Forze centrali

• Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello

spazio con le seguenti proprietà:

– per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza,

– la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello

spazio, detto centro della forza centrale,

– e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal

centro stesso.

• Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale.

r

F

x

y

O=S

P

F GmM

r2 u r G

mM

r2

r

r

• Anche la forza di Coulomb è

centrale F

1

4o

q1q2

r2 u r

• Così come la forza elastica F kxi

• Le forze centrali sono conservative

Dinamica Forze centrali

Se

O = centro della forza

particella libera

0

0

M

F

FrM

Fr

//

0M

Forze centrali

Moto di un punto materiale sotto l’azione

di una forza centrale• Il momento di una forza centrale valutato rispetto al

centro della forza è nullo

– La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti

paralleli

d o

dt M o

d o

dt 0 o costan te

– Verso

• La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso:

orario o antiorario

– Modulo

• La velocità areale è costante: il segmento che connette il

centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali

in tempi uguali.

F r

y

Ox

v

r (t)

y

Ox

v (t)r (t t)

v t t

• Il momento della quantità di moto rispetto al centro

della forza deve rimanere costante

– in direzione

• Il moto è un moto piano

La velocità areale

• Consideriamo l’intervallo di tempo t– L’area spazzata nell’intervallo t è quella evidenziata in

figura

– Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+t), r.

– L’eguaglianza approssimata diventa precisa per t che tende a zero.

– L’area del triangolo vale:

Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della

forza vale: e quindi:O rmv sen dA

dt 1

2O

m

r (t)

y

Ox

v (t)

r (t t)

v t t

r v

v r

h

A 12 r(t)h

La velocità areale:dA

dt lim t0

A

t lim t0

12 r(t)h

t 1

2 r(t)lim t0

h

t

Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che:

v lim t0

r

t v lim t0

h

te quindi

dA

dt 1

2 rv 12 rvsen

Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di

moto è costante, allora la velocità areale è costante

La velocità areale

O rmv sen mrv mrr mr2

• Se indichiamo con l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+t

Il momento angolare:

v lim t0

h

t lim t0

r(t t)sen

t

r(t)lim t0

t r

r (t)

y

Ox

v (t)

r (t t)

v t t

r v

v r

h

Afelio

Più lento

Perielio

Più veloce

e 1 b2

a2

G

Gravitazione Orbite

Si dimostra che

ET > 0

ET = 0

ET < 0

orbite iperboliche

orbite paraboliche

orbite ellittiche

Verifica della III legge di Keplero

• Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari

anziché ellittiche.

– L’eccentricità per la terra è 0.0167

– a è il semiasse maggiore

– b quello minore

• Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve

essere costante)

• Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta

• Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza

centripeta:

e 1 b2

a2

FG GmM

r2 ma n

mv2

r

Verifica della III legge di Keplero

GmM

r2

mv 2

r

m2r

T

2

r

m42r2

rT2

m42r

T2

Che appunto verifica la III legge di Keplero GmM

r2

m42r

T2 T

2

42

GMr

3

Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione:

T 2r

v

Satelliti

Cosa tiene in orbita un satellite?

La sua alta velocità

Come si muove?2

2

sat E satm m vG m

r r

L’energia potenziale della forza di

gravitazione universale - la velocità di fuga

• La forza di gravitazione universale è

conservativa

U

r

E<0

E>0

E=0ro

r

mMGrU )(

E 1

2mv

2

GmM T

RT

• La velocità di fuga dalla terra:

U GmM T

RT

1

2mv f

2

GmMT

RT

0 v f 2GMT

RT

• Per la fuga dalla terra, E>=0:

mg GmM T

RT2

v f 2gR T 2 9.81 * 6.37 *106 125.0 *10

6 11.2 *10

3 ms

Gravitazione Orbite

A seconda dell’energia totale si

avranno diversi tipi di orbite

Per mettere in orbita un corpo è

necessario anche imprimere una

componente trasversale alla

velocità in modo che L≠0

hR

GmMmvET

2

02

1

ET>0ET=0

ET<0

ov

h

R

Orbita circolare2

2

r

GmM

r

mv

r

GmMET

2

1

Energia totale negativa !

Gravitazione Massa Gravitazionale

r

gg

g ur

MmGF ˆ

2

amF ii

Massa gravitazionale

gmF gg

gm

maFF

i

g

gi

Massa inerziale

costi

g

m

m

Con la scelta delle unità di misura cost = 1

g

Tutti i corpi cadono con

la stessa accelerazione

uguale per tutti i corpi