indica la capacitagrave di attrarre oggetti ed essere attratto da essi
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Forza di gravitazione universale
C
Fdsα
A
B
l
mc
m
rA
rB
r
dr
Energia potenziale gravitazionale
Potenziale gravitazionale di mc
Punto di riferimento a r=infin K=0
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
ijk
x
y
z FFz
Fy
Fx
drdxi
dL=Fdr
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campo di Forza Centrale (definizione)
1 In ogni punto P F egrave diretta lungo PO dove O egrave un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva)
2 |F| egrave funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) )
+O
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campo di Forza Centrale Conservativo
+O
Pds
F
dr
dL=Fds=plusmn|F|dr
Superfici equipotenziali Linee di forza
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(xyz)=costCampo gravitazionale
mc
c1c2
F sup equLinee di forza
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campo di Forza Centrale Momento Angolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
=0
G
rlO=costante Cosa implica
lO direzione costante moto in un piano
lO verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Campo di Forza Centrale Velocitagrave Areolare
+O
mv
F
lO=rtimesp=rtimesmv
G
r
lO cost in modulo vel areolare costante
dt
rd
d
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Modello tolemaico modello copernicano sintesi
Tolomeo La Terra egrave ferma al centro dellUniverso Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico)
Epicicli e deferenti (perfezionamento)
Corpi celesti sferici e perfetti ldquotraiettorierdquo circolari
Copernico Sole al centro fermo pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico)
Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Joannes Kepler (1571-1630)
Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Si definiscono
- perielio il punto dellorbitapiugrave vicino al Sole- afelio il punto dellorbitapiugrave lontano dal Sole
Prima legge di Kepler
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Vale per qualunque corpo che orbiti
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Terza legge di Kepler
T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano piugrave tempo a compiere un giro intorno al Sole
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dellorbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T egrave costante (lo stesso per tutti i pianeti)
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono
conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale
Prima legge di Keplero si dimostra che egrave conseguenza della proporzionalitagrave della F gravitazionale a 1r2
le traiettorie possono essere ellissi parabole o iperboli
le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze)
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La deduzione delle leggi di Keplero
poicheacute L egrave costante
r e v sono inversamente proporzionali
Seconda legge di Keplero egrave conseguenza della conservazione del momento angolare
Al perielio rP egrave minimo quindi vP egrave massima
allafelio rA egrave massimo quindi vA egrave minima
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero per orbite circolari
Moto circolare uniforme Essendo
si ha ovvero
Poicheacute la quantitagrave a destra delluguale egrave costante la terza legge di Keplero egrave verificata
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Lenergia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto lazione di una massa maggiore M
Si dimostra che
Quindi lenergia potenziale U egrave
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
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Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Energia potenziale si annulla allinfinito
Nella formula di U egrave conveniente porre k=0
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita
Si scrive dunque
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Energia potenziale che si annulla allinfinitoRappresentiamo il grafico della funzione
U(r)
U(r) egrave sempre negativa (potenziale attrattivo)
La dipendenza da 1r determina
lannullarsi di U(r) per r che tende ad infinito
il tendere allrsquoinfinito di U per r che tende a zero
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validitagrave della legge di gravitazione universale e dei princigravepi della dinamica anche percheacute nel vuoto spaziale non esiste attrito
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
La legge di conservazione dellenergia in questo caso egrave valida e dagrave unaltra spiegazione alla seconda legge di Keplero
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
forza di gravitagrave conservazione dellenergia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza egrave infinita
Se il proiettile percorre unorbita ellittica vltvfuga e lenergia totale E=K+U egrave negativa
Se il proiettile ha v=vfuga riesce a liberarsi e lenergia totale E=K+U egrave zero
Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica vgtvfuga e lenergia totale E=K+U egrave positiva
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Il moto dei satelliti
sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocitagrave arbitraria)
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Diversi tipi di orbite
Lorbita di un proiettile con v0=79x103 ms egrave una circonferenza
Allaumentare ancora di v0 la traiettoria diventa unellisse superato un certo valore la traiettoria egrave uniperbole il proiettile si allontana dalla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
La velocitagrave dei satelliti in orbita circolareSatellite di massa m in orbita circolare
di raggio R con velocitagrave v intorno alla Terra
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta
R al denominatore piugrave il satellite egrave lontano dalla Terra piugrave egrave lento
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Velocitagrave di Fuga
Qual egrave la velocitagrave di fuga di una molecola di O2 dellrsquoatmosfera terrestre ET(r)=frac12mv2-
GMmr
M
r
v fuga minima per raggiungere infin ET(infin)= EP(infin)=0
ET(infin)= ET(r)=frac12mv2-GMmr=0 G=667times10-11
r=635times106 M=598times1024
11times103 ms
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
Satelliti geostazionari
si muovono alla velocitagrave di rotazione terrestre quindi appaiono fermi rispetto alla Terra
